Das Rechnen frühzeitig fördern

Annemarie Fritz-Stratmann

Rechenschwäche/-störungDiskussion jeweiliger subjektiver

Theorien Was “fasziniert” Sie an dem Thema? Welche Erfahrungen haben Sie mit

Rechenstörungen? Anhand welcher Kriterien vermuten Sie

Rechenstörungen?

Plan für die drei Tage

Vorkenntnisse für´sRechnen lernen

Entwicklung

mathematischer Kompetenzen

2. Tag diagnostische

Konzepte

3. Tag Was fördern? Wie fördern?

Stand der ForschungStand der Forschung

Beschäftigung mit LRS - lange Forschungstradition (Ranschburg, 1916)

Forschung zum Rechnenlernen „hinkt hinterher“

VorkommenshäufigkeitVorkommenshäufigkeit

Prävalenz von Rechenschwächen (ICD): 3 - 6%

Aber:

Diskrepanz zwischen Intelligenz und Leistung im Rechnen wird zunehmend in Zweifel gezogen

Grund: LRS- mit Diskrepanzkriterium und LRS mit niedriger Intelligenz kein Unterschied in kognitiven Merkmalen und in

Sensitivität auf Fördermaßnahmen (Marx et al., 2001)

Iglu: LeistungsschwacheIglu: Leistungsschwache

STARK GEFÄHRDETE RISIKOGRUPPE Wissen entspricht etwa dem 2. Schuljahr! Mathematik: 20% der Schüler auf

Kompetenzstufe I oder II Lesen: 25 % auf Kompetenzstufe I und II

Orthographische Kompetenzen: 28.8% auf Stufe I und II

Vergleich: Iglu - PisaVergleich: Iglu - Pisa

„Was auf der Ebene der Grundschule nicht gelingt, lässt sich auf der Ebene der Sekundarstufe I nicht mehr kompensieren. Die auf der Ebene der Grundschule nicht befriedigend gelösten Probleme werden auf der Ebene der Sekundarstufe weiter verschärft" (S.300, Iglu).

Iglu: andere Länder Bis zu 80 PunkteSchlechtere Leistungen

Pisa: Ende der Sek. IFast alle Länder besser

Was können Schüler zum Schuleingang?

Studie zu Vorkenntnissen von Schulanfängern

Ziffernkenntnis 91%

Menge zu einer vorgegebenen Anzahl angeben 77%

Vorwärtszählen im Zehnerraum 80%

Rückwärtszählen 59%

Anzahl bestimmen und angeben 91%

Addition 80% (bzw. 64% mit Zählmöglichkeit, 55% ohne)

Subtraktion 92% (mit Z., 55% ohne)

Halbieren 65% Verdoppeln 33%

Anzahlen schätzen 31%

Schulanfang - keine Stunde Null

Schulanfänger verfügen bereits über beachtliche arithmetische Kenntnisse

ein Mythos?

Große Leistungsheterogenität

Vorkenntnisse von Schulanfängern

Untersuchungsbefunde:Schulanfänger verfügen über umfangreiche arithmetische Kenntnisse

Die mathematischen Kompetenzen von Schulanfängern werden in der Regel von Experten unterschätzt

Mythos!

Studien geben nur Auskunft über die Prozentsätzerichtiger Lösungen, über die Streuung der Leistungen dagegen nicht

Interpretation der Untersuchungsergebnisse nur hinsichtlich möglicher Unterforderung

Filmausschnitt Mathias

Stabilität von Rechenleistungen Stabilität von Rechenleistungen

Numerische Kompetenzen am Ende der Vorschulzeit

Vorhersage

Für Rechenleistung bis Ende vierte Klasse (Längsschnittstudie Krajewski, 2003; Stern, 1995)

Zählstrategien werden beibehalten von „schlechten“ Erst-, Dritt-, Fünft- und Siebtklässlern (Ostad, 1997)Schwache Rechner weisen Defizite in den Grundkenntnissen auf

Prädiktoren für Mathematik

•Scholastik-Studie: (Längsschnitt über 14 Jahre)

• Textaufgabe in Klasse 2

Sagt vorher

• Matheleistungen im 11. Schuljahr

Stabilität der Matheleistungen

Wann beginnt das Rechnen lernen

in der Entwicklung?

Was sind die einzelnen Komponenten?

