Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Mecânica

Transferência de Calor

por Convecção

Pedro Alexandre Moreira Lobarinhas José Carlos Fernandes Teixeira

2004

Índice

1 INTRODUÇÃO 1

1.1 Significado Físico 1

1.2 Camada Limite 4

1.3 Escoamento Laminar versus Turbulento 6

1.4 Camada Limite Térmica 7

2 ESCOAMENTOS SOBRE PLACAS 9

2.1 Escoamento Laminar 10

2.2 Escoamento Turbulento 11

2.3 Escoamento Misto 12

3 ESCOAMENTOS CRUZADOS 14

3.1 Cilindros 14

3.2 Esferas 16

3.3 Cilindros de secção não-circular 17

4 ESCOAMENTOS INTERNOS 19

4.1 Secções circulares 20

4.2 Secções não-circulares 23

BIBLIOGRAFIA 25

i

Lista de símbolos

A Área m2

aE Condutividade térmica entre materiais W/m2K

an Coeficientes do polinómio (de cada termopar)

cp Calor específico J/kgK

cf Coeficiente de atrito

dT Variação da temperatura K

dx Variação do espaço m

Dh Diâmetro hidráulico m

h Coeficiente de transferência de calor por convecção W/m2K

h∞ Coeficiente de transferência de calor por convecção com o meio W/m2K

k Condutividade térmica W/m.K

kar Condutividade térmica do ar W/m.K

kf Condutividade térmica do fluído intersticial W/m.K

L Comprimento m

M Peso molecular g.mol.q Fluxo térmico por unidade de área W/m2

.Q Fluxo térmico W

t Tempo s

T Temperatura K

T0 Temperatura de referência K

Tf Temperatura do filme K

Ts Temperatura da superfície K

Tw Temperatura da parede K

T∞ Temperatura da fronteira livre K

U Velocidade m/s

ii

U∞ Velocidade na fronteira livre m/s

x, y, z Coordenadas

SÍMBOLOS GREGOS

α Difusividade térmica m2/s

∂H Variação da entalpia J/kgK

∂t Intervalo de tempo s

δ Espessura da camada limite m

δx Espessura da camada limite na posição x m

∆T Variação da temperatura K

µ Viscosidade dinâmica Pa.s

µf Viscosidade dinâmica para a temperatura do filme Pa.s

µω Viscosidade dinâmica para a temperatura da parede Pa.s

ν Viscosidade cinemática m2/s

ρ Massa volúmica kg/m3

ρf Massa volúmica para a temperatura do filme kg/m3

τ Tensão de corte Pa

GRUPOS ADIMENSIONAIS

Bi Número de Biot

Gz Número de Graetz

Nu Número de Nusselt

Pe Número de Peclet

Pr Número de Prandtl

Re Número de Reynolds

iii

1. INTRODUÇÃO A convecção é a designação utilizada para o mecanismo de transferência de calor por acção de um fluido. A convecção pode ser classificada como natural ou forçada, dependendo do que é que está na origem do escoamento. Na convecção forçada, o fluido é forçado a escoar-se sobre uma superfície ou no interior de uma tubagem, por acção de elementos exteriores como um ventilador ou uma bomba. Na convecção natural o movimento observado é provocado por diferenças nas forças gravíticas (buoyancy effect), que se caracteriza pela ascenção do fluido mais quente e pela descida do mais frio (diferenças de densidade). A convecção pode também ser classificada como externa ou interna, dependendo se o escoamento ocorre sobre uma superficie ou no interior de um canal. Neste capítulo será abordada a convecção forçada, tanto externa como interna. 1.1 SIGNIFICADO FÍSICO A convecção partilha com a condução o facto de requerer a presença de um meio material para que possa ocorrer, distinguindo-se desta pelo facto de o meio se escoar. Assim, é possivel dizer que a transferência de calor através de um meio sólido ocorre por condução, enquanto num meio líquido ou gasoso, pode ter lugar por condução ou convecção, dependendo da presença de um escoamento. No caso da existência de um escoamento temos uma situação de convecção e perante a ausencia de movimento do fluido teremos condução. A transferência de calor por convecção é um fenómeno complexo, pelo facto de envolver em simultâneo a transferência de calor e o movimento do fluido. O movimento do fluido em si, pode ser visto como um promutor da transferência de calor, razão pela qual a taxa de transferência de calor de um fluido é superior em convecção do que numa situação de condução pura. Na verdade, é fácil verificar que a taxa de transferência de calor varia directamente com a velocidade do escoamento. Para clarificar este ponto vamos imaginar a transferência de calor em estado estacionário, através de um fluido contido entre duas placas paralelas. Assumindo que o fluido está em repouso, a energia da placa a temperatura mais elevada vai ser transferida através do fluido para a placa a temperatura mais baixa. A experiência mostra que a transferência de calor por convecção depende fortemente das propriedades do fluido como: a massa volúmica, ρ, a condutividade térmica, k, a viscosidade dinâmica, µ, o calor específico, cp, assim como a sua velocidade, U. A geometria e a rugosidade da superfície sólida também são relevantes, assim como a natureza do escoamento (laminar ou turbulento). Posto isto, não será difícil imaginar que

