critères de plasticité -...

61
σ 1 σ 2 σy σy σy σy - - Critères de plasticité Georges Cailletaud Centre des Matériaux MINES ParisTech/CNRS

Upload: lyquynh

Post on 12-Sep-2018

219 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

σ1

σ2

σy

σy

σy

σy-

-

Critères de plasticité

Georges Cailletaud

Centre des MatériauxMINES ParisTech/CNRS

Page 2: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Plan

1 Aspects expérimentauxMécaniqueMécanismes

2 Modèles insensibles à la pression hydrostatiqueIsotrope : Tresca, von MisesUn critère anisotrope : Hill

3 Modèles sensibles à la pression hydrostatique

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 2 / 43

Page 3: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Chargements biaxiaux

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 3 / 43

Page 4: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Cisaillements

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 4 / 43

Page 5: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Plan

1 Aspects expérimentauxMécaniqueMécanismes

2 Modèles insensibles à la pression hydrostatiqueIsotrope : Tresca, von MisesUn critère anisotrope : Hill

3 Modèles sensibles à la pression hydrostatique

Page 6: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Plan

1 Aspects expérimentauxMécaniqueMécanismes

2 Modèles insensibles à la pression hydrostatiqueIsotrope : Tresca, von MisesUn critère anisotrope : Hill

3 Modèles sensibles à la pression hydrostatique

Page 7: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanique

Passage du laboratoire au monde réel (1)

0.2% residual strainElastic slope

Tension curve

ε(mm/mm)

σ(M

Pa)

0.080.070.060.050.040.030.020.010

600

500

400

300

200

100

0

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 7 / 43

Page 8: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanique

Passage du laboratoire au monde réel (1)

0.2% residual strainElastic slope

Tension curve

connueCourbe de traction

ε(mm/mm)

σ(M

Pa)

0.080.070.060.050.040.030.020.010

600

500

400

300

200

100

0

Dans la plupart des cas, le matériau est caractérisépar une simple courbe de traction

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 7 / 43

Page 9: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanique

Passage du laboratoire au monde réel (2)

0.2% residual strainElastic slope

Tension curve

connueCourbe de traction

ε(mm/mm)

σ(M

Pa)

0.080.070.060.050.040.030.020.010

600

500

400

300

200

100

0

212 53 10753 88 32107 32 316

Comment

transposer ?

312312332211

Chargement reel complexe

t (s)

σ(M

Pa

)

6050403020100

400

350

300

250

200

150

100

50

0

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 8 / 43

Page 10: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanique

Passage du laboratoire au monde réel (2)

0.2% residual strainElastic slope

Tension curve

connueCourbe de traction

ε(mm/mm)

σ(M

Pa)

0.080.070.060.050.040.030.020.010

600

500

400

300

200

100

0

212 53 10753 88 32107 32 316

Comment

transposer ?

312312332211

Chargement reel complexe

t (s)

σ(M

Pa

)

6050403020100

400

350

300

250

200

150

100

50

0

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 8 / 43

Page 11: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanique

Passage du laboratoire au monde réel (2)

0.2% residual strainElastic slope

Tension curve

connueCourbe de traction

ε(mm/mm)

σ(M

Pa)

0.080.070.060.050.040.030.020.010

600

500

400

300

200

100

0

212 53 10753 88 32107 32 316

Comment

transposer ?

312312332211

Chargement reel complexe

t (s)

σ(M

Pa

)

6050403020100

400

350

300

250

200

150

100

50

0

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 8 / 43

Page 12: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanique

Comment caractériser le comportement multiaxial ?

Essais mécaniques multiaxiauxRecherche sur les mécanismes physiques dela déformation

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 9 / 43

Page 13: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanique

Comment caractériser le comportement multiaxial ?

