cours mecaflu chap01 enim

1Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008

Ch.01- Caractéristiques des fluides

1.1 Distinction solide/fluide1.2 Cadre de description des fluides1.3 Masse volumique1.4 Loi des gaz parfaits 1.5 Viscosité d’un fluide1.6 Compressibilité d’un fluide1.7 Pression de vapeur saturante1.8 Tension superficielle1.9 Conductivité thermique

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Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010


- structure moléculaire:

Solide:

Forte valeur des forces de cohésion intermoléculaires

Conserve sa forme

Difficulté à déformer un solide

Fluide:

Forces de cohésion moins importantes

Pas de forme propre

Facilité à déformer un fluide

liquides: forces suffisantes rendant leur compression difficile

gaz: forces de cohésion très faibles et possibilité de compression

1.1 Distinction solide/fluide

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- action d’une contrainte externe

Solide:

L’action d’une petite contrainte déforme initialement le solide, mais de façon non permanente (comportement élastique)

Fluide:

L’action d’une contrainte même très faible provoque des déformations de

façon continue

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- Il est impossible d’étudier le comportement individuel de toutes les molécules d’un fluide immobile ou en mouvement;

- On considère des grandeurs caractéristiques du fluide (pression, température,..) qui sont des moyennes calculées dans un volume de dimension caractéristique Lvolume contenant un grand nombre de molécules du fluide:

- Les grandeurs physiques du fluide peuvent alors être considérées comme des fonctions continues d’un point à l’autre de l’espace.

L molécules << L volume << L système

- L molécules ~ 10-6 mm (gaz) à 10-7 mm (liquides)

1.2 Cadre de description des fluides

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- Masse volumique d’un fluide: ρρρρ (kg/m3)

- Volume massique: v =1/ρρρρ ((((m3/kg))))

Liquides:

La masse volumique varie peu avec la pression et la température

Exemple de l’eau:entre 4°C et 100°C à Patm , ρρρρeau varie entre 1000 et 960 kg/m3

(soit 4% de variations)

Gaz:

La masse volumique varie fortement avec la pression et la température

Exemple de l’air:

entre 0°C et 100°C à Patm , ρρρρair varie entre 1,29 et 0,95 kg/m3

(soit 26% de variations)

1.3 Masse volumique des fluides

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-De nombreux gaz suivent en première approximation la loi des gaz parfaits:

P/ρρρρ = rT

P : pression N/m2 ou Pa

ρ ρ ρ ρ : masse volumique kg/m3

T : température K

r : constante propre au gaz J/(kg.K)

pour l’air: rair ~ 287 J/(kg.K)pour la vapeur d’eau: rvapeur ~ 462 J/(kg.K)

- Patm ~ 101 kPa au niveau de la mer

- Pression relative: Pr = P - Patm

1.4 Loi des gaz parfaits

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- Deux fluides distincts peuvent avoir des masses volumiques similaires, mais se comporter de façon très différentes lorsqu’ils sont en mouvement.

- La différence de fluidité se caractérise par un paramètre supplémentaire appeléla viscosité du fluide. C’est cette propriété qui provoque les frottements internes au sein du fluide et la dissipation d’énergie mécanique en chaleur.

- Expérience modèle:

fluide entre deux parois infinies, l’une

fixe, l’autre en mouvement avec une

vitesse U en imposant une force de

traction constante F

v1(x2)

U

paroi

fixe

F

x2

1.5 Viscosité d’un fluide

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Constatations expérimentales

- le fluide en contact avec la paroi inférieure a une vitesse nulle: v1 (x2=0 ) = 0

- le fluide en contact avec la paroi supérieure a une vitesse v1 (x2=e ) = U

donc dans les deux cas: vitesse du fluide à la paroi = vitesse de la paroi

on dit que le fluide adhère à la paroi

- après une phase transitoire, le fluide se déplace avec un profil de vitesse v1(x2) qui varie de façon linéaire: v1(x2) = U x2 /e

- il existe donc un gradient de vitesse dv1/dx2 non nul au sein du fluide

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- L’expérience montre qu’on peut écrire:

F = µµµµ SU/e ou encore F/S = µµµµ (dv1 /dx2) x2=e

Si on ramène la force F à une contrainte ττττ = F /S, on a la relation

µµµµ : viscosité dynamique du fluide.

Elle relie une contrainte à un gradient de vitesse.

Unité de µ:µ:µ:µ:[ F ] ~ N ou kg.m.s-2

[ S ] ~ m2

[ U ] ~ m.s-1

[ e ] ~ m

donc [ µµµµ ] ~ kg.m-1.s-1 ou N.s.m-2

ττττ = µµµµ (dv1 /dx2) x2=e

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- Le mouvement brownien crée des chocs entre les parois matérielles et les particules fluides: il y a échange de quantité de mouvement entre les particules proches de la paroi et la paroi elle-même. Les particules fluides acquièrent la vitesse de la paroi:

- u=0 pour les particules fluides en contact avec la paroi inférieure;

- u=U pour les particules fluides en contact avec la paroi supérieure;

- Il existe donc dans la direction x2 une variation continue de la vitesse v1(x2). A cause du mouvement brownien, les molécules passent d’une couche à l’autre, et leur vitesse change de façon à acquérir celle de la nouvelle couche. Le changement de vitesse s’accompagne d’une variation de quantité de mouvement qui est reliée à un effort, la force de viscosité.

