contoh soal program linear

120202

120

4 x1 + 4 x2=480

240

60

2 x1 + 8 x2=480

A

BC

X2

X1

SOAL MAKSIMUM

1. Sebuah industri kecil mempunyai 2 jenis barang(barang M dan barang N) dengan

menggunakan 2 mesin (Mesin R1 dan R2). Satu unit barang M dibuat dengan

mengoperasikan mesin R1 selama 2 menit dan R2 selama 4 menit, sedangkan satu unit

barang N dibuat dengan mengoperasikan mesin R1 selama 8 menit dan mesin R2

selama 4 menit. Dalam satu hari mesin R1 dan mesin R2 beroperasi tidak lebih dari 8

jam. Keuntungan bersih yang diperoleh dari satu unit barang M adalah Rp 250,00 san

satu unit barang N adalah Rp 500,00. Tentukan berapa keuntungan maksimum yang

dapat diperoleh?

Jawab:

Variabel Keputusan : x1 = Banyaknya barang M yang diproduksi

x2 = Banyaknya barang N yang diproduksi

Fungsi Tujuan : Zmaks = 250x1 + 500x2

Fungsi kendala :

2 x1 + 8 x2 ≤ 480

4 x1 + 4 x2 ≤ 480

Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0

Kendala 1: 2 x1 + 8 x2 ≤ 480 yang garis pembatasnya adalah2 x1 + 8 x2=480

a. Titik potong garis terhadap sumbuX1 adalah (240,0)

b. Titik potong garis terhadap sumbuX2 adalah (0,60)

Kendala2:4 x1 + 4 x2 ≤ 480 yang garis pembatasnya adalah4 x1 + 4 x2=480



0

2 x1 + 8 x2=480

4 x1 + 4 x2=480

Titik A,B, dan C yang mungkin terisi untuk maksimum:

A (120,0) 250(120) + 500(0) = 30.000

B (80,40) 250(80) + 500(40) = 40.000

C (0,60) 250(0) + 500(60) = 30.000

Jadi, keuntungan maksimum yang diterima oleh industri tersebut adalah Rp 40.000,-

dengan cara memproduksi barang M sebanyak 80 dan barang N sebanyak 40.

2. Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit protein , 24 unit

karbohidrat dan 18 unit lemak Makanan A mengandung protein, karbohidrat dan

lemak berturut-turut 4, 12 dan 2 unit setiap kg. Makanan B mengandung protein,

karbohidrat dan lemak berturut turut 2 , 2 dan 6 unit setiap kg. Berapa kg

masing- masing makanan harus dibeli setiap minggunya, agar kebutuhan terpenuhi,

tetapi dengan biaya semurah-murahnya, bila 1 kg makanan A harganya Rp 1.700,00

dan 1 kg makanan B harganya Rp 800,00?

Jawab:

Variabel Keputusan :x1 = Banyaknya makanan A yang dibeli adalah x1kg

x2 = Banyaknya makanan B yang dibeli adalah x2 kg

Fungsi Tujuan :Zmaks = 5000x1 +3500x2

Fungsi kendala :

50000 x1 + 40000 x2 ≤ 20.000.000 5 x1 + 4 x2 ≤ 2000

x1 + x2 ≤ 450


Kendala 1: 5 x1 + 4 x2 ≤ 2000, garis pembatasnya adalah5 x1 + 4 x2=2000



Kendala2 :x1 + x2 ≤ 450, garis pembatasnya adalahx1 + x2=450

keduaa persamaan tersebut di selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 80 dan x2 = 40

500

400 450

x1=450

A

B

X1

X2

450

C x2=450



5 x1 + 4 x2= 2000 ,diketahuix2 = 450 maka nilai x2 tersebut disubstitusi ke persamaan

awal, sehingga diperoleh x1 =25

Titik A,B, dan C yang mungkinterisiuntukmaksimum:

A (400,0) 5000(400) + 3500(0) = 2.000.000

B (25

, 450) 5000(25

) + 3500(450) = 1.577.000

C (0,450) 5000(0) + 3500(450) = 1.575.00

Jadi, keuntungan maksimum yang diterima oleh pedagang sepatu tersebut adalah Rp 2.000.000,- dengan cara memproduksi sandal A sebanyak 400 dan sandal B sebanyak 0.

3. Suatu pabrik berkeinginan memproduksi 2 jenis barang yaitu barang A dan barang B.

barang A memberi keuntungan Rp 12.000,- per buah dan barang B member

keuntungan Rp 17.000,- per buah. Untuk memperoleh kedua barang itu diperlukan 2

buah mesin, yaitu mesin I dan mesin II. Waktu yang diperlukan untuk memproduksi

setiap barang dengan kedua mesin tersebut dan waktu yang tersedia untuk setiap

mesin selama 2 bulan diperlukan dalam tabel tersebut:

Mesin I (jam) Mesin II (jam)

0

5 x1 + 4 x2= 2000

700020

750020

2 x1 + 2 x2=1400

700

500

2 x1 + 3 x2=1500

A

B

C

X2

X1

Barang A 2 2

Barang B 3 2

Waktu yang tersedia 1500 1400

Berapa banyak barang A dan barang B yang harus diproduksi agar keuntungan yang

diperoleh sebesar-sebesarnya?

