Cursul de Modelare $i simulare se ocupa cu studiul principiilor, metodelor ~i tehnicilor princare obiecte din lumea reala, fenomene, operatii si instalatii tehnologiee, (numite genericprocese), sunt reprezentate matematic ~iapoi analizate indirect utilizand tehnica de calcul.Modelarea si simularea sunt, intr-un mod specific, etape esentiale, necesare, in majoritateaactivitatilor umane.Astfel, in general, se parcurg urmatoarele etape:

~ analiza de sistem - implica formularea problemei, precizarea scopurilor, delimitareadintre "sistemul" studiat ~i "mediu" (tot ceea ce este "exterior" sistemului). Se pun inevidenta marimile caracteristice, factorii specifici ~.a.m.d.

~ modelare - se determina relatiile dintre marimile caracteristice, se construie~te 0"imagine" a obiectului real, un model "simplificat" al procesului considerat.

~ simulare - presupune efectuarea unor "experimente" cu modelul, testarea si validareamodelului, prevedereaevolutiilor viitoare;

~ decizie, actiune - in care pe baza rezultatelor experimentelor de simulare se determinaactiuni, se iau deeizii ( inclusiv decizii de conducere) etc.

Analiza desistem

Indiferent care este scopul unei activitati umane rationale, dupa precizarea si delimitareaproblemei, analistul ia in considerare 0 serie de factori pe care-i considera importanti siconstruieste 0 imagine proprie, un "model" al procesului respectiv.Modelul constituie deci, 0 reprezentare simplificata, aproximativa a realitatii, in care seignora in mod voit ( sau poate involuntar) 0 serie de detalii, dar care este consideratsatisfacator in raport eu obiectivul propus. Folosind acest model, analistul incearca saprevada, sa deduca cum se vor desfasura fenomenele, realizand astfel un "experiment desimulare" .In functie de rezultate se pot lua decizii (inclusiv decizii de conducere), se stabilescactiuni etc.

Sistem.In general in domeniul tehnic, un sistem este definit ca un obiect sau ansamblu de

entitati, de elemente interconectate, ce interactioneaza intr-un anumit mod pentru a realizaun obiectiv, un scop, cu anumite performante.

In particular, in automatica, obiectul din lumea realii, fenomenul, procesul tehnologic,instalatia, se nume~te sistem (fizic).

Tot ceea ce nu apartine sistemului face parte din lumea exterioara (mediu).Linia de separatie dintre sistem ~i mediu pune in evidenta marimile de intrare I -

marimi "cauza" (u) ~i marimile de ie~ire E - marimi "efect" (y), determinate princauzalitatea intrare-ie§ire.

Obs. Sistemul depinde esential de de obiectivele studiului, analizei; ceea ce intr-un cazeste considerat un "sistem", in alt context poate fi doar un "subsistem" component alunuia mai complex.

Stare.Starea x(t) a unui sistem, se defineste ca fiind iriformafia minima necesara la un

moment dat de timp t, care impreuna cu intrarile ulterioare u(t) , determina univocevolutia ie~irilor y(t).

Multimea tuturor variabilelor de stare (liniar independente) , formeaza vectorul destare x(t).

Model.in domeniul ~tiintelor tehnice, experimentul ~i observatia ( masurarea) constituie

aspecte esentiale pentru un model ce se elaboreaza iterativ.In ultima instanta, elaborarea unei teorii reprezinta construirea unui model (verbal sau

matematic) al realitatii.Def: Modelul este reprezentarea intr-o forma utilizabila, a cuno~tintelor, a aspectelor

esentiale ale unui sistem.

Observatia 1. Modelul este 0 reprezentare simplijicata, deci aproximativa asistemului real. Nu e de regula nici posibil, nici necesar sa se realizeze 0 descriereatnanuntita a tuturor mecanismelor interne: E suficient ca modelulsa reproduca, .sa' .mimeze, suficient de exact comportarea sistemului real.

Observatia 2. Exista multe tipuri de modele ~ianume:> modele jizice ("empiriee" sau "laseara redusa"- de' exemplu in clomeniul

ehimiei, elaborarea unei noi tehnologii se incepe eu faza de "mieropilot" ainstalatiei, cand se testeaza procesul tehnologic pe acest model fizic urmand caapoi sa se realizeze instalatia industriala).

~ modele fenomenologice ("conceptuale" - sistemele reale respective suntdescrise prin anumite legi fizice )

~ modele funclionale ("formale" - sistemul e reprezentat prin relatii funetionale,scheme functionale)

> modele matematice ("analitice").Observatia 3. Modelul trebuie sa fie intr-o "forma utilizabila", deoarece modelul nu

este un seop in sine. El constituie doar 0 baza pentru analiza, pentru luarea deciziilor; in acestsens modelul trebuie sa fie de 0 complexitate cat mai redusa in eoncordanta cu obiectivelestudiului.

Definitie. Simularea este 0 metodaexperimental-aplicativa prin care se realizeaza, se··implementeaza, de obicei pe un calculator, un model al unui sistem real in vederea analizeiindirecte a acestuia.

Modelarea ~i simularea sunt instrumente de analiza a sistemului. Simularea este utilain special in eazurile in care analiza directa este imposibila:

• sistemul nu are inca 0 existenta reala ( este in faza de proiectare)• sistemul nu poate fi pus la dispozitia analistului pentru experimentari directe (ex. in

aviatie)• exista pericolul producerii unor pagube prin experimentare directa (ex. baraj

hidroenergetic)• sistemul este caracterizat prin evolutii foarte lente in timp - ( ex. de ordinul lunilor,

anilor - cazul sistemelor economice, sociale)• nu pot fi generate direct conditiile de (experimentare ( ex. comportarea dinamica a

unei cladiri in cazul cutremurelor).

Experimente cusistemul real

Modelfizic

• Nu se pot obtine solutii, rezultate, foarte exacte, pentru ca principial modele Iesunt imperfecte ( modelele fiind aproximari ale lumii reale, materiale).

• Exista erori (in preeizarea datelor, a parametrilor, a conditiilor de simulare)care nu pot fi in totalitate compensate.

• In cazul proceselor foarte complexe, modelul de simulare poate deveni maicomplex decat procesuIInsu~i.

• eel mai important dezavantaj este aeela ea nu se genereaza solu{ii analitice.

Exista 0 mare diversitate de tipuri, de clase de modele, alegerea modului dereprezentare depinzand de obiectivele studiuh~i Deasemeneamajoritatea erite~jilor de .clasificare au dezavantajul de a nu reu~i sa caracterizeze complet, In totalitate fiecare model Inparte.

Criterii1. Dupa natura modelului, exista modele:

• fizice (empiriee),• fenomenologice (conceptuale),• matematice (simbolice -formale sau analitice).

2. Dupa caracterul dinamic al modelului, exista modele• dinamice·• statice.

In modelele dinamice variabilele caraeteristic~, starile, ie~irile depind ~i de "istorie", deevolutia anterioara a aeestora.Ex. model dinamie in reprezentare de stare:

{X = !(x,u,t)

tERy=g(x,Y,t)

Model dinamic in reprezentare de stare in timp discret:

{X(k + 1) = !(x(k),u(k),k) d k Z, un e E .y(k) = g(x(k),y(k),k)

3.Dupa gradul de liniaritate sunt modele:• liniare ~i

.• neliniare.

{X=Ax+BU

, eu L:(A,B,C,D) pentru sisteme liniare.y=Cx+Du

{X = !(x,u,e,t) , _ pentru sisteme neliniare (unde .B-este veetorul parametrilor).y = g(x,u,e,t) '.' ..' .

Obs. 0 clasa speciala de modele este clasa modelelor liniare in parametri.Ex: y(k)=rpT(k)·B

unde B- este vectorul parametrilor iar (;l este vectorul "observatiilor" intrare-iesire

.4.Exista modele:• variante In timp sau• invariante In timp.

. ., {X(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t)Ex. model varzant m tlmp

yet) = c(t)x(t)E suficient ca doar una din matricele A, B, C sa fie dependenta de timp.In cazul modelelor invariante in timp aplidind acelea~i intrari decalate cu 't, se obtinraspunsuri identice, dar decalate cu acela~i interval 'to

5. Dupa caracterul structural, sunt• modele funcfionale -( intrare-iesire lIE) ~i• modele structurale ( intrare-stare-iesire VSIE).

Ex: Modele funcfionale (sau VB) sunt de tip funcfie de transfer (SISO) - in domeniulcomplex sau din modele in domeniul timp ( ec. diferentiale).

Cafuncfie de transfer: Y(s)=H(s)·U(s)

I~ d . I' ~ diy ~b diu d I ~~, d d' I .n omemu timp: LJai-i = LJ i-i ~ mo e cu "mtarzlere e or mu n ~li=O dt i=O dt

cu anticipare de ordinul m",Aplicand transformata Laplace se obtine,echivalenta dintre cele doua reprezentari :

yes) R(s) bo + brs + + bm smH(s) = -- = -- = -------- , cu conditia de "cauzalitate" stricta n>m

U(s) A(s) ao + arS + + ansn

( neanticiparea iesirii in raport cu intrarea).Modelele structurale sau liSlE (intrare/stare/ie~ire): De ex, 0 forma echivalenta pentrumodelele anterioare (pentru an = 1) iar x(t) este stare a, poate fi L:(A,B,C,D)

[0 1 0 0] [OJ

[.] ° ° 1... 0 [] °x = . x + 'u(t)

........ 1 ...

-Qo -Qt ..·.. -Qn-t 1

y = [0 O bm bm-1 •••••. ho]· [;]

6. Dupa caracterul continuu sau discret al variabilei independente timp:• modele continue ~i• modele discrete.

- La sistemele discrete reprezentarea se face prin relafii de recurenfa in timp discret(ex. modele de tip ARMAX - AutoRegressive Moving Average with eXogenous)

sau reprezentari polinomiale VE in operatorul de intarziere q-l unde q-l f(k)= f(k-l) , sauechivalent de tip funcfie de-transfer in z.

Ex. Model ARMAXA(q-l)y(k) = B(q-l)u(k) + C(q-l)e(k)

A(q-l) = 1+a1q-l +...+anaq-na

B(q-l) =b1q-l +b2q-2 + ... +bnbq-fzb

C(q-l) = 1+ c1q-l +...+ cncq-nc

Ee(k)e(l) =)'}8o(k-l)

Vk,l EZLa sistemele continue variabilele de intrare u(t) ~i de ie~ire yet) sunt funetii continue intimp.

7. Dupa dependenta modelului de eoordonatele geometrice, modelele se pot imparti in:• modele cu parametri concentrati ~i• modele cu parametri distribuiti.

La modele Ie cu parametri eoneentrati marimile variabile au aeeea~i valoare indiferent decoordonatele geometrice ale punctului respectiv in care sunt precizate. In modelele cuparametri distribuiti, variabilele depind si de coordonatele geometrice , dinamica fiindexprimata prin ecuatii eu derivate partiale. De ex. in cazul unui sehimMtor de ealdura detip tub in tub, temperatura produsului Tp (x,t) depinde atat de timp cat si de coordonata x inlungul schimbatorului:

Fig.4. Schimbator de caldura elementar cu parametri concentratiObs. Modelele eu parametri distribuiti sunt aproximate deseori in automatic a prin modelecu timp mort.8. Deasemenea modelele pot fi

• parametricesau• neparametrice.

