Control de calidad fuera de línea, Diseño de Parámetros, y el Método TaguchiRAGHU N. KACKAR

AT&T Bell Laboratories, Holmdel, NJ 07733

Resumen del Artículo

Los métodos de control de calidad fuera de línea son actividades de control de calidad y de costo realizadas en las etapas de diseño y de proceso del producto para mejorar la confiabilidad y capacidad de fabricación del producto, y para reducir los costos de desarrollo y vida útil del producto. El Diseño de parámetros es un método de control de calidad fuera de línea. En la etapa de Diseño del producto el objetivo del diseño de parámetros es identificar las características de la configuración de diseño del producto que hacen el rendimiento (funcionamiento) del producto menos sensible a los efectos de las variables ambientales, deterioro y variaciones en la fabricación. Puesto que el diseño de parámetros reduce la variación de rendimiento (variabilidad funcional) mediante la reducción de la influencia de las fuentes de variación en lugar de controlarlos, es una técnica muy rentable para mejorar la calidad del producto. Este documento presenta los conceptos de diseño de parámetros y control de calidad fuera de línea y luego discute el método Taguchi para la realización de experimentos de diseño de parámetros.

Palabras claves

Estadísticas, confiabilidad, diseño del producto, variación, arreglo ortogonal (OA), control de calidad fuera de línea, diseño de experimentos (DOE), método Taguchi.

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IntroducciónUn fabricante japonés de azulejo cerámico sabía en 1953 que es más costoso controlar las causas de las variaciones de fabricación, que hacer un proceso insensible a estas variaciones. La empresa de azulejos Ina (Ina Tile Company) sabía que una distribución desigual de la temperatura en el horno provocaba variación en el tamaño de los azulejos. Puesto que la distribución desigual de la temperatura fue una causa asignable de variación, un enfoque de control de calidad del proceso habría sido idear métodos para controlar la distribución de temperatura. Este enfoque habría aumentado el costo de fabricación. La compañía quería reducir la variación de tamaño sin aumentar el costo. Por lo tanto, en lugar de controlar la distribución de la temperatura han intentado encontrar una formulación de azulejo que reduzca el efecto de la distribución desigual de la temperatura sobre la uniformidad de azulejos. A través de un experimento diseñado, la empresa de azulejo “Ina” encontró un método rentable para reducir la variación del tamaño de azulejo causada por la distribución desigual de la temperatura en el horno. La compañía encontró que aumentando el contenido de cal en la formulación de azulejo de 1% a 5% se reduce la variación de tamaño de azulejo por un factor de diez. Este descubrimiento fue un gran avance para la industria de la cerámica.

Una técnica como ésta que reduce la variación mediante la reducción de la sensibilidad de un diseño de ingeniería hacia las fuentes de variación, en lugar de controlar estas fuentes, se llama diseño de parámetros. En este ejemplo, que apareció en un libro japonés «Historias Frontera en la industria» publicada por compañía Diamond Sha Publishing en Japón, muestra que el diseño de parámetros es una técnica rentable para mejorar los procesos de manufactura.

Un uso más importante del diseño de parámetros es mejorar el rendimiento (funcionamiento) en el ámbito de un producto. El rendimiento (funcionamiento) en el ámbito de un producto se ve afectado por variables ambientales, deterioro del producto y las imperfecciones de la fabricación. El diseño de parámetros puede utilizarse para hacer un diseño de producto robusto contra estas fuentes de variación y por lo tanto mejorar el rendimiento (funcionamiento) en el ámbito.

La variación en el rendimiento de un producto durante el ciclo de vida del producto es un aspecto importante de la calidad del producto. Los métodos de control de calidad fuera de línea reducen la variabilidad de rendimiento (variabilidad funcional) y por lo tanto el costo de la vida útil del producto. Una medida cuantitativa de la variabilidad de rendimiento es el valor esperado de las pérdidas monetarias durante el ciclo de vida del producto debido a esta variación. Los Experimentos de diseño de parámetros identifican las configuraciones de las características de diseño del producto que minimicen las pérdidas esperadas estimadas. Una estadística de rendimiento (razón señal ruido) es un criterio para comparar configuraciones diferentes de las características del diseño de producto que toma aprovecho del conocimiento previo de la ingeniería del producto y de la función de pérdida. Taguchi recomienda el uso de arreglos ortogonales para la planificación de experimentos de diseño de parámetros. Los experimentos de diseño de parámetros también pueden utilizarse para identificar las configuraciones de las variables del proceso que minimicen el efecto de las variaciones de fabricación en el rendimiento del proceso.