- Donc, la viscosité dynamique traduit l’échange de quantité de mouvement sous l’action du mouvement brownien entre les couches de particules fluides qui s’écoulent à des vitesse différentes. Il y a diffusion de la quantité de mouvement d’une couche à l’autre.

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Généralisation: fluide newtonien

- Le résultat peut être généralisé à n’importe quel point situé dans le fluide si on ramène F à une contrainte ττττ (ττττ = F/S). La contrainte de cisaillement qui s’exerce entre deux couches de fluide de vitesse v1(x2) et v1(x2+dx2) et distantes de dx2est :

ττττ = µµµµ dv1/dx2

C’est la relation de NEWTON qui établit la proportionnalité entre la contrainte de cisaillement ττττ et le gradient de vitesse dv1/dx2 qui est aussi la vitesse de déformation des particules fluides.

Un fluide pour lequel existe cette relation de proportionnalité est un fluide newtonien.

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Remarques

1) Il existe des fluides dits non-newtoniens qui ne suivent pas cette loi. Par exemple, la viscosité peut dépendre de la contrainte appliquée.

- industrie agro-alimentaire: miel, yoghourt,….

- domaine médical: sang,….

De tels fluides ne seront pas étudiés dans le cadre de ce cours.

2) dans l’exemple, la vitesse n’a qu’une composante non nulle v1 et ne dépend que d’une coordonnée d’espace x2. Il n’y a donc qu’une seule contrainte de cisaillement et un seul gradient de vitesse dv1/dx2. La relation entre contrainte et gradient de vitesse sera généralisée au cas d’un écoulement tridimensionnel quelconque; dans ce dernier cas, il existe plusieurs termes de gradients de vitesse (dv1/dx2; dv2/dx1;,dv1/dx1, etc…), et autant de termes de contraintes associés.

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Fluide réel et fluide parfait

- Tous les fluides réels ont une viscosité non nulle µµµµ # 0, même si elle est très faible

fluide réel = fluide visqueux = µ µ µ µ # 0

La non nullité de la viscosité implique la contrainte d’adhérence du fluide à une paroi

- On verra cependant que pourra étudier certains problèmes de Mécanique des Fluides, on peut parfois considérer en première approximation que le fluide est non visqueux (fluide parfait) et donc que sa viscosité est nulle.

fluide parfait = fluide non visqueux= µµµµ = 0

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Evolution de la viscosité avec la pression- cas des gaz

gaz parfait: la théorie cinétique des gaz relie µµµµ au libre parcours moyen λλλλet à la vitesse d’agitation thermique v. On trouve alors que µµµµ ne dépend pas de la pression.

gaz réel: µµµµ varie très peu avec la pression.

- cas des liquides: variations de µµµµ pour des très fortes variations de pression

(paliers hydrauliques où ∆∆∆∆P ~ 100 à 1000 atm):

Evolution de la viscosité avec la température- cas des gaz:

µµµµ augmente si T augmente (température absolue en K)

gaz parfait: théorie cinétique des gaz µµµµ ~ k T 0.5

gaz réel: loi de Sutherland (Cair = 110K) TC

TC

TT

++++++++

====11 0

00µµµµµµµµ

−−−−

====1

0

0P

P

aµµµµµµµµ

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- cas des liquides:µµµµ diminue si T augmente

µµµµ/µµµµ0 = exp((T0 /T )m)

Exemple: eau liquide m ~ 1

Remarques

- Il existe d’autres unités pour la viscosité

Poiseuille: 1 Pl = 1 Pa.s

Stokes: 1 St = cm2.s-1

- Il est possible de mesurer la viscosité d’un fluide à l’aide d’un viscosimètre

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Evolution de µµµµ avec T

Décroissance rapide pour des liquides usuels

Croissance lente pour des gaz usuels

glycérinehuile

eau

air

hydrogène

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Viscosité cinématique νννν

groupement:

unités: m2.s-1

Cette grandeur n’a pas de signification physique en soi, mais elle intervient très souvent en Mécanique des Fluides.

Ordres de grandeur à retenir

- air à 20 °C: ννννair ~ 15.10-6 m2.s-1 µµµµair ~ 2.10-5 kg.m-1.s-1

- eau à 20 °C: ννννeau ~ 10-6 m2.s-1 µµµµeau ~ 10-3 kg.m-1.s-1

νννν = = = = µµµµ / / / / ρρρρ

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- Coefficient de compressibilité d’un fluide

E= 1/ρρρρ dP/dρρρρ ((((unités: N.m-2 ou Pa)

E est généralement très grand pour les liquides:

à 15°C il faut une pression de 213 atm pour une variation de volume de 1%

Pour beaucoup d’applications pratiques en, les liquides sont considérés comme incompresibles (sauf mention contraire).

