dentures droites

Construction Mécanique

2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES À DENTURE DROITE Les flancs des dents (profils) sont en développante de cercle

2.1. NATURE DES PROFILS EN DEVELOPPANTE DE CERCLE Soit 2 cercles C1 et C2 sur lesquels s’enroule un fil, un point M du fil décrit dans C1 la courbe P1 et dans C2 la courbe P2

O1

O2

H1

H2

P2

P1

r2

r1

rb2

rb1

C1

C2

ligne de pression

IM

Figure 2-1 : présentation des profils en développante de cercle

cteHOHO

==22

11

1

2

ωω les courbes P1 et P2 restent tangentes en M.

Terminologie :

primitifs rayons 22

11 ⇒==

rIOrIO

base de rayons⇒==

222

111

rbHOrbHO

t: menfonctionne de pressionde angle α t2121 menfonctionne de entraxe =+== rraOO

αcos)()(

22

11 ⋅=⇒==

rrbrfrbrfrb

Remarques : Les profils conjugués en développante de cercle sont définis à partir des cercles de

base (i.e. par rb) Ces profils sont des courbes parallèles.

2.2. PROPRIETES DES DEVELOPPANTES DE CERCLE

ENSETP - 5 - S. AGBANGLANON

2.2.1. Angle de pression / droite de pression L’angle de pression α est constant → existence d’une droite (ou ligne) de pression fixe. Si les frottements sont négligés, alors l’action de 2/1 sera portée par la ligne de pression.

{ } cte=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=0

12

12 r

rR

IT si le couple d’entrée est constant


2.2.2. influence de la variation d’entraxe Quel que soit l’entraxe , les profils restent conjugués. aQuel que soit l’angle de pression α, αcos21 ⋅=+ arbrb

2.2.3. conditions d’engrènement

A2 B2

H2

H1

B1A1

IMN

Figure 2-2

pour réaliser un engrenage il faut :

une succession de profils un pas de base ( ) identique pour les deux roues pour éviter des heurts lors

de l’engrènement MNPb =

)(rbfPb = 2211 BABAMN))

==

1111 θ⋅= rbBA)

avec 1

22zπθ =

z1 étant le nombre de dents de la roue 1 et z2 celui de la roue 2

2

2

1

1 22z

rbz

rbPb ⋅=

⋅=

ππ


2.2.4. Module de référence / module de fonctionnement Le pas sur le cercle primitif est le pas primitif

2

2

1

1 22z

rz

rP ⋅=

⋅=

ππ

En multipliant dans la première égalité ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

1

21zz au numérateur et au dénominateur

du second terme, on obtient :

21

1

21

1

21

1

21 12

1

12

zzzz

r

zz

z

zz

rP

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅

=ππ

or ( )2121

21

1

2

2

1 22zza

zzrrP

rr

zz

+⋅

=++⋅

=⇒=ππ

21

2zzaP

+⋅

=π


On définit le module m tel que :

zdPm ==

π m est le module de fonctionnement

alors 2

zmr ⋅=

et απα coscos ⋅⋅=⋅= mPPb Remarque :

Le module n’est pas une grandeur intrinsèque à un pignon ou une roue, il est relatif à un engrenage, i.e. deux roues qui engrènent l’une avec l’autre. Le module de fonctionnement n’a aucune réalité physique, c’est le module de référence (m0) et l’angle de référence (α0) qui caractérisent l’outil de taillage qui ont une signification physique.

2.2.5. conclusion

2 roues ayant des profils en développante de cercle engrènent ⇒ aPbPbPb ∀== 21

Le nombre de dents z, le module de référence m0 associé à α0 permettent de définir les profils d’une roue.

00 cos2

α⋅⋅= mzrb 2

2100

zzma +⋅= 00 coscos αα ⋅=⋅ aa

Les caractéristiques de référence sont définies par le taillage (l’usinage).