1

as relações que tratam a transferência de calor por convecção sejam complexas, dada a quantidade de variáveis presentes. Mas apesar da complexidade da convecção, é possível dizer que a taxa de transferência de calor é proporcional às diferenças de temperatura, sendo expressa pela conhecida lei de Newton do arrefecimento, na forma:

( )∞−= TThq sev& (1)

ou ( )∞−= TThAQ s (2)

onde: - coeficiente de transferência de calor por convecção, [W/mh 2K]; A – área da superfície de transferência de calor, [m2]; - temperatura da superfície [K]; sT

- temperatura do fluido (distante da superficie), [K]. ∞T Observando as unidades do coeficiente de transferência de calor por convecção, h, este pode ser definido como a taxa de transferência de calor entre a superficie sólida e o fluido, por unidade de área de superficie e por unidade da diferença de temperatura. Pelas expressões anteriores, seria tentador dizer que a convecção é afinal um fenómeno de análise simples, o que seria verdade, não fosse a determinação de h, um processo de elevada complexidade e dificuldade. Quando um fluido é forçado a escoar-se sobre uma superficie sólida, é possível observar uma fina camada do fluido solidária com a superficie sólida, isto é, com velocidade nula. Uma consequência da existência desta camada, é o tipo de transferência de calor que ocorre entre a superficie sólida e o fluido, que é um caso de pura condução, uma vez que a camada de fluido em contacto com o sólido está parada, podendo ser expressa como:

0

.

=

⋅

∂∂

−==y

fcdcv yTkqq (3)

Em que (dt/dy) representa o gradiente térmico na superfície. O calor transferido é então dissipado por acção do movimento do fluido. É importante referir que a transferência de calor por convecção se resume à transferência de calor por condução verificada entre a superfície sólida e a camada de fluido adjacente. Assim, partindo das equações (1) e (3), é possível chegar a uma expressão para o valor de h,

2

( )∞

=

−

∂∂

−

=TTyTk

hS

yf

0 (4)

A expressão anterior permite a determinação do valor de h, uma vez conhecida a distribuição de temperaturas no fluido. O valor do coeficente de transferência de calor por convecção em geral varia ao longo do escoamento. Um valor médio pode ser calculado, após a determinação dos valores locais de h ao longo de toda a superfície. Em estudos de convecção, à semelhança do que acontece noutras áreas, com vista à redução do número de variáveis em análise, é comum recorrer à adimensionalização das equações e à combinação das variáveis, dando origem aos chamados números adimensionais. Neste caso particular, a adimensionalização do coeficente de transferência de calor por convecção, conduz ao número de Nusselt, definido como:

khNu δ

= (5)

em que k representa a condutividade térmica e δ um comprimento característico. O número de Nusselt é assim chamado em homenagem aos estudos desenvolvidos por Wilhelm Nusselt, e pode ser visto como o coeficente de transferência de calor por convecção adimensional. Para melhor perceber o significado físico do número de Nusselt, imagine uma camada de fluido de espessura δ e com uma diferença de temperaturas, ∆T=T2-T1, conforme ilustrado na figura 1. A transferência de calor através do fluido, será por convecção se existir movimento ou por condução em caso contrário. O fluxo de calor em cada um dos casos será:

[W/mThqcv ∆= ..

2] (6)

δTkqcd

∆=

. [W/m2] (7)

Estabelecendo um quociente entre estas duas expressões (6 e 7), obtém-se:

Nuk

hTk

Th

q

q

cd

cv ==∆∆

=δ

δ

..

.

(8)

3

1

q δ

Figura 1 – Transferência de calor através de um fluido localizad

temperaturas distintas (T1>T2) Assim, facilmente se conclui que o número de Nusselt representransferência de calor ocorrida por convecção e aquela por conmesmo fluido. Isto significa que, quanto maior o número de Nutermo convectivo. Asituação de condução pura, equivale a ter Nu= 1.2 CAMADA LIMITE O conceito de camada limite, é um conceito bastante importainterpretação do fenómeno da transferência de calor. Para inimagine o escoamento de um fluido sobre uma placa, conforme escoamento aproxima-se da placa a uma velocidade constante, Uplaca, a camada de fluido a ela adjacente, assume velocidadmovimento desta camada, vai-se manifestar nas camadas adjacepelo surgimento de um perfil de velocidades. A presença da placaté uma determinada distância da placa, δv, acima da qual o mantém igual a U∞. Para qualquer ponto da placa ao longo dpossível observar o valor da velocidade do escoamento sobre a plpara y=0, até U= U∞ para y= δv.

