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Der axial pulsierend belastete Stab mit Endmasse Von E. Mettler und F. Weidenhammer in Karlsruhe

Wahrend man in der Theorie der axial pulsierend belasteten Stabe meist von einer End- masse am verschieblichen Stabende ganz abgesehen hat, sind die einzigen bisher bekannt ge- *ordenen Experimente von I. U t i d a - K. S e z a w a [l] und V. V. B o l o t i n [2] offenbar mit Endmassen ausgefiihrt worden, die ein Vielfaches der eigentlichen Stabmasse betragen haben. Zur befriedigenden Erklarung der Versuchsergebnisse erscheint es daher notwendig, von den Grundgleichungen der Stabkinetik ausgehend, den wesentlichen EinfluD der Endmasse auf die langserregten Stabquerschwingungen nachzuweisen.

Wenn u(a, t), w(x, t ) die Langs- und Querverschiebung der Stabachse bezeichnen und die in der Biegelehre ublichen Bezeichnungen verwendet werden, so lauten die Bewegungsgleichungen

E I u ~ S ~ ~ ~ + pwtt- E F = 0 . . . . . . . . . ( I ) ,

wozu noch stets die Handbedingungen

kommen. Die restliche, dynaniische Randbedingung fur das verschiebliche Stabende (x = 1) verlangt jeweils

w=wzx=O fur x = O , l und u ( x = O , t ) = O . . . . . . . * (3)

fur harmonische Endverschiebung: u(2, t ) = a, cos w t . . . . . . . . . * (4),

fur harmonische Endkraft: E F t~~ + - = - PI cos o t . . . . . . . . (5), ( 3 und bei einer Endmasse M mit harmonischer Endkraft :

E F ( u z + ?) - = - Pl cos w t - M Utt . . . . . . , . . . (6 ) .

in allen diesen Fallen ist zwar am Stabende eine pulsierende Axialkrzft vorhanden, doch sind die eintretenden Querschwingungen durch ihr uberlineares, lineares oder unterlineares Verhalten von- einander verschieden, wie sich zeigen wird.

Die nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen (1) und (2) lassen sich naherungsweiae h e n , wenn man die K i r c h h o f f s h e Annahme [3] einfuhrt, wonach die Stablangsdehnung E ( ~ ) == us + w;/2 nur von der Zeit, aber nicht von der Ortskoordinate x abhangt. Dann ergeben sich durch Integration uber die Stabliinge 2 und bei Beachtung von (3) fur die Stablangskraft die Beziehungen

1

S( t ) -EF\ t . odz=EF iJ

so daB (1) damit auf eine Integrodifferentialgleichung fur w(z, t ) allein zuruckgefuhrt werden kann :

Z X Uer Ansatz fur die Grundschwingung w = w,sin - * w ( t ) erfullt die Handbedingungen (3)

und fuhrt (8) mit dimensionslosen MaBen x und x B fur die Langserregerfrequenz UJ und die tiefste Biegeeigenfrequenz w1

1

&in Flachentragheitsradius iP, dem Schlankheitsgrad il und der dimensionslocen Zeitzahlung z = m t auf die Schwingungsgleichung

x2 W' + xag w + n 2 p 5 ' U w + w 3 = 0 . , . . . . . . (9) 1

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zuruck. Mit (7) 1aBt sich aber auch die Randbcdingung (6) als eine Schwingungsgleichung fiir u(2, t ) auffassen. Denn aus

folgt mit den1 obigen Ansatz fur w:

In (10) bezeiclinet y das Verhaltnis der Endmasse zur Stabmasse: Y = M / p I , wahrend die GroBen- ordnungen der Gleichungsterme in (9) und (10) durch die kleinen Faktoren u,Jl (u, Maximal- amplitude von u), (wrn/ip)2 (wm Maximalamplitude von w) und PJPE (PE E u 1 e r sche Knick- last) bestimmt werden.

