deformación debida a la flexión

Deformación debida a la Flexión Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos

El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.

Ing. Gabriel Pujol

Año de edición 2016

Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico)

Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol

Tabla de contenido

DEFORMACIÓN DEBIDA A LA FLEXIÓN – ELÁSTICA DE UNA BARRA 3

CONCEPTOS GENERALES 3 RADIO DE CURVATURA 3 DESPLAZAMIENTO VERTICAL 4 DESPLAZAMIENTO ANGULAR 4 ECUACIÓN DE LA ELÁSTICA 5 DIMENSIONAMIENTO DE UNA VIGA A PARTIR DE LA FLECHA 6 MÉTODO DEL ÁREA DEL DIAGRAMA DE MOMENTOS 7 MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA 11 TEOREMA DE CASTIGLIANO 13

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 24


Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12



Deformación debida a la Flexión – Elástica de una barra

Conceptos Generales

Las piezas flexadas sufren desplazamientos o deflexiones, cuyo control es tan importante para garantizar el buen comportamiento estructural como la verificación de la resistencia. Cuando la estructura presenta deformaciones excesivas, la percepción de las mismas por parte de los usuarios genera en éstos una sensación de alto riesgo.

Los elementos de máquinas, debido a grandes deflexiones pueden presentar desgastes prematuros u originar efectos vibratorios inadecuados.

Se denomina elástica de una viga solicitada a flexión a la curva que adopta la fibra neutra bajo la acción de las cargas exteriores.

Radio de Curvatura

Consideremos una viga sometida a flexión, empotrada en un extremo y libre en el otro. Sea CDEF un tronco de viga de longitud unitaria y xx la fibra neutra (figura a).

Bajo la acción de las cargas, la fibra neutra adopta una determinada curvatura (figura b). Hemos visto que la fibra neutra no experimenta variación de longitud, en cambio la fibra más alejada experimenta un alargamiento total:

d1

de los triángulos semejantes OCE y OC’E’ se deduce que:

v

EC

CE

''

o bien:

11

1

vd

vd

La ecuación (1) mide el aumento de longitud de la

fibra situada a la distancia + v del centro de

curvatura O. Conforme a la Ley de Hooke la tensión de dicha fibra es:

vEE max que debe igualar a: v

I

Mmax de donde:

21

IE

M

; o también 3

M

IE



La expresión (2) expresa la curvatura elástica de flexión y la (3) el radio de curvatura de la misma.

Desplazamiento vertical

De la figura de la página siguiente resulta:

4 dxtgxdf

df mide el descenso del extremo libre B, originado por el momento flexor Mx que se produce a la distancia x del extremo B. En el triángulo OCD se tiene:

dxdddx

que reemplazado en la (4) resulta:

dxxdf

Por último, sustituyendo el valor de por el de la

expresión (3), se tiene:

dxIE

xMdf x

el descenso total o flecha máxima se obtiene en el extremo libre como la suma de todos los df dados. Luego:

l

x

l

dxIE

xMdff

00

Reglamentariamente se fijan valores para las flechas admisibles, así se tiene:

tinglados, galpones, vigas de entrepiso 1/400 a 1/600 de la luz.

vigas de puentes ferroviarios 1/900 a 1/1200 de la luz.

ejes de volantes 1/2000 de la luz.

Desplazamiento angular

De la expresión (4) se tiene:

x

dfddxdf ; y reemplazando df por su valor será:

dxIE

M

x

dfd x



que determina el desplazamiento angular, expresado en radianes, de la fibra media, entre dos secciones infinitamente próximas. Integrando resulta:

l

x

l

dxIE

Md

00

valor del ángulo de la tangente a la elástica en B, respecto a la fibra neutra.

Ecuación de la Elástica

Cuando una viga está sometida a la acción de una cupla, flexiona, deformándose. El eje primitivamente recto toma la forma de una curva, llamada línea elástica.

Para deducir la ecuación de la elástica vamos a suponer que las deformaciones son pequeñas. Además solo consideramos las deformaciones debidas a los momentos flectores.

