CURVATURA

La medida en la cual se desvía un determinado objeto geométrico se conoce como curvatura. Existen básicamente dos tipos principales de curvatura: curvatura intrínseca y extrínseca. Para los objetos que se encuentran en un espacio diferente, en este tipo de enfoque que se relaciona con la curvatura del radio del círculo que traza el objeto correspondiente, se define una curvatura extrínseca. El círculo puede ser el ejemplo más sencillo de una curvatura extrínseca dado que encada punto de la circunferencia; la curvatura es igual al recíproco del radio. La curvatura intrínseca en la naturaleza es descrita por la variedad de Riemann en cada punto.

Una curvatura en un plano pertenece a una cantidad escalar, mientras que en 2D o 3D, la identidad de la curvatura es definida como un vector en el cual tanto la nitidez como la dirección de inclinación es considerada.

Curvatura de una Recta: Un círculo de radio l/ k es formado por la recta en caso que tenga la misma curvatura en todos sus puntos. En cada uno de los puntos la curvatura puede ser calculada como

Consideremos algunos de los casos de la siguiente fórmula:

En el caso que la curva y su correspondiente ecuación sean de la forma

Entonces en P la segunda derivada resultará ser positiva lo cual significa que la pendiente incrementará con el recorrido de la recta transversa.

En el caso que la curva y su correspondiente ecuación sean de la forma

Entonces en P la segunda derivada resultará ser negativa lo cual significa que la pendiente disminuirá con el recorrido de la recta transversa.

Y en el caso que la curva y su correspondiente ecuación sean de la forma

Este gráfico representa la curvatura cero. Este es el punto de inflexión de la pendiente.

Curvatura de la Superficie: La curvatura de una superficie puede ser negativa o positiva. Sin embargo, en el caso de una curvatura positiva se forma una superficie esférica. Hay ciertos casos relacionados con la curvatura de la superficie:

Si la superficie es plana, entonces en cada punto de la superficie la curvatura resulta ser 0. Esta denota una esfera de diámetro infinito.

Al tomar parte de la esfera la cual a su vez toca el plano, con el cambio de giro de la curvatura hacia nosotros dentro de dos dimensiones, se obtiene una curvatura positiva.

De igual manera, al tomar la parte de la esfera en la cara opuesta del plano, con el cambio de giro de la curvatura hacia afuera dentro de dos dimensiones, se obtiene una curvatura negativa.

La curvatura también puede ser encontrada con la ayuda de la longitud de la cuerda así también como con la del arco. Para esto, considere dos puntos cualesquiera P y Q en la curva C y cuya longitud del arco sea s (P, Q) y la longitud del segmento de recta es d (P, Q). Entonces, en Pla curvatura de la curva C es dada por:

En lugar de s (P, Q) en el denominador, también se puede colocar de (P, Q). Esta fórmula mantiene su importancia en cualquiera de las dimensiones. Una singularidad en el punto P también puede incluirse dentro de esta definición en el caso de que el límite se considere en ambos lados de forma independiente.

Una técnica común en la física es integrar un campo vectorial a lo largo de una curva. Dado una partícula en un campo vectorial gravitacional, donde cada vector representa la fuerza que actúa en la partícula en ese punto del espacio, la integral curvilínea es el trabajo hecho sobre la partícula cuando viaja a lo largo de cierta trayectoria.

La integral curvilínea se construye análogamente a la integral de Riemann y existe si la curva es rectificable (tiene longitud finita) y el campo vectorial es continuo.

Dado un campo vectorial F(x) y una curva γ(t) de a a b se define la integral curvilínea como

Algunas reglas simples para el cálculo de los integrales curvilíneas son

EJEMPLOS:

DEFINICIÓN DE TORSIÓN

Torsión, con origen etimológico en el latín (torsĭo), es un término que alude al acto y el resultado de torcer. El concepto suele referirse específicamente a aquello que se tuerce en sentido helicoidal (como hélice).

En el ámbito de la ingeniería, la torsión mecánica consiste en la aplicación de un momento de fuerza sobre el eje longitudinal de una pieza prismática.

La barra de torsión se emplea en los automóviles para conectar los ejes de la suspensión. Esta pieza de acero busca conseguir que el chasis se mueva lo menos posible cuando el vehículo gira. La barra de torsión, de este modo, incrementa la estabilidad del automóvil al conservar sin alteraciones su geometría.

