contoh soal program linear
TRANSCRIPT
120202
120
4 x1 + 4 x2=480
240
60
2 x1 + 8 x2=480
A
BC
X2
X1
SOAL MAKSIMUM
1. Sebuah industri kecil mempunyai 2 jenis barang(barang M dan barang N) dengan
menggunakan 2 mesin (Mesin R1 dan R2). Satu unit barang M dibuat dengan
mengoperasikan mesin R1 selama 2 menit dan R2 selama 4 menit, sedangkan satu unit
barang N dibuat dengan mengoperasikan mesin R1 selama 8 menit dan mesin R2
selama 4 menit. Dalam satu hari mesin R1 dan mesin R2 beroperasi tidak lebih dari 8
jam. Keuntungan bersih yang diperoleh dari satu unit barang M adalah Rp 250,00 san
satu unit barang N adalah Rp 500,00. Tentukan berapa keuntungan maksimum yang
dapat diperoleh?
Jawab:
Variabel Keputusan : x1 = Banyaknya barang M yang diproduksi
x2 = Banyaknya barang N yang diproduksi
Fungsi Tujuan : Zmaks = 250x1 + 500x2
Fungsi kendala :
2 x1 + 8 x2 ≤ 480
4 x1 + 4 x2 ≤ 480
Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0
Kendala 1: 2 x1 + 8 x2 ≤ 480 yang garis pembatasnya adalah2 x1 + 8 x2=480
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1 adalah (240,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2 adalah (0,60)
Kendala2:4 x1 + 4 x2 ≤ 480 yang garis pembatasnya adalah4 x1 + 4 x2=480
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1 adalah (120,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2 adalah (0,120)
0
2 x1 + 8 x2=480
4 x1 + 4 x2=480
Titik A,B, dan C yang mungkin terisi untuk maksimum:
A (120,0) 250(120) + 500(0) = 30.000
B (80,40) 250(80) + 500(40) = 40.000
C (0,60) 250(0) + 500(60) = 30.000
Jadi, keuntungan maksimum yang diterima oleh industri tersebut adalah Rp 40.000,-
dengan cara memproduksi barang M sebanyak 80 dan barang N sebanyak 40.
2. Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit protein , 24 unit
karbohidrat dan 18 unit lemak Makanan A mengandung protein, karbohidrat dan
lemak berturut-turut 4, 12 dan 2 unit setiap kg. Makanan B mengandung protein,
karbohidrat dan lemak berturut turut 2 , 2 dan 6 unit setiap kg. Berapa kg
masing- masing makanan harus dibeli setiap minggunya, agar kebutuhan terpenuhi,
tetapi dengan biaya semurah-murahnya, bila 1 kg makanan A harganya Rp 1.700,00
dan 1 kg makanan B harganya Rp 800,00?
Jawab:
Variabel Keputusan :x1 = Banyaknya makanan A yang dibeli adalah x1kg
x2 = Banyaknya makanan B yang dibeli adalah x2 kg
Fungsi Tujuan :Zmaks = 5000x1 +3500x2
Fungsi kendala :
50000 x1 + 40000 x2 ≤ 20.000.000 5 x1 + 4 x2 ≤ 2000
x1 + x2 ≤ 450
Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0
Kendala 1: 5 x1 + 4 x2 ≤ 2000, garis pembatasnya adalah5 x1 + 4 x2=2000
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1 adalah (400,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2 adalah (0,500)
Kendala2 :x1 + x2 ≤ 450, garis pembatasnya adalahx1 + x2=450
keduaa persamaan tersebut di selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 80 dan x2 = 40
500
400 450
x1=450
A
B
X1
X2
450
C x2=450
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1 adalah (450,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2 adalah (0,450)
5 x1 + 4 x2= 2000 ,diketahuix2 = 450 maka nilai x2 tersebut disubstitusi ke persamaan
awal, sehingga diperoleh x1 =25
Titik A,B, dan C yang mungkinterisiuntukmaksimum:
A (400,0) 5000(400) + 3500(0) = 2.000.000
B (25
, 450) 5000(25
) + 3500(450) = 1.577.000
C (0,450) 5000(0) + 3500(450) = 1.575.00
Jadi, keuntungan maksimum yang diterima oleh pedagang sepatu tersebut adalah Rp 2.000.000,- dengan cara memproduksi sandal A sebanyak 400 dan sandal B sebanyak 0.
3. Suatu pabrik berkeinginan memproduksi 2 jenis barang yaitu barang A dan barang B.
barang A memberi keuntungan Rp 12.000,- per buah dan barang B member
keuntungan Rp 17.000,- per buah. Untuk memperoleh kedua barang itu diperlukan 2
buah mesin, yaitu mesin I dan mesin II. Waktu yang diperlukan untuk memproduksi
setiap barang dengan kedua mesin tersebut dan waktu yang tersedia untuk setiap
mesin selama 2 bulan diperlukan dalam tabel tersebut:
Mesin I (jam) Mesin II (jam)
0
5 x1 + 4 x2= 2000
700020
750020
2 x1 + 2 x2=1400
700
500
2 x1 + 3 x2=1500
A
B
C
X2
X1
Barang A 2 2
Barang B 3 2
Waktu yang tersedia 1500 1400
Berapa banyak barang A dan barang B yang harus diproduksi agar keuntungan yang
diperoleh sebesar-sebesarnya?