Adoptamos un par de ejes coordenados, de manera que el eje “Z” coincida con el eje primitivo de la pieza y el origen, con un punto de éste (apoyo A). Las ordenadas a la elástica referidas al eje “Z” se las denomina habitualmente flechas.

Tomando sobre la elástica dos puntos a y b, separados por una

distancia dz, y designando con el ángulo que forma la

tangente a la elástica en el punto a con respecto a la horizontal

y con d el ángulo que forman entre sí las normales a la elástica trazadas en a y b, las que se cortan en un punto C,

siendo la distancia Ca el radio de curvatura , tendremos:

ds

ddds

1

pero por ser un ángulo pequeño

1

1

2

2

dz

dy

dz

d

dz

dytg

ydz

ddzds

Designamos como positivo el momento flexor que deforma la pieza presentando la concavidad hacia arriba, y negativo en el caso contrario.



Para los ejes coordenados elegidos vemos que a valores crecientes de z corresponden valores

decrecientes de . En consecuencia, en la ecuación anterior debemos afectar al primer término de un

signo menos, así:

112

2

dz

dy

dz

d

Introduciendo esta expresión en la ecuación de alargamientos y tensiones (2) tendremos:

IE

M

dz

yd

IE

M

dz

yd

2

2

2

21

Dimensionamiento de una viga a partir de la flecha

En muchos casos conviene determinar el perfil de una viga solicitada a flexión simple, fijando previamente la flecha máxima de deformación vertical.

Como las fórmulas que fijan el valor de la flecha dependen de la luz de la carga, del módulo de elasticidad (todas magnitudes conocidas) y el momento de inercia del perfil (magnitud desconocida); este último podrá deducirse.

1. Ejemplo de Aplicación

Calcular el perfil normal doble T necesario para que en una viga de 6 m de luz, soportando una carga de 5 ton en su mitad, se origine una

flecha no superior a 1 cm. Adoptar como adm =

1 ton/cm y E = 2100 ton/cm2.

1.1. Resolución

Siendo la expresión de la flecha:

2

0

l

x dxIE

xMf

y teniendo presente que:

IE

lPf

IE

xPdx

IE

xxPf

xPM

ll

x

48622

32

0

32

0

despejando J tendremos:

fE

lPI

48

3

y siendo 4

max

lPM

será:

fE

lMI

12

2

max

reemplazando valores será:



4

2

33

10714

1210048

6005

48cm

cmcm

ton

cmton

fE

lPI

De las tablas de perfiles, puede elegirse un PN doble T 32 con un Wx = 782 cm3. Ahora, será necesario verificar la tensión efectiva o de trabajo:

22

3

max

1000960

7824

60050001

4

cm

kg

cm

kg

cm

cmkg

W

lP

W

M

admef

xx

ef

Método del área del diagrama de momentos

1. Teoremas del área del diagrama de momentos reducidos

Si relacionamos las ecuaciones analizadas precedentemente llegamos a la siguiente expresión:

IE

M

ds

d

y siendo dzds obtenemos: )5(dz

IE

Md

Consideremos una porción de línea elástica comprendida entre dos puntos cualesquiera A y B, tal como se indica en la figura. Las tangentes a la línea elástica en los puntos extremos, indicadas a través de las segmentos AB’ y A’B, forman

entre si un ángulo que suponemos

pequeño.

Supongamos que el diagrama entre los puntos A1 y B1 es el diagrama de momentos flectores dividido por E.I correspondiente a la estructura que presenta la elástica supuesta. A este diagrama lo denominaremos “diagrama de momentos reducidos”.

Si consideramos dos secciones de la elástica muy próximas, separadas entre si ds, ambas

secciones presentan un giro relativo d. En

virtud de la ecuación (5) ese valor resulta ser igual al área de la franja rayada del diagrama de momentos reducidos. Luego, si integramos

la ecuación (5) obtenemos el ángulo que

forman las tangentes externas.

B

Adz

IE

M

El resultado de la integral dada por esta ecuación no es sino el área del diagrama de momentos reducidos, con lo cual puede enunciarse el siguiente teorema:



TEOREMA I: “El ángulo comprendido entre dos tangentes en dos puntos cualesquiera A y B de la línea

elástica, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos reducidos.”

