Des problèmes géométriques pour le cycle 3

1°) IO et adresses Internet concernant la géométrie au cycle 3a) IOb) Adresses Internet

2°) Exemples de problèmes de reproduction, de construction et de description de figures

3°) Exemples de problèmes concernant un thème donnéa) Quadrillages b) Pavages

4°) Exemples de problèmes proposés par l’équipe ERMEL

5°) Problèmes de géométrie et TICE

6°) 20 problèmes "pour chercher » (avec solutions) (les quatre derniers concernent les grandeurs géométriques aire et/ou périmètre)

1°) IO et adresses Internet concernant la géométrie au cycle 3a) IO

Dans la proposition de progression pour le cycle 3 (tableau à trois colonnes), on trouve trois paragraphes consacrés à la géométrie :

- Un paragraphe intitulé « dans le plan » où sont listées les notions à aborder en géométrie plane

- Un paragraphe intitulé « dans l’espace» où sont listées les notions à aborder en géométrie dans l’espace

- Un paragraphe intitulé « problèmes de reproduction, de construction »

CE2

CE2

CM1

CM1

CM2

Retour au sommaire

Remarque : retour sur quelques définitions

Reproduction

Réalisation d’une « copie » d’une figure plane ou d’un objet à trois dimensions dont on dispose et sur lequel on peut donc agir (remarque : il est souvent nécessaire de préciser le degré de conformité souhaité).On a donc un « modèle ».

Construction

Réalisation d’une figure plane ou d’un objet à trois dimensions qui n’est pas présent et dont on dispose seulement d’une description ou d’une représentation.

Description

Informations orales et/ou écrites sur une figure plane ou un objet à trois dimensions permettant à une personne - de le reconnaître parmi d’autres - ou bien de de le construire (on parle alors de programme de construction : il faut repérer dans la figure des figures de base, repérer les liens entre ces figures puis se mettre à la place de l’autre et chercher à établir une chronologie des actions ce qui suppose de construire au moins mentalement une partie de la figure ; c’est difficile …)

Retour au sommaire

Remarque :

La description de la figure ou de l’objet à trois dimensions peut utiliser des procédés conventionnels. On parle alors souvent de représentation.

Exemple de représentations d’un même objet (« polycube »)

Représentation cavalière Vue de dessus avec indications chiffrées

On peut bien évidemment amener l’élève à effectuer et à utiliser des représentations différentes d’un même objet.

Retour au sommaire

b) Adresses Internet concernant, de façon générale, l’enseignement de la géométrieau cycle 3

Voir : http://pernoux.pagesperso-orange.fr/geoc3.htm

2°) Exemples de problèmes de reproduction, construction et description de figures

a) Exemples de problèmes (d’après des propositions de Jean-Luc Brégeon : http://pagesperso-orange.fr/jean-luc.bregeon/Page%203-10-4.htm) - Constructions de figures soit à main levée soit à l’aide d’instruments à partir de descriptions soit orales soit écrites données aux élèves par l’enseignant (constructions soit sur papier quadrillé soit sur papier uni) :

La figure est formée de deux carrés : un grand et un petit. Les sommets du petit carré sont les milieux des côtés du grand carré.

Pour d’autres ressources concernant l’école primaire, voir ce mini-portail :http://pernoux.pagesperso-orange.fr/ressources-primaire.htm

Retour au sommaire

La figure est formée d’un cercle et d’un carré. Le cercle passe par les 4 sommets du carré.

Tracer un cercle, puis un diamètre de ce cercle. Tracer un carré qui a pour côté ce diamètre.

Tracer un cercle. Tracer deux diamètres perpendiculaires.

Tracer un carré. Tracer un cercle qui a pour centre un sommet du carré et qui passe par deux autres sommets.

Retour au sommaire

Source de ces propositions : http://pagesperso-orange.fr/jean-luc.bregeon/Page%203-10-4.htm

La figure est formée d’un carré et d’un triangle. Le triangle a un côté commun avec le carré et se trouve à l’extérieur du carré.

Trace un carré. Trace un demi-cercle de diamètre un côté du carré, situé à l’extérieur du carré.

Cette figure est formée d’un carré, de ses deux diagonales et des segments qui relient les milieux des côtés opposés

Cette figure est formée d’un rectangle et d’un cercle. Le cercle passe par les 4 sommets du rectangle.

Retour au sommaire

Source de ces propositions : http://pagesperso-orange.fr/jean-luc.bregeon/Page%203-10-4.htm

- Ecriture par les élèves d’un texte décrivant les étapes de la construction d’une figure (élèves par groupes deux).

