Cursul 1. Recapitulare liceuBibliografie:

1. G. Streinu-Cercel, G. Constantinescu, G. Oprea, Matematică. Manual pentru clasa a XI-a

ed. Sigma, Bucureşti, 2006.

2. C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Stănescu, Matematică. Elemente de algebră superioară. Manual

pentru clasa a XI-a ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1993.

3. C. Crăciun, L. Lupşa, Matematică pentru studenţi străini ed. Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1983.

Scopuri:

1) Utilizarea operaţiilor cu matrice

2) Calcularea valorii unui determinant; proprietăţiile determinanţilor

3) Determinarea inversei unei matrice

4) Rangul unei matrice

5) Metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare

1. Utilizarea operaţiilor cu matriceNoţiunea de matrice a intervenit în studiul sistemelor de ecuaţii liniare. Ea a fost introdusă

de matematicianul englez Artur Cayley în 1858.

Definiţia 1. Fie şi fie o mulţime de numere . Se numeşte

matrice de tipul cu elemente din , o funcţie ; notăm

sau .

Observaţia 1. Matricele sunt o generalizare a vectorilor; vectorii sunt matrice cu o linie

(matrice linie), sau cu o coloană (matrice coloană).

Definiţia 2. Matricea pătratică de ordinul , este o matrice cu

linii şi coloane.

Definiţia 3. Matricea linie este diagonala principală, iar matricea

coloană este diagonala secundară a matricei .

1

Mulţimea tuturor matricelor de tipul cu elementele din mulţimea se notează prin

.

Mulţimea tuturor matricelor pătratice de ordinul cu elemente din mulţimea se

notează prin .

Definiţia 4. Urma unei matrice , este suma

elementelor de pe diagonala principală; .

Definiţia 5. Două matrice de de tip , şi

se numsc egale dacă .

Definiţia 6. Fie matricele , ,

. Suma matricelor şi este matricea ,

cu , notată .

Teorema 1 (proprietăţile adunării matricelor). Pentru orice matrice

:

1) (comutativitatea)

2) (asociativitatea)

3) elementul neutru; , unde este matricea nulă (are

toate elementele 0) de tip .

4) matricea opusă , . Pentru

, avem .

Deci, mulţimea matricelor de tipul împreună cu operaţia de adunare are o structură

de grup abelian.

Definiţia 7 (înmulţirea cu scalari). Fie şi .

Produsul dintre numărul (numit scalar) şi matricea este matricea

, cu , care se notează cu .

Teorema 2 (proprietăţile înmulţirii cu scalari a matricelor). Pentru orice matrice

, şi :

1)

2)

3)

4) ,

2

5) .

Observaţia 2. Pentru a efectua produsul a două matrice trebuie ca numărul de coloane ale

primei matrice să fie egal cu numărul linii al celei de-a doua matrice.

Definiţia 8. Fie , şi

. Produsul matricelor şi (în această ordine), este matricea

, ; matricea produs se notează

.

Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie .

1) Oricare ar fi matricele , , :

(asociativitatea)

2) Oricare ar fi matricele , :

(distributivitatea înmulţirii la stânga faţă de adunare)

3) Oricare ar fi matricele , :

(distributivitatea înmulţirii la dreapta faţă de adunare)

4) Matricea unitate de ordinul , este element neutru faţă de

înmulţire, adică avem .

Observaţia 3. În general .

Definiţia 9 (ridicarea la putere a matricelor pătratice). Dacă , ,

definim şi , .

Observaţia 4. Observăm că , .

Definiţia 10. Transpusa unei matrice este matricea

definită prin .

3

Observăm că transpusa unei matrice se obţine din matricea iniţială schimbând liniile în

coloane şi invers.

Teorema 4 (proprietăţile transpunerii matricelor). Dacă iar

atunci

1)

2)

3)

4)

Exemplul 1. Fie soluţiile ecuaţiei , , şi

. Calculaţi .

Soluţie.

.

Folosind relaţiile lui Viete avem:

; ; .

Obţinem:

,

unde

Deci

4

.

Definiţia 11. Matricea se numeşte simetrică dacă .

Definiţia 12. Matricea se numeşte antisimetrică dacă .

2. Calcularea valorii unui determinant; proprietăţile determinanţilor

Definiţia 13. Determinantul unei matrice de ordinul al 2-lea, este numărul

211222112221

1211det aaaaaaaa

A .