2.3. GENERATION DES PROFILS EN DEVELOPPANTE DE CERCLE

2.3.1. Génération

Pb

P0

0

H

BA

I

( )

(D)

P

M

N

Figure 2-3

La droite (D) roule sans glisser sur le cercle pri mitif. Une droite (Π) est liée à (D) au point P, le point M décrit une développante de cercle de rayon OH

0cosα⋅= IPIM

2.3.2. Caractéristiques de taillage Le solide composé des droites (D) et (Π) est nommé crémaillère de taillage

existence d’une ligne primitive de taillage


munie d’une succession de profils inclinés d’un angle α0 par rapport à la verticale


les profils sont espacés d’une valeur P0 P0 : pas primitif de taillage

zr

P 00

2 ⋅=

π et

00

00

00

coscos

2

αα

⋅=⋅=

⋅=

rrbPPb

zmr

2.4. DEFINITION NORMALISEE D’UN ENGRENAGE 2.4.1. Crémaillère normalisée

Tracé de référence : tracé de section de crémaillère utilisé comme base pour la définition des dimensions de denture s normalisées d’un système de roues à développante.

Crémaillère de référence : crémaillère fictive ayant le tracé de référence pour section droite.

ligne de référence

limite de profil rectiligne

m0

R=0.38 m0

1.25

m0

m0

=20°

P= m0

S=0.5m0 E=0.5m0

Figure 2-4 : présentation de la crémaillère de référence

la crémaillère de taillage est la crémaillère complémentaire de la crémaillère de référence. les valeurs du module de référence m0 sont normalisées et choisies dans la série Renard :

Série 1 0,5 0,6 0,8 1 1,25 1,5 2 2,5 3 4 5 6 8 10 12 16 20 25 32 40 50Série 2 0,55 0,7 0,9 1.125 1,375 1,75 2,25 2,75 3,5 4,5 5,5 7 9 11 14 18 22 28 36 45

2.4.2. Dentures déportées

Figure 2-5 : épure du taillage avec déport positif

Au cours du taillage le plan de référence de l’outil est distant de 0mx ⋅=δ du cylindre primitif de taillage ( ). Le coefficient de déport x est compté positivement lorsque l’outil s’éloigne du centre du pignon.

zmd ⋅= 0

x>0 : l’outil s’écarte du centre du pignon x<0 : l’outil se rapproche du centre du pignon

ENSETP - 8 - S. AGBANGLANON x=0 : pas de déport, plan de référence tangent au cylindre primitif de taillage.


Le déport de denture permet une optimisation des engrenages afin : d’éviter les interférences de taillage pour des nombres de dents faibles d’obtenir des rapports de conduite suffisants d’adapter l’entraxe de fonctionnement d’éviter les interférences de fonctionnement d’équilibrer les usures (glissement spécifique) d’obtenir une géométrie de dent correcte.

En pratique tous ces critères ne peuvent être optimisés simultanément, en fonction des applications certains seront privilégiés au détriment d’autres. La norme propose ci-dessous des recommandations pour le choix des déports (dentures droites ou hélicoïdales). Seulement en dehors de ces limites le choix des coefficients de déport requiert une étude spéciale plus pointue.

Figure 2-6 : influence du déport sur certaines caractéristiques de l’engrenage

Figure 2-7 : influence du déport sur la géométrie de la dent

2.4.3. Définition normalisée d’un pignon

saillie : ( )xmmh a +=+= 1000 δ creux : ( )xmmh f −=−⋅= 25.125.1 000 δ hauteur de dent : 0000 25.2 mhhh fa ⋅=+=

largeur de dent au cercle primitif : ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+=⋅⋅+

⋅= 000

00 tan2

2tan2

2απαδ

πxm

mS

largeur du creux au cercle primitif : ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅−= 000 tan2

2απ xmE


0000 mPSE ⋅==+ π


Un pignon normalisé est complètement défini par : Son nombre de dents z Son module de taillage (de référence) m0 L’angle de pression de taillage α0 Le coefficient de déport x

Application :

e

2

1

2

3

4

1. déterminer l’entraxe de référence. 2. déterminer les caractéristiques de taillage des pignons

1 et 2. 3. déterminer l’entraxe de fonctionnement. 4. pour z3= 31 dents et z4=13 dents, déterminer N4

2.4.4. Roue à denture intérieure

Dans un tel cas le pignon et la roue tournent dans le même sens. Les flancs de dents d’une roue intérieure sont concaves

Figure 2-8 : engrenage intérieur

Ce type de denture est usiné à l’aide d’un outil pignon

saillie : ( )xmmh a −=−= 1000 δ creux : ( )xmmh f +=+⋅= 25.125.1 000 δ la saillie est ici située du coté du pied de la développante de cercle

2.5. GEOMETRIE DES DENTURES EN DEVELOPPANTE DE CERCLE

2.5.1. Equation de la développante

(D)

M

θO1

P

rb

T

Figure 2-9 : développante de cercle


N1=200 tr/min Z2=17 dents x1=0.15 α=19.61Z1=32 dents x2=0.25 m0=1.5


Equation paramétrique en coordonnées polaires soit le paramètre ρα , il s’agit d’exprimer ρθ et en fonction de ρα .

