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Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 1 Projet pédagogique - site WEB Méthodes d’approximation Formulations variationnelles MEF: les éléments finis Exemples d’application Méthode des Eléments Finis « MEF » UE-35 : MEEFI H. OUDIN MMGC – SIM [email protected]

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Page 1: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 1

Projet pédagogique - site WEB

Méthodes d’approximation

Formulations variationnelles

MEF: les éléments finis

Exemples d’application

Méthode des Eléments Finis« MEF »

UE-35 : MEEFI

H. OUDINMMGC – SIM

[email protected]

Page 2: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 2

Objectifs de cet enseignement

Présenter les principes de base de la MEFProblèmes élémentaires « comprendre »

Formulations variationnelles « généraliser »

Méthodes numériques « appliquer »

Parcours pédagogique (site Web, poly)– Treillis – Portiques – Méthodes variationnelles « EDP »– Méthodes numériques – MEFLAB

Page 3: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 3

Objectifs de cet enseignement

Présenter la notion de ModèleHypothèses de modélisation

Comment formuler un problème de physique pour pouvoir le traiter numériquement

Hypothèses de discrétisation

Comment le traiter numériquement.

Utiliser un code de calcul industrielAborder les problèmes d’analyse et de validation de modèles via des exemples simples.

Page 4: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 4

L’étudiant est l’acteur principal de sa formationLe parcours pédagogique est organisé en thèmes

Projet pédagogique

Activités proposées Comprendre Vidéo & Présentations PowerPoint (site)

Apprendre Polycopié + exercices corrigés (site) + QCM (site)

Appliquer Exercices (site) – MEFLAB (site) – Maple

Valider Exercices traités en TD

Travail en AutonomieSupports pédagogiques sur le WEB + le poly

Vous pouvez travailler chez vous

Page 5: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 5

Site WEBProjet pédagogique

Le menu donne accès aux documents en ligneObjectifs :

Travail en autonomie régulierPouvoir réagir en TD sur vos difficultés

https://pedagogie.ec-nantes.fr/meefi/

Page 6: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 6

Les TDValider votre compréhension des principaux points de cours,Répondre à vos questions sur le thème étudié.

Conférence (2*1h)Grégory LEGRAIN « l’erreur de discrétisation »Nicolas CHEVAUGEON « XFEM »

Projet pédagogique Pour finir

EvaluationNote individuelle (coef 7) DS sans documentsNote collective (coef 4) Projet pondéré par votre TA

Travail personnel avant les TD

Page 7: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 7

Projet pédagogique - site WEB

Méthodes d’approximationFormulations variationnelles

MEF: les éléments finis

Exemples d’application

Méthode des Eléments Finis

Page 8: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 8

Méthodes d’approximation : généralités

Système physique continu

Formulation mathématiquedu problème (PTV)

Forme Variationnelle

(EDP)Formes différentielles

Problème aux limites

Mise en équationsformulation mathématique

du problème

Résidus pondérés

Discrétisation

Formes intégrales

Forme matricielle

Système physiquediscret

Discrétisation du milieu

Méthodes deséléments finis

Formulation mathématiquedu problème (éq. de Lagrange)

Méthodes Numériques

Page 9: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 9

Résidus Pondérés : FormulationModèle math. posé sur un domaine continu

Système d'équations différentielles : "EDP"

( ) 0u dVϕ ϕ⇔ ∀ =∫D

R

Résoudre ( , )( ) ( ) 0M tu u f= − =R L sur D

1ère forme intégraleNe tient pas compte

des conditions aux limites du problème

fonction de pondération Annulation du Résidu pondérée sur le domaine

Si u solution approchéeR(u) : résidu (erreur commise)( , ) C( ) M tM D u e∀ ∈∂ =M D∀ ∈

( , )( ) M tu f=L

Conditions aux limites

Page 10: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 10

( )

1

i

n

Mii

qu w=

=∑Soit une approximation à n paramètres:

Résidus Pondérés : Approximation

Une équation à n inconnues1

( ) 0n

iqiw dViϕ ϕ ∑

=∀ =∫

D

R

Comment construire un système matriciel ?

