cs115 seminar ski rad - ivan nikolic 723

Univerzitet Metropolitan BeogradFakultet informacionih tehnologija

CS115 Diskretne strukture

JULIJIN I MANDELBROTOV SKUPSeminarski rad

Predmetni profesori: dr. Miroslava Raspopovi mr. Selena Stanoji

Student: Ivan Nikoli Broj indeksa: 723

U Niu, jun 2010.

SADRAJ:1. SAETAK ............................................................................................................. 3 2. UVOD .................................................................................................................... 42.1. ta su fraktali.................................................................................................... 4 2.2. Kompleksni brojevi ........................................................................................... 5 2.3. Kompleksna ravan ............................................................................................ 5

3. JULIJIN SKUP ...................................................................................................... 6Primer 1. .................................................................................................................... 7 Primer 2. .................................................................................................................... 8 Primer 3. .................................................................................................................... 9 3.1. Povezanost Julijinog skupa .............................................................................. 9

4. MANDELBROTOV SKUP................................................................................... 10Primer 4. .................................................................................................................. 11 Primer 5. .................................................................................................................. 11 4.1. Putovanje u dubinu skupa. ....................................................................................... 13

5. PRIMENA FRAKTALA, JULIJINOG I MANDELBROTOVOG SKUPA .............. 14 6. ZAKLJUAK ...................................................................................................... 15 7. LITERATURA ..................................................................................................... 16

2

Julijin i Mandelbrotov skup

Ivan Nikoli

1. SAETAK

Fraktali su svuda oko nas i esto ih sreemo u prirodi nain na koji rastu biljke, nain na koji se planine obruavaju ili teku reke, nain na koji pahuljice ili ostrva dobijaju svoj oblik, nain na koji se svetlo igra po povrinama, nain na koji se mleko uvija i kovitla u kafi dok je meamo... Matematiar Gaston Julija primetio je 40-ih godina prolog veka da sve ove stvari, u njihovoj naizgled maginoj kompleksnosti, mogu biti opisane matematikih funkcijama, koje su, ako nita drugo, jo maginije u svojoj jednostavnosti. Bavei se kompleksnim brojevima otkrio je skupove koji su samo mali delovi jedne velike tvorevine izuzetnih oblika, bogatih strukturalnih linija, neobinih ali prekrasnih i oaravajuih konstrukcija. Njegov rad nastavio je Benot Mandelbrot 1980-ih godina. Za skup koji je on pronaao (Mandelbotov skup) mnogi matematiari kau da je neto najfascinantnije to se moe zamisliti.

3


Ivan Nikoli

2. UVOD2.1. ta su fraktali? Fraktali (od glagola frangere - razlomiti) se nalaze u samim temeljima prirode. To su, zapravo, objekti koji, kada se uveliaju, sami sebe sadre. Kada pogledamo jedan njihov deo, on izgleda slino ili potpuno isto kao poetni oblik i takoe je sastavljen od istih takvih oblika sve manjih i manjih do u beskonanost (ili bar dok priroda ne kae stop deljenju, a za nae oi to je nekada prilino beskonano). Zbog svoje samoslinosti odnosno specifine osobine ponavljanja oblika ih moemo videti svugde u prirodi. Pogledajmo recimo brokoli. Njegovo mnotvo zelenih cvetova sainjeno je od mnotva zelenih cvetova koje ini mnotvo zelenih cvetova i jo dublje. Stablo drveta se grana na sve manje i manje grane i granice. Na sistem krvnih sudova (bronhije, bronhiole, alveole...) je slian drvetu, pa onda izgled DNK, zatim pluni sistem, sapunica, kristalisani med, listovi mnogih biljaka, slika munje, pahuljica, leopardove are. Na slikama 11, 22, i 33 mogu se videti razni fraktali...