( )

ρ

ρ

α

θα

tan ⋅=

+==

rbrbTPMT

)

ρρρ αααθ inv=−= tan

ρα

ρcos

rb=

2.5.2. Epaisseur curviligne d’une dent en fonction de ρS ραρ et ,Sb

ABS)

⋅= 2ρ

MB

θO1

médiatrice de la dent

B

AC

A

CACBAB)))

−=

βρ ⋅=CB)

et rb

Sb⋅

=2

β

rbSbCB ⋅=⇒ ρ

21)

ραρθρ invCA ⋅=⋅=)

Figure 2- 10 :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅= ρρ αρρ inv

rbSbS

212

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−= ρρ αρ inv

rbSbS 2

Par analogie

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−= 000 2 αinv

rbSbrS

rbSbinv

rS

=⋅+⇒ 00

0 2 α

Il vient

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅+= ρρ ααρ invinv

rS

S 00

0 2


2.6. CARACTERISTIQUES DE FONCTIONNEMENT Pour un engrenage constitué de 2 roues 1 et 2, après fabrication on connaît :

2100201021 et x, x, α, r, r, m, zz Il s’agit de connaître les caractéristiques de fonctionnement : . , α, ra, m, r 21

Posons la condition impérative de fonctionnement sans jeu. mPSS ⋅==+ π21

Ainsi on a

⎩⎨⎧

⋅=⋅⋅=+

00

21

coscos ααπ

aamSS

Où ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅+= αα invinv

rS

rS 001

0111 2 et ( )⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅+= αα invinv

rS

rS 002

0222 2

en posant 2

et 2

22

11

zmrzmr ⋅=

⋅= et en faisant la somme 21 SS + nous avons :

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅+

⋅+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅+

⋅=⋅ ααααπ invinv

rSzminvinv

rSzmm 0

02

0220

01

011 22

22


de même en posant ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+= 01001 tan2

2απ xmS , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+= 02002 tan2

2απ xmS ,

2et

220

0210

01zm

rzm

r⋅

=⋅

=

il vient ( ) ( ) ( ) 0tan2 021210 =−⋅+++⋅⋅ ααα invinvzzxx

d’où ( )( )21

2100 tan2

zzxxinvinv

++

⋅⋅+= ααα

qui est la relation de fonctionnement sans jeu pour un engrenage Cette relation permet de calculer les caractéristiques de fonctionnement théorique sans jeu en définissant l’angle de pression de fonctionnement α. L’écriture des entraxes de fonctionnement sans jeu et de celui théorique conduit à : α 0 α

( )αcos2

212121

rbrbzzmrra +=

+⋅=+= et ( )

0

2121002010 cos2 α

rbrbzzmrra +=

+=+=

Ainsi : αα

coscos 0

002

2

01

1

0

====mm

rr

rr

aa

Remarques :

Pour un engrenage pignon (1) – roue (2) à denture intérieure :

( )( )12

1200 tan2

zzxxinvinv

−−

⋅⋅=− ααα

engrenage non corrigé →== xx 021

engrenage corrigé sans variation d’entraxe →⎭⎬⎫

=+≠≠

xx

xx0

0et 0

21

21

engrenage corrigé avec variation d’entraxe →≠+ xx 021

2.7. METROLOGIE DES ENGRENAGES

2.7.1. Pignon à denture extérieure Le principe repose sur le fait qu’il existe toujours deux profils ayant une normale commune La cote séparant les deux normales est appelée cote sur k dents kE


a) Détermination de k

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−=

zk πβ 21

( )zz

k ππα +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−=

212 0

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−=

zk πα 122 0

Alors 12

2 0 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅

=παz

k

D’où 210 +

⋅=

παz

k dans la relation ci contre 0α doit être en radian


On choisit la valeur entière la plus proche du résultat pour k.