Jawab:
Variabel Keputusan : x1 = Banyaknya barang A yang diproduksi
x2 = Banyaknya barang B yang diproduksi
Fungsi Tujuan : Zmaks = 12000x1 + 17000x2
Fungsi kendala :
2 x1 + 3 x2 ≤ 1500
2 x1 + 2 x2 ≤ 1400
Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0
Kendala 1: 2 x1 + 3 x2 ≤ 1500 garis pembatasnya adalah2 x1 + 3 x2=1500
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1 adalah (750,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2 adalah (0,500)
Kendala2:2 x1 + 2 x2 ≤ 1400 garis pembatasnya adalah2 x1 + 2 x2=1400
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1 adalah (700,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2 adalah (0,700)
2 x1 + 3 x2=1500
0
2 x1 + 2 x2=1400-
x2 = 100 danx1 = 600
Titik A,B, dan C yang mungkin terisi untuk maksimum:
A (700,0) 12000(700) + 17000(0) = 8.400.000
B (600,100) 12000(600) + 17000(100) = 8.900.000
C (0,500) 12000(0) + 17000(500) = 8.500.000
Jadi, keuntungan maksimum yang diterima oleh pabrik tersebut adalah Rp8.900.000,-
dengan cara memproduksi barang A sebanyak 600 dan barang B sebanyak 100.
4. Suatu pengusaha roti CV Utama berkeinginan untu kmembuat 2 jenis roti, yaitu roti
jenis P dan jenis Q. satu roti jenis P memerlukan tepung 200gr dan mentega 25gr,
sedangkan satu roti jenis Q memerlukan tepung 100gr dan mentega 50gr. Tepung
yang tersedia 3kg dan mentega 1,2kg. untuk mendapatkan keuntungan yang
maksimum maka dari setiap penjualan hasil produksinya, pengusaha tersebut
berencana untuk mengambil keuntungan sebesar Rp 3.000,- untuks ebuah roti P dan
Rp 2.000,- untuk sebuah roti Q. Berapa banyak roti jenis P dan Q yang dihasilkan
untuk memperoleh pendapatan maksimum?
Jawab:
Variabel Keputusan :x1 = Banyaknya roti jenis P yang diproduksi
x2 = Banyaknya roti jenis Q yang diproduksi
Fungsi Tujuan : Zmaks = 3000x1 + 2000x2
Fungsi kendala :
200 x1 + 100 x2 ≤ 30002 x1 + x2 ≤ 30
25 x1 + 50 x2 ≤ 1200x1 + 2 x2 ≤ 48
Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0
Kendala 1: 2 x1 + x2 ≤ 30 garis pembatasnya adalah2 x1 + x2=30
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1 adalah (15,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2 adalah (0,30)
30
48
2 x1 + x2=30
20
24
x1 + 2 x2=48
A
X2
X1
BC
Kendala2 :x1 + 2 x2 ≤ 48 garis pembatasnya adalahx1 + 2 x2=48
a. Titik potong garis terhada psumbuX1 adalah (48,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2 adalah (0,24)
2 x1 + x2=30
x1 + 2 x2=48
Titik A, B, dan C yang mungkinterisiuntukmaksimum:
A (15,0) 3000(15) + 2000(0) = 45.000
B (4,22) 3000(4) + 2000(3) = 56.000
C (0,24) 3000(0) + 2000(24) = 48.000
Jadi, keuntungan maksimum yang diterima oleh CV utama tersebut adalah Rp56.000,-
dengan cara memproduksi roti jenis P sebanyak 4 dan roti jenis Q sebanyak 22.
5. Suatu kapal dapat mengangkut penumpang sebanyak-banyaknya 240 orang.
Penunpang kelas utama dapat membawa bagasi seberat 60kg dan penumpang kelas
ekonomi seberat 20kg. Kapal tersebut hanya dapat memuat bagasi paling banyak
7200kg. Harga sebuah tiket kelas utama Rp 200.000,- dan sebuah tiket kelas ekonomi
Rp 100.000,-. Harapan pengelola kapal dapat dapat memperoleh harga jual tiket yang
setinggi-tingginya. Berapa banyak tiket kelas utama dan kelas ekonomi yang harus
disediakan agar memperoleh keuntungan semaksimal mungkin?
Jawab:
0
keduaa persamaan tersebut di selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 4 dan x2 = 22
0
360
120 240
A
BC
Variabel Keputusan :x1 = Banyaknya tiket kelas utama yang disediakan untuk
calon penumpang
x2 = Banyaknya tiket kelas ekonomi yang disediakan
untuk dalon penumpang
Fungsi Tujuan :Zmaks = 200.000x1 +100000x2
Fungsi kendala :
60 x1 + 20 x2 ≤ 72006 x1 + 2 x2 ≤ 720
x1 + x2 ≤ 240
Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0
Kendala 1: 6 x1 + 2 x2 ≤ 720 garis pembatasnya adalah6 x1 + 2 x2=720
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1 adalah (120,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,360)
Kendala2 :x1 + x2 ≤ 240 garis pembatasnya adalahx1 + x2=240
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1 adalah (240,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2 adalah (0,240)
6 x1 + 2 x2=720 , diketahuix2 = 240 maka nilaix2 disubstitusi ke persamaan awal,
sehingga diperoleh x1 = 40
Titik A, B, dan C yang mungkin terisi untuk maksimum:
6 x1 + 2 x2=720
240
x1=240
X1
X2
x2=240
A (100,0) 200000(100) + 100000(0) = 20.000.000
B (40 ,240) 200000(40) + 100000(240)=32.000.000
C (0,240) 200000(0) + 100000(240) = 24.000.000
Jadi, keuntungan maksimum yang diterima oleh pengelola kapal tersebut adalah
Rp32.000.000,- dengan cara menyediakan tiket kelas utama sebanyak 40 dan tiket
kelas ekonomi sebanyak 240.
6. Seorang pedagang jam ingin membeli dua jenis jam tangan, yaitu jam tangan digital
dan jam tangan mekanik. Untuk persediaan, dia menginginkan jumlah jam tangan
yang dibelinya tidak lebih dari 25 buah dengan modal Rp 4.200.000,00. Tiap jam
tangan digital harganya Rp 150.000,00 dan jam tangan mekanik harganya Rp
200.000,00. Laba yang diperoleh setiap penjualan sebuah jam tangan digital Rp
50.000,00 dan sebuah jam tangan mekanik Rp 70.000,00. Jika pedagang itu ingin
menentukan masing-masing banyaknya jenis jam tangan yang akan ia beli agar
labanya maksimal, maka berapa banyak yang harus dibeli untuk memenuhi laba
maksimal?
Jawab:
Variabel Keputusan :x1 = Banyaknya jam tangan digital yang dibeli
x2 = Banyaknya jam tangan mekanik yang dibeli
Fungsi Tujuan :Zmaks = 50.000x1 +70.000x2
Fungsi kendala :
150.000 x1 + 200.000 x2 ≤ 4.200.00015 x1 + 20 x2 =420
x1 + x2 ≤ 25
Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0
Kendala 1: 15 x1 + 20 x2≤ 420 garis pembatasnya adalah15 x1 + 20 x2 =420
c. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (28,0)
d. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,21)
Kendala2 :x1 + x2 ≤ 25 garis pembatasnya adalahx1 + x2=25
c. TitikpotonggaristerhadapsumbuX1adalah (25,0)
d. TitikpotonggaristerhadapsumbuX2adalah (0,25)
A0
25
2825
B
15 x1 + 20 x2 =420 , diketahuix1 = 25 maka nilai x1 disubstitusi ke persamaan awal,
sehingga diperoleh x2 = 94
Titik A, B, dan C yang mungkin terisi untuk maksimum:
A (25,0) 50.000(25) + 70.000(0) = 1.250.000
B (25 ,94
) 50.000(25) + 70.000(94
)=1.407.500
C (0,21) 50.0000) + 70.000(21) = 1.470.000
Jadi, keuntungan maksimum yang diterima oleh penjual jam tangan tersebut adalah
Rp1.470.000,- dengan cara membeli jam tangan digital sebanyak 0 dan jam tangan
mekanik sebanyak 21.
7. Pada acara bazar seseorang akan berjualan tempat pensil dan tempat buku. Modal
yang tersedia Rp 600.000,00. Harga pembelian tempat pensil Rp 2.000,00 per buah
dan tempat buku Rp 4.000,00 per buah. Karena keterbatasan tempat, barang yang
dijual tidak boleh melebihi 200 buah. Apabila tempat pensil dan tempat buku
memberikan keuntungan berturut-berturut sebesar Rp 300,00 dan Rp 500,00 per buah,
berapa besar keuntungan maksimum yang dapat diperoleh?
Jawab:
Variabel Keputusan : x1 = Banyaknya tempat pensil yan dijual
x2 = Banyaknya tempat buku yang dijual
21
15 x1+ 20 x2=420
x1=25
X1
X2
x2=25
C
A0
200
300200
B
Fungsi Tujuan : Zmaks = 300x1 + 500x2
Fungsi kendala :
2000 x1 + 4000 x2 ≤ 600.000 x1 +2 x2 ≤ 300
x1 + x2 ≤ 200
Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0
Kendala 1: x1 +2 x2 ≤ 300 yang garis pembatasnya adalahx1 +2 x2 =300
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (300,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,150)
Kendala2 :x1 + x2 ≤ 200,garis pembatasnya adalahx1 + x2 = 200
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (200,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,200)
x1 +2 x2 =300 , diketahuix1 = 200 maka nilaix1 disubstitusi ke persamaan awal,
sehingga diperoleh x2 = 50
Titik A,B, dan C yang mungkin terisi untuk maksimum:
A (200,0) 300(200) + 500(0) = 60.000
C150
x1+2 x2 =300
x1=200
X1
x2=200
X2
B (200,50) 300(200) + 500(50) = 85.000
C (0,150) 300(0) + 500(150) = 75.000
Jadi, keuntungan maksimum yang diterima oleh penyelenggara bazar tersebut adalah
Rp 85.000,- dengan cara menyediakan tempat pensil sebanyak 200 dan tempat buku
sebanyak 50.
8. Suatu pabrik memproduksi 2 jenis mainan, yaitu jenis I dan jenis II. Keuntungan
setiap mainan jenis I adalah Rp 3.000,00 dan jenis II adalah Rp 5.000,00. Mainan
jenis I memerlukan waktu 6jam untuk membuat bahan-bahannya, 4 jam untuk
memasang, dan 5 jam untuk mengepak. Mainan jenis II memerlukan waktu 3jam
untuk membuat bahan-bahannya, 6 jam untuk memasang, dan 5 jam untuk mengepak.