Modelele parametrice sunt caracterizate printr-un numar finit de parametri (ex.coefieientii ai , bj din functia de transfer, pe ca.nd la modelele neparametricecomportarea dinamiea se caraeterizeaza prin reprezentari grafice in domeniul timp saufrecventa.Ca exemple de modele neparametrice sunt: riispunsul pondere (la impuls Dirac),raspunsul indicial, caracteristica de frecventa (Nyquist), caracteristica Bode,caracteristica Nichols.

9. Dupa numarul de intrari/iesiri (1/0)• Modele SISO ( Single- Input-Single-Output)• Modele MIMO (Multiple- Input-Multiple-Output)• Modele SIMO si modele MISO

Incazurile simple, 0 data determinat modelul matematic, sistemul poate fianalizat- pe baza· .solutiilor analitice. In cazul modele lor mai complexe solutia analitica nu mai este posibila,fiind necesara utilizarea unui calculator. Simularea este 0 metoda experimental - aplicativaprin care se implementeaza pe un calculator, un model al unui sistem real in vederea analizeiindirecte a acestuia. Modelul matematic trebuie insa sa aiba 0 reprezentare adecvata numitamodel de simulare.Modelul de simulare depinde de programul de simulare sau de simulatorul utilizat. Exista 0

mare diversitate de programe ~i medii de simulare. Actualmente, mediile de simularespecializate, practic, nu mai necesita elaborarea de programe pentru obtinerea modelului desimulare, ci prin interfete grafice utilizator ( GUI - Graphical User Interface) asiguraposibilitatea selectarii prin meniuri a componentelor necesare, realizarea structurii, definireaparametrilor ~i executia simularii. Astfel de limbaje ~i medii de simulare sunt: MATLAB,MATLAB cu SIMULINK, SIMNON, LABVIEW, MATHCAD, MATHEMATICA,MAPLE, SIMAN, VISSIM (Visual Simulation).Un experiment de simulare consta in executia pe simulator a modelului de simulare pentruseturi de date ~i/sau parametri specificati. Forma de reprezentare a rezultatelor este foartediversa, de la cea mai simpla (tabel de valori), pana la reprezentari 2D sau 3D ~i utilizareaanimatiei pentru reprezehtarea evolufieiin tinip. '. .In particular, simularea este procesul de solutionare, de executie pe calculator a modele lor detip schema bloc.Schemele bloc sunt 0 componenta a unui "mediu de programare grafica "(vizuala) sau "mediide programare orientata pe obiecte"(MPOO).

Cele mai utilizate medii de simulare sunt :· Matlab - Simulink (firma Mathworks) ;· Lab View (National Instruments) ;· VisSim (Visual Solutions) ;· Easy 5 (Boeing) ;· Matrixx (Integrated Systems) ;· MathCad, Simnon, Siman.

Toate medii Ie de simulare ofera 2 funetii de baza :1. Editare grafica - pentru crearea, editarea ~i procesarea modelelor ; editorul

poate fi utilizat ~i pentru crearea modelului intrarilor, simuHirii (stabilireaconditiilor), prezentarea rezultatelor ;

2. Simulare propriu-zisa - executia. modelului prin itera.tiisliccesive ::-.caleul.numeric + integrare etc.

Mediile de simulare grafica sunt orientate pe schema bloc, deci nu este efectiv necesara 0

"programare" propriu-zisa. Cele mai utilizate sunt :· Matlab - Simulink ;· VisSim.

Ex. Menu-rile Simulink, blocurile Simulink, crearea unui program.Etape:

CD > > SimulinkFunetiile disponibile in Simulink pot fi accesate prin intermediul unor

blocuri aflate in biblioteci de functii Simulink. Fereastra activa permite selectia(double-click) unei subbiblioteci (ex. Simulink v 1.3 c).

Ex.Linear Library Sum

IntegratorGainState-SpaceTransfer FcnZero-Pole

SumatorIntegrare semnalMultiplicare cu 0 constanta a semnalului de intrareReprezentarea de stare a unui sistem liniarReprezentarea sub forma de functie de transferReprezentarea sub forma de poli-zerouri

CV Se deschide 0 noua fereastra pentru crearea modelului.New din meniul File -7 (se deschide 0 fereastra "untitled").

Q) Pentru crearea unui model blocurile necesare vor fi "mutate" dinsubbiblioteci in fereastra activa prin "tragere".

® Se realizeaza conexiunile intre..blocuri- (prin desenare ell mouse-ulapasat) ..~ Se configureaza blocurile (se stabilesc parametrii specifici fiecarui bloc)® Simularea propriu-zisa prin Start din meniul Simulation (anterior fiind

stabiliti "pararnetrii" de simulare - ex: stop time).Ex. de model grafic Simulink

(9-.j timpClock timp

Simularea este un proces iterativ cu urmatoarele etape:1. Stabilirea cadrului simularii - definirea sistemului de analizat, a obiectivelor, a

variantelor care se vor avea ill vedere, a criteriilor de apreciere;2. Construirea modelului matematic (modelarea analitica);3. Realizarea modelului de simulare ;4. Definirea experimentelor de simulare (inc1usiva datelor pentru validarea modelelor);5. Experimentul de simulare propriu-zis (verificarea ~i validarea modelului, bazata pe

experienta a celui care realizeaza simularea);6. Analiza ~i interpretarea rezultatelor.

Cap2. Modelarea analitica a proceselor tehnologice

Modelul este 0 reprezentare sub forma utilizabiIa, a cunostintelor, a aspectelor esentiale aleunui sistem.Modelul matematic este un model exprimat analWe prin relatii cantitative specifice ( ecuatiidiferentiale, ecuatii cu derivate partiale s.a.).In general un sistem fizic (un obiect din lumea reala ) este caracterizat printr-o serie devariabile specifice v=[ VI,V2... Vq ] si 0 serie de relatii Ri=R[VI, V2... vq]=O consecinte a~.:latHor fizice.In automatic a e esentiala introducerea unei orientiiri lIE (cauza /efect) in sensul ca uneledintre marimile specifice V sunt intrari (marimi cauza-u), altele sunt iesiri (marimi efect-y)altele sunt variabile interne (x stari).

v=uUyUxastfel incat relatiile Ri vor fi functii de intrari , iesirie, de vectorul de stare x si eventual devectorii parametrilor ()si timp t, in mod explicit:

Rlu,y,x, B,t)=O

Se spune ca modelul M reprezinta sistemul fizic S, daca distanta D(M,S) dintre model si.sistem e mai mica decat un € ales corespunzator:

D(M,S)s €Exemplu de definire a "distantei" D , pentru un set de N date intrare/iesire:

ND= L[y(i) - YM(i)] 2-

i=lD[M,S} ?f) (semipozitiv definim)D[M,S}=O => M=S (in realitate este imposibil ca modelul sa reflecte "exact" sistemul fizic)

Intrari

Sistemfizic

Obsl: Modelul matematic reprezinta 0 aproximare, 0 simplijicare a realitatii.Modelul nu poate (si in general nici nu trebuie) sa reprezinte exact sistemul real in toatacomplexitatea sa.

Obs2: In acelasi timp modelul matematic are 0 existenta de sine statatoare si extemarealitatii fizic masurabile.

Modelul are un caracter generalizator pentru 0 clasa de sisteme echivalente indiferentde natura fizica a fenomenelor pe care Ie caracterizeaza.Construirea modelui matematic se poate aborda in doua moduri:1) modelare analitica- ca 0 consecinta a legilor fizice ce descriu destasurarea

fenomenelor.2) modelare experimentalii ( sau identijicare) in care determinarea modelelor se face prin

prelucrarea datelor obtinute din masuratori experimentale.Daca modelul este cunoscut ca structura, doar parametrii 8 fiind necunoscuti, atunciproblema determinarii modelului se reduce la 0 problema de "estimare de parametri".

In g~ner~l pr~cesele ~ehnologi~e s~t C~~l~!~~a~de ~ux~ri m~sice sau volumice ~<p/Q)-numlte SI deblte maslce/volumlce- sl/sa~ergIe- numlte SI puter~ (w / p), care se mtroducin proces pentru a fi prelucrate in instalatia tehnologica si a se obtine fluxuri masice si/sau deenergie la iesire.

<Di<DeWi m

Qi > W > WePi (V) Qe

Pe

Dad notam, m / W, masa / energia, (volumul V) acumulate in process, atunci, consideramca procesul e in regim stationar daca exista un echilibru :

Procesul este in regim dinamic daca cele doua fluxuri nu sunt egale, diferenta lor fiind defapt egala cu viteza de variatie ( de acumulare/evacuare) a masei/energiei (mIW) sau cuvari.atia acestora in unitatea de timp:

dW<D'-<D=-1 e dt

Fluxurile au ca unitate de masura :

-pentru fluxuri masice (debit masic) < kg >s

m3

-pentru fluxuri volumetrice (debit volumic) <->s

-pentru fluxuri energetice ( puteri) < J >s

Indiferent care ar fi in particular procesul al dirui model dorim sa-l obtinem , in modelareaanalitica se parcurg urmatoarele etape:

1) evidentierea variabilelor si manmilor caracteristice: VI, V2, ... ,vq

2) determinarea pe baza legilor fizice ( conservarea energiei, a masei etc) a relatiilorRi[VI, V2, ... , vq]=o intre variabilele caracteristice.Tot in aceasta etapa se evidentiaza relatiile de regim stationar si regim dinamic

3) "Orientarea intrare-iesire" a modelului prin punerea in evidenta a variabilelor de tipcauzii (intrari - u) si respectiv elect( iesiri - y)

U\i ifv

4) "Liniarizarea" modelulm presupune :-"centrarea 11 variabilelor (trecerea Ia mici variatii in jurul "punctului static de

functionare" PSF, sau trecerea la variabile centrate);AV=v-vo

- "normarea 11 variabilelor raportand variabilele centrate Ia anumite valori deregim stationar ( de ex. Valorile corespunzatoare PSF -ului):

D.v *-=Vva

5) etapa de "validare" a modelului.

Procesele se incadreaza in c1asa de sisteme numite monocapacitive ( procesele au 0 singuracapacitate care poate acumula masa si/sau energie) fiind reprezentabile prin modelematematice de tip ecuatii diferentiale de ordin I.