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Variabilidad de Rendimiento (Variabilidad Funcional)La Sociedad Americana para el Control de Calidad ASQC (1983), define la calidad como "la totalidad de propiedades y características de un producto o servicio que tenga en su capacidad satisfacer [al usuario] necesidades dadas". Las características de rendimiento (características funcionales) son las características finales de un producto que determinan el rendimiento del producto en la satisfacción de las necesidades de un usuario. La nitidez de la imagen en un televisor es un ejemplo de una característica de rendimiento. La mayoría de los productos tiene muchas características de interés para el usuario. Con el fin de determinar el grado de satisfacción con una característica de rendimiento, debe conocerse el estado ideal de la característica de rendimiento desde el punto de vista del cliente. Este estado ideal se llama el valor objetivo.

Todas las especificaciones objetivo de las características de rendimiento deben expresarse en términos de niveles nominales y las tolerancias alrededor de los niveles nominales. Es una práctica generalizada en la industria expresar los valores objetivos de las características de rendimiento en términos de especificaciones de intervalo solamente. Esta práctica erróneamente transmite la idea de que un usuario permanece igualmente satisfecho para todos los valores de las características de rendimiento en el intervalo de especificación y luego de repente se convierte completamente insatisfecho en el momento en que el valor funcional se desliza fuera del intervalo de especificación. El valor objetivo debe definirse como el nivel ideal de la característica de rendimiento, y puede o no puede ser el punto medio del intervalo de tolerancia. Por ejemplo, si "porcentaje de impureza" es la característica funcional y (0, a) es el intervalo de tolerancia para un cierto a, el valor objetivo es cero.

El grado de variabilidad de rendimiento - la cantidad por la cual el rendimiento de un producto manufacturado se desvía de su valor objetivo durante la vida útil del producto bajo condiciones de operación diferentes y en diferentes unidades del producto - es un aspecto importante de la calidad del producto. Cuanto menor sea la variabilidad de rendimiento alrededor del valor objetivo, mejor será la calidad. Por ejemplo, un televisor cuya calidad de imagen varía con las condiciones climáticas tiene baja calidad. ¿Qué siente un cliente si su automóvil, con un ciclo de vida previsto de 100.000 kilómetros, funciona sólo 30.000 millas antes de desmoronarse? Un producto de buena calidad rinde en el nivel objetivo consistentemente en toda la vida útil del producto y en todas las condiciones diferentes de operación. El grado de satisfacción de los clientes es inversamente proporcional al grado de variabilidad de rendimiento. Juran (1979, capítulo 2) define varios aspectos de la calidad del producto: la calidad del diseño, la calidad de la conformidad y confiabilidad. La variabilidad de rendimiento de un producto es determinado por estos tres aspectos importantes de calidad.

Las principales causas de la variabilidad de rendimiento de un producto son: variables ambientales, el deterioro del producto, y las imperfecciones de fabricación. Las fluctuaciones en las variables ambientales tales como la temperatura, la humedad, y el suministro de energía eléctrica puede causar variación en el rendimiento del producto. El deterioro del producto con la edad es una causa importante de la variabilidad de rendimiento. Los ejemplos más comunes de deterioro del producto son: aumento en la resistencia eléctrica de un resistor, pérdida de elasticidad de los resortes, y el desgaste de las piezas móviles en un

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motor debido a la fricción. Además, es inevitable en un proceso de fabricación tener alguna variación entre diferentes unidades de un producto.

Aunque todas las etapas del ciclo de desarrollo del producto afectan la calidad y el costo de un producto manufacturado, son los diseños tanto del producto como del proceso de fabricación que desempeñan papeles cruciales en la determinación del grado de variabilidad de rendimiento y el costo de fabricación. El Ciclo de desarrollo de un producto se puede dividir en tres etapas separadas, pero superpuestas: diseño del producto, diseño del proceso, y la fabricación. En la etapa del diseño del producto los ingenieros desarrollan las especificaciones de diseño del producto completo, incluyendo la especificación de materiales, componentes, configuración y propiedades. A continuación, los ingenieros de procesos diseñan un proceso de fabricación. Puede consistir en la creación de un nuevo proceso o modificación de un proceso existente para producir el nuevo producto. El departamento de fabricación a continuación, utiliza el proceso de fabricación para producir muchas unidades del producto. Como se indica en la Tabla 1 (condensado a partir de Taguchi (1978), y Kackar y Phadke (1981)) las contramedidas contra la variación de rendimiento causados por las variables ambientales y el deterioro del producto puede ser construido en el producto sólo en la etapa de diseño del producto.

TABLA 1. Etapas de desarrollo del producto en el que las contramedidas (medidas preventivas) contra varias fuentes de variación pueden ser construidas en el

producto.

