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Disciplina: Cálculo I

Prof. Doherty Andrade

2014

Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 1 / 84

Orientação

1 Objetivos2 Continuidade3 Funções contínuas em intervalos fechados [a,b]4 Derivada5 Propriedades6 Interpretação da derivada7 Derivada implícita8 Taxas relacionadas9 Máximos e Mínimos

10 Assíntotas11 Esboço de gráfico12 Incrementos, diferenciais e aproximação linear13 Regra de L’Hospital14 Propriedades da funções deriváveis


Objetivos

Objetivos

Apresentar os principais resultados das funções contínuas.

Apresentar os principais resultados das funções deriváveis.


Continuidade

Definiçãoa Seja f : X ⊂ R → R. Dizemos que f é contínua em x0 se:(a) existe f (x0);(b) limx→x0 f (x) = f (x0).

aaqui supõe-se implicitamente que x0 seja um ponto de acumulação de X .

Dizemos que a função f é contínua em X , se f for contínua em todosos pontos de X .


Continuidade

Outra definição equivalente: dizemos que f é contínua x0 se dadoqualquer ǫ > 0 existe δ > 0 tal que se |x − x0| < δ, então|f (x)− f (x0)| < ǫ.


Continuidade

• Exemplo

a) Se T : R → R é função afim, isto é, T (x) = ax + b, então é contínuaem R. De fato, o resultado segue da igualdade

|T (x)− T (x0)| = |a(x − x0)| = |a||x − x0|.

b) Dizemos que f : X ⊆ R → R é Lipschitziana se existe K ≥ 0 tal que

|f (x)− f (y)| ≤ K |x − y |,

para todo par x , y ∈ X .Um caso particular importante ocorre quando 0 ≤ K < 1; neste casodizemos que a função é uma contração. Toda função Lipschitziana écontínua.


Continuidade

Teorema (Construção de funções contínuas)

Sejam f ,g : X ⊂ C → R e x0 ∈ X. Se f e g são contínuas em x0, entãovalem:a) kf é contínua em x0, para todo k ∈ R.b) (f + g) é contínua em x0.c) (f .g) é contínua em x0.

d) Se g(x0) 6= 0, entãofg

é contínua em x0.


Continuidade

Utilizando o teorema acima podemos concluir que as seguintesfunções são contínuas nos seus respectivos domínios:

1. Função constante: f (x) = c onde c, x ∈ R, c fixo.

2. Função identidade: f (x) = x , z ∈ R.

3. Função translação: f (x) = x + a, a ∈ R fixo e x ∈ R.

4. Função homotetias: f (x) = ax , a > 0 e x ∈ R.

5. Função potência natural f (x) = xn,n ≥ 0 e x ∈ R.

6. Função polinomial f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0,aj ∈ R e n ≥ 0 e x ∈ R.

7. Função racional q(x) =anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0

bmxm + bm−1xm−1 + . . . + b1x + b0,

aj ,bk ∈ R e m,n ≥ 0. Note que o domínio de q(x) é conjuntodos números reais nos quais o denominador não se anula.


Continuidade

Teorema (Continuidade da função composta)

Sejam X ⊂ R e Y ⊂ R, f : X → R e g : Y → R funções. Suponha quef (X ) ⊂ Y e assim (g ◦ f ) está definida em X. Se f em contínua emx0 ∈ X e g contínua em y0 = f (x0), então (g ◦ f ) é contínua em x0 ∈ X.


Funções contínuas em intervalos fechados [a, b]

As funções definidas em intervalos fechados possuem importantespropriedades. Vamos estudar algumas dessas.

TeoremaSeja f : [a,b] → R uma função contínua. Seja (xn) uma sequência queconverge para x0. Então, f (xn) converge para f (x0).



TeoremaSeja f : I → R uma função contínua não constante, onde I é umintervalo. Então, J = f (I) é um intervalo.



Teorema (Valor extremo)

Seja f : [a,b] → R uma função contínua. Então, existem x0 ∈ [a,b] ex1 ∈ [a,b] tais que

f (x0) ≤ f (x) ≤ f (x1).

Isto é, f assume o seu valor máximo e o seu valor mínimo.



Teorema (Teorema do valor intermediário)

Seja f : [a,b] → R contínua tal que f (a)f (b) < 0. Então, existec ∈ (a,b) tal que f (c) = 0.

-1

0

1

2

3

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2x

TVI

Figura: Ilustração do Teorema do valor intermediário



Seja f : X → X . Se existe c ∈ X tal que f (c) = c dizemos que c é umponto fixo para f .

Teorema

Toda aplicação contínua f : [a,b] → [a,b] tem pelo menos um pontofixo.

Demonstração: Defina a seguinte aplicação g : [a,b] → R dada porg(x) = f (x)− x . Assim g mede a distância orientada entre x e suaimagem f (x). Um ponto fixo de f é um ponto x onde g(x) = 0. Se umdos extremos do intervalo é ponto fixo nada temos a provar. Entãosuponha que nenhum deles seja ponto fixo. Como f (a) e f (b) estão nointervalo [a,b] segue que a < f (a) e f (b) < b e portanto g(a) > 0 eg(b) < 0. Como g é contínua, existe x0 ∈ [a,b] tal que g(x0) = 0 eportanto f (x0) = x0. �



Exercício: use o teorema do valor intermediário para mostrar que afunção f (x) =

( x2

)2 − sin(x), x em radianos, tem uma raiz.


Derivada

A derivada de uma função f em um ponto x é dada por

limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0,

se este limite existe.Denotamos este limite por f ′(x0). Note que a derivada é o limite davariação média da f .É usual tomar x = x0 + h e reescrever f ′(x0) como

f ′(x0) = limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h.


Derivada

Exercício: Calcule a deriva de f (x) = x2 − 5x utilizando a definição.Exercício: Utilizando a definição verifique que a função f (x) = |x | nãotem derivada em x0 = 0.


Derivada

Observação

Se f é derivável em x0, então f é contínua em x0. De fato,

limx→x0

f (x) = limx→x0

[

f (x)− f (x0)

x − x0(x − x0) + f (x0)

]

= f ′(x0)0 + f (x0).


Propriedades

Vamos resumir na tabela abaixo as principais regra de derivação.

Função Derivada

y = f + g y ′ = f ′ + g′

y = kf y ′ = kf , k constantey = fg y ′ = f ′g + fg′

y = fg y ′ = f ′g−fg′

g2

y = (f ◦ g)(x) y ′ = f ′(g(x)).g′(x) –regra da cadeia


Propriedades

Nas tabela a seguir apresentamos as derivadas de algumas funções.

Função Derivada

y = k y ′ = 0y = x y ′ = 1y = xn y ′ = nxn−1

y =√

x y ′ = 12√

xy = ex y = ex

y = ax y = ln(a)ax

y = ln(x) y ′ = 1x

y = loga x y = 1x loga(e)


Propriedades

Função Derivada

y = cos(x) y ′ = − sin(x)y = sin(x) y ′ = cos(x)y = tan(x) y ′ = sec2(x)y = sec(x) y ′ = sec(x) tan(x)y = cot(x) y ′ = − csc2(x)y = csc(x) y ′ = − csc(x) cot(x)y = arcsin(x) y ′ = 1√

1+x2

y = arccos(x) y ′ = −1√1+x2

y = arctan(x) y ′ = 11+x2

y = sinh(x) = ex−e−x

2 y ′ = cosh(x) = ex+e−x

2

y = cosh(x) = ex+e−x

2 y ′ = sinh(x) = ex−e−x

2


Interpretação da derivada

A. Inclinação da reta tangente ao gráfico:

Figura: reta tangente



A inclinação da reta secante é dada por

tan(α) =f (a + h)− f (a)

h.

Quando h → 0, a secante tende a uma reta tangente ao gráfico noponto (a, f (a)). Assim, obtemos f ′(a) como sendo a inclinação da retatangente ao gráfico de f no ponto (a, f (a)).



Exercício: Determine a reta tangente ao gráfico de f (x) = x2 + 1 noponto P(2,5).



B. Taxa de variação: A taxa média de variação de f no intervalo[a,b] é dada por

∆f∆x

=f (b)− f (a)

b − a.

Quando b = a +∆x se aproxima de a, a taxa média se aproxima dataxa instantânea:

lim∆x→0

f (a +∆x)− f (a)∆x

= f ′(a).



Outra notação muito comum para a derivada de uma função y devariável x é dy

dx . Assim, y ′ = dydx . Esta notação tem origem na notação

para taxa média. Note que

dydx

= lim∆x→0

∆y∆x

.

Usando esta notação na regra da cadeia, se y = f (x) e x = g(t),então a variação instantânea de y com relação t é dada por

dydt

=dydx

dxdt

.



Exemplo: Um objeto em queda livre tem altura dada no instante t porH(t) = −16t2 + 180. Determine a velocidade média durante o primeirosegundo. E entre o segundo e o terceiro segundo?No primeiro segundo, ∆f

∆x = f (1)−f (0)1−0 = −16m/s.

Entre o segundo e o terceiro segundo, ∆f∆x = f (3)−f (2)

3−2 = −80m/s.A velocidade instantânea quando t = 2 é dada por H ′(2): -64m/s.



Exemplo: A medida que o sangue se move do coração através dasartérias principais em direção aos capilareas e de volta para as veias,a pressão arterial sistólica cai continuamente. Considere uma pessoacuja pressão arterial é dada por P (em mm de mercúrio), onde

P(t) =25t2 + 125

t2 + 1, t ∈ [0,10].,

em que t é medido em segundo. A que taxa a pressão arterial variaapós 5 segundos do sangue ter saído do coração?A taxa é dada por P ′(5) que é aproximadamente iguala -1,48 mm/seg.


Derivada implícita

Algumas vezes uma função y(x) é definida implicitamente, como porexemplo, x2 − 2y2 + 4y = 3. Isto é, a função y foi dada satisfazendouma relação de igualdade. Uma maneira de encontrar y ′(x) éescrever y(x) explicitamente como função de x . Mas isto nem sempreé possível. A saída então é derivar implicitamente, é o que vamosmostrar com um exemplo.


Derivada implícita

x2 − 2y2 + 4y = 3

2x − 4yy ′ + 4y ′ = 0

y ′(4 − 4y) = −2x

y ′ =2x

4y − 4

y ′ =x

2y − 2


Derivada implícita

Calcule y ′ nos casos :(a) x2 + 4y2 = 4 no ponto (1,1).(b) y3 + y2 − 5y − x2 = 4 no ponto (1,-1).


Taxas relacionadas

Muitas vezes precisamos calcular a taxa de variação de umaquantidade A. A melhor maneira de fazer isto é encontrar umaequação que relaciona A a uma segunda quantidade B, cuja variaçãoé mais simples de ser calculada. Então derivando ambos os lados daequação é possivel obter a variação procurada.Suponha que y = f (x) e x = g(t). Se as duas variáveis mudam com otempo, as suas taxas estão relacionadas pela regra da cadeia

dydt

=dydx

dxdt

.

Vamos ilustrar com um exemplo.


Taxas relacionadas

Exemplo: Suponha que y = x2 + 3, sendo x e y uma função de t .

Quando x = 1 edxdt

= 2, determinedydt

.

Pela regra da cadeia,

dydt

=dydx

dxdt

dydt

= 2xdxdt

.

Quando x = 1 edxdt

= 2, temos

dydt

= 2xdxdt

dydt

= 2 × 2 = 4.


Taxas relacionadas

Exercício: uma pedra é jogada em um lago, gerando ondas circularesconcêntricas. O raio r da ondulação externa aumenta a uma taxaconstante de 1m/s. Quando o raio atingir 4m, a que taxa varia a áreatotal da água perturbada?


Taxas relacionadas

Note que a área A está associado ao raio por A = πr2. Assim, temos

dAdt

=dAdr

drdt

dAdt

= 2πrdrdt

.

Quando r = 4 e drdt = 2, temos

dAdt

= 2πrdrdt

dydt

= 8πm/s2.


Taxas relacionadas

Exercício: Uma escada de 25m está apoiada contra a parede de umacasa. A base da escada está sendo afastada da casa a uma taxa de2m/s. Determine quão rápido o topo da escada escorrega pela parededa casa quando a base está a 7m da parede.


Taxas relacionadas

Figura: problema da escada


Taxas relacionadas

Note que a altura y do topo da escada está associado com a distânciax da base da escada até a parede. Essa relação é dada pelo teoremade Pitágoras:

y =√

252 − x2.

Agora continue.


Taxas relacionadas

Exercício: Um balão esférico está inflando. O raio do balão cresce auma taxa de 0,2m/seg quando o raio r = 5cm. A que taxa seu volumeV está crescendo neste instante?Note que o volume do balão está associado ao seu raio por V = 4

3πr3.Agora continue.


Taxas relacionadas

Exercício: Uma mancha de óleo em um lago está cercada por umabarrreira circular flutuante. Á medida que o comprimemto da barreira éencolhido, a área circular diminui por bombeamento. Se a barreiraestá sendo reduzida a uma taxa de 5m/s, a que taxa está diminuindo aárea da mancha, quando a área tiver um diâmetro de 100m?


Máximos e Mínimos

Seja f : [a,b] → R e c ∈ [a,b]. Se f (c) ≤ f (x) para todo x ∈ [a,b],dizemos que f (c) é o valor mínimo de f em [a,b]. Neste caso dizemostambém que c é um ponto de mínimo.Se f (c) ≥ f (x) para todo x ∈ [a,b], dizemos que f (c) é o valor máximode f em [a,b]. Neste caso dizemos também que c é um ponto demáximo.Se existe algum intervalo aberto I contendo c tal que f (c) ≤ f (x) paratodo x ∈ I, dizemos que f (c) é o valor mínimo local de f .Do mesmo modo, se existe algum intervalo aberto I contendo c tal quef (c) ≥ f (x) para todo x ∈ I, dizemos que f (c) é o valor máximo localde f .


Máximos e Mínimos

Figura: max e min locais


Máximos e Mínimos

TeoremaSeja f derivável em c e definida em um intervalo aberto contendo c.Se f (c) é um valor de máximo local ou um valor de mínimo local paraf , então f ′(c) = 0.

Demonstração: Suponha que f (c) seja um valor de máximo local.Então, temos

f ′(c) = limh→0+

f (c + h)− f (c)h

≤ 0

e

f ′(c) = limh→0−

f (c + h)− f (c)h

≥ 0.

Segue que f ′(c) = 0.Análogo para o caso em que f (c) é um valor de mínimo local. �


Máximos e Mínimos

Cuidado: a recíproca do teorema acima não é verdadeira. Porexemplo, função y = x3 tem x0 = 0 tal que f ′(x0) = 0, mas este valornão é nem de máximo e nem de mínimo.


Máximos e Mínimos


Máximos e Mínimos

Definição

Chamamos de ponto crítico ao número c ∈ dom(f ) tal que f ′(c) = 0 ouf ′(c) não existe.


Máximos e Mínimos

TeoremaSeja f : [a,b] → R derivável e suponha que f (c) seja um valor demáximo ou mínimo de f em [a,b]. Então, ou c é um ponto crítico ouum dos extremos do intervalo.

Demonstração: Se c não é extremo do intervalo, isto é, a ou b, entãof (c) é máximo ou mínimo local. Pelo teorema anterior f ′(c) = 0. �


Máximos e Mínimos

Exemplo: Seja f (x) = x(30 − x), x ∈ [0,30]. Como f ′(x) = 30 − 2x ,segue que x0 = 15 é ponto crítico. Como f (0) = 0, f (30) = 0 ef (15) = 135, segue que o valor de máximo absoluto de f em [0,30] é135 e ocorre no ponto x = 15. O valor de mínimo global é 0 e ocorreou no ponto x = 0 ou no ponto x = 30.


Máximos e Mínimos

Exercício: Determine e classifique os pontos críticos:(a) f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 15, x ∈ [0,3].(b) f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x + 1, x ∈ [−3,3].


Máximos e Mínimos

Exercício: Uma chapa retangular de 5m por 8m deve ser cortado 4quadrados iguais nos cantos para que, dobrando os lados, construiruma caixa sem tampa. Qual o tamanho do lado do quadrado que daráo maior volume?


Máximos e Mínimos

Exercício: Um fazendeiro tem 200m de arame para cercar uma árearetangular ao lado de um muro, assim ao lado deste não precisa decerca. Determine as dimensões desse retângulo para ele possua áreamáxima.


Máximos e Mínimos

Exercício: Um objeto com massa M é arrastado ao londo de umplano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda presaao objeto. Se a corda faz um ângulo θ com o plano, então a itensidadeF da força é dada por

F (θ) =µMg

cos(θ) + µ sin(θ),

onde g é força de gravidade e µ é o coeficiente de atrito. Determine ovalor de θ que minimiza F .


Máximos e Mínimos

Definição

Dizemos que uma função é crescente se x < y implicar f (x) < f (y). Édecrescente quando x < y implicar f (x) > f (y).

Teorema

Seja f : [a,b] → R derivável e suponha que f ′(x) > 0 em (a,b). Então,f é crescente.

De fato, como

f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)h

> 0

se h > 0, então f (x + h) > f (x) e portanto f é crescente. Se h < 0,então f (x + h) < f (x) e portanto f é crescente. �

Resultado análogo para função decrescente.


Máximos e Mínimos

Teorema (Teste da derivada primeira)

Suponha que c seja ponto crítico de uma função contínua f .(a) Se f ′ muda de positiva para negativa em c, então f tem um máximolocal em c.(a) Se f ′ muda de negativa para positiva em c, então f tem um mínimolocal em c.


Máximos e Mínimos

Figura: Teste da derivada primeira


Máximos e Mínimos

Teorema (Teste da derivada segunda)

Suponha que f seja duas vezes derivável em algum intervalo aberto Icontendo ponto crítico c. Então:(a) Se f ′′(x) > 0 em I, então f (c) é o valor mínimo de f em I.(a) Se f ′′(x) < 0 em I, então f (c) é o valor máximo de f em I.


Máximos e Mínimos

Teorema (Teste da concavidade)

Suponha que f seja duas vezes derivável em algum intervalo aberto I.Então:(a) Se f ′′(x) > 0 em I, então f é côncava para cima em cada ponto deI.(a) Se f ′′(x) < 0 em I, então f é côncava para baixo em cada ponto deI.

Chamamos ponto de inflexão de f ao ponto do domínio de f em que ográfico de f muda de concavidade. Alguns autores incluem pontocomo ponto de inflexão os pontos x onde não existe f ′′(x).


Máximos e Mínimos

Teorema (Teste do ponto de inflexão)

Suponha que f seja duas vezes derivável em algum intervalo aberto Icontendo c. Então c é um ponto de inflexão se f ′′(x) > 0 em um ladode c e f ′′(x) < 0 do outro lado de c.

Note que em um ponto c de inflexão de f pode ocorrer f ′′(c) = 0 ouf ′′(c) não existe.


Assíntotas

Se limx→∞ f (x) = L ∈ R ou limx→−∞ f (x) = L ∈ R dizemos que y = Lé uma assíntota horizontal.Se limx→a+ f (x) = ±∞ ou limx→a− f (x) = ±∞R dizemos que x = a éuma assíntota vertical.


Assíntotas

A função y = x(x−2)2 possui assíntota vertical em x = 2. Possui

assíntota horizontal em y = 0.Existem assíntotas que não são nem horizontais e nem verticais, elassão inclinadas.Dizemos que a reta não vertical y = ax + b é uma assíntota ao gráficod y = f (x) se

limx→∞

(f (x)− ax − b) = 0 ou limx→−∞

(f (x)− ax − b) = 0.

Por exemplo, y = x2+x−1x−1 tem a reta y = x + 2 como assintota.


Esboço de gráfico

Para esboçarmos gráfico de uma função podemos seguir o roteiroreunindo informações sobre a função para traçar o gráfico.Roteiro para esboçar gráfico:

1 Determinar o domínio.2 Determinar as interseções com os eixos coordenados.3 Simetria da função, se periódica, par ou ímpar.4 Determinar assintotas horizontais e verticais.5 Determinar os valores máximos e mínimos locais.6 Determinar as regiões de crescimento e decrescimento da função.7 Determinar as regiões de concavidade e pontos de inflexão.8 Esboço da curva.


Esboço de gráfico

Exercício: Esboce o gráfico de f (x) = x + 4x .

Exercício: Esboce o gráfico de f (x) = x (x − 4)3 .


Incrementos, diferenciais e aproximação linear

Os termos dx e dy apareceram até agora apenas como parte da

notação de derivadadydx

, que não era olhada como um quociente de

dois números.No entanto, é possível dar um significado para dx e para dy . A ideia éolhar para dx e dy como duas novas variáveis. Olhando destamaneira, dx e dy são chamadas de diferenciais.



Dada uma função diferenciável y = f (x), tomemos dx como umavariável independente e dy como sendo uma nova variáveldependente e relacionada a dx pela equação

dy = f ′(x)dx .



Muitas vezes precisamos de estimar rapidamente e de modo simplesa variação de y = f (x) que resulta da variação de x . Suponha que xsofreu um incremento ∆x . Assim, x muda para x +∆x . A mudançano valor de y é o incremento ∆y , calculado pela diferença

∆y = f (x +∆x)− f (x).



Figura: incrementos



Do gráfico acima vemos que f ′(x) ≈ ∆y∆x . Portanto,

f (x +∆x) ≈ f (x) + f ′(x)∆x .

Substituindo x por a na expressão acima temosf (a +∆x) ≈ f (a) + f ′(a)∆x .Se escrevermos ∆x = x − a, e portanto, x = a +∆x , a expressãoacima fica

f (x) ≈ f (a) + f ′(a)(x − a).

O lado direito, L(x) = f (a) + f ′(a)(x − a), é a equação de uma reta quepassa pelo ponto (a, f (a)) e tem inclinação f ′(a), é a reta tangente aográfico da f neste ponto. Esta é uma aproximação linear de f (x) pertodo ponto x = a.



Exemplo: Determine a aproximação linear da função f (x) =√

1 + xperto do ponto a = 0.Como f ′(x) = 1

2(1 + x)−12 segue que f ′(0) = 1

2 . Assim, como f ′(0) = 12

e f (0) = 1 temos L(x) = 1 + 12(x − 0) = 1 + 1

2x .Quando x está próximo de a = 0, o valor de f (x) é próximo de L(x).Assim, se x = 0.1 (perto de 0), temosf (0.1) =

√1.1 ≈ L(0.1) = 1 + 1

20,1 = 1,05.Mas f (2) =

√3 ≈ L(2) = 1 + 1

22 = 2, um valor muito diferente de√

3.



Exemplo: Determine uma aproximação para√

36.1.Vamos usar a função f (x) =

√x e a aproximação de f no ponto

a = 36. Como L(x) = f (a) + f ′(a)(x − a), então

√

36,1 = f (36 + 0,1) ≈ 6 +112

0,1 = 6,00833.


Regra de L’Hospital

Suponha que f e g sejam diferenciáveis perto de um ponto a, excetopossivelmente no próprio ponto a. Suponha que

limx→a

f (x) = 0 e limx→a

g(x) = 0

oulimx→a

f (x) = ±∞ e limx→a

g(x) = ±∞.

Então,

limx→a

f (x)g(x)

= limx→a

f ′(x)g′(x)

,

se o limite do lado direito existir ou for +∞ ou −∞..


Regra de L’Hospital

Exemplos Calcule os limites abaixo.

a) limx→1

ln xx − 1

.

b) limx→1

ln xx − 1

.

c) limx→0+

x ln x . Sugestão escreva como limx→0+

ln x1x

.


Propriedades da funções deriváveis

As funções deriváveis em intervalos possuem importantespropriedades que fornecem muitas informações sobre ocomportamento dessas funções.



Teorema (Rolle)

: Seja f : [a,b] → R contínua, tal que f (a) = f (b). Se f é derívalvel em(a,b) então existe um ponto c ∈ (a,b) onde f ′(c) = 0.



Demonstração: Se f (x) = k uma constante f (x) = f (b) em todointervalo [a,b], neste caso sua derivada é indenticamente nula. Se fnão for constante, ela terá que assumir valores maiores e menoresque f (a) = f (b).Se f (x) > f (a), para algum x em (a,b), pelo Teorema de extremo, fassume um valor máximo em algum ponto de [a,b]. Como f (a) = f (b)ela deve assumir esse valor em um número c no intervalo (a,b).Então f tem um máximo local em c e f é diferenciavél no intervalo(a,b). Portanto f ′(c) = 0.Se f (x) < f (a), para algum x em (a,b), pelo Teorema do valorExtremo f tem um valor mínimo em [a,b] e como f (a) = f (b), elaassume esse valor mínimo em um número c em (a,b). Novamentef ′(c) = 0. �



O teorema de Rolle afirma que existe um ponto (c, f (c)) onde a retatangente é horinzontal ao gráfico e portanto f ′(c) = 0. Faça algunsdesenhos para visualizar.



A seguir apresentamos o teorema do valor médio. Podemos usar oteorema de Rolle para demonstrá-lo.O teorema do valor médio apresenta uma explicação para o seguintefato: se a média de velocidade em uma viagem de carro de umacidade a outra é 80 km/h, então em algum momento da viagem ocarro atingiu a velocidade de 80 km/h. Seja S(t) a posição do carro noinstante t (horas). Se a viagem começou em t = a e terminou emt = b, então a velocidade média é

vm =S(b)− S(a)

b − a.

A afirmação de que em algum momento a velocidade foi igual àvelocidade média significa que vm = S′(t0), para algum t0. Isto é,

S′(t0) =S(b)− S(a)

b − a.



O teorema do valor médio estabelece as condições para que aigualdade acima seja verdadeira.

Teorema (valor médio)

Seja f : [a,b] → R uma função que satisfaz a seguintes condições:1o- f é contínua no intervalo fechado [a,b].2o- f é derivável no intervalo aberto (a,b).Então, existe um número c em (a,b) tal que

f ′(c) =f (b)− f (a)

b − a.



Em outras palavras, existe uma reta tangente ao gráfico que é paralelaà reta secante que une os pontos (a, f (a)) e (b, f (b)).



Notemos que a importância do teorema do valor médio reside no fatode ele nos possibilita obter informações sobre uma função a partir dedados sobre sua derivada.

Corolário

Se f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a,b), então f é uma função constante em[a,b].

Demonstração: De fato, como f (x)− f (a) = f ′(c)(x − a), para algumc entre a e x e f ′(c) = 0, segue que f (x) = f (a). Como esta igualdadevale para todo x ∈ (a,b), temos que f (x) = f (a). �



Corolário

Se f ′(x) = g′(x) para todo x ∈ (a,b), então f e g é diferem por umaconstante.

Demonstração: De fato, tomemos h(x) = f (x)− g(x), x ∈ [a,b].Como h′(x) = para todo x ∈ [a,b], segue que h(x) = k é funçãoconstante. Logo, f (x)− g(x) = k para todo x ∈ [a,b]. �



Demonstração do teorema do valor médio: A demonstração desseteorema consiste de duas etapas:1o- Definir uma função F (x) no intervalo [a,b] que satisfaz àshipoteses do Teorema de Rolle.2o- Aplicar a F (x) o Teorema de Rolle.

Considere a função auxiliar dada por

F (x) = f (x)− f (a)− f (b)− f (a)b − a

× (x − a).



Podemos observar facilmente que F (a) = F (b) = 0, além do que F éderivavél nos pontos internos ao intervalo [a,b]. Logo o Teorema deRolle é aplicável a essa função: existe um ponto c, entre a e b tal queF ′(c) = 0. Mas

F ′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a)b − a

,

de sorte que F ′(c) = 0 significa

f ′(c) =f (b)− f (a)

b − a.

Ou ainda f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a). Isso completa a demonstração doTeorema. �


cont deriv

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