Slika 1. Fraktali na pahulji

Slika 2 Fraktali na paunovom repu

Identina slika ove prirodne lepote ustanovljena je i u matematici. Preciznu matematiku definiciju dao je matematiar Mandelbrot u sledeem obliku: Fraktali su skupovi taaka ija je fraktalna dimenzija vea nego topoloka dimenzija. Fraktal esto ima sledee osobine:

finu strukturu na proizvoljno malom uveanju; previe je nepravilan da bi mogao biti opisan tradicionalnim euklidskim jezikom; sam je sebi slian (makar priblino); ima jednostavnu i rekurzivnu definiciju.Slika 3 . Fraktali na listu paprati

Da bismo mogli da razumemo funkcionisanje Julijinog i Mandelbrotovog skupa, ali i fraktala uopte, moramo prvo da dobro poznajemo oblast kompleksnih brojeva.1 2

Slika pahulje - http://www.partow.net/images/snowflakes/images/snow_flake_6.jpg Slika pauna - http://www.rainbowskill.com/wp-content/uploads/2009/03/f111.jpg 3 Slika paprati - http://www.iciclespider.com/wordpress/wp-content/uploads/2009/06/fern.gif

4


Ivan Nikoli

2.2.

Kompleksni brojevi

Kompleksni brojevi se javljaju kao potreba proirenja skupa realnih brojeva. Znamo da postoje prirodni, celi, racionalni i iracionalni brojevi. Prirodni i celi brojevi zapravo se mogu prikazati kao razlomci, pa ih smatramo racionalnima. Neki koreni se ne mogu prikazati kao razlomci, pa nisu racionalni. Na primer, ine skup svih realnih brojeva.

2 nije racionalan broj. Racionalni i iracionalni brojevi

Realni brojevi se mogu prikazati na brojevnoj pravi. Svakom realnom broju pridruuje se jedna taka na brojevnoj pravi i svakoj taki na pravi pridruen je jedinstven broj. Slobodnih taaka nema, ali to ne znai da ne postoje drugi brojevi osim realnih. U skupu realnih brojeva moemo kvadratni koren raunati samo iz nenegativnih brojeva. Vrednost 1 ne bismo mogli da izraunamo, jer ne postoji takav realan broj koji bi kvadriran dao negativan broj! Zato pretpostavljamo da je re o nekom broju i, nazivamo ga imaginarnom jedinicom, i za njega vai i 2 = 1 .

Koristei se ovom osobinom, 4 moemo zapisati kao 4 = 4 1 = 2i . Tako moemo napraviti beskonano mnogo brojeva oblika yi, gde je y neki realni broj. Takve brojeve nazivamo imaginarnim brojevima. Brojeve koji su zbir realnih i imaginarnih brojeva nazivamo kompleksnim brojevima i njih, takoe, ima beskonano mnogo. Obino ih oznaavamo slovom z. Najee, oni su oblika: y = x + yi .

2.3.

Kompleksna ravan

Kako se kompleksni brojevi sastoje od dve komponente, realnog dela x i imaginarnog dela y, najbolje ih je pridruiti takama u ravni. Tako dobijamo kompleksnu ravan. Udaljenost take z od poetka koordinatnog sistema zovemo modulom kompleksnog broja, a oznaka je |z|.Slika 4. Kompleksna ravan

5


Ivan Nikoli

3. JULIJIN SKUP

Matematiar Gaston Julia prouavao je kvadratnu funkciju

f ( z ) = z 2 + c i niz

2 zn +1 = f ( zn ) = zn + c , gde zn i n pripadaju skupu N, a c je kompleksan broj. Tom je funkcijom

dobio, za razliite vrednosti broja c, grafiki prikaz kompleksnih brojeva u kompleksnoj ravni, i ti se skupovi nazivaju po njemu - Julijini skupovi. Julijin skup je granica dvaju skupova taaka z0 = x + yi : onog gde niz zn +1 = f ( zn ) konvergira nekoj vrednosti posle odredjenog broja iteracija, i onog gde taj niz divergira, odnosno tei u beskonanost ( f ( zn ) moe biti bilo koja funkcija). Iako su ovi skupovi otkriveni jo poetkom prolog veka, njihova detaljna analiza postala je mogua sa dolaskom naprednijih kompijuterskih sistema. Kao i slike mnogih drugih fraktala i slike Julijinih skupova su veoma sloene, a ipak koriste veoma jednostavnu formulu. Obino se Julijin skup, kao i svi algebarski fraktali, prikazuje tako da su take koje konvergiraju obojene nekom osnovnom bojom, a one koje divergiraju su u raznim nijansama iste ili razliitih boja. Nijansa boje zavisi od brzine kojom niz raste to se vie odmiemo od Julijinog skupa, niz bre raste. Veina poznatih Julijinih skupova koriste formulu f ( z ) = z 2 + c sa razliitim vrednostima konstante c. Iako je ovo najea formula, postoji jo mnotvo drugih formula koje se mogu ravnopravno koristiti. Veoma zanimljive are mogu se dobiti ubacivanjem trigonometrijskih ili logaritamskih funkcija u formulu. Na slici 5 vidimo jedan isti skup, razliito obojen. Obojeno podruje nisu take koje pripadaju samom skupu, ve granica skupa, koja dobija razliite nijanse u zavisnosti od toga koliko brzo tei beskonanosti. Ovo se najbolje moe videti na slici u sredini.