T

T2

o entre duas placas a

ta uma relação entre a dução pura, através do sselt, maior o peso do 1.

nte para uma correcta troduzir esse conceito, ilustrado na figura 2. O ∞. Porém, ao atingir a

e nula. A ausência de ntes, sendo responsável a, é desta forma sentida valor da velocidade se o seu comprimento, é

aca a variar desde, U=0

4

Figura 2 – Desenvolvimento da camada limite num escoamento sobre uma placa.

A região do escoamento compreendida entre a placa e δv, região onde se fazem sentir as forças de atrito viscoso, é a chamada camada limite. A espessura da camada limite para cada ponto ao longo do eixo xx, é definida como a altura para a qual U=0.99U∞. Assim, a linha imaginária ao longo do eixo xx, para a qual U=0.99U∞, divide o escoamento em duas regiões: a camada limite, região na qual se manifestam os efeitos da viscosidade e onde as variações de velocidade são significativas, e a região invíscida, na qual os efeitos viscosos são desprezáveis e a velocidade permanece praticamente constante e igual a U∞. A existência de duas camadas de um fluido adjacentes e a moverem-se a velocidades distintas, faz com que a mais rápida exerça uma força de arrasto sobre a mais lenta. Esta força de arrasto por unidade de área é o que normalmente se designa por tensão de corte, sendo representada por τ. Estudos experimentais mostraram que a tensão de corte para a maioria dos fluidos é proporcional ao gradiente de velocidades, podendo ser expressa por:

0=∂∂

=y

S yUµτ (9)

onde µ representa a viscosidade dinâmica do fluido, [Ns/m2]. A viscosidade de um fluido é uma medida da sua resistência ao escoamento, sendo fortemente dependente da temperatura. A viscosidade dos líquidos diminui com o aumento da temperatura, verificando-se um comportamento inverso com os fluidos gasosos. A determinação do valor da tensão de corte a partir da equação 9 não se revela muito expedita, dado que requer o conhecimento do perfil de velocidades. Uma outra aproximação possível, e mais prática no caso dos escoamentos externos, consiste no relacionamento da tensão de corte com a velocidade do escoamento livre, U∞,

2

2∞=

Uc fSρτ (10)

5

em que cf representa o chamado coeficiente de atrito ou coeficiente de arrasto, cujo valor na maioria dos casos é determinado experimentalmente, sendo ρ a massa volúmica do fluido [kg/m3]. Uma vez determinado o valor médio de cf ao longo de uma dada superfície, é possível determinar o valor da força de arrasto,

2

2∞=

UAcF fDρ (11)

onde A representa a área da superfície [m2]. 1.3 ESCOAMENTO LAMINAR VERSUS TURBULENTO Tanto o coeficiente de atrito como o coeficiente de transferência de calor, atingem o seu valor máximo na presença de um escoamento turbulento plenamente desenvolvido. A transição entre escoamento laminar e turbulento depende de diversas variáveis, como: a geometria da superfície, a rugosidade superficial, a velocidade na fronteira livre, a temperatura superficial, o tipo de fluido, entre outras. Após extenso trabalho experimental, no final do século XIX, Osborne Reynolds observou que o regime do escoamento dependia sobretudo da relação entre as forças de inércia e as forças viscosas do fluido. Esta relação define o número de Reynolds e para o caso de escoamentos externos pode ser expressa por:

νδ∞==

UViscosas ForçasInércia ForçasRe (12)

onde: U∞ - velocidade na fronteira livre, [m/s]. δ - comprimento característico da geometria, [m]. ν - viscosidade cinemática (=µ/ρ), [m2/s]. O comprimento característico no caso de uma tubagem circular ou de uma esfera, é o diâmetro, ou seja, nestes casos δ=d. Para números de Reynolds elevados, as forças de inércia, que são proporcionais à massa volúmica e o quadrado da velocidade do fluido, são elavadas, quando comparadas com as forças viscosas, razão pela qual estas últimas não conseguem evitar as constantes e rápidas flutuações do fluido. No caso dos números de Reynolds pequenos, verifica-se o fenómeno contrário, ou seja, nestes casos as forças viscosas são suficientemente grandes para suportar as forças de inércia e assim manter o escoamento uniforme, também desigando como laminar.

6

O número de Reynolds acima do qual se observa o escoamento turbulento, é designado por número de Reynolds crítico. O valor que este número assume varia com a geometria. Para o caso do escoamento sobre uma placa, a transição ocorre para, Recr,placa ≈ 5x105

Porém, este valor pode variar, dependendo da rugosidade superficial e de variações da pressão ao longo da superfície. 1.4 CAMADA LIMITE TÉRMICA Anteriormente fez-se referência à camada limite, como uma região na qual a velocidade do fluido variava desde zero até 99% do valor de U∞. De forma análoga, é possivel falar de uma camada limite térmica, sempre que um fluido a uma dada temperatura, se escoa sobre uma superfície que se encontre a uma temperatura distinta da do fluido. Admitindo o escoamento de um fluido a temperatura constante, T∞, sobre uma superfície isotérmica, TS, as particulas do fluido adjacentes à superfície irão atingir equilíbrio térmico com esta, assumindo o valor de TS.

