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Desigualdades e Inecuaciones Prof. Isaas Correa M.

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Desigualdades Los enunciados a > b y a b o a = b) se conocen como desigualdades. Las primeras se llaman desigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias.

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Las desigualdades se comportan muy bien con respecto a la suma pero se debe tener cuidado en el caso de la divisin y la multiplicacin. Ejemplos. Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9. Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1 Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30 Como 7 10. (- 3), esto es - 21 > - 30

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En los diferentes ejemplos se observa que: Al sumar un mismo nmero a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene Al restar un mismo nmero a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene La multiplicacin por un nmero positivo mantiene el sentido de la desigualdad. La multiplicacin por un nmero negativo invierte el sentido de la desigualdad.

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Inecuaciones Una inecuacin es una desigualdad en la que aparecen uno o ms valores desconocidos. Resolverla es encontrar el conjunto de todos los nmeros reales para los cuales es verdadera.

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Una inecuacin es una desigualdad en la que hay uno o ms cantidades desconocidas (incgnitas) y que solo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incgnitas.

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Pero esta desigualdad o inecuacin puede tener variables o incgnitas como las ecuaciones. Por ejemplo:

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Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las desigualdades, segn que el primer miembro sea mayor o menor que el segundo. Una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

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1.Una desigualdad no cambia de sentido cuando se aade o se resta un mismo nmero a cada miembro. -2 > -6 -2 -3 > -6 -3 -5 > -9 9 > 5 9 + 2 > 5 + 2 11 > 7 Ejemplo:

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2.Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, tambin positivo. Ejemplo: 12 > 7 12 X 3 > 7 X 3 36 > 21 15 > -25 15 5 >(-25) 5 3 > -5

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3.Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, tambin negativo. Ejemplo : 3 > -15 3(-4) < (-15)(-4) -12 < 60 64 80 (-4) -16 > -20

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4.Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido. Ejemplo :

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5.Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido d la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de potencia es par. Ejemplo :

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6.Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aquellas. Ejemplo : Dado: 2x > 10 y 7x > 26 se obtiene: 9x > 36

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7.Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de signo contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo Ejemplo : Dado: 7x 16, se obtiene: 2x < -4

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Para resolver una inecuacin deben encontrarse los valores de las incgnitas que satisfagan la inecuacin. Y para esto se tiene que tener en cuenta las propiedades de las desigualdades.

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Para resolver una inecuacin se utilizan las propiedades de las desigualdades y de los nmeros reales que conducen a una desigualdad equivalente. Todos los nmeros que satisfacen la desigualdad constituyen el conjunto solucin y se denota con S

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Ejemplo : Resolver la inecuacin 4x + 6 > 2x -7 Se resta 2x de cada miembro: Se resta 6 de cada miembro: Finalmente: 4x -2x + 6 > 2x -2x -7 2x +6 -6 > -7 -6 x > (-13 2) x >-7.5

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Inecuacin lineal Son aquellas en las cuales la variable tiene grado uno. Corresponde a una desigualdad condicionada, es decir, se busca el conjunto de valores que al reemplazarlos en la variable, cumpla con la desigualdad. Ejemplos: a) 7 5-x La expresin representa un nmero real si: 5 - x > 0 5 > x x es un nmero real menor que 5, 5 -+ o bien, x ] -, 5 [ Grficamente:

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x 2 6x -2 5 1 - (Multiplicando por 10) b) 6x -2 5 x 2 - 10 1 2(6x 2) 5x - 10 12x 4 5x - 10 (Simplificando) (Desarrollando) 12x 5x 4 - 10 7 x -6 7x -6

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,+ o bien, x 7 -6 -+ 7 Grficamente: Se cumple para todo x mayor o igual que 7 -6,

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c)7x 8 4x 16 + 3x + 4 7x 8 7x - 12 8 - 12 En este caso, la incgnita se ha eliminado. Sin embargo, la desigualdad resultante es verdadera. Esto significa que la inecuacin se cumple para cualquier x en los reales. + - IR Grficamente:

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d) 6x + 11 2

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1.x+7>9 2.2x+3 x+6 3.-6x+7 x+9 4.-6x -72 5.x-9>x+6 6.-6x+9

3x+2 > 2x + 1 3x 2x > 1 2 x > 1 -7 -1 Representacin grfica de la solucin Intervalo de la solucin

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Sistemas de Inecuaciones Cada inecuacin del sistema se resuelve por separado, obtenindose como solucin un subconjunto de la recta real. La solucin del sistema es la interseccin de estos subconjuntos. Ejemplo: a) 2x + 3 5 -x - 2 -4 Resolviendo cada inecuacin en forma independiente: 2x + 3 5 2x 5 - 3 x 1 -x - 2 -4 x + 2 4 x 2 o bien, x ] -, 1 ]o bien, x ] -, 2] / (-1 )

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La solucin del sistema ser la interseccin de los subconjuntos: S 1 = ] -, 1 ] yS 2 = ] -, 2] - 2 + 1 S = S 1S 2 S = ] -, 1 ] o bien, x 1

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http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica http://matematicasies.com/spip.php?rubrique70 http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec2/cap2.html http://personal.redestb.es/javfuetub/algebra/inecua.htm http://copernico.escuelaing.edu.co/mrey/precalculo_una_nueva_vision/Capitulo_5_01.pdf http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/20/matematicas-20.html http://student_star.galeon.com/desigual.html http://usuarios.lycos.es/calculo21/id382.htm http://valle.fciencias.unam.mx/~lugo/bach2/DesigCuad/index.html http://cremc.ponce.inter.edu/topicos/desigualdades.htm