Jawab:

Variabel Keputusan : x1 = Banyaknya barang A yang diproduksi

x2 = Banyaknya barang B yang diproduksi


Fungsi kendala :

2 x1 + 3 x2 ≤ 1500

2 x1 + 2 x2 ≤ 1400


Kendala 1: 2 x1 + 3 x2 ≤ 1500 garis pembatasnya adalah2 x1 + 3 x2=1500



Kendala2:2 x1 + 2 x2 ≤ 1400 garis pembatasnya adalah2 x1 + 2 x2=1400



2 x1 + 3 x2=1500

0

2 x1 + 2 x2=1400-

x2 = 100 danx1 = 600


A (700,0) 12000(700) + 17000(0) = 8.400.000

B (600,100) 12000(600) + 17000(100) = 8.900.000

C (0,500) 12000(0) + 17000(500) = 8.500.000

Jadi, keuntungan maksimum yang diterima oleh pabrik tersebut adalah Rp8.900.000,-

dengan cara memproduksi barang A sebanyak 600 dan barang B sebanyak 100.

4. Suatu pengusaha roti CV Utama berkeinginan untu kmembuat 2 jenis roti, yaitu roti

jenis P dan jenis Q. satu roti jenis P memerlukan tepung 200gr dan mentega 25gr,

sedangkan satu roti jenis Q memerlukan tepung 100gr dan mentega 50gr. Tepung

yang tersedia 3kg dan mentega 1,2kg. untuk mendapatkan keuntungan yang

maksimum maka dari setiap penjualan hasil produksinya, pengusaha tersebut

berencana untuk mengambil keuntungan sebesar Rp 3.000,- untuks ebuah roti P dan

Rp 2.000,- untuk sebuah roti Q. Berapa banyak roti jenis P dan Q yang dihasilkan

untuk memperoleh pendapatan maksimum?

Jawab:

Variabel Keputusan :x1 = Banyaknya roti jenis P yang diproduksi

x2 = Banyaknya roti jenis Q yang diproduksi


Fungsi kendala :

200 x1 + 100 x2 ≤ 30002 x1 + x2 ≤ 30

25 x1 + 50 x2 ≤ 1200x1 + 2 x2 ≤ 48


Kendala 1: 2 x1 + x2 ≤ 30 garis pembatasnya adalah2 x1 + x2=30



30

48

2 x1 + x2=30

20

24

x1 + 2 x2=48

A

X2

X1

BC

Kendala2 :x1 + 2 x2 ≤ 48 garis pembatasnya adalahx1 + 2 x2=48

a. Titik potong garis terhada psumbuX1 adalah (48,0)


2 x1 + x2=30

x1 + 2 x2=48

Titik A, B, dan C yang mungkinterisiuntukmaksimum:

A (15,0) 3000(15) + 2000(0) = 45.000

B (4,22) 3000(4) + 2000(3) = 56.000

C (0,24) 3000(0) + 2000(24) = 48.000

Jadi, keuntungan maksimum yang diterima oleh CV utama tersebut adalah Rp56.000,-

dengan cara memproduksi roti jenis P sebanyak 4 dan roti jenis Q sebanyak 22.

5. Suatu kapal dapat mengangkut penumpang sebanyak-banyaknya 240 orang.

Penunpang kelas utama dapat membawa bagasi seberat 60kg dan penumpang kelas

ekonomi seberat 20kg. Kapal tersebut hanya dapat memuat bagasi paling banyak

7200kg. Harga sebuah tiket kelas utama Rp 200.000,- dan sebuah tiket kelas ekonomi

Rp 100.000,-. Harapan pengelola kapal dapat dapat memperoleh harga jual tiket yang

setinggi-tingginya. Berapa banyak tiket kelas utama dan kelas ekonomi yang harus

disediakan agar memperoleh keuntungan semaksimal mungkin?