Essais mécaniques multiaxiauxRecherche sur les mécanismes physiques dela déformation

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 9 / 43

Page 14: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanique

Essais de traction–torsion sur tube

Specimen traction–torsion

Pour un tube de longueur L, dediamètre 2R et d’épaisseur e :

Déformation mesurée parjauge, ou utilisation de larelation entre l’angle (β) et ladéformation (γ) :

β = γLR

Relation entre le moment (M)et le cisaillement (τ) :

M = 2πeR2τ0 0 0

0 0 σθz

0 σθz σzz

(rθz)

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 10 / 43

Page 15: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanique

Essais biaxiauxEssai biaxial sur une éprouvette cruciforme vinylester–fibre de verre

Plus d’info sur le siteSciences de l’Ingénieur, ENS Cachan

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 11 / 43

Page 16: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanique

Essais de cisaillement

Double MontageCisaillement Arcan(caoutchouc)

Doc. Centre des Matériaux, MINES ParisTech

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 12 / 43

Page 17: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanique

Machine de cisaillement

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 13 / 43

Page 18: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanique

Recherche de la surface de charge en traction–cisaillement

Thèse Rousset, ENS Cachan

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 14 / 43

Page 19: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanique

Surface initiale et après première compression

Thèse Rousset, ENS Cachan

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 15 / 43

Page 20: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanique

Surface initiale et chargement carré

Thèse Rousset, ENS Cachan

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 16 / 43

Page 21: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanique

Résultat de cisaillement du basalte

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 17 / 43

Page 22: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Plan

1 Aspects expérimentauxMécaniqueMécanismes

2 Modèles insensibles à la pression hydrostatiqueIsotrope : Tresca, von MisesUn critère anisotrope : Hill

3 Modèles sensibles à la pression hydrostatique

Page 23: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanismes

Bilan des observations expérimentales

Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches)

Réseau cristallin Pas de changement de volume

Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 19 / 43

Page 24: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanismes

Bilan des observations expérimentales

Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches)

Réseau cristallin Pas de changement de volume

Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 19 / 43

Page 25: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanismes

Bilan des observations expérimentales

Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches)

Réseau cristallin Pas de changement de volume

Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 19 / 43

Page 26: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanismes

Bilan des observations expérimentalesVariable critique ?

Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches)

Réseau cristallin Pas de changement de volume

Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 19 / 43

Page 27: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanismes

Bilan des observations expérimentalesVariable critique ?

Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches)

Réseau cristallin Pas de changement de volume

CisaillementDéviateur

Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 19 / 43

Page 28: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanismes

Bilan des observations expérimentalesVariable critique ?

Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches)

Réseau cristallin Pas de changement de volume

CisaillementDéviateur

Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables

Déviateur+ partie

sphérique

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 19 / 43

Page 29: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanismes

Système de glissement dans un monocristal

Thèse F. Hanriot (ENSMP-CDM, Evry)

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 20 / 43

Page 30: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanismes

Système de glissement dans un alliage polycristallin basenickel

Clavel (ECP, Châtenay)

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 21 / 43

Page 31: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanismes

Rupture sous chargement dynamique

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 22 / 43

Page 32: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanismes

Loi de Schmid

La déformation s’effectue par glissement sur un système s défini par unplan de normale ns, et une direction de glissement ls, lorsque la cissionrésolue, τs atteint une valeur critique τc

Projection du vecteur contrainte du plan sur la direction de glissement,soit, pour un monocristal soumis à un tenseur de contrainte σ

τs = (σ

∼.ns).ls

Il y a autant de critères linéaires en contrainte que de systèmes deglissement

f (σ∼) = τ

s− τc

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 23 / 43

Page 33: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanismes

Construction des surfaces de charge pour des agrégatspolycristallins (Elasticité uniforme)

Alliage à Polycristalsolidification dirigée

Evaluer des surfaces de charge

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 24 / 43

Page 34: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanismes

Surface de charge en traction–cisaillement

001

σ11

σ 12

2001000-100-200

200

100

0

-100

-200

Un grain cubique orienté selon les axes (001)