:: ~IProces I[masa/ ]

[debit masic / VO!Umic]_ [debit masic / VO!Umic]= [ viteza ] = d energie = C dy

de int rare de iesire de acumu!are dt dt

Unde s-a notat in general:y-variabila dependenta (presiune, nivel, temperatura ...)C-capacitatea elementului de a acumula masa, energie (de ex. energie termica -caldura)

a) Modelarea unni proees de umplere /golire en gaz

Rezervorpentrugaze

• Evidentierea variabilelor specifice ( masa, densitatea, presiunea in rezervor si ceaexterna, debitele volumetrice, volumul rezervorului pentru gaze, temperatura absolutaTk, masa molara a gazului Jl .... )v=[m, p, p, pc, Ql, Q2, V, ... ]

• Legea conservarii masei revine la:dm

pQl-pQ2 = dt

-Dar legea gazelor perfecte exprima dependenta intre m- masa de gaz sip -presiuneam f-lV

pV=-RTk =>m=--pf-l RTk

f-lV dp---=Ql -Q2 =>pRTk dt

Obs. Se noteaza C = ~ - "capacitatea" pt. gaze a rezervoruluipRTk

Q2 (p) == a~ pep - Pc) =>evidentierea cauzalitatii ( separarea variabilelor lIE)

C dp + a~ pcP - Pc) = Ql (t) => model matematic neliniardt

(8Q2 J (p ) (82Q2)Q2(p) = Q20 + - . - Po + -2-8PO 8p 0

=>introducem "variabilele centrate" punand in evidenili regimul stationar (PSF)• !:i.p= P-Po

• Q2=Q20+ !:i. Q2• Ql=QlO+ !:i. Ql

Regimul stationar este regimul in care QlO= Q20= Qo=constant caruia ii corespunde p=po.Inlocuind si oprind din dezvoltarea Taylor °doartermenulliniar rezulta:

C d (POd; 6p) ~ QIO + Ll.Ql - [Q20 + (a~2 )6p]

Dadi se tine cont de regimul stationar (QlO= Q20= Qo) si se noteaza: (8Q2 J = _l_Op 0 Rp

inversul unei rezistente pneumatice, se obtine modelul matematic liniarizat in care variabilelelIE sunt "separate"( modelul in variabile "centrate" este "orientat" lIE):

C d!:i.p + _1_!:i.p = !:i.Qldt Rp

Modelul se poate exprima in forma cu "constante de timp" =>RpC!:i.p +!:i.p = Rp!:i.Q2

dtunde:T=RpC -constanta de timp [1]= s - secundeK=Rp -factor de proportionalitate (in regim stationar) [K]= bar/m3 Is

T d!:i.p +!:i.p = K!:i.Qldt

Echivalent modelul poate fi reprezentat sub forma "neparametrica" daca se caracterizeazaprin "raspunsul" obtinut pentru semnal "treapili" de debit de intrare, numit "raspuns indicial":

!:i.Q1

=!:i.Qo

=> rezulili rasunsul !:i.p(t) = K!:i.Qo[1 - e -1/ T]

Obs. 0 aWi forma eehivalenta de reprezentare a modelului este ea model functional de tip

fi d ,.r, S b· H(s) __ b.p(s) -- ~unctie e transJer. eo tme: ---b.Q,(s) Ts + 1

Modelul in variabile "normate" poate fi dedus in mod similar introducand:

_b.p_ = P * = y; b.QI = Q* = uPo Qo

dy 1Cpo - + -YPo = Qou

dt Rp

In forma echivalenta "cu constante de timp" (inmultim totul cu Po ) =>Rp

~ Rp dy *RpC·-+y=-Qou , sau T-+y=K udt Po dt

iar constanta de timp este nemodificata T=RpC* 7 *- Daca se ealculeaza y(T)=K l[l-e- =O,63K = 63% Ystationar =>rezulta 0 metoda

simpla de determinare a constantei de timp T- pentru Rp == R statica => K* == 1 .- u=l(treapta "unitara") este de fapt 0 variatie a debitului de intrare=> b.Q, = b.Qo

b) Modelul proceselor de umplere/golire a rezervoarelor hidrauliceProcesul este un rezervor hidraulie eu A=aria rezervorului constanta si evacuare prin pompacu debit constant Q2=const. (ventilul V2 - inchis si Vi -desehis ) sau prin "eadere libera"Q2 == a.Jh.

Se doreste determinarea unui model matematic care sa evidentieze comportarea din punct devedere al variatiei nivelului de lichid in rezervor ( marime de iesire - "efect" -) atunci cand semodifica debitul de la intrare ( marime de intrare - "cauza")

Se parcurg aceleasi etape:• Evidentierea variabilelor specifice, v=[Ql,Q2,h, V,... J• Legea conservarii volumului de fluid ( Q - debite volumetrice)

dVQl(t)-Q2(t)="di

V=f(h)=Ah=> daca A= constant, atunci rezulta modelul matematic neliniar:dh

A dt = Ql(t)-Q2(P,t)

• Liniarizarea modeluluiIn fU1}ctiede cele doua regimuri de functionare ale rezervorului , exista doua situatii:

b.1) Evacuare prin pompa cu debit constant Q2=Q20 -ventilul de trecere V2- inchis-Se introduc variabilele centrate iJh=h-ho unde ho corespunde unui PSF (punct static de

functionare) in care: QlO=Q20=QO=ct si Ql(t)=QO+L1QlRezulta astfel:

A d(ho +tlh) = Q +~Q_Qdt 0 0

Eliminand regimul stationar => A dtlh = ~Qdt 1

tlhSe trece la variabile normate notand : y =h;

o~y

Aho - = Qou unde Aho= Vo astfeldt

dy = Qo u. => yet) = Qo fudt =~ fudtdt Vo Vo 1';

Acesta este modelul unui sistem "integrator" avand urmatorul "raspuns indicial":

v:Ii= _0 -" constanta de timp de integrare"

Qo

Acest proces e un proces "fara autostabilizare". Echivalentul in reprezentare prin functie detransfer este:

H(s) = Yes) =_1U(s) J;s

b.2) Evacuare prin "ciidere liberii" -ventilul de trecere V\- inchis => Q2=Q2(h)

Dependenta neliniarii (Bernoulli), se liniarizeazii prindezvoltare in sene Taylor in jurul PSF ( ho, Qo)

Q,(h) = Q,o +(;' )0 (h-ho)+( iJ:h~'JJ (h-z~o)' )+...Se trece la variabile centrate :LJ.h=h-hoLJ.Ql=Ql-Q10LJ.Q2=Q2-Q20

Modelulliniarizat se obtine prin inlocuire tinand cont cii :

(;'1+z~l =zkRezultii:

A d(ho +M) = (QlO+dQI)-[Q20 + ~dh]dt . 2~ho

Se orienteazii liE modelul prin separarea variabilelor pentru a evidentia cauzalitatea si seobtine:

dM aA-+--dh=dQdt 2..jh; I

M * dQI *-=h =y si --=QI =uho Qo

Rezultii in final modelulliniarizat:. dy aAho -. + ri::"" hoY = Qou -+

dt 2~hoParametrii modelului sunt:

2V- constanta de timp este T = _0 (dublul timpului de golire) si

Qo .

- factorul de proportionalitate K* = 2 (adimensional)

2V dy_0 - +Y = 2u unde Qo = a..jh;Qo dt

o reprezentare echivalenta a modelului este prin functia de transfer (proportional cuintarziere de ordin 1 P-Tl):

yes) 2. 1H(s) =--=-- -are un smgurpol real egal cu --UW Th+l T

Sistemul se poate deasemenea reprezenta echivalent printr-un alt model ,,neparametric" sianume caracteristica defrecventii (caracteristica Bode).

," ~

",I tlr

VTi t'",,fara autostabilizare '"

Reprezentarea echivalenta ca "model discret" se poate obtine simplu prin "discretizare"aproximand derivata din modelul continuu si trecand la "timpul discret" k=t/Ts:

y(k)

~ y(k+l)

I T, I

T y(k + 1) - y(k) + y(k) = Ku(k)Ts

( T) KTy(k+l)= 1-; y(k)+ TS u(k)

Rezulta modelul discret functional in domeniultimp ( relatia de recurenta lIE) sub forma:y(k + 1) = ay(k) +bu(k)

discret functional in domeniul complex, aplicandEchivalent se poate obtinetransformata Z :zY(z) =aY(z)+bY(z)Se obtine:

H(z) = Y(z) = _b_ = bz-1

U(z) z-a l-az-1

Curs 3

2.4. Modelarea proceselor de amestecare - reglarea concentratiei

>- Analiza de sistemProcesele de amestecare sunt procese fizice, tara reactie chimica Intre componentele ce intra incontact. Concentratia produsului C se modifica de regula prin modificarea debitului ~icomponente ce se adauga In procesul de amestecare. Presupunem ca avem doua astfel decomponente'A, B cu concentratiile CAsi CB, iar CA« CB.

3 '[C]sr=kg/mQ - debit volumetric

[Q]SI=m3/SQ, C.~e&4tr~'"~ ~

'Q-~t£SB Cr---M~ ~e.~ I debit volumetric

- QB este aleasa ca "miirime de executie" ( intrare in proces)- marimea "reglatii": concentratia C aprodusului ce se extrage din amestecator

>- Modelarea procesuluiNe propunem sa determinam modelul pr~ului de amestecare.!lQB !lC

-~-Etapele modeliirii analitice

'. evidentierea variabilelor: v={QA, QB, CA, CB, Q, C, V }• s~ apli~a una .dintre legile de conservare ( legea conserviirii masei ) 311\ -+ ~\~~ .... .cP€ c_==- 0

-In reglm statwnar : ~ ;;~QAO*CAO + QBO*CBO - Qo*Co = 0 &",e.-A[<Di ] = kg/s; flux masic de intrare al componentelor A si B .- Q. c:., t" Q'I?, . Ce.[<De ] = kg/s; flux masic de iesire - produs C ~ f~ ;;.

'Obs. - dimensional=> [m3/s]*[kg/ m3] = [kg/s]- In regim stationar, cele doua fluxuri sunt III echilibru. Astfel deducem

"caracteristica statica" a procesului de forma Co =f (QBO):CO = (QAO*CAO + QBO*CBO)/ Qo '

<p. _ <P ;::: d (VC)I e dt

dCQA CA + QB (t)C B - Q(t)C(t) ;:::Vat

• Liniarizarea modelului prin punerea in evidenta a "variabilelor centrate"in modeluldinamic:QA{t);::: QAOQs (t) ;:::Qso + I:1Qs(t)Q(t) = QAO+ Qso + I:1QB(t) deoarece I:1Q (t);::: I:1Qs (t)e(t) = Co + I:1C(t)

RezuWi prin inlocuire:d(Co + 1:1C)

QAO . CA + (QBO + I:1QB) . CB - (Qo + I:1Q). (Co + I:1C) ;:::V dt

=>unde: d(Co+ 1:1 C)ldt reprezinta viteza de variatie a concentratiei produsului (amestecului)

Obs. - Conditia de regim stationar conduce la disparitia unor termeni din regimul dinamic ..-Variatia debitului de iesire I:1Q provine doar din variatia debitului eomponentei B (I:1QB) -A ramane nemodificata => I:1Q se poate inlocui eu I:1QB

Tinand cont de observatii se obtine:

V d(I:1C) -I:1QB . CB - Q ·I:1C + I:1Q. CO + I:1C .I:1Qdt

Neglijand produsul infinit mic 1:11:1 si "orientand I/E" modelul (prin separarea variabilelor), seobtine modelulliniarizat in variabile eentrate:

V d(I:1C) + Qo ·I:1C = (CB - Co) ·I:1QBdt

• Normarea variabilelor:

*1:1 C = y = 1:1 CICo1:1 Q/ = u = 1:1 QeI QBO

<- marime de "iesire"<- marime de "intrare"

Inlocuind in modelul anterior rezultady

V . Co - + Qo . Co .y ;:::(C B - Co) . QBO . Udt

Se aduee modelulla forma eu eonstante de timp prin impartire la I Qo*CoRezulta in final modelul

V dy (CB -Co) QBO-·-+y;:::----·--·uQo dt Co Qo

Obs. ,- modelul amestecatorului este de tip proportional cu intarziere de ordinul I;- constanta de timp a proeesului T ;:::VIQo este egala eu timpul de golire al rezervorului ladebit nominal Qo ;- factorul de amplificare (proportionalitate) in regim stationar este

K* ;:::(CB - Co) . QBOCO Qo

Modelarea proeeselor de eurgere prin eonduete este neeesara in proiectarea sistemelor dereglare a debitului, debitul fiind 0 manme reglata, frecvent intalnita in aplicatii.

restrictie (ex. diafragma pt-.:: " masurarea debttului)

~&f

Presupunem 0 eondueta de diametru "d", iar lungimea ei L este eomparabila eu "d" ( eonduetaseurta).VR = ventil de reglare8 = sectiunea eondueteiPe eondueta are loc 0 cadere de presiune /1 P.Debitul e dat de relatia lui Bernoulli (in regim stationar):

Q=a*s*p/ip. p

p = den~itatea fluiduluia = eoefieient de debitIn regim stationar se poate scne relatia:

/1 Po - (p *Q/)I(2 a 2*81) = 0 1*8 => rezulta echilibrul fortelor asupravolumului de fluid:

/1 Po*S - (p *Q/)/( 2 a 2*S) = 0unde (p *Qo2)/( 2 a 2*8) reprezinta forta de reactiune (reactie) datorata restrictiei.Cele doua forte sunt in echilibru in regim stationar; daea exista 0 diferenta atunci aeeastadetermina variatia impulsului eantitatii m de fluid ~.F = m dv/dt.