Slika 5. Slike Julijinog skupa sa formulom f(z)=z +c i vrednou kompleksnog broja c = -0,63-0,407i

2

6


Ivan Nikoli

Primer 1. Kako se mogu kreirati slike razliitih Julijinih skupova? Na internetu se moe nai mnotvo aplikacija koje slue za kreiranje slika Julijinog skupa. Ovim aplikacijama se mogu

prosleivati razni parametri: funkcija kojom se kreiraju iteracije ( f ( z ) = z 2 + c , f ( z ) = z 3 + c ...), imaginarni i realni deo kompleksnog broja c, broj iteracija, boje, koordinate, poetna taka... Na taj nain se mogu dobiti veoma raznolike slike.

Slika 6. Izgled Java Applet-a za kreiranje slika Julijinog skupa

4

Da bismo nacrtali Julijin skup pratimo sledee korake: 1. Uzimamo proizvoljan kompleksan broj i oznaavamo ga sa c. Ovo e biti konstanta Julijinog skupa. 2. Uzimamo drugi proizvoljan kompleksan broj i oznaavamo ga sa z0. 3. Koristimo neku formulu, npr. f ( z ) = z 2 + c i ponavljamo raunanje veliki broj puta. 4. Ako broj poinje da tei beskonanosti velikom brzinom u k-toj iteraciji, ne oznaavamo odgovarajuu taku na kompleksnoj ravni ili je oznaavamo k-tom nijansom izabrane boje. U suprotnom, taka pripada skupu i moemo je oznaiti izabranom bojom. 5. Ponavljamo korake 2-5 sa razliitim brojevima sve dok sve take u ravni ne budu proverene.4

Aplet se moe nai na strani: http://www.bugman123.com/Fractals/Mandelbrot.html .

7


Ivan Nikoli

Primer 2. Kako utie menjanje parametara na izgled Julijinih skupova? Konstanta c moe biti bilo koji kompleksan broj, i svaki e proizvesti razliit Julijine skupove, koji najee, ni razliite koji, 5 najmanje ne lie jedan na drugi. Na slikama 7-11 moemo videti slike raznolikih Julijinih skupova sa nekoliko razliitih formula i vrednosti konstante c.

Slika 7. Julijin skup (formula f(z)=z +c; c=0,7+0,4i)

2

Slika 8. Julijin skup (formula f(z)=z +c; c= c=-0,2-0,7i)

2

Slika 9. Julijin skup (formula f(z)=z +c; c=0,5+0,05i)

3

Slika 10. Julijin skup (formula f(z)=z +c; c=-0,5-0,5i)

3

Slika 11. Julijin skup (f(z)=2/3*(z -2)/z) . Sierpinski trouglovi

3

Slika12. Julijin skup (formula f(z)=z +c; c= c=-0,4-0,46i)

4

5

Aplikacije koje sam koristio za kreiranje Julijinih skupova se mogu nai na stranama: oristio http://www.bugman123.com/Fractals/Mandelbrot.html , http://www.fer.hr/_download/repository/Mandelbrot.html i http://www.easyfractalgenerator.com/julia http://www.easyfractalgenerator.com/julia-set-generator.aspx .

