MĂSURĂTORI GEODEZICE PRIN UNDE

CURSUL 4. Oscilaţii şi unde

Oscilaţii şi unde

Definire, Clasificări, Mărimi caracteristice, Oscilaţii armonice, Oscilaţii cvasi-armonice, Propagarea oscilaţiei armonice, unda plană, Modulaţia undelor armonice

Oscilaţii şi undeDefinire

Se numeşte oscilaţie (sau mişcare oscilatorie) fenomenul fizic în decursul căruia anumite mărimi ale unui sistem fizic variază în timp în mod periodic sau cvasiperiodic, având loc o transformare a energiei dintr-o formă în alta reversibil sau parţial reversibil.

Un sistem fizic izolat, care este pus în oscilatie printr- un impuls, efectueaza oscilatii libere sau proprii, cu o frecventa numita frecventa proprie a sistemului oscilant.

Sistemul care oscilează = oscilator, Mişcarea rezultată = oscilaţie, Oscilatiile pot fi clasificate în functie de mai multe

criterii.

Unda

Reprezintă procesul de propagare a oscilaţiei într-un mediu ambiant,

Unda este un fenomen periodic, Energetic are aceleaşi caracteristici ca şi

oscilaţia.

Caracterizarea oscilaţiilor şi a undelor

Caracterizarea cantitativă a unei oscilaţii se foloseşte elongaţia – funcţie care depinde de timp,

Caracterizarea unei unde se foloseşte funcţia de undă – funcţie care depinde de timp, dar şi de variabile spaţiale,

Oscilatiile pot fi clasificate în functie de mai multe

criterii.

În funcţie de constanţa perioadei T

Oscilaţii periodice, dacă oscilatorul revine în aceeaşi stare după un interval de timp T,

Oscilaţii cvasi-periodice dacă oscilatorul revine în aceeaşi stare după un intervale puţin diferite

În funcţie de constanţa energiei oscilatorului

Proces de oscilaţie reversibil, dacă energia oscilatorului se păstrează constantă,

Proces de oscilaţie parţial reversibil, dacă energia oscilatorului se pierde cedînd-o mediului ambiant,

Din punct de vedere al naturii oscilaţiei

Mecanică,(pendul mecanic) Electrică,(tensiunea electrică în circuitul alternativ) Scalară oarecare,(oscilaţiile unui pod sub sarcină variabilă) Electromagnetică, (oscilaţiile unui pendul electromagnetic )

Din punct de vedere al formei de energie dezvoltata în timpul oscilatiei

oscilatii elastice, mecanice (au loc prin transformarea

reciproca a energiei cinetice în energie potentiala), oscilatii electromagnetice (au loc prin transformarea

reciproca a energiei electrice în energie magnetica), oscilatii electromecanice (au loc prin transformarea

reciproca a energiei mecanice în energie electromagnetica).

Din punct de vedere al conservarii energiei sistemului oscilant

oscilatii nedisipative, ideale sau neamortizate (energia totala se conserva),

oscilatii disipative sau amortizate (energia se consuma

în timp), oscilatii fortate sau întretinute (se furnizeaza energie din

afara sistemului, pentru compensarea pierderilor).

Marimi caracteristice oscilatiilor periodice

Sa notam cu S(t) marimea fizica ce caracterizeaza o oscilatie.

Atunci, daca T este perioada oscilatiei, marimea S are aceai valoare la momentul t si la un moment ulterior, t + T:

S(t) = S(t+T )

Media lui S pe o perioadă se calculează prin relaţia:

Prin definiţie, valoarea efectivă a lui S este dată de:

Alte mărimi caracteristice:

amplitudinea A frecvența viteza unghiulară perioada T faza

Oscilaţia armonică

Oscilatiile armonice reprezinta acel tip de oscilatii în care marimile caracteristice se pot exprima prin functii trigonometrice (sinus, cosinus ) sau prin functii exponentiale de argument complex.

