COORDONATE POLARE

În matematică, sistemul de coordonate polare este un sistem de coordonate bidimensional în care fiecărui punct din plan i se asociază un unghi şi o distanţă. Sistemul coordonatelor polare este util mai ales în situaţii în care relaţia dintre două puncte este mai uşor de exprimat în termeni de distanţe şi direcţii (unghiuri); în sistemul cartezian sau ortogonal, o astfel de relaţie poate fi găsită doar cu ajutorul formulelor trigonometrice.

Deoarece sistemul de coordonate este bidimensional, fiecare punct este determinat de două coordonate polare: coordonata radială şi coordonata unghiulară. Coordonata radială (notată de obicei cu r) reprezintă distanţa unui punct faţă de un punct central, numit pol (echivalent cu originea din sistemul cartezian). Coordonata unghiulară (cunoscută şi sub numele de unghi polar, sau azimut, şi notată cu θ sau t) reprezintă unghiul, în sens trigonometric sau invers orar (invers acelor de ceasornic) necesar pentru a ajunge la el de la direcţia de 0°, numită axa polară (echivalentă cu axa absciselor din coordonatele carteziene plane).[1]

Un sistem polar, cu unghiuri exprimate în grade

ISTORIC

Conceptele de unghi şi rază erau deja folosite de popoarele antice din primul mileniu î.e.n.. Astronomul grec Hipparchus (190-120 î.e.n.) a creat o tabelă de funcţii armonice care dădeau lungimea unui arc pentru fiecare unghi, şi există unele referinţe la utilizarea de către el a coordonatelor polare pentru stabilirea poziţiei stelelor.[2] În Despre spirale, Arhimede a descris Spirala lui Arhimede, o funcţie a cărei rază depinde de unghi. Lucrările greceşti, însă, nu s-au extins la un întreg sistem de coordonate.

Există mai multe relatări despre introducerea coordonatelor polare ca parte dintr-un sistem oficial. Întreaga istorie este descrisă de profesorul Julian Lowell Coolidge de la Universitatea Harvard în cartea sa Originea coordonatelor polare.[3] Grégoire de Saint-Vincent şi Bonaventura Cavalieri au introdus independent unul de altul aceste concepte la jumătatea secolului al XVII-lea. Saint-Vincent a scris despre ele în particular în 1625 şi şi-a publicat lucrarea în 1647, iar Cavalieri şi-a publicat lucrările în 1635, cu o versiune corectată apărută în 1653. Cavalieri a utilizat primul coordonatele polare pentru a rezolva o problemă legată de aria din interiorul unei spirale a lui Arhimede. Ulterior, Blaise Pascal a utilizat coordonate polare pentru calculul arcelor parabolice.

Sir Isaac Newton a examinat şi el transformările în coordonate polare, pe care le-a denumit "Al şaptelea mod; pentru spirale", şi nouă alte sisteme de coordonate.[4] În periodicul Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli a folosit un sistem cu un punct pe o linie, numite pol, respectiv axă polară. Coordonatele erau specificate prin distanţa de la pol şi unghiul faţă de axa polară. Lucrarea lui Bernoulli s-a ocupat de găsirea razei de curbură a curbelor exprimate în aceste coordonate.

Termenul efectiv coordonate polare îi este atribuit lui Gregorio Fontana şi era utilizat de scriitorii italieni ai secolului al XVIII-lea. Alexis Clairaut a fost primul care s-a gândit la o generalizare a coordonatelor polare în trei dimensiuni, iar Leonhard Euler a fost primul care le-a dezvoltat.[3]

TRASAREA PUNCTELOR ÎN COORDONATE POLARE

Fiecare punct din sistemul de coordonate polare poate fi descris folosind două coordonate polare, numite uzual r (coordonata radială) şi θ (coordonata unghiulară, unghiul polar, sau azimutul, uneori reprezentat ca φ sau t). Coordonata r reprezintă distanţa radială de pol, şi coordonata θ reprezintă unghiul în sens trigonometric (invers acelor de ceasornic) de la direcţia de 0° (numită uneori axă polară), cunoscută ca axa pozitivă a absciselor în Sistemul coordonatelor carteziene plane.[1]

De exemplu, coordonatele polare (3, 60°) ar fi reprezentate în plan ca un punct aflat la 3 unităţi depărtare de pol pe direcţia de 60°. Coordonatele (−3, 240°) ar fi reprezentate prin acelaşi punct deoarece o distanţă radială negativă este măsurată ca o distanţă pozitivă pe aceeaşi direcţie în sens opus (direcţia reflectată faţă de origine, care diferă de direcţia originală cu 180°).