Suatu pesanan sedang dikerjakan pabrik itu dengan alokasi waktu 54jam untuk
membuat bahan-bahannya, 48jam untuk memasang dan 50jam untuk mengepak.
Pabrik tersebut berharap untuk mendapatkan keuntungan maksimum dari pesanan
tersebut. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut dan selesaikan persoalan
tersebut!
Jawab:
Variabel Keputusan : x1 = Banyaknya mainan jenis I yang diproduksi
x2 = Banyaknya mainan jenis II yang diproduksi
Fungsi Tujuan : Zmaks = 3000x1 + 5000x2
Fungsi kendala :
6x1 +3 x2 ≤ 54
4 x1 + 6 x2 ≤ 48
5 x1 + 5 x2 ≤50
Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0
Kendala 1: 6x1 +3 x2 ≤ 54 yang garis pembatasnya adalah 6x1 +3 x2 = 54
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (9,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,18)
Kendala2 :4 x1 + 6 x2 ≤ 48 ,garis pembatasnya adalah4 x1 + 6 x2 =48
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (12,0)
0
10
10 12
18
A9
B
D
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,8)
Kendala 3 :5 x1 + 5 x2 ≤50 ,garis pembatasnya adalah5 x1 + 5 x2 =50
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (10,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,10)
6x1 +3 x2 = 54
5 x1 + 5 x2 =50
4 x1 + 6 x2 =48
5 x1 + 5 x2 =50
Titik A,B, C, dan D yang mungkin terisi untuk maksimum:
A (9,0) 3000(9) + 5000(0) = 36.000
B (8,2) 3000(8) + 5000(2) = 34.000
C (6,4) 3000(6) + 5000(4) = 38.000
D (0,8) 3000() + 5000(8) = 40.000
Jadi, keuntungan maksimum yang diterima oleh pabrik adalah Rp 40.000,- dengan
cara memproduksi mainan jenis I sebanyak 0 dan mainan jenis II sebanyak 8.
C
8
X1
X2
keduaa persamaan tersebut di selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 8 dan x2 = 2
keduaa persamaan tersebut di selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 6 dan x2 = 4
2
43A
X2
X1
3
B
C
9. Suatu perusahaan kerajinan tas dan sepatu memerlukan 4 unsur a dan 6 unsur b per
minggu untuk masing-masing hasil produksinya. Setiap tas memerlukan satu unsur a
dan dua unsur b, setiap sepatu memerlukan dua unsure a dan dua unsure b. jika setiap
tas mendapat keuntungan Rp 3.000,00 dan setiap sepatu mendapat keuntungan Rp
2.000,00, tentukan banyak tas dan sepatu yang dihasilkan per minggu agar diperoleh
keuntungan maksimum?
Jawab:
Variabel Keputusan : x1 = Banyaknya kerajinan tas yang dibuat
x2 = Banyaknya kerajinan sepatu yang dibuat
Fungsi Tujuan : Zmaks = 3000x1 + 2000x2
Fungsi kendala :
x1 + 2 x2 ≤ 4
2 x1 + 2 x2 ≤ 6
Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0
Kendala 1: x1 + 2 x2 ≤ 4 yang garis pembatasnya adalahx1 + 2 x2 = 4
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1 adalah (4,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2 adalah (0,2)
Kendala2 : 2 x1 + 2 x2 ≤ 6 yang garis pembatasnya adalah2 x1 + 2 x2 = 6
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1 adalah (3,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2 adalah (0,3)
2 x1 + 2 x2 = 6 keduaa persamaan tersebut di selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 2 dan x2 = 1
X2
x1 + 2 x2 = 4
Titik A,B, dan C yang mungkin terisi untuk maksimum:
A (3,0) 3000 (3) + 2000(0) = 9000
B (2,1) 3000 (2) + 2000(1) = 7000
C (0,2) 3000 (0) + 2000(2) = 4000
Jadi, keuntungan maksimum yang diterima oleh pengusaha kerajinan tersebut adalah
Rp 9000,- dengan cara memproduksi kerajinan tas sebanyak 3dan kerajinan sepatu
sebanyak 0.
10. Sebuah butik memiliki 4m kain satin dan 5m kain prada. Dari bahan tersebut akan
dibuat dua baju pesta. Baju pesta I memerlukan 2m kain satin dan 1m kain prada.
Baju pesta II memerlukan 1m kain satin dan 2m kain prada. Jika harga jual baju pesta
I Rp 500.000,00 dan baju pesta II Rp 400.000,00. Hasil penjualan maksimum butik
adalah?
Jawab:
Variabel Keputusan : x1 = Banyaknya baju pesta I yang dibuat
x2 = Banyaknya baju pesta II yang dibuat
Fungsi Tujuan : Zmaks = 500.000x1 + 400.000x2
Fungsi kendala :
2 x1 + x2 ≤ 4
x1 + 2 x2 ≤ 5
Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0
Kendala 1: 2 x1 + x2 ≤ 4 yang garis pembatasnya adalah2 x1 + x2 = 4
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1 adalah (2,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2 adalah (0,4)
Kendala2 : x1 + 2 x2 ≤ 5 yang garis pembatasnya adalahx1 + 2 x2 = 5
c. Titik potong garis terhadap sumbuX1 adalah (5,0)
d. Titik potong garis terhadap sumbuX2 adalah (0,52
)
52
52A X1
4
BC
2 x1 + x2 = 4
x1 + 2 x2 = 5
Titik A,B, dan C yang mungkin terisi untuk maksimum:
A (2,0) 500.000 (2) + 400.000(0) = 1.000.000
B (1,2) 500.000 (1) + 400.000(2) = 1.300.000
C (0,52
) 500.000 (0) + 400.000(52
) = 1.000.000
Jadi, keuntungan maksimum yang diterima oleh pemilik butik tersebut adalah Rp
1.300.000,- dengan cara memproduksi baju pesta I sebanyak 1 dan baju pesta II
sebanyak 2.