6.P(t)*8 - (P*Qo2(t))/(2a2*8)= ~[m*v] eudt

m=pLSv= Q/SObtinem de aici modelu1 matematic neliniar, presupunand ca p L e constant:

p L * dQ + (p *Q2)/( 2a 2*8) = /1 P(t)*Sdt .

• Liniarizarea modelului prin eentrarea variabile1or:In regim dinamic:

Q(t) = Qo + /1 Q(t)/1 P(t)= 6.Po + D. [D. pet)] = D. Po + D. pet) unde s-a notat D. P(t)= pet)

Rezulta modelul neliniar in variabile centrate:

pL* ~(Qo + ~ Q(t» + [p*( Qo + ~ Q(t)i]1 (2a 2*S) = [~Po + ~ p(t)]*Sdt

Tinand cont de conditiile de regim stationar modelul se simplifica:

pL* d~Q + ;::Qo~Q(t)+ ¢Q2 = ~p(t)*Sdt a2S 2a2S

Neglijand termenul patratic ~ ~ (infinit mic de ordin superior) rezulta. Variabilele sunt dejaseparate astfel ca:

pL* d~Q + ;::Qo~Q(t)= ~p(t)*Sdt a2S

• Normarea variabilelor :y=~Q/Qou= ~ pet)! ~ Po

p LQo dy + (p Qo2y)1 (a 2*S) = ~ PoS*u(t)dt

pLQo a2Sdy +y = MoS u;::Qo dt ;::Q;

a2Sa2V dy-*-+ Y =1/2*u(t)Qo dt

unde eu notatii evidente obtinem constanta de timp si factorul de proportionalitate

T = a2

V = a 2*TgOlire

QoK* = 1/2 = factorul de proportionalitate ( adimensional);Obtinem astfel ecuatia finala:

T*dy/dt + y = 1/2*uSi acest proces are 0 eomportare~a si cele de pana acum} inertialafu intm-ziere de ordinul 1.Obs. Cazul L»d (conducta lunga): e mai eomplicat, dar se aproximeaza un model similarcu cel anterior dar care are in plus un "timp mort". Acesta este timpul de propagare

intrare/iesire a unei comenzi, datorat vitezei finite a fluidului 'r == Lv

H( )- k * -S7:s--- eTs+l

unde ultimul factor este datorat timpului mort.Timpul mort are efecte foarte neplacute in cazul reglarii debitelor pe conducte lungi. Din punctde vedere al stabilitatii unui sistem caracterizat printr-un sistem proportional cu un sistem deordinul 1 locul de transfer este:

IHlt= 1HZ'IcPt = rp - mT ; rp t = defazajul total creste sensibil cu frecventa

pt m = ~ => rp t = cP - ; i'::! 5T pt un 7" =T

Daca Kt= KR * Kproces => trece de punetul critic (-1,0) => sistemul de reglare automata(SRA) devine instabil.

Deei timpul mort poate provoca relativ usor instabilitatea unui SRA.

2.6 Modelarea proeeselor ell transfer termic

Procesele cu transfer termic se desfasoara intre un agent termic incalzitor si un produs cetrebuie incalzit (de obicei fluid). Aceste procese au loc in aparate, utilaje, instalatii, nutniteschimbatoare de caldura (SC). Constructiv schimbatoarele de caldura pot fi de mai multetipuri: k 0 J,1. Schimbatoare de caldura cu contact direct intre agent produs jF~~ ~ t<ragent si produs. ill acest caz are loc un proces de '~c..J~ t Jamestecare a agentului cu produsul.

2. Schimbator de c'alduracu manta: agentul incalzitor areun traseu printr-o manta exterioara a schimbatorului decaldura, iar produsul poate sacicule in echicurent saucontracurent.

3. Schimbator de caldura tip autoclava: produsul.~ cireula printr-o

serpentina

r produs 1agent

fll_JJ!

~ agent

I produs ~

/agent

Diversitatea eonstructiva determina si 0 diversitate de modele matematice. Totusi acestea seincadreaza in doua c1ase:modele eu parametri concentrati si modele cu parametri distribuiti.ill ultima categorie ( ex. schimbatorul tub in tub) , modelul mateinatic trebuie sa refleete sidependenta de coordonatele geometriee -temperatura Tp(t,x) - rezultand neeesitatea modeleloreu parametri distribuiti.illdiferent de natura schimbatorului de caldura, exista 3 modalitati de propagare a caldurii mtreagentul incalzitor ~iprodus:

» Conductia termica;» Convectia termica;» Radiatia termica;

Conduc{ia termidi este procesul de transfer al dildurii dintr-o regiune cu temperatura mairidicata illtr-o zona cu temperatura mai coborata sau illtre medii diferite, aflate ill contact fizicdirect sub influenta diferentei de temperatura:

BJ >B2

[<1J]= 1~ = 1w

dB B2 -B1-~---dx 8

unde: A este conductivitate termica; S este suprafata prin care are loc schimbul de caldura.

Conductia nu presupune deplasarea aparenta aparticulelor ce alcatuiesc mediile respective;

cDo conductia termica este singurol mecanism detransfer de caldura prin corpuri solide ~i opace.

Fluxul termic: <1J=-AS dB (Fourier)dx

Convecfia termica este transferol de calduraobtinut prin actiunea combinata a conductieitermice ~i a mi~carii de amestec mtre cele doua medii ~i prin acumularea de energie intema.

Convectia termica este fenomenul de transfer de caldura mtre 0

S suprafata solida ~i un fluid, mtre ele existarrd contact direct ~i 0

mi~care relativa.Fluxul termic transmis prin convectie este dat de:

<1J= as(Bj ...;.Os),unde a este un coeficient de propoqionalitate.

8/- temperatura fluidului8s- temperatura suprafetei de contact

Radiafia termica este transferol de caldura de la un corp cu temperatura mai ridicata launul cu temperatura mai scamta, corpurile fiind separate m spatiu. Se face prin undeelectromagnetice din spectrul invizibil cu lunigimi de unda parra la 100jlm (0,1 jlm ..100 jlm),

.iar legea de baza a radiatiei calorice este:<1J= (J' •S .T4

, unde:(J' este coeficientul de radiatie;S suprafata de radiere;T temperatura absoluta CK).

Principalul mecanism prin care are loc transferol m schimbatoarele de caldura este convec,tiatermicii. .

a. Modelul unui sehimbator de ealdura eu parametriJ eoneentrati

Tp1 , Tpr temperatura produsului la intrare, respectiv la iesire din schimbator;Qp - debitul de produs-TalO . Ta2 - temperatura agentului la intrare, respectiv la ie~ire;Qa - debitul de agent incalzitor, eonsiderat ca manme de exeeutie;Serpentina are temperatura T ~i este de masa neglijabila ( nu aeumuleaza caldura).

Ipoteze simplificatoare:• Nu exista· pierderi de caldura spre exteriorul schimbatorului (transferul termic este

. agent- serpentina- produs);•. Peretele serpentinei este foarte subtire, are suprafata S~i masa neglijabila (nu

aeumuleaza caIdura);• .Transferul de caldura are loc numai prin convecfie;• in interiorul Schimbatorului de CaIdura temperatura agentului este egala eu temperatura

agentului la ie~ire (Ta=Ta2), iar temperatura produsului este egala eu temperaturaprodusului la ie~ire (Tp=Tp2),'

• Fluxul de energie (termiea) transportat de un fluid este:d dV

<I> =-[p·V ·c·T] = p·c·T·-= p·c·Q·T;dt dt

undep- densitatea fluidului, V - volumul, c - eapacitatea ealoriea , Q =dV/dt- debitulvolumetric

[p.c'Q.T]=';; =W;

• Fluxul transmis prin convectie este:<I> = a .S ·I1T

• Cantitatea de energie termiea acumulata este:

dQ = !£[mcI1T]= pVc dl1I .dt dt dL

in regim stafionar:• Pentru agent:

PacaQaoTalO - PacaQaOTa20-as(Ta2o -~)= 0 . &.t 6..~ ~~

unde as(Ta2o - To) este fluxul de energie termidi ced~rpeiitin-ei--

• Pentru serpentina:as(Ta2o - To)- as{To - Tp2J= 0;

• Pentru produs:Pc Q T -P C Q T +as(T -T )=0P P Po PIO P P Po P20 0 P20

in regim dinamic, pentru fiecare participant la schimbul de caldura (agent, serpentina siprodus) suma algebrica a fluxurilor determina acumularea de energie tennica:

<Pas -<Psp =0

. dTp2<Pip-<Pep + <Psp= PpCpVp--a;-

Liniarizarea modelului se realizeaza prin trecerea la variabile centrate : .

Se tine cont de relatiile de regim stationar si de a doua ecuatie fara dinamica din care rezuItaimediat variatia temperaturii serpentinei I1T (media aritmetica) :

tlT +tlT2tlT = I1T + I1T => I1T = a2 P2a2 P2 2

{ \. (- tlTp + I1Ta J dtlTaPaCa\TalO-Ta20pQa-aS 22 2 =PaCaVa&

(tlTa - tlTp J dtlTp

PpCpQptlTP2 +as 2 2 2 = PpCpVp dt 2

Inlocuind in urma calculelor rezuWi :

dl1Ta2 = _( Qao + as )I1Ta + as I1Tp + Tala- Ta20I1Qa;dt lVa 2paVaca 2 2PaVaca 2 Va

, v ' '---v----'~l au

S-a obtinut un model in reprezentare de stare pentru schimbatorul de caldura:

d,1;a2

_ [- all a12 ][I1Ta2] [Ta10 - Ta20 Jd T - + V I1Qa',1 P2 a21 - a22 I1TP2 a l........,,-J

, y ''----v--'' 0 . udt A x 'yo '

'-----v--' bx

eu notatii evidente rezuIta modelul in reprezentare sistemica 1; (A, b, c):

{i =Ax+buy = cT X '

unde rATp2. deciy~x2 rezull' c=[~J x=[ ~~:J.odic.

Modele echivalente I/E (functionale) se pot obtine relativ simplu. De ex. pentru a obtine functiade transfer debit agent => temperatura produs este necesar sa se calculeze:

H(s) = y(s) = I1Tp2(s)u(s) I1Qa(s)

In conditii initiale nule (variabilele fiind "centrate"), rezuIta-:

{SX(s) = Ax(s) + bU(s)

T () ~(sf-A)x(s)=b.u(s)~x(s)=(sf-Atlb.u(s)~y=c xs

~ y(s) = cT (sf -At1b. u(s)=> H(s) = cT (sf - At1 ·bIn urma calculelor rezuIta-:

<I>(s) = (sf _ A)-l = [s + all. - a21

[ ]

Ts+a22 a21- al2 ]-1 _ al2 s + all

s + a22 - s2 + s(all + a22 ) + (all a22 - al2 a21 )

!::.TpZ (s) . aZI hIH(s)= ---- = -----------

!::.Qa(s) sZ +s(all +azz)+(auazz -a12azI>

defineste alt vector c; = [1 0] calculu1 fiind similar .

Cursu! 4

2.6.b. Modelul eu parametri distribuiti al unui sehimbator de ealdurade tip tub in tub

Modelele cu parametri distribuiti evidentiaza nu numai variatiile m timp a marimilorcaracteristice, ci ~i variatia lor spafiala. in particular modelele sunt deci ecuatii cu derivateparfiale Ex.: cazul unui schimbator de caldura de tip tub in tub.

\..'"').('i X("'" '-- v

IIIIII,x-----l:::,.X

•I 1: (x+A X,t:)I P

Tp(x,t:) :II

Fig.I.Metoda general a prin care se obtine modelul matematic al sistemelor cu parametri distribuitieste metoda elementului finit (MEF). MEF aplicata unui schimbator de caldura consta m·"izolarea" la distanta x un schimbator de caldura "elementar" (SeE) de lungime !xx, carepentru !xx ~ 0 poate fi considerat cu parametri concentrafi. Modelul obtinut este apoi prelucratin functie de necesitati ( ex. daca intereseaza profilul de temperatura in functie de coordonatageometrica atunci se studiaza regimul stationar).

Ipoteze·• Peretele serpentinei are masa neglijabila ~i nu stocheaza caIdura• Transferul de caldura mtre agent siprodus se realizeaza lara pierderi si numai prin

convectieJ

• Nu exista pierderi spre exteriorPentru SCE din fig. 1 se noteaza:- Sa - suprafata sectiunii prin care treceagentul incalzitor; Va = volumul agentului din SCE-S = suprafata prin care are loc schimbul de caIdura prin convecfie mtre agent ~iprodus.- Ta(x, t) , Ta(x + !XX, t) - temperatura agentului la intrarea si respectiv iesirea din schimbatorulelementar- Ta (0, t) = Tal - temperatura agentului la intrarea in schimbator- Tp (x, t), Tp (x + Ill, t) - temperatura produsului la distanta precizata

- Tp2 = Tp2 (L, t) - temperatura produsului la ie~irea din schimbator (x=L) s.a.m.d.

• Bilantul termic prin metoda elementului finit

<1>. - <1> = dW _ viteza de variatie a energiei termiee (ealdurii)I e dt '

<1> = P * C * Q * T - fluxul termie transport at de un fluid eu debitul Q si temperatura TJ

[<1>]Sl = 1-= 1Watts

V· * dT dW . d· ., . . .P * *C - = - - - vlteza e vanatle a energIel tel1l1lce

dt dt '• Pentru agentul incalzitor:

* *Q. *T (t) **Q *T ( + A~ t)- *S*{T (. t)-T ( .. t))-p * *v *aTa(x,t)Pa Ca a a X, - Pa Ca a a X UA., a· . a X, p X, - a ':a a at

a*S* *v = Ka(p)P C

in sistemul anterior si observam aparitia derivatelor partiale deTreeem la limita pentru b.x-- 0tipul:

lim Ta(x+b.x,t)-Ta (x,t) aTa=--

b.x ~ 0 (x + b.x) - x ax

Inlocuind in eeuatii, obtinem in final modelul cu parametri distribuiti :

aTa = -v * aTa -K (T (x t)-T (x t))at a ax aa' p'

aT aT ( )-.E.. = -v *-.E.. + K T (x t)- T (x t)at Pax pa' p'

eu eonditiile la limita ( frontiera) :Ta(O,t)=Tal; Ta(L,t)=Ta2; Tp(O,t)=Tpl; Tp(L,t)=Tp2;

• Analiza regimului stationar:"

Profilul de temperatura in lungul sehimbatorului, rezulta deei pnn solutionareasistemului :

dTa-Ka

_ ~: [Ta]dx Va= KpdTp Kp T

-- pdx Vp Vp

dTp Va * d2Ta dTa--=- --+-dx Ka dx2 dx

InlocuimJn:eeuatia (2)si-.dupa ealcule rezulta:

Rada.einile ecuatiei earacteristiee r 2 + r * (K a + K p J = 0Va Vp

Ta(x) = C1 + C2 * er'l *t constantele de integrare determinandu-se din eonditiile la frontiera

,Tp (x) = c'l + C2

' *er 2 *t

~ l.o)eu eonditiile x=O, Tp(O)=Tpl si respeetiv x=L, Tp(L)=Tp2

tl ~d-I""'(~

~i<"Q-t

t.:.\...~~' ~

~ ~ ""1\ I\~

L x.

( rt'l'! ~,,~ ~{'<t.~

'> V.•.V'~,V''( _~

-4-..~\.~,~ ~M~ v\;~~'C... - .~~~V{~' e.sr~~n.~~

~"<:';.~LJL ~ Q~ \ll"t.,-~~~ ~'-1 .

~"'-~~ 4. ~ ~~ ~\ivJhv-&- "1""'< h. C.~cAi~&-<<4..~~ ~ ~o"-~f''-t..."I (k\A~"1'Nt-\l) ~ ~~'"' '.

<;) ~ (-)\,;~) + I\l":~ ~ 0 ~""---l,,, -{ ~1'••j '\ '\'

--0 't ~~ ~ >c.. '\T ::: vice-rc- olt iv~f'L,t

~c;-\- ~l •.-/L·-.~~.A-,,-~~~~ ~' ~""#l i[;fb"lk\1~~~('~~~~~~; ".,.~ ~)~)

S +: (:X) <, ') ~ r...r .J..~ (11))) ::. D '.>..ec 4t~uv",:,~ ....~ ~ ~ ~ '"(~ ~\- A..t..~·e...olLlt~- 'x

t-c... e.-~ ~-z,o-~ ~ .

.\1 h.- -+ ~ =-.0 -') v-. '\.;~. I't...'\ ~ - S ~ ~t~ "'--~~ -.s-' f.

, 'f=-lA) S")::- ~ -e. 'I ~ \AM.clt. (..(\;\..~ ~ ~ t"L~e C.SoL Lt\.. t\;~ Gr... r\.A r~ t.... ~ h...: k 'f-lc) <) ) :;. c...,

L -SX~K{"",\'Z. -o-J.-/C:. ...L~ 'r- '-~ -- \=' ( I\J ~ ") -::. V- (..0 ) S) . '€.. V- ~ L

- ~ \)'" k.- h \;:;'~ '}.~L =) ~(L)") 'do' \."'~) . to- s V- \~~ l( \r -;:.~ ~ ~",\,v...l ~\ XJ~G.~~ ) ~ Ok~A

~ ~~~J.. l (~~~ ~c.k~~;:~~. t\J-u.k"\ k'r ~ ( ~ k ~~ 1-« '\~ k~ 1~ ~/~~~k:. "

+\~lS)~ "F(L,s) -=- -e.-~"b ~~(c)e,)

J2..-r- 1 ~ -C ~ ~ T X' "'=-) T'(' l L 1 > ') - ~ ~ _ erA.. k~",,\=>.4..,~' ~ "~\-.~"l~-h-/ '\'f~

T~(0)<») - ~~. ~~dv-~ ..{, 1I \~1:(-<.('~1t~" ~~~:.:..~k\....~ 1'(1-

.-I~IL--_----Z~ .*. =) \- \,

) \-~ ~ ~~S~ ':\. "-4-- ~ V~v-.. ~ ~ Jv... _ 1. V-

1\ lA.... --C ~ <.r'. ~ h ~ ~ \' V\.~*,'\~ -" ~ .~""'-\""'--t.~\".."..-\~- ~ \,~~ ~ ,'\' ...~~~~..,

"ilLt' -.. /°h T~~~ ·~t ~ c..:- i --.,..tw,......<. ~~ ~KU dw,~ ~ """",,w,, (,-.

,:4",,'\r-v\:;. 'f ~',..t.. -=)" ~ ~___~~~ i\£t.:..:" S(l.., f'r- .~~vl:"",,~~~ ,A) ~i.~...( ).

2.7. Modelarea proceselor de reactie

Proeesele de reaetie au Ioe in instalatii tehnologiee numite reactoare chimice.Caraeteristic proeeselor de reaetie este transformarea printr-o reaetie ehimiea a reaetantilor intr-o noua substanta numit produs de reacfie.o eeuatie stoeehiometrica se prezinta sub urmatoarea forma:

8A1 +8Az + ... +8An - > 8eunde - 8; este coeficientul stoechiometric;

Ai reprezinta un reactant;C este produsul de reactie.

in plus, reactiile sunt caraeterizate ~iprin schimbul de caIdtira.Exista doua tipuri de reactii:

1. izoterme2. neizoterme - endoderme (absorb caldura)

- exoterme ( eu degajare de caldura)Reaetiile ehimice sunt modelate prin legea conserviirii masei (bilan!ul masic) ~l legeaconserviirii energiei (bilan;ul energetic in particular bi/ant tennic).Reaetantii prezinta caracteristieile:

• In bilantul masic tennic apar termeni suplimentari :~ .•.R. =V*r.9--'a.: - I I

unde -rj este viteza de reactie a componentei "i"-V este volumul masei de reactie.

r;';8;*runde -rviteza toatala a reactiei

n

r = k*TII et;=)

unde - Cj este concentratia reactantului iE

- k este dat de legea lui Arhenius (k = ko * e RT)

Deci in final vitezele de reactie ( termeni ce apar in fluxurile masice) sunt de forma:

'*". R· = V *8· * k *e-E / RT * rrn e?i'T/h~ I I 0 I,..... i=l

l¢J~[RJSI = k:Termenii care il contin pe Ri apar ell semnul minus "-,, daca ace~tia vizeaza reactanfii ~i eusemnul plus ,,+" daea vizeaza produsul dereactie.

• in bilantul termiC , in desfasurarea reactiei apare inca un termen neliniar, datoratvariatiei de entalpie (- Mf) numita "entalpie de reactie". Pentru reactiile endoterme(Ml) > 0 iar daca reactia este exoterma (Ml) < O.

ill expresia fluxului termic apar astfel in plus termeni de forina :

Exemplu:Modelul unui reactor chimic cu doi reactanti.

R F.ArT A NTT

Qa, Talagent incaIzitor(de racire) Q, Ce2, T2

CA2, CB2

Modelul dinamic al unui rector este descris de ecuatii1e bilantului fluxurilor masice ~i alebilantului termic pentru fiecare participant la reactie:

• Pentru reactantul A:

Q *C -Q*C -v*a *k *e-EIRT2 *COI *C02 =V*dCA2A Al A2 1 0 A2 B2 dt• Pentru reactantul B:

Q *C -Q*C -v*a *k *e-EIRT2 *COI *C02 -V* dCB2B BI B2 2 0 A2 B2 - ~

• Pentru produsul de reactie:

0- Q * C. + V * a * k * e -E IRT2 * COl * C02 = V * dCC2C2 3 0 A2 B2 dt

b. BilanpIl termic: ~q-aw

[eI>d- [eI> e]± ~f ]= [p * Q * c * ~~]

• Pentru reactantii A, B si produs presupunand ca transferul de caldura de la agentul incalzitor "a"( Tn2, Qn) la reactanti se face prin convectie:

PA *CA *QA * TAl + Ps *cS *Qs *TBJ - Pc *cC *Q*T2 +a*S*(Ta2 -T2)++(-tili)*V*k *e-EIRT*COI *C02 =PC*CC*V*dT2

o A2 S2 dt

• Pentru agent:

dT(5) P * c * Q * T - P * c * Q *T - a *S* (r - T ) = P * c * V *---.£l.o 0 0 oJ 0 0 0 02 02 2 0 0 0 dt

Observatie:Modelul matematic este foarte puternic neliniar ~i de aceea solu{ia analitidi este imposibila.Singura posibilitatepentru a cerceta modelul este prin simulare. Din punct de vedere istorictoate reactoarele industriale complexe au fost dezvoltate initial prin simulare pe modele jizice lascara redusa in faza de instalatie "pilot" sau "micropilot" apoi prin ridicarea la scararealizandu-se instalatiile industriale.