8


Ivan Nikoli

Primer 3. Kako znamo koja taka pripada Julijinom skupu, a koja ne? Na primer, hoemo da

obojimo taku skupa sa koordinatama (-1, 0,5). Uzeemo ve pomenutu formulu f ( z ) = z 2 + c i konstantu c = -1,125 + 0,25i. Dakle, postoje beskonano mnogo Julijinih skupova u zavisnosti od toga koju konstantu c odaberemo. Poinjemo sa z0 = -1 + 0,5i (koordinate x i y nae take predstavljene su kao realni i imaginarni deo komleksnog broja z0, respektivno). Dalje imamo:

z1 = z02 + c = 0,375 0,75i z2 = z12 + c = 1,54688 0,8125i z3 = z2 2 + c = 0,60767 + 2, 26367iOvde, posle tree iteracije, stajemo sa raunanjem. Postoji teorema koja kae da e kompleksan broj zk teiti beskonanosti ukoliko njegova vrednost u k-toj iteraciji bude vea od broja 2. Poto je vrednost naeg broja |z3|= 2,34381 , a to prelazi vrednost 2, zakljuujemo da ova taka ne pripada skupu i dodeljujemo joj nijansu boje za k=3 (poto je u treoj iteraciji poela da tei beskonanosti).

3.1.

Povezanost Julijinog skupa

Julijin skup je povezan ako je skup koga okruuje kompaktan. U suprotnom, Julijin skup je nepovezan. Na slici 13.6 moe se videti povezan i nepovezan Julijin skup.

Slika13. Julijini skupovi: levo - nepovezan skup, desno - povezan skup6

Slika nepovezanog skupa: http://sh.wikipedia.org/wiki/Datoteka:Julia_set_%28highres_01%29.jpg Slika povezanog skupa: http://sh.wikipedia.org/wiki/Datoteka:Julia_set_camp1.jpg

9


Ivan Nikoli

4. MANDELBROTOV SKUP"Venost nije dovoljna da se ceo pregleda", James Gleick

Ponekad mislimo da je matematika suvoparna i da joj nedostaje mate. Benot Mandelbrot, ameriki matematiar francuskog porekla, je dokazao suprotno. Njegovo e ime ostati zapameno po skupu taaka koji se naziva Mandelbrotov skup (slika 147). Mandelbrotov skup je najsavreniji od svih fraktala. Ako na kompleksnoj ravni oznaimo sve brojeve c pomou kojih se dobija povezan Julijin skup f ( z ) = z 2 + c , definisali smo Mandelbrotov Slika 14. Mandelbrotov skup skup. Mandelbrotov skup se moe prikazati bojei take koje pripadaju skupu nekom bojom (npr. crnom), a ostale u raznim nijansama u zavisnosti od toga koliko brzo divergiraju. Mandelbrotov skup je zatvoren skup kome su sve take unutar (zatvorenog) kruga poluprenika 2 sa sreditem u koordinatnom poetku. tavie, taka c pripada Mandelbrotovom skupu ako i samo ako vredi f cn (0) 2 za sve n 0 . Drugim reima, ako je apsolutna vrednostf cn (0) za neki n 0 vea od 2, niz e teiti u beskonanost (divergirati). Presek Mandelbrotovog

skupa sa realnom osom kompleksnog koordinatnog sistema daje interval [-2, 0,25]. Povrina se procenjuje na 1,50659177 0,00000008, a to je priblino jednako6 1 e = 1, 506591651 ...

Kao i kod ostalih fraktala, i kod Mandelbrotovog skupa vai svojstvo samoslinosti (slika 158), jer se u njemu pojavljuju izmenjene verzije njega samog. Izmenjene su uglavnom zbog skupova taaka koji vire iz njih povezujui ih sa glavnim delom.

Slika15. Svojstvo samoslinosti kod Mandelbrotovog skupa7 8

Izgled Mandelbrotovog skupa: http://whatisnotseen.files.wordpress.com/2008/08/mandelbrot_set.jpg Svojstvo samoslicnosti: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c6/Mandelzoom.jpg