Etapas de desarrollo del

producto

Fuentes de variación

Variables ambientales

Deterioro del Producto

Variaciones de fabricación

Diseño del Producto

O O O

Diseño del Proceso

X X O

Fabricación X X O

O – Posible contramedida

X – Imposible contramedida

Los ingenieros de fabricación son conscientes de que es caro controlar un proceso de fabricación que es sensible a las variaciones de fabricación. Además, el costo de detección y corrección de las imperfecciones de la fabricación aumentan rápidamente mientras el producto se mueve a lo largo de una línea de fabricación. Suele ser más barato corregir las imperfecciones de fabricación en un producto inmediatamente después de que se forman estas imperfecciones. Debido a la creciente complejidad de la industria moderna y de los productos de consumo, los diseños de; producto y de; proceso desempeñan un papel cada vez mayor en la determinación de la calidad y el costo de un producto manufacturado.

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Sin embargo, los métodos tradicionales de control de calidad como diagramas de causa y efecto, estudios de capacidad de proceso, control de calidad de proceso, gráficos de control, y gráficos de Bayes empíricas (véase Hoadley (1981)) se concentran casi exclusivamente en la fabricación. Estas actividades de control de calidad en la etapa de fabricación, que se llevan a cabo para mantener el proceso de fabricación en control estadístico y para reducir las imperfecciones de fabricación en el producto, son los métodos de control de calidad en línea.

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Control de calidad fuera de líneaLos Métodos de control de calidad fuera de línea son actividades de control de calidad y de costo realizados en las etapas de diseño del producto y del proceso en el ciclo de desarrollo del producto. El objetivo general de las actividades de control de calidad fuera de línea es mejorar la confiabilidad y la capacidad de fabricación del producto, y reducir los costos de desarrollo y vida útil del producto. Los fabricantes de productos de alta calidad utilizan métodos de control de calidad fuera de línea como revisiones de diseño, análisis de sensibilidad, pruebas de prototipo, pruebas de vida acelerada y estudios de confiabilidad. Sin embargo, estos métodos no son tan bien desarrollados ni tan ampliamente aplicados como los métodos de control de calidad en línea. La industria necesita métodos de control de calidad fuera de línea bien investigada. En particular, la industria necesita métodos científicos para identificar las especificaciones de diseño del producto y del proceso que reduzcan el grado de variabilidad de rendimiento y el costo de fabricación.

Al igual que con las características de rendimiento, todas las especificaciones de las características de diseño del producto y del proceso deben expresarse en términos de valores nominales ideales y las tolerancias alrededor de estos valores nominales. Se trata de una práctica generalizada en la industria expresar estas especificaciones en términos de intervalos de tolerancia solamente. Esta práctica puede engañar a un fabricante en la producción de productos cuyas características están apenas dentro de los intervalos de tolerancia. Tales productos tienen mala calidad y confiabilidad. Incluso si todas las características de un producto están dentro de sus intervalos de tolerancia, el producto no puede rendir satisfactoriamente debido a las interacciones entre las características del producto. Por ejemplo, si el tamaño de una puerta de coche está cerca de su límite de tolerancia inferior y el tamaño del marco de la puerta está cerca de su límite de tolerancia superior, la puerta no puede cerrar correctamente. Un producto rinde mejor cuando todas las características del producto están en sus valores ideales. Además, el conocimiento de los valores ideales de las características de diseño del producto y del proceso y el conocimiento de pérdida debido a la desviación de estos valores ideales fomenta la mejora continua de la calidad.

Taguchi (1978) ha elaborado un enfoque en tres pasos para asignar valores nominales y tolerancias a las características de diseño del producto y del proceso: diseño de sistemas, diseño de parámetros y el diseño de tolerancias. El diseño de sistema es el proceso de aplicar los conocimientos científicos y de ingeniería para producir un diseño prototipo funcional básico. El modelo prototipo define la configuración inicial de las características de diseño del producto o del proceso.

El diseño de parámetros es una investigación realizada para identificar la configuración que minimiza (o al menos reduce) la variabilidad de rendimiento. Un producto o proceso puede rendir con su función prevista en muchas configuraciones de sus características de diseño. Sin embargo, la variación en la característica de rendimiento puede cambiar con diferentes configuraciones. Esta variación aumenta ambos costos de fabricación y vida útil del producto. El término diseño de parámetros proviene de una tradición de ingeniería de referirse a las características del producto como parámetros del producto. Un ejercicio para identificar la configuración de parámetros óptimo es por lo tanto llamado diseño de parámetros.