Concluzie:De multe ori acest model In ansamblul sau este instabil. Reactiile chimice nu conduc la regimuristationare care sa exprime stabilitatea procesului. Ele sunt in mod natural instabile ~i estenecesara stabilizarea prin sisteme de reglare automata cu structura specifica .

..--

Elementul component principal a1sistemelor de actionare electrica este motorul electric careponstitue convertor electromecanic al sistemului deactionare. Se estimeaza ca aproximativ 40-60% din energia electrica se converte~te In energie mecanica prin siteme de actionare electrica.Exemplu: modelul unui motor de curent continuu:

+g i Ue) 1 U

ReLe CI>

•

• Modelarea analiticaAu loc doua fenomene:1) aparitia tensiunii electromotoare e prin fenomenul de inductie electromagnetic aTensiunea electromotoare indus a este proportionala cu fluxul de excitatie ~i viteza cucare se rote~te rotorul

e=KC/Jn

2) Generarea cuplului electromagneticm=KC/Ji

Din echilibrul dinamic intre cup1ul mecanic la axul rotoric si euplul de sarcina rezultami§carea de rotatie: viteza unghiulara n,pozitia unghiulara e. Presupunem ea sarcinaeste caracterizata de momentul de inertie J §i de coeficientul de frecare vascoasa F.

Teorema a doua a lui Kirchhoff, relatiile specifice motorului , ecuatia de miscaremecanica pre cum si ecuatia circuitului de excitatie conduc-la:

diu(t) = RAi(t)+LA-+e(t)

dte(t) = KIS>(t)O(t)

met) = KIS>(t)i(t)

dO]-+FO=m-mrdt

U R· L diEE = ElE + E-

dtPentru a obtine 0 reprezentare ca model functional ( de tip functie de transfer) - pentru relap.ileliniare se poate aplica. transformata Laplace.Rezulta schema bloc functionaUi:

M J-01 »

U(s)E

Modelul neliniar poate fi folosit doar In simulare numerica .Liniarizarea modelului:

1. Dad IS>este constant, atunci modelul se liniarizeaza in mod naturalSchema bloc simplificata este urmatoarea:

Putem ca1cula functia de transfer pe calea directa aplicand reguli1e algebrei schemelor .bloc

1 1 1 1_ K¢ (TAS + 1)TmS _ K¢ K¢-------'---- --_~--;::;

TATmS2 + TmS + 1 - TATmS2 + TmS + 1 (TmS + 1)(TAS + 1)(TAS + 1)TmS

Se observa ea modelul este de tip P-T2 proportional eu intarziere de ordinul2 (eu poli reali) .

Pe eanalul tensiune -curent rezulta similar funetia de transfer:1

_1 SI. RA m Uo (Mr)

Istolionor = hm S 2 ~ 0 pt. =0s~O T TS + T S + 1 S .m s. m

di = _ R A i _ ~ Q + _1_ udt LA LA LAdO. 1 . F 1 ,- = - Kz - - 0. - - mdt J J J r

Eventual se poate adaga ~i:

~~ = n Vectorul de stare fiind x = [ ~ ]

Presupunand euplulrezistent nul, se pot obtine prin ealcul aeeleasi funetii de transfer:1

H1(s) = o.(s) = ensI - At! b = ~U(s) TmTAs + Tms + 1

H2(s) =[1 O][sI-Arlb.

Cursul5

Cap3. Clase de modele matematice - moduri de reprezentaresi metode de conversie

Exista modalitati diferite de reprezentare a modelelor dinamice ~iposibilitati diverse declasificare.• Clasificare dupa natura modeluluiDupa natura modelului matematic, exista doua tipuri:

a. parametrice ~ib. neparametrice

Cele parametrice sunt modele analitice care evidentiaza un numar finit de parametricaracteristici (coeficienti, indici de structura, gradul unor ecuatii diferentiale saupolinoame) . Exemple:' ecuatii diferentiale, functii de transfer, modele intrare/stare/ie~ire,etc.Cele neparametrice sunt modele In care parametrii caracteristici nu apar In mod explicit.Ele se prezinta In general sub forma unor grafice, diagrame (ex.: raspuns pondere,raspuns indicial, loc de transfer Nyquist, caracteristici logaritmice de frecventa (Bode)etc. Modelele neparametrice sunt caracterizate de un numar infinit de parametri.• Dupa natura variabilei independente (de obicei timpul)Exista a) modele continue (netede): t ER

b) modele discrete (discontinue, cu e~antionare): t / kEZ Obs. k = t / TeModelele continue/discrete pot fi :parametrice sau neparametrice.Cele continue si parametrice se clasifica In: functionale (intrare-iesire IJE) ~i structurale:(intrare-stare-iesire US/E). Cele neparametrice sunt In domeniul timp sau 'in domeniulfrecvenfa.Modelele discrete se clasifica ~i ele la randullor In parametrice ~i neparametrice.Ca ex.de modele functionale 'in domeniul timpului: ecuatii cu diferente, relatii de recurenta,modele ARX, ARMAX s.a.Ca modele functionale'in domeniul complex: functii de transfer in ZModele structurale - MIMO: L(A,B,C,D) -+in particular SIS0: L(A,b,c T)

A. Modele neparametrice in domeniul timpului (MNCT)A.I. Raspuns pondere - este raspunsul pentru semnal de intrare de tip impuls (Dirac)

{~'O:::; t:::; a

u(t) = aO,t > a

lim u(t) = 8(t) - impuls Diraca~oo

00

f8(t)dt = I,D

Daca T -este constanta de timp dominanta a procesului; realizarea practidi aimpulsului Dirac impune a«T

00

Raspunsul y(t) = fh(t - r )u( r )dr = h(t) este riispunsul pondere.D

Exemplu: Pentru sistemul avand functia de transfer H(s) = ~::::;. yet) = K e-~Ts+I T

{I,t z 0

u(t)=O,t < 0

00 00

yet) = fh(t - r)u(r)dr ~ fh(r)dro 0

2tr

iar suprareglajul (J este dat de a = f (~)= e ~1_~2

B. Modele neparametrice in domeniul frecventa (MNCF)B.l Locul de transfer (caracteristica Nyquist)

Raspunsulla intrari sinusoidale este legat de caracteristicile de transfer (functia detransfer in frecventa) prin :u(t) = Asin(w!t)

yet) = B sin(w!t - rp) = A!H(jOJ)lsin(OJ1t - rp)

Pacand WI variabil se pot determina experimental modulul fde 1. si argumentul prin:

Altfel spus, se pot determina caracteristicile de frecventa prin masuratoriexperimentale.

H(jOJ) = H(s)ls;jaJ = IH(jOJ)lejargHUaJ) = ReH(jOJ) + jImH(jOJ)

B.2. Caracteristicile logaritmice de freventa (caracteristici Bode)

Modelul neparametric in frecventa se poate reprezenta si in coordonate logaritmicerezultand caracteristicile Bode:IH(jOJ)ldB = 20IgIH(jOJ/€p(OJ) = argH(jOJ)

B.3. Alte forme de modele neparametrice in frecventa: contururi Nichols, contururile(cercurile) de M (w)=ct si N=ct.

Exista doua tipuri de modele parametrice pentru sisteme continue ( MPC) ~i anume:• modelefuncfionale (MPCF) numite si modele de tip lIE(intrarelie§ire) ~i• modele structurale (MPCS) , de tip liSlE (intrarelstarelie§ire).

Un sistem dinamic liniar SISO poate fi descris de urmatoarea ecuatie diferentiala deordin superior:

n diy m diu~ u ~yLai --. = I bi --. Procesi=O dtl i=O dtl .-----

unde u este marimea de intrare ,iar y este marimea de ie~ire (in variabile centrate/normate). Notand indicii de structurii ai modelului: n = na' m = nb, si utilizand

di

forma operatoriala d/ = pi yet) =>

na. nb.Iaiply(t) = Ibip1U(t) sau echivalent

i=O i=OA(p )y(t) = B(p )u(t).Aceasta ultima forma este asemanatoare cu modelul functional in domeniul complex,respectiv cu funcfia de transfer a sistemului continuu echivalent.

Un sistem dinamic L MIMO in reprezentare de stare caracterizat de: vectorul de stare

x(t) E Rn , vectorul intrarilor u(t) E Rm si vectorul iesirilor yet) E R Peste descris de :

dx- = Ax(t) +Bu(t)dt in particular (SISO) =>yet) = Cx(t) +Du(t)

dx- = Ax(t) +bu(t)dty(t) = cT x(t)

unde matricile A,B, C, D au dimensiuni corespunzatoare.In cazul SlSO (Single-lnput-Single-Output), B= b este un vector coloana , C= cT este unvector linie. Deasemenea, in cazul sistemelor strict proprii D=O.Reprezentarea L (A, b, c ) nu este unica si se pune problema gasirii unui triplet care saaiba un numar minim de parametrii asociati rezultand ~a-numitele forme canonice

Exista doua tipuri de modele parametrice pentru sisteme continue ( MPC) ~i anume:• modelefuncfionale (MPCF) numite si modele de tip lIE(intrarelie§ire) ~i• modele structurale (MPCS) , de tip liSlE (intrarelstarelie§ire).

Un sistem dinamic liniar SISO poate fi descris de urmatoarea ecuatie diferentiala deordin superior:

n diy m diu~ u ~yLai --. = I bi --. Procesi=O dt1 i=O dt1

.-----

unde u este marimea de intrare ,iar y este marimea de ie~ire (in variabile centrate/normate). Notand indicii de structurii ai modelului: n = na' m = nb, si utilizand

di

forma operatoriala d/ = pi yet) =>

na. nb.Iaiply(t) = Ibip1U(t) sau echivalent

i=O i=OA(p )y(t) = B(p )u(t).Aceasta ultima forma este asemanatoare cu modelul functional in domeniul complex,respectiv cu funcfia de transfer a sistemului continuu echivalent.

Un sistem dinamic L MIMO in reprezentare de stare caracterizat de: vectorul de stare

x(t) ERn, vectorul intrarilor u(t) E Rm si vectorul iesirilor yet) E RP este descris de:

dx- = Ax(t) + Bu(t)dt in particular (SISO) =>yet) = Cx(t) +Du(t)

dx- = Ax(t) +bu(t)dty(t) = cT x(t)

unde matricile A,B, C, D au dimensiuni corespunzatoare.In cazul S1S0 (Single-lnput-Single-Output), B= b este un vector coloana , C= cT este unvector linie. Deasemenea, in cazul sistemelor strict proprii D=O.Reprezentarea L (A, b, c ) nu este unidi si se pune problema gasirii unui triplet care saaiba un numar minim de parametrii asociati rezultand ~a-numitele forme canonice

(controlabilii si observabilii). De ex. forma canonicii controlabilii asociaza matricile A,b, c (pentru na = n, ana ==1), astfel:

IX n = -aOxl -alx2 - - an-lXn

y = bOXl +b1X2 + +bmxm

0 1 0 00

0 0 1 00

A= b=

1-aO -al -a2 -an-l

Obs. Modelul este stabil daca valorile proprii ale matricii A au parte real a negativa.