Exemplu

Oscilaţia armonică poate fi reprezentată graficca proiecţia pe axa OY a unui vector A, numit fazor,

care se roteşte în jurul originii O

Unghiul Φ care determină poziţia fazorului A la momentul t, se numeşte faza oscilaţiei

Starea oscilaţiei la momentul t este determinată de faza Φ prin relaţia

iar din relaţia anterioară

care reprezintă faza oscilaţiei la momentul iniţial t = 0 şi se mai numeşte constanta de fază sau unghi de fază

rezultă

Valoarea maximă atinsă de mărimea ce oscilează se numeşte amplitudinea oscilaţiei şi este egală cu A, adică

T reprezintă perioada oscilaţiei şi reprezintă timpul în care fazorul A execută o rotaţie

completă f se numeşte frecvenţa oscilaţiei

Starea oscilaţiei la momentul t se poate scrie

iar din relaţia anterioară

rezultă

Mărimea ω se mai numeşte frecvenţă circulară a oscilaţiei sau pulsaţie şi ne arată câte oscilaţii se efectuează în 2π secunde

În cazul oscilaţiilor cu fază diferită

Oscilaţia cvasi-armonică

Se obţine din oscilaţii prin modulaţie, iar parametrii A, ω şi nu mai sunt constanţi

ci sunt, la rândul lor funcţii de timp

Cazul general al oscilaţiilor cvasi-armonice

Propagarea oscilaţiei armoniceUnda plană

Propagarea din aproape în aproape a unei oscilaţii armonice în spaţiu se numeşte undă armonică plană şi dă naştere unei

unde cvasi-armonice. Acestea se utilizează în măsurătorile de distanţe pe cale

electromagnetică, în prezent. Propagarea oscilaţiei într-un mediu dat, nu se produce

instantaneu, ci cu o viteză finită , care depinde de proprietăţile mediului şi de natura oscilaţiei.

Ecuaţia de propagare a undei plane

În fiecare punct şi la orice moment, ecuaţia undei plane satisface o ecuaţie cu derivate parţiale, numită ecuaţia de

propagare, ce se obţine prin derivarea de ordinul unu şi doi în

raport cu variabilile t şi x ale ecuaţiei undei plane

Eliminând starea y a oscilaţiei din ecuaţiile anterioare se obţine ecuaţia de propagare a undei plane

Imaginea undei armonice plane în propagare

Modulaţia undelor armonice

Undele electromagnetice constituie un mijloc foarte bun de transmitere a informaţiei la distanţă,

Transmiterea informaţiei se face modificând, după o anumită lege, funcţie de timp, unul din parametrii oscilaţiei care generează unda,

Unda generată de oscilaţia: nu poate transmite informaţie, deci nu se poate folosi la măsurarea distanţelor dacă parametrii A, ω şi φ rămân constanţi.

Dacă în oscilaţia care generează unda se modifică amplitudinea A, sau unghiul de

fază φ atunci se poate transmite informaţie

În acest caz funcţia este modulată, iar semnalul corespunzător mesajului

transmis se numeşte semnal de modulaţie,

operaţiunea inversă modulaţiei se numeşte demodulaţie.

În funcţie de parametrul care variază în cadrul semnalului transmis:

Dublul distanţei (2D) va fi compusă

dintr-un multiplu N de lungimi de undă λ

a undei modulate şi diferenţa de fază Δλ

În continuare trebuie determinate fracţiunile de lungimi de undă Δλ şi numărul total de lungimi de undă N.

Într-o primă fază se determină fracţiunea de lungime de undă Δλ prin măsurarea diferenţei de fază dintre semnalul emis şi cel reflectat.

Semnalul emis are forma: Semnalul recepţionat are forma: Semnalul recepţionat este defazat faţă de cel emis cu valoarea:

Detectorul de fază poate determina din diferenţa de fază φ doar componenta Δλ.

Cu aceasta se poate calcula Δλ cu relaţia: