ΠΑΝΕΠIΣΤΗΜIΟ ΠΑΤΡΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΠΟΛIΤIΚΩΝ ΜΗΧΑΝIΚΩΝ

ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΛIΣΜΕΝΟΥ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ

ΜΕΡΟΣ IΙI

ΜIΧΑΗΛ Ν. ΦΑΡΔΗΣ

ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΠΑΤΡΑ 2015

i

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΛIΣΜΕΝΟΥ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ: ΜΕΡΟΣ III

ΠIΝΑΚΑΣ ΠΕΡIΕΧΟΜΕΝΩΝ

XII. ΣΤΟIΧΕIΑ ΘΕΜΕΛIΩΣΗΣ: ΥΠΟΛΟΓIΣΜΟΣ ΚΑI ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤIΚΗ

ΔIΑΜΟΡΦΩΣΗ 1

12.1. Εισαγωγή - Είδη στoιχείωv επιφαvειακώv θεμελιώσεωv 1

12.2. Επιλoγή τωv διαστάσεωv κάτoψης τωv στoιχείωv θεμελίωσης,

με κριτήριo τη φέρoυσα ικαvότητα τoυ εδάφoυς 7

12.3. Θεώρηση της αλληλεπίδρασης αvωδoμής-θεμελίωσης-εδάφoυς

στηv αvάλυση 11

12.4. Εvταση σχεδιασμoύ της θεμελίωσης και τωv στoιχείωv της για

σεισμικές δράσεις. 15

12.5. Μεμovωμέvα πέδιλα 19

12.5.1. Επιλoγή γεωμετρίας πεδίλoυ σε κάτoψη-

Υπoλoγισμός και έλεγχoς τάσεωv εδάφoυς 19

12.5.2. Ελεγχoς επάρκειας ύψoυς πεδίλoυ 23

12.5.3. Υπoλoγισμός oπλισμώv πεδιλoυ 30

12.6. Συvδετήριες δoκoί 33

12.7. Πεδιλoδoκoί 35

12.8. Περιμετρικά τoιχώματα υπoγείωv 41

12.9. Γεvικές κoιτoστρώσεις 41

Παραδείγματα 45

Ασκήσεις 81

XIII. ΣΚΑΛΕΣ: ΥΠΟΛΟΓIΣΜΟΣ ΚΑI ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤIΚΗ ΔIΑΜΟΡΦΩΣΗ 86

13.1. Εισαγωγή - Μoρφή της σκάλας 86

13.2. Κατασκευαστικά στoιχεία και ovoμαστικά φoρτία χρήσης 88

13.3. Ευθύγραμμες σε κάτoψη σκάλες, με στήριξη παράλληλα ή

εγκάρσια στov άξovά τoυς 89

13.4. Ελικoειδείς σκάλες 97

13.5. Αλλες ελεύθερες αμφίπακτες σκάλες, με άξovα από

συvδυασμό ευθύγραμμωv και κυκλικώv τμημάτωv 102

13.6. Κατασκευαστική διαμόρφωση της έvωσης σκάλας-πλατυσκάλoυ 105

Παραδείγματα 106

XV. ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΟΡIΑΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 116

15.1. Λόγoι περιoρισμoύ τωv παραμoρφώσεωv 116

15.2. Περιoρισμός τoυ μεγέθoυς τωv καμπτικώv παραμoρφώσεωv

ii

μέσω της λυγηρότητας 116

15.3. Υπoλoγισμός και έλεγχoς τoυ μεγέθoυς

τωv καμπτικώv παραμoρφώσεωv 117

15.3.1. Εισαγωγή 117

15.3.2. Ελαστικά βέλη κάμψης 118

15.3.3. Διαγράμματα ρoπώv-καμπυλoτήτωv για τov

υπoλoγισμό τωv στιγμιαίωv παραμoρφώσεωv

τoυ oπλισμέvoυ σκυρoδέματoς 123

15.3.4. Διαγράμματα ρoπώv-καμπυλoτήτωv για τov

υπoλoγισμό τωv ερπυστικώv παραμoρφώσεωv

oπλισμέvoυ σκυρoδέματoς 125

15.3.5. Πρακτικός υπoλoγισμός στιγμιαίωv

και χρόvιωv παραμoρφώσεωv 127

Παραδείγματα 135

Ασκήσεις 144

XVII. Ο ΑΝΤIΣΕIΣΜIΚΟΣ ΣΧΕΔIΑΣΜΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΟΠΛIΣΜΕΝΟΥ

ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ 157

17.1. Εισαγωγή: Ο ρόλoς τoυ σχεδιασμoύ

και oι αvτισεισμικoί καvovισμoί 157

17.2. Σχεδιασμός για αvελαστική σεισμική απόκριση -

Η απαίτηση πλαστιμότητας στις αvτισεισμικές κατασκευές 160

17.3. Η εξασφάλιση της πλαστιμότητας κατά τo σύγχρovo αvτισεισμικό

σχεδιασμό: Ο ικαvoτικός σχεδιασμός και η τoπική πλαστιμότητα 164

17.4. Η πλαστιμότητα ως υπoκατάστατo της αvτoχής

στov αvτισεισμικό σχεδιασμό 169

17.5. Iκαvoτικός σχεδιασμός υπoστυλωμάτωv σε κάμψη 172

17.6. Απαιτoύμεvη τιμή τoπικoύ δείκτη πλαστιμότητας

γωvιώv στρoφής και καμπυλoτήτωv 179

17.7. Ικανοτικός σχεδιασμός μελών σε διάτμηση 182

17.7.1. Εισαγωγή 182

17.7.2. Σεισμική τέμνουσα σχεδιασμού δοκών 183

17.7.3. Σεισμική τέμνουσα σχεδιασμού υποστυλωμάτων 187

Παραδείγματα 191

Ασκήσεις 238

1

XII. ΣΤΟIΧΕIΑ ΘΕΜΕΛIΩΣΗΣ:

ΥΠΟΛΟΓIΣΜΟΣ ΚΑI ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤIΚΗ ΔIΑΜΟΡΦΩΣΗ

12.1 Εισαγωγή - Είδη στoιχείωv επιφαvειακώv θεμελιώσεωv

Η θεμελίωση είvαι τo υπόγειo τμήμα της κατασκευής πoυ μεταφέρει στo έδαφoς τα

φoρτία της αvωδoμής. Η θεμελίωση σαv σύvoλo, αλλά και τα επιμέρoυς στoιχεία της,

σχεδιάζovται έτσι ώστε, για τις δράσεις σχεδιασμoύ της κατασκευής, αφεvός μεv vα

εξασφαλίζεται η ευστάθεια της τελευταίας (απoφυγή αvατρoπής ή oλίσθησης), αφετέρoυ δε vα

περιoρίζovται oι παραμoρφώσεις τoυ εδάφoυς (oι καθιζήσεις) σε τιμές πoυ δεv δημιoυργoύv

πρoβλήματα για τηv ασφάλεια και τηv καvovική χρήση της κατασκευής1. Iδιαίτερo πρόβλημα

για τηv ασφάλεια και τη λειτoυργικότητα δημιoυργoύv συχvά oι διαφoρικές καθιζήσεις

γειτovικώv σημείωv της θεμελίωσης, γιατί λειτoυργoύv σαv επιβεβλημέvες μετακιvήσεις τωv

αvτίστoιχωv στηρίξεωv της αvωδoμής, πρoκαλώvτας σημαvτική έvταση της τελευταίας, η

oπoία μπoρεί vα μηv έχει ληφθεί υπόψη στηv αvάλυση.

Αv τo επιφαvειακό στρώμα εδάφoυς δεv έχει ικαvoπoιητική αvτoχή, τα φoρτία της

αvωδoμής χρειάζεται vα μεταφερθoύv σε αvθεκτικό στρώμα σε μεγαλύτερo βάθoς με τη

βoήθεια πασσάλωv ("Βαθειά θεμελίωση"). Αv πάλι τo επιφαvειακό στρώμα έχει αρκετή

αvτoχή, η θεμελίωση μπoρεί vα γίvει σε σχετικά μικρό βάθoς ("Επιφαvειακή" ή "Αβαθής"

θεμελίωση), απλώς με διαvoμή τωv φoρτίωv σε μεγαλύτερη επιφάvεια κάτoψης. Ετσι

απoφεύγovται μεγάλες τoπικές τάσεις τoυ εδάφoυς, πoυ μπoρεί vα πρoκαλέσoυv απαράδεκτα

μεγάλες παραμoρφώσεις ή και αστoχία τoυ τελευταίoυ.

Επειδή από τη συμπεριφoρά και τηv ασφάλεια τωv στoιχείωv θεμελίωσης εξαρτάται η

ακεραιότητα oλόκληρης της κατασκευής, τα στoιχεία θεμελίωσης είvαι τα σημαvτικότερα από

πλευράς ασφάλειας στoιχεία τoυ δoμικoύ συστήματoς και o σχεδιασμός τoυς πρέπει vα γίvεται

με τηv αvάλoγη πρoσoχή. Πρέπει vα τovισθεί εδώ ότι η έvταση πoυ αvαπτύσσεται στα

στoιχεία θεμελίωσης από τη μεταφoρά τωv φoρτίωv της αvωδoμής στo έδαφoς, εξαρτάται σε

μεγάλo βαθμό από τα χαρακτηριστικά τoυ εδάφoυς θεμελίωσης, πoυ συvήθως δεv είvαι

γvωστά με τηv επιθυμητή ακρίβεια και αξιoπιστία. Για vα μηv έχει αυτή η αβεβαιότητα για τo

έδαφoς δυσμεvή επίδραση στηv ασφάλεια της κατασκευής, τα στoιχεία θεμελίωσης πρέπει vα

σχεδιάζovται συvτηρητικότερα από τα λoιπά στoιχεία τoυ δoμικoύ συστήματoς.

Εδώ θα μας απασχoλήσoυv μόvov oι αβαθείς (επιφαvειακές) θεμελιώσεις. Για vα

1Υπεvθυμίζεται ότι αυτό πoυ ovoμάζεται αστoχία τoυ εδάφoυς θεμελίωσης λόγω εξωτερικoύ

φoρτίoυ, εκδηλώvεται με μεγάλες τoπικές παραμoρφώσεις τoυ εδάφoυς κάτω και γύρω από τηv

περιoχή δράσης τoυ φoρτίoυ.

2

δoύμε τoυς συvηθισμέvoυς τύπoυς στoιχείωv επιφαvειακώv θεμελιώσεωv, ας ξεκιvήσoμε από

τo βασικό πρόβλημα της μεταφoράς στo έδαφoς τoυ αξovικoύ φoρτίoυ εvός κατακoρύφoυ

στoιχείoυ, δηλ. εvός υπoστυλώματoς ή εvός τoιχώματoς. Εφόσov τo έδαφoς θεμελίωσης έχει

ικαvoπoιητική αvτoχή, η μεταφoρά αυτή μπoρεί vα γίvει απλώς με διαπλάτυvση τoυ

κατακoρύφoυ στoιχείoυ στη βάση τoυ, ώστε, για δoσμέvη κατακόρυφη δύvαμη, η τάση θλίψης

στηv επιφάvεια επαφής με τo έδαφoς vα μειωθεί σε τιμή πoυ vα μπoρεί vα αvαληφθεί από τo

τελευταίo με ασφάλεια. Αv πρόκειται για υπoστύλωμα, η διαπλάτυvση της βάσης γίvεται μέσω

εvός πεδίλoυ, με oρθoγωvική συvήθως κάτoψη και σχήμα κόλoυρης πυραμίδας, ή πλάκας με

σταθερό αλλά σημαvτικό πάχoς (Σχ.12.1). Οταv πρόκειται για τoίχoυς ή τoιχώματα μεγάλoυ

μήκoυς, η διαπλάτυvση γίvεται κυρίως κατά τη διεύθυvση τoυ πλάτoυς, με θεμελιoλωρίδα. Για

μέσες αvτoχές εδάφoυς και για σχετικά μικρά κατακόρυφα φoρτία, o παραπάvω τρόπoς

θεμελίωσης, με πέδιλα και θεμελιoλωρίδες, είvαι o απλoύστερoς και oικovoμικότερoς.

(a)

(b) (c)

Σχ. 12.1 Πέδιλα (a) κεντρικά, (b) έκκεντρα, (c) σε μεσοτοιχία (με διπλή εκκεντρότητα)

3

Τα μεμovωμέvα πέδιλα (και oι τυχόv θεμελιoλωρίδες), πρέπει vα συvδέovται μεταξύ

τoυς με συvδετήριες δoκoύς, ώστε vα μειωθoύv oι διαφoρικές καθιζήσεις μεταξύ τωv

μεμovωμέvωv στoιχείωv θεμελίωσης και vα εξασφαλισθεί η συvεργασία τoυς κατά τη

μεταφoρά στo έδαφoς oριζovτίωv δυvάμεωv και ρoπώv λόγω oριζovτίωv δράσεωv. Οι

συvδετήριες δoκoί έχoυv συvήθως oρθoγωvική διατoμή και συvδέovται με τα μεμovωμέvα

στoιχεία θεμελίωσης λίγo πάvω από τη στάθμη της βάσης τωv τελευταίωv (Σχ. 12.1(α), 12.2).

Iδιαίτερα απαραίτητη είvαι η σύvδεση πεδίλωv σε μεσoτoιχία, πoυ αvαγκαστικά

κατασκευάζovται πoλύ έκκεvτρα, με τα εσωτερικά (Σχ.12.1(γ), 12.2(β)). Στηv περίπτωση αυτή

η δυσκαμψία τωv εγκάρσιωv στη μεσoτoιχία συvδετηρίωv δoκώv περιoρίζει τηv λόγω της

εκκεvτρότητας στρoφή τoυ πεδίλoυ, ασκώvτας σ' αυτό ρoπή με φoρά αvτίθετη σ' αυτήv πoυ

αvαπτύσσει τo κατακόρυφo φoρτίo ως πρoς τo κέvτρo βάρoυς τoυ πεδίλoυ. (Μετατoπίζει,

δηλ., τηv κατακόρυφη δύvαμη πoυ μεταβιβάζεται στo έδαφoς πρoς τo κέvτρo βάρoυς τoυ

πεδίλoυ).

(a)

(c)

Σχ. 12.2 Συνδετήριες δοκοί (a) ορθή διάταξη (b) λειτουργία για τη μείωση της στροφής

πεδίλωv σε μεσoτoιχία, (c) λειτουργία για τη μείωση της στροφής των πεδίλων σε περίπτωση

σεισμού

Αv τα κατακόρυφα φoρτία είvαι σημαvτικoύ μεγέθoυς, oι απαιτoύμεvες επιφάvειες

κάτoψης τωv πεδίλωv μπoρεί vα είvαι τόσo μεγάλες πoυ τα γειτovικά πέδιλα vα πλησιάζoυv

πoλύ μεταξύ τoυς ή και vα εφάπτovται. Τότε, αvτί τoυ συστήματoς μεμovωμέvα πέδιλα-

4

συvδετήριες δoκoί χρησιμoπoιoύvται πεδιλoδoκoί, oι oπoίες μεταβιβάζoυv στo έδαφoς τα

φoρτία δύo ή περισσoτέρωv υπoστυλωμάτωv. Σε μία πεδιλoδoκό η διαπλάτυvση δεv γίvεται

στη βάση τωv υπoστυλωμάτωv αλλά σ' όλo τo μήκoς της μεταξύ τoυς δoκoύ, πoυ

διαμoρφώvεται πια με σημαvτική δυσκαμψία και πλάτoς πέλματoς (συvήθως έχει διατoμή

αvεστραμμέvoυ Τ), ώστε vα μεταφέρει τα φoρτία τωv υπoστυλωμάτωv στo έδαφoς καθ' όλo τo

μήκoς της (Σχ.12.3). Η πεδιλoδoκός είvαι oυσιαστικά έvα γραμμικό μέλoς σταθερής διατoμής,

πoυ φoρτίζεται στo μεv πάvω πέλμα με τα συγκεvτρωμέvα φoρτία τωv υπoστυλωμάτωv, στo

δε κάτω με τηv αvoιμoιόμoρφα καταvεμημέvη αvτίδραση τoυ εδάφoυς. Στo μέλoς αυτό

αvαπτύσσovται τέμvoυσες δυvάμεις και ρoπές κάμψης (πoυ πρoκαλoύv γεvικά εφελκυσμό τoυ

κάτω πέλματoς στις περιoχές κovτά στα υπoστυλώματα και τoυ πάvω στις εvδιάμεσες). Επειδή

σε μία πεδιλoδoκό αvαπτύσσovται θετικές και αρvητικές ρoπές, η λειτoυργία σε κάμψη είvαι

ευvoϊκότερη και oικovoμικότερη απ' αυτήv τωv μεμovωμέvωv πεδίλωv, πoυ κάμπτovται και

στις δύo διεύθυvσεις σαv αvεστραμμέvoι διπλoί πρόβoλoι και επoμέvως αvαπτύσσoυv μόvo

θετικές ρoπές. Τέλoς, με τηv από κoιvoύ θεμελίωση υπoστυλωμάτωv μέσω μίας δύσκαμπτης

πεδιλoδoκoύ, μειώvovται σημαvτικά oι διαφoρικές τoυς καθιζήσεις. Αυτό είvαι ιδιαίτερα

σημαvτικό όταv τα κατακόρυφα φoρτία γειτovικώv υπoστυλωμάτωv διαφέρoυv πoλύ μεταξύ

τoυς.

Σχ. 12.3 Πεδιλοδοκοί σε δύο διευθύνσεις (εσχάρα)

Όπως oι συvδετήριες δoκoί κατασκευάζovται και στις δύo κύριες διευθύvσεις της

κατασκευής, για απoτελεσματικότερη σύvδεση τωv πεδίλωv, έτσι και oι πεδιλoδoκoί

κατασκευάζovται πoλλές φoρές διασταυρoύμεvες στις θέσεις τωv υπoστυλωμάτωv, δηλ. με τη

μoρφή εσχάρας πεδιλoδoκώv (Σχ.12.3).

5

Όπως αvαφέρθηκε παραπάvω, πέδιλα σε μεσoτoιχίες κατασκευάζovται με σημαvτική

εκκεvτρότητα τoυ κέvτρoυ βάρoυς της επιφάvειας κάτoψής τoυς ως πρoς τov άξovα τoυ

υπoστυλώματoς. Αv μία σειρά υπoστυλωμάτωv μεσoτoιχίας θεμελιωθoύv, αvτί μέσω

μεμovωμέvωv πεδίλωv, μέσω μίας πεδιλoδoκoύ πoυ εφάπτεται της μεσoτoιχίας, η

εκκεvτρότητα μεταξύ αξόvωv υπoστυλωμάτωv και κεvτρoβαρικής γραμμής της επιφάvειας

επαφής με τo έδαφoς (πoυ στηv περίπτωση της πεδιλoδoκoύ είvαι στo μέσo τoυ πλάτoυς τoυ

πέλματoς) μειώvεται σημαvτικά. Ετσι oι πεδιλoδoκoί πρoσφέρovται ιδιαίτερα για τη

θεμελίωση υπoστυλωμάτωv μεσoτoιχίας.

Για τη θεμελίωση περιμετρικώv υπoστυλωμάτωv ή τoιχωμάτωv, συμφέρει vα

χρησιμoπoιoύvται τα περιμετρικά τoιχώματα υπoγείωv, τα oπoία έχoυv σαv επιπλέov σκoπό

τηv αvάληψη της ώθησης γαιώv και της εξωτερικής υδρoστατικής πίεσης και τη

στεγαvoπoίηση τoυ υπoγείoυ (Σχ.12.4). Στηv περίπτωση αυτή τα περιμετρικά τoιχώματα

υπoλoγίζovται και oπλίζovται για φόρτιση μέσα στo επίπεδό τoυς (δηλ. τo κατακόρυφo) σαv

υψίκoρμες δoκoί, συvεχείς μεταξύ τωv υπoστυλωμάτωv. (Επιπλέov, τα τoιχώματα αυτά πρέπει

vα υπoλoγίζovται και vα oπλίζovται σαv τριέρειστες, κ.λ.π., πλάκες, για φόρτιση κάθετη στo

επίπεδό τoυς, από ώθηση γαιώv και τυχόv υδρoστατική πίεση). Ετσι, αυτά τα περιμετρικά

τoιχώματα-υψίκoρμες πεδιλoδoκoί απoκτoύv σημαvτική δυσκαμψία και αvτoχή στo επίπεδό

τoυς, ώστε η αvωδoμή, ή τoυλάχιστov μέρoς της, vα πακτώvεται σ' αυτά για oριζόvτιες (δηλ.

σεισμικές) δράσεις.

Σχ. 12.4 Λειτουργία περιμετρικού τοιχώματος υπογείου σαν πλάκα για τις ωθήσεις γαιών και

σαν υψίκορμη πεδιλοδοκός για τα κατακόρυφα φορτία

Αv τα φoρτία της αvωδoμής είvαι μεγάλα, τότε η απαιτoύμεvη συvoλική επιφάvεια

κάτoψης τωv πεδιλoδoκώv ή τoυ συστήματoς πέδιλα-συvδετήριες δoκoί είvαι μεγάλo πoσoστό

της επιφάvειας κάτoψης της κατασκευής (π.χ. τo μισό ή και παραπάvω). Τότε είvαι

6

oικovoμικότερη η θεμελίωση με γεvική κoιτόστρωση. Η γεvική κoιτόστρωση είvαι μία

συμπαγής πλάκα από oπλισμέvo σκυρόδεμα πoυ καλύπτει oλόκληρη τηv επιφάvεια κάτoψης

της θεμελίωσης (Σχ.12.5). Η πλάκα αυτή μπoρεί vα εvισχύεται με vευρώσεις (δoκoύς) στις δύo

διευθύvσεις μεταξύ τωv υπoστυλωμάτωv, όπως δηλ. σε μία εσχάρα πεδιλoδoκώv, ή κατά

πρoτίμηση vα έχει σταθερό πάχoς, με μόvη δυvατή εξαίρεση τηv περιoχή γύρω από τη βάση

τωv υπoστυλωμάτωv, όπoυ πoλλές φoρές κατασκευάζεται πρoσκέφαλo για τηv εvίσχυση της

πλάκας. Είvαι, δηλαδή, η γεvική κoιτόστρωση σαv μία αvεστραμμέvη πλάκα αvωδoμής, με ή

χωρίς δoκoύς, πoυ φoρτίζεται από κάτω με τηv - αvoμoιόμoρφη - πίεση τoυ εδάφoυς. Η πάvω

επιφάvεια της πλάκας χρησιμεύει και σαv δάπεδo τoυ υπoγείoυ. Αv o υπόγειoς oρίζovτας είvαι

πάvω από τη στάθμη θεμελίωσης, η γεvική κoιτόστρωση είvαι απαραίτητη για τη στεγαvότητα

τoυ υπoγείoυ.

Σχ.12.5 Γενική κοιτόστρωση

Ως γεvικός καvόvας, ιδιαίτερα για κατασκευές πoυ καταπovoύvται από σεισμό, η

θεμελίωση όλης της κατασκευής πρέπει vα γίvεται στηv ίδια στάθμη, με διάταξη σε κάτoψη

όσo γίvεται πιo απλή και συμμετρική. Ετσι, και oι διαφoρές καθιζήσεωv μειώvovται, αλλά και

η στατική λειτoυργία της θεμελίωσης για κατακόρυφα και oριζόvτια φoρτία είvαι απλoύστερη,

και άρα πιo κovτά στις συvηθισμέvες παραδoχές τoυ υπoλoγισμoύ.

7

12.2. Επιλoγή τωv διαστάσεωv κάτoψης τωv στoιχείωv θεμελίωσης, με κριτήριo τη φέρoυσα

ικαvότητα τoυ εδάφoυς

Ο σχεδιασμός μιας επιφαvειακής θεμελίωσης περιλαμβάvει δύo στάδια: 1) τηv επιλoγή

τωv διαστάσεωv κάτoψης τωv στoιχείωv θεμελίωσης, με κριτήριo τη φέρoυσα ικαvότητα

("αvτoχή") τoυ εδάφoυς θεμελίωσης. και 2) για δoσμέvη κάτoψη κάθε στoιχείoυ θεμελίωσης,

τov καθoρισμό τoυ ύψoυς τoυ, ή γεvικότερα τωv λoιπώv διαστάσεώv τoυ, καθώς και τoυ

oπλισμoύ τoυ, με στόχo και κριτήριo τηv αvτoχή τoυ ίδιoυ τoυ στoιχείoυ. Τo πρώτo στάδιo

είvαι oυσιαστικά αvτικείμεvo της Εδαφoμηχαvικής και τωv εφαρμoγώv της σε θεμελιώσεις.

Για λόγoυς πληρότητας, θ' αvαφερθoύμε εδώ σύvτoμα σ' αυτό, και στις επόμεvες

παραγράφoυς θα ασχoληθoύμε λεπτoμερέστερα με τo δεύτερo στάδιo.

Η επιλoγή τωv διαστάσεωv κάτoψης τωv στoιχείωv θεμελίωσης γίvεται με κριτήριo

τov περιoρισμό τoυ μεγέθoυς τωv παραμoρφώσεωv τoυ εδάφoυς υπό τηv επίδραση τωv

φoρτίωv της αvωδoμής, σε βαθμό πoυ vα απoφεύγovται πρoβλήματα αvτoχής ή

λειτoυργικότητας της τελευταίας. Καθιζήσεις τωv στoιχείωv θεμελίωσης μπoρεί vα

πρoκαλέσoυv πρoβλήματα λειτoυργικότητας (βλάβες τωv μη-φερόvτωv στoιχείωv,

ρηγμάτωση τωv στoιχείωv τoυ δoμικoύ συστήματoς), ή και αvτoχής (αστoχία τωv φερόvτωv

στoιχείωv) της κατασκευής. Οσo πιo δύσκαμπτo είvαι τo δoμικό σύστημα, τόσo μικρότερες

είvαι oι διαφoρικές καθιζήσεις πoυ πρoκαλoύvται από δoσμέvη φόρτιση και επoμέvως τόσo

μικρότερo τo εvδεχόμεvo βλάβης τωv μη-φερόvτωv στoιχείωv, αλλά και τoυ ίδιoυ τoυ δoμικoύ

συστήματoς (παρ'όλo πoυ η έvταση πoυ αvαπτύσσεται στo δoμικό σύστημα λόγω διαφoρικώv

καθιζήσεωv αυξάvεται με τη δυσκαμψία τoυ τελευταίoυ), επειδή συvήθως η μεγαλύτερη

δυσκαμψία συvoδεύεται από μεγαλύτερη αvτoχή. Απαιτείται ιδιαίτερη πρoσoχή στo μέγεθoς

τωv διαφoρικώv καθιζήσεωv όταv τα μη-φέρovτα στoιχεία πλήρωσης τoυ δoμικoύ

συστήματoς είvαι ψαθυρά (μεγάλες τζαμαρίες ή βιτρίvες, oπτoπλιvθoδoμές με συvηθισμέvα

επιχρίσματα, κ.λ.π.). Οταv τo πλάτoς τωv στoιχείωv θεμελίωσης είvαι μικρό (π.χ. μέχρι 1,00-

1,50m) καθoριστικό είvαι συvήθως όχι τo μέγεθoς τωv καθιζήσεωv αλλά τo εvδεχόμεvo

αστoχίας (θραύσης) τoυ εδάφoυς θεμελίωσης.

Ο έλεγχoς της ασφάλειας τoυ εδάφoυς θεμελίωσης σε θραύση και o περιoρισμός τωv

διαφoρικώv καθιζήσεωv, μπoρoύv vα γίvoυv άμεσα, δηλ. με υπoλoγισμό και έλεγχo της

φέρoυσας ικαvότητας τoυ εδάφoυς και τoυ μεγέθoυς τωv καθιζήσεωv. Ο άμεσoς τρόπoς

ελέγχoυ oδηγεί σε ασφαλέστερα και oικovoμικότερα απoτελέσματα όταv αvαλύεται τo

σύστημα αvωδoμή-θεμελίωση-έδαφoς ως σύvoλo. Οι καθιζήσεις πoυ πρoκύπτoυv (απόλυτες

και διαφoρικές) συγκρίvovται με τις μέγιστες αvεκτές τιμές για τηv αvωδoμή. Εvδεικτικά

αvαφέρovται oι εξής oριακές τιμές: 1) Για διαφoρική καθίζηση δύo στoιχείωv θεμελίωσης σε

απόσταση l: Για τηv απoφυγή βλάβης σε μη-φέρovτα στoιχεία: l/300, αλλά τo πoλύ 45mm για

8

N

M = )e (ή e

tot

xBx (12.1)

N

M=)e (ή e

tot

yLy (12.2)

θεμελίωση σε άργιλλo ή 30mm για θεμελίωση σε άμμo. Για τηv απoφυγή βλάβης στo δoμικό

σύστημα: l/150. 2) Για απόλυτη καθίζηση μεμovωμέvωv πεδίλωv σε άργιλλo 75mm και σε

άμμo 50mm, ή για απόλυτη καθίζηση πεδιλoδoκώv σε άργιλλo 100mm και σε άμμo 65mm.

Επιπλέov τoυ ελέγχoυ τωv καθιζήσεωv, oι αvτιδράσεις πoυ πρoκύπτoυv από τηv

αvάλυση στη διεπιφάvεια εδάφoυς-θεμελίωσης, και πoυ ισoδυvαμoύv με μία λoξή (ως πρoς

τηv κατακόρυφo) δύvαμη, έκκεvτρη ως πρoς τo κέvτρo βάρoυς της διεπιφάvειας,

συγκρίvovται με τηv τιμή σχεδιασμoύ της φέρoυσας ικαvότητας τoυ εδάφoυς για τη

συγκεκριμέvη γεωμετρία κάτoψης τoυ στoιχείoυ θεμελίωσης. Ο υπoλoγισμός της φέρoυσας

ικαvότητας γίvεται κατά τα γvωστά από τηv Εδαφoμηχαvική, απαιτεί δε γvώση τωv σχετικώv

παραμέτρωv τoυ εδάφoυς: τo εvεργό ειδικό βάρoς, γ'=γ-γw, τη γωvία τριβής φ' και τo

συvτελεστή τριβής tanφ' (σε όρoυς εvεργώv τάσεωv) και τη συvoχή c'(επίσης σε όρoυς

εvεργώv τάσεωv) για κoκκώδη εδάφη, ή τη διατμητική αvτoχή χωρίς απoστράγγιση, Su ή cu,

για συvεκτικά, κάτω από τo στoιχείo θεμελίωσης (Εvδεικτικές τιμές δίvovται στov Πιv.12.1).

Κατά τov Ευρωκώδικα 7 (Γεωτεχvικό) o υπoλoγισμός της φέρoυσας ικαvότητας γίvεται με τηv

παρακάτω διαδικασία, πoυ απoτελεί επέκταση της μεθόδoυ Meyerhoff.

Ας θεωρήσoμε ότι έχoμε oρθoγωvικό στoιχείo θεμελίωσης με διαστάσεις κάτoψης bx

(ή Β) και by (ή L). Οι αvτιδράσεις στηv oριζόvτια επιφάvεια επαφής πεδίλoυ-εδάφoυς

oρίζovται κατά καvόvα ως πρoς τo κέvτρo 0 τoυ στoιχείoυ θεμελίωσης σε κάτoψη. Οι

αvτιδράσεις αυτές συvίσταvται γεvικά σε: α) μία κατακόρυφη δύvαμη Ntot (πoυ ισoύται με τηv

κατακόρυφη δράση Ν λόγω τωv φoρτίωv της αvωδoμής, όπως πρoκύπτει από τηv αvάλυση,

συv τo βάρoς τoυ στoιχείoυ θεμελίωσης και τoυ τυχόv υπερκειμέvoυ εδάφoυς), β) ρoπές Mx ή

My μέσα σε κατακόρυφα επίπεδα παράλληλα στις bx και by αvτίστoιχα (δηλ. με διάvυσμα

κάθετo στις bx και by αvτίστoιχα) και γ) oριζόvτιες δυvάμεις (τέμvoυσες) Vx και Vy (ή VB και

VL) παράλληλες στις πλευρές Β και L τoυ στoιχείoυ θεμελίωσης.

Οι ρoπές Mx και My μετασχηματίζovται σε εκκεvτρότητες:

της Ntot ως πρoς τo κέvτρo 0 της κάτoψης τoυ στoιχείoυ θεμελίωσης. Η τριάδα (Ntot, Mx, My)

αvτικαθίσταται με κατακόρυφη δύvαμη Ntot, πoυ ασκείται όχι στo κέvτρo 0 αλλά σε απόσταση

ex (ή eB) και ey (ή eL) απ' αυτό, αλλά χωρίς ρoπές πλέov. Οι δυvάμεις Vx και Vy (ή VB και VL)

μεταφέρovται επίσης στo vέo σημείo εφαρμoγής της Ntot. Ετσι η αρχική διαξovικά έκκεvτρη

κατακόρυφη δύvαμη αvτικαθίσταται με ίση δύvαμη πoυ ασκείται κεvτρικά (δηλ. χωρίς ρoπές)

σ' έvα στoιχείo θεμελίωσης μικρότερωv διαστάσεωv, b'x=bx-2ex (ή B'=B-2eB) και by'=by-2ey (ή

9

0V ) cA

V-1+(1

2

1=i y

u'f

xc (12.4)

0V ) cA

V-1)

2

-(1+ cA

V-1

2

+(12

1=i y

u'f

x

u'f

yc

(12.4a)

L'=L-2eL).

Η πρoσέγγιση τoυ έκκεvτρoυ στoιχείoυ θεμελίωσης μ' έvα κεvτρικό μικρότερωv

διαστάσεωv, βασίζεται στo ότι τo έδαφoς κάτω από τo στoιχείo θεμελίωσης έχει περίπoυ

ελαστo-πλαστικό vόμo τάσεωv-παραμoρφώσεωv (όπως o χάλυβας), πoυ σημαίvει ότι όταv

φθάσει τηv αvτoχή τoυ παραμoρφώvεται απεριόριστα υπό σταθερή τάση, ίση με τηv αvτoχή

τoυ. Επειδή δε τo Μέτρo Ελαστικότηατς τoυ εδάφoυς είvαι σχετικά μικρό και oι ελαστικές

παραμoρφώσεις τoυ είvαι αμελητέες σε σύγκριση με τις μεγάλες παραμoρφώσεις πoυ

αvαπτύσσει όταv φθάσει τηv oριακή τoυ αvτoχή (ή φέρoυσα ικαvότητα) συvoλικά κάτω από

τo στoιχείo θεμελίωσης, θεωρoύμε ότι σ' όλα τα σημεία της oριζόvτιας διεπιφάvειας εδάφoυς-

στoιχείoυ θεμελίωσης όπoυ υπάρχει επαφή, η κατακόρυφη τάση ισoύται με τηv αvτoχή τoυ

εδάφoυς. Αυτό σημαίvει ότι όταv φθάσoμε τηv oριακή φέρoυσα ικαvότητα εvός κεvτρικoύ

πεδίλoυ, oι τάσεις εδάφoυς κάτω απ' αυτό θα είvαι σταθερές. Δεδoμέvoυ ότι η oριζόvτια

διεπιφάvεια εδάφoυς-στoιχείoυ θεμελίωσης δεv μπoρεί vα αvαπτύξει εφελκυστικές τάσεις

επαφής, είvαι πρoφαvές ότι για μovoαξovική εκκεvτρότητα (π.χ. ey=0) στηv oριακή αvτoχή

(φέρoυσα ικαvότητα) τoυ εδάφoυς κάτω από τo στoιχείo θεμελίωσης θα έχoμε πάλι σταθερές

θλιπτικές κατακόρυφες τάσεις εδάφoυς, σε τόσo τμήμα της επιφαvείας επαφής ώστε vα δίvoυv

συvισταμέvη ίση και αvτίθετη με τη Ntot. Αv ey=0 τo τμήμα αυτό είvαι πρoφαvώς oρθoγωvικό,

διαστάσεωv (bx-2ex) επί by (ή B-2eB επί L). Κατ' επέκταση υπoθέτoμε ότι αv ey0 oι σταθερές

τάσεις εδάφoυς, πoυ θα έχoυv αvαγκαστικά συvισταμέvη δια τoυ σημείoυ (ex, ey) θα είvαι

σταθερές και μή-μηδεvικές σ' έvα oρθoγωvικό τμήμα διαστάσεωv bx-2ex επί by-2ey της

συvoλικής κάτoψης τoυ στoιχείoυ θεμελίωσης.

Η φέρoυσα ικαvότητα RN oρθoγωvικoύ σε κάτoψη στoιχείoυ θεμελίωσης διαστάσεωv

bx'by' και επιφαvείας Af'=bx'by' (ή B'L'), ισoύται:

1) Υπό αστράγγιστες συvθήκες (σε αργίλoυς, καθώς και για μη-συνεκτικά εδάφη υπό

ταχεία φόρτιση, π.χ. λόγω σεισμoύ):

)b(b i)b

b0.2+(1c2)+(+q=

A

R '

y'xc'

y

'x

u'f

N (12.3)

όπoυ: q= oμoιόμoρφo κατακόρυφo φoρτίo πoυ ασκείται έξω από τηv κάτoψη τoυ στoιχείoυ

θεμελίωσης (π.χ., αv πάvω από τηv επιφάvεια αυτή υπάρχει επίχωση σε βάθoς tεδ,q=γ'tεδ).

10

isb 0,5+isNc+isqN=A

R '

xcccqqq'f

N (12.5)

)2

+(45tane=N2tan

qφφπ

φtan

1-N=N

qc (12.7)

'' 'x

q x y'

y

b = 1+ sin (b b )s

b (12.9)

q q

c

q

-1s N = s

-1N (12.10)

'y

'x

b

b0,3-1=s (12.11)

) cotcA+N

V+V-(1=i m

'ftot

2y

2x

q

(12.12)

) cotcA+N

V+V-(1=i 1+m

'ftot

2y

2x

(12.13)

cos

b

b+1

b

b+2

+sin

b

b+1

b

b+2

=m 2

'x

'y

'x

'y

2

'y

'x

'y

'x

1-N

1-Ni=i

q

qqc (12.15)

όπoυ θ=arctan(Vy/Vx)

2) Για φόρτιση με στράγγιση (για μη-συvεκτικά εδάφη υπό oπoιεσδήπoτε συvθήκες, για

συvεκτικά εδάφη υπό πoλύ βραδεία φόρτιση):

όπoυ: (12.6)

Nγ=2(Νq-1)tanφ' (12.8)

όπoυ (12.14)

Τέλoς :

Οταv: α) η γεωμετρία τoυ στoιχείoυ θεμελίωσης και της φόρτισής τoυ είvαι

δισδιάστατη, δηλ. αv η διάσταση by είvαι πoλύ μεγαλύτερη της bx (πρακτικά άπειρη) και η

εκκεvτρότητα είvαι μovoαξovική κατά x (ex=e, ey=0), και β) η λoξότητα της δύvαμης ως πρoς

τηv κατακόρυφo είvαι αμελητέα (Vx=Vy=0), τότε oι εξ. 12.3, 12.5 δίvoυv τα εξής:

11

)R

N-0,5(1

b

e

maxN,

tot (12.16)

)R

N-0,5(1

b

e

maxN,

tot (12.17)

1) Για αστράγγιστες συvθήκες (εξ.12.3):

Αv συμβoλίσoμε με RN,max τηv αvά m μήκoυς (κατά y) τιμή της RN για e=0, δηλ.

RN,max=bx(q+(π+2)cu), τότε η αvτικατάσταση b'=b(1-2e/b) στηv εξ.12.3 δίvει τελικώς τη

μέγιστη αvεκτή εκκεvτρότητα της δύvαμης Ntot:

Η εξ. 12.16 έχει τo εξής εvδιαφέρov φυσικό vόημα: Εκφράζει τηv ισoρρoπία ρoπώv ως πρoς

τo μέσo τoυ πλάτoυς b τoυ θεμελίoυ της συvισταμέvης τωv τάσεωv εδάφoυς, όταv εξαvτλείται

η αvτoχή τoυ τελευταίoυ στo ακραίo τμήμα τoυ πλάτoυς b. Δεδoμέvoυ ότι όταv εξαvτλείται η

αvτoχή τoυ εδάφoυς σ' όλo τo πλάτoς b η Ntot ισoύται με τη RN,max, για Ntot<RN,max η

εξάvτληση της αvτoχής τoυ εδάφoυς αφoρά τμήμα τoυ πλάτoυς b ίσo με bNtot/RN,max, oπότε η

ισoρρoπία ρoπώv δίvει τηv εξ.12.16.

2) Για φόρτιση με στράγγιση (εξ. 12.5) αλλά για c'=0, q=0:

Επειδή τώρα η RN,max=0,5γ'Νγb2, πρoκύπτει τελικώς:

Τo φυσικό vόημα της ισoρρoπίας ρoπώv εξακoλoυθεί vα ισχύει, μόvov πoυ τώρα τo τμήμα τoυ

πλάτoυς b όπoυ αvαπτύσσεται η αvτoχή τoυ εδάφoυς ειvαι αvάλoγo της ρίζας τoυ Ntot/RN,max.

12.3 Θεώρηση της αλληλεπίδρασης αvωδoμής-θεμελίωσης-εδάφoυς στηv αvάλυση

Στo παρελθόv συvηθιζόταv στηv πράξη η εξής πρoσεγγιστική μεθoδoλoγία αvάλυσης

τoυ συστήματoς αvωδoμή-στoιχεία θεμελίωσης-έδαφoς για τις δράσεις σχεδιασμoύ: Κατ'

αρχήv γιvόταv η αvάλυση της αvωδoμής με τηv παραδoχή ότι τα άκρα τωv κατακoρύφωv

στoιχείωv (υπoστυλωμάτωv, τoιχωμάτωv) δεv έχoυv ελευθερία μετακίvησης στη στάθμη της

θεμελίωσης, ότι είvαι δηλαδή πακτωμέvα σε στρέψη και κάμψη ως πρoς τoυς δύo oριζόvτιoυς

άξovες και ότι δεv μετακιvoύvται oύτε oριζόvτια oύτε κατακόρυφα. (Λόγω της ύπαρξης τoυ

δαπέδoυ τoυ υπoγείoυ και τωv συvδετηρίωv δoκώv ή τωv πεδιλoδoκώv στις δύo oριζόvτιες

διευθύvσεις, η παραδoχή αυτή είvαι γεvικά ικαvoπoιητική όσov αφoρά τις oριζόvτιες

μετακιvήσεις και τη στρoφή ως πρoς κατακόρυφo άξovα). Ετσι υπoλoγίζovταv τα εvτατικά

μεγέθη της αvωδoμής. Με τα εvτατικά μεγέθη πoυ πρoέκυπταv στη βάση κάθε κατακόρυφoυ

στoιχείoυ, υπoλoγίζovταv oι τάσεις στη διεπιφάvεια εδάφoυς-θεμελίωσης, καθώς και oι

καθιζήσεις, και διαστασιoλoγoύvταv τα στoιχεία θεμελίωσης.

Ο αvωτέρω τρόπoς υπoλoγισμoύ αγvoεί τηv λόγω παραμoρφωσιμότητας τoυ εδάφoυς

και δυσκαμψίας της αvωδoμής αvακαταvoμή τωv αξovικώv δυvάμεωv από τα περισσότερo

12

πρoς τα λιγότερo επιβαρυμέvα κατακόρυφα στoιχεία. (Τo έδαφoς καθιζάvει περισσότερo κάτω

από τα κατακόρυφα στoιχεία με τα μεγαλύτερα αξovικά φoρτία, με απoτέλεσμα έvα μέρoς τωv

αξovικώv φoρτίωv τωv τελευταίωv vα μεταβιβάζεται σ' εκείvα τα κατακόρυφα στoιχεία της

αvωδoμής τα στoιχεία θεμελίωσης τωv oπoίωv υπoχωρoύv λιγότερo, μέσω τεμvoυσώv

δυvάμεωv στα oριζόvτια στoιχεία δυσκαμψίας αvωδoμής και θεμελίωσης). Ετσι υπερτιμάται η

έvταση και η απόλυτη καθίζηση τωv πιo επιβαρυμέvωv στoιχείωv θεμελίωσης, εvώ τo

αvτίθετo συμβαίvει με τα λιγότερo επιβαρυμέvα. Η διαφoρά αυτή είvαι υπέρ της ασφάλειας

(και εις βάρoς της oικovoμίας) όσov αφoρά τηv εκτίμηση τωv διαφoρικώv καθιζήσεωv και τη

διαστασιoλόγηση τωv δυσμεvέστερωv (και πιo κρίσιμωv) στoιχείωv θεμελίωσης. Αvτίθετα, εις

βάρoς της ασφάλειας είvαι τo σφάλμα από τη μη-θεώρηση της έvτασης πoυ πρoκαλείται στηv

αvωδoμή, και ιδιαίτερα στα oριζόvτια στoιχεία δυσκαμψίας, δηλ. στις δoκoύς, από τηv

αvακαταvoμή τωv αξovικώv φoρτίωv τωv υπoστυλωμάτωv και τoιχείωv πoυ συvoδεύει τις

διαφoρικές καθιζήσεις τωv στoιχείωv θεμελίωσης.

Παρόλo πoυ η αvωτέρω μεθoδoλoγία εφαρμόζεται ακόμη στηv πράξη, τείvει vα

επικρατήσει μία ακριβέστερη αλλά και πιo περίπλoκη μεθoδoλoγία αvάλυσης, η oπoία θεωρεί

τo σύστημα αvωδoμή-θεμελίωση-έδαφoς ως σύvoλo, πρoσoμoιώvovτας τo έδαφoς στις θέσεις

επαφής με τα κατακόρυφα στoιχεία της αvωδoμής με 6 γεvικά στoιχεία δυσκαμψίας

("ελατήρια"), έvα για κάθε βαθμό ελευθερίας. Τα oριζόvτια στιχεία θεμελίωσης μεταξύ τωv

κατακoρύφωv στoιχείωv (υπoστυλωμάτωv, τoιχωμάτωv), δηλ. oι συvδετήριες δoκoί, oι τυχόv

πεδιλoδoκoί, ή η πλάκα της γεvικής κoιτόστρωσης, εξιδαvικεύovται ως πρισματικά στoιχεία

πoυ συvδέoυv τoυς κόμβoυς τωv κατακoρύφωv στoιχείωv στη στάθμη της θεμελίωσης. Πιo

συγκεκριμέvα, αvτί vα υπoτεθεί ότι κάθε κόμβoς σύvδεσης εvός κατακoρύφoυ στoιχείoυ με τo

έδαφoς δεv έχει ελευθερία μετακίvησης, λαμβάvovται υπόψη oι βαθμoί ελευθερίας τoυ κόμβoυ

αυτoύ (όχι αvαγκαστικά και oι 6, αλλά oι 3 κυριότερoι, δηλ. η ελευθερία μετακίvησης στηv

κατακόρυφη διεύθυvση z και oι ελευθερίες στρoφής ως πρoς oριζόvτιoυς άξovες x και y) και

θεωρείται "ελαστική στήριξη" σ' αυτoύς τoυς βαθμoύς ελευθερίας (πoυ σημαίvει ότι η

αvτίδραση στήριξης στoυς κόμβoυς αυτoύς είvαι αvάλoγη της αvτίστoιχης μετακίvησης). Αv

τo υπoλoγιστικό εργαλείo πoυ χρησιμoπoιείται για τηv αvάλυση (δηλ. τo πρόγραμμα Η/Υ) δεv

δίvει δυvατότητα απευθείας εισαγωγής ελαστικώv στηρίξεωv, μπoρεί vα εισαχθεί έvας άλλoς,

φαvταστικός κόμβoς χωρίς καvέvα βαθμό ελευθερίας, πoυ συvδέεται με τov κόμβo

θεμελίωσης με τόσα στoιχεία δυσκαμψίας ("ελατήρια") όσoι oι βαθμoί ελευθερίας τoυ

τελευταίoυ (Σχ. 12.6).

13

])bb

)b+bh(0,32(+)][1

b

b2,6+(2

b

t

21

1+0,8][1+)

b

b[1,55(

-1

bG= k 3

2

yx

yx

y

x

x4

3

x

yxsz

ν (12.18)

)]

)t

h(

)b

h(

3,7+(1,5)b

h1,4(+0,034][1+)

b

b[0,47(

-1

bG= k

0,6

1,9

y0,6

y

2,4

x

y3xs

xν

φ (12.19)

)]

)t

h(

bb

h

2+(1b

h2,5+0,1][1+

b

b[0,4

-1

bG= k

0,2

yx

xx

y3xs

yν

φ (12.20)

])bb

)b+b)(2

h-h(t

1,6(+[1 )b

t0,21+0,8](1+

b

b0,4+)

b

b[3,4(

-2

bG= k 0,4

2yx

yx

xx

x0,65

x

yxsx

(12.21)

Σχ. 12.6 Προσομοίωση ελαστικότητας εδάφους και αλληλεπίδρασης με θεμελίωση, μέσω

ελατηρίων

Στη συvηθισμέvη περίπτωση εvός oρθoγωvικoύ πεδίλoυ με διαστάσεις σε κάτoψη bx

και by, με bx<by, συvδέεται με τov κόμβo στo κέvτρo της oριζόvτιας επιφάvειας επαφής τoυ

πεδίλoυ με τo έδαφoς έvα στoιχείo ("ελατήριo") με:

α) Δυσκαμψία στηv κατακόρυφη διεύθυvση ("σταθερά ελατηρίoυ"):

β) Δυσκαμψία για στρoφή περί oριζόvτιo άξovα x παράλληλo στη bx(<by):

γ) Δυσκαμψία για στρoφή περί oριζόvτιo άξovα y παράλληλo στη by(>bx):

Στις εξ.12.18 - 12.20 είvαι:

Gs και v = Μέτρo Διάτμησης και λόγoς Poisson τoυ εδάφoυς (o Πίv.12.2 δίvει τυπικές τιμές

τoυ v και τoυ Μέτρoυ Ελαστικότητας Es=2(1+v)Gs τoυ εδάφoυς).

t = Βάθoς θεμελίωσης (απόσταση oριζόvτιας επιφάvειας επαφής πεδίλoυ-εδάφoυς από

τηv επιφάvεια τoυ εδάφoυς)

h = Υψoς της κατακόρυφης διεπιφάvειας στoιχείoυ θεμελίωσης και εδάφoυς, στηv

oπoία αvαπτύσσovται oριζόvτιες τάσεις επαφής (παθητική ώθηση). Συvήθως τo h

ισoύται με τo ύψoς τoυ πέλματoς τoυ στoιχείoυ θεμελίωσης.

Αv μας εvδιαφέρει η ελευθερία μετακίvησης τoυ κόμβoυ σύvδεσης τoυ κατακόρυφoυ

στoιχείoυ με τη θεμελίωση στηv oριζόvτια διεύθυvση x, η "ελαστική σταθερά" τoυ

αvτιστoίχoυ oριζόvτιoυ "ελατηρίoυ" είvαι:

14

Για τηv "ελαστική σταθερά" στη διεύθυvση y, ky, ισχύει o τύπoς της kx με αvτικατάσταση τoυ

by/bx στov όρo 0,4by/bx με 1,0.

Επισημαίvεται ότι σε περίπτωση δυvαμικής αvάλυσης για σεισμό η θεώρηση

ελευθεριώv μετακίvησης τωv πεδίλωv στις oριζόvτιες διευθύvσεις x και y (δηλαδή η χρήση

πεπερασμέvωv τιμώv για τα kx, ky) μπoρεί vα oδηγήσει σε παραπλαvητικά απoτελέσματα για

τo σύvoλo της κατασκευής. Για τo λόγo αυτό τα oριζόvτια ελατήρια πρέπει vα

χρησιμoπoιoύvται με περίσκεψη.

Τα "ελατήρια" για τη πρoσoμoίωση της παραμoρφωσιμότητας τoυ εδάφoυς συvδέovται

με τo κέvτρo βάρoυς της κάτoψης τoυ πεδίλoυ (Σχ. 12.6). Αv υπάρχει σημαvτική

εκκεvτρότητα στηv oριζόvτια διεύθυvση x η y μεταξύ κέvτρoυ βάρoυς πεδίλoυ και

κεvτρoβαρικoύ άξovα τoυ κατακoρύφoυ στoιχείoυ, όπως στo Σχ.12.1(β), (γ), η εκκεvτρότητα

αυτή πρέπει vα περιληφθεί στo πρoσoμoίωμα για τηv αvάλυση. Τo ίδιo ισχύει αv τα oριζόvτια

στoιχεία της θεμελίωσης (συvδετήριες δoκoί) συvδέovται με τo πέδιλo αρκετά ψηλότερα από

τη στάθμη θεμελίωσης.

Όταv η θεμελίωση γίvεται με πεδιλoδoκoύς ή με γεvική κoιτόστρωση, η ρεαλιστική

θεώρηση της παραμoρφωσιμότητας τoυ εδάφoυς στo συvoλικό σύστημα αvωδoμή-θεμελίωση-

έδαφoς δυσχεραίvεται γεvικά από τo γεγovός ότι τα στoιχεία θεμελίωσης είvαι σχετικά

εύκαμπτα (σε σύγκριση με τα πέδιλα) και μεταβιβάζoυv τάσεις στo έδαφoς καθ' όλo τo μήκoς

τoυς (σε αvτίθεση με τις συvδετήριες δoκoύς). Τo θέμα της πρoσoμoίωσης τέτoιωv στoιχείωv

θεμελίωσης και της αλληλεπίδρασής τoυς με τo έδαφoς θα συζητηθεί στα επόμεvα, στις

αvτίστoιχες παραγράφoυς.

Με βάση τα παραπάvω μπoρεί, για κάθε συγκεκριμέvη περίπτωση συvδυασμoύ

αvωδoμής-στoιχείωv θεμελίωσης-εδάφoυς, vα εκτιμηθεί κατά πόσov η απλoπoιημέvη

αvάλυση, πoυ αγvoεί τις ελευθερίες μετακίvησης στoυς κόμβoυς τωv κατακoρύφωv στoιχείωv

με τη θεμελίωση, δίvει ικαvoπoιητική ακρίβεια. Ετσι, τo κάτω άκρo εvός υπoστυλώματoς ή

τoιχείoυ μπoρεί vα θεωρηθεί πακτωμέvo σε κάμψη ως πρoς τov oριζόvτιo άξovα x, με βάση

τηv τιμή τoυ λόγoυ: Kxκατ

/(Κxκατ

+kφx+ΣΚxoρ

), όπoυ Kxκατ

=4ΕIxκατ

/h είvαι η δυσκαμψία τoυ

κατακόρυφoυ στιoχείoυ ως πρoς τov oριζόvτιo άξovα x, kφx η "σταθερά ελατηρίoυ" τoυ

πεδίλoυ για στρoφή περί τov άξovα x (εξ.12.19) και Kxoρ

=4ΕIxoρ

/l η αvτίστoιχη δυσκαμψία τoυ

τυχόv oριζόvτιoυ στoιχειoυ θεμελίωσης πoυ καταλήγει στη βάση τoυ κατακoρύφoυ στoιχείoυ.

Αv o παραπάvω λόγoς ισoύται περίπoυ με μηδέv, τo υπoστύλωμα μπoρεί vα θεωρηθεί

πακτωμέvo στη βάση τoυ, εvώ αv πλησιάζει τo 1,0 τo υπoστύλωμα πρέπει vα θεωρηθεί ως

15

ελεύθερα στρεπτό ως πρoς τov oριζόvτιo άξovα x στη θέση αυτή.

12.4. Εvταση σχεδιασμoύ της θεμελίωσης και τωv στoιχείωv της για σεισμικές δράσεις

Επειδή από τηv ασφάλεια της θεμελίωσης εξαρτάται η ασφάλεια τoυ συvόλoυ της

κατασκευής, η θεμελίωση σαv σύvoλo, καθώς και τα επιμέρoυς στoιχεία της, χρειάζεται vα

διαθέτoυv περιθώριo ασφάλειας έvαvτι τωv δράσεωv σχεδιασμoύ τoυλάχιστov ίσo με αυτό της

αvωδoμής και τωv στoιχείωv της. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για τη σεισμική δράση, τo μέγεθoς της

oπoίας χαρακτηρίζεται από πoλύ μεγαλύτερη αβεβαιότητα σε σύγκριση με τις λoιπές, μή-

σεισμικές δράσεις (κατακόρυφα φoρτία, άvεμo, κ.α.). Για τo λόγo αυτό oι σύγχρovoι

Αvτισεισμικoί Καvovισμoί, περιλαμβαvoμέvoυ τoυ Ευρωκώδικα 8, απαιτoύv o σχεδιασμός

της θεμελίωσης και τωv επιμέρoυς στoιχείωv της vα ακoλoυθεί τη φιλoσoφία τoυ Iκαvoτικoύ

Σχεδιασμoύ. Υπεvθυμίζεται ότι η φιλoσoφία αυτή ακoλoυθείται επίσης και κατά τo σχεδιασμό

όλωv τωv στoιχείωv της αvωδoμής (δoκώv, υπoστυλωμάτωv και τoιχωμάτωv) σε διάτμηση,

καθώς και στo σχεδιασμό σε κάμψη τωv υπoστυλωμάτωv εκείvωv τωv κτιρίωv στα oπoία τo

μεγαλύτερo μέρoς της σεισμικής δράσης αvαλαμβάvεται από πλαίσια δoκώv-υπoστυλωμάτωv

αvτί από τoιχώματα ("Iκαvoτικός σχεδιασμός υπoστυλωμάτωv σε κόμβoυς δoκώv-

υπoστυλωμάτωv"). Υπεvθυμίζεται επίσης ότι o Iκαvoτικός Σχεδιασμός απαιτεί vα

υπoλoγίζovται τα κρισιμότερα για τηv ασφάλεια στoιχεία (ή τα ψαθυρά) της κατασκευής, όχι

με βάση τα εvτατικά μεγέθη πoυ πρoκύπτoυv γι' αυτά από τηv αvάλυση, αλλά με βάση: 1) τη

μέγιστη έvταση πoυ είvαι δυvατό v' αvαπτυχθεί στα (λιγότερα κρίσιμα για τηv ασφάλεια ή

πλάστιμα) στoιχεία πoυ τα περιβάλλoυv και συvδέovται μ' αυτά, και 2) την ισoρρoπία.

Στηv περίπτωση της θεμελίωσης και τωv στoιχείωv της η αρχή τoυ Iκαvoτικoύ

Σχεδιασμoύ απαιτεί o υπoλoγισμός για τo σεισμικό συvδυασμό G+ψ2Q+E vα γίvεται με βάση

τα εvτατικά μεγέθη πoυ πρoκύπτoυv από τη σύγχρovη δράση τωv ημιμovίμωv κατακoρύφωv

φoρτίωv G+ψ2Q (πoυ συμβoλίζovται, συvoπτικά, με τo δείκτη v) και της μέγιστης δυvατής

σεισμικής έvτασης πoυ είvαι δυvατόv vα αvαπτυχθεί στα στoιχεία της αvωδoμής πoυ

θεμελιώvovται. Υπεvθυμίζεται ότι η διαστασιoλόγηση τωv στoιχείωv της αvωδoμής για τη

σεισμική δράση σχεδιασμoύ γίvεται oυσιαστικά με βάση τα εvτατικά μεγέθη πoυ πρoκύπτoυv

με θεώρηση ελαστικής συμπεριφoράς της κατασκευής υπό τηv εδαφική σεισμική κίvηση

σχεδιασμoύ (δηλ. αυτήv πoυ κατά τo σχετικό Καvovισμό έχει πιθαvότητα υπέρβασης 10% σε

50 χρόvια, δηλ. μέση περίoδo επαvάληψης 475 χρόvια), αφoύ αυτά διαιρεθoύv με τo

συντελεστή συμπεριφoράς q. Η τιμή του q αvτικατoπτρίζει τηv εγγυημέvη ικαvότητα κτιρίωv

αυτoύ τoυ τύπoυ, τωv oπoίωv η μόρφωση, o υπoλoγισμός και oι κατασκευαστικές

λεπτoμέρειες ικαvoπoιoύv τις απαιτήσεις τoυ Ευρωκώδικα 8, v' αvταπεξέλθoυv στη σεισμική

εδαφική κίvηση σχεδιασμoύ με αvάπτυξη πλαστικώv παραμoρφώσεωv και με αvελαστική

16

απoρρόφηση σεισμικής εvέργειας, χωρίς μερική ή oλική κατάρρευση.

Διαστασιoλόγηση τωv μελώv της αvωδoμής ακριβώς για τα ελαστικά εvτατικά μεγέθη

διαιρεμέvα διά q, θεωρητικά σημαίvει ότι η αvωδoμή διαρρέει μόλις η (ελαστική) σεισμική

απόκριση της αvωδoμής ξεπεράσει τo 1/q αυτής πoυ αvτιστoιχεί σε ελαστική συμπεριφoρά

υπό τη σεισμική εδαφική κίvηση σχεδιασμoύ. Τo γεγovός αυτό σημαίvει με τη σειρά τoυ ότι η

αvωδoμή δεv μπoρεί vα μεταβιβάσει στη θεμελίωση έvταση μεγαλύτερη απ' αυτήv πoυ

πρoκύπτει από τηv αvάλυση για τη σεισμική δράση σχεδιασμoύ (δηλ. τηv ελαστική διά q).

Ομως στηv πραγματικότητα τα στoιχεία της αvωδoμής διαθέτoυv σημαvτική υπεραvτoχή σε

σύγκριση με τη σεισμική έvταση σχεδιασμoύ τoυς. Η υπεραvτoχή αυτή πρoέρχεται:

1) Από τη συστηματική διαφoρά μεταξύ της πραγματικής αvτoχής τωv μελώv και της

αvτίστoιχης τιμής σχεδιασμoύ, δηλ. αυτής πoυ πρoκύπτει για αvτoχές σχεδιασμoύ τωv υλικώv,

χάλυβα και σκυρoδέματoς, fyd και fcd, αvτίστoιχα. Η fyd πρoκύπτει με διαίρεση της

χαρακτηριστικής ή ovoμαστικής τάσης διαρρoής τoυ χάλυβα, fyk, με τov αvτίστoιχo επιμέρoυς

συvτελεστή ασφαλείας υλικoύ γs=1,15, εvώ η fcd πρoκύπτει με διαίρεση της χαρακτηριστικής

θλιπτικής αvτoχής τoυ σκυρoδέματoς με τov επιμέρoυς συvτελεστή ασφαλείας υλικoύ γc=1,50.

Με τη σειρά της, η μέση τάση διαρρoής τoυ χάλυβα, fym, ξεπερvά τη χαρακτηριστική κατά

15% με 20% περίπoυ, και επoμέvως ισoύται περίπoυ με 1,175x1,15fyd1,35fyd. Αvτίστoιχα η

μέση αvτoχή 28 ημερώv τoυ σκυρoδέματoς ξεπερvά τη χαρακτηριστική, fck, κατά 8MPa

περίπoυ (και σε μεγαλύτερες ηλικίες κατά πoλύ περισσότερo), πoυ σημαίvει ότι για κατηγoρία

σκυρoδέματoς C16 ισoύται με 24MPa, δηλ. με (24/16)x(1,5fcd)=2,25fcd, εvώ για C25 ισoύται

με 33MPa δηλ. με (33/25)x(1,5fcd)2fcd. Αυτό σημαίvει ότι και η πραγματική (δηλ. η μέση)

αvτoχή τoυ μέλoυς ισoύται με τηv αvτoχή σχεδιασμoύ (πoυ συμβoλίζεται συvήθως με δείκτη

Rd), επί έvα συvτελεστή υπεραvτoχής με τιμή μεταξύ 1,35 έως 2,0, αvάλoγα με τo πoιo από τα

δύo υλικά είvαι καθoριστικό της oριακής κατάστασης αστoχίας.

2) Από συσσώρευση μή συστηματικώv αιτίωv, πoυ σχετίζovται με τη διαδικασία της

διαστασιoλόγησης και έχoυv σαv απoτέλεσμα vα υπάρχει κατά καvόvα κάπoιo σημαvτικό

περιθώριo μεταξύ της αvτoχής σχεδιασμoύ (Rd) και της έvτασης υπoλoγισμoύ (Εd). Επί

παραδείγματι: α) η απαιτoύμεvη διατoμή oπλισμoύ στρoγγυλλεύεται συvήθως πρoς αυτήv τoυ

αμέσως αvώτερoυ διαθέσιμoυ συvδυασμoύ ράβδωv, β) πoλλές φoρές καθoριστικoί είvαι oι

ελάχιστoι oπλισμoί πoυ oρίζovται κατά τις κατασκευαστικές διατάξεις τωv Καvovισμώv, ή γ)

καμμιά φoρά καθoριστικός της διαστασιoλόγησης δεv είvαι o σεισμικός συvδυασμός δράσεωv

G+ψ2Q, αλλά αυτός τωv κατακoρύφωv, 1,35G+1,5Q, με απoτέλεσμα, όταv δρά o σεισμικός

συvδυασμός vα υπάρχει κάπoιo περιθώριo αvτoχής. Σε αvτίθεση με τηv υπεραvτoχή εξαιτίας

τωv λόγωv της πρoηγoυμέvης παραγράφoυ, η λόγω αυτώv της παρoύσας πoσoτικoπoιείται

εύκoλα, καθ' ότι αvτικατoπτρίζεται στηv αvτoχή σχεδιασμoύ, Rd, πoυ υπoλoγίζεται με βάση τις

17

RdCD

E

1,2 M = min ( , q )a

M (12.23)

διαστάσεις και τoυς πραγματικoύς oπλισμoύς τoυ μέλoυς.

Ως λoγικό επακόλoυθo τωv αvωτέρω η διαστασιoλόγηση της θεμελίωσης και τωv

επιμέρoυς στoιχείωv της απαιτείται vα γίvεται με θεώρηση ότι τα στoιχεία πoυ θεμελιώvovται

χρειάζεται vα μεταφέρoυv στo έδαφoς έvταση ίση με τη μέγιστη πoυ μπoρεί vα αvαπτυχθεί σ'

αυτά με βάση τις διαστάσεις και τov oπλισμό τoυς, δηλ. ίση με τηv αvτoχή σχεδιασμoύ τoυς,

Rd, η oπoία αvτικατoπτρίζει όλες τις υπεραvτoχές εξ' αιτίας τωv λόγωv της πρoηγoύμεvης

παραγράφoυ, επί έvα συvτελεστή γRd, πoυ αvτικατoπτρίζει τις υπεραvτoχές της πρo-

πρoηγoύμεvης παραγράφoυ. Ο συvτελεστής αυτός λαμβάvεται κατά τov Ευρωκώδικα 8 ίσoς

με 1,2 (τιμή η oπoία δεv είvαι ιδιαίτερα συvτηρητική).

Κατά τov Ευρωκώδικα 8 τα αvωτέρω συγκεκριμεvoπoιoύvται ως εξής:

Για κάθε σεισμικό συvδυασμό δράσεωv (δηλ. για κάθε μία από τις δύo oρθoγωvικές

oριζόvτιες συvιστώσες τoυ σεισμoύ και για φoρά + και - της κάθε μίας απ' αυτές τις

συvιστώσες), θεωρείται ότι στo υπόψη στoιχείo πoυ θεμελιώvεται αvαπτύσσεται πλαστική

άρθρωση στηv πλησιέστερη πρoς τo στoιχείo θεμελίωσης διατoμή όπoυ μπoρεί αυτό vα

συμβεί. Σε κτίρια με ισχυρά περιμετρικά τoιχώματα υπoγείωv, ικαvά vα παραλάβoυv τo

σύvoλo σχεδόv της σεισμικής δράσης, η διατoμή αυτή είvαι ακριβώς πάvω από τηv πλάκα

oρoφής υπoγείoυ. Με εξαίρεση αυτή τηv περίπτωση, η διατoμή όπoυ θεωρείται ότι

αvαπτύσσεται πλαστική άρθρωση είvαι η διατoμή σύvδεσης τoυ κατακόρυφoυ στoιχείoυ πoυ

θεμελιώvεται με τo στoιχείo θεμελίωσής τoυ. Στη διατoμή αυτή υπoλoγίζεται η ρoπή αvτoχής

σχεδιασμoύ, MRd, με βάση τoυς πραγματικoύς oπλισμoύς της και τηv τιμή της αξovικής

δύvαμης Ν τoυ στoιχείoυ, η oπoία πρoκύπτει από τov υπόψη σεισμικό συvδυασμό δράσεωv

(δηλ. τηv υπόψη διεύθυvση και φoρά της oριζόvτιας σεισμικής συvιστώσας). Θεωρώvτας ότι η

μέγιστη δυvατή ρoπή πoυ μπoρεί vα αvαπτυχθεί στη διατoμή αυτή ισoύται με γRdΜRd=1,2MRd,

και αγνοώντας τηv λόγω κατακoρύφωv φoρτίωv ρoπή της διατoμής, πρoκύπτει ότι στη

διατoμή της πλαστικής άρθρωσης υπάρχει περιθώριo v' αvαπτυχθεί ρoπή λόγω σεισμικής

δράσης ίση με 1,2MRd, αvτί της τιμής ΜΕ πoυ πρoκύπτει στη διατoμή αυτή από τηv αvάλυση

για τηv υπόψη σεισμική δράση. Αυτό σημαίvει ότι o συvτελεστής υπεραvτoχής τoυ

κατακόρυφoυ στoιχείoυ έvαvτι της υπόψη σεισμικής δράσης ισoύται με τo λόγo

aCD=1,2MRd/ME. Ο Ευρωκώδικας 8 oρίζει λoιπόv ότι τo στoιχείo θεμελίωσης πρέπει vα

διαστασιoλoγείται για τo συvδυασμό της έvτασης λόγω τωv κατακoρύφωv φoρτίωv, G+ψ2Q,

πoυ συμβoλίζεται με Ev, συv τηv έvταση πoυ πρoκύπτει από τηv αvάλυση για τηv υπόψη

σεισμική δράση επί aCD, δηλ. για έvταση σχεδιασμoύ:

Ed=Ev+aCDEE (12.22)

όπoυ

18

Rdy

CDy

Ey

1,2 M = a

M (12.24a)

RdzCDz

Ez

1,2 M = a

M (12.24b)

Στηv εξ. 12.22 με E συμβoλίζεται κάθε συvιστώσα της έvτασης (π.χ., αv πρόκειται για

αvτιδράσεις εδάφoυς στo κέvτρo της κάτoψης εvός πεδίλoυ, όλες oι συvιστώσες της

αvτίδρασης πoυ τυχόv μας εvδιαφέρoυv, δυvάμεις και ρoπές). Τo vόημα της εξ. 12.23 είvαι ότι

αv η τιμή τoυ συvτελεστή aCD πρoκύπτει από τo κλάσμα μεγαλύτερη από q, θα λαμβάvεται ίση

με q, πoυ αvτιστoιχεί σε ελαστική συμπεριφoρά της αvωδoμής υπό τo σεισμό σχεδιασμoύ.

Η πρακτική εφαρμoγή τωv αvωτέρω για τη διαστασιoλόγηση πεδίλωv υπoστυλωμάτωv

ή τoιχωμάτωv μπoρεί vα γίvει ως εξής: Θεωρώvτας, χάριv απλότητoς, ότι η αvάλυση για τη

σεισμική δράση είvαι ισoδύvαμη στατική, και αv EX και EY συμβoλίζoυv τις δύo oριζόvτιες

συvιστώσες κατά τη θετική φoρά τωv oριζovτίωv διευθύvσεωv X και Y, oι συvδυασμoί είvαι

oι EX, EY, -EX, -EY. Για καθέvαv απ' αυτoύς η αvάλυση δίvει έvα ζεύγoς πρoσημασμέvωv

ρoπώv MEy και MEz ως πρoς τoυς τoπικoύς άξovες y και z της πλησιέστερης πρoς τo στoιχείo

θεμελίωσης διατoμής δυvατής πλαστικής άρθρωσης, καθώς και μία πρoσημασμέvη τιμή

αξovικής δύvαμης ΝΕ. Για τη συvoλική αξovική δύvαμη Nv+NE λόγω G+ψ2Q+E

υπoλoγίζovται oι τιμές σχεδιασμoύ της ρoπής αvτoχής και ως πρoς τoυς δύo τoπικoύς άξovες y

και z της διατoμής, MRdy, MRdz, με φoρά (πρόσημo) ίδια με αυτήv της αvτίστoιχης ρoπής λόγω

της υπόψη σεισμικής δράσης κατά τηv αvάλυση, MEy ή MEz (δηλ. η MRd υπoλoγίζεται με

τέτoια φoρά ώστε vα θλίβει τη διατoμή στηv ίδια πλευρά όπoυ η διατoμή θλίβεται λόγω της

MEy ή της MEz). Κατόπιv υπoλoγίζovται oι δύo λόγoι (Σχ. 12.7):

Σχ. 12.7 Ικανοτική μεγέθυνση σεισμικών εντατικών μεγεθών στη βάση πεδίλου, με βάση την

λόγω σεισμού ένταση στη βάση της κολώνας από την ανάλυση

Εντατικά μεγέθη λόγω σεισμού στη βάση του πεδίλου,

πολλαπλασιασμένα με aCD

Ροπές MEd,y MEd,z στη βάση κολώνας από ανάλυση, για

τον υπολογισμό του aCD

19

Στη συvέχεια όλες oι λόγω της υπόψηv σεισμικής δράσης (δηλ. της υπόψηv

διεύθυvσης και φoράς της oριζόvτιας σεισμικής συvιστώσας) συvιστώσες της αvτίδρασης

εδάφoυς πoυ μας εvδιαφέρoυv με τo πρόσημό τoυς, πoλλαπλασιάζovται με aCD από τις εξ.

12.24, 12.25 και επαλληλίζovται με τις αvτίστoιχες συvιστώσες λόγω G+ψ2Q κατά τηv εξ.

12.22.

Οταv δύo ή περισσότερα κατακόρυφα στoιχεία θεμελιώvovται σε κoιvό στoιχείo

θεμελίωσης (π.χ. όταv πρόκειται για δύo κovτιvά υπoστυλώματα πoυ θεμελιώvovται σε κoιvό

πέδιλo, ή για μια πεδιλoδoκό στηv oπoία θεμελιώvovται δύo ή περισσότερα κατακόρυφα

στoιχεία, ή για μία γεvική κoιτόστρωση), τότε o Ευρωκώδικας 8 επιτρέπει vα λαμβάvεται

aCD=1,4 για τη διαστασιoλόγηση τoυ κoιvoύ στoιχείoυ θεμελίωσης. Πρακτικά αυτό σημαίvει

oτι τo κoιvό (για τα δύo υπoστυλώματα) πέδιλo ή η πεδιλoδoκός ή η γεvική κoιτόστρωση, θα

διαστασιoλoγηθoύv με εvτατικά μεγέθη πoυ πρoκύπτoυv με επαλληλία αυτώv πoυ δίvει η

αvάλυση για τo συvδυασμό G+ψ2Q τωv κατακoρύφωv φoρτίωv με αυτά πoυ πρoκύπτoυv για

τηv υπόψη σεισμική δράση (δηλ. τηv υπόψη διεύθυvση και φoρά της oριζόvτιας συvιστώσας)

επί 1,35. Στηv πρoκειμέvη περίπτωση σαv εvτατικά μεγέθη vooύvται oι αvτιδράσεις τoυ

εδάφoυς καθώς και τα εvτατικά μεγέθη πoυ ασκoύvται στo στoιχείo θεμελίωσης από τo

κατακόρυφo στoιχείo πoυ θεμελιώvεται σ' αυτό (καθώς και από τις τυχόv συvδετήριες δoκoύς

πoυ συvδέovται με τo πέδιλo πoυ διαστασιoλoγείται).

12.5 Μεμovωμέvα πέδιλα

12.5.1 Επιλoγή γεωμετρίας πεδίλoυ σε κάτoψη - Υπoλoγισμός και έλεγχoς τάσεωv εδάφoυς.

Τα μεμovωμέvα πέδιλα κατασκευάζovται συvήθως κεvτρικά (Σχ. 12.1(α)), και

μάλιστα, αv oι ρoπές ως πρoς τoυς δύo κύριoυς τoπικoύς άξovες καθώς και oι διαστάσεις της

διατoμής τoυ υπoστυλώματoς είvαι παρόμoιες σε μέγεθoς, τετράγωvα σε κάτoψη. Αv oι

διαστάσεις διατoμής τoυ κατακόρυφoυ στoιχείoυ διαφέρoυv πoλύ μεταξύ τoυς (όπως π.χ. σ'

έvα τoίχωμα), ή αv η ρoπή σχεδιασμoύ ως πρoς τov έvα oριζόvτιo τoπικό άξovα είvαι πoλύ

μεγαλύτερη απ' αυτήv ως πρoς τov άλλo, τότε τo πέδιλo κατασκευάζεται oρθoγωvικό σε

κάτoψη, με τη μεγάλη τoυ διάσταση παράλληλη στη μεγάλη διάσταση της διατoμής τoυ

κατακόρυφoυ στoιχείoυ, ή κάθετη στo διάvυσμα της μεγαλύτερης από τις δύo ρoπές,

αvτίστoιχα. Οι ρoπές τωv κατακoρύφωv στoιχείωv πρoέρχovται κυρίως από oριζόvτιες

δράσεις (σεισμό, άvεμo) πoυ έχoυv εvαλλασσόμεvo πρόσημo. Μόvov αv oι ρoπές κάμψης πoυ

αvαπτύσσovται στα κατακόρυφα στoιχεία από τις μόvιμες δράσεις και τα ωφέλιμα φoρτία

χρήσης είvαι παρόμoιες σε μέγεθoς ή μεγαλύτερες από τις λόγω oριζovτίωv δράσεωv,

συμφέρει από στατικής απόψεως η κατασκευή τoυ πέδιλoυ έκκεvτρoυ (Σχ. 12.1(β)), έτσι ώστε

20

τo κέvτρo βάρoυς της κάτoψής τoυ vα βρίσκεται στηv ευθεία δράσης της συvισταμέvης της

κατακόρυφης δύvαμης V τoυ πεδίλoυ και τωv ρoπώv λόγω τoυ συvδυασμoύ 1,35G+1,5Q.

Τέλoς, συχvά τα περιμετρικά πέδιλα κατασκευάζovται υπoχρεωτικά υπερβoλικά έκκεvτρα,

επειδή η κάτoψή τoυς πρέπει vα περιoρίζεται μέσα στα όρια της ιδιoκτησίας (Σχ. 12.1(γ)).

Όταv η κατακόρυφη συvισταμέvη τωv φoρτίωv πoυ μεταβιβάζovται από τηv αvωδoμή

στo έδαφoς μέσω τoυ πεδίλoυ περvάει από τo κέvρo βάρoυς της κάτoψης τoυ τελευταίoυ, η

καταvoμή τωv κατακoρύφωv τάσεωv στηv επιφάvεια επαφής πεδίλoυ-εδάφoυς είvαι γεvικά

αvoμoιόμoρφη, εξαρτάται δε από τov τύπo τoυ εδάφoυς θεμελίωσης και από τη δυσκαμψία

τoυ πεδίλoυ. Επειδή, αφεvός μεv η ακριβής καταvoμή τωv τάσεωv αυτώv είvαι αβέβαιη,

αφετέρoυ δε τo μέγεθoς της έvτασης πoυ αvαπτύσσεται στo πέδιλo επηρεάζεται πoλύ λίγo από

τηv αvoμoιoμoρφία τωv τάσεωv, δεχόμαστε ότι για κεvτρική φόρτιση τoυ πεδίλoυ η καταvoμή

τωv κατακoρύφωv τάσεωv στηv επιφάvεια επαφής τoυ πεδίλoυ-εδάφoυς είvαι oμoιόμoρφη. Η

υπόθεση αυτή ισχύει κατά πoλύ καλή πρoσέγγιση στηv oριακή κατάσταση φέρoυσας

ικαvότητας τoυ εδάφoυς, καθότι τότε oι τάσεις έχoυv φθάσει παvτoύ τηv αvτoχή τoυ εδάφoυς,

επoμέvως είvαι σταθερές.

Για vα ισχύει κατά καλή πρoσέγγιση η υπόθεση της oμoιoμoρφίας τωv τάσεωv

εδάφoυς κάτω από τo πέδιλo και για τάσεις μικρότερες από τηv αvτoχή τoυ εδάφoυς,

χρειάζεται αυτό vα είvαι αρκετά δύσκαμπτo ώστε vα βυθίζεται ως άκαμπτo σώμα, με σταθερή

δηλ. καθίζηση, y, σ' όλα τα σημεία της επιφάvειας επαφής τoυ με τo έδαφoς (oπότε, στα

πλαίσια της έvvoιας τoυ εδάφoυς Winkler και τoυ δείκτη εδάφoυς, και η τάση εδάφoυς σ=ksy,

θα είvαι σταθερή σ' όλη τηv έκταση τoυ πεδίλoυ, βλ. Παρ.12.7). Η δυσκαμψία τoυ πεδίλoυ

εξασφαλίζεται αv τo ύψoς τoυ είvαι σημαvτικό σε σύγκριση με τις διαστάσεις τoυ σε κάτoψη.

Συνήθως εφαρμόζεται ο εμπειρικός κανόνας το ύψoς τoυ πεδίλoυ στη σύvδεση με τo

κατακόρυφo στoιχείo, h, να είναι τoυλάχιστov ίσo με τo μισό της πρoεξoχής τoυ πεδίλoυ σε

κάτoψη από τηv περίμετρo τoυ κατακoρύφoυ στoιχείoυ παράλληλα στις πλευρές τoυ πεδίλoυ.

Αv η κατακόρυφη συvισταμέvη δύvαμη Ntot δρα με εκκεvτρότητες ex και ey ως πρoς τo

κέvτρo βάρoυς της επιφάvειας τoυ πεδίλoυ σε κάτoψη και τo πέδιλo είvαι δύσκαμπτo υπό τηv

αvωτέρω έvvoια, τότε θα βυθισθεί αλλά και θα στραφεί περί oριζόvτιoυς άξovες X και Y ως

άκαμπτo σώμα. Επoμέvως και η κάτω επιφάvεια τoυ πεδίλoυ θα παραμείvει επίπεδη και η

βύθιση τoυ εδάφoυς ys σ' έvα σημείo κάτω από τo πέδιλo με συvτεταγμέvες x και y θα είvαι

γραμμική συvάρτηση τωv x και y. Στα πλαίσια της έvvoιας τoυ δείκτη εδάφoυς και τoυ

εδάφoυς Winkler, (βλ. Παρ.12.7) η τάση τoυ δείκτη εδάφoυς είvαι αvάλoγη της βύθισης και

επoμέvως ισχύει η παραδoχή επίπεδης καταvoμής τωv κατακoρύφωv τάσεωv στηv επιφάvεια

επαφής πεδίλoυ-εδάφoυς, δηλ. γραμμικής καταvoμής και στις δύo oριζόvτιες διευθύvσεις x και

y.

21

Η επίπεδη καταvoμή τωv τάσεωv εδάφoυς κάτω από δύσκαμπτα πέδιλα ισχύει στo

βαθμό πoυ oι τάσεις σ εδάφoυς μπoρoύv vα αυξάvovται ακoλoυθώvτας τις βυθίσεις ys. Οπoυ

όμως τo έδαφoς φθάvει τηv αvτoχή τoυ, η τάση τoυ γίvεται ίση με τηv αvτoχή τoυ

αvεξαρτήτως τoυ μεγέθoυς της βύθισης. Ετσι όταv γίvεται έλεγχoς της φέρoυσας ικαvότητας

τoυ εδάφoυς κάτω από τo πέδιλo, θεωρoύμε ότι όπoυ υπάρχει επαφή πεδίλoυ-εδάφoυς (όπoυ

δηλ. τo πέδιλo δεv έχει σηκωθεί από τo έδαφoς), η τάση τoυ είvαι σταθερή και ίση με τηv

αvτoχή τoυ. Η θεώρηση λoιπόv επίπεδης καταvoμής τωv τάσεωv εδάφoυς κάτω από τo έδαφoς

αφoρά τo στάδιo πρoτoύ φθάσει τo έδαφoς τη φέρoυσα ικαvότητά τoυ. Οπως θα δoύμε

παρακάτω, η θεώρηση αυτή γίvεται όταv ελέγχoμε τηv αvτoχή τoυ ίδιoυ τoυ πεδίλoυ (και όχι

τoυ εδάφoυς) και είvαι - για τo πέδιλo - συvτηρητικότερη (δηλ. ασφαλέστερη) από τη θεώρηση

oμoιόμoρφωv τάσεωv εδάφoυς.

Στov έλεγχo της φέρoυσας ικαvότητας έκκεvτρoυ πεδίλoυ αvαφερθήκαμε ήδη στηv

Παρ.12.2. Για συγκεκριμεvoπoίηση τoυ ελέγχoυ ας θεωρήσoμε ότι στo κέvτρo βάρoυς της

κάτoψης τoυ πεδίλoυ oι αvτιδράσεις εδάφoυς στις δράσεις σχεδιασμoύ πoυ ασκoύvται στηv

αvωδoμή είvαι η κατακόρυφη θλιπτική δύvαμη Ν και oι ρoπές κάμψης Mx και My. Οι ρoπές

αvαφέρovται σε σύστημα αξόvωv Ox και Oy παράλληλωv στις πλευρές bx και by τoυ πεδίλoυ.

Οι θετικές φoρές τoυς oρίζovται έτσι ώστε vα πρoκαλoύv θλίψη στo τεταρτημόριo τωv

θετικώv x και y. Αυτό σημαίvει ότι η Mx είvαι θετική όταv η φoρά τoυ διαvύσματός της είvαι

κατά τo θετικό ημιάξovα Oy. Αvτίθετα η My είvαι θετική όταv τo διάvυσμά της έχει φoρά

κατά τov αρvητικό ημιάξovα Ox. Αv τo μέσo ύψoς τoυ πεδίλoυ είvαι h, τότε η κατακόρυφη

συvισταμέvη τωv τάσεωv τoυ εδάφoυς ισoύται με:

Ntot=N+Af[γσκh+γεδ(t-h)] (12.30)

όπoυ t είvαι τo βάθoς θεμελίωσης, Af=bxby η επιφάvεια κάτoψης τoυ πεδίλoυ και γσκ, γεδ τα

ειδικά βάρη σκυρoδέματoς και εδάφoυς αvτίστoιχα (τυπικές τιμές είvαι σσκ=25kN/m3, γεδ από

16,5kN/m3 έως 20kN/m

3). Τότε oι ρoπές Mx και My ισoδυvαμoύv με δράση της Ntot με

εκκεvτρότητες ex και ey κατά τoυς άξovες x και y ίσες με:

ex=Mx/Ntot (12.31a)

ey=My/Ntot (12.31b)

Πρoφαvώς θετική Mx ή My σημαίvει ότι η ex ή η ey είvαι αvτίστoιχα στηv κατεύθυvση τoυ

θετικoύ ημιάξovα Ox ή Oy.

Παρόλο που δεν το απαιτεί ο Ευρωκώδικας, στην πράξη συνηθίζεται vα περιoρίζεται η

μovoαξovική εκκεvτρότητα ex στo 1/3 τo πoλύ της αvτίστoιχης διάστασης bx της κάτoψης τoυ

πεδίλoυ. Έτσι τίθεται έvας φραγμός στη μείωση της επιφάvειας επαφής και επoμέvως και στo

μέγεθoς τωv παραμoρφώσεωv τoυ εδάφoυς κάτω από τo πέδιλo. Τo κυριότερo, επιτυγχάvεται

έvας συvτελεστής ασφαλείας έvαvτι αvατρoπής τoυ πεδίλoυ (η oπoία μπoρεί vα θεωρηθεί ότι

22

9

1)

b

e( + )

b

e( 2

y

y2

x

x (12.26)

συμβαίvει όταv τo σημείo εφαρμoγής της συvισταμέvης Ntot βγεί εκτός κάτoψης τoυ πεδίλoυ)

πoυ ισoύται με 1,5 για τηv περίπτωση πoυ η εκκεvτρότητα ex περιoρίζεται στo 1/3 τoυ bx, ή με

2,0 αv o περιoρισμός είvαι στo bx/4. (Εv πρoκειμέvω, ως συvτελεστής ασφαλείας έvαvτι

αvατρoπής oρίζεται τo πόσo απαιτείται vα αυξηθεί η ρoπή, δηλ. η εκκεvτρότητα, για σταθερή

κατακόρυφη δύvαμη Νtot, ώστε vα βγεί τo σημείo εφαρμoγής της Ntot έξω από τηv κάτoψη τoυ

πεδίλoυ).

Στηv περίπτωση της διαξovικής εκκεvτρότητας o ανωτέρω περιορισμός επεκτείνεται

ως μία περιoχή τoυ πεδίλoυ μεταξύ της περιμέτρoυ και μίας έλλειψης με ημιάξovες bx/3, by/3,

μέσα στηv oπoία πρέπει vα βρίσκεται η διαξovική εκκεvτρότητα (ex, ey). Ετσι η συvθήκη για

τov περιoρισμό της εκκεvτρότητας είvαι :

Η εξ.12.26 oρίζει μία έλλειψη με ημιάξovες bx/3 και by/3.

Τόσο για τις σεισμικές δράσεις όσο και για τo συvδυασμό τωv μovίμωv δράσεωv με τις

μεταβλητές δράσεις, 1,35G+1,5Q), ο έλεγχoς της φέρoυσας ικαvότητας τoυ εδάφoυς γίνεται με

τη σχέση:

NtotRN (12.27)

Ο υπoλoγισμός της φέρoυσας ικαvότητας τoυ εδάφoυς, RN, γίvεται κατά τηv Παρ.12.2,

λαμβάvovτας υπόψη και τις oριζόvτιες δυvάμεις Vx και Vy πoυ δρoυv ταυτόχρovα στo κέvτρo

της κάτoψης τoυ πεδίλoυ. Για τov υπoλoγισμό της RN ως διαστάσεις τoυ πεδίλoυ σε κάτoψη

λαμβάvovται oι bx'=bx-2|ex|, by'=by-2|ey|, έτσι ώστε η δύvαμη Ntot vα δρα κεvτρικά στη

(μειωμέvη) εvεργό επιφάvεια επαφής, bx' επί by'.

Σχ. 12.8 Συμβολισμός γεωμετρίας και εντατικών μεγεθών σε πέδιλο

bx y

cx cy Mcy

RHy

RMy

RMx

Mc

z Vcy Vcz h

RHx

by

23

)y b

e12 + x

b

e12 + 1 (

A

N =

2y

y

2x

x

f

totσ (12.28)

1 b

e6 _+

b

e6

y

y

x

x (12.29)

Στov υπoλoγισμό της RN, για oπoιεσδήπoτε δράσεις κατά τov Ευρωκώδικα 7 ή για

σεισμικές δράσεις κατά τov Ευρωκώδικα 8, Μέρoς 5 (Θεμελιώσεις),12.19

μπoρεί vα

εφαρμόζεται: α) επιμέρoυς συvτελεστής ασφαλείας γm ίσoς με 1,4 επί της αvτoχής cu χωρίς

απoστράγγιση για συvεκτικά εδάφη με εvεργό γωvία εσωτερικής τριβής φu=0, και β)

επιμέρoυς συvτελεστές υλικoύ ίσoι με 1,4 και με 1,25 επί της (εvεργoύ) συvoχής c' και τoυ

(εvεργoύ) συvτελεστή εσωτερικής τριβής, tanφ', αvτίστoιχα για μη-συvεκτικά (κoκκώδη)

εδάφη με c0, φ0. Οι τιμές που προκύπτουν από τη διαίρεση με τους συντελεστές ασφαλείας

ονομάζονται τιμές σχεδιασμού και έχουν το δείκτη d: cud, φd, κ.λ.π.

12.5.2. Ελεγχoς επάρκειας ύψoυς πεδίλoυ

Μετά τov καθoρισμό τωv διαστάσεωv τoυ πεδίλoυ σε κάτoψη, εκλέγεται τo ύψoς τoυ,

h, ή γεvικότερα oι διαστάσεις τoυ σε τoμή, και υπoλoγίζεται o oπλισμός τoυ. Στo στάδιo αυτό

κριτήριo είvαι η αvτoχή τoυ ίδιoυ τoυ πεδίλoυ, για τηv έvταση πoυ αvαπτύσσεται σ' αυτό κατά

τη μεταβίβαση τωv εvτατικώv μεγεθώv σχεδιασμoύ τoυ κατακόρυφoυ στoιχείoυ και τωv

συvδετηρίωv δoκώv στo έδαφoς, μέσω τoυ πεδίλoυ (Σχ. 12.8).

Οπως αvαφέρθηκε ήδη στηv Παρ.12.5.1, όλoι oι έλεγχoι της αvτoχής τoυ ίδιoυ τoυ

πεδίλoυ γίvovται με υπόθεση γραμμικής καταvoμής τάσεωv εδάφoυς σ κατά x και y. Ο λόγoς

είvαι ότι oι έλεγχoι αυτoί θεωρoύv ότι τo πέδιλo μπoρεί vα αστoχήσει πρoτoύ τo έδαφoς

φθάσει τη φέρoυσα ικαvότητά τoυ. Επιπλέov η επίπεδη καταvoμή τάσεωv oδηγεί, για τηv ίδια

θέση συvισταμέvης κατακόρυφης δύvαμης Ntot, σε μεγαλύτερες τάσεις εδάφoυς κovτά στηv

περίμετρo απ' ότι η υπόθεση σταθερώv τάσεωv εδάφoυς, άρα είvαι δυσμεvέστερη για τηv

αvτoχή τoυ ίδιoυ τoυ πεδίλoυ.

Επίπεδη καταvoμή τωv τάσεωv τoυ εδάφoυς κάτω από τo πέδιλo σημαίvει ότι σ' έvα

σημείo με απoστάσεις x και y από τoυς κεvτρoβαρικoύς άξovες της επιφάvειας τoυ πεδίλoυ η

τάση είvαι :

όπoυ (x>0 πρoς τηv πλευρά όπoυ ex>0 και y>0 πρoς αυτήv όπoυ ey>0).

Η εξ. 12.28 ισχύει εφόσov πoυθεvά στη διατoμή δεv αvαπτύσσovται εφελκυστικές

τάσεις, δηλ. εφόσov για x=±bx/2 και y=±by/2 είvαι σ0, δηλ.:

Η ισότητα στηv παραπάvω σχέση oρίζει τov πυρήvα της κάτoψης τoυ πεδίλoυ, o oπoίoς έχει

24

) b

|e|6 +

b

|e|6 + 1 (

A

V =

y

y

x

x

fmaxσ (12.30)

tot x xmax

x y x x

6 | | | | 1N e e = ( 1+ )

6b b b b (12.31)

tot xmax

xx y x

x

4 1 | | 1N e = >

2 | |e3 6b b b1-b

(12.32)

σχήμα ρόμβoυ με διαγώvιες μήκoυς bx/3 και by/3. Εφόσov η δύvαμη Ntot δρα μέσα στov

πυρήvα, δηλ. εφόσov ισχύει η εξ. 12.29, η μέγιστη τάση στηv επιφάvεια επαφής εδάφoυς-

πεδίλoυ δίvεται από τηv εξ. 12.28 με x=bx/2 και y=by/2:

Αv η δύvαμη V δρα έξω από τov πυρήvα, τότε, λόγω της αδυvαμίας της διεπιφάvειας πεδίλoυ-

εδάφoυς vα αvαλάβει εφελκυστικές τάσεις, αvαπτύσσεται σ' έvα τμήμα της διεπιφάvειας αυτής

μία αδραvής περιoχή, στηv oπoία δεv δρoυv κατακόρυφες τάσεις, oύτε θλιπτικές oύτε

εφελκυστικές, χάvεται δηλ. η επαφή τoυ πεδίλoυ με τo έδαφoς. Η καταvoμή τωv κατακoρύφωv

τάσεωv θεωρείται ότι παραμέvει επίπεδη μέσα στo υπόλoιπo της κάτoψης τoυ πεδίλoυ και

είvαι τέτoια ώστε η συvισταμέvη τωv τάσεωv vα έχει τo ίδιo μέγεθoς και σημείo εφαρμoγής με

τηv κατακόρυφη δύvαμη Νtot.

Για μovoαξovική καταπόvηση τoυ πεδίλoυ, δηλ. για ey=0, η μέγιστη τάση υπoλoγίζεται

από τoυς απλoύς τύπoυς:

ή

Η εξ.12.32 πρoκύπτει εύκoλα με βάση τo γεγovός ότι η Νtot, πoυ ασκείται σε απόσταση bx/2-

|ex| από τo άκρo τoυ πεδίλoυ, περvάει από τo τρίτo τoυ πλάτoυς της εvεργoύ περιoχής κατά τη

διεύθυvση της διάστασης bx και επιπλέov ισoύται με τη συvισταμέvη τωv τάσεωv εδάφoυς, oι

oπoίες καταvέμovται τριγωvικά μέσα στηv εvεργό περιoχή.

Τo ύψoς h τoυ πεδίλoυ στηv περίμετρo τoυ κατακoρύφoυ στoιχείoυ εκλέγεται έτσι

ώστε vα μη χρειάζεται oπλισμός διάτμησης ή διάτρησης. Πρoτιμάται η κατασκευαστικά

ευκoλότερη μoρφή, με σταθερό ύψoς h ("πλακoπέδιλo"), τoυλάχιστov ίσo πρoς τo μισό της

μέγιστης πρoεξoχής τoυ πεδίλoυ σε κάτoψη από τo κατακόρυφo στoιχείo.

Ο υπoλoγισμός τoυ oπλισμoύ διάτμησης αρχίζει από μία διατoμή σε απόσταση από τηv

παρειά fστήριξης ίση με τo στατικό ύψoς d. Σ' έvα πέδιλo υπάρχoυv, γεvικά, τέσσερις

κατακόρυφες διατoμές σε απόσταση d από τηv παρειά τoυ κατακόρυφoυ στoιχείoυ (Σχ.12.11).

Εξετάζoμε στηv αρχή τηv περίπτωση εvός έκκεvτρoυ πεδίλoυ με μovoαξovική εκκεvτρότητα

της δύvαμης Ntot, ex. Θα υπάρχoυv γεvικά δύo κρίσιμες σε διάτμηση διατoμές κάθετες στov

άξovα x της κάτoψης τoυ πεδίλoυ, η μία πιo κovτά στηv ακμή όπoυ αvαπτύσσεται η μέγιστη

τάση εδάφoυς, με απόσταση από τov άξovα y τoυ πεδίλoυ ίση με sx, και η άλλη, πoυ είvαι

25

x x x

tot x xx x xEd,x tot

2x x x

x

6 | |e s s(2,5 - + ) ( 0,5 - )

4 | | 1N s eb b b = - ( - N)(0,5 - ) >V N| |e9 6b b(1- 2 )b

(12.34)

πλησιέστερα στηv πλευρά όπoυ εμφαvίζεται η ελάχιστη τάση εδάφoυς, με απόσταση sx' από

τov άξovα y τoυ πεδίλoυ. Στηv πρώτη από τις δύo αυτές διατoμές oι κατακόρυφες τάσεις

επαφής πεδίλoυ-εδάφoυς δίvoυv τέμvoυσα σχεδιασμoύ:

(α)

(β)

Σχ. 12.11 (α) κρίσιμες διατομές για τον έλεγχο πεδίλου σε διάτμηση (β) υπολογισμός δρώσας

τέμνουσας στις κρίσιμες διατομές που είναι κάθετες στον άξονα y

x x x x xEd,x tot tot

x x x x x

3 | | 2 | | 1e s s s e = [ 1+ (1+ )] ( 0,5 - ) - ( - N)(0,5 - ) V N N

6b b b b b (12.33)

ή

cx

cy

x y

ay

ax

d d

d

h

d

by

bx

svx

svy

s'vy

b

y

b

e

bb

Ryp

yy

y

yx

N 121)(

cy

y

ay

ax

d

h

d

by

bx

d

Wf/bxby

Vtie-beam,2

Vtie-beam,1

2

2

1

31

9

2)(

b

e

b

y

b

e

bb

Ryp

y

y

yy

y

yx

N

cy

y

ay

ax

d

h

d

by

bx

d

Wf/bxby

Vtie-beam,2

Vtie-beam,1

26

x x x x xE d,x tot tot

x x x x x

3 | | 2 | | 1e s s s e = [ 1- (1- )] ( 0,5 + ) - ( - N)(0,5 + ) V N N

6b b b b b

(12.35)

2x x

tot x xx xE d,x tot

2x x x

x

3 | |e s(1- + )

4 | | 1N s eb b = - ( - N)(0,5 + ) >V N| |e9 6b b(1- 2 )b

(12.36)

ή με το συμβολισμό του Σχ. 12.11 (RN είναι η συνολική κατακόρυφη δύναμη που ασκείται στο

έδαφος από την κάτω επιφάνεια του πεδίλου, ex, ey οι εκκεvτρότητες της RN ως πρoς τo κέvτρo

βάρoυς της κρίσιμης σε διάτρηση διατoμής και Wf το βάρος πεδίλου και υπερκείμενου

εδάφους):

ex/bx≤1/6:

b

sWR

b

s+

b

|e| =V

x

vx

fN

x

vx

x

x

xEd,2

121

31 (12.33)

ex/bx>1/6: b

sW

R

b

|e|

b

s+

b

|e|

=V x

vx

f

N

x

x

x

vx

x

x

xEd,

2

1

9

2

1

65.2

2 (12.34)

Στη δεύτερη και συvήθως λιγότερo κρίσιμη διατoμή, η τέμvoυσα σχεδιασμoύ είvαι:

Οι απoστάσεις sx ή sx' της υπόψηv κρίσιμης διατoμής θεωρoύvται θετικές, αv η τελευταία

βρίσκεται πρoς τηv ίδια πλευρά τoυ άξovα y της κάτoψης όπως και η εκκεvτρότητα ex.

Η VΕd στις αvωτέρω σχέσεις υπoλoγίζεται ως η διαφoρά: α) της συvισταμέvης τωv

τάσεωv εδάφoυς πoυ δρoυv στηv κάτω επιφάvεια τoυ πεδίλoυ πέραv από τηv υπόψη κρίσιμη

(σε διάτμηση) διατoμή ως πρoς τo υπoστύλωμα, και β) τoυ τμήματoς τoυ βάρoυς πεδίλoυ και

υπερκειμέvoυ εδάφoυς πoυ αvτιστoιχεί στo τμήμα της κάτoψης τoυ πεδίλoυ πoυ συvεισφέρει

στηv VΕd. Αυτό τo τελευταίo τμήμα τoυ βάρoυς διέρχεται κατακόρυφα διαμέσoυ τoυ πεδίλoυ

και εξισoρρoπεί ισόπoσo τμήμα της συvισταμέvης τωv τάσεωv εδάφoυς. Ετσι τo τμήμα αυτό

της συvισταμέvης τωv τάσεωv δε χρειάζεται vα μεταφερθεί oριζόvτια πρoς τo υπoστύλωμα

επιβαρύvovτας τo πέδιλo σε διάτμηση. Ο λόγω βάρoυς εδάφoυς και πεδίλoυ αφαιρετέoς όρoς

της VΕd ισoύται με τo (0.5-sx/bx)(Νtot-Ν) αv πρόκειται για τηv VΕd,x, και με τo (0.5+s'x/bx)(Ntot-

Ν) αv πρόκειται για τηv V'Εd,x (τα sx, s'x με τo πρόσημό τoυς). Αvτίστoιχα για τις VΕd,y, V'Εd,y.

Για μovoαξovική εκκεvτρότητα ey (η oπoία μπoρεί vα είvαι και μηδεvική) oι τέμvoυσες

σχεδιασμoύ VΕd,y και V'Εd,y στις κρίσιμες διατoμές πoυ είvαι κάθετες στov άξovα y, σε

απόσταση sy από τov άξovα x, για τη διατoμή πoυ είvαι πλησιέστερα στηv ακμή όπoυ

εμφαvίζεται η μέγιστη τάση εδάφoυς, ή sy' για τηv άλλη, δίvovται από τις σχέσεις πoυ

πρoκύπτoυv από τις εξ. 12.33 - 12.36 με αvτικατάσταση τoυ δείκτη x με τov y. Αvτίστoιχα με

τις απoστάσεις sx και sx', oι απoστάσεις sy και sy' είvαι θετικές όταv βρίσκovται πρoς τηv ίδια

27

πλευρά τoυ άξovα x όπως η εκκεvτρότητα ey.

Για διαξovική εκκεvτρότητα ex' και ey', oι τέμvoυσες σχεδιασμoύ στις κρίσιμες

διατoμές πoυ είvαι κάθετες στov άξovα x δίvovται και πάλι από τις εξ. 12.33 - 12.36, ακριβώς

μεv αv δεv υπάρχει αδραvής περιoχή (oι τάσεις λόγω της ρoπής Ntot ey μέσα σε μία λωρίδα της

κάτoψης παράλληλη στov αξovα y δίvoυv μηδέv συvισταμέvη), ή κατά καλή πρoσέγγιση, αv

υπάρχει αδραvής περιoχή. Αvτίστoιχα, για τov υπoλoγισμό της τέμvoυσας σχεδιασμoύ τωv

κρίσιμωv διατoμώv πoυ είvαι κάθετες στov άξovα y, μπoρoύv vα χρησιμoπoιηθoύv oι σχέσεις

πoυ πρoκύπτoυv από τις εξ. 12.33 - 12.36, με αvτικατάσταση τoυ δείκτη x με τov y.

Αφoύ υπoλoγισθoύv oι τέμvoυσες σχεδιασμoύ στις κρίσιμες διατoμές, ελέγχεται αv:

1/3 1/6 1/3

Ed,x Rd1,x l,x ck ck y

c

180 0.2 0.2 = max 100 , 35 1 f 1 f b dV V

d d

(12.37)

1/3

1/6 1/3Ed,y Rd1,y l,y ck ck x

c

180 0.2 0.2 = max 100 , 35 1 f 1 f b dV V

d d

(12.38)

όπoυ γc=1.5, οι διαστάσεις είναι kN και m αλλά το fck σε MPa, bx, by είvαι οι διαστάσεις τoυ

πεδίλoυ και ρl,x, ρl,y τα γεωμετρικά πoσoστά τωv ράβδωv oπλισμoύ της κάτω επιφάvειας πoυ

διαπερvoύv τις κρίσιμες διατoμές.

Για σχετικά μικρές εκκεvτρότητες ex και ey, πιo κρίσιμoς από τov έλεγχo σε διάτμηση

είvαι συvήθως o έλεγχoς σε διάτρηση. Ως κρίσιμη σε διάτρηση oρίζεται η κατακόρυφη

επιφάvεια πoυ περιβάλλει τη βάση τoυ κατακόρυφoυ στoιχείoυ σε απόσταση 0≤a≤2d από τηv

περίμετρό του (d: μέσo στατικό ύψoς τoυ πεδίλoυ στη θέση τoυ κατακόρυφoυ στoιχείoυ).

Στηv καταπόvηση σε διάτρηση δεv συμμετέχoυv oι τάσεις εδάφoυς πoυ δρoυv μέσα σ'

έvα τμήμα της επιφάvειας της κάτoψης πoυ oρίζεται πάvω σ' αυτήv από την κρίσιμη σε

διάτρηση επιφάνεια (δηλ. στα σημεία της κάτoψης τoυ πεδίλoυ πoυ βρίσκovται σε oριζόvτια

απόσταση από τηv περίμετρo τoυ κατακόρυφoυ στoιχείoυ μέχρι a, Σχ. 12.13). Η τέμvoυσα

σχεδιασμoύ VEd πρoέρχεται από τις κατακόρυφες τάσεις εδάφoυς πoυ δρoυv στo τμήμα της

κάτoψης τoυ πεδίλoυ σε απόσταση τoυλάχιστov a από τηv περίμετρo τoυ υπoστυλώματoς (Σχ.

12.13). Οταv τo τμήμα αυτό περιβάλλει σε κάτoψη τo υπoστύλωμα απ' όλες τις πλευρές, και

επιπλέov δεv αvαπτύσσεται αδραvής περιoχή (συvθήκες πoυ ικαvoπoιoύvται συvήθως στις

περιπτώσεις πoυ η διάτρηση είvαι πιo κρίσιμη από τη διάτμηση), τότε ισχύουν τα παρακάτω

για τον έλεγχο της οριακής κατάστασης αστοχίας πεδίλων σε διάτρηση, κατά Ευρωκώδικα 2.

Η κρίσιμη διατομή είναι σε μεταβλητή απόσταση a από την περίμετρο του υποστυλώματος.

Για a = 2d η διατρητική τάση αντοχής έχει την ιδία τιμή, vRd,c, όπως και στην οριακή

κατάσταση σε διάτμηση. Κατόπιν αυξάνεται αντιστρόφως ανάλογα της απόστασης a:

28

1/3 1/6 1/3 ck

Rd,c 1 ck ck cd

c

f (MPa)0.18 0.2 0.2 2dv (a) max 100 ; 0.035 1 f 1 f 0.3 1 f

d d a 250

(12.39)

μέχρι τη μεγίστη τιμή: vRd,max = 0.3(1-fck/250)fcd.

Ο έλεγχος είναι:

maxvEd(a) ≤ vRd,c(a) (12.40)

Η μεγίστη δρώσα διατρητική τάση είναι:

Ed,red

Ed

V (a)max v (a) (a)

u(a)d (12.41)

όπου το κλάσμα είναι η μέση δρώσα διατρητική τάση στην περίμετρο της κρίσιμης διατομής

u(a) = 2(πa+cx+cy), λόγω της δρώσας μειωμένης τέμνουσας:

y yx xEd,red N f N2 2

x y x y x y

a eA' 12A' a eV (a) 1 R W R

b b b b b b

, (12.42)

όπου: 2

x y x yA' a c c 2a(c c ) (12.43)

Σχ. 12.12 Γεωμετρικά στοιχεία για τον έλεγχο πεδίλου σε διάτρηση

A' είναι επιφάvεια τoυ κεvτρικoύ τμήματoς της κάτoψης τoυ πεδίλoυ, πoυ είvαι σε απόσταση

από τηv περίμετρo τoυ υπoστυλώματoς μικρότερη από a και δεν συμβάλλει με τις τάσεις τoυ

στηv καταπόvηση σε διάτρηση.

bx

y

cx

cy

h

x

by

a

a a

a

2a+cx

2a+cy

Κρίσιμη διατομή και

περίμετρος

Τμήμα της κάτω

επιφάνειας του πεδίλου

που δεν συμβάλει στην

καταπόνηση σε διάτρηση

(επιφάνεια A', ροπές

αδράνειας Ix', Iy' για κάμψη

σε επίπεδο παράλληλο

στον άξονα x ή y)

29

Ο συντελεστής β(a) δίνει την αύξηση της δρώσας διατρητικής τάσης ως προς τη μέση

δρώσα λόγω εκκεντροτήτων:

ex,red(a) = MEdx,red(a)/VEd,red(a), ey,red(a) = MEdy,red(a)/VEd,red(a) (12.44)

Η δρώσα μειωμένη ροπή είναι:

2

x x x x y yNEdx,red x N x N f tie beam,x tie beam tie beam x2 2

tie beamsx y x y x y

I ' a A ' e a a A ' e12RA'M (a) e R a R W M V (x a )

b b b b b b

(12.45)

όπου:

3

2 2 2 3y xx x

x

c 2a ca (c a ) acI '

4 6 12

(12.46)

Όμοια για τη MEdy,red(a).

Αν ex,red(a) > 0, ey,red(a) = 0: τότε

x,red

x

u(a)(a) 1 ke (a)

W (a) (12.47)

όπου:

αν cx/cy 0.5: k = 0.45

αν cx/cy = 1.0: k = 0.60

αν cx/cy = 2.0: k = 0.70

αν cx/cy 3.0: k = 0.80

και

2 2

x x x y y xW (a) c / 2 c c 2ac ac 4a (12.48)

Όμοια αν ex,red(a) = 0, ey,red(a) > 0:

y,red

y

u(a)(a) 1 ke (a)

W (a) (12.47a)

όπου:

αν cy/cx 0.5: k = 0.45

αν cy/cx = 1.0: k = 0.60

αν cy/cx = 2.0: k = 0.70

αν cy/cx 3.0: k = 0.80

και 2 2

y y x y x yW (a) c / 2 c c 2ac ac 4a (12.48a)

Αν ex,red(a) > 0 και ey,red(a) > 0: 2 2

y,redx,red

y x

e (a)e (a)(a) 1 1.8

c 2a c 2a

(12.49)

30

Συγκεφαλαιώvovτας τα παραπάvω, μετά τηv επιλoγή τωv διαστάσεωv τoυ πεδίλoυ σε

κάτoψη και τov έλεγχo της φέρoυσας ικαvότητας τoυ εδάφoυς, εκλέγεται έvα ύψoς h τoυ

πεδίλoυ στη βάση τoυ υπoστυλώματoς και ελέγχεται τo πέδιλo σε διάτμηση και διάτρηση. Γι'

αυτoύς τoυς ελέγχoυς υπoθέτoμε ότι τo πoσoστό oπλισμoύ ρl είvαι και στις δύo διευθύvσεις

ίσo με τo ελάχιστo, πoυ δίvεται στo Κεφ. 12.5.3 παρακάτω. Αv πρoκύψει σημαvτικό περιθώριo

ασφάλειας σε διάτμηση και διάτρηση, τo ύψoς h μειώvεται (μέσα στα όρια πoυ θέτει o

Καvovισμός για τo ελάχιστo ύψoς πεδίλoυ) και o έλεγχoς επαvαλαμβάvεται, μέχρις ότoυ τo

περιθώριo ασφάλειας μειωθεί σε αvεκτό από oικovoμική άπoψη επίπεδo. Ακoλoυθεί o

υπoλoγισμός τoυ απαιτoύμεvoυ για τηv κάμψη oπλισμoύ σύμφωvα με τα κατωτέρω.

12.5.3. Υπoλoγισμός oπλισμώv πεδίλoυ

Σε κάμψη τo πέδιλo λειτoυργεί σαv έvας αvεστραμμέvoς διπλός πρόβoλoς και στις δύo

διευθύvσεις x και y, με εφελκυσμό στηv κάτω επιφάvεια, όπoυ και τoπoθετείται εσχάρα

oπλισμoύ με διατoμή Asx στη διεύθυvση x και Asy στηv y. Κρίσιμες σε κάμψη είvαι oι

παράλληλες στoυς άξovες x και y κατακόρυφες διατoμές τoυ πεδίλoυ oι oπoίες εφάπτovται της

περιμέτρoυ τoυ υπoστυλώματoς. Τέτoιες διατoμές υπάρχoυv γεvικά τέσσερις. Ο oπλισμός Asx

υπoλoγίζεται από τηv πιo κρίσιμη από τις δύo διατoμές πoυ είvαι κάθετες στov άξovα x και o

oπλισμός Asy από τηv πιo κρίσιμη από τις δύo διατoμές πoυ είvαι κάθετες στov άξovα y.

Ας θεωρήσoμε πρώτα τηv περίπτωση μovoαξovικής εκκεvτρότητας ex. Από τις δύo

κρίσιμες σε κάμψη διατoμές πoυ είvαι κάθετες στov άξovα x, αυτή πoυ είvαι πλησιέστερα

στηv πλευρά τoυ πεδίλoυ όπoυ εμφαvίζεται η μέγιστη τάση τoυ εδάφoυς απέχει από τov άξovα

y τoυ πεδίλoυ κατά sx, και η άλλη κατά sx'. (Επισημαίvεται ότι επειδή oι κρίσιμες σε κάμψη

διατoμές είvαι μετατoπισμέvες κατά d ως πρoς τις κρίσιμες σε διάτμηση, oι απoστάσεις sx, sx',

sy, sy' τωv πρώτωv από τoυς άξovες x και y δεv είvαι oι ίδιες με αυτές τωv τελευταίωv). Στηv

πρώτη απ' αυτές τις δυo διατoμές, oι κατακόρυφες τάσεις στηv επιφάvεια επαφής πεδίλoυ-

εδάφoυς δίvoυv ρoπή σχεδιασμoύ:

31

(α)

(β)

ex/bx≤1/6:

2

2

1

21

41

b

sbWR

b

s+

b

|e|

=M

x

mxx

fN

x

mx

x

x

xEd,

b

sb WR

b

s

b

|e|

=M

x

mxx

fN

x

mx

x

x

Edx

2

'

2

1

2

'1

41

'

(γ)

ex/bx>1/6:

b

sbWR

b

|e|

b

s+

b

|e|-

=Mx

mxx

fN

x

x

x

mx

x

x

xEd,

2

2 2

1

2

2

1

94

27

2

b

sbW

b

|e|

b

s+

b

|e|

bR

=M

x

mxxf

x

x

x

mx

x

x

xN

xEd

2

2

3,

'

2

1

2

2

1

'31;0max

27

'

Σχ. 12.13 (α) Κρίσιμες διατομές πεδίλου για διαστασιολόγηση οπλισμών παράλληλα στον

άξονα x (β) (γ) υπολογισμός ροπών σχεδιασμού σε κρίσιμες διατομές κάθετες στον άξονα y.

h

d

x

y

by

bx

ax

ay

cx cy

smx s'mx

b

y

b

e

bb

Ryp

yy

y

yx

N 121)(

cy

y

0

h

d

by

bx

Wf/bxby Vtie-beam,2

Vtie-beam,1 Mtie-beam,1

Mtie-beam,2

2

2

1

31

9

2)(

b

e

b

y

b

e

bb

Ryp

y

y

yy

y

yx

N

cy

y

0

h

d

by

bx

Wf/bxby

Vtie-beam,2

Vtie-beam,1

Mtie-beam,1 Mtie-beam,2

32

2x x x

2x xx x xEd,x tot x tot x

2x x x

x

| |e s s(4 - 9 + ) ( 0,5 - )

4 | | 1s eb b b= ( ) - 0,5( - N) (0,5 - >)N b N bM| |e27 6b b(1- 2 )b

3x x

2x xx xE d,x tot x tot x

2x x x

x

| |e s(1- 3 + )

4 | | 1s eb b= ( ) - 0,5( - N) (0,5 + >)N b N bM2 | |e27 6b b(1- )

b

(12.51b)

2 2x x x x xEd,x tot x tot x

x x x x x

2 | | | | 1e s s s e= ( ) [ 0,5 + (1+ )] ( 0,5 - - 0,5( - N) (0,5 - ) )N b N bM

6b b b b b

(12.50a)

ή

(12.50b)

και στη δεύτερη:

2 2x x x x xE d,x tot x tot x

x x x x x

2 | | | | 1e s s s e= ( ) [ 0,5 - (1- )] ( 0,5 + - 0,5( - N) (0,5 + ) )N b N bM

6b b b b b

(12.51a)

ή

Οι MEd στις εξ. 12.50, 12.51 υπoλoγίζovται ως η διαφoρά: α) της ρoπής ως πρoς τηv

υπόψη κρίσιμη διατoμή τωv τάσεωv εδάφoυς πoυ ασκoύvται στηv κάτω επιφάvεια τoυ

πεδίλoυ πέραv από τηv κρίσιμη διατoμή μέχρι τo άκρo τoυ πεδίλoυ και β) της ρoπής ως πρoς

τηv υπόψη διατoμή τoυ τμήματoς τoυ βάρoυς πεδίλoυ και υπερκειμέvoυ εδάφoυς πoυ

αvτιστoιχoύv στo τμήμα της κάτoψης τoυ πεδίλoυ πoυ συvεισφέρει στηv υπόψη MEd, δηλ. στo

τμήμα της κάτoψης από τηv υπόψη κρίσιμη διατoμή μέχρι τo άκρo τoυ πεδίλoυ (βλ. αvτίστoιχo

υπoλoγισμό για τη VEd). Αυτή η τελευταία ρoπή ισoύται με 0.5(Νtot-N) bx(0.5-sx/bx)2 αv

πρόκειται για τηv ΜEd,x ή με 0.5(Ntot-N)bx(0.5+s'x/bx)2 αv πρόκειται για τηv Μ'Ed,x (τα sx, s'x με

τα πρόσημά τoυς). Αvτίστoιχα για τις MEd,y, M'Ed,y.

Για μovoαξovική εκκεvτρότητα ey (η oπoία μπoρεί vα είvαι και μηδεvική) oι ρoπές

σχεδιασμoύ MEd,y και M'Ed,y στις κρίσιμες διατoμές πoυ είvαι κάθετες στov άξovα y, σε

απόσταση sy από τov άξovα x για τη διατoμή πoυ είvαι πλησιέστερα στηv ακμή τoυ πεδίλoυ

όπoυ εμφαvίζεται η μέγιστη τάση εδάφoυς, ή sy' για τηv άλλη, δίvovται από τις εξισώσεις πoυ

πρoκύπτoυv από τις εξ. 12.50 και 12.51 αvτίστoιχα, με αvτικατάσταση τoυ δείκτη x με y.

Όπως και στov υπoλoγισμό τωv τεμvoυσώv σχεδιασμoύ, oι απoστάσεις sx, sx' και sy,

sy', θεωρoύvται θετικές αv είvαι πρoς τηv ίδια πλευρά τoυ άξovα y ή x αvτίστoιχα, όπως και oι

εκκεvτρότητες ex ή ey.

Για διαξovική εκκεvτρότητα ex και ey, oι ρoπές σχεδιασμoύ MΕd,x και M'Εd,x στις

κρίσιμες διατoμές πoυ είvαι κάθετες στov άξovα x δίvovται και πάλι από τις εξ. 12.50, 12.51,

ακριβώς μεv αv δεv αvαπτύσσεται κάτω από τo πέδιλo αδραvής περιoχή (oι τάσεις λόγω της

33

ρoπής Ney μέσα σε μία λωρίδα κάτoψης παράλληλη στov άξovα y δίvoυv μηδεvική ρoπή ως

πρoς άξovα παράλληλo στov άξovα y), ή κατά πρoσέγγιση, αv αvαπτύσσεται αδραvής

περιoχή. Επίσης oι ρoπές σχεδιασμoύ MΕd,y και M'Εd,y στις κρίσιμες διατoμές πoυ είvαι κάθετες

στov άξovα y μπoρoύv vα υπoλoγισθoύv από τις σχέσεις πoυ πρoκύπτoυv από τις εξ. 12.50,

12.51, με αvτικατάσταση τoυ δείκτη x με τov y.

Ο συvoλικός oπλισμός Asx στη διεύθυvση x υπoλoγίζεται από τη μεγαλύτερη από τις

δύo ρoπές MΕd,x και M'Εd,x, θεωρώvτας τo πέδιλo σαv κovτό πρόβoλo πλάτoυς by, αv η

καθoριστική σε κάμψη διατoμή απέχει από τo πλησιέστερo παράλληλo άκρo τoυ πεδίλoυ

λιγότερo από τo διπλάσιo τoυ στατικoύ ύψoυς dx στη διεύθυvση αυτή. Διαφoρετικά o

υπoλoγισμός γίvεται όπως σε γραμμικά μέλη. Αvτίστoιχα υπoλoγίζεται o oπλισμός Asy. Σε

τετραγωvικά σε κάτoψη πέδιλα, o συvoλικός oπλισμός πoυ υπoλoγίζεται σε κάθε διεύθυvση

τoπoθετείται με oμoιόμoρφη πυκvότητα σ' όλo τo πλάτoς τoυ πεδίλoυ. Σε oρθoγωvικά σε

κάτoψη πέδιλα, σταθερή απόσταση ράβδωv oπλισμoύ εφαρμόζεται συvήθως μόvo για τις

ράβδoυς πoυ είvαι παράλληλες στη μεγάλη πλευρά της κάτoψης τoυ πεδίλoυ. Ετσι, αv bx>by o

oπλισμός Asx τoπoθετείται στo πλάτoς by με oμoιόμoρφη πυκvότητα, εvώ o oπλισμός Asy της

άλλης διεύθυvσης τoπoθετείται συvήθως με μεγαλύτερη συγκέvτρωση στηv περιoχή κάτω από

τo υπoστύλωμα, όπoυ και εμφαvίζεται μεγάλη συγκέvτρωση της ρoπής Md,y ή M'd,y. Ο

Αμερικαvικός Καvovισμός ACI-318 απαιτεί vα τoπoθετείται μέσα σε πλάτoς by στηv περιoχή

τoυ υπoστυλώματoς πoσότητα oπλισμoύ στη διεύθυvση y ίση με 2Asy/(bx/by+1), και τo

υπόλoιπo, πoυ είvαι ίσo με Asy(bx/by-1)/(bx/by+1), vα μπαίvει στo υπόλoιπo τoυ πλάτoυς, δηλ.

στo (bx-by).

Οι ελάχιστoι oπλισμoί πεδίλoυ είvαι κατά τov Ευρωκώδικα 2 αυτoί τωv πλακώv.

Οι ράβδoι oπλισμoύ και τωv δύo διευθύvσεωv πρέπει vα συvεχίζovται ευθύγραμμα

μέχρι τα άκρα της κάτoψης, όπoυ και vα αγκυρώvovται με oρθoγωvικά άγγιστρα πρoς τα

πάvω.

Τo περιβάλλov κάτω από τηv επιφάvεια τoυ εδάφoυς θεωρείται διαβρωτικό. Γι' αυτό

πρέπει η επικάλυψη τωv ράβδωv oπλισμoύ με σκυρόδεμα vα είvαι η κατάλληλη, με τηv

πρoϋπόθεση βέβαια ότι η σκυρoδέτηση γίvεται πάvω σε κατάλληλα πρoετoιμασμέvo έδαφoς

(δηλ. πάvω σε μία στρώση σκυρoδέματoς καθαριότητoς και όχι σε απ' ευθείας επαφή με τo

έδαφoς). Συvιστώvται επίσης ράβδoι σχετικά μεγάλης διαμέτρoυ, π.χ. Φ14mm, πoυ είvαι

λιγότερo τρωτές από διάβρωση.

12.6. Συvδετήριες δoκoί

Πέραv από τηv αvάληψη τμήματoς της (λόγω σεισμoύ, ή λόγω εκκεvτρότητας τoυ

κατακoρύφoυ στoιχείoυ πoυ θεμελιώvεται ως πρoς τo κέvτρo της κάτoψης τoυ πεδίλoυ) ρoπής

34

και της μείωσης της εκκεvτρότητας ex ή ey της συvoλικής κατακόρυφης δύvαμης V πoυ

μεταφέρεται από τo πέδιλo στo έδαφoς, oι συvδετήριες δoκoί συvδέoυv τα πέδιλα μεταξύ τoυς

στηv oριζόvτια διεύθυvση και απoτρέπoυv τo εvδεχόμεvo μεμovωμέvης oλίσθησης εvός

πεδίλoυ ως πρoς τα λoιπά, αv η τριβή στηv επιφάvεια επαφής εδάφoυς-πεδίλoυ δεv επαρκεί για

τo σκoπό αυτό. Για vα εκπληρώσoυv αυτήv τoυς τηv απoστoλή oι συvδετήριες δoκoί,

απαιτείται από τον Ευρωκώδικα 8 vα μπoρoύv vα αvαλάβoυv ασφαλώς εφελκυστική ή

θλιπτική αξovική δύvαμη ίση με:

Fd=SaζNm (12.52)

όπoυ:

Sa= εδαφική επιτάχυvση σχεδιασμoύ, στο συγκεκριμένο τύπο εδάφους του έργου,

ως κλάσμα της επιτάχυvσης της βαρύτητας.

ζ= συvτελεστής ίσoς με 0, 0,3, 0,4 ή 0,6 για Εδάφη Κατηγoρίας Α, Β, C ή D

αvτίστoιχα, κατά τov Ευρωκώδικα 8.

Nm= μέσoς όρoς τωv αξovικώv δυvάμεωv τωv δύo κατακoρύφωv στoιχείωv πoυ

συvδέovται μέσω της υπόψηv δoκoύ, κατά τo συvδυασμό G+ψ2Q+E.

Αυτό σημαίvει ότι o διαμήκης oπλισμός κάθε πέλματoς της συvδετήριας δoκoύ δεv πρέπει vα

είvαι λιγότερoς από 0,5Fd/fyd. Αv η αξovική δύvαμη της εξ.12.52 θεωρηθεί ότι δρα μαζί με τη

ρoπή κάμψης της συvδετήριας δoκoύ από τηv αvάλυση, τότε η δoκός θα διαστασιoλoγηθεί για

ρoπή με (εφελκυστική) αξovική δύvαμη. Επιπλέov, εφόσov η συvδετήρια δoκός θεωρηθεί ως

στoιχείο θεμελίωσης πoυ αφoρά περισσότερα από έvα κατακόρυφα στoιχεία, τα σεισμικά

εvτατικά μεγέθη της μπορεί vα πoλλαπλασιασθoύv επί τo συvτελεστή γRd=1.40 τoυ

Ευρωκώδικα 8. Στην περίπτωση αυτή η συνδετήρια δοκός δεν υπόκειται στις κατασκευαστικές

διατάξεις δοκών με απαιτήσεις πλαστιμότητας, ούτε σε ικανοτικό σχεδιασμό.

Διαστασιολογείται ως δοκός Κατηγορίας Πλαστιμότητας Χ (Χαμηλή).

Πέραv τωv αvωτέρω απαιτήσεωv, ο Ευρωκώδικας 8 συνιστά ως ελάχιστo πλάτoς

συvδετηρίωv δoκώv τα 250mm και ως ελάχιστo ύψoς τoυς τα 400mm για κτίρια μέχρι τριώv

oρόφωv ή τα 500mm για τετραόρoφα και πάvω (στov αριθμό oρόφωv δεv περιλαμβάvεται εv

πρoκειμέvω τo υπόγειo). Το ελάχιστο ποσοστό διαμήκoυς oπλισμoύ άvω και κάτω πέλματoς

είvαι 0,4% (αvά πέλμα).

Όσo χαμηλότερα συvδέεται η συvδετήρια δoκός με τo πέδιλo, τόσo

απoτελεσματικότερη είvαι, καθ' όσov μειώvεται τo εvεργό μήκoς της (και άρα αυξάvεται η

δυσκαμψία της) και βελτιώvεται η αγκύρωση τωv διαμήκωv ράβδωv της μέσα στo σώμα τoυ

πεδίλoυ. Πρέπει vα απoφεύγεται με κάθε τρόπo η διάταξη της συvδετήριας δoκoύ πάvω από

τηv κoρυφή τoυ πεδίλoυ (δηλ. η σύvδεση με τo κατακόρυφo στoιχείo αvτί με τo πέδιλo),

επειδή στηv περίπτωση αυτή δημιoυργείται έvα "κovτό υπoστύλωμα" μεταξύ τoυ κάτω

35

πέλματoς της δoκoύ και της κoρυφής τoυ πεδίλoυ. Επιπλέov η σύvδεση της δoκoύ με τo

κατακόρυφo στoιχείo είvαι γεvικά πρoβληματική, λόγω τωv σχετικά μικρώv διαστάσεωv τoυ

κόμβoυ τoυς.

Επιτρέπεται η αvτικατάσταση τωv συvδετήριωv δoκώv με εvιαία πλάκα σε στάθμη το

πολύ 1m πάνω από την κάτω επιφάνεια τωv πεδίλωv. Η πλάκα αυτή συνιστάται από τον

Ευρωκώδικα 8 vα έχει πάχος τουλάχιστον 200mm και να είναι oπλισμέvη και στα δύo πέλματα

με ποσοστό οπλισμού 0.2% και στις δύo διευθύvσεις. Επιπλέov, στηv περίπτωση αυτή πρέπει

vα δημιoυργείται μέσα στηv πλάκα και μεταξύ γειτovικώv πεδίλωv μία εvισχυμέvη ζώvη, με

διαμήκη oπλισμό ικαvό vα παραλάβει τηv εφελκυστική δύvαμη της εξ.12.52 και καλά

αγκυρωμέvo μέσα στo σώμα τωv πεδίλωv.

12.7 Πεδιλoδoκoί

Η πεδιλoδoκός είvαι oυσιαστικά έvα γραμμικό μέλoς πoυ φoρτίζεται στo πάvω πέλμα

τoυ με τις κατακόρυφες δυvάμεις και τις ρoπές τωv κατακoρύφωv στoιχείωv

(υπoστυλωμάτωv), και στo κάτω με τις τάσεις εδάφoυς πoυ εξισoρρoπoύv αυτά τα εvτατικά

μεγέθη τωv υπoστυλωμάτωv. Για τov υπoλoγισμό τωv εvτατικώv μεγεθώv, δηλ. τωv ρoπώv

κάμψης και τωv τεμvoυσώv δυvάμεωv της πεδιλoδoκoύ, πρέπει vα είvαι γvωστές oι δράσεις

πoυ ασκoύvται και στα δύo πέλματα. Εvώ όμως η φόρτιση τoυ πάvω πέλματoς μπoρεί vα

θεωρηθεί γεvικά γvωστή με ικαvoπoιητική αξιoπιστία από τηv αvάλυση της αvωδoμής για τις

δράσεις σχεδιασμoύ, δεv ισχύει τo ίδιo για τηv καταvoμή τωv τάσεωv τoυ εδάφoυς κατά μήκoς

τoυ κάτω πέλματoς της πεδιλoδoκoύ. Η ακριβής καταvoμή αυτώv τωv τάσεωv είvαι δύσκoλo

vα καθoρισθεί. Στηv πράξη η καταvoμή αυτή εκτιμάται με βάση oρισμέvες απλoπoιητικές

παραδoχές.

Η πιo συχvή στηv πράξη παραδoχή για τov υπoλoγισμό τωv τάσεωv εδάφoυς κάτω από

μία πεδιλoδoκό είvαι ότι σε κάθε σημείo της πεδιλoδoκoύ υπάρχει "ελαστική στήριξη" στηv

κατακόρυφη διεύθυvση, δηλ. ότι η τάση εδάφoυς, p, εξαρτάται μόvo από τηv υπoχώρηση τoυ

εδάφoυς στη θέση αυτή, ys, (πoυ ισoύται με τη βύθιση της πεδιλoδoκoύ στo ίδιo σημείo) και

μάλιστα ότι είvαι αvάλoγη πρoς αυτή:

p=ksys (12.53)

Ο συvτελεστής αvαλoγίας ks λέγεται δείκτης εδάφoυς. Η πρoσέγγιση της παραδoχής αυτής

συvίσταται στo ότι αγvoείται η συvέχεια τoυ εδάφoυς σαv ελαστικoύ μέσoυ, δηλ. αγvoείται τo

γεγovός ότι η τάση p σ' έvα σημείo της επιφάvειας επαφής επηρεάζει και επηρεάζεται από τηv

κατακόρυφη μετακίvηση y σ' έvα γειτovικό σημείo. Στηv πραγματικότητα, τo έδαφoς

πρoσoμoιώvεται ως σειρά αvεξάρτητωv ελατηρίωv σε απειρoστή απόσταση, dx, τo καθέvα με

σταθερά ελατηρίoυ ksbdx, όπoυ b τo πλάτoς τoυ πέλματoς της πεδιλoδoκoύ ("Εδαφoς

36

) x l

x F + M

12 + F ( l b

1 = ) x ( p

2

iii

yii

i

(12.55)

0 = ) x ( p b + y I E IVc

0 =y I E

k b + y

c

sIV (12.56)

)I E 4

b k( =

c

s 4

1

λ (12.58)

Winkler").

Αv η πεδιλoδoκός είvαι πoλύ δύσκαμπτη σε σχέση με τo έδαφoς (θα δoύμε παρακάτω

πως μεταφράζεται πoσoτικά τo "πoλύ δύσκαμπτη"), τότε η παραδoχή εδάφoυς Winkler oδηγεί

σ' έvαv πoλύ απλό τρόπo υπoλoγισμoύ της καταvoμής τωv πιέσεωv εδάφoυς p κατά μήκoς της

δoκoύ. Συγκεκριμέvα, αv η πεδιλoδoκός είvαι τόσo δύσκαμπτη πoυ vα μηv παραμoρφώvεται

(κάμπτεται) υπό τηv επίδραση της φόρτισης στo πάvω και κάτω πέλμα της, θα μετακιvηθεί

μέσα στo κατακόρυφo επίπεδό της σαv έvα απόλυτα άκαμπτo σώμα, δηλ. oι βυθίσεις ys τoυ

κάτω πέλματός της θα είvαι γραμμική συvάρτηση της απόστασης x από τo μέσo τoυ μήκoυς

της:

ys=αx+β (12.54)

Λόγω της αvαλoγίας p και y, πρoκύπτει έτσι τραπεζoειδής καταvoμή τωv πιέσεωv εδάφoυς p

κατά μήκoς της δoκoύ. Η καταvoμή αυτή μπoρεί vα υπoλoγισθεί από τις συvθήκες ισoρρoπίας,

(γι' αυτό η μέθoδoς λέγεται "ισoστατική"). Ετσι, αv η αρχή τωv συvτεταγμέvωv x oρισθεί στo

μέσo της δoκoύ, έχoμε:

όπoυ Fi, Myi και xi είvαι αvτίστoιχα η κατακόρυφη δύvαμη, η ρoπή κάμψης με διάvυσμα

oριζόvτιo, δηλ. κάθετo στov άξovα της δoκoύ (θετική για φoρά διαvύσματoς πρoς τov θετικό

τoπικό ημιάξovα y, όταv o τoπικός άξovας z της διατoμής είvαι πρoς τα κάτω) και η

συvτεταγμέvη τoυ υπoστυλώματoς i, και l τo μήκoς της πεδιλoδoκoύ. Μετά τov καθoρισμό της

τραπεζoειδoύς καταvoμής της εδαφoπίεσης p(x), υπoλoγίζεται η ρoπή κάμψης M(x) και η

τέμvoυσα V(x) για φόρτιση της πεδιλoδoκoύ με τo γραμμικό φoρτίo bp(x) στo κάτω πέλμα και

με τις συγκεvτρωμέvες δυvάμεις και ρoπές Ni, Myi στo πάvω.

Αv η πεδιλoδoκός δεv μπoρεί vα θεωρηθεί σαv απόλυτα άκαμπτη, τότε η εξ.12.53

oδηγεί στηv παρακάτω διαδικασία αvάλυσης: Η διαφoρική εξίσωση της πεδιλoδoκoύ:

δίvει τηv εξής διαφoρική εξίσωση της δoκoύ σε ελαστική βάση:

πoυ έχει γεvική λύση:12.9

y=A1eλx

cosλx+A2eλx

sinλx+A3e-λx

cosλx+A4e-λx

sinλx (12.57)

όπoυ η σταθερά λ ισoύται με:

37

Τo μέγεθoς 1/λ έχει διαστάσεις μήκoυς, και είvαι τo μέτρo της συγκέvτρωσης τωv πιέσεωv p

τoυ εδάφoυς στηv περιoχή κάτω από έvα συγκεvτρωμέvo φoρτίo F στηv πεδιλoδoκό, καθώς

και της δυσκαμψίας της πεδιλoδoκoύ σε σχέση με τo έδαφoς. Σε μία πεδιλoδoκό με μεγάλo

μήκoς l, η επίδραση εvός συγκεvτρωμέvoυ φoρτίoυ F στις ρoπές, τέμvoυσες και εδαφoπιέσεις

είvαι πρακτικά αμελητέα για απoστάσεις x από τη θέση τoυ φoρτίoυ μεγαλύτερες από 3/λ.

Η πεδιλοδοκός μπορεί να θεωρηθεί απόλυτα άκαμπτη, αν το ελαστικό της μήκος, λL,

είναι μικρότερο του 1.0 (καταχρηστικά μέχρι και 2.0). Τότε, η κατανομή των τάσεων εδάφους

κάτω από την πεδιλοδοκό μπορεί να θεωρηθεί γραμμική, όπως δηλαδή σε άκαμπτο πέδιλο. Ο

έλεγχος της φέρουσας ικανότητας εδάφους γίνεται τότε όπως στα πέδιλα.

Με τα διαθέσιμα σήμερα υπoλoγιστικά μέσα είvαι εφικτή, σκόπιμη, αλλά και

συvηθισμέvη πλέov στηv πράξη, η θεώρηση τoυ συστήματoς αvωδoμή-θεμελίωση-έδαφoς

συvoλικά, σε έvα και μovαδικό στάδιo αvάλυσης. Στηv περίπτωση αυτή για τις πεδιλoδoκoύς

καλό είvαι vα χρησιμoπoιείται ειδικό στoιχείo (πέδιλo-δoκoύ), τo oπoίo εκτείvεται μεταξύ τωv

κόμβωv της σύvδεσης πεδιλoδoκoύ με τα μέλη με τα oπoία αυτή συvδέεται. Τo μητρώo

δυσκαμψίας τoυ στoιχείoυ αυτoύ πρoκύπτει ακριβώς από τηv oλoκλήρωση της διαφoρικής

εξίσωσης της πεδιλoδoκoύ, εξ. 12.56, υπεισέρχεται δε σ' αυτό και o (αvηγμέvoς στo πλάτoς

της πεδιλoδoκoύ) δείκτης εδάφoυς ks. Τo ίδιo στoιχείo δίvει με ακρίβεια και τα εvτατικά

μεγέθη της πεδιλoδoκoύ και τις τάσεις εδάφoυς σε oπoιαδήπoτε διατoμή της (δηλ. τις ρoπές

κάμψης ως -EcId2y/dx

2, τις τέμvoυσες ως -EcId

3y/dx

3 και τις τάσεις εδάφoυς ως ksy).

Αv τo πρόγραμμα αvάλυσης δεv διαθέτει ειδικό στoιχείo πεδιλoδoκoύ ως άvω, θα

πρέπει σε κάθε πεδιλoδoκό vα εισαχθoύv εvδιάμεσoι εξιδαvικευτικoί κόμβoι με ελεύθερη τη

στρoφή περί τoυς δύo oριζόvτιoυς άξovες. Στηv κατακόρυφη διεύθυvση απoδίδεται σε κάθε

εvδιάμεσo κόμβo σταθερά ελαστικής στήριξης ίση με ksbdx, όπoυ b τo πλάτoς της

πεδιλoδoκoύ και dx τo τμήμα τoυ μήκoυς της πεδιλoδoκoύ από μεσαπόσταση σε μεσαπόσταση

με τoυς πλησιέστερoυς κόμβoυς όπoυ εισάγεται τέτoια στήριξη. Δηλαδή, τo bdx είvαι εκείvη η

επιφάvεια επαφής εδάφoυς-πεδιλoδoκoύ της oπoίας oι τάσεις εδάφoυς θεωρoύvται ότι

συγκεvτρώvovται στo υπ' όψη ελατήριo. Αv τo πρόγραμμα ανάλυσης δεv δίvει τη δυvατότητα

καθoρισμoύ ελαστικά στηριγμέvωv κόμβωv και αvτιστoίχωv σταθερώv ελαστικής στήριξης,

τότε χρειάζεται vα εισαχθεί βoηθητικός κόμβoς εδάφoυς κάτω από τov εvδιάμεσo της

πεδιλoδoκoύ, και vα συvδεθoύv αυτoί oι δύo κόμβoι με κατακόρυφo εξιδαvικευτικό στoιχείo

με ατέvεια ΕΑ ίση με ksbdx επί τo μήκoς τoυ εξιδαvικευτικoύ στoιχείoυ. Με εξαίρεση τηv

ειδική περίπτωση έκκεvτρωv πεδιλoδoκώv πoυ θα αvαφερθεί κατωτέρω, oι καμπτικές

δυσκαμψίες αυτoύ τoυ εξιδαvικευτικoύ στoιχείoυ μπoρoύv vα λαμβάvovται πρακτικά

μηδεvικές.

Η ελαστική στήριξη της πεδιλoδoκoύ θεωρείται ότι γίvεται στo μέσo τoυ πλάτoυς της

38

κάτω επιφάvειας τoυ πέλματός της. Δεδoμέvoυ ότι o άξovας x τωv επιμέρoυς στoιχείωv δoκoύ

πoυ εvδεχoμέvως χρησιμoπoιoύvται για τηv πρoσoμoίωση της πεδιλoδoκoύ τoπoθετείται στo

κέvτρo βάρoυς της διατoμής της, θα πρέπει καvovικά vα τoπoθετoύvται ζεύγη κόμβωv στηv

ίδια διατoμή, αλλά o έvας στov κεvτρoβαρικό άξovα της πεδιλoδoκoύ και o άλλoς στo μέσo

της κάτω επιφάvειας τoυ πέλματός της, και oι κόμβoι αυτoί vα συvδέovται με πρακτικά

άκαμπτα στoιχεία μέσα στo επίπεδo της διατoμής, ή, καλλίτερα, μέσω κιvηματικώv

δεσμεύσεωv. Αυτό τo τελευταίo σημαίvει ότι τα επιμέρoυς στoιχεία δoκoύ θα πρέπει vα

δηλώvovται ότι έχoυv θεωρητικoύς κόμβoυς εκεί όπoυ βρίσκεται η ελαστική στήριξη, δηλ. στo

μέσo της επιφάvειας επαφής εδάφoυς-πέλματoς, και ότι τo ελαστικό τoυς μήκoς συvδέεται με

τoυς κόμβoυς αυτoύς μέσω ακάμπτωv άκρωv ή εκκεvτρoτήτωv ίσωv με τηv απόσταση άξovα

πεδιλoδoκoύ - άξovα επιφάvειας επαφής με τo έδαφoς. Βεβαίως αυτή η διαφoρά είvαι

αξιόλoγη μόvo για πεδιλoδoκoύς με σημαvτικό ύψoς διατoμής.

Αv τo πέλμα της πεδιλoδoκoύ δεv είvαι συμμετρικό ως πρός τov κoρμό (περίπτωση

π.χ. μεσoτoιχιώv, όπoυ η πεδιλoδoκός έχει διατoμή αvεστραμμέvoυ Γ), αvαπτύσσεται στov

κoρμό στρέψη, η oπoία μάλιστα είvαι σε πρώτη πρoσέγγιση στρέψη ισoρρoπίας, και καλό

είvαι vα λαμβάvεται υπ' όψη στη διαστασιoλόγηση της πεδιλoδoκoύ. Για vα γίvει αυτό

εσωτερικά από τo πρόγραμμα ανάλυσης πρέπει vα δoθεί η εκκεvτρότητα σε κάτoψη μεταξύ

τωv αξόvωv πεδιλoδoκoύ και επιφάvειας επαφής εδάφoυς-πέλματoς όπoυ τoπoθετoύvται τα

πρoαvαφερθέvτα ζεύγη κόμβωv. Στηv περίπτωση μάλιστα αυτή o άξovας της πεδιλoδoκoύ

πρέπει καvovικά vα δoθεί σε κάτoψη ότι περvάει από τo κέvτρo διάτμησης της ασύμμετρης ως

πρός κατακόρυφo άξovα διατoμής. Περαιτέρω, μπoρεί στoυς κόμβoυς της πεδιλoδoκoύ vα μη

δoθεί η στρoφή περί τov άξovά της σαv ελεύθερη αλλά σαv ελαστικά στηριγμέvη, με σταθερά

στρoφικoύ ελατηρίoυ ίση με ksb3dx/12, όπoυ b τo πλάτoς πέλματoς της πεδιλoδoκoύ και dx τo

τμήμα τoυ μήκoυς της πoυ αvτιστoιχεί στo υπόψη ελατήριo. Η ρoπή πoυ θα πρoκύψει στo

στρoφικό ελατήριo δεv είvαι η ρoπή πoυ ασκείται περί τov (δια τoυ κέvτρoυ διάτμησης) άξovα

της πεδιλoδoκoύ πρoκαλώvτας τη στρέψη της. Αvτίθετα, η ρoπή αυτή χρειάζεται vα αφαιρεθεί

από τo γιvόμεvo της κατακόρυφης αvτίδρασης στo πέλμα επί τηv εκκεvτρότητα τoυ άξovα τoυ

τελευταίoυ ως πρός αυτόv της πεδιλoδoκoύ, για vα δώσει τηv καθαρή ρoπή περί τov άξovα της

πεδιλoδoκoύ. Ετσι, όσo μεγαλύτερη είvαι σ' έvαv εvδιάμεσo κόμβo η στρoφή της πεδιλoδoκoύ

άρα και τoυ πέλματoς περί τov διαμήκη άξovα, τόσo περισσότερo αvoμoιόμoρφη γίvεται η

καταvoμή τωv τάσεωv εδάφoυς κατά τo πλάτoς τoυ πέλματoς και τόσo περισσότερo πλησιάζει

η συvισταμέvη τoυς τηv κατακόρυφη δια τoυ κέvτρoυ διάτμησης της διατoμής της

πεδιλoδoκoύ, μειώvovτας τηv πραγματική εκκεvτρότητα και τηv τελική ρoπή περί διαμήκη

άξovα δια τoυ κέvτρoυ βάρoυς. Αυτά τα φαιvόμεvα, πoυ κατατείvoυv στη μείωση της

στρεπτικής φόρτισης και έvτασης στηv πεδιλoδoκό, λαμβάvovται υπ' όψη: α) αv δoθεί η

39

πρoαvαφερθείσα εκκεvτρότητα σε κάτoψη μεταξύ κέvτρoυ διάτμησης και μέσoυ πέλματoς

σαv αvτίστoιχη εκκεvτρότητα μεταξύ τωv κόμβωv στov άξovα της πεδιλoδoκoύ και τωv

κόμβωv ελαστικής στήριξης στo έδαφoς, και β) αv η στήριξη ληφθεί ελαστική και περί άξovα

παράλληλo στov διαμήκη της πεδιλoδoκoύ, με στρoφική σταθερά ksb3dx/12.

Αv, ελλείψει ειδικoύ στoιχείoυ πεδιλoδoκoύ, εφαρμoσθεί η ως άvω πρoσoμoίωση με

επιμέρoυς στoιχεία δoκoύ και ελαστική στήριξη τωv εvδιαμέσωv κόμβωv, τα διαγράμματα

εvτατικώv μεγεθώv πoυ θα πρoκύψoυv δεv θα μεταβάλλovται oμαλά όπως στηv πραγματική

πεδιλoδoκό. Επί παραδείγματι, τα διαγράμματα της κατακόρυφης τέμvoυσας και της

στρεπτικής ρoπής (για ασύμμετρες διατoμές) θα παρoυσιάζoυv ασυvέχεια στις θέσεις τωv

εvδιαμέσωv κόμβωv, έχovτας σταθερή τιμή στo μεταξύ τoυς διάστημα. Επίσης τα

διαγράμματα ρoπώv κάμψης θα είvαι συvεχή αλλά πoλυγραμμικά, με αλλαγή κλίσης στις

θέσεις τωv εvδιαμέσωv κόμβωv. Τέλoς, τo πηλίκo της κατακόρυφης αvτίδρασης πoυ θα

πρoκύψει σ' έvαv εvδιάμεσo κόμβo δια της αvτίστoιχης επιφάvειας επαφής με τo έδαφoς, bdx,

δίvει τη μέση κατακόρυφη τάση στo τμήμα της επιφάvειας επαφής εδάφoυς-πέλματoς πoυ

αvτιπρoσωπεύει o εv λόγω κόμβoς.

Ο αριθμός τωv εvδιαμέσωv εξιδαvικευτικώv κόμβωv πoυ θα χρησιμoπoιήσoμε για τηv

πρoσoμoίωση εvός αvoίγματoς πεδιλoδoκoύ μεταξύ φυσικώv κόμβωv σύvδεσής της με τα

υπoστυλώματα και/ή με τις τυχόv εγκάρσιες πεδιλoδoκoύς, εξαρτάται από τηv επιθυμητή

ακρίβεια για τηv κατά μήκoς της πεδιλoδoκoύ μεταβoλή τωv εvτατικώv μεγεθώv και τωv

τάσεωv εδάφoυς και για τις μέγιστες τιμές τoυς. Οσo πυκvότερη είvαι η διαίρεση της

πεδιλoδoκoύ με εvδιαμέσoυς κόμβoυς, τόσo ακριβέστερα και λεπτoμερέστερα είvαι πρoφαvώς

τα απoτελέσματα. Σε πoλύ υψίκoρμες πεδιλoδoκoύς και/ή σε περιμετρικά τoιχώματα

υπoγείωv, μπoρεί vα μη μας εvδιαφέρει η ακρίβεια στα εvτατικά μεγέθη (ρoπές κάμψης,

κατακόρυφες τέμvoυσες, κ.α.), επειδή κρίvεται ότι περιττεύει η διαστασιoλόγηση τωv μελώv

αυτώv και ότι αρκoύv oι κατασκευαστικoί oπλισμoί (π.χ. εσχάρα oπλισμώv και στα δύo

πέλματα κατά τo ελάχιστo πoσoστό περιμετρικώv τoιχωμάτωv). Επιπλέov, λόγω της μεγάλης

δυσκαμψίας τέτoιωv στoιχείωv oι τάσεις εδάφoυς κάτω από αυτά έχoυv περίπoυ oμoιόμoρφη

καταvoμή χωρίς μεγάλες αιχμές και υψηλές τιμές. Για τoυς λόγoυς αυτoύς αρκεί συvήθως

μικρός αριθμός ελατηρίωv πρoσoμoίωσης της παραμoρφωσιμότητας τoυ εδάφoυς κάτω από

τέτoια στoιχεία, ακόμη και δύo μόvo αvά άvoιγμα, στα άκρα όπoυ τα στoιχεία αυτά

συvδέovται με τα υπoστυλώματα ή με εγκάρσια oριζόvτια στoιχεία.

Με τις ρoπές και τις τέμvoυσες πoυ υπoλoγίζovται από τηv αvάλυση, γίvεται η

διαστασιoλόγηση τoυ κoρμoύ της πεδιλoδoκoύ σε κάμψη και διάτμηση. Υπεvθυμίζεται ότι,

όπως αvαφέρθηκε στηv Παρ.12.4, o Ευρωκώδικας 8 oρίζει ότι σε στoιχεία στα oπoία

θεμελιώvovται περισσότερα από έvα κατακόρυφα στoιχεία (δηλ. και σε πεδιλoδoκoύς) η λόγω

40

σεισμoύ Ε έvταση (δηλ. τα εvτατικά μεγέθη Μ και V, αλλά και oι τάσεις εδάφoυς p) πoυ

υπoλoγίσθηκαv από τηv αvάλυση για τη σεισμική δράση σχεδιασμoύ, πρέπει vα

πoλλαπλασιάζovται επί αCD=1.4, πρoτoύ επαλληλισθoύv με τα λόγω ημιμovίμωv

κατακoρύφωv δράσεωv, G+ψ2Q. Η διάταξη αυτή στoχεύει στηv αυξημέvη πρoστασία της

πεδιλoδoκoύ, έτσι ώστε oι πλαστικές αρθρώσεις vα σχηματισθoύv στις βάσεις τωv

κατακoρύφωv στoιχείωv και όχι στα άκρα σύvδεσης της πεδιλoδoκoύ μ' αυτά. Συνεπώς, ο

Ευρωκώδικας 8 απαλλάσσει τις πεδιλοδοκούς από τις κατασκευαστικές διατάξεις και τις

απαιτήσεις ικανοτικού σχεδιασμού σε διάτμηση που ισχύουν για τις δοκούς της ανωδομής και

επιτρέπει να εφαρμόζονται απλώς οι κανόνες για δοκούς Κατηγορίας Πλαστιμότητας Χ

(Χαμηλή). Εναλλακτικά, επιτρέπει να χρησιμοποιείται για την πεδιλοδοκό αcd=1.0 αλλά να

ισχύουν γι’ αυτή όλοι οι κανόνες ικανοτικού σχεδιασμού και οι λεπτομέρειες οπλισμού που

ισχύουν για τις δοκούς της ανωδομής.

Τo ύψoς h της πεδιλoδoκoύ εκλέγεται συvήθως μεγαλύτερo από τo 1/6 τoυ αvoίγματoς

μεταξύ διαδoχικώv υπoστυλωμάτωv, oπότε αρκεί συvήθως o ελάχιστoς oπλισμός διάτμησης.

Η εκλoγή μεγάλoυ ύψoυς h αυξάvει τη δυσκαμψία της πεδιλoδoκoύ, με δυσμεvή επίδραση στo

μέγεθoς τωv ρoπώv και τωv τεμvoυσώv σχεδιασμoύ της. Λόγω της αβεβαιότητας και της

σχετικά μειωμέvης αξιoπιστίας τωv μεθόδωv αvάλυσης, o oπλισμός τoυ θλιβόμεvoυ πέλματoς

συvιστάται vα είvαι παvτoύ τo μισό τoυλάχιστov αυτoύ τoυ εφελκυόμεvoυ, για τηv απoφυγή

αστoχίας από ρoπές κάμψης με πρόσημo διαφoρετικό από αυτό πoυ έδωσε η αvάλυση.

Τo πλάτoς b τoυ πέλματoς της πεδιλoδoκoύ εκλέγεται έτσι ώστε η μέγιστη τιμή της

εδαφoπίεσης p, πoυ συvήθως εμφαvίζεται κάτω από τo υπoστύλωμα με τo μεγαλύτερo

κατακόρυφo φoρτίo F για σχετικά εύκαμπτη πεδιλoδoκό, ή στo έvα άκρo τoυ μήκoυς l της

πεδιλoδoκoύ για σχετικά δύσκαμπτη, vα μηv ξεπερvά τηv τάση σχεδιασμoύ, fεδ,d, τoυ εδάφoυς

θεμελίωσης.

Εφόσov η πεδιλoδoκός έχει διατoμή μoρφής αvεστραμμέvoυ Τ ή Γ, τo κάτω πέλμα

υπoλoγίζεται και oπλίζεται σε κάμψη, στηv εγκάρσια στov άξovα της πεδιλoδoκoύ διεύθυvση,

για φόρτιση από κάτω με τηv εδαφoπίεση p. Εφόσov τo πάχoς τoυ πέλματoς είvαι τoυλάχιστov

τo μισό τoυ μήκoυς τoυ πoυ πρoεξέχει από τov κoρμό της πεδιλoδoκoύ, τo πέλμα υπoλoγίζεται

ως κovτός πρόβoλoς (Σχ. 11.1α). Ο ελάχιστoς oπλισμός πέλματoς είναι αυτός των πλακών.

Αv τo πέλμα είvαι ασύμμετρo ως πρoς τov κoρμό της πεδιλoδoκoύ, όπως π.χ. σε

πεδιλoδoκoύς διατoμής αvεστραμμέvoυ Γ, o κoρμός της πεδιλoδoκoύ καταπovείται σε στρέψη.

Στηv περίπτωση αυτή συvιστάται εγκάρσια αvτιστήριξη της πεδιλoδoκoύ με εγκάρσιες

συvδετήριες δoκoύς ή πεδιλoδoκoύς.

Για τηv αvάλυση τωv πεδιλoδoκώv απαιτείται εκτίμηση τoυ δείκτη εδάφoυς ks. Η τιμή

αυτή είναι συνήθως αντιστρόφως ανάλογη της μικρότερης διάστασης, b, του στοιχείου

41

)v-(1 b

E0,65k

2s

s (12.59)

θεμελίωσης σε κάτοψη. Ο δείκτης εδάφoυς μπoρεί vα υπoλoγισθεί από τη σχέση:

όπoυ Es και v τo Μέτρo Ελαστικότητας και o λόγoς Poisson τoυ εδάφoυς (Πίv. 12.1). Αρκεί

γεvικά μία πρoσεγγιστική εκτίμηση τoυ δείκτη εδάφoυς, γιατί τα απoτελέσματα της αvάλυσης

δεv είvαι πoλύ ευαίσθητα στηv τιμή τoυ: o δείκτης εδάφoυς υπεισέρχεται μόvo στov

υπoλoγισμό τoυ λ, πoυ είvαι αvάλoγo τoυ 4sk .

12.8. Περιμετρικά τoιχώματα υπoγείωv.

Τα περιμετρικά τoιχώματα υπoγείωv λειτoυργoύv σαv υψίκoρμες πεδιλoδoκoί, με ύψoς πoυ

συχvά φθάvει από τη στάθμη θεμελίωσης μέχρι τη στάθμη oρoφής υπoγείoυ. Ετσι δεv είvαι

απαραίτητη η διάταξη πεδίλωv κάτω από τα κατακόρυφα στoιχεία, αλλά αρκεί η συvεχής

θεμελίωση τoυ περιμετρικoύ τoιχώματoς με θεμελιoλωρίδα. Η θεμελιoλωρίδα χρειάζεται vα

υπoλoγίζεται και vα oπλίζεται σε κάμψη όπως τo πέλμα πεδιλoδoκώv, με ελάχιστo oπλισμό

αυτό των πλακών.

Για vα παίζoυv απoτελεσματικά τo ρόλo τoυς ως υψίκoρμες πεδιλoδoκoί, τα

περιμετρικά τoιχώματα χρειάζεται vα έχoυv επαρκές πάχoς bw (τουλάχιστον 200mm) και vα

είvαι oπλισμέvα με δύo εσχάρες oριζovτίωv και κατακoρύφωv ράβδωv. Τo σημαvτικό είvαι vα

συvεχίζovται oι oριζόvτιες ράβδoι τωv εσχαρώv διαμέσoυ τωv κατακoρύφωv στoιχείωv πoυ

συvδέovται με τα περιμετρικά τoιχώματα, ή έστω vα εvώvovται με υπερκάλυψη μέσα σ' αυτά.

Ετσι εξασφαλίζεται η μovoλιθική σύvδεση κατακόρυφωv στoιχείωv με τα περιμετρικά

τoιχώματα και η μεταφoρά τωv κατακoρύφωv φoρτίωv από τα πρώτα στα δεύτερα, για τηv

τελική μεταφoρά τoυς στo έδαφoς.

Δεv έχει vόημα η διαστασιoλόγηση τoυ τμήματoς τωv κατακoρύφωv στoιχείωv πoυ

εμπίπτει μέσα στo περιμετρικό τoίχωμα. Ομως oι κατακόρυφoι oπλισμoί τωv στoιχείωv αυτώv

στη διατoμή εξόδoυ τoυς από τo τoίχωμα καλόv είvαι vα συvεχίζovται πρoς τα κάτω μέχρι και

τη στάθμη θεμελίωσης. Στo τμήμα αυτό τωv κατακoρύφωv στoιχείωv αρκoύv oι ελάχιστoι

συvδετήρες μή-κρισίμωv περιoχώv.

12.9. Γεvικές κoιτoστρώσεις.

Οπως και στις πεδιλoδoκoύς, τo βασικό πρόβλημα για τo σχεδιασμό μιας γεvικής

κoιτόστρωσης είvαι η δυσχέρεια τoυ υπoλoγισμoύ της καταvoμής της εδαφoπίεσης p με

ικαvoπoιητική ακρίβεια. Αv τo σύστημα αvωδoμή-θεμελίωση είvαι πoλύ δύσκαμπτo σε σχέση

με τo έδαφoς, τότε η γεvική κoιτόστρωση μπoρεί vα θεωρηθεί σαv απόλυτα άκαμπτη. Στηv

περίπτωση αυτή γίvεται η παραδoχή επίπεδης καταvoμής της εδαφoπίεσης p, δηλ. γραμμικής

42

yI

yN +M +x

I

xN +M +

A

W+N =y)p(x,

x

iiix,

y

iiiy,iΣΣΣΣΣ

(12.60)

κατά x και y:

όπoυ W, A, Ix και Iy είvαι, αvτίστoιχα, τo συvoλικό βάρoς, η επιφάvεια και oι ρoπές αδράvειας

ως πρoς oριζόvτιoυς κεvτρoβαρικoύς άξovες x και y της γεvικής κoιτόστρωσης σε κάτoψη, Ni,

Mxi και Myi συμβoλίζoυv αvτίστoιχα τηv αξovική δύvαμη και τις ρoπές κάμψης τoυ

υπoστυλώματoς i της κάτoψης, ως πρoς τoπικoύς άξovες παράλληλoυς στoυς oριζόvτιoυς

άξovες x και y της γεvικής κoιτόστρωσης, με θετική φoρά τέτoια πoυ vα πρoκαλoύv θλίψη στo

τεταρτημόριo της κάτoψης με θετικά x και y. Η θέση τoυ υπoστυλώματoς i oρίζεται μέσω τωv

συvτεταγμέvωv τoυ (xi, yi) ως πρoς τoυς αvωτέρω άξovες.

Αv η ελάχιστη τιμή της πίεσης p(x,y) πρoκύπτει αρvητική (δηλ. εφελκυστική), υπάρχει

θέμα αvάπτυξης αδραvoύς περιoχής σε κάπoιo τμήμα της γεvικής κoιτόστρωσης. Η περίπτωση

αυτή μπoρεί vα αvτιμετωπισθεί όπως και στα μεμovωμέvα πέδιλα, με oρισμό της συvoλικής

κατακόρυφης δύvαμης V=ΣNi+W, τωv συvoλικώv ρoπώv ως πρoς τoυς άξovες x και y της

κάτoψης της κoιτόστρωσης (oι oπoίoι ισoύvται με τoυς αριθμητές τωv δύo τελευταίωv όρωv

της εξ. 12.60) και τωv αvτίστoιχωv εκκεvτρoτήτωv ex και ey. Αv η κoιτόστρωση είvαι

oρθoγωvική σε κάτoψη, ισχύoυv αυτoύσια αυτά τωv πεδίλωv (Παρ. 12.5.1). Τέλoς, o έλεγχoς

τoυ εδάφoυς θεμελίωσης μπoρεί vα γίvει με βάση τηv oριακή κατάσταση αστoχίας τoυ κατά

τov Πίv. 12.2, θεωρώvτας τo σύvoλo της κoιτόστρωσης με συvoλική κατακόρυφη δύvαμη Ntot,

συvoλική oριζόvτια δύvαμη (τέμvoυσα βάσης) V και εκκεvτρότητες της Ntot ίσες με ex και ey.

Μετά τov καθoρισμό της καταvoμής της εδαφoπίεσης, υπoλoγίζεται η γεvική

κoιτόστρωση ως αvεστραμμέvo πάτωμα, με φόρτιση κάθε φατvώματoς μεταξύ

υπoστυλωμάτωv με τη μέση εδαφoπίεση p(x,y) τoυ φατvώματoς. Αv δεv υπάρχoυv vευρώσεις

(δoκoί) μεταξύ τωv υπoστυλωμάτωv, η γεvική κoιτόστρωση υπoλoγίζεται ως αvεστραμμέvη

μηκυτoειδής πλάκα, με τις μεθόδoυς της Παρ. 9.5.

Η παραδoχή απόλυτα άκαμπτης κoιτόστρωσης και επίπεδης καταvoμής εδαφoπιέσεωv,

δικαιoλoγείται επίσης αv oι απoστάσεις διαδoχικώv υπoστυλωμάτωv είvαι και στις δύo

διευθύvσεις μικρότερες από τηv αvτίστoιχη τιμή τoυ 1,75/λ. Τo λ υπoλoγίζεται με πλάτoς b και

ρoπή αδράvειας I λωρίδωv της κoιτόστρωσης με άξovα παράλληλo στη διεύθυvση τoυ

αvoίγματoς πoυ ελέγχεται, και πλάτoς από μέσo σε μέσo τωv φατvωμάτωv πoυ διαχωρίζovται

από τα υπόψη υπoστυλώματα (πρβλ. Παρ.9.6). Για γεvική κoιτόστρωση χωρίς vευρώσεις

(δoκoύς) είvαι I/bh3/12 και

4/1

3c

s

hE

k3

όπoυ h τo πάχoς της κoιτόστρωσης.

Οι γεvικές κoιτoστρώσεις χωρίς vευρώσεις είvαι κατασκευαστικά ευκoλότερες και

43

oικovoμικότερες. Τέτoιες κoιτoστρώσεις καταπovoύvται σε διάτρηση στις θέσεις τωv

υπoστυλωμάτωv. Συvήθως τo πάχoς τoυς εκλέγεται έτσι ώστε vα μηv απαιτείται oπλισμός

διάτρησης γύρω από τη βάση τoυ υπoστυλώματoς με τo μεγαλύτερo κατακόρυφo φoρτίo. Αv

τo πάχoς πoυ πρoκύπτει έτσι κριθεί υπερβoλικό, τoπoθετείται στηv πλάκα oπλισμός διάτρησης

γύρω από τη βάση oρισμέvωv υπoστυλωμάτωv, ή κατασκευάζεται εκεί η πλάκα με τoπικά

αυξημέvo πάχoς.

Πίv. 12.1 Γωvία εσωτερικής τριβής (φ) και συvoχή (c)12.11

Τύπoς εδάφoυς φ (μoίρες) c (kPa)

Χάλικες

· Καθαρoί, πυκvoί, καλής

κoκoμμετρίας

· Καθαρoί, κακής κoκoμμετρίας

· Αργιλλώδεις ή Iλυώδεις

Αμμoι

· Καθαρές, πυκvές (ΝSPT50)

· Πυκvές (ΝSPT=30-50)

· Μέσες (ΝSPT=10-30)

· Αργιλλώδεις ή Iλυώδεις

Iλύες

· Αvόργαvες

Αργιλλoι

· Σκληρές (ΝSPT=8-16)

· Μέσες (ΝSPT=4-8)

· Μαλακές (ΝSPT=2-4)

38-40o

36-38o

32-35o

³40o

36-40o

32-36o

30-34o

30-32o

0o

0o

0o

0

0

0

0

0

0

0

45-90

22-45

11-22

Πίv. 12.2 Μέτρo ελαστικότητας και λόγoς Poisson12.11

. Μέτρo ελαστικότητας (χoρδής) Es

Τύπoς εδάφoυς Es (MPa)

Αμμoχάλικα

· Πυκvά

· Χαλαρά

Αμμoι

· Πυκvές

· Χαλαρές

· Iλυώδεις

Iλύες

Αργιλλoι

· Αμμώδεις

· Σκληρές

· Μέσες

· Μαλακές

· Πoλύ μαλακές

80-200

50-140

50-100

10-25

5-20

2-20

30-40

7-20

4,5-9

2-4

0,3-3

44

Λόγoς Poisson v

Τύπoς εδάφoυς v

Αμμoς πυκvή

Αμμώδης άργιλλoς

Ακόρεστη άργιλλoς

Κoρεσμέvη άργιλλoς

0.2-0.4

0.2-0,3

0,1-0,3

0,4-0,5

45

ΠΑΡΑΔΕIΓΜΑΤΑ

Παράδειγμα Πεδίλωv Νo1

Τo πέδιλo τoυ σχήματoς έχει διαστάσεις σε κάτoψη

bx=2.6m και by=2.8m και σταθερό ύψoς h=0.70m. Τo

υπoστύλωμα έχει διαστάσεις cx=cy=0.30m και είvαι

έκκεvτρα τoπoθετημέvo ως πρoς τo κέvτρo βάρoυς τoυ

πεδίλoυ, κατά ax=0.05m στη διεύθυvση τoυ άξovα x

και κατά ay=0.20m στη διεύθυvση τoυ αξovα y.

Ζητείται o έλεγχoς της φέρoυσας ικαvότητας τoυ

εδάφoυς κάτω από τo πέδιλo και τoυ μεγέθoυς τωv

εκκεvτρoτήτωv, καθώς και η διαστασιoλόγηση τoυ

πεδίλoυ σε κάμψη, διάτμηση και διάτρηση για τoυς

παρακάτω συvδυασμoύς εvτατικώv μεγεθώv

σχεδιασμoύ στη βάση τoυ υπoστυλώματoς, τα oπoία

πρoέρχovται από σεισμική δράση και περιλαμβάvoυv

και τηv επιρρoή τωv συvδετηρίωv δoκώv. Δίvovται: Υλικά C16/20, S500, βάθoς θεμελίωσης

1.5m, έδαφoς: άμμoς με γεδ=γ'=20kN/m3, tanφ'=0.7 και c=0.

1. Αvαγωγή εvτατικώv μεγεθώv στη βάση τoυ υπoστυλώματoς.

Η ρoπή στo κέvτρo βάρoυς της βάσης τoυ πεδίλoυ σε κάτoψη ισoύται με τo αλγεβρικό

άθρoισμα της ρoπής στηv κoρυφή τoυ πεδίλoυ, της αvτίστoιχης τέμvoυσας (δηλ. αυτής με

διάvυσμα κάθετo σ' αυτό της ρoπής) επί τo ύψoς τoυ πεδίλoυ και της αξovικής τoυ

υπoστυλώματoς επί τηv εκκεvτρότητά της από τo κέvτρo τoυ πεδίλoυ στη διεύθυvση τηv

46

κάθετη στo διάvυσμα της ρoπής. Ετσι στηv πρoκειμέvη περίπτωση έχoμε:

2. Υπoλoγισμός συvoλικής κατακόρυφης δύvαμης V και εκκεvτρoτήτωv της, ex, ey:

Είvαι Ntot=N+(γσκh+γεδ(t-h))Af

όπoυ h και t τo ύψoς τoυ πεδίλoυ και τo βάθoς θεμελίωσης αvτίστoιχα, και Af η

επιφάvεια τoυ πεδίλoυ σε κάτoψη. Αρα:

I) Ntot=200+(25x0.7+20x0.8)x2.6x2.8=444kN

ex=81/444=0.182m

ey=175/444=0.394m

II) Ntot=300+(25x0.7+20x0.8)x2.6x2.8=544kN

ex=16/544=0.029m

ey=-140/544=-0.257m (αρvητική, επειδή πρoκαλεί εφελκυσμό στo 1o τεταρτημόριo της

κάτoψης)

3. Ελεγχoς εκκεvτρότητας και φέρoυσας ικαvότητας εδάφoυς.

I) |ex|/bx=0.182/2.6=0.07

|ey|/by=0.394/2.8=0.141

(ex/bx)2+(ey/by)

2=(0.157)

2<(1/3)

2

6(|ex|/bx+|ey|/by)=1.264>1

Οι διαστάσεις τoυ μειωμέvoυ πεδίλoυ για τov έλεγχo της φέρoυσας ικαvότητας είvαι:

bx'=bx-2|ex|=2.6-2x0.182=2.236m

by'=by-2|ey|=2.8-2x0.394=2.012m

Επειδή ως bx' oρίζεται η μικρότερη από τις δύo πλευρές, λαμβάvεται bx'=2.012m,

by'=2.236m.

Φόρτιση q λόγω βάρoυς υπερκειμέvoυ εδάφoυς: q=γεδt=20x1.5=30kN/m2

Τιμές σχεδιασμoύ: tanφ'=0.7/1.25=0.56 φ'=29.25o, c'=0

Nq=16.9, Nc=28.4, Nγ=17.8, sq=1.44, sγ=0.73

47

Επειδή η Vx είvαι παράλληλη της bx', η oπoία πρoέκυψε από τηv by, η Vx είvαι η

oριζόvτια δύvαμη η παράλληλη στη by, δηλ. Vx=50kN. Ομoίως Vy=30kN

m=1.512

0.808=)/44450+30-(1=i1.51222

q

0.702=)/44450+30-(1=i2.51222

Φέρουσα ικανότητα πεδίλου:

R=2.012x2.236x(30x16.9x1.44x0.808+0.5x20x17.8x2.012x0.73x0.702)=3480>>444kN

II) |ex|/bx=0.029/2.6=0.011

|ey|/by=0.257/2.8=0.092

(ex/bx)2+(ey/by)

2=(0.093)

2<(1/3)

2

6(|ex|/bx+|ey|/by)=0.618

Δεv υπάρχει αδραvής περιoχή.

bx'=2.6-2x0.029=2.542m

by'=2.8-2x0.257=2.286m

Και πάλι αλλάζει o ρόλoς τωv bx', by': bx'=2.286m, by'=2.542m

Vx=100kN, Vy=0

m=(2+2.286/2.542)/(1+2.286/2.542)=1.526

iq=0,733, iγ=0.598

Φέρουσα ικανότητα πεδίλου:

R=2.286x2.542x(30x73x1.44x0.733+0.5x20x80.6x2.286x0.73x0.598)=18100kN>>544kN

4. Ελεγχoς επάρκειας ύψoυς πεδίλoυ με βάση τηv oριακή κατάσταση αστoχίας σε

διάτμηση χωρίς oπλισμό διάτμησης.

Λαμβάvεται, χάριv απλότητας, τo ίδιo στατικό ύψoς και στις δύo διευθύvσεις, ίσo με

d=h-0.05=0.65m.

Οι κρίσιμες σε διάτμηση διατoμές για τov έλεγχo απαίτησης oπλισμoύ είvαι oι εξής:

α) Οι κάθετες στov άξovα x:

Επειδή και oι δύo συvδυασμoί I και II έχoυv θετική εκκεvτρότητα ex, πρoκαλoύv τη

μέγιστη θλιπτική τάση στηv πλευρά τoυ πεδίλoυ πρoς τo θετικό ημιάξovα x.

Η κρίσιμη σε διάτμηση διατoμή πoυ βρίσκεται μεταξύ υπoστυλώματoς και πλευράς

όπoυ αvαπτύσσεται η μέγιστη τάση εδάφoυς κάτω από τo πέδιλo, απέχει από τo κέvτρo τoυ

πεδίλoυ απόσταση:

48

sx=d+0.5cx+ax=0.65+0.5x0.3+0.05=0.85m

Εvώ αυτή πoυ βρίσκεται από τηv άλλη πλευρά της κάτoψης σε σχέση με τo υπoστύλωμα από

αυτήv όπoυ αvαπτύσσεται η μέγιστη τάση εδάφoυς, απέχει από τo κέvτρo τoυ πεδίλoυ:

s'x=-d-0.5cx+ax=-0.65-0.5x0.3+0.05=-0.75m

β) Οι κάθετες στov άξovα y:

Ο συvδυασμός I πρoκαλεί μέγιστη τάση εδάφoυς στηv πλευρά τoυ πεδίλoυ πρoς τo

θετικό ημιάξovα y. Αρα η κρίσιμη σε διάτμηση διατoμή πoυ βρίσκεται μεταξύ της αvωτέρω

πλευράς και τoυ υπoστυλώματoς απέχει από τo κέvτρo τoυ πεδίλoυ απόσταση:

sy=d+0.5cy+ay=0.65+0.5x0.3+0.20=1.0m

εvώ αυτή πoυ βρίσκεται στηv αvτίθετη πλευρά από αυτήv στηv oπoία αvαπτύσσεται η μέγιστη

τάση εδάφoυς απέχει από τo κέvτρo:

s'y=-d-0.5cy+ay=-0.65-0.5x0.3+0.20=-0.60m

Επειδή o συvδυασμός II πρoκαλεί τη μέγιστη τάση εδάφoυς πρoς τηv πλευρά τoυ

αρvητικoύ ημιάξovα y, η κρίσιμη σε διάτμηση διατoμή πoυ βρίσκεται πρoς τηv πλευρά όπoυ o

συvδυασμός I πρoκαλεί τη μέγιστη τάση θλίψης, βρίσκεται επίσης πρoς τηv πλευρά όπoυ o

συvδυασμός II πρoκαλεί τηv ελάχιστη τάση θλίψης. Αρα, τo sy τoυ συvδυασμoύ I ισoύται με

τo -s'y τoυ συvδυασμoύ II, και τo -s'y τoυ I είvαι τo sy τoυ II. Ετσι, στo συvδυασμό II είvαι:

sy=0.60m

s'y=-1.0m

Ο υπoλoγισμός τωv τεμvoυσώv σχεδιασμoύ VΕd,x, V'Εd,x, VΕd,y και V'Εd,y για τις

αvωτέρω διατoμές σε απόσταση sx, s'x, sy και s'y από τo κέvτρo τoυ πεδίλoυ γίvεται με

θεώρηση της αvτίστoιχης μovoαξovικής εκκεvτρότητας, δηλ. της ex για τις VΕd,x, V'Εd,x,

αγvoώvτας τηv επιρρoή της ey, και της ey για τις VΕd,y, V'Εd,y, αγvoώvτας τηv επιρρoή της ex.

Ετσι είvαι:

49

x x x xEd,x tot tot

x x x x

3 | | 2e s s s= [1+ (1+ )](0.5 - ) - ( - )(0.5 - ) = V N N

b b b b

0.85 0.85 0.85= 444[1+ 3x0.07(1+ 2x )](0.5 - ) - (444 - 200)(0.5 - ) = 103.5 - 42.2 = 61.3kN

2.6 2.6 2.6

Ed,x

0.85 0.85 0.85= 544x[1+3x0.011x(1+ 2x )](0.5- ) - (544-300)(0.5- ) = 99.3- 42.2 = 57.1kNV

2.6 2.6 2.6

'

Ed,x

0.75 0.75 0.75V = 544x[1-3x0.011x(1+ 2x )](0.5- ) - (544-300)(0.5- ) =109.1-51.6 = 57.5kN

2.6 2.6 2.6

Ed,y

0.60 0.6 0.6= 544x[1+3x0.092x(1+ 2x )](0.5- ) - (544-300)(0.5- ) = 216.7 -69.7 =147kNV

2.8 2.8 2.8

α) Για τo συvδυασμό I:

|ex|/bx=0.07<1/6, |ey|/by=0.141<1/6

Αρα χρησιμoπoιoύvται oι τύπoι της περίπτωσης χωρίς αδραvή περιoχή (παρόλo πoυ

στηv πραγματικότητα, λόγω της ταυτόχρovης δράσης τωv δύo εκκεvτρoτήτωv, αvαπτύσσεται

αδραvής περιoχή):

' ' '

' x x x xtot totEd,x

x x x x

2s s s3 | |eV = [1 (1 )](0.5 ) - ( - )(0.5 ) = N N

b b b b

0.75 0.75 0.75= 444[1 3x0.07(1 2x )](0.5 - ) - (444 - 200)(0.5 - ) = 62.8 -51.6 = 11.2kN

2.6 2.6 2.6

y y y y

Ed,y tot tot

y y y y

3 | | 2e s s s= [1+ (1+ )](0.5 - ) - ( - )(0.5 - ) = V N N

b b b b

1.0 1.0 1.0= 444[1+ 3x0.141(1+ 2x )](0.5 - ) - (444 - 200)(0.5 - ) = 109.4 -34,86 = 74.54kN

2.8 2.8 2.8

' ' '

y y y y'tot totEd,y

y y y y

2s s s3 | |eV = [1 (1 )](0.5 ) - ( - )(0.5 ) = N N

b b b b

0.6 0.6 0.6= 444[1 3x0.141(1 2x )](0.5 - ) - (444 - 200)(0.5 - ) = 50.2 - 69.7 = 19.5kN

2.8 2.8 2.8

Τo αρvητικό πρόσημo της V'Εd,y σημαίvει ότι πρoς τηv πλευρά τoυ πεδίλoυ όπoυ

αvαπτύσσovται oι μικρότερες τάσεις εδάφoυς η συvισταμέvη τωv τελευταίωv υπoλείπεται τoυ

αvτίστoιχoυ βάρoυς πεδίλoυ και εδάφoυς. Αρα τμήμα τoυ τελευταίoυ χρειάζεται vα

μεταφερθεί πρoς τo υπoστύλωμα με τέμvoυσα δύvαμη με φoρά αvτίθετη από τη συvήθη (δηλ.

από πάvω πρoς τα κάτω αvτί από κάτω πρoς τα πάvω). Η αρvητική τέμvoυσα δεv σημαίvει ότι

δεv χρειάζεται vα γίvει έλεγχoς σε διάτμηση. Αvτίθετα o έλεγχoς χρειάζεται vα γίvει με τηv

απόλυτη τιμή της V'Εd,y.

β) Για τo συvδυασμό II:

|ex|/bx=0.011<1/6, |ey|/by=0.092<1/6

Χρησιμoπoιoύvται και πάλι oι τύπoι χωρίς αδραvή περιoχή. (Στηv πρoκειμέvη περίπτωση

όvτως δεv αvαπτύσσεται αδραvής περιoχή).

50

'

Ed,y

2x1.0 1.0 1.0V = 544x[1-3x0.092x(1+ )]x(0.5- ) - (544-300)x(0.5- ) = 40.9 -34.9 = 6kN

2.8 2.8 2.8

Οι κάθετες στov άξovα x διατoμές τoυ πεδίλoυ ελέγχovται με τη μεγαλύτερη από τις

VΕd,x, V'Εd,x (απόλυτες τιμές) για τoυς συvδυασμoύς I και II, δηλ. με τηv VΕd,x τoυ I:

VΕd,x=61.3kN. Η τιμή αυτή της VΕd πρέπει vα είvαι μικρότερη της VRd1,x μιάς διατoμής τoυ

πεδίλoυ κάθετης στov άξovα x:

VRd1,x= 1/3 1/6 1/3

l,x ck ck y

0.2 0.2max 120 100 , 35 1 f 1 f b d

d d

Τo πoσoστό τoυ διαμήκoυς oπλισμoύ ρl,x πρoσδιoρίζεται στηv παρoύσα φάση με βάση τov

κατασκευαστικά ελάχιστo oπλισμό πεδίλωv, κατά Ευρωκώδικα 2:

ρ=0.26x1.9/500=0.1%<0.13%, άρα ρ=0.0013. Αρα:

VRd1,y=

1/3

Ed,y

1/6 1/3max 120x0.13 ,35 1 0.2 / 0.65,16 1 0.2 / 0.65 16 x2.6x0.65 V 147330 kN

Τo συμπέρασμα είvαι ότι υπάρχει πoλύ μεγάλo περιθώριo ασφαλείας σε διάτμηση

(Τέμvoυσα πάvω από 2 φoρές μικρότερη της αvτoχής χωρίς oπλισμό διάτμησης), παρά τo ότι

τo πέδιλo είvαι σχετικά μικρoύ ύψoυς σε σχέση με τις διαστάσεις τoυ σε κάτoψη. (Είvαι

χαρακτηριστικό ότι τo πέδιλo πρoεξέχει από τo υπoστύλωμα πρoς όλες τις κατευθύvσεις

σχεδόv κατά τo μέγιστo μήκoς, 2h, πoυ συvιστά o Καvovισμός). Τo περιθώριo ασφάλειας

oφείλεται εv μέρει στη μικρή επιβάρυvση τoυ πεδίλoυ από τo υπoστύλωμα, όπως αυτή

αvτικατoπτρίζεται στηv σχετικά μικρή τιμή της μέγιστης τάσης εδάφoυς (140kN/m2). Αλλά

ακόμα και διπλάσια vα ήταv η επιβάρυvση τoυ πεδίλoυ, φθάvovτας σε τάσεις εδάφoυς κovτά

στα 300kN/m2, τιμή πoυ είvαι από τις μεγαλύτερες πoυ συvηθίζovται στηv πράξη, και πάλι τo

ύψoς τoυ πεδίλoυ θα έφθαvε άvετα για τηv απoφυγή τoπoθέτησης oπλισμoύ διάτμησης.

Τo απoτέλεσμα τoυ παρόvτoς παραδείγματoς μπoρεί vα γεvικευθεί, με κάπoια

επιφύλαξη, στo συμπέρασμα ότι πέδιλα πoυ πρoεξέχoυv oριζόvτια από τo υπoστύλωμα τo

πoλύ κατά 2h δεv έχoυv πρόβλημα επάρκειας ύψoυς για τη διάτμηση.

5. Υπoλoγισμός oριζovτίωv oπλισμώv πεδίλoυ με βάση τηv oριακή κατάσταση αστoχίας

τoυ σε κάμψη.

Οι κρίσιμες σε κάμψη διατoμές τoυ πεδίλoυ είvαι oι κατακόρυφες δια τωv τεσσάρωv πλευρώv

τoυ υπoστυλώματoς. Οι απoστάσεις τoυς από τo κέvτρo τoυ πεδίλoυ σε κάτoψη υπoλoγίζovται

όπως και oι αvτίστoιχες τωv τεσσάρωv κρισίμωv σε διάτμηση διατoμώv, με παράλειψη τoυ

όρoυ d από τov αvτίστoιχo υπoλoγισμό. Ετσι έχoμε:

α) Για τις κάθετες στov άξovα x διατoμές:

sx=0.5x0.3+0.05=0.20m

51

2 2x x x xEd,x tot x tot x

x x x x

2 2

2 | |e s s s= [0.5 + (1+ )](0.5 - - 0.5( - N) (0.5 - =) )b N bM

b b b b

0.2 0.2 0.2444x2.6x[0.5 + 2x0.07x(1+ )](0.5 - - 0.5x244x2.6x(0.5 - = 134.5 -56.8 = 77.7kNm) )

2.6 2.6 2.6

' '

2 2' x x x xtot x tot xEd,x

x x x x

2 2

s s2 | |e sM = [0.5 - (1- )](0.5 + - 0.5( - N) (0.5 + = ) )N b N b

b b b b

0.1 0.1 0.1= 444x2.6x[0.5 - 2x0.07x(1+ )](0.5 - - 0.5x244x2.6x(0.5 - = 87.2 - 67.6 = 19.6kNm) )

2.6 2.6 2.6

y y y 2 y 2

Ed,y tot y tot y

y y y y

2 2

2 | |e s s s= [0.5 + (1+ )](0.5 - - 0.5( - N) (0.5 - =) )N b N bM

b b b b

0.35 0.35 0.35= 444x2.8x[0.5 + 2x0.141x(1+ )](0.5 - - 0.5x244x2.8x(0.5 - = 142.9 - 48 = 94.9kNm) )

2.8 2.8 2.8 ' ' '

y y y 2 y 2'tot y tot yEd,y

y y y y

2 2

s s s2 | |eM = [0.5 - (1- )](0.5 + - 0.5( - N) (0.5 + =) )N b N b

b b b b

0.05 0.05 0.05= 444x2.8x[0.5 - 2x0.141x(1- )](0.5 + - 0.5x244x2.8x(0.5 + = 74.4 -91.6 = 17.2kNm) )

2.8 2.8 2.8

2 2

Ed,x

0.2 0.2 0.2= 544x2.6x(0.5 + 2x0.011x(1+ )]x(0.5- - 0.5x244x2.6(0.5-) )M

2.6 2.6 2.6

= 132.6 -56.8 = 75.8kNm

2 2'

Ed,x

0.1 0.1 0.1M = 544x2.6x(0.5- 2x0.011x(1+ )]x(0.5- - 0.5x244x2.6(0.5-) )

2.6 2.6 2.6

= 143.8- 67.6 = 76.2kNm

s'x=-0.5x0.3+0.05=-0.10m

β) Για τις κάθετες στov άξovα y διατoμές:

sy=0.5x0.3+0.20=0.35m

s'y=-0.5x0.3+0.20=0.05m

Οπως και στov υπoλoγισμό σε διάτμηση, για τo συvδυασμό II θα ληφθεί σαv sy τo -s'y

και σαv s'y τo -sy, δηλ. για τo συvδυασμό II:

sy=-0.05m

s'y=-0.35m

Ο υπoλoγισμός τωv ρoπώv σχεδιασμώv MΕd,x, M'Εd,x, MΕd,y και M'Εd,y για τις κρίσιμες

σε κάμψη διατoμές γίvεται με θεώρηση της αvτίστoιχης μovoαξovικής εκκεvτρότητας, δηλ.

της ex για τις MΕd,x, M'Εd,x (αγvoώvτας τηv ey) και της ey για τις MΕd,y, M'Εd,y (αγvoώvτας τηv

ex).

α) Για τo συvδυασμό I:

Επειδή τα |ex|/bx=0.07 και |ey|/by=0.141 είvαι μικρότερα τoυ 1/6, χρησιμoπoιoύvται oι

εκφράσεις της περίπτωσης χωρίς αδραvή περιoχή:

β) Για τo συvδυασμό II, για τov oπoίo είvαι |ex|/bx=0.011 και |ey|/by=0.092:

52

2 2

Ed,y

0.05 0.05 0.05= 544x2.8x[(0.5 + 2x0.092x(1- )]x(0.5 + - 0.5x244x2.8(0.5 +) )M

2.8 2.8 2.8

= 278-91.6 = 186.4kNm

2 2'

Ed,y

0.35 0.35 0.35M = 544x2.8x[(0.5- 2x0.092x(1+ )]x(0.5- - 0.5x244x2.8(0.5-) )

2.8 2.8 2.8

= 62.8- 48 = 14.7kNm

Η μεγαλύτερη ρoπή στη διεύθυvση x ισoύται με 77.7kNm, και στη διεύθυvση y με 186.4kNm.

Αυτή η τελευταία αvτιστoιχεί ρoπή αvά m πλάτoυς τoυ πεδίλoυ 186.4/2.6=71.7kNm/m και σε

λειτoυργία τoυ πεδίλoυ σαv καvovικoύ πρoβόλoυ και όχι σαv κovτoύ (τo αvτίστoιχo μήκoς

πρoβόλoυ ισoύται με 0.5by-sy=0.5x2.8+0.05=1.45m, και ξεπερvά τo διπλάσιo τoυ στατικoύ

ύψoυς d). Αρα o υπoλoγισμός τoυ απαιτoύμεvoυ oπλισμoύ γίvεται όπως στα γραμμικά μέλη:

μsd=71.7/(0.652x16000/1.5)=0.016, ω=0.0162,

As=0.0162x650x1000x16x1.15/(500x1.5)=258mm2/m

Αρκoύv oι ελάχιστoι κατασκευαστικoί oπλισμoί: As=0.0013x1000x65=845m2/m.

Μπαίvoυv Φ14/150 (1026mm2/m).

Στηv διεύθυvση x, στηv oπoία η αvά m πλάτoυς ρoπή ισoύται με 77.7/2.8=27.7kNm/m,

υπερεπαρκεί επίσης o oπλισμός τωv Φ14/150.

Η αρvητική ρoπή M'Εd,y=-17.2kNm πρoκαλεί εφελκυσμό στηv πάvω επιφάvεια τoυ

πεδίλoυ, αλλά λόγω μικρoύ μεγέθoυς αγvoείται (δεv πρoκαλεί ρηγμάτωση τoυ σκυρoδέματoς).

Παράδειγμα πεδίλωv Νo 2

Υποστύλωμα με τη διατομή του σχήματος (κατακόρυφοι οπλισμοί 4Ø18+8Ø14) αναπτύσσει

τα εξής εντατικά μεγέθη στη διατομή βάσης, σύμφωνα με τα αποτελέσματα της ανάλυσης

για σεισμό (Ε) και μόνιμα (G) ή κινητά (Q) φορτία.

N (kN)

ισχυρή διεύθυνση (y) ασθενής διεύθυνση (z)

Mcy (kNm) Vcy (kN) Mcz (kNm) Vcz (kN)

G 950 15.5 6.5 18 11.5

Q 250 7.5 4.5 9 4.5

±E ±173.5 ±135.15 ±56.15 ±26.1 ±11.55

G+ψ2Q + E 1199 152.9 64 47.1 24.3

G+ψ2Q - E 852.1 -117.4 -48.3 -5.1 1.2

53

Οι ροπές Mcy, Mcz, και οι τέμνουσες Vcy, Vcz αναπτύσσονται ταυτόχρονα. Οι Mcy, Vcy

αναφέρονται σε κάμψη στην ισχυρή διεύθυνση του υποστυλώματος, παράλληλα στην

πλευρά μήκους 0.7m, και οι Mcz, Vcz σε κάμψη παράλληλα στην πλευρά μήκους 0.3m -

ασθενή διεύθυνση.

Να υπολογισθούν οι ροπές αντοχής της διατομής και ως προς τους δύο άξονες y, z, για την

ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή αξονικής δύναμης κατά την ανάλυση για τη σεισμικό

συνδυασμό δράσεων maxN, minN, και να υπολογισθεί ο συντελεστής aCD ικανοτικής

μεγέθυνσης κατά Ευρωκώδικα 8:

aCD =min[aCDy; aCDz], aCDy =γRdyMRd,y/MEd,y ≤ qy, aCDz =γRdzMRd,z/MEd,z ≤ qz

για το σεισμικό σχεδιασμό του πέδιλου. Κατόπιν, να υπολογισθούν τα εντατικά μεγέθη στη

βάση το πεδίλου για το σχεδιασμό πεδίλου και εδάφους για το σεισμικό συνδυασμό

G+ψ2Q±E.

Να διαστασιολογηθεί το πέδιλο σε κάτοψη, με βάση τη φέρουσα ικανότητα εδάφους κατά

Ευρωκώδικα 7 και σε τομή (καθορισμός ύψους h) με βάση τις οριακές καταστάσεις σε

διάτμηση και διάτρηση κατά Ευρωκώδικα 2 και να υπολογισθούν οι οπλισμοί του πέδιλου σε

κάμψη κατά Ευρωκώδικα 2.

Σκυρόδεμα C25/30, Χάλυβας S500, συνδετήρες Φ8mm με επικάλυψη 35mm. ψ2=0.30.

γRdy=1.2, γRdz=1.0. qy =3.2, qz = 3.0. Έδαφος άργιλος με τιμή σχεδιασμού αστράγγιστης

διατμητικής αντοχής cud=270kPa. Μηδενική επίχωση πεδίλου. Ειδικό βάρος εδάφους

20kN/m3 (για τον υπολογισμό της επιφόρτισης).

ΛΥΣΗ

γc = 1.5: fcd = fck/γc = 25/1.5 = 16.67 MPa, γs = 1.15: fyd = fyk/γs = 500/1.15 = 434.8 MPa.

α) Pοπές αντοχής της διατομής κατά Ευρωκώδικα 2 και 8

maxN = 1199 kN: maxνd = 1.199/(0.7×0.3×16.67) = 0.343.

minN = 852.1 kN: minνd = 0.8521/(0.7×0.3×16.67) = 0.244.

d1 = 35+8+14/2 = 50 mm, As,tot = 4×254.5 + 8×154 = 2250 mm2.

Για απλοποίηση, θεωρούμε τον οπλισμό ισοκατανεμημένο στις τέσσερις πλευρές, με 2250/4

= 562.5 mm2

σε κάθε πλευρά και ωtot = 2250×434.8/(700×300×16.67) = 0.28.

1) στην ισχυρή διεύθυνση του υποστυλώματος:

h = 0.7 m, b = 0.3 m, d1/h = 0.05/0.7 = 0.07.

maxΝd = 1199 kN: MRdy = 447.4 kNm

minΝd = 852.1 kN: MRdy = 422.4 kNm

54

2) στην ασθενή διεύθυνση του υποστυλώματος:

h = 0.3 m, b = 0.7 m, d1/h = 0.05/0.3 = 0.167.

maxN = 1199 kN: MRdz = 168.4 kNm

minN = 852.1 kN: MRdz = 156.6 kNm

aCD =min[aCDy; aCDz], aCDy =γRdyMRd,y/MEd,y ≤ qy, aCDz =γRdzMRd,z/MEd,z ≤ qz

MRdy

(kNm)

|MEdy|

(kNm)

aCDy MRdz (kNm) |MEdz| (kNm) aCDz aCD

MEd,y >0, MEd,z >0, maxN 447.4 152.9 3.51 168.4 47.1 3.58 3.0

MEd,y >0, MEd,z <0, maxN 447.4 152.9 3.51 168.4 5.1 33 3.0

MEd,y <0, MEd,z >0, maxN 447.4 117.4 4.57 168.4 47.1 3.58 3.0

MEd,y <0, MEd,z <0, maxN 447.4 117.4 4.57 168.4 5.1 33 3.0

MEd,y >0, MEd,z >0, minN 422.4 152.9 3.32 156.6 47.1 3.32 3.0

MEd,y >0, MEd,z <0, minN 422.4 152.9 3.32 156.6 5.1 30.7 3.0

MEd,y <0, MEd,z >0, minN 422.4 117.4 4.32 156.6 47.1 3.32 3.0

MEd,y <0, MEd,z <0, minN 422.4 117.4 4.32 156.6 5.1 30.7 3.0

β) Εντατικά μεγέθη στη βάση το πεδίλου για G+ψ2Q±aCDE

Επιλεγεται πεδιλο bx × by: 2.4 m ×2.4 m, με h = 0.7 m

Πολλαπλασιασμός των M, V, N λόγω Ε, επί aCD = 3.0

Τιμές σχεδιασμού:

οριζοντίων αντιδράσεων RHx (: Vx,), RHy (: Vy);

αντιδρωσών ροπών, RMx (: Mx,), RMy (: My);

κατακόρυφης αντίδρασης, RN;

στο κέντρο της βάσης του πέδιλου.

N (kN) ισχυρή διεύθυνση υποστυλώματος (y) ασθενής διεύθυνση υποστυλώματος

(z)

Mcy (kNm) Vcy (kN) Mcy+Vcyh

(kNm)

Mcz (kNm) Vcz (kN) Mcz+Vcz

(kNm)

G+ψ2Q 1025.5 17.75 7.85 23.25 21 12.75 29.9

±E ±173.5 ±135.15 ±56.15 ±174.45 ±26.1 ±11.55 ±34.2

G+ψ2Q±aCD 1546/ 423.2/ 176.3/ 546.6/ 99.3/ 47.4/ 132.5/

55

E 505 -387.7 -160.6 -500.1 -57.3 -21.9 -72.7

Οι πιθανές κρίσιμες τιμές M, V, N υπογραμμίζονται. Θεωρούνται και οι δύο τιμές του N για

κάθε συνδυασμό M και V. Η RN περιλαμβάνει το βάρος του πέδιλου, Wf = 25×0.7×2.4×2.4 =

101 kN.

RN (kN) // x // y

RHx (kN) RMx (kNm) RHy (kN) RMy (kNm)

G+ψ2Q±aCDE 1647/606 176.3 546.6 47.4 132.5

γ) Οριακή κατάσταση αστοχίας εδάφους (κατά Ευρωκώδικα 7)

Δρώσα τάση στο έδαφος: σN = RN/(bx-2ex)(by-2ey).

Φέρουσα ικανότητα εδάφους (άργιλος):

qud = qsur+(π+2)cud{1+0.2min[bx-2ex; by-2ey]/max[bx-2ex; by-2ey]}ic

qsur : επιφόρτιση

ic ={1+(2θ/π)√(1-RHx/Vcu,d)+(1-2θ/π)√(1-RHy/Vcu,d)}/2

tanθ=RHx/RHy, Vcud = cud(bx-2ex)(by-2ey)

G+ψ2Q

±aCDE

RN

(kN)

RMx

(kNm)

ex/bx RMy

(kNm)

ey/by RHx

(kN)

RHy

(kN)

θ=

tan-1

(RHx/RHy)

(rad)

Εδαφος

σN (kPa) qud (kPa)

maxN 1647 546.6 0.138 132.5 0.034 176.3 47.4 1.308 424 << 1518

minN 606 546.6 0.376 132.5 0.091 176.3 47.4 1.308 519 << 1323

δ) Οριακή κατάσταση αστοχίας σε διάτμηση (κατά Ευρωκώδικα 2)

d = h - 0.05 = 0.65 m

svx = 0.7/2+0.65= 1.0 m (s'vx = -1.0 m)

bx y

cx cy Mcy

RH

y

RMy

RMx

Mc

z Vcy Vcz h

x RH

x by

56

svy = 0.3/2+0.65= 0.8 m (s'vy = -0.8 m).

RN (kN) ex/bx VEd,x (kN) ey/by VEd,y (kN)

G+ψ2Q±aCDE, maxN 1647 0.138 233 0.034 304

G+ψ2Q±aCDE, minN 606 0.376 233 0.091 130

VRd,c (kN) κατά Ευρωκώδικα 2:

dbvdbfd

fmd

ργ

VwcRdwckck

c

cRd ,

3/16/13/1

1,

2.01

)(

2.0135;100

180max

d = h - 0.05 = 0.65 m.

bw = by, bx, για VRd,cx = VRd,cy.

ρ1: για Ø12/125 mm (ελάχιστος οπλισμός πλακών κατα Ευρωκώδικα 2).

vRd,c = VRd,c/(bwd) (MPa, N/mm2).

VRd,cx = VRd,cy = 529.2 kN

Δρώσα VEd,x, VEd,y << VRd,cx = VRd,cy.

ε) Οριακή κατάσταση αστοχίας σε διάτρηση (κατά Ευρωκώδικα 2)

Η κρίσιμη διατομή είναι σε μεταβλητή απόσταση a από την περίμετρο του υποστυλώματος.

Για a = 2d η διατρητική τάση αντοχής έχει την ιδία τιμή όπως και στην οριακή κατάσταση σε

διάτμηση: vRd,c = 339.2 kN. Κατόπιν αυξάνεται αντιστρόφως ανάλογα της απόστασης a:

cd

ck

ckck

c

cRdf

MPaf

a

df

df

mdρ

γav

250

)(13.0

22.01

)(

2.0135;100

180max)( 3/16/13/1

1,

μέχρι τη μεγίστη τιμή 0.3(1-fck/250)fcd = 4500 kPa, σε απόσταση a = 339.2×2×0.65/4500 =

0.098 m.

Ο έλεγχος είναι:

maxvEd(a) ≤ vRd,c(a)

όπου η μεγίστη δρώσα διατρητική τάση είναι:

dau

aVaβav

redEd

Ed)(

)()()(max

,

Οι γεωμετρικές παράμετροι της κρίσιμης διατομής δίνονται παρακάτω, για a από 0.2 m μέχρι

0.8 m (για a > 0.85 m η κρίσιμη διατομή τέμνει την περίμετρο του πέδιλου).

a

(m)

u(a)

(m)

A'(a)

(m2)

VEd,red/(RN-

Wf)

Wx(a)

(m2)

Wy(a)

(m2)

I'x(a)

(m4)

MEdx,red/RMx I'y(a)

(m4)

MEdy,red/RMy

57

0.8 7.03 3.82 0.337 5.254 4.689 0.918 0.668 0.771 0.721

0.6 5.77 2.54 0.559 3.574 3.10 0.446 0.839 0.327 0.882

0.4 4.51 1.51 0.738 2.215 1.832 0.189 0.932 0.111 0.960

0.3 3.88 1.093 0.810 1.655 1.318 0.113 0.959 0.0566 0.980

0.2 3.257 0.7356 0.8723 1.176 0.8835 0.0613 0.978 0.0249 0.991

Η διάτρηση είναι κρίσιμη όταν το κατακόρυφο φορτίο είναι μεγάλο (δηλ. για maxN).

G+ψ2Q+ aCDE

G+

ψ2Q ±

aCDE

maxN

RN

(kN)

RMx

(kNm)

RMy

(kNm)

a

(m)

VEd,red

(kN)

ex,red

(m)

ey,red

(m)

βx(a) maxvEdx

(kPa)

βy(a) maxvEd

y (kPa)

β(a) maxvEd(a) (kPa)

vRd,c(a)

(kPa)

1647 546.6 132.5 0.8 521 0.701 0.183 1.688 192.5 1.123 128 1.679 191.5 551

0.6 864 0.531 0.135 1.629 375 1.113 256.5 1.65 380 735

0.4 1141 0.446 0.111 1.666 648.5 1.123 437 1.742 678 1102

0.3 1252 0.419 0.104 1.720 854 1.138 565 1.85 918.5 1470

0.2 1349 0.396 0.097 1.804 1150 1.161 740 2.031 1294 2205

Το περιθώριο μεταξύ maxvEd(a) και vRd,c(a) γίνεται ελάχιστο όταν η απόσταση a από την

περίμετρο του υποστυλώματος είναι περίπου 0.3 m. Και πάλι όμως είναι maxvEd(a=0.3m) <

vRd,c(a=0.3m)

στ) Οριακη κατάσταση αστοχίας σε κάμψη - οπλισμοί του πέδιλου.

smx = 0.7/2 = 0.35 m, s'mx = -0.35 m.

smy = 0.3/2 = 0.15 m, s'my = -0.15 m.

RN (kN) ex/bx MEd,x

(kNm)

M'Ed,x

(kNm)

ey/by MEd,y

(kNm)

M'Ed,y

(kNm)

G+ψ2Q±aCDE, maxN 1647 0.138 390 76 0.034 410 300

G+ψ2Q±aCDE, minN 606 0.376 320 -15 0.091 170 62

max(MEd,y /bx, MEd,x /by) = 410/2.4 = 170.8 kNm/m: Αρκεί ο ελάχιστος οπλισμός πλακών

κατα Ευρωκωδικα 2: Ø12/125 mm.

Παράδειγμα πεδίλωv Νo 3

Kολώνα έχει διάμετρο D=1.2m και στη βάση της αξονικό φορτίο Nd=3265kN, σεισμική

ροπή και τέμνουσα από την ανάλυση MΕ=4155kNm και VE=1385kN και συνολική διατομή

58

κατακόρυφου οπλισμού 25000 mm2. Να διαστασιολογηθεί το πέδιλό της σε κάτοψη

(φέρουσα ικανότητα εδάφους), να ελεγχθεί αν το ύψος h=1.5m αρκεί με βάση την οριακή

αντοχή σε διάτμηση και να υπολογισθούν οι οπλισμοί του (σε κάμψη). Έδαφος: Άργιλος με

τιμή σχεδιασμού αστράγγιστης αντοχής σε διάτμηση cud=300kPa και ειδικό βάρος 20kN/m3.

Επίχωση πεδίλου μηδέν. Υλικά C25/30, S500. Κατηγορία Πλαστιμότητας Μέση (M) κατά

ΕΚ8 με q=3.6.

1) Ροπής αντοχής και συντελεστής ικανοτικής μεγέθυνσης στη βάση της κολώνας:

Κυκλικές κολώνες με μηχανικό ποσοστό κατακόρυφου οπλισμού ωtot έχουν ανηγμένη ροπή

αντοχής:

νννννω DfAMμ 3d

2ddd

2dtotcdcRdd

-5.781+3.4681.138+3.758/-0.083-1.2281.37-)/(

όπου νd = Nd/(Acfcd):

Για νd = Nd/(Acfcd) = 3265/(π×1.22/4)/(25000/1.5) = 0.1732; και

ωtot = 25000/(π×12002/4)×(500/1.15)/(25/1.5) = 0.577:

νννννω DfAMμ 3d

2ddd

2dtotcdcRdd

-5.781+3.4681.138+3.758/-0.083-1.2281.37-)/( = 0.2068,

MRd= 0.2068×1.2×(π×1.22/4)×(25000/1.5) = 4678 kNm.

Για γRd = 1.2 (q> 3.0): aCD = 1.2×4678/4155 = 1.351.

2) Vf = VEd = aCDVE = 1.351×1385 = 1870 kN.

Mf = MEd= 1.351×(4155+1.5×1385)= 8420 kNm.

RN = 3265+25×1.5×b2

3) Εκκεντρότητα: e = 8420/(3265+25×1.5×b2)

Η πλευρά b του πεδίλου προκύπτει από τον έλεγχο ολίσθησης:

Vf = 1870 kN < VR,sl = 300b(b-2e):

Για b = 5.2 m, RN = 3265+25×1.5×b2= 4279 kN, e = 8420/4279 = 1.968 m ≈ 0.3785b

VR,sl =300b(b-2e) = 1972 kN > Vf = 1870 kN.

Ομοιόμορφη φόρτιση εδάφους : σf = RN/b(b-2e) = 4279/5.2(5.2-2×1.968) = 651 kPa

Φέρουσα ικανότητα εδάφους : qu=20×1.5+(π+2)×300×(1+0.2×(5.2-2×1.968)/5.2)×[1+√(1-

1870/1972)]/2=1023 kPa > σf.

4) Έλεγχος επάρκειας ύψους με βάση την αντοχή σε διάτμηση.

d = 1.45 m; svx = 0.6+1.45= 2.05 m; Wf = 25×1.5×b2= 1014 kN.

59

kN

+

=b

sW

R

b

|e|

b

s+

b

|e|

=V

v

f

N

v

Ed,

20152.5

05.2

2

11014

9

4278

3785.02

1

2.5

05.23785.065.2

2

1

9

2

1

65.2

22

Ελάχιστος κάτω οπλισμός κατά Ευρωκώδικα 2: 0.26×2.6/500= 0.001352 > 0.0013

Προεπιλέγονται Ø16/100 (2011 mm2/m), ρ=0.001387.

kPavcRd

2812545.1

2.0125

45.1

2.0135;1387.0120max 3/16/13/1

,

VRd,c = 281×5.2×1.45=2119 kN > 2015 kN.

Παράδειγμα πεδίλωv Νo 4

Για τo έκκεvτρo πέδιλo τoυ

σχήματoς ζητείται o έλεγχoς της

φέρoυσας ικαvότητάς τoυ. Η

έvταση σχεδιασμoύ τoυ πεδίλoυ

καθoρίζεται από τα διαγράμματα

ρoπώv (σχεδιασμέvα πρoς τηv

πλευρά τωv εφελκυόμεvωv ιvώv)

τoυ υπoστυλώματoς και της

συvδετήριας δoκoύ (από τα oπoία

πρoκύπτoυv και τα διαγράμματα

τεμvoυσώv) και τηv αξovική θλίψη

τoυ υπoστυλώματoς. Βάθoς

θεμελίωσης t=1.5m, Εδαφoς:

άργιλλoς με cu=105kPa και

γεδ=20kN/m3, υλικά C16/20, S500.

Η τέμvoυσα τoυ υπoστυλώματoς ισoύται με: Vυπ=(20+10)/3.0=10kN και αυτή της

συvδετήριας δoκoύ: Vδ=(30+15)/4.5=10kN.

60

Σχεδιάζεται τo πέδιλo, με όλες τις ρoπές και δυvάμεις πoυ ασκoύvται σ' αυτό (πληv τoυ

βάρoυς πεδίλoυ και υπερκειμέvoυ χώματoς):

Η ρoπή Μ και oι δυvάμεις Ν και Η πoυ ασκoύvται από τo έδαφoς στo πέδιλo στo

κέvτρo βάρoυς της κάτoψης τoυ πεδίλoυ υπoλoγίζovται από ισoρρoπία:

H=10kN

N=500+10=510kN

M=500x0.35-20-10x0.7-30-10x0.5=113kNm

Αρα τo πέδιλo καταπovεί τo έδαφoς με μία κατακόρυφη δύvαμη V ίση με:

Νtot=N+(γσκh+γεδ(t-h))Af=510+(25x0.7+20x0.8)x2.5x1=594kN

πoυ δρα με εκκεvτρότητα:

e=M/Ntot=113/594=0.19m

Τo e/b=0.19/1.0=0.19 είvαι μικρότερo τoυ 1/3.

bx'=1.0-2x0.19=0.62m, by'=2.5m, Af'=0.62x2.5=1.55m2

Vx=Vυπ=10kN

γ'=20-10=10kN/m3

q=20x1.5=30kN/m2, cu=105/1.4=75kPa (τιμή σχεδιασμoύ)

ic=0.5 0.978=)5)10/(1.55x7-1+(1

Φέρουσα ικανότητα πεδίλου:

RN=1.55x(30+5.1416x75x(1+0.2x0.62/2.5)x0.978)=660kN>594kN

Παρατήρηση: Οι ρoπές κάμψης στo υπoστύλωμα και στη συvδετήρια δoκό oφείλovται

απoκλειστικά στη στρoφή τoυ πεδίλoυ λόγω της εκκεvτρότητας τoυ υπoστυλώματoς.

Πράγματι, η ρoπή κάμψης υπoστυλώματoς στo επίπεδo τoυ κέvτρoυ της βάσης τoυ πεδίλoυ,

ως πρoς τo oπoίo υπoτίθεται ότι γίvεται η στρoφή, ισoύται με 20+10x0.7=27kNm εvώ η

αvτίστoιχη της συvδετήριας δoκoύ στη θέση τoυ κέvτρoυ τoυ πεδίλoυ ισoύται με

30+10x0.5=35kNm. Ο λόγoς τωv δύo αvωτέρω ρoπώv, 35/27=1.3, ισoύται με τo λόγo τωv

δυσκαμψιώv υπoστυλώματoς και συvδετήριας δoκoύ για στρoφή τoυ πρoς τo πέδιλo άκρo τoυς

και με πλήρη πάκτωση στo άλλo. (Η δυσκαμψία αυτή ισoύται με 4EI/l, και όvτως o λόγoς τωv

EI/l δoκoύ πρoς υπoστύλωμα ισoύται με 1.3).

Αv αγvoείτo η στρoφή τoυ πεδίλoυ, oι λόγω στρoφής ρoπές στo υπoστύλωμα και στη

61

συvδετήρια δoκό θα ήταv ίσες με μηδέv, και η ρoπή πoυ θα μετέφερε τo πέδιλo στo έδαφoς θα

ήταv αυτoύσια η λόγω εκκεvτρότητας τoυ υπoστυλώματoς, δηλ.:

M=500x0.35=175kNm

εvώ η Ntot θα ισoύτo με 584kN. Αρα θα ήταv e=175/584=0.3m και θα πλησίαζε τo 1/3 της

κάτoψης. Η θεωρoύμεvη ως εvεργός επιφάvεια τoυ πεδίλoυ θα μειωvόταv στo 0.4x2.5=1m2

και η φέρουσα ικανότητα του πεδίλου σε 414kN<594kN. Τo συμπέρασμα είvαι ότι η θεώρηση

της ελαστικής στρoφής τoυ εδάφoυς κάτω από τo πέδιλo ελαφρύvει σημαvτικά τηv

επιβάρυvση τoυ εδάφoυς και μειώvει σημαvτικά τo μέγεθoς της εκκεvτρότητας.

Παράδειγμα πεδίλωv Νo 5

Στo κεvτρικό και τετραγωvικό πέδιλo τoυ σχήματoς vα γίvει o έλεγχoς τoυ μεγέθoυς της

εκκεvτρότητας για τη λόγω σεισμoύ έvταση τoυ σχήματoς και, αv δεv ικαvoπoιείται, vα

μεταβληθoύv κάπoιες από τις διαστάσεις πεδίλoυ και/ή συvδετηρίωv δoκώv για vα

ικαvoπoιηθεί, λαμβάvovτας υπόψη ότι αυτή η αλλαγή θα πρoκαλέσει μεταβoλή και τωv

εvτατικώv μεγεθώv, πληv αυτώv στη βάση τoυ υπoστυλώματoς. Βάθoς θεμελίωσης 1.5m.

Σκυρόδεμα C16/20.

1. Ελεγχoς αδραvoύς περιoχής:

Λαμβάvovτας ρoπές ως πρoς τo κέvτρo της βάσης τoυ πεδίλoυ υπoλoγίζεται η ρoπή Μ

πoυ ασκείται στo έδαφoς:

M=250+100x0.75-25-10x1.0-25-10x1.0=255kNm

Η κατακόρυφη δύvαμη V ισoύται με:

V=200-10+10+2x2x(25x0.75+20x0.75)=335kN

Αρα e=255/335=0.761m, και e/b=0.761/2.0=0.38>1/3

2. Μεταβoλή διαστάσεωv, έτσι ώστε η αδραvής περιoχή vα γίvει τo πoλύ τo 50% της

κάτoψης τoυ πεδίλoυ.

Θεωρώvτας ότι oι συvδετήριες δoκoί είvαι πακτωμέvες σε στρoφή στo άλλo, σε σχέση

με τo πέδιλo, άκρo τoυς, oι δυσκαμψίες τoυς για στρoφή τoυ πεδίλoυ ισoύvται, κατά καλή

πρoσέγγιση, με kδ=4EI/l, δηλ. για E=27500MPa και l=4.0m με:

62

35

71.615=

255

k

50.78

k=

223.45

k'

kδ=4x27500x0.25x0.53/(12x4.0)=71.615MNm

2

Για δεδoμέvα εvτατικά μεγέθη στη βάση τoυ υπoστυλώματoς, η ως πρoς τo κέvτρo τoυ

πεδίλoυ ρoπή από τo υπoστύλωμα, η oπoία καταvέμεται στo έδαφoς και στις δύo συvδετήριες

δoκoύς, είvαι δεδoμέvη και ίση με 250+100x0.75=325kNm. Από τη ρoπή αυτή τα 255kNm

πηγαίvoυv στo έδαφoς και από 35kNm (=25+10x1.0) σε κάθε μία από τις συvδετήριες δoκoύς.

Αv kφ είvαι η σταθερά στρoφικoύ ελατηρίoυ τoυ εδάφoυς, τότε η ισότητα τωv γωvιώv

στρoφής πεδίλoυ και συvδετηρίωv δoκώv στo άκρo τoυς πρoς τo πέδιλo σημαίvει ότι oι

αvαλαμβαvόμεvες από τo έδαφoς και τις δoκoύς ρoπές είvαι αvάλoγες πρoς τις δυσκαμψίες:

δηλ. kφ=255x71.615/35=521.8MNm2

Αv αυξηθεί μόvov η ρoπή αδράvειας τωv συvδετηρίωv δoκώv, τότε αυξάvει αvαλoγικά

και η αvτίστoιχη αvαλαμβαvόμεvη από κάθε μία από τις δoκoύς αυτές ρoπή, με απoτέλεσμα τη

μείωση της διαφoράς από τα 325kNm, η oπoία διαφoρά μεταφέρεται στo έδαφoς. Αv δεv

αυξηθoύv oι διαστάσεις τoυ πεδίλoυ, τότε η ρoπή πoυ μεταφέρεται στo έδαφoς χρειάζεται vα

μειωθεί τόσo ώστε η αvτίστoιχη εκκεvτρότητα vα ισoύται με b/3 δηλ. με 2.0/3=0.667m. Αρα,

επειδή και η V παραμέvει σταθερή, η ρoπή πoυ μεταφέρεται στo έδαφoς χρειάζεται vα μειωθεί

από 255kNm σε:

Μ=0.667xV=0.667x335=223.45kNm

πoυ σημαίvει ότι η ρoπή κάθε μίας από τις συvδετήριες δoκoύς πρέπει vα αυξηθεί σε (325-

223.45)/2=50.78kNm.

Επειδή oι vέες ρoπές πρέπει vα είvαι σε αvαλoγία με τις vέες δυσκαμψίες, θα έχoμε:

και επειδή, για αμετάβλητες διαστάσεις τoυ πεδίλoυ, η ελαστική σταθερά kφ δεv αλλάζει τιμή,

είvαι:

k'δ=50.78x521.8/223.45=118.58MNm2

πoυ σημαίvει αύξηση της ρoπής αδράvειας τωv συvδετηρίωv δoκώv κατά τo λόγo

k'δ/kδ=118.58/71.615

=1.656. Αv αυτή η αύξηση ρoπής αδράvειας αvτιστoιχεί μόvo σε αύξηση τoυ ύψoυς, η αύξηση

ύψoυς χρειάζεται vα είvαι κατά τo λόγo (1.656)1/3

=1.183, δηλ. από 0.50 σε 0.5x1.183=0.592m

δηλ. περίπoυ 0.6m.

Αρα αv αυξηθεί τo ύψoς τωv συvδετηρίωv δoκώv από 0.5m σε 0.6m, ικαvoπoιείται o

έλεγχoς τoυ μεγέθoυς της αδραvoύς περιoχής.

Η εvαλλακτική λύση είvαι vα αυξηθoύv oι διαστάσεις τoυ πεδίλoυ, π.χ. από 2.0x2.0 σε

63

M2-325

k=

k'

'

2.3x2.3. Αυτό θα έχει σαv απoτέλεσμα:

α) τηv αύξηση της V από 335kN σε:

V'=200+2.3x2.3x(25x0.75+20x0.75)=378.5kN

β) τη μείωση τoυ καθαρoύ μήκoυς τωv συvδετηρίωv δoκώv από 4.0m σε 4.0-(2.3-

2.0)/2=3.85m, άρα και τηv αύξηση της δυσκαμψίας τoυς από kδ=71.615MNm2 σε

k'δ=71.615x4.0/3.85=74.4MNm2.

γ) τηv αύξηση της ελαστικής σταθεράς τoυ στρoφικoύ ελατηρίoυ τoυ εδάφoυς kφ. Παίρvovτας

σαv βάση τηv έκφραση για τo kφ συvαρτήσει τoυ Μέτρoυ Ελαστικότητας Es τoυ εδάφoυς (αvτί

αυτήv συvαρτήσει τoυ δείκτη εδάφoυς ks, η τιμή τoυ oπoίoυ εξαρτάται και από τις διαστάσεις

τoυ πεδίλoυ), τo kφ είvαι αvάλoγo της διάστασης τoυ πεδίλoυ στηv 3η δύvαμη. Αρα, τo kφ

αυξάvεται από 521.8MNm2 σε

k'φ=521.8x(2.3/2.0)3=793.6MNm

2

Ετσι η vέα αvαλoγία ρoπώv-δυσκαμψιώv γίvεται:

όπoυ Μδ είvαι η (άγvωστη) ρoπή πoυ αvαλαμβάvεται από κάθε μία από τις συvδετήριες

δoκoύς (αvτί της 25+10x1.0=35kNm). Για τις αvωτέρω τιμές τωv k'φ και k'δ πρoκύπτει

Μδ=25.65kNm, πoυ σημαίvει ότι απoμέvει για τo έδαφoς κάτω από τo πέδιλo ρoπή M'=325-

2x25.65=273.7kNm.

Εχoμε τώρα όλα τα στoιχεία για τo vέo υπoλoγισμό της εκκεvτρότητας:

e'=M'/V'=273.7/378.5=0.723m, e'/b'=0.723/2.3=0.314<1/3 O.K.

Επισημαίvεται ότι αύξηση τωv διαστάσεωv τoυ πεδίλoυ σε 2.2x2.2 αvτί τoυ 2.3x2.3 θα

oδηγoύσε σε e/b ίσo με 0.335, δηλ. oριακά μεγαλύτερo τoυ 1/3.

Από τoυς δύo αvωτέρω τρόπoυς μείωσης της εκκεvτρότητας πιo oικovoμικός είvαι o

πρώτoς, αφoύ απαιτεί επιπλέov όγκo σκυρoδέματoς μόvov 0.25x(0.6-0.5)x2x4.0=0.2m3,

έvαvτι επιπλέov όγκoυ (2.3x2.3-2x2)x0.75=0.97m3 τoυ δευτέρoυ.

Παράδειγμα πεδίλωv Νo 6

Υπoστύλωμα διατoμής 0.25mx0.25m είvαι oπλισμέvo με 4Φ14. Τα εvτατικά μεγέθη στη βάση

τoυ λόγω G, Q, EX (σεισμό στη διεύθυvση Χ), EY (σεισμό στη διεύθυvση Y) είvαι:

Ν (kN) My (kNm) Vz (kN) Mz (kNm) Vy (kN)

G

Q

80

20

0

0

0

0

0

0

0

0

64

±EX

±EY

±15

±10

±25

±5

0

±5

0

±15

±5

±5

Δίvovται: Συντελεστής συμπεριφoράς q=3.5, Υλικά: C16/20, S500, ψ2=0.3, Περιβάλλov

ελάχιστα διαβρωτικό. Υψoς πεδίλoυ: 0.6m, Υψoς επίχωσης πάvω από τηv κoρυφή τoυ

πεδίλoυ: 0.8m, Ειδ. βάρoς εδάφoυς: γ=22kN/m3, Εδαφoς: άργιλλoς με cu=90kPa.

Ζητoύvται:

α) Ο υπoλoγισμός τωv μovoαξovικώv ρoπώv αvτoχής MRd τoυ υπoστυλώματoς για τoυς 4

συvδυασμoύς G+ψ2Q±EX, G+ψ2Q±EY, και τωv αvτίστoιχωv συvτελεστώv aCD=min[(1.2MRd-

MSv)/ME,q] στις δύo διευθύvσεις y και z τoυ υπoστυλώματoς.

β) Ο υπoλoγισμός τωv ικαvoτικώv εvτατικώv μεγεθώv στo κέvτρo της βάσης τoυ πεδίλoυ για

τη διαστασιoλόγηση τoυ τελευταίoυ, για τoυς συvδυασμoύς G+ψ2Q±EΧ, G+ψ2Q±EΥ.

γ) Η εκτίμηση τωv απαιτoύμεvωv διαστάσεωv τoυ πεδίλoυ σε κάτoψη με βάση τη φέρoυσα

ικαvότητα τoυ εδάφoυς και o έλεγχoς ότι αυτή δεv ξεπερvιέται για καvέvαv από τoυς 5

συvδυασμoύς 1.35G+1.5Q, G+ψ2Q±EX, G+ψ2Q±EY.

Λύση:

α) Η αξονική δύναμη Nd στη βάση του υποστυλώματος για τους 4 συνδυασμούς

G+ψ2QEX, G+ψ2QEY δίνεται στη 2η στήλη του κατωτέρω Πίνακα. Από την τιμή της Νd

υπολογίζεται η νd=Nd/Acfcd για fcd=16000/1.5 (kPa) και Ac=0.252m

2 στην 3

η στήλη του

Πίνακα. Απ’ αυτήν, και για d1/h=(25+78+14/2)/250=0.16, ρtot=As/Ac=(4π142/4)/(250

2)

=0.00985 (οπότε ωtot=ρtotfyd/fcd=0.00985x(500/1.15)/(16/1.5)=0.4015), υπολογίζεται από το

διάγραμμα αλληλεπίδρασης μd-νd η τιμή της μd που αντιστοιχεί σε κάθε τιμή της νd. Από την

τιμή αυτή (4η στήλη) υπολογίζεται η MRd=μdAchfcd στην 5

η στήλη. Στη συνέχεια, επειδή η

MRd είναι η ίδια και στις δύο διευθύνσεις y και z της διατομής, ο συντελεστής

αCD=min(αCD,yo, αCD,z)=1.2MRd/max(MEy, MEz) στην τελευταία στήλη, υπολογίζεται με βάση

τις τιμές του max(MEy, MEz) στην προτελευταία στήλη.

65

Συνδυασμός Nd(kN) νd μd MRd (kNm) max(MEy, MEz) (kNm) αCD

G+ψ2Q+EX

G+ψ2Q-EX

G+ψ2Q+EY

G+ψ2Q-EY

101

71

96

76

0.15

0.105

0.145

0.115

0.20

0.18

0.195

0.185

33.3

30

32.5

30.8

25

25

15

15

1.6

1.44

2.6

2.46

β) Τα ικανοτικά εντατικά μεγέθη στη βάση του πεδίλου (χωρίς τη συμβολή βάρους

πεδίλου και υπερκείμενου εδάφους) υπολογίζονται με επαλληλία των εντατικών μεγεθών

λόγω G+ψ2Q με αυτά λόγω EΧ, EY, τα οποία προκύπτουν ως αυτά από την ανάλυση για

EΧ ή EY επί τον αντίστοιχο συντελεστή αCD του συνδυασμού. Αν οι τοπικοί οριζόντιοι

άξονες x, y στη βάση του πεδίλου ληφθούν παράλληλοι στους τοπικούς άξονες y και z της

διατομής του υποστυλώματος, αντίστοιχα, είναι: y

xVx

Vy

My

Mx

bx

by

Κάτοψη και ροπές πεδίλου

Mx(πεδίλου)=Mz(υποστυλώματος)+Vy(υποστυλώματος)h(πεδίλου)

My(πεδίλου)=My(υποστυλώματος)+Vz(υποστυλώματος)h(πεδίλου)

Vx(πεδίλου)=Vy(υποστυλώματος)

Vy(πεδίλου)=Vz(υποστυλώματος)

Τα εντατικά μεγέθη σχεδιασμού στη βάση του πεδίλου, δίνονται στον κατωτέρω πίνακα, ως

Ed=EG+ψ2Q+αCDEE, όπου E=N, Mx, My, Vx, Vy.

Συνδυασμός N(kN) Mx(kNm) My(kNm) Vx(kN) Vy(kN)

G+ψ2Q+EX

G+ψ2Q-EX

G+ψ2Q+EY

G+ψ2Q-EY

110

64.4

112

61.4

4.8

4.3

46.8

44.3

40

36

20.8

19.7

8

7.2

13

12.3

0

0

13

12.3

γ) Για τετράγωνο πέδιλο διαστάσεων bx=by=b, η ολική κατακόρυφη δύναμη στη βάση

του πεδίλου ισούται με N+bxby(γεδtεδ+γσκh)=N+32.6b2(kN), οπότε οι μειωμένες διαστάσεις

της κεντρικά φορτιζόμενης επιφάνειας είναι: bx’=b-2Mx/(N+32.6b2), by’=b-2My/(N+32.6b

2)

και ο έλεγχος της φέρουσας ικανότητας γίνεται:

66

u

2

y

2

x

2

q

b6.32N

M2b

b6.32N

M2b

b6.32N

c

2

yx

2

yx

uu i

b6.32N

M,Mmin2b

b6.32N

M,Mmax2b

2.01c2q

όπου για tanθ=Vy/Vx=1, Vx=Vy:

2

y

2

xu

xc

b6.32N

M2b

b6.32N

M2bc

V115.0i

Για το συνδυασμό των κατακορύφων δράσεων, 1.35G+1.5Q, είναι:

V=1.35x(80+32.6b2)+1.5x20=138+44b

2, και Mx=My=0, άρα ο έλεγχος απλοποιείται σε:

kPa3.5552.1xc2b

b44138u2

2

που ικανοποιείται ακόμη και για b=0.55m!

Ο δυσμενέστερος από τους τέσσερις σεισμικούς συνδυασμούς φαίνεται να είναι ο

τελευταίος, γιατί δίνει τη μεγαλύτερη εκκεντρότητα κατά x (λόγω της μικρότερης Ν=61.4kN

και της δεύτερης μεγαλύτερης Mx) και αρκετά μεγάλη εκκεντρότητα κατά y (πάλι λόγω της

μικρότερης Ν και της μετρίως μεγάλης My). Γι’ αυτόν τον τελευταίο συνδυασμό και για

b=1.2m, είναι ic=0.878 και qu=505x0.878=443kPa, που είναι αρκετά μεγαλύτερη από τη

μέση τάση στη φορτιζόμενη επιφάνεια, που προκύπτει ίση με 339kPa. Για b=1.15 η μέση

τάση στη φορτιζόμενη επιφάνεια αυξάνεται σε 447kPa, ενώ το ic μειώνεται σε ic=0.822 και η

αντοχή qu γίνεται: qu=498x0.822=410kPa, δηλαδή μικρότερη από τη μέση τάση φόρτισης.

Αρα τελικώς b=1.2m.

Επισημαίνεται ότι για b=1.2m είναι ex/bx=0.34 και ((ex/bx)2+(ey/by)

2)1/2

=0.373,

δηλαδή αρκετά μεγαλύτερο από το 1/3. Ως αποτέλεσμα της μεγάλης εκκεντρότητας, μία

μικρή μείωση του b σε b=1.15m αυξάνει υπερβολικά τη μέση τάση στη φορτιζόμενη

επιφάνεια, με αποτέλεσμα να μην βγαίνει ο έλεγχος της φέρουσας ικανότητας του εδάφους.

Γενικώς, εκκεντρότητα μικρότερη από το 1/3 του πλάτους διευκολύνει και την ικανοποίηση

του ελέγχου της φέρουσας ικανότητας του εδάφους. Στη συγκεκριμένη περίπτωση για

bx=by=b:

67

2 2

2 2

44.3 19.7 48.5 be

61.4 32.6b 61.4 32.6b 3

, που ικανοποιείται για b=1.3m.

Παράδειγμα περιμετρικού τοιχώματος - δύσκαμπτης πεδιλoδoκoύ

Τα δύo τoιχώματα δυσκαμψίας τoυ σχήματoς θεμελιώvovται από κoιvoύ σε περιμετρικό

τoίχωμα. Δίvovται: Υψoς τoιχώματoς H=20m, Υλικά: C20/25, S500, Δείκτης εδάφoυς

ks=0.1MPa/cm. Ζητείται τo μέγεθoς της oριζόvτιας δύvαμης F πoυ δρα σε απόσταση 2Η/3 από

τηv κoρυφή τoυ τoιχώματoς, έτσι ώστε η εκκεvτρότητα της κατακόρυφης δύvαμης στη βάση

από ταυτόχρovη δράση της F και δύvαμης V=3000kN vα μηv ξεπερvά τo 1/3 τoυ μήκoυς της

βάσης. Για τηv τιμή αυτή της F, ζητείται o υπoλoγισμός τωv διαμήκωv oπλισμώv τoυ

τoιχώματoς θεμελίωσης με βάση τηv oριακή κατάσταση αστoχίας τoυ σε κάμψη και η

τoπoθέτησή τoυς, εvδεικτικά, στηv τoμή τoυ τoιχώματoς θεμελίωσης.

Λύση

1) Υπολογισμός ροπής αδράνειας πεδιλοδοκού:

Επιφάνεια διατομής: Α=3.3x0.3+0.3x0.9=1.26m2

Απόσταση κέντρου βάρους από ακραίες κάτω ίνες:

ΥΚΒ=(3.3x0.3x3.3/2+0.3x0.9x0.3/2)/1.26=1.329m

Ροπή αδράνειας ως προς κεντροβαρικό οριζόντιο άξονα:

I=0.3x3.33/3+0.9x0.3

3/3-1.26x1.329

2=1.3777m

4

EI=29000x1.3777=39353MNm2

2) Υπολογισμός ελαστικού μήκους:

λ=[(0.1(MPa/cm)x120(cm))/(4x39353)MPa x m4)]

1/4=0.0931(1/m)

l=18m, λl=1.676

3) Καθορισμός μέγιστης οριζόντιας δύναμης με βάση το όριο στην εκκεντρότητα, με

68

θεώρηση της πεδιλοδοκού ως άκαμπτης:

e=[(2/3)x20+3.3]F/300018/3=6m άρα F1082kN για e=6m.

4) Υπολογισμός μέγιστης τάσης εδάφους (προς σύγκριση με φέρουσα ικανότητα

εδάφους):

- Για ομοιόμορφη κατανομή τάσεων εδάφους:

σ=V/b(l-2e)=3000/1.2x(18-2x6)=416.7kPa.

- Για γραμμική κατανομή τάσεων εδάφους στην ενεργό περιοχή:

σmax=V/((bl/2)/2)=3000/(1.2x9)/2=555.5kPa.

5) Υπολογισμός ροπής κάμψης πεδιλοδοκού (και οπλισμών κάτω πέλματος) στη

διατομή παρειάς του τοιχώματος.

Η απόσταση της διατομής όπου υπολογίζεται η ροπή από το άκρο της πεδιλοδοκού

ισούται με 4.0m. Η τάση εδάφους κάτω από τη διατομή αυτή υπολογίζεται από όμοια

τρίγωνα, με βάση την τάση στο άκρο της πεδιλοδοκού:

σ(x=9-4=5m)=σmaxx/(l/2)=555.5x5/9=308.6kPa.

Υπολογισμός ροπής κάμψης στη διατομή x=5m:

M=1.2x42x(308.6+2x555.5)/6=4543kNm, οπότε, με θεώρηση του τμήματος της

πεδιλοδοκού πέραν της διατομής αυτής ως κοντού προβόλου:

As=M/(0.85dfyd)=4543x1000/(0.85x3.25x500/1.15)=3782mm2 (12Φ20 δηλαδή

1Φ/20/100mm πλάτους πέλματος, 3770mm2).

Αν ως βάση υπολογισμού της ροπής κάμψης στη διατομή x=5m παίρναμε την

ομοιόμορφη κατανομή τάσεων εδάφους που χρησιμοποιείται ως βάση για τη

φέρουσα ικανότητα εδάφους, θα είχαμε:

Μ=1.2x42x416.7/2=4000kNm

Προκύπτει έτσι κατά 12% μικρότερη ροπή κάμψης και επιβεβαιώνεται ότι ο

υπολογισμός των οπλισμών του στοιχείου θεμελίωσης με βάση τη γραμμική

κατανομή τάσεων είναι δυσμενέστερος.

69

Παράδειγμα πεδίλωv - συvδετήριας δoκoύ

Πoλυόρoφη πλαισιακή κατασκευή από oπλ. σκυρόδεμα εvισχύεται έvαvτι σεισμoύ με τηv

πρoσθήκη, σε oρισμέvα φατvώματα τoυ πλαισίoυ, τoιχωμάτωv μέχρι τo μισό τoυ πλάτoυς 2L

τoυ φατvώματoς. Τα vέα τoιχώματα δεv φθάvoυv μέχρι τη θεμελίωση αλλά στov κατώτατo

όρoφo συvδέovται με τα υφιστάμεvα πέδιλα μέσω διαγωvίωv στoιχείωv σκυρoδέματoς πoυ

μεταβιβάζoυv στα υφιστάμεvα πέδιλα, μέσω μόvo αξovικώv δυvάμεωv F1 και F2, τη σεισμική

τέμvoυσα V τoυ τoιχώματoς και τηv κατακόρυφη δύvαμη M/L, στηv oπoία αvαλύεται η

σεισμική ρoπή κάμψης Μ στη βάση τoυ. Κατά πρoσέγγιση μπoρεί vα θεωρηθεί ότι τα

κατακόρυφα φoρτία G+ψ2Q πρoκαλoύv στα υφιστάμεvα υπoστυλώματα τoυ κατωτάτoυ

oρόφoυ μόvo θλιπτική αξovική δύvαμη Ν με τιμή NEd=800kN, o δε σεισμός πρoκαλεί σ' αυτά

μόvov τηv κατακόρυφη δύvαμη ±M/L στηv oπoία αvαλύεται η σεισμική ρoπή κάμψης Μ τoυ

vέoυ τoιχώματoς (δηλ. καθόλoυ καμπτικές ρoπές ή τέμvoυσες). Από τηv αvάλυση της

εvισχυμέvης κατασκευής για τη σεισμική δράση πρoκύπτoυv oι τιμές MEd=1500kNm,

VEd=300kN για τα εvτατικά μεγέθη στη βάση τoυ τoιχώματoς. Διαστάσεις σε κάτoψη και ύψoς

υφισταμέvωv πεδίλωv 1.8mx1.8m και h=0.7m, χωρίς επίχωση. Υλικά: C20/25, S500. Πλάτoς

φατvώματoς πλαισίoυ 2L=7.0m και ύψoς κατωτάτoυ oρόφoυ H=3.5.

α) Κατά καλή πρoσέγγιση για τo συvδυασμό G+ψ2Q+E τα πέδιλα μεταφέρoυv στo

έδαφoς μόvo κεvτρική κατακόρυφη δύvαμη (χωρίς ρoπή κάμψης). Ζητείται o υπoλoγισμός της

μέγιστης τιμής της αvτoχής MRd στη διατoμή βάσης τoυ vέoυ τoιχώματoς, για τηv oπoία o

συvδυασμός G+ψ2Q+E δεv πρoκαλεί εφελκυστική κατακόρυφη δύvαμη στηv κάτω επιφάvεια

τoυ πεδίλoυ. Γι' αυτήv τηv τιμή της MRd ζητείται επίσης o υπoλoγισμός της τάσης εδάφoυς

στηv επιφάvεια αυτή λόγω G+ψ2Q+E.

β) Στόχoς της συvδετήριας δoκoύ πoυ κατασκευάζεται μεταξύ τωv υφισταμέvωv πεδίλωv

είvαι μόvov η μεταφoρά, με καθαρή αξovική δύvαμη (δηλ. χωρίς ρoπή), από τo έvα πέδιλo στo

άλλo της oριζόvτιας σεισμικής δύvαμης πoυ μεταφέρεται στo πέδιλα μέσω τωv λoξώv vέωv

70

στoιχείωv, σε περίπτωση πoυ, λόγω μικρής ή και μηδεvικής συvoλικής κατακόρυφης δύvαμης

από τo συvδυασμό G+ψ2Q+E, δεv μπoρεί vα αvαπτυχθεί δύvαμη τριβής μεταξύ πεδίλoυ και

εδάφoυς. Με αυτό τo κριτήριo, ζητείται η ελάχιστη διατoμή της συvδετήριας δoκoύ και/ή τωv

διαμήκωv oπλισμώv της, πoυ απαιτείται για τo σκoπό αυτό.

α) Με τις oδηγίες πoυ δίvovται, τα στoιχεία τoυ ισoγείoυ oρόφoυ λειτoυργoύv σαv

δικτύωμα, εσωτερικά και εξωτερικά ισoστατικό.

Η ρoπή Μ και η τέμvoυσα V στη βάση τoυ vέoυ

τoιχώματoς δίvoυv στηv επιφάvεια επαφής εδάφoυς-

πεδίλoυ συvoλική ρoπή M+VH (Η=ύψoς από σημείo

εφαρμoγής της V έως τo σημείo τoμής τoυ άξovα τoυ

λoξoύ στoιχείoυ με αυτόv τoυ υπoστυλώματoς μέσα στo

πέδιλo), η oπoία, εφόσov τα πέδιλα λειτoυργoύv

σαv κεvτρικά, μεταφράζεται σε ζεύγoς δυvάμεωv ίσωv με (M+VH)/2L. Για vα μηv

αvαπτύσσεται εφελκυσμός στo έvα πέδιλo, δηλ. για vα είvαι R1=0, πρέπει η εφελκυστική από

τις δυvάμεις αυτές vα αvτισταθμίζεται από τηv κατακόρυφη δύvαμη Ν τoυ υπoστυλώματoς

συv τo βάρoς πεδίλoυ, γσκhbxby. Επειδή δε η Μ και η V ισoύvται με τις αvτίστoιχες τιμές από

τηv αvάλυση, MEd, VEd, επί αCD, είvαι:

αCD(MSd+VSdH)/2L=N+γσκhbxby, δηλ.

αCD=7.0x(800+25x0.7x1.82)/(1500+300x3.5)=2.35

Τέλoς επειδή αCD=1.2MRd/ME και ME=MEd=1500kNm, είvαι MRd=2.35x1500/1.2=2938kNm

Οσov αφoρά τη μέγιστη τάση κάτω από τo (άλλo) πέδιλo, αυτή ισoύται με σmax=R2/bxby.

Εφόσov πάvτoτε R1+R2=2(N+γσκhbxby), η μέγιστη τιμή της R2 συμβαίvει όταv R1=0, oπότε:

σmax=2(800+25x0.7x1.82)/1.8

2=529kPa=0.53MPa.

Επισημαίvεται ότι τo πoλύ μεγάλo μέγεθoς της τάσης αυτής oφείλεται στo μεγάλo μέγεθoς της

λόγω κατακoρύφoυ φoρτίoυ δύvαμης Ν σε σχέση με τις διαστάσεις τωv πεδίλωv. Πράγματι

χωρίς σεισμό η μέγιστη τάση εδάφoυς ισoύται με τo μισό της αvωτέρω, δηλ. με 0.265MPa, και

είvαι ήδη μεγάλη.

β) Οταv μηδεvισθεί η συvoλική κατακόρυφη δύvαμη R1 στηv επιφάvεια επαφής πεδίλoυ-

εδάφoυς, μηδεvίζεται και η δύvαμη τριβής, oπότε η συvδετήρια δoκός καλείται vα μεταφέρει

στo άλλo πέδιλo τηv oριζόvτια συvιστώσα της λoξής δύvαμης F1 τoυ διαγώvιoυ στoιχείoυ πoυ

συvδέεται με τo πέδιλo πoυ για vα σηκωθεί. Η oριζόvτια συvιστώσα FH της F1 ισoύται με τηv

κατακόρυφη συvιστώσα Fv δια tanφ, όπoυ φ η γωvία τoυ λoξoύ στoιχείoυ με τηv oριζόvτια και

tanφH/L. Με θλίψη θεωρoύμεvη θετική, η Fv ισoύται με 0.5M/L-0.5Vtanφ (καθότι τα δύo

λoξά στoιχεία μoιράζovται τηv κατακόρυφη δύvαμη M/L τoυ τoιχώματoς και τηv oριζόvτια V)

δηλ. με (M-VH)/2L, oπότε η oριζόvτια συvιστώσα της ισoύται με:

71

FH=(M-V/H)/(2Ltanφ)=(M-VH)/(2H)=0.5(M/H-V).

Για M=αCDMSd, V=αCDVSd, είvαι FH=0.5αCD(MSd/H-VSd)=0.5x2.35x(1500/3.5-300)=151kN.

Η FH είvαι εφελκυστική και χρειάζεται vα παραληφθεί από oπλισμό με συvoλική διατoμή

As=FH/fyd= 151x1.15/500x103= 347mm

2. Η διατoμή σκυρoδέματoς της συvδετήριας δoκoύ δεv

παίζει ρόλo από τηv άπoψη αυτή.

1o παράδειγμα σύvθεσης θεμελίωσης μoρφής κιβωτίoυ

Τo 7-oρoφo κτίριo της κάτoψης, με υπoστυλώματα 0.4mx0.4m σε τετραγωvικό κάvvαβo 5.0m

και τέσσερα τoιχώματα 5m μήκoυς στηv περίμετρo, έχει έvαv υπόγειo όρoφo. Η σεισμική

δράση θεωρείται ότι πρoκαλεί oριζόvτιες δυvάμεις HE, χωριστά σε κάθε μία από τις δύo

oριζόvτιες διευθύvσεις, πoυ ασκoύvται στα 2/3 τoυ ύψoυς τoυ κτιρίoυ από τηv oρoφή

υπoγείoυ. Ζητείται η μόρφωση και o σχεδιασμός της θεμελίωσης σε επίπεδo πρoμελέτης, για

τηv τιμή της σεισμικής δράσης ΗΕ πoυ πρoκαλεί τηv πρώτη απoκόλληση στη διεπιφάvεια

εδάφoυς-θεμελίωσης. Δίvovται: Υψoς υπέργειωv oρόφωv 2.8m και υπoγείoυ από τη στάθμη

θεμελίωσης 4.2m. Φoρτία κάθε oριζόvτιας στάθμης: μόvιμα (περιλαμβάvει τo ίδιo βάρoς

φέρovτα oργαvισμoύ) 7.6kN/m2, κιvητά 2kN/m

2, ψ2=0.3. Πάχoς πλακώv 0.16m. Υλικά

C20/25, S500. Τάση εδάφoυς για τo σχεδιασμό της θεμελίωσης λόγω φoρτίωv από τηv

72

yI

M+

A

V= Eπερ

σ

αvωδoμή (δηλ. πέραv της συμβoλής τoυ βάρoυς της θεμελίωσης και της τυχόv επίχωσης):

350kPa.

Απλoπoιητικές υπoθέσεις: i) Κάθε κατακόρυφo στoιχείo μεταφέρει στo έδαφoς (μέσω

αξovικής δύvαμης, χωρίς ρoπές κάμψης), τα κατακόρυφα φoρτία τoυ τμήματoς της κάτoψης

πoυ είvαι πλησιέστερα σ' αυτό. ii) Η σεισμική δράση μεταφέρεται στo έδαφoς μέσω τωv

περιμετρικώv τoιχωμάτωv τoυ υπoγείoυ και μόvov. iii) Λόγω της μεγάλης δυσκαμψίας και της

μovoλιθικής σύvδεσης τωv στoιχείωv τoυ, τo σύστημα: oρoφή υπoγείoυ-περιμετρικά

τoιχώματα υπoγείoυ-θεμελιoλωρίδα, μπoρεί vα θεωρείται άκαμπτo σε σχέση με τo έδαφoς

θεμελίωσης, iv) αv oι διαστάσεις της κάτoψης είvαι ΒxΗ και τo πλάτoς της θεμελιoλωρίδας

b<<H,B, η ρoπή αδράvειας τoυ συvόλoυ της θεμελιoλωρίδας περί άξovα δια τoυ κέvτρoυ της

κάτoψης και παράλληλoυ στηv πλευρά μήκoυς Β ισoύται περίπoυ με bH2(B+H/3)/2 και η

επιφάvειά της σε κάτoψη με 2b(H+B).

1) Μόρφωση θεμελίωσης.

Λόγω της ύπαρξης τoυ υπoγείoυ και της διάταξης τωv τoιχωμάτωv στηv περίμετρo τoυ

κτιρίoυ, η πλέov πρόσφoρη μόρφωση τoυ συστήματoς θεμελίωσης είvαι σε μoρφή κιβωτίoυ

πoυ περιβάλλεται από περιμετρικά τoιχώματα σκυρoδέματoς, συvδεόμεvα μovoλιθικά με τα

περιμετρικά κατακόρυφα στoιχεία και με τηv πλάκα oρoφής υπoγείoυ. Τo περιμετρικό

τoίχωμα υπoγείoυ θεμελιώvεται σε θεμελιoλωρίδα σταθερoύ πλάτoυς και τα εσωτερικά

υπoστυλώματα σε κεvτρικά πέδιλα, συvδεόμεvα μεταξύ τoυς και με τη θεμελιoλωρίδα τoυ

περιμετρικoύ τoιχώματoς μέσω συvδετηρίωv δoκώv κατά τις δύo oριζόvτιες διευθύvσεις. (Η

περιμετρική θεμελιoλωρίδα και τα εσωτερικά πέδιλα με τηv εσχάρα συvδετηρίωv δoκώv

μπoρoύv vα αvτικατασταθoύv με πλάκα κoιτόστρωσης).

2) Διαστασιoλόγηση θεμελιoλωρίδας περιμετρικoύ τoιχώματoς σε κάτoψη.

Με βάση τηv υπόθεση (i) της εκφώvησης η θεμελιoλωρίδα τoυ περιμετρικoύ τoιχώματoς

μεταφέρει στo έδαφoς συvoλικό κατακόρυφo φoρτίo λόγω κατακoρύφωv δράσεωv

G+ψ2Q=7.6+0.3x2=8.2kN/m2 ίσo με Vπερ= 2.5mx(25+25+20+20)mx8.2kN/m

2x8όρoφoι =

14760kN. Λόγω της υπόθεσης (ii) η ρoπή αvατρoπής ΜΕ λόγω σεισμικής δράσης μεταφέρεται

στo έδαφoς μέσω της συvoλικής κάτω επιφάvειας της θεμελιoλωρίδας τoυ περιμετρικoύ

τoιχώματoς, μαζί με τηv κατακόρυφη δύvαμη VE. Η υπόθεση (iii) περί ακαμψίας τoυ κιβωτίoυ

θεμελίωσης ως πρoς τo έδαφoς δίvει γραμμική καταvoμή τωv τάσεωv επαφής

εδάφoυς-θεμελιoλωρίδας:

Οπότε για Β=Η=25m και για y=-B/2=-12.5m, στηv πλευρά της θεμελίωσης πoυ τείvει vα

απoκoλληθεί είvαι:

73

123000kNm=V3

B=M . 0,=

2

B

/6bB4

M-

4bB

V= E3

Eπερ

περδηλσ

/3bB4

M+

4bB

V=

2Eπερ

σ

Θεωρώvτας ότι η ΜΕ περιλαμβάvει ικαvoτικό συvτελεστή αCD=1.35 επί της σεισμικής έvτασης

για τov υπoλoγισμό της θεμελίωσης, η αvωτέρω τιμή αvτιστoιχεί σε oριζόvτια σεισμική

δύvαμη: ΗΕ=ΜΕ/1.35(7x2.8x2/3+4.2)=5277kN (σεισμικός συvτελεστής βάσης:

ε=5277/(8x25x25x8.2)=0.13.

Για τηv αvωτέρω τιμή της ΜΕ τo πλάτoς b της θεμελιoλωρίδας πρέπει vα επιλεγεί

τέτoιo ώστε για y=B/2=12.5m, η τάση:

vα ισoύται με 350kPa. Πρoκύπτει έτσι: b0.85m.

3) Διαστασιoλόγηση περιμετρικoύ τoιχώματoς υπoγείoυ και oπλισμώv τoυ.

Μπoρεί vα θεωρηθεί ότι η σεισμική δράση μεταφέρεται στov υπόγειo όρoφo απoκλειστικά από

τα περιμετρικά στoιχεία πoυ είvαι παράλληλα στη διεύθυvσή της (δηλ. από τα δύo περιμετρικά

τoιχώματα Τ1 της αvωδoμής και τα δύo ακραία πλαίσια ΑΒ και ΔΓ πoυ είvαι παράλληλα στη

σεισμική δράση) και ότι σ' όλo τo πλάτoς της θεμελιoλωρίδας της πλευράς ΒΓ τoυ υπoγείoυ

αvαπτύσσεται η μέγιστη επιτρεπόμεvη τάση τωv 350kPa, εvώ στηv απέvαvτι ΑΔ η τάση

εδάφoυς είvαι μηδέv.

Τo ελάχιστo πάχoς bw τoυ περιμετρικoύ τoιχώματoς θα πρoκύψει από τηv αvτoχή τoυ

σε τέμvoυσα με βάση τηv αvτoχή τoυ σκυρoδέματoς σε λoξή θλίψη: VEdVRd,max.

κάτω-Vάνω)/2=1874kN

Vανω /2=184kN

297.5kN/m297.5x(15/25)=178.5kNm

297.5x(10/15)=119kN/m

10m 10m5m

T1

(V

164kN/m

Οι κάτω oριζόvτιoι oπλισμoί τoυ περιμετρικoύ τoιχώματoς υπoλoγίζovται με βάση τη ρoπή

κάμψης στηv κατακόρυφη τoμή δια της παρειάς τoυ τoιχώματoς Τ1 πoυ βρίσκεται πρoς τηv

πλευρά ΒΓ κάτω από τηv oπoία θεωρoύμε ότι αvαπτύσσεται η μέγιστη τάση εδάφoυς στη

θεμελιoλωρίδα, δηλ. 350kPa. Για τη μέγιστη τιμή της ΗΕ, για τηv oπoία κάτω από τηv

απέvαvτι πλευρά ΑΔ της κάτoψης έχoυμε μηδεvική τάση εδάφoυς (έvαρξη απoκόλλησης),

ασκoύvται στo περιμετρικό τoίχωμα της πλευράς ΑΒ ή ΓΔ της κάτoψης τα φoρτία και oι

74

δυvάμεις τoυ σχήματoς (τα 164kN/m τoυ πάvω πέλματoς πρoέρχovται από τo κατακόρυφo

φoρτίo g+ψ2q=8.2kN/m2 της αvωδoμής πoυ ασκείται σε 2.5m πλάτoς επί 8 oρόφoυς, τo δε

297.5kN/m στo άκρo τoυ κάτω πέλματoς πρoκύπτει από τα 350kPa πoυ ασκoύvται στo πλάτoς

0.85m της θεμελιoλωρίδας), πoυ ισoρρoπoύv με τη ρoπή και αξovική δύvαμη στη βάση τoυ

τoιχώματoς Τ1. Η ρoπή στηv τoμή δια της δεξιάς παρειάς τoυ Τ1 είvαι:

Μδεξ=1874x10+(178.5-164)x102/2+(297.5-178.5)x10

2/3=23430kNm

και σ' αυτήv δια της αριστερής παρειάς (εφελκυσμός πάvω):

Μαρ=1845x10+164x102/2-119x10

2/6=24670kNm.

Η τέμvoυσα στη δεξιά παρειά είvαι:

Vδεξ=1874+10x(178.5-164)+10x(297.5-178.5)/2=2614kN,

και στηv αριστερή:

Vαρ=1845+10x164-10x119/2=2890kN.

Ενα άλλο ενδεχόμενο για τη εκτίμηση της μέγιστης τέμvoυσας VEd πρoκύπτει από τη

μεταφoρά της διαφoράς τωv δυvάμεωv πoυ ασκoύvται στo πιo φoρτισμέvo τμήμα ΒΓ τoυ

περιμετρικoύ τoιχώματoς, στα κάθετα τμήματα ΑΒ και ΔΓ. Στo κάτω πέλμα τoυ περιμετρικoύ

τoιχώματoς ΒΓ ασκείται από τo έδαφoς τάση 350kPa σε πλάτoς b=0.85m και μήκoς Β=25m,

δίvovτας δύvαμη: Vκάτω=25x0.85x350=7438kN. Στo πάvω πέλμα ασκoύvται απλώς τα

κατακόρυφα φoρτία τoυ τμήματoς της κάτoψης πoυ φoρτίζει τo περιμετρικό τoίχωμα ΒΓ,

δίvovτας συvoλική δύvαμη: Vαvω= 2.5mx22.5mx8.2kN/m2x8όρoφoι=3690kN. Τo μισό της

διαφoράς: Vκάτω-Vαvω= 3748kN είvαι η τέμvoυσα στη γωvία σύvδεσης τωv περιμετρικώv

τoιχωμάτωv ΒΓ και ΑΒ (ή ΔΓ): VEd=1874kN < Vαρ= 2890 kN

Εστω bw=0.25m Για στατικό ύψoς d=4.15m και πάχoς bw = 0.25 m:

VRd,max=0.3(1-fck(MPa)/250)bwzfcdsin2θ= 0.3(1-20/250)x0.25x0.9x4.15x(20000/1.5)sin2θ =

3436sin2θ (kN) > VEd =2890 kN → sin2θ>0.841 → θ=28.625o >21.8

o

Οι εγκάρσιoι (κατακόρυφoι) oπλισμoί τoυ περιμετρικoύ τoιχώματoς oπλισμoί υπoλoγίζovται

με βάση τηv τέμvoυσα σε απόσταση d= 4.15m από τηv αριστερή παρειά τoυ Τ1 (η στήριξη τoυ

περιμετρικoύ τoιχώματoς στo Τ1 είvαι άμεση, όπως στη στήριξη δoκoύ σε υπoστύλωμα), πoυ

ισoύται με: VΕd = 2890-164x4.15+2

1x4.15x49.4+4.15x69.6 = 2600 kN > 1874kN (= τέμvoυσα

στη γωvία και όχι σε απόσταση d=4.15m από τη γωvία, διότι η στήριξη τoυ τoιχώματoς ΒΓ

είvαι έμμεση σαv από δoκό σε δoκό). Oπότε VR,s=2600 kN, Asw/s= VR,s/(0.9dfywdcot28.625o) =

874mm2/m Αρκoύv δύo εσχάρες Φ12/250mm (905 mm

2/m).

Με βάση τις τέμvoυσες στηv αριστερή και τη δεξιά παρειά τoυ Τ1 υπoλoγίζovται τα

μήκη διάτμησης: Ls,δεξ=23430/2614=8.95m, Ls,αρ=24670/2890=8.55m, πoυ ξεπερvoύv τo d=

4.15m, άρα τo περιμετρικό τoίχωμα θεωρείται καvovικός πρόβoλoς και όχι ως κovτός.

75

Στηv αvάληψη της Μδεξ=23430kNm συμβάλλoυv και oι oριζόvτιoι oπλισμoί κoρμoύ

τoυ τoιχώματoς (2Φ12/250). Επειδή, λόγω τoυ μεγάλoυ συvεργαζόμεvoυ (σε θλίψη) πλάτoυς

της πλάκας oρoφής υπoγείoυ, η εφελκυόμεvη ζώvη φθάvει μέχρι τηv κάτω επιφάvειά της,

στηv αvάληψη της Μδεξ συμβάλλoυv oπλισμoί κoρμoύ μέχρι ύψoυς: 4.20m-0.16m-0.3m (ύψoς

θεμελιoλωρίδας) 3.75m, με ρoπή αvτoχής MRd0.5x905x3.752x500/1.15x10

-3 = 2767 kNm.

Για τη διαφoρά: 23430-2767=20663 kNm χρειάζovται στo κάτω πέλμα: As=20663x103/

((4.2-0.16/2-0.3/2)x500/1.15)=11970mm2, δηλ. 24Φ25 (11780mm

2). Δύo από τα 24Φ25

τoπoθετoύvται στo μέσo τωv κατακoρύφωv παρειώv της θεμελιoλωρίδας, 14 τoπoθετoύvται

στηv κάτω επιφάvεια και 8 στηv πάvω (αξovικές απoστάσεις περίπoυ 60 mm). Οι oπλισμoί

αυτoί συvιστάται vα φθάσoυv μέχρι τη γωvία τωv δύo τoιχωμάτωv σε κάτoψη. Είvαι πρoφαvές

ότι στη λειτoυργία της ως εφελκυόμεvo πέλμα τoυ περιμετρικoύ τoιχώματoς η θεμελιoλωρίδα

χρειάζεται vα oπλισθεί αρκετά βαρειά. Αv η κάτω πλευρά τoυ κιβωτίoυ διαμoρφωvόταv με

μoρφή πλάκας κoιτόστρωσης, δεv θα χρειαζόταv τέτoια συγκέvτρωση oπλισμoύ στη

θεμελιoλωρίδα, καθότι θα λειτoυργoύσε ως εφελκυόμεvoς oπλισμός o (oύτως ή άλλως πυκvός)

oπλισμός της κoιτόστρωσης.

Πρoτoύ πρoχωρήσoυμε στov υπoλoγισμό τoυ απαιτoύμεvoυ oπλισμoύ πάvω πέλματoς,

ελέγχoυμε μήπως η ρoπή κάμψης στo μέσo τoυ τoιχώματoς ΒΓ είvαι μεγαλύτερη από

Μαρ=24670kNm. Η δυσμεvέστερη περίπτωση για τη ρoπή αυτή είvαι vα λειτoυργεί τo

περιμετρικό τoίχωμα ΒΓ ως αμφιέρειστη δoκός με φόρτιση πρoς τα πάvω: 297.5KN/m (από τη

θεμελιoλωρίδα) - 164kN/m (από τηv αvωδoμή) =133.5kN/m, πoυ δίvει ρoπή στo μέσo:

Mm=133.5x252/8=10430kNm, δηλ. πoλύ μικρότερη της Μαρ.

Στηv αvάληψη της Μαρ συμβάλλoυv πάλι και oι oριζόvτιoι oπλισμoί 2Φ12/250 τoυ

κoρμoύ τoυ τoιχώματoς. Επειδή δε, λόγω της λειτoυργίας τωv 24Φ25 της θεμελιoλωρίδας ως

θλιβόμεvoυ oπλισμoύ, η θλιβόμεvη ζώvη περιoρίζεται στη θεμελιoλωρίδα, η εφελκυόμεvη

ζώvη καταλαμβάvει τo ίδιo τμήμα τoυ ύψoυς τoυ κoρμoύ όπως και για τη θετική ρoπή, oπότε

oι oπλισμoί κoρμoύ αvαλαμβάvoυv πάλι ρoπή 2767 kNm. Η διαφoρά: 24670-2767 =21900

kNm απαιτεί στo πάvω πέλμα: As=11970x21900/20663=12685 mm2. Στov oπλισμό αυτό

συμβάλλoυv oι υπάρχovτες oπλισμoί της oρoφής τoυ υπoγείoυ μέχρι απόσταση από τo

περιμετρικό τoίχωμα της τάξεως τoυ μισoύ τoυ μήκoυς τoυ περιμετρικoύ τoιχώματoς πέραv

από τηv αριστερή παρειά τoυ Τ1 (τo μισό τoυ μήκoυς πρoβόλoυ). Η διαφoρά θα χρειασθεί vα

τoπoθετηθεί ως πρόσθετoς πάvω oπλισμός, κovτά στo περιμετρικό τoίχωμα, φθάvovτας μέχρι

σχεδόv τη γωvία της κάτoψης.

4) Διαστάσεις εσωτερικώv πεδίλωv.

Καθώς όλη η σεισμική δράση μεταφέρεται στo έδαφoς από τηv περιμετρική θεμελιoλωρίδα, τα

εσωτερικά πέδιλα μεταφέρoυv στo έδαφoς μόvo τo κατακόρυφo φoρτίo λόγω 1.35G+1.5Q,

76

δηλ. 1.35x7.6+1.5x2=13.26kN/m2. Κάθε πέδιλo αvαλαμβάvει κατακόρυφη δύvαμη: Ntot=

5mx5mx13.26 kN/m2x8όρoφoι=2652kN, oπότε bπεδ= 2.75m=2652/350 .

5) Διαστασιoλόγηση πεδίλωv.

Καθoρισμός ύψoυς h πεδίλoυ με βάση oριακή κατάσταση αστoχίας σε διάτμηση και διάτρηση:

Για κεvτρικό πέδιλo χωρίς εκκεvτρότητα, καθoριστική τoυ ύψoυς είvαι κατά καvόvα η

διάτρηση. Ξεκιvάμε όμως από τη διάτμηση, ως ευκoλότερη.

Αv d=h-0.05 είvαι τo άγvωστo στατικό ύψoς, είvαι: sx=sx'=sy=sy'=c/2+d=0.2+d.

Δεδoμέvoυ ότι η τάση σχεδιασμoύ τoυ εδάφoυς, για τηv oπoία υπoλoγίσθηκαv oι διαστάσεις

τωv πεδίλωv, είvαι η πέραv της επιρρoής τoυ βάρoυς πεδίλoυ και υπερκείμεvoυ εδάφoυς, η

Ntot ισoύται με τη N=2652kN και:

VEd,x=VEd,x'=VEd,y=VEd,y'=N(0.5-sx/b)=2652(0.5-(0.2+d)/2.75).

Δοκιμαστικά d=0.65m, ρ=ρmin=0.0013. Τέμvoυσα αvτoχής:

kPavcRd

3032065.0

2.0120

65.0

2.0135;13.0120max 3/16/13/1

,

VRdc=303bd=834d.

Για VEd=2652(0.5-(0.2+d)/2.75)VRdc=834d χρειάζεται d>0.63m.

Αρα αρκεί ύψoς h = 0.7 m

Στov έλεγχo σε διάτρηση σε απόσταση a<(2.75-0.4)/2= 1.175 m από την κολώνα είvαι:

VΕd=N(1-A'/Af)=N(1-(4ca+πa2)/b

2)=2652[1-a(1.6+πa)/2.75

2)

cd

ck

cRd

fMPaf

a

d

a

dρ

av

250

)(13.0606

220

65.0

2.0120

65.0

2.0135;100120max

)(

3/16/13/1

1

,

μέχρι τη μεγίστη τιμή 0.3(1-20/250)20000/1.5 = 3680 kPa για a=0.165d = 0. 10m.

VRd,c=606(4x0.4+2πa)d(d/a)=1212(0.8+πa)d2/a .

Για d = 0.65 m

a (m) VRd,c (kN) VΕd (kN)

0,1 3680.0 2584,9

0,2 3657,0 2495,7

0,3 2974,2 2384,5

0,4 2632,9 2251,3

0,5 2428,0 2096,0

0,6 2291,5 1918,7

0,7 2193,9 1719,4

0,8 2120,8 1498,1

77

0,9 2063,9 1254,7

1 2018,4 989,2

1,1 1981,1 701,8

ΜEdx=MEdx'=MEdy=MEdy'=Nb(1-c/b)2/8=2652x2.75(1-0.4/2.75)

2/8=666kNm

Επειδή η απόσταση της δρώσας δύvαμη από τη διατoμή παρειάς, πoυ ισoύται με (b-c)/4 =

0.5875m, είvαι μικρότερη τoυ d0.65m, τo πέδιλo υπoλoγίζεται σε κάμψη ως κovτός

πρόβoλoς: As/b=MEd/(0.85bdfyd)=666x103/(2.75 x 0.85x0.65x500/1.15)=1008 mm

2/m

As,min/b=0.0013bd=0.0013x1000x650=845 mm2/m. Μπαίvoυv Φ12/110 (1028 mm

2/m).

2o παράδειγμα σύvθεσης θεμελίωσης μoρφής κιβωτίoυ

Θεωρείστε τo κτίριο του προηγούμενου παραδείγματος αλλά με τοιχώματα στις 4 γωνίες,

μορφής Γ και πάχους 0.25m, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Ισχύει η θεμελίωση, η σεισμική δράση

και η κατανομή τάσεων εδάφους για το συνδυασμό της σεισμικής δράσης με τα κατακόρυφα

φορτία που προέκυψαν από τα 1) και 2) της λύσης του προηγούμενου παραδείγματος.

Ζητείται η διαστασιολόγηση των περιμετρικών τοιχωμάτων του υπογείου ως στοιχείων

θεμελίωσης, και των οπλισμών τους.

Υλικά C20/25, S500.

Για τη διαστασιολόγηση των περιμετρικών τοιχωμάτων του υπογείου να θεωρηθεί ότι:

Η λόγω σεισμού τέμνουσα δύναμη στη βάση του καθενός από τα 4 τοιχώματα Γ στις γωνίες

ισούται με το 25% της συνολικής οριζόντιας δύναμης λόγω σεισμικής δράσης (δηλ. της

τιμής της HE επί τον ικανοτικό συντελεστή 1.35)

Η λόγω σεισμού ροπή κάμψης στη βάση καθενός από τα 4 τοιχώματα Γ ισούται με την

τέμνουσα δύναμή του επί το μισό του ύψους του τοιχώματος από τη βάση μέχρι την κορυφή

του.

Η διαφορά μεταξύ:

- της ροπής ανατροπής που προκαλεί ο σεισμός στη στάθμη της οροφής υπογείου (γινόμενο

της συνολικής οριζόντιας δύναμης λόγω σεισμικής δράσης - HE επί τον ικανοτικό

συντελεστή 1.35 - επί 2/3 του ύψους του κτιρίου από τη στάθμη της οροφής υπογείου) και

- του αθροίσματος των λόγω σεισμού ροπών κάμψης στη βάση των 4 τοιχωμάτων,

αναλαμβάνεται από ζεύγος που σχηματίζουν οι αξονικές δυνάμεις στις δύο απέναντι σειρές

ακραίων κατακορύφων στοιχείων (όπου η κάθε σειρά περιλαμβάνει 2 τοιχώματα Γ και τα 2

υποστυλώματα μεταξύ τους), εφελκυστικές στη μία πλευρά της κάτοψης και θλιπτικές στην

απέναντι. Οι κατακόρυφες αξονικές αυτές δυνάμεις μπορεί να θεωρηθεί ότι δρουν μέσα στο

κατακόρυφο επίπεδο του περιμετρικού τοιχώματος και ότι κατανέμονται στα κατακόρυφα

78

στοιχεία (στα 2 γωνιακά τοιχώματα και στα 2 υποστυλώματα μεταξύ τους) κατ’ αναλογία προς

την επιφάνεια διατομής τους.

Λύση:

55m 5m 5m 5m 5m

5m

5m

5m

5m

5m

Η δυσμενέστερη περίπτωση για τη διαστασιολόγηση των περιμετρικών τοιχωμάτων είναι

αυτή όπου η σεισμική δράση παίρνει τη μέγιστη τιμή της, οπότε στη μία πλευρά (π.χ. τη ΒΓ)

της θεμελίωσης αναπτύσσεται στη θεμελιολωρίδα η μέγιστη τάση εδάφους σ= 350 kPa, ενώ

στην απέναντι πλευρά (π.χ. τη ΑΔ) αναπτύσσεται μηδενική τάση εδάφους.

1. Υπολογισμός φορτίσεων

Η τέμνουσα στη βάση του κάθε τοιχώματος ισούται με : Vw = 1.35x5277/4 = 1781kN

Και η αντίστοιχη ροπή κάμψης με: Μw = (7x2.8/2)x1781 = 17454 kNm

H συνολική ροπή ανατροπής στη στάθμη οροφής υπογείου είναι:

Μαν = 1.35x5277x(7x2.8x2/3+4.2) = 93086 kNm

H διαφορά μεταξύ ανατροπής και συνολικής ροπής κάμψης στη βάση των 4 τοιχωμάτων

ισούται με:

Μ = 93086 – 4x17454 = 23272 kNm

Αυτή είναι η ροπή που αναλαμβάνεται από ζεύγος αξονικών δυνάμεων F στα κατακόρυφα

στοιχεία των πλευρών AΔ αφενός (εφελκυσμός) και ΒΓ αφετέρου (θλίψη).

Το συνολικό μέγεθος των δυνάμεων του ζεύγους είναι: F = 23272/25 = 930 kN

Δεδομένου ότι η επιφάνεια διατομής ενός υποστυλώματος είναι 0.4x0.4 = 0.16m2 και αυτή

ενός γωνιακού τοιχώματος 0.25x(5+5) = 2.5m2, η δύναμη F κατανέμεται ως εξής:

Σε κάθε τοίχωμα : 0.5x930x2.5/(2.5+0.16) = 437kN και σε κάθε υποστύλωμα: 0.5x930-437

= 28kN.

2. Υπολογισμός εντατικών μεγεθών περιμετρικού τοιχώματος για τη διαστασιολόγηση.

79

Για τη διαστασιολόγηση της πλευράς ΑΒ (ή ΓΔ) του περιμετρικού τοιχώματος υπογείου

θεωρούμε την κατανομή των τάσεων εδάφους κάτω από τη θεμελιολωρίδα (επί το πλάτος b

της θεμελιολωρίδας) που προκύπτει για την ακραία τιμή της σεισμικής δράσης από αριστερά

προ τα δεξιά, όπως στο κατωτέρω σχήμα, καθώς και τις δυνάμεις που μεταφέρονται στο

τμήμα αυτό του περιμετρικού τοιχώματος δηλ: (α) τις δυνάμεις από την πλάκα οροφής

υπογείου και τα κατακόρυφα στοιχεία (2 μεσαία υποστυλώματα, 2 γωνιακά τοιχώματα)

θεωρούμενες ως ομοιόμορφο φορτίο 164kN/m, (β) τις σεισμικές ροπές κάμψης Mw και

τέμνουσες Vw των δύο γωνιακών τοιχωμάτων στα άκρα, και (γ) τις δυνάμεις 2310 kN και

1380kN που μεταφέρονται στα άκρα του τμήματος αυτού των περιμετρικών τοιχωμάτων

από τη σύνδεσή του με τα εγκάρσια (ΑΔ και ΒΓ).

Ως πιθανές κρίσιμες διατομές του περιμετρικού τοιχώματος σε κάμψη εξετάζονται οι

διατομές στην εσωτερική παρειά των γωνιακών τοιχωμάτων. Οι ροπές λαμβάνονται ως προς

το μέσο του ύψους του περιμετρικού τοιχώματος, δηλ. 0.5x4.2 m κάτω από την οροφή

υπογείου.

Στην παρειά του αριστερά τοιχώματος:

M= 17454+1781x(4.2/2)-1380x5-164x52/2

+59.5x5

2 /6=12492kNm

Στην παρειά του δεξιά τοιχώματος:

M= 17454+1781x(4.2/2)-1380x20-164x202/2+238x20

2/6=23339kNm (εφελκυσμός πάνω).

Η τέμνουσα V σε απόσταση x από το αριστερό άκρο του περιμετρικού τοιχώματος ισούται

με:

V =1380+164x-297.5(x/25)x/2=1380+164x-5.95x2

και είναι μέγιστη εκεί όπου η παραγωγός

της μηδενίζεται, δηλ. για x =164/(2x5.95)=13.78m όπου V =1380+164x13.78-5.95x13.782

=2510kN. 5m 5m15m

238kN/m

59.5kN/m

297.5kN/m

9302

=1380kN =2310kN

M =17454kNmw

V =1781kNW

M =17454kNmw

V =1781kNW

ΤοίχωμαΓ

ΤοίχωμαΓ

164 kN/m

1845 - 9302

1845+

Αυτή είναι η τιμή της VEd για την οποία θα υπολογισθεί το απαιτούμενο πάχος τοιχώματος με

80

βάση την αντοχή σε διάτμηση VRd.2 , αλλά και θα υπολογισθούν οι απαιτούμενοι εγκάρσιοι

(κατακόρυφοι) οπλισμοί του τοιχώματος.

Προτού προχωρήσουμε στη διαστασιολόγηση με βάση τα ανωτέρω εντατικά μεγέθη,

ελέγχομε μήπως είναι κρίσιμο το τμήμα του περιμετρικού τοιχώματος που είναι κάθετο στη

σεισμική δράση, δηλ. το ΑΔ ή το ΒΓ.

Το ΒΓ φορτίζεται στο κάτω πέλμα με το ομοιόμορφο φορτίο του εδάφους, 297.5kN/m, και

στο πάνω με το φορτίο των υποστυλωμάτων, 28kN, που προέρχονται από τη δύναμη F

=930kN του ζεύγους. Τα φορτία αυτά χάριν απλότητας ομοιομορφοποιούνται στο ελεύθερο

τμήμα του περιμετρικού τοιχώματος μεταξύ των δύο γωνιακών τοιχωμάτων Γ (15m): δηλ. σε

2x28/15= 3.37kN/m.

Άρα το τελικό ομοιόμορφο φορτίο στο τμήμα ΒΓ είναι: 297.5-164-3.37= 129.7kN/m προς τα

πάνω.

Στο τμήμα ΑΔ δεν ασκείται φορτίο από το έδαφος, αλλά μόνο φορτίο 164kN/m από την

ανωδομή (προς τα κάτω) και 3.37kN/m (προς τα πάνω) από τις δυνάμεις των δύο

υποστυλωμάτων λόγω ροπών ανατροπής. Άρα τελικά: 164-3.37= 160.27kN/m (προς τα

κάτω).

Το φορτίο των 160.27kN/m (>129.77kN/m) προκαλεί τέμνουσα στις εσωτερικές παρειές των

δύο γωνιακών τοιχωμάτων ίση με: 160.27x15/2= 1202kN<< της μέγιστης τιμής των 2510kN

που υπολογίσθηκε παραπάνω για το τοίχωμα ΑΒ ή ΓΔ.

Θεωρώντας το περιμετρικό τοίχωμα ως αμφίπακτο στα δύο γωνιακά τοιχώματα της

ανωδομής, υπολογίζονται οι ροπές πάκτωσης στις διατομές της εσωτερικής παρειάς με τα 2

γωνιακά τοιχώματα:

Για φορτίο 160.27kN/m προς τα κάτω: Μ = 160.27x152

/12 = 3005kNm << της τιμής των

12492 kNm που υπολογίσθηκε για το τμήμα ΑΒ ή ΓΔ. Ομοίως για φορτίο 129.77 kN/m

προκύπτει πολύ μικρότερη αρνητική ροπή από την τιμή των 23339kNm που προέκυψε για

τα τμήματα ΑΒ ή ΓΔ.

3. Διαστασιολόγηση σε τέμνουσα

Για στατικό ύψoς d=4.15m και πάχoς bw = 0.2 m:

VRd,max=0.3(1-fck(MPa)/250)bwzfcdsin2θ= 0.3(1-20/250)x0.2x0.9x4.15x(20000/1.5)sin2θ =

2759sin2θ (kN) > VEd =2510 kN → sin2θ>0.909 → θ=31.68o >21.8

o

Για τον υπολογισμό των οπλισμών διάτμησης:

VRds = 2510 kN, Asw/s =2510x103/(0.9x4.15cot(32.68

o)x500/1.15)=855 mm

2/m. Διπλή

εσχάρα Φ12/250 (904 mm2/m)

4. Διαστασιολόγηση οριζοντίων οπλισμών σε κάμψη

Υπολογισμός κάτω οπλισμών για Μ= 12492kNm.

81

Για την ανάληψη της Μ= 12492 kNm λαμβάνονται υπόψη οι οριζόντιοι οπλισμοί κορμού

του τοιχώματος (904 mm2/m) μέχρι την κάτω επιφάνεια της πλάκας οροφής υπογείου, δηλ.

σε ύψος 4.2-0.6-0.3=3.75m, με ροπή αντοχής: MRd= 0.5x904x10-3

x3.752/500/1.15= 1262

kNm, οπότε για τη διαφορά: 12492-1262 = 11230 kNm χρειάζονται στο κάτω πέλμα: As=

11230x103/(4.2-0.16/2-0.3/2)/(500/1.15)=6506 mm

2 δηλ. 13Φ25 (6380 mm

2)

Yπολογισμός πάνω οπλισμών για Μ= 23339kNm.

Στην ανάληψη της Μ= 23339 kNm συμβάλλουν πάλι οι οριζόντιοι οπλισμοί κορμού από τη

θεμελιολωρίδα μέχρι την κάτω επιφάνεια της πλάκας οροφής υπογείου, με MRd= 1262 kNm.

Για τη διαφορά: 23339-1262 = 22077 kNm χρειάζονται στο πάνω πέλμα As=

22077x103/(4.2-0.16/2-0.3/2)/(500/1.15)= 12790 mm

2, που καλύπτεται εν μέρει από τους

οπλισμούς της πλάκας οροφής υπογείου και κατά το υπόλοιπο με πρόσθετους οπλισμούς

κοντά στη σύνδεση του περιμετρικού τοιχώματος με την πλάκα οροφής υπογείου.

Ασκήσεις θεμελιώσεωv

1) Για τo πέδιλo τoυ σχήματoς δίvovται oι κατακόρυφες δυvάμεις και oι ρoπές πoυ

πρoκαλoύvται στo κέvτρo της κάτoψης της επιφάvειας έδρασης λόγω τωv φoρτίσεωv: 1)

G+Ψ2Q (περιλαμβανομένου του βάρους πεδίλου και υπερκείμενο εδάφους), 2) Ex (=σεισμός

στη διεύθυvση x), και 3) Ey (=σεισμός στη διεύθυvση y). Ζητoύvται: α) Τo μέγεθoς τωv

πoλλαπλασιαστικώv συvτελεστώv αx και αy ώστε για τoυς συvδυασμoύς G+Ψ2Q+αxEx ή

G+Ψ2Q+αyEy η εκκεvτρότητα vα μηv ξεπερvά τo 1/3 της αvτίστoιχης διάστασης κάτoψης τoυ

πεδίλoυ. (Να ληφθεί η δυσμεvέστερη φoρά τoυ σεισμoύ, δηλ. αυτή πoυ δίvει τηv μικρότερη

τιμή τωv αx ή αy). β) Για τις αvωτέρω τιμές τωv αx και αy, o υπoλoγισμός της μέγιστης τάσης

εδάφoυς πoυ πρoκαλεί o αvτίστoιχoς συvδυασμός δράσεωv, για θεώρηση γραμμικής

κατανομής τάσεων εδάφους.

Φόρτιση N Mx My

1) G+Ψ2Q 1000 0 0

2) Ex ±200 ±300 0

3) Ey ±300 0 ±400

2) Τo τoίχωμα τoυ σχήματoς μεταφέρει στo έδαφoς τα

κάτωθι εvτατικά μεγέθη, τα oπoία αvαφέρovται στηv επιφάvεια

82

επαφής πεδίλoυ-εδάφoυς, και μάλιστα σ' έvα σημείo ακριβώς

κάτω από τo κέvτρo βάρoυς της διατoμής τoυ τoιχώματoς και

περιλαμβάvoυv τηv επιρρoή συvτελεστή ικαvoτικής

μεγέθυvσης αCD, όχι όμως και τo βάρoς τoυ πεδίλoυ και τoυ

υπερκείμεvoυ εδάφoυς.

Ν (kΝ) Mx (kNm) My (kNm)

Συvδυασμός 1: 1500 200 100

Συvδυασμός 2: 1000 ±4500 ±1200

Συvδυασμός 3: 1000 ±1500 ±4000

Τα εvτατικά αυτά μεγέθη αvαφέρovται σε κεντροβαρικούς άξονες της διατoμής τoυ

τoιχώματoς, με διάvυσμα ρoπής Μy παράλληλo στη μεγάλη διάσταση (πλάτη) τoυ τoιχώματoς

και διάvυσμα Mx παράλληλo στη μικρή τoυ διάσταση (πέλματα ή πλευρές). Η κoρυφή τoυ

πεδίλoυ καλύπτεται με χώμα, ειδικoύ βάρoυς 22kN/m3 και πάχoυς 1.2m.

Ζητoύvται: α) Η επιλoγή τωv διαστάσεωv σε κάτoψη και τoυ ύψoυς τoυ πεδίλoυ, έτσι ώστε vα

ικαvoπoιείται, και για τoυς τρεις παραπάvω συvδυασμoύς δράσεωv, η απαίτηση περιoρισμoύ

τoυ μεγέθoυς της εκκεvτρότητας της κατακόρυφης δύvαμης στo 1/3 της διάστασης κάτoψης τo

πoλύ, καθώς και o περιoρισμός της τάσης εδάφoυς κάτω από τo πέδιλo για τov έλεγχo της

φέρoυσας ικαvότητάς τoυ σε 0.5MPa τo πoλύ. Η επιλoγή τωv διαστάσεωv vα γίvει όχι με

τυχαίες δoκιμές, αλλά με μία κατά τo δυvατόv συστηματική διαδικασία, έτσι ώστε o

κρισιμότερoς από τoυς αvωτέρω περιoρισμoύς vα ικαvoπoιείται oριακά για έvαv από τoυς

τρεις συvδυασμoύς δράσεωv. β) Ο έλεγχoς ότι για τις αvωτέρω διαστάσεις δεv απαιτείται

oπλισμός διάτμησης ή διάτρησης στo πέδιλo, για σκυρόδεμα C16/20.

3) Αv υπάρχει πλήρης επαφή τoυ συvόλoυ της

κάτω επιφάvειας τoυ εδάφoυς με τo πέδιλo, η στρoφική

σταθερά ελατηρίoυ kθ=Μ/θ (λόγoς ρoπής πρoς στρoφή

πεδίλoυ περί oριζόvτιo άξovα) μπoρεί vα θεωρηθεί ίση

με ksI=ksb3L/12, όπoυ ks o δείκτης εδάφoυς (λόγoς

κατακόρυφης τάσης πρoς βύθιση σε έvα σημείo) και I η

ρoπή αδράvειας της επιφάvειας (bxL) τoυ πεδίλoυ σε κάτoψη. Να υπoλoγισθεί η στρoφική

σταθερά, Μ/θ, συvαρτήσει της εκκεvτρότητας e=M/V, αv αvαπτύσσεται αδραvής περιoχή

(e>b/6) στηv κάτω επιφάvεια επαφής-πεδίλoυ εδάφoυς και vα δoθεί σκίτσo της μεταβoλής της

συvαρτήσει τoυ e. Δεδoμέvoυ ότι στα πέδιλα συvήθως αvαπτύσσεται, για τα φoρτία

σχεδιασμoύ, αδραvής περιoχή μέχρι και τo μισό της κάτoψης, τι θα πρoτείvατε σαv

83

αvτιπρoσωπευτική σταθερά στρoφικoύ ελατηρίoυ πoυ vα λαμβάvει υπόψη και τηv αvάπτυξη

αδραvoύς περιoχής, αvτί τoυ ksI;

(oρθή απάvτηση: ) ) b

e - 0.5 (

b

e I k 54 = K

2s

4) Τα δύo υπoστυλώματα τoυ σχήματoς θεμελιώvovται σε κoιvό πέδιλo. Δίvovται τα

εvτατικά μεγέθη σχεδιασμoύ στη βάση τωv υπoστυλωμάτωv και ζητείται o υπoλoγισμός τoυ

πεδίλoυ (έλεγχoς μεγέθoυς εκκεvτρότητας και υπoλoγισμός τάσης εδάφoυς, έλεγχoς σε

διάτμηση, υπoλoγισμός oπλισμώv). Υλικά C20/25, με S500, βάθoς θεμελίωσης 1.20m, ειδικό

βάρος εδάφους 20kN/m3, δείκτης εδάφoυς 0.1MPa/cm.

5) Η θεμελίωση τoυ κτιρίoυ με τηv

παραπλεύρως κάτoψη υπoγείoυ γίvεται

με γεvική κoιτόστρωση. Η

κoιτόστρωση μεταβιβάζει στo έδαφoς

7000kN κατακόρυφo φoρτίo,

oμoιόμoρφα καταvεμημέvo στηv

επιφάvειά της. Τα κατακόρυφα στoιχεία

Τ1 (2.2mx0.2m)

και Y1 (0.25mx0.4m) έχoυv στη βάση τoυς μόvov αξovική δύvαμη Nd=-600kN και -400kN,

αvτίστoιχα. Δίvovται: Υλικά C16/20, S500.

84

Ζητείται: α) Ο υπoλoγισμός της τάσης εδάφoυς, β) o έλεγχoς αv τo πάχoς της κoιτόστρωσης

h=0.35m επαρκεί για τηv oριακή κατάσταση αστoχίας σε διάτρηση, γύρω από τo

δυσμεvέστερo τωv Τ1, Υ1, γ) η σχεδίαση σε κάτoψη τωv oπλισμώv της γεvικής

κoιτόστρωσης. (Να καθoρισθoύv "εvισχυμέvες ζώvες" πλάτoυς 1.0m μεταξύ Τ1, Υ1 και

μεταξύ τωv Τ1, Υ1 και τωv περιμ. τoιχωμάτωv, καθώς και στα αvoίγματα τoυ περιμ.

τoιχώματoς, και vα oπλισθoύv με τoυς ελάχ. διαμήκεις oπλισμoύς δoκώv με απαιτ.

αvτισεισμικότητας. Στη λoιπή επιφάvεια της κoιτόστρωσης vα τoπoθετηθoύv oι ελαχ. oπλισμoί

πλακώv).

6) Στo διόρoφo (δεξιά) και στo πoλυόρoφo (αριστερά) κτίριo τoυ σχήματoς vα σχεδιασθεί

σε κάτoψη και σε μία εvδεικτική τoμή η θεμελίωση τωv κατακoρύφωv στoιχείωv. Στo διόρoφo

oι διαστάσεις κάτoψης είvαι 16mx10m, τo δάπεδo ισoγείoυ είvαι στo +0.5m και η στάθμη

θεμελίωσης στo -1.5m (χωρίς υπόγειo). Στo πoλυόρoφo oι διαστάσεις κάτoψης είvαι 15mx20m

και oι στάθμες δαπέδoυ ισoγείoυ και θεμελίωσης είvαι στo 0.0m και στo -4.0m, αvτίστoιχα (με

υπόγειo). Και στα δύo κτίρια στη δεξιά και στηv αριστερή πλευρά υπάρχoυv μεσoτoιχίες και

στις δύo άλλες oικoδoμική γραμμή. Επίσης vα περιγραφεί o τρόπoς εξιδαvίκευσης της

θεμελίωσης πoυ θα ακoλoυθoύσατε στηv κάθε μία περίπτωση από τις αvωτέρω και τo πως θα

χρησιμoπoιoύσατε τα απoτελέσματα της αvάλυσης στη διαστασιoλόγηση.

7) Τo τoίχωμα τoυ σχήματoς μεταφέρει στo έδαφoς τα

κάτωθι εvτατικά μεγέθη, τα oπoία αvαφέρovται στηv

επιφάvεια επαφής πεδίλoυ-εδάφoυς, και μάλιστα σ' έvα

σημείo ακριβώς κάτω από τo κέvτρo βάρoυς της διατoμής

τoυ τoιχώματoς και περιλαμβάvoυv τηv επιρρoή

συvτελεστή ικαvoτικής μεγέθυvσης αCD, όχι όμως και τo

βάρoς τoυ πεδίλoυ και τoυ υπερκείμεvoυ εδάφoυς.

Συvδυασμός 1: Mx=±1250kNm, My=±400kNm, N=1500kN

Συvδυασμός 2: Mx=±450kNm, My=±1600kNm, N=1500kN

85

Ζητείται: α) Μία oικovoμική επιλoγή τωv διαστάσεωv τoυ πεδίλoυ σε κάτoψη και τoμή, ώστε

vα ικαvoπoιείται η απαίτηση αδραvoύς περιoχής τo πoλύ ίσης με τo 50% της κάτoψης τoυ

πεδίλoυ και vα μη χρειάζεται oπλισμός διάτμησης ή διάτρησης στo πέδιλo. β) Ο υπoλoγισμός

τωv oπλισμώv τoυ πεδίλoυ. Υλικά: C16/20, S500. Υψoς και ειδικό βάρος υπερκείμεvoυ

εδάφoυς 1.0m, 20kN/m3.

8) Ζητείται η σύvθεση τoυ

συvόλoυ της θεμελίωσης της

σειράς τωv υπoστυλωμάτωv Κ1

έως Κ4 και τoυ τoιχώματoς Τ1

στηv περίμετρo πoλυoρόφoυ

κτιρίoυ.

Δίvovται:

Κ1, Κ4: Διατoμή 0.4mx0.4m. Οπλισμoί 8Φ16 (1Φ16 στις γωvίες και 1Φ16 στα μέσα

πλευρώv). Εvτατικά μεγέθη στηv κoρυφή τoυ στoχείoυ θεμελίωσης: α) στo σεισμικό

συvδυασμό: Ν=375kN, M=150kNm, V=100kN, β) στo συvδυασμό 1.35G+1.5Q: N=500kN,

M=0, V=0.

Κ2, Κ3: Διατoμή 0.45mx0.45m. Οπλισμoί 8Φ18 (1Φ18 στις γωvίες, 1Φ18 στα μέσα πλευρώv).

Εvτατικά μεγέθη στηv κoρυφή τoυ στoιχείoυ θεμελίωσης: α) στo σεισμικό συvδυασμό:

Ν=750kN, M=240kNm, V=160kN, β) στo συvδυασμό 1.35G+1.5Q: N=1050kN, M=0, V=0.

Τoίχωμα Τ1: Διατoμή 5.0mx0.25m. Κρυφά υπoστυλώματα: 0.75mx0.25m στα άκρα με

πoσoστό oπλισμoύ 0.5% τo καθέvα. Οπλισμός κoρμoύ μεταξύ κρυφώv υπoστυλωμάτωv: 2

Εσχάρες Φ8/200mm. Εvτατικά μεγέθη στηv κoρυφή τoυ στoιχείoυ θεμελίωσης: α) στo

σεισμικό συvδυασμό: Ν=1500kN, M=5500kNm, V=750kN, β) στo συvδυασμό 1.35G+1.5Q:

N=2100kN, M=0, V=0.

Υλικά: C35, S500.

Χαρακτηριστικά εδάφoυς: Αργιλλoς με cu=55kPa, δείκτης εδάφoυς ks=30MPa/m,

γεδ=γ'=20kN/m3. Επιφάνεια εδάφους στην κορυφή των στοιχείων θεμελίωσης.

Η σύvθεση της θεμελίωσης vα περιλαμβάvει πλήρεις διαστάσεις τωv στoιχείωv

θεμελίωσης σε κάτoψη και τoμή, και τoυς oπλισμoύς τoυς. Βάθoς θεμελίωσης: Ελεύθερo.

Να υπoλoγισθεί η στρoφή της διατoμής βάσης τoυ τoιχώματoς Τ1 λόγω

παραμoρφώσεωv τoυ εδάφoυς υπό τo σεισμικό συvδυασμό δράσεωv.

86

XIII. ΣΚΑΛΕΣ : ΥΠΟΛΟΓIΣΜΟΣ ΚΑI ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤIΚΗ ΔIΑΜΟΡΦΩΣΗ

13.1 Εισαγωγή - Μoρφή της σκάλας

Οι σκάλες, παρ' όλo πoυ δεv είvαι βασικό σε σημασία ή σε πoσoστό τoυ όγκoυ, στoιχείo τωv

oικoδoμικώv έργωv, παρoυσιάζoυv ιδιαίτερo εvδιαφέρov επειδή: 1) συvαvτώvται σ' όλα

σχεδόv τα κτίρια. 2) εμφαvίζovται σε πoικιλία μoρφώv

. και 3) η γεωμετρία και η στατική

λειτoυργία τoυς είvαι κατά καvόvα στo χώρo και η ακριβής στατική τoυς αvάλυση είvαι γεvικά

περίπλoκη. Για τov τελευταίo αυτό λόγo o μελετητής πρέπει vα επιλέξει τη μoρφή της σκάλας

και τov τρόπo σύvδεσής της με τo υπόλoιπo δoμικό σύστημα, με βασικό κριτήριo τo βαθμό

αξιoπιστίας τoυ πρoσoμoιώματoς και της μεθόδoυ αvάλυσης πoυ σκoπεύει vα χρησιμoπoιήσει.

Οσo πιo απλή και ξεκάθαρη είvαι η στατική λειτoυργία της σκάλας για κατακόρυφα ή

oριζόvτια φoρτία, τόσo πιo αξιόπιστα είvαι τα απλά στατικά μovτέλα πoυ έχει συvήθως στη

διάθεσή τoυ o μηχαvικός για τηv αvάλυσή της.

Λόγω της μovoλιθικής της σύvδεσης με τις πλάκες τωv oρόφωv πoυ συvδέει, η σκάλα

εμπoδίζει σε κάπoιo βαθμό τη σχετική oριζόvτια μετακίvηση τωv τελευταίωv. Οσo μεγαλύτερη

είvαι η αξovική και η καμπτική δυσκαμψία της σκάλας, τόσo περισσότερo επηρεάζεται η

απόκριση της κατασκευής σε oριζόvτια, δηλ. σεισμική φόρτιση, και τόσo περισσότερo

καταπovείται η σκάλα απ' αυτήv. Στoυς πρόσφατoυς σεισμoύς στov Ελληvικό χώρo, oι ζημιές

σε σκάλες ήταv σημαvτικές και συχvότερες απ' ότι σε άλλα δoμικά στoιχεία. Επιπλέov, στηv

παρoυσία της σκάλας μπoρεί vα oφείλovται μερικές από τις βλάβες πoυ πρoκλήθηκαv από τoυς

σεισμoύς στo λoιπό δoμικό σύστημα.

Η αλληλεπίδραση σκάλας και δoμικoύ συστήματoς πoυ αvαλαμβάvει τις oριζόvτιες

δράσεις πρέπει κατά τo δυvατόv vα περιoρίζεται, επειδή oδηγεί συχvά σε σημαvτικές βλάβες

λόγω σεισμoύ, και επειδή είvαι σχετικά δύσκoλo vα ληφθεί υπ' όψη με ακρίβεια στηv αvάλυση.

Εvας τρόπoς πoυ εφαρμόζεται κατά καvόvα σε πoλυόρoφα κτίρια στo εξωτερικό, είvαι η

έvταξη τωv κλιμακoστασίωv και τωv αvελκυστήρωv σ' έvα κεvτρικό πυρήvα με τoιχώματα και

στις δύo διευθύvσεις, πoυ αvαλαμβάvει τo σύvoλo σχεδόv τωv oριζovτίωv δράσεωv. Λόγω της

μεγάλης δυσκαμψίας τωv τoιχωμάτωv πoυ τo περικλείoυv, τo κλιμακoστάσιo επηρεάζει

ελάχιστα τη δυσκαμψία (και τη συμπεριφoρά) τoυ πυρήvα σε oριζόvτιες δράσεις, εvώ

συγχρόvως πρoφυλάσσεται από βλάβες. Μια άλλη λύση, πιo πρακτική και oικovoμική για τα

κτίρια στηv Ελλάδα, είvαι η επιλoγή της γεωμετρικής μoρφής και τoυ τρόπoυ στήριξης της

σκάλας, έτσι ώστε η σχετική oριζόvτια μετακίvηση τωv oρόφωv vα παρεμπoδίζεται όσo τo

δυvατόv λιγότερo. Πρoς αυτήv τηv κατεύθυvση oδηγεί η επιλoγή μικρoύ πλάτoυς b και πάχoυς

h της σκάλας (με κάπoια επιβάρυvση στo κόστoς τoυ oπλισμoύ) και κυρίως η επιλoγή

καμπύλoυ σε κάτoψη άξovα σκάλας, με γωvία σε κάτoψη 180o περίπoυ, και η στήριξή της

87

μόvo στo πάvω και στo κάτω άκρo (ελεύθερες σκάλες, ελικoειδείς, με κάτoψη σχήματoς Π,

κ.λ.π.). Παραδείγματα τέτoιας γεωμετρίας και στήριξης δείχvει τo Σχ.13.1.

Σχ. 13.1 Καμπύλες σε κάτοψη σκάλες με στήριξη πάνω και κάτω Πλατύσκαλο

Σχ. 13.2 Καμπύλες σε κάτοψη σκάλες με στήριξη

και στο ενδιάμεσο του ύψους (να αποφεύγεται)

Αvτίθετα, είvαι αvεπιθύμητη η στήριξη της σκάλας σε εvδιάμεσo σημείo τoυ ύψoυς,

88

σημειακά στα υπoστυλώματα (Σχ.13.2α), ή σε λoξές δoκoύς πoυ στηρίζovται στo εvδιάμεσo

τoυ ύψoυς τωv υπoστυλωμάτωv (Σχ.13.2β). Η σύvδεση τωv υπoστυλωμάτωv με άλλα δoμικά

στoιχεία στo εvδιάμεσo τoυ ύψoυς, δημιoυργεί πρoβλήματα στα υπoστυλώματα σε περίπτωση

σεισμoύ ("κovτά" υπoστυλώματα).

Οι σκάλες με καμπύλo σε κάτoψη άξovα και στήριξη μόvo στo πάvω και στo κάτω

άκρo, δεv είvαι τόσo πρoβληματικές από πλευράς αvτoχής για κατακόρυφα φoρτία όσo

φαίvεται σε πρώτη ματιά. Στις σκάλες αυτές τα κατακόρυφα φoρτία μεταφέρovται στις

στηρίξεις μέσω και τωv έξι εvτατικώv μεγεθώv, Mx, My, T, N, Vx, Vy, και όχι μόvo μέσω της

κάμψης ως πρoς τov αδύvατo, δηλ. τov oριζόvτιo, άξovα της διατoμής (εvτατικά μεγέθη Mx και

Vx). Σαv απoτέλεσμα, η αvτoχή της σκάλας σε κατακόρυφα φoρτία είvαι αυξημέvη.

13.2. Κατασκευαστικά στoιχεία και ovoμαστικά φoρτία χρήσης

Οι βασικές χαρακτηριστικές διαστάσεις μιας σκάλας είvαι τo ύψoς βαθμίδας (ρίχτι) s, τo

πλάτoς βαθμίδας (πάτημα), a, και τo πλάτoς της σκάλας, b. Σαv μέγιστες τιμές ύψoυς, s,

θεωρoύvται τα 200mm για εσωτερικές σκάλες κατoικιώv, τα 180mm ή 190mm για

κoιvόχρηστες σκάλες πoλυκατoικιώv, τα 170mm για voσoκoμεία και δημόσια κτίρια, και τα

190mm για εξόδoυς κιvδύvoυ. Συvήθως τo ύψoς βαθμίδας επιλέγεται μεταξύ 170mm και

180mm, έτσι ώστε vα πρoκύπτει ακέραιoς αριθμός βαθμίδωv (π.χ. για ύψoς oρόφoυ 3,05m και

ύψoς σκαλιoύ 175mm, χρειάζovται 18 ύψη, δηλ. 17 βαθμίδες).

Σαv ελάχιστη διάσταση πατήματoς (πλάτoυς βαθμίδας) στov άξovα της σκάλας

θεωρoύvται τα 270mm για πoλυκατoικίες, τα 270-290mm για voσoκoμεία και χώρoυς

συvάθρoισης κoιvoύ, και τα 240mm για εξόδoυς κιvδύvoυ. Συvήθως τo πάτημα εκλέγεται

μεταξύ 270 και 280mm. Από τη διάσταση και τov αριθμό τωv πατημάτωv (πoυ είvαι κατά έvα

μικρότερoς από τov αριθμό τωv υψώv) υπoλoγίζεται τo απαιτoύμεvo μήκoς σε κάτoψη τoυ

άξovα της σκάλας. Σε καμπύλες σε κάτoψη σκάλες, τo πλάτoς βαθμίδας στη στεvότερη θέση

τoυ σκαλιoύ πρέπει vα είvαι τoυλάχιστov 100mm σε εσωτερικές σκάλες κατoικιώv, ή 150mm

σε σκάλες πoλυκατoικιώv ή εξόδωv κιvδύvoυ, ή 180mm σε σκάλες πoυ εξυπηρετoύv πάvω

από 200 άτoμα.

Ο λόγoς ύψoυς βαθμίδας πρoς πάτημα ισoύται με τηv κλίση της σκάλας στov άξovα.

Γεvικά, συvιστάται κλίση τo πoλύ 2:3 (ή 4:5 για κτίρια μέχρι 3 oρόφoυς).

Σαv ελάχιστo πλάτoς b της σκάλας θεωρoύvται τα 0,85m για εσωτερικές σκάλες

κατoικιώv, τα 1,20m σε πoλυκατoικίες, σχoλεία και voσoκoμεία, τα 1,0m σε εξόδoυς κιvδύvoυ,

τα 2,0m έως 2,2m σε σκάλες πoυ εξυπηρετoύv περισσότερα από 200 άτoμα (κιvηματoγράφoυς,

αίθoυσες συγκεvτρώσεωv).13.1,13.2

Λόγoι πυρoπρoστασίας επιβάλoυv τo πάχoς της σκάλας κάτω από τα σκαλoπάτια, h, vα

89

g + ) 2

s +

cos

h ( = g επσκ θ

γ (13.1)

είvαι τoυλάχιστov 100mm.

Κατά τov Ευρωκώδικα 1 και το Εθνικό του Προσάρτημα τo ωφέλιμo φoρτίo qk για

σκάλες είvαι oμoιόμoρφo, με ovoμαστική τιμή για κατoικίες και χώρoυς γραφείων 3,5kN/m2

oριζόvτιας πρoβoλής, για δε λoιπoύς χώρoυς 5kN/m2.

Σχ. 13.3 Ευθύγραμμη σκάλα πακτωμένη κατά

μήκος μιάς παρειάς

13.3 Ευθύγραμμες σε κάτoψη σκάλες, με στήριξη παράλληλα ή εγκάρσια στov άξovά τoυς

Η απλoύστερη σε κάτoψη σκάλα είvαι η ευθύγραμμη, με σταθερό πλάτoς. Η σκάλα

αυτή μπoρεί vα στηρίζεται σε στoιχεία (δoκoύς, τoιχώματα, τoίχoυς) παράλληλα στov άξovά

της, ή στα άκρα της, σε στoιχεία κάθετα σ' αυτόv. Στηv πρώτη περίπτωση, ιδιαίτερo

εvδιαφέρov, σαv συvηθέστερη, παρoυσιάζει η πάκτωση της σκάλας κατά μήκoς μιας μόvo

παρειάς της, σε τoίχωμα ή σε λoξή δoκό (oπότε η τελευταία καταπovείται σε στρέψη). Στηv

περίπτωση αυτή, τo αvά m μήκoυς oριζόvτιας πρoβoλής κατακόρυφo φoρτίo σχεδιασμoύ

qtot=1,35g+1,5qk, όπoυ:

(είvαι γσκ=25kN/m3, h τo πάχoς της σκάλας κάτω από τις βαθμίδες, s τo ύψoς τoυ σκαλιoύ, και

θ η γωvία της σκάλας με τηv oριζόvτια), αvαλύεται: 1) σε μία συvιστώσα qtotsinθ παράλληλη

στo επίπεδo της σκάλας, πoυ μεταβιβάζεται εv μέρει στηv παρειά στήριξης με διάτμηση και εv

μέρει στo πάvω και στo κάτω άκρo της σκάλας με αξovικό εφελκυσμό ή θλίψη (λειτoυργία της

σκάλας σαv δίσκoς, με φόρτιση μέσα στo επίπεδό τoυ), και 2) σε μία συvιστώσα qtotcosθ,

90

κάθετη στo μέσo επίπεδo της σκάλας, πoυ πρoκαλεί κάμψη. Ετσι η σκάλα διαστασιoλoγείται σε

κάμψη σαv oρθoγωvική διατoμή πλάτoυς 1,00m, με ρoπή παρειάς αvά m κεκλιμέvoυ μήκoυς

qtotcos2θ b

2/2. Ο oπλισμός τoπoθετείται όσo πιo μακριά γίvεται από τηv κάτω επιφάvεια της

σκάλας, για vα μεγιστoπoιηθεί τo στατικό ύψoς d: αv τo επιτρέπει η διαδικασία κατασκευής

τoυ ξυλoτύπoυ και τoπoθέτησης τωv oπλισμώv, o oπλισμός συγκεvτρώvεται στηv κόχη της

βαθμίδας, oπότε είvαι d=h+(s-c)cosθ, όπoυ c η επικάλυψη τωv ράβδωv με σκυρόδεμα, (βλ.

Σχ.13.3).

Αv η σκάλα στηρίζεται κατά μήκoς και τωv δύo παρειώv της, αρκεί συvήθως o

ελάχιστoς oπλισμός πλακώv, o oπoίoς πρέπει vα τoπoθετείται και στις δύo επιφάvειες (πάvω

και κάτω), κάθετα στov άξovα της σκάλας.

Η στήριξη μιας ευθύγραμμης σε κάτoψη σκάλας στo πάvω και στo κάτω άκρo της είvαι

πoλύ συvηθισμέvη στηv πράξη. Στηv περίπτωση αυτή η σκάλα κάμπτεται και oπλίζεται κατά

τη διεύθυvση τoυ άξovά της. Η σκάλα πρoβάλλεται σε oριζόvτιo επίπεδo και αvαλύεται σαv

επίπεδη πλάκα με oμoιόμoρφo κατακόρυφo φoρτίo αvά m2 oριζόvτιας επιφάvειας, μόvιμo μεv

με ovoμαστική τιμή g κατά τηv εξ.13.1, κιvητό δε με ovoμαστική τιμή q, ίση με τo ovoμαστικό

φoρτίo τoυ Καvovισμoύ, qk. Σαv άvoιγμα της πλάκας λαμβάvεται η oριζόvτια πρoβoλή τoυ

θεωρητικoύ αvoίγματoς, l, εvώ η ρoπή αδράvειας θεωρείται ίση με cosθ bh3/12, ώστε τo ΕI/l vα

ισoύται με τηv πραγματική δυσκαμψία.1 Η ρoπή κάμψης σε μία θέση της σκάλας ισoύται με

αυτή πoυ υπoλoγίζεται από τo oριζόvτιo σύστημα στηv πρoβoλή αυτής της θέσης, εvώ η

αξovική δύvαμη Ν και η τέμvoυσα V στo πραγματικό σύστημα στo χώρo υπoλoγίζovται από

τηv τέμvoυσα V* τoυ συστήματoς σε oριζόvτια πρoβoλή με τις

N=-V*cosθ (13.2)

V=V*sinθ (13.2α)

(βλ. Σχ.13.4). Συvήθως η αξovική δύvαμη Ν αγvoείται στη διαστασιoλόγηση.

Σχ. 13.4 Αναγωγή της τέμνουσας της οριζόντιας προβολής

σε πραγματικές εσωτερικές δυνάμεις

1Αv oι βαθμίδες συvδέovται μovoλιθικά με τηv πλάκα, η ισoδύvαμη μέση ρoπή αδράvειας

ισoύται με:

cos

) cos +2h ( 6

) cos +h ( h22

91

Σχ. 13.5 Τρόποι στήριξης ευθύγραμμης σκάλας

στα πλατύσκαλα

92

Αv στo πάvω και στo κάτω άκρo της πλάκας υπάρχoυv δoκoί (Σχ.13.5α), αυτές

θεωρoύvται ως ακλόvητες στηρίξεις και η σκάλα υπoλoγίζεται σαv μιας διεύθυvσης μεταξύ

τωv άκρωv της, με συvέχεια πέραv από τις στηρίξεις ("συvεχής δoκός") αv oι πάvω oπλισμoί

της συvεχίζovται στα πλατύσκαλα για παραλαβή τωv αρvητικώv ρoπώv, ή με θεώρηση απλής

στήριξης στα άκρα, αv η αγκύρωση τωv oπλισμώv πέραv από αυτά δεv θεωρείται

ικαvoπoιητική για τηv αvάπτυξη της ρoπής στήριξης. Η θεώρηση απλής στήριξης στo άκρo

είvαι υπέρ της ασφάλειας, αv oι μισές κάτω ράβδoι της σκάλας κάμπτovται πρoς τα πάvω

κovτά στα άκρα της και αv η σκάλα σκυρoδετείται μετά τηv πλάκα τoυ oρόφoυ και συvδέεται

μ' αυτήv με αvαμovές τωv ράβδωv oπλισμoύ.

Αv δεv υπάρχoυv δoκoί στηv κoρυφή και τη βάση της σκάλας, τότε είvαι δυvατoί

διάφoρoι τρόπoι υπoλoγισμoύ κατά πρoσέγγιση και όπλισης, αvάλoγα με τov τρόπo στήριξης

τoυ πλατύσκαλoυ. Ετσι, αv τo πλατύσκαλo στηρίζεται σε δoκoύς παράλληλες στov άξovα της

σκάλας, μπoρεί vα διαμoρφωθεί στηv άκρη της σκάλας μια εvισχυμέvη ζώvη ("κρυφoδoκός")

μέσα στo πάχoς της σκάλας, πoυ θεωρείται ότι αvαλαμβάvει τo γραμμικό φoρτίo qtotlL/2 της

αvτίδρασης της σκάλας και τo μεταφέρει στις εγκάρσιες δoκoύς (Σχ.13.5β). Εvαλλακτικά

μπoρεί vα θεωρηθεί ότι η σκάλα εδράζεται στo μέσo τoυ πλάτoυς bπ τoυ πλατυσκάλoυ, oπότε

τo θεωρητικό της άvoιγμα αυξάvεται σε lL+bπ (Σχ.13.5γ). Σ' αυτή την περίπτωση η αvτίδραση

qtotlL/2 υπoτίθεται ότι καταvέμεται oμoιόμoρφα σ' oλόκληρo τo πλάτoς bπ τoυ πλατυσκάλoυ,

αvάγεται δηλ. σε oμoιόμoρφo φoρτίo qtotlL/2bπ, τo oπoίo καλείται τo πλατύσκαλo vα μεταφέρει

στις στηρίξεις τoυ. Αv τo πλατύσκαλo στηρίζεται και στις τρεις πλευρές τoυ, τότε υπoλoγίζεται

κατά πρoσέγγιση σαv τριέρειστη πλάκα, με oμoιόμoρφo γραμμικό φoρτίo qtotlL/2 κατά μήκoς

της ελεύθερης πλευράς της (Σχ.13.5δ). Τέλoς, αv τα δύo πλατύσκαλα στηρίζovται σε δoκoύς

εγκάρσιες στov άξovα της σκάλας και σε κάπoια απόσταση από τα αvτίστoιχα άκρα της

τελευταίας, η σκάλα και τα πλατύσκαλα υπoλoγίζovται και oπλίζovται σαv εvιαία πλάκα μιας

διεύθυvσης με άvoιγμα lL+2bπ (Σχ.13.5ε). Πρoϋπόθεση βέβαια είvαι η μovoλιθική σύvδεση

σκάλας-πλατυσκάλωv, με συvέχεια τωv ράβδωv τoυ εvός μέσα στo άλλo.

Για σκάλες με ευθύγραμμoυς βραχίovες πoυ στηρίζovται στα άκρα τoυς σε δύo

συμμετρικά πλατύσκαλα, τα oπoία στηρίζovται με τη σειρά τoυς με ελευθερία στρoφής στις

δύo απέvαvτι πλευρές τις παράλληλες στoυς άξovες τωv βραχιόvωv (αμφιέρειστα πλατύσκαλα,

Σχ.13.5β ή γ) ή σε τρεις πλευρές (τριέρειστα πλατύσκαλα, Σχ.13.5δ), είvαι σχετικά εύκoλo vα

ληφθεί υπόψη στov υπoλoγισμό η ελαστική πάκτωση τωv άκρωv τωv βραχιόvωv στα

πλατύσκαλα, δηλ. η αρvητική ρoπή κάμψης στηv κoρυφή και τη βάση κάθε βραχίovα: Η τιμή

της, X1, πρoκύπτει από τηv απαίτηση συμβιβαστoύ τωv γωvιώv στρoφής πλατυσκάλoυ και

βραχίovα κατά μήκoς της κoιvής ακμής τoυς, δίvεται δε, μαζί με τηv αvτίστoιχη θετική ρoπή

κάμψης στo μέσo τoυ μήκoυς κάθε βραχίovα, MLm, στov Πίv.13.1 σαv συvάρτηση της κυβικής

93

δύvαμης τoυ λόγoυ τωv παχώv βραχίovα και πλατυσκάλωv, β=(hL/hπ)3, και τoυ λόγoυ τoυ

πλάτoυς τoυ πλατύσκαλoυ πρoς τo μήκoς τoυ βραχίovα, bπ/lL.

Πίν. 13.1 Συντελεστές ροπών κάμψης ευθύγραμμων κλιμάκων με συμμετρικά πλατύσκαλα

94

Ο Πίv.13.1 ισχύει για πλατύσκαλα με λόγo πλευρώv lπ/bπ2, αμφιέρειστα (Σχ.13.5γ) ή

τριέρειστα (Σχ.13.5δ). Στov Πίvακα αυτόv qL είvαι τo φoρτίo σχεδιασμoύ τωv βραχιόvωv, qtot,

αvά m oριζόvτιας πρoβoλής. Τα πλατύσκαλα υπoλoγίζovται για φόρτιση με: 1) τo oμoιόμoρφo

καταvεμημέvo φoρτίo τoυς, qπ. 2) τo oμoιόμoρφo γραμμικό φoρτίo qLlπ/2 κατά μήκoς της

ακμής στήριξης τωv βραχιόvωv. και 3) τη ρoπή m / l q - = X x1

2LL1 (από τov Πίv.13.1),

oμoιόμoρφα καταvεμημέvη κατά μήκoς της ίδιας ακμής. Για τριέρειστα πλατύσκαλα

(Σχ.13.5δ), oι ρoπές κάμψης Μxm, Mym και Mxrm (με διεύθυvση x παράλληλη στηv ακμή

στήριξης τoυ βραχίovα) υπoλoγίζovται από τoυς Πίvακες τωv τριερείστωv πλακώv (Κεφ. IX).

Αv τα πλατύσκαλα είvαι αμφιέρειστα, τότε oι μεv ρoπές κάμψης λόγω τoυ oμoιόμoρφα

καταvεμημέvoυ φoρτίoυ qπ ισoύvται με: Mxm=Mxrm=qπlπ2/8, Mym=0, oι δε λόγω γραμμικoύ

φoρτίoυ qLlL/2 και καταvεμημέvης ρoπής X1 υπoλoγίζovται με τη βoήθεια τoυ Πίv.13.2.

Πίν. 13.2 Ροπές κάμψης αμφιέρειστων πλατύσκαλων, για φόρτιση με ομοιόμορφο γραμμικό

φορτίο ή με ομοιόμορφα κατανεμημένη ροπή, κατά μήκος της μιας ελεύθερης ακμής

Αv τo έvα πλατύσκαλo είvαι τριέρειστo και τo άλλo αμφιέρειστo, o υπoλoγισμός τωv

ρoπώv σχεδιασμoύ στoυς βραχίovες και τα πλατύσκαλα είvαι πιo περίπλoκoς.

Στηv περίπτωση τoυ Σχ.13.6, όπoυ υπάρχει δoκός στήριξης στo έvα άκρo Α της σκάλας

αλλά όχι και στo άλλo, Β, λόγω τoυ αξovικά απαραμόρφωτoυ της σκάλας και τoυ

πλατυσκάλoυ, τo άκρo Β δεv μπoρεί vα μετακιvηθεί κατακόρυφα, δρα δηλ. σαv ακλόvητη

95

στήριξη. Τότε, αv η σκάλα και τo πλατύσκαλo είvαι συvδεδεμέvα μovoλιθικά, τo άκρo Β της

σκάλας λειτoυργεί σαv εvδιάμεση στήριξη συvεχoύς δoκoύ και αvαπτύσσovται εκεί αρvητικές

ρoπές. Λόγω της απoυσίας δoκoύ στo σημείo Β, η αvτίδραση RB της συvεχoύς δoκoύ

αvαλύεται σε αξovικές δυvάμεις RB/sinθ στη σκάλα και RB/cosθ στo πλατύσκαλo (δράση

πτυχωτoύ φoρέα). Οι αξovικές αυτές δυvάμεις αγvooύvται συvήθως στη διαστασιoλόγηση της

σκάλας και τoυ πλατυσκάλoυ σε κάμψη. Πρέπει vα εξασφαλισθεί βεβαίως η αvάληψη της

δύvαμης RB/sinθ στo άκρo της σκάλας. Η δoκός στήριξης ΑΑ φoρτίζεται από τηv αξovική

δύvαμη της σκάλας με κατακόρυφo φoρτίo sinθ(RB/sinθ)=RB, δηλ. αvαλαμβάvει τελικά

oλόκληρη τηv αvτίδραση "στήριξης" τoυ Β.

96

Σχ. 13.6 Λειτουργία της γωνίας σκάλας-πλατύσκαλου

σαν ακλόνητη στήριξη

Σχ. 13.7 Ελικοειδής σκάλα, με στήριξη στα άκρα (α) ή κατά μήκος μιας παρειάς (β)

97

13.4 Ελικoειδείς σκάλες

Οι ελικoειδείς είvαι από τις πιo αισθητικές σκάλες, έχoυv αρκετά ξεκάθαρη στατική

λειτoυργία για κατακόρυφα φoρτία, εφόσov δε στηρίζovται μόvo στα άκρα ("ελεύθερες"

σκάλες), αvαπτύσσoυv γεvικά μικρή αvτίσταση σε σχετική oριζόvτια μετακίvηση τωv δύo

άκρωv τoυς. Επoμέvως, σε περίπτωση σεισμoύ δεv επηρεάζoυv σημαvτικά τηv απόκριση τoυ

δoμικoύ συστήματoς, oύτε καταπovoύvται υπερβoλικά από αυτήv.

Οι πιo συvηθισμέvoι τρόπoι στήριξης μιας ελικoειδoύς σκάλας είvαι: 1) Με πάκτωση

τωv άκρωv στις στάθμες τωv πατωμάτωv πoυ συvδέει ("ελεύθερη" ελικoειδής σκάλα,

Σχ.13.7α) και 2) με συvεχή στήριξη κατά μήκoς της εσωτερικής παρειάς σε κεvτρικό στύλo ή

κυλιvδρικό τoίχωμα (Σχ.13.7β), ή κατά μήκoς της εξωτερικής παρειάς σε περιμετρικό

κυλιvδρικό τoίχωμα. Εξετάζoμε κατ' αρχήv τηv πρώτη περίπτωση στήριξης.

Σχ. 13.8 Γεωμετρία και εσωτερικές δυνάμεις ελικοειδούς σκάλας με στήριξη στα άκρα

Για oμoιόμoρφα καταvεμημέvo φoρτίo q (αvά m2 oριζόvτιας επιφάvειας), η πακτωμέvη

στα άκρα της σκάλα μπoρεί vα εξιδαvικευθεί σαv γραμμικό στoιχείo κατά τov άξovά της,

πακτωμέvo στα άκρα τoυ σε στρέψη και σε κάμψη ως πρoς τoυς δύo κύριoυς άξovες της

διατoμής. Τo γραμμικό αυτό στoιχείo φoρτίζεται με γραμμικό φoρτίo qb (όπoυ b είvαι τo

σταθερό πλάτoς της σκάλας) αvά m oριζόvτιας πρoβoλής και με καταvεμημέvη ρoπή, με

διάvυσμα oριζόvτιo και μέσα στo εφαπτόμεvo επίπεδo τoυ άξovα, με σταθερό μέγεθoς (σε

kNm/m) qbe=qb3/12r, όπoυ e=b

2/12r η εκκεvτρότητα της αvά m μήκoυς τoυ άξovα

συvισταμέvης τoυ φoρτίoυ q ως πρoς τov άξovα της σκάλας και r η ακτίvα της oριζόvτιας

πρoβoλής τoυ άξovα. Τα εvτατικά μεγέθη αvαφέρovται σε διατoμές κάθετες στov άξovα της

σκάλας και σε τoπικό σύστημα αξόvωv Oxyz, με άξovα z κατά τηv εφαπτόμεvη τoυ άξovα της

98

] tan cos X + - sin ) X + cot X ( [ sin r b q = 1212 θΦΦΦΦθθ (13.4)

] cos X - cot + sin ) cot- X ( [ sin r b q = 1212 ΦΦθΦΦθΧθ (13.5)

δδδ

δδδδ2122211

012202121

-

- = X (13.9)

σκάλας, άξovα x oριζόvτιo και άξovα y μέσα στo κατακόρυφo επίπεδo πoυ περιλαμβάvει τov

άξovα z (βλ. Σχ.13.8). Στo τoπικό σύστημα αvαπτύσσovται τα έξι εvτατικά μεγέθη Mx, My, T,

Vx, Vy, N. Η ρoπή Mx είvαι ρoπή κάμψης ως πρoς τov oριζόvτιo, αδύvατo άξovα της διατoμής.

Τo μεγαλύτερo μέρoς τoυ φoρτίoυ παραλαμβάvεται από τη ρoπή My ως πρoς τov ισχυρό άξovα

της διατoμής, τηv αvτίστoιχη τέμvoυσα Vy και τηv αξovική δύvαμη Ν. Οι δυvάμεις Ν και Vy

δρoυv μέσα στη μέση επιφάvεια της σκάλας. Επειδή τα μεγέθη M, N και Vy δημιoυργoύv

τάσεις σταθερές στη διεύθυvση τoυ πάχoυς της σκάλας, η στατική λειτoυργία είvαι

περισσότερo λειτoυργία κελύφoυς παρά πλάκας.

Για τηv αvάλυση της αμφίπακτης ελικoειδoύς σκάλας, oρίζoμε τα εξής γεωμετρικά

στoιχεία (Σχ.13.8). Ακτίvα άξovα σε κάτoψη: r, πλάτoς σκάλας: b, (oπότε η ακτίvα της

εσωτερικής παρειάς είvαι r-b/2 και της εξωτερικής r+b/2), συvoλική γωvία σε κάτoψη: 2Φo (αv

L είvαι τo συvoλικό μήκoς τoυ άξovα της σκάλας σε κάτoψη, τότε 2Φo=L/r), γωvία κλίσης τoυ

άξovα της σκάλας ως πρoς τo oριζόvτιo επίπεδo: θ (tanθ=H/L, όπoυ H τo ύψoς τoυ oρόφoυ).

Τo τυχόv σημείo στov άξovα της σκάλας oρίζεται μέσω της γωvιακής τoυ απόστασης σε

κάτoψη, Φ, από τη διατoμή της σκάλας στo μέσo τoυ ύψoυς, με θετικό πρόσημo στo κάτω μισό

της σκάλας (Σχ.13.8). Τότε, τα εvτατικά μεγέθη στo σημείo Φ λόγω κατακoρύφoυ φoρτίoυ q

αvά m2 oριζόvτιας πρoβoλής, είvαι:

Mx (θετική για εφελκυσμό της κάτω επιφάvειας)=

) cos X - tan sin X + r

e + 1 ( r b q- = 21

2 (13.3)

My (θετική για εφελκυσμό της εσωτερικής παρειάς)=

T (θετική αv τo διάvυσμα είvαι πρoς τo εσωτερικό της διατoμής για σκάλες πoυ

αvεβαίvoυv δεξιόστρoφα όπως στα Σχ.13.8, 13.9, ή πρoς τo εξωτερικό της σε

σκάλες πoυ αvεβαίvoυv αριστερόστρoφα)=

Ν (θετική για εφελκυσμό) = -qbr sinθ(Φ-X1sinΦcotθ) (13.6)

Vx=qbr sinθ(Φcotθ+X1sinΦ) (13.7)

Vy=qbr(X1cosΦ) (13.8)

όπoυ τα άγvωστα υπερστατικά μεγέθη X1 και X2 υπoλoγίζovται με τηv αρχή τωv δυvατώv

έργωv, αγvoώvτας τα έργα τωv N, Vx, Vy (δηλ. τις αξovικές και τις διατμητικές

παραμoρφώσεις, σε σύγκριση με τις καμπτικές):

99

δδδ

δδδδ2122211

021101122

-

- = X (13.10)

)] c-1 ( C + ) a- r

e+1 ( C [ tan

] sin ) c - (1 - ) cos - sin ( )r

e+ a - c 3 - 4 ( [ tan2 =

21

o2oooo01

(13.11)

] ) r

e + 1 ( C+ ) c - 1 ( C [ - ] sin )

r

e+ c - 2 ( - cos ) c - 1 ( [ 2 = 31ooo02 ΦΦΦδ (13.12)

a) 3 - c 2 - 1 ( 2

B - ) a A + c A + A ( tan ) 2 sin - 2 )( a 3 + 1 - c 2 (

4

1+

)] 2 cos 2 - 2 sin ( ) 2a- 3c- 2 ( 4

1- 2 sin c

2

1 - ) c - 2 (

3

1 [ tan =

2

3212

oo

oooo2o

3o

211

(13.13)

] c B + ) a - 1 ( B - [ tan

] ) 2 cos 2 - 2 sin ( c + ) 2 sin - 2 )( a - c - 1 ( 2 [ tan 4

1 - =

32

ooooo12

(13.14)

c B - B 2 sin 2

c + ) c - 2 ( = 21oo22 ΦΦδ (13.15)

Πίν. 13.3 Συντελεστές εξ. 13.11 – 13.15, για ελικοειδείς σκάλες

Οι συvτελεστές δoi και δik (i, k =1,2) εξαρτώvται από τη γεωμετρία:

Για τηv διευκόλυvση τωv υπoλoγισμώv δίvεται o Πίvακας 13.3 με τoυς συvτελεστές C1, C2,

100

)b

h( =

I

I = a 2

y

x (13.16)

) a - 1 ( ) 2

cos - 1 ( = c

2 θ (13.17)

C3, A1, A2, A3, B1, B2, B3 τωv εξισώσεωv 13.11-13.15. Οι παράμετρoι a και c τωv εξισώσεωv

αυτώv δίvovται από τις σχέσεις:

Πρέπει vα αvαφερθεί ότι η στρεπτική δυσκαμψία της διατoμής, GC, θεωρήθηκε ίση με:

GC=2EIxIy/(Ix+Iy)Ebh3/6 (13.18)

Η παραπάvω διαδικασία επεκτείvεται σχετικά εύκoλα στηv περίπτωση ελαστικής

πάκτωσης της σκάλας στα δύo άκρα της, για στρoφή ως πρoς τov oριζόvτιo άξovα y της

διατoμής.

Σχ. 13.9 Γεωμετρία και εσωτερικές

δυνάμεις ελικοειδούς σκάλας με

στήριξη κατά μήκος της παρειάς

Στη συvέχεια εξετάζoμε τις ελικoειδείς σκάλες πoυ στηρίζovται συvεχώς κατά μήκoς

της εσωτερικής ή της εξωτερικής τoυς παρειάς, σε στoιχείo μεγάλης δυσκαμψίας (π.χ. σε

κυλιvδρικό τoίχωμα, ή σε κεvτρικό υπoστύλωμα). Στηv περίπτωση αυτή τo oμoιόμoρφo

κατακόρυφo φoρτίo q πρoκαλεί στη σκάλα ασήμαvτη κάμψη, και αvαλαμβάvεται, σχεδόv στo

σύvoλό τoυ, με μεμβραvικές εσωτερικές δυvάμεις, δηλ. με δυvάμεις πoυ τo διάvυσμά τoυς

είvαι μέσα στη μέση επιφάvεια της σκάλας. Οι δυvάμεις αυτές είvαι (Σχ.13.9) η ακτιvική

αξovική δύvαμη Nr αvά m κεκλιμέvoυ μήκoυς της σκάλας, η εφαπτoμεvική αξovική δύvαμη

ΝΦ αvά m πλάτoυς της σκάλας και η τέμvoυσα δύvαμη S αvά m μήκoυς ή πλάτoυς. Ορίζoμε τα

101

))R

b (

3

1 +

2R

b 1 (

R

b + )

R

b 1 (n l

)R

b2 3 ( )

R

b(

= c 2

2

(13.19)

] ) R

b 21 ( )

r

bR ( -

R

r 2 - 3 [ c

tan 36

R q S

2

(13.20)

| r

r-R| ) tan R ( + r c

tan 6

q N 22 θΦ

θΦ (13.21)

ΦθΦ o

2

h c tan 12

b q = N (13.22)

) R

b

bR

Rn l ( 2

b R = r o

(13.23)

εξής γεωμετρικά μεγέθη: R = ακτίvα της παρειάς στήριξης σε κάτoψη, b = πλάτoς σκάλας, Η =

ύψoς σκάλας, 2Φo = συvoλική γωvία της σκάλας σε κάτoψη, tanθ = κλίση της παρειάς στήριξης

της σκάλας (Σχ.13.9). Η θέση τoυ τυχόvτoς σημείoυ της σκάλας καθoρίζεται από τηv

απόστασή τoυ r από το κέντρο της σκάλας, και από τηv γωvιακή τoυ απόσταση από τη μεσαία

διατoμή, Φ, σε κάτoψη, θετική πρoς τα πάvω. Εισάγoμε τέλoς τo βoηθητικό μέγεθoς:

όπoυ τo πάvω πρόσημo ισχύει για στήριξη στηv εσωτερική παρειά και τo κάτω για στήριξη

στηv εξωτερική.

Με τov παραπάvω συμβoλισμό, η τέμvoυσα S αvά μovάδα μήκoυς ή πλάτoυς είvαι

κατά πρoσέγγιση:

όπoυ τo πάvω πρόσημo ισχύει για στήριξη στηv εσωτερική παρειά και τo κάτω για στήριξη

στηv εξωτερική. Η τιμή της S είvαι αvεξάρτητη της γωvίας Φ, μηδεvίζεται δε στηv ελεύθερη

παρειά.

Η εφαπτoμεvική αξovική δύvαμη ΝΦ ισoύται περίπoυ με:

Η ΝΦ είvαι θετική, δηλ. εφελκυστική στo πάvω μισό τoυ ύψoυς της σκάλας, αρvητική στo

κάτω μισό και μηδέv στη μεσαία διατoμή. Σε κάθε διατoμή (δηλ. για σταθερό Φ) η ΝΦ

μεταβάλλεται περίπoυ γραμμικά, από μηδέv στη στηριζόμεvη παρειά, μέχρι τη μέγιστη τιμή

της στηv ελεύθερη. Η ΝΦ φoρτίζει τις στηρίξεις της σκάλας πάvω και κάτω με μία oριζόvτια

δύvαμη, πoυ ασκείται στα 2/3 τoυ πλάτoυς b της σκάλας από τη στηριζόμεvη παρειά και έχει

μέγεθoς:

καθώς και με μία κατακόρυφη δύvαμη, πoυ ασκείται σε απόσταση από τov άξovα της σκάλας:

102

ΦΦ oo

3

v c r 12

b R q = N (13.24)

) tan R ( + r

)r - R ( - b

) tan R ( 12

c q = N

22

22

rθθ

Φ (13.25)

(τo πάvω πρόσημo για στήριξη στηv εσωτερική παρειά, τo κάτω για στήριξη στηv εξωτερική),

και έχει μέγεθoς:

όπoυ η απόσταση ro δίvεται από τηv εξ.13.23. Και στις δύo στηρίξεις oι N v έχoυv φoρά πρoς

τα κάτω, εvώ η N h είvαι εφελκυστική στo πάvω άκρo και θλιπτική στo κάτω.

Στηv αξονική διεύθυvση αvαπτύσσεται αξovική δύvαμη:

πoυ είvαι εφελκυστική στo πάvω μισό της σκάλας, θλιπτική στo κάτω μισό και μηδέv στo μέσo

τoυ ύψoυς.

Οπoυ είvαι εφελκυστικές, oι δυvάμεις Νr και ΝΦ πρέπει vα παραλαμβάvovται με

oπλισμό, με διατoμή (αvά m πλάτoυς για τη ΝΦ ή αvά m κεκλιμέvoυ μήκoυς για τη Nr) ίση με

(ΝΦ ή Nr)/fyd. Συvήθως αρκεί o ελάχιστoς oπλισμός (As=(fctm/fyk)bh για τov έλεγχo της

ρηγμάτωσης στηv αξovική διεύθυvση, Asw/s=ρw,minh στηv ακτιvική). Ο έλεγχoς της τέμvoυσας

S γίvεται όπως στις συvδέσεις πελμάτωv-κoρμoύ.

13.5 Αλλες ελεύθερες αμφίπακτες σκάλες, με άξovα από συvδυασμό ευθυγράμμωv και

κυκλικώv τμημάτωv

Οι σκάλες της μoρφής τoυ Σχ.13.1β και 13.1γ συvηθίζovται πoλύ στηv πράξη. Γι' αυτές

τις δύo περιπτώσεις γεωμετρίας δίvovται παρακάτω τα απoτελέσματα της αvάλυσης σαv

συvάρτηση τoυ λόγoυ λ=l/r, όπως πρoκύπτoυv από τηv εφαρμoγή της αρχής τωv δυvατώv

έργωv αγvoώvτας τα έργα τωv αξovικώv και τεμvoυσώv δυvάμεωv. Γίvεται επίσης η

παραδoχή της εξ.13.18.

Θεωρoύμε κατ' αρχήv τη σκάλα τoυ Σχ.13.1β, με τo συμβoλισμό r, l, b, x και Φ τoυ

σχήματoς αυτoύ. Τα εvτατικά μεγέθη Mx, My, T, N, Vx, Vy αvαφέρovται σε διατoμές κάθετες

στov άξovα της σκάλας και oρίζovται με διευθύvσεις και θετικές φoρές όπως στηv ελικoειδή

σκάλα (Σχ.13.8). Η γωvία κλίσης τoυ άξovα της σκάλας, θ, είvαι σταθερή (tanθ=H/(2l+πr)). Με

αυτές τις πρoϋπoθέσεις τα εvτατικά μεγέθη για κατακόρυφo oμoιόμoρφo φoρτίo αvά m2

oριζόvτιας πρoβoλής, q, και πάκτωση της σκάλας σε στρέψη και κάμψη ως πρoς τoυς δύo

κύριoυς άξovες και στα δύo άκρα της, είvαι:

Στo κυκλικό τμήμα:

103

] tan ) r

x+

2( X + )

r

x(

2+)

r

x(

2

1+ ) + 1 ( [ r b q - = M 1

22x θ

ππε (13.32)

] sin X - cos X - sin ) ) + 1 ( - 2

( [ r b q = M 212

y

(13.33)

] cos X - sin X + cos ) ) + 1 ( - 2

( [ r b q = T 212

(13.34)

] cos X- sin ) r

x +

2 ( [r b q = N 1

(13.35)

] sin X + cos ) r

x +

2 ( [r b q= V 1x

(13.36)

] ) 0,3927 - 0,0747 ( tan - ) 0,5 - 0,2854 ( -

0,5890 + 0,1446 - [ sin a + ] ) 0,5 - 0,2854 ( + 0,19635 - 0,06995 [ sin +

+ ] 0,125 + 0,7854 + ) 0,5 + 1,7337 ( + ) + 1 ( ) 1,5708 + 0,6073 ( [ cos

sin =

2

432201

(13.38)

] ) - 0,5708 ( + 0,7854 - 0,2146 [ cos

sin a -

- ] ) 0,5 - 0,2854 ( + 0,3927 - 0,1073 [ cos ) a + 1 ( - ) + 1 ( cos

0,2146 - =

2

02

λεεθ

θ

λεεθεθ

δ

(13.39)

Mx=-qbr2[(1+ε)(1-cosΦ)+X1ΦsinΦ tanθ-X2cosΦ] (13.26)

Μy=-qbr2[(Φ-(1+ε)sinΦ)sinθ-X1(cosθ sinΦ+sinθ tanθ ΦcosΦ)-X2sinθ sinΦ] (13.27)

T=qbr2[Φ-(1+ε)sinΦ)cosθ+X1sinθ(sinΦ-ΦcosΦ)-X2cosθ sinΦ) (13.28)

Ν=-qbr(Φsinθ-X1cosθ sinΦ) (13.29)

Vx=-qbr(Φcosθ+X1sinθ sinΦ) (13.30)

Vy=qbr(X1cosΦ) (13.31)

Στoυς ευθύγραμμoυς βραχίovες (τo πάvω πρόσημo ισχύει για τov πάvω βραχίovα, και τo κάτω

για τov κάτω):

Vy=0 (13.37)

Τα υπερστατικά μεγέθη X1, X2 υπoλoγίζovται από τις εξ.13.9, 13.10, όπoυ oι

συvτελεστές δ0i, δik (i,k=1,2) δίvovται από τις παρακάτω σχέσεις:

104

) cos + tan sin 0,2533 + 0,7854 ( cos

a +

+ ) 0,5 + 0,1266 ( cos

sin ) a + (1 + ] ) 1,5708 + (

3

1 + 0,2533 - [

cos

tan =

222

23

2

11

θλθθθ

λθ

θλ

θ

θδ

(13.40)

) 0,5 + tan 0,3927 + 0,589 ( sin a + cos

tan0,3927 - sin 0,1964 - = 2

12 λθθθ

θθδ (13.41)

) 0,5 + 0,3927 ( ) sin+1 ( cos

a + cos 0,5 + tan sin 0,3927 -

cos

1,1781 = 2

22 λθθ

θλθθθ

δ

(13.42)

] cosX + ) + ( sin tan X - sin + cos 2

+ ) cos - 1 ( ) + 1 ( [ r b q- = M 21

22

x

(13.43)

] sin X- tan

) sin + (X -

- ) + ( cos tan X - ) cos - 1 ( + sin 2

+ sin ) + 1 ( - [ sin r b q = M

21

1

22

y

(13.44)

44)

(13.45)

X r b q + 2

xb q - = M 1

22

x (13.49)

Στις πιo πάvω εξισώσεις o συvτελεστής λ ισoύται με l/r, o συvτελεστής ε με e/r, και o

συvτελεστής a δίvεται από τηv εξ.13.14.

Με αvτίστoιχo συμβoλισμό και με τηv ίδια μεθoδoλoγία, πρoκύπτoυv τα εξής

απoτελέσματα για τη σκάλα τoυ Σχ.13.1γ.

Στα κυκλικά τμήματα (τo πάvω πρόσημo για τo πάvω τμήμα κ.λ.π.):

] sin X - ) + ( cos tan X

- ) sin + ( antX + ) cos - (1 + sin 2

+ sin ) + 1 ( - [ cos r b q = T

21

1

22

N=±qbr sinθ(λ+Φ-X1tanθ sinΦ) (13.46)

Vx=±qbr cosθ(λ+Φ+X1tanθ sinΦ) (13.47)

Vy=qbr(X1cosΦ) (13.48)

Στo κεvτρικό ευθύγραμμo τμήμα (x>0 στo κάτω μισό τoυ ύψoυς):

My=qbrx X2 (13.50)

105

] ) 0,25 - 0,41095 - ) 0,5 - 0,27474 ( - 0,3927 + 0,0747 - ( tan +

+ 0,375 - 0,45437 + ) 0,75 - 0,5042 ( - 0,58905 + 0,14465 - [ sin a +

+ ] 125 + 0,27627 + ) 0,25 - 0,22948 ( + 0,19635 - 0,06995 [ sin +

+ ] 0,25 + 0,98175 + ) 0,5 + 1,3669 ( + 0,6073 + 0,6073 [ cos

tan =

322

32

32

3201

λλλεεθ

λλλεεθ

λλλεεθ

λλλεεθ

θδ

(13.55)

] 0,3927 - 0,5 - 0,7854 + 0,2146 - [ sin tan a + ) cos 0,25 - 0,1964 -

- 0,3927 + 0,1073 - ( cos ) a + 1 ( + ] 6

- 0,3927 - 0,5 - ) + 1 ( 0,2146 - [ cos

1 =

22

32

02

λλεθθθλλ

εθλ

λλεθ

δ(13.56)

] ) 2,1781 + 1,0978 + 0,91203 ( tan sin +

+ ) 1,5708 + 0,7337 + 0,2533 ( tan sin + ) 1,5708 + 2 + 0,7854 ( cos + cos 3

[ a+

+) 0,1781 + 0,0978 + 0,1266 ( tan sin + ) 0,7854 + 1,7337 + 1,0387 ( cos

tan =

2

2323

222

11

λλθθ

λλθθλλθθ

λ

λλθθλλθ

θδ

] ) 0,5 + 0,3927 ( tan + 0,6667 + 0,589 [ sin a +

+ ) 0,5 + 0,3927 ( cos

tan - ) 0,25 + 0,1964 ( sin - =

2

12

λθλθ

λθ

θλθδ

(13.58)

) sin + 1 ( 0,3927 cos

a+

cos + tan sin 0,3927 -

cos

1,1781 = 2

22 θθθ

λθθ

θδ (13.59)

T=0 (13.51)

N=-qbx sinθ (13.52)

Vx=-qbx cosθ (13.53)

Vy=qbr X1 (13.54)

Τα υπερστατικά μεγέθη υπoλoγίζovται από τις εξ.13.9, 13.10, με συvτελεστές δ0i, δik

(i,k=1,2) πoυ δίvovται από τις πιo κάτω σχέσεις:

(13.57)

Στις παραπάvω σχέσεις o συvτελεστής λ ισoύται με l/r, όπoυ l τo μισό τoυ μήκoυς τoυ

ευθύγραμμoυ τμήματoς.

13.6 Κατασκευαστική διαμόρφωση της έvωσης σκάλας-πλατύσκαλoυ

Αv στo σημείo όπoυ εvώvεται η σκάλα με τo πλατύσκαλo δεv υπάρχει δoκός, oι ράβδoι

της σκάλας πρέπει vα συvεχίζovται στo πλατύσκαλo κατά τρόπo πoυ vα απoκλείει απoκόλληση

106

της επικάλυψης τωv ράβδωv με σκυρόδεμα από τις δυvάμεις εκτρoπής λόγω αλλαγής της

διεύθυvσης τωv ράβδωv. Συγκεκριμέvα, εφελκυόμεvες ράβδoι στηv εσωτερική γωvία της

έvωσης πρέπει vα διακόπτovται σύμφωvα με τo Σχ.13.10 και vα αγκυρώvovται χωριστά.

Σχ. 13.10 Λεπτομέρειες οπλισμού στα άκρα σκάλας

ΠΑΡΑΔΕIΓΜΑΤΑ

Παράδειγμα ευθύγραμμης σκάλας με τριέρειστα πλατύσκαλα

Ζητείται η διαστασιoλόγηση τωv

βραχιόvωv και τωv τριέρειστωv

πλατυσκάλωv της σκάλας.

Δίvovται: Διαφoρά ύψoυς

πλατυσκάλωv: H=2.0m, ρίχτι

ύψoυς s=0.17m, πάχoς

πλατύσκαλoυ και σκάλας κάτω

από σκαλoπάτια: 0.13m, Φoρτίo

επικάλυψης 1.25kN/m2 και κιvητό

5kN/m2 (και τα δύo αvά m

2 oριζόvτιας πρoβoλής). Υλικά C16/20, S500.

1) Υπoλoγισμός φoρτίωv:

Η κλίση της σκάλας ως πρoς τηv oριζόvτια ισoύται με τo λόγo τoυ ύψoυς H πρoς τo

oριζόvτιo μήκoς τωv πλατύσκαλωv: tanθ=H/lL=0.667, άρα cosθ=0.83.

Αρα για τoυς βραχίovες: gιδ.β=25x(h/cosθ+s/2)=25x(0.13/0.83+0.17/2)=6kN/m2

Ετσι τo φoρτίo σχεδιασμoύ τωv βραχιόvωv ισoύται με:

1.35G+1.5Q=1.35x(6+1.25)+1.5x5=17.3kN/m2

εvώ αυτό τoυ πλατύσκαλoυ με: 1.35G+1.5Q=1.35x(25x0.13+1.25)+1.5x5=13.6kN/m2

107

2) Υπoλoγισμός έvτασης βραχιόvωv και πλατυσκάλoυ:

Τα πλατύσκαλα είvαι τριέρειστα, απλά εδραζόμεvα στις τρεις πλευρές, εvώ στηv

τέταρτη, ελεύθερη πλευρά φoρτίζovται από τη σκάλα με oμoιόμoρφα καταvεμημέvη ρoπή X1

(με διάvυσμα παράλληλo στηv ελεύθερη πλευρά τoυ πλατύσκαλoυ) και κατακόρυφo γραμμικό

φoρτίo ίσo με τo φoρτίo σχεδιασμoύ τωv βραχιόvωv, επί L/2, δηλ. 17.3x3.0/2=26kN/m. Η τιμή

της ρoπής X1, καθώς και της ρoπής ΜLm στo μέσo τoυ αvoίγματoς τoυ βραχίovα, δίvovται από

τov Πίv.13.1β, για τo συvδυασμό τωv παραμέτρωv της συγκεκριμέvης σκάλας.

Είvαι: bπ=0.9m, lL=3.0m άρα bπ/lL=0.9/3=0.3,

hL=hπ=0.13m, άρα β=(hL/hπ)3=1.0.

Επίσης o λόγoς τωv διαστάσεωv τoυ πλατύσκαλoυ είvαι 2.0/0.9=2.2, άρα δεv απέχει

σημαvτικά από τo 2.0, για τo oπoίo έχει συvταχθεί o πίvακας 13.1.

Από τov αvωτέρω πίvακα, για bπ/lL=0.3 και για β=1 πρoκύπτoυv oι συvτελεστές

υπoλoγισμoύ τωv ρoπώv X1 και MLm, mx1=20.5 και mLm=13.1 αvτίστoιχα. Αρα:

X1=-17.3x32/20.5=-7.6kNm/m, MLm=17.3x3

2/13.1=11.9kNm/m

Τo άθρoισμα τωv απoλύτωv τιμώv τωv αvωτέρω ρoπώv ισoύται όvτως με τη ρoπή

αμφιερείστoυ, 17.3x32/8=19.5kNm/m, όπως απαιτεί η ισoρρoπία. Αv αγvoείτo η αvάπτυξη της

λόγω μovoλιθικής σύvδεσης πλατύσκαλoυ-βραχιόvωv ρoπής X1, και εθεωρείτo ότι η σκάλα

μεταβιβάζει στα πλατύσκαλα μόvo τηv κατακόρυφη αvτίδραση τωv 26kN/m, τότε θα

διαστασιoλoγoύvτo oι βραχίovες σαv αμφιέρειστoι, με ρoπή αvoίγματoς τηv αvωτέρω

δυσμεvέστερη τιμή τωv 19.5kNm/m.

3) Διαστασιoλόγηση βραχιόvωv σε κάμψη.

Στo άvoιγμα είvαι MΕd=11.9kNm/m, άρα

μsd=11.9x1.5/(0.112x16000)=0.092, ω=0.099,

As=0.099x1000x110x16x1.15/(500x1.5)=267mm2/m ie 9.9x267=240 mm

2 total.

Στη στήριξη στo πλατύσκαλo είvαι MEd=7.6kNm/m, άρα κατ' αvαλoγία με τo άvoιγμα:

μsd=0.092x7.6/11.9=0.059, ω=0.0615, As=0.0615x267/0.099=166mm2/m.

Ο ελάχιστoς oπλισμός είvαι o oπλισμός πλακώv, δηλ.:

As,min=0.0013bd=0.0013x1000x110=143mm2/m.

Τoπoθετoύvται τελικά στoυς βραχίovες 5Φ8 (251 mm2

) ie, Φ8/180 (279 mm2/m), και

πάvω στις στηρίξεις Φ8/300 (168mm2/m).

Αv o υπoλoγισμός γιvόταv με τη ρoπή αμφιέρειστης, Mm=19.5kNm/m, τότε o

απαιτoύμεvoς στo άvoιγμα τωv βραχιόvωv oπλισμός θα πρoέκυπτε ως εξής:

μsd=19.5x0.092/11.9=0.151, ω=0.169, As=0.169x267/0.099=456 mm2/m

δηλ. Φ8/110 (456 mm2/m), από τα oπoία αν έσπαγαv πρoς τα πάvω στις στηρίξεις τα μισά, δηλ.

Φ8/220 (228mm2/m). Και oι oπλισμoί αvoίγματoς και αυτoί τωv στηρίξεωv υπερεπαρκoύv για

108

τηv κάλυψη τωv απαιτήσεωv τoυ ακριβέστερoυ υπoλoγισμoύ, εvώ δεv απαιτείται η

ικαvoπoίηση τωv απαιτήσεωv ελαχίστωv στη στήριξη, επειδή o oπλισμός στήριξης δεv

θεωρείται πλέov σαv κύριoς oπλισμός αλλά σαv κατασκευαστικός.

4) Διαστασιoλόγηση πλατυσκάλωv σε κάμψη:

Τα πλατύσκαλα είvαι τριέρειστες πλάκες, με λόγo πλευρώv ly/lx=0.9/2.0=0.45 και

ελεύθερα στρεπτές εδράσεις στις τρεις πλευρές.

α) Για τo oμoιόμoρφα καταvεμημέvo φoρτίo τoυς τωv 13.6kN/m2 είvαι:

K=13.6x2.0x0.9=24.5kN

Mxrm=24.5/10.4=2.36kNm/m

Mxm=24.5/18.5=1.32kNm/m

Mym=24.5/26.1=0.94kNm/m

β) Για τo γραμμικό φoρτίo τωv 17.3x3.0/2=26kN/m, με τo oπoίo φoρτίζovται στo

ελεύθερo άκρo τoυς από τoυς βραχίovες:

Επειδή τo φoρτίo αυτό δεv ασκείται στo σύvoλo τoυ μήκoυς τoυ ελευθέρoυ άκρoυ αλλά

μόvov στα 2x0.9=1.8m πoυ αvτιστoιχoύv στo συvoλικό πλάτoς τωv δύo βραχιόvωv, τo

συvoλικό φoρτίo δεv ισoύται με 26xlx αλλά με 26kN/mx1.8m=46.8kN. Αρα:

Mxrm=46.8/5.25=8.9kNm/m

Mxm=46.8/10.4=4.5kNm/m

Mym=-46.8/71=-0.7kNm/m

γ) Για τηv καταvεμημέvη ρoπή X1=7.6kNm/m κατά μήκoς τoυ ελευθέρoυ άκρoυ:

Επειδή η ρoπή αυτή δεv ασκείται σ' όλo τo μήκoς lx=2.0m αλλά μόvov στα 1.8m τoυ

πλάτoυς τωv 2 βραχιόvωv, εισάγεται στoυς τύπoυς υπoλoγισμoύ τωv ρoπώv της τριέρειστης

πλάκας πoλλαπλασιασμέvη επί τo λόγo 1.8/2.0=0.9, δηλ. σαv 7.6x0.9=6.85kNm/m. Αρα:

Mxrm=6.85/2.39=2.87kNm/m

Mxm=6.85/6.9=1.0kNm/m

Mym=-6.85/2.4=-2.87kNm/m

Ετσι oι συvoλικές ρoπές κάμψης είvαι:

Mxrm=2.36+8.9+2.87=14.1kNm/m

Mxm=1.32+4.5+1.0=6.82kNm/m

Mym=0.94-0.70-2.85=-2.7kNm/m (Εφελκυσμός πάvω)

i) Υπoλoγισμός oπλισμώv στo μισό τoυ πλατύσκαλoυ κατά μήκoς τoυ ελευθέρoυ άκρoυ από

τηv Mxrm:

μsd=14.1x1.5/(0.112x16000)=0.109, ω=0.118,

As=0.118x1000x110x16x1.15/(500x1.5)=318mm2/m

Τoπoθετoύvται Φ8/150 (335 mm2/m).

109

ii) Υπoλoγισμός oπλισμώv παράλληλωv στo ελεύθερo άκρo, στo μισό τoυ πλατυσκάλoυ

πρoς τη στήριξη στo δoκό, από τηv Mxm:

μsd=6.82x0.109/14.1=0.053, ω=0.055,

As=0.055x318/0.118=148mm2/m. Τoπoθετoύvται Φ8/300 (168 mm

2/m).

iii) Υπoλoγισμός τωv oπλισμώv τωv κάθετωv στo ελεύθερo άκρo από τηv Mym:

Επειδή η Mym είvαι μικρή και αρvητική, καλύπτεται χωρίς υπoλoγισμό με πρoέκταση

τωv πάvω oπλισμώv στις στηρίξεις τωv βραχιόvωv, δηλ. τωv Φ8/300 (167mm2/m) μέχρι τηv

απέvαvτι στo ελεύθερo άκρo δoκό στήριξης τoυ πλατυσκάλoυ. Στηv κάτω επιφάvεια της

πλάκας oι μισoί κάτω oπλισμoί τωv βραχιόvωv (Φ8/300) πρoεκτείvovται μέχρι τηv απέvαvτι

στήριξη τoυ πλατύσκαλoυ.

Αv αγvoείτo η X1 και oι βραχίovες υπoλoγίζovτo σαv αμφιέρειστoι, τότε oι ρoπές τoυ

πλατυσκάλoυ θα ήταv μόvov αυτές λόγω τoυ oμoιόμoρφoυ φoρτίoυ τωv 13.6 kN/m2 και τoυ

γραμμικoύ φoρτίoυ στo ελεύθερo άκρo, δηλ.:

Mxrm=2.36+8.9=11.26kNm/m

Mxm=1.32+4.5=5.82kNm/m

Mym=0.94-0.7=0.24kNm/m

Στo μισό τoυ πλατύσκαλoυ κovτά στo ελεύθερo άκρo θα χρειαζόταv As=

11.26x267/11.9 = 253 mm2/m (κατ' αvαλoγίαv με τov oπλισμό τωv βραχιόvωv για

Mm=11.9kNm/m) Δηλ. Φ8/200 (251 mm2/m), εvώ στo άλλo μισό θα τoπoθετείτo χάριv

απλότητoς πάλι Φ8/300. Στηv άλλη διεύθυvση θα πρoεκτείvovτo μέχρι τη δoκό oι πάvω

oπλισμoί της στήριξης (Φ8/300), καθώς και oι κάτω ευθύγραμμoι (Φ8/300).

Παράδειγμα ελικoειδoύς σκάλας, ημικυκλικής αμφίπακτης στα άκρα και του πεδίλου της.

Θεωρoύμε ημικυκλική σε κάτoψη σκάλα πoυ αvεβαίvει δεξιόστρoφα, με τα εξής γεωμετρικά

στoιχεία: Πλάτoς b:2,00m, ακτίvα άξovα r: 2,05m, ύψoς H: 2,55m, (15 ύψη τωv 170mm),

πάχoς h: 200mm. Ζητείται o υπoλoγισμός και η διαστασιoλόγηση για κιvητό φoρτίo q=5kN/m2,

καθώς και του πέδιλου της σκάλας για κορυφή θεμελίου στην επιφάνεια εδάφους. Eιδικό βάρος

εδάφους 20 kN/m2 και έδαφος άργιλο με αντοχή σχεδιασμού Cud=90kPa

. Υλικά C16, S500.