Fur Stabe ohne Endmasse kann man unmittelbar aus den Schwingungsgleichungen (9) und (10) schon zu einer Aussage uber das Verhalten der Querschwingungen kommen. Fur vorge- gebene harmonische Endverschiebung (4) beschreibt namlich (9) spezielle, ausfuhrlich unter- suchte Schwingungen, von denen bekannt ist, daI3 sie eine uberlineare Frequenz-Amplituden- Kennlinie besitzen (vgl. die in [4] genannten Arbeiten). Die G1. (10) enthalt in diesem Falle kein Tragheitsglied (Y = 0) und sagt nur aus, dal3 zur Erzwingung einer harmonischen Endverschie- bung eine nicht harmonische Zwangskraft an Stelle von PI cos t erforderlich ist. Falls hingegen die Endkraft rein harmonisch ist (5), 1aBt sich u(1, t ) aus (10) wegen v = 0 bestimmen und in (9) einfiihren, was auf die M a t h i e u sche Differentialgleichung

P

fiihrt. Mit der K i r c h h o f f schen Annahme und auf Grund der Gln. (1) und (2) berechnen sich die Querschwingungen also noch aus der linearen G1. (1 l), so daB exponentiell anwachsende Schwingungen zu envarten waren. Die amplitudenbegrenzendep Nichtlineafitaten sind offenbar in diesem Falle eine GroBenordnung kleiner als bei harmonischer Endverschiebung, woraus sich auf die besondere Gefahrlichkeit einer Erregung durch eine harmonische Endkraft schliel3en 1aBt [4]. -

Fur Stabe mit Endmasse hat man die gekoppelten Schwingungsgleichungen (9) und (10) zu losen, wozu sich wegen der vorkommenden kleinen Parameter eine Storungsrechnung an- bietet. Nimmt man (wm/iF)* und u,/Z als von der GroBenordnung E = PJPz klein an, so kann

~2 W ' + x i W - n . 4 1 cos t W = o . . . . , . . . , . * (11) P E .

man zur Auffindung periodischer Losungen . .

X = X o + X 1 & f . . . , w = w,+ w,&+*'*, u = u , + u , i + . . .

ansetzen und die Gleichungen rekursibel auflosen. Zu dem Zweck wird von bezuglich der Langs- erregung halbperiodischen Querschwingungen ausgegangen: x , = 2 xB, W , = A sin t / 2 oder W , = A cos tl2. Sieht man von freien LBngsschwingungen ab, so ist uo = 0 und aus (10) 1aBt sich ul bestimmen. Damit kann dann auch (9) gelost werden, wenn man zur Vermeidung nicht- periodischer Losungsanteile x1 geeignet bestimmt. Beschrankt man sich auf diese erste Naherung, so lautet das Ergebnis, wenn alle Koeffizienten wieder in den ursprunglichen mechanischen GroDen ausgedruckt werden :

In (12) entspricht das Doppelvorzeichen den angesetzten beiden Losungstypen sin 712, cos 212, wahrend der linksseitig vorkommende Langsresonanznenner unter Beschrankung auf das erste Glied entwickelt worden ist, was bei den in [ 11, [2] vorkommenden Werten von v/A2 stets berechtigt sein durfte. Die Frequenz-Amplituden-Gleichung (12) beschreibt unterlineares Verhalten, da anwachsende Amplituden in der Nahe der doppelten Biegeeigenfrequenz o1 nur fur abnehmende Erregerfrequenzen moglich sind, was auch die in den eingangs genannten Experimenten [ 11, [2] gernessenen Frequenz-Amplituden-Kennlinien zeigen.

Fur verschwindende Endmasse (M = 0) fuhrt (12) auf den Fall harmonischer Endkraft zuruck und die Amplituden bleiben noch unbestimmt. Im Gegensatz hierzu fuhrt eine harmo- nische Endverschiebung auf mit wachsender Erregerfrequenz anwachsende Amplituden der Querschwingungen. In Bild 1 bis 3 sind die drei Fglle schematisch einander gegenubergestellt.

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Die vorstehenden Aussagen sind mit Hilfe der K i r c h h o f f schen Naherung fur die Langsdehnung gefunden worden. Nachtraglich 1aBt sich mit nun bekannter Funktion W(B, t ) in der von E. M e t t 1 e r [5] angegebenen Weise die Langsschwingungsgleichung (2) auflosen und prufen, inwieweit die Dehnung tatsachlich nur zeitabhangig ist. Man findet genau wie in [5] auch hier die Naherung als um so mehr berechtigt, je tiefer das Quadrat der Erregerfrequenz unter deia Quadrat der tiefsten Langseigenfrequenz des Stabes ohne Endmasse liegt, was fur schlanke Stabe stets in ausreichender Weise erfiillt sein diirfte.