Fcts de forme

Attention Fcts de forme doivent vérifier toutes les CLen pratique c’est impossible pour un Pb de l’ingénieur

1 1 ( ) 0

j

n(M) w (M) qi j ji de à n P dV

=∑∀ =∫

D

R

Nombre fini de Fcts de pondération

Système matriciel

Page 11: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 11

Écoulement d'un fluide visqueux incompressible dans une conduite

∀ ∈M Γ 0u =elle vérifie les conditions aux limites

Soit l’approximation à 1 paramètre 2 2 2 2( , ) ( )( ) x yu a y qx a= − −

« Galerkin »

« collocation » 2 12 0, 25 p pq

aμ−

= −

2 12 0, 31 p pq

aμ−

= −

2 2 1 0, 2947 p paμ−

−Solution de référence au centre

∀ ∈M Ω 2 1( ) p puμ−

Δ =Coefficient de viscosité cinématique du fluide.

Résidus Pondérés : Exemple

( , ) u u x y z= le champ des vitessesChamp inconnu

Page 12: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 12

Projet pédagogique - site WEB

Méthodes d’approximation

Formulations variationnellesMEF: les éléments finis

Exemples d’application

Méthode des Eléments Finis

Page 13: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 13

Formulation variationnelleEDP

0 dans sur

R(u) DCL D

=⎧⎨ ∂⎩

0

sur D

R(u)

CL D

ϕ ϕ⎧∀ =⎪⎨

∂⎪⎩

∫Forme intégrale 1

Objectif : transformer la Forme intégrale 1

Pour faire apparaître les CL intégration par parties

Formulationforte

TH d'Ostrogradsky

( ) ( )2

1

, , 0

1 sur D

g u h u

CL

ϕ ϕ ϕΓ

⎧∀ + =⎪⎨

Γ⎪⎩

∫ ∫0

sur D

R(u)

CL D

ϕ ϕ⎧∀ =⎪⎨

∂⎪⎩

∫Forme intégrale 1

CL sur les « flux » : dérivées spatiales de u22 sur C L Γ

Formulationfaible « PTV »

Page 14: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 14

Conduction thermique dans un FourChamp inconnu : T température

2

1

div 0 dans . sur

sur ext d

d

q rq nT T

∂∂

+ = Ω= Φ Ω

=

⎪⎩ Ω

(div ) 0T q r T dVδ δΩ

∀ + =∫Annulation de l’erreur pondérée

Four

Pièce àchauffer

Résistance2Τ

FluxnulFlux

nul

Formulation variationnelle : ExempleEDP

Condition de flux

Condition sur T

g r a d q Tλ= − flux de chaleuravec

2 1

. 0idT gradT grad T dV r TdV TdS TdS∂ ∂

δ λ δ δ δ δΩ Ω Ω Ω

∀ + + Φ Φ+ =∫ ∫ ∫ ∫

flux inconnuC’est la forme variationnelle du problème

Page 15: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 15

2

grad . grad 0Th admissible dT T T dV r TdV TdS∂

δ λ δ δ δ−Ω Ω Ω

∀ + + Φ =∫ ∫ ∫Nous obtenons une équation à 1 champ « T »

Ce que nous venons de présenter pour un Pb de conduction thermiquePeut être fait pour d’autres Pb de physique (cours en ligne, poly, exo de cours)

1 sur dT T ∂= ΩIl faut satisfaire la condition :

Résultat MEFLAB d’optimisation des résistances pour que la température dans la pièce soit proche de la consigne fixée (c’est un projet EF).

La Formulation variationnelle est directement utilisable dans la Méthode des Éléments Finis .