Aceasta ilustrează un aspect important al sistemului de coordonate polare, aspect care lipseşte la cel cartezian: un singur punct poate fi exprimat printr-o infinitate de coordonate diferite. În general, punctul (r, θ) poate fi reprezentat ca (r, θ ± n×360°) sau ca (−r, θ ± (2n + 1)180°), unde n este orice număr întreg.[5] Coordonatele arbitrare (0, θ) sunt utilizate prin convenţie pentru reprezentarea polului, pentru că indiferent de coordonata θ, un punct de rază 0 va fi mereu în pol.[6] Pentru a obţine o reprezentare unică a unui punct, este uzual a limita r la numere nenegative r ≥ 0 şi pe θ la intervalul [0, 360°) sau (−180°, 180°] (sau, în radiani, [0, 2π) sau (−π, π]).[7]

Unghiurile în notaţie polară sunt în general exprimate fie în grade, fie în radiani, utilizând conversia 2π rad = 360°. Alegerea depinde de context. Aplicaţiile nautice folosesc gradele, în timp ce unele aplicaţii din fizică (mai ales mecanica rotaţiei) şi aproape toată literatura matematică legată de analiza matematică folosesc radiani.[8]

CONVERSIA ÎNTRE COORDONATE POLARE ŞI COORDONATE CARTEZIENE

O diagramă care ilustrează formulele de conversie

Cele două coordonate polare r şi θ pot fi convertite în coordonate carteziene x şi y prin utilizarea funcţiilor trigonometrice sinus şi cosinus:

y

în timp ce două coordonate carteziene x şi y pot fi transformate în coordonata polară r prin

(prin aplicarea teoremei lui Pitagora).

Pentru a determina coordonata polară θ, trebuie să fie luate în considerare următoarele două idei:

Pentru r = 0, θ poate fi orice număr real. Pentru r ≠ 0, pentru a obţine o unică reprezentare a lui θ, aceasta trebuie limitată la un

interval de lungime 2π. Alegeri convenţionale pentru acest interval sunt [0, 2π) şi (−π, π].

Pentru a obţine θ în intervalul [0, 2π), se poate folosi următoarea expresie (arctan reprezintă inversa funcţiei tangentă):

Pentru a obţine θ în intervalul (−π, π], se poate folosi următoarea expresie:[9]

ECUAŢII POLARE

Ecuaţiile care definesc o curbă algebrică exprimată în coordonate polare este o ecuaţie polară. În multe cazuri, o astfel de ecuaţie poate fi specificată doar prin definirea r ca funcţie de θ. Curba rezultată constă atunci din punctele de forma (r(θ), θ) şi poate fi privită ca graficul funcţiei polare r.

Diferite forme de simetrie pot fi deduse din ecuaţia unei funcţii polare r. Dacă r(−θ) = r(θ) curba va fi simetrică faţă de direcţia orizontală (0°/180°), dacă r(π−θ) = r(θ) ea va fi simetrică faţă de verticală (90°/270°), şi dacă r(θ−α°) = r(θ) ea va avea simetrie radială α° în sens trigonometric în jurul polului.

Deoarece natura circulară a sistemului coordonatelor polare, multe curbe pot fi descrise de o ecuaţie polară relativ simplă, pe când forma lor carteziană e mult mai complicată. Printre cele mai cunoscute astfel de curbe este roza polară, Spirala lui Arhimede, lemniscata, melcul, şi cardioida.