O

Ek

A B

B'A'

π/z

β

2α0

α0α0

Figure 2-11 : cote sur k dents pour un engrenage extérieur

b) Détermination de kE

kE permet le calcul du coefficient de déport BCCABABAEk

)))+==′′=

( ) ( ) 00 cos11 απ ⋅⋅⋅−=−= mkPbkCA)

et ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+== 0

0

0 2 αinvrS

rbSbBC)

avec ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+= 000 tan2

2απ xmS

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅++⋅⋅⋅−= 00

0

000 2tan2

2cos)1( ααπαπ invx

rm

rbmkEk

00000 sin2)21(cos ααπα ⋅⋅⋅+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅+⋅−⋅= xminvzkmEk

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅+⋅+⋅−⋅= 0000 tan2)

21(cos ααπα xinvzkmEk

2.7.2. Cote sur piges Seule méthode utilisable pour les dentures intérieures, 2 cas peuvent se présenter

Z pair (figure 2-12) ( )RC Gp −⋅= ρ2

Où R est le rayon de la pige


Z impair (figure 2-13)


( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

=

2cos

2

2cos z

Rz

CC Gp

i πρ

π

GG

rbα

ρcos

=

O

ρG

Cp

z impair

Ci

O

ρG

πz/2

Figure 2-12 : cote sur piges pour un nombre de dents

pair Figure 2-13 : cote sur piges pour un nombre de dents

impair

Détermination de Gα

G

A

rb

ρG

PGK

R

αG

θG

On fait rouler la pige sur le flanc de la dent alors G décrit une courbe parallèle au flanc

APPKAK G

)))+=

RrbSb G +⋅= θ21

Avec GG invαθ = Ainsi

rbRSbinv G

121

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=α


Figure 2-14 :


2.8. CONDUITE 2.8.1. Engrenage extérieur

Premier contact au point A → longueur AI → conduite d’approche Dernier contact au point B → longueur IB → conduite de retraite

totale conduite delongueur =+= IBAIAB (longueur d’action. Symbole : ) αgPour avoir une continuité du mouvement il faut que :

PbAB ≥ Rapport de conduite :

PbAB

=αε

En fonctionnement courant 3,1=αε

O2

ω2

B

A

I

H1

H2N2 M2

ra1 r1

rb1

rb2

ra2r2

O1

Figure 2-15 : Expression des longueurs de conduite

A AIB += IBIHAHAI 11 −=


111112

12

12

1 et cosor aaa hrrrrbrbrAH +=⋅=−= α


( ) α221

211

21 cos ⋅−+= rhrAH a

( ) α221

2111 cos ⋅−+= rhrAH a

αααα sintancostan 1111 ⋅=⋅⋅=⋅= rrrbIH

D’où ( )[ ] αα sincos 1

21221

211 ⋅−⋅−+= rrhrAI a

De même IHBHIB 22 −=

( )[ ] αα sincos 2

21222

222 ⋅−⋅−+= rrhrIB a

On a απ cos⋅⋅= mPb

Et απαε cos⋅⋅

+=

mIBAI

En posant m

hY

mh

Y aa 22

11 ==

2

22

1

11

YzN

YzN ==

Il vient 2211 UYUY ⋅+⋅=αε

Où ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++

⋅= αα

απsin

2sin

41

cos1 1

21

22

111

NNNU

Et ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++

⋅= αα

απsin

2sin

41

cos1 2

21

22

222

NNNU


2.8.2. Engrenage intérieur La roue 1 est celle à denture extérieure et la roue 2 est celle à denture intérieure De manière analogue aux engrenages extérieurs on a :

BIAIAB ′+= Avec ( )[ ] αα sincos 1

21221

211 ⋅−⋅−+= rrhrAI a

Et ( )[ ] 2122

22

222 cos sin αα ⋅−−−⋅=′ rhrrBI a En posant toujours

mh

Ymh

Y aa 22

11 == (négatif) (positif)

2

22

1

11 Y

zNYzN ==

Nous parvenons à une expression de la forme 2211 UYUY ′⋅+⋅=αε

Avec ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++

⋅= αα

απsin

2sin

41

cos1 1

21

22

111

NNNU

Et ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⋅−⋅

⋅=′

21

22

222

2 1sin4

sin2cos

1 NNN

U αααπ

dentures droites

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