El diseño de tolerancias es un método para determinar tolerancias que minimizan la suma de costos de fabricación y de vida útil del producto. El paso final en la

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especificación de diseños del producto y del proceso es determinar tolerancias alrededor de la configuración nominal identificada por el diseño de parámetros. Sigue siendo una práctica común en la industria asignar tolerancias por convención no científica. Las tolerancias que son demasiado angostas aumentan el costo de fabricación y las tolerancias que son demasiado anchas aumentan la variabilidad de rendimiento y, por lo tanto, el costo de la vida útil de un producto.

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Pérdida EsperadaLa identificación óptima de la configuración de parámetros requiere que se especifique un criterio que se va a optimizar. Uno de esos criterios es la pérdida esperada - el valor esperado de pérdidas monetarias que un usuario arbitrario del producto probablemente sufrirá en un tiempo arbitrario durante la vida útil del producto debido a la variación de rendimiento. Una medida del grado de la variabilidad de rendimiento es la pérdida esperada. El concepto de pérdida esperada hace que el problema de la reducción de la variabilidad de rendimiento concrete. Esto también proporciona una base común para comparar variaciones en características de rendimiento diferentes.

Sea Y un valor de la característica de rendimiento de interés y supongamos que el valor objetivo de Y es τ . El valor de Y puede ser diferente de τ tanto durante la vida útil del producto y a través de las diferentes unidades del producto. En términos estadísticos Y es una variable aleatoria con cierta distribución de probabilidad (los parámetros de la distribución de probabilidad de Y son las configuraciones nominales de las características de diseño del producto). Las variaciones en Y causan pérdidas para el usuario del producto. Sea l(Y ) representa la pérdida en términos de dólares sufridas por un usuario arbitrario del producto en un tiempo arbitrario durante la vida útil del producto debido a la desviación de Y desde τ . Por lo general, es difícil determinar la forma real de l(Y ) , pero para muchas características de rendimiento, una aproximación cuadrática para l(Y ) representa adecuadamente las pérdidas económicas debidas a la variabilidad de rendimiento. (El uso de la pérdida cuadrática no es nuevo. En efecto, la pérdida cuadrática es la base de la teoría cuadrada mínima fundada por Gauss en 1809.) La función de pérdida cuadrática más simple es

l (Y )=K (Y−τ )2 (1)

donde K es una constante (véase la Figura 1). La constante K desconocida puede determinarse si l (Y ) es conocido para cualquier valor de Y. Supongamos que (r−∆ , r+∆ ) es el intervalo de tolerancia del cliente. Si un producto rinde insatisfactoriamente cuando Y se desliza fuera de este intervalo, y el costo para el cliente de reparar o de desechar el producto es A dólares, entonces de la ecuación (1) A=K ∆2 y K=A /∆2 .

El intervalo de tolerancia del fabricante (r−δ , r+δ ) también puede ser obtenida a partir de la función de pérdida (1). Supongamos que antes de que un producto sea despachado el costo para el fabricante de la reparación de un artículo que excede los límites de tolerancia de los clientes es B dólares. Entonces

B=( A /∆2 ) (Y−τ )2

Y=τ ±( BA )12 ∆

y

δ=( BA )12 ∆

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Debido a que B es generalmente mucho menor que A, el intervalo de tolerancia del fabricante será más estrecho que el intervalo de tolerancia del cliente (véase la Figura 1).

Figura1. Función Pérdida

Al tomar la esperanza de la ecuación (1) con respecto a la distribución de Y obtenemos la pérdida esperada

L=E [ l (Y ) ]=KE [ (Y−τ )2 ] (2)

La esperanza en la ecuación (2) es definida con respecto a la distribución de Y, tanto durante la vida útil del producto y a través de los distintos usuarios de las unidades del producto.En algunas situaciones, la función de pérdidal (Y ) no es simétrica alrededor τ . Este sería el caso, por ejemplo, si la característica funcional Y tiene una distribución no negativo y el valor objetivo de Y es cero. Una función de pérdida cuadrática asimétrica tiene la forma

l (Y )={K1 (Y−τ )2 si Y ≤ τK2 (Y−τ )2 siY >τ

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Las constantes desconocidas K1 y K2 pueden determinarse si l (Y ) es conocido por un valor de Y por debajo de τ y por un valor de Y sobre τ . Supongamos (r−∆1 , r+∆2 )es el intervalo de tolerancia del cliente y el costo para el cliente de reparar es A1 dólares cuando Y cae por debajo der−∆1 y A2 dólares cuando Y se eleva por encima der+∆2. Entonces K1=A1/∆1

2 y K2=A2/∆22. Tomando la esperanza de la

ecuación (3) da como resultado la pérdida esperada

L=E [ l (Y ) ]=K1 P1E { (Y−τ )2|Y ≤ τ }+K 2P2 E {(Y−τ )2|Y >τ } (4)

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DondeP1=Pr [Y ≤ τ ] y P2=1−P1. Si Y es no negativo and τ=0 ; luego K1=0 , K2=K (por decir), la función perdida se reduce a

l (Y )=K Y 2 si Y ≥0 (5)

y la pérdida esperada (4) se reduce a

L=KE [Y 2 ] (6)

las perdidas esperadas (2), (4), y (6) pueden estimarse si una muestra aleatoria de la distribución de Y puede ser obtenido.

