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Departamento de Informática. Curso 2006-2007 1

LA UNIDAD ARITMÉTICA Y LÓGICA

LECCIÓN 4. CIRCUITOS ARITMÉTICOS DE SUMA Y RESTA DE ENTEROS


EL SEMISUMADOR BINARIO

S = ab’ + ba’ = a b C = ab


CIRCUITO DEL SEMISUMADOR BINARIO


EL SUMADOR BINARIO COMPLETO

S = a’ b’ c + a’ b c’ + a b’ c’ + a b c C = a’ b c + a b’ c + a b c’ + a b c


ECUACIONES DEL SUMADOR BINARIO COMPLETO

S = c ( a b ) C = a b + c ( a b)


OTRO CIRCUITO SUMADOR BINARIO


SUMADOR BINARIO PARALELO (CPA)

Tsumador = N x Tbit


CIRCUITO DE SUMA Y RESTA

A-B = A+(-B) = A+(B’+1) = A+B’+1


CIRCUITOS SUMADORES RÁPIDOS

La causa del retardo es la propagación del acarreo entre etapas.

Solución: cálculo anticipado del acarreo

Definimos

Gi = ai x bi variable generada

Pi = ai bi variable propagada


ECUACIONES DEL BIT DE CARRY

Sustituyendo estas variables en las ecuaciones lógicas del sumador binario tendremos:

Si = Pi ci

Ci+1 = ai bi + ci (ai + bi ) = Gi + ci Pi


ECUACIONES DEL BIT DE CARRY


CÉLULA SUMADORA RÁPIDA


CIRCUITO GENERADOR DE LLEVADAS


CIRCUITO SUMADOR CLA


SUMADORES RÁPIDOS DE 16 BITS

Circuito LAC de 16 bits es excesivamente complejo

Se buscan soluciones a partir de LAC de 4 bits

El problema es la generación anticipada de los carrys c4 , c8 , c12 y c16


CIRCUITOS LAC DE GRUPO

C4 = G3 + P3 G2 + P3 P2 G1 + P3 P2 P1 G0 + P3 P2 P1 P0 c0

Llamando G0

G = G3 + P3 G2 + P3 P2 G1 + P3 P2 P1 G0

P0G = P3 P2 P1 P0

Podemos escribir: C4 = G0

G + P0G c0


CIRCUITO SUMADOR RAPIDO DE 16 BITS

Generar las funciones G y P para cada bit a partir de a y b y el carry inicial

Generar las funciones G y P de grupo a partir de G y P

Generar los bits de carry de grupo (c4 , c8 , c12 , c16 )

Generar el resto de las llevadas Generar todos los bits del resultado


SUMADOR CON SELECCIÓN DE ARRASTRE


SUMADOR CON PUENTEO DE ARRASTRES


SUMADORES CONDICIONALES

Son una evolución de los sumadores con selección de llevada. Las ecuaciones de las salidas en función del carry entrante son:


CELULA DEL SUMADOR CONDICIONAL


SUMADOR CONDICIONAL DE 2 BITS


SEGUNDA ETAPA DE UN SUMADOR CONDICIONAL DE 4 BITS


SUMADOR CONDICIONAL DE 8 BITS


TABLA DEL SUMADOR CONDICIONAL


SUMADORES MULTIOPERANDO CSA


ARBOLES DE WALLACE



LECCIÓN 5. CIRCUITOS ARITMÉTICOS DE MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS


MULTIPLICACION DE NÚMEROS NATURALES


CIRCUITOS NMM


CÉLULA ELEMENTAL DEL MULTIPLICADOR


MATRIZ SUMADORA


MULTIPLICADORES DE 8 BITS


HARDWARE PARA ALGORITMOS DE MULTIPLICACIÓN


MULTIPLICACIÓN POR SUMA Y DESPLAZAMIENTO

Sea la operación 13x11


ALGORITMO DE MULTIPLICACIÓN POR SUMA Y DESPLAZAMIENTO

1. Inicialización: 0 A ; Multiplicando B ;

Multiplicador MQ ; N I2. Analizar bit MQ0

1. Si MQ0 = 0 Ir a 32. Si MQ0 = 1 (A) + (B) (A) e ir a 3

3. Desplazar C-A-MQ un bit a la derecha4. Decrementar I5. Comprobar I

1. Si I = 0 Terminar2. Si I 0 Ir a 2


EJEMPLO


ALGORITMO DE ROBERTSON

Sirve para multiplicar un número positivo y un número negativo


ALGORITMO DE ROBERTSON

Sólo sirve para el caso de multiplicando positivo y multiplicador negativo.

Para los n-1 primeros bits del multiplicador se utiliza el algoritmo anterior.

Para el bit de signo del multiplicador se pone el complemento a dos del multiplicando

El resultado es un número negativo


JUSTIFICACIÓN DEL ALGORITMO DE ROBERTSON


REGLA DE LA CADENA


MULTIPLICADORES BINARIOS RECODIFICADOS

Recodificar el multiplicador para evitar las cadenas de “1”

Efectuar la multiplicación tradicional donde el sumando correspondiente es 0, Mcando ó-Mcando en función de que el bit correspondiente del multiplicador sea 0, 1, -1.

Tenemos presente siempre la necesidad de extender el signo en los sumandos.


ALGORITMO DE BOOTH


DIAGRAMA DE FLUJO


CASOS ESPECIALES

Caso de “1” aislado 00100 01-100 00100 Solución: No codificar

Caso de “0” aislado 11011 0-1100 00-100 Solución : Cambiar el 0 por –1


OTRA RECODIFICACIÓN DEL MULTIPLICADOR


ALGORITMO DE SOLAPAMIENTO DE TERNAS

1. Inicialización ( Similar a casos anteriores salvo que ahora N/2 I)

2. Analizar el valor numérico de MQ1 – MQ0 – MQ-1 y actuar como en la tabla precedente

3. Desplazamiento aritmético de A-MQ de 2 bits a la derecha.

4. Decrementar I5. Si I0 ir a 2, en otro caso Fin.


DIAGRAMA DE FLUJO


CIRCUITOS MULTIPLICADORES EN COMPLEMENTO A DOS


MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS CON SIGNO


PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA


POSIBLE SOLUCIÓN


MULTIPLICADOR DE PEZARIS


ALGORITMO DE BAUGH-WOOLEY


MULTIPLICADOR DE BAUGH-WOOLEY



LECCIÓN 6. CIRCUITOS ARITMÉTICOS Y ALGORITMOS DE DIVISION DE ENTEROS


ALGORITMO DE DIVISIÓN CON RESTAURACIÓN

Es el algoritmo de división convencional. Los pasos a seguir son los siguientes:1. Inicialización: Dividendo MQ ; Divisor B ; N I

; 0 A 2. Desplazamiento de A-MQ a la izquierda 1 bit.3. Restar A-B A4. Comprobar si A<0 :

1. Si es cierto Restaurar el dividendo A+ B A2. Si no es cierto 1 MQ0

5. Decrementar contador I6. Comprobar si I =0

1. Si es cierto FIN2. Si no es cierto Ir al paso 2

Al final de la operación tenemos el cociente en MQ y el resto en A.


EJEMPLO


ALGORITMO DE DIVISIÓN SIN RESTAURACIÓN

Es una mejora del algoritmo anterior que se basa en lo siguiente: si seguimos el diagrama de flujo del algoritmo sin restauración a partir del momento en que se comprueba el valor del bit de menor peso del divisor la operación a realizar es : Si A > 0 desplazamos (2ª) y restamos

(2A – B) Si A < 0 sumamos B (A + B),

desplazamos 2(A + B) y restamos B (2A + B)