Jawab:

0


0

360

120 240

A

BC

Variabel Keputusan :x1 = Banyaknya tiket kelas utama yang disediakan untuk

calon penumpang

x2 = Banyaknya tiket kelas ekonomi yang disediakan

untuk dalon penumpang

Fungsi Tujuan :Zmaks = 200.000x1 +100000x2

Fungsi kendala :

60 x1 + 20 x2 ≤ 72006 x1 + 2 x2 ≤ 720

x1 + x2 ≤ 240


Kendala 1: 6 x1 + 2 x2 ≤ 720 garis pembatasnya adalah6 x1 + 2 x2=720


b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,360)

Kendala2 :x1 + x2 ≤ 240 garis pembatasnya adalahx1 + x2=240



6 x1 + 2 x2=720 , diketahuix2 = 240 maka nilaix2 disubstitusi ke persamaan awal,

sehingga diperoleh x1 = 40

Titik A, B, dan C yang mungkin terisi untuk maksimum:

6 x1 + 2 x2=720

240

x1=240

X1

X2

x2=240

A (100,0) 200000(100) + 100000(0) = 20.000.000

B (40 ,240) 200000(40) + 100000(240)=32.000.000

C (0,240) 200000(0) + 100000(240) = 24.000.000

Jadi, keuntungan maksimum yang diterima oleh pengelola kapal tersebut adalah

Rp32.000.000,- dengan cara menyediakan tiket kelas utama sebanyak 40 dan tiket

kelas ekonomi sebanyak 240.

6. Seorang pedagang jam ingin membeli dua jenis jam tangan, yaitu jam tangan digital

dan jam tangan mekanik. Untuk persediaan, dia menginginkan jumlah jam tangan

yang dibelinya tidak lebih dari 25 buah dengan modal Rp 4.200.000,00. Tiap jam

tangan digital harganya Rp 150.000,00 dan jam tangan mekanik harganya Rp

200.000,00. Laba yang diperoleh setiap penjualan sebuah jam tangan digital Rp

50.000,00 dan sebuah jam tangan mekanik Rp 70.000,00. Jika pedagang itu ingin

menentukan masing-masing banyaknya jenis jam tangan yang akan ia beli agar

labanya maksimal, maka berapa banyak yang harus dibeli untuk memenuhi laba

maksimal?

Jawab:

Variabel Keputusan :x1 = Banyaknya jam tangan digital yang dibeli

x2 = Banyaknya jam tangan mekanik yang dibeli

Fungsi Tujuan :Zmaks = 50.000x1 +70.000x2

Fungsi kendala :

150.000 x1 + 200.000 x2 ≤ 4.200.00015 x1 + 20 x2 =420

x1 + x2 ≤ 25


Kendala 1: 15 x1 + 20 x2≤ 420 garis pembatasnya adalah15 x1 + 20 x2 =420

c. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (28,0)

d. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,21)

Kendala2 :x1 + x2 ≤ 25 garis pembatasnya adalahx1 + x2=25

c. TitikpotonggaristerhadapsumbuX1adalah (25,0)

d. TitikpotonggaristerhadapsumbuX2adalah (0,25)

A0

25

2825

B

15 x1 + 20 x2 =420 , diketahuix1 = 25 maka nilai x1 disubstitusi ke persamaan awal,


Titik A, B, dan C yang mungkin terisi untuk maksimum:

A (25,0) 50.000(25) + 70.000(0) = 1.250.000

B (25 ,94

) 50.000(25) + 70.000(94

)=1.407.500

C (0,21) 50.0000) + 70.000(21) = 1.470.000

Jadi, keuntungan maksimum yang diterima oleh penjual jam tangan tersebut adalah

Rp1.470.000,- dengan cara membeli jam tangan digital sebanyak 0 dan jam tangan

mekanik sebanyak 21.

7. Pada acara bazar seseorang akan berjualan tempat pensil dan tempat buku. Modal

yang tersedia Rp 600.000,00. Harga pembelian tempat pensil Rp 2.000,00 per buah

dan tempat buku Rp 4.000,00 per buah. Karena keterbatasan tempat, barang yang

dijual tidak boleh melebihi 200 buah. Apabila tempat pensil dan tempat buku

memberikan keuntungan berturut-berturut sebesar Rp 300,00 dan Rp 500,00 per buah,

berapa besar keuntungan maksimum yang dapat diperoleh?

Jawab:

Variabel Keputusan : x1 = Banyaknya tempat pensil yan dijual

x2 = Banyaknya tempat buku yang dijual

21

15 x1+ 20 x2=420

x1=25

X1

X2

x2=25

C

A0

200

300200

B


Fungsi kendala :

2000 x1 + 4000 x2 ≤ 600.000 x1 +2 x2 ≤ 300

x1 + x2 ≤ 200


Kendala 1: x1 +2 x2 ≤ 300 yang garis pembatasnya adalahx1 +2 x2 =300

a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (300,0)


Kendala2 :x1 + x2 ≤ 200,garis pembatasnya adalahx1 + x2 = 200



x1 +2 x2 =300 , diketahuix1 = 200 maka nilaix1 disubstitusi ke persamaan awal,



A (200,0) 300(200) + 500(0) = 60.000

C150

x1+2 x2 =300

x1=200

X1

x2=200

X2

B (200,50) 300(200) + 500(50) = 85.000

C (0,150) 300(0) + 500(150) = 75.000

Jadi, keuntungan maksimum yang diterima oleh penyelenggara bazar tersebut adalah

Rp 85.000,- dengan cara menyediakan tempat pensil sebanyak 200 dan tempat buku

sebanyak 50.