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Diseño de parámetros para mejorar el diseño de productos

El Diseño de parámetros es una investigación realizada para identificar la configuración de las características de diseño de productos que minimicen la pérdida esperada. La mayoría de las aplicaciones de diseño de parámetros requieren algún tipo de experimentación. Estos experimentos pueden ser tanto experimentos físicos o informáticos basados en ensayos de simulación. Debido a los avances en las herramientas de simulación por ordenador con ayuda, los experimentos de los parámetros de diseño para la mejora del diseño de producto se hace a menudo con un ordenador.

El Diseño de parámetros se basa en la clasificación de las variables que afectan al rendimiento de un producto en dos categorías: el diseño parámetros y las fuentes de ruido. Los parámetros de diseño son las características de diseño de productos cuya configuración nominal puede ser especificado por el diseñador de productos. Un vector de la configuración de los parámetros de diseño define una especificación de diseño de productos y viceversa. Los valores reales de los parámetros de diseño en un producto manufacturado pueden desviarse de los valores nominales. Las fuentes de ruido son todas aquellas variables que causan variación en el rendimiento tanto en el ciclo de vida de un producto y en las diferentes unidades del producto.

Categorías de ruidoLas fuentes de ruido se pueden clasificar en dos categorías: fuentes externas de ruido y fuentes internas de ruido. Las fuentes externas de ruido son las variables externas a un producto que afectan el desempeño del producto. Ejemplos comunes son: las variaciones en las variables ambientales tales como la temperatura, la humedad, el polvo y las vibraciones; y variaciones humanas en la utilización del producto. Las Fuentes internas de ruido son las desviaciones de las características reales de un producto fabricado a partir de los valores nominales correspondientes. Las principales fuentes de ruido internos son: imperfecciones de fabricación y el deterioro del producto.

A veces, las fuentes externas de ruido afectan el rendimiento de un producto indirectamente mediante el aumento de las desviaciones de las características del producto real desde la configuración nominal. Por ejemplo, la temperatura y la humedad pueden hacer que un producto se deteriore más rápido. Estas desviaciones son fuentes internas de ruido. Por lo tanto, si el rendimiento de un producto es insensible a las fuentes internas de ruido, también será insensible a las fuentes externas de ruido que afecten el rendimiento por medio de aumentar el nivel de las fuentes internas de ruido.

No todas las fuentes de ruido pueden ser incluidos en un experimento de diseño de parámetros debido a limitaciones físicas y debido a la falta de conocimiento. Los factores de ruido son las fuentes de ruido que pueden ser incluidos en un experimento de diseño de parámetros. Los factores de ruido deben representar las fuentes de variación que afectan al rendimiento de un producto en el campo. El Diseño de parámetros es posible porque los efectos de los factores de ruido interno y externo pueden cambiar con la configuración de los parámetros de diseño. Como se ilustra mediante los siguientes ejemplos de Taguchi y Wu (1980), es posible identificar la configuración que reduce la variación de rendimiento.

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Ejemplos

Ejemplo 1: El producto es un tipo de caramelo producido por una compañía japonesa en 1948. El caramelo es una mezcla de más de diez ingredientes, pero es principalmente azúcar. La característica de rendimiento de interés era la plasticidad del caramelo. La plasticidad del caramelo producida por la compañía era muy sensible a la temperatura ambiental, como se muestra en la Figura 2. Los caramelos cuya plasticidad eran menos sensibles a la temperatura ambiental se consideran de mayor calidad. Un experimento de diseño de parámetros se llevó a cabo por la empresa con el fin de desarrollar una formulación del caramelo cuya plasticidad fuera menos sensible a la temperatura ambiental. La mejora fue posible debido a que el efecto del factor de ruido externo de la temperatura en la plasticidad de caramelo cambió con la formulación de caramelo.