SOAL MINIMUM
1. Seorang pengusaha mempunyai pabrik sepatu di dua kota, yaitu di Jakarta dan
Semarang. Untuk memenuhi pesanan sebanyak 300 sepatu pria, 180 sepatu wanita
dan 240 sepatu anak anak, maka pengusaha tersebut mengoperasikan kedua pabrik.
Pabrik di Jakarta setiap hari menghasilkan sepatu pria, wanita dan anak – anak
masing – masing 30, 12,dan 12 dengan ongkos pekerja Rp 30.000,00 tiap hari.
Sedangkan pabrik Semarang setiap harinya menghasilkan sepatu pria, wanita dan
anak-anak masing masing 15, 12, dan 24 dengan ongkos pekerja Rp 25.000,00 setiap
hari. Buatlah model matematika untuk masalah tersebut jika diharapkan pengeluaran
ongkos seminimal mungkin!
Jawab:
keduaa persamaan tersebut di selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 1 dan x2 = 2
15
20
A
B
D
F.A
Variabel Keputusan: x1 = Banyak sepatu yang dibuat di Jakarta sebanyak x1
buah
x2 = Banyak sepatu yang dibuat di Semarang sebanyak
x2 buah
Fungsi Tujuan : Zmin = 30.000x1 + 25.000x2
Fungsi kendala :
30x1 + 15x1 ≥ 300
12x1 + 12x2 ≥ 180
12x1 + 24x1≥ 240
Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0
Kendala 1: 30x1 + 15x1 ≥ 300, garis pembatasnya adalah 30x1 + 15x1 = 300
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (10,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,20)
Kendala2 :12x1 + 12x2 ≥ 180 ,garis pembatasnya adalah12x1 + 12x2 = 180
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (15,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,15)
Kendala 3 :12x1 + 24x1≥ 240,garis pembatasnya adalah 12x1 + 24x1= 240
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (20,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,10)
C10
X1
X2
0 15 2010
12x1 + 24x1= 240
12x1 + 12x2 = 180
12x1 + 12x2 = 180
12x1 + 24x1= 240
Titik A,B, C, dan D yang mungkin terisi untuk minimum:
A (20,0) 3000(9) + 5000(0) = 600.000
B (10,5) 3000(8) + 5000(2) = 425.000
C (5,10) 3000(6) + 5000(4) = 400.000
D (0,20) 3000() + 5000(8) = 500.000
Jadi, dapat ditafsirkan bahwa biaya total minimum untuk onkos pekerja adalah Rp
400.000,00. Hal ini tercapai jika pabrik di Jakarta menyelesaikan pesanan selama 5
hari dan pabrik di Semarang menyelesaikan pesanan selama 10 hari.
2. Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit protein , 24 unit
karbohidrat dan 18 unit lemak Makanan A mengandung protein, karbohidrat dan
lemak berturut-turut 4, 12 dan 2 unit setiap kg. Makanan B mengandung protein,
karbohidrat dan lemak berturut turut 2 , 2 dan 6 unit setiap kg. Berapa kg
masing- masing makanan harus dibeli setiap minggunya, agar kebutuhan terpenuhi,
tetapi dengan biaya semurah-murahnya, bila 1 kg makanan A harganya Rp 1.700,00
dan 1 kg makanan B harganya Rp 800,00 ?
Jawab:
Variabel Keputusan: x1 = Banyak makanan A yang dibeli sebanyak x1 buah
x2 = Banyak makanan B yang dibeli sebanyak x2 buah
Fungsi Tujuan : Zmin = 1700x1 + 800x2
Fungsi kendala :
4x1 + 2x2 16
12x1 + 2x2 24
2x1 + 6x2 18
keduaa persamaan tersebut di selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 10 dan x2 = 5
keduaa persamaan tersebut di selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 5 dan x2 = 10
0
8
4 9
12
A2
B
D
F.A
Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0
Kendala 1: 4x1 + 2x2 16, garis pembatasnya adalah 4x1 + 2x2 16
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (4,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,8)
Kendala2 : 12x1 + 2x2 24 ,garis pembatasnya adalah 12x1 + 2x2 24
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (2,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,12)
Kendala 3 : 2x1 + 6x2 18,garis pembatasnya adalah 2x1 + 6x2 18
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (9,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,3)
2x1 + 6x2 18
4x1 + 2x2 16
12x1 + 2x2 24
4x1 + 2x2 16
Titik A,B, C, dan D yang mungkin terisi untuk minimum:
C
3
X1
X2
keduaa persamaan tersebut di selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 3 dan x2 = 2
keduaa persamaan tersebut di selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 1 dan x2 = 6
10
A (9,0) 1700 (9) + 800 (0) = 15300
B (3,2) 1700 (8) + 800 (2) = 6700
C (1,6) 1700 (6) + 800 (4) = 6500
D (0,12) 1700 () + 800 (8) = 9600
Jadi, biaya minimum adalah Rp 6.500; yaitu dengan membeli 1 kg makanan A dan 6
kg makanan B.