« Il faut écrire un message expliquant les différentes étapes qui permettent de construire la figure que vous avez, exactement à l’identique. Les dessins sont interdits dans le message. Un autre groupe devra lire votre message et refaire la figure. »

Exemples de figures :

Message : Message : Message : Message :

Retour au sommaireSource de ces propositions : http://pagesperso-orange.fr/jean-luc.bregeon/Page%203-10-4.htm

« Chaque groupe doit lire le message reçu et, en suivant les indications, construire une figure géométrique. Si vous ne comprenez pas ce qui est demandé ou si vous n’arrivez pas à faire la construction, l’écrire sur la feuille de message. »

Lorsque les constructions ont été réalisées, les faire comparer aux figures initiales puis faire une mise en commun...

Remarque : en géométrie, l’orientation de la figure n’a pas d’importance ; il suffit que les deux figures se superposent, même si elles n’ont pas des orientations semblables.

b) Jeu du portrait

Les élèves doivent poser des questions permettant d’identifier parmi plusieurs figures celle que le maître (ou un autre élève) a choisie. Le maître (ou l’élève) ne répond que par oui ou par non.

Retour au sommaire

Figures pour le jeu du portrait :

Auteur de ce document : Jacques Muller, formateur à l’IUFM d’Alsace

Retour au sommaire

c) Autres propositions en vrac...

- Reproduction de la même figure en changeant d’échelle. Un élément de la figure agrandie (par exemple, un segment représentant le côté du carré à obtenir) est fourni, ceci pour amener les élèves à mieux prendre en compte les propriétés de la figure.

- Deux programmes écrits sont donnés ainsi qu’une figure, l’élève doit déterminer à quel programme correspond la figure.

- Un programme est donné ainsi que plusieurs figures. L’élève doit déterminer à quelle figure correspond le programme.

- A partir de la description orale d’une figure, les élèves doivent l’identifier parmi plusieurs figures.

- Construction de figures avec des élastiques sur un planche à clous

Remarque :Vous pouvez télécharger une planche à clous virtuelle à cette adresse :http://nlvm.usu.edu/

Des propositions d’activités pour le cycle 2 et le cycle 3 sont disponibles ici :http://www.ien-landivisiau.ac-rennes.fr/maths/geometrie/progression%20geoplan/Utilisation%20du%20geoplan%20cycles%202%20et%203.htm

Retour au sommaire

- Pour les solides, une liste d’activités possibles par niveaux est disponible sur le site de la circonscription de Landivisiau : http://www.ien-landivisiau.ac-rennes.fr/maths/geometrie/SOMMAIRE.htm

Exemple de « belle figure » :

d) Remarques :

- en géométrie plane, il est souhaitable de faire construire « de belles figures » (exposition ou mise en ligne sur un site web envisageables)

- on peut construire des solides qu’on pourra exposer dans un « musée des formes »- le matériel clixi est un matériel intéressant

On pourra, bien sûr, adapter la tâche au niveau des élèves . Exemples :

Facile :

Difficile :Programme de construction sans modèle :Tracer un triangle isocèle. Les deux côtés qui ont la même longueur mesurent 10 cm.Sur un des côtés, marque tous les centimètres, un point que tu relieras ensuite au sommet opposé.Tu obtiendras un quadrillage. Retour au sommaire

Autres exemples :

Retour au sommaire

3°) Exemples de problèmes concernant un thème donné

a) Quadrillages - Reproductions de figures sur des quadrillages déformés (Auteur des documents : Jacques Muller, formateur à l’IUFM d’Alsace)

Retour au sommaire

Retour au sommaireA adapter au niveau des élèves

Retour au sommaireA adapter au niveau des élèves

Retour au sommaireA adapter au niveau des élèves

- Transformations de figures (à adapter au niveau)

Voir : http://pernoux.perso.orange.fr/quad.pdf

b) Pavages (deux exemples de problèmes)

- Peut-on paver le plan en utilisant un triangle quelconque (ou « Peut-on réaliser un parquet en utilisant des plaques triangulaires identiques ayant la forme d’un triangle quelconque ? »)

Exemple de solution :

Retour au sommaire

- Peut-on paver le plan en utilisant un quadrilatère quelconque (ou « Peut-on réaliser un parquet en utilisant des plaques identiques ayant la forme d’un quadrilatère quelconque ? »)

Solution :

Retour au sommaire

4°) Exemples de problèmes proposés par l’équipe ERMEL

Alignement (CM1) :

Retour au sommaire

Source : Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes ERMEL Hatier 2006 (il y a aussi des fiches photocopiables et un matériel collectif) (page web 1) (page web 2) (page web 3)Remarques :- sur le site du département mathématiques de l'IUFM de la Réunion, on peut consulter une présentation Powerpoint résumant uniquement la partie théorique de cet ouvrage)- les quelques exemples donnés ci-après ne sauraient rendre compte de la qualité d’un ouvrage (de 600 pages) dont je recommande la lecture.