FIGURA 2. Efecto de la temperatura sobre la plasticidad del Caramelo

Ejemplo 2: Considere un circuito eléctrico. Supongamos que la característica de rendimiento de interés es la tensión de salida del circuito y su valor objetivo es y0. Supongamos que la tensión de salida del circuito está en gran parte determinada por la ganancia de un transistor X en el circuito y el diseñador de circuito está en la libertad de elegir el valor nominal de este transistor. Supongamos también que el efecto de la ganancia del transistor en el voltaje de salida es no lineal, como se muestra en la Figura 3. Con el fin de obtener una tensión de salida de y0, el diseñador del producto puede seleccionar que el valor nominal de la ganancia del transistor sea x0. Si la ganancia del transistor real se desvía del valor nominal x0, la tensión de salida se desviará de y0. La ganancia del transistor puede desviarse de

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x0 debido a las imperfecciones de fabricación en el transistor, debido al deterioro durante el período de vida del circuito, y debido a las variables ambientales. La variación de la ganancia del transistor real alrededor de su valor nominal es un factor de ruido interno en el circuito. Si la distribución de este factor de ruido interno es como se muestra en la Figura 3, la tensión de salida tendrá un valor medio igual a y0, pero con una gran varianza. Por otro lado, si el diseñador de circuitos selecciona el valor nominal de la ganancia del transistor a ser x1, la tensión de salida tendrá una variación mucho menor. Pero el valor medio de la tensión de salida y1 asociado con el valor nominal x1 está lejos del valor objetivo y0.

FIGURA 3. Efecto de la ganancia en la salida de voltaje.

Supongamos ahora que hay otro componente en el circuito que tiene un efecto lineal en la tensión de salida y el diseñador de circuitos está en la libertad de elegir el valor nominal de este componente. El diseñador del producto puede entonces ajustar el valor de este componente para desplazar el valor medio de tensión de salida desde y1 al valor objetivo y0. El ajuste del valor medio de la característica de rendimiento a su valor objetivo es generalmente un problema de ingeniería mucho más fácil que la reducción de la variación de rendimiento. Desde el punto de vista de la tensión de salida, cambiando la ganancia del transistor nominal de x0 a x1, mejora el diseño del circuito. Por supuesto, este cambio no necesariamente mejoraría el diseño del circuito si estuviera acompañada por un aumento en la varianza de otra característica de rendimiento del circuito.

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FIGURA 4. Un ejemplo de un Plan de Experimento de Diseño de Parámetros.

Experimento de Diseño de parámetrosUn experimento de diseño de parámetros consta de dos partes: una matriz de diseño y una matriz de ruido. Las columnas de una matriz de diseño representan los parámetros de diseño, las entradas en la configuración de pruebas columnas de información incluye los parámetros de diseño, y cada fila de la matriz (también llamada una ejecución de prueba) representan un diseño de producto. Las columnas de una matriz de ruido representan los factores de ruido, y las filas de la matriz representan las diferentes combinaciones de los niveles de los factores de ruido. Un experimento de diseño de parámetros completo se compone de una combinación de matrices de diseño y de ruido como se indica en la Figura 4. Si la matriz de diseño tiene m filas y la matriz de ruido tiene n filas, el número total de filas en el experimento de diseño de parámetros combinado es de m X n. Para cada una de las m filas de la matriz de diseño, las n filas de la matriz de ruido proporcionan n o más observaciones repetidas en la característica de rendimiento. Los niveles de los factores de ruido y la matriz de ruido se eligen de modo que estas observaciones repetidas sean representativas de los efectos de todos los niveles posibles de los factores de ruido. Las observaciones repetidas sobre la característica de rendimiento de cada ejecución de prueba en la matriz de diseño se usan después para calcular un criterio llamado una estadística de rendimiento. Los m valores de la estadística de rendimiento asociado con las m ejecuciones de prueba en la matriz de diseño se utiliza luego para predecir la configuración de los parámetros de diseño que minimizan la pérdida esperada.

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Estadística de rendimientoUna estadística de rendimiento estima el efecto de los factores de ruido en la característica de rendimiento. Una estadística rendimiento eficiente toma provecho de la ingeniería del conocimiento previo sobre el producto, la función de pérdida, y la distribución de la característica de rendimiento. Sea θ=(θ1 ,θ2 , θ3 ,…. ,θk ) representa los parámetros de diseño y sea ω=(ω1 ,ω2 ,ω3 ,…. ,ωk ) representa los factores de ruido incluidos en el experimento de diseño de parámetros. Suponemos que la característica de rendimiento Y es una función de θ y ω, es decir, Y=f (θ ,ω) Los parámetros de diseño θ son los parámetros de la distribución de Y, y para un determinado θ los factores de ruido generan la distribución.Sean

n (θ )=E [Y ]y

σ 2 (θ )=E [{Y−n (θ ) }2 ]

Representan la media y la varianza de Y, respectivamente. Con este modelo, las pérdidas esperadas están en función de θ.