Pentru calculul determinanţilor de ordinul 3 vom aplica următoarele trei reguli de calcul:

1. Regula lui Sarrus: scriem sub linia a treia primele două linii, apoi adunăm

produsul elementelor de pe cele 3 diagonale paralele cu direcţia şi scădem

produsul elementelor situate pe cele 3 diagonale paralele cu direcţia

Fig. 1

2. Regula triunghiului: evidenţiem “triunghiuri” cu vârfurile în elementele

determinantului, ca în Fig 2. Se adună produsele elementelor care se află pe

diagonala principală şi în vârfurile triunghiurilor ce au o latură paralelă cu aceasta

şi se scad produsele elementelor care se află pe diagonala secundară şi în vârfurile

triunghiurilor ce au o latură paralelă cu aceasta.

Fig. 2

3. Regula minorilor: dezvoltarea determinantului după o linie sau coloană

5

Alegem o linie sau o coloană şi înmulţim fiecare element , al acestei linii sau

coloane cu determinantul de ordin inferior obţinut prin eliminarea liniei şi a coloanei şi cu

şi adunăm produsele astfel rezultate şi obţinem valoarea determinantului.

Definiţia 14. Determinantul unei matrice de ordinul este numărul

,

unde cu se notează minorul elementului , adică determinantul matricei de ordinul

care se obţine din matricea eliminând linia şi coloana .

Proprietăţile determinanţilor sunt:

1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matrici transpuse.

Datorită acestei proprietăţi putem transcrie proprietăţile obţinute pentru liniile unui

determinant la coloanele sale şi reciproc.

2. Dacă o matrice are o linie (sau o coloană) cu toate elementele 0, atunci

determinantul ei este egal cu 0.

3. Dacă înmulţim toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice cu un

număr, valoarea determinantului matricei se înmulţeşte cu acel număr.

.

Ca o consecinţă a acestei proprietăţi: , , .

4. Dacă într-o matrice adunăm la elementele unei linii (respectiv coloane), elementele

corespunzătoare unei alte linii (respectiv coloane) înmulţite cu un număr, atunci

valoarea determinantului matricei astfel formate este aceeaşi cu a determinantului

matricei iniţiale.

5. Dacă o matrice are două linii (respectiv două coloane) proporţionale, atunci

determinantul ei este nul.

6

6. Dacă schimbăm între ele două linii (sau două coloane) ale unei matrice pătratice,

atunci determinantul îşi schimbă semnul.

7. Dacă două matrice diferă printr-o singură linie (sau coloană), atunci suma

determinanţilor acestor matrice este egală cu determinantul matricei care are pe

linia respectivă (coloana respectivă) suma elementelor liniilor (sau coloanelor)

respective ale celor doi determinanţi.

8. Determinantul produsului a două matrice pătratice (de acelaşi ordin) este egal cu

produsul determinanţilor acestor matrice.

Dacă atunci

9. Dacă o linie (respectiv coloană) a unei matrice este o combinaţie liniară a

celorlalte linii (respectiv coloane) ale matricei , atunci determinantul matricei

este nul (şi reciproc).

Exemplul 2. Calculaţi valoarea determinantului

, .

Soluţie.

7

3. Determinarea inversei unei matrice

Definiţia 15. Pentru matricea , matricea care satisface condiţiile

şi constituie matricea inversă a lui şi este notată cu .

Nu toate matricele pătratice sunt inversabile.

Teorema 5. Matricea este inversabilă dacă şi numai dacă .

Matricele inversabile se numesc nesingulare iar cele neinversabile se numesc matrice

singulare.

Teorema 6 (proprietăţile matricelor inversabile). Dacă sunt nesingulare

atunci

1)

2) produsul este de asemenea o matrice nesingulară

3)

4)

Pentru a găsi inversa unei matrice se procedează astfel:

Etapa I. Calculăm . Dacă , atunci este inversabilă.

Etapa II. Scriem matricea transpusă a matricei , notată .

Etapa III. Scriem matricea adjunctă (reciprocă) , notată , înlocuind fiecare elemnt al

matricei transpuse prin complementul său algebric, notat , ce se calculează astfel:

, unde este minorul elementului din matricea .

Etapa IV. Obţinem matricea inversă a matricei folosind relaţia

8

.

4. Rangul uni matrice

Definiţia 15. Fie matricea , şi , . Un

determinant de ordin , format cu elementele matricei situate la intersecţia a linii şi

coloane, se numeşte minor de ordinul .

Definiţia 16. Matricea nulă are rangul 0. Dacă matricea , nu este

nulă, există un număr , , astfel încât cel puţin un minor de ordinul este nenul

iar toţi minorii de ordin mai mare decât (dacă există sunt nuli), atunci constituie rangul

matricei şi se notează cu .

Propoziţia 1. Dacă matricea , atunci .

Pentru a determina rangul unei matrice vom proceda astfel:

Etapa I. Calculăm minorii de ordin maxim până când găsim un minor nenul.