A lAl .

W W

Bild 1. Harmonisehe Endversehiebung : Bild 2. Harmonisehe Endkraft: noch Bild 3 Endmasseund harmonische Endkraft: ilberlineare Quersehwingungen. unbegrenzt anwachsende Querschwingnngen. unterllneare Querschwlngungen.

In den Blldern 1 bis aslnd stabile Amplitden durch -, instabile durch - - - bezeichnet.

Wenn man an Stelle der K i r c h h o f f schen Naherung die weitergehende und nicht aus der Elastizitatstheorie begriindbare Annahme einer undehnbaren Stabmittelfaser einfiihrt, laat sich das Endmassen-Schwingungsproblem auch in anderer, mehr formaler, jedoch sehr kurzer Weise behandeln, wie dies K. S c h 1 e s i n g e r [6] fur freie Saitenschwingungen, J. J. G o 1 d e n b 1 a t [7] und V. V. B o 1 o t i n [2] fur langserregte Stabquerschwingungen getan hahen. Diese Undehn- barkeitsannahme E ( ~ ) = 0 liefert nun aus (7) die Beziehung

~ ( 1 , t ) = - r- /w:dz . . . . . . . . . . . . . . (13),

so daB die Endverschiebung durch die Querverschiebung ausgedruckt werden kann. Das kine- tische Potential der Stabschwingungen

7 1

0

1 I

0 0

und die virtuelle Arbeit der Dampfungskrafte der Querschwingungen 1

. . . . . . . . . . . . . 6A = --$/I 8w dx * (15) 0

Z X lassen sich mit (13) daher durch w(x, t) allein ausdriicken. Der Ansatz w = w, sin - w(t) gestattet dann auch hie? iiber die Lagrangeschen Gleichungen 1

Q verallg. Dampfungskraft

init (14) und .( 15) die Ruckfiihrung auf eine nichtlineare Schwingungsgleichung : (z)2 W" + 2 W' + (1 - E cos T) W + 2 [ W W ' 2 + W' W2] = 0 . . (16). X B

In (16) erscheint der TragheitseinfluB der Endmasse in eigentumlicher, nichtlinearer Weise. Setzt man kleine Dampfung b1 = P/,u wl, kleine Ltingserregerkraft E und kleine Maximalampli- tuden w,liF voraus, so kann man mit der Methode der langsam veranderlichen Phase und Am- plitude [S] die halbperiodischen Schwingungen von (16) auch bei Anwesenheit von Dampfungs- kraften berechnen. Man findet die Frequenz-Amplituden-Gleichung

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die ebenfalls unterlineares Schwingungsverhalten beschreibt und die fur verschwindende Damp- fung bemerkenswerterweise in die mit der K i r c h h o f f schen Naherung abgeleitete G1. (12) ubergeht.

Die Stabilitatseigenschaften der zu (17) gehorenden Schwingungen lassen sich fur die GI. (17) ebenfalls leicht berechnen. Man findet, daB nur der sin z/2-Schwingungstyp stabil ist, so daB die in Bild 3 eingetragenen Stabilitatsverhaltnisse bestehen.

Die Voraussetzung qz)= 0 gestattet nicht die Mitberucksichtigung der Langsschwingungen der Stabteilchen selber, da gemiiB (2) wegen qz) = u, + wi/2 notwendig das Tragheitsglied der Langsschwingungen ,u utt vernachlassigt werden mu13. Aus diesem Grunde mu13 in (14) die kine- tische Energie der Langsbewegung des Stabes unberucksichtigt bleiben, so daI3 in (16) kein Bei- trag von der Langstragheit der Stabmasse erscheinen kann.