Una medida de rendimiento es una función de θ elegido de modo que la maximización de la medida de rendimiento, junto con los ajustes de ingeniería posibles minimice la pérdida esperada. La medida de rendimiento se utiliza entonces como un criterio para compara los diferentes ajustes de los parámetros de diseño. Una medida de rendimiento eficiente toma provecho de la ingeniería del conocimiento sobre el producto (para simplificar, posiblemente la medida) y la función de pérdida. La pérdida esperada es en sí misma una medida de desempeño, sin embargo, a veces es más complicado de lo necesario, ya que no se aprovecha de los conocimientos de ingeniería. Diferentes diseños de ingeniería pueden dar lugar a medidas de rendimiento diferentes. Taguchi nos ha dicho que él ha definido más de 60 diferentes razones señal ruido (estimaciones de medidas de rendimiento) para aplicaciones de ingeniería del diseño de parámetros. Si bien una medida de rendimiento es una función de θ, en general, la función no se conoce. Debe, por tanto, ser estimado, y es esta estimación que se utiliza como el criterio para ser optimizado. Utilizamos el término estadística de rendimiento para una estimación estadística de una medida de rendimiento, mientras que Taguchi (1976, 1977) utiliza el término razón señal/ruido. (Tabla 2 muestra la correspondencia entre las terminologías de Taguchi y este artículo.)Cuando la característica de rendimiento Y es una variable continua, la función de pérdida l (Y ) toma generalmente una de tres formas, dependiendo de si más pequeño es mejor, más grande es mejor, o un valor objetivo específico es el mejor. Para los dos primeros casos se discutirán las estadísticas de rendimiento recomendados por Taguchi. En el tercer caso vamos a mostrar cómo dos situaciones diferentes de ingeniería (una ingeniería considerada por Taguchi y uno no) dan lugar a estadísticas de rendimiento diferentes.Sea

MSE (θ )=E [ {Y−τ }2 ]16

B (θ )=n (θ )−τy

ε (θ )=[n (θ ) ]2/σ2 (θ )representan el error cuadrático medio, el sesgo, y el cuadrado de la inversa del coeficiente de variación de la distribución de Y.

TABLA 2. La correspondencia entre las terminologías de Taguchi y este artículo.

Este Artículo TaguchiPerformance variation

Variación de rendimiento

Functional variation

Variación Funcional

Performance statistic

Estadística de rendimiento

Signal to noise ratio

Razón señal/ruido

Design parameters

Parámetros de diseño

Control Factors

Factores de control

External noise factors

Factor del ruido externo

Outer noise factors

Factor del ruido externo

Integral noise factors

Factor del ruido interno

Inner noise factors

Factor del ruido interno

Design matrix

Matriz de diseño

Inner Array

Arreglo interno

Noise matriz

Matriz de ruido

Outer array

Arreglo externo

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Menor es mejorLa característica de rendimiento Y tiene una distribución no negativo, el valor objetivo es τ=0, y la función de pérdida l (Y ) aumenta a medida que Y aumenta de cero. En este caso la pérdida esperada (6) es proporcional a

MSE (θ )=E [ {Y−0 }2 ]=E [Y ]2

y Taguchi (1976, 1977) recomienda el uso de la medida de desempeño

A (θ )=−10 logMSE (θ ) (7)

Cuanto mayor sea la medida de rendimiento, el menor es el error cuadrático medio. Sea y1 , y2 , y3 ,…, yn aproxima una muestra aleatoria de la distribución de Y para un θ dado. La medida de rendimiento (7), puede estimarse por la estadística de rendimiento

Z (θ )=−10 log (∑ y i2/n )2 (8)

La estadística de rendimiento (8) es el método de estimador de momentos de (7).

Mayor es mejorLa característica de rendimiento Y tiene una distribución no negativo, el valor objetivo es infinito, y la función de pérdida l (Y ) disminuye a medida que Y aumenta de cero. Esta es una aplicación particular de el menor es el mejor caso cuando el recíproco1/Y como la característica de rendimiento. El valor objetivo de 1/Y es cero, la medida de rendimiento (7) se reduce a

A (θ )=−10 logMSE (θ )

dondeMSE (θ )=E [ (1/Y )2 ]

y la estadística de rendimiento (8) se reduce a

Z (θ )=−10 log (∑ (1/ y i2 )/n)2 (8)

Un valor objetivo específico es mejorLa característica de rendimiento Y tiene un valor de objetivo específico τ=τ0, y la

función de pérdida l (Y ) aumenta a medida que Y se desvía Y de τ 0 en cualquier dirección. En este caso la pérdida esperada (2) es proporcional a