Erste Vorstellungen von Mengen und Zahlen: intuitive MathematikErste Vorstellungen von Mengen und Zahlen: intuitive Mathematik

Säuglinge (3 Wochen) können Mengen von 2 - 3 Objekten voneinander unterscheiden

Säuglinge (6 Monate) zeigten Sinn für Additions- und Subtraktionsaufgaben (Wynn, 1992)

Zahlwortreihe

Lu - la - ba - by - lol - li- pop- ta - boo

Aufgaben

- Zählen Sie in 2er-Schritten vorwärts- welche Zahl ist größer: pop oder lol- Zählen Sie von by an um ba-Schritte weiter- Zählen Sie von lol an rückwärts

Lol Mäuse haben sich in der Burg versteckt. Auf der FluchtVor der Katze kommen noch by Mäuse hereingestürzt. Wie viele Mäuse befinden sich jetzt in der Burg?

Li Mäuse sind in der Burg versteckt. La Mäuse beschließen, sichrauszuschleichen und nachzusehen, ob die Katze noch da ist.Wie viele Mäuse bleiben in der Burg zurück?

Wie sind Sie vorgegangen?Welche Probleme hatten Sie?

Kennen Sie ähnliche Probleme bei den Kindern?

-Welche Teilfertigkeiten gehören also zum Rechnen lernen?

(Gruppenarbeit)

Kenntnis derZahlwortreihe

Verständnis mehr/wenigergrößer/kleiner

VerständnisVermehren/vermindern

Wissen, dass Zahlen in Zahl-wortreihe immer größer

werden

Wissen, dass Zahl in Zahlwortreiheauch die Menge der vorhergehenden

Zahlen umfasst

Wissen, dass Mengen zerlegbar sind

Frühindikatoren

Rechnen

SchulalterVorschulalter

Als Voraussetzungen für das Rechnen bzw. Indikatoren für Störungen kommen infrage?

SpezifischeFertigkeiten

Grundlegende (kognitive) Fähigkeiten

Grundlegende kognitive Fähigkeiten Intelligenz visuelle Wahrnehmung Auditive Wahrnehmung Arbeitsgedächtnisleistungen: Wie viel Information

kann für kurze Zeit bereitgehalten werden? Präzise Speicherung, schneller Abruf

weitere: Konzentration, Arbeitsweisen, Sprache, Motive, metakognitive, selbstregulative, emotionale

Prozesse, Begriffsbildung

Lorenz

Bedeutung der unspezifischen Voraussetzungen Argumente: unspezifische Voraussetzungen

sind begleitende Bedingungen für verschiedene Störungen

Unspezifische Bedingungen

Wirkung spezifischer Voraussetzungen Befund mathematische Leistungen (Krajewski, 2003, auch Lorenz, 2005)

p = .09

52%

Mathe4. Klasse

Intelligenz

letztes Kindergartenjahr

Mengen-Vorwissen

.69

Arbeits-speicher

.80

Zahlen-speed

.47 .49 Zahlen-Vorwissen

.59

.72

Spezifische Voraussetzungen im mathematischen Bereich

Zahlenkenntnis Mengenkenntnis

Rechnen

Erworbenes Wissen imVorschulalter

Wie verknüpfen sich die Teilleistungen?

Entwicklung des Rechnen lernens

Anders als beim Schriftspracherwerb existiert kein Entwicklungsmodell über die Stufen der Aneignung beim Rechnen und über die zugrunde liegenden Prozesse

1.EntwicklungsstufeEntwicklung der Zahlwortreihe

Erwerb der Zahlwortreihe (noch kein Zählen)Lulababylolipoptaboo

Aufsagen der Zahlwortreihe zum Auszählen von Objekten

Lu - la - ba - by - lol - li - pop - ta - boo

Rechnen ein Umgang mit MengenRechnen ein Umgang mit Mengen

Aussagen über Mengenoperationen werden vorgenommen, ohne dass Kinder die Mengen exakt benennen können (=Protoquantitative Schemata) (Resnick & Greeno (1990)

Protoquantitative SchemataProtoquantitative Schemata

... des Vergleichs Viel, wenig, mehr, größer kleiner

... des Vermehrens / Verminderns Dazukommen, wegnehmen, größer/kleiner werden

... der Teil-Ganzes-Relation Gehört zu ..., ist Teil von

Ausgangspunkt: 2 grundlegende, voneinander unabhängige Schemata

Ausgangspunkt: 2 grundlegende, voneinander unabhängige Schemata

Verbal-sequentielles Schema

Zählen 1234567

Auszählen 1-2-3-4-5-6

Räumlich-analoge oder protoquantitative Schemata:

Vergleichen viel, wenig, größer, kleiner, höher...