Modelul functional al unui sistem in domeniul complex este descris de funcfia detransfer:Pentru conditii initiale nule (variabile centrate) rezulta in cazul SISO, aplicandtransformata Laplace:

no nb

Laisiy(s) =LbisiU(S),i=O ;=0

=> A(s)Y(s) = B(s)U(s)Functia de transfer fiind

Yes) B(s) bo +bjs+ +bn snbH(s)=-=-= b

U(s) A(s) ao +ajs+ +an snQ

Q

unde se considera ca polinoamele A(s) ,B(s) sunt coprime, i.e. (A,B)=1.Pentru descrierea unui astfel de model sistem in Matlab se definesc vectorii coeficientilorin ordine descrescatoare ale puterilor lui s :num=[bnb, ,bpbo],. si den =[ana, ,al' ao];

o functie de transfer se poate reprezenta in 3 moduri:a) reprezentare polinomiala: (tf) prin polinoamele A (s), B(s);

. mai exact prin [num, den]b) reprezentare poli-zerouri-amplificare (zpk):H(s)=K. [s-z(1)].[s-z(2)] [s-z(nz)],.

[s - p(1)]' [s - p(2)]· [s - p(np)]

mai exact prin [z,p,k] undez=[z(l), ..z(nz)] ,p=[p(1), ..p(np)]

c) reprezentare tip fractii simple:r(1) r(2) r(np)

H(s) =---+---+ +---+ K(s),[s - pel)] [s - p(2)] [s - p(np)]

unde K(s) reprezinta partea improprie a functiei de transfer,iar rT =[r(1),r(2), .....r(np)] reziduurile.

Ex. de conversii Matlabl Control System Toolbox care se realizeaza intre aceste formesunt:

sys=ss[A,B,C,D];[A,B,C,D]=ss2tf[ num,den];[z,p,k]=tf2zp[ num,den];

Cursul7

Cap. 4. Metode de grafice si grafo-analitice de determinare amodelelor dinamice pe baza raspunsului indicial

4.1 Metode de experimentare

Obtinerea modelului Se poate realiza atat analitic cat §i prin prelucrarea unor date, aunor rezultate experimentale ( de ex. raspunsul la semnale de tip treapta, rampa ~isinusoidale). Aceste metode sunt de fapt metode de conversie a modelelor neparametrice(raspuns In timp, raspuns In frecventa) ill modele parametrice (sunt cele mai· simplemetode de identificare).

generator de processemnal

~ prelucrare·~primara date

modelneparam(;(tric

Metode de conversie(neparametric-parametric)

modelparametric·

1)Organizarea §i realizarea experimentiirilor pe proces

• Determinarea conditiilor de desfasurare a experimentelor, ex: cu Intreruperea saunu a functionarii instalatiei tehnologice;

• Stabilirea formei si a liIniteltY'de variatie ale marimilor ce pot actiona asupraprocesului ca intrari ;

• se apreciaza efectul perturbatiilor, al zgomotelor de masura s.a.• realizarea efectiva a masuratorilor.

2)Prelucrarea primarii a datelor experimentale

• corectarea erorilor de metoda, de transrnisie, prelucrari statistice, medieri, filtrari

3)Obfinerea modelului matematic in forma sa explicita:~IIE~ liSlE

Daca forma sau structura modelului este cunoscuta (de exemplu prin modelareanalitica), problema se reduce la deterrninarea parametrilor modelului. Este 0

problema de estimare a parametrilor ( parametrii reali, adevarati, nu pot fi in principiudeterminati exact, din punct de vedere practic este insa suficient sa fie estimati,aproximati cu 0 anurnita precizie).

Cele mai simple metode de conversie a modelelor din forma neparametrica in ceaparametrica sunt metodele grafice si grafo-analitice. Vom exemplifica 0 serie dintre celemai utilizate metode de obtinere a mode1elor dinamice pe baza raspunsului indicial(raspunsulla semnal treapta).

Prima problema este alegerea structurii (ordinul) modelului. "Forma" raspunsuluiindicial constitue principalul criteriu de alegere a ordinului modelului. Daca raspunsuleste aperiodic si are punct de inflexiune ordinul modelului trebuie sa fie cel putin egal cu2 iar daca futarzierile sunt semnificative ordinul modelului adoptat trebuie sa fie 3,4 sause apeleaza la modele cu timp mort.

A. Modele de ordinul IDaca raspunsul indicial este de tip aperiodic, lara punct de inflexiune, atunci se poateadopta un model echivalent de ordinul 1.

;" KtJ,(l-e ~J

{Uo,t E [0,(0)

u(t) =0, t E (-00,0)

~IfI(s),,~. . Ts+l

1\ 1\

Problema gasirii (K, T) este simpla prin metode grafice tinand cont ca:

• Factorul de proportionalitate K=> y( (0) = KU 0 => K = y( (0) , unde y( 00) esteUa

valoarea de regim stationar a ie9irii, iar U0 este variatia intrarii.• Constanta de timp T => se poate determina fie ca subtangenta in origine (sau in

orice punct al graficului) sau tinand cont ca la momentul t=T , iesirea y atinge63% din valoarea de regim stationar .

yeT) = KU 0 ( 1- ~ ) = 0,63KU 0 = 0,63y( 00 )

A AObtinerea parametrilor K, T prin metode grafice presupune, de regula, medierea

prinrealizarea unui numar N (N=3 ..5) de astfel de determinari si apoi calcularea valorilor1\ 1 N 1\ 1 NK=-LKi, T=-LT;·

N 1 N 1

Pentru dispunsuri aperiodice cu punct de inflexiune Ieste necesar sa se adopte modelecare au mai muIte constante de timp (de mtarziere) de ex. 2 (T] , T2 ) • Forma raspunsuluiindicial este cu inflexiune:

Prima derivata este nula In origine.~,T2 =?1\

K = y(oo)/Uo

1\ KH(s)=:----

(~s +1)(T2s + 1)Pentru determinarea celor 2 constante de timp se pot aplica mai muIte metode:

Se incepe prin determinarea grafica a punctului de inflexiune iar apoi tangenta In punctulde inflexiune permite obtinerea valorilor Ta si Tb:

Exista calculate monograrne T] , T2 in funtie de raportul: ~ . Consideram ca-b

Tb-=ctTa

Pe raspunsul indicial se determina timpii de atingere a 30% si respectiv 70% dinvaloarea de regim stationar, iar apoi prin relatii empirice stabilite prin simulari rezultacele doua constante de timp:

70% -----.:;>--------..,- I

II

'it

tT. +T =-lQ.I 2 12,

1; - T2 = t30 + t70 (0,45 - t30 J0,6 t70

C. Modele de ordin superiorMetodele de determinare a mai mult de 2 constante de timp soot metode grafo-analiticedeoarece metodele pur grafice sunt ineficiente. Dintre aceste metode prezentam metodabazata pe aproximari succesive numita "metoda logaritmarii succesive"

H(s) == __ K__ =nI1(~s + 1))

Se adopta un model cu n constante detimp

nI1(s + a;))

n

yet) == Co - L Cie -ail

i=l

Problema se reduce la determinarea parametrilor Co, Ci si ai precum si a ordinului n cerezulta iterativ printr-un criteriu de eroare impusa.

Etapa I:Co = y(oo)=limy(t)=Ye (00)

1-+«> . xp

A n kY = Co - L Cie-atl=> H(s) = -n---

) Il(~s+l))

Etapa II: n=1- se inceardt 0 aproximare de ordinul1A - C C -all_Y)- O-)e =Yexp

- C (t) - C -allYl- o-Yexp - Ie

Se calculeaza si· se reprezinta grafic din datele experimentale my 1 = m(Co - Yexp(t»

pentru momente de esantionare diferite Aplicfuld logaritmul obtinem S1

lny) = lnC] -al adica 0 dreapta care aproximeaza datele reprezentate logaritmic:

e~~"

Daea exista diferente intre date si model se treee la aproximarea superioara printr-unmodel de ordin 2

1\

Etapa III: n= 2 Se lneearea 0 aproximare a lui Yz prin 2 termeni:1\

- C C -all C -a21 - (t)Yz- 0- Ie - ze =Y exp

Se ealeuleaza eu parametri Co si Cj determinati in etapa anterioara un nou termen Y2

Yz = Co - Cle-atl- y(t)exp = Cze-a21

Prin logaritmare si aproximare grafiea rezulta C2 si (X2

lnyz =lnCz -azt=ln(Co :-C1e-all -Yexp)Daca dreapta de aproximare coincide cu punctele graficului rezultat din date, modeluleste sufieient de exact, daca exista diferente se continua procedura cu n =3 se determinaC3 si (X3 s.a.m.d.Ordinu;l n al modelului rezulta la indeplinirea unui criteriu de eroare la care se consideraca aproximarea este suficient de buna si deci:

Co rla.~ Uo I I

H(s) = n ( 1 J ,unde Co = KUo

IT -s+lI ai

In cazul acestor modele mai intervine un alt parametru care trebuie determinat ~ianume timpul mort. Timpul mort "ascunde" de cele mai multe ori dificultatile dedeterminare a mai multor constante de timp si aproximeaza intarzierile de ordin superiorprintr-un timp mort echivalent (mai mare deeat timpul mort real)

HCs) = Ke-sr

n

rr(~s+l)i=l

HA() Ke-ST

s =--Ts+l

IIIIII

I I------i-----~--------------I III I II /, I, /

II II ,I,

T'

A

T > Treal

Metoda precizeaza prin doua perechi de valori (tl , Yl ) asociat punctului de inflexiune.(pInfl) si (t2 , Y2) asociat punctului de atingere a 90% (P90) din valoarea de regim

'd stationar modul de determinare prin-------------- calcul aparametrilor Tsi 7.-- ..•.•.. - --

• Q ,"'90::t~ I \_~ __ IJ V,

.\

~~ t1 t"2.. tPresupunem ca raspunsul indicial ridicat experimental este reprezentat in variabilenormate ( Yst= 1) si deci modelul cautat este de forma:t:'..

YCt)~l-e '; ~~:t;t:1?·~1:'''7D t t-

Rezulta pentru cele doua momente semnificative: { •...

,\-,YI = l-e T

Yz =l-e T

sau echivalent sistemult -'{__I_=ln(l-YJ

Tt -'(__ z_ = In(l-Yz)

Teu solutiile:T = tz -tl

In(l- Yl)-ln(1- Yz)

tzln(l- YI) -t1ln(l- Y2)'C =---------

In(l-YI)-In(l- Yz)

Pe raspunsul care evidentiaza mtarzieri superioare se delimiteaza doua momente de timptl ~;it2.

40%28%

Broida a propus pentru 7 0

relatie empiriea:'( = 5,5(t2 - t1)

T = 2,8tl -1,8t2

'{= 0,67(tz - tJT=13t -029t, 1 , 2

Modelul propus de Streje este eu timp mort si intarziere de ordin n dar Cll 0 constanta detimp T identica:

1\ Ke-sr

H(s)----(Ts+1r

._._._._:~._._._~_._._._._._._.-I

II

II

I

Parametrii T si n se determina pe baza unor tabe1e unde in general 7'J ~ n, unde 7'J = Tb

To

T, ordinul n T7'J=_b -To r:

0 1 10,105 2 0,370,22 3 0,270,32 .4 0,220,41 5 0,20,49 6 0,190.57 7 0.180.64 8 0.150.71 9 0.140.77 10 0.13

r = 1;1,,,,-,., - (~ ). T,I""u••••'"

T = ( ~ ). T.I ""_~,,,

Cursul8.