Retour au sommaire

CE2

Source : Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes ERMEL Hatier 2006

Retour au sommaire

Source : Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes ERMEL Hatier 2006

Retour au sommaire

Source : Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes ERMEL Hatier 2006

Combien de carrés ?

Retour au sommaire

5°) Problèmes de géométrie et TICE

Exemple d’utilisation d’un diaporama Powerpoint pour montrer la solution d’un problèmea) Utilisation par l’enseignant

1 2 3 4

5

9

6 7 8

10 11 12

13 14 15 16

Retour au sommaire

17 18

19 20

Retour au sommaire

21

Retour au sommaire

22

Retour au sommaire

23

Retour au sommaire

24

Retour au sommaire

25

Retour au sommaire

26

Retour au sommaire

27

Retour au sommaire

28Retour au sommaire

29Retour au sommaire

30Retour au sommaire

b) Exemple de problème résolu par les élèves en utilisant un logiciel de géométrie dynamique

Voir par exemple : http://dpernoux.chez-alice.fr/Construction/distance__ermel.html(ce problème est un des problèmes proposés par l’équipe ERMEL vus précédemment)

Retour au sommaire

Problème n° 1 Comment trouver la longueur du tuyau ?

Solution :

6°) Exemples de problèmes "pour chercher" Ces problèmes (du style « rallye maths », « défi maths », ...) ne sont pas classés par ordre de difficulté. Ils sont de difficulté très variables et devront bien évidemment être adaptés au niveau des élèves.

Retour au sommaire

Remarques préalables :

- Ces énoncés de problèmes proviennent de sources diverses (énoncés que j’ai créés ; énoncés issus de défi-maths, rallyes-maths, etc. que j’ai éventuellement modifiés, ...). Si vous êtes l’auteur d’un de ces énoncés merci de me contacter en utilisant ce lien.

- Trois des énoncés proviennent du fichier « Evariste Ecole » de l’APMEP (brochures proposant 60 problèmes de niveau cycle 2 et 120 problèmes de niveau cycle 3) Adresse de la page du site de l’APMEP permettant de commander ce fichier : http://www.apmep.asso.fr/spip.php?article1162

Problème n° 2

Il existe cinq tétraminos (figures composées de quatre carrés identiques qui se touchent au moins selon un côté) différents :

Mais combien existe-t-il de pentaminos (figures composés de cinq carrés identiques qui se touchent au moins selon un côté) différents ?

Solution :

Il y a 12 pentaminos :

Retour au sommaire

Remarque : avec chacun des pentaminos pris isolément on peut réaliser un pavage du plan.

Document Jean-Louis Sigrist

Retour au sommaire

Problème n° 3 (puzzle « de la croix » ou « de Sam Loyd »)

Choisir, bien sûr, des items adaptés aux connaissances des élèves

Remarque : on peut aussi fabriquer un pentagone « quelconque », une figure ayant la forme de la lettre T, ....

Solution :

Retour au sommaire

Problème n° 4

Les cubes ne peuvent pas rester tout seuls en l’air.

Combien y a-t-il de petits cubes ?

Réponse : Il y a 12 petits cubes.

Problème n° 5

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Combien y a-t-il de petits cubes ?

Exemple de solution

Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61

Retour au sommaire

Problème n° 6

Partage cette figure en 4 parties identiques (même forme et même aire) :

Solution :

Retour au sommaire

Problème n° 7

Arlette découpe cette tarte en quatre parts identiques (même forme et même aire) avec seulement deux coups de couteau.Dessine le découpage sur la tarte.

Solution :

Retour au sommaire

Problème n° 8

Trouver la région dans laquelle peut se promener le chien (la laisse ne peut pas passer en travers de la maison)

Retour au sommaire

Solution :

Retour au sommaire

Problème n° 9

Solution :

Amandine voit la façade n° 3 et Jean-Paul la façade n° 2.La vue n° 5 correspond à la façade opposée à celle vue par Amandine.

Source : Fichier « Evariste » de l’APMEP

Retour au sommaire

Problème n° 10

Source : Fichier « Evariste » de l’APMEP

Solution :

L’intrus est la figure n° 6 Elle a six côtés alors que toutes ls autres figures en ont cinq.