10


Ivan Nikoli

Primer 4. Kako odreujemo da li neka taka pripada Mandelbrotovom skupu. Postupak je

gotovo isti kao kod Julijinog skupa. Funkciju f ( z ) = z 2 + c podvrgavamo iterativnom postupku. Uzmemo bilo koji kompleksni broj c. Zatim ga kvadriramo i dodamo sam poetni broj c, opet kvadriramo i dodamo broj c, ono to dobijemo, opet kvadriramo i dobijemo poetni broj c, itd. Poetna vrednost z0 je uvek 0. Ako takav niz iteracija odluta u beskonanost, onda za taku pridruenu broju c kaemo da ne pripada Mandelbrotovom skupu. Ako i nakon velikog broja niz iteracija ostaje ogranien, vrti se u krug ili poprima male vrednosti, smatramo da taka pripada Mandelbrotovom skupu. Neki jednostavni primeri: 1. c1 = 1; 12+1=2; 22+1=5; 52+1=26... Niz raste u beskonanost to znai da taka c1 = 1+0i ne pripada skupu; 2. c2 = i ; i2+i =-1+i; (-1+i)2+i=-i; (-i)2+i=-1+i... Niz se vrti u krug, to znai da taka c2=0+i pripada skupu.

Primer 5.

Za neke komplikovanije primere nisam mogao da naem odgovarajuu aplikaciju koja bi raunala i pokazivala mi sve iteracije, pa sam napravio sm tabelu u MS Excel-u koja mi je pomogla da vidim kako tee ceo proces. Uzmimo vrednost za c = -0,2+0,5i. Poto je z0 = 0, trivijalno je dokazati da e z1 imati vrednost kao broj c. Za sve sledee iteracije, moramo sabirati kompleksne brojeve na sledei nain:

zn = ( zn1 ) + c zn = Re ( zn1 ) + 2 Im ( zn 1 ) Re ( zn 1 ) + Im ( zn 1 ) + Re ( c ) + Im ( c ) zn = Re ( zn1 ) Im ( zn 1 ) + Re ( c ) + 2 Im ( zn1 ) Re ( zn1 ) + Im ( c )Ako bismo neki imaginarni deo kompleksnog broja kvadrirali dobili bismo realni deo. Na primer, ( 0,5i ) = ( 0,5 ) ( 0,5 ) = 0, 25* ( 1) = 0, 25 . Dobijamo -0,25 i taj broj emo u sledeoj iteraciji raunati kao realni deo. Na kraju dobijamo rezultat koji koristimo za sledeu iteraciju zn+1:2 2 2

2

2

2

2

2

Re ( zn ) = Re( zn1 )2 Im( zn1 )2 + Re ( c )

i

Im ( zn ) = 2 Re( zn1 )*Im( zn 1 ) + Im ( c )Ivan Nikoli

11


Slika16. Prvih petnaest iteracija u funkciji f(z)=z +c, gde je c=-0,2+0,5i

2

Slika17. Poslednjih petnaest iteracija u funkciji f(z)=z +c, gde je c=-0,2+0,5i

2

U tabeli koju sam pravio, zadao sam izraunavanje prvih 100 iteracija. Na slikama 16 i 17 se moe videti kako se menja vrednost zn u prvih i u poslednjih 15 iteracija. to vie odmiemo, to su razlike izmeu vrednosti koje se dobijaju dvema susednim iteracijama sve manje. Zakljuujemo da ova taka konvergira ka broju 0,41647872..., a iz toga sledi da taka pripada Mandelbrotovom skupu.

12


Ivan Nikoli

4.1.

Putovanje u dubinu skupa

Dimenzije fraktala kreu se od odreenog, poznatog, konanog ka beskonanom, dakle jedna dimenzija je konana odnosno poznata, druga je neograniena. Na slici 189 mogu se videti 15 manjih sliica i svaka predstavlja uveani deo prethodne. Vidljiva je beskonana sloenost skupa i bogatstvo geometrijskih struktura. Uveanje zadnje slike je otprilike 6*1010 : 1. Na prosenom monitoru zadnja slika bi bila deo Mandelbrotovog skupa irine oko 20 miliona kilometara.