Consideramos nuevamente la figura y observemos el segmento BB’. Podemos apreciar que cada

segmento ds de la elástica contribuye a la longitud f en una cantidad dfdz

Luego, integrando estas distancias podemos obtener el valor de f.

B

A

B

A

B

AdzzM

IEfdzz

IE

Mdzf

1bien o)6(

Dado que dzIE

M

es el área de la franja rayada del diagrama de momentos reducidos, la integral de la

ecuación (6) resulta ser el momento estático con respecto a B del área del diagrama de momentos reducidos. Esto último permite enunciar el siguiente teorema:

TEOREMA II: “Dado dos puntos A y B pertenecientes a una línea elástica, la ordenada de B respecto a la tangente en A es igual al momento estático con respecto a B del área de momentos reducidos comprendida entre A y B.”

El momento estático recientemente mencionado puede calcularse en forma muy simple multiplicando el área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B por la distancia a su centro de gravedad. Por otro lado, si la figura que representa el diagrama puede descomponerse en figuras elementales tales como rectángulos, triángulos, parábolas, etc., el momento estático total resultara ser la suma de los correspondientes a cada una de las figuras elementales.

Una observación muy importante en cuanto a la aplicación de los teoremas anteriores es que cuando la elástica tiene un punto de inflexión el diagrama de momentos reducidos cambia de signo, en ese caso cada parte del diagrama debe tratarse con su propio signo.


En este caso vamos a determinar la flecha

y el ángulo en el borde libre de la

estructura en voladizo de la figura. Dado que la tangente a la elástica en B coincide con el

eje no flexado de la viga, la flecha resulta

ser el desplazamiento de A respecto a la tangente en B. Aplicando entonces el Teorema II tenemos:

Área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B:

IE

LP

IE

LPLA

2

2

1

2

1

Distancia a su centro de gravedad: LdG 3

2

IE

LPL

IE

LP

32

3

1

3

2

2

1



Idénticamente, la pendiente en A es el ángulo que forma las tangentes en A y B, por lo que según el Teorema I tenemos:

IE

LP

2

2

1


A continuación vamos a determinar el valor de la flecha máxima que se produce en la viga simplemente apoyada de la figura.

La flecha máxima tiene lugar en el punto C donde la tangente a la elástica es horizontal. El ángulo entre las tangentes en A y C resulta

igual a A. Este ángulo podemos calcularlo de

la siguiente manera:

Aplicando el teorema II podemos calcular la distancia BB’.

Área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B:

LIE

baP

LIE

baPbA

LIE

baP

LIE

baPaA

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Distancia a su centro de gravedad: bdabd GG

3

2y

3

121

bLIE

baPBB

bLIE

baPab

LIE

baPBB

6

1'

operandoy 3

2

2

1

3

1

2

1'

22

La distancia anterior también puede calcularse como: L

BBLBB AA

''

Con lo que tenemos: bLLIE

baP

L

BBA

6

1'

Por otro lado, el área rayada en el diagrama de momentos reducidos también debe darnos el valor de A.

Siendo que ya conocemos el valor de este ángulo podemos calcular z, que es la distancia desde A hasta el punto donde la flecha es máxima.

Área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y z:



LIE

bzP

LIE

zbPzAz

2

2

1

2

1

Distancia a su centro de gravedad: zd z 3

1

por lo tanto:

36

1

2

1 2 bLazbL

LIE

baPz

LIE

bPA Az

Aplicamos el Teorema II podemos determinar la distancia CC’, a partir de la cual determinamos max.

33

max

3

max

32

39

6

1

6

1'

6

1'

3

1

2

1'

bLaL

bP

LIE

bzPzbL

LIE

baPCCz

LIE

bzPCCz

LIE

bzPdACC

A

zz


4.1. Vigas hiperestáticas de un solo tramo

En lo que sigue resolveremos algunos ejemplos de las vigas hiperestáticas de un solo tramo, aplicando el método de superposición.