3. Seorang anak diharuskan makan dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama
mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet vitamin kedua
mengandung 2 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Dalam satu hari anak itu
memerlukan minimal 20 unit vitamin A dan 15 unit vitamin B. Jika harga tablet
pertama Rp. 4/biji dan tablet kedua Rp. 8/biji, pengeluaran minimum untuk pembelian
tablet per hari adalah?
Jawab:
Variabel Keputusan: x1 = Banyak tablet pertama yang dibeli sebanyak x1 biji
x2 = Banyak tablet pertama yang dibeli sebanyak x2 biji
Fungsi Tujuan : Zmin = 4x1 + 8x2
Fungsi kendala :
5x1 + 2x2 20
3x1 + 5x2 15
Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0
Kendala 1: 5x1 + 2x2 20, garis pembatasnya adalah 5x1 + 2x2 20
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (4,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,10)
Kendala2 : 3x1 + 5x2 15, garis pembatasnya adalah 3x1 + 5 x2 15
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (5,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,3)
C
X2
0 5A
4
B
F.A
5x1 + 2x2 20
3x1 + 5 x2 15
Titik A,B, C yang mungkin terisi untuk maksimum:
A (5,0) 4 (5) + 8 (0) = 20
B (200,57
) 4(8) + 8 (57
) = 5610
C (0,10) 4(0) + 8 (10) = 80
Jadi, biaya minimum adalah Rp 20,- yaitu dengan membeli 5 biji tablet pertama dan
0 biji tablet kedua.
4. Seorang petani ingin memberikan pupuk pada tanaman padinya. Pupuk yang
diberikan harus mengandung sekurang-kurangnya 600g fosfor dan 720g nitrogen.
Pupuk 1 mengandung 30g fosfor dan 30g nitrogen per bungkus. Pupuk II
mengandung 20g fosfor dan 40g nitrogen per bungkus. Petani ingin mencampur
kedua pupuk tersebut. Satu bungkus pupuk I harganya Rp 17.500,00 dan pupuk II Rp
14.500,00 per bungkus. Tentukan biaya minimum yang harus dikeluarkan oleh petani
tersebut?
Jawab:
Variabel Keputusan: x1 = Banyak pupuk I yang dibeli sebanyak x1 gram
x2 = Banyak pupuk II yang dibeli sebanyak x2 gram
Fungsi Tujuan : Zmin = 17500x1 + 14500x2
Fungsi kendala :
30x1 + 20x2 600
3
X1
keduaa persamaan tersebut di selesaikan dengan menggunakan
metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 200 dan x2 = 57
0 24
30
A20
B
F.A
30x1 + 40x2 720
Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0
Kendala 1: 30x1 + 20x2 600, garis pembatasnya adalah 30x1 + 20x2 600
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (2,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,3)
Kendala2 : 30x1 + 40x2 720, garis pembatasnya adalah 30x1 + 40x2 720
c. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (24,0)
d. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,18)
30x1 + 20x2 600
30x1 + 40x2 720
Titik A,B, C yang mungkin terisi untuk maksimum:
A (24,0) 17.500 (24) + 14.500 (0) = 420.000
B (16,6 17.500 (16) + 14.500 (6¿ = 367.00
C (0,30) 17.500 (0) + 14.500 (30) = 430.000
Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan petani adalah Rp 367.000,- yaitu dengan
membeli 16bungkus pupuk I dan 6bungkus pupuk II.
C
18
X1
X2
keduaa persamaan tersebut di selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 16 dan x2 = 6
100
A
B
F.A
5. Suatu rombongan wisatawan di Pulau Bali terdiri dari 240 orang akan menyewa
kamar hotel. Kamar yang tersedia adalah kamar untuk 2 orang dan untuk 3 orang.
Rombongan itu akan menyewa kamar sekurang-kurangnya 100 kamar. Tarif kamar
untuk 2 orang adalah Rp 80.000,00 dan untuk 3 orang adalah Rp 100.000,00.
Rombongan itu mengeluarkan uang sewa yang seminimal mungkin. Tentukan model
matematika dan penyelesaian untuk masalah ini?
Jawab:
Variabel Keputusan: x1 = Banyak kamar untuk 2 orang
x2 = Banyak kamar untuk 3 orang
Fungsi Tujuan : Zmin = 80.000x1 + 100.000x2
Fungsi kendala :
2x1 + 3x2≥ 240
x1 + x2 ≥ 100
Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0
Kendala 1: 2x1 + 3 x2≥ 240, garis pembatasnya adalah 2x1 + 3 x2 = 240
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (12,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,80)
Kendala2 : x1 + x2 ≥ 100, garis pembatasnya adalah x1 + x2 = 100
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (100,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,100)
C
80
X1
X2
0 120100
2x1 + 3 x2 = 240
x1 + x2 = 100
Titik A,B, C yang mungkin terisi untuk maksimum:
A (120,0) 80.000 (120) + 100.000 (0) = 9.600.000
B (60,40¿ 80.000 (60) + 100.000 (40¿ = 8.800.000
C (0,100) 80.000 (0) + 100.000 (100) = 10.000.000
Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan adalah Rp 8.800.000,- yaitu dengan memesan
kamar untuk 2 orang sebanyak 60kamar dan kamar untuk 3 orang sebanyak 40kamar.