Slika18. Galerija uveanja Mandelbrotovog skupa9

Galerija uveanja (malo izmenjena): http://jmckennonmth212s09.files.wordpress.com/2009/02/mandelbrot2.jpg

13


Ivan Nikoli

5. PRIMENA FRAKTALA, JULIJINOG I MANDELBROTOVOG SKUPA

Mogunost da se doe do ovako kompleksnih slika fraktala iz jedne jednostavne matematike jednaine je dovela do velikog interesovanja za primenu ovog koncepta. Jedna znaajna primena, koja je tek u razvoju, jeste mogunost da se koriste neki Julijini i Mandelbrotovi skupovi za kompresiju slika. Amerika kompanija Iterated Systems je nedavno razvila revolucionarni softver koji pretvara digitalne fotografije u fraktalne formule. Ovo je znaajno jer je koliina memorijskog prostora koja je upotrebljena za smetanje ovakve slike mnogo manja od koliine koja je potrebna za smetanje slike na standardan nain. Fraktalne slike imaju mogunost zumiranja a da pritom nikada ne gube na kvalitetu i detaljima. Kada se fraktalno kompresovana slika uvea, praznine detalja se popunjavaju takama koje se takoe generiu fraktalnim formulama. Ovo znai da slika moe biti uveana do bilo koje eljene veliine, od veliine potanske markice do veliine bilborda. Ako ovako neto pokuamo sa standardno kompresovanom slikom (JPEG, GIF...) ona e postati zrnasta, mutna i nejasna. Ovi skupovi su ve nali primenu u seizmologiji, biologiji, kartografiji, pa ak i u medicini. Nai mobilni telefoni imaju antenu koja je u obliku fraktala i zauzima malo mesta, ali obuhvata irok opseg frekvencija. Prisutni su i u grafikom dizajnu, a sve ih vie ima u umetnosti. Fantastine, nestvarne slike dobijaju se uz pomo skupova uglavnom Mandelbrotovog tipa. U grafikom dizajnu uz njihovu pomo dobijaju se realistini prizori iz prirode planine, oblaci, drvee. Ima ih u video igricama, na hipi majicama, maskirnim uniformama. Postoji mnogo rasprava o tome koliko se i u kojim naukama moe koristiti ova veoma snana oblast matematike. Mnogi poznati naunici i teoretiari tvrde da e se korienjem ove grane matematike nekada doi do reenja nekih ogromnih pitanja kao to su procena pribline vrednosti kosmosa, ili otkrivanje tajne koja se krije iza kodiranja DNK.

14


Ivan Nikoli

6. ZAKLJUAK

Fraktali, a posebno Julijini i Mandelbrotovi skupovi, su jedan od najznaajnijih otkia prolog veka. Benotu Mandelbrotu je polo za rukom da spoji u celinu sve koncepte koji su godinama pre njega osmiljali mnogi matematiari, poput Julije i Koha (Kohova pahulja) i od njih napravi sasvim novu nauku. Jedinstvene osobine ovih skupova su dovele do rasprostranjenja interesa, zbog elje da se iskoristi mo ovih sloenih geometrijskih objekata. Njihova, gotovo zbunjujua, jednostavnost sa kojom funkcioniu i stvaraju ovakve slike, namee pitanje da li je uopte mogue da se ikada iskoristi njihov potencijal potpuno. Mislim da sam u sutini postigao svoj cilj da pruim opti pregled Julijinog i Mandelbrotovog skupa. Kada sam poeo da istraujem ovu temu, bio sam preplavljen gomilom informacija i literature, uglavnom sa interneta. Informacija koju mi je bilo najtee da pronaem je jednostavno objanjenje kako se koristi matematika za kreiranje ovih skupova. Oseam da sam stekao sveobuhvatno znanje (na nekom srednjem nivou) o ovoj, ni malo jednostavnoj, temi.

15


Ivan Nikoli

7. LITERATURA

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

The Universal Mandelbrot Set: Beginning Of The Story - V.Dolotin, A. Morozov, 2005 PlayMath, asopis za matematiku i informatiku, broj 12 Hrvatsko mat. drutvo, Zagreb, 2006 The Fractal Geometry Of Nature B.Mandelbrot, Moskva, 2002 B92 - Fraktali u nama. Mi u njima Hrvatski matematiki elektronski asopis math.e Mandelbrotov skup Wikipedia, slobodna enciklopedia Mandelbrotov skup Wikipedia, slobodna enciklopedia Julijin skup Bugman123 Mandelbrot and Julia fractals Thinkquest.org Julia sets E-kola hrvatskog fizikalnog drutva Fraktali

16


Ivan Nikoli

cs115 seminar ski rad - ivan nikolic 723

Documents