Figura 3 – Camada limite térmica, numa placa com Ts< T∞.

Em resultado da subsequente troca de energia entre as partículas junto da superfície e as camadas adjacentes, desenvolve-se um perfil térmico entre TS e T∞. A região normal à superfície onde se faz sentir esta variação térmica, é designada por camada limite térmica. A espessura da camada limite térmica em cada ponto, é definida pela distância y, para a qual:

( ) ( SSy TTTT )−=− ∞99,0 (13)

7

A taxa de transferência de calor por convecção ao longo da superfície é função do gradiente térmico em cada ponto. Daí o facto da transferência de calor por convecção entre a superfície sólida e o fluido, ser determinada pelo perfil térmico. Num escoamento sobre uma superfície, aquecida ou arrefecida, ambas as camadas limites, térmica e de velocidade, se desenvolvem em simultâneo. A espessura relativa das camadas limite da velocidade e térmica, é bem representada por um parâmetro adimensional, designado por número de Prandtl, Pr, que é definido por:

ανµ

==kcPPr (14)

onde: α – difusividade térmica (=k/ρcp), [m2/s]. ν - viscosidade cinemática (=µ/ρ), [m2/s]. O número de Prandtl não representa mais do que uma relação entre a difusividade do momento, sobre a difusividade da energia. Para os líquidos o número de Prandtl pode variar desde valores próximos de 0.01, para os metais líquidos, até valores superiores a 106, para o caso de metais pesados. No caso dos gases, Pr assume valores próximos da unidade, Prgases≈1.

8

2. ESCOAMENTO SOBRE PLACAS Conforme já foi referido, um dos grandes problemas da transferência de calor consiste na obtenção do valor do coeficiente de transferência de calor por convecção, h. O objectivo da presente secção prende-se com a determinação de h no escoamento de um fluido sobre uma placa plana. O caso de superfícies com pequena inclinação também poderá ser resolvido com as relações que serão aqui apresentadas, com um grau de precisão razoável. O coeficente de transferência de calor por convecção, h, para uma placa plana pode ser determinado teoricamente pela resolução das equações de conservação, de uma forma aproxima ou numérica. Em alternativa, pode ser determinado experimentalmente e ser expresso por correlações empíricas. Em qualquer dos casos, o número de Nusselt médio pode ser expresso em função dos números de Reynolds, Re, e Prandtl, Pr, na forma:

nmLC

khLNu PrRe== (15)

em que C, m e n são constantes e L é o comprimento da placa na direcção do escoamento. O número de Nusselt local, para ponto qualquer da placa, irá depender da distância desse ponto ao bordo inicial da placa. A temperatura do fluido na camada limite térmica, varia desde Ts, junto da superfície, até T∞, na fronteira exterior da camada limite. Por forma a ter em consideração esta variação da temperatura que afecta as propriedades do fluido, deve ser considerada uma temperatura média para a determinação das propriedades do fluido a utilizar, normalmente designada como temperatura do filme, Tf, e que é definida como:

2∞+

=TTT s

f (16)

que não é mais do que a média aritmética das temperaturas da superfície e da fronteira-livre (região exterior à camada limite térmica). As propriedades do fluido são então assumidas como permanecendo constantes a esses valores, durante todo o escoamento. Como consequência das mudanças verificadas nas camadas limite da velocidade e térmica ao longo da placa, o valor do coeficente de transferência de calor por convecção, h, também varia. Normalmente existe interesse em conhecer a transferência de calor em toda a superfície, o que pode ser obtido a partir do conhecimento do valor médio de h na mesma. Mas em certos casos é requerido o conhecimento da transferência de calor ao numa determinada posição. Nesses, é necessário conhecer os valores locais do coeficiente de transferência de calor por convecção. De seguida são apresentadas uma série de orrelações que servem para o cálculo de h, seja um valor médio ou local (neste caso identificado por índice x).

9

O s valores médios podem sempre ser obtidos por integração dos valores locais:

∫=L

xdxhL

h0

1 (17)

Uma vez determinado o valor de h, a transferência de calor pode ser facilmente obtida a partir da Eq. 2. As correlações apresentadas de seguida estão divididas de acordo com o tipo de escoamento a que se aplicam: laminar, turbulento ou misto (laminar e turbulento). 2.1 ESCOAMENTO LAMINAR O número de Nusselt para um ponto da placa que diste x do bordo inicial, na presença de um escoamento laminar, é dado por:

3121 PrRe332.0 xx

x kxhNu == para Pr ≥ 0.6 (18)

onde, Rex=U∞x/ν, é o número de Reynolds na posição que dista x do bordo inicial. Observando a equação anterior é possível verificar que Nux é proporcional a x1/2, o que por sua vez implica que hx será proporcional a x-1/2, pelo que, hx seria supostamente infinito no bordo inicial da placa (x=0) e diminuiria na razão de x-1/2 na direcção do escoamento. A variação da espessura da camada limite e do coeficiente de transferência de calor ao longo de uma placa plana isotérmica são mostradas na fig. 4.

Figura 4 – Variação de hx no escoamento sobre uma placa..

O número de Nusselt médio para toda a superfície da placa, pode ser calculado pela simples substituição da correlação (18) na equação (17) e posterior integração, donde resulta:

10

3121 PrRe664.0 LkhLNu == para Pr ≥ 0.6 (19)

Esta relação é válida para o cálculo de número de Nusselt médio sobre toda a placa, Nu, desde que, o escoamento seja laminar ao longo de toda a placa. Assumindo o número de Reynolds critíco, Recr, igual a 5x105, o comprimento crítico da placa, xcr, abaixo do qual se verifica a existência de escoamento laminar, pode ser determinado por:

νcrxU∞=×= 5

cr 105Re (20)

Logo, as relações anteriores podem ser utilizadas sempre que, L< xcr. 2.2 ESCOAMENTO TURBULENTO Para o caso de escoamentos turbulentos, o valor de Nusselt num qualquer ponto x, pode ser obtido a partir de:

3154 PrRe0296.0 xx

x kxhNu == (21)

para, 0.6 ≤ Pr ≤ 60 e 5x105 ≤ Rex ≤ 107

onde x é a distância ao bordo inicial da placa e Rex é o valor do número de Reynolds para a posição x. O valor de h encontrado num escoamento turbulento é superior ao verificado num escoamento laminar, fruto da forte turbulência que se verifica na camada limite. Notar que hx assume o seu valor máximo na altura em que o escoamento se torna completamente desenvolvido, diminuindo depois na razão de x-1/5 na direcção do escoamento, conforme ilustrado na fig. 4. O número de Nusselt médio para uma placa toda ela sujeita a um escoamento turbulento, pode ser determinado pela simples substituição da relação 21 na equação 17 e posterior integração, donde resulta:

3154 PrRe037.0 LkhLNu == (22)

para, 0.6 ≤ Pr ≤ 60 e 5x105 ≤ Rex ≤ 107

11

A relação anterior fornece o valor médio de Nusselt quando o escoamento é turbulento em toda a placa, ou quando a dimensão da região laminar for muito pequena relativamente ao comprimento total, isto é: xcr << L. 2.3 ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO Em alguns casos o comprimento da placa é suficientemente grande para que o escoamento turbulento se desenvolva (L> xcr), mas não é o suficiente para que a região laminar possa ser desprezada. Nestes casos, a forma mais precisa para o cálculo do número de Nusselt consiste numa integração em duas partes: uma para a região laminar, 0 ≤ x ≤ xcr, e outra para a região turbulenta, xcr < x ≤ L,

+= ∫ ∫

cr

cr

x L

xturbxlamx dxhdxh

Lh

0,,

1 (23)

Neste caso a região de transição é tratada como região turbulenta. Para o já referido Recr=5x105, uma vez efectuada a substituição dos termos de hx e após a integração do resultado, o número de Nusselt para toda a placa será:

( ) 3154 Pr871Re037.0 −== LkhLNu (24)

para, 0.6 ≤ Pr ≤ 60 e 5x105 ≤ Rex ≤ 107

As constantes na relação anterior serão diferentes, para números de Reynolds críticos diferentes. Na resolução de um problema de convecção forçada sobre uma placa, a primeira coisa a fazer deve ser determinar o valor de ReL (número de Reynolds para o comprimento da placa), utilizando as propriedades para a temperatura do filme. Se ReL<5x105, então estaremos na presença de um escoamento laminar ao longo de toda a placa, devendo por isso ser utilizadas as relações para escoamento laminar (6.16 e 6.18). Caso ReL>5x105 a opção deve recair entre as relações para escoamentos turbulentos ou mistos, de acordo com o que foi já referido. Uma vez calculado o valor de h, é então fácil calcular o valor da transferência de calor,

( )∞−= TThAQ s

12

em que, A=wL, é a superfície da placa com comprimento L e largura w. Estas relações foram obtidas para o caso de superfícies isotérmicas, mas podem ser utilizadas para o caso de superfícies que não sejam isotérmicas, utilizando-se nesses casos um valor médio das temperaturas verificadas na superfície. Quando uma placa é sujeita a um fluxo de calor uniforme e não a uma temperatura uniforme, o número de Nusselt local, para o caso de escoamentos laminares será dado por:

315.0 PrRe453.0 xxNu = (25)

e para escoamentos turbulentos, por:

318.0 PrRe0308.0 xxNu = (26)

13

3. ESCOAMENTOS CRUZADOS Devido à complexidade do escoamento que se desenvolve, não é possível o cálculo analítico do coeficiente médio de transferência de calor, , em escoamentos transversos. hContudo, o resultado de trabalhos experimentais levados a cabo por Hilpert, no escoamentos de gases, e por Katz no escoamento de líquidos, permitiram estabelecer correlacções para estimar o valor de h nestes casos,

31Pr f

n

ff

dUCkhdNu

== ∞

ν (27)

Os valores das constantes, C e n, encontram-se na tabela 1. As propriedades requeridas na equação 27 são avaliadas para a temperatura do filme (temperatura média da camada limite térmica), conforme indicado pelo índice f.