Etapa II. Dacă nu găsim un minor nenul în etapa precedentă vom calcula minorii de ordin

inferior.

Teorema 7. dacă şi numai dacă toţi minorii de ordinul (dacă există) sunt

nuli.

5. Metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniareForma generală a unui sistem liniar este:

unde:

sunt necunoscutele sistemului,

numerele sunt coeficienţii necunoscutelor,

sunt termenii liberi ai sistemului.

Unui sistem liniar îi asociem următoarele matrice:

matricea sistemului,

matricea termenilor liberi.

9

matricea necunoscutelor,

matricea extinsă a sistemului care se obţine

adăugând la matricea coloana termenilor liberi.

Definiţia 17. Se numeşte soluţie a sistemului de ecuaţii liniare un sistem ordonat de

numere astfel încât înlocuind necunoscutele respectiv prin

este verificată fiecare din ecuaţiile sistemului.

Definiţia 18. Un sistem este

compatibil dacă are cel puţin o soluţie,

compatibil determinat dacă are soluţie unică,

compatibil nedeterminat dacă are o infinitate de soluţii,

incompatibil dacă nu are soluţii.

Vom prezenta următoarele metode de rezolvare a sistemelor liniare:

Metoda lui Cramer permite rezolvarea sistemelor liniare de ecuaţii cu

necunoscute având determinantul asociat matricei sistemului nenul.

Teorema 5. Dacă sistemul

(1)

are determinantul nenul, atunci soluţia sa utilizând metoda lui Cramer este , unde

, fiind determinantul obţinut din prin înlocuirea coloanei

corespunzătoare coeficienţilor necunoscutei cu coloana termenilor liberi, adică

.

Metodă de rezolvare a sistemelor liniare de ecuaţii cu necunoscute.

1) Se determină .

10

2) Se alege un minor principal .

3) Se precizează: necunoscutele principale şi secundare şi de

asemenea ecuaţiile principale (ecuaţiile ) şi ecuaţiile secundare (celelalte

ecuaţii). Dacă există ecuaţii secundare se calculează minorii caracteristici

(minorul obţinut din minorul principal, prin bordarea acestuia cu elementele

corespunzătoare ale coloanei termenilor liberi şi câte una din liniile rămase); numărul

minorilor caracteristici este egal cu numărul ecuaţiilor secundare şi este egal cu .

4) Se stabileşte dacă sistemul (1) este compatibil.

Teorema 6. (Teorema lui Rouche) Un sistem de ecuaţii este compatibil dacă şi numai

dacă toţi minorii caracteristici sunt nuli.

5) Dacă sistemul este compatibil soluţia sa se obţine prin rezolvarea sistemului principal

(sistemul format din ecuaţiile şi necunoscutele ai căror coeficienţi formează minorul

principal, trecând în membrul drept termenii care conţin necunoscutele secundare şi

atribuind acestor necunoscute secundare valori arbitrare):

- dacă numărul necunoscutelor secundare este 0 sistemul este compatibil determinat;

- dacă există necunoscute secundare, sistemul este compatibil nedeterminat; numărul

necunoscutelor secundare arată gradul de nedeterminare.

Metoda matriceală permite rezolvarea sistemelor liniare de ecuaţii cu

necunoscute având determinantul asociat matricei sistemului nenul.

Un sistem liniar de ecuaţii cu necunoscute poate fi exprimat matriceal astfel:

,

unde:

este matricea sistemului (de ordinul ),

este matricea necunoscutelor (matrice coloană),

este matricea termenilor liberi (matrice coloană).

În cazul , dacă matricea este inversabilă, înmulţind la stânga ecuaţia cu

obţinem

,

deci .

Teorema 6. Dacă atunci este soluţia unică a sistemului considerat.

11

Definiţia 19. Un sistem liniar în care toţi termenii liberi sunt nuli se numeşte omogen.

Forma generală a unui sistem liniar omogen de ecuaţii cu necunoscute este

, .

Orice sistem liniar omogen este compatibil, având întotdeauna cel puţin soluţia nulă

.

Dacă este rangul matricei sistemului, avem cazurile:

dacă atunci sistemul este compatibil determinat, având soluţia unică ;

dacă atunci sistemul este compatibil nedeterminat.

Exemplul 3. Rezolvaţi sistemul:

Soluţie.

Observăm că , ; matricea sistemului are rangul .

Deoarece toţi cei 4 minori de ordinul 3 sunt nuli, iar rezultă ; deci

sistemul este compatibil nedeterminat.

Necunoscutele principale sunt ; notăm .

Mulţimea soluţiilor sistemului este .

12