Vermehren - Vermindern (bei Veränderungen)

Komponenten des Rechenerwerbs

Kenntnis der Zahlwortreihe

Verständnis der Seriation

Mengenvergleiche zählend möglich Additionen und Subtraktionen

zählend

Verständnis der BegriffeVergleichen

Vermehren/vermindern

Kenntnis der Zahlwort-reiheVerständnis der Seriation

Niveau 2: Auszählen von Mengen

Item 4.5

Lukas hat 2 Bausteine. Paul gibt ihm noch zwei dazu.

Wie viele hat er jetzt?

Mentaler Zahlenstrahl - ordinaler Strahl

Mentaler Zahlenstrahl - ordinaler Strahl

Neue Struktur durch Integration von Zahlwortreihe und protoquantitavem Schema des Vergleichs: Aufbau eines mentales Zahlenstrahls (4 Jahre)

lu la ba by lol

= mentaler Zahlenstrahl(Vergleich von Positionen)

Ordinaler Zahlenstrahl erlaubt

Vorstellung der geordneten Zahlwortfolge Objekte auszählen, 1 zu 1 Zuordnung größer oder kleiner was kommt nach 7 und vor 5

Filmausschnitt D.

Erste Addition und SubtraktionErste Addition und Subtraktion

Integration von Zahlwortreihe und protoquan-titativem Schemata des Verminderns - Vermehrens

Additions- und Subtraktionsaufgaben lösbar,durch Vorwärts- und Rückwärtsgehen auf der verbalen Zahlwortreihe (Fuson 1992, Resnick, 1983).

Auszählen jeweils von 1 an

ba + lol = ? li - la = ?

Aufgabentypen für Sachaufgaben

Anna hat 5 Bausteine. Dann gab ihr Jan noch 2 Bausteine. Wie viele BausteineHat Anna nun?

Anna hat 5 Bausteine. Jan hat 3 Bausteine. Sie möchten zusammen damit spielen. Wie viele Bausteine haben sie zusammen?

Jan hat 7 Bausteine. Er gibt Anna 2 Bausteine ab. Wie viele Bausteine hat Jan dann noch?

Aufbau von Verständnis Aufbau von Verständnis

Zählfertigkeiten und protoquantitative Schemata zunächst voneinander unabhängige Wissenssysteme, die im weiteren Entwicklungsverlauf miteinander verbunden werden müssen (Resnick (1992).

Durch die Verbindung entsteht Verständnis über die Beziehungen zwischen Zahlen

KardinalzahlKardinalzahl

Elaboration der Zählkompetenz geht dem Verfügen über Mengenaspekt vorausMit der Integration von Zahlwort und Teile-Ganzes-Schema wird Kardinalzahl entdecktÜbertragung von der Zähl- zur Kardinalzahl (5 Jahre)

Last-word-rule

Übertragung von der Kardinal- zur Zählzahl Deutlich schwieriger, Übergang setzt das Verstehen voraus, das eine Menge eine bestimmte Mächtigkeit hat, die aus einzelnen Elementen besteht, aus der sie zusammengesetzt ist und in die sie wieder zerlegt werden kann.

Kardinalität - Verstehen der Mächtigkeit

lu la ba by

la enthält luba enthält la, lu.

8 – 4 = ? Antwort: „7“

Begründung:

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Abb. Zu order-irrelevance principle

Fehler durch mangelnde Kardinalität

Kardinalität führt zur Entwicklung eines metrischen Strahls

das erlaubt:

- Weiter- und Rückwärtszählen,

- Welche Zahl ist um 1 größer als 6?

- Zähle bis 4,

- Gib mir 4 Bonbons aus der Tüte

Kardinalität führt zur Entwicklung eines metrischen Strahls

das erlaubt:

- Weiter- und Rückwärtszählen,

- Welche Zahl ist um 1 größer als 6?