ALGORITMO DE DIVISIÓN SIN RESTAURACIÓN

1. Inicialización: Dividendo MQ ; Divisor B ; N-1 I ; 0 A

2. Desplazamiento a la izquierda de A-MQ3. Restar A-B A4. Analizar A:

1. Si A <0 desplaz a la izquierda de A-MQ y sumar A+B A

2. Si A >0 1 MQ0 desplaz a la izquierda de A-MQ y restar A-B A

5. Decrementar el contador I6. Si I >0 ir a 47. Analizar A:

1. Si A <0 sumar A+B A2. Si A >0 1 MQ0

8. FIN


EJEMPLO


MÉTODO DE DIVISIÓN POR CONVERGENCIA


ELECCIÓN DE LOS VALORES DE Ri


DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROCESO


METODO DE DIVISIÓN MEDIANTE EL INVERSO DEL DIVISOR


APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON


ELECCIÓN DEL VALOR INICIAL


PROCEDIMIENTO DE CALCULO DEL INVERSO


DIAGRAMA DE FLUJO


CELDA BÁSICA DEL DIVISOR COMBINACIONAL


DIVISIÓN COMBINACIONAL



LECCIÓN 7. ARITMÉTICA DE PUNTO FLOTANTE


REPRESENTACION BINARIA DE NUMEROS REALES

Un número real consta de parte entera y parte fraccionaria y su representación binaria es la siguiente:

En la práctica para representar en binario un número real trabajamos por separado con su parte entera y su parte fraccionaria


EJEMPLO

Sea por ejemplo 23.85 La parte entera 23 = 10111 y la parte fraccionaria la pasamos a binario multiplicando por 2 y quedándonos con la parte fraccionaria:

.85 x 2 = 1.70 .70 x 2 = 1.40 .40 x 2 = 0.80 .80 x 2 = 1.60 .60 x 2 = 1.20 .20 x 2 = 0.40 .40 x 2 = 0.80 Luego 0.85 = 0.1101100 ….

Por tanto 23.85 = 10111.1101100


REPRESENTACION NORMALIZADA. NORMA IEEE-754

En simple precisión la longitud de palabra es de 32 bits

Vemos que la mantisa está normalizada de modo que 1 F 2 y que el exponente se almacena en exceso a 127 para evitar tener que usar otro bit de signo


REPRESENTACION NORMALIZADA. NORMA IEEE-754

En doble precisión la longitud de palabra es 64 bits

Ahora el exponente está en exceso a

1023 y la mantisa está normalizada lo mismo que en el punto anterior


REPRESENTACION APROXIMADA DE NUMEROS REALES

Rango : Nos da el conjunto de intervalos donde existen números representables, depende del exponente

Precisión : Nos da la diferencia entre dos números representables consecutivos, depende del número de bits de la mantisa.

El rango y la precisión son conceptos antagónicos pues para mejorar la precisión habría que aumentar la mantisa y por tanto reducir el exponente lo que lleva a una disminución del rango.


TIPOS DE NUMEROS REALES

Normalizados: 0 < E < Emax 1 1.F < 2

Cero : E = 0 F = 0 (-1)S x 0 existe +0 y –0

Infinitos E = 255 F =0 (-1)S x existe +infinito y – infinito

No reales ( not a number) E = 255 F >0

Denormales E = 0 F > 0


SUMA Y RESTA DE NÚMEROS EN PUNTO FLOTANTE

Alinear mantisas : Tomar el número con menor exponente y desplazar su mantisa a la derecha hasta igualar los exponentes

Sumar o restar mantisas Normalizar el resultado si fuera

necesario Redondear la mantisa al número de bits

apropiado Normalizar si fuera preciso


MULTIPLICACION Y DIVISIÓN DE NÚMEROS EN PUNTO FLOTANTE

Sumar o restar los exponentes (y restar o sumar el exceso)

Multiplicar o dividir las mantisas Normalizar el resultado Redondear la mantisa al número

apropiado de bits Normalizar si es preciso Determinar el signo del resultado

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