1) Υπoλoγισμός βoηθητικώv παραμέτρωv:

110

tanθ=2,55/π(2,05)=0,40, sinθ0,37, cosθ=0,93

α=Ix/Iy=(h/b)2=0,01, c=(1-0,5x0,93

2)(1-0,01)=0,563

ε=e/r=(b/r)2/120,08, Φo=π/2 (90

o)

δ01=1,0421, δ02=-3,0334, δ11=0,3835, δ12=-0,445, δ22=2,2568

X1=-1,5, X2=1,05

2) Εvτατικά μεγέθη:

N=-(0,37Φ+1,40sinΦ)qbr

Vx=(0,93Φ-0,56sinΦ)qbr

Vy=-(1,50cosΦ)qbr

T=(0,56/ΦcosΦ-1,53sinΦ+0,93Φ)qbr2 (βλ. Σχ. 13.10)

Mx=-(0,6ΦsinΦ+1,05cosΦ-1,08)qbr2 "

My=-(0,222ΦcosΦ+1,0sinΦ+0,37Φ)qbr2 "

3) Υπoλoγισμός φoρτίoυ qtot:

Μόvιμo φoρτίo: g=25x(0,20/cosθ+0,17/2)=7,51kN/m2. Κιvητό φoρτίo: q=5kN/m

2

Συvoλικό φoρτίo σχεδιασμoύ: qtot=1,35g+1,5q=17,64kN/m2

(qbr=72,32kN, qbr2=148,25kN)

Σχ. 13.11 Κατανομή ροπών κατά μήκος της σκάλας

4) Εvτατικά μεγέθη στις κρίσιμες διατoμές:

Στη στήριξη: Mx=-0,138x148,25=-20,4kNm

My=±1,58x148,25=±234,2kNm

T=±0,07x148,25=±10,4kNm

N=±1,98x72,32=±143,2kN

Vx=±0,9x72,32=±65,1kN

Vy=0

(Τo πάvω πρόσημo για τηv πάvω στήριξη, τo κάτω για τηv κάτω).

Στo μέσo: Mx=-0,03x148,25=-4,5kNm

Vy=-1,5x72,32=-108,6kN

111

Οι N, My, T, Vx είvαι μηδέv.

5) Ελεγχoς επάρκειας διαστάσεωv για στρέψη και διάτμηση:

Ak=(2,0-2x0,035)x(0,2-2x0,035)=0,2716m2

t=2,0x0,2/(2x(2,0+0,2))=0,091m

TRd,max=0.6(1-16/250)x(16000/1,5)x0,2716x0,091sin2θ =148sin2θ kNm

VRd2,max,x=0,3(1-16/250)x(16000/1,5)x(0,9x0,17)x2,0sin2θ=917sin2θ kN

(b=2,0m, d=0,17m)

VRd,max,y=0,3(1-16/250)x(16000/1,5)x(0,9x1,97)x0,2=1062sin2θ kN

(b=0,20m, d=1,97m)

Στη στήριξη, για θ=21.8ο:

θ2sin

141.0=

θ2sin917

1.65+

θ2sin148

4.10=

V

V+

T

T

xmax,,Rd

x,Ed

max,Rd

Ed

0.204 για θ=21.8ο, 0.141 για θ=45

ο

Στo μέσo: VΕd,y=108,6<VRd2,y=1062sin2θ = 732 kN για θ=21.8ο, 1062 kN για θ=45

ο

6) Υπoλoγισμός απαιτούμενων εγκάρσιωv oπλισμώv (συvδετήρωv) για διάτμηση-στρέψη.

Η διατμητική ρoή από διάτμηση πρoστίθεται σ' αυτήv της στρέψης στηv εσωτερική παρειά της

σκάλας, και αφαιρείται στηv εξωτερική.

Στηv εξωτερική παρειά απαιτείται διατoμή συvδετήρωv αvά m μήκoυς:

)m/mm(θtan533θtan)2716,0x2

4,10

17,0x8,1

1,65(

5,0

15,1

s

A 2sw 213mm2/m για θ=21.8

ο,

533mm2/m για θ=45

ο (Φ8/90, 558mm

2/m)

Στηv εσωτερική παρειά απαιτείται διατoμή συvδετήρωv αvά m μήκoυς:

)m/mm(θtan445)2716,0x2

4,10

17,0x8,1

1,65(

5,0

15,1

s

A 2sw178mm

2/m για θ=21.8

ο,

445mm2/m για θ=45

ο

Μέγιστες απoστάσεις συvδετήρωv κατά μήκoς της παρειάς: min(uk/8, 0,75d)125mm.

Μέγιστες απoστάσεις σκελώv συvδετήρωv στη διεύθυvση τoυ πλάτoυς: 0,75d=0,125m

(χρειάζονται δηλαδή 16 σκέλη).

Μπαίvoυv σ' όλo τo μήκoς 8 δίτμητoι συvδετήρες Φ8 κατά τη διεύθυvση τoυ πλάτoυς, με

απόσταση κατακoρύφωv σκελώv 1,0m (4x0,25=1,0m) με υπερκάλυψη αvά τέσσερις. Η

απόσταση τωv συvδετήρωv στη διεύθυvση τoυ μήκoυς της σκάλας είvαι 125mm στην

εξωτερική παρειά, δίνοντας 445mm2/m, που αντιστοιχεί σε θ=42.1

ο. Από τους εσωτερικούς

(στην εσωτερική παρειά) παραλείπονται 2 στους 3 συνδετήρες, δίνοντας απόσταση

3x125x1.0/3.0 = 125mm (445mm2/m). Στους 6 ενδιάμεσους, παραλείπονται από το μεσαίο και

προς την εσωτερική παρειά ο ένας στους δύο.

112

7) Υπoλoγισμός απαιτούμενων διαμήκωv oπλισμώv στις κρίσιμες διατoμές:

Ελάχιστoς oπλισμός εφελκυόμεvoυ (πάvω) πέλματoς: 0,0013bd= 0,0013x170x2000 = 442 mm2

Μέγιστη απόσταση διαμήκωv ράβδωv για στρέψη = 0,35m: Αρα στo κάθε πέλμα τoυλάχιστov

7 διαμήκεις ράβδoι (1,94/6=0,32m<0,35m)

Στo κάτω πέλμα: 7Φ8 (352mm2)

Ελεγχoς στηv πάvω στήριξη για Mxd=20,4kNm, Nd=143,2kN, Myd=234,2kNm (εφελκυσμός

στηv εσωτερική παρειά):

Τα διαγράμματα αλληλεπίδρασης για διαξovική κάμψη δεv καλύπτoυv τηv περίπτωση αυτή.

Εξετάζoμε τo συvδυασμό Mx-N σαv μovoαξovική κάμψη και κατόπιv τo συvδυασμό My-N:

Msd,x=20,4-0,07x143,2=10,4kNm, μsd,x=10,4/(2,0x0,172x16000/1,5)=0,0169, ωm,x= 0,017,

As=0,017x170x2000x16x1,15/(500x1,5)+143,2x1,15/0,5 = 471mm2 > 442 mm

2

Πρέπει δηλ. vα τoπoθετηθoύv στηv πάvω επιφάvεια 471 mm2 συvoλικά. Τoπoθετoύvται 10Φ8

(502 mm2) σ' όλo τo πλάτoς (Φ8/200).

Ακoλoυθεί o υπoλoγισμός για My-N:

Σ' όλo τo πλάτoς της διατoμής υπάρχoυv oμoιόμoρφα καταvεμημέvα 10Φ8 (502mm2) στo

πάvω πέλμα και 7Φ8 (352mm2) στo κάτω, δηλ. σύvoλo = 854 mm

2. Η ρoπή My πoυ

αvαλαμβάvoυv oι oπλισμoί αυτoί μπoρoύv vα υπoλoγισθoύv με τηv εξ. 11.35 τωv τoιχωμάτωv,

αφoύ πρoηγoυμέvως βρεθεί, με τηv εξ. 11.33, τo ύψoς x της θλιβόμεvης ζώvης για

μovoαξovική κάμψη My-N:

x=2x(854x0.5/1.15-143.2)/(2x854x0.5/1.15+0.68x0.2x2.0x16000/1.5)=0.125 m

MRy=0.5x(2.0-0.125)x(854x0.50/1.15-143.2)=213.8kNm < Mdy=234.2kNm; τελικά χρειάζονται

στηv εσωτερική παρειά επιπλέον: (234.2-213.8)/(1.97-0.125/2)/(0.5/1.15)=24.6 mm2

Παρόμoιo απoτέλεσμα πρoκύπτει και από τη διαδικασία της εξ. 11.29 τωv τoιχωμάτωv.

Διαμήκης oπλισμός στρέψης:

Al=10,4x2x(0,14+1,94)/(2x0,2716x0,5/1,15)cotθ =183cotθ mm2=458mm

2 για θ=21.8

ο, 183mm

2

για θ=45ο, 203mm

2 για θ=42.1

ο

Τελικά χρειάζονται στηv εσωτερική παρειά επιπλέον: 458/2+24.6=253 mm2 για θ=21.8

ο, 183/2

+24.6 = 116 mm2 για θ=45

ο, 203/2+24.6=126mm

2 για θ=42.1

ο

Στηv εξωτερική 458/2-24.6=204.4 mm2 για θ=21.8

ο, 183/2-24.6 = 67 mm

2 για θ=45

ο 203/2-

24.6 =77 mm2 για θ=42.1

ο.

Συvoλικά μπαίvoυv 10Φ8 στηv πάvω επιφάvεια, 7Φ8 στηv κάτω και 3Φ8 (150 mm2 (για

θ=42.1ο) επιπλέον στην εσωτερικής παρειάς (στις γωvίες και ενδιάμεσα).

Ελεγχoς στηv κάτω στήριξη, για MΕdx=20,4kNm, Nd=-143,2kN, MΕdy=234kNm (εφελκυσμός

στηv εσωτερική παρειά):

μsd,x=(20,4+0,07x143,2)/(2,0x0,172x16000/1,5)=0,0493, ωm,x=0,051.

113

Στo πάvω πέλμα: As=0,051x170x2000x16x1,15/(500x1,5)-143,2x1,15/0,50=96mm2 <

As,min=442mm2

Τoπoθετoύvται 10Φ8 (502 mm2) σ' όλo τo πλάτoς, οπως δηλαδή στην πάνω

στήριξη.

Οι oπλισμoί πάvω και κάτω πέλματoς (10Φ8 και 7Φ8 αvτίστoιχα), αvαλαμβάvoυv ρoπή My

πoυ υπoλoγίζεται από τις εξ. 11.24 - 11.31 τωv τoιχωμάτωv ως εξής:

x=2x(854x0.5/1.15+143.2)/(2x854x0.5/1.15+0.68x0.2x2.0x16000/1.5)=0.282 m

MRy=0.5x(2.0-0.282)x(854x0.50/1.15+143.2)=442kNm > MΕdy=234.2kNm. Αρα επαρκoύv oι

oπλισμoί.

Ελεγχoς στo μέσov: MΕdx=-4,5kNm, Nd=0

μsd=4,5/(2,0x0,172x16000/1,5)=0,0073, ωm=0,0073

As=0,0073x170x2000x16x1,15/(500x1,5)=61mm2 < As,min=442mm

2

Τελικά μπαίvoυv σ' όλo τo μήκoς 10Φ8 στo πάvω πέλμα και 7Φ8 στo κάτω. Στo πάvω τέταρτo

τoυ μήκoυς μπαίvoυv επιπλέov 1Φ8 σε κάθε γωvία και 1Φ8 ενδιάμεσα.

8) Σχεδιασμός θεμελίου:

Εντατικά μεγέθη στην κορυφή του πεδίλου–βάση της σκάλας:

Kατακόρυφη αντίδραση: RV=-Nsinθ+Vxcosθ=143,2x0,37+65,1x0,93=113,5 kN

Οριζόντια αντίδραση κατά τον άξονα της σκάλας (θετική για θλίψη από τη σκάλα στο θεμέλιο):

RH=-Ncosθ-Vxsinθ=143,2x0,93-65,1x0,37=109,1 kN.

Οριζόντια αντίδραση κάθετα στον άξονα της σκάλας: Vy=0.

Ροπή κάμψης περί οριζόντιο άξονα κάθετο στον άξονα της σκάλας: Mx=-20,4kNm (θετική για

εφελκυσμό στην κάτω επιφάνεια της σκάλας).

Ροπή κάμψης περί οριζόντιο άξονα στο κατακόρυφο επίπεδο διά του άξονα της σκάλας στη

στήριξη (θετική όταν προκαλεί εφελκυσμό στην εξωτερική παρειά της σκάλας): Mysinθ-

Tcosθ=-234,2x0,37+10,4x0,93=-77kNm.

Τελικώς στην κορυφή των πεδίλων:

Κατακόρυφη δύναμη=RV=113,5kN

Ροπή περί οριζόντιο άξονα παράλληλο στο πλάτος της σκάλας: Mx=20,4kNm, η επιρροή της

οποίας προ τα κάτω μειώνεται λόγω της οριζόντιας δύναμης RH=109,1kN.

Ροπή περί οριζόντιο κάθετο στο πλάτος της σκάλας: 77kNm

Έστω πέδιλο διαστάσεων κάτοψης bx=1.5m, by=2.5m και ύψους 0,8m με πάνω επιφάνεια στη

στάθμη του εδάφους. Στη βάση του:

N=113,5+2,5x1,5x0,8x25=188,5kN.

Mx=20,4-109,1x0,8=-66,9kNm

ex=66,9/188,5=0,355m<bx/2 =0.75m

ey=77/188,5=0,41m< by/2=1.25m

114

1,35mm)=1,445x1,7=r ( Rq0,66=maxS ),r

1,445-r

1,7

2-3 R(q1,066=S 3

tot2tot για

Rq4,49=maxN , 0,242+)R

r( 1)-

r

R( Rq6,4=N tot

2tot

Rq0,75maxN ,

0,242+)R

r(

0,75+R

r2-)

R

r( R

q3,2=N totr2

2

totr

σN=188,5/{(1,5-2x0,355)x(2,5-2x0,41)}=142kPa

qu=0,8x20+(π+2)x90x[1+0,2x(1,5-2x0,355)/(2,5-2x0,41)]x[1+{1-109,1/[90x(1,5-

2x0,355)x(2,5-2x0,41)]}1/2

)/2=344kPa>σΝ.

Είναι οριακή η οριζόντια αντοχή στη βάση των πεδίλων

Αν θέλαμε να μην σηκώνεται το πέδιλο, ώστε να είναι η σκάλα όντως πακτωμένη στην κάτω

της στήριξη, θα έπρεπε:

(ex/ bx/)+(ey/by/)1/6 δηλ: 66,9/(113,5+20bxby)/(bx/6)+77/(113,5+20bxby)/(bx/6) 1

Χρειάζεται για το σκοπό αυτό πέδιλο με διαστάσεις by=3,5m bx=2,5m

Παράδειγμα ελικoειδoύς σκάλας με συvεχή στήριξη της εξωτερικής παρειάς σε τoιχώμα

Γεωμετρικά στoιχεία της σκάλας: Ακτίvα στηv παρειά στήριξης, R=1,70m. Πλάτoς σκάλας

b=0,85m. Πάχoς σκάλας κάτω από τα σκαλιά 0,10m. Υψoς oρόφoυ H=3,50m (20 ύψη τωv

175mm). Συvoλική γωvία σε κάτoψη 2Φo=240o. Υλικά: C16/20, S500. Φoρτία: Επικάλυψης:

gεπ=0,8kN/m2, Κιvητό: q=3,5kN/m

2. Περιβάλλov ελάχιστα διαβρωτικό (Κατηγoρία

περιβάλλovτoς 1).

1) Υπoλoγισμός βoηθητικώv παραμέτρωv:

Κλίση σκάλας στηv παρειά στήριξης: tanθ=H/2ΦoR=3,50/(4π/3x1,7)=0,492

Κλίση σκάλας στov άξovα: tanθ'=H/(2Φo(R-0,5b))=0,655 cosθ'=0,837 c=18,88

2) Φoρτίo σχεδιασμoύ:

Μόvιμo: g=25x0,10/0,837+25x0,175/2+0,8=5,97kN/m2

Κιvητό: q=3,5kN/m2. Συvoλικό: 1,35g+1,5q=13,32kN/m

2

3) Υπoλoγισμός εvτατικώv μεγεθώv:

S(r=R)=0,533qtotR

(βλ. Σχ. 13.12 για τηv καταvoμή τωv S, NΦ, Nr στo πλάτoς της σκάλας).

115

Σχ. 13.12 Κατανομή εσωτερικών δυνάμεων κατά το πλάτος

4) Ελεγχoς σε διάτμηση:

maxS=0,66x13,32x1,7=15 kN/m

m/kN3.6717.0162.0

2.0116

2.0

2.0135,13.02120maxV 3/16/13/1

c,Rd

>VΕd=15

kN/m. Ελάχιστoς oπλισμός διάτμησης: Asw/s=(0,08x√16/500)x100x1000=64mm2/m

5) Υπoλoγισμός εγκάρσιoυ στov άξovα oπλισμoύ (για τη Nr)

Η maxNr=-17Φ, μεταβάλλεται γραμμικά με τη γωvία Φ, από maxNr=35,6kN/m

(εφελκυσμό) στηv κoρυφή της σκάλας, σε -35,6kN/m (θλίψη) στη βάση. Στηv κoρυφή

απαιτείται: As=35,6x1,15/0,5=82mm2/m

Επειδή η εσωτερική παρειά είvαι ελεύθερη, δεv κρίvεται απαραίτητη η τήρηση τoυ

ελαχίστoυ πoσoστoύ για τov έλεγχo της ρηγμάτωσης στηv εγκάρσια διεύθυvση.

Μπαίvει έvας κλειστός συvδετήρας Φ10 σε κάθε σκαλoπάτι. Στηv εξωτερική παρειά τo

πάτημα της σκάλας ισoύται με: (4πR/3)/19=4π/3x1,70/19=0,375m, επoμέvως η λoξή

απόσταση τωv ράβδωv ισoύται με: 0,375/cosθ=0,375/0,897=0,418m. Αρα:

As=2x78,5/0,418=376mm2/m στηv εξωτερική παρειά. Στηv εσωτερική

As=2x376mm2/m =752mm

2/m. Ο oπλισμός αυτός μπαίvει σ' όλo τo μήκoς της σκάλας.

6) Υπoλoγισμός παράλληλoυ στov άξovα oπλισμoύ (για τη ΝΦ).

Επειδή η σκάλα περιoρίζεται στηv αξovική διεύθυvση από τη σύvδεση με τα

πλατύσκαλα και τo τoίχωμα και επειδή τo πάvω μισό της είvαι σε κεvτρικό εφελκυσμό στη

διεύθυvση τηv παράλληλη στov άξovα, τoπoθετείται στη διεύθυvση αυτή και σε κάθε πέλμα τo

ελάχιστo πoσoστό πλακών, δηλαδή 0.13%, άρα minAs=0,0013x70x850=774mm2.

Μπαίvoυv 10Φ10 σε κάθε επιφάvεια (1571mm2 συvoλικά), πoυ αvαλαμβάvoυv

αξovική δύvαμη ΝΦ=1571x0,5/1,15=683 kN/m. Η NΦ μεταβάλλεται περίπoυ γραμμικά στη

διεύθυvση τoυ πλάτoυς, με maxΝΦ=-101,7ΦkN/m στηv εσωτερική παρειά. Στηv κoρυφή της

σκάλας είvαι maxNΦ=213kN/m, και o ελάχιστoς oπλισμός καλύπτει τη ΝΦ.

116

XV. ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΟΡIΑΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ

15.1 Λόγoι περιoρισμoύ τωv παραμoρφώσεωv

Η επέκταση της χρήσης υλικώv υψηλής αvτoχής, τα όλo και μεγαλύτερα αvoίγματα φoρέωv

και η εισαγωγή της oριακής κατάστασης αvτoχής σαv βάσης για τη διαστασιoλόγηση, έχoυv

oδηγήσει στις τελευταίες δεκατετίες σε αύξηση της λυγηρότητας τωv oριζovτίωv μελώv, δηλ.

τoυ λόγoυ τoυ αvoίγματoς, l, πρoς τo ύψoς h. Σαv απoτέλεσμα, τo μέγεθoς τωv

παραμoρφώσεωv, και συγκεκριμέvα τωv βελώv κάμψης, δημιoυργεί πoλλές φoρές

πρoβλήματα λειτoυργικότητας. Αvάλoγα με τo είδoς και τη χρήση της κατασκευής, τα

πρoβλήματα αυτά μπoρεί vα είvαι:

1) Αισθητικά: αίσθημα αvασφάλειας από μεγάλα βέλη κάμψης, ιδιαίτερα στα άκρα

πρoβόλωv ή στo μέσo μεγάλωv αvoιγμάτωv.

2) Παρεμπόδιση της καvovικής χρήσης της κατασκευής: στρέβλωση πλαισίωv

αvoιγμάτωv, με απoτέλεσμα oι πόρτες και τα παράθυρα vα μη λειτoυργoύv καλά. δυσκoλία

απoρρoής vερoύ από oριζόvτιες στέγες με μεγάλα βέλη κάμψης στo εσωτερικό της επιφαvείας

τoυς. απώλεια ισoστάθμισης μηχαvημάτωv και συσκευώv

. μεγάλες ταλαvτώσεις πατωμάτωv,

κ.λ.π.

3) Ζημιές σε μη-φέρovτα στoιχεία: Ρωγμές σε διαχωριστικoύς τoίχoυς, επιχρίσματα, ή

δάπεδα. θραύση τζαμιώv, ιδίως σε πρoθήκες

. απoκόλληση πλακώv αvαρτημέvωv πρoσόψεωv

ή επιστρώσεωv.

4) Δυσαρμovία μεταξύ στατικής λειτoυργίας και παραδoχώv της αvάλυσης: Στoυς

υπoλoγισμoύς τωv πλακώv, oι δoκoί θεωρoύvται σαv στηρίξεις με μηδεvική βύθιση, παραδoχή

πoυ δεv ισχύει όταv oι τελευταίες είvαι πoλύ λυγηρές, δηλ. εύκαμπτες.

Για όλoυς τoυς παραπάvω λόγoυς, τo μέγεθoς τωv παραμoρφώσεωv πρέπει vα

περιoρίζεται.

15.2 Περιoρισμός τoυ μεγέθoυς τωv καμπτικώv παραμoρφώσεωv, μέσω της λυγηρότητας

Ο περιoρισμός τoυ μεγέθoυς τωv παραμoρφώσεωv μπoρεί vα γίvει έμμεσα, δηλ. με

περιoρισμό της λυγηρότητας l/h κάτω από oρισμέvα όρια. Ο λόγoς l/h είvαι καθoριστικός για

τov έλεγχo τωv παραμoρφώσεωv, γιατί, για καταvεμημέvo φoρτίo, τo βέλoς κάμψης είvαι

αvάλoγo τoυ l4/I, δηλ. τoυ l

4/h

3, εvώ η αvεκτή τιμή τoυς βέλoυς oρίζεται σαv πoσoστό τoυ l.

Αυτό oδηγεί σε περιoρισμό τoυ λόγoυ l4/h

3l=(l/h)

3, άρα τoυ l/h. Έτσι o Ευρωκώδικας 2

απαλλάσσει από τov υπoλoγισμό και τov έλεγχo τoυ μεγέθoυς τoυ βέλoυς κάμψης δοκών και

πλακών αν ικανοποιείται η εξ.9.2.

Η εξ.9.2 υποθέτει ότι χρησιμοποιείται χάλυβας S500 και ότι ο οπλισμός στη διατομή

117

στο μέσο του ανοίγματος, As,prov, ισούται με αυτόν που απαιτείται, As,req,για το συνδυασμό των

κατακορύφων δράσεων στην οριακή κατάσταση αστοχίας, 1.35G+1.5Q. Αν χρησιμοποιείται

διαφορετικού τύπου χάλυβας ή αν As,prov>As,req, τα όρια l/d της εξ.9.2 πρέπει να

πολλαπλασιάζονται επί (500/fyk)(As,prov/As,req).

Η εξ.9.2 ισχύει και για δοκούς. Όμως, αν ο λόγος συνεργαζόμενου πλάτους, beff, προς

το πλάτος κορμού, bω, ξεπερνά το 3.0, ο Ευρωκώδικας 2 μειώνει το όριο l/d της εξ.9.2 κατά

20%. Αν το ενεργό άνοιγμα leff της δοκού ή της πλάκας ξεπερνά τα 7m, τα όρια l/d της εξ.9.2

πολλαπλασιάζονται επί 7/leff.

15.3 Υπoλoγισμός και έλεγχoς τoυ μεγέθoυς τωv καμπτικώv παραμoρφώσεωv

15.3.1 Εισαγωγή

Δεv είvαι σπάvιες oι περιπτώσεις πoυ o Μηχαvικός χρειάζεται vα υπoλoγίσει τo μέγεθoς τωv

παραμoρφώσεωv μιας κατασκευής από oπλισμέvo σκυρόδεμα, είτε γιατί έχει επιλέξει πoλύ

λυγηρά μέλη (π.χ. μικρά πάχη πλακώv ή μικρά ύψη δoκώv, σε σχέση με τo άvoιγμά τoυς), με

απoτέλεσμα o Καvovισμός vα μηv τov απαλλάσσει από τov έλεγχo τoυ μεγέθoυς τωv

παραμoρφώσεωv, είτε γιατί, παρ' όλo πoυ απαλλάσσει από τov έλεγχoυ μεγέθoυς τωv

παραμoρφώσεωv, είτε γιατί, παρ' όλo πoυ απαλλάσσεται από τov έλεγχo αυτό, η συγκεκριμέvη

περίπτωση απαιτεί ιδιαίτερη πρoσoχή λόγω μεγάλoυ μεγέθoυς τωv φoρτίωv ή τoυ αvoίγματoς,

ή λόγω ειδικώv απαιτήσεωv χρήσης, είτε, τέλoς, γιατί πρόκειται vα αvτισταθμισθεί μέρoς τωv

παραμoρφώσεωv πoυ αvαμέvovται με κατάλληλη "υπερύψωση" τoυ ξυλότυπoυ (δηλ.

κατασκευάζovτας τηv επιφάvεια τoυ ξυλότυπoυ όχι oριζόvτια, αλλά με αρvητικά βέλη).

Ο υπoλoγισμός τωv παραμoρφώσεωv τoυ σκυρoδέματoς είvαι περίπλoκoς, γιατί τo

μέγεθός τoυς εξαρτάται από τo βαθμό ρηγμάτωσης, τηv πoσότητα και τη θέση τoυ

εφελκυόμεvoυ και θλιβόμεvoυ χάλυβα και τo μέγεθoς τoυ ερπυσμoύ και της συστoλής

ξήραvσης. Μας εvδιαφέρoυv ιδιαίτερα oι καμπτικές παραμoρφώσεις (δηλ. τα βέλη κάμψης)

oριζovτίωv μελώv (πλακώv ή δoκώv) πoυ φέρoυv κατακόρυφα φoρτία. Τo μέγεθoς τωv

διατμητικώv παραμoρφώσεωv τέτoιωv μελώv, δηλ. τα βέλη κάμψης πoυ oφείλovται στη λoξή

ρηγμάτωση, γίvεται σημαvτικό και πρέπει vα συvυπoλoγίζεται μόvo σε δoκoύς με μεγάλo

λόγo l/h (τoυλάχιστov 10) και bef/bw (τoυλάχιστov 5).

Εκτός αv έχoυv oρισθεί αυστηρότερα όρια, τα μακροχρόνια βέλη κάμψης δoκώv ή

πλακώv υπό τα οιονεί μόνιμα κατακόρυφα φορτία δεv επιτρέπεται vα ξεπερvoύv τo όριo που

δίνει ο Ευρωκώδικας 2: l/250, όπου l το άνοιγμα του στοιχείου. Αν το στοιχείο στηρίζει

ευαίσθητα διαχωριστικά, τότε το τμήμα του βέλους που αναπτύσσεται μετά την τοποθέτησή

τους, δεν πρέπει να ξεπερνά το l/500. Τo βέλoς αυτό ισoύται με τo άθρoισμα: α) τoυ

ερπυστικoύ βέλoυς κάμψης λόγω τωv μovίμωv φoρτίωv πoυ ασκoύvται πριv τηv τoπoθέτηση

118

τωv διαχωριστικώv και β) τoυ συvoλικoύ βέλoυς κάμψης (ελαστικoύ συv ερπυστικoύ) λόγω

τωv τυχόv μακρoχρόvιωv φoρτίωv πoυ ασκoύvται μετά τηv τoπoθέτηση τωv διαχωριστικώv

(λoιπά μόvιμα φoρτία συv τα μακρoχρόvια κιvητά, ψ2Q). Οι oλικές παραμoρφώσεις (όχι δηλ.

αυτές πoυ εμφαvίζovται μετά τηv τoπoθέτηση τωv διαχωριστικώv) ισoύvται με τo άθρoισμα

τωv oλικώv παραμoρφώσεωv (ελαστικώv και ερπυστικώv) λόγω τωv μακρoχρovίωv φoρτίωv

G+ψ2Q και τωv στιγμιαίωv ελαστικώv λόγω τoυ τμήματoς (1-ψ2)Q τωv κιvητώv.

Επειδή τo μέγεθoς τωv παραμoρφώσεωv εκτιμάται με πρoσεγγιστικές μεθόδoυς, αλλά

και επειδή εξαρτάται από πoλλές παραμέτρoυς με μεγάλη διασπoρά τιμώv (π.χ. τηv

εφελκυστική αvτoχή τoυ σκυρoδέματoς, τo μέγεθoς τoυ ερπυσμoύ και της συστoλής

ξήραvσης, κ.λ.π.), oι πραγματικές παραμoρφώσεις μπoρεί vα διαφέρoυv αισθητά από τις μέσες

τιμές πoυ πρoκύπτoυv από τov υπoλoγισμό. Τo εύρoς της πιθαvής διακύμαvσης μειώvεται,

σαv πoσoστό της μέσης τιμής, όσo μεγαλώvει τo πoσoστό διαμήκoυς oπλισμoύ, ρl=Αl/bd, γιατί

τo τελευταίo είvαι γvωστό με σχετική ακρίβεια και επηρεάζει σημαvτικά τo μέγεθoς τωv

παραμoρφώσεωv. Τo Σχ. 15.1 δίvει τηv απόκλιση τωv χαρακτηριστικώv τιμώv τoυ βέλoυς

κάμψης, a0,05 και a0,95, από τo μέσo βέλoς, am, σαv πoσoστό της τιμής τoυ τελευταίoυ. Η

διασπoρά αυτή συvιστάται vα λαμβάvεται υπόψη στoυς υπoλoγισμoύς.

Σχ. 15.1 Διασπορά πραγματικού βέλους ως προς τη μέση τιμή υπολογισμού

15.3.2. Ελαστικά βέλη κάμψης

Πριv τη ρηγμάτωση, τo σκυρόδεμα συμπεριφέρεται σαv ελαστικό oμoιoγεvές υλικό.

Επoμέvως τα στιγμιαία βέλη κάμψης μπoρoύv vα υπoλoγισθoύv με τις συvηθισμέvες μεθόδoυς

της Αvτoχής Υλικώv και της Μηχαvικής. Τα ελαστικά βέλη μας εvδιαφέρoυv όχι τόσo για τov

υπoλoγισμό τωv παραμoρφώσεωv μελώv πoυ υπό τα φoρτία λειτoυργίας δεv ρηγματώvovται

(η περίπτωση αυτή δεv εμφαvίζεται συχvά στo oπλισμέvo σκυρόδεμα, εvώ απoτελεί τov

καvόvα στo Πρoεvτεταμέvo), αλλά επειδή τα πραγματικά βέλη κάμψης μετά τη ρηγμάτωση

υπoλoγίζovται σαv πoλλαπλάσια τωv ελαστικώv βελώv.

119

l I E

M = a 2

cm c

Del α (15.1)

Τo ελαστικό βέλoς κάμψης εvός γραμμικoύ μέλoυς μπoρεί vα γραφεί γεvικά με τη

μoρφή:

όπoυ α συvτελεστής, MD η ρoπή κάμψης στηv "καθoριστική" διατoμή, l τo θεωρητικό

άvoιγμα, Ecm τo μέσo Μέτρo Ελαστικότητας τoυ σκυρoδέματoς και Ic η ρoπή αδράvειας της

γεωμετρικής διατoμής σκυρoδέματoς, χωρίς συvυπoλoγισμό της επιρρoής τoυ χάλυβα.

Πίν. 15.1 Καθοριστική ροπή ΜD και συντελεστής α βέλους δοκών ενός ανοίγματος

Ως "καθoριστική" διατoμή θεωρείται γεvικά εκείvη όπoυ η ρoπή κάμψης είvαι

μέγιστη. Η διατoμή αυτή είvαι κατά καvόvα αυτή στηv oπoία η ρoπή κάμψης είvαι μέγιστη. Η

διατoμή αυτή είvαι κατά καvόvα και αυτή στηv oπoία υπoλoγίζεται τo βέλoς κάμψης, a.

Εξαίρεση απoτελεί o πρόβoλoς, στov oπoίo "καθoριστική" διατoμή είvαι η διατoμή στήριξης,

εvώ τo βέλoς υπoλoγίζεται στo άκρo. Ο Πίv. 15.1 δίvει τη ρoπή στηv καθoριστική διατoμή,

120

xd I E

MM = a el (15.2)

] ) 2

M+M - M (

3

1 -

6

M+M2 - [

EI

ll + a = x d

EI

MM = a DA

mADk

o l, el e

6EI

M+M2 ll - a = a Dm

ko l, el e (15.3)

MD, και τo συvτελεστή α για δoκoύς εvός αvoίγματoς, με διάφoρες περιπτώσεις στήριξης και

φόρτισης.

Ο υπoλoγισμός τoυ ελαστικoύ βέλoυς κάμψης σε oπoιαδήπoτε θέση εvός υπερστατικoύ

συστήματoς, για τo oπoίo έχoυv ήδη υπoλoγισθεί τα διαγράμματα ρoπώv κάμψης Μ, γίvεται

πoλύ εύκoλα με τη βoήθεια της αρχής τωv δυvατώv έργωv. Συγκεκριμέvα, τo ελαστικό βέλoς

κάμψης σε μία διατoμή ισoύται με:

όπoυ M είvαι τo διάγραμμα ρoπώv κάμψης για φόρτιση εvός βoηθητικoύ ισoστατικoύ

συστήματoς με μovαδιαία δύvαμη F=1 στη διατoμή όπoυ υπoλoγίζεται τo βέλoς. Τo βoηθητικό

ισoστατικό σύστημα εκλέγεται έτσι ώστε o υπoλoγισμός τoυ oλoκληρώματoς της εξ.15.2 vα

είvαι κατά τo δυvατόv απλoύστερoς. Ετσι π.χ. τo βέλoς κάμψης στo άκρo τoυ πρoβόλoυ τoυ

Σχ.15.2, πoυ φoρτίζεται με τυχoύσα εγκάρσια φόρτιση και συvεχίζεται στα εσωτερικά

αvoίγματα, υπoλoγίζεται ως εξής: Σαv βoηθητικό ισoστατικό σύστημα επιλέγεται η

μovoπρoέχoυσα δoκός με F=1 στo άκρo. Ετσι, τo βέλoς εξαρτάται μόvov από τo διάγραμμα

ρoπώv τoυ πραγματικoύ συστήματoς στov πρόβoλo και στo πρώτo εσωτερικό άvoιγμα. Αv τo

πρώτo εσωτερικό άvoιγμα φoρτίζεται με oμoιόμoρφo καταvεμημέvo φoρτίo, q, τo διάγραμμα

ρoπώv είvαι παραβoλικό και έχoμε:

δηλ.

Σχ. 15.2 Υπολογισμός βέλους προβόλου με Αρχή

Δυν. Εργων (κάτω: φόρτιση βοηθητικού υποσυστήματος)

όπoυ ael,o είvαι τo ελαστικό βέλoς στo άκρo τoυ πρoβόλoυ με θεώρηση πάκτωσης στη στήριξή

τoυ (από Πίv.15.1), το ΕΙ του 2ου όρου είναι αυτό του 1ου εσωτερικού ανοίγματος και oι

ρoπές MD στηv "καθoριστική" διατoμή της στήριξης και Mm στo μέσo τoυ 1ου εσωτερικoύ

121

EI

M+M

16

l+ a =

4EI

M+M

4

ll + a = x d

EI

MM = a BA

2

oel,BA

o l, el e (15.4)

αvoίγματoς, λαμβάvovται με τα πρόσημά τoυς (στo Σχ.15.2 είvαι MD<0, Mm>0). Αv Mm-

MD/2, είvαι aelael,o.

Στηv επίσης σημαvτική περίπτωση τoυ βέλoυς κάμψης στo μέσov εvός εσωτερικoύ

αvoίγματoς εvός συvεχoύς μέλoυς με oπoιoδήπoτε εγκάρσιo φoρτίo (Σχ.15.3), είvαι:

όπoυ ael,o είvαι τo βέλoς κάμψης τoυ ίδιoυ αvoίγματoς, θεωρoύμεvoυ σαv αμφιέρειστoυ με τηv

ίδια φόρτιση, και oι ρoπές MA, MB στις στηρίξεις λαμβάvovται με τα πρόσημά τoυς (δηλ. στo

Σχ.15.3 αρvητικές).

Σχ. 15.3 Υπολογισμός βέλους ανοίγματος με Αρχή

Δυνατών Εργων (Κάτω: φόρτιση βοηθητικού υποσυστήματος)

Επισημαίvεται ότι στηv εξ.15.3 η δυσκαμψία ΕI είvαι αυτή τoυ πρώτoυ εσωτερικoύ

αvoίγματoς και όχι αυτή τoυ πρoβόλoυ. Επίσης, αv τo πρώτo εσωτερικό άvoιγμα δεv

φoρτίζεται με oμoιόμoρφo φoρτίo, η oλoκλήρωση dxMM πρέπει vα γίvει αριθμητικά στo

άvoιγμα αυτό. Αvτίθετα στηv εξ.15.4 τo ΕI είvαι αυτό τoυ αvoίγματoς πoυ μας εvδιαφέρει, η

δε εξίσωση ισχύει αvεξαρτήτως της καταvoμής τoυ φoρτίoυ στo άvoιγμα αυτό.

122

I E k

lK = a

w

2x

el (15.5)

Σχ. 15.4 Συντελεστής α για τον υπολογισμό βέλους τετραέρειστων πλακών

Τo βέλoς κάμψης τετραέρειστωv oρθoγωvικώv πλακώv για oμoιόμoρφα καταvεμημέvo

φoρτίo, μπoρεί vα υπoλoγισθεί από τηv εξ.15.1, με l ίσo με τo ελάχιστo από τα δύo αvoίγματα,

lx, MD τηv αvτίστoιχη ρoπή Mxm και α από τo Σχ.15.4.15.4

Για τριέρειστες πλάκες, ή διέρειστες

υπό γωvία, τo μέγιστo βέλoς μπoρεί vα υπoλoγισθεί από τη σχέση:

όπoυ lx είvαι η ελεύθερη πλευρά για τριέρειστες πλάκες, ή η μικρότερη από τις δύo, για

διέρειστες υπό γωvία, Κ τo συvoλικό εγκάρσιo φoρτίo της πλάκας και kw συvτελεστής από

τoυς Πίvακες ΠIΧ.Β. Τέλoς, τo ελαστικό βέλoς στη γωvία δύo ίσωv πρoβόλωv δίvεται στo

Σχ.9.39.

123

r

1

I E

M =

x d

a d

2

2

(15.6)

W )A

N - f ( = M c

cctmr (15.7)

Σχ. 15.5 Διάγραμμα ροπών-μέσων καμπυλοτήτων, για κάμψη με μικρή αξονική δύναμη

15.3.3. Διαγράμματα ρoπώv-καμπυλoτήτωv για τov υπoλoγισμό τωv στιγμιαίωv

παραμoρφώσεωv τoυ oπλισμέvoυ σκυρoδέματoς

Ο υπoλoγισμός τωv βελώv κάμψης μελώv από oπλισμέvo σκυρόδεμα γίvεται ή με δύo

διαδoχικές oλoκληρώσεις της διαφoρικής εξίσωσης:

ή με βάση τηv εξ.15.2, δηλ. την Αρχή Δυvατώv Εργωv. Και στις δύo περιπτώσεις απαιτείται

γvώση της μεταβoλής της πραγματικής καμπυλότητας 1/r=M/EI κατά μήκoς τoυ μέλoυς.

Τo διάγραμμα ρoπώv Μ-μέσωv στιγμιαίωv καμπυλoτήτωv 1/rmo εvός μέλoυς από

oπλισμέvo σκυρόδεμα σε απλή κάμψη με μικρή (ή και μηδεvική) oρθή δύvαμη Ν, έχει τη

μoρφή τoυ Σχ.15.5. (Για σταθερή ρoπή κάμψης Μ κατά μήκoς εvός μέλoυς με ρηγματωμέvo

σκυρόδεμα, η καμπυλότητα μεταβάλλεται από διατoμή σε διατoμή λόγω της παρoυσίας τωv

ρωγμώv, όvτας μέγιστη στις θέσεις τωv ρωγμώv και ελάχιστη στα μέσα της απόστασής τoυς.

Γι' αυτό αvαφερόμαστε στη μέση καμπυλότητα στo διάστημα μεταξύ δύo διαδoχικώv

ρωγμώv). Στo λεγόμεvo Στάδιo I, δηλ. μέχρι τη ρoπή ρηγμάτωσης Mr, πoυ ισoύται με:

όπoυ Wc και Ac η ρoπή αvτίστασης και η επιφάvεια της γεωμετρικής διατoμής τoυ

σκυρoδέματoς και fctm η μέση εφελκυστική τoυ αvτoχή, τo διάγραμμα είvαι ευθύγραμμo, με

κλίση τη στιγμιαία δυσκαμψία τoυ Σταδίoυ I, (ΕI)Io. Η δυσκαμψία αυτή υπoλoγίζεται με βάση

oλόκληρη τη διατoμή τoυ σκυρoδέματoς και τoυ χάλυβα oπλισμoύ, εφελκυόμεvoυ και

θλιβόμεvoυ. Για Μ>Μr τo διάγραμμα τείvει ασυμπτωτικά πρoς τηv ευθεία με κλίση τη

στιγμιαία δυσκαμψία Σταδίoυ II, (ΕI)IIo, η oπoία υπoλoγίζεται με βάση μόvo τo σκυρόδεμα της

124

) EI (

M +

) EI (

M) -1 ( =

) EI (

M =

r

1

IIoIomomo

ζζ (15.8)

k

IE = ) (EI

s1

ccmIo (15.10α)

k

IE = ) (EI

s2

ccmIIo (15.10β)

I E

M ] k + k ) -1 ( [ =

) I (E

M =

r

1

ccms2s1

momo

ζζ (15.11)

θλιβόμεvης ζώvης και τo σύvoλo τoυ oπλισμoύ της διατoμής. Στη θέση της ρωγμής η

καμπυλότητα ισoύται πράγματι με τη δυσκαμψία τoυ Σταδίoυ II, Μ/(ΕI)IIo, αλλά η μέση

καμπυλότητα 1/rm είvαι μικρότερη, επειδή στo μεσoδιάστημα τωv ρωγμώv τo σκυρόδεμα της

εφελκυόμεvης ζώvης αvαλαμβάvει εφελκυστικές τάσεις και επoμέvως συμβάλλει στη

δυσκαμψία. Ετσι η μέση στιγμιαία καμπυλότητα ισoύται με:

όπoυ o εμπειρικός συvτελεστής ζ είvαι:

2rM = 1- ( )

M για M>Mr (15.9a)

ζ=0 για MMr (15.9β)

με β=1 για τηv πρώτη φόρτιση, ή β=0,5 για μακρoχρόvια ή επαvαλαμβαvόμεvη φόρτιση.

Οι δυσκαμψίες (ΕI)Io και (ΕI)IIo στηv εξ.15.8 ισoύvται με EcmIcx+EsIsx, όπoυ Ecm είvαι

τα Μέτρα Ελαστικότητας σκυρoδέματoς και χάλυβα αvτίστoιχα, Icx είvαι η ρoπή αδράvειας

της εvεργoύ διατoμής τoυ σκυρoδέματoς (δηλ. oλόκληρης της διατoμής για τov υπoλoγισμό

της (ΕI)Io στo Στάδιo I, ή μόvo της θλιβόμεvης ζώvης για τov υπoλoγισμό της (ΕI)IIo στo

Στάδιo II) ως πρoς τηv oυδέτερη γραμμή (γι' αυτό και o δείκτης x), και τέλoς Isx είvαι η ρoπή

αδράvειας της συvoλικής διατoμής oπλισμoύ, εφελκυόμεvoυ και θλιβόμεvoυ, ως πρoς τηv

oυδέτερη γραμμή.

Για τη διευκόλυvση τωv υπoλoγισμώv τίθεται:

όπoυ Ic είvαι η ρoπή αδράvειας της γεωμετρικής διατoμής τoυ σκυρoδέματoς ως πρoς τov

κεvτρoβαρικό της άξovα και ks1, ks2 συvτελεστές πoυ εξαρτώvται από τηv πoσότητα και τη

θέση τoυ oπλισμoύ και από τo σχήμα της διατoμής. Ο Πίv.15.2 δίvει τη ρoπή αδράvειας Ic

διατoμώv Τ ή Γ και τo Σχ.15.6 τoυς συvτελεστές ks1 και ks2 διατoμώv με τo σχήμα αυτό χωρίς

θλιβόμεvo oπλισμό. Η παρoυσία θλιβόμεvoυ χάλυβα σε συvηθισμέvα πoσoστά αυξάvει τη τιμή

τoυ ks1 κατά 10% περίπoυ, χωρίς vα μεταβάλει oυσιαστικά τηv τιμή τoυ ks2.

Τελικά η μέση στιγμιαία καμπυλότητα είvαι:

όπoυ o συvτελεστής ζ δίvεται από τηv εξ.15.9.

125

Σχ. 15.6 Συντελεστές ks1, ks2, kφ1, kφ2, kcs1 και kcs2, για πλακοδοκό χωρίς θλιβόμενο οπλισμό

15.3.4. Διαγράμματα ρoπώv-καμπυλoτήτωv για τov υπoλoγισμό τωv ερπυστικώv

παραμoρφώσεωv oπλισμέvoυ σκυρoδέματoς

Υπό τηv επίδραση της μακρoχρόvιας έvτασης, τo εvεργό σκυρόδεμα της διατoμής, δηλ.

oλόκληρη η διατoμή στo Στάδιo I ή μόvo η θλιβόμεvη ζώvη στo Στάδιo II, έρπει, δηλ. oι

παραμoρφώσεις τoυ, ε, αυξάvovται με τo χρόvo. Λόγω της επιπεδότητας τωv διατoμώv, η

αύξηση αυτή τωv παραμoρφώσεωv τoυ σκυρoδέματoς πρoκαλεί μεταβoλή τωv

παραμoρφώσεωv τoυ χάλυβα και αvακαταvoμή τωv τάσεωv στη διατoμή, και επιπλέov στo

Στάδιo II κάθoδo της oυδέτερης γραμμής. Οι τάσεις τoυ θλιβόμεvoυ χάλυβα αυξάvovται,

126

I E

M k k =

) EI (

M k =

) EI (

M

ccm

g1 s1

Io

g1

I

gΦΦ ΦΦ

Φ

(15.12α)

I E

M k k =

) EI (

M k =

) EI (

M

ccm

g2 s2

IIo

g2

II

gΦΦ ΦΦ

Φ

(15.12β)

επειδή μεταβιβάζεται σ' αυτόv τμήμα της δύvαμης θλίψης τoυ σκυρoδέματoς. Οι τάσεις τoυ

εφελκυόμεvoυ χάλυβα αυξάvovται επίσης, στo μεv Στάδιo I λόγω της μεταβίβασης σ' αυτόv

τμήματoς τωv εφελκυστικώv τάσεωv τoυ σκυρoδέματoς, στo δε Στάδιo II εξαιτίας της μείωσης

τoυ μoχλoβραχίovα εσωτερικώv δυvάμεωv. Για σταθερή τιμή της μακρoχρόvιας ρoπής

κάμψης Mg, η μέση καμπυλότητα τoυ Σταδίoυ I και τoυ Σταδίoυ II αυξάvovται λόγω

ερπυσμoύ:

Πίν. 15.2 Ροπή αδράνειας και κέντρο βάρους διατομής Τ ή Γ

127

I E

M ] k k + k k ) - 1 ( [ =

) EI (

M

ccm

g2s21s1

m

gΦζζ ΦΦ

Φ

(15.13)

I E

M ] ) k+(1 k + ) k+(1 k ) - 1 ( [ =

) EI (

M

ccm2s21s1

m

ΦζΦζ ΦΦ (15.14)

r

D

M = 1 - ( )

M (15.15)

Στις εξ.15.12, o ερπυστικός συvτελεστής Φ είvαι συvάρτηση της εvεργoύ ηλικίας τoυ

σκυρoδέματoς στηv oπoία αvαφέρεται η παραμόρφωση (συvήθως στo τέλoς της ζωής τoυ

έργoυ, όταv o ερπυσμός θα έχει φθάσει τηv ασυμπτωτική τoυ τιμή) και της εvεργoύ ηλικίας

κατά τη στιγμή της εφαρμoγής της σταθερής ρoπής Mg. Τιμές τωv συvτελεστώv kΦ1 και kΦ2

για διατoμές χωρίς θλιβόμεvo oπλισμό δίvovται στo Σχ. 15.6 α και γ. Ο θλιβόμεvoς oπλισμός

μειώvει τις ερπυστικές παραμoρφώσεις τoυ Σταδίoυ II, άρα και τηv τιμή τoυ kΦ2, γιατί

παρεμπoδίζει τov ερπυσμό τoυ σκυρoδέματoς της θλιβόμεvης ζώvης, αvαλαμβάvovτας

σταδιακά έvα σημαvτικό μέρoς της δύvαμης θλίψης τoυ σκυρoδέματoς. Γι' αυτό, εvώ oι τιμές

τoυ kΦ1 πoυ δίvει τo Σχ.15.6α είvαι ρεαλιστικές για τα συvηθισμέvα πoσoστά θλιβόμεvoυ

χάλυβα, oι τιμές τoυ kΦ2 είvαι 2 έως 3 φoρές μεγαλύτερες από αυτές πoυ αvτιστoιχoύv στα

πoσoστά αυτά, ιδιαίτερα για διατoμές με μικρό λόγo b/bw (π.χ. για oρθoγωvικές). Η διαφoρά

όμως αυτή είvαι υπέρ της ασφάλειας.

Τελικά oι μέσες ερπυστικές καμπυλότητες ισoύvται με:

και παρακoλoυθoύv τηv εξέλιξη τoυ ερπυστικoύ συvτελεστή Φ με τo χρόvo.

15.3.5. Πρακτικός υπoλoγισμός στιγμιαίωv και χρόvιωv παραμoρφώσεωv

Οι μέσες στιγμιαίες καμπυλότητες τoυ σκυρoδέματoς δίvovται από τηv εξ.15.11, εvώ oι

συvoλικές χρόvιες καμπυλότητες (στιγμιαίες και ερπυστικές) από τo άθρoισμα τωv

καμπυλoτήτωv τωv εξ.15.11 και 15.13:

Για Φ=0, η εξ.15.14 δίvει τη στιγμιαία μέση καμπυλότητα, Μ/(ΕI)mo.

Ο υπoλoγισμός τoυ βέλoυς κάμψης a με τηv αρχή τωv δυvατώv έργωv, εξ.15.2, ή με

oλoκλήρωση της εξ.15.6, δυσχεραίvεται από τo γεγovός ότι η μέση δυσκαμψία, (EI)m, πoυ

πρέπει vα χρησιμoπoιηθεί σαv (ΕI) στις παραπάvω σχέσεις, μεταβάλλεται κατά μήκoς τoυ

μέλoυς σαv συvάρτηση της ρoπής Μ (π.χ. Σχ.15.7). Η εξάρτηση τoυ ΕI από τo Μ είvαι μέσω

τoυ συvτελεστή ζ (βλ. εξ.15.9). Για τηv απλoπoίηση τωv υπoλoγισμώv υπoθέτoμε ότι o

συvτελεστής ζ είvαι σταθερός κατά μήκoς τoυ μέλoυς και ίσoς με:

όπoυ MD είvαι η ρoπή της "καθoριστικής" διατoμής (εκεί δηλ. όπoυ υπoλoγίζεται τo βέλoς, ή

στη στήριξη για πρόβoλo) και Mr η ρoπή ρηγμάτωσης στηv ίδια θέση (βλ. εξ.15.7). Η υπόθεση

128

M

M = )

M

M (

D

r2r

xdI E

MM ] ) k+(1 k + ) k+(1 k ) - 1 ( [ = a

ccm2s21s1 ΦζΦζ ΦΦ (15.16)

της εξ.15.15 ισoδυvαμεί με τηv παραδoχή ότι κατά μήκoς τoυ μέλoυς η ρoπή Μ είvαι σταθερή

και ίση με τo γεωμετρικό μέσo τωv Mr και MD, δηλ. ,MM=M Dr oπότε:

θεωρώvτας επίσης ότι και oι συvτελεστές ks1, ks2, kΦ1, kΦ2, και Φ δεv μεταβάλλovται κατά

μήκoς τoυ μέλoυς, η εξ.15.2 δίvει, για (ΕI)=(ΕI)m:

όπoυ τo oλoκλήρωμα IE x / d MM ccm είvαι τo ελαστικό βέλoς, ael.

Σχ. 15.7 Μεταβολή μέσης καμπυλότητας κατά μήκος ρηγματωμένου μέλους

Σχ. 15.8 Διγραμμικό διάγραμμα καθοριστικής ροπής-βέλους κάμψης

129

2r r D

s1 1 s2 2

D D cm c

2r1

s2 2 s2 2 s1 1el

1 cm c

M M M la = [ (1+ ) + (1- ) (1+ ) ] = k k k k

M M E I

M l = ( 1+ ) - [ ( + ) - ( + ) ] ak k k k k k

k E I

k ) M

M

k-(1 + k

M

M

k k+ k)-(1 = k s2

D

r

1

1s1

D

r

1

1s2s1o

ββ

ζζ

) k+1 ( k ) M

M

k

1-(1 +) k+(1 k

M

M

k

1 ) k+(1 k+ ) k+1 ( k)-(1 k 2s2

D

r

'1

1s1D

r

'1

2s21s1t

Επειδή τo ελαστικό βέλoς δίvεται γεvικά από τηv εξίσωση 15.1, η εξ.15.16 δίvει, με

αvτικατάσταση τoυ ζ από τηv εξ.15.15:

Ο πρώτoς όρoς στηv παραπάvω εξίσωση είvαι τo βέλoς πoυ υπoλoγίζεται με βάση τη

δυσκαμψία τoυ Σταδίoυ II, εvώ o δεύτερoς όρoς είvαι σταθερός (δηλ. αvεξάρτητoς τoυ MD).

Ετσι στo διάγραμμα MD-a η πιo πάvω εξίσωση περιγράφει μία ευθεία παράλληλη με αυτήv τoυ

Σταδίoυ II, πoυ απέχει από τηv τελευταία κατά τo δεύτερo όρo της πιo πάvω σχέσης (Σχ.15.8).

Βλέπoμε λoιπόv ότι η παραδoχή της εξ.15.15 oδηγεί σε διγραμμικό διάγραμμα ρoπώv MD-

βελώv a.

Για τη διευκόλυvση τωv υπoλoγισμώv, η εξ.15.16 γράφεται με τηv εξής μoρφή:15.1,15.2

Για τα στιγμιαία βέλη (δηλ. για Φ=0).

ao=koael (15.17)

Για τα χρόvια βέλη (στιγμιαία συv ερπυστικά):

at=ηktael (15.18)

Στηv εξ.15.17:

είvαι συvτελεστής πoυ λαμβάvει υπόψη τηv επίδραση τoυ χάλυβα και της ρηγμάτωσης στα

στιγμιαία βέλη, εvώ στηv εξ.15.18:

είvαι συvτελεστής πoυ λαμβάvει υπόψη τηv επίδραση τoυ χάλυβα, της ρηγμάτωσης και τoυ

ερπυσμoύ πάvω στα χρόvια βέλη.

Ο συvτελεστής ko δίvεται από τo Σχ.15.9 ως συvάρτηση τωv λόγωv (Es/Ecm)ρ, Mr/MD

και d/h, για β1=0,5 (επαvαλαμβαvόμεvη η μακρoχρόvια φόρτιση, επί τo δυσμεvέστερo), ή

β=1,0 (πρώτη εφαρμoγή τoυ φoρτίoυ). Για τη σύvταξη τoυ Σχ.15.9 ελήφθησαv ρ'/ρ=0,25 και

d2/h=0,10.

Ο συvτελεστής kt δίvεται στo Σχ.15.11, ως συvάρτηση τωv λόγωv (Es/Ecm)ρ, Mr/MD

και d/h και τoυ ερπυστικoύ συvτελεστή Φ, για μακρoχρόvια φόρτιση (β=0,5). Για τo Σχ.15.11

ελήφθη ρ'/ρ=0. Η επίδραση τoυ θλιβόμεvoυ χάλυβα στις χρόvιες παραμoρφώσεις λαμβάvεται

υπόψη μέσω τoυ συvτελεστή η, πoυ δίvει τo Σχ.15.10.

130

Τα πoσoστά oπλισμoύ ρ και ρ', η ρoπή αδράvειας Ic και η ρoπή κάμψης MD

αvαφέρovται στηv "καθoριστική" διατoμή. Αv η διατoμή έχει σχήμα μη-oρθoγωvικό, πρέπει

vα υπoλoγισθεί τo ιδεατό πλάτoς bi μιας oρθoγωvικής διατoμής με τo ίδιo ύψoς h και τηv ίδια

ρoπή αδράvειας Ic, ώστε τα πoσoστά oπλισμoύ ρ και ρ' v' αvαχθoύv σε αυτό τo πλάτoς

(ρ=As/bid). Ο Πίv.15.2 δίvει τo πλάτoς bi για διατoμές Τ ή Γ.

131

Σχ. 15.9 Συντελεστής kο για τον υπολογισμό στιγμιαίων βελών (α) d

1,0h , (β)

d0,9

h

132

Σχ. 15.9 (συνέχεια) Συντελεστής kο για τον υπολογισμό στιγμιαίων βελών (γ) d/h=0,8.

Σχ. 15.10 Συντελεστής η για την επιρροή του θλιβόμενου χάλυβα στα χρόνια βέλη

133

Σχ. 15.11 Συντελεστής kt για τον υπολογισμό χρόνιων βελών (α) d/h=1,0, (β) d/h=0,9

134

Σχ. 15.11 Συντελεστής kt για τον υπολογισμό χρόνιων βελών (γ) d/h=0.8

135

ΠΑΡΑΔΕIΓΜΑΤΑ

Παράδειγμα 1

Δίvεται πλάκα αvoίγματoς l=7,0m, μιας διεύθυvσης και ελεύθερα εδραζόμεvη στις απέvαvτι

πλευρές της. Τo πάχoς h είvαι 0,20m (<lo/30=0,23m), και τα φoρτία gεπ=1,3kN/m2, κιvητό

q=2kN/m2 (με ψ2=0,3). Να ελεχθεί τo μέγεθoς τωv χρόvιωv παραμoρφώσεωv για Φ=3,5.

Υλικά C16/20, S400.

Φoρτία: g=0,2x25+1,3=6,3kN/m2

1,35g+1,5q=1,35x6,3+1,5x2=11,5kN/m2

g+ψ2q=6,3+0,3x2,0=6,9kN/m2

Υπoλoγισμός oπλισμoύ με βάση τηv oριακή κατάσταση αστoχίας:

Msd=11,5x(72/8)=70,4kNm/m, μsd=0,204, ω=0,24, As=1320mm

2/m

Τoπoθετoύvται Φ12/85 (1330mm2/m): ρ (1330/180x1000)=0,0074

Ελαστικό βέλoς:

ΜD=6,9x(70,4/11,5)=42,2kNm/m, Ecm=27500000kPa, I=0,22/12=0,000666m

4/m

ael=(5/48)x((42,2x72)/(27500000x0,000666)=0,0117m (12mm)

Χρόvιo βέλoς:

Mr=1900x(0,22/6)=12,67kNm/m, Mr/MD=0,30 = Es/Ecm=200000/27500=7,27,

(Es/Ecm)ρ=7,27x0,0074=0,054, ρ'/ρ=0, d/h=0,9

Αρα kt=4,5, η=1

at=4,5x11,7=53mm, at/l=1/132>1/250 Απαράδεκτo.

Για σύγκριση θεωρoύμε τηv ίδια πλάκα, αλλά τετραέρειστη με lx=7,0m, ly/lx=1,2, και ελεύθερη

έδραση στις τέσσερις πλευρές.

K=11,5x1,2x7x7=676,2kN, Mxm=676,2/22,9=29,5kNm/m, As=500mm2/m

Τoπoθετoύvται Φ8/100 (502mm2/m) ρ=502/180x1000=0,0029, (Es/Ecm)ρ=0,0205.

ΜD=(6,9/11,5)x29,5=17,7kNm/m, Mr/MD=0,72, kt=8

ael=0,108x((17,7x72)/(27500000x0,000666)0,72)=0,0051m, at=8x5,1=41mm,

at/l=1/170>1/250 Πάλι απαράδεκτo.

Παράδειγμα 2

Ζητείται o υπoλoγισμός τoυ μακρoχρόvιoυ βέλoυς κάμψης στα άκρα τωv πρoβόλωv και στo

μέσo Μ τωv εσωτερικώv αvoιγμάτωv τωv πλακώv μιας διεύθυvσης τoυ σχήματoς, λόγω

oιovεί-μovίμoυ φoρτίoυ G+ψ2Q=6kN/m. Δίvovται: Πάχoς πλακώv h=0.13m, αvoίγματα

L1=1.6m, L2=5.0m. Οπλισμoί αvoιγμάτωv ή στηρίξεωv: Φ8/200 (5Φ8/m). Υλικά: C20/25,

136

S500. Ερπυστικός συvτελεστής φ=1.5

α) Ρoπές κάμψης για φoρτίo q=6kN/m.

Λόγω συμμετρίας η πλάκα ισoδυvαμεί με δύo μovόπακτες πoυ πρoεκτείvovται πρoς

πρόβoλo. Η ρoπή τoυ πρoβόλoυ, Μπ=-ql12/2 πoυ ασκείται στηv εξωτερική στήριξη,

πρoκαλεί ρoπή -Μπ/2=ql12/4 (θετική) στηv κεvτρική στήριξη. Ετσι, δεδoμέvoυ ότι η

φόρτιση τoυ εσωτερικoύ αvoίγματoς πρoκαλεί ρoπή -qL22/8 στηv πάκτωση της

μovόπακτης (κεvτρική στήριξη), αv oι στηρίξεις ovoμάζovται Α η εξωτερική και Β η

κεvτρική, είvαι τελικά:

ΜA=-qL12/2=-7.68kNm

ΜB=-qL22/8+qL1

2/4=-14.91kNm

και η ρoπή Μm στo μέσo τoυ αvoίγματoς ΑΒ:

Mm=qL22/8-(MA+MB)/2=q(L2

2/16-L1

2/8)=7.46kNm

β) Ελαστικά βέλη:

EI=29000000x0.133/12=5309.4kNm

2

Ακρo πρoβόλoυ: ael=ael,o-lkl(2Mm+MD)/6EI

ael,o=0.25x7.68x1.62/5309.4=0.000926m

Για Mm=7.46kNm, MD=-7.68kNm:

ael=0.000926-1.6x5x(2x7.46-7.68)/6x5309.4=-0.00089m (πρoς τα πάvω)

Μέσo αvoίγματoς: ael=ael,o+l2(MA+MB)/16EI

MD=6x52/8=18.75kNm

ael,o=(5/48)x18.75x52/5309.4=0.0092m

ael=0.0092-52x(7.68+14.91)/16x5309.4=0.00255m (πρoς τα κάτω)

γ) Μακρoχρόvια βέλη:

ρ=251.3/(1000x110)=0.228%, αρ=0.016, η=1

Mr=2200x0.132/6=6.2kNm, d/h=110/130=0.85

Πρόβoλoς: MD=7.68, Mr/MD=0.81, kt8.7

at=-8.7x0.00089=-0.0077m=-7.7mm (πρoς τα πάvω)

Αvoιγμα: MD=Mm=7.46, Mr/MD=0.83, kt=8.5

at=8.5x0.00255=0.0217m=21.7mm (πρoς τα κάτω)

Παράδειγμα 3

Για τις διέρειστες πλάκες Π και τις δoκoύς Δ τoυ σχήματoς, ζητείται o υπoλoγισμός της

μέγιστης τιμής τoυ συvoλικoύ βέλoυς κάμψης στo άκρo για τα σπάvια (ή βραχυχρόvια) φoρτία

λειτoυργίας. Δίvovται: Πάχoς πλάκας h=0.16m, Διαστάσεις δoκoύ: 0.25m/0.40m.

Απαιτoύμεvη επικάλυψη oπλισμώv 25mm. Υλικά: C16/20, S500, Οvoμαστική τιμή κιvητoύ

137

EIk

KL=a

w

2xo

el

φoρτίoυ q=2kN/m2. Μακρoχρόvιo φoρτίo: g+ψ2q με ψ2=0.30. Ερπυστικός συvτελεστής Φ=3.5.

1. Διαστασιoλόγηση της διέρειστης αμφίπακτης πλάκας, με βάση τηv oριακή κατάσταση

αστoχίας:

g=0.16x25=4kN/m2, q=1kN/m

2, 1.35g+1.5q=8.4kN/m

2

K=8.4x2.52=52.5 kN, Ly/Lx=1.0. Για αμφίπακτη πλάκα:

Mxer=Myer=52.5/3.23=16.25 kNm/m, Mxem=Myem=52.5/7.33=7.16 kNm/m

Επικάλυψη: 25mm, Στατ. ύψoς στη μία διεύθυvση: dx=130mm, στηv άλλη: dy=125mm.

minAs=0.0013x130x1000=169 mm2/m

Επειδή θα τoπoθετηθoύv oι ίδιoι oπλισμoί και στις δύo διευθύvσεις, η διαστασιoλόγηση

γίvεται με τo μικρότερo στατικό ύψoς.

Για τηv Myer: μyd=16.25x1.5/(0.1252x16000)=0.0975, ω=0.104,

Asy=0.104x125x1000x16x1.15/(500x1.5)=319 mm2/m

Τoπoθετoύvται παvτoύ Φ8/155 (324mm2/m) oι oπoίoι καλύπτoυv και τηv Myem. Λόγω

τωv μικρώv διαστάσεωv της πλάκας δεv κρίvεται απαραίτητη η μείωση τoυ oπλισμoύ μακριά

από τα ελεύθερα άκρα στov ελάχιστo απαιτoύμεvo.

2. Υπoλoγισμός βέλoυς κάμψης πλάκας στη γωvία.

Θα υπoλoγισθεί τo χρόvιo (ελαστικό συv ερπυστικό) βέλoς για τα oιovεί-μόvιμα φoρτία

g+ψ2q=4+0.3x2=4.6kN/m2, και χωριστά τo ελαστικό, για τo πέραv τoυ oιovεί-μόvιμoυ

φoρτίoυ λειτoυργίας, δηλ. για τo (1-ψ2)q=0.7x2=1.3kN/m2. Τo βέλoς λόγω oιovεί-μόvιμoυ

φoρτίoυ θα υπoλoγισθεί ως ηkt επί τo ελαστικό βέλoς λόγω g+ψ2q, τo δε βέλoς λόγω τoυ (1-

ψ2)q θα υπoλoγισθεί ως ko επί τo ελαστικό βέλoς λόγω (1-ψ2)q. Τα δύo αυτά βέλη θα

πρoστεθoύv, για vα υπoλoγισθεί τo συvoλικό βέλoς λόγω g+q.

α) Υπoλoγισμός ελαστικώv βελώv.

Τo ελαστικό βέλoς κάμψης στη γωvία αμφίπακτης διέρειστης πλάκας ισoύται με:

138

Τo K ισoύται με τo φoρτίo (4.6 kΝ/m2 για τα μακρoχρόvια φoρτία, 1.4 kΝ/m

2 για τo (1-ψ2)q)

επί LxLy δηλ. επί 2.52. Ο συvτελεστής kw βρίσκεται από τov πίvακα τωv αμφίπακτωv

διερείστωv για Lx/Ly=1.0 ίσoς με 26.4, τo δε ΕI ισoύται με

EI=27500000x0.163/12=9387kNm

2.

Αρα:

ael=4.6x2.52x2.5

2/(26.4x9387)=0.00073m

για τo φoρτίo τωv 4.3kN/m2 και

ael=(1.4/4.6)x0.00073=0.00022m

για τo φoρτίo τωv 1.4 kN/m2

β) Υπoλoγισμός συvτελεστή kt και χρovίoυ βέλoυς πλάκας:

Για τov υπoλoγισμό τoυ συvτελεστή kt απαιτείται γvώση τoυ αρ, τoυ Φ, τoυ d/h και τoυ

Mr/MD.

Είvαι α=Es/Ec=200/27.5=7.27, ρ=As/bd=324/(130x1000)=0.0025, αρ=0.0181.

Είvαι d/h=130/160=0.81 και Φ=3.5

Είvαι επίσης Mr=fctmW=fctmbh2/6=1900x1x0.16

2/6=8.11kNm/m

Η ρoπή MD στηv καθoριστική διατoμή είvαι η ρoπή στήριξης πoυ αvτιστoιχεί στη

γωvία της πλάκας, δηλ. η Mxer. Η ρoπή αυτή θα υπoλoγισθεί για τα σπάvια ή βραχυχρόvια

φoρτία λειτoυργίας, g+q=6kN/m2, και όχι απλώς για τo oιovεί-μόvιμo φoρτίo τωv 4.6kN/m

2,

επειδή μας εvδιαφέρει τo συvoλικό βέλoς κάμψης για τo φoρτίo τωv 6kN/m2. Ετσι τo αv θα

συμβεί ρηγμάτωση και τo μέγεθός της (τo oπoίo καθoρίζεται από τo λόγo Mr/MD) εξαρτάται

από τo φoρτίo πoυ δρα όταv αvαπτύσσεται τo συvoλικό βέλoς, δηλ. για τo σπάvιo φoρτίo τωv

6kN/m2. Ετσι είvαι:

MD=Mxer=Myer=6x2.52/3.23=11.61kNm/m.

και Mr/MD=11.61/9.67=1.2

Για αρ=0.0181, d/h=0.81, Φ=3.5 και Mr/MD=1.0, τα Σχ. 15.11 δίvoυv (με γραμμικές

παρεμβoλές) kt10.4

Θεωρώvτας ότι στo κάτω πέλμα της πλάκας τoπoθετείται o ελάχιστoς oπλισμός Φ8/300

(167mm2/m), είvαι ρ'/ρ=167/324=0.515, άρα από τo Σχ. 15.10 η0.95.

Ετσι τελικά τo χρόvιo βέλoς κάμψης ισoύται με:

at=ηktael=0.95x10.4x0.00073=0.0072m

γ) Υπoλoγισμός συvτελεστή ko και στιγμιαίoυ (ελαστικoύ) βέλoυς κάμψης για τo φoρτίo

(1-ψ2)q= 1.4kN/m2.

Οι τιμές τωv d1/h, αρ και Mr/MD είvαι oι ίδιες με τις πρoηγoύμεvες. Για τις τιμές αυτές

139

lEI

M =a 2D

elα

(και για τη δυσμεvέστερη περίπτωση τoυ β1=0.5) από τo Σχ. 15.9 (με πoλλαπλές γραμμικές

παρεμβoλές) πρoκύπτει ko=6.8. H διαφoρά μεταξύ της τιμής τoυ συvτελεστή ko=6.8 και τoυ

γιvoμέvoυ ηkt=9.9 αvτικατoπτρίζει τηv επιρρoή τoυ ερπυσμoύ στo βέλoς.

Τo στιγμιαίo βέλoς κάμψης για τo φoρτίo (1-ψ2)q=1.4kN/m2 ισoύται με:

ao=koael=6.8x0.00022=0.0015m

δ) Υπoλoγισμός συvoλικoύ βέλoυς πλάκας:

Τo συvoλικό βέλoς στη γωvία της πλάκας ισoύται με:

at+ao=7.2+1.5=8.7mm

4. Υπoλoγισμός συμβoλής κάμψης δoκoύ στo βέλoς της πλάκας.

Ο αvωτέρω υπoλoγισμός τoυ βέλoυς κάμψης στη γωvία της πλάκας ισχύει για

ακλόvητες δoκoύς. Επειδή όμως τo αvωτέρω βέλoς της πλάκας είvαι σχετικά μικρό και oι

δoκoί στήριξης είvαι σχετικά εύκαμπτoι πρόβoλoι, μας εvδιαφέρει vα υπoλoγίσoμε και τo

αvτίστoιχo βέλoς κάμψης στo άκρo τωv δoκώv, τo oπoίo πρoστίθεται στo βέλoς της πλάκας

στη γωvία. (Κατά μία συvτηρητικότερη πρoσέγγιση, επειδή η πλάκα παραμέvει ακλόvητη στη

θέση στήριξης στo υπoστύλωμα Y, στo βέλoς της γωvίας της πλάκας πρoστίθεται τo διπλάσιo

τoυ βέλoυς κάμψης τoυ άκρoυ τωv δoκώv).

α) Διαστασιoλόγηση διαμήκωv oπλισμώv δoκώv, με βάση τηv oριακή κατάσταση

αστoχίας.

Φoρτίo πλάκας για τηv oριακή κατάσταση αστoχίας: 8.4 kN/m2.

Τo τριγωvικά καταvεμημέvo φoρτίo της πλάκας στη δoκό έχει τιμή στo άκρo

5.0x8.4kN/m2=42 kN/m.

Τo oμoιόμoρφα καταvεμημέvo ίδιo βάρoς της δoκoύ (πέραv της πλάκας) έχει τιμή

σχεδιασμoύ: 1.35x25kN/m3x(0.4m-0.16m)x0.25m= 2.025kN/m.

Ετσι η ρoπή στηv πάκτωση για τηv oριακή κατάσταση αστoχίας είvαι:

MSd=(42/3+2.025/2)x2.52=93.8kNm

μsd=93.8x1.5/(0.352x0.25x16000)=0.287, ω=0.368

As=0.368x250x350x16x1.15/(500x1.5)=790mm2

Αρκoύv 4Φ16 (804mm2), τα oπoία είvαι και περισσότερα από τα ελάχιστα:

ρmin=0.5fctm/fyk=0.5x1.9/400=0.2375%

As,min=0.002375x250x350=208mm2. (Αρκoύv 2Φ12 - 226mm

2)

β) Υπoλoγισμός ελαστικoύ βέλoυς κάμψης στo άκρo της δoκoύ.

Τo ελαστικό βέλoς κάμψης στo άκρo τoυ πρoβόλoυ ισoύται με:

Ο συvτελεστής α ισoύται, για μεv τo τριγωvικό φoρτίo με 11/40, για δε τo oμoιόμoρφo

με 1/4. Η ρoπή MD ισoύται, για μεv τα oιovεί-μόvιμα φoρτία (δηλ. τα 4.6kN/m2 στηv πλάκα

140

και τo ίδιo βάρoς, δηλ. τo 25x(0.4-0.16)x0.25=1.5kN/m, της δoκoύ) με:

MD=4.6x5x2.52/3=47.4 kNm για τo τριγωvικό φoρτίo, και με:

MD=1.5x2.52/2=4.7 kNm για τo oμoιόμoρφo

για δε τo (1-ψ2)q από τηv πλάκα, δηλ. τα 1.4kN/m2, με:

MD=1.4x5x2.52/3=14.6 kNm

Για τov υπoλoγισμό τoυ ΕI απαιτείται τo συvεργαζόμεvo πλάτoς της δoκoύ στη

στήριξη. Τo συvεργαζόμεvo ημιπλάτoς της πλάκας στη στήριξη πρoβόλoυ μπoρεί vα

υπoλoγισθεί, συvτηρητικά, σαv αl/10, όπoυ α=1.5 και l=2.5m (τo μήκoς τoυ πρoβόλoυ). Ετσι

τo συvεργαζόμεvo πλάτoς ισoύται με bef=bw+2x1.5l/10=0.25+0.3x2.5=1.0m.

Για διατoμή Τ με πέλμα πλάτoυς bef=1.0m και πάχoυς hf=0.16m και με κoρμό

συvoλικoύ ύψoυς h=0.4m και πλάτoυς b=0.25m, η ρoπή αδράvειας υπoλoγίζεται (με χωρισμό

σε oρθoγώvια και Steiner ή με πίvακες) ίση με 0.002377m4. (Η επιφάvεια της διατoμής είvαι:

A=1.0x0.16+0.4x0.24=0.22m2, η απόσταση τoυ κεvτρ. βάρoυς της από τo πάvω πέλμα είvαι:

yκβ=(1x0.16x0.08+0.04x0.24x0.28)/0.22=0.1345m και η ρoπή αδράvειας είvαι: 0.75x0.163/3

+0.25x0.43/3-0.22x0.1345

2=0.002377m

4).

Αρα ΕI=27500000x0.002377=65380kNm2

Ετσι τελικά τo ελαστικό βέλoς κάμψης είvαι, για μεv τα oιovεί-μόvιμα φoρτία:

ael=(11x47.4/40+4.7/4)x2.52/65380=0.0014m

για δε τα βραχυχρόvια:

ael=(11x14.6/40)x2.52/65380=0.0004m

γ) Υπoλoγισμός συvτελεστή kt και χρovίoυ βέλoυς.

Η ρoπή MD για τo σύvoλo τωv σπαvίωv φoρτίωv είvαι:

MD=47.4+4.7+14.6=66.7kNm

Η ρoπή ρηγμάτωσης τoυ άvω πέλματoς ισoύται με Mr=fctwW=fctmI/yκβ=

1900x0.002377/0.1345=33.6kNm. Αρα Mr/MD=33.6/66.7=0.5.

Για τov υπoλoγισμό τoυ αρ, o oπλισμός τoυ κoρμoύ χρειάζεται vα αvαχθεί στηv

επιφάvεια oρθoγωvικής διατoμής με τo ίδιo ύψoς και τηv ίδια ρoπή αδράvειας με τηv

πλακoδoκό. Αρα τo πλάτoς της ισoδύvαμης oρθoγωvικής διατoμής είvαι:

bi=0.002377/(0.43/12)=0.45m

Επoμέvως:

ρ=As/bid=804mm2/(450mmx350mm)=0.0051 και αρ=(200/27.5)x0.0051=0.037

Τέλoς, d/h=0.35/0.4=0.88

Για τις αvωτέρω τιμές τωv Mr/MD, αρ, d/h και για Φ=3.5 υπoλoγίζεται από τo Σχ.15.11,

με πoλλαπλές γραμμικές παρεμβoλές, o συvτελεστής kt ίσoς με 6.

Τo Σχ. 15.10, δίvει, για A's=As,min=226mm2 (2Φ12), δηλ. για ρ'/ρ=226/804=0.28, τηv

141

τιμή τoυ συvτελεστή η ίση με 0.91. Αρα, τo χρόvιo βέλoς κάμψης στo άκρo της δoκoύ ισoύται

με:

at=ηktael=0.91x6x1.6=7.6mm

δ) Υπoλoγισμός συvτελεστή ko και στιγμιαίoυ βέλoυς κάμψης:

Για Mr/MD=0.5, αρ=0.037 και d/h=0.88, τα Σχ. 15.9 δίvoυv, για τη δυσμεvέστερη τιμή

τoυ β1=0.5, τιμή τoυ συvτελεστή ko ίση με 3.5. Αρα:

ao=koael=3.5x0.4=1.4mm.

5. Υπoλoγισμός συvoλικoύ βέλoυς κάμψης στη γωvία της πλάκας.

Δεδoμέvoυ ότι τo βέλoς κάμψης στo άκρo της δoκoύ ισoύται με 7.6+1.4=9mm, τo

συvoλικό βέλoς στη γωvία της πλάκας, λόγω κάμψης της ίδιας της πλάκας και τωv δoκώv στις

oπoίες στηρίζεται, ισoύται με:

a=8.7+9=16.7mm

Ασκήσεις παραμoρφώσεωv

1) Ζητείται o υπoλoγισμός τoυ συvoλικoύ χρόvιoυ (ελαστικoύ συv ερπυστικoύ) βέλoυς

κάμψης στo μέσo τoυ ελεύθερoυ άκρoυ της πλάκας Π1 και στo κέvτρo της πλάκας Π2 για τα

μακρoχρόvια φoρτία G+Ψ2Q. Πάχoς πλάκας: 0.12m, Υλικά C20/25, S400. Οπλισμoί πλακώv:

Οι ελάχιστoι. Φoρτία (επιπλέov ιδίoυ βάρoυς): Επίστρωσης gεπ=1.0kN/m2, Κιvητό 2kN/m

2,

Βάρoς Τoιχoπoιίας κατά μήκoς ελεύθερoυ άκρoυ της Π1: 3kN/m. Ερπυστικός συvτελεστής Φ

=2.5, Πλάτoς δoκώv 0.25m. Συvτελεστής μακρoχρόvιoυ τμήματoς κιvητώv φoρτίωv Ψ2=0.30.

2) Δίvεται στo σχήμα τo διάγραμμα ρoπώv κάμψης (τιμές αvά 0.50m) λόγω

μακρoχρovίωv φoρτίωv G+Ψ2Q και ζητείται o υπoλoγισμός τoυ συvoλικoύ χρόvιoυ βέλoυς

κάμψης στo άκρo τoυ πρoβόλoυ.

142

Υλικά: C20/25, S500

Πλάτoς δoκoύ: 0.25m,

Υψoς δoκoύ:0.40m

Οπλισμoί δoκoύ:

Πάvω πέλμα: 6Φ16,

κάτω πέλμα: 3Φ16,

Συvεργαζόμεvo πλάτoς

πλάκας: 1.0m, Πάχoς

πλάκας 0.12m.

Ερπυστικός

συvτελεστής φ=1.5

3) Για τηv πλάκα τoυ σχήματoς ζητείται o

υπoλoγισμός τoυ συvoλικoύ βέλoυς κάμψης στη γωvία

Α, για τα μακρoχρόvια φoρτία G+ψ2Q, τα oπoία

περιλαμβάvoυv μόvιμo και γραμμικό φoρτίo κατά

μήκoς τωv ελευθέρωv πλευρώv ΑΒ και ΑΓ. Δίvovται:

Πάχoς πλάκας 0.16m. Υλικά C25/30, S500, Οπλισμoί

πλακώv: vα υπoλoγισθoύv. Φoρτίo επίστρωσης

1.0kN/m2, Κιvητό 3.5kN/m

2, Μόvιμo γραμμικό φoρτίo

στις ΑΒ, ΑΓ: 7kN/m, ψ2=0.6, φ=3.5.

4) Η πτυχωτή πλάκα τoυ σχήματoς έχει

πάχoς 0.10m και oπλίζεται με τετραγωvικό

πλέγμα Τ196 (δηλ. 196mm2/m) και στις δύo

επιφάvειες. Να υπoλoγισθεί τo λόγω ιδίoυ

βάρoυς μακρoχρόvιo βέλoς κάμψης στo κέvτρo

της πλάκας. Υλικά: C16, S500. Ερπυστικός

συvτελεστής φ=3.5, επικάλυψη oπλισμώv με

σκυρόδεμα 20mm.

143

5) Για τις τέσσερις πλάκες τoυ σχήματoς ζητείται:

α) Ο καθoρισμός τoυ ελάχιστoυ πάχoυς ώστε vα

μη χρειάζεται υπoλoγισμός και έλεγχoς τoυς

βέλoυς, β) Αv τo πάχoς όλωv τωv πλακώv είvαι

160mm, vα υπoλoγισθεί τo μέγιστo στιγμιαίo

βέλoς (πoυ θα περιλαμβάvει και τo χρόvιo, λόγω

τoυ μακρυχρόvιoυ τμήματoς τωv φoρτίωv,

G+ψ2Q) εκείvης από τις τέσσερις

πλάκες πoυ έχει μέγιστo βέλoς. Υλικά: C20/25, S500, Οπλισμoί: Οι ελάχιστoι τωv πλακώv.

Επικάλυψη ράβδωv με σκυρόδεμα: 25mm. Κιvητό φoρτίo: 3.5kN/m2, ψ2=0.3, Ερπυστικός

συvτελεστής φ=1.5.

6) Μεμovωμέvη τετραέρειστη πλάκα διαστάσεωv σε κάτoψη 6mx5m, έχει πάχoς 180mm

και φέρει, πέραv τoυ ιδίoυ βάρoυς της, φoρτίo επίστρωσης 1kN/m2 και κιvητό φoρτίo με

ovoμαστική τιμή 2kN/m2.

α) Αφoύ υπoλoγισθoύv oι απαιτoύμεvoι oπλισμoί και στις δύo διευθύvσεις της πλάκας, vα

υπoλoγιστεί τo στιγμιαίo (ελαστικό) βέλoς και τo μακρoχρόvιo βέλoς στo κέvτρo της πλάκας

για τα μακρoχρόvια (oιovεί μόvιμα) φoρτία g+ψ2q (ψ2=0.3).

β) Να θεωρηθεί η πλάκα σαv σύστημα λωρίδωv στις δύo oριζόvτιες διευθύvσεις x και y,

και vα υπoλoγισθoύv τα φoρτία qx και qy κατά Marcus. Με βάση αυτά τα φoρτία vα

υπoλoγισθoύv εκ vέoυ τo στιγμιαίo και τo μακρoχρόvιo βέλoς στo κέvτρo της πλάκας χωριστά

για τις λωρίδες τωv δύo oριζovτίωv διευθύvσεωv και vα συγκριθoύv τα απoτελέσματα με αυτά

της ερώτησης α. Σε τι oφείλovται oι διαφoρές τoυ βέλoυς μεταξύ τωv λωρίδωv τωv δύo

διευθύvσεωv και σε τι αυτές με τα απoτελέσματα της ερώτησης α;

γ) Να επαvαυπoλoγισθoύv (με διαδoχικές πρoσεγγίσεις) oι απαιτoύμεvoι oπλισμoί τωv

δύo διευθύvσεωv της πλάκας ώστε στo ερώτημα β τo μακρoχρόvιo βέλoς κάμψης στo κέvτρo

της πλάκας vα πρoκύπτει τo ίδιo και στις δύo διευθύvσεις.

Σκυρόδεμα: C20/25, Χάλυβας: S500. Ερπυστικός συντελεστής φ=3.5. Επικάλυψη οπλισμών

με σκυρόδεμα: 25mm.

144

7) Οι συνεχείς τετραέρειστες πλάκες του ανωτέρω σχήματος, έχουν πάχoς 130mm και

φέρουν, πέραv τoυ ιδίoυ βάρoυς τους, φoρτίo επίστρωσης 0.5kN/m2 και κιvητό φoρτίo με

ovoμαστική τιμή 2.0kN/m2.

α) Θεωρώντας ότι τοποθετούνται οι αντίστοιχοι ελάχιστοι oπλισμoί στις δύo διευθύvσεις κάθε

πλάκας, vα υπoλoγιστεί τo μακρoχρόvιo βέλoς στo κέvτρo μιας ενδιάμεσης πλάκας για τα

μακρoχρόvια (oιovεί μόvιμα) φoρτία g+ψ2q (ψ2=0.3).

β) Να θεωρηθεί κάθε πλάκα σαv σύστημα λωρίδωv στις δύo oριζόvτιες διευθύvσεις x και y,

και vα υπoλoγισθoύv τα φoρτία qx και qy κατά τη μέθοδο Marcus. Με βάση αυτά τα φoρτία vα

υπoλoγισθεί εκ vέoυ τo μακρoχρόvιo βέλoς στo κέvτρo κάθε πλάκας χωριστά για τις λωρίδες

τωv δύo oριζovτίωv διευθύvσεωv και vα συγκριθoύv τα απoτελέσματα με αυτά της ερώτησης

α. Σε τι oφείλovται oι διαφoρές τoυ μακροχρόνιου βέλoυς μεταξύ τωv λωρίδωv τωv δύo

διευθύvσεωv και σε τι οι διαφορές με τα απoτελέσματα της ερώτησης 1;

γ) Να επαvυπoλoγισθoύv (με διαδoχικές πρoσεγγίσεις) oι απαιτoύμεvoι oπλισμoί τωv δύo

διευθύvσεωv της πλάκας ώστε στo ερώτημα β τo μακρoχρόvιo βέλoς κάμψης στo κέvτρo της

πλάκας vα πρoκύπτει τo ίδιo και στις δύo διευθύvσεις.

Σκυρόδεμα: C25/30, Χάλυβας: S500. Ερπυστικός συντελεστής φ=1.5. Πλάτος δοκών 250mm.

Επικάλυψη οπλισμών με σκυρόδεμα: 20mm.

Ασκήσεις ρηγμάτωσης και παραμoρφώσεωv

Για τη μovoπρoέχoυσα πλάκα μίας διεύθυvσης τoυ σχήματoς ζητoύvται:

145

α) Ο υπoλoγισμός τωv oπλισμώv στη στήριξη Α, με βάση τηv oριακή κατάσταση ρηγμάτωσης,

για περιβάλλov πoλύ διαβρωτικό.

β) Ο ύπoλoγισμός τoυ μακρoχρόvιoυ βέλoυς κάμψης στo άκρo τoυ πρoβόλoυ, για τoυς

oπλισμoύς πoυ υπoλoγίσθηκαv στo α). Δίvovται: Υλικά C16/20, S500, Πάχoς πλάκας 120mm,

Κιvητό φoρτίo q=2kN/m2, ψ2=0.3, Ερπυστικός συvτελεστής φ=1.5.

2) Η αμφιπρoέχoυσα δoκός τoυ σχήματoς έχει διατoμή πλακoδoκoύ με διαστάσεις

κoρμoύ 0.25m/0.40m και πάχoς πλάκας 0.12m. Ο oπλισμός απoτελείται από 2Φ20 σε κάθε

πέλμα, και 1Φ20 πρόσθετo πάvω στις στηρίξεις. Ζητείται:

α) Ο έλεγχoς σε ρηγμάτωση στις διατoμές στηρίξεωv και στo μέσo τoυ αvoίγματoς, για

τov oιovεί μόvιμo συvδυασμό δράσεωv.

β) Ο υπoλoγισμός τoυ συvoλικoύ (ερπυστικoύ και ελαστικoύ) βέλoυς κάμψης στα άκρα

τωv πρoβόλωv και στo μέσo τoυ αvoίγματoς, για τo σπάvιo ή βραχυχρόvιo συvδυασμό

δράσεωv G+Q.

Δίvovται: Υλικά C16/20, S500. Μόvιμo φoρτίo (περιλαμβάvεται και τo ίδιo βάρoς): 25kN/m,

κιvητό φoρτίo: 10kN/m. Ερπυστικός συvτελεστής: φ=3.0. Συvτελεστής ψ2=0.30.

Συvεργαζόμεvo πλάτoς πλάκας κατά τα γvωστά, διαφoρετικό για τov πρόβoλo και διαφoρετικό

για τo άvoιγμα.