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 25 / 43

Page 35: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanismes

Surface de charge en traction–cisaillement

234001

σ11

σ 12

2001000-100-200

200

100

0

-100

-200

Un grain désorienté (234)

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 25 / 43

Page 36: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanismes

Surface de charge en traction–cisaillement

2g234001

σ11

σ 12

2001000-100-200

200

100

0

-100

-200

Un grain (001) et un grain (234)

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 25 / 43

Page 37: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanismes

Surface de charge en traction–cisaillement

10g2g

234001

σ11

σ 12

2001000-100-200

200

100

0

-100

-200

Dix grains au hasard

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 25 / 43

Page 38: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanismes

Surface de charge en traction–cisaillement

100g10g2g

234001

σ11

σ 12

2001000-100-200

200

100

0

-100

-200

Cent grains au hasard

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 25 / 43

Page 39: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Aspects expérimentaux Mécanismes

Surface de charge en traction–cisaillement

Tresca100g

10g2g

234001

σ11

σ 12

2001000-100-200

200

100

0

-100

-200

σ211 +4σ2

12 = σ2y , «critère de Tresca»

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 25 / 43

Page 40: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Plan

1 Aspects expérimentauxMécaniqueMécanismes

2 Modèles insensibles à la pression hydrostatiqueIsotrope : Tresca, von MisesUn critère anisotrope : Hill

3 Modèles sensibles à la pression hydrostatique

Page 41: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Plan

1 Aspects expérimentauxMécaniqueMécanismes

2 Modèles insensibles à la pression hydrostatiqueIsotrope : Tresca, von MisesUn critère anisotrope : Hill

3 Modèles sensibles à la pression hydrostatique

Page 42: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises

Caractérisation du cisaillement maximum

Tenseur de contrainte dans le repère principal :=

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

Vecteur contrainte pour une normale n dans le plan (x1–x2) (avecθ = angle(x1,n) :

Tn = σ1 cos2θ+σ2 sin2

θ =σ1 +σ2

2+

σ1−σ2

2cos2θ

|Tt |=(T 2−T 2

n

)1/2=|σ1−σ2|

2sin2θ

Cercle de Mohr :(Tn− σ1 +σ2

2

)2

+T 2t =

(σ1−σ2

2

)2

Cisaillement maxi

|T maxt |= |σ1−σ2|

2Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 28 / 43

Page 43: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises

Critère de Tresca

σ1σ2σ3Tn

Tt

Tmax

Le cisaillement maximum reste inférieur à une valeur critique.

Maxi,j |σi −σj |−σy = 0

σy est la limite d’élasticité en traction simple

→WIKI

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 29 / 43

Page 44: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises

Caractérisation d’un matériau isotrope- Invariants du tenseur de contraintes :

I1 = trace(σ∼) =σii

I2 =(1/2) trace(σ∼)2 =(1/2)σijσji

I3 =(1/3) trace(σ∼)3 =(1/3)σijσjk σki

- Invariants du déviateur (s∼

= σ∼− (I1/3) I

∼) :

J1 = trace(s∼) =0

J2 =(1/2) trace(s∼)2 =(1/2)sijsji

J3 =(1/3) trace(s∼)3 =(1/3)sijsjk ski

- On pose :

J = ((3/2)sijsji)0,5 =

((1/2)

((σ1−σ2)

2 +(σ2−σ3)2 +(σ3−σ1)

2))0,5= |σ|

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 30 / 43

Page 45: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises

Signification physique de J

Sphère dans l’espace des contraintes déviatoriques

Contrainte de cisaillement octaédral :sur une facette de normale (1,1,1), le vecteur contrainte a pourcomposantes normale σoct et tangentielle τoct :

σoct = (1/3) I1 ; τoct = (√

2/3)J

Energie élastique de distorsion (associée à la partie déviatorique de σ∼

etε∼).