4.1.1. Viga empotrada – empotrada sometida a una carga concentrada

Elegimos como sistema primario la viga simplemente apoyada indicada en la figura. En este caso tenemos dos incógnitas hiperestáticas por calcular, MA y MB, ya que al no existir cargas horizontales las reacciones HA y HB son nulas.

Los giros en los extremos A y B pueden determinarse por superposición de efectos de la siguiente manera:

210210

210210

0

0

BBBBBBB

AAAAAAA

el ángulo A0 ya fue determinado en el Ejemplo de Aplicación 7.3

bLLIE

baPA

6

10

En forma semejante a lo realizado oportunamente, puede demostrarse que:



aLLIE

baPB

6

10

Los ángulos A1 y B1 correspondientes a la viga simplemente apoyada cargada con el momento

incógnita MA pueden ser calculados aplicando el Teorema II del área del diagrama de momentos reducidos.

IE

LMLL

IE

ML

IE

LML

L

IE

ML

AB

AB

AA

AA

632

y33

2

2

11

11

En forma idéntica obtenemos los giros A2 y B2 correspondientes a la viga simplemente apoyada cargada con el momento incógnita MB :

IE

LM

IE

LM BB

BA

3y

6 22

Luego resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones podemos determinar los valores de las incógnitas hiperestáticas.

2

2

2

2

6

1

36

6

1

63

L

baPM

L

baPM

aLLIE

baPM

IE

LM

IE

L

bLLIE

baPM

IE

LM

IE

L

A

A

BA

BA

Una vez conocidos los valores correspondientes a MA y MB es muy simple calcular las reacciones verticales y si interesa, el momento máximo MC.

Método de la viga conjugada

Recordemos las siguientes ecuaciones diferenciales ya conocidas:

(3);(2);(1)2

2

2

2

Qdz

dMq

dz

Md

IE

M

dz

yd

y consideramos al diagrama de momentos reducidos, como un diagrama de cargas ficticias q* = M/(EI) aplicado sobre una viga también ficticia y que llamaremos “viga conjugada”, de la identidad formal entre las dos ecuaciones (1) y (2) surge que la línea elástica de una viga coincide con el diagrama de momentos ficticios M* producido en todas las secciones de su viga conjugada cargada con la carga q*, dado que:

)4(

ademáspero

*2

2

*222

2

*2*

2

*2*

Mydzdz

Mdydz

IE

Myd

IE

M

dz

Mdq

dz

Md

IE

Mq



Esta última conclusión se conoce como Teorema de Mohr sobre la línea elástica, y al diagrama de momentos reducidos utilizando como carga se lo denomina “carga elástica”.

Si la viga es homogénea y de sección constante (EI= cte), la viga conjugada puede cargarse directamente con el diagrama de momentos, siempre que luego los resultados sean divididos por EI. Si derivamos la ecuación (4) obtenemos:

)5(**

Qdz

dMtg

dz

dy

siendo Q* el esfuerzo de corte ficticio originado en la viga conjugada por la carga q*.

La ecuación (5) nos muestra que el diagrama de esfuerzos de corte Q* nos da, para cualquier sección de la viga real, el valor de la tangente de la línea elástica. Dado que el esfuerzo de corte Q* en los extremos de la viga conjugada se corresponde con las reacciones de vínculo, éstas representan numéricamente los giros de la elástica de la viga real en correspondencia con sus apoyos.

BBAA RR ** ;

En cuanto a las características de la viga conjugada, dado que al cargarse ésta con las cargas elásticas su diagrama de momentos flectores debe representar exactamente la elástica de la viga real, sus vínculos deben elegirse de manera tal que se respeten estas premisas.

Consideremos el ejemplo de la figura. En el punto A no tenemos flecha ni pendiente, en el punto B hay un descenso y además la pendiente a la derecha es distinta que a la izquierda, en el punto C no hay descenso pero sí existe un giro, y en el punto D tenemos flecha y pendiente.