CERCUL

Un cerc de ecuaţie r(θ) = 1

Ecuaţia generală a unui cerc cu centrul în (r0, φ) şi de rază a este

Aceasta poate fi simplificată în numeroase feluri, pentru a se conforma unor cazuri particulare, cum ar fi ecuaţia:

pentru un cerc cu centrul în pol şi de rază a.[10]

DREAPTA

Dreptele radiale (cele care trec prin pol) sunt reprezentate de ecuaţia

unde φ este unghiul de înclinaţie a dreptei; adică, φ = arctan m unde m este panta dreptei în coordonate carteziene. Dreapta non-radială perpendiculară pe dreapta radială θ = φ în punctul (r0, φ) are ecuaţia

ROZA POLARĂ

O roză polară de ecuaţie r(θ) = 2 sin 4θ

Roza polară este o curbă matematică celebră care arată ca o floare cu petale şi care poate fi exprimată ca o ecuaţie polară simplă,

pentru orice constantă φ0 (inclusiv 0). Dacă n este întreg, această ecuaţie produce o roză cu n petale, dacă n este impar, sau cu 2n petale dacă este par. Dacă n este raţional dar nu întreg, o formă asemănătoare cu roza ar putea apărea, dar va avea petale suprapuse. Dacă n este iraţional, curba formează un disc deoarece fiecare punct din planul de coordonate cu r < a va satisface ecuaţia pentru o oarecare valoare a lui θ. Se observă că aceste ecuaţii nu definesc niciodată o roză cu 2, 6, 10, 14, etc. petale. Variabila a reprezintă lungimea petalelor rozei.

SPIRALA LUI ARHIMEDE

Un braţ al spiralei lui Arhimede de ecuaţie r(θ) = θ pentru 0 < θ < 6π

Spirala lui Arhimede este o spirală celebră descoperită de Arhimede, spirală ce poate fi exprimată sub forma unei ecuaţii polare simple. Ea este reprezentată de ecuaţia

Schimbarea parametrului a va roti spirala, pe când b controlează distanţa dintre braţe, care pentru o spirală dată este mereu constantă. Spirala lui Arhimede are două braţe, unul pentru θ > 0 şi unul pentru θ < 0. Cele două braţe sunt conectate la origine şi spirala este derivabilă în acel punct. Luând imaginea în oglindă a unui braţ al său peste linia de la 90°/270° se obţine un alt braţ. Această curbă este notabilă ca una din primele curbe, după secţiunile conice, care a fost descrisă într-un tratat matematic, şi ca prim exemplu de curbă mai bine definită sub formă de ecuaţie polară.

SECŢIUNI CONICE

Elipsă

O secţiune conică cu un focar în origine şi celălalt undeva pe semidreapta de 0° (astfel încât axa majoră este în lungul axei polare) este dată de:

unde e este excentricitatea şi ℓ distanţa perpendiculară la focar de la axa majoră la curbă. Dacă e > 1, această ecuaţie defineşte o hiperbolă; dacă e = 1, ea defineşte o parabolă; iar dacă e < 1, defineşte o elipsă. Cazul special e = 0 are ca rezultat un cerc de rază ℓ.

NUMERE COMPLEXE

Ilustrarea unui număr complex z în planul complex

Toate numerele complexe pot fi reprezentate ca un punct în planul complex, şi pot astfel să fie exprimate specificând fie coordonatele carteziene ale punctului fie cele polare (numite formă polară). Numărul complex z poate fi reprezentat în formă carteziană ca

z = x + iy

unde i este unitatea imaginară, sau poate fi scris în formă polară

şi de aici ca

unde e este numărul lui Euler. Acestea sunt echivalente conform formulei lui Euler.[11] (De observat că această formulă, ca orice formulă care implică exponenţialele unor unghiuri presupune că θ este exprimat în radiani.) Pentru a face conversia între forma carteziană şi cea polară a unui număr complex, se poate folosi formula de conversie dată mai sus.

Pentru operaţiile de înmulţire, împărţire, şi exponenţiere de numere complexe, este în general mai simplu de lucrat cu numere complexe exprimate în formă polară decât în formă carteziană. Din legile exponenţierii:

CALCUL DIFERENŢIAL

CALCUL INTEGRAL

Fie R regiunea cuprinsă între o curbă r(θ) şi razele θ = a şi θ = b, unde 0 < b − a < 2π. Atunci, aria lui R este

Acest rezultat poate fi găsit după cum urmează. Întâi, intervalul [a, b] este divizat în n subintervale, unde n este un întreg pozitiv arbitrar. Astfel Δθ, lungimea fiecărui subinterval, este egală cu b − a (lungimea totală a intervalului), împărţită la n, numărul de subintervale. Pentru fiecare subinterval i = 1, 2, …, n, fie θi mijlocul fiecărui subinterval. Se construieşte un sector cu centrul în pol, raza r(θi), şi unghiul la centru Δθ. Aria fiecărui sector construit este deci egală cu

Deci, aria totală a tuturor sectoarelor însumate este:

Cu creşterea numărului de subintervale n, aproximarea ariei continuă să se îmbunătăţească. La limită, când n → ∞, suma devine suma Riemann a integralei de mai sus.