- Vitesse du son dans un fluide

Compressibilité du fluide �� une perturbation introduite en un point de l’écoulement se propage à une vitesse finie. Par exemple, les perturbations de pression se propagent à la vitesse du son c définie par:

c =(dP/dρρρρ)0.5 = (E ρρρρ)0.5

1.6 Compressibilité d’un fluide

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- Pour un gaz parfait et un petite perturbation, le transfert de chaleur est négligeable et s = constante (processus isentropique)

P/ρρρργγγγ = cte

On trouve alors:

c =(γ γ γ γ r T)0.5

Pour l’air à 15° C, c = 340,4 ms-1

Pour l’eau à 20° C, c = 1480 ms-1

Suivant que la vitesse v du fluide est plus petite ou plus grande que la vitesse cdu son, on peut avoir des propriétés d’écoulements très différents.

Avion de ligne: θθθθ = -50°C et v =900 km.h-1, on a: c = 300 m.s-1 = 1080 km.h-1

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- Pour un gaz, le caractère de compressibilité sera mesuré par le rapport

Ma= v/c appelé nombre de Mach de l’écoulement.

On retiendra que pour l’air, tant que Ma < 0.3 (v < 100 m/s) dans les conditions thermo standard, les effets de compressibilité sont négligeables (tant que les

mécanismes thermiques n’interviennent pas). Ce sera le cas dans ce Cours.

- Cas où les effets de compressibilité sont importants:

1) Ecoulements dans les turbines et les compresseurs Ma ~ 0.3 à 1; il faut impérativement pendre en compte le caractère compressible du fluide;

2) Ecoulements fortement chauffés (convection forcée ou combustion);

3) Ecoulements de fluides générés par des différences de température (convection naturelle).

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- Pression de vapeur saturante P0 d’un gaz : fonction de sa température T- Ebullition d’un liquide : apparition de bulles de vapeur si P = P0 ;

. - Coalescence suivant un processus très violent appelé la cavitation

- Source de corrosion, de vibration et de bruit.

Applications pratiques:Zones de l’écoulement où la pression du liquide diminue jusqu’à atteindre la pression de vapeur saturante : apparition du phénomène de cavitation (canalisation de très grande longueur, pompes hydrauliques…)

Par exemple, pour l’eau à 15°C, P0 = 1770 Nm-2

Pfluide > P0 : pas de cavitation

Pfluide = P0 : apparition de la cavitation

1.7 Pression de vapeur saturante

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- Des forces peuvent apparaître à l’interface entre un liquide et un gaz, ou

entre deux liquides non miscibles. La surface du liquide se comporte comme

une « membrane » soumise à des contraintes ---�� courbure de l’interface.

Cas d’une goutte de liquide (sphère de rayon R):

- une contrainte σσσσ agit le long de l’interface

- une différence de pression existe entre l’intérieur et l’extérieur

La force exercée par la tension superficielle est compensée par la force associée à la différence de pression.

2ππππRσσσσ = (= (= (= (Pi-Pe))))ππππR2222 soit Pi -Pe = 2σσσσ/R

Unités: [σσσσ] = N.m-1 ou kg.s-2

σσσσ

1.8 Tension superficielle

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- Les fluides usuels conduisent la chaleur suivant la loi de Fourier:

( : flux de chaleur par unité de surface W.m-2)

− λλλλ est la conductivité thermique du fluide.

Unité de λλλλ: [ λ λ λ λ ] = W.m-1.K-1 ou kg.m.s-3.K-1

Pour des conditions normales de pression et température:

λλλλair = 2,6.10-2 kg.m.s-3.K-1

λλλλeau = 0,59 kg.m.s-3.K-1

- λλλλ est fonction de T ; mais pour des ∆∆∆∆T faibles (par exemple 10K), on peut en première approximation supposer λλλλ indépendant de T.

Tgrad q λλλλ−−−−====r q

r

1.9 Conductivité thermique

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Résumé du chapitre 1

•••• dans un fluide newtonien en mouvement, il existe en tout point de l’écoulement une relation linéaire entre la contrainte de cisaillement et le gradient de vitesse

la constante µµµµ s’appelle la viscosité dynamique (unités: kg.s-1.m-1); c’est une propriété physique intrinsèque au fluide;

•••• la contrainte de cisaillement ττττ traduit la force de friction entre des couches de fluide qui ont des vitesse différentes;

•••• tous les fluides réels ont une viscosité non nulle;

•••• la vitesse du fluide en contact avec une paroi est égale à la vitesse de la paroi (condition d’adhérence ou de non-glissement); si la vitesse de la paroi est nulle, la vitesse du fluide est nulle à la paroi;

ττττ = µµµµ dv1/dx2

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Résumé du chapitre 1 (suite)

•••• la viscosité non nulle d’un fluide réel est associée à une dissipation d’énergie mécanique en chaleur;

•••• la viscosité cinématique est par définition νννν = µµµµ/ρρρρ (unités: m2.s-1);

•••• on peut supposer que les liquides usuels et les gaz à faible vitesse sont à peu

près incompressibles;

•••• il peut être intéressant de considérer la notion de fluide idéal (fluide parfait) pour lequel µµµµ = 0.

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