- Zähle bis 4,

- Gib mir 4 Bonbons aus der Tüte

Ebene 2

Ebene 1

Anwendung der Zahlwortreihe auf Objekte

Übergang von der Zähl- zur Kardinalzahl:

Prozess: Auszählen

Kardinalzahl-Prinzip (meistens mechanische Ebene; 4 getrennte Objekte)

eins zwei drei vier

vier

Zählzahl

Kardinalzahl

Ebene 3

Übergang von der Kardinal- zur Zählzahl

Prozess: Abzählen

Erstes Verständnis von Teilmenge

Menge von 4 ~ 4 beinhaltet 4 einzelne Elemente + Menge mit der Anzahleigenschaft ‚vier’ = 4

„Gib mir vier“

eins zwei drei vier

Mentaler Zahlenstrahl - metrischer Strahl

Mentaler Zahlenstrahl - metrischer Strahl

Neue Struktur durch gleiche Abstände

lu (+1) la (+1) ba (+1) by (+1) lol

= mentaler ZahlenstrahlGleichabständigkeit)

Integration Zählzahl und Kardinalzahl Zahlenstrahl hat gleiche Abstände Zahlangabe sicher als Mengen Info interpretiert Kinder zählen von einer Menge an die nächste dazu,

zählen dies vorwärts und rückwärts Aufgaben: Abzählen – gib mir aus einer Menge 4

Objekte oder auch welche Zahl ist um 1 größer als 4

Filmausschnitt D.

Zahlwortreihe als Anzahl von ZählschrittenZahlwortreihe als Anzahl von Zählschritten

4 5 6

54 6

vermindern vermehren

~ gleichmäßiger Aufbau der Zahlreihe: immer 1 mehr,

Zahlen werden zählbare Einheiten

3 ist 1,2,33 ist auch 4,5,6

Die Affen im Zoo schaukeln.Es gibt 3 Schaukeln und 5 Affen.Wie viele Schaukeln gibt es weniger als Affen?

Relationaler Begriff

3= 1,2,3 auch 4,5,6 auch 7,8,9

Verständnis relationaler ZahlbeziehungenVerständnis relationaler Zahlbeziehungen

Das Verstehen der Zahlwortreihe als Anzahl von Zählschritten ermöglicht das Verständnis relationaler Zahlbeziehungen:

„Hans hat 5 Murmeln mehr als Peter“

5 als Abschnitt auf dem Zahlenstrahl, der die Relation zwischen zwei anderen Zahlen markiert

(zwischen 2 und 7; 4 und 9) (vgl. Stern 1997)

Aufbau weiterführender Strategien: Mengen sind zerlegbar

6 Autos auf 2-3 Flächen aufteilen.

Aufbau weiterführender Strategien durch Teil-Ganzes

Aufbau weiterführender Strategien durch Teil-Ganzes

Protoquantitatives - Schema: Teile-Ganzes

10

9+1 5+3+2 8+2 2+3+2+3 7+3 1+4+2+3 6+4 4+4+1+1

Einsicht, dass Zahlen zerlegbar und aus Teilen zusammensetzbar sind

Zunahme von Verständnis über die Beziehungen zwischen Zahlen

Teil-Teil-Ganzes Konzept

Ganzes

Teil Teil

Vertiefung des Teile-Ganzes-Konzepts Vertiefung des Teile-Ganzes-Konzepts

Verständnis der triadischen Struktur Das Teile-Ganzes-Schema spezifiziert die Beziehung

zwischen "Zahlentripeln“

7

2 5

Diese Beziehung bleibt bestehen, egal ob das Problem als 5 + 2 = ?; 7 - 5 = ?; 7 - 2 = ?; 2 + ? = 7; ? + 5 = 7; gegeben wird (vgl. Resnick, 1983).

BegründungBegründung

Wissen über Zahlstrukturen und -beziehungen entsteht aus der Einsicht, dass Zahlen zerlegbar, bzw. aus Teilen zusammensetzbar sind

Beispiel: 25 x 36 = Wie gehen Sie vor? - Was ist ihre spontane

Zugriffsweise?

Fortschritt im mathematischen VerständnisFortschritt im mathematischen Verständnis

Zahlen nicht nur Zählinstrumente oder Instrumente zur Abbildung konkreter Mengen, sondern als Möglichkeit zur Modellierung von Beziehungen zwischen Zahlen

Sachaufgabe

Auf dem Spielplatz sind 6 Kinder. 4 davon sind Jungen, der Rest Mädchen.