8. Suatu pabrik memproduksi 2 jenis mainan, yaitu jenis I dan jenis II. Keuntungan

setiap mainan jenis I adalah Rp 3.000,00 dan jenis II adalah Rp 5.000,00. Mainan

jenis I memerlukan waktu 6jam untuk membuat bahan-bahannya, 4 jam untuk

memasang, dan 5 jam untuk mengepak. Mainan jenis II memerlukan waktu 3jam

untuk membuat bahan-bahannya, 6 jam untuk memasang, dan 5 jam untuk mengepak.

Suatu pesanan sedang dikerjakan pabrik itu dengan alokasi waktu 54jam untuk

membuat bahan-bahannya, 48jam untuk memasang dan 50jam untuk mengepak.

Pabrik tersebut berharap untuk mendapatkan keuntungan maksimum dari pesanan

tersebut. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut dan selesaikan persoalan

tersebut!

Jawab:

Variabel Keputusan : x1 = Banyaknya mainan jenis I yang diproduksi

x2 = Banyaknya mainan jenis II yang diproduksi


Fungsi kendala :

6x1 +3 x2 ≤ 54

4 x1 + 6 x2 ≤ 48

5 x1 + 5 x2 ≤50


Kendala 1: 6x1 +3 x2 ≤ 54 yang garis pembatasnya adalah 6x1 +3 x2 = 54



Kendala2 :4 x1 + 6 x2 ≤ 48 ,garis pembatasnya adalah4 x1 + 6 x2 =48


0

10

10 12

18

A9

B

D


Kendala 3 :5 x1 + 5 x2 ≤50 ,garis pembatasnya adalah5 x1 + 5 x2 =50



6x1 +3 x2 = 54

5 x1 + 5 x2 =50

4 x1 + 6 x2 =48

5 x1 + 5 x2 =50

Titik A,B, C, dan D yang mungkin terisi untuk maksimum:

A (9,0) 3000(9) + 5000(0) = 36.000

B (8,2) 3000(8) + 5000(2) = 34.000

C (6,4) 3000(6) + 5000(4) = 38.000

D (0,8) 3000() + 5000(8) = 40.000

Jadi, keuntungan maksimum yang diterima oleh pabrik adalah Rp 40.000,- dengan

cara memproduksi mainan jenis I sebanyak 0 dan mainan jenis II sebanyak 8.

C

8

X1

X2



2

43A

X2

X1

3

B

C

9. Suatu perusahaan kerajinan tas dan sepatu memerlukan 4 unsur a dan 6 unsur b per

minggu untuk masing-masing hasil produksinya. Setiap tas memerlukan satu unsur a

dan dua unsur b, setiap sepatu memerlukan dua unsure a dan dua unsure b. jika setiap

tas mendapat keuntungan Rp 3.000,00 dan setiap sepatu mendapat keuntungan Rp

2.000,00, tentukan banyak tas dan sepatu yang dihasilkan per minggu agar diperoleh

keuntungan maksimum?

Jawab:

Variabel Keputusan : x1 = Banyaknya kerajinan tas yang dibuat

x2 = Banyaknya kerajinan sepatu yang dibuat


Fungsi kendala :

x1 + 2 x2 ≤ 4

2 x1 + 2 x2 ≤ 6


Kendala 1: x1 + 2 x2 ≤ 4 yang garis pembatasnya adalahx1 + 2 x2 = 4



Kendala2 : 2 x1 + 2 x2 ≤ 6 yang garis pembatasnya adalah2 x1 + 2 x2 = 6



2 x1 + 2 x2 = 6 keduaa persamaan tersebut di selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 2 dan x2 = 1

X2

x1 + 2 x2 = 4


A (3,0) 3000 (3) + 2000(0) = 9000

B (2,1) 3000 (2) + 2000(1) = 7000

C (0,2) 3000 (0) + 2000(2) = 4000

Jadi, keuntungan maksimum yang diterima oleh pengusaha kerajinan tersebut adalah

Rp 9000,- dengan cara memproduksi kerajinan tas sebanyak 3dan kerajinan sepatu

sebanyak 0.

10. Sebuah butik memiliki 4m kain satin dan 5m kain prada. Dari bahan tersebut akan

dibuat dua baju pesta. Baju pesta I memerlukan 2m kain satin dan 1m kain prada.

Baju pesta II memerlukan 1m kain satin dan 2m kain prada. Jika harga jual baju pesta

I Rp 500.000,00 dan baju pesta II Rp 400.000,00. Hasil penjualan maksimum butik

adalah?