A No hay flecha M* = 0

No hay pendiente Q* = 0

La viga conjugada debe tener un extremo libre

B

Hay flecha M* ≠ 0

Hay pendiente y resulta distinta a derecha e izquierda

Qi* ≠ Qd* ≠ 0

La viga conjugada debe tener un apoyo móvil intermedio

C

No hay flecha M* = 0

Hay pendiente y resulta distinta a derecha e izquierda

Qi* ≠ Qd* ≠ 0

La viga conjugada debe tener una articulación simple

D Hay flecha M* ≠ 0

Hay pendiente Q* ≠ 0

La viga conjugada debe tener un empotramiento



Las conclusiones que hemos obtenido apoyándonos en el ejemplo citado pueden generalizarse de la siguiente manera:

En algunos casos, en especial cuando las estructuras son estáticamente indeterminadas, la viga conjugada puede resultar inestable. Este inconveniente queda resuelto cuando se carga a la misma, ya que el propio estado de cargas le confiere estabilidad.

Teorema de Castigliano

Consideremos una estructura, que no puede ser hipostática (mecanismo con movimientos). Consideremos ahora un sistema de cargas actuando sobre la misma, con valores tales que todos los elementos estructurales estén sometidos a esfuerzos, para los cuales, las tensiones y deformaciones estén dentro del régimen elástico. Dichas fuerzas las indicamos con P1 ..... Pj ..... Pn, sistema que está en equilibrio, es decir que, o bien son sistema de fuerzas externas, o alguna de ellas son fuerzas externas y otras son reacciones de vínculo.

Al actuar las fuerzas creciendo desde cero a su valor final, el cuerpo de deforma y los puntos de aplicación de las mismas se desplazan. Por ejemplo el punto, 2 pasa a ocupar la posición 2', por lo que cada fuerza realizará un trabajo elástico de valor:

PTe2

1

Siendo δ la proyección del despalzamiento Δ sobre la recta de acción de la fuerza. El trabajo total, debido

a todas las fuerzas vale:

n

j

jje PT1 2

1

lo cual expresa la energía total elástica acumulada por el sistema. Si la fuerza Pj, varía en dPj, el trabajo valdría:



j

j

ee dP

P

TT

donde ∂Te/∂Pj es la variación del trabajo total cuando Pj varía en la unidad. Consideramos ahora que

primero se aplique dPj y luego el sistema P

1 a P

n. El trabajo total, en este caso resulta:

ejjjj TdPddP 2

1

donde:

• El 1° sumando, expresa el trabajo elástico de dPj, al aplicar dicha fuerza creciendo desde cero a su valor final.

• El 2° sumando, representa el trabajo físico de dPj debido al desplazamiento que provoca el sistema P1 a Pn, al crecer desde cero a sus valores finales.

• El 3° sumando, el trabajo elástico del sistema P1 a Pn.

Como los estados finales, del 1° y 2° caso son iguales, debe cumplirse:

j

ejjjj

j

eejjjjj

j

ee

P

TdPdP

P

TTdPddPdP

P

TT

2

1

donde hemos simplificado Te y despreciando el primer sumando del segundo miembro por ser un diferencial de orden superior. Esta es la expresión del Teorema de Castigliano.

Como el trabajo externo que realiza el sistema de fuerzas P1 a Pn, se acumula como energía interna elástica, podemos escribir Te = Ti, y por lo tanto:

j

i

j

ej

P

T

P

T

Ello implica poder enunciar: "En todo sistema elástico, sometido a un sistema de fuerzas en equilibrio, la variación del trabajo interno para un incremento unitario de la fuerza aplicada en un punto cualquiera del mismo, representa el desplazamiento del punto proyectado en la dirección de la fuerza, siempre que el sistema se encuentre en el régimen elástico."

Debido que para obtener las deformaciones con el trabajo externo Te, necesitamos las deformaciones, debemos desarrollar la expresión del trabajo interno Ti.