MSE (θ )=E [ (Y−τ0 )2 ], y

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MSE (θ )=σ 2 (θ )+[B (θ ) ]2

¿σ 2 (θ )+[n (θ )−τ 0 ]2

Varianza No Vinculado con la media

En muchas aplicaciones de ingeniería σ (θ ) y n (θ ) son funcionalmente independientes entre sí, y el sesgo B (θ ) se puede reducir de forma independiente de la varianza σ 2 (θ ). A menudo, esto se puede lograr simplemente ajustando uno o más parámetros de diseño llamados parámetros de ajuste. Los parámetros de ajuste son parámetros de diseño especiales que pueden ser ajustados fácilmente para reducir un componente (que se refiere como el componente ajustable) de la variación total sobre el valor objetivo sin afectar al resto de componente no ajustable de la variación total. En la situación actual, B (θ ) es el componente ajustable del error cuadrático medio, σ 2 (θ ) es el componente no ajustable del error cuadrático medio, y los parámetros de ajuste son estos parámetros de diseño que tienen un gran efecto sobre n (θ ) , y por lo tanto B (θ ) , pero casi ningún efecto en σ 2 (θ ). Cuando dichos parámetros de ajuste están disponibles, B (θ ) puede ser reducido independiente de σ 2 (θ ).Por lo tanto, en esta situación el problema real es reducir σ 2 (θ ). Así que una medida de rendimiento eficiente debe ser una función monótona de σ 2 (θ ).Así

A (θ )=−log σ2 (θ ) (10)Se puede utilizar como una medida de rendimiento. Cuanto mayor sea la medida de rendimiento, menor es la varianza σ 2 (θ ).Sea y1 , y2 , y3 ,…, yn aproxima una muestra aleatoria de la distribución de Y para un θ dado. Luego

s2=∑ ( y i− y )2/¿ (n−1 )¿Donde

y=∑ y i /nes un (imparcial) estimador de σ 2 (θ ) y

Z (θ )=−log ( s2 ) (11)

es una estadística de rendimiento razonable. (Esto no es una estadística de rendimiento Taguchi.) A menudo la transformación logarítmica reduce curvaturas e interacciones en la superficie de respuesta s2. Además, la transformación logarítmica a menudo reduce la dependencia de s2 en y. El signo menos en (11) se utiliza por convención para entonces siempre maximizar la estadística de rendimiento. Bartlett (1937) recomienda el uso de la estadística de rendimiento (11) para probar la igualdad de varianzas poblacionales diversos.

Varianza Vinculado a la media

A veces σ (θ ) aumenta linealmente con n (θ ), pero el sesgo B (θ ) se puede reducir de forma independiente del coeficiente de variaciónσ (θ )/n (θ ). En este caso B (θ ) es la variación ajuste; el coeficiente de variación, o equivalentemente ε (θ ), es la variación no ajuste, y los parámetros de ajuste son los parámetros de diseño que tienen un gran efecto sobre n (θ ) , y por lo tantoB (θ ), pero el efecto casi nulo sobre ε (θ ).

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Cuando dichos parámetros de ajuste están disponibles, es relativamente fácil de reducir B (θ ), y el punto esencial del diseño de parámetros es maximizarε (θ ). Si ε (θ ) sigue siendo grande, o equivalentemente el coeficiente de variación es menor, cualquier cambio subsiguiente en el valor medio de n (θ ) no produce un gran cambio en la varianza σ 2 (θ ). Por lo tanto una medida de rendimiento eficiente, debe ser una función monótona de ε (θ ). Taguchi (1976, 1977) recomienda el uso de la medida de rendimiento.

A (θ )=10 log [ε (θ ) ] (12)

Cuanto mayor sea la medida de rendimiento, menor es el coeficiente de variación σ (θ )/n (θ ). La cantidad n y2−s2 es un estimador (imparcial) es n [n (θ ) ]2. Por lo tanto, Taguchi (1976, 1977) recomienda la estadística de rendimiento

Z1 (θ )=10 log ( y2/s2) (13)y

Z2 (θ )=10 log [ (n y2/s2 )/ (ns2 ) ] (14)

Desde (14) podemos escribir como

Z2 (θ )=10 log [ ( y2/s2 )−(1/n ) ] (14)

Ambos estadísticas de rendimiento son equivalentes. El error cuadrático medio esperado y la pérdida esperada se reducen al mínimo cuando las medidas de rendimiento (10) y (12) se maximizan, y el sesgo (n (θ )−τ 0) se reduce mediante el uso de parámetros de ajuste.

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