Wed =12

s∼

: e∼

=16µ

J2

Critère de von Misesf (σ∼) = J−σy

NB : formulé par Maxwell en 1865, et Huber en 1904 (→WIKI)

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 31 / 43

Page 46: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises

Contour du critère de von Mises dans le plan déviateur

CS

CI

TS

σ1

CS

TSσ2

CS

TS

σ3

TS désigne les points qui peuventse ramener à de la traction simple,CS ceux qui peuvent se ramener àla compression simple (par exempleun chargement biaxial, car un étatoù les seules contraintes non nullessont σ1 = σ2 = σ est équivalent àσ3 =−σ), CI un état de cisaillement

f (σ∼) = J−σy

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 32 / 43

Page 47: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises

Critères ne faisant pas intervenir la pression hydrostatique

Critère de von Mises

f (σ∼) = J−σy

Critère de Tresca

f (σ∼) = Maxi,j |σi −σj |−σy

Utilisation du deuxième et du troisième invariant

f (σ∼) = fct(J2,J3)

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 33 / 43

Page 48: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises

Comparaison des critères de Tresca et von Mises

Dans le plan traction-cisaillement

− von Mises : f (σ,τ) =(σ

2 +3τ2)0,5−σy

−Tresca : f (σ,τ) =(σ

2 +4τ2)0,5−σy

Dans le plan des contraintes principales (σ1,σ2)

− von Mises : f (σ1,σ2) =(σ

21 +σ

22−σ1σ2

)0,5− σy

− Tresca : f (σ1,σ2) = σ2−σy si 0 6 σ1 6 σ2

f (σ1,σ2) = σ1−σy si 0 6 σ2 6 σ1

f (σ1,σ2) = σ1−σ2−σy si σ2 6 0 6 σ1

(symétrie par rapport à l’axe σ1 = σ2)

Dans le plan déviateur, von Mises = cercle, Tresca = hexagone

Dans l’espace des contraintes principales, cylindres de génératrice (1,1,1)

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 34 / 43

Page 49: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises

Comparaisons des critères de Tresca et de von Mises

σ12

σ11

τt

τm

σyσy

τm

τt-

-

-

a. En traction-cisaillement (vonMises : τm = σy/

√3, Tresca :

τt = σy/2)

σ1

σ2

σy

σy

σy

σy-

-

b. En traction biaxiale

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 35 / 43

Page 50: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Plan

1 Aspects expérimentauxMécaniqueMécanismes

2 Modèles insensibles à la pression hydrostatiqueIsotrope : Tresca, von MisesUn critère anisotrope : Hill

3 Modèles sensibles à la pression hydrostatique

Page 51: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Un critère anisotrope : Hill

Critères anisotropes

f (σ∼) = ((3/2)Hijkl sij skl)

0,5−σy (ou Hijkl σij σkl)

Critère de Hill

Dans les axes d’orthotropie :

f (σ∼) =(F(σ11−σ22)

2 +G(σ22−σ33)2 +H(σ33−σ11)

2

+2Lσ212 +2Mσ

223 +2Nσ

213)

0,5−σy

Transverse, 3 coefficients indépendants

Symétrie cubique, un seul coefficient

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 37 / 43

Page 52: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Plan

1 Aspects expérimentauxMécaniqueMécanismes

2 Modèles insensibles à la pression hydrostatiqueIsotrope : Tresca, von MisesUn critère anisotrope : Hill

3 Modèles sensibles à la pression hydrostatique

Page 53: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Modèles sensibles à la pression hydrostatique

Critère de Drucker-Prager

Combinaison linéaire du premier et du second invariant (avec0 < α < 0.5)

f (σ∼) = (1−α)J +α I1−σy

Limites d’élasticité en traction (σt ) et en compression (σc)

σt = σy σc =−σy/(1−2α)

σ1

2

3

σ

σ

Dans l’espace des contraintesprincipales

I1

J

σy

1−α

σy/α

Dans le plan I1− J

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 39 / 43

Page 54: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Modèles sensibles à la pression hydrostatique