Dado que los esfuerzos internos están representados por tensiones y las deformaciones por deformaciones específicas, el trabajo interno por unidad de volumen estará expresado de la siguiente manera:

2

1

2

1*

iT

y por la Ley de Hooke resulta GE

Ti

22*

2

1

2

1

Para obtener el trabajo interno de deformación debemos integrar la expresión en el volumen:

dxdAG

dxdAE

dVTTV

ii 22

*

2

1

2

1



Las tensiones normales son producidas por momentos y esfuerzos axiles (M y N), y las tensiones tangenciales por los esfuerzos de corte (Q):

A

Q

Jb

QSy

J

M

A

N x

0

; con Jb

ASx

0

y reemplazando:

dxdAA

Q

GdxdAy

J

M

EdxdAy

J

M

A

N

EdxdA

A

N

ETi 2

222

2

2

2

2

2

1

2

11

2

1

A

A

A

A

dAA

AdAy

dAy

AdA

donde

sección) la de forma de te(coeficien

inercia) de (momento

sección) la de área el todade estático (momento 0

(área)

:

2

2

por lo tanto:

dxGA

Qdx

EJ

Mdx

EA

NTi

222

2

1

2

1

2

1 y aplicando el Teorema de Castigliano

resulta:

GA

dx

P

QQ

EJ

dx

P

MM

EA

dx

P

NN

P

T

jjjj

ij

Problemas de aplicación

Ejercicio I: Sea una viga en voladizo, empotrada en A y con un momento aplicado en B. Nos

planteamos calcular el desplazamiento vertical de C (punto medio de AB). En tal caso:

Lx

xi

C dxF

MM

EJF

T

0

1

donde F es una fuerza infinitesimal aplicada en C, en la dirección en que se quiere calcular el desplazamiento. Así tendremos:

2;0

0;2

;

2

2

0

2

2

0

Lx

dF

dM

dF

dM

FL

xFMMMM

L

L

x

L

x

L

Lx

L

x

y reemplazando:



EJ

MLLMML

EJ

LLM

LL

M

EJ

dxL

MdxxMEJ

dxL

xMdxMEJ

CC

L

L

L

L

L

L

L

C

848

31

2242

1

2

1

20

1

222

22

2 22

2

0

Ejercicio II: Sea una viga en voladizo, empotrada en A y con una carga en el extremo libre B. Calcular

el giro de la sección C. En tal caso:

Lx

xi

C dxm

MM

EJm

T

0

1

Como en C no actúa un momento, debemos aplicar en dicho punto un momento m infinitamente pequeño en la dirección en que se quiere calcular el giro. Así tendremos:

1;0

0;;

2

2

0

2

2

0

L

L

x

L

x

L

Lx

L

x

dm

dM

dm

dM

mxPmMxPM

y reemplazando:

EJ

PLLLP

EJdxxPdxxP

EJC

L

L

L

C8

3

42

1110

1 222

2

2

0

Ejercicio III: Sea un pórtico empotrado en A y con una carga en el extremo libre C. Calcular el

desplazamiento vertical del punto C = δvc. En tal caso:

Lx

xi

C dxP

MM

EJP

T

0

1

Para el cálculo del desplazamiento vertical, dado que P está en el punto y con la dirección del desplazamiento que queremos calcular, el diagrama Mx1 será el correspondiente para P.

1

00

100

21

21

;

;

LdP

dMx

dP

dM

LPMxPM

L

x

L

x

L

x

L

x

y reemplazando:

2

2

2

1

1

3

1

011

20

1

23

11 21

EJ

LLP

EJ

LP

dyLLPEJ

dxxxPEJ

vc

LL

vc



Ejercicio Nº IV: Para la barra en el estado de carga indicado se pide:

a) Dibujar los diagramas de características previo análisis cinemático.

b) Dimensionar la sección de la barra.

c) Hallar la ecuación de las rotaciones absolutas y la ecuación de la elástica.

d) Calcular el corrimiento vertical máximo (flecha máxima).

e) Dibujar el diagrama de rotaciones absolutas y corrimientos verticales.