Tabela 1 – Constantes para utilizar com a equação 27, em função de Ref, [1].

Ref C n

0.4 – 4 0.989 0.330

4 – 40 0.911 0.385

40 - 4x103 0.683 0.466

4x103- 4x104 0.193 0.618

4x104 - 4x105 0.0266 0.805

3.1 CILÍNDROS Fand mostrou que a tranferência de calor entre líquidos e cilíndros podia ser representada pela relação:

( ) 3.052.0 PrRe56.035.0 fffNu += para, 10-1<Ref<105 (28)

14

a relação anterior é válida, para o intervalo de Re definido, desde que não se verifique demasiada turbulência na fronteira livre. Contudo, por vezes é preferivel recorrer a expressões um pouco mais complexas, sobretudo se se utilizar o cálculo computaccional. Após a análise de diversos estudos, Eckert e Drake propuseram as seguintes relações:

( )25.0

38.05.0

PrPr

PrRe50.043.0

+=

w

fNu para, 1<Re<103 (29)

25.0

38.06.0

PrPr

PrRe25.0

=

w

fNu para, 103<Re<2x105 (30)

Para gases, a relação dos números de Prandtl pode ser desprezada, sendo as propriedades do fluido avaliadas para a temperatura do filme. No caso dos líquidos a relação dos números de Prandtl deve ser mantida e as propriedades do fluido avaliadas para a temperatura na fronteira livre do escoamento, T∞. Os resultados das equações 29 e 30 não deverão divergir dos da equação 27 em mais de 10%. Uma relação ainda mais detalhada foi proposta por Churchill e Bernstein,

( )

5485

4132

3121

282000Re1

Pr4.01

PrRe62.03.0

+

+

+=Nu (31)

para, 102<Re<107 e Pe>0.2

Os valores encontrados pela relação anterior são algo conservadores (por defeito) para números de Reynolds intermédios, 2x104<Re<4x105, razão pela qual, para esse intervalo se recomenda o uso da seguinte relação:

( )

+

+

+=21

4132

3121

282000Re1

Pr4.01

PrRe62.03.0Nu (32)

para, 2x104<Re<4x105 e Pe>0.2

As duas relações anteriores foram obtidas a partir de dados recolhidos com escoamentos de ar, água e sódio líquido.

15

Uma outra relação foi proposta por Whitaker:

( )25.0

4.0325.0 PrRe06.0Re4.0

+= ∞

w

Nuµµ (33)

para , 40<Re<105,

0.65<Pr<300 e 0.25<µ∞/µw<5.2

Todas as propriedades são avaliadas para a temperatura da fronteira livre, T∞, excepto µw, que é estimada para o valor da temperatura na parede, Tw. Para números de Peclet inferiores a 0.2, Nakai e Okazaki propõem a seguinte equação:

( )[ 121ln8237.0−

−= PeNu ] para, Pe<0.2 (34) As propriedades nas equações 31, 32 e 34 são avaliadas para a temperatura do filme.

3.2 ESFERAS

McAdams recomenda a seguinte relação para a transferência de calor que ocorre entre esferas e um escoamento gasoso:

6.0

37.0

== ∞

ff

dUkhdNu

ν para, 17<Re<7x104 (35)

Achenbach obteve relações aplicáveis para um maior intervalo de números de Reynolds, para escoamentos de ar com : 71.0Pr =

( ) 216.14 Re10325.02 −×++=Nu para, 100<Re<3x105 (36) e (37) 317293 Re101.3Re1025.0Re105430 −−− ×−×+×+=Nu para, 3x105<Re<5x106

16

Para escoamentos de líquidos em volta de esferas, o uso dos dados obtidos por Kramers conduzem à relação:

3.0

5.0

Pr68.097.0 fff

dUkhdNu

+== ∞

ν para, 1<Re<2x103 (38)

Vliet e Leppert propuseram uma expressão alternativa para a transferência de calor em esferas, inseridas no meio de um escoamento de água ou óleo:

( ) 3.025.0

54.0 PrRe53.02.1

+=

wdNu

µµ para, 1<Re<2x105 (39)

onde todas as propriedades são avaliadas para a temperatura da fronteira livre, excepto µw, que é avaliada para a temperatura superficial da esfera. Whitaker, após reunir todos os valores conhecidos, conseguiu chegar a uma única expressão a transferência de calor em volta de esferas, tanto para escoamentos de gases como de líquidos,

41

4.03221 Pr)Re06.0Re4.0(2

++= ∞

wddNu

µµ (40)

para, 3.5<Red<8x104 e 0.7<Pr<380

onde uma vez mais, todas as propriedades são avaliadas para a temperatura da fronteira livre, excepto µw, que é avaliada para a temperatura superficial da esfera. 3.3 CILINDROS DE SECÇÃO NÃO-CIRCULAR A tabela 2 apresenta o resultado de experiências levadas a cabo por Jakob, que recorreu à equação 27 para estabelecer correlações com os dados experimentais, tendo chegado aos valores tabelados para as constantes C e n,

17

Tabela 2 – Constantes para utilizar com a equação 27, para diferentes secções, [1].