6. Seorang pengusaha peternakan ingin mencampur bahan pakan. Tiap hari ternaknya
membutuhkan sedikitnya 12kg unsur A, 1kg unsur B, dan 40g unsur C. Apabila di
pasaran tersedia bahan pakan jenis I tiap kantongnya mengandung 600gram unsur A,
20gram unsur B, dan 1gram unsur C, sedangkan bahan pakan jenis II tiap kantongnya
mengandung 200gram unsur A, 50gram unsur B, dan 1gram unsur C. Harga tiap
kantong pakan jenis I adalah Rp 7.500,00 dan jenis II adalah Rp 8.000,00. Tentukan
model matematika dan penyelesaiannya agar pengusaha tersebut hanya mengeluarkan
biaya yang minimum!
Jawab:
Variabel Keputusan: x1 = Banyak bahan pakan yang dibeli sebanyak x1
kantong
x2 = Banyak bahan pakan yang dibeli sebanyak x2
kantong
Fungsi Tujuan : Zmin = 7500x1 + 8000x2
Fungsi kendala :
600x1 + 200x2≥ 12.000 → 3x1 + x2≥ 60
20x1 + 50x2≥ 1000
x1 + x2 ≥ 40
Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0
keduaa persamaan tersebut di selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 60 dan x2 = 40
0 50A
40
B
F.A
20
20
D60
Kendala 1: 3x1 + x2≥ 60, garis pembatasnya adalah 3x1 + x2= 60
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (20,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,60)
Kendala2 : 20x1 + 50x2≥ 1000 , garis pembatasnya adalah 20x1 + 50x2= 1000
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (33.4,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,6.6)
Kendala 3: x1 + x2≥ 40, garis pembatasnya adalah x1 + x2= 40
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (40,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,40)
Titik A,B, C, dan D yang mungkin terisi untuk maksimum:
A (50,0) 7500 (50) + 8000 (0) = 375.000
B (33.4,6.6¿ 7500 (33.4) + 8000 (6.6¿ = 303.000
C (10,30¿ 7500 (10) + 8000 (30¿ = 155.000
D (0,60) 7500 (0) + 8000 (60) = 480.000
Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan adalah Rp 155.000,- yaitu dengan membeli
bahan pakan jenis I sebanyak 10kantong dan bahan pakan jenis II sebanyak
30kantong.
C
40
X1
X2
10
7. Untuk menjaga kesehatan, Nisa harus memenuhi kebutuhan minimum per hari dengan
beberapa zat makanan. Perhatikan table berikut !
KandunganJenis Makanan Kebutuhan
minimumSayur (gram) Daging (gram)
kalsium 5 1 10
protein 2 2 8
Harga per unit 2000 8000
Tentukan kombinasi jenis makanan tersebut agar Nisa memenuhi kebutuhan
minimum per hari dan memberi biaya terendah?
Jawab:
Variabel Keputusan: x1 = Banyak sayur yang dibeli sebanyak x1 gram
x2 = Banyak daging yang dibeli sebanyak x2 gram
Fungsi Tujuan : Zmin = 2.000x1 + 8.000x2
Fungsi kendala :
5x1 + x2≥ 10
2 x1 + 2 x2 ≥ 8
Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0
Kendala 1: 5x1 + x2≥ 10, garis pembatasnya adalah 5x1 + x2 = 10
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (2,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,10)
Kendala2 : 2 x1 + 2 x2 ≥ 8, garis pembatasnya adalah 2 x1 + 2 x2 = 8
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (4,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,4)
C
X2
0 4A
2
B
F.A
5x1 + x2 = 10
2 x1 + 2 x2 = 8
Titik A,B, C yang mungkin terisi untuk maksimum:
A (4,0) 2000 (4) + 8000 (0) = 8.000
B (32
,5¿ 2000 (32
) + 8000 (5) = 22.000
C (0,10) 2000 (0) + 8000 (10) = 80.000
Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan Nisa adalah Rp 8. 000,- yaitu dengan membeli
sayur sebanyak 4gram dan daging sebanyak 0gram.
8. Suatu rombongan olahraga pria terdiri dari 60 orang. Mereka akan menginap di hotel
Indal yang mempunyai dua tipe kamar yaitu tipe A dan tipe B. Tipe A dapat ditempati
5orang dan tipe B dapat ditempati 3orang. Pemili hotel menghendaki bahwa
rombongan itu harus menyewa paling sedikit 15 kamar. Berapa tipe A dan tipe B
yang harus disewakan agar semua tertampung dan dengan pembayawan semurah-
murahnya, apabila sewa kamar untuk tipe A Rp 12.000,- dan tipe B Rp 8.000,-?