Datos: l = 7,4 m; P = 4,5 t; q = 1,8 t/m; adm = 1400 Kg/cm2; adm = 800 Kg/cm2; E = 2,1x106 Kg/cm2; Perfil “doble T” (DIN 1025)

Resolución:

a) Trazar los diagramas de características previo análisis cinemático:

a.1) Análisis cinemático:

Se trata de una barra isostáticamente sustentada pues posee un apoyo móvil y uno fijo que restringen sus tres (3) grados de libertad. Además no existen vínculos aparentes pues la normal del apoyo móvil no pasa por el punto fijo “B”.

a.2) Cálculo de las reacciones de vínculo:

Calculamos las reacciones de vínculo RA y RB. Tomando momento respecto de “A” se tiene:

tmm

ttR

lq

PR

lqlR

lP

M

B

BB

i

91,82

4,78,1

2

5,4

220

220

2

Proyectando sobre el eje “y” se tiene:

tm

m

tttR

lqRPRlqRRP

PA

BABA

i91,84,78,191,85,4

0

0

a.3) Diagramas de características:



b) Dimensionar la sección de la barra:

b.1) Cálculo de la sección de la barra y verificación de las adm:

La sección más comprometida de la barra es una tal como la n-n; en esta sección resulta:

3

2

5

71,1474

1400

10646,20

646,20;25,2

cm

cm

kg

cmkgMW

mtMtQ

adm

X

de tablas obtenemos el perfil “doble T” (DIN 1025) 425, que tiene un módulo resistente WX = 1740 cm3; por lo que resulta entonces:



b.2) Verificación de las tensiones normales debidas a la flexión y las tangenciales debidas al corte:

Las tensiones normales debidas a la flexión las calculamos como sigue:

223

5

max

3

5

140055,11861740

10646,20

1740

10646,20

cm

kg

cm

kg

cm

cmkg

W

M

cmW

cmkgM

adm

x

x

Las tensiones tangenciales las calculamos como sigue:

224

3

max

43

max

maxmax

80049,16053,136970

10208900

53,1;36970;1020;8900

:

cm

kg

cm

kg

cmcm

cmkg

cmecmJcmSkgQ

dondeeJ

SQ

adm

XX

X

X

c) Hallar la ecuación de las rotaciones absolutas y la ecuación de la elástica:

c.1) Tramo AC:

Recordamos que (siendo el corrimiento vertical o flecha):

)4(1

)3(;)2(;)1(

2

2

dxMJE

dxJE

M

dxJE

Md

dx

d

JE

M

dx

d

dx

d

dx

dMQ

dx

dQq

Por lo tanto será de (1):

lqRxqQlqRCRQ

CxqdxqQ

AAAlx

1

1

de (2) resulta:

22

2

2

2

220

2

lxq

lxRMlRl

qCM

CxlqxRx

qdxlqRxqdxQM

AAlx

AA

de (4) será:



3232

32

32

3

32

2

48862

1

488

10

62

1

2

11

lq

lR

lxq

lxR

JE

lq

lR

JEC

Clxq

lxR

JE

dxlxq

lxRJE

dxMJE

AA

Al

x

A

A

y de (3) resulta:

lxlq

lxlR

lxq

lxR

JE

lq

lR

JEC

Cxlq

xlR

lxq

lxR

JE

dxlq

lR

lxq

lxR

JEdx

AA

A

lx

AA

AA

3243

43

4

4

3243

3232

488246

1

488

10

488246

1

48862

1

c.2) Tramo BC:

Procediendo en forma análoga, resulta:

BRxqQ

2

2x

qxRM B

3232

48862

1l

ql

Rx

qx

R

JE

BB

xl

qxl

Rx

qx

R

JE

BB 3243

488246

1

d) Calcular el corrimiento vertical máximo (flecha máxima):

El valor de la flecha máxima lo obtenemos cuando x = l/2, por lo que reemplazando en alguna de las

expresiones de resulta:

cmlq

lR

lq

lR

JE

BBl

x3940,1

961638448

1 4343

2

e) Dibujar el diagrama de rotaciones absolutas y corrimientos verticales:



e.1) Tabla de valores:

X (cm) (x10-3) (cm)

0 0 = 0 - 5,89 0

1 L/10 = 74 - 5,59 0,429

2 2L/10 = 148 - 4,76 0,815

3 3L/10 = 222 - 3,49 1,123

4 4L/10 = 296 - 1,87 1,324

5 5L/10 = 370 0 1,394

6 6L/10 = 444 1,87 1,324

7 7L/10 = 518 3,49 1,123

8 8L/10 = 592 4,76 0,815

9 9L/10 = 666 5,59 0,429

10 L = 740 5,89 0

e.2) Gráficos:



Ejercicio Nº V: Una varilla de aluminio de sección semicircular y radio “r” es flexada en forma de arco

circular de radio medio “”.