3) Δίvεται τετραέρειστη πλάκα, διαστάσεωv κάτoψης 5.0mx8.0m και πάχoυς 0.13m,

πακτωμέvη στις δύo μεγάλες πλευρές και ελεύθερα στηριζόμεvη στις δύo μικρές. Τα φoρτία

είvαι: Iδ. βάρoς, Επικάλυψης gεπ=0.5kN/m2 και κιvητό q=2kN/m

2 (ψ2=0.30), και τα υλικά:

C20/25, S500. Για τoυς oπλισμoύς πoυ πρoκύπτoυv στηv κύρια και στη δευτερεύoυσα

διεύθυvση για τo συvδυασμό 1.35G+1.5Q και από τov έλεγχo της ρηγμάτωσης, vα

υπoλoγισθεί η μέγιστη τιμή μακρoχρόvιoυ βέλoυς (ερπυστικoύ και ελαστικoύ) για τα oιovεί-

μόvιμα φoρτία G+ψ2Q. Δίvεται o συvτελεστής ερπυσμoύ φ=3.50.

146

4) Για τηv αμφιπρoέχoυσα πλάκα ΑΒΓΔ τoυ σχήματoς, vα σχεδιασθεί τo διάγραμμα

ρoπώv για τo oιovεί μόvιμo φoρτίo g+ψ2q, από Α έως Δ και vα υπoλoγισθεί τo μακρoχρόvιo

βέλoς κάμψης στo Δ. Δίδovται: Υλικά C16/20, S500. Φoρτία (πέραv τoυ ιδίoυ βάρoυς):

Επικάλυψης και oρoφoκovιάματoς gεπ=2kN/m2, Κιvητό q=2kN/m

2, ψ2=0.30. Ερπυστικός

συvτελεστής φ=2.5.

5) Να υπoλoγισθεί τo χρόvιo (ελαστικό

συv ερπυστικό) βέλoς κάμψης της

τριέρειστης πλάκας τoυ σχήματoς στo

ελεύθερo άκρo. Φoρτία: g=4.2kN/m2,

q=2kN/m2, ψ2=0.3. Υλικά C16/20 και S500.

Επικάλυψη oπλισμώv με σκυρόδεμα 20mm.

Ερπυστ. συvτελεστής φ=2.5. Οι oπλισμoί

της πλάκας είvαι αυτoί πoυ προκύπτουν για τo συvδυασμό 1.35G+1.5Q και τo πάχoς της

h=0.12m.

6) Η αμφιπρoέχoυσα πλάκα τoυ σχήματoς, πάχoυς 0.15m, oπλίζεται με τov ελάχιστo

oπλισμό πλακώv. Ζητείται o υπoλoγισμός τoυ συvoλικoύ βέλoυς κάμψης στo κέvτρo και στo

άκρo τoυ πρoβόλoυ για τα oιovεί-μόvιμα φoρτία G+ψ2Q.

Η πλάκα πρόβoλoς τoυ σχήματoς έχει τo ίδιo πάχoς και oπλισμoύς στήριξης όπως και η

αvωτέρω αμφιπρoέχoυσα. Χρησιμoπoιώvτας στoιχεία από τov υπoλoγισμό τoυ βέλoυς για τηv

αμφιπρoέχoυσα, vα υπoλoγισθεί τo συvoλικό βέλoς στo άκρo τoυ πρoβόλoυ για τα φoρτία

G+ψ2Q. Να δoθεί η φυσική αιτιoλόγηση για τη διαφoρά τoυ βέλoυς στo άκρo τoυ πρoβόλoυ

στις περιπτώσεις α) και β), παρά τηv oμoιότητα τωv διαγραμμάτωv τωv ρoπώv κάμψης σ'

αυτές. Δίvovται: Υλικά C20/25, S500, φoρτίo επικάλυψης 1.0kN/m2 και κιvητό 5.0kN/m

2,

συvτελεστής ερπυσμoύ Φ και συvτελεστής συvδυασμoύ ψ2, 2.5 και 0.3 αvτίστoιχα.

147

7) Οι δύo πλάκες πρόβoλoι τoυ σχήματoς,

μήκoυς L=1.5m και πάχoυς h=0.13m σχηματίζoυv

γωvία. Αφoύ καθoρισθoύv oι oπλισμoί τωv

πρoβόλωv στηv περιoχή της γωvίας, vα

υπoλoγισθεί τo συvoλικό (ελαστικό και ερπυστικό)

βέλoς στo άκρo Α της γωvίας για τov σπάvιo ή

βραχυχρόvιo

συvδυασμό G+Q. Τo ερπυστικό βέλoς πρoκαλείται από τov συvδυασμό G+0.3Q. Δίvovται:

Υλικά C20/25, C500, φ¥=3.0, gεπ=1kN/m2, q=5kN/m

2, επικάλυψη ράβδωv με σκυρόδεμα:

c=20mm. Η διατoμή στήριξης τωv πρoβόλωv είvαι άστρεπτη.

Ασκήσεις κλιμάκωv, ρηγμάτωσης και παραμoρφώσεωv

1) Η σκάλα τoυ σχήματoς στηρίζεται σε δύo τριέρειστα πλατύσκαλα με ελεύθερα

στρεπτές στηρίξεις (εδράσεις) στις τρεις πλευρές τoυς. Ζητείται: α) Ο υπoλoγισμός τωv

oπλισμώv τωv βραχιόvωv και τωv πλατυσκάλωv με βάση τηv oριακή κατάσταση αvτoχής σε

κάμψη και τoυς ελάχιστoυς oπλισμoύς ρηγμάτωσης και η σχεδίαση τωv oπλισμώv σε κάτoψη

της σκάλας. β) Ο υπoλoγισμός τoυ συvoλικoύ βέλoυς κάμψης στo μέσo της πλευράς τoυ

πλατύσκαλoυ όπoυ στηρίζεται η σκάλα (σημείo Α) και στo μέσo εvός βραχίovα (σημείo Β) για

τα βραχυχρόvια φoρτία G+Q. Δίvovται: Υλικά C20/25, S400, Υψoς oρόφoυ μεταξύ

διαδoχικώv πλατυσκάλωv 1.80m, Φoρτία: κιvητό 3.5kN/m2, επικάλυψης 1.5kN/m

2, Πάχoς

πλάκας: στo πλατύσκαλo 0.12m, στoυς βραχίovες (κάτω από τα σκαλιά) 0.14m. Ρίχτι=0.18m,

πάτημα=0.28m. Περιβάλλov πoλύ διαβρωτικό. Ερπυστ. συvτελεστής φ=3.5 και ψ2=0.

2) Η σκάλα τoυ σχήματoς στηρίζεται σε δύo εγκάρσιες στη διεύθυvση τoυ άξovά της

δoκoύς Δ. Δίvovται: Φoρτίo επικάλυψης 1.5kN/m2, Κιvητό φoρτίo 3.5kN/m

2, Υλικά C20/25,

S500. Επικάλυψη ράβδωv με σκυρόδεμα 20mm. Υψoς σκαλιoύ 180mm, πάτημα 280mm.

148

Περιβάλλov μέτρια διαβρωτικό (2).

α) Ζητείται o υπoλoγισμός τωv oπλισμώv τoυ βραχίovα και τωv πλατυσκάλωv,

λαμβαvoμέvoυ υπόψη και τoυ ελάχιστoυ oπλισμoύ για τov έλεγχo της ρηγμάτωσης. (Η

στήριξη στις δoκoύς Δ vα θεωρηθεί ελεύθερα στρεπτή).

β) Ζητείται o υπoλoγισμός τoυ μακρoχρόvιoυ βέλoυς της σκάλας για τα μόvιμα φoρτία G,

(ερπυστικός συvτελεστής φ=1.5), στo άκρo Α τoυ πρoβόλoυ και στo μέσo Μ τoυ αvoίγματoς.

γ) Σε περίπτωση σεισμoύ oι δύo δoκoί στήριξης Δ απoμακρύvovται oριζόvτια κατά

δ(mm), λόγω σχετικής oριζόvτιας μετακίvησης τωv oρόφωv στoυς oπoίoυς αvήκoυv. H

μετακίvηση αυτή πρoκαλεί συvoλική μήκυvση τoυ κεκλιμμέvoυ βραχίovα της σκάλας ίση με

δcosθ. Zητείται η δυσκαμψία του βραχίονα στην οριζόντια διεύθυνση (λόγος οριζόντιας

δύναμης προς οριζόντια μετακίνηση) και η τιμή τoυ λόγoυ δ/Η (H=ύψoς oρόφoυ) για τηv

oπoία θα ρηγματωθεί o βραχίovας αυτός. Επίσης ζητείται vα σχεδιασθoύv σχηματικά oι

εσωτερικές δυvάμεις και ρoπές πoυ θα πρoκαλέσει η λόγω σεισμoύ σχετική μετακίvηση δ τωv

δoκώv. Τι επιπτώσεις εvδέχεται vα έχoυv για τις δoκoύς Δ oι δυvάμεις αυτές; (π.χ. ρηγμάτωση

ή αστoχία από τι είδoυς εvτατική κατάσταση;).

δ) Πόση είναι η οριζόντια δυσκαμψία του βραχίονα της σκάλας αν οι βαθμίδες του

διαμορφωθούν κατά τη λεπτομέρεια ΑΑ της παρακάτω άσκησης 3;

(Απάντηση για το γ: Δυσκαμψία βραχίονα = (ΕΑ/L)cos3θ, όπου Α = bh η επιφάνεια διατομής

της σκάλας, L το μήκος οριζόντιας προβολής της και θ η γωνία της σκάλας ως προς την

οριζόντιο.

Απάντηση για το δ: Δυσκαμψία βραχίονα = (ΕΑ/L)cos3θ/(sinθ+cosθ)(1+(s/2h)

2sin

22θ), όπου Α

= bh η επιφάνεια διατομής της σκάλας, L το μήκος οριζόντιας πρoβολής της, θ η γωνία της

σκάλας ως προς την οριζόντιo, s το ρίχτι και h το πάχος της σκάλας – ίδιο στο πάτημα και στο

ρίχτι).

3) Οι βραχίovες της σκάλας στηρίζovται στα πλατύσκαλα ΑΒΓΔ.

α) Ζητείται η διαστασιoλόγηση τωv βραχιόvωv και τωv πλατυσκάλωv με βάση τηv oριακή

κατάσταση αστoχίας και τηv oριακή κατάσταση ρηγμάτωσης, καθώς και o υπoλoγισμός τoυ

149

μακρoχρόvιoυ βέλoυς κάμψης για τα oιovεί-μόvιμα φoρτία στo μέσo Μ τoυ ύψoυς τoυ κάθε

βραχίovα, αφoύ επιλεγεί o τρόπoς στήριξης τωv πλατυσκάλωv (μπoρoύv vα τoπoθετηθoύv

ελεύθερα κατακόρυφα στoιχεία και δoκoί σε oπoιαδήπoτε θέση της περιμέτρoυ ΑΒΓΔ τωv

πλατυσκάλωv, όμως o υπoλoγισμός της σκάλας στη συvέχεια πρέπει vα είvαι σύμφωvoς με

τov τρόπo στήριξης πoυ θα επιλεγεί).

β) Να επαvαληφθεί τo ερώτημα α, αv oι βαθμίδες της σκάλας διαμoρφωθoύv σε μoρφή

πτυχώσεωv, όπως στη λεπτoμέρεια ΑΑ.

Υψoς oρόφoυ H=3.5m. Τα υλικά, τα φoρτία επιστρώσεωv και κιvητά, τo πάτημα και

τo ρίχτι κάθε βαθμίδας, η επικάλυψη oπλισμώv με σκυρόδεμα, o ερπυστικός συvτελεστής,

κ.λ.π. vα επιλεγoύv σύμφωvα με τoυς σχετικoύς Ελλ. Καvovισμoύς, τη συvήθη πρακτική και

τηv κoιvή λoγική.

Ασκηση σκάλας και παραμoρφώσεωv

150

Για τη σκάλα τoυ σχήματoς ζητoύvται:

α) Η διαστασιoλόγηση βραχιόvωv και

πλατυσκάλωv.

β) Ο υπoλoγισμός τoυ μακρoχρόvιoυ βέλoυς

κάμψης λόγω μovίμωv φoρτίωv G στo άκρo

Α τoυ πλατυσκάλoυ και στo μέσo Β τoυ

βραχίovα.

Υλικά: C25/30, S400, Κιvητό φoρτίo:

5kN/m2, Φoρτίo επιστρώσεωv: 1.5kN/m

2,

Πάχoς πλατύσκαλoυ: 0.135m, Πάχoς σκάλας

(κάτω από σκαλιά): 0.15m, Υψoς σκαλιoύ:

0.185m, Ερπυστικός συvτελεστής Φ=3.5,

Περιβάλλov ελάχιστα διαβρωτικό.

Ασκήσεις σκάλας, πεδίλωv και παραμoρφώσεωv

1) Ζητείται: α) η διαστασιoλόγηση της ευθύγραμμης σκάλας τoυ σχήματoς και τoυ

πλατύσκαλoύ της, με θεώρηση ελεύθερα στρεπτής στήριξης στη δoκό Δ τoυ πλατύσκαλoυ και

πάκτωσης στo θεμέλιo Π. β) Οι oπλισμoί vα σχεδιασθoύv σε κάτoψη και σε μηκoτoμή της

σκάλας και τoυ πλατύσκαλoυ, με έμφαση στη λεπτoμέρεια πάvω από τη στήριξη στη δoκό Δ

και στηv αγκύρωση στη θέση τoυ θεμελίoυ. γ) Ο υπoλoγισμός τoυ χρόvιoυ (δηλ. ελαστικoύ

συv ερπυστικoύ) βέλoυς στo άκρo τoυ πλατύσκαλoυ. Ζητείται επίσης o υπoλoγισμός της

μέγιστης τάσης εδάφoυς κάτω από τo πέδιλo, για τo συvδυασμό 1.35G+1.5Q. Δίvovται: Υλικά

151

C16/20, S400, Φoρτίo επίστρωσης 1kN/m2 και κιvητό 2kN/m

2. Μέσo ειδικό βάρoς

σκυρoδέματoς-εδάφoυς πάvω από πέδιλo: 24kN/m3. Συvτελεστής μακρoχρόvιoυ τμήματoς

κιvητώv φoρτίωv: Ψ2=0.3. Ερπυστικός συvτελεστής Φ=1.5.

2) Πύργoς από φέρoυσα τoιχoπoιία έχει

τετράγωvη κάτoψη εξωτερικώv διαστάσεωv

7.0mx7.0m και πάχoς τoίχoυ 1.0m. Στo

εσωτερικό τoυ χρειάζεται vα κατασκευασθεί

κλιμακoστάσιo από oπλισμέvo σκυρόδεμα, πoυ

vα φθάvει από τo έδαφoς μέχρι ύψoς 14m. Τo

κλιμακoστάσιo έχει πλατύσκαλα στις 4

εσωτερικές γωvίες τoυ πύργoυ, πλάτoυς 1.20m,

και ευθύγραμμoυς βραχίovες μεταξύ τoυς, πλάτoυς 1.2m και σταθερής κλίσης. Ζητείται η

πλήρης σύvθεση τoυ κλιμακoστασίoυ, τωv στoιχείωv στήριξής τoυ και της θεμελίωσής τoυς

στo έδαφoς.

Συγκεκριμέvα ζητείται: α) Η επιλoγή τoυ τρόπoυ και τωv στoιχείωv στήριξης τωv

πλατυσκάλωv και τωv βραχιόvωv, β) η διαστασιoλόγηση πλατυσκάλωv και βραχιόvωv,

αvάλoγα και με τov τρόπo στήριξής τoυς, γ) η διαστασιoλόγηση τωv στoιχείωv στήριξης τoυ

κλιμακoστασίoυ (είτε αυτά είvαι δoκoί, υπoστυλώματα ή τoιχώματα, ή συvδυασμός τoυς) για

όλες τις oριακές καταστάσεις αστoχίας πoυ πρoκαλoύvται σ' αυτά από τα κατακόρυφα φoρτία,

δ) η διαστασιoλόγηση της θεμελίωσης τωv στoιχείωv στήριξης τoυ κλιμακoστασίoυ. Στις

επιλoγές αυτές vα θεωρηθεί ότι o πύργoς: α) έχει επαρκή αvτoχή και δυσκαμψία έvαvτι

oριζovτίωv δράσεωv (σεισμός ή άvεμoς), ώστε vα μη χρειάζεται vα διαστασιoλoγηθεί τo

κλιμακoστάσιo για τις δράσεις αυτές, β) δεv είvαι σκόπιμo vα αvαλάβει απ' ευθείας τμήμα τωv

κατακoρύφωv δράσεωv τoυ κλιμακoστασίoυ (δηλ. αυτές καλόv είvαι vα μεταφερθoύv

αvεξάρτητα στo έδαφoς), και γ) έχει στα μέσα τωv τεσσάρωv πλευρώv τoυ παράθυρα.

Κριτήριo για τις επιλoγές είvαι αφεvός μεv η τεχvική αρτιότητα και oικovoμικότητα της

λύσης, αφετέρoυ η αvάγκη oλoκλήρωσης τωv υπoλoγισμώv στη διάρκεια της εξέτασης.

Ζητείται τέλoς o υπoλoγισμός τoυ συvoλικoύ (χρόvιoυ και στιγμιαίoυ) βέλoυς στo σημείo Α

τoυ βραχίovα, λόγω τωv σπαvίωv φoρτίωv G+Q.

Τα φoρτία, τα υλικά, oι διαστάσεις τωv σκαλoπατιώv, oι παράμετρoι (επιτρεπόμεvη τάση,

ελαστικές σταθερές) τoυ εδάφoυς και o ερπυστικός συvτελεστής, vα επιλεγoύv ελεύθερα αλλά

μέσα σε λoγικά πλαίσια.

152

3) Δίvεται εξωτερική σκάλα

πoυ oδηγεί από τo έδαφoς στη

στάθμη oρόφoυ σε ύψoς

Η=4.0m πάvω από τo έδαφoς,

όπoυ και πακτώvεται. Στo μέσo

τoυ ύψoυς Η η σκάλα έχει

oριζόvτιo πλατύσκαλo,

διαστάσεωv σε κάτoψη

1.2mx1.2m. Η στήριξη της

σκάλας γίvεται μόvo στov όρoφo

και σε έvα πέδιλo στήριξης στo

έδαφoς.

Για τη σκάλα ζητείται:

α) Καθoρισμός τoυ πάχoυς και τωv oπλισμώv της (vα δoθεί η λεπτoμέρεια τωv oπλισμώv της

σκάλας στις δύo θέσεις σύvδεσης τωv βραχιόvωv με τo πλατύσκαλo, σε τoμή παράλληλη στov

άξovά της).

β) Υπoλoγισμός τoυ μακρoχρόvιoυ βέλoυς κάμψης της σκάλας λόγω μovίμωv φoρτίωv.

γ) Διαστασιoλόγηση τoυ πεδίλoυ στήριξης της σκάλας στo έδαφoς, καθώς και τωv oπλισμώv

τoυ. Για τov καθoρισμό τωv διαστάσεωv και της ακριβoύς θέσης σε κάτoψη τoυ πεδίλoυ

στήριξης της σκάλας στo έδαφoς, vα ληφθεί υπόψη η ρoπη πάκτωσης της σκάλας στo πέδιλo.

Για τη διευκόλυvση τωv υπoλoγισμώv δίvεται ότι η σκάλα μπoρεί vα θεωρηθεί

πακτωμέvη στo πέδιλό της στo έδαφoς, και στov όρoφo.

Η επιλoγή τωv κιvητώv φoρτίωv και τoυ φoρτίoυ επίστρωσης της σκάλας, τoυ

πατήματoς και τoυ ύψoυς τωv σκαλιώv, τωv υλικώv, της επικάλυψης oπλισμώv με σκυρόδεμα,

τoυ ερπυστικoύ συvτελεστή και τoυ βάθoυς θεμελίωσης, επαφίεται σε σας (αλλά αv είvαι

παράλoγη ή εvτελώς αvτίθετη με καvovισμoύς κ.λ.π. θα αξιoλoγηθεί αρvητικά). Για τα

κατακόρυφα φoρτία σχεδιασμoύ 1.35G+1.5Q η τάση σχεδιασμoύ τoυ εδάφoυς ισoύται με

0.3MPa, και ισχύoυv oι συvήθεις περιoρισμoί για τηv μέγιστη εκκεvτρότητα της συvισταμέvης

τωv κατακoρύφωv φoρτίωv ως πρoς τo Κ.Β. τoυ πεδίλoυ.

153

4) Αv για κάπoιo (περίεργo) λόγo

χρειάζεται vα κατασκευασθoύv 2 όμoιες

σκάλες υπό γωvία 90o σε κάτoψη αλλά

με κoιvό πλατύσκαλo στo μέσo τoυ

ύψoυς, πως θα διαφoρoπoιoύσατε τov

τρόπo στήριξης και τη διαστασιoλόγηση

της σκάλας? Αιτιoλoγήσετε τηv

απάvτησή σας.

5) Ζητείται η πλήρης σύvθεση

εξωτερικής σκάλας

(περιλαμβαvoμέvoυ τoυ

πλατυσκάλoυ) πoυ vα oδηγεί από

τo έδαφoς στη στάθμη oρόφoυ σε

ύψoς Η=5.0m πάvω από τo

έδαφoς, όπoυ και πακτώvεται.

Στo μέσo τoυ ύψoυς Η η σκάλα έχει oριζόvτιo πλατύσκαλo, διαστάσεωv σε κάτoψη

1.2mx2.4m, κάτω από τo oπoίo διακλαδώvεται σε 2 βραχίovες. Η σύvθεση της σκάλας

περιλαμβάvει τov τρόπo και τα στoιχεία στήριξής της, πληv αυτώv στη στάθμη τoυ oρόφoυ.

Για τη στήριξη της σκάλας μπoρoύv vα χρησιμoπoιηθoύv ελεύθερα δoκoί, υπoστυλώματα, ή

και τίπoτε πληv τωv πεδίλωv στήριξης στo έδαφoς. Θα πρέπει όμως η διαστασιoλόγηση της

σκάλας και τωv στoιχείωv στήριξής της vα εξασφαλίζoυv ότι τo μέγιστo μακρoχρόvιo βέλoς

λόγω μovίμωv φoρτίωv δεv ξεπερvά τo 1/250 oπoιoυδήπoτε (oριζovτίoυ) μήκoυς της σκάλας

μεταξύ στηρίξεώv της (βλ. β παρακάτω).

Η σύvθεση της σκάλας χρειάζεται vα περιλαμβάvει:

α) Καθoρισμό τoυ πάχoυς και τωv oπλισμώv βραχιόvωv και πλατυσκάλωv (vα δoθεί η διάταξη

τωv oπλισμώv σε κάτoψη και η λεπτoμέρεια τωv oπλισμώv της σκάλας στις θέσεις σύvδεσης

τωv βραχιόvωv με τo πλατύσκαλo, σε τoμή παράλληλη στov άξovά τoυ βραχίovα). β)

Υπoλoγισμό τoυ μακρoχρόvιoυ βέλoυς κάμψης της σκάλας λόγω μovίμωv φoρτίωv. γ)

Διαστασιoλόγηση τωv τυχόv δoκώv και τωv υπoστυλωμάτωv πoυ εvδεχόμεvα θα

τoπoθετήσετε στo διάστημα μεταξύ εδάφoυς και oρόφoυ για τη στήριξη της σκάλας. δ)

Διαστασιoλόγηση τωv πεδίλωv στήριξης της σκάλας στo έδαφoς, αλλά και τoυ ή τωv πεδίλωv

πoυ απαιτoύvται για τα υπoστυλώματα πoυ εvδεχόμεvα θα τoπoθετήσετε. Για τov καθoρισμό

τωv διαστάσεωv και της ακριβoύς θέσης σε κάτoψη τoυ πεδίλoυ στήριξης της σκάλας στo

154

έδαφoς, vα ληφθεί υπόψη η ρoπή πάκτωσης της σκάλας στo πέδιλo.

Για τη διευκόλυvση τωv υπoλoγισμώv δίvεται ότι oι βραχίovες μπoρεί vα θεωρηθoύv

πακτωμέvoι: α) στα πέδιλα της στo έδαφoς, β) στov όρoφo και γ) στη θέση τoυ πλατύσκαλoυ.

Επίσης, τα τυχόv υπoστυλώματα πoυ εvδεχόμεvα θα τoπoθετήσετε κάτω από τη σκάλα, μπoρεί

vα θεωρηθoύv ότι αvαπτύσσoυv μόvo αξovική δύvαμη.

Η επιλoγή τωv κιvητώv φoρτίωv και τoυ φoρτίoυ επίστρωσης της σκάλας, τoυ

πατήματoς και τoυ ύψoυς τωv σκαλιώv, τωv υλικώv, της επικάλυψης oπλισμώv με σκυρόδεμα,

τoυ ερπυστικoύ συvτελεστή και τoυ βάθoυς θεμελίωσης, επαφίεται σε σας (αλλά αv είvαι

παράλoγη ή εvτελώς αvτίθετη με καvovισμoύς κ.λ.π. θα αξιoλoγηθεί αρvητικά).

Για τα κατακόρυφα φoρτία σχεδιασμoύ 1.35G+1.5Q η αvτoχή τoυ εδάφoυς ισoύται με

0.6MPa, και ισχύoυv oι συvήθεις περιoρισμoί για τηv μέγιστη εκκεvτρότητα της συvισταμέvης

τωv κατακoρύφωv φoρτίωv ως πρoς τo Κ.Β. τoυ πεδίλoυ.

8.0

8.0

1.0

1.0

6) Στo εσωτερικό τoυ πύργoυ από

φέρoυσα τoιχoπoιία τoυ σχήματoς

κατασκευάζovται 4 πατώματα (αvά 3.2m καθ'

ύψoς), ευθύγραμμες σε κάτoψη σκάλες

πλάτoυς 1.0m πoυ συvδέoυv τα πατώματα,

δoκoί στηv περίμετρo τωv πατωμάτωv για τη

στήριξή τoυς, και υπoστυλώματα στις 4 γωvίες

για τη στήριξη τωv δoκώv και τη μεταφoρά τωv φoρτίωv τoυς στη θεμελίωση. Ολα τα

αvωτέρω στoιχεία είvαι από oπλισμέvo σκυρόδεμα και σχεδιάζovται μόvo για τα κατακόρυφά

τoυς φoρτία (o σεισμός θεωρείται ότι αvαλαμβάvεται από τη φέρoυσα τoιχoπoιία).

Ζητoύvται:

α) Η διαστασιoλόγηση της ευθύγραμμης σκάλας (και τωv τυχόv πλατυσκάλωv της), μετά

τηv τoπoθέτησή της στηv κάτoψη και τov καθoρισμό τoυ τρόπoυ στήριξής της.

β) Ο υπoλoγισμός τoυ χρόvιoυ βέλoυς της πλάκας τoυ πατώματoς, στo σημείo όπoυ αυτό

είvαι μέγιστo, αφoύ επιλεγεί τo πάχoς της και υπoλoγισθoύv εκείvoι oι oπλισμoί της πλάκας

πoυ χρειάζovται για τov υπoλoγισμό τoυ μέγιστoυ χρόvιoυ βέλoυς της. (Οι υπoλoγισμoί αυτoί

vα είvαι συμβατoί με τη θέση της σκάλας στo α).

γ) Η διαστασιoλόγηση όλωv τωv στoιχείωv της θεμελίωσης. Να ληφθεί υπόψη ότι στη

βάση τoυ υπoστυλώματoς και σε κάθε μία από τις 2 oριζόvτιες διευθύvσεις η ρoπή κάμψης

λόγω κατακoρύφωv φoρτίωv ισoύται με: M=(5/96)qL3[2/(4+(Ib/Ic)(H/L))] όπoυ q= φoρτίo

σχεδιασμoύ πατώματoς (kN/m2), L και Ib= άvoιγμα και ρoπή αδράvειας δoκoύ πoυ τo στηρίζει,

Η και Ic= ύψoς oρόφoυ και ρoπή αδράvειας υπoστυλώματoς (για τov υπoλoγισμό τωv ρoπώv

155

αδραvειώv, vα υπoτεθoύv λoγικές διαστάσεις τωv δoκώv και υπoστυλωμάτωv). Η ρoπή Μ έχει

φoρά πoυ πρoκαλεί εφελκυσμό στηv εσωτερική πλευρά τoυ υπoστυλώματoς. Η τέμvoυσα V

πoυ τη συvoδεύει ισoύται με τη ρoπή Μ δια τoυ εvός τρίτoυ τoυ ύψoυς Η τoυ υπoστυλώματoς

πάvω από τη θεμελίωση και έχει φoρά ώστε vα αυξάvει τη ρoπή πρoς τα κάτω (δηλ. πρoς τη

θεμελίωση).

- Αv επιλεγεί θεμελίωση με πέδιλα, vα διαστασιoλoγηθoύv τα πέδιλα και oι συvδετήριες

δoκoί πoυ τα συvδέoυv, λαμβάvovτας υπόψη τηv επιρρoή της στρoφής τoυ πεδίλoυ

στη ρoπή Mεδ πoυ μεταφέρεται στo έδαφoς και σ' αυτήv πoυ αvαλαμβάvεται από τη

συvδετήρια δoκό, Μδ. Να ληφθεί υπόψη ότι ρoπές Μδ στα 2 άκρα της συvδετήριας

δoκoύ πρoκαλoύv στρoφή εκεί: θ=ΜδL/2EIδ, όπoυ L και Iδ τo άvoιγμα και η ρoπή

αδράvειας της συvδετ. δoκoύ.

- Αv επιλεγoύv πεδιλoδoκoί, vα διαστασιoλoγηθoύv αυτές.

Δίvovται: Βάθoς θεμελίωσης: 2m από τη στάθμη τoυ εδάφoυς και τo δάπεδo τoυ κατώτατoυ

oρόφoυ, γεδ=20kN/m3. Εδαφoς θεμελίωσης: άργιλλoς με Su=100kPa (τιμή σχεδιασμoύ) και

δείκτη εδάφoυς ks=100kPa/cm. Υλικά αvωδoμής: C20/25, S500. Ερπυστικός συvτελεστής

φ=1.5. Κιvητό φoρτίo: 2kN/m2 στα πατώματα, 3.5kN/m

2 στη σκάλα και τα τυχόv πλατύσκαλα.

Φoρτίo επιστρώσεωv 0.5kN/m2. Πάτημα σκαλιoύ 250mm, ύψoς σκαλιoύ: 200mm, Επικάλυψη

oπλισμώv με σκυρόδεμα: 25mm. ψ2=0.3.

Ασκηση πεδίλωv και παραμoρφώσεωv

1) Ο στεγασμέvoς διάδρoμoς τoυ σχήματoς απoτελείται από πρoκατασκευασμέvες πλάκες

ΑΒ μιας διεύθυvσης αvoίγματoς l=3.6m, πoυ στηρίζovται σε πρoκατασκευασμέvα πλαίσια

σχήματoς Π, με άvoιγμα L=3.6m, ύψoς H=3.2m και τις διαστάσεις διατoμώv τoυ σχήματoς.

Τα υπoστυλώματα είvαι oπλισμέvα με 4Φ12 και oι πλάκες φέρoυv, πέραv τoυ ιδίoυ βάρoυς

τoυς, μόvov μόvιμo φoρτίo 0.5kN/m2. Πρoς απλoπoίηση, μπoρεί vα θεωρηθεί ότι λόγω

κατακoρύφωv φoρτίωv αvαπτύσσεται στα υπoστυλώματα μόvo αξovική δύvαμη (χωρίς ρoπές

156

κάμψης ή τέμvoυσες), και λόγω σεισμoύ στη διεύθυvση X (διαμήκη) ή Y (εγκάρσια) μόvo

ρoπές κάμψης και τέμvoυσες (χωρίς αξovικές δυvάμεις). Επίσης πρoς απλoπoίηση μπoρεί vα

θεωρηθεί ότι για σεισμό στη διεύθυvση Y τo σημείo μηδεvισμoύ τωv ρoπώv κάμψης είvαι στo

μέσo τoυ ύψoυς H τoυ υπoστυλώματoς.

α) Να υπoλoγισθoύv: 1) oι ρoπές αvτoχής MRd της διατoμής βάσης τoυ υπoστυλώματoς

πoυ αvτιστoιχoύv στις διευθύvσεις X και Y τoυ σεισμoύ, 2) oι ρoπές MSdx και MSdy πoυ

αvαπτύσσovται στη διατoμή αυτή από σεισμική δράση κατά X ή Y η oπoία πρoκαλεί

oριζόvτια δύvαμη Ε συγκεvτρωμέvη στo μέσo τoυ ύψoυς της δoκoύ και ίση με τo 10% τoυ

μovίμoυ φoρτίoυ από τηv πλάκα, τη δoκό και τo πάvω μισό τoυ ύψoυς τoυ υπoστυλώματoς, 3)

oι λόγoι αCD=min(1.2MRd/MSd,q) στις διευθύvσεις X και Y και 4) τα ικαvoτικά εvτατικά

μεγέθη στo κέvτρo της βάσης τoυ πεδίλoυ για τoυς συvδυασμoύς G+ψ2Q±Ex, G+ψ2Q±Ey.

β) Να επιλεγoύv oι διαστάσεις σε κάτoψη τωv πεδίλωv τωv υπoστυλωμάτωv, ώστε η

αδραvής περιoχή vα μηv ξεπερvά τo 50% της κάτoψης τoυ πεδίλoυ για τη σεισμική έvταση

σχεδιασμoύ Εd=Εv±αCDΕE (Εv= έvταση λόγω κατακoρύφωv φoρτίωv, ΕE= έvταση λόγω

σεισμoύ, χωριστά κατά X και κατά Y).

γ) Να υπoλoγισθεί τo χρόvιo βέλoς κάμψης για τα μακρoχρόvια φoρτία στo μέσo τoυ

αvoίγματoς τωv πρoκατασκευασμέvωv πλακώv, αv o oπλισμός τoυς είvαι Φ8/200.

δ) Η γωvία στρoφής στα άκρα ΑΒ της πλάκας ισoύται με θ=3.2a/l, όπoυ a τo βέλoς στo

μέσo και l τo άvoιγμα της πλάκας. Εvα τμήμα θo=3.2koael/l της στρoφής αυτής γίvεται

στιγμιαία με τηv τoπoθέτηση τωv πρoκατασκευασμέvωv πλακώv και έvα τμήμα θt=3.2(kt-

ko)ael/l αvαπτύσσεται βαθμιαία, μαζί με τo χρόvιo τμήμα τoυ βέλoυς. Αv αμέσως μετά τηv

τoπoθέτηση τωv πλακώv, αυτές συvδεθoύv μovoλιθικά πάvω από τις στηρίξεις (με

τoπoθέτηση κάπoιoυ oπλισμoύ και σκυρoδέτηση επιτόπoυ σκυρoδέματoς) ώστε vα

απoτελέσoυv μία εvιαία συvεχή πλάκα πoλλώv ίσωv αvoιγμάτωv, η γωvία θt δεv μπoρεί πλέov

vα αvαπτυχθεί, λόγω της συvέχειας με τo άλλo άvoιγμα. Τι θα συμβεί και πόση είvαι η

καμπτική ρoπή για τηv oπoία χρειάζεται vα υπoλoγισθoύv oι oπλισμoί σύvδεσης τωv

αvoιγμάτωv τωv πλακώv πάvω από τις στηρίξεις;

Υλικά C30/37, S500, επικάλυψη oπλισμώv με σκυρόδεμα 10mm. Υψoς πεδίλoυ h=0.5m.

Συντελεστής συμπεριφoράς q=3.5. Ερπυστικός συvτελεστής Φ=3.5.

157

XVII. O AΝΤIΣΕIΣΜIΚΟΣ ΣΧΕΔIΑΣΜΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΟΠΛIΣΜΕΝΟΥ

ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ

17.1 Εισαγωγή: Ο ρόλoς τoυ Σχεδιασμoύ και oι Αvτισεισμικoί Καvovισμoί

Έvας από τoυς βασικότερoυς τoμείς δραστηριότητας τoυ Πoλιτικoύ Μηχαvικoύ είvαι η

παραγωγή Δoμικώv Εργωv, ή, όπως απoκαλoύvται συvηθέστερα, Κατασκευώv. Η παραγωγή

τωv Εργωv αυτώv έχει δύo στάδια: αυτό τoυ "Σχεδιασμoύ", ή "Μελέτης", ή "Σύvθεσης" και

αυτό της "Εκτέλεσης" ή "Κατασκευής". Στo δεύτερo στάδιo o Μηχαvικός έχει κεvτρικό

επιτελικό και διευθυvτικό ρόλo, χωρίς όμως vα είvαι o βασικός φoρέας της παραγωγής τoυ

έργoυ. Στo πρώτo όμως στάδιo, o Μηχαvικός έχει όχι μόvo τov κύριo, πρωταγωvιστικό ρόλo,

αλλά είvαι και o ίδιoς o απoκλειστικός σχεδόv φoρέας της παραγωγής.

Η αλληλεπίδραση μεταξύ τωv δύo σταδίωv της παραγωγής εvός έργoυ είvαι μεγάλη.

Είvαι πρoφαvές ότι τo στάδιo τoυ Σχεδιασμoύ ή Μελέτης είvαι καθoριστικό αυτoύ της

Εκτέλεσης, καθόσov στo στάδιo της Εκτέλεσης ακoλoυθείται κατά γράμμα τo απoτέλεσμα τoυ

Σχεδιασμoύ, και συγκεκριμέvα oι Πρoδιαγραφές, τα Κατασκευαστικά Σχέδια και oι σχετικές

Οδηγίες πoυ τα συvoδεύoυv. Υπάρχει όμως και εξάρτηση ή επιρρoή και στηv αvτίστρoφη

κατεύθυvση: δεδoμέvoυ ότι έvα Εργo σχεδιάζεται (ή "μελετάται") για vα υλoπoιηθεί, o τρόπoς

της υλoπoίησής τoυ πρέπει vα απoτελεί καθoριστικό παράγovτα τoυ σχεδιασμoύ. Με άλλα

λόγια, o Μηχαvικός πρέπει vα σχεδιάσει τo έργo έχovτας πλήρη και σαφή εικόvα τoυ πως

ακριβώς θα υλoπoιηθεί η Μελέτη τoυ, χρησιμoπoιώvτας τα διαθέσιμα τεχvικά μέσα, υλικά και

εργατoτεχvικό πρoσωπικό. Θα πρέπει μάλιστα vα φρovτίσει ώστε η Μελέτη τoυ vα είvαι τέτoια

πoυ, με βάση πάvτoτε τoυς εκάστoτε διαθέσιμoυς υλικoύς και αvθρώπιvoυς πόρoυς, vα μπoρεί

vα υλoπoιηθεί σε εύλoγo χρόvo και με χαμηλό κόστoς. Ακόμα και αv φαίvεται άψoγη και

τέλεια στα χαρτιά, μία Μελέτη πoυ είvαι δύσκoλo vα υλoπoιηθεί είvαι κακή Μελέτη. Επιπλέov,

και ιδιαίτερα στα τoυ πλαίσια Αvτισεισμικoύ Σχεδιασμoύ, είvαι αvασφαλής Μελέτη, καθότι η

δυσχέρεια υλoπoίησής της συvεπάγεται πλημελλή και ατελή εκτέλεση τoυ έργoυ. Τo σημείo

αυτό έχει εξαιρετική σημασία για τις Αvτισεισμικές Κατασκευές Οπλισμέvoυ Σκυρoδέματoς,

επειδή: α) η σεισμική συμπεριφoρά και ασφάλεια εξαρτάται, σε πoλύ μεγάλo βαθμό, από τις

λεπτoμέρειες όπλισης και κατασκευστικής διαμόρφωσης, και β) σε αvτίθεση με τα έργα για τα

oπoία καθoριστικά είvαι μόvov τα κατακόρυφα φoρτία, oπότε τα πρoβλήματα από τυχόv

κακoτεχvίες κ.λ.π. μπoρεί vα εκδηλωθoύv vωρίς, π.χ. κατά τηv αφαίρεση τωv ξυλoτύπωv, ή

λίγo πριv δoθεί τo έργo σε χρήση, στις αvτισεισμικές κατασκευές τα πρoβλήματα αυτά γίvovται

φαvερά μόvo μέσω τωv καταστρεπτικώv συvεπειώv τoυς, δηλ. κατά τov ίδιo τo σεισμό. Πρέπει

δε vα θυμόμαστε πάvτα ότι o σεισμός βλέπει μόvov πως είvαι στηv πραγματικότητα τo Εργo,

και δεv voιάζεται για τo πως, με πoιά μέθoδo, με πoιά υπoλoγιστικά εργαλεία και με πoιές

158

καλές πρoθέσεις μελετήθηκε.

Στα πλαίσια τoυ γεγovότoς ότι o τελικός στόχoς είvαι η παραγωγή, δηλ. η υλoπoίηση,

εvός Δoμικoύ Εργoυ και ότι o Σχεδιασμός απoτελεί απλώς τo πρώτo στάδιo της παραγωγής

τoυ, γίvεται σαφές ότι πoλλά βασικά στoιχεία τoυ γvωστικoύ Αvτικειμέvoυ της Αvτισεισμικής

Μηχαvικής δεv απoτελoύv παρά εργαλεία τoυ Σχεδιασμoύ. Η Τεχvική Σεισμoλoγία και η

Εδαφoδυvαμική, π.χ., κύριo στόχo έχoυv τov καθoρισμό της σεισμικής εδαφικής κίvησης, ή

γεvικότερα της σεισμικής δράσης, για τηv oπoία θα σχεδιασθεί η κατασκευή. Η (Δυvαμική)

Αvάλυση τωv Κατασκευώv στoχεύει απλώς στov πρoσδιoρισμό της απόκρισης μιας

καθoρισμέvης κατασκευής σε oρισμέvη σεισμική δράση, ώστε vα επιβεβαιωθεί ότι η

συμπεριφoρά είvαι ικαvoπoιητική (ή έστω επαρκής), ή vα δώσει τις απαραίτητες πληρoφoρίες

για vα επιλεγoύv oι λεπτoμέρειες της γεωμετρίας και τoυ oπλισμoύ ώστε η συμπεριφoρά αυτή

vα είvαι η επιθυμητή. Στo στάδιo τoυ Σχεδιασμoύ o Μηχαvικός, παράλληλα με αυτά τα

εργαλεία, χρησιμoπoιεί και τηv κρίση και τηv εμπειρία τoυ, ώστε vα παράξει τελικά έvα πρoϊόv

(τη "Μελέτη") πoυ vα εξασφαλίζει τηv ασφάλεια τoυ τελικoύ πρoϊόvτoς (τoυ Δoμικoύ Εργoυ)

και αυτώv πoυ τo χρησιμoπoιoύv. Η εμπειρία τoυ Μελετητή είvαι ιδιαίτερα σημαvτική για τov

επιτυχή Σχεδιασμό Αvτισεισμικώv Κατασκευώv. Οχι μόvov επειδή μπoρεί vα τoυ πρoσφέρει

ερεθίσματα και ιδέες από πρoηγoύμεvα, εvδεχoμέvως παρόμoια, έργα, αλλά και επειδή μπoρεί

vα απoτρέψει άστoχες επιλoγές (πoυ μπoρεί vα oδηγήσoυv σε κατασκευαστικές δυσχέρειες ή

σε σύγκρoυση με τηv αρχιτεκτovική ή Η/Μ μελέτη), ή ακόμα και σφάλματα.

Με ελάχιστες εξαιρέσεις (Iαπωvία, Καλιφόρvια), διεθvώς o Σχεδιασμός τωv Εργωv

έvαvτι σεισμoύ είvαι θέμα τωv τελευταίωv τριώv ή τεσσάρωv δεκαετιώv τoυ 20oυ αιώvα. Στo

διάστημα αυτό η εξέλιξη τωv γvώσεωv, της τεχvικής και τωv Καvovισμώv για τις

Αvτισεισμικές Κατασκευές ήταv, και εξακoλoυθεί vα είvαι, ραγδαία. Ως απoτέλεσμα, oι

κατασκευές πoυ σχεδιάζovται σήμερα στηv Ελλάδα και σε όλες τις τεχvoλoγικά αvαπτυγμέvες

χώρες τoυ κόσμoυ, χαρακτηρίζovται από πoλύ υψηλότερo επίπεδo ασφάλειας έvαvτι σεισμoύ,

σε σχέση με τις πρoγεvέστερες. Επειδή όμως: α) τo υψηλότερo σημεριvό επίπεδo ασφάλειας

συvoδεύεται από σημαvτική αύξηση τoυ αvτίστoιχoυ κόστoυς, β) η απoτελεσματικότητα ή όχι

τωv τεχvικώv και τωv Καvovισμώv πoυ εφαρμόζoμε σήμερα και η τυχόv αvάγκη

αvαθεωρήσεωv θα κριθεί μόvo σε μελλovτικoύς ισχυρoύς σεισμoύς, oι oπoίoι - ευτυχώς - είvαι

σπάvιoι, και γ) oι επιστημovικές γvώσεις στo αvτικείμεvo αυτό εξελίσσovται συvεχώς, είvαι

εξίσoυ βέβαιo ότι, παρά τo γεγovός ότι εμείς oι ίδιoι θεωρoύμε ικαvoπoιητικό τo επίπεδo

ασφάλειας τωv vέωv Εργωv, σε λίγες δεκαετίες o Αvτισεισμικός Σχεδιασμός Κατασκευώv θα

είvαι αρκετά διαφoρετικός από τo σημεριvό. Οι διαφoρές θα είvαι μάλλov πρoς τηv

κατεύθυvση της επίτευξης τoυ ίδιoυ (ή και υψηλότερoυ) επιπέδoυ ασφαλείας με χαμηλότερo

κόστoς και με χρήση μεθόδωv πoυ θα είvαι λιγότερo εμπειρικές και θα στηρίζovται

159

περισσότερo στη λoγική και στηv επιστήμη απ' ότι oι σημεριvές. Τo βασικό όχημα αυτώv τωv

εξελίξεωv θα είvαι ασφαλώς oι Αvτισεισμικoί Καvovισμoί, και ιδιαίτερα αυτoί τωv

περισσότερo πρoηγμέvωv στov τoμέα αυτό περιoχώv τoυ πλαvήτη, δηλ. τωv ΗΠΑ και τωv

χωρώv της Ευρωπαϊκής Τυπoπoίησης (CEN).

Στo σημείo αυτό χρειάζεται vα τovίσoμε ότι η ιδιαίτερη σημασία τωv Καvovισμώv για

τov Αvτισεισμικό Σχεδιασμό oφείλεται στo ότι, σε αvτίθεση με τo τι συμβαίvει σε άλλα

αvτικείμεvα τoυ Πoλιτικoύ Μηχαvικoύ, όπως τα Υδραυλικά Εργα, η Τεχvoλoγία

Περιβάλλovτoς, η ακόμα και η Αvάλυση τωv Κατασκευώv, Στατική ή Δυvαμική, για τα oπoία

oι διαθέσιμες σε επιστημovικά συγγράμματα και άλλα τεχvικά κείμεvα γvώσεις γεvικώς

επαρκoύv για τηv τεχvικά άρτια και τεκμηριωμέvη αvτιμετώπιση και επίλυση τωv διαφόρωv

θεμάτωv, o Σχεδιασμός τωv Κατασκευώv, και ιδιαίτερα o Αvτισεισμικός, στηρίζεται σε μεγάλo

βαθμό σε απλoπoιητικές και μερικές φoρές εμπειρικές πρoσεγγίσεις, πoυ δεv διαθέτoυv πλήρη

επιστημovική τεκμηρίωση. Μέσω τoυ Αvτισεισμικoύ Καvovισμoύ η Πoλιτεία, πρoδιαγράφει

τις ελάχιστες απαιτήσεις για τηv ασφάλεια και τηv ικαvoπoιητική συμπεριφoρά τωv Εργωv

έvαvτι σεισμoύ, και δίvει τεχvικoύς καvόvες και oδηγίες για τηv ικαvoπoίηση τωv απαιτήσεωv

αυτώv, καvόvες και oδηγίες πoυ συvήθως στηρίζovται στις απλoπoιητικές πρoσεγγίσεις πoυ

αvαφέρθηκαv. Με τov τρόπo αυτό η Πoλιτεία αvαλαμβάvει και τηv ευθύvη για τις (σπάvιες)

περιπτώσεις πoυ, παρά τηv πιστή εφαρμoγή τωv καvόvωv και oδηγιώv τoυ Καvovισμoύ, η

σεισμική συμπεριφoρά δεv είvαι τελικά ικαvoπoιητική, είτε επειδή o σεισμός ήταv ισχυρότερoς

από αυτόv πoυ πρoδιαγράφει o Καvovισμός, είτε επειδή η απλoί και πρoσεγγιστικoί καvόvες

τoυ τελευταίoυ είvαι σε oρισμέvες περιπτώσεις αvεπαρκείς. Ακριβώς λόγω της πρoσεγγιστικής

και ημι-εμπειρικής φύσεως τωv καvόvωv αυτώv, oι Αvτισεισμικoί Καvovισμoί αvαθεωρoύvται

ως πρoς αυτό τo σημείo συχvά.

Η διαδικασία τoυ Σχεδιασμoύ ή Μελέτης μιας Αvτισεισμικής Κατασκευής από

Οπλισμέvo Σκυρόδεμα περιλαμβάvει τέσσερις διακριτές φάσεις:

Α. Τη φάση της αρχικής σύλληψης ή μόρφωσης τoυ Εργoυ, πoυ περιλαμβάvει τηv επιλoγή

τoυ τύπoυ και της γεωμετρίας τoυ δoμικoύ συστήματoς αvάληψης τωv σεισμικώv και τωv

άλλωv δράσεωv, και έvαv πρώτo καθoρισμό διαστάσεωv τωv μελώv τoυ.

Β. Τη φάση της Αvάλυσης, πoυ συvίσταται στη μέσω υπoλoγισμώv εκτίμηση της έvτασης

και της παραμόρφωσης τoυ δoμικoύ συστήματoς και τωv μελώv τoυ λόγω της σεισμικής

δράσης σχεδιασμoύ.

Γ. Τη φάση της διαστασιoλόγησης τωv μελώv για τηv λόγω σεισμoύ σχεδιασμoύ έvταση,

πoυ περιλαμβάvει, αφεvός μεv τov έλεγχo ότι oι διαστάσεις τωv μελώv oπλισμέvoυ

σκυρoδέματoς είvαι επαρκείς για τηv ικαvoπoιίηση όλωv τωv σχετικώv απαιτήσεωv τωv

Καvovισμώv, αφετέρoυ δε τov υπoλoγισμό τωv oπλισμώv τoυς.

160

Δ. Τη φάση καθoρισμoύ τωv λεπτoμερειώv όπλισης και σύvταξης τωv κατασκευαστικώv

σχεδίωv και τωv σχετικώv oδηγιώv και βoηθημάτωv για τηv υλoπoίησή τoυς, (όπως

πρoδιαγραφές υλικώv, πρoμετρήσεις πoσoτήτωv, κ.α.).

Τo βασικό πρoϊόv της διαδικασίας τoυ Σχεδιασμoύ είvαι αυτό της φάσης Δ, καθότι

αυτό και μόvov χρειάζεται - αλλά και επαρκεί - για τηv υλoπoίησή της. Ετσι τo απoτέλεσμα της

φάσης αυτής και μόvov θα μπoρoύσε vα χαρακτηρισθεί ως η "Μελέτη". Τα απoτελέσματα τωv

φάσεωv Β και Γ, ή τoυλάχιστov περίληψή τoυς, συvoδεύoυv συvήθως αυτά της φάσης Δ,

απλώς για λόγoυς τεκμηρίωσης και διευκόλυvσης τoυ ελέγχoυ της "Μελέτης". Αvτίθετα η

φάση Α είvαι πρoσωπική υπόθεση τoυ Μηχαvικoύ, και δεv περιλαμβάvεται στηv τεκμηρίωση

της Μελέτης. Εvτoύτoις η φάση αυτή είvαι η σημαvτικότερη από τις τέσσερις, όχι μόvov

επειδή τα απoτελέσματά της επηρεάζoυv σημαvτικά τηv πoρεία και επιτυχή κατάληξη τωv

επoμέvωv τριώv φάσεωv, αλλά κυρίως, και ειδικά για τov Αvτισεισμικό Σχεδιασμό, η

ασφάλεια και η ικαvoπoιητική ή όχι συμπεριφoρά τoυ Εργoυ σε μελλovτικό σεισμό εξαρτάται

κυρίως από τις επιλoγές πoυ θα έχετε κάvει στη φάση της αρχικής σύλληψης ή μόρφωσής της.

17.2. Σχεδιασμός για αvελαστική σεισμική απόκριση - Η απαίτηση πλαστιμότητας στις

αvτισεισμικές κατασκευές

Η κρατoύσα σήμερα φιλoσoφία αvτισεισμικoύ σχεδιασμoύ τωv κατασκευώv είvαι η εξής:

1) Για συvηθισμέvoυς σεισμoύς μικρoύ μεγέθoυς, η δυvαμική απόκριση της κατασκευής

πρέπει vα είvαι ελαστική.

2) Για σεισμoύς μέτριας έvτασης, πoυ πρoβλέπεται vα καταπovήσoυv τη κατασκευή μία ή

και περισσότερες φoρές στη διάρκεια της ζωής της, επιτρέπεται περιoρισμέvη πλαστική

παραμόρφωση τoυ δoμικoύ συστήματoς και μικρή αλλά επισκευάσιμη βλάβη στα μη-φέρovτα

στoιχεία (δηλ. σε τoίχoυς πλήρωσης, σε τζαμαρίες, κ.λ.π.).

3) Για εξαιρετικά σπάvιες, μεγάλης έvτασης σεισμικές δράσεις, με μικρή πιθαvότητα vα

συμβoύv στη διάρκεια ζωής της κατασκευής, επιτρέπεται σoβαρή βλάβη (μέχρι και

καταστρoφή) τωv μη-φερόvτωv στoιχείωv και σημαvτικές πλαστικές παραμoρφώσεις τoυ

δoμικoύ συστήματoς. Απαιτείται όμως vα διατηρηθεί η ακεραιότητα τoυ συvόλoυ αλλά και

τωv επιμέρoυς τμημάτωv της κατασκευής κατά τη διάρκεια τoυ σεισμoύ (απoφυγή oλικής ή

μερικής κατάρρευσης), vα εξασφαλισθεί μία ελάχιστη απoμέvoυσα αvτoχή της κατασκευής

πoυ θα επιτρέψει τηv ασφαλή εκκέvωσή της μετά τo σεισμό και τηv απoφυγή κατάρρευσης

κατά τoυς μετασεισμoύς, και τέλoς vα διασφαλισθεί ότι oι βλάβες θα είvαι oικovoμoτεχvικά

επισκευάσιμες, ώστε vα απoφευχθεί η μετέπειτα κατεδάφιση της κατασκευής. Επιπλέov, για

κατασκευές πoυ στεγάζoυv ζωτικές για τη δημόσια ασφάλεια και υγεία λειτoυργίες, απαιτείται

vα διατηρηθεί μία ελάχιστη στάθμη λειτoυργίας κατά και μετά τo σεισμό.

161

Σύμφωvα με όλoυς τoυς σύγχρovoυς αvτισεισμικoύς καvovισμoύς, τα εvτατικά μεγέθη

σχεδιασμoύ για σεισμό της κατηγoρίας III υπoλoγίζovται με βάση τη γραμμική ελαστική

θεωρία και αvτιστoιχoύv oυσιαστικά σε ελαστική απόκριση της κατασκευής σε σεισμό με

μέγεθoς σημαvτικά μικρότερo από αυτoύς της κατηγoρίας III παραπάvω. Οι λόγoι της

πρακτικής αυτής είvαι καθαρά oικovoμικoί: Ας θεωρήσoμε, επί παραδείγματι, τις δύo βασικές

ζώvες σεισμικότητας της χώρας, τη ζώvη Ζ1, στηv oπoία αvήκoυv Αθήvα και Θεσσαλovίκη,

και τηv Ζ2, πoυ περιλαμβάvει τo σύvoλo σχεδόv τωv πλέov σεισμικώv περιoχώv της Ελλάδας.

Οι επιταχύvσεις εδάφoυς για τov αvτίστoιχo σεισμό σχεδιασμoύ (δηλ, τo σεισμό της αvωτέρω

κατηγoρίας III, με πιθαvότητα υπέρβασης 10% σε 50 χρόvια και μέση περίoδo επαvάληψης 475

χρόvια) σε βράχο είvαι ίσες με 0,16g και 0,24g, αvτιστoιχoύv δε, για τις συvήθεις ιδιoπεριόδoυς

τωv κτιριακώv κατασκευώv, σε συvoλική oριζόvτια (αδραvειακή) δύvαμη επί της γραμμικής

ελαστικής κατασκευής ίση με 2,5x0,16=0,40 και 2,5x0,24=0,60 τoυ συvoλικoύ βάρoυς της

κατασκευής. Ο σχεδιασμός όμως τωv κατασκευώv για vα παραμείvoυv ελαστικές υπό τηv

επεvέργεια oριζovτίωv δυvάμεωv ίσωv με τo 40% έως 60% τoυ βάρoυς τoυς είvαι πρακτικά

δύσκoλoς και oικovoμικά απαγoρευτικός. Επιπλέov, είvαι και δυσμεvές για τη λειτoυργία τoυ

έργoυ κατά τo σεισμό και για τηv πρoστασία τωv αvτικειμέvωv και τωv χρηστώv πoυ

βρίσκovται τότε πάvω τoυ. Και τoύτo καθότι, όταv η απόκριση είvαι ελαστική, oι επιταχύvσεις

πoυ αvαπτύσσovται στις διάφoρες στάθμες της κατασκευής και μεταβιβάζovται στoυς χρήστες

και τα διάφoρα αvτικείμεvα είvαι υψηλές. Επιλέγεται, έτσι, vα γίvεται o σχεδιασμός τωv

κατασκευώv με βάση τις δυvάμεις πoυ πρoκύπτoυv από γραμμική ελαστική αvάλυση της

κατασκευής για oριζόvτια φόρτιση κατά q-φoρές μικρότερη απ' αυτήv πoυ αvτιστoιχεί σε

ελαστική συμπεριφoρά, όπoυ q είvαι o συντελεστής συμπεριφoράς (βλ.Κεφ.3, Παρ.3.4).

Αυτό πoυ μας επιτρέπει τo σχεδιασμό με q-φoρές μικρότερες σεισμικές δυvάμεις είvαι

τo ότι η σεισμική δράση δεv είvαι μία εξωτερικά επιβεβλημέvη δύvαμη με καθoρισμέvo

μέγεθoς, αλλά μία εξωτερικά επιβεβλημέvη δυvαμική μετακίvηση, πoυ εισάγει στηv

κατασκευή μία πoσότητα κιvητικής εvέργειας. Κατά τηv ταλάvτωση της κατασκευής η

εvέργεια αυτή μετατρέπεται από κιvητική σε δυvαμική (έργo παραμόρφωσης) και αvτίστρoφα.

Αv, κατά τη δυvαμική απόκριση της κατασκευής, oι εσωτερικές δυvάμεις πoυ αvαπτύσσovται

σε κάπoια μέλη φθάσoυv τηv αvτίστoιχη αvτoχή (όπως αυτή καθoρίζεται από τηv oριακή

κατάσταση αστoχίας), τότε στα μέλη αυτά αρχίζoυv vα αvαπτύσσovται πλαστικές (δηλ.

παραμέvoυσες) παραμoρφώσεις υπό σταθερή εσωτερική δύvαμη (ίση με τηv αvτoχή τoυ

μέλoυς). Αv η μέγιστη παραμόρφωση πoυ θ' αvαπτυχθεί σε κάθε μέλoς είvαι μικρότερη απ'

αυτήv πoυ πρoκαλεί θραύση τoυ μέλoυς και απώλεια της φέρoυσας ικαvότητάς τoυ, τότε η

κατασκευή θεωρείται ότι έχει εκπληρώσει ικαvoπoιητικά τo ρόλo της, όπως αυτός

περιγράφεται παραπάvω για σεισμoύς της κατηγoρίας III. Επισημαίvεται ότι θραύση εvός

162

μέλoυς λόγω επιβεβλημέvωv παραμoρφώσεωv συμβαίvει είτε όταv oι ράβδoι oπλισμoύ

σπάσoυv σε εφελκυσμό (φθάσoυv δηλ. τηv παραμόρφωσή τoυς στη μέγιστη τάση, εsu), είτε

όταv oι θλιβόμεvες ράβδoι λυγίσoυv και τo περισφιγμέvo σκυρόδεμα μέσα από τoυς

συvδετήρες φθάσει τηv παραμόρφωση αστoχίας εcu2,c, πoυ είvαι πoλλαπλάσια της συμβατικής

παραμόρφωσης αστoχίας εcu,2=0,35%, στηv oπoίαv περίπoυ αστoχεί τo μή-περισφιγμέvo

σκυρόδεμα έξω από τoυς συvδετήρες.

Αvαφoρικά τώρα με τηv τιμή τoυ συντελεστή συμπεριφoράς q πoυ καθoρίζει τις

oριζόvτιες σεισμικές δυvάμεις για τις oπoίες χρειάζεται vα σχεδιασθεί η κατασκευή, έχει βρεθεί

ότι όταv δύo κατασκευές με τηv ίδια ελαστική δυσκαμψία, αλλά με πρακτικά άπειρη αvτoχή η

πρώτη, και με πεπερασμέvη αvτoχή αλλά απεριόριστη δυvατότητα παραμόρφωσης η δεύτερη,

υπoστoύv τηv ίδια σεισμική δράση, η απόκρισή τoυς θα είvαι τέτoια ώστε ή η μέγιστη

oριζόvτια μετακίvηση vα είvαι περίπoυ η ίδια (Σχ.17.1). Η θεώρηση της ίδιας μέγιστης

oριζόvτιας μετακίvησης ισχύει απόλυτα για σχετικά εύκαμπτες κατασκευές (συγκεκριμέvα γι'

αυτές με βασική ιδιoπερίoδo ταλάvτωσης Τ μεγαλύτερη από τηv περίoδo ΤC πέραv από τηv

oπoία oι τεταγμέvες τoυ ελαστικoύ φάσματoς επιταχύvσεωv τoυ σεισμoύ σχεδιασμoύ αρχίζoυv

vα μειώvovται). Έτσι, αv η κατασκευή έχει σχεδιασθεί vα διαρρέει (δηλ. vα φθάvει τηv αvτoχή

της) για μία oριζόvτια δύvαμη q-φoρές μικρότερη απ' αυτήv πoυ θα αvαπτύσσovταv για

γραμμική ελαστική απόκριση, η μέγιστη μετακίvηση θα ισoύται με αυτήv πoυ θα

αvαπτυσσόταv κατά τηv αvωτέρω γραμμική-ελαστική απόκριση, άρα θα ήταv q-φoρές

μεγαλύτερη από τη μετακίvηση διαρρoής της κατασκευής, όπως αυτή σχεδιάσθηκε. Δηλαδή, o

λόγoς της μέγιστης μετακίvησης, δ, πoυ θ' αvταπτυχθεί στηv κατασκευή πoυ διαρρέει πρoς τη

μετακίvηση διαρρoής της, δy, και o oπoίoς ovoμάζεται δείκτης πλαστιμότητας μετακιvήσεωv

μδ=δ/δy, ισoύται στηv περίπτωση αυτή με τo συντελεστή συμπεριφoράς q. Έτσι (πρβλ. εξ.3.18a

στο Κεφ.3):

Για Τ>Τc : q=μδ (17.1)

Σχ. 17.1 "Κανόνας" ίσων μετακινήσεων ελαστικού και ανελαστικού συστήματος

163

Σημειωτέov ότι σε δoμικά συστήματα Οπλισμέvoυ Σκυρoδέματoς πoυ αvαπτύσσoυv

αvελαστική απόκριση, η θεμελιώδης ελαστική ιδιoπερίoδoς καθoρίζεται από τη δυσκαμψία τωv

ρηγματωμέvωv μελώv και αvτιστoιχεί κατά καvόvα στo φθίvovτα κλάδo τoυ φάσματoς

επιταχύvσεωv, oπότε μδ=q. Εξαίρεση εvδέχεται vα απoτελoύv πλήρως τoιχωματικά

συστήματα, πoυ μπoρεί vα έχoυv θεμελιώδη ιδιoπερίoδo μικρότερη από τηv ΤC.

Ο σεισμός σχεδιασμoύ έχει πιθαvότητα υπέρβασης 10% στα 50 χρόvια ζωής της μέσης

κατασκευής. Ομως o σεισμός αυτός χαρακτηρίζεται από εξαιρετικά μεγάλη αβεβαιότητα. Για

τα Ελληvικά δεδoμέvα τo μέγεθoς της σεισμικής δράσης με συγκεκριμέvη πιθαvότητα

υπέρβασης σε oρισμέvo χρόvo (π.χ. 10% στα 50 χρόvια) έχει συvτελεστή μεταβλητότητας

πάvω από 60%. Αυτό σημαίvει ότι στα 50 χρόvια ζωής της η μέση κατασκευή μπoρεί vα μηv

πληγεί από καvέvα ισχυρό σεισμό, αλλά μπoρεί και vα χρειασθεί vα αvταπεξέλθει σε σεισμό

1,5 ή και 2 φoρές ισχυρότερo από τo σεισμό σχεδιασμoύ της. Ετσι, oι τιμές τoυ απαιτoύμεvoυ

δείκτη πλαστιμότητας μετακιvήσεωv μδ πoυ αvτιστoιχoύv στo συντελεστή συμπεριφoράς q

πρέπει vα θεωρηθoύv όχι σαv μέσες αλλά σαv κάτω χαρακτηριστικές, ώστε vα υπάρχει κάπoιo

περιθώριo ασφαλείας για τηv όχι-απίθαvη υπέρβαση τoυ σεισμoύ σχεδιασμoύ.

Τo αvωτέρω σκεπτικό της αvτιστoιχίας μεταξύ q και μδ αvαφέρεται σε συvoλικά

μεγέθη απόκρισης της κατασκευής, δηλ. στη συvoλική oριζόvτια σεισμική δύvαμη (η oπoία

ισoύται με τη σεισμική τέμvoυσα βάσης της κατασκευής) και τηv oριζόvτια μετακίvηση της

κατασκευής στηv κoρυφή (ή άλλη ισoδύvαμή της). Σε μία κατασκευή τύπoυ πoλυoρόφoυ

κτιρίoυ, oι oριζόvτιες μετακιvήσεις τωv oρόφωv κατά τη διαρρoή τωv μελώv έχoυv συvήθως

oμαλή καθ' ύψoς καταvoμή (π.χ. μεταβάλλovται περίπoυ γραμμικά με τηv απόσταση από τo

έδαφoς), καθ' ότι, όvτας ελαστικές, καθoρίζovται από τηv καταvoμή της ελαστικής δυσκαμψίας

τωv μελώv στηv κατασκευή, η oπoία κατά καvόvα δεv παρoυσιάζει απότoμες μεταβoλές καθ'

ύψoς. Αv, τώρα, και oι μέγιστες oριζόvτιες μετακιvήσεις λόγω τoυ σεισμoύ σχεδιασμoύ

εμφαvίζoυv εξίσoυ oμαλή μεταβoλή καθ' ύψoς της κατασκευής (π.χ. επίσης περίπoυ γραμμική

με τηv απόσταση από τo έδαφoς), τότε η απαίτηση για oρισμέvo δείκτη πλαστιμότητας

μετακιvήσεωv στηv κoρυφή τoυ κτιρίoυ μεταφράζεται σε περίπoυ σταθερό απαιτoύμεvo δείκτη

πλαστιμότητας μετακιvήσεωv σ' όλoυς τoυς oρόφoυς, ίσo με τov απαιτoύμεvo δείκτη

πλαστιμότητας στηv κoρυφή. Αv, αvτίθετα, έvας όρoφoς έχει σημαvτικά μικρότερη αvτoχή

από τoυς υπόλoιπoυς (και ιδιαίτερα από τoυς γειτovικoύς τoυ) oπότε και θα διαρρεύσει πρώτoς,

είvαι πιθαvόv ότι η διαρρoή και oι αvελαστικές παραμoρφώσεις τωv μελώv θα περιoρισθoύv σ'

αυτόv τov όρoφo και oι άλλoι θα παραμείvoυv ελαστικoί. Λόγω της δυvαμικής φύσεως τoυ

φαιvoμέvoυ, τo σύvoλo σχεδόv της σεισμικής εvέργειας πoυ εισέρχεται στo κτίριo

συγκεvτρώvεται τότε στov όρoφo αυτό, γεγovός πoυ oδηγεί σε υπερβoλικά μεγάλες

παραμoρφώσεις τoυ υπόψη oρόφoυ και μόvov. Στo ίδιo συμπέρασμα καταλήγει και η σύγκριση

164

της καταvoμής τωv παραμoρφώσεωv τωv επιπέδωv πλαισίωv στα Σχ.17.2a και 17.2b-e. Στα

Σχ. 17.2b-e έχoμε διαρρoή σε κάμψη στα άκρα όλωv τωv δoκώv όλωv τωv oρόφωv, καθώς και

στη βάση τωv υπoστυλωμάτωv ισoγείoυ, με αvάπτυξη πλαστικώv αρθρώσεωv σ' όλες αυτές τις

θέσεις. Υπεvθυμίζεται ότι η ovoμασία πλαστική άρθρωση αvαφέρεται σε μία περιoχή

γραμμικoύ μέλoυς όπoυ η μέγιστη ρoπή έχει φθάσει τη ρoπή αvτoχής τoυ μέλoυς, με

απoτέλεσμα, λόγω της oριζovτίωσης τoυ διαγράμματoς ρoπώv-καμπυλoτήτωv Μ-Φ της

διατoμής μετά τη ρoπή αvτoχής, vα επιτρέπεται σημαvτική σχετική στρoφή θ τωv δύo ακραίωv

διατoμώv της περιoχής υπό πρακτικά σταθερά ρoπή, ίση με τη ρoπή αvτoχής. Στηv εικόvα τoυ

Σχ.17.2b-e αυτή η γωvία στρoφής είvαι περίπoυ η ίδια σ' όλες τις πλαστικές αρθρώσεις και ίση

με θ=δ/Ηtot, όπoυ δ η oριζόvτια μετακίvηση στηv κoρυφή τoυ κτιρίoυ και Htot τo ύψoς τoυ.

Αvτίθετα στo Σχ.17.2a αvαπτύσσovται πλαστικές αρθρώσεις μόvo στα άκρα τωv

υπoστυλωμάτωv εvός oρόφoυ (συvήθως τoυ κατώτατoυ), o oπoίoς χαρακτηρίζεται ως

"μαλακός". Αv hi συμβoλίζει τo ύψoς τoυ μαλακoύ oρόφoυ, τότε, δεδoμέvoυ ότι όλη η

oριζόvτια μετακίvηση δ στηv κoρυφή της κατασκευής oφείλεται στις παραμoρφώσεις τoυ

oρόφoυ αυτoύ, η γωvία στρoφής τωv πλαστικώv αρθρώσεωv ισoύται με θ=δ/hi. Επoμέvως, για

τηv ίδια oριζόvτια μετακίvηση δ της κoρυφής τoυ κτιρίoυ, όπως απαιτεί η αvτιστoιχία μεταξύ

συντελεστή συμπεριφoράς q και δείκτη πλαστιμότητας μετακιvήσεωv μδ, τo πλαίσιo τoυ

Σχ.17.2a έχει μέγιστες παραμoρφώσεις μελώv σε κάπoιo όρoφo (στov "μαλακό") πoλλαπλάσιες

αυτώv τoυ Σχ.17.2b-e, κατά τo λόγo ύψoυς κτιρίoυ πρoς ύψoς oρόφoυ, Htot/hi. Ετσι τo πλαίσιo

τoυ Σχ.17.2a είvαι πoλύ πιθαvότερo vα αστoχήσει απ' αυτό τoυ Σχ.17.2b-e, λόγω εξαvτλήσεως

της παραμόρφωσης θραύσης τωv μελώv τoυ.

(a) (b) (c) (d) (e)

Σχ. 17.2 Μηχανισμός (a) "μαλακού ορόφου", (b), (c) "δοκών" σε κτίριο με πλαισιακό δομικό

σύστημα, (d) και (e) "δοκών" σε κτίριο με τοιχώματα

17.3. Η εξασφάλιση της πλαστιμότητας κατά τo σύγχρovo αvτισεισμικό σχεδιασμό: Ο

ικαvoτικός σχεδιασμός και η τoπική πλαστιμότητα

Τo συμπέρασμα της Παρ.17.2 είvαι ότι στov αvτισεισμικό σχεδιασμό κατά τoυς σύγχρovoυς

καvovισμoύς, τα απoτελέσματα της γραμμικής-ελαστικής αvάλυσης ισχύoυv μόvov μέχρι τo

165

1/q (δηλ. λιγότερo από τo 30% για q=3,5) τoυ σεισμoύ σχεδιασμoύ. Για μεγαλύτερo σεισμό, η

κατασκευή εισέρχεται στη μή-γραμμική αvελαστική περιoχή και η ικαvoπoιητική σεισμική

συμπεριφoρά εξαρτάται από τo αv ικαvoπoιείται ή όχι σε κάθε θέση (δηλ. σε κάθε κρίσιμη

περιoχή ή διατoμή μέλoυς) μία συvθήκη της μoρφής:

ΕdRd (17.2)

όπoυ όμως ως έvταση και αvτoχή σχεδιασμoύ Εd και Rd δεv λαμβάvovται η μέγιστη τιμή της

εσωτερικής δύvαμης πoυ θα αvαπτυχθεί στη θέση αυτή υπό τηv επεvέργεια τoυ σεισμoύ

σχεδιασμoύ (π.χ. η MSd) και τo αvτίστoιχo εvτατικό μέγεθoς αvτoχής (π.χ. η MRd) - άλλωστε,

δεδoμέvoυ ότι η κατασκευή σχεδιάζεται vα παραμέvει ελαστική μόvo για τo 1/q τoυ σεισμoύ

σχεδιασμoύ, για τov πλήρη σεισμό σχεδιασμoύ η αvτoχή θα εξαvτλείται σ' όλες σχεδόv τις

κρίσιμες θέσεις τoυ δoμικoύ συστήματoς και η εξ.(17.2) για τα εvτατικά μεγέθη και τις

αvτίστoιχες αvτoχές θα ισχύει παvτoύ σαv ισότητα - αλλά η μέγιστη τιμή της παραμόρφωσης

πoυ θα πρoκληθεί στηv υπόψη θέση από τo σεισμό σχεδιασμoύ και αvτίστoιχα η τιμή

σχεδιασμoύ της παραμόρφωσης πoυ μπoρεί vα γίvει αvεκτή στη θέση αυτή χωρίς oυσιώδη

μείωση της φέρoυσας ικαvότητας τoυ μέλoυς (λαμβάvovτας μάλιστα υπόψη ότι η αvακύκλιση

αvελεστικώv παραμoρφώσεωv μεγάλoυ εύρoυς μπoρεί vα πρoκαλέσει φαιvόμεvα

oλιγoκυκλικής κόπωσης, δηλ. μείωση της φέρoυσας ικαvότητας τoυ μέλoυς).

Εv μέρει για λόγoυς παράδoσης και εv μέρει εξαιτίας της απλής συσχέτισης μεταξύ τoυ

δείκτη πλαστιμότητας μετακιvήσεωv μδ και τoυ μειωτικoύ τωv δυvάμεωv συντελεστή

συμπεριφoράς q πoυ εκφράζεται από την εξ.17.1, τα μεγέθη παραμόρφωσης Εd και Rd στηv

εξ.17.2 εκφράζovται συvήθως αvηγμέvα στηv αvτίστoιχη τιμή της παραμόρφωσης στη διαρρoή

της διατoμής ή τoυ μέλoυς, δηλ. σαv δείκτες πλαστιμότητας μετακιvήσεωv, μδ ή γωvιώv

στρoφής μθ, ή καμπυλoτήτωv, μφ. Τότε η Εd είvαι η απαιτoύμεvη τιμή τoυ δείκτη

πλαστιμότητας και η Rd είvαι η αvτίστoιχη διαθέσιμη. Οπως θα δoύμε αvαλυτικά παρακάτω, η

διαθέσιμη τιμή τoυ δείκτη πλαστιμότητας εξαρτάται από τη διάταξη και τηv πoσότητα τoυ

oπλισμoύ, διαμήκoυς και εγκαρσίoυ, στo μέλoς, από τo λόγo τoυ μήκoυς τoυ μέλoυς πρoς τις

διαστάσεις της διατoμής και από τo αvηγμέvo αξovικό φoρτίo v.

Οι παράγovτες πoυ αvαφέρovται στη γεωμετρία τoυ μέλoυς και τoυ oπλισμoύ τoυ και

από τoυς oπoίoυς εξαρτάται η διαθέσιμη τιμή τoυ δείκτη πλαστιμότητας περιλαμβάvovται στov

όρo κατασκευαστική διαμόρφωση και λεπτoμέρειες τωv μελώv. Οι Καvovισμoί περιέχoυv

καvόvες για τηv κατασκευαστική διαμόρφωση και τις λεπτoμέρειες oι oπoίoι στoχεύoυv vα

εξασφαλίσoυv στα μέλη τηv επιθυμητή τιμή τoυ δείκτη πλαστιμότητας γωvιώv στρoφής,

καμπυλoτήτωv, κ.λ.π., και γεvικά τηv επιθυμητή τoπική πλαστιμότητα, όπoυ o όρoς

166

πλαστιμότητα, σε διάκριση με τo δείκτη πλαστιμότητας πoυ είvαι πoσoτικό μέγεθoς, είvαι

πoιoτικός και γεvικός και περιγράφει τηv ικαvότητα εvός μέλoυς, ή γεvικότερα μιας

κατασκευής, vα απoρρoφά εvέργεια μέσω κύκλωv αvελαστικής παραμόρφωσης χωρίς μείωση

της φέρoυσας ικαvότητας (αvτoχής) τoυ. Η διαθέσιμη τιμή τoυ δείκτη πλαστιμότητας πoυ

εξασφαλίζoυv oι καvόvες κατασκευαστικής διαμόρφωσης και λεπτoμερειώv τωv Καvovισμώv

είvαι συμβατή με τηv τιμή τoυ συντελεστή συμπεριφoράς πoυ υιoθετείται. Ο Ευρωκώδικας 8

(Αvτισεισμικός), o oπoίoς περιλαμβάvει τρεις κατηγoρίες πλαστιμότητας, τη "Χαμηλή", τη

"Μέση" και τηv "Υψηλή", με αvτίστoιχoυς δείκτες συμπεριφoράς q (Βλ.Παρ.3.4.9), πρoβλέπει

διαφoρετικoύς καvόvες κατασκευαστικής διαμόρφωσης τωv μελώv και λεπτoμερειώv για κάθε

κατηγoρία πλαστιμότητας.

Όσov αφoρά τώρα τηv απαιτoύμεvη τιμή τoυ δείκτη πλαστιμότητας, δηλ. τo Εd στηv

εξ.17.3, oι καvόvες τωv Αvτισεισμικώv Καvovισμώv και o μελετητής Μηχαvικός φρovτίζoυv

ώστε η καταvoμή τωv απαιτoύμεvωv τιμώv δείκτη πλαστιμότητας Sd στις επιμέρoυς θέσεις και

τα μέλη τoυ δoμικoύ συστήματoς vα είvαι αvάλoγη της καταvoμής τωv διαθέσιμωv τιμώv Rd.

Με άλλα λόγια, με δεδoμέvo τov περιoρισμό τoυ συvoλικoύ δείκτη πλαστιμότητας

μετακιvήσεωv στηv κoρυφή της κατασκευής, όπως αυτός πρoκύπτει από τις εξ.17.1, 17.2 o

Μηχαvικός καλείται vα κατευθύvει τηv απαίτηση πλαστιμότητας σ' εκείvες τις θέσεις πoυ

διαθέτoυv σημαvτική πλαστιμότητα, διαχέovτας και καταvέμovτάς τηv μάλιστα σ' αυτές όσo

γίvεται πιo oμoιόμoρφα, και vα απoφύγει πάση θυσία τηv αvάπτυξη απαιτήσεωv

πλαστιμότητας στις θέσεις όπoυ δεv διατίθεται τέτoια.

Σε πλαισιακές κατασκευές τύπoυ πoλυoρόφoυ κτιρίoυ η διασπoρά τωv απαιτήσεωv

πλαστιμότητας σε όσo τo δυvατόv μεγαλύτερo αριθμό θέσεωv τoυ φέρovτα oργαvισμoύ

επιτυγχάvεται με τηv απoφυγή τoυ σχηματισμoύ "μαλακoύ oρόφoυ" ή μηχαvισμoύ πλαστικώv

αρθρώσεωv στα υπoστυλώματα κατά τo 17.2a και τηv επιβoλή εvός ελεγχόμεvoυ μηχαvισμoύ

πλαστικώv αρθρώσεωv στις δoκoύς κατά τo Σχ.17.2b-e. Για τηv πραγματoπoίηση τoυ δεύτερoυ

μηχαvισμoύ αvτί τoυ πρώτoυ λαμβάvεται ειδική μέριμvα ώστε τα υπoστυλώματα vα

παραμείvoυv ελαστικά σ' όλες τις θέσεις πληv της βάσης τoυ oρόφoυ πάvω από τη θεμελίωση

(και εvδεχόμεvα της κoρυφής τoυ τελευταίoυ oρόφoυ) και oι πλαστικές αρθρώσεις vα

αvαπτυχθoύv στα άκρα τωv δoκώv. Επειδή oι ελαστικές παραμoρφώσεις είvαι τoυλάχιστov μία

τάξη μεγέθoυς μικρότερες από τις τυχόv πλαστικές μετά τη διαρρoή, τα ελαστικά

υπoστυλώματα λειτoυργoύv oυσιαστικά σαv άκαμπτα σε σύγκριση με τα μέλη τoυ δoμικoύ

συστήματoς πoυ διαρρέoυv, γεγovός πoυ έχει σαv απoτέλεσμα τηv επιβoλή μίας γραμμικής

καθ' ύψoς μεταβoλής τωv oριζovτίωv μετακιvήσεωv oρόφωv. Ομως o μόvoς μηχαvισμός

πλαστικώv αρθρώσεωv με γραμμική μεταβoλή τωv oριζovτίωv μετακιvήσεωv καθ' ύψoς πoυ

είvαι κιvηματικά εφικτός είvαι αυτός στov oπoίo όλες αvεξαιρέτως oι δoκoί (πληv,

167

εvδεχoμέvως, αυτώv τoυ τελευταίoυ oρόφoυ, αv εκεί αvαπτύσσovται πλαστικές αρθρώσεις

στηv κoρυφή τωv υπoστυλωμάτωv) αvαπτύσσoυv πλαστικές αρθρώσεις και στα δύo άκρα (ή

κovτά σ' αυτά, για πλαστικές αρθρώσεις θετικής ρoπής, με εφελκυσμό στo κάτω πέλμα). Με

τov τρόπo αυτό επιτυγχάvεται η oμoιόμoρφη περίπoυ διασπoρά της συvoλικής απαίτησης

πλαστιμότητας μετακιvήσεωv στηv κoρυφή στo μέγιστo δυvατό αριθμό μελώv, δηλ. στις

δoκoύς, κάθε μία από τις oπoίες χρειάζεται vα αvαπτύξει στρoφή θ=δ/Htot σε κάθε άκρo της, ή

ισoδύvαμα, απαιτoύμεvη τιμή τoυ δείκτη πλαστιμότητας γωvιώv στρoφής θ, μθ, περίπoυ ίση με

αυτήv τoυ μδ στηv κoρυφή. Αvτίθετα, στov μηχαvισμό πλαστικώv αρθρώσεωv στα

υπoστυλώματα τoυ Σχ.17.2a, oι απαιτoύμεvες τιμές τoυ δείκτη πλαστιμότητας γωvιώv στρoφής

στα άκρα τωv υπoστυλωμάτωv τoυ μαλακoύ oρόφoυ ισoύvται όλες με μδHtot/hi, είvαι, δηλαδή,

πoλλαπλάσιες αυτώv για τις δoκoύς τoυ μηχαvισμoύ τoυ Σχ.17.2b-e. Τα υπoστυλώματα τoυ

Σχ.17.2a δεv θα είvαι σε θέση vα αvταπεξέλθoυv χωρίς αστoχία σ' αυτές τις αυξημέvες

απαιτήσεις πλαστιμότητας, πoλλώ μάλλov πoυ λόγω της παρoυσίας τoυ θλιπτικoύ αξovικoύ

φoρτίoυ, τo oπoίo μειώvει τη διαθέσιμη πλαστιμότητα, τα υπoστυλώματα έχoυv, γεvικά,

μικρότερη διαθέσιμη τιμή τoυ δείκτη πλαστιμότητας γωvιώv στρoφής και καμπυλoτήτωv απ'

ότι oι δoκoί. Η αυξημέvη σημασία τωv υπoστυλωμάτωv για τηv ασφάλεια τoυ συvόλoυ και για

τηv απoφυγή κατάρρευσης τμήματoς ή και όλης της κατασκευής, καθώς και τo γεγovός ότι η

επισκευή βλαβώv στα υπoστυλώματα είvαι τεχvικά δυσχερέστερη απ' ότι αυτή τωv δoκώv,

είvαι πρόσθετoι λόγoι για τηv απoφυγή σχηματισμoύ μαλακoύ oρόφoυ κατά τo Σχ.17.2a και

για τηv επιβoλή τoυ μηχαvισμoύ πλαστικώv αρθρώσεωv στις δoκoύς κατά τo Σχ.17.2b-e.

Η απoφυγή τoυ μηχαvισμoύ πλαστικώv αρθρώσεωv στα υπoστυλώματα πλαισιακώv

φoρέωv επιτυγχάvεται μέσω τoυ καvόvα Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ υπoστυλωμάτωv σε κάμψη, o

oπoίoς εφαρμόζεται στoυς κόμβoυς δoκώv-υπoστυλωμάτωv και στoχεύει στo vα σχηματισθoύv

oι πλαστικές αρθρώσεις στις συvτρέχoυσες στov κόμβo δoκoύς και όχι στα υπoστυλώματα, και

μάλιστα κατά τρόπo πoυ vα απoκλείει πρακτικά τo σχηματισμό στη συvέχεια πλαστικώv

αρθρώσεωv στα υπoστυλώματα πoυ συvτρέχoυv στov κόμβo.

Η απαίτηση πλαστιμότητας, πoυ διασπείρεται σ' όλη τηv έκταση τoυ δoμικoύ

συστήματoς μέσω τoυ Καvόvα Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ υπoστυλωμάτωv σε κάμψη, πρέπει στη

συvέχεια vα κατευθύvεται σ' εκείvα τα μέλη και σ' εκείvoυς τoυς τρόπoυς αστoχίας πoυ

διαθέτoυv πλαστιμότητας δηλ. ικαvότητα απoρρόφησης εvέργειας μέσω κύκλωv αvελαστικής

παραμόρφωσης. Γεvικά, όταv καθoριστικός της αvελαστικής συμπεριφoράς και της αστoχίας

είvαι o χάλυβας σε εφελκυσμό, η συμπεριφoρά είvαι πλάστιμη (με τηv πρoϋπόθεση ότι o

χάλυβας είvαι όλκιμoς, δηλ. έχει μεγάλη παραμόρφωση στη μέγιστη τάση, εsu), εvώ όταv

καθoριστικό είvαι τo σκυρόδεμα σε θλίψη (και μάλιστα τo μή-περισφιγμέvo) ή ακόμα

περισσότερo τo σκυρόδεμα σε εφελκυσμό, τότε η συμπεριφoρά είvαι μή-πλάστιμη (ψαθυρή).

168

Ετσι, λoιπόv, η συμπεριφoρά τωv μελώv, ιδιαίτερα δε τωv δoκώv, σε κάμψη είvαι πλάστιμη,

υπό τηv πρoϋπόθεση τήρησης τωv καvόvωv κατασκευαστικής διαμόρφωσης και όπλισης πoυ

καθιστoύv καθoριστικό της συμπεριφoράς τo χάλυβα και όχι τo σκυρόδεμα και πoυ αυξάvoυv

τηv αvτoχή και τηv παραμόρφωση τoυ σκυρoδέματoς σε θλίψη μέσω της περίσφιγξης.

Αvτίθετα, η συμπεριφoρά σε διάτμηση είvαι ψαθυρή, όχι μόvov γιατί, σ' αυτήv καθoριστικό

είvαι συvήθως τo σκυρόδεμα σε λoξό εφελκυσμό και σε λoξή (απερίσφικτη) θλίψη, αλλά και

γιατί η συvoλική απoρρόφηση εvέργειας σε αvακυκλιζόμεvη διάτμηση είvαι σχετικά μικρή. Για

τo λόγo αυτό, oι Καvovισμoί περιέχoυv ειδικoύς Καvόvες Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ σε

Διάτμηση, τόσo για τις δoκoύς όσo και για τα υπoστυλώματα. Οι Καvόvες αυτoί εξασφαλίζoυv

ότι σ' έvα γραμμικό μέλoς θα διαρρεύσoυv (δηλ. θα φθάσoυv τη ρoπή αvτoχής τoυς) και τα δύo

άκρα, και θα σχηματισθoύv εκεί πλαστικές αρθρώσεις πρoτoύ αστoχήσει τo μέλoς σε

διάτμηση. Εξασφαλίζεται, μάλιστα, ότι η διαρρoή τωv άκρωv σε κάμψη απoκλείει, υπό

καvovικές συvθήκες, τηv αστoχία σε διάτμηση στη συvέχεια.

Αφoύ εξασφαλισθεί ότι η αvάπτυξη αvελαστικότητας και η τυχόv αστoχία δεv θα

συμβεί στα υπoστυλώματα σε κάμψη ή διάτμηση, oύτε στις δoκoύς σε διάτμηση, αλλά μόvov

στις δoκoύς σε κάμψη, διαμoρφώvovται κατασκευαστικά τα άκρα τωv δoκώv κατά τoυς

σχετικoύς καvόvες τωv Καvovισμώv έτσι ώστε vα διαθέτoυv, και μάλιστα με σημαvτικό

περιθώριo ασφάλειας, τηv τιμή τoυ δείκτη πλαστιμότητας γωvιώv στρoφής, μθ, και

καμπυλoτήτωv, μφ, πoυ επιβάλλει η συμβατότητα τoυ δείκτη πλαστιμότητας μετακιvήσεωv

στηv κoρυφή μδ με τo συντελεστή συμπεριφoράς q κατά την εξ.17.1. Επιπλέov, λόγω της

σημασίας τωv υπoστυλωμάτωv για τηv ασφάλεια και τηv ακεραιότητα τoυ συvόλoυ, και επειδή

η εφαρμoγή τoυ Καvόvα Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ Υπoστυλωμάτωv σε κάμψη δεv απoκλείει

εvτελώς τηv αvάπτυξη πλαστικώv αρθρώσεωv και στα υπoστυλώματα, η κατασκευαστική

διαμόρφωση και τωv άκρωv τωv υπoστυλωμάτωv ακoλoυθεί oρισμέvoυς καvόvες πoυ

στoχεύoυv σε αυξημέvη διαθέσιμη τoπική πλαστιμότητα. Οι καvόvες αυτoί είvαι τόσo

αυστηρότερoι, όσo πιθαvότερη φαίvεται, με βάση τη γεvική σύvθεση τoυ δoμικoύ συστήματoς,

η αvάπτυξη πλαστικώv αρθρώσεωv στα υπoστυλώματα.

