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MATEMÁTICA

01. A figura mostra um cubo de aresta 3 m, no qual foram feitas perfurações da seguinte forma:

— os furos foram feitos a partir de quadrados de lado 1 m, atravessando-se paralelamente duas facesopostas do cubo;

— os quadrados que geraram os furos estão no centro das faces do cubo e possuem arestas paralelasàs arestas do cubo.

Sabe-se que o sólido mostrado na figura é maciço e foi feito de uma liga, ao custo de R$ 18,20 por m3.

a) Calcule o custo da liga utilizada na fabricação do sólido, considerando-se somente o volume de liga que permaneceu nosólido final.

b) Calcule o aumento percentual da área das paredes do sólido final (faces do sólido) com relação às paredes do cubo inicial quedeu origem a ele.

Resolução:

a) O volume total do cubo antes dos furos é Vcubo = (3)3 = 27 m3.

Perfurando-se o cubo para retirar de cada face 1 cubinho de 1m de aresta, retira-se o volume equivalente a 6 cubinhos + 1 cubinho central.

Após retirar esses 7 cubinhos de 1 m de aresta, foi retirado o seguinte volume:

Vretirado = 7 . (1)3 = 7 m3

O volume do sólido restante é Vsólido = Vcubo – Vretirado = 27 – 7 = 20 m3

O custo da liga para se fazer o sólido resultante é C = 20 . (18,20) = 364,00

O custo da liga utilizada na fabricação do sólido é de R$ 364,00.

b) A área total inicial era de Scubo = 6 . (3)2 = 54 m2

Com a retirada dos 6 cubinhos das faces foi retirada a área total de 6 m2.

Mas surgiu uma nova área adicional, no total de 6 . (4) . (1)2 m2.

Portanto, a nova área é de Ssólido = 54 – 6 + 24 = 72 m2

O aumento percentual de área foi de 7254

– 1 = 0,3333..., isto é, aproximadamente 33,33%.

O aumento percentual da área das paredes do sólido final com relação às paredes do cubo inicial foi cerca de 33,33%.

02. A figura indica uma parte do mapa das ruas de uma cidade. Nesse mapa, todas asruas são paralelas ou perpendiculares, e os quarteirões são quadrados.

a) Todas as manhãs João caminha, ao longo das ruas mostradas no mapa, doponto A até o ponto B, sempre indo para o leste ou para o sul. Para variar o

percurso, a cada cruzamento de duas ruas ele sorteia, com probabilidade 12

(probabilidade independente de todos os outros sorteios), se vai para lesteou para o sul. Calcule a probabilidade de, em uma manhã qualquer, Joãopassar pelo ponto C em seu percurso de A até B.

FGV – economia – 2a Fase – 16/dezembro/2007

CPV O cursinho que mais aprova na FGV

fgv – 02/12/2007 CPV o cursinho que mais aprova na fGV

CPV fgv071fdezeco

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Resolução:

a) Há quatro formas de, partindo do ponto A, João passar pelo ponto C:

1. indo diretamente para leste (LLL), com probabilidade igual a 3

12

= 18 .

Assim, João chegará à rua da direita três pontos acima de C.

2. indo duas vezes para leste e uma vez para o sul (por exemplo, SLL, LSL ou LLS) e depois para leste, com probabilidade igual a

3.31

2

. 12

= 3

16 . Assim, João chegará à rua da direita dois pontos acima de C.

3. indo duas vezes para leste e duas vezes para sul (por exemplo, SSLL, SLSL, SLLS, LSSL, LSLS, LLSS) e depois para leste, com

probabilidade 6.4

12

. 12

= 6

32. Assim, João chegará à rua da direita um ponto acima de C.

4. indo duas vezes para leste e três vezes para sul (por exemplo, SSSLL, SSLSL,...) e depois para leste, com probabilidade

10.5

12

.12

= 1064

. Assim, João chegará à rua da direita exatamente sobre o ponto C.

Em qualquer uma dessas situações, João teria que passar pelo ponto C a fim de atingir seu destino, o ponto B.

Portanto, a probabilidade pedida é 18

+ 3

16 +

632

+ 1064

= 4264

= 2132

.

A probabilidade de, em uma manhã qualquer, João passar pelo ponto C em seu percurso de A até B é 2132

.

b) Adote para este item:

• cada rua do mapa como sendo uma reta;• a origem dos eixos cartesianos ortogonais posicionada no ponto A, com Ox e Oy sobre as retas perpendiculares que

passam por A;• a unidade linear de medida de cada quarteirão como sendo 1.