Literatur [I] I. U t i d a und K. S e z a w a , Re . aeronaut. Res. Inst., Tokyo I Univ. 15 (1940), S. 193. [2] V. V. B o 1 o t i n , Sb. Popereiinye folebanija i kritiiieskie skorosti, ;z”ti: AN SSSR, Moskva, 1951, No. 1

(russisch). [3] G. K i r c h h o f f , Vorles. iiber math. Physik, 4. Aufl., Bd. 1, 8. 444. Leipzig 1897. [a] In den Arbeiten der Verfasser Ing..Arch. 20 (1952), S, 315; 23 (1965) S. 364 und 24 (1966), S. 63 wurden

Stabquerschwingungen rnit Ansiitzen berechnet, welche die dynamische Randbedingung (6) nur niiherungs- weise erfiillten. Diese Niiherun en haben sich durch die vorstehenden Betrachtungen insofern als un- zureichend erwiesen, ale drtdura% der Fall harmonischer Endversohiebungen (4) und nicht der der har- monischen Endkraft (5) tlngentihert wurde. Demnach hat man in den genannten Arbeiten die Liings- kraft P(t) durch die Lhngskrdt des nicht querausgelenkten Stabes - 1 P u(1, t)/2 zu ersetzen, wie man durch Vergleich mit der obigen Gleichung (9) erkennt. Alle Ergebnisse bleiben also erhalten, wenn man die Endverschiebung als harmonisoh vorgegeben ansieht.

[5] E. Me t t l e r , 2. tlngew. Math. Mech. 31 (1961), S. 263. [S] K. S c h l e s i n g e r , 2. techn. Physik 12 (1931), S. 33. [7] J. J. C o 1 d e n b 1 a t (1948), zitiert nach Prikladnaja matematika i mechanika 16 (1952), S. 645 (russisch). [8] Vergl. z. B. J. H a a g , Les Mouvements vibratoires, Bd. 1, S. 119, Paris 1952.

Aus dem Institut fiir Mechtlnische Schwingungstechnik der Technischen Hochschule Karlsruhe.

Spannungsoptische Untersuchungen von Platten mit veranderlicher D ike

Von H . Schwieger und G. Haberland in Erkner bei Berlin

Die Biegeplatten mit veriinderlicher Dicke haben vor langerer Zeit insbesondere durch R. Gran Olsson und in neuerer Zeit durch H. Favre eine theoretische Behandlung erfahren. Plattenprobleme dieser Art sind naturgemiiI3 schwieriger zu losen, da hier die Biegesteifigkeit ortsabhangig ist und demzufolge die aus den Plattengleichgewichtsbeziehungen abgeleitete Differentialgleichung fur die Durchbiegung komplizierter als bei Platten mit konstanter Dicke wird.

Die vorliegenden Untersuchungen zeigen, da13 mit Hilfe der Spannungsoptik eine voll- standige Bestimmung des Spannungszustandes bei Biegeplatten rnit ortsveranderlicher Dicke moglich ist. Als Versuchsbeispiel wurde eine quadratische Kragplatte rnit linear veranderlicher Dicke gewahlt, da bei den hier gegebenen Randbedingungen bisher keine exakte Losung bekannt geworden ist. Zur Anwendung gelangte das spannungsoptische Zweischichtverfahren, wonach die Platte aus zwei Schichten verschiedener Werkstoffe (Plexiglas und Modellwerkstoff VP 1527) mit unterschiedlichen spannungsoptischen Konstanten zusammengeklebt wurde. Durch vor- sichtige mechanische Bearbeitung erhielt die Platte einen vorgeschriebenen Keilwinkel. Die Klebeflache lag dabei in der Plattenmittelflache. In einer geeigneten Belastungsanordnung wurde dann die Kragplatte an ihrer dicken Seite eingespannt und auf der Symmetrielinie, in der Nahe des AuBenrandes, durch eine Einzellast belastet. Bei der Durchstrahlung dieser Zwei- schicht-Kragplatte mit linear polarisiertem Licht in Richtung ihrer Plattennormalen erhielt man im Gegensatz zu einer homogenen Platte einen spannungsoptischen Effekt. Aus den zu beob- achtenden Isoklinen und Isochromaten lieBen sich die Hauptbiegungsmomentenlinien und die Linien gleicher Haupttorsionsmomente gewinnen.

Zur Bestimmung der einzelnen Hauptbiegungsmomente wurde ein von den Verfassern ab- geleitetes Integrationsverfahren benutzt. Dieses gestattete, aus den spannungsoptischen Bestim- mungsstiicken, den Hauptmomentenrichtungen und den Haupttorsionsmomenten, zuniichst die Ersatzmomente und schlieBlich die Hauptbiegungsmomente zu berechnen.