Choix 10 sur Tδ ∂= Ω Champ virtuel thermiquement admissible

Formulation variationnelle : Exemple

Page 16: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 16

Projet pédagogique - site WEB

Méthodes d’approximation

Méthodes variationnelles

MEF: les éléments finisExemples d’application

Méthode des Eléments Finis

Page 17: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 17

Méthode des Eléments Finis : MEF

Idées de basePoint de départ : Formulation Variationnelle Approximation de la solution par sous-domaines : éléments finis

• forme simple• approximation sur des variables physiques

Domaine continu Domaine discrétisé

Forces nodales

Déplacements imposés

Chargerépartie

Page 18: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 18

Approximation Éléments Finise eD D W W= ⇒ = ∑∪

2

. : . . 0CAD D D D

u u u dV dV f u dV T u dSδ ρ δ σ δε δ δ∂

∀ + − − =∫ ∫ ∫ ∫Formulation Variationnelle ⇔ PTV en Mécanique

1sur :0du u

Duδ

=⎧∂ ⎨

=⎩Efforts donnés sur 2D∂

MEF : Approximation éléments finis

etu uδ(Galerkin)Mêmes familles de fonctions pour

Pour chaque élément :

{ } [ ]{ }(( )) MM eNu U=

{ } [ ]{ }( )M eNu Uδ δ=

Page 19: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 19

MEF : Ecriture matricielle

{ } , , , 2 , 2 , 2Txx yy zz xy xz yzε ε ε ε ε ε ε ε→ =< >

{ } , , , , ,Txx yy zz xy xz yzσ σ σ σ σ σ σ σ→ =< > { } { } : Tδε σσ δε =

Rappel : Notation matricielle

{ } [ ] { }( ) ( ) M ML uε = Opérateur gradient en petites déformations

{ } [ ]{ }( ) ( ) ( ) M M MDσ ε= Loi de comportement

Pour les efforts internes : ?D

dVσ δε =∫

[ ] ( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ] e

TM M Me e

D

K B D B dV= ∫avec

Matrice raideur élémentaire

{ } [ ][ ]{ }( ) ( ) ( ) M M eM UBDσ =

{ } [ ] [ ] { } [ ] { }( )( ) ( ) M M eM eN BL U Uε = =Approximation EF

{ } [ ]{ } : e

Te e e

D

dV U K Uσ δε δ=∫

Page 20: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 20

{ } { }. e e

e eD D

Tu ff u dV dVδδ =∫ ∫Pour les efforts externes

Démarche utilisée pour l’étude des treillis et des portiques

Assemblage

On défini un vecteur global { }U

[ ] [ ] { } { } e ee e

K K F F= =∑ ∑~ ~

[ ]{ } { }K U F=

∑=⇒= ee WWDD ∪

Système globalPour la statique

MEF : Ecriture matricielle

Vecteur force généralisée élémentaire

{ } { } { }( )

e

T TMe e

D

U N f dVδ= ∫

{ } [ ] { }( ) M eNu Uδ =Approximation EF

Page 21: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 21

Approximation nodale

Exemple 1D

2 nœuds approximation à 2 paramètres : T = a0+ a1 s

« Pb de température »s0 1

T1 T2T(s)

Exemple : approximation utilisant 3 éléments

MEF : Techniques numériques

Identification aux nœuds :Fonctions d’interpolation

Variables nodalessignification physique

( )( ) ( ) [ ]1 1

2 2

0

1 1 ;

T T TT s s s

T T T= ⎫ ⎧ ⎫

⇒ = −⎬ ⎨ ⎬= ⎩ ⎭⎭

Page 22: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 22

Interpolation

Éléments à une dimensionBase polynomiale

Linéaire (1 x )

Quadratique (1 x x2 )