Duas linhas subterrâneas de esgoto devem ser construídas, uma delas ligando os pontos A e B, e a outra ligando C com alinha que liga A até B.

Não havendo restrições no subsolo para a construção das linhas, determine suas equações cartesianas, levando em contaum projeto que minimize as distâncias das ligações indicadas.

Resolução:

b) Sendo A(0; 0) e B(3; –4), a equação da reta AB����

é da forma y = m . x, pois passa pela origem.

Então, –4 = m(3), onde m = 4

3−

.

Portanto, a equação da reta AB����

é y = 4

3−

. x ou 4x + 3y = 0.

A outra reta que liga o ponto C(3; –3) à reta AB����

deve ser perpendicular à reta AB����

para minimizar a distância.

Então, deve ser da forma 3x – 4y + k = 0.

Como passa pelo ponto C, então na equação da reta temos 3(3) – 4(–3) + k = 0 de onde obtemos k = –21.

A equação da reta fica: 3x – 4y – 21 = 0.

As equações cartesianas, levando em conta um projeto que minimize as distâncias das ligações indicadas, são as das retas

AB����

: 4x + 3y = 0 e da sua perpendicular 3x – 4y – 21 = 0.

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03. Na sequência não-decrescente de naturais ímpares (1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5,...), cada número ímpar k aparece k vezes.

a) Determine o 101o termo dessa seqüência.

Resolução:

O número de termos desta seqüência pode ser calculado pela soma de uma PA cujo primeiro termo é 1 e cuja razão é 2, isto é:

an = 2n – 1 e Sn = (1 2n 1)n

2+ −

= n2.

Portanto, para n = 10 teremos 100 termos, sendo que o a100 = 19, portanto a101 = 21. O 101o termo desta sequência é 21.

b) Determine a soma dos 1024 primeiros termos dessa seqüência.

Dado: m

2

k 0

(2k 1)

=+∑ =

(m 1)(2m 1)(2m 3)3

+ + +

Resolução:

A soma dos 1024 primeiros termos dessa sequência pode ser dada por:

Sn = (1) + (3 + 3 + 3) + (5 + 5 + 5 + 5 + 5) + (7 + ... + 7) + (an + ... + an)

Sn = 1 . 1 + 3 . 3 + 5 . 5 + 7 . 7 + ... = m

2

k 0

(2k 1)

=+∑ =

(m 1)(2m 1)(2m 3)3

+ + +

Utilizando a fórmula do item a, isto é, Sn = n2 = 1024 obtemos n = 32.

Portanto, devemos utilizar m = 31, isto é: S31 = 31

2

k 0

(2k 1)

=+∑ =

(31 1)(2 31 1)(2 31 3)3

. .+ + + = 43.680

A soma dos 1024 primeiros termos da sequência dada é 43.680.

04. Para cada número real x, admita que x seja igual a x se x for inteiro, e igual ao maior inteiro menor do que x se x não for inteiro.

a) Calcule o valor de 2,7

160,7

3

− +

.

Resolução: Temos que 2,7− = –3, 0,7 = 0 e 163

= 5,33... = 5.

Portanto, 2,7

160,7

3

− +

= 3

0 56−

+ = 0,6− = –1 Resposta:

2,7

160,7 +

3

− = –1

b) Admita um serviço de entregas do correio cuja tarifa seja R$ 0,09 por grama ou frações menores que 1 grama (por exemplo,paga-se R$ 0,27 pelo envio de 2,3 g).

Determine uma fórmula que utilize a notação x , sendo x a massa, em gramas, para a tarifa T(x), em reais, de envio de uma

mercadoria de x gramas por esse serviço de entregas do correio.

Resolução: De acordo com o explicado no enunciado, o procedimento para cálculo do peso efetivo a ser cobrado opera com arredondamentospara cima, enquanto a operação descrita no item (a) realiza arredondamentos para baixo.

Assim, uma possível solução seria tornar o número negativo, aproximá-lo para o menor inteiro logo abaixo dele e depois inverter o sinal do

resultado, obtendo: T(x) = 0,09 (– x ).

A fórmula que utiliza a notação x , sendo x a massa (em gramas), para a tarifa T(x), em reais, de envio de uma mercadoria

de x gramas por esse serviço de entregas do correio é T(x) = 0,09 (– x − )

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