GENERALIZARE

Folosind coordonate carteziene, un element de arie infinitezimal poate fi calculat ca dA = dx dy. Regula de substituţie pentru integralele multiple afirmă că, la folosirea altor coordonate, trebuie să fie considerat determinantul Jacobian al formulei de conversie de coordonate:

ANALIZA VECTORIALĂ

Calculul vectorial poate fi şi el aplicat în coordonate polare. Fie r vectorul de poziţie

, cu r şi θ funcţii de timpul t, vectorul unitate în direcţia r şi vector unitate

în unghi drept cu r. Primele derivate ale poziţiei sunt:

TREI DIMENSIUNI

Sistemul de coordonate polare este extins în trei dimensiuni la două sisteme de coordonate diferite, sistemul de coordonate sferice şi cel de coordonate cilindrice, ambele având sistemul de coordonate polare în plan ca subset. În esenţă, sistemul de coordonate cilindrice extinde coordonatele polare adăugând o coordonată de distanţă adiţională, iar sistemul sferic mai introduce o coordonată unghiulară.

COORDONATE CILINDRICE

Sistemul de coordonate cilindrice este un sistem de coordonate care extinde sistemul de coordonate polare în doua dimensiuni prin adăugarea unei a treia coordonate care măsoară distanţa între un punct şi plan, similar cu felul în care sistemul de coordonate carteziene este extins în trei dimensiuni. A treia coordonată este de obicei notată cu h, rezultând cele trei coordonate cilindrice (r, θ, h).

Cele trei coordonate cilindrice pot fi convertite în coordonate carteziene prin transformarea:

2 puncte trasate în coordonate cilindrice

COORDONATE SFERICE

Un punct trasat în coordonate sferice

Coordonatele polare pot fi extinse în trei dimensiuni folosind şi coordonatele (ρ, φ, θ), unde ρ este distanţa de la origine, φ este unghiul făcut cu axa z (numită colatitudine sau zenit şi măsurată de la 0 la 180°) iar θ este unghiul cu axa x (ca şi în coordonate polare). Acest sistem de coordonate, numit sistemul de coordonate sferice, este similar cu sistemul de latitudine şi longitudine folosit

pentru Pământ, cu originea în centrul Pământului, latitudinea δ fiind complementul lui φ, determinat de relaţia δ = 90° − φ, iar longitudinea l fiind măsurată ca l = θ − 180°.[14]

Cele trei coordonate sferice pot fi convertite în coordonate carteziene prin transformarea:

APLICATII

Coordonatele polare sunt bidimensionale şi deci pot fi folosite doar acolo unde locaţiile punctelor se află într-un plan bidimensional. Sunt folosite în orice context în care fenomenul luat în considerare este inerent legat de direcţia şi distanţa de un punct central. De exemplu, ecuaţii polare elementare sunt suficiente pentru a defini unele curbe – astfel este spirala lui Arhimede – a cărei ecuaţie în coordonate carteziene ar fi mai complexă. Mai mult, multe sisteme fizice – cum ar fi cele ce tratează corpuri în mişcare în jurul unui punct central sau cu fenomene ce îşi au originea dintr-un punct central – sunt mai simplu şi mai intuitiv de modelat în coordonate polare. Motivaţia iniţială pentru introducerea sistemului polar a fost studiul mişcării circulare şi orbitale.