Jawab:

Variabel Keputusan : x1 = Banyaknya baju pesta I yang dibuat

x2 = Banyaknya baju pesta II yang dibuat

Fungsi Tujuan : Zmaks = 500.000x1 + 400.000x2

Fungsi kendala :

2 x1 + x2 ≤ 4

x1 + 2 x2 ≤ 5


Kendala 1: 2 x1 + x2 ≤ 4 yang garis pembatasnya adalah2 x1 + x2 = 4



Kendala2 : x1 + 2 x2 ≤ 5 yang garis pembatasnya adalahx1 + 2 x2 = 5

c. Titik potong garis terhadap sumbuX1 adalah (5,0)

d. Titik potong garis terhadap sumbuX2 adalah (0,52

)

52

52A X1

4

BC

2 x1 + x2 = 4

x1 + 2 x2 = 5


A (2,0) 500.000 (2) + 400.000(0) = 1.000.000

B (1,2) 500.000 (1) + 400.000(2) = 1.300.000

C (0,52

) 500.000 (0) + 400.000(52

) = 1.000.000

Jadi, keuntungan maksimum yang diterima oleh pemilik butik tersebut adalah Rp

1.300.000,- dengan cara memproduksi baju pesta I sebanyak 1 dan baju pesta II

sebanyak 2.

SOAL MINIMUM

1. Seorang pengusaha mempunyai pabrik sepatu di dua kota, yaitu di Jakarta dan

Semarang. Untuk memenuhi pesanan sebanyak 300 sepatu pria, 180 sepatu wanita

dan 240 sepatu anak anak, maka pengusaha tersebut mengoperasikan kedua pabrik.

Pabrik di Jakarta setiap hari menghasilkan sepatu pria, wanita dan anak – anak

masing – masing 30, 12,dan 12 dengan ongkos pekerja Rp 30.000,00 tiap hari.

Sedangkan pabrik Semarang setiap harinya menghasilkan sepatu pria, wanita dan

anak-anak masing masing 15, 12, dan 24 dengan ongkos pekerja Rp 25.000,00 setiap

hari. Buatlah model matematika untuk masalah tersebut jika diharapkan pengeluaran

ongkos seminimal mungkin!

Jawab:


15

20

A

B

D

F.A

Variabel Keputusan: x1 = Banyak sepatu yang dibuat di Jakarta sebanyak x1

buah

x2 = Banyak sepatu yang dibuat di Semarang sebanyak

x2 buah

Fungsi Tujuan : Zmin = 30.000x1 + 25.000x2

Fungsi kendala :

30x1 + 15x1 ≥ 300

12x1 + 12x2 ≥ 180

12x1 + 24x1≥ 240


Kendala 1: 30x1 + 15x1 ≥ 300, garis pembatasnya adalah 30x1 + 15x1 = 300



Kendala2 :12x1 + 12x2 ≥ 180 ,garis pembatasnya adalah12x1 + 12x2 = 180



Kendala 3 :12x1 + 24x1≥ 240,garis pembatasnya adalah 12x1 + 24x1= 240



C10

X1

X2

0 15 2010

12x1 + 24x1= 240

12x1 + 12x2 = 180

12x1 + 12x2 = 180

12x1 + 24x1= 240

Titik A,B, C, dan D yang mungkin terisi untuk minimum:

A (20,0) 3000(9) + 5000(0) = 600.000

B (10,5) 3000(8) + 5000(2) = 425.000

C (5,10) 3000(6) + 5000(4) = 400.000

D (0,20) 3000() + 5000(8) = 500.000

Jadi, dapat ditafsirkan bahwa biaya total minimum untuk onkos pekerja adalah Rp

400.000,00. Hal ini tercapai jika pabrik di Jakarta menyelesaikan pesanan selama 5

hari dan pabrik di Semarang menyelesaikan pesanan selama 10 hari.

2. Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit protein , 24 unit

karbohidrat dan 18 unit lemak Makanan A mengandung protein, karbohidrat dan

lemak berturut-turut 4, 12 dan 2 unit setiap kg. Makanan B mengandung protein,

karbohidrat dan lemak berturut turut 2 , 2 dan 6 unit setiap kg. Berapa kg

masing- masing makanan harus dibeli setiap minggunya, agar kebutuhan terpenuhi,

tetapi dengan biaya semurah-murahnya, bila 1 kg makanan A harganya Rp 1.700,00

dan 1 kg makanan B harganya Rp 800,00 ?