Retour au sommaire

Problème n° 11

Source : Fichier « Evariste » de l’APMEP

Solution :

Retour au sommaire

Problème n° 12

Source : http://ecoles.ac-rouen.fr/circ_dieppe_ouest/outils/maths/defi_math.htm

Solution : Nombre total de cubes : 6 x 6 × 6 = 216Nombre de cubes ayant un seule face peinte : 6 × 16 = 96 Nombre de cubes ayant deux faces peintes : 12 × 4 = 48 Nombre de cubes ayant trois faces peintes : 8

Nombre de cubes ayant plus de trois faces peintes : 0Nombre de cubes n’ayant aucune face peinte : 4×4×4 = 64

Retour au sommaire

Problème n° 13

Exemple de solution :

Retour au sommaire

Problème n° 14

Solution :

Retour au sommaire

Problème n° 15

Solution :

Retour au sommaire

Problème n° 16

Réponse :

Je peux ainsi former trois carrés différents :

Retour au sommaire

Problème n° 17 (problème concernant les aires et les périmètres)

1°) Si on les colorie,

lesquelles useront le plus votre feutre ?laquelle usera le moins votre feutre ?

2°) Et pour les écrire, lesquelles useront le plus votre stylo ? lesquelles useront le moins votre stylo ?

Voici 6 voyelles :

Retour au sommaire

Solution :

1°) En prenant l’aire d’un « carreau » comme unité d’aire on trouve :

Aire de A = 12 Aire de E = 10 Aire de I = 9 Aire de O = 12 Aire de U = 11Aire de Y = 11Si on colorie les voyelles, c’est le A et la O qui useront le plus le feutre et c’est le I qui usera le moins le feutre.

2°) En prenant la longueur du côté d’un « carreau » comme unité de longueur trouve :

Longueur des traits composant le A = 24 Longueur des traits composant le E = 22Longueur des traits composant le I = 20 Longueur des traits composant le O = 24Longueur des traits composant le U = 24 Longueur des traits composant le Y = 20

Si on écrit les voyelles, c’est le A, le U et le O qui useront le plus le stylo et c’est le I et le Y qui useront le moins le stylo. Retour au sommaire

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :

1°) Aire totale de la figure = 10

2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5

3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

Problème n° 18 (problème concernant les aires)

Retour au sommaire

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en quatre régions de même aire.

Quelques réponses possibles :

Problème n° 19 (problèmes concernant les aires)

Retour au sommaire

Problèmes n° 20 (problème concernant les aires et la proportionnalité)

Un peintre a peint ces quatre figures A, B, C et D sur un mur, chacune avec une couche de peinture de la même épaisseur et d’une couleur différente :

Il a utilisé des pots de peinture de même grandeur : 18 pots de rouge pour une des figures,  21 pots de bleu pour une autre figure, 27 pots de jaune pour une autre figure, des pots de noir pour la figure qui reste. À la fin de son travail, tous les pots étaient vides.1. Indiquer la couleur de chaque figure.2. Combien de pots de peinture noire a-t-il utilisés ?

Retour au sommaire

Source : “Rallye Mathématique Transalpin” 9e RMT, épreuve II, Problème 12 (avec l’accord des auteurs que je remercie)

Solution :

Si on prend l’aire d’un carreau comme unité d’aire :

Aire de A = 8Aire de B = 7Aire de C = 9Aire de D = 6

18 pots de rouge pour une des figures,  21 pots de bleu pour une autre figure, 27 pots de jaune pour une autre figure, des pots de noir pour la figure qui reste.

Remarque : Aire de D < Aire de B < Aire de A < Aire de C

On teste les différentes possibilités et on garde celle qui convient (le nombre de pots de peintures utilisés pour peindre une surface doit être proportionnel à l’aire de cette surface) :

Retour au sommaire

Figures D B A C

Aire en unité d'aire 6 7 8 9

Nombre de pots 18 21 27 ?Nombre de pots par carreau 3 3 pas 3 ?

Aire en unité d'aire 6 7 8 9

Nombre de pots 18 21 ? 27Nombre de pots par carreau 3 3 ? 3

Aire en unité d'aire 6 7 8 9

Nombre de pots 18 ? 21 27Nombre de pots par carreau 3 ? pas 3 3

Aire en unité d'aire 6 7 8 9

Nombre de pots ? 18 21 27Nombre de pots par carreau ? pas 3 pas 3 3

1°) On a donc peint D en rouge, B en bleu et A en jaune.

18 pots de rouge pour une des figures,  21 pots de bleu pour une autre figure, 27 pots de jaunepour une autre figure, des pots de noir pour la figure qui reste.

2°) On a utilisé 3 pots par carreau. Pour peindre A en noir on a donc utilisé 8 × 3 soit 24 pots.

D. Pernoux http://pernoux.perso.orange.fr

Retour au sommaire