dc2 3eme math
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Lycée Pilote Bourguiba
Tunis
DEVOIR DE CONTROTE NO2
Exercice no L (3 points)On considère la fonction f définie par :
-/ \ xz+x+bl)lx) -' *,- ; a. b deux réels
t 1) Trouvera etb sachant que :
lim/(x) : 1 et f admet un extremum en 2x-++Ço
* Dresser le tableau O" rfuiution de fExercice 2 (6 points)
3é*" année Maths3,4, 5
Mme MILIMme CHEIKHROUHOUMme GAALOUL0s102t20t3
Dans la figure ci-;qgrte, (O,î,n est un repère orthonormé direct, I est le demi cercletrigonométrique AA' et C est la courbe représentative d'une fonction f définie sur[-1,1]
1) a) Déterminer graphiquement :
f (x)lrfil
-x-+-7* X + \
f (x)lrm
-x-+L-X-l
ô8f {x) - 3rE
lim1xa-2
i1i
8x*4
b) Déterminer une approximation affine de f ( -0,4999)
/ c) Dresser le tableau de variation de f.
/ rl Prouver que f est d'équation : y -- ,{1:æ/ 3) Soit M un point de I privé de A et A', d'abscisse x. On désigne par H le projeté
'/ orthogonal de M sur (OA) et par A(x) l'aire du triangie AMH
Montrer que A(x):1t, - x)lT - x',^, P 4) Sachant que (x):A(x) pour xe]-1,1[
fi\) Déterminer les coordonnées cartésiennes puis polaires du point Ms de I pour\r' que l'aire du triangle (AM0H0 ) soit maximale.
Quetle est cette.aire ?. Exercice no 3 (4 points)
1) Montrer par récurrence que pour tout neN : ÿ32n+1 + 2x 43n+t est divisible par 11
2) x, y deux entiers naturels.On considère l'équation (E) : 3x- 4y:14.a) Vérifier (6 ; 1) est uhe solution de l'équation (E).
@ U)
?etenniàrarors les couples (x;-v) d'.ïti"r. out*.t. rolutions de (E).
Exercice rc 4 : (3,5 poinis)Soit A(x) : cos4x + 2cos2x + 1 ; xeR.
1) a) Vérifier que A(xf 2cos2 2x+ Zcas2xb) Résoudre alors dans iR puis dans I-:,:l l'équation A(x):O
2) soitB(x): #ffi; xeiR
On désigne par E l'ensemble des réels x pour lesquels B(x) est définiea) Déterminer EJy'q Montrer que pour xeE, B(x)- 1
c) Résoudre dansl- Tr,!l l'ioéquation :
B(x) < 2sin xExercice no 5 . (3,5 points)Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O,î,i)On considère les points A, B et C tels que :
A de coordonnées polaires (2,a); u€ t0,ilB le point du cercle trigonométrique avec (OÂ,0Ë)= 2al2r) et îC - gô
1) a) Déterminer en fonction de a les coordonnées cartésiennes des points A et Bb) En déduire que C est de coordonnées (2cos a-cos 3a ;2sin a-sin 3a)a) Déterminer a pour que les points O, A et B soient alignésb) Montrer que OË. Od:2cos 2q-1c) Déterminer alors d pour que ACOB soit un rectangle puis le construire