Jawab:

Variabel Keputusan: x1 = Banyak makanan A yang dibeli sebanyak x1 buah

x2 = Banyak makanan B yang dibeli sebanyak x2 buah

Fungsi Tujuan : Zmin = 1700x1 + 800x2

Fungsi kendala :

4x1 + 2x2 16

12x1 + 2x2 24

2x1 + 6x2 18



0

8

4 9

12

A2

B

D

F.A


Kendala 1: 4x1 + 2x2 16, garis pembatasnya adalah 4x1 + 2x2 16



Kendala2 : 12x1 + 2x2 24 ,garis pembatasnya adalah 12x1 + 2x2 24



Kendala 3 : 2x1 + 6x2 18,garis pembatasnya adalah 2x1 + 6x2 18



2x1 + 6x2 18

4x1 + 2x2 16

12x1 + 2x2 24

4x1 + 2x2 16

Titik A,B, C, dan D yang mungkin terisi untuk minimum:

C

3

X1

X2



10

A (9,0) 1700 (9) + 800 (0) = 15300

B (3,2) 1700 (8) + 800 (2) = 6700

C (1,6) 1700 (6) + 800 (4) = 6500

D (0,12) 1700 () + 800 (8) = 9600

Jadi, biaya minimum adalah Rp 6.500; yaitu dengan membeli 1 kg makanan A dan 6

kg makanan B.

3. Seorang anak diharuskan makan dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama

mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet vitamin kedua

mengandung 2 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Dalam satu hari anak itu

memerlukan minimal 20 unit vitamin A dan 15 unit vitamin B. Jika harga tablet

pertama Rp. 4/biji dan tablet kedua Rp. 8/biji, pengeluaran minimum untuk pembelian

tablet per hari adalah?

Jawab:

Variabel Keputusan: x1 = Banyak tablet pertama yang dibeli sebanyak x1 biji

x2 = Banyak tablet pertama yang dibeli sebanyak x2 biji


Fungsi kendala :

5x1 + 2x2 20

3x1 + 5x2 15





Kendala2 : 3x1 + 5x2 15, garis pembatasnya adalah 3x1 + 5 x2 15



C

X2

0 5A

4

B

F.A

5x1 + 2x2 20

3x1 + 5 x2 15

Titik A,B, C yang mungkin terisi untuk maksimum:

A (5,0) 4 (5) + 8 (0) = 20

B (200,57

) 4(8) + 8 (57

) = 5610

C (0,10) 4(0) + 8 (10) = 80

Jadi, biaya minimum adalah Rp 20,- yaitu dengan membeli 5 biji tablet pertama dan

0 biji tablet kedua.

4. Seorang petani ingin memberikan pupuk pada tanaman padinya. Pupuk yang

diberikan harus mengandung sekurang-kurangnya 600g fosfor dan 720g nitrogen.

Pupuk 1 mengandung 30g fosfor dan 30g nitrogen per bungkus. Pupuk II

mengandung 20g fosfor dan 40g nitrogen per bungkus. Petani ingin mencampur

kedua pupuk tersebut. Satu bungkus pupuk I harganya Rp 17.500,00 dan pupuk II Rp

14.500,00 per bungkus. Tentukan biaya minimum yang harus dikeluarkan oleh petani

tersebut?

Jawab:

Variabel Keputusan: x1 = Banyak pupuk I yang dibeli sebanyak x1 gram

x2 = Banyak pupuk II yang dibeli sebanyak x2 gram


Fungsi kendala :

30x1 + 20x2 600

3

X1

keduaa persamaan tersebut di selesaikan dengan menggunakan

metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 200 dan x2 = 57

0 24

30

A20

B

F.A

30x1 + 40x2 720





Kendala2 : 30x1 + 40x2 720, garis pembatasnya adalah 30x1 + 40x2 720

c. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (24,0)

d. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,18)

30x1 + 20x2 600

30x1 + 40x2 720


A (24,0) 17.500 (24) + 14.500 (0) = 420.000

B (16,6 17.500 (16) + 14.500 (6¿ = 367.00

C (0,30) 17.500 (0) + 14.500 (30) = 430.000

Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan petani adalah Rp 367.000,- yaitu dengan

membeli 16bungkus pupuk I dan 6bungkus pupuk II.

C

18

X1

X2


100

A

B

F.A

5. Suatu rombongan wisatawan di Pulau Bali terdiri dari 240 orang akan menyewa

kamar hotel. Kamar yang tersedia adalah kamar untuk 2 orang dan untuk 3 orang.

Rombongan itu akan menyewa kamar sekurang-kurangnya 100 kamar. Tarif kamar

untuk 2 orang adalah Rp 80.000,00 dan untuk 3 orang adalah Rp 100.000,00.

Rombongan itu mengeluarkan uang sewa yang seminimal mungkin. Tentukan model

matematika dan penyelesaian untuk masalah ini?