Cubique (1 x x2 x3 )Type Lagrange

Type Hermite2 variables par nœudexemple : élément poutre v et θ

N NN1 2

31

1s

0

N

N

1

2

s10

1

1

1

s

N2

N3

1

N4

N1

s

N21

10

N1

Techniques numériques

Page 23: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 23

Éléments triangulaires

Éléments quadrilatéraux

Éléments toriques

Les bases polynomiales sont complètes

Les bases polynomiales sont incomplètes

zosymétrie cylindrique

Éléments à deux dimensionsTechniques numériques

Page 24: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 24

bases incomplètes

bases incomplètes

Éléments tétraédriques

Éléments prismatiques

Les bases polynomiales sont complètes

Éléments hexaédriques

Éléments à trois dimensionsTechniques numériques

Page 25: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 25

{ }{ }{ }⎪

⎪⎨

>=<>=<>=<

nutsg

nutsg

nutsg

zNzyNyxNx

),,(

),,(

),,(

Dréf Dréels,t,u x,y,z

{ } { } { }nnn zyx ,,nœuds

==> matrices [B(s,t,u)]e

Dérivation : on montre

[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

u

t

sJ

z

y

x

1

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂

Fct de Ng et { } { } { }nnn zyx ,,J matrice jacobienne de la transformation

Transformation géométrique

[ ]∫∫ =Dref

dsdtduf Jdetu)t,(sy,

De

dxdydzf z)(x,

Intégration : on montre

Techniques numériques

Page 26: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 26

∑∫=

≅Npi

iii

Dref

fdvf1

)( ωξ

Calcul des matrices élémentaires[ ] [ ]∫ ><><=

Drefref

Te dvJNNM det )()( ξξ ρ

[ ] [ ]∫=Dref

refT

e dvJBDBK det ][ ][][ )()( ξξ

Pour chaque point d ’intégrationCalcul de [J] et [J]-1 au point d ’intégrationConstruction de [D] et [B]

Calcul de [B]T [D] [B] det[J] ωi

Calcul de ρ [N]T [N] det[J] ωiAccumuler dans [K] et [M]

Pour chaque élément Ng et { } { } { }nnn zyx ,,

Intégration numériqueTechniques numériques

Page 27: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 27

Discrétisation géométrique

Domaine continu

Calcul des matrices élémentaires{ } { }n

De

n

De

de udVBDBudV:E TT 2 ∫∫ == εσ

{ } [ ]{ }nn uu eKT

Prise en Compte des Conditions aux limiteset Résolution de l’équation matricielle

[ ]{ } { } { }ID FFUK +=

{ }{ }⎩⎨⎧

liaisonsdeeffortsFnodauxtsdéplacemenU

RésolutionI

Construction de l’approximation nodale{ } [ ]{ }ee uNu =

Assemblage [ ] [ ]∑=~

eeKK

Évaluation des grandeurs élémentaires { } [ ]{ } [ ][ ]{ }n)M()M()M()M()M( uBDD == εσ

Bilan : Démarche éléments finis

Page 28: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 28

Projet pédagogique - site WEB

Méthodes d’approximation

Méthodes variationnelles

MEF: les éléments finis

Exemples d’application

Méthode des Eléments Finis

Page 29: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 29

Refroidissement d'une jante en alliage d'aluminium

Le remplissage, le refroidissement, le transfert de chaleur de la pièce au moule, et la solidification sont modélisés.

Laboratoire de métallurgie physique de l'EPFLEcole Polytechnique Fédérale de Lausanne

Page 30: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 30

Modèle éléments finisdu siège impacté

Mannequin HYBRID III 50% déformable

SNCF

Didier LEVEQUE

Page 31: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 31

En biomécanique

Jean ROYER - MMGC

Interface os - prothèse Articulation du genou

ligaments, tendons, cartilages, ménisques

Page 32: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 32

Gilles MARCKMANN – Laurent GORNET - MMGC

Mat 45 m Voiles 1000 m2

Design : Gilles OllierDesign : Gilles Ollier

« Orange II »110 Pieds ( 37,80m )

30 Tonnes Carbone-Nomex

Page 33: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 33

ECN - SNECMA Modélisation de la perte d’une aube dans un réacteur

Laurent STAINIER - MMGC

Page 34: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 34

Éléments finis et Level Set method

Émilie MARCHANDISE – JF. REMACLE : UCLNicolas CHEVAUGEON : MMGC

Voir le site de FEDKIW : Stanford

Page 35: Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 35

A vous de jouer

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