Wie viele Mädchen spielen auf dem Spielplatz?

SachaufgabenAuf Teile-Ganzes-Schema aufbauend Vorgabe anspruchsvoller TA, die Relationen zwischen Mengen abbilden:

Michel und sein Freund Alfred spielen Murmeln. Alfred hat 2 Murmeln mehr als Michel. Zusammen haben sie 10 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Michel?

In Evas Regal stehen 168 Bücher. Das Regal hat 3 Fächer. In jedem Fach stehen 10 Bücher mehr als im darunter liegenden. Wie viele Bücher stehen in jedem Fach?

Spezifische Voraussetzungen im mathematischen Bereich

Suche nach Nadelöhren

Rechnen

Zahlenkenntnis Mengenkenntnis

Integration von Zählzahlund Menge

Zerlegbarkeit von Mengen

Hypothesen:

Entwicklungsprobleme beginnen auf Stufe 3: Kinder verknüpfen Mengen und Zahlwortwissen nicht, zählen von 1 an

Auffällig rechenschwache Kinder haben noch in der 2. Klasse Stufe 5 nicht erreicht, also nur unzureichendes Wissen über Zerlegung von Mengen

Arbeitsauftrag

Wählen Sie ein Kind in der Klasse aus, von dem Sie annehmen, dass es SchwierigkeitenBeim Rechnen lernen hat.

Versuchen Sie so genau wie möglich zu beschreiben

-was das Kind kann-- was es noch nicht kann.

Was ist mathematische Grundbildung?

Zur mathematischen Grundbildung gehört nicht nur das Beherrschen von Rechenroutinen. Es geht auch um mathematische Kompetenzen wie:

• mathematisieren und modellieren

• Probleme erkennen und lösen

• Mathematische Darstellungen verstehen

• über den Einsatz von Mathematik reflektieren

Wissenserwerb als Konstruktionsprozeß

Wissenserwerb als Konstruktionsprozeß

Rechnen lernen nicht sukzessiver Erwerb allgemein gültigen Regelwissens;

Sondern allmähliche Zunahme von Verständnis über die Beziehungen, die zwischen Zahlen bestehen als aktives Konstruieren von Sinnzusammenhängen durch das jeweilige individuelle menschliche Subjekt (konstruktivistisch-individuelle Rahmung)

Fortschritt im mathematischen VerständnisFortschritt im mathematischen Verständnis

Zahlen nicht nur Zählinstrumente oder Instrumente zur Abbildung konkreter Mengen, sondern als Möglichkeit zur Modellierung von Beziehungen zwischen Zahlen

Inhalte - Formate - Größe des Zahlen-raums (Anforderungen von Aufgaben)

Format: a + b = cZerlegen von MengenBeziehungen zwischen Zahlen verstehen

Inhalte: AlgorithmusSachaufgaben (z.B. mit lebensweltlichem Bezug)

Aufgabenbeispiel aus VERA

Eine Tüte mit Sammelkarten kostet 2.50 Euro. In einer Tüte sind 6 Karten. Tom hat sich schon 30 Karten gekauft.Er kauft noch 8 Tüten.

A) Wie viele Tüten hat Tom insgesamt gekauft?

B) Wie viel Geld hat Tom für die Sammelkarten ausgegeben?

Aufgabenbeispiel aus PISA

Wie kannst Du einen Geldbetrag von genau 31 Cent hinlegen,Wenn Du nur 10 Cent, 5 Cent und 2 Cent Münzen zur Verfügung hast?

Schreibe alle Möglichkeiten auf.

7 Brötchen kosten 3.15 Euro. Was kosten 11 Brötchen?

Welche Anforderungen enthält die nachfolgende Aufgabe?

Auf einer kleinen Malediveninsel reicht derFrischwasservorrat für 150 Personen 21 Tage. Wie langereicht der Vorrat, wenn 450 Personen auf der Insel leben?

Auf einer Strecke von 900 km verbraucht Herr Fröhlichsneues Auto 54 l Benzin. Wieviel Benzin verbraucht es beigleichem Verbrauch auf einer Strecke von 300 km?

Welche Anforderungen enthält die nachfolgende Aufgabe?

Lukas und seine Schwester Anna sammeln Mangas. Zusammen haben sie 136 Bände. Lukas hat 12 weniger als Anna. Wie viele Mangas hat Lukas, wie viele Anna?