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  • Cours de Terminale S

    Lycee Camille Pissarro 2013-2014

    Sebastien Andrieux

    7 juin 2014

  • Table des matieres

    I Cours de Terminale S 5

    1 Raisonnement par recurrence 6

    2 Suites et limites des suites 8I Suite convergente, suite divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    I.1 Suite ayant pour limite un reel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I.2 Suites ayant une limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.3 Lien avec les limites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I.4 Algorithme de recherche de seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    II Operations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11II.1 Limite dune somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11II.2 Limite dun produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12II.3 Limite dun quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    III Theoremes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13IV Suite de terme general qn (q reel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    IV.1 Etude de la suite (qn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14IV.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    V Suites majoree, minoree, bornee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    3 Probabilites conditionnelles 18I Probabilite conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18II Arbre de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19III Formule des probabilites totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19IV Independance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20V Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    4 Limites de fonctions. Comportement asymptotique. 24I Limites a linfini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    I.1 Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24I.2 Limites a linfini de fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.3 Asymptote horizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    II Limite infinie en a (a reel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II.1 Deux exemples de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.2 Quelques limites en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29II.3 Asymptote verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29II.4 Exemple de calcul de limite a droite et a gauche dun reel . . . . . . 30

    III Limites et operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31III.1 Limite dune somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31III.2 Limite dun produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    1

  • III.3 Limite dun quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31III.4 Quelques indications pour lever les indeterminations . . . . . . . . . 32

    IV Theoremes sur les limites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32IV.1 Limites a linfini des polynomes et fractions rationnelles . . . . . . . 32IV.2 Limite par comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33IV.3 Limite dune fonction composee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    V Continuite, theoreme des valeurs intermediaires . . . . . . . . . . . . . . . . 34V.1 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34V.2 Theoreme des valeurs intermediaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35V.3 Algorithme de dichotomie (voir page 53) . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    5 Complements sur la derivation 39I Derivees de

    u et un. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    II Derivee dune fonction composee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40III Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    6 La fonction exponentielle 43I Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43II Proprietes de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45III Etude de la fontion exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47IV Exponentielle dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    IV.1 eu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50IV.2 Etude des fonctions x 7 ekx, k > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51IV.3 Etude des fonctions x 7 ekx2 , k > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    7 Geometrie dans lespace 54I Positions relatives de droites et plans de lespace . . . . . . . . . . . . . . . 54

    I.1 Positions relatives de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54I.2 Positions relatives dune droite et dun plan . . . . . . . . . . . . . . 54I.3 Positions relatives de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    II Parallelisme dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.1 Parallelisme de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.2 Parallelisme de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.3 Parallelisme dune droite et dun plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    III Orthogonalite dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57III.1 Droites orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57III.2 Orthogonalite entre une droite et un plan . . . . . . . . . . . . . . . 57III.3 Plan mediateur de deux points distincts . . . . . . . . . . . . . . . . 59III.4 Plans perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    IV Vecteurs, droites et plans de lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60IV.1 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60IV.2 Plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    8 Reperage dans lespace 64I Repere de lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    I.1 Distance dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66II Representations parametriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    II.1 Representation parametrique dune droite . . . . . . . . . . . . . . . 67II.2 Representation parametrique dun plan . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    2

  • 9 Fonctions trigonometriques 70I Fonctions cosinus et sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    I.1 Periodicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70I.2 Etude des fonctions cos et sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    II Formules de trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72II.1 Equations cos(x) = a, sin(x) = a, a R. . . . . . . . . . . . . . 74

    III Complement : la fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75IV Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    10 Logarithmes 76I La fonction logarithme neperien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    I.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76I.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78I.3 Relation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79I.4 Limites liees a la fonction logarithme neperien . . . . . . . . . . . . 80

    II Logarithme dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82III Fonction logarithme decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83IV Exercices de logarithmes sur Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    11 Nombres complexes (1ere partie) 85I Forme algebrique dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85II Conjugue dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86III Equation du second degre a coefficients reels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    12 Calcul integral 89I Integrale dune fonction positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    I.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89I.2 Methode des rectangles pour encadrer une integrale . . . . . . . . . 90

    II Primitives dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92III Recherche de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    III.1 Primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95III.2 Operations sur les primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    IV Integrale dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96V Applications du calcul integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    V.1 Calculs daires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99V.2 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    13 Lois de probabilite a densite 101I Lois de probabilite a densite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101II Loi uniforme sur [a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102III Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    14 Nombres complexes et geometrie 107I Affixe, module et argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    I.1 Representation geometrique dun nombre complexe . . . . . . . . . . 107I.2 Module et argument dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . 108I.3 Forme trigonometrique dun nombre complexe non nul . . . . . . . . 109I.4 Proprietes du module et de largument . . . . . . . .

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