Geometria Re C n

5x103 - 105 0.246 0.588

5x103 - 105 0.102 0.675

5x103 – 1.95x104

1.95x104- 105

0.160

0.0385

0.638

0.782

5x103 – 105

0.153 0.638

4x103 – 1.5x104

0.228 0.731

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4. ESCOAMENTOS INTERNOS A energia total transferida de, ou para, um fluido que se escoa no interior de uma conduta, pode ser expressa relativamente às temperaturas médias à entrada e à saída, por:

( )12

..

ffP TTcmQ −= (41)

Figura 5 – Analise da transferência de calor relativamente às temperaturas médias. admitindo um valor de cp aproximadamente constante ao longo de todo o comprimento . Para uma pequena secção dx , a energia transferida pode ser expressa por:

L

( ) ( )fwfP TTdxrhdTcmQd −== π2..

(42)

onde Tw e Tf são respectivamente: a temperatura na parede e a temperatura média do fluido. A transferência de calor verificada ao longo do comprimento pode também ser expressa por:

L

( )medfw TThAQ −=

. (43)

em que A representa a área total de transferência. Dado que tanto Tw como Tf podem variar ao longo do comprimento do tubo, é recomendável o recurso a um processo de cálculo do valor médio para o uso da equação 43. Nesta secção será dada atenção aos métodos de determinação do valor de . A análise da variação da temperatura em permutadores de calor não será objecto de estudo nesta fase.

h

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4.1 SECÇÕES CIRCULARES Uma expressão tradicional para o cálculo da transferência de calor, em escoamentos turbulentos plenamente desenvolvidos em tubagens lisas, é a recomendada por Dittus e Boelter:

nddNu PrRe023.0 8.0= (44)

As propriedades utilizadas nesta equação, são as obtidas para o valor médio da temperatura do fluido. O expoente n assume os valores:

{ fluidodooaquecimentnfluidodontoarrefecimen

,4.0,3.0

==

A equação 44 é válida para escoamentos turbulentos plenamente desenvolvidos em tubagens lisas, de fluidos com 0.6<Pr<100 e assumindo diferenças moderadas entre a temperatura do fluido e as paredes da conduta. Mais recentemente Gnielinski sugeriu uma nova expressão capaz de produzir melhores resultados para o caso de escoamentos turbulentos em tubagens lisas, que tem a forma:

4.08.0 Pr)100(Re0214.0 −=Nu (45) para, e 10 5.1Pr5.0 << 64 105Re ×<<

ou (46) 4.087.0 Pr)280(Re012.0 −=Nu para, 1 < e 3000 500Pr5. < 610Re << Se se verificarem grandes diferenças de temperatura no escoamento, é possível que se verifiquem variações apreciáveis nas propriedades dos fluidos, desde a parede do tubo até à região central do escoamento. Para levar em consideração as variações das propriedades, Sieder e Tate propuseram a seguinte relação:

14.03/18.0 PrRe027.0

=

wddNu

µµ (47)

Todas as propriedades são estimadas para a temperatura média do fluido, excepto µw, que é estimada para a temperatura da parede.

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As equações 46 e 47 aplicam-se apenas para o escoamento turbulento plenamente desenvolvido em condutas. Na região de entrada, o escoamento ainda não está desenvolvido, e para essa região Nusselt recomendou:

055.0318.0 PrRe036.0

=

LdNu dd para, 10<L/d<40 (48)

onde L é o comprimento do tubo e d o seu diâmetro. As propriedades na equação 48 são avaliadas para a temperatura média do fluido. As equações anteriores proporcionam alguma simplicidade, porém, graus de incerteza da ordem dos 25% são comuns. Petukhov desenvolveu uma expressão mais precisa, porém mais complexa, para escoamentos totalmente desenvolvidos em tubagens lisas,

( )

n

w

f

f

df

dc

c

Nu

−

+

=µµ

1Pr8

7.1207.1

PrRe8

3221 (49)

onde: n=0.11 para, Tw>Tf

n=0.25 para, Tw<Tf

e n=0 para fluxos de calor constantes ou para gases. e cf é o factor de atrito, que pode ser obtido graficamente (pelo diagrama de Moody) ou, no caso tubos lisos, a partir da seguinte expressão:

( ) 264.1Relog82.1 −−= dfc (50)

esta equação é válida para: 0.5<Pr<2000,

104<Re<5x106

e 408.0 <<w

f

µµ

Todas as propriedades são estimadas para T=(Tw+Tf)/2, excepto µw e µf. Para o caso de escoamentos laminares plenamente desenvolvidos e com temperaturas da parede constantes, Hausen apresentou a seguinte relação:

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( )( )[ ] 32PrRe04.01

PrRe0668.066.3

d

dd Ld

LdNu

++= (51)

O coeficiente de transferência de calor calculado a partir desta equação é o valor médio verificado ao longo do tubo. Notar que o número de Nu tende para um valor constante igual a 3.66, quando o comprimento do tubo tende para infinito. O perfil de temperaturas estará plenamente desenvolvido quando o námero de Nu tender para uma constante.

Sieder e Tate, propuseram uma expressão mais simples também para a transferência de calor em escoamentos laminares:

( )14.031

31PrRe86.1

=

wdd L

dNuµµ (52)

Nesta formula, o coeficiente de transferência de calor médio obtido, é baseado na média aritmética das diferenças de temperatura à entrada e à saída e todas as propriedades do fluido são estimadas para a temperatura média deste, excepto µw, a qual é estimada para o valor da temperatura na parede. A equação 52 não pode ser utilizada para tubos muito compridos, pois conduziria a valores de hd iguais a zero. Segundo estudos de Katz, será válida para:

10PrRe >Ld

d (53)

O produto dos números Red e Pr, presente nas equações relativas a escoamentos laminares, é o chamado número de Peclet:

kUdc

Pe pd

ρ== PrRe (54)

O cálculo dos coeficientes de transferência de calor em escoamentos laminares é normalmente complicado devido à presença dos efeitos da convecção natural, os quais são sobrepostos aos efeitos da convecção forçada. Todas as correlações empíricas anteriormente apresentadas são válidas para tubos lisos.

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4.2 SECÇÕES NÃO-CIRCULARES

Se o canal através do qual se verifica o escoamento não for uma secção circular, é recomendável que as correlações para a transferência de calor sejam baseadas no diâmetro hidraúlico, Dh, definido como:

PADh

4= (55)

Em que A é a secção transversal ao escoamento e P o perímetro molhado. O diâmetro hidraúlico deve ser usado no cálculo do Nu e Re. Apesar do uso do conceito do diâmetro hidraúlico conduzir com frequencia a resultados satisfatórios na determinação do trabalho de atrito e da tranferência de calor, não é contudo infalível.

Shah e London compilaram informações relativas ao trabalho de atrito e à transferência de calor de um fluido, para escoamentos laminares plenamente desenvolvidos em condutas de diferente secção, e algumas das relações resultantes são apresentadas na tabela 3. Na tabela os números de Nu e Re são baseados no diâmetro hidraúlico da secção transversal,

Tabela 3 – Viscosidade dinâmica de alguns líquidos e ar a 20ºC, [2].

Fluido µ, [kg/ms]

Glicerina 1.49

Óleo de motor 0.80

Álcool etílico 1.20x10-3

Água 1.06x10-3

Freon-12 2.62x10-4

Ar 1.82x10-5

O gráfico da 6 apresenta valores de Nu em função do número de Graetz, Gz, válidos para a região de entrada de escoamentos laminares em tubos de secção circular.

xdGz PrRe= (55)

Os efeitos de entrada no caso dos escoamentos turbulentos são mais complexos. Kays relacionou a influência de diferentes valores de Re e Pr, apresentando na figura 7 um

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resumo das relações obtidas entre o valor de Nusselt na região de entrada, Nux, e o valor de Nusselt na região em que o escoamento já se encontra plenamente desenvolvido, Nu∞.

Figura 6 – Analise da transferência de calor relativamente às temperaturas médias [1].

Figura 7 – Analise da transferência de calor relativamente às temperaturas médias [1]. em que: Nuh – é o Nu médio para um fluxo de calor constante na direcção do

escoamento com Tw constante em cada secção. NuT – é o Nu médio para Tw constante.

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BIBLIOGRAFIA [1] – Holman, J.P., “Heat Transfer – 8th edition”, McGraw-Hill, 1997. [2] – Çengel, Y.A., “Heat Transfer – A practical Approach”, McGraw-Hill, 1998. [3] – Bejan, A., “Heat Transfer”, John Wiley & Sons, Inc., Singapore, 1993. [4] – Incropera, F.P. e Witt, D.P., “Fundamentos de transferência de Calor e Massa – 3ª edição”, Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 1992. [5] – Ozisik, M.N., “Transferência de Calor – um Texto Básico”, Editora Guanabara, Rio de Janeiro, 1990. [6] – Ražnjević, K., “Handbook of Thermodynamic Tables – 2nd edition”, Begell House, New York, 1995. [7] – Welty, J.R., “Engineering Heat Transfer – SI Version”, John Wiley & Sons, Inc., USA, 1978.

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