Jawab:

Variabel Keputusan: x1 = Banyak kamar untuk 2 orang

x2 = Banyak kamar untuk 3 orang


Fungsi kendala :

2x1 + 3x2≥ 240

x1 + x2 ≥ 100


Kendala 1: 2x1 + 3 x2≥ 240, garis pembatasnya adalah 2x1 + 3 x2 = 240



Kendala2 : x1 + x2 ≥ 100, garis pembatasnya adalah x1 + x2 = 100



C

80

X1

X2

0 120100

2x1 + 3 x2 = 240

x1 + x2 = 100


A (120,0) 80.000 (120) + 100.000 (0) = 9.600.000

B (60,40¿ 80.000 (60) + 100.000 (40¿ = 8.800.000

C (0,100) 80.000 (0) + 100.000 (100) = 10.000.000

Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan adalah Rp 8.800.000,- yaitu dengan memesan

kamar untuk 2 orang sebanyak 60kamar dan kamar untuk 3 orang sebanyak 40kamar.

6. Seorang pengusaha peternakan ingin mencampur bahan pakan. Tiap hari ternaknya

membutuhkan sedikitnya 12kg unsur A, 1kg unsur B, dan 40g unsur C. Apabila di

pasaran tersedia bahan pakan jenis I tiap kantongnya mengandung 600gram unsur A,

20gram unsur B, dan 1gram unsur C, sedangkan bahan pakan jenis II tiap kantongnya

mengandung 200gram unsur A, 50gram unsur B, dan 1gram unsur C. Harga tiap

kantong pakan jenis I adalah Rp 7.500,00 dan jenis II adalah Rp 8.000,00. Tentukan

model matematika dan penyelesaiannya agar pengusaha tersebut hanya mengeluarkan

biaya yang minimum!

Jawab:

Variabel Keputusan: x1 = Banyak bahan pakan yang dibeli sebanyak x1

kantong

x2 = Banyak bahan pakan yang dibeli sebanyak x2

kantong


Fungsi kendala :

600x1 + 200x2≥ 12.000 → 3x1 + x2≥ 60

20x1 + 50x2≥ 1000

x1 + x2 ≥ 40



0 50A

40

B

F.A

20

20

D60

Kendala 1: 3x1 + x2≥ 60, garis pembatasnya adalah 3x1 + x2= 60



Kendala2 : 20x1 + 50x2≥ 1000 , garis pembatasnya adalah 20x1 + 50x2= 1000

a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (33.4,0)

b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,6.6)

Kendala 3: x1 + x2≥ 40, garis pembatasnya adalah x1 + x2= 40




A (50,0) 7500 (50) + 8000 (0) = 375.000

B (33.4,6.6¿ 7500 (33.4) + 8000 (6.6¿ = 303.000

C (10,30¿ 7500 (10) + 8000 (30¿ = 155.000

D (0,60) 7500 (0) + 8000 (60) = 480.000

Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan adalah Rp 155.000,- yaitu dengan membeli

bahan pakan jenis I sebanyak 10kantong dan bahan pakan jenis II sebanyak

30kantong.

C

40

X1

X2

10

7. Untuk menjaga kesehatan, Nisa harus memenuhi kebutuhan minimum per hari dengan

beberapa zat makanan. Perhatikan table berikut !

KandunganJenis Makanan Kebutuhan

minimumSayur (gram) Daging (gram)

kalsium 5 1 10

protein 2 2 8

Harga per unit 2000 8000

Tentukan kombinasi jenis makanan tersebut agar Nisa memenuhi kebutuhan

minimum per hari dan memberi biaya terendah?

Jawab:

Variabel Keputusan: x1 = Banyak sayur yang dibeli sebanyak x1 gram

x2 = Banyak daging yang dibeli sebanyak x2 gram


Fungsi kendala :

5x1 + x2≥ 10

2 x1 + 2 x2 ≥ 8


Kendala 1: 5x1 + x2≥ 10, garis pembatasnya adalah 5x1 + x2 = 10



Kendala2 : 2 x1 + 2 x2 ≥ 8, garis pembatasnya adalah 2 x1 + 2 x2 = 8



C

X2

0 4A

2

B

F.A

5x1 + x2 = 10

2 x1 + 2 x2 = 8


A (4,0) 2000 (4) + 8000 (0) = 8.000

B (32

,5¿ 2000 (32

) + 8000 (5) = 22.000

C (0,10) 2000 (0) + 8000 (10) = 80.000

Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan Nisa adalah Rp 8. 000,- yaitu dengan membeli

sayur sebanyak 4gram dan daging sebanyak 0gram.

8. Suatu rombongan olahraga pria terdiri dari 60 orang. Mereka akan menginap di hotel

Indal yang mempunyai dua tipe kamar yaitu tipe A dan tipe B. Tipe A dapat ditempati

5orang dan tipe B dapat ditempati 3orang. Pemili hotel menghendaki bahwa

rombongan itu harus menyewa paling sedikit 15 kamar. Berapa tipe A dan tipe B

yang harus disewakan agar semua tertampung dan dengan pembayawan semurah-

murahnya, apabila sewa kamar untuk tipe A Rp 12.000,- dan tipe B Rp 8.000,-?