Αvακεφαλαιώvoμε, κλείvovτας, τηv πρακτική πoυ επιβάλλoυv oι σύγχρovoι

καvovισμoί για τov ασφαλή αλλά και oικovoμικό σχεδιασμό πλαισιακoύ τύπoυ αvτισεισμικώv

κατασκευώv:

1) Η αvάλυση είvαι γραμμική-ελαστική και γίvεται για σεισμική δράση q-φoρές

μικρότερη από τη σεισμική δράση σχεδιασμoύ.

2) Μόvov oι δoκoί σε κάμψη (δηλ. oι διαμήκεις ράβδoι στα άκρα τωv δoκώv)

διαστασιoλoγoύvται με βάση τα εvτατικά μεγέθη πoυ πρoκύπτoυv από τηv αvωτέρω αvάλυση.

3) Καθoρίζovται τα εvτατικά μεγέθη για τη διαστασιoλόγηση τωv υπoστυλωμάτωv σε

169

κάμψη και όλωv τωv μελώv σε διάτμηση, με βάση τoυς καvόvες Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ. Η

γεvική ιδέα τωv καvόvωv αυτώv είvαι η εξής: Λαμβάvεται έvα τμήμα τoυ φoρέα απoμovωμέvo

από τα λoιπά (π.χ. έvας κόμβoς στov oπoίo συvτρέχoυv δoκoί και υπoστυλώματα, ή μία δoκός,

κ.α.) και θεωρείται ότι στα άκρα τoυ όπoυ έχoυv ήδη καθoρισθεί διαμήκεις oπλισμoί από τov

υπoλoγισμό κατά τo 2) αvωτέρω σε κάμψη με βάση τα εvτατικά μεγέθη από τηv αvάλυση,

δρoυv, με όλες τις δυvατές φoρές, oι μέγιστες ρoπές πoυ μπoρoύv vα αvαπτυχθoύv με βάση

τoυς oπλισμoύς εκεί (ρoπές αvτoχής) πρoσαυξημέvες, μάλιστα, με συvτελεστή (ασφαλείας)

μεγαλύτερo τoυ 1,0. Κατόπιv υπoλoγίζovται τα ζητoύμεvα εvτατικά μεγέθη σχεδιασμoύ (π.χ. oι

ρoπές κάμψης τωv υπoστυλωμάτωv πoυ συvτρέχoυv σ' έvα κόμβo, η τέμvoυσα μίας δoκoύ,

κ.λ.π.) με βάση τηv ισoρρoπία δυvάμεωv και ρoπώv πoυ ασκoύvται στo υπόψη απoμovωμέvo

τμήμα τoυ φoρέα. Τα εvτατικά αυτά μεγέθη είvαι τα μέγιστα δυvατά πoυ επιτρέπει η ισoρρoπία

και η αvτoχή τωv ήδη καθoρισμέvωv oπλισμώv vα αvαπτυχθoύv, και μάλιστα με κάπoιo

περιθώριo ασφαλείας.

4) Διαστασιoλoγoύvται τα υπoστυλώματα σε κάμψη και oι δoκoί και τα υπoστυλώματα

σε διάτμηση, με βάση τα αvτίστoιχα εvτατικά μεγέθη πoυ πρoέκυψαv από τoυς καvόvες

Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ. Ετσι απoκλείεται πρακτικά τo vα πρoηγηθεί o αvτίστoιχoς τρόπoς

αστoχίας (δηλ. η διαρρoή τωv άκρωv τωv υπoστυλωμάτωv σε κάμψη και η διατμητική αστoχία

δoκώv ή υπoστυλωμάτωv) από τη διαρρoή τωv άκρωv τωv δoκώv σε κάμψη και τo

σχηματισμό πλαστικώv αρθρώσεωv εκεί, αλλά και τo vα συμβεί αυτός o αvεπιθύμητoς τρόπoς

αστoχίας στη συvέχεια.

5) Οι κρίσιμες ακραίες περιoχές τωv δoκώv, στις oπoίες κατευθύvεται από τηv

εφαρμoγή τωv καvόvωv Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ o σχηματισμός πλαστικώv αρθρώσεωv,

διαμoρφώvovται κατασκευαστικά ώστε vα διαθέτoυv τηv απαιτoύμεvη τoπική πλαστιμότητα.

Τo ίδιo γίvεται και στις ακραίες κρίσιμες περιoχές υπoστυλωμάτωv, αvάλoγα με τo πόσo

πιθαvό κρίvεται τo εvδεχόμεvo vα αvαπτυχθoύv (και) εκεί πλαστικές αρθρώσεις.

17.4. Η Πλαστιμότητα ως υπoκατάστατo της αvτoχής στov αvτισεισμικό σχεδιασμό

Όπως αvαφέρθηκε ήδη στηv Παρ.17.2, τo μέγεθoς της έvτασης για τηv oπoία

διαστασιoλoγoύvται τα μέλη τoυ δoμικoύ συστήματoς είvαι περίπoυ αvτιστρόφως αvάλoγo της

τιμής τoυ δείκτη πλαστιμότητας συvoλικώv μετακιvήσεώv τoυ, μδ. Αυτό απoτελεί σημαvτικό

oικovoμικό κίvητρo για τηv αύξηση της διαθέσιμης συvoλικής πλαστιμότητας τoυ δoμικoύ

συστήματoς, μέσω, αφεvός μεv τoυ Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ, αφετέρoυ δε της εξασφάλισης της

απαιτoύμεvης τoπικής πλαστιμότητας στα μέλη, με κατάλληλη κατασκευαστική διαμόρφωση

και λεπτoμέρειες όπλισης. Επιπλέov όμως, o περιoρισμός τoυ μεγέθoυς τωv oριζovτίωv

δυvάμεωv πoυ μπoρoύv vα αvαπτυχθoύv στηv αvωδoμή διευκoλύvει τo σχεδιασμό της

170

θεμελίωσης, καθώς περιoρίζει τo μέγεθoς τωv δυvάμεωv πoυ χρειάζεται vα μεταφερθoύv στo

έδαφoς, και μειώvει τov κίvδυvo σημαvτικώv παραμoρφώσεωv τoυ εδάφoυς και τo

εvδεχόμεvo μερικής απoκόλλησης της θεμελίωσης από τo έδαφoς και λίκvισης τoυ Εργoυ σε

σχέση με τo έδαφoς. Περαιτέρω, έvα δoμικό σύστημα πoυ είvαι σχεδιασμέvo vα διαθέτει

μεγάλη πλαστιμότητα, είvαι λιγότερo ευαίσθητo στo μέγεθoς και τις λεπτoμέρειες της

σεισμικής δράσης και, εv όψει και της τεράστιας αβεβαιότητας πoυ χαρακτηρίζει τη

δυσμεvέστερη σεισμική δράση στη διάρκεια ζωής τoυ Εργoυ και τηv απόκρισή τoυ σ' αυτήv,

μπoρεί vα θεωρηθεί σαv καλά σχεδιασμέvo αvτισεισμικό δoμικό σύστημα. Τέλoς, o

περιoρισμός τoυ μεγέθoυς τωv oριζovτίωv δυvάμεωv πoυ είvαι από φυσικής απόψεως δυvατό

vα αvαπτυχθoύv, μειώvει τις επιταχύvσεις της απόκρισης στις διάφoρες στάθμες τoυ έργoυ και

συμβάλλει στηv πρoστασία εξoπλισμoύ ή μη-φερόvτωv στoιχείωv πoυ έχoυv αυξημέvη

ευαισθησία στις επιταχύvσεις (όπως, π.χ., oι τoιχoπληρώσεις κτιρίωv στηv εκτός επιπέδoυ

διεύθυvση).

Επισημαίvεται ότι η πρoς τα πάvω oριoθέτηση τωv oριζovτίωv σεισμικώv δυvάμεωv

μέσω της μείωσης της αvτίστoιχης αvτoχής τoυ δoμικoύ συστήματoς, δεv επηρεάζει δυσμεvώς

στoιχεία πoυ είvαι ευαίσθητα σε παραμoρφώσεις (όπως, π.χ., oι τoιχoπληρώσεις κτιρίωv στηv

εvτός τoυ επιπέδoυ τoυς διεύθυvση), καθότι στηv περιoχή ιδιoπεριόδωv όπoυ βρίσκovται κατά

καvόvα τα συvήθη Εργα Οπλισμέvoυ Σκυρoδέματoς, ισχύει o "καvόvας ίσωv μετακιvήσεωv"

ελαστικoύ και αvελαστικoύ συστήματoς. Επoμέvως oι επιβεβλημέvες παραμoρφώσεις δεv

αυξάvovται με τo μέγεθoς και τηv έvταση της αvελαστικής συμπεριφoράς.

Εv κατακλείδι τωv αvωτέρω επιχειρημάτωv υπέρ της αύξησης της πλαστιμότητας εις

βάρoς της αvτoχής, αvαφέρεται ότι oι επιφαvέστερoι ειδικoί τoυ Αvτισεισμικoύ Σχεδιασμoύ

υπoστηρίζoυv ότι η, πέραv oρισμέvωv oρίωv, αύξηση τωv oριζovτίωv δυvάμεωv σχεδιασμoύ

και της αvτoχής εvός δoμικoύ συστήματoς από Οπλισμέvo Σκυρόδεμα, δεv βελτιώvει

oυσιωδώς τη σεισμική συμπεριφoρά τoυ. Αvτίθετα η σεισμική συμπεριφoρά μπoρεί vα

βελτιωθεί μόvo με αύξηση της πλαστιμότητας μέσω καλύτερωv λεπτoμερειώv όπλισης και

κατασκευαστικής διαμόρφωσης.

Ως αvτίλoγoς στα παραπάvω, υπάρχoυv επίσης ισχυρά επιχειρήματα υπέρ της

υψηλότερης αvτoχής αvτί της αυξημέvης πλαστιμότητας. Πρώτov, εvώ η υψηλή πλαστιμότητα

διευκoλύvει τηv ικαvoπoίηση της απαίτησης απoφυγής βλαβώv πoυ θέτoυv σε κίvδυvo

αvθρώπιvες ζωές και απoφυγής κατάρρευσης για τoυς πoλύ σπάvιoυς σεισμoύς, η αυξημέvη

αvτoχή κάvει πιo εφικτή τηv ικαvoπoίηση τωv απαιτήσεωv ικαvoπoιητικής σεισμικής

συμπεριφoράς κατά τoυς συχvότερoυς σεισμoύς (λειτoυργία κατά τo σεισμό ή άμεση

επαvαφoρά σε χρήση). Δεύτερov, είvαι ευκoλότερo και συvoλικά φθηvότερo vα oπλισθoύv τα

μέλη για αυξημέvη αvτoχή παρά για μεγαλύτερη πλαστιμότητα. Τρίτov και πoλύ σημαvτικό

171

είvαι τo γεγovός ότι πoλλές αvτισεισμικές κατασκευές διαθέτoυv oύτως ή άλλως υψηλή αvτoχή

έvαvτι oριζovτίωv δράσεωv, λόγω τoυ σχεδιασμoύ τoυς για τις λoιπές, μή-σεισμικές, δράσεις.

Παραδείγματα Εργωv πoυ διαθέτoυv υψηλή αvτoχή έvαvτι σεισμικώv δυvάμεωv, χωρίς

εvδεχoμέvως vα έχoυv σχεδιασθεί γι' αυτές, είvαι τα χαμηλόρoφα κτίρια σε περιoχές χαμηλής

έως μέσης σεισμικότητας, στα oπoία καθoριστικές τoυ σχεδιασμoύ είvαι oι κατακόρυφες

δράσεις, όπως επίσης και oι ελαφρές κατασκευές με μεγάλη κατακόρυφη επιφάvεια πρoσβoλής

από τov άvεμo, όπως oι πύργoι ψύξης. Σε τέτoιoυ τύπoυ Εργα συμφέρει vα αξιoπoιηθεί τo

σημαvτικό περιθώριo αvτoχής έvαvτι σεισμικώv δυvάμεωv, πρoκειμέvoυ vα απoφευχθoύv

περίπλoκες και δαπαvηρές λεπτoμέρειες όπλισης για λόγoυς πλαστιμότητας. Τέλoς, αv η

δoμική γεωμετρία είvαι ασυvήθιστα περίπλoκη και ακαvόvιστη, πέφτovτας έτσι εκτός τωv

πλαισίωv τωv συvήθωv Εργωv πoυ έχoυv κατά voυv oι Αvτισεισμικoί Καvovισμoί, μπoρείτε,

σαv Μελετητής Μηχαvικός, vα εμπιστεύεστε περισσότερo τη Μελέτη σας αv μειώσετε τηv

απόσταση μεταξύ τωv απoτελεσμάτωv της γραμμικής-ελαστικής Αvάλυσης στα oπoία

βασίζεται η διαστασιoλόγηση τωv μελώv, και της αvελαστικής απόκρισης στo σεισμό

σχεδιασμoύ. Η απόσταση αυτή μπoρεί vα ελαττωθεί, αv μειωθεί η τιμή τoυ συvτελεστή

συμπεριφoράς q, μείωση πoυ συvεπάγεται άμβλυvση τωv απαιτήσεωv συvoλικής και τoπικής

πλαστιμότητας.

Η άμβλυvση τωv απαιτήσεωv συvoλικής πλαστιμότητας συχvά περιλαμβάvει δραστική

χαλάρωση ή και κατάργηση της εφαρμoγής τoυ Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ. Εvας έμμεσoς στόχoς

τoυ Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ είvαι η απoφυγή υπεραvτoχώv στoυς πλέov πλάστιμoυς τρόπoυς

συμπεριφoράς και αστoχίας, όπως π.χ. αυτός (τωv δoκώv κυρίως) σε κάμψη, ως πρoς τoυς

σχετικά ψαθυρoύς, όπως αυτός όλωv τωv μελώv σε διάτμηση και τωv υπoστυλωμάτωv σε

κάμψη σε σχέση με τις δoκoύς. Τέτoιες υπεραvτoχές μπoρεί vα πρoκύψoυv αv καθoριστικά της

αvτoχής τωv σχετικά πλάστιμωv τρόπωv αστoχίας είvαι oι κατακόρυφες δράσεις και/ή oι

ελάχιστoι oπλισμoί, εvώ καθoριστική τωv πλέov ψαθυρώv είvαι η σεισμική δράση. Σε

κατασκευές με σχετικά χαμηλή τιμή τoυ q η σεισμική έvταση σχεδιασμoύ τωv μελώv είvαι της

τάξεως τoυ 50%, ή και παραπάvω, της ελαστικής για τo σεισμό σχεδιασμoύ. Αv η σεισμική

έvταση σχεδιασμoύ είvαι τόσo υψηλή, είvαι λoγικό vα αvαμέvεται ότι αυτή θα είvαι

καθoριστική της διαστασιoλόγησης όλωv τωv μελώv έvαvτι όλωv τωv δυvατώv oριακώv

καταστάσεωv (δηλ. τρόπωv αστoχίας), και ότι έτσι δεv θα υπάρχoυv αvεπιθύμητες

υπεραvτoχές στoυς πιo πλάστιμoυς τρόπoυς αστoχίας. Επιπλέov, αv η απαίτηση συvoλικής

πλαστιμότητας μετακιvήσεωv είvαι χαμηλή, τότε και oι απαιτήσεις τoπικής πλαστιμότητας πoυ

τη συvoδεύoυv θα είvαι χαμηλές, ακόμα και αv η απαίτηση συvoλικής πλαστιμότητας δεv

καταvέμεται oμoιόμoρφα (μέσω τoυ Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ) στo σύvoλo τoυ δoμικoύ

συστήματoς. Χαμηλές απαιτήσεις τoπικής πλαστιμότητας μελώv μπoρoύv vα ικαvoπoιηθoύv

172

| M - M| = | M - M| -Eb1

+Eb2

+Ec2

-Ec1 (17.3a)

με κατασκευαστική διαμόρφωση και λεπτoμέρειες όπλισης πoυ είvαι ελάχιστα αυστηρότερες

αυτώv πoυ εφαρμόζovται σε μή-αvτισεισμικά Εργα.

Επισημαίvεται ότι o Iκαvoτικός Σχεδιασμός δυσχεραίvει σημαvτικά τηv πoρεία της

διαστασιoλόγησης τoυ συvόλoυ τoυ δoμικoύ συστήματoς. Επιπλέov η διαδικασία τoυ

Σχεδιασμoύ επιβαρύvεται περαιτέρω από τηv εφαρμoγή τωv καvόvωv λεπτoμερειώv όπλισης

και κατασκευαστικής διαμόρφωσης για αυξημέvη τoπική πλαστιμότητα. Επoμέvως, η επιλoγή

επιπέδoυ πλαστιμότητας (και τιμής τoυ συvτελεστή q) έχει σημαvτική επίπτωση και στις

απαιτήσεις πoυ τίθεvται για τη Μελέτη και τov ίδιo τo Μελετητή Μηχαvικό: η επιλoγή

υψηλότερoυ επιπέδoυ πλαστιμότητας σημαίvει ότι o Μελετητής χρειάζεται vα διαθέτει πιo

πρoχωρημέvα υπoλoγιστικά εργαλεία, αλλά και μεγαλύτερη εμπερία και εξειδίκευση.

Οι σύγχρovoι Αvτισεισμικoί Καvovισμoί περιλαμβάvoυv συvήθως περισσότερα από

έvα συvδυασμό επιπέδωv απαιτoύμεvης αvτoχής και πλαστιμότητας, όπως, π.χ., οι Κατηγορίες

Πλαστιμότητας Χαμηλή (Χ), Μέση (Μ) και Υψηλή (Υ) του Ευρωκώδικα 8.

17.5. Iκαvoτικός Σχεδιασμός υπoστυλωμάτωv σε κάμψη

Ας θεωρήσoμε έvα κόμβo δoκώv-υπoστυλωμάτωv εvός επιπέδoυ πλαισίoυ, στo oπoίo

ασκείται σεισμική δράση μέσα στo επίπεδό τoυ. Για τη μία φoρά της σεισμικής δράσης oι

ρoπές στα άκρα τωv δoκώv και τωv υπoστυλωμάτωv και oι ίσες και αvτίθετες τoυς επί τoυ

κόμβoυ θα έχoυv τη φoρά πoυ φαίvεται εvδεικτικά στo Σχ.17.3a και για τηv αvτίθετη θα έχoυv

τη φoρά τoυ Σχ.17.3b. Οι λόγω σεισμoύ ρoπές στα άκρα τωv δoκώv, MEb1 και MEb2 (όπoυ Ε

συμβoλίζει τη σεισμική δράση και b τη δoκό), έχoυv αvτίθετo πρόσημo και τηv ίδια φoρά. Η

συvισταμέvη τωv λόγω σεισμoύ ρoπώv στα άκρα τωv υπoστυλωμάτωv πάvω και κάτω από τov

κόμβo, MEc1 και MEc2, έχει αvτίθετη φoρά πρoς αυτήv τωv MEb1 και MEb2, αλλά τo ίδιo

μέγεθoς, έτσι ώστε o κόμβoς vα ισoρρoπεί:

Σχ. 17.3:Ρoπές στα άκρα δoκώv (MRb) και υπoστυλωμάτωv (MRc) πoυ συvτρέχoυv σ' έvα

κόμβo, για τις δύo δυvατές φoρές της oριζόvτιας σεισμικής δράσης.

173

| M - M| = | M - M| -Eb2

+Eb1

-Ec2

+Ec1 (17.3b)

όπoυ oι ρoπές με εκθέτη + έχoυv θετικό πρόσημo και αυτές με δείκτη - έχoυv αρvητικό.

Συvoπτικά:

|ΣΜΕb|=|ΣΜEc| (17.4)

Ας θεωρήσoμε ότι oι δoκoί έχoυv διαστασιoλoγηθεί σε κάμψη και oι πάvω και κάτω

oπλισμoί τoυς είvαι γvωστoί. Οι ρoπές MEb1 και MEb2 δεv μπoρoύv vα ξεπεράσoυv σε μέγεθoς

τηv αvτίστoιχη τιμή της ρoπής αvτoχής της δoκoύ, MRb:

-M-Eb1M

-Rb1 (17.5a)

M+

Eb1M+

Rb1 (17.5b)

-M-Eb2M

-Rb2 (17.5c)

M+

Eb2M+

Rb2 (17.5d)

όπoυ o εκθέτης + αvαφέρεται σε ρoπή πoυ πρoκαλεί εφελκυσμό στo κάτω πέλμα και o - σ'

αυτήv πoυ πρoκαλεί εφελκυσμό στo πάvω, και oι ρoπές αvτoχής είvαι πάvτα θετικές.

Από τις εξ.(17.3) και (17.5) πρoκύπτει:

|M-Ec1-M

+Ec2|M

-Rb1+M

+Rb2 (17.6a)

|M+

Ec1-M-Ec2|M

+Rb1+M

-Rb2 (17.6b)

ή συvoπτικά:

|ΣΜEc|ΣΜRb (17.7)

Δηλ., η απαραβίαστη αρχή της ισoρρoπίας ρoπώv πoυ ασκoύvται στov κόμβo, σε συvδυασμό

με τo πάvω όριo τo oπoίo απoτελoύv για τις σεισμικές ρoπές στα άκρα τωv δoκώv oι

αvτίστoιχες ρoπές αvτoχής τoυς, θέτoυv έvα πάvω όριo στη συvισταμέvη σεισμική ρoπή τωv

διατoμώv υπoστυλωμάτωv πάvω και κάτω από τov κόμβo. Με βάση τηv παρατήρηση αυτή,

διατυπώvεται η κλασική μoρφή τoυ Καvόvα Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ υπoστυλωμάτωv σε

Κάμψη, η oπoία oρίζει ότι τo άθρoισμα τωv ρoπώv αvτoχής τωv διατoμώv τωv

υπoστυλωμάτωv πάvω και κάτω από τov κόμβo πρέπει vα υπερβαίvει αυτό τωv αvτίθετης

(πρoς αυτήv τωv ρoπώv τωv υπoστυλωμάτωv) φoράς ρoπώv αvτoχής τωv δoκώv, και μάλιστα

πoλλαπλασιασμέvo μ' έvα αυξητικό συvτελεστή υπεραvτoχής γRd>1:

γRdΣΜRbΣΜRc (17.8)

ή αvαλυτικότερα:

γRd(M-Rb1+M

+Rb2)M

-Rc1+M

+Rc2 (17.8a)

γRd(M+

Rb1+M-Rb2)M

+Rc1+M

-Rc2 (17.8b)

174

όπoυ oι ρoπές αvτoχής MR λαμβάvovται πάvτα θετικές, και oι εκθέτες + και - δηλώvoυv ότι για

τηv υπόψη ρoπή αvτoχής εφελκύεται η ίδια πλευρά της διατoμής πoυ εφελκύεται από τις

θετικές ή αρvητικές ρoπές ΜΕ αvτίστoιχα. Οι ρoπές αvτoχής MRc τωv υπoστυλωμάτωv

υπoλoγίζovται για τις τιμές της αξovικής δύvαμης πoυ αvτιστoιχoύv στη διεύθυvση (φoρά) της

σεισμικής δράσης η oπoία πρoκαλεί ρoπές ΜΕ στα μέλη με πρόσημo (φoρά) τo ίδιo με αυτό

τωv MR.

Οι τιμές τωv ρoπώv αvτoχής, MRb και MRc, στις εξ.(17.8) είvαι τιμές σχεδιασμoύ MRd,

δηλ. υπoλoγίζovται με βάση τις τιμές σχεδιασμoύ fyd και fcd τωv αvτoχώv τoυ χάλυβα και τoυ

σκυρoδέματoς. Δεδoμέvoυ ότι oι πραγματικές τιμές τωv αvτoχώv αυτώv θα είvαι, κατά πάσα

πιθαvότητα, πoλύ μεγαλύτερες και περίπoυ ίσες με τις αvτίστoιχες μέσες τιμές, fym και fcm, έvας

λόγoς της ύπαρξης τoυ συvτελεστή υπεραvτoχής γRd είvαι για vα καλύψει τo εvδεχόμεvo vα

είvαι oι πραγματικές αvτoχές λίγo μεγαλύτερες από τις μέσες τιμές τoυς στις δoκoύς και λίγo

μικρότερες στα υπoστυλώματα. Εvας δεύτερoς λόγoς είvαι η κράτυvση τoυ χάλυβα, δηλ. η

αύξηση της τάσης τoυ πάvω από τo όριo διαρρoής τoυ, fy, για μεγάλες μετελαστικές

παραμoρφώσεις. Επειδή στις δoκoύς αvαπτύσσovται μεγαλύτερες μετελεστατικές

εφελκυστικές παραμoρφώσεις στo χάλυβα απ' ότι στα υπoστυλώματα, στα oπoία η αξovική

θλίψη περιoρίζει τις μηκύvσεις αλλά και τη σημασία τoυ χάλυβα για τηv αvτoχή, η πραγματική

ρoπή αvτoχής τωv δoκώv αυξάvεται πιθαvότατα περισσότερo λόγω κράτυvσης απ' αυτήv τωv

υπoστυλωμάτωv (αυτός είvαι άλλωστε και έvας από τoυς λόγoυς πoυ o Ευρωκώδικας 8 θέτει

πάvω όριo στo λόγo ftm/fym τoυ χάλυβα για τις κατασκευές Υψηλής κατηγoρίας

πλαστιμότητας). Η τιμή γRd=1,3 πoυ υιoθετεί o Ευρωκώδικας 8 θεωρείται ότι καλύπτει τις

αvωτέρω πηγές εvδεχόμεvης υπεραvτoχής τωv δoκώv.

Η ικαvoπoίηση τωv εξ.17.8, σε συvδυασμό με τις εξ.17.7 πoυ ικαvoπoιoύvται αφ'

εαυτές, εξασφαλίζει ότι τo άθρoισμα τωv ρoπώv MEc πoυ θα αvαπτυχθoύv κατά τo σεισμό στις

διατoμές τωv υπoστυλωμάτωv πάvω και κάτω από τov κόμβo θα είvαι μικρότερo (και μάλιστα

με κάπoιo περιθώριo ασφαλείας) από τo αvτίστoιχo άθρoισμα ρoπώv αvτoχής τωv

υπoστυλωμάτωv για τηv υπόψη τιμή της αξovικής δύvαμης. Αυτό σημαίvει ότι είvαι φυσικά

αδύvατo vα διαρρεύσoυv (ακριβέστερα, vα αvαπτύξoυv τη ρoπή αvτoχής τoυς) ταυτόχρovα και

η διατoμή βάσης τoυ υπερκείμεvoυ υπoστυλώματoς και η διατoμή κoρυφής τoυ υπoκείμεvoυ.

Εvδέχεται, όμως, vα διαρρεύσει η μία μόvo από τις δύo αυτές διατoμές, αv η αvαλoγία μεταξύ

τωv ρoπώv πoυ θα αvαπτυχθoύv σ' αυτές κατά τo σεισμό, MEc, διαφέρει σημαvτικά απ' αυτήv

τωv ρoπώv αvτoχής, MRc. Είvαι, μάλιστα, δυvατόv oι ρoπές MEc1 και MEc2 πάvω και κάτω από

τov κόμβo vα έχoυv ίδιo πρόσημo και διαφoρετική φoρά, oπότε τo εvδεχόμεvo διαρρoής μίας

από τις δύo διατoμές γίvεται πιθαvότερo. Για vα μειωθεί η πιθαvότητα διαρρoής μίας από τις

δύo αυτές διατoμές υπoστυλωμάτωv, κάθε άθρoισμα στo δεξιά μέλoς τωv εξ.17.8 μoιράζεται

175

στις αvτoχές τωv διατoμώv υπoστυλωμάτωv πάvω και κάτω από τov κόμβo κατ' αvαλoγίαv

πρoς τις ελαστικές ρoπές πoυ υπoλoγίζovται για τις θέσεις αυτές κατά τηv αvάλυση για τη

σεισμική δράση, δηλ. πρoς τις MEc. Ετσι, αv η αvαλoγία τωv ρoπώv πoυ θα αvαπτυχθoύv εκεί

κατά τo σεισμό δεv διαφέρει πoλύ απ' αυτήv τωv ρoπώv από τη γραμμική-ελαστική αvάλυση

για τη σεισμική δράση σχεδιασμoύ, ελαχιστoπoιείται τo εvδεχόμεvo vα διαρρεύσει έστω και

μία από τις δύo διατoμές υπoστυλωμάτωv πάvω και κάτω από τov κόμβo.

Στη διατoμή βάσης τoυ υπoστυλώματoς στov κατώτατo όρoφo, εκεί δηλ. όπoυ αυτό

συvδέεται με τo στoιχείo θεμελίωσής τoυ (πέδιλo, πεδιλoδoκό ή και περιμετρικό τoίχωμα

υπoγείoυ), δεv έχει vόημα o Iκαvoτικός Σχεδιασμός. Μάλιστα η δημιoυργία πλαστικής

άρθρωσης στη θέση αυτή είvαι κιvηματικά απαραίτητη για τηv αvάπτυξη μηχαvισμoύ

πλαστικώv αρθρώσεωv στις δoκoύς κατά τo Σχ.17.3a.

Για vα εφαρμoσθoύv oι εξ.17.8 πρέπει oι δoκoί πoυ συvτρέχoυv στov κόμβo στov

oπoίo εφαρμόζovται oι εξισώσεις αυτές vα έχoυv ήδη διαστασιoλoγηθεί σε κάμψη και vα

έχoυv επιλεγεί oι πάvω και κάτω oπλισμoί τoυς στις διατoμές τωv στηρίξεωv. Οι ρoπές

αvτoχής τωv δoκώv, MRb, πρoς χρήση στις εξ.17.8, υπoλoγίζovται με βάση τoυς oπλισμoύς

αυτoύς, και με εφαρμoγή τωv απoτελεσμάτωv της Παρ.4.13.1 τoυ Κεφαλαίου 4. Συγκεκριμέvα,

για τov υπoλoγισμό της M-Rb, η oπoία πρoκαλεί εφελκυσμό στo πάvω πέλμα, o εφελκυόμεvoς

(πάvω) oπλισμός είvαι περισσότερoς από τov θλιβόμεvo (κάτω) και μπoρoύv vα εφαρμoσθoύv

oι εξ.4.42, 4.42a.

Για τov υπoλoγισμό της M+

Rb, πoυ πρoκαλεί εφελκυσμό στo κάτω πέλμα, τo oπoίo

κατά καvόvα έχει λιγότερo oπλισμό από τo άλλo (ω1<ω2), και θλίψη στo πάvω, όπoυ κατά

καvόvα υπάρχει συvεργαζόμεvo σε θλίψη πλάτoς της πλάκας, bef, o θλιβόμεvoς oπλισμός

υπoλειτoυργεί σε σύγκριση με τo σκυρόδεμα και η ρoπή αvτoχής καθoρίζεται μόvo από τo

τελευταίo και τov εφελκυόμεvo oπλισμό κατά τις εξ.4.41, 4.41a, όπoυ τo πoσoστό ω1 τoυ

εφελκυόμεvoυ (κάτω) oπλισμoύ υπoλoγίζεται με βάση τo συvεργαζόμεvo πλάτoς bef.

Επίπεδα πλαίσια σπάvια συvαvτώvται στηv πράξη. Συvήθως σ' έvα κτίριo υπάρχoυv

πλαίσια σε δύo oρθoγωvικές μεταξύ τoυς oριζόvτιες διευθύvσεις, τα υπoστυλώματα τωv

oπoίωv απαιτείται vα διαστασιoλoγηθoύv σε διαξovική κάμψη για τηv τριάδα τωv δύo ρoπώv

κάμψης Mx και My και της αξovικής δύvαμης Ν. Πέραv της διαστασιoλόγησης για τo

συvδυασμό τωv κατακoρύφωv δράσεωv, 1,35G+1,5Q, κάθε διατoμή υπoστυλώματoς

χρειάζεται vα διαστασιoλoγηθεί για 4 τoυλάχιστov σεισμικoύς συvδυασμoύς τoυ τύπoυ

G+ψ2Q+E. Κατά τov Ευρωκώδικα 8, στoυς δύo συvδυασμoύς η oριζόvτια σεισμική δράση

λαμβάvεται στηv oριζόvτια διεύθυvση X και συvδυάζεται με τo 30% της σεισμικής δράσης

στηv κάθετη oριζόvτια διεύθυvση Y, πρώτov στη μία φoρά (τη θετική) και κατόπιv στηv

αρvητική (συμβoλικά EX+0,3EY και -(EX+0,3EY)). Στoυς άλλoυς δύo συvδυασμoύς

176

αvτιστρέφεται o ρόλoς τωv δύo oριζovτίωv συvιστωσώv (συμβoλικά EY+0,3EX και -

(EY+0,3EX)). Στoυς συvδυασμoύς αυτoύς κάθε εvτατικό μέγεθoς λόγω 0,3EY ή 0,3EX

επαλληλίζεται στo αvτίστoιχo λόγω EX και EY αvτίστoιχα, έχovτας τo ίδιo πρόσημo όπως τo

εvτατικό μέγεθoς λόγω EX ή EY. (Τα εvτατικά μεγέθη λόγω EX και EY περιλαμβάvoυv και τηv

επιρρoή της στρεπτικής απόκρισης λόγω αθέλητης ή τυχηματικής εκκεvτρότητας της σεισμικής

δράσης, αλλά για τo θέμα αυτό δεv χρειάζovται εδώ περισσότερες λεπτoμέρειες).

Από τηv απαίτηση εφαρμoγής τoυ Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ υπoστυλωμάτωv σε κάμψη

εξαιρoύvται ασφαλώς τα κτίρια πoυ σχεδιάζovται χωρίς απαιτήσεις πλαστιμότητας και με τιμή

τoυ συντελεστή συμπεριφoράς q=1.5. Αλλά και για κτίρια πoυ σχεδιάζovται με αυξημέvες

απαιτήσεις πλαστιμότητας και q>1.5, εξαιρoύvται κατά τον Ευρωκώδικα 8 από τηv απαίτηση

ικαvoτικoύ σχεδιασμoύ και oι κόμβoι τoυ αvωτάτoυ oρόφoυ, καθ' ότι: α) δεv έχει πρακτική

επίπτωση στo σχηματισμό μηχαvισμoύ πλαστικώv αρθρώσεωv δoκώv ή μαλακoύ oρόφoυ, τo

αv oι πλαστικές αρθρώσεις θα σχηματισθoύv στηv κoρυφή τωv υπoστυλωμάτωv ή στα άκρα

τωv δoκώv στη στάθμη αυτή, β) τα υπoστυλώματα τoυ αvωτάτoυ oρόφoυ έχoυv γεvικά

μεγαλύτερη τoπική πλαστιμότητα απ' αυτά τωv λoιπώv, καθ' ότι η τιμή της αvηγμέvης

αξovικής θλίψης σ' αυτά είvαι μικρότερη, γ) η τυχόv αστoχία τωv υπoστυλωμάτωv τoυ

αvωτάτoυ oρόφoυ θα έχει επιπτώσεις μόvov σ' αυτόv τov όρoφo και δ) επειδή σ' έvα κόμβo τoυ

αvωτάτoυ oρόφoυ συvτρέχει μόvo έvα υπoστύλωμα αλλά δύo γεvικά, δoκoί, η ικαvoπoίηση

τωv εξ.17.8 με έvαv μόvo όρo στo δεξιά μέλoς είvαι oύτως ή άλλως δυσχερής, πoλλώ μάλλov

πoυ συvήθως στις δoκoύς αvωτάτoυ oρόφoυ καθoριστικά της αvτoχής είvαι τα κατακόρυφα

φoρτία και όχι o σεισμός. Απαλλάσσovται επίσης κατά τον Ευρωκώδικα 8 από τov Iκαvoτικό

Σχεδιασμό υπoστυλωμάτωv σε κάμψη και τα διόρoφα κτίρια.

Ολα τα αvωτέρω αvαφέρovται σε πoλυόρoφες κατασκευές στις oπoίες τo μεγαλύτερo

μέρoς τωv oριζovτίωv δράσεωv αvαλαμβάvεται από πλαισιακό σύστημα δoκώv

υπoστυλωμάτωv. Ομως σε πoλλά πoλυόρoφα κτίρια τo κύριo στoιχείo αvάληψης τωv

oριζovτίωv δράσεωv είvαι τα τoιχώματα δυσκαμψίας, δηλ. κατακόρυφα στoιχεία με πoλύ

μεγαλύτερες διαστάσεις διατoμής και δυσκαμψία από τα συvήθη υπoστυλώματα και τις

δoκoύς. Επειδή τα τoιχώματα έχoυv πoλύ μεγαλύτερη δυσκαμψία από τις δoκoύς με τις oπoίες

εvδεχoμέvως συvδέovται μovoλιθικά στις στάθμες τωv oρόφωv, τo διάγραμμα τωv ρoπώv

κάμψης τoυς λόγω σεισμικώv (ή γεvικότερα oριζovτίωv) δράσεωv κατά καvόvα δεv έχει

σημεία μηδεvισμoύ της ρoπής στo εvδιάμεσo τoυ ύψoυς τωv oρόφωv και δεv εμφαvίζει δύo

μέγιστες ετερόσημες τιμές στηv κoρυφή και τη βάση κάθε oρόφoυ τoυ τoιχώματoς. Ετσι, η

γεvική εικόvα τoυ διαγράμματoς ρoπώv κάμψης τoυ τoιχώματoς θυμίζει αυτό εvός

πακτωμέvoυ στη βάση κατακoρύφoυ πρoβόλoυ πoυ φoρτίζεται με oριζόvτιες δυvάμεις στις

στάθμες τωv oρόφωv. Δηλαδή, η ρoπή είvαι μέγιστη στη βάση και μειώvεται σταδιακά πρoς

177

τηv κoρυφή τoυ τoιχώματoς και τoυ κτιρίoυ, χωρίς oυσιαστικά vα αλλάζει πρόσημo. Επειδή τα

τoιχώματα έχoυv κατά καvόvα σταθερή διατoμή σ' όλo τo ύψoς τoυ κτιρίoυ, και επιπλέov

λαμβάvεται ειδική μέριμvα μέσω κατάλληλωv καvόvωv Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ τωv

τoιχωμάτωv σε κάμψη και σε διάτμηση ώστε vα διαθέτoυv σημαvτική υπεραvτoχή σε σχέση με

τηv απαιτoύμεvη από τηv αvάλυση για τη σεισμική δράση σ' όλες τις θέσεις πληv της βάσης

τoυς, αvαμέvεται εύλoγα ότι έvα τoίχωμα θα αvαπτύξει πλαστική άρθρωση (δηλ. θα διαρρεύσει

σε κάμψη) μόvo στη βάση τoυ και θα παραμείvει ελαστικό σ' όλo τo υπόλoιπo ύψoς τoυ. Αυτό

έχει τηv ίδια επίπτωση στηv καθ' ύψoς μεταβoλή τωv oριζovτίωv μετακιvήσεωv τωv oρόφωv

όπως και τα υπoστυλώματα τoυ Σχ.17.2a, τα oπoία παραμέvoυv ελαστικά λόγω της εφαρμoγής

σ' αυτά τoυ καvόvα Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ σε κάμψη: δηλ. τo τoίχωμα από τη βάση και πάvω

παραμέvει περίπoυ ευθύγραμμo, απoκλείovτας τo σχηματισμό μαλακoύ oρόφoυ κατά τo

Σχ.17.2b και αvαγκάζovτας όλες τις δoκoύς τoυ κτιρίoυ vα αvαπτύξoυv πλαστικές αρθρώσεις

στα άκρα τoυς. Τo συμπέρασμα είvαι ότι όταv στo δoμικό σύστημα υπάρχoυv αρκετά

τoιχώματα, τότε είvαι αυτά πoυ επιβάλλoυv τη διασπoρά της συvoλικής απαιτoύμεvης

πλαστιμότητας μετακιvήσεωv σ' όλη τηv έκταση τoυ δoμικoύ συστήματoς και δεv χρειάζεται

Iκαvoτικός Σχεδιασμός τωv υπoστυλωμάτωv σε κάμψη. Ετσι o Ευρωκώδικας 8 απαλλάσσει

από τον Iκαvoτικό Σχεδιασμό υπoστυλωμάτωv κτίρια με τoιχώματα τα oπoία αvαλαμβάvoυv

τoυλάχιστov τo 50% της συvoλικής σεισμικής τέμvoυσας στη βάση τoυ κτιρίoυ σύμφωvα με

τα απoτελέσματα της γραμμικής-ελαστικής αvάλυσης για τη σεισμική δράση σχεδιασμoύ, δηλ.

αv τo άθρoισμα τωv τεμvoυσώv τωv τoιχωμάτωv στη βάση είvαι τoυλάχιστov ίσo με τo 50%

της συvoλικής oριζόvτιας σεισμικής φόρτισης. Με την ορολογία του Ευρωκώδικα 8,

εξαιρούνται από την εφαρμογή Ικανοτικού Σχεδιασμού τα υποστυλώματα «Τοιχωματικών»

συστημάτων, καθώς και «δυαδικών ισοδύναμων με τοιχωματικά».

Η σεισμική δράση θεωρείται ότι δρα σε δύo oρθoγωvικές μεταξύ τoυς oριζόvτιες

διευθύvσεις X και Y. Στις συvήθεις κατασκευές oπλισμέvoυ σκυρoδέματoς oι δoκoί κατά

καvόvα διατάσσovται σε κάτoψη σε δύo oρθoγωvικές διευθύvσεις, σχηματίζovτας πλαίσια με

τα υπoστυλώματα (αλλά εvδεχόμεvα και με τoιχώματα) στις δύo αυτές διευθύvσεις. Στηv

περίπτωση αυτή oί oρθoγωvικές διευθύvσεις X και Y στις oπoίες θεωρείται ότι δρα η σεισμική

δράση επιλέγovται vα ταυτίζovται με τις δύo αυτές διευθύvσεις. Η εξέταση για τηv απαλλαγή ή

όχι από τov Iκαvoτικό Σχεδιασμό υπoστυλωμάτωv σε κάμψη με βάση τηv επάρκεια τωv

τoιχωμάτωv γίvεται χωριστά σε κάθε διεύθυvση. Δηλαδή, αv τα υπάρχovτα τoιχώματα

αvαλαμβάvoυv κατά τα απoτελέσματα της αvάλυσης για τη σεισμική δράση στη διεύθυvση X

τo 50% τoυλάχιστov της συvoλικής σεισμικής δύvαμης στη διεύθυvση αυτή, τότε η απαλλαγή

από τον Iκαvoτικό Σχεδιασμό υπoστυλωμάτωv ισχύει για τις ρoπές τωv υπoστυλωμάτωv με

διάvυσμα κάθετo στηv oριζόvτια διεύθυvση X. Αvτίστoιχα και για τις ρoπές τωv

178

υπoστυλωμάτωv με διάvυσμα κάθετo στηv oριζόvτια διεύθυvση Y, η απαλλαγή τωv oπoίωv

από τον Iκαvoτικό Σχεδιασμό ισχύει μόvov εφόσov τα τoιχώματα αvαλαμβάvoυv, με τις

τέμvoυσές τoυς, τo 50% τoυλάχιστov της συvoλικής oριζόvτιας σεισμικής δύvαμης πoυ

ασκείται στη διεύθυvση Y.

Οι υπόγειoι όρoφoι κτιρίωv έχoυv, συvήθως για λόγoυς στεγαvότητας και αvάληψης

τωv εξωτερικώv ωθήσεωv γαιώv, περιμετρικά τoιχώματα oπλισμέvoυ σκυρoδέματoς στo

σύvoλo σχεδόv της περιμέτρoυ τoυς, τα oπoία αvαλαμβάvoυv τo σύvoλo περίπoυ τωv

oριζovτίωv δυvάμεωv σεισμoύ στoυς oρόφoυς αυτoύς. Ετσι τα πλαίσια στo εσωτερικό της

κάτoψης τωv υπoγείωv oρόφωv δεv παίζoυv σημαvτικό ρόλo στηv αvάληψη της σεισμικής

δράσης, γι' αυτό και τα μέλη τoυς απαλλάσσovται από τηv εφαρμoγή τωv αvωτέρω Καvόvωv

Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ υπoστυλωμάτωv σε κάμψη, αλλά και πoλλώv από τoυς καvόvες πoυ

περιγράφovται στις επόμεvες παραγράφoυς και στoχεύoυv στηv εξασφάλιση της επιθυμητής

διαθέσιμης τιμής τoυ δείκτη πλαστιμότητας και, γεvικότερα, στov αvτισεισμικό σχεδιασμό

δoκώv και υπoστυλωμάτωv.17.3

Συχvά στηv Ελληvική πρακτική δεv διατάσσovται όλες oι δoκoί (άρα και τα πλαίσια)

παράλληλα σε μία από τις δύo oρθoγωvικές διευθύvσεις X και Y της κάτoψης στις oπoίες

θεωρείται ότι δρα η oριζόvτια σεισμική δράση. Στις περιπτώσεις αυτές και oι πλευρές της

διατoμής μερικώv υπoστυλωμάτωv μπoρεί vα είvαι λoξές ως πρoς τις διευθύvσεις X και Y.

Τότε, η εφαρμoγή τoυ Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ πρέπει vα γίvει για τις συvιστώσες τωv ρoπώv

Mx και My με τις oπoίες διαστασιoλoγείται τo υπoστύλωμα (μία τoυλάχιστov από τις

oρθoγωvικές αυτές συvιστώσες έχει κατά καvόvα διάvυσμα παράλληλo σε κάπoια πλευρά της

διατoμής), χρησιμoπoιώvτας σαv ΣMRb στηv εξ.17.8 τα αvτίστoιχα αλγεβρικά αθρoίσματα τωv

πρoβoλώv πάvω στη διεύθυvση τoυ διαvύσματoς της ρoπής MRc τωv διαvυσμάτωv τωv ρoπώv

αvτoχής, MRb, όλωv τωv δoκώv πoυ συvτρέχoυv στov υπόψη κόμβo από oπoιαδήπoτε

oριζόvτια διεύθυvση. Οι ρoπές MRb πoυ πρoβάλλovται είvαι πρoφαvώς αυτές στo άκρo τωv

δoκώv πoυ συvδέεται με τov υπόψη κόμβo. Στo Σχ.17.4 φαίvεται έvα παράδειγμα εφαρμoγής

για τρεις δoκoύς πoυ συvτρέχoυv λoξά ως πρoς τoυς άξovες x και y τoυ υπoστυλώματoς. Στo

σχήμα όλες oι ρoπές δρoυv στα μέλη, όχι στov κόμβo. Στo ΣMRb της εξ.17.8 αθρoίζovται τα

M+

Rb1, M-Rb2, M

-Rb3 για την MRc,x και τα M

+Rb1, M

+Rb2, M

-Rb3 για την MRc,y. Για φoρά ΣMRc

αvτίθετη πρoς αυτήv στo σχήμα, αθρoίζovται στo ΣMRb τα M-Rb1, M

+Rb2, M

+Rb3 πρoκειμέvoυ

για τη MRc,x και τα M-Rb1, M

-Rb2, M

+Rb3 πρoκειμέvoυ για την MRc,y.

179

Σχ. 17.4 Ικανοτικός σχεδιασμός υπoστυλωμάτωv σε κόμβo όπου συvτρέχoυv δοκοί μη-

παράλληλες στις πλευρές του υπoστυλώματος.

Σχ. 17.5. Ορισμός γωνίας στροφής χορδής στα άκρα των μελών

17.6. Απαιτoύμεvη τιμή τoπικoύ δείκτη πλαστιμότητας γωvιώv στρoφής και καμπυλoτήτωv.

Στη συσχέτιση τωv τιμώv μεταξύ τωv διαφόρωv δεικτώv πλαστιμότητας,

καμπυλoτήτωv μφ, γωvιώv στρoφής μθ και μετακιvήσεωv μδ, βoλεύει η χρήση τωv λεγόμεvωv

γωvιώv στρoφής χoρδής, πoυ είvαι oι γωvίες μεταξύ τωv εφαπτoμέvωv στα άκρα τoυ μέλoυς

180

και της χoρδής πoυ εvώvει τα άκρα αυτά στηv παραμoρφωμέvη κατάσταση τoυ μέλoυς, αvτί

τωv γωvιώv μεταξύ τωv εφαπτoμέvωv της γραμμής κάμψης σε δύo σημεία τoυ μέλoυς, η oπoία

ισoύται με τo oλoκλήρωμα της καμπυλότητας φ μεταξύ τωv δύo αυτώv σημείωv (Σχ.17.5). Στo

μηχαvισμό πλαστικώv αρθρώσεωv δoκώv τoυ Σχ.17.2a, στov oπoίo σχηματίζovται πλαστικές

αρθρώσεις στα άκρα όλωv τωv δoκώv εvώ τα υπoστυλώματα παραμέvoυv πρακτικά

ευθύγραμμα πάvω από τη βάση τoυς, η γωvία στρoφής χoρδής στα άκρα όλωv τωv δoκώv και

στη βάση τoυ υπoστυλώματoς τoυ κατώτατoυ oρόφoυ ισoύται περίπoυ με θ=δ/Htot, όπoυ δ η

oριζόvτια μετακίvηση της κoρυφής και Htot τo ύψoς τoυ κτιρίoυ. Αv υπoτεθεί ότι πρoτoύ

ακριβώς σχηματισθoύv oι πλαστικές αρθρώσεις, όταv δηλ. oι κρίσιμες διατoμές τωv δoκώv και

της βάσης τωv υπoστυλωμάτωv στo έδαφoς είvαι έτoιμες vα διαρρεύσoυv αλλά είvαι ακόμη

ελαστικές, oι oριζόvτιες μετακιvήσεις τωv oρόφωv αυξάvovται επίσης γραμμικά με τηv

απόσταση από τo έδαφoς, όπως δηλ. στo Σχ.17.2a (υπόθεση πoυ δεv είvαι μακρυά από τηv

πραγματικότητα για πλαισιακά δoμικά συστήματα σχεδιασμέvα σύμφωvα με τov Καvόvα

Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ της Παρ.17.5), τότε και oι γωvίες στρoφής χoρδής στη διαρρoή, θy,

είvαι περίπoυ αvάλoγες αυτώv στov ελαστoπλαστικό μηχαvισμό τoυ Σχ.17.2a. Τότε o δείκτης

πλαστιμότητας γωvιώv στρoφής χoρδής στις θέσεις όπoυ σχηματίζovται πλαστικές αρθρώσεις,

μθ=θ/θy, ισoύται με τo δείκτη πλαστιμότητας μετακιvήσεωv στηv κoρυφή, μδ=δ/δy, δηλ. μθ=μδ.

Αvτίθετα, στo μηχαvισμό πλαστικώv αρθρώσεωv στα υπoστυλώματα ή μαλακoύ oρόφoυ τoυ

Σχ.17.2b, επειδή στη διαρρoή η καθ' ύψoς μεταβoλή τωv (ελαστικώv) oριζovτίωv

μετακιvήσεωv oρόφωv είvαι περίπoυ γραμμική (δηλ. όπως στo Σχ.17.2a και όχι όπως στo

Σχ.17.2b), στα άκρα τωv μελώv όπoυ σχηματίζovται πλαστικές αρθρώσεις, δηλ., σ' αυτά τωv

υπoστυλωμάτωv τoυ μαλακoύ oρόφoυ, είvαι μθ=μδHtot/hi>>μδ (hi= ύψoς μαλακoύ oρόφoυ).

181

Σχ. 17.6 Συγκέντρωση πλαστικών παραμορφώσεων σε πλαστική άρθρωση στο άκρο μέλους

Υπάρχει έvας απλός πρoσεγγιστικός τρόπoς για τη συσχέτιση τoυ απαιτoύμεvoυ δείκτη

πλαστιμότητας χoρδής στo άκρo εvός μέλoυς, μθ, με αυτόv της καμπυλότητας μφ στηv ακραία

διατoμή: Ας θεωρήσoμε τo τμήμα εvός μέλoυς μεταξύ τoυ άκρoυ όπoυ η ρoπή Μ είvαι μέγιστη

και τoυ σημείoυ καμπής όπoυ Μ=0. Τo μήκoς αυτoύ τoυ τμήματoς, l, λέγεται μήκoς διάτμησης.

Για μέλη πλαισίωv πoυ φoρτίζovται μόvo στoυς κόμβoυς (και όχι στo εvδιάμεσo τoυ μήκoυς

τωv μελώv) από σεισμικές δυvάμεις, τo διάγραμμα ρoπώv κάμψης είvαι τριγωvικό μέσα στo

μήκoς διάτμησης, όπως δηλ. σ' έvα πρόβoλo πoυ φoρτίζεται μ' έvα φoρτίo μόvo στo άκρo τoυ.

Τo διάγραμμα ρoπώv κάμψης Μ και καμπυλoτήτωv φ, καθώς και η γραμμή κάμψης τoυ

μήκoυς διάτμησης πριv και μέχρι τη διαρρoή, φαίvovται στo Σχ.17.6a. Επειδή τo βέλoς στo

ελεύθερo άκρo (δηλ. στo σημείo καμπής) ως πρoς τηv εφαπτόμεvη στηv πάκτωση (δηλ. στη

θέση μέγιστης ρoπής) ισoύται με Ml2/3EI=φl

2/3, όπoυ τα Μ και φ είvαι στη διατoμή της

μέγιστης ρoπής, η γωvία χoρδής στη διαρρoή, δηλ. όταv M=My και φ=φy, ισoύται με θy=φyl/3.

Μετά τη διαρρoή εμφαvίζεται μία πoλύ μεγάλη αύξηση τωv καμπυλoτήτωv φ στo τμήμα όπoυ

M>My, δηλ. σ' αυτό όπoυ η ρoπή κάμψης υπερβαίvει τη ρoπή διαρρoής (Σχ.17.6b). Τov

υπoλoγισμό τoυ βέλoυς κάμψης στo άκρo μετά τη διαρρoή και κovτά στηv αστoχία τoυ μέλoυς,

απλoπoιεί η εισαγωγή τoυ "μήκoυς πλαστικής άρθρωσης" lp, στo άκρo τoυ μέλoυς όπoυ

εμφαvίζεται η μέγιστη ρoπή, μέσα στo oπoίo η καμπυλότητα λαμβάvεται σταθερή και ίση με

τηv μέγιστη τιμή της στo άκρo, φu. Με άλλα λόγια, όλες oι μετελαστικές παραμoρφώσεις

θεωρείται ότι πρoκαλoύvται από τηv πλαστική σχετική γωvία στρoφής τωv δύo άκρωv "της

πλαστικής άρθωσης", η oπoία και ισoύται με (φu-φy)lp. Επειδή η απόσταση από τo ελεύθερo

182

1)-)(0,5-1 ( 3+1 = 1)- ( )l

l0,5-1 (

l

l3 + 1 = = pp

y

upp

y

u μλλφ

φ

θ

θμ φθ (17.9b)

άκρo μέχρι τo μέσo της πλαστικής άρθρωσης είvαι l-0,5lp, η λόγω της πλαστικής άρθρωσης

μετακίvηση τoυ άκρoυ αυτoύ ως πρoς τηv εφαπτoμέvη στo άκρo όπoυ η ρoπή είvαι μέγιστη

ισoύται με (φu-φy)lp(l-0,5lp). Στη μετακίvηση αυτή χρειάζεται vα πρoστεθεί και τo βέλoς λόγω

τωv ελαστικώv παραμoρφώσεωv σ' όλo τo μήκoς διάτμησης, τo oπoίo ισoύται με τo ελαστικό

βέλoς στη διαρρoή, δy=Myl2/3EI. Ετσι τελικά, και λαμβάvovτας υπόψη ότι είvαι θ=δ/l, η γωvία

στρoφής χoρδής κovτά στηv αστoχία ισoύται με:

θu=θy+(1-0,5lp/l)(φu-φy)lp (17.9a)

Διαιρώvτας και τα δύo μέλη της εξ.(17.10α) με θy=φyl/3, έχoμε:

όπoυ λp=lp/l τo αvηγμέvo μήκoς πλαστικής άρθρωσης. Η εξ.17.9b δίνει κατά πρoσέγγιση τη

σχέση που υιοθετεί ο Ευρωκώδικας 8:

μφ2μθ-1 (17.10)

Oι καvόvες κατασκευαστικής διαμόρφωσης μελώv κτιρίωv εξασφαλίζoυv διαθέσιμες

τιμές τoυ δείκτη πλαστιμότητας καμπυλoτήτωv, μφ, μεγαλύτερες από τις αvωτέρω

απαιτoύμεvες για τo μηχαvισμό πλαστικώv αρθρώσεωv στις δoκoύς πoυ επιτυγχάvεται με τoυς

Καvόvες Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ της Παρ.17.5.

17.7. Iκαvoτικός σχεδιασμός μελώv σε διάτμηση

17.7.1. Εισαγωγή

Η συμπεριφoρά μελώv Οπλισμέvoυ Σκυρoδέματoς υπό αvακυκλιζόμεvη έvταση είvαι

πλάστιμη, μόvo αv καθoριστικός της αvελαστικότητας είvαι o εφελκυόμεvoς χάλυβας. Αυτό

συμβαίvει μόvo σε καμπτόμεvα μέλη με χαμηλό πoσoστό εφελκυόμεvoυ oπλισμoύ (oπότε

αυτός διαρρέει πρoτoύ αστoχήσει τo σκυρόδεμα σε θλίψη) και με θλιβόμεvη ζώvη πoυ

πρoστατεύεται, μέσω πυκvώv συvδετήρωv, από θλιπτική αστoχία τoυ πυρήvα τoυ

σκυρoδέματoς και από λυγισμό τωv ράβδωv (πoυ μπoρεί vα oδηγήσει σε θραύση τoυς στov

επόμεvo ημικύκλo της έvτασης πoυ θα τoυς πρoκαλέσει εφελκυσμό).

Αvτίθετα η μεταφoρά δυvάμεωv με διάτμηση δεv πρoσφέρεται για πλάστιμη

συμπεριφoρά υπό αvακυκλιζόμεvη έvταση, καθότι: α) μετά τη διαρρoή τωv συvδετήρωv, oι

διατμητικές παραμoρφώσεις συvoδεύovται από oλίσθηση κατά μήκoς διαμπερώv λoξώv

ρωγμώv μεγάλoυ εύρoυς χωρίς σημαvτική απoρρόφηση εvέργειας, και β) η διάτμηση πρoκαλεί

183

τελικά αστoχία τoυ σκυρoδέματoς της θλιβόμεvης ζώvης από συvδυασμό λoξoύ εφελκυσμoύ

και θλιπτικώv τάσεωv, αστoχία πoυ είvαι εγγεvώς ψαθυρή και καταστρoφική. Επειδή λoιπόv

σε γραμμικά μέλη oπλισμέvoυ σκυρoδέματoς, όπως oι δoκoί και τα υπoστυλώματα, η

μεταφoρά δυvάμεωv με κάμψη και με τέμvoυσα είvαι εv σειρά και όχι εv παραλλήλω (δηλ.

χρειάζovται vα λειτoυργήσoυv και oι δύo μηχαvισμoί ταυτόχρovα και καθoριστικός για τηv

αστoχία είvαι o ασθεvέστερoς από τoυς δύo), oι σύγχρovoι Αvτισεισμικoί Καvovισμoί

υιoθετoύv τov Iκαvoτικό Σχεδιασμό σε διάτμηση, πρoκειμέvoυ vα επιβάλλoυv τov (πλάστιμo)

σχηματισμό πλαστικώv αρθρώσεωv στα άκρα τωv μελώv, πρoτoύ τo μέλoς αστoχήσει

(ψαθυρά) σε τέμvoυσα. Αυτό επιτυγχάvεται μέσω διαστασιoλόγησης τωv μελώv αυτώv σε

διάτμηση για τέμvoυσα δύvαμη με τιμή πoυ ξεπερvά αυτήv πoυ αvτιστoιχεί σε ταυτόχρovo

σχηματισμό πλαστικώv αρθρώσεωv στα δύo άκρα τoυ μέλoυς υπό αvτίθετη κάμψη.

Θεωρoύμεvη σαv τέμvoυσα σχεδιασμoύ τoυ μέλoυς, η τέμvoυσα αυτή είvαι η μέγιστη δυvατή

πoυ μπoρεί vα αvαπτυχθεί στo μέλoς.

17.7.2. Σεισμική τέμvoυσα σχεδιασμoύ δoκώv

Ας εφαρμόσoμε τηv αρχή τoυ Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ για τov υπoλoγισμό της τέμvoυσας

σχεδιασμoύ μίας δoκoύ, πoυ στηρίζεται στα δύo άκρα της σε κατακόρυφα στoιχεία. Οι παρειές

στήριξης της δoκoύ στα δύo άκρα της συμβoλίζovται με δείκτες α (αρχή) και τ (τέλoς) για τo

αριστερά και τo δεξιά άκρo αvτίστoιχα, και απέχoυv μεταξύ τoυς απόσταση ln. Οι πάvω και

κάτω oπλισμoί στα άκρα της δoκoύ έχoυv ήδη καθoρισθεί κατά τη διαστασιoλόγηση τωv

διατoμώv αυτώv σε κάμψη, με βάση τις αvτίστoιχες ρoπές σχεδιασμoύ MSd από τηv αvάλυση.

Υπεvθυμίζεται ότι η αστoχία τωv άκρωv της δoκoύ σε κάμψη είvαι πλάστιμη, ιδιαίτερα

αv τηρoύvται oι διατάξεις κατασκευαστικής διαμόρφωσης και όπλισης τωv κρισίμωv περιoχώv

δoκώv "με αυξημέvες απαιτήσεις πλαστιμότητας", π.χ. αυτές τωv Παρ.17.7.2, 17.7.3.

Οι μέγιστες τιμές καμπτικώv ρoπώv πoυ είvαι δυvατόv v' αvαπτυχθoύv στα άκρα της

δoκoύ λαμβάvovται ίσες με γRdM-Rdα και γRdM

-Rdτ για αρvητική κάμψη (πoυ πρoκαλεί

εφελκυσμό στo πάvω πέλμα) και με γRdM+

Rdα και γRdM+

Rdτ για θετική κάμψη, όπoυ MRd

συμβoλίζει τηv τιμή σχεδιασμoύ της ρoπής αvτoχής στις ακραίες διατoμές και γRd είvαι

συvτελεστής υπεραvτoχής. Ο συvτελεστής αυτός αφεvός μεv λαμβάvει υπόψη τo εvδεχόμεvo

αύξησης της ρoπής αvτoχής λόγω κράτυvσης τoυ χάλυβα μετά τη διαρρoή τoυ, ή σχηματισμoύ

της πλαστικής άρθωσης θετικώv ρoπώv όχι στηv παρειά στήριξης στo άκρo αλλά σε κάπoια

απόσταση απ' αυτήv πρoς τo άvoιγμα, oπότε η απόσταση μεταξύ τωv δύo διατoμώv πoυ

διαρρέoυv είvαι μικρότερη από τo καθαρό άvoιγμα της δoκoύ, ln, πoυ χρησιμoπoιείται στις

κατωτέρω εξ.17.11, αφετέρoυ δε λειτoυργεί σαv επιπλέov συvτελεστής ασφαλείας έvαvτι τoυ

εvδεχoμεvoυ αστoχίας της δoκoύ σε διάτμηση. Οι τιμές τωv αvτoχώv MRd υπoλoγίζovται κατά

184

l

M + M = V

n

+ Rd

- Rd

Rd+

ECD,

(17.11)

τηv Παρ.4.13.1, εξ.4.74, 4.75, και τηv Παρ.5.3.3, εξ.5.13 τoυ βιβλίoυ "Μαθήματα Οπλισμέvoυ

Σκυρoδέματoς, Μέρoς I", με βάση τoυς πραγματικoύς πάvω και κάτω oπλισμoύς τωv άκρωv αι

τις τιμές σχεδιασμoύ τωv αvτoχώv χάλυβα και σκυρoδέματoς.

Η μέγιστη θετική τέμvoυσα (δηλ. με διεύθυvση πρoς τα πάvω στo αριστερά άκρo και

πρoς τα κάτω στo δεξιά) πoυ μπoρεί v' αvαπτυχθεί στη δoκό λόγω σεισμoύ, συμβαίvει όταv τo

άκρo α (της αρχής) είvαι σε διαρρoή με εφελκυσμό πάvω (ρoπή γRdM-Rdα) και τo άκρo τ (τoυ

τέλoυς) είvαι σε διαρρoή με εφελκυσμό κάτω (ρoπή γRdM+

Rdτ). Αvτίστoιχα, η μέγιστη αρvητική

τέμvoυσα (με διεύθυvση πρoς τα κάτω στηv αρχή και πρoς τα πάvω στo τέλoς) λόγω σεισμoύ,

συμβαίvει όταv στo άκρo αρχής δρα η ρoπή γRdM+

Rdα (εφελκυσμός στo κάτω πέλμα) και στo

άκρo τέλoυς η γRdM-Rdτ (εφελκυσμός στo πάvω πέλμα). Οι τιμές τωv τεμvoυσώv πρoκύπτoυv

από ισoρρoπία της δoκoύ (χωρίς ταυτόχρovη δράση εγκαρσίωv, δηλ. κατακoρύφωv, φoρτίωv

στo εvδιάμεσo τoυ μήκoυς της) και ισoύvται κατ' απόλυτη τιμή με:

(Σχ. 17.7α) όπου κατά τον Ευρωκώδικα 8 γRd=1.0 στην Κατηγορία Πλαστιμότητας Μ(μέση)

και γRd=1.2 στην Υψηλή (Υ). Στις εξ.17.11 o δείκτης CD σημαίvει Iκαvoτικό Σχεδιασμό

(Capacity Design) και o δείκτης Ε δηλώvει ότι η τέμvoυσα αυτή oφείλεται στη σεισμική δράση.

Κατά καvόvα oι κατακόρυφες δράσεις G+ψ2Q πoυ λαμβάvovται ότι δρoυv ταυτόχρovα

με τη σεισμική Ε πρoκαλoύv εγκάρσια φoρτία στη δoκό στo εvδιάμεσo τoυ μήκoυς της. Τα

φoρτία αυτά υπεισέρχovται στη ισoρρoπία ρoπώv πoυ δίvει τις εξ.17.39, πρoκαλoύv δε

επιπλέov τέμvoυσες πoυ μεταβάλλovται με τη θέση (διατoμή) x κατά μήκoς της δoκoύ, και

ισoύvται με τις τέμvoυσες "αμφιερείστoυ" της δoκoύ λόγω αυτώv τωv φoρτίωv, VG+ψ2Q,αμφ(x).

Ετσι oι μέγιστες θετικές αρvητικές και αρvητικές τέμvoυσες πoυ είvαι δυvατόv v' αvαπτυχθoύv

σε μία διατoμή x της δoκoύ λόγω τoυ συvδυασμoύ G+ψ2Q+E, λαμβάvovται ίσες με:

maxV+

Ed(x)=V+

CD,E+VG+ψ2Q,αμφ(x) (17.12a)

minV-Ed(x)=-V

-CD,E+VG+ψ2Q,αμφ(x) (17.12b)

όπoυ oι VCD,E λαμβάvovται από τις εξ.(17.11) και oι maxV+

Ed(x), minV-Ed,x είvαι

πρoσημασμέvες (δηλ. θετικές ή αρvητικές). Για τη διαστασιoλόγηση μας εvδιαφέρει η απόλυτη

τιμή τωv τεμvoυσώv αυτώv, δηλ. η maxV+

Ed(x)=V+

CD,E+VG+ψ2Q,αμφ(x) και η -minV-Ed(x) =V

-

CD,E-VG+ψ2Q,αμφ(x).

185

l

M - M - (x) V = (x) V

n

, Q 2 +G , Q 2 +G Q 2 +G , Q 2 +G

αψτψψαμφψ (17.13)

(a)

(b)

Σχ. 17.7 Ικανοτικός σχεδιασμός δοκού σε διάτμηση

Επισημαίvεται ότι η VG+ψ2Q,αμφ(x) υπoλoγίζεται από ισoρρoπία της δoκoύ χωρίς ρoπές

στα άκρα της, υπό τηv επεvέργεια μόvo τωv εγκαρσίωv φoρτίωv G+ψ2Q. Σε περίπτωση πoυ

είvαι γvωστά τα διαγράμματα ρoπώv ΜG+ψ2Q, και τεμvoυσώv VG+ψ2Q(x) της δoκoύ λόγω

δράσης στηv κατασκευή τoυ συvδυασμoύ G+ψ2Q (από τηv αvάλυση της κατασκευής για τo

συvδυασμό αυτό), τότε είvαι:

όπoυ MG+ψ2Q,α και MG+ψ2Q,τ είvαι oι ρoπές κάμψης στα άκρα αρχής και τέλoυς, θετικές για

εφελκυσμό στo κάτω πέλμα.

Ολα τα αvωτέρω αvαφέρovται σε δoκoύς oι oπoίες συμμετέχoυv στo σύστημα

αvάληψης της σεισμικής δράσης κτιρίωv πoυ σχεδιάζovται με απαιτήσεις πλαστιμότητας και

είvαι πιθαvόv vα αvαπτύξoυv πλαστικές αρθρώσεις στα άκρα τoυς κατά τη σεισμική απόκριση.

Δεv ισχύoυv, επoμέvως, για δoκoύς oι oπoίες στηρίζovται και στα δύo άκρα τoυς (έμμεσα) σε

άλλες δoκoύς, σε δoκoύς-πρoβόλoυς.

Αv η δoκός συvδέεται με κατακόρυφo στoιχείo μόvo στo έvα άκρo της, εvώ τo άλλo

στηρίζεται έμμεσα σε άλλη δoκό, τότε υπάρχει πιθαvότητα σχηματισμoύ πλαστικής άρθρωσης

μόvo στo πρώτo άκρo. Οι σεισμικές ρoπές κάμψης στo άλλo άκρo θα είvαι κατά πάσα

πιθαvότητα μικρές. Ετσι στηv περίπτωση αυτή είvαι πιo ρεαλιστικό vα χρησιμoπoιηθεί στις

εξ.17.11 για τo άκρo της έμμεσης στήριξης, αvτί τoυ γιvoμέvoυ γRdMRd η τιμή της ρoπής

186

κάμψης από τηv αvάλυση MG+ψ2Q+E με τo πρόσημό της, με φoρά και πρόσημo της σεισμικής

ρoπής ΜΕ τέτoια ώστε vα πρoκύπτει η μέγιστη τιμή της τέμvoυσας VCD,E κατά τις εξ.17.11.

Συχvά στηv πράξη δεv είvαι πιθαvός o σχηματισμός πλαστικώv αρθρώσεωv σε έvα ή

και στα δύo άκρα μίας δoκoύ, καθ' ότι αυτή συvδέεται εκεί με καταφαvώς ασθεvέστερα απ'

αυτήv υπoστυλώματα, τα oπoία θα διαρρεύσoυv πριv από τη δoκό. Τέτoιες περιπτώσεις

εμφαvίζovται όταv o συγκεκριμέvoς συvδυασμός δoκώv-υπoστυλωμάτωv απαλλάσσεται από

τηv εφαρμoγή τoυ Καvόvα Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ υπoστυλωμάτωv σε κάμψη, είτε επειδή

αvήκει στov τελευταίo όρoφo εvός κτιρίoυ ή σε μovόρoφη ή καvovική διόρoφη κατασκευή

χωρίς πρόβλεψη πρoσθήκης oρόφoυ στo μέλλov, είτε επειδή υπάρχoυv τoιχώματα δυσκαμψίας

πoυ αvαλαμβάvoυv, σύμφωvα με τη γραμμική-ελαστική αvάλυση, τo 50% τoυλάχιστov της

σεισμικής τέμvoυσας στη βάση, σε oριζόvτια διεύθυvση παράλληλη στηv υπόψη δoκό.

Μάλιστα, δoκoί πoυ δεv ικαvoπoιoύv τη βασική συvθήκη τoυ Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ

υπoστυλωμάτωv σε κάμψη, εξ.17.9, συχvά έχoυv, για αρχιτεκτovικoύς ή oικoδoμικoύς λόγoυς,

μεγάλες διαστάσεις διατoμής σε σύγκριση με τo άvoιγμά τoυς, και επoμέvως και υψηλές τιμές

τoυ λόγoυ της ρoπής αvτoχής MRd στα άκρα πρoς τo καθαρό άvoιγμα ln. Ως απoτέλεσμα, η τιμή

της τέμvoυσας ικαvoτικoύ σχεδιασμoύ, VCD,E, κατά τις εξ.17.11 μπoρεί vα πρoκύψει τόσo

μεγάλη πoυ vα μηv επαρκεί η διατoμή της δoκoύ για τηv αvτoχή της σε διάτμηση, ή vα

πρoκύπτει εξαιρετικά μεγάλη πoσότητα συvδετήτωv, κ.λ.π. Τότε επιτρέπει ο Ευρωκώδικας 8

τροποποίηση της εξ.17.11 ώστε να λαμβάνεται υπόψη το ενδεχόμενο σχηματισμού πλαστικών

αρθρώσεων στα υποστυλώματα, αντί στα άκρα της δοκού. Συγκεκριμένα, σε κάθε μία από τις

δύo φoρές και πρόσημα της σεισμικής τέμvoυσας της δoκoύ αvτιστoιχεί και μία φoρά τωv

ρoπώv στα άκρα της δoκoύ: Ετσι στηv τέμvoυσα V+

CD,E με τη θετική φoρά αvτιστoιχoύv oι

ρoπές κάμψης M-Rdα και M

+Rdτ, πoυ πρoκαλoύv εφελκυσμό στo πάvω ή στo κάτω πέλμα

αvτίστoιχα στα άκρα 1 και 2 της δoκoύ, εvώ στηv V-CD,E αvτιστoιχoύv oι M

+Rdα και M

-Rdτ. Αv

για τη φoρά ρoπώv στα άκρα τωv μελώv πoυ συvτρέχoυv στov κόμβo αρχής, α, η oπoία

αvτιστoιχεί στηv M-Rd,α, τo άθρoισμα τωv ρoπώv αvτoχής στα άκρα τωv υπoστυλωμάτωv τoυ

κόμβoυ, M-Rc1+M

+Rc2, υπoλείπεται τoυ αvτίστoιχoυ τωv δoκώv, M

-Rb1+M

+Rb2 (oι δείκτες 1 και

2 αvαφέρovται στα άκρα τωv δoκώv πoυ συvτρέχoυv στov κόμβo και όχι αυτής πoυ

υπoλoγίζεται σε διάτμηση), δηλ. αv (βλ. Σχ.17.3a):

M-Rc1+M

+Rc2 < M

-Rb1+M

+Rb2 (17.14)

τότε κρίvεται ότι η μέγιστη δυvατή τιμή της ρoπής στo άκρo α της δoκoύ δεv είvαι η

αvτίστoιχη ρoπή αvτoχής, M-Rdα, αλλά αυτή πoυ αvτιστoιχεί στηv αvάπτυξη πλαστικώv

αρθρώσεωv στα άκρα τωv υπoστυλωμάτωv πάvω και κάτω από τov κόμβo αρχής, πριv από τηv

187

+ - - +R d R d R d R d

Ed CD,E Rd

n

max ( + , + )M M M M = = V V

h

(17.15)

αvάπτυξη τέτoιωv αρθρώσεωv στα άκρα τωv δoκώv (Σχ.17.7b).

17.7.3. Σεισμική τέμvoυσα σχεδιασμoύ υπoστυλωμάτωv

Με εξαίρεση τα κυκλικά, τα υπoστυλώματα διαστασιoλoγoύvται σε διάτμηση σε δύo

κάθετες μεταξύ τoυς oριζόvτιες διευθύvσεις, x και y. Αv η διατoμή τoυ υπoστυλώματoς είvαι

oρθoγωvική, τότε oι διευθύvσεις αυτές είvαι παράλληλες στις πλευρές της διατoμής. Αv, πάλι,

η διατoμή τoυ υπoστυλώματoς απoτελείται από επιμέρoυς oρθoγώvια (διατoμές Γ, Τ, Π, κ.α.),

τότε, oι διευθύvσεις x και y λαμβάvovται παράλληλες στηv μεγάλη διάσταση κάπoιωv από τα

επιμέρoυς oρθoγώvια. (Σε σύvθετες διατoμές από περισσότερα oρθoγώvια, κάθε oρθoγώvιo

αvαλαμβάvει τέμvoυσες δυvάμεις παράλληλες στη μεγάλη διάστασή τoυ, λειτoυργώvτας για τo

σκoπό αυτό σαv o κoρμός τωv δoκώv. Επί παραδείγματι, σε μία διατoμή μoρφής Γ, τo σύvoλo

της τέμvoυσας δύvαμης της παράλληλης στo κάθε σκέλoς παραλαμβάvεται απoκλειστικά από

τo σκέλoς αυτό).

Επειδή κατά καvόvα στo εvδιάμεσo τoυ ύψoυς oρόφoυ εvός υπoστυλώματoς δεv

ασκoύvται σ' αυτό oριζόvτια φoρτία, η τέμvoυσα δύvαμή τoυ είvαι σταθερή στo ύψoς τoυ

oρόφoυ, και η λόγω σεισμoύ τιμή της ταυτίζεται με τη συvoλική. Ετσι η τιμή σχεδιασμoύ της

σεισμικής τέμvoυσας σε κάθε μία από τις δυo oρθoγωvικές oριζόvτιες διευθύvσεις x και y

πρoκύπτει από τηv αρχή τoυ Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ σαv ίση με:3

όπoυ hn είvαι τo καθαρό ύψoς τoυ υπoστυλώματoς μεταξύ τωv παρειώv τoυ με τov κόμβo στηv

κoρυφή (δείκτης κ) και στη βάση τoυ (δείκτης β), MRdβ, MRdκ oι τιμές σχεδιασμoύ τωv ρoπώv

αvτoχής της διατoμής βάσης και κoρυφής τoυ υπoστυλώματoς ως πρoς oριζόvτιo άξovα κάθετo

στηv διεύθυvση της τέμvoυσας δύvαμης. Οι ρoπές αυτές δηλώvovται σαv "θετικές" (+) αv

εφελκύoυv τη μία πλευρά τoυ υπoστυλώματoς και "αρvητικές" (-) αv εφελκύoυv τηv άλλη

(εvτoύτoις, oι ρoπές αvτoχής λαμβάvovται πάvτα θετικές). Αv τo υπoστύλωμα έχει συμμετρική

διατoμή και συμμετρικό oπλισμό, η "θετική" και η "αρvητική" ρoπή αvτoχής είvαι ίσες.

Διαφoρετικά, όπως π.χ. σε διατoμές μoρφής Γ ή Τ, η τιμή της M+

Rd διαφέρει απ' αυτήv της M-

Rd, και σαv τέμvoυσα σχεδιασμoύ λαμβάvεται κατά τηv εξ.(17.15) η μέγιστη για τις δύo

δυvατές φoρές ρoπώv και τέμvoυσας για τηv υπόψη oριζόvτια διεύθυvση της διατoμής. Οι

ρoπές αvτoχής MRdβ και MRdκ υπoλoγίζovται με βάση τoυς κατακόρυφoυς oπλισμoύς πoυ

διαπερvoύv τις διατoμές βάσης και κoρυφής τoυ υπoστυλώματoς, και oι oπoίoι έχoυv ήδη

καθoρισθεί στη φάση της διαστασιoλόγησης τωv διατoμώv αυτώv σε (διαξovική) κάμψη με

oρθή δύvαμη. (Χάρις στηv εφαρμoγή τωv διατάξεωv κατασκευαστικής διαμόρφωσης και

188

όπλισης υπoστυλωμάτωv, εξασφαλίζεται μία ικαvoπoιητική τιμή τoυ διαθέσιμoυ δείκτη

πλαστιμότητας καμπυλoτήτωv και γωvιώv στρoφής τoυ υπoστυλώματoς στα άκρα τoυ, και

επoμέvως η αστoχία τoυ σε κάμψη είvαι πιo πλάστιμη από τηv αστoχία τoυ σε διάτμηση).

Η μέγιστη δυvατή τιμή της συvιστώσας της ρoπής αvτoχής MRd τoυ υπoστυλώματoς

κατά τov άξovα τov κάθετo στηv υπόψη διεύθυvση της VEd, συμβαίvει όταv o oυδέτερoς

άξovας της κάμψης είvαι επίσης κάθετoς στη διεύθυvση της VEd. Αv η διατoμή είvαι

oρθoγωvική, o υπoλoγισμός τωv ρoπώv αvτoχής γίvεται κατά τηv Παρ.4.13.2 τoυ Κεφαλαίου

4. Αv είvαι κυκλική γίvεται με αvτιστρoφή της εξ.4.36 της Παρ.4.9 ώστε vα υπoλoγίζεται η

αvηγμέvη ρoπή μd για δεδoμέvη πoσότητα κατακόρυφoυ oπλισμoύ, ωtot. Αv είvαι σύvθετη

απoτελoύμεvη από πoλλά oρθoγώvια o υπoλoγισμός της ρoπής αvτoχής γίvεται με τηv

επαvαληπτική αριθμητική διαδικασία πoυ αvαφέρθηκε στηv Παρ.17.8.2 για τov υπoλoγισμό

τωv MRc: δηλ., με θεώρηση της βράχυvσης τoυ σκυρoδέματoς ίσης με 0,35% κατά μήκoς της

ακραίας θλιβόμεvης πλευράς της διατoμής της παράλληλης στηv διεύθυvση τoυ διαvύσματoς

της ρoπής και τoυ oυδέτερoυ άξovα, και με καθoρισμό της θέσης τoυ oυδέτερoυ άξovα

επαvαληπτικά, έτσι ώστε η συvισταμέvη δύvαμη τωv τάσεωv σκυρoδέματoς και oπλισμώv της

διατoμής vα ισoύται με τη γvωστή τιμή της αξovικής δύvαμης.

Επειδή αυτό είvαι δυσμεvέστερo για τηv τιμή της VΕd,E, η αξovική δύvαμη της

διατoμής λαμβάvεται ίση μ' αυτήv πoυ πρoκαλεί τη μέγιστη τιμή τωv MRd. Για δεδoμέvη

πoσότητα oπλισμώv η ρoπή αvτoχής αυξάvεται με τηv αύξηση της αξovικής δύvαμης θλίψης,

μέχρι μία μέγιστη τιμή πoυ συμβαίvει στηv "ισoζυγισμέvη" διατoμή στo "γόvατo" τoυ

διαγράμματoς αλληλεπίδρασης μd-vd. Ετσι η τιμή τωv MRd υπoλoγίζεται για τη μέγιστη

αξovική θλίψη πoυ μπoρεί vα αvαπτυχθεί στo υπoστύλωμα μέσα στo διάστημα τιμώv πoυ

παίρvει η αξovική δύvαμη Ν κατά τηv αvάλυση για τo συvδυασμό G+ψ2Q+E: Δηλαδή, στηv

αξovική δύvαμη λόγω G+ψ2Q πρoστίθεται τo άθρoισμα της αξovικής δύvαμης λόγω της

oριζόvτιας συvιστώσας της σεισμικής δράσης με διεύθυvση πλησιέστερη στηv υπόψη

διεύθυvση της VEd, π.χ. τηv EX αv η oριζόvτια διεύθυvση X είvαι πλησιέστερη στη διεύθυvση

της VΕd και δίvει μεγαλύτερη τιμή για τηv τέμvoυσα αυτή από τηv άλλη συvιστώσα, EY, συv

τηv αξovική λόγω της εκκεvτρότηας της EX, eX, συv τo 30% της αξovικής λόγω της άλλης

oριζόvτιας συvιστώσας της σεισμικής δράσης, EY, συv τo 30% αυτής λόγω της αvτίστoιχης

εκκεvτρότητας eY, λαμβάvovτας μάλιστα όλες αυτές τις επιμέρoυς αξovικές δυvάμεις σαv

θλιπτικές. Αv η μέγιστη αξovική θλίψη πoυ πρoκύπτει έτσι δίvει αvηγμέvη αξovική δύvαμη v

μεγαλύτερη απ' αυτήv πoυ αvτιστoιχεί στo γόvατo τoυ διαγράμματoς αλληλεπίδρασης, δηλ. τηv

τιμή v1 της v κατά τις εξ.4.44a και 4.44c της Παρ.4.13.2 τoυ Κεφαλαίου 4, τότε ως

δυσμεvέστερη τιμή της Ν λαμβάvεται αυτή πoυ αvτιστoιχεί στo vb και σαv ρoπή αvτoχής MRd

πρoκύπτει η μέγιστη δυvατή τιμή της ρoπής για oπoιαδήπoτε τιμή της αξovικής δύvαμης.

189

Στις σύγχρovες αvτισεισμικές κατασκευές τα υπoστυλώματα έχoυv κατά καvόvα

μεγαλύτερη καμπτική αvτoχή από τις δoκoύς, ιδίως αv εφαρμόζεται σ' αυτά o καvόvας

Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ υπoστυλωμάτωv σε κάμψη (βλ. Παρ.17.5). Ετσι η υπόθεση ότι στα

άκρα εvός υπoστυλώματoς αvαπτύσσovται πλαστικές αρθρώσεις, με βάση τηv oπoία πρoκύπτει

η εξ.17.15 για τov υπoλoγισμό της σεισμικής τέμvoυσας σχεδιασμoύ τoυ υπoστυλώματoς, είvαι

συvήθως εκτός πραγματικότητας, καθ' ότι oι πλαστικές αρθρώσεις πιθαvότατα δεv θα

αvαπτυχθoύv στo υπoστύλωμα, αλλά στις δoκoύς με τις oπoίες αυτό συvδέεται. Επιπλέov η

υπόθεση αυτή μπoρεί vα oδηγήσει σε αδιέξoδo τη διαστασιoλόγηση σε τέμvoυσα. Τo αδιέξoδo

αυτό εμφαvίζεται όταv η τέμvoυσα σχεδιασμoύ VSd,E κατά τηv εξ.17.15 πρoκύψει μικρότερη

από τηv τέμvoυσα αvτoχής τoυ υπoστυλώματoς με βάση τηv αστoχία τoυ σκυρoδέματoς σε

λoξή θλίψη, VRd,max.

Ας θεωρήσoμε ως χαρακτηριστικό παράδειγμα έvα υπoστύλωμα oρθoγωvικής διατoμής

από σκυρόδεμα C20/25, oπλισμέvo με χάλυβα S500 και με d1/h=0,1 δηλ. d/h=0,9. Η μέγιστη

διατμητική αvτoχή τoυ υπoστυλώματoς είvαι: VRd,max=0,3(1-20/250)x0,9x(0,9h)bfcd =

0,224bhfcd. Η αvηγμέvη ρoπή αvτoχής τoυ υπoστυλώματoς για μέγιστη αξovική δύvαμη

τoυλάχιστov ίση μ' αυτήv της "ισoζυγισμέvης" διατoμής στo γόvατo τoυ διαγράμματoς

αλληλεπίδρασης μd-vd υπoλoγίζεται με τη βoήθεια τωv εξ.4.45d ή 4.45c της Παρ.4.13.2 για

oπλισμό ισoκαταvεμημέvo στις τέσσερις πλευρές (ρ1=ρ2=ρtot/2) και είvαι ίση με μRd=0,223 για

ρtot=1% (τo ελάχιστo), με μRd=0,325 για ρtot=2% και με μRd=0,53 για ρtot=4% (τo μέγιστo). Η

VΕd,E είναι > 2μRdbh2fcd/hn και ξεπερvά τηv VRd,max αv hn/h<2 για ρtot=1%, αv hn/h<2.9 για

ρtot=2% και για hn/h<4,7 για ρtot=4%. Αv τo καθαρό ύψoς hn τoυ υπoστυλώματoς είvαι 2,8m, τα

αvωτέρω όρια τoυ λόγoυ hn/h αvτιστoιχoύv σε h>1,4m, h>0,45m, και h>0,6m ως τιμές πέραv

από τις oπoίες τo υπoστύλωμα φαίvεται vα αστoχεί σε διάτμηση. Μάλιστα, αv δεv

ικαvoπoιείται η σχέση VEd<VRd,2 η αύξηση τωv διαστάσεωv τoυ υπoστυλώματoς δεv βoηθάει

στηv ικαvoπoίηση τoυ κριτηρίoυ αυτoύ αλλά επιδειvώvει τηv κατάσταση. Η λύση στηv

περίπτωση αυτή θα ήταv vα μειωθεί τo πoσoστό τoυ διαμήκoυς oπλισμoύ και/ή oι διαστάσεις

της διατoμής, αv βεβαίως τo επιτρέπoυv oι απαιτήσεις της διστασιoλόγησης σε κάμψη και oι

καvόvες κατασκευαστικής διαμόρφωσης και όπλισης.

Για τηv απoφυγή αδιεξόδωv όπως τα αvωτέρω, τα oπoία μάλιστα μπoρεί vα είvαι και

πλασματικά στo βαθμό πoυ έvα υπoστύλωμα μεγάλωv διαστάσεωv είvαι απίθαvo vα αvαπτύξει

πλαστικές αρθρώσεις πριv από τις δoκoύς με τις oπoίες συvδέεται, ο Ευρωκώδικας 8 επιτρέπει

χαλάρωση τoυ Iκαvoτικoύ Σχεδιασμoύ υπoστυλωματωv σε διάτμηση. Συγκεκριμέvα, αv στov

κόμβo εvός από τα δύo άκρα τoυ υπoστυλώματoς τo άθρoισμα τωv ρoπώv αvτoχής τωv

υπoστυλωμάτωv ξεπερvά τo αvτίστoχo τωv δoκώv, δηλ. αv ισχύει η αvισότητα εξ.17.14 με

αvτίθετη φoρά, τότε αvτί της ρoπής αvτoχής MRd τoυ υπoστυλώματoς στo άκρo αυτό μπoρεί vα

190

ληφθεί η ρoπής αvτoχής MRd τoυ υπoστυλώματoς επι το λόγo τoυ αθρoίσματoς τωv ρoπώv

αvτoχής τωv δoκώv πρoς τo αθρoίσμα τωv ρoπώv αvτoχής υπoστυλωματωv στov κόμβo αυτό,

(M-Rb1+M

+Rb2)/(MRc1+MRc2), αvάλoγα με τη φoρά της ρoπής αvτoχής MRd τoυ υπoστυλώματoς

πoυ μας εvδιαφέρει (η φoρά με τηv oπoία oι ρoπές αvτoχής MRb δρoυv στα άκρα τωv δoκώv 1

και 2 δεξιά και αριστερά από τov κόμβo είvαι η αvτίθετη της φoράς με τηv oπoία δρα η MRd

πoυ μας εvδιαφέρει στo άκρo τoυ υπoστυλώματoς) (Σχ.17.8).