Los resortes de torsión, por otra parte, trabajan mediante giros. De este modo, almacenan energía mecánica al ser girados, que luego devuelven cuando se liberan. Las trampas que se utilizan para cazar ratones, iguales que aquellas que suelen verse en las series de dibujos animados o caricaturas, funcionan con resortes de torsión.

En el terreno de las matemáticas, la idea de torsión puede vincularse a una curva o a un tensor geométrico. La noción también aparece en la física (campo de torsión).

Se llama torsión gástrica a un trastorno gástrico severo que pueden sufrir los perros y otros animales domésticos. Se cree que la torsión se produce cuando el estómago acumula muchos gases y se genera una gran dilatación que impide a los ligamentos seguir sujetándolo; el bazo, con su peso, provoca entonces que el intestino gire. Esta torsión estrangula los vasos sanguíneos e impide que la sangre irrigue los órganos y se oxigene. Por eso la torsión gástrica suele derivar en la muerte del animal.

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma.

Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante es un simple problema de geometría, tal como se ve en la figura.

Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.

Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.

Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.

Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal.

Se determina el ángulo θ entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes: at=a cosθ  y an=a sinθ

FÓRMULAS DE FRENET

Aplicaciones a la Ingeniería Mecánica

 Desde tiempos ancestrales el papel del ingeniero ha sido básicamente el mismo, tratar de conocer e interpretar los mecanismos de la naturaleza para así poder modificarla al servicio del hombre. Para ello ha utilizado sus conocimientos, intuición, experiencia y los medios naturales a los que en cada momento ha tenido disponibles. Con el gran poder de cómputo que se tiene en estos días, el ingeniero dispone de grandes ventajas para poder llevar a cabo su misión y abordar cada día retos más ambiciosos en la solución de nuevos problemas, cuyos aspectos políticos, económicos, científicos o tecnológicos pueden tener mayor impacto en la mejora de la calidad de la vida del hombre.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. El análisis numérico trata de diseñar métodos para "aproximar" de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones "apropiadas" a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.

Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:

1. Cálculo de derivadas2. Integrales3. Ecuaciones Diferenciales4. Operaciones con matrices5. Interpolaciones6. Ajuste de curvas7. Polinomios

Encontramos así aplicaciones de los métodos numéricos en los ámbitos más diversos desde sectores tecnológicos tan clásicos como la ingeniería estructural, o la aerodinámica de aviones, hasta aplicaciones más sofisticadas como la ingeniería de alimentos, ingeniería médica, ingeniería mecánica, diseño de fármacos, biología, etc. En la actualidad, gracias a la gran evolución que han tenido los métodos numéricos y su implementación en potentes computadoras, es posible, por ejemplo, modelar el chique de un vehículo o hacer el análisis aerodinámico estructural de una avión, resolviendo en cada caso sistemas algebraicos de ecuaciones con varios cientos de miles (a veces millones) de incógnitas.

Una rama muy importante de la ingeniería, es el estudio de la mecánica de fluidos, en donde las ecuaciones que gobiernan el fenómeno físico tienen ciertas peculiaridades que las hacen difíciles de

abordar desde el punto de vista numérico. Un aspecto muy importante de una aplicación de la Mecánica de Fluidos es el de generar laboratorios virtuales para modelar fenómenos físicos. Por ejemplo el túnel de viento para modelar el paso de un vehículo a una cierta velocidad y determinar el coeficiente de penetración en el aire, el cual puede incidir en el gasto energético del vehículo para poder mantener una velocidad constante. Podemos observar un ejemplo de esto en la siguiente imagen:

Existen también problemas acoplados fluido-estructura, en donde el resultado de uno influye en los resultados que se esperan del otro. Un ejemplo muy típico de este tipo de problemas acoplados es el modelado de la vela de un barco. En este tipo de problemas, cuando el viento sopla sobra la vela, la deforma geométricamente hablando y modifica las presiones que el viento provoca sobre la vela. De esta forma la geometría de la vela se ve alterada, y los esfuerzos que actúan sobre la vela, pueden a su vez deformas aún más la geometría. Si no se realiza una simulación realista de este tipo de fenómenos, los resultados numéricos no representarán el fenómeno físico real.