Jawab:

Variabel Keputusan: x1 = Banyak kamar tipe A yang dipesan untuk 5orang

x2 = Banyak kamar tipe B yang dipesan untuk 3orang


Fungsi kendala :

5x1 + 3x2≥ 60

x1 + x2 ≥ 15

4

X1


metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 32

dan x2 = 5

0 15

20

A12

B

F.A








5x1 + x2 = 10

x1 + x2 = 15


A (15,0) 12000 (15) + 8000 (0) = 180.000

B (152

,1 5¿ 12000 (152

) + 8000 (15) = 120.000

C (0,20) 12000 (0) + 8000 (20) = 160.000

C

15

X1

X2


metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 152

dan x2 = 15

Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan adalah Rp 160.000,- yaitu dengan memesan

kamar tipe A sebanyak 0 dan tipe B sebanyak 20.

9. Seorang petani modern menghadapi masalah sebagai berikut. Agar sehat, setiap sapi

harus diberi makanan yang mengandung paling sedikit 27,21, dan 30 satuan unsur

nutrisi jenis A,B, dan C setiap harinya. Dua jenis makanan M dan N diberikam

kepada sapi tersebut. 1kg makanan jenis M mengandung unsur nutrisi A,B, dan C

masing-masing 1,1, dan 2 satuan, sedangkan 1kg makanan jenis N mengandung unsur

nutrisi A,B, dan C masing-masing 3,1, dan 1 satuan. Perlu juga diketahui bahwa harga

1kg makanan jenis M dan N masing-masing adalah Rp 2.000,- dan Rp 4.000,-. Petani

tersebut harus memutuskan apakah akan membeli satu jenis makanan saja atau

membeli kedua jenis tersebut, kemudia mencampurnya agar petani itu mengeluarkan

uang serendah mungkin!

Jawab:

Variabel Keputusan: x1 = Banyak makanan jenis M yang dibeli sebanyak x1

satuan unsur nutrisi

x2 = Banyak makanan jenis N yang dibeli sebanyak x2

satuan unsur nutrisi


Fungsi kendala :

x1 + 3x2≥ 27

x1 + x2≥ 21

2 x1 + x2 ≥ 30


Kendala 1: x1 + 3 x2≥ 27, garis pembatasnya adalah x1 + 3 x2 = 27



Kendala 2 : x1 + x2≥ 21 , garis pembatasnya adalah x1 + x2 = 21



0

21

21 27

30

A15

B

D

F.A

Kendala 3: 2 x1 + x2≥ 30, garis pembatasnya adalah 2 x1 + x2 = 30




A (27,0) 2000 (27) + 4000 (0) = 42.000

B (6,9¿ 2000 (6) + 4000 (9) = 48.000

C (9,12¿ 2000 (9) + 4000 (20) = 66.000

D (0,30) 2000 (0) + 4000 (30) = 120.000

Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan petani tersebut adalah Rp 42.000,- yaitu

dengan membeli bahan makanan jenis M sebanyak 27 satuan unsur nutrisi dan bahan

makanan jenis N sebanyak 0 unsur satuan nutrisi.

C

9

X1

X2

350

B

F.A

10. Mobil pick up dan mobil truk akan digunakan untuk mengangkut 1.000 m3 pasir. Satu

kali jalan, pick up dapat mengangkut 2 m3 pasir dan truk 5 m3 pasir. Untuk

mengangkut pasir tersebut diperlukan jumlah truk dan pick up paling sedikit 350 buah

dengan biaya angkut pick up satu kali jalan Rp 15.000,- dan truk Rp 30.000,- . Biaya

minimum untuk mengangkut pasir tersebut adalah ?

Jawab:

Variabel Keputusan: x1 = Banyak mobil pick up yang digunakan untuk

mengangkut pasir sebanyak x1 kali

x2 = Banyak mobil truk yang digunakan untuk

mengangkut pasir sebanyak x2 kali


Fungsi kendala :

2x1 + 5x2≥ 1000

x1 + x2 ≥ 350








C

200

X2

0 500A

350

2x1 + 5 x2 = 1000

x1 + x2 = 350


A (500,0) 15.000 (500) + 30.000 (0) = 7.500.00

B (250,100¿ 15.000 (250) + 30.000 (100) = 6.750.000

C (0,350) 15.000 (0) + 30.000 (350) = 9.000.000

Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan adalah Rp 6.750.000,- yaitu dengan

menggunakan mobil pick up sebanyak 250 kali dan mobil truk sebanyak 100kali.

X1


contoh soal program linear

Education