Sabiendo que la cara plana de la varilla está orientada hacia el centro de curvatura del arco se pide:

a) Determinar las tensiones máximas tanto de tracción como de compresión en la varilla.

b) Determinar el valor de la deformación máxima.

Resolución:

a) Cálculo de las máximas tensiones de tracción y compresión:

a.1) Cálculo de la máxima tensión de tracción:

Planteando la relación entre tensiones y deformaciones resulta:

0

01

0 l

ll

l

lademásE

111

11

0 yE

yy

yl

lt

ahora bien, siendo:

3

41

3

41

3

4

3

4

1max

1221

rEy

E

rr

ryr

yconyry

t

a.2) Cálculo de la máxima tensión de compresión:

En forma análoga será:

rEyE

ry c

3

4

3

4 22

b) Cálculo de la deformación máxima:

La calculamos como sigue:

11

11

0

0

01

0

yy

yl

l

l

ll

l

l

Ejercicio Nº VI: Sea la viga de madera dimensionada en el Ejercicio Nº 25 del Trabajo Práctico Nº 5, de longitud L cuya sección es rectangular y su sección es K, que posee una inclinación dada por el ángulo

estando apoyada en sus extremos y sometida a una carga uniformemente distribuida de magnitud p que



actúa en el plano vertical según puede observarse en la figura. De acuerdo a los datos que se indican se solicita:

a) Determinar el máximo corrimiento vertical (v) de la misma.

Datos: L = 3,10 m; p = 3 kN/m; = 15°; K (h/b) = 2,5; JX = 5333,33 cm4; JY = 853,33 cm4; E = 1,05 kN/cm2

Resolución:

a) Determinación del máximo corrimiento vertical

El máximo corrimiento vertical tiene una determinada dirección cuyas componentes escalares son:

ji yx

Aplicando el principio de superposición de efectos puede proyectarse dicho corrimiento según la línea de fuerza m, y de esa forma obtener el máximo

corrimiento vertical (v) solicitado, es decir:

cossin yxv

Por otra parte la carga específica p que actúa en el plano vertical de cargas, definido por la línea de fuerzas m, posee las siguientes componentes escalares:

jpipp yx

Siendo:

sincos

cossin

ppp

ppp

y

x

Finalmente, de acuerdo con lo analizado en el ejercicio de aplicación IV y teniendo en cuenta que en este

caso para las cargas exterioeres P = 0 y que las causas de los corrimientos y y x son respectivamente las componentes de las cargas específicas py y px. Se tiene:



tmm

tR

lqR

lqlR

M

B

BB

i

91,82

4,78,1

20

20

2

JE

lq

JE

lq

xlq

xq

xlq

JE

lx

44

2

max

343

384

5

48

1

384

1

96

1

242412

1

por lo que:

XX

xy

YY

y

x

JE

Lp

JE

Lp

JE

Lp

JE

Lp

44

44

cos

384

5

sin

384

5

y reemplazando y agrupando se obtiene:

cmcmcm

cm

kN

cmcm

kN

JJE

Lp

v

YX

v

87,033,853

15sin

33,5333

15cos

05,1

310103

384

5

sincos

384

5

4

2

4

2

2

42

224

Bibliografía Recomendada

Estabilidad II - E. Fliess

Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez

Problemas de resistencia de materiales - M. Ferrer Ballester y otros

Curso superior de resistencia de materiales - F. Seely / J. Smith(Título original de la obra: "Advanced Mechanics of Materials")

El acero en la construcción (Título original de la obra: "Stahl im hochbau")

Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo

Mecánica de materiales - F. Beer y otros

Mecánica de materiales - R. C. Hibbeler

Problemas de resistencia de materiales - I. Miroliubov y otros



Problemas de resistencia de materiales - A. Volmir

Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana

Resistencia de materiales - V. Feodosiev

Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer

Resistencia de materiales - S. Timoshenko

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