POZIŢIONARE ŞI NAVIGAŢIE

Coordonatele polare sunt folosite adesea în navigaţie, întrucât destinaţia sau direcţia deplasării pot fi date ca unghiul şi distanţa de la obiectul luat în consideraţie. De exemplu, avioanele folosesc o versiune uşor modificată a coordonatelor polare la navigaţie. În acest sistem, cel folosit în general pentru orice fel de navigaţie, raza de 0° este în general numită direcţia 360, iar unghiurile continuă în sens orar, şi nu trigonometric, ca în sistemele matematice. Direcţia 360 curespunde nordului magnetic, iar direcţiile 90, 180, şi 270 corespund estului magnetic, sudului, şi vestului, respectiv.[15] Astfel, un avion care se deplasează 5 mile nautice spre est se va deplasa 5 unităţi în direcţia 90.[16]

MODELARE

Sistemele care prezintă simetrie radială furnizează contexte naturale pentru sistemele de coordonate polare, cu centrul de simetrie comportându-se ca pol. Un prim exemplu de astfel de sistem este ecuaţia de curgere a apelor subterane aplicată puţurilor cu simetrie radială. Sistemele cu o forţă radială sunt şi ele bune candidate pentru utilizarea sistemului de coordonate polare. Aceste sisteme includ câmpuri gravitaţionale, care respectă legea invers pătratică, precum şi sisteme cu surse punctiforme, cum ar fi antenele radio.

Şi sistemele radial asimetrice pot fi modelate în coordonate polare. De exemplu, răspunsul proporţional al unui microfon la un sunet exterior poate fi reprezentat prin curbe polare. Curba unui microfon cardioid standard, cel mai comun microfon direcţional, poate fi reprezentată de ecuaţia r = 0.5 + 0.5 sin θ.[17]

BIBLIOGRAFIE

1. ^ a b Brown, Richard G. (1997). Andrew M. Gleason Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis. Evanston, Illinois: McDougal Littell. ISBN 0-395-77114-5.

2. ^ Friendly, Michael. Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization. Accesat la data de 2006-09-10.

3. ^ a b Coolidge, Julian (1952). "The Origin of Polar Coordinates". American Mathematical Monthly 59: 78-85.

4. ^ Boyer, C. B. (1949). "Newton as an Originator of Polar Coordinates". American Mathematical Monthly 56: 73-78.

5. ^ Polar Coordinates and Graphing (PDF) (2006-04-13). Accesat la data de 2006-09-22.6. ^ Lee, Theodore; David Cohen, David Sklar (2005). Precalculus: With Unit-Circle

Trigonometry, Fourth Edition, Thomson Brooks/Cole. ISBN 0534402305.7. ^ Stewart, Ian; David Tall (1983). Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane).

Cambridge University Press. ISBN 0521287634.8. ^ Serway, Raymond A.; Jewett, Jr., John W. (2005). Principles of Physics. Brooks/Cole—

Thomson Learning. ISBN 0-534-49143-X.9. ^ Torrence, Bruce Follett; Eve Torrence (1999). The Student's Introduction to

Mathematica®. Cambridge University Press. ISBN 0521594618.10. ^ Claeys, Johan. Polar coordinates. Accesat la data de 2006-05-25.11. ^ Smith, Julius O. (2003). “Euler's Identity”, Mathematics of the Discrete Fourier Transform

(DFT). W3K Publishing. URL accesat la 2006-09-22.12. ^ Husch, Lawrence S.. Areas Bounded by Polar Curves. Accesat la data de 2006-11-25.13. ^ Lawrence S. Husch. Tangent Lines to Polar Graphs. Accesat la data de 2006-11-25.14. ^ Wattenberg, Frank (1997). Spherical Coordinates. Accesat la data de 2006-09-16.15. ^ Santhi, Sumrit. Aircraft Navigation System. Accesat la data de 2006-11-26.16. ^ Emergency Procedures. Accesat la data de 2007-01-15.17. ^ Eargle, John (2005). Handbook of Recording Engineering, Fourth Edition, Springer. ISBN

0387284702.18. ^ Anton, Howard; Irl Bivens, Stephen Davis (2002). Calculus, Seventh Edition, Anton

Textbooks, Inc.. ISBN 0-471-38157-8.19. ^ Finney, Ross; George Thomas, Franklin Demana, Bert Waits (June 1994). Calculus:

Graphical, Numerical, Algebraic, Single Variable Version, Addison-Wesley Publishing Co.. ISBN 0-201-55478-X.