Jawab:
Variabel Keputusan: x1 = Banyak kamar tipe A yang dipesan untuk 5orang
x2 = Banyak kamar tipe B yang dipesan untuk 3orang
Fungsi Tujuan : Zmin = 2.000x1 + 8.000x2
Fungsi kendala :
5x1 + 3x2≥ 60
x1 + x2 ≥ 15
4
X1
keduaa persamaan tersebut di selesaikan dengan menggunakan
metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 32
dan x2 = 5
0 15
20
A12
B
F.A
Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0
Kendala 1: 5x1 + 3 x2≥ 60, garis pembatasnya adalah 5x1 + 3 x2 = 60
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (12,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,20)
Kendala2 : x1 + x2 ≥ 15, garis pembatasnya adalah x1 + x2 = 15
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (15,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,15)
5x1 + x2 = 10
x1 + x2 = 15
Titik A,B, C yang mungkin terisi untuk maksimum:
A (15,0) 12000 (15) + 8000 (0) = 180.000
B (152
,1 5¿ 12000 (152
) + 8000 (15) = 120.000
C (0,20) 12000 (0) + 8000 (20) = 160.000
C
15
X1
X2
keduaa persamaan tersebut di selesaikan dengan menggunakan
metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 152
dan x2 = 15
Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan adalah Rp 160.000,- yaitu dengan memesan
kamar tipe A sebanyak 0 dan tipe B sebanyak 20.
9. Seorang petani modern menghadapi masalah sebagai berikut. Agar sehat, setiap sapi
harus diberi makanan yang mengandung paling sedikit 27,21, dan 30 satuan unsur
nutrisi jenis A,B, dan C setiap harinya. Dua jenis makanan M dan N diberikam
kepada sapi tersebut. 1kg makanan jenis M mengandung unsur nutrisi A,B, dan C
masing-masing 1,1, dan 2 satuan, sedangkan 1kg makanan jenis N mengandung unsur
nutrisi A,B, dan C masing-masing 3,1, dan 1 satuan. Perlu juga diketahui bahwa harga
1kg makanan jenis M dan N masing-masing adalah Rp 2.000,- dan Rp 4.000,-. Petani
tersebut harus memutuskan apakah akan membeli satu jenis makanan saja atau
membeli kedua jenis tersebut, kemudia mencampurnya agar petani itu mengeluarkan
uang serendah mungkin!
Jawab:
Variabel Keputusan: x1 = Banyak makanan jenis M yang dibeli sebanyak x1
satuan unsur nutrisi
x2 = Banyak makanan jenis N yang dibeli sebanyak x2
satuan unsur nutrisi
Fungsi Tujuan : Zmin = 2000x1 + 4000x2
Fungsi kendala :
x1 + 3x2≥ 27
x1 + x2≥ 21
2 x1 + x2 ≥ 30
Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0
Kendala 1: x1 + 3 x2≥ 27, garis pembatasnya adalah x1 + 3 x2 = 27
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (27,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,60)
Kendala 2 : x1 + x2≥ 21 , garis pembatasnya adalah x1 + x2 = 21
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (21,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,21)
0
21
21 27
30
A15
B
D
F.A
Kendala 3: 2 x1 + x2≥ 30, garis pembatasnya adalah 2 x1 + x2 = 30
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (15,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,30)
Titik A,B, C, dan D yang mungkin terisi untuk maksimum:
A (27,0) 2000 (27) + 4000 (0) = 42.000
B (6,9¿ 2000 (6) + 4000 (9) = 48.000
C (9,12¿ 2000 (9) + 4000 (20) = 66.000
D (0,30) 2000 (0) + 4000 (30) = 120.000
Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan petani tersebut adalah Rp 42.000,- yaitu
dengan membeli bahan makanan jenis M sebanyak 27 satuan unsur nutrisi dan bahan
makanan jenis N sebanyak 0 unsur satuan nutrisi.
C
9
X1
X2
350
B
F.A
10. Mobil pick up dan mobil truk akan digunakan untuk mengangkut 1.000 m3 pasir. Satu
kali jalan, pick up dapat mengangkut 2 m3 pasir dan truk 5 m3 pasir. Untuk
mengangkut pasir tersebut diperlukan jumlah truk dan pick up paling sedikit 350 buah
dengan biaya angkut pick up satu kali jalan Rp 15.000,- dan truk Rp 30.000,- . Biaya
minimum untuk mengangkut pasir tersebut adalah ?
Jawab:
Variabel Keputusan: x1 = Banyak mobil pick up yang digunakan untuk
mengangkut pasir sebanyak x1 kali
x2 = Banyak mobil truk yang digunakan untuk
mengangkut pasir sebanyak x2 kali
Fungsi Tujuan : Zmin = 15.000x1 + 30.000x2
Fungsi kendala :
2x1 + 5x2≥ 1000
x1 + x2 ≥ 350
Syarat Tak negatif : x1 , x2 ≥ 0
Kendala 1: 2x1 + 5 x2≥ 1000, garis pembatasnya adalah 2x1 + 5 x2 = 1000
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (500,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,200)
Kendala2 : x1 + x2 ≥ 350, garis pembatasnya adalah x1 + x2 = 350
a. Titik potong garis terhadap sumbuX1adalah (350,0)
b. Titik potong garis terhadap sumbuX2adalah (0,350)
C
200
X2
0 500A
350
2x1 + 5 x2 = 1000
x1 + x2 = 350
Titik A,B, C yang mungkin terisi untuk maksimum:
A (500,0) 15.000 (500) + 30.000 (0) = 7.500.00
B (250,100¿ 15.000 (250) + 30.000 (100) = 6.750.000
C (0,350) 15.000 (0) + 30.000 (350) = 9.000.000
Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan adalah Rp 6.750.000,- yaitu dengan
menggunakan mobil pick up sebanyak 250 kali dan mobil truk sebanyak 100kali.
X1
keduaa persamaan tersebut di selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi, sehingga di peroleh x1 = 250 dan x2 = 100