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Lycée Pilote Bourguiba

Tunis

DEVOIR DE CONTROTE NO2

Exercice no L (3 points)On considère la fonction f définie par :

-/ \ xz+x+bl)lx) -' *,- ; a. b deux réels

t 1) Trouvera etb sachant que :

lim/(x) : 1 et f admet un extremum en 2x-++Ço

* Dresser le tableau O" rfuiution de fExercice 2 (6 points)

3é*" année Maths3,4, 5

Mme MILIMme CHEIKHROUHOUMme GAALOUL0s102t20t3

Dans la figure ci-;qgrte, (O,î,n est un repère orthonormé direct, I est le demi cercletrigonométrique AA' et C est la courbe représentative d'une fonction f définie sur[-1,1]

1) a) Déterminer graphiquement :

f (x)lrfil

-x-+-7* X + \

f (x)lrm

-x-+L-X-l

ô8f {x) - 3rE

lim1xa-2

i1i

8x*4

b) Déterminer une approximation affine de f ( -0,4999)

/ c) Dresser le tableau de variation de f.

/ rl Prouver que f est d'équation : y -- ,{1:æ/ 3) Soit M un point de I privé de A et A', d'abscisse x. On désigne par H le projeté

'/ orthogonal de M sur (OA) et par A(x) l'aire du triangie AMH

Montrer que A(x):1t, - x)lT - x',^, P 4) Sachant que (x):A(x) pour xe]-1,1[

fi\) Déterminer les coordonnées cartésiennes puis polaires du point Ms de I pour\r' que l'aire du triangle (AM0H0 ) soit maximale.

Quetle est cette.aire ?. Exercice no 3 (4 points)

1) Montrer par récurrence que pour tout neN : ÿ32n+1 + 2x 43n+t est divisible par 11

2) x, y deux entiers naturels.On considère l'équation (E) : 3x- 4y:14.a) Vérifier (6 ; 1) est uhe solution de l'équation (E).

@ U)

?etenniàrarors les couples (x;-v) d'.ïti"r. out*.t. rolutions de (E).

Exercice rc 4 : (3,5 poinis)Soit A(x) : cos4x + 2cos2x + 1 ; xeR.

1) a) Vérifier que A(xf 2cos2 2x+ Zcas2xb) Résoudre alors dans iR puis dans I-:,:l l'équation A(x):O

2) soitB(x): #ffi; xeiR

On désigne par E l'ensemble des réels x pour lesquels B(x) est définiea) Déterminer EJy'q Montrer que pour xeE, B(x)- 1

c) Résoudre dansl- Tr,!l l'ioéquation :

B(x) < 2sin xExercice no 5 . (3,5 points)Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O,î,i)On considère les points A, B et C tels que :

A de coordonnées polaires (2,a); u€ t0,ilB le point du cercle trigonométrique avec (OÂ,0Ë)= 2al2r) et îC - gô

1) a) Déterminer en fonction de a les coordonnées cartésiennes des points A et Bb) En déduire que C est de coordonnées (2cos a-cos 3a ;2sin a-sin 3a)a) Déterminer a pour que les points O, A et B soient alignésb) Montrer que OË. Od:2cos 2q-1c) Déterminer alors d pour que ACOB soit un rectangle puis le construire