Cap.5. Modelarea statidi a proceselor prin prelucrareastatistidi a datelor experimentale

Aceste metode sunt deasemenea metode de conversie a modelelor neparametrice in modeleparametrice. Modelele neparametrice sunt obtinute prin experimente cu sistemul fizic , cu'procesul real, dar se refera doar la comportarea in regim stationar a acestuia.Metodele de determinare a modelelor statice presupun de regula, prelucrari statistice asupradatelor experimentale pentru a elimina efectele nedorite aleperturbatiilor, zgomotelor demasurare, de transmisie etc care au caracter aleator.Principalele metode de modelare statica sunt bazate pe tehnici de prelucrare statistica de tipCele Mai mici Patrate (CMMP) fiind in esenla metode de estimare a parametrilor:

• regresia liniara monodimensionala• regresia multidimensional a• regresia neliniara• experimentulortogonal

5.2. Proprietati statistice ale estimatiilor. Deviatia, consistenta, eficienta.Fiind dat un proces supus actiunii unor marimi de intrare u si perturbatii v, se cere sadeterminam un model static y =f(u) care aproximeaza suficient de bine ie~irea procesuluireal.

v- - - - -,J Yu PROCESI

L.. I- - - - - - -A.

MODEL y

tJ

Problema estimiirii parametrilor consta in determinarea unui vector e cat mai apropiat devectorul real e al parametrilor procesului. (parametrii reali e sunt necunoscuti). Deoareceie~irea procesului realy este.afectata de perturbaJii care in general au caracter aleator esteimportanta caracterizarea acestora prin proprietatile lor statistice.Daca X este 0 variabila aleatoare se introduc doua manmi statistice specifice:1) Functia de probabilitate, notata P ~i definita ea fiind probabilitatea ca variabila aleatoareX sa fie mai midi sau egala cuo valoare reala x pentru \fx Em. Se nume~te ~i functie deprobabilitate cumulativa P(X:=:;x).

. 2) Densitatea .de probabilitate, notata p(x) ~i.definita ca probabilitatea ca variabilaaleatoareX sa fie egala eu x.

p(x) = p(x = x), \:Ix E 9tdPp(x) = -, \:Ix E 9tdx

P1 --------------

caz discret)

Se definese doua matimi statistiee earacteristiee:• Moment de ordin ,,k" ~i• Valoare medie de ordin "k".

Sunt definite pentru eazul diseretlcontinuu :

M k = M~k }= I,PixF -+ cazul discreti=l

f k} +00 kM k = M lX = f PiX; dx -+ cazul continuu

-00

Sunt doua momente importante, eel de ordin 1 ~i eel de ordin 2.a) valoarea medie sau valdarea a$teptata (Expected value) din speetru (momentul de ordin I)Prin definitie:

nLPiXi -+ eazul discreti;}

+'"fx .p(x )dx -+ cazul continuu

b) dispersia sau varianfa (momentul de ordin II al variabilei centrate (x = X)Prin definitie:

{tPi (Xi - X r -7 cazul discret

D(x) = Var(x) = er2 =M {x_X)2 = i=! .,+<Xl - 2 not 2 ... { } l (x - X) p(x)d< ~" -> cazul "anhnuu

Sunt definite ca:1 1

M k = [M ~k}F ~ radical de ordin k din momentul de ordin kCea mai importanta valoare medie este devia{ia standard (abaterea patraticii medie) ca fhndvaloarea medie de ordinul doi a variabilei centrate:

tPi(Xi -Xl ~cazuldiscreti=1a-(x)=.JDW = .!.

[ I(x - X rp(x)ax]' --> cazul continuu

In cazul estimarii parametrilor, Insa~i estimatia e = a a parametrului (presupunem pentrusimplitate ca vectorul e se reduce la cazul scalar) este 0 miirime aleatoare, deoarece depindede marimea "m" a realiziirilor considerate In determinarea sa,

Fie a(m) = l-i ai • Am considerat m realizari toate cu acee~i probabilitate de aparitie.m i=1

~ 1 MDaca M>m rezultii 0 aha estimatie a(M) = - I ai •

M i=1

Pentru a compara diversele estimatii se definesc proprieta/ile asimptotice ale estimatiilor.

Daca notam E {a(m)} ca media probabilisticii a estima{iilor se definesc urmatoareleproprietati asimptotiee:

a)Deviatia (nedevierea unei estimatii)ca fiind abaterea mediei fata de valoarea adeviirata a: E{a(m)} - aObs. 0 estimatie este nedeviata daca valoarea sa medie este egala eu valoarea adevarata a.

b)Consistenta.o estimatie este consistentii daca este mica probabilitatea ea estimatia arm) sa difere devaloarea adevarata pentru m~oo.

lim p~E{a(m)}-al)=Om~O'J

c)Eficienta - se refera la cat de mare este dispersia estimatieio estimare este eficientii daca pentru orice lungime m a e~antionului estimatia este dedispersie minima:

n[a] = E{[a(m)-a j}Este ejicienta dnd E{[a(m)-a]2} este minima.

5.3. Metoda verosimilitatii maxime (VM) ~i metoda celor mai mici patrate(CMMP)

In teoria estimajiilor se demonstreaza ca metoda VM este singura care determina estimajiieficiente ~inedeviate:

a = max{p(a,a)}a

Presupunem ca se doreste determinarea estimatiei parametrului a din model pe baza a Nmasuratori lIE.

: Yk'{IIIII

IIIII

Te ')IIIII

Uk :

y = j(u,a)

Pentru N masuratori intrare/ie~ire:Uk : {U\,u2,···,UN}

Yk : {YI'Y2""'YN}Eroarea de determinare a ie~irii:ek = Yk - Yk = Yk - !(uk,a) == vk' pentru k=1,2, ... ,NSe define~te 0 ''fimcfie de eroare":F(ek) = F[h - !(uk,a)] = F(vk)

~iun "criteriu de eroare":

N

VN(a) = LF(vk)k=1

Estirnatia parametrului "a" este:N

B = minVN(a) = min LF[Yk - !(uk,a)]a a k=1

Alegerea corecHi a functiei de eroare F se poate face doar dadi se cunosc proprietii-tilestatistice (densitatea de probabilitate - p(v)): F {- p(v).Metoda verosimilitatii maxime VM impune ca estimatia parametrului sa fie cea caremaximizeaza dens itatea de probabilitate:

B = max{p(B,a)} = min{ : } = max{lnp(B,a)} = min{-Inp(B,a)}a a p(a,a) a a

Dadi se cunoaste p{tta) atunci putem alege:

F(vk) = -lnp(vk)eu criteriul de eroare:

N

VN(a) = LF(vk)k=l

Exemplul 1: Dadi p(v) are 0 distributie normala (gaussiana) atunei metoda VM se reduce lametoda celor mai mici patrate CMMP

p(v) ~ "distributie normal a" (gaussiana)

""""""""""""""

0-= abaterea patratica medie (deviafia)d = D = dispersia

F(vk) = -Inp(vk) = Ina.J21C + -4v~20-

B = min fUn 0-.J21C+ ~vt] = ~min f vt (suma celor mai mici patrate)a k=l 20- 20-- a k=!

In cazul particular al distributiei normale de probabilitate, metoda VM se reduce la metodaCMMP:

N N

a = min L[Yk - .5\]2 =inin L[Yk - !(uk,a)]2a k=l a k=1

Exemplul2: Dacap(v) are 0 distributie de tip Laplace atunci metoda VM se reduce lametoda celor mai mici module CMMMp(v) ~ distributie tip Laplace:

1 -~p(v)=-e A

2/1.

a =min ±F(vk) = min[±(ln2/1.+!lvkl) = min ±/vkl = min ±IYk - Ykl =min±IYk - !(uk,a)1a k=1 a k=1 /1. a k=1 a k=1 a k=1

(CMMM)

In cazul particular al densitatii de probabilitate cu distributie de tip Laplace, metoda VM sereduce la metoda celor mai mici module (CMMM).

In natura ~i ill statistica functioneaza Iegea conform cfueia suma mai multor procese aleatoarestationare cu functii de distributie oarecare este un proces aleator cu distribu{ie normala(gaussiana), adica, daca sursa erorilor, zgomotelor este 0 sursa multipla, atunci rezulta unzgomot/eroare cu distributie normala sau gaussiana=:>Metoda verosimilitatii maxime se reduce la metoda celor mai mici patrate VM == CMl\1P ~care conduce la estimatii eficiente ~inedeviate in majoritatea cazurilor practice.

5.4. Estimarea parametrilor modelelor statice prin metoda CMMP -metoda regresiei liniare monodimensionale

Metoda regresiei monodimensionale este aplicarea metodei CMMP pentru modelul unuisistem 8180, camia i se asociaza un modelliniar:

IIIII

Te '\IIIII

Uk :

r -- ---- -----,

: MODEL : , yAI LINIAR: ~ ------~I I1 -----"'

N N

VN(aO,a1) = 2:)Yk - YkY = 2)Yk -aD -aJuk]2k=l k=l

NL-2(Yk -aD -a1uk) = 0k=lN ~

L-2(Yk -aD -ajuk)uk =0k=l

Na,+(t,u} ~t,y,(t,u,)a. +(t,u; )a, = t,u,y'

Yk ± 20"

:".: Yk ± 0"t~/~/

.( .•'<

I.v1,./'

•••••• J

••••• ", J I.~ I I

,/ I I I

/+ : : :1...•••.•.•.1 f I I I

,,,,', I I J I I....t .• I I J I ) I

."""."". I I I I I I. I I I I J J J

I I I J J , IJ I I I J I II I J I J J II I , I I , I

N

L(Yk - Yk)2k=]

( 2 - reprezinta gradele de libertate:parametrii (EI{),al))

Yk ± 0" ~ 66%Yk ± 20" ~ 95%

Determinarea modelului ill varia bile centrate pune in evidenta 0 forma simpla asolutiei prin Cl\1MP:

(dreapta regresiei treee ~i prin imagine aaxelor eu variabile eentrate)

0 °U1 YI

° 0

° N °0 0 0

u= U2 y= Y2 ; UTU= 'Lui,M M k=1

° 0

UN YN

° -I

al = ~T: = (VT UJ U¥y 0 forma de exprimare ce sugereaza soluta generala a metodeiUTU

(CMMP)

5.5. Metoda regresiei multidimensionale

In acest caz procesul este caracterizat de mai multe intrari si 0 iesire (MISO). Se urmarestedeterminarea unui model static liniar in variabile centrate de forma:

{

oy=y-y° 1 N

ui = u1 --'LUikN k=1

o [ 0U= u1 deci modelulin variabile centrate este de forma

o °y=U·A

av 0 (0 0 ) (0 0 )T( 0)a: = 0 ~ - UT y- U A + y- U A - U = 0 ~

( J-l000 00 00 0000

~-2'UT(Y-UA)=O~UTUA=UTY~A= UTU UTy

Modelul adoptat este neliniar in raport eu variabila de intrare u prin intermediul funetiilorneliniare cp, dar este un model Ziniar in parametri:

unde CPi sunt funetii neliniare; de exemplu:qJi(U) = ui

~ y = ao + a1u +a2u2 + ...+ amun!~ aproximare polinomiaHi .Problema determinarii veetorului parametrilor a se rezolva absolut similar prin metodaCMMP ~ (ao,al' ...,aJObs. Functia Matlab corespunzatoare: polyfit: a =polyfit(U, Y,m)