Critère de Mohr-CoulombCombinaison des contraintes tangentielles et normales dans le plan deMohr

|Tt |<− tan(φ)Tn +C

Peut aussi s’exprimer comme combinaison de la somme et de ladifférence des contraintes extrêmes (σ3 6 σ2 6 σ1)

f (σ∼) = σ1−σ3 +(σ1 +σ3)sinφ−2C cosφ

f<0

σ 3 σ1

T

Tn

t

C cohésion, φ frottement internedu matériau

Si C est nul et φ non nul, matériaupulvérulent

Si φ est nul et C non nul, matériaupurement cohérent

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 40 / 43

Page 55: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Modèles sensibles à la pression hydrostatique

Représentation du critère de Mohr-Coulomb

σ

σσ

1

2

3

Dans le plan déviateur on obtient unhexagone irrégulier

TS = 2√

6(C cosφ−p sinφ)/(3+ sinφ)

CS = 2√

6(−C cosφ+p sinφ)/(3−sinφ)

En fonction de la poussée Kp et de lalimite d’élasticité en compression, Rp :

f (σ∼) = Kp σ1−σ3−Rp

Kp =1+ sinφ

1− sinφ= tan2

4+

φ

2

)Rp =−2 cosφC

1− sinφ

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 41 / 43

Page 56: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Modèles sensibles à la pression hydrostatique

Critères «fermés»Le matériau ne doit pas être infiniment résistant en compression

Cap model, ferme par une ellipse le critère de Drücker–Prager,

Modèle de Cam–clay a sa courbe limite définie par deux ellipses dans leplan (I1− J)

−I1

J droitecritique

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 42 / 43

Page 57: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Modèles sensibles à la pression hydrostatique

Critères, synthèse

La frontière du domaine d’élasticité initial est définie par une fonction del’espace des contraintes dans R, qui peut être

Linéaire, par morceaux (Schmid, Tresca)Quadratique, ou de degré plus élevé

Le domaine délimité est convexeLe critère peut dépendre ou non de la pression hydrostatique

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 43 / 43

Page 58: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Modèles sensibles à la pression hydrostatique

Critères, synthèse

La frontière du domaine d’élasticité initial est définie par une fonction del’espace des contraintes dans R, qui peut être

Linéaire, par morceaux (Schmid, Tresca)Quadratique, ou de degré plus élevé

Le domaine délimité est convexeLe critère peut dépendre ou non de la pression hydrostatique

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 43 / 43

Page 59: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Modèles sensibles à la pression hydrostatique

Critères, synthèse

La frontière du domaine d’élasticité initial est définie par une fonction del’espace des contraintes dans R, qui peut être

Linéaire, par morceaux (Schmid, Tresca)Quadratique, ou de degré plus élevé

Le domaine délimité est convexeLe critère peut dépendre ou non de la pression hydrostatique

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 43 / 43

Page 60: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Modèles sensibles à la pression hydrostatique

Critères, synthèse

La frontière du domaine d’élasticité initial est définie par une fonction del’espace des contraintes dans R, qui peut être

Linéaire, par morceaux (Schmid, Tresca)Quadratique, ou de degré plus élevé

Le domaine délimité est convexeLe critère peut dépendre ou non de la pression hydrostatique

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 43 / 43

Page 61: Critères de plasticité - dms.mat.mines-paristech.frdms.mat.mines-paristech.fr/Donnees/data00/95-DMS-B2-Plast2-GC.pdf · Critères de plasticité Georges Cailletaud ... (Centre des

Modèles sensibles à la pression hydrostatique

Critères, synthèse

La frontière du domaine d’élasticité initial est définie par une fonction del’espace des contraintes dans R, qui peut être

Linéaire, par morceaux (Schmid, Tresca)Quadratique, ou de degré plus élevé

Le domaine délimité est convexeLe critère peut dépendre ou non de la pression hydrostatique

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 43 / 43