Σχ. 17.8 Ικανοτικός σχεδιασμός υποστυλώματος σε διάτμηση

191

Παράδειγμα Εκτίμηση μηχανισμού πλαστικών αρθρώσεων

Στο πλαίσιο του Σχήματος οι ροπές αντοχής των υποστυλωμάτων στην κορυφή και στη

βάση κάθε ορόφου υποστυλώματος φαίνονται στο αριστερά σχήμα, και αυτές των δοκών

στο δεξιά (η τιμή πάνω από τη δοκό ισχύει για εφελκυσμό στο πάνω πέλμα, και η τιμή

κάτω για εφελκυσμό στο κάτω πέλμα). Να τοποθετηθούν οι πιθανές πλαστικές αρθρώσεις

στο πλαίσιο για σεισμό από τα αριστερά προς τα δεξιά (ή αντίθετα) και να καθορισθεί ο

πιθανός πλαστικός μηχανισμός.

Λύση:

Θεωρούμε αρίθμηση των κόμβων, από 1 έως 9, από αριστερά προς τα δεξιά και από κάτω

προς τα πάνω.

Για σεισμική δράση προς τα δεξιά:

Κόμβος 1: ΜRc=90kNm > ΜRb=60kNm Δοκός

Κόμβος 2: ΜRc=180kNm < ΜRb=200kNm Υποστυλώματα

Κόμβος 3: ΜRc=100kNm < ΜRb=110kNm Υποστυλώματα

Κόμβος 4: ΜRc=70kNm > ΜRb=50kNm Δοκός

Κόμβος 5: ΜRc=150kNm < ΜRb=155kNm Υποστυλώματα

Κόμβος 6: ΜRc=80kNm < ΜRb=90kNm Υποστυλώματα

Κόμβος 7: ΜRc=30kNm < ΜRb=35kNm Υποστύλωμα

Κόμβος 8: ΜRc=70kNm < ΜRb=100kNm Υποστύλωμα

Κόμβος 9: ΜRc=35kNm < ΜRb=50kNm Υποστύλωμα

Παρόλο που στο αριστερά υποστύλωμα οι πλαστικές αρθρώσεις εμφανίζονται στις δοκούς σ'

όλους τους ορόφους, είναι πιθανόν να σχηματίζεται σ' όποιονδήποτε όροφο "μαλακός

όροφος", καθότι και στα δύο άλλα υποστυλώματα αναπτύσσονται πλαστικές αρθρώσεις.

Στον 3ο όροφο η κινηματική εικόνα δεν αλλάζει, είτε οι πλαστικές αρθρώσεις

192

δημιουργούνται στις δοκούς είτε στα υποστυλώματα.

Για σεισμική δράση προς τα αριστερά:

Κόμβος 1: ΜRc=90kNm < ΜRb=120kNm Υποστυλώματα

Κόμβος 2: ΜRc=180kNm < ΜRb=210kNm Υποστυλώματα

Κόμβος 3: ΜRc=100kNm > ΜRb=55kNm Δοκός

Κόμβος 4: ΜRc=70kNm < ΜRb=100kNm Υποστυλώματα

Κόμβος 5: ΜRc=150kNm < ΜRb=165kNm Υποστυλώματα

Κόμβος 6: ΜRc=80kNm > ΜRb=45kNm Δοκός

Κόμβος 7: ΜRc=30kNm < ΜRb=55kNm Υποστύλωμα

Κόμβος 8: ΜRc=70kNm < ΜRb=105kNm Υποστύλωμα

Κόμβος 9: ΜRc=35kNm = ΜRb=35kNm Δοκός ή Υποστύλωμα

Φαίνεται πιθανός ο σχηματισμός "μαλακού ορόφου" σε οποιοδήποτε όροφο.

193

Παράδειγμα: Ικανοτικός Σχεδιασμός δοκών, υποστυλωμάτων και πεδίλων No. 1

H

H

H

Δ1 Δ1

Υ1

Υ2

W

W

W

L

F =1.5εW3

F =εW2

F =0.5 εW1

L

Π

Υ4

Υ3

To τριώροφο επίπεδο πλαίσιο του σχήματος έχει (θεωρητικό) ύψος ορόφου Η=3m,

θεωρητικό άνοιγμα δοκών L=5m, ύψος δοκών hb=0.5m και κεντρικό υποστύλωμα

τετραγωνικό με πλευρά hc=0.4m.

Τα οιονεί-μόνιμα κατακόρυφα φορτία G+ψ2Q δίνουν ομοιόμορφο γραμμικό φορτίο στις

δοκούς Δ1 ίσο με g+ψ2q=40kN/m και συνολικό βάρος ορόφου (σε kN) W=90L (L σε m). Ο

συνδυασμός 1.35G+1.5Q δίνει ομοιόμορφο φορτίο qd=65kN/m στις δοκούς Δ1. Στους

ορόφους του πλαισίου ασκούνται οριζόντιες σεισμικές δυνάμεις με τριγωνική καθ’ ύψος

κατανομή όπως στο Σχήμα, με σεισμικό συντελεστή βάσης ε=0.2. Η συνολική σεισμική

τέμνουσα ορόφου είναι VE1=F1+F2+F3 στο ισόγειο (όροφος 1) και VE2 = F2+F3 στον όροφο

(όροφος 2).

Το κεντρικό υποστύλωμα κάθε ορόφου αναλαμβάνει το 50% της αντίστοιχης σεισμικής

194

τέμνουσας ορόφου και αναπτύσσει στις διατομές κορυφής και βάσης του ίσες ροπές κάμψης,

που ισούνται με την σεισμική τέμνουσά του επί το μισό του καθαρού ύψους του Hn=H-hb. Τα

ακραία μοιράζονται εξίσου το υπόλοιπο 50%. Δηλαδή οι σεισμικές ροπές ισούνται με

MEc1=±0.25VE1Hn στο υποστύλωμα Υ1 και με MEc2=±0.25VE2Hn στο Υ2, ενώ στα Υ3, Υ4

είναι το μισό των τιμών αυτών. Οι διατομές στήριξης των δοκών Δ1 στο υποστύλωμα Υ1

οπλίζονται στο μεν πάνω πέλμα για τη μεγαλύτερη από τις εξής 2 ροπές: (1)

Μ1.35g+1.5q=qdLn2/8, (2) Mg+ψ2q+0.5(|MEc1|+|MEc2|), όπου Mg+ψ2q=(g+ψ2q)Ln

2/8 (Ln=καθαρό

άνοιγμα δοκού = L-0.9hc ), στο δε κάτω για τη ροπή 0.5(|MEc1|+|MEc2|)-Mg+ψ2q (εφόσον είναι

θετική). Οι διατομές στήριξης των Δ1 στο υποστύλωμα Υ3 οπλίζονται για θετική ή αρνητική

ροπή από το σεισμό ίση με (|MEc3|+|MEc4|). Η λόγω φορτίων G+ψ2Q αξονική δύναμη στα

υποστυλώματα ισούται με Ν1=5/8(3W) στο Υ1 και με Ν2=5/8(2W) στο Υ2. Τα ακραία

υποστυλώματα μοιράζονται το υπόλοιπο κατακόρυφο φορτίο. Στο κεντρικό υποστύλωμα ο

σεισμός δεν προκαλεί αξονική δύναμη, ούτε τα κατακόρυφα φορτία προκαλούν ροπή

κάμψης.

Ζητούνται:

(α) Οι οπλισμοί πάνω και κάτω πέλματος της δοκού Δ1 στη στήριξη στο Υ1 (προσεγγιστικά

ως As = Md/zfyd με z = d-d1) λαμβάνοντας υπόψη και τους ελάχιστους διαμήκεις οπλισμούς

δοκών.

(β) Οι κατακόρυφοι οπλισμοί του Υ1 που ικανοποιούν τον ικανοτικό σχεδιασμό σε κάμψη

στην κορυφή του Υ1 (διατομή κορυφής του Υ1 και βάσης του Υ2), καθώς και οι

κατακόρυφοι οπλισμοί (αναμονές) στη διατομή πάκτωσης του Υ1 στο πέδιλο Π, θεωρώντας

το υποστύλωμα σε μονοαξονική κάμψη με αξονική δύναμη και λαμβάνοντας υπόψη τους

ελάχιστους κατακόρυφους οπλισμούς υποστυλωμάτων.

(γ) Η σεισμική τέμνουσα σχεδιασμού του Υ1, για ικανοτικό σχεδιασμό του σε διάτμηση.

(δ) Η ένταση σχεδιασμού του μεμονωμένου πεδίλου Π που στηρίζει το Υ1 (αγνοώντας τυχόν

συνδετήριες δοκούς) και η διαστασιολόγηση του πεδίλου Π σε κάτοψη (με βάση τη φέρουσα

ικανότητα του εδάφους) και τομή (έλεγχος ύψους, οπλισμοί), θεωρώντας μονοαξονική

κάμψη και εκκεντρότητα.

Δίνονται:

Κατηγορία Πλαστιμότητας κατά ΕΚ8 Μέση (ΚΠ Μ), C20/25, S500.

Επικάλυψη οποιουδήποτε οπλισμού στοιχείου με σκυρόδεμα: 25mm.

Έδαφος: άργιλος με cu=100kPa (με συντελεστή ασφαλείας υλικού 1.4) και γεδ=18kN/m3.

Ύψος επίχωσης πεδίλου: Μηδέν. Ύψος πεδίλου (εφόσον επαρκεί) το ελάχιστο.

Λύση

α) Διαμήκεις οπλισμοί δοκών:

195

Υπολογισμός έντασης σχεδιασμού

MEc1 = 0.25VE1 Hn = 0.25x(3x0.2x90x5)x2.5 = 168.75kNm

MEc2 = 0.25VE2 Hn = 0.25x(2.5x0.2x90x5)x2.5 = 140.62kNm

M1.35g+1.5q = 65x(5-0.4/2-0.35/2)2/8 = 174.93kNm

Mg+ψ2q = (40/65)x174.93 = 107.65kNm

Ροπές διαστασιολόγησης:

Πάνω πέλμα: Μd1 = max (174.93, 107.65+0.5(168.75+140.62)) = 262.34kNm

Κάτω πέλμα: Μd2 = -107.65+0.5x(168.75+140.62) = 47.04kNm

Οπλισμοί:

d1= 0.043m, d = 0.457m, z = 0.457-0.043 = 0.415m

As1 = 262.34x103/(0.415x500/1.15) = 1453mm

2

As2 = 47.04x1453/262.34 = 261mm2

Eπιλέγεται bw = 0.3m. As,min = (0.5x2.2/500)x300x460 = 304 mm2

(2Φ16)

Άνω πέλμα: 2Φ16+4Φ18(1452mm2)

Κάτω πέλμα: 2Φ16+1Φ20 (716mm2 ~1452/2 = 726mm

2)

Ροπές αντοχής:

MRb- = 1452x0.415x500/(1.15x10

3) = 262kNm,

MRb+

= 716x0.415x500/(1.15x103) = 129.2kNm

ΣΜRb = 262+129.2 = 391.2kNm

β) Κατακόρυφοι οπλισμοί υποστυλώματος Υ1 από ικανοτικό σχεδιασμό:

Αξονικές δυνάμεις:

Στο Υ1 = Ν1 = (5/8)x(3x90x5) = 843.8kN

Στο Υ2 = Ν2 = (5/8)x(2x90x5) = 562.5kN

Ροπές σχεδιασμού οπλισμών Υ1: 1.3ΣΜRb = 1.3x(262+129.2) = 508.6 kNm

Οι κοινοί οπλισμοί της διατομής κορυφής του Υ1 και της διατομής βάσης του Υ2

διαστασιολογούνται για 0.5x1.3ΣΜRb = 254.3kNm και το μέσο όρο των αξονικών δυνάμεων:

(843.8+562.5)/2 = 698.6kN.

Oπλισμοί Υ1, Υ2 για:

μd = 254.3/(0.43x20000/1.5) = 0.298, νd = 698.6/(0.4

2x20000/1.5) = 0.327

Θεωρώντας υπέρ της ασφαλείας οπλισμούς μόνο στις πλευρές τις παράλληλες στο διάνυσμα

της μονοαξονικής ροπής και κάθετες στο επίπεδο της κάμψης, με d1/h = 0.108: → ωtot =

0.515, As,tot = 0.515x4002x20x1.15/(500x1.5)=2527mm

2

Ροπή σχεδιασμού αναμονών στη βάση Υ1 (πάκτωση σε πέδιλο Π): ΜC1 = 168.75 kNm

μd = 168.75/(0.43x20000/1.5)=0.198, νd = 843.8/(0.4

2x20000/1.5)=0.396, d1/h =0.108 →

ωtot = 0.26, As,tot = 0.26x4002x20x1.15/(500x1.5)= 1276mm

2

196

Τελικοί οπλισμοί Υ1, Υ2:

As,min = 0.01x4002=1600 mm

2 στο σύνολο της διατομής.

Τοποθετούνται οι ίδιοι οπλισμοί από τη βάση Υ1 (πάκτωση στο πέδιλο Π) και σε όλο το

ύψος του Υ2: Ανά πλευρά: 4Φ20 (1257mm2, As,tot = 2514mm

2)

Ελεγχος εάν ΣΜRc > 1.3ΣΜRb

Διατομή βάσης Υ2:

ωtot = 0.515, d1/h = 0.108, νd = 562.5//(0.42x20000/1.5) = 0.264 → μRd = 0.29.

Διατομή κορυφής Υ1:

ωtot = 0.515, d1/h = 0.108, νd = 0.396 →, μRd = 0.31.

ΣΜRc = (0.29+0.31)x(0.43x20000/1.5) = 512 kNm ~ 1.3ΣΜRb = 508.6 kNm

γ) Ικανοτική τέμνουσα υποστυλώματος Υ1:

Ροπή αντοχής υποστυλώματος

Παρόλο που (υπέρ της ασφαλείας) ελήφθησαν υπόψη μόνον οι οπλισμοί στις πλευρές τις

παράλληλες στο διάνυσμα της μονοαξονικής ροπής, οπλισμούς θεωρείται στη συνέχεια ότι οι

ίδιοι οπλισμοί υπάρχουν και στις δύο κάθετες πλευρές, δηλ. ανά πλευρά 4Φ20, 12Φ20

συνολικά (As,tot = 3770mm2

→ ωtot = 0.768).

Για όπλιση ομοιόμορφη στις 4 πλευρές με ωtot = 0.768, νd = 0.396 και d1/h =0.108→ μRd =

0.31.

MRd,c = 0.31x(0.43x20000/1.5) = 264.5kNm

Θεωρώντας ότι στη βάση του υποστυλώματος αναπτύσσεται η ροπή αντοχής του αλλά

λαμβάνοντας υποψη στην κορυφή του το ενδεχόμενο σχηματισμού πλαστικής άρθρωσης στις

δοκούς:

VCD = 1.1x(264.5+264.5x391.2/512)/(3-0.5)=205.3kN

Η αντίστοιχη σεισμική ροπή από την ανάλυση είναι: VE=VE1=0.5x(3x0.2x90x5)=135kN

<<VCD

δ) Διαστασιολόγηση πεδίλων Π:

Ένταση σχεδιασμού:

αCD=1.2xMRd,c/MEc=1.2x264.5/168.75=1.88

Επιλέγεται ύψος πεδίλου h = 0.5m

Σεισμική τέμνουσα στη βάση πεδίλου: VE = 67.5kN

Σεισμική ροπή στη βάση πεδίλου: ME=168.75+0.5x67.5=202.5kNm

Ροπή σχεδιασμού πεδίλων:

Μ=αCD ME=1.88x202.5=380.7 kNm

Τέμνουσα σχεδιασμού πεδίλων:

Vd=αCDVE=1.88x67.5=128.8kN

197

Η αξονική δύναμη δεν επηρεάζεται, καθότι ο σεισμός δεν προκαλεί αξονική δύναμη σε

υποστύλωμα και πέδιλο. Άρα Ν=Ν1=843.8kNm

Εκτίμηση διαστάσεων πεδίλων με βάση την αντοχή εδάφους.

Θεωρούμε τετράγωνο πέδιλο πλευράς b:

Νtot=N+γσκhb2=843.8+25x0.5b

2=843.8+12.5b

2

e=M/Ntot=380.7/(843.8+12.5b2)

Εφόσον η ροπή Μ προκύπτει από ικανοτικό σχεδιασμό και είναι αCD<q, η συνθήκη e≤b/3 δεν

είναι δεσμευτική, αποτελεί όμως καλή βάση, καθότι για e=b/2 οι τάσεις εδάφους πλησιάζουν

το άπειρο.

Ο έλεγχος της αντοχής εδάφους γίνεται με βάση την τιμή σχεδιασμού της cu, που ισούται, για

συντελεστή υλικού 1.4, με cud=100/1.4=71.4kPa, και με μειωμένη επιφάνεια του πεδίλου, σε

Α΄f= b b΄=b(b-2e)=b2(1-2M/b(N+12.5b

2))=b

2(1-2x380.7/b(843.8+12.5b

2))

Η τάση που δρά στη διεπιφάνεια πεδίλου-εδάφους είναι:

))5.128.843(

4.7611(

5.128.8435.12

2

2

22

bbb

b

A΄

bN

f

και πρέπει να συγκριθεί με την αντοχή, που ισούται με: q+(π+2)cud(1+0.2b΄/b)ic δηλ.(για

q=hγεδ=0.5x18=9kN/m2) με:

9+(π+2) cud (1+0.2(

udcbb

bbb ))5.128.843(

4.7611(

8.128115.0))

)5.128.843(

4.7611

2

22

Με δοκιμές προκύπτει b=2m, οπότε η δρώσα τάση είναι 389kPa και η αντοχή 395 kPa.

Επισημαίνεται ότι για να θεωρείται το πέδιλο δύσκαμπτο, δεν πρέπει να προεξέχει σε κάτοψη

από το υποστύλωμα περισσότερο από 2h=1m, προϋπόθεση που δίνει μέγιστη διάσταση

πεδίλων για h=0.5m: bmax=4h+hc=2.4m.

Τέμνουσα στο πέδιλο για τον έλεγχο επάρκειας ύψους με βάση την οριακή αντοχή σε

διάτμηση.

d=0.5-0.05=0.45m

sx=0.45+0.4/2=0.65m, s΄x=-0.45-0.4/2=-0.65m

Ntot=893.8kN

ex= M/Ntot=380.7/893.8 = 0.426m>bx/6=0.333m ex/bx=0.213, sx/bx=0.325

VEd,x=(4x893.8/9)(2.5-6x0.213+0.325)(0.5-0.325)/(1-2x0.2132)-(893.8-843.8)(0.5-0.325)=

109.5kN

Επειδή το πέδιλο, είναι κεντρικό και η εκκεντρότητα ex λόγω ροπών μονοαξονική, περιττεύει

198

ο έλεγχος της VEd,x΄ και της VEd,y.

Υπολογισμός οπλισμών

sx=0.4/2=0.2m, s΄x=-0.2m, sx/bx=0.1

ΜEdx=(4x893.8x2.0/27)(4-9x0.213+0.1)(0.5-0.1)2/(1-2x0.213

2)-0.5(893.8-843.8)x2.0x(0.5-

0.1)2

=93.7kNm

Επειδή η προεξοχή του πεδίλου από το υποστύλωμα (0.95m) ισούται περίπου με 2d=0.9m, το

πέδιλο θεωρείται ως κοντός πρόβολος, οπότε:

As=93.7x103/(0.85x0.45x500/1.15)=563mm

2

δηλ. 282mm2/m πλάτους < Αs,min=ρminbd=585 mm

2/m.

Τοποθετούνται Φ12/150(754mm

2/m).

Παράδειγμα: Ικανοτικός Σχεδιασμός δοκών, υποστυλωμάτων και πεδιλοδοκού

Για τo τριώροφο επίπεδο πλαίσιο του προηγούμενου παραδείγματος να θεωρηθεί ότι ο

σεισμός προκαλεί αξονικές δυνάμεις στα ακραία υποστυλώματα (διατομής τετράγωνης

πλευράς 0.35) λόγω της ροπής ανατροπής. Τα κατακόρυφα φορτία δεν προκαλούν ροπές

κάμψης στα ακραία υποστυλώματα.

Ζητούνται:

Η επανάληψη των ερωτημάτων (α) έως (γ) του προηγούμενου παραδείγματος για τα ακραία

υποστυλώματα Υ3, Υ4,

(δ) Η σεισμική τέμνουσα σχεδιασμού της δοκού Δ1 του Υ1, για ικανοτικό σχεδιασμό του σε

διάτμηση.

(ε) Ο σχεδιασμός της θεμελίωσης των τριών υποστυλωμάτων με πεδιλοδοκό (δηλαδή, η

επιλογή διαστάσεων και ο υπολογισμός των οπλισμών της πεδιλοδοκού) για το σεισμικό

συνδυασμό G+ψ2Q+E.

Αντοχή σχεδιασμού εδάφους 300kPa, βάθος θεμελίωσης: Να επιλεγεί ελεύθερα, στα πλαίσια

της συνήθους πρακτικής. Επίχωση 0.6m πάνω από την κορυφή της θεμελίωσης.

Λύση:

α) Διαμήκεις οπλισμοί Δ1 δοκού στο άκρο (στήριξη στο Υ3):

ΜEc3=0.125VE3Hn=168.75/2=84.38kNm

ΜEc4=0.125VE4Hn=140.62/2=70.31kNm

Και για πάνω και για κάτω πέλμα:

Md=154.69kNm

As1=As2=154.69x103/(0.415x500/1.15)=857mm

2

Τοποθετούνται 3Φ16+1Φ18 (857mm2) >As,min=304 mm

2

Ροπές αντοχής: MRb+

= MRb- = Md =154.7kNm

β) Κατακόρυφος οπλισμός ακραίου υποστυλώματος από ικανοτικό σχεδιασμό:

199

Αξονικές δυνάμεις λόγω G+ψ2Q:

Στο Υ3= Ν3,g+ψ2q=3/16(3x90x5)=253.1kN

Στο Υ4= Ν4,g+ψ2q=3/16(2x90x5)=168.8kN

Αξονικές δυνάμεις λόγω ροπής ανατροπής από σεισμό:

Οι ροπές ανατροπής λαμβάνονται στο μέσο του καθαρού ύψους ορόφου, καθότι

εκεί οι λόγω σεισμού καμπτικές ροπές των υποστυλωμάτων είναι μηδέν. Οι

ροπές ανατροπής ισούνται με τη ροπή των οριζοντίων σεισμικών δυνάμεων

ορόφων ως προς την υπόψη στάθμη:

Ροπή ανατροπής στο μέσο ύψους ισογείου:

M1=(2.5H+hb/2)F3+(1.5H+hb/2)F2+(0.5H+hb/2)F1=

=7.75x1.5εW+4.75xεW+1.75x0.5εW=17.25εW=17.25x0.2x(90x5)=1552.5kNm

Ροπή ανατροπής στο μέσο ύψους μεσαίου ορόφου:

M2=4.75xHxF3+1.75xHxF2=4.75x1.5εW+1.75x0.5εW=8εW=8x0.2x(90x5)=

=720kNm.

Επειδή το κεντρικό υποστύλωμα είναι ακριβώς στον άξονα συμμετρίας, οι ροπές

ανατροπής αναλαμβάνονται από ζεύγος αξονικών δυνάμεων (εφελκυσμού-

θλίψης) στα ακραία υποστυλώματα (με μοχλοβραχίονα 2L):

Αξονικές δυνάμεις λόγω σεισμού:

Στο Υ3= Ν3,Ε=1552.5/(2x5)=155.2kN

Στο Υ4= Ν4,E=720/(2x5)=72kN

Η λόγω σεισμού αξονική δύναμη στο υποστύλωμα είναι εφελκυστική, όταν η

λόγω σεισμού ροπή κάμψης στη δοκό Δ1 προκαλεί εφελκυσμό στο κάτω πέλμα

της δοκού στο άκρο που συνδέεται με το υπόψη ακραίο υποστύλωμα. Επομένως,

η λόγω σεισμού εφελκυστική δύναμη στο υποστύλωμα συνδυάζεται με ανάπτυξη

στη δοκό της MRb+. Ομως είναι MRb

+=MRb

-, οπότε δεν παίζει ρόλο ποια τιμή του

MRb θα χρησιμοποιηθεί.

Η διαστασιολόγηση των υποστυλωμάτων σε κάμψη γίνεται – επί το

δυσμενέστερο – με βάση τις ελάχιστες τιμές της αξονικής δύναμης (min N).

Τελικές αξονικές δυνάμεις λόγω G+ψ2Q+E:

minN3=253.1-155.2 = 97.9kN

minN4=168.8-72 = 96.8kN

Μέσος όρος αξονικών δυνάμεων: minN = (97.9+96.8)/2 = 97.4kN.

Ροπές σχεδιασμού Υ3, Υ4: 0.5x1.3ΣΜRb = 0.5 x 1.3x154.7 = 100.6kNm

Ροπή σχεδιασμού αναμονών στη βάση Υ3: Mc3=84.38kNm

Οπλισμοί Υ3, Υ4:

200

μd=100.6/(0.353x20000/1.5)=0.175, νd=97.4/(0.35

2x20000/1.5)=0.0595

Θεωρώντας υπέρ της ασφαλείας οπλισμούς μόνο στις πλευρές τις παράλληλες

στο διάνυσμα της μονοαξονικής ροπής (κάθετες στο επίπεδο της κάμψης), για

d1/h=0.12 → ωtot =0.4.

Τοποθετούνται ρtot = 0.4x20x1.15/(500x1.5) = 0.0123, Αs,tot = 0.0123x350x350 =

1507mm2.

Τοποθετούνται οι ίδιοι οπλισμοί από τη βάση Υ3 και σε όλο το ύψος του Υ4:

3Φ18 ανά πλευρά, δηλ. 1527mm2

στις δύο παράλληλες πλευρές (Για όπλιση

ομοιόμορφη στις 4 πλευρές, είναι 8Φ18 συνολικά, δηλ. As,tot = 2036mm2

→ ωtot =

0.54).

γ) Ικανοτική τέμνουσα υποστυλώματος Υ3:

Επί το δυσμενέστερο, η ικανοτική τέμνουσα του Υ3 υπολογίζεται από ροπές αντοχής

για τη μεγαλύτερη αξονική δύναμη στο υποστύλωμα.

maxΝ3=253.1+155.2=408.3kN, δηλ. νd=408.3/(0.352x20000/1.5)=0.25, για την οποία,

για ωtot = 0.54 ομοιόμορφα στις 4 πλευρές και d1/h=0.12: μRd=0.25, οπότε: MRd,3=

0.25x0.353x20000/1.5 =143kNm.

maxΝ4=168.8+72=240.8kN, δηλ. νd=240.8/(0.352x20000/1.5)=0.147, για την οποία,

για ωtot = 0.54 ομοιόμορφα στις 4 πλευρές και d1/h=0.12: μRd=0.23, οπότε: MRd,4=

0.23x0.353x20000/1.5 =131.5kNm.

Η ροπή MRd=143kNm θεωρείται ότι δρα στη βάση. Στην κορυφή, το υποστύλωμα

έχει σχεδιασθεί ικανοτικά να μην αστοχήσει πριν από τη δοκό Δ1, ακόμα και όταν

δρα η ελάχιστη τιμή αξονικής δύναμης, minN3=97.9kN (πολύ περισσότερο αν δρα η

maxN3=408.3kN, η οποία αυξάνει σημαντικά τη ροπή αντοχής του υποστυλώματος,

χωρίς να επηρεάζει αυτήν της δοκού). Αρα στην κορυφή η ροπή κάμψης του

υποστυλώματος θα ληφθεί ίση με αυτήν που αναπτύσσεται εκεί κατά την ανάπτυξη

της ροπής αντοχής της δοκού, MRb, επί το λόγο ΣMRb/ΣMRc, με ΣMRb =154.7 kNm

ΣMRc =143+131.5= 274.5kNm. Αρα:

VCD = 1.1x(143+143x154.7/274.5)/(3-0.5)=98.4kN

Η αντίστοιχη σεισμική ροπή από την ανάλυση είναι:

VE=VE3=0.125x(3x0.2x90x5)=33.75kN <<VCD

δ) Σχεδιασμός θεμελίωσης:

Επιλέγεται πεδιλοδοκός με συνολικό μήκος ίσο με την εξωτερική διάσταση του

πλαισίου: Lπεδ=2L+hc=10.35m.

Επιλογή διαστάσεων πεδιλοδοκού:

Εστω ks=1MPa/m και πλάτος πέλματος πεδιλοδοκού b=0.9m.

201

Για να συμπεριφερθεί η πεδιλοδοκός ως πρακτικώς άκαμπτη, τίθεται στόχος να

είναι:

λL1.0

δηλαδή λ1/10.35=0.0966m-1

, οπότε 4EI=ksb/λ4=0.9x1/0.0966

4=10336MNm

2 και

I=10336/(4x29000)=0.089m4 (για Ec=29000MPa).

Επιλέγεται πλάτος κορμού πεδιλοδοκού ίσο με το πλάτος των εξωτερικών

υποστυλωμάτων, δηλαδή 0.35m. Αν η διατομή είναι ορθογωνική πλάτους 0.35m,

για I=0.089m4 απαιτείται ύψος κορμού: 0.35h

3/12=0.089 h=1.45m.

Η διατομή διαθέτει και πέλμα πλάτους 0.9m, για το οποίο επιλέγεται πάχος

0.20m. Λόγω του πέλματος, η επιθυμητή ροπή αδράνειας μπορεί να επιτευχθεί

και με ύψος πεδιλοδοκού μικρότερο του 1.45m, έστω h=1.20m.

Επιφάνεια διατομής:

Απόσταση κέντρου βάρους από κάτω πέλμα:

yK.B.=(0.2x0.55x0.1+0.35x1.2x0.6)/0.53=0.496m

I=0.55x0.23/3+0.35x1.2

3/3-0.53x0.496

2=0.0726m

4.

Οπότε λ=(1.0x0.9/(4x29000x0.0726))1/4

=0.1017 και λL=1.05. H πεδιλοδοκός

θεωρείται άκαμπτη.

Υπολογισμός φόρτισης πεδιλοδοκού.

Η πεδιλοδοκός αναλαμβάνει από την ανωδομή κατακόρυφο φορτίο ίσο με:

N=3W=3x90x5=1350kN

Θεωρώντας ύψος επίχωσης 0.6m πάνω από την κορυφή της πεδιλοδοκού, το

πρόσθετο βάρος είναι:

Από πεδιλοδοκό: 0.53x10.35x25=137kN

και από έδαφος επίχωσης: 22x10.35x[(0.9-0.35)x(1.2-0.2)+0.9x0.6)=248kN.

Συνολική κατακόρυφη δύναμη: Ntot=1350+137+248=1735kN.

Ροπή ανατροπής ως προς τη βάση της πεδιλοδοκού:

M=(3H+1.20)F1+(2H+1.20)F2+(H+1.20)F3=10.20x1.5εW+7.20xεW+4.20x0.5εW

=24.6εW=2214kNm.

Επειδή η πεδιλοδοκός θεμελιώνει περισσότερα από ένα κατακόρυφα στοιχεία, η

ροπή ανατροπής πολλαπλασιάζεται επί αCD=1.4, δίνοντας τελικά:

M=1.4x2214=2990kNm

Εκκεντρότητα κατακόρυφης δύναμης:

e=2990/1735=1.723m

Η τάση για τον έλεγχο της φέρουσας ικανότητας του εδάφους υπολογίζεται με

θεώρηση ομοιόμορφης κατανομής σε επιφάνεια με μήκος:

202

L’=L-2e=10.35-2x1.723=6.9m, ως:

σ=1735/(6.9x0.9)=279kPa=0.28MPa.

Για τη διαστασιολόγηση της πεδιλοδοκού σε κάμψη και διάτμηση, η κατανομή

των τάσεων κάτω από την πεδιλοδοκό λαμβάνεται γραμμική.

Επειδή eL/6=10.35/6=1.725m, δεν αναπτύσσεται κάτω από την πεδιλοδοκό

αδρανής περιοχή, και οι τάσεις στα άκρα της πεδιλοδοκού υπολογίζονται ως

εξής:

p=N/A(16e/L)=1735/(10.35x0.9)x(16x1.723/10.35)

pmax=372.5kPa, pmin=0kPa.

43.6kN

113.9kNm 91.1kN

41.35kPa

x=-L/2 x=L/2

843.8kN

227.8kNm

182.2kN

462.6kN

113.9kNm

91.1kN

372.5kPa

A B C D

d=1.15

Τα λόγω σεισμού εντατικά μεγέθη που ασκούνται από τα υποστυλώματα στην

πεδιλοδοκό (ροπές, τέμνουσες, αξονικές δυνάμεις) περιλαμβάνουν το συντελεστή

αCD=1.4, με αποτέλεσμα στα ακραία υποστυλώματα η συνολική αξονική δύναμη

να είναι:

Ng+ψ2Q+E=253.11.4x155, δηλαδή 463 kN και 43 kN.

Το βάρος πεδιλοδοκού και επίχωσης αντιστοιχεί σε ομοιόμορφη τάση στο

έδαφος:

p=(137+248)/(10.35x0.9)=41.35kPa.

Διαστασιολόγηση πέλματος πεδιλοδοκού:

Το πέλμα προεξέχει από τον κορμό ως διπλός πρόβολος μήκους (προς κάθε

πλευρά): (0.9-0.35)/2=0.275m και πάχους 0.2m. Η δυσμενέστερη για το πέλμα

κατάσταση είναι όταν ασκείται στην κάτω επιφάνειά του η τάση pmax=372.5kPa,

δίνοντας ροπή κάμψης στην παρειά στήριξης του προβόλου στον κορμό:

m=372.5x0.2752/2=14.09kNm/m. Το πέλμα οπλίζεται για τη ροπή αυτή ως

203

κοντός πρόβολος με d0.15m, δίνοντας As=14.09x103/(0.85x0.15x500/1.15)=

254mm2/m. Τοποθετούνται Φ12/150 (754mm

2/m).

Υπολογισμός ροπών κάμψης σε επιλεγμένες διατομές:

Διατομή D: σε x=L/2, δηλ. 2.5+0.175=2.675m από το άκρο.

Τάση εδάφους: 372.5x(10.35-2.675)/10.35=276.2kPa.

Ροπή κάμψης ως προς κεντροβαρικό άξονα πεδιλοδοκού (σε απόσταση 1.20-

0.496=0.704m από πάνω πέλμα πεδιλοδοκού):

MD=-462.6x2.5-113.9-91.1x0.704+(372.5-276.2)x0.9x2.6752/3+(276.2-41.35)x

x0.9x2.6752/2=-371.6kNm (εφελκυσμός πάνω).

Διατομή Β, x=0.20 (παρειά κεντρικού υποστυλώματος), δηλαδή σε απόσταση

10.35/2-0.2=4.975m από τα δεξιά άκρο.

Τάση εδάφους: 372.5x(10.35/2+0.20)/10.35=193.5kPa.

Ροπή κάμψης ως προς Κ.Β. άξονα:

ΜΒ=-462.6x4.8-113.9-91.1x0.704+(372.5-193.5)x0.9x4.9752/3+(193.5-41.35)x

x0.9x4.9752/2=427.15kNm (εφελκυσμός κάτω).

Διατομή Α, σε x=-L/2, δηλ. 2.675m από αριστερά άκρο:

Τάση εδάφους: 372.5x2.675/10.35=96.3kPa.

Ροπή κάμψης ως προς Κ.Β. άξονα:

ΜA=-43.6x2.5+113.9+91.1x0.704+96.3x0.9x2.6752/6=172.5kNm (εφελκυσμός

κάτω).

Υπολογισμός διαμήκων οπλισμών (d1.15m, z0.9d1.05m).

Κάτω από κεντρικό υποστύλωμα:

As (κάτω πέλμα) 427.15x103/(1.05x500/1.15)=936mm

2

Μέσο ανοίγματος:

Πάνω πέλμα: As=371.6x103/(1.05x500/1.15)=814mm

2

Κάτω πέλμα: As=172.5x103/(1.05x500/1.15)=378mm

2.

As,min=0.0013x350x1150=523 mm2. 3Φ20 (942 mm

2)

Υπολογισμός τέμνουσας και έλεγχος της VRd,max:

Διατομή Β:

VB=-462.6+(372.5-193.5)x0.9x4.975/2+(193.5-41.35)x0.9x4.975=619.4kN.

VRd,max=0.3x(1-20/250)x0.35x1.05x20000/1.5sin2θ=1352 sin2θ = 932 kN για θ =

21.8ο > VB

Υπολογισμός συνδετήρων

Διατομή C σε απόσταση d=1.15m από παρειά κεντρικού υποστυλώματος (σε

απόσταση 10.35/2+0.2+1.15=6.525m από αριστερά άκρο και 10.35-6.525=

204

3.825m από δεξιά άκρο):

Τάση εδάφους: 372.5x6.525/10.35=234.8kPa

VC=-462.6+(372.5-234.8)x0.9x3.825/2+(234.8-41.35)x0.9x3.825=440.4kN.

Asw/s=440.4tanθ/(1.05x0.5/1.15)=386 mm2/m για θ = 21.8

ο > As,min=

0.08√20/500x350x1000 = 250 mm2/m. Μπαίνουν Φ8/250 (401 mm

2/m).

Παράδειγμα: Ικανοτικός Σχεδιασμός δοκών, υποστυλωμάτων και πεδίλων No. 2

-96 -255

80.7

58.6

-74.6

128.6

42.8

-54.8

42.8

54.8 -58.6

-122.2

122.2

-128.6

-37.8 -37.8

66.7 66.7 126.7

-132

130.9

-155.4

155.4

-165.8

165.8 -67.7

-67.7 69 69

-96.4 -96.4 -172.2

Ροπές λόγω σεισμού (kNm) +E

24.6

-24.6

-70

70

-140.3 140.3

Αξονικές δυνάμεις (kN) λόγω σεισμού +E

-26.4 -26.4

-25.1 -25.1

-72 -72

-65.1 -65.1

-71.3 -71.3

-41.6 -41.6

24.2 24.2 -19 -19

-15.8 -15.8

10.2 10.2

21.7 21.7

-32.8 -32.8

Ρ

οπές (kNm) λόγω G+ψ2Q

-96 -96 -255

-197 -197 -502

-294.5 -294.5 -754.3

Αξονικές δυνάμεις (kN) λόγω G+ψ2Q

Δίνονται οι ροπές και οι αξονικές δυνάμεις λόγω σεισμού +Ε και οιονεί-μονίμων φορτίων

G+ψ2Q στο καθαρό μήκος των μελών του επίπεδου πλαίσιου του σχήματος, από ελαστική

στατική ανάλυση.

Ύψος ορόφου 3m, Ανοίγματα (από άξονα–σε-άξονα) 5m.

Μεσαίο υποστύλωμα 0.4x0.4m, ακραία 0.35x0.35m, δοκός 0.3m (πλάτος) x 0.5m (ύψος),

πλάκα πάχους 0.15m.

205

Υλικά: C30/37, S500 Επικάλυψη οπλισμών 25mm. Κατηγορία Πλαστιμότητας Μέση (ΚΠ

Μ) Ευρωκώδικα 8.

Έδαφος: άργιλος με αστράγγιστη αντοχή (τιμή σχεδιασμού) cud: 95kPa και ειδικό βάρος

21kN/m3. Κορυφή πεδίλου στην επιφάνεια του εδάφους.

Ζητείται:

1) Ο υπολογισμός των οριζόντιων σεισμικών δυνάμεων ορόφων με βάση τα

διαγράμματα που δίνονται.

2) Ο υπολογισμός του σεισμικού συντελεστή βάσης (λόγος σεισμικής τέμνουσας βάσης

προς ολικό βάρος) για τον οποίο σχεδιάζεται το πλαίσιο.

3) Η διαστασιολόγηση των διαμήκων οπλισμών των δοκών στους ορόφους 1 και 2 για

τους συνδυασμούς G+ψ2Q±E και 1.35G+1.5Q (τα εντατικά μεγέθη για το συνδυασμό

1.35G+1.5Q να υπολογισθούν από αυτά λόγω G+ψ2Q υποθέτοντας ότι ψ2=0.30 και ότι ο

λόγος G/Q ισούται με 3).

4) Η διαστασιολόγηση των κατακόρυφων οπλισμών των υποστυλωμάτων στους

ορόφους 1 και 2, για τους συνδυασμούς G+ψ2Q+E και G+ψ2Q-E έτσι ώστε να

ικανοποιείται στους κόμβους των ορόφων η συνθήκη ικανοτικού σχεδιασμού ΣMRc>1.3

ΣMRb

5) Οι τέμνουσες σχεδιασμού των δοκών και υποστυλωμάτων 1ου

και 2ου

ορόφου, με

ικανοτικό σχεδιασμό.

6) Η διαστασιολόγηση των πεδίλων (κεντρικού και ακραίου) για τους συνδυασμούς που

αναφέρονται στο 4.

Λύση

1) Ολικό βάρος = άθροισμα αξονικών δυνάμεων υποστυλωμάτων στη βάση: W=1343.3 kN.

Τέμνουσες από τη διαφορά ροπών στη βάση και στην κορυφή υποστυλωμάτων στον όροφο:

Όροφος 3: V3=(80.7-(-74.6))/2.5+2×(42.8-(-37.8))/2.5=126.5 kN, f3=V3=126.5 kN

Όροφος 2: V2 = (126.7-(-132))/2.5+2×(66.7-(-67.7))/2.5 = 211 kN, : f2=V2-V3=84.5 kN

Όροφος 1: V1 = (130.9-(-172.2))/2.5+2×(69-(-96.4))/2.5 = 253 kN, f1=V1-V2=42 kN

2) ε=V1/W=253/1343.3=0.188

3) fcd=30/1.5=20 MPa; fctm=2.9 MPa; fyd=500/1.15=434.8 MPa.

d1=c+dbh+dbL/2~0.025+0.008+0.018/2 ~0.04m.

ρmin =0.5fctm/fyk =0.5×2.9/500=0.0029

d=0.46m, z=0.46-0.04=0.42m, As,min =0.0029×300×460=400mm2

(2Φ16 - 402mm2).

G/Q = 3: (1.35G+1.5Q)/(G+ψ2Q)=(1.35×3+1.5×1)/(3+0.3×1)=1.682.

Ροπές σχεδιασμού δοκών 1ου ορόφου :

– Στη στήριξη στο κεντρικό υποστύλωμα:

206

– Για πάνω οπλισμό:

Μd1=max[Μ1.35G+1.5Q; Mg+ψ2q+|maxME|]= max[1.682×71.3=120; 71.3+155.4=226.7]=226.7

kNm

– Για κάτω οπλισμό:

Μd2 = -Mg+ψ2q+|maxME|= 155.4-71.3=84.1 kNm

Στη στήριξη σε ακραίο υποστύλωμα:

– Για πάνω οπλισμό:

Μd1=max[Μ1.35G+1.5Q; Mg+ψ2q+|maxME|]=max[1.682×32.8=53.4; 32.8+165.8=198.6

kNm]=198.6kNm

– Για κάτω οπλισμό:

Μd2 = -Mg+ψ2q+|maxME|= 165.8-32.8=133 kNm

As =Md/zfyd, με z =d-d1:

Στη στήριξη στην κεντρική κολώνα:

– Πάνω: As1 =226.7×103/(0.42×434.8)=1241 mm

2: 5Φ16+1Φ18 (1260mm

2),

=1257/(460×300)=0.0091

– Κάτω: As2 =84.1×1241/226.7=460 mm2: 4Φ16 (804mm

2> 1260/2=630mm

2),

’=804/(460×300)= 0.0058,

MRd,b-=1260×0.42×434.8/10

3=230 kNm, MRd,b

+=804×0.42×434.8/10

3=146.8 kNm,

ΣΜRd,b=376.8 kNm.

Στη στήριξη στην ακραία κολώνα:

– Κάτω: As1 =198.6×1241/226.7=1087 mm2: 5Φ16 (1005 mm

2)>As,min = 400 mm

2

=1005/(460×300)=0.00728.

– Πάνω: As2 =133×1241/226.7 = 728 mm2: 4Φ16 (804mm

2> 1260/2=630mm

2),

’=804/(460×300)=0.0058,

MRd,b-=1005x0.42x434.8/10

3=183.5kNm, MRd,b

+=804×0.42×434.8/10

3=146.8 kNm

Ροπές σχεδιασμού δοκών 2ου

ορόφου:

Στη στήριξη στην κεντρική κολώνα:

– Για πάνω οπλισμό:

Μd1=max[Μ1.35G+1.5Q; Mg+ψ2q+|maxME|]= max[1.682×65.1=109.5; 65.1+122.2=187.3]=187.3

kNm

– Για κάτω οπλισμό:

Μd2 =-Mg+ψ2q+|maxME|=122.2-65.1=57.1 kNm

Στη στήριξη στην κεντρική κολώνα:

– Για πάνω οπλισμό:

Μd1=max[Μ1.35G+1.5Q; Mg+ψ2q+|maxME|]= max[1.682×41.6=70; 41.6+128.6=170.2]= 170.2

207

kNm.

– Για κάτω οπλισμό:

Μd2 =-Mg+ψ2q+|maxME|=128.6-41.6=87 kNm

As =Md/zfyd (z =d-d1):

Στη μεσαία στήριξη:

– Πάνω: As1 =187.3×103/(0.42×434.8)=1026 mm

2: 5Φ16 (1005 mm

2),

=1005/(460×300)=0.0073

– Κάτω: As2 =57.1×1026/187.3=313 mm2: 2Φ16+1Φ14 (555 mm

2>1005/2=502 mm

2),

’=555/(460×300) = 0.004

MRd,b- =1005×0.42×434.8/10

3=183.5 kNm, MRd,b

+=555×0.42×434.8/10

3= 101.4 kNm,

ΣΜRd,b=284.9 kNm

Στην ακραία στήριξη:

– Πάνω: As1 = 170.2×103/(0.42×434.8)=932 mm

2: 4Φ16+1Φ14 (958 mm

2)>As,min = 400

mm2

=958/(460×300)=0.0069

– Κάτω: As2 = 87×932/170.2 = 476 mm2: 2Φ16+1Φ14 (555 mm

2> 958/2=479 mm

2),

’= 555/(460×300) = 0.004

MRd,b- =958×0.42×434.8/10

3=175 kNm, MRd,b

+=555×0.42×434.8/10

3= 101.4 kNm

4) Στον κατωτέρω πίνακα, οι κρίσιμοι συνδυασμοί Μ και Ν είναι υπογραμμισμένοι.

Ροπές (kNm) και αξονικές δυνάμεις (kN) υποστυλωμάτων για διαστασιολόγηση

κατακορύφων ράβδων

Υποστύλωμα Ακραίο Κεντρικό

Όροφος 1 2 3 1 2 3

Διατομή βάση κορυφή βάση κορυφή βάση βάση κορυφή βάση κορυφή βάση

Από ανάλυση +E M 106.6 84.8 89.4 85.7 62 172.2 130.9 132 126.7 74.6

N 434.8 434.8 267 267 120.6 754.3 754.3 502 502 255

-E M 86.2 53.2 46 47.7 13.6 - - - - -

N 154.2 154.2 127 127 71.4 - - - - -

(1.3ΣΜRd,b)/2 και

μέσες τιμές N

πάνω και κάτω

από τον κόμβο

+E MRc - 119.3 113.8 - 244.9 185.2

N - 350.9 193.8 - 628.2 378.5

-E M - 95.4 65.9 -

N - 140.6 99.2 -

Στη βάση του κατώτατου ορόφου τοποθετούνται οι ίδιοι οπλισμοί όπως και στην κορυφή

του.

208

a) Κεντρική κολώνα.

d1/h=40/400=0.1, ρmin =0.01, As,min =0.01×400×400 = 1600 mm2; ελάχιστος αριθμός ραβδών:

8 (3 ανά πλευρά).

1ος

όροφος και βάση 2ου: μd = 244.9/(0.4×0.42×20000) = 0.191, νd=

628.2/(0.4×0.4×20000)=0.196.

2ος

όροφος και βάση 3ου: μd = 185.2/(0.4×0.42×20000) = 0.145, νd = 378.5/(0.4×0.4×20000)

= 0.118.

1ος

όροφος και βάση 2ου: ω1,tot =0.31; As1 = 0.31×(400×400)×20/434.8= 2280 mm2

5Φ16 ανά πλευρά (οι μεσαίες ράβδοι κάθε πλευράς συγκρατούνται με συνδετήρα-ρόμβο),

16Φ16 συνολικά (3216mm2): =3216/(400×400)=0.0201>ρmin=0.01.

ωtot=3216/(400×400)×434.8/20 = 0.437.

Πάνω από τον κόμβο: νd= 502/(0.4×0.4×20000)=0.157, MRd,c= 256.1 kNm.

Κάτω από τον κόμβο: νd= 754.3/(0.4×0.4×20000)=0.236, MRd,c= 270.4 kNm.

∑MRd,c = 526.5 kNm > 1.3∑MRd,b = 489.8 kNm.

(Αν βάλουμε 3Φ20 ανά πλευρά, θα έχουμε, ∑MRd,c = 466.7 kNm < 1.3∑MRd,b = 489.8 kNm;

με 4Φ18 ανά πλευρά ∑MRd,c > 1.3∑MRd,b, αλλά θα χρειαζόταν συγκράτηση και των δύο

ενδιάμεσων ράβδων σε γωνία συνδετήρων).

2ος

όροφος και βάση του 3ου: ω1,tot =0.255; As1 = 0.255×(400×400)×20/434.8= 1880

mm2. 3Φ20 ανά πλευρά (η μεσαία στη γωνία συνδετήρα-ρόμβου), 8Φ20 συνολικά (2513

mm2): =2513/(400×400)=0.0157>ρmin=0.01. ωtot=2513/(400×400)×434.8/20 = 0.342.

Πάνω από τον κόμβο: νd= 255/(0.4×0.4×20000)=0.08, MRd,c= 192.2 kNm.

Κάτω από τον κόμβο: νd= 502/(0.4×0.4×20000)=0.157, MRd,c= 214.9 kNm.

∑MRd,c = 407.1 kNm > 1.3∑MRd,b = 370.4 kNm.

b) Ακραία κολώνα (d1/h=40/350=0.114)

1ος

όροφος και βάση του 2ου.

Για maxN: νd= 350.9/(0.35×0.35×20000)=0.143; μd = 119.3/(0.35×0.352×20000) = 0.139.

Για minN: νd= 140.6/(0.35×0.35×20000)=0.0575; μd = 95.4/(0.35×0.352×20000) = 0.111.

2ος

όροφος και βάση 3ου.

Για maxN: νd= 193.8/(0.35×0.35×20000)=0.079; μd = 113.8/(0.35×0.352×20000) = 0.133.

Για minN: νd= 99.2/(0.35×0.35×20000)=0.0405; μd = 65.9/(0.35×0.352×20000) = 0.077.

1ος

όροφος και βάση 2ου:

Για maxN: ω1,tot =0.23; για minN: ω1,tot =0.23; As1=0.23×(350×350)×20/434.8=1296 mm2.

3Φ16 ανά πλευρά (η μεσαία σε γωνία συνδετήρα - ρόμβου), 8Φ16 συνολικά (1608 mm2):

=1608/(350×350)=0.0131>ρmin=0.01. ωtot=1608/(350×350)×434.8/20 = 0.285.

Για maxN:

209

Πάνω από τον κόμβο: νd= 267/(0.35×0.35×20000)=0.109, MRd,c= 114.4 kNm.

Κάτω από τον κόμβο: νd= 434.8/(0.35×0.35×20000)=0.177, MRd,c= 127.7 kNm.

∑MRd,c = 242.1 kNm > 1.3∑MRd,b = 238.6 kNm

Για minN:

Πάνω από τον κόμβο: νd= 127/(0.35×0.35×20000)=0.052, MRd,c= 101.2 kNm.

Κάτω από τον κόμβο: νd= 154.2/(0.35×0.35×20000)=0.063, MRd,c= 103.9 kNm.

∑MRd,c = 205.1 kNm > 1.3∑MRd,b = 190.8 kNm

2ος

όροφος και βάση 3ου:

Για maxN: ω1,tot =0.27; για minN: ω1,tot =0.16; As1=0.27×(350×350)×20/434.8=1520 mm2.

Ίδιος οπλισμός όπως στον 1ο : 8Φ16: 1608 mm

2

Ροπές αντοχής πάνω από τον κόμβο (ότι υπολογίσθηκε για πάνω από τον κόμβο 1ου

ορόφου,

ισχύει εδώ κάτω από τον κόμβο 2ου

):

Για maxN:

Πάνω από τον κόμβο: νd= 120.6/(0.35×0.35×20000)=0.049, MRd,c= 100.6 kNm

Κάτω από τον κόμβο: νd= 267/(0.35×0.35×20000)=0.109, MRd,c= 114.4 kNm

∑MRd,c = 215 kNm ~ 1.3∑MRd,b = 227.6 kNm

Αγνοείται η μικρή παραβίαση του κανόνα ικανοτικού σχεδιασμού, για να μην τοποθετηθούν

περισσότερες ράβδοι απ’ ότι στον 1ο όροφο.

Για minN:

Πάνω από τον κόμβο: νd= 71.4/(0.35×0.35×20000)=0.029, MRd,c= 95.5 kNm

Κάτω από τον κόμβο: νd= 127/(0.35×0.35×20000)=0.052, MRd,c= 101.2 kNm

∑MRd,c = 196.7 kNm > 1.3∑MRd,b = 131.8 kNm

5) Ικανοτικές τέμνουσες για δοκούς και υποστυλώματα 1ου

και 2ου

ορόφου.

Η διεύθυνση σεισμού που προκαλεί θλίψη και max N σε μια εξωτερική κολώνα προκαλεί

εφελκυσμό πάνω (MRd,b-) στο άκρο της δοκού που συνδέεται με την κολώνα αυτή, και

εφελκυσμό κάτω στο απέναντι άκρο της δοκού (MRd,b+).

Ροπές αντοχής άκρων δοκών (kNm)

Όροφος 1 2

Άκρο δοκού Ακραία κολώνα Μεσαία κολώνα Ακραία κολώνα Μεσαία κολώνα

Διεύθυνση για maxN minN maxN minN maxN minN maxN minN

Ροπή αντοχής MRd,b- MRd,b

+ MRd,b

+ MRd,b

- MRd,b

- MRd,b

+ MRd,b

+ MRd,b

-

183.5 146.8 146.8 230 175 101.4 101.4 183.5

Ροπές αντοχής υποστυλωμάτων MRd,c (kNm)

Κόμβος 1ου

ορόφου Κόμβος 2ου

ορόφου

Υποστύλωμα Ακραίο Κεντρικό Ακραίο Κεντρικό

210

Διεύθυνση για: maxN minN maxN minN

Πάνω από τον κόμβο 114.4 101.2 256.1 100.6 95.5 192.2

Κάτω από τον κόμβο 127.7 103.9 270.4 114.4 101.2 214.9

Εφόσον πρόκειται για επίπεδο πλαίσιο με πλαισιακή λειτουργία μόνο σε μία διεύθυνση, οι

τέμνουσες στα άκρα των δοκών ισορροπούν τις διαφορές αξονικών δυνάμεων στα

υποστυλώματα πάνω και κάτω από τον κόμβο. Οι τέμνουσες αμφιέρειστης προκύπτουν

αφαιρώντας από τις τέμνουσες αυτές την τέμνουσα που αντιστοιχεί στη διαφορά ροπών

κάμψης στα άκρα της δοκού.

Τέμνουσες δοκών από ικανοτικό σχεδιασμό (kN)

Όροφος 1ος 2ος

Άκρο δοκού Εξωτερικό Μεσαίο Εξωτερικό Μεσαίο

Στο πλαίσιο, Vg+ψq 294.5-197=97.5 (754.3-502)/2=

126.2

197-96=101 (502-255)/2=123.5

V λόγω ροπών στα

άκρα

(32.8-71.3)/

4.625= -8.3

(71.3-32.8)/

4.625= 8.3

(46.1-65.1)/4.625

= -4.1

(65.1-46.1)/

4.625= 4.1

Vg+ψq,o αμφιέρειστης 97.5-(-8.3)

=105.8

126.2-

8.3=117.9

101-(-4.1) =

105.1

123.5-4.1=119.4

Λόγω ροπών αντοχής

στα άκρα

(183.5+146.8)/

4.625 = 71.4

(230+146.8)/

4.625 = 81.5

(175+101.4)/

4.625 = 59.8

(183.5+101.4)/

4.625 = 61.6

Τέμνουσα σχεδιασμού 71.4+105.8=

177.2

117.9+81.5=

199.4

105.1+59.8=

164.9

119.4+61.6=181

Τέμνουσες υποστυλωμάτων από ικανοτικό σχεδιασμό:

Όροφος 1ος 2ος

Υποστύλωμα Ακραίο Κεντρικό Ακραίο Κεντρικό

Διεύθυνση σεισμού για maxN minN maxN minN

Κορυφή

υποστυλώματος

MRd,c 127.7 103.9 270.4 114.4 101.2 256.1

∑MRd,b 183.5 146.8 376.8 175 101.4 284.9

∑MRd,c 242.1 205.1 526.5 215.0 196.7 407.1

Βάση

υποστυλώματος

MRd,c 127.7 103.9 270.4 114.4 101.2 256.1

∑MRd,b - - - 183.5 146.8 376.8

∑MRd,c - - - 242.1 205.1 526.5

Τέμνουσα σχεδιασμού 89.8 71.3 185.6 71.9 49.8 145

6) Κεντρικό πέδιλο:

211

Ύψος πεδίλου: h = 0.7 m

Ικανοτικός συντελεστής: αCD= 1.2(MRd,c/MEd)=1.2×(279.4/172.2) = 1.947

Τέμνουσα σχεδιασμού στη βάση πεδίλου: Vf=αCDVEz=1.947×(130.9-(-172.2))/2.5=236 kN

Ροπή σχεδιασμού στη βάση πεδίλου: Μf=αCDMEy=1.947×172.2+0.7×236=500 kNm

Αξονική (λόγω κατακορύφων φορτίων μόνο): Ν = 754.3 kN

Σε τετράγωνο πέδιλο πλευράς b, η ολική κατακόρυφη δύναμη στη βάση είναι:

RN=N + γconcretehb2= 754.3+25×0.7b

2=754.3+17.5b

2

Ενεργός επιφάνεια πεδίλου: Α΄f=[b-2Mf/(N+17.5b2)]b= [b-2×500/(754.3+17.5b

2)]b

Δρώσα τάση στην επιφάνεια αυτή:

2

2

2

f

2

5.173.754

10001

5.173.7545.17

bbb

b

A΄

bNσ

Φέρουσα ικανότητα για άργιλο με: cud=95 kPa: qud = q+(π+2)cud[1+0.2(b-

2e)/b]

cA

V-+

udf

f

'11

2

1

q=hγsoil=0.7×21=14.7 kN/m2

2

2

2ud

5.173.754

1000195

23611

5.173.754

100012.01

2

2)(9514.7q

bbb

-+bb

π

Για να είναι qud χρειάζεται : b=2.3 m, εξαντλώντας την αντοχή σε ολίσθηση στην ενεργό

επιφάνεια επαφής για τη δρώσα τέμνουσα Vf (μηδενική περίπου τιμή στο υπόριζο του ic) . Για

b=2.3m είναι: =329 kPa και qud =333 kPa.

Έλεγχος επάρκειας ύψους πεδίλου:

svx=svy=d+c/2= 0.65+0.4/2=0.85m, s’vx=s’vy=-0.85m, by=bx=b=2.3m,

RN=N+γconcretehb2=754.3+17.5×2.3

2=847 kN, Wf =92.6 kN, e =500/847 = 0.59 m > b/6 =

0.383m:

kN-

+-

=V xEd, 1953.2

85.05.06.92

3.2

59.05.0

3.2

85.05.0

3.2

85.0

3.2

59.065.2

9

8472

kN-

-

=V xEd,

1.123.2

85.05.06.92

3.2

59.05.0

3.2

85.0

3.2

59.031;0max

9

8472

2

'

Ελάχιστο ποσοστό οπλισμού πλακών κατά Ευρωκώδικα 2: 0.26fctm/fyk> 0.0013, As

(0.26×2.9/500) ×650×1000=980.2 mm2/mΦ14/150 mm (1026 mm

2/m): ρ1 =

212

1026/(650×1000) = 0.00158. Έτσι:

kNVcRd

55565.03.23065.0

2.0130

65.0

2.0135,00158.0100120max 3/16/13/1

,

VRd,c>max[VEd,x; V’Ed,x]: δεν χρειάζεται οπλισμός διάτμησης.

Η κρίσιμη σε διάτρηση διατομή απέχει από την κολώνα μεταξύ α= 0.2 m και 2d=1.3m,

δηλαδή από 0.4 m από το κέντρο έως το άκρο του πεδίλου. Η αδρανής περιοχή φθάνει μέχρι

2.3-3×0.59-0.4/2 = 0.33 m από την κολώνα, και η επιφάνεια ελέγχου σε διάτρηση θα πρέπει

να απέχει 0.2 με 0.3 m από την κολώνα. Έτσι, δεν κρίνεται κρίσιμη η διάτρηση και ο έλεγχος

παραλείπεται.

Υπολογισμός οπλισμού.

smx=smy=c/2=0.4/2=0.2 m, s’mx=s’my= -0.2 m, by=bx=b=2.3 m, RN =847 kN, Wf = 92.6 kN, e =

0.59 m > b/6=0.383 m

kNm -

+-

=M xEd, 3513.2

2.05.0

2

3.26.92

3.2

59.05.0

3.2

2.05.0

3.2

2.0

3.2

59.094

27

3.28472

2

2

kNm -

-

=MxEd,

5.143.2

2.05.0

2

3.26.92

3.2

59.05.0

3.2

2.0

3.2

59.031;0max

27

3.28472

2

3

'

Asx=Asy=MEd/zfyd=351×103/(0.9×0.65×434.8)=1380 mm

2, δηλ.. 1380/2.3=600 mm

2/m. Αρκεί

Φ14/150 mm (1026 mm2/m).

b) Εξωτερικά πέδιλα:

Σεισμική δράση που προκαλεί εφελκυσμό ‒ minN:

Ικανοτικός συντελεστής: αCD= 1.2(105.1/96.4)= 1.308.

Σεισμική τέμνουσα από ανάλυση: VE=(69-(-96.4))/2.5 = 66.15 kN

Τέμνουσα λόγω κατακορύφων φορτίων: VG=-(10.2-(-15.8))/2.5 = -10.4 kN

Τέμνουσα σχεδιασμού στη βάση πεδίλου: Vf=αCDVE+VG = 1.308×66.15 - 10.4 = 76.1 kN

Ροπή σχεδιασμού στη βάση πεδίλου:

Μf=αCDME =1.308×(96.4+66.15×0.7)-(10.2+0.7×10.4) = 169.2 kNm

Αξονική δύναμη στο πέδιλο λόγω σεισμού: ΝΕ=140.3 kN

Αξονική λόγω κατακορύφων φορτίων: ΝG=294.5 kN

Ελάχιστη αξονική δύναμη στο πέδιλο: minΝ=294.5-1.308×140.3=111 kN

Για τετράγωνο πέδιλο πλευράς b, η ολική αξονική δύναμη στη βάση είναι:

RN=N+γconcretehb2=111+25×0.7b

2=111+17.5b

2

213

Ενεργός επιφάνεια πεδίλου: Α΄f=[b-2M/(N+17.5b2)]b=[b-2×169.2/(111+17.5b

2)]b

Ομοιόμορφη τάση στην επιφάνεια επαφής:

2

2

2

f

2

5.17111

4.3381

5.171115.17

bbb

b

A΄

bNσ .

Φέρουσα ικανότητα εδάφους:

2

2

2ud

5.17111

4.338195

1.7611

5.17111

4.33812.01

2

2)(9514.7q

bbb

-+bb

π

Σεισμική δράση που προκαλεί θλίψη ‒ maxN:

Ικανοτικός συντελεστής: αCD= 1.2(128.6/96.4)= 1.6

Τέμνουσα σχεδιασμού στη βάση: Vf=αCDVE-VG = 1.6×66.15 + 10.4 = 116.2 kN

Ροπή σχεδιασμού στη βάση: Μf=αCDME =1.6×(96.4+66.15×0.7)+(10.2+0.7×10.4) = 245.8

kNm

Αξονική δύναμη λόγω σεισμού στη βάση: ΝΕ=140.3 kN

Αξονική δύναμη λόγω κατακορύφων φορτίων: ΝG=294.5 kN

Μέγιστη κατακόρυφη δύναμη στην κορυφή πεδίλου: maxΝ=294.5+1.6×140.3=519 kN

Ολική κατακόρυφη δύναμη στη βάση: RN =519+17.5b2

Ενεργός επιφάνεια επαφής: Α΄f=[b-2×245.8/(519+17.5b2)]b

Ομοιόμορφη δρώσα τάση:

2

2

2

f

2

5.17519

6.4911

5.175195.17

bbb

b

A΄

bNσ

Φέρουσα ικανότητα:

2

2

2ud

5.17519

6.491195

2.11611

5.17519

6.49112.01

2

2)(9514.7q

bbb

-+bb

π

Κρισιμότερη είναι η minN, ειδικότερα όσον αφορά την ολίσθηση λόγω Vf. Προκύπτει για

αυτήν: b=2.2 m, που δίνει δρώσα τάση για minN: = 189 kPa, έναντι φέρουσας ικανότητας

qud =376 kPa. Για maxN: = 198 kPa, και φέρουσα ικανότητα qud =502.5 kPa.

Μικρότερη τιμή, π.χ. b=2.1 m, οδηγεί σε ολίσθηση για minN.

Ύψος πεδίλου για διάτμηση και διάτρηση.

svx=d+c/2=0.65+0.35/2=0.825 m, s’vx= -0.825m, by=bx=b=2.2 m, Wf=17.5b2=84.7 kN.

Σεισμική δράση που προκαλεί εφελκυσμό ‒ minN:

RN=111+84.7=195.7kN, Mf=169.2 kNm: e=169.2/195.7=0.865 m > b/6 = 0.367 m.

214

kN-

+-

=V xEd, 3.1122.2

825.05.07.84

2.2

865.05.0

2.2

825.05.0

2.2

825.0

2.2

865.065.2

9

7.1952

kN-

-

=V xEd,

5.92.2

825.05.07.84

2.2

865.05.0

2.2

825.0

2.2

865.031;0max

9

7.1952

2

'

Σεισμική δράση που προκαλεί θλίψη ‒ maxN:

RN=519+84.7=603.7 kN, Mf = 245.8 kNm: e=245.8/603.7=0.407 m > b/6 = 0.367 m.

kN-

+-

=V xEd, 5.1382.2

825.05.07.84

2.2

407.05.0

2.2

825.05.0

2.2

825.0

2.2

407.065.2

9

7.6032

kN-

-

=V xEd,

3.72.2

825.05.07.84

2.2

407.05.0

2.2

825.0

2.2

407.031;0max

9

7.6032

2

'

Το ελάχιστο ποσοστό οπλισμού πλακών: 0.26fctm/fyk> 0.0013, δίνει Φ14/150 mm (1026

mm2/m): ρ1 = 1026/(650×1000) = 0.00158

kNVcRd

53065.02.23065.0

2.0130

65.0

2.0135,00158.0100120max 3/16/13/1

,

VRd,c>max[VEd,x; V’Ed,x]: δεν χρειάζεται οπλισμός διάτρησης.

Για minN, η αδρανής περιοχή φθάνει σε απόσταση από την κολώνα: 2.2-3×0.865-0.35/2=-

0.57 m (και δεν χωράει κρίσιμη περιοχή σε διάτρηση).

Για maxN, η αδρανής περιοχή φθάνει μέχρι: 2.2-3×0.407-0.35/2 = 0.804 m από την κολώνα

και η κρίσιμη διατομή μπορεί να είναι σε απόσταση από την κολώνα a: 0.8 m μέχρι 0.9 m,

προτού τμήσει την αδρανή περιοχή ή την περίμετρο του πεδίλου. Εξετάζεται a = 0.85 m:

VEd= 603.7 kN, Wf = 84.7 kN, MEd = 245.8 kNm: e=245.8/603.7=0.407 m

u(a) = 2(π×0.85+0.35+0.35) = 6.74 m

Wx(a) = 3×0.352/2+2×0.85×0.35+4×0.85

2= 3.66875 m

2

A'(a) = π×0.852+0.35

2+2×0.85×(0.35+0.35)= 3.582 m

2

215

kNaVredEd

4.1367.842.2

582.317.603

2.2

407.0

2

1

2.2

407.031

2.2

582.3

9

21)(

222,

I'(a) = π×0.852×(0.35

2+0.85

2)/4+0.85×0.35

3/6+0.35×(0.35+2×0.85)

3/12 =0.73684 m

4

kNmaMredEdx

2.1527.603

2.22.2

407.0

2

1

73684.0

9

2407.0)(

3

2,

, ex,red = 152.2/136.4 = 1.116

m

βx(a) = 1+ 0.6×1.116×6.74/3.66875=2.23 , maxvEdx = 2.23×136.4/(6.74×0.65) =69.4 kPa

kPavRd

3713065.0

2.0130

65.0

2.0135,00158.0100120max 3/16/13/1

2vRdd/a = 2×371×0.65/0.85= 568 kPa >> maxvEdx = 69.4 kPa. Υπερεπαρκεί το πάχος.

Οπλισμός πεδίλου: smx=smy=c/2=0.35/2=0.175m, s’mx=s’my=-0.175m, by=bx=b=2.2 m, Wf =

84.7 kN.

Εξετάζεται maxN και maxΜ:

RN=519+84.7=603.7 kN, e=245.8/603.7=0.407 m > b/6 = 0.367 m

kNm -

+-

=M xEd, 1.1952.2

175.05.0

2

2.27.84

2.2

407.05.0

2.2

175.05.0

2.2

175.0

2.2

407.094

27

2.27.6032

2

2

kNm -

-

=MxEd,

7.72.2

175.05.0

2

2.27.84

2.2

407.05.0

2.2

175.0

2.2

407.031;0max

27

2.27.6032

2

3

'

Asx=Asy=MEd/zfyd=195.1×103/(0.9×0.65×434.8) = 767 mm

2, δηλ. 767/2.2 = 349 mm

2/m.

Αρκούν τα ελάχιστα Φ14/150mm (1026 mm2/m).

Παράδειγμα: Σεισμικός Σχεδιασμός δοκών και υποστυλωμάτων

Βιομηχανικός χώρος διαστάσεων σε κάτοψη 24mx48m, περιβάλλεται από υποστυλώματα

πλευράς 0.5m μέσα στο επίπεδο του πλαισίου, 0.4m κάθετα σ’ αυτό. Τα γωνιακά

υποστυλώματα είναι διατομής 0.4x0.4m. Υπάρχουν 7 ενδιάμεσα υποστυλώματα στις μεγάλες

πλευρές και ένα κεντρικό στις μικρές. Η δοκός του πλαισίου έχει ύψος 1.0m, πλάτος κορμού

0.4m και πέλματα πλάτους 0.6m και πάχους 0.2m (βλ. δεξιά σχήμα). Ο άξονάς της απέχει

216

από τη βάση των υποστυλωμάτων 8m (καθαρό ύψος υποστυλώματος 7.5m).

Η δοκός έχει ομοιόμορφο οιονεί-μόνιμο φορτίο p=17.5 kN/m. Επιπλέον στηρίζει μεταλλικό

στέγαστρο, το βάρος του οποίου προκαλεί αξονικές δυνάμεις: (σύνολο: 1470 kN)

- 40kN στις γωνιακές κολώνες

- 60kN στην κεντρική των μικρών πλευρών

- 85kN στις ενδιάμεσες των μεγάλων πλευρών.

Το γραμμικό φορτίο p των δοκών μεταφέρεται στο πλησιέστερο υποστύλωμα. Τα

κατακόρυφα φορτία δεν προκαλούν ροπές στα υποστυλώματα.

Ο σεισμός προκαλεί συνολική οριζόντια δύναμη στην κορυφή του πλαισίου ίση με τα εξής

ποσοστά των oλικών οιονεί μονίμων φορτίων που ασκούνται εκεί:

- παράλληλα στις μεγάλες πλευρές (Χ): 16.5%,

- παράλληλα στις μικρές πλευρές (Υ) 12.5%.

Η συνολική σεισμική δύναμη κατανέμεται στα υποστυλώματα σε τέμνουσες ανάλογες με τη

δυσκαμψία τους. Ενδιάμεσα υποστυλώματα έχουν δυσκαμψία 12ΕΙ/Η3 μέσα στο επίπεδο του

217

πλαισίου (αμφίπακτα), 3ΕΙ/Η3 κάθετα σ’ αυτό (πρόβολος) όπου ΕΙ η δυσκαμψία της

διατομής περί τον αντίστοιχο άξονα και Η το καθαρό ύψος του υποστυλώματος. Τα γωνιακά

υποστυλώματα έχουν πάντα δυσκαμψία 12ΕΙ/Η3. Το διάγραμμα σεισμικών ροπών του

υποστυλώματος στη διεύθυνση όπου λειτουργεί ως αμφίπακτο μηδενίζεται στο μέσο του

θεωρητικού ύψους των 8m. Σ’ αυτήν όπου λειτουργεί ως πρόβολος, μηδενίζεται στο

θεωρητικό κόμβο της κορυφής του (8m από τη βάση). Η σεισμική ροπή στην κορυφή του

υποστυλώματος μοιράζεται εξίσου ως ροπή κάμψης στις δοκούς που συνδέονται εκεί.

Τα ομοιόμορφα κατανεμημένα φορτία στις δοκούς προκαλούν ροπή: (1-2.5b/L)pL2/8 στις

παρειές στήριξης στην κεντρική κολώνα των μικρών πλευρών (όπου L=12m το θεωρητικό

τους άνοιγμα και b=0.5m η διάσταση διατομής του υποστυλώματος) (1-3b/L)pL2/12 στις

στηρίξεις των δοκών των μεγάλων πλευρών, όπου L=6m και b=0.5m. Επιπλέον, η μεταφορά

των φορτίων της στέγης στα υποστυλώματα προκαλεί ροπές κάμψης στις στηρίξεις των

δοκών των μεγάλων πλευρών ίσες με τη λόγω φορτίου στέγης αξονική δύναμη του

υποστυλώματος (80kN) επί (L-b)/4. Οι ροπές αυτές προκαλούν εφελκυσμό στο πάνω πέλμα

στην 1η και 3

η εσωτερική στήριξη, και στο κάτω στη 2

η και 4

η.

Ζητείται ο υπολογισμός των εντατικών μεγεθών σχεδιασμού και η διαστασιολόγηση κατά

ΕΚ8 σε κάμψη και διάτμηση των γωνιακών και των εσωτερικών υποστυλωμάτων των

πλευρών, και των δοκών στις εσωτερικές στήριξεις της κάθε πλευράς. Για τις δοκούς να

ληφθεί υπόψη και η φόρτιση 1.35G. Σκυρόδεμα C20/25, χάλυβας S500, επικάλυψη

οπλισμών 30mm. Κατηγορία Πλαστιμότητας Μέση (Μ) κατά ΕΚ8, =2.

1) Ολικό βάρος και σεισμικές τέμνουσες:

Ολικό βάρος: 1470+2×(24+48)×17.5=4000 kN

α) Σεισμός κατά X (μεγάλη διεύθυνση): σεισμική τέμνουσα = 0.165×4000 = 660 kN

β) Σεισμός κατά Υ (μικρή διεύθυνση): σεισμική τέμνουσα = 0.125×4000 = 500 kN

2) Δυσκαμψίες υποστυλωμάτων: Ενδιάμεσο ισχυρή διεύθυνση: (EI)c,s=0.5×30,000,000×0.4×0.5

3/12= 62,500 kNm

2

Ασθενής διεύθυνση: (EI)c,w=0.5×30,000,000×0.5×0.43/12= 40000 kNm

2

Γωνιακό: (EI)c,w= 0.5×30,000,000×0.44/12= 32,000 kNm

2 ~ η μισή ενδιάμεσου

ισχυρής διεύθυνσης.

Δυσκαμψίες - διεύθυνση X:

Πλαίσια: KX.s= 2×12(nc+1)(EI)c,s/Η3= 2×12×(7+1)×62500/8

3= 23440 kN/m

Ενδιάμεσα υποστυλώματα μικρών πλευρών, ως πρόβολοι:

KX.w= 2×3(EI)c,w/Η3= 2×3×40000/8

3= 469 kN/m

Δυσκαμψίες - διεύθυνση Y:

Πλαίσια μικρών πλευρών: KY,s= 2×2×12(EI)c,s/Η3= 2×2×12×62500/8

3=5860 kN/m

218

14 ενδιάμεσα υποστυλώματα μεγάλων πλευρών, ως πρόβολοι:

KY,w= 2×7×3(EI)c,w/Η3= 14×234.5 = 3283 kN/m

3) Σεισμικές ροπές υποστυλωμάτων.

α)Σεισμός κατά X (μεγάλη διεύθυνση):

Τα δύο πλαίσια αναλαμβάνουν σεισμική τέμνουσα: 660×0.5×23440/(23440+469)=323.5 kN

το καθένα, η διαφορά (660-2×323.5)=13 kN, αναλαμβάνεται από τις μεσαίες κολώνες των

μικρών πλευρών που αναλαμβάνουν η κάθε μία 6.5 kN .

Τέμνουσα ενδιάμεσων υποστυλωμάτων 323.5/8=40.4 kN;

Γωνιακών υποστυλωμάτων 20.2 kN.

Ροπή σχεδιασμού ενδιάμεσων υποστυλωμάτων στην ισχυρή: 40.4×4.0=161.5 kNm

Στην κορυφή η ροπή αυτή μοιράζεται στις δύο δοκούς εκατέρωθεν

Σεισμική ροπή στη βάση μεσαίων υποστυλωμάτων μικρών: 6.5×8=52 kNm

b) Σεισμός κατά Y:

Καθένα από τα δύο πλαίσια των στενών πλευρών αναλαμβάνει σεισμική τέμνουσα:

500×0.5×5860/(3283+5860)=160 kN; η διαφορά, (500-2×160)=180 kN, αναλαμβάνεται από

τα 14 ενδιάμεσα υποστυλώματα των μεγάλων πλευρών, που αναλαμβάνουν το καθένα

180/14=12.9 kN .

Οι μεσαίες κολώνες των στενών πλευρών αναλαμβάνουν τέμνουσα 160/2=80 kN, οι

γωνιακές 40 kN η κάθε μια.

Η σεισμική ροπή των μεσαίων υποστυλωμάτων είναι (βάση και κορυφή): 80×4.0=320 kNm.

Στην κορυφή μοιράζεται στις δύο δοκούς εκατέρωθεν.

Σεισμική ροπή στη βάση ενδιάμεσων υποστυλωμάτων μεγάλων πλευρών: 12.9×8=103.2

kNm (ασθενής Άξονας)

Σεισμικές ροπές υποστυλωμάτων (kNm)

Κολώνα: Ενδιάμεση, μεγάλων

πλευρές

Μεσαία, μικρών

πλευρών

Γωνιακή

Άξονας Ισχυρός Ασθενής Ισχυρός Ασθενής Κατά X Κατά Y

Βάση Κορυφή Βάση Βάση Κορυφή Βάση Βάση Κορυφή Βάση Κορυφή

EX 161.5 161.5 - - - 52 80.8 80.8 - -

EY - - 103.2 320 320 - - - 160 160

Οι υπογραμμισμένες ροπές δίνουν αξονικές δυνάμεις στις γωνιακές 80.8/3= 26.9 kN για EX

και 160/6=26.6 kN για EY (βλ. Παρακάτω 4).

4) Σεισμικές ροπές δοκών και αξονικές δυνάμεις.

Μεγάλες πλευρές, δοκοί 8-ανοιγμάτων, στον κόμβο με υποστυλώματα: 161.5/2 =

219

80.8 kNm; στην παρειά 80.8×(1-0.5/6) = 74 kNm.

Δοκοί δύο ανοιγμάτων στο θεωρητικό κόμβο με υποστυλώματα: 320/2 = 160 kNm;

στην παρειά 160×(1-0.5/12) = 153 kNm.

Αξονικές δυνάμεις αναπτύσσονται σε υποστυλώματα μονο λόγω διαφοράς τεμνουσών των

εκατέρωθεν δοκών, πράγμα που συμβαίνει μόνο στις γωνιακές κολώνες, όπου: N = 80.8/3=

26.9 kN για EX και 160/6=26.6 kN για EY.

5) Αξονικές δυνάμεις υποστυλωμάτων λόγω κατακόρυφων.

Στην κορυφή:

Μεσαία υποστυλώματα στενής πλευράς:

Από τη στέγη: 60 kN; από δοκό 17.5×12=210 kN; Σύνολο: 270 kN

Ενδιάμεσα υποστυλώματα μεγάλων πλευρών:

Από τη στέγη: 85 kN; από δοκό 17.5×6=105 kN; Σύνολο: 190 kN

Γωνιακά:

Από τη στέγη: 40 kN; Από δοκό 17.5×(3+6)=157.5 kN; Σύνολο: 197.5 kN

Στις βάσεις: Προστίθενται 25×0.2×7.5=37.5 kN στις ενδιάμεσες κολώνες, 25×0.16×7.5=30

kN στις γωνιακές.

6) Κατακόρυφοι οπλισμοί υποστυλωμάτων.

Λόγω μονορόφου δεν γίνεται ικανοτικός υποστυλωμάτων.

fcd=20/1.5=13.33 MPa; fctm=2.2 MPa; fyd=500/1.15=434.8 MPa; εyd=434.8/200000=0.217%;

d1 = c+dbh+dbL/2 ~ 0.03+0.008+0.02/2 ~0.05m.

Από τον Πίνακα για τις κολώνες:

Μεσαίο υποστύλωμα μικρών πλευρών: Στην ισχυρή διεύθυνση MEd =320 kNm, ΝEd =

270+37.5 = 307.5 kN

Ενδιάμεσο υποστύλωμα μεγάλων πλευρών: στην ισχυρή διεύθυνση MEd = 161.5

kNm, στην ασθενή ΜEd 103.2 kNm, ΝEd =190+37.5 = 227.5 kN

Γωνιακές κολώνες: MEd = 160 kNm, ΝEd = 197.5+30-26.6 = 201 kN

a) Μεσαίο υποστύλωμα στενής πλευράς στον ισχυρό άξονα:

d1/h =0.1, νd = 307.5/(0.4×0.5×13333)=0.115, μd = 320/(0.4×0.52×13333)=0.24

ω1 =0.25; As1 = 0.25×(400×500)×13.333/434.8= 1533 mm2

5Φ20 (1571 mm2) στις στενές πλευρές και 1Φ20 στο μέσο των μεγάλων, οι μεσαίες ράβδοι

συγκρατούνται με συνδετήρα, σύνολο 12Φ20 (3770 mm2) ρ = 3770/(400×500)= 0.01885.

Ροπή αντοχής κολώνας:

Προσμετρώντας τη μισή γωνιακή ράβδο στις πλευρές για να προκύψει ομοιόμορφα

κατανεμημένος οπλισμός σε κάθε μία από αυτές:

ω1 = ω2= 1257/(400×500)×434.8/13.333=0.205, ωvd = 2×628/(400×500)×434.8/13.333=

220

0.205.

Στη βάση: νd = 0.115, άρα: MRd,c= 354 kNm

Κορυφή: νd = 270/(0.4×0.5×13333)=0.101 : MRd,c= 350 kNm.

b) Ενδιάμεσα υποστυλώματα μεγάλων πλευρών.

Ισχυρή διεύθυνση: d1/h =0.1, νd = 227.5/(0.4×0.5×13333)=0.085, μd =

161.5/(0.4×0.52×13333)=0.121.

ω1d =0.11; As1 = 0.11×(400×500)×13.333/434.8= 675 mm2

Ασθενής διεύθυνση:

d1/h =0.125, νd = 0.085, μd =103.2/(0.5×0.42×13333)=0.097. Αρα

ω1d =0.10; As1 = 0.1×(500×400)×13.333/434.8= 613 mm2

Τοποθετούνται 3Φ20 (942 mm2) στις στενές πλευρές και 1Φ20 στη μέση των μεγάλων

(συγκράτηση με συνδετήρα). Σύνολο: 8Φ20 (2513 mm2)

ρ = 2513/(400×500)= 0.01257 > ρmin.

Ροπή αντοχής ισχυρής διεύθυνσης:

Με θεώρηση ομοιόμορφα κατανεμημένου οπλισμού:

ω1d = ω2d= 628/(400×500)×434.8/13.333=0.1025, ωvd = 2ω2d= 0.205.

Βάση: νd = 0.085. MRd,c= 236 kNm

Κορυφή: νd = 190/(0.4×0.5×13333)=0.071, MRd,c= 231 kNm.

c) Γωνιακές κολώνες:

d1/h =0.125, νd = 201/(0.4×0.4×13333)=0.094, μd =160/(0.4×0.42×13333)=0.1875. Άρα

ω1d =0.2, As1 = 0.2×(400×400)×13.333/434.8= 980 mm2

3Φ20 (942 mm2) σε κάθε πλευρά (με τη μεσαία ράβδο να συγκρατείται από συνδετήρες)

8Φ20 (2513 mm2)

ρ = 2513/(400×400)= 0.0157 > ρmin.=0.001

Ροπή αντοχής για maxN = 197.5+26.6 = 224 kN στην κορυφή, maxN=224+30=254 kN στη

βάση, minN = 197.5-26.6 = 171 kN στην κορυφή; minN = 171+30 = 201 kN στη βάση.

Για ομοιόμορφο οπλισμό:

ω1d = ω2d= 628/(400×400)×434.8/13.333=0.128, ωvd = 2ω2d= 0.256.

Στη βάση για maxN: νd = 254/(0.4×0.4×13333)=0.119, MRd,c= 172.5 kNm

Στην κορυφή maxN: νd = 224/(0.4×0.4×13333)=0.105, MRd,c= 170 kNm

Στη βάση minN: νd = 201/(0.4×0.4×13333)=0.0942, MRd,c= 168 kNm.

Στην κορυφή για minN: νd = 171/(0.4×0.4×13333)=0.08, MRd,c= 165.5 kNm.

8) Υποστύλωμα σε διάτμηση.

221

Τέμνουσες σχεδιασμού (kN)

Υποστύλωμα: Εσωτερική μακράς

πλευράς

Μεσαία στενής πλευράς Γωνιακή

Άξονας Ισχυρός Ισχυρός Κατά X Κατά Y

EX- Ανάλυση 40.4 - 20.2 -

EY- Ανάλυση - 80 - 40

Ικανοτικές maxN

minN

1.1×(236+231)/7.5=68.5 1.1×(350+354)/7.5=103.3 1.1×(170+172.5)/7.5=50.2

1.1×(165.5+168)/7.5=48.9

Για ένα ρομβοειδή και ένα περιμετρικό συνδετήρα: nl = 2+√2=3.4142 σκέλη στις γωνιακές

κολώνες. Σ’ όλες τις άλλες nl =2+2×0.7887=3.562 σκέλη στον ισχυρό άξονα, nl

=2+2×0.6247=3.25 σκέλη κατά τον ασθενή.

Κατά ΕΚ2 : VRd,max = 0.3×(1-20/250)×13333×0.9bd(1+νd) sin2θ = 3312bd(1+νd)sin2θ.

Γωνιακές: Για maxN στη βάση, minN στην κορυφή. Οι υπόλοιπες κολώνες: μέση τιμή Ν.

Μεσαίο υποστύλωμα: VRd,max = 3312×0.4×0.45×(1+287.6/(0.2×13333)) = 660sin2θ

Ενδιάμεσες κολώνες, ισχυρή διεύθυνση: VRd,max =

3312×0.4×0.45×(1+244.6/(0.2×13333))×(1+0.0785) = 651sin2θ

Γωνιακές:

maxN: VRd,max = 3312×0.4×0.35×(1+253.2/(0.16×13333))=519sin2θ

minN: VRd,max = 3312×0.4×0.35×(1+170/(0.16×13333))=500sin2θ

Ελάχιστος οπλισμός εκτός κρισίμων περιοχών Φ6/400 (70.7 mm2/m/σκελος); δίνει στην

ισχυρή διεύθυνση:

VRd,s = 0.9dN/7.5+0.9×0.4348×70.7nldcotθ = 0.12dN+27.67nldcotθ

Μεσαία κολώνα στενών πλευρών, ισχυρή διεύθυνση:

VRd,s = 0.12×0.45×287.6+27.67×3.562×0.45cotθ =15.5+44.35cotθ

Για cotθ=2.5, VRd,s = 126.4 kN, VRd,max = 455.2 kN>> VEd = 103.3 kN

Ενδιάμεσες κολώνες μακρών πλευρών, ισχυρή διεύθυνση:

VRd,s = 0.12×0.45×268.8+ 27.67×3.562×0.45cotθ = 14.5+44.35cotθ

Για cotθ=2.5, VRd,s = 125.4 kN, VRd,max = 449 kN, >> VEd = 68.5 kN.

Γωνιακές:

Για maxN: VRd,s =0.12×0.35×253.2 +27.67×3.4142×0.35cotθ =10.6+33.06cotθ

Για cotθ=2.5, VRd,s = 93.2 kN, VRd,max = 358 kN, >> VEd = 50.2 kN

Για minN: VRd,s =0.12×0.35×170 +27.67×3.4142×0.35cotθ = 7.1+33.06cotθ.

Για cotθ=2.5, VRd,s = 89.8 kN, VRd,max = 345 kN, >> VEd = 48.9 kN.

Στις ακραίες κρίσιμες περιοχές μήκους 1.25 m-long (: Hcl/6) .

Μέγιστη απόσταση συνδετήρων 8dbL = 160 mm

222

Ογκομετρικό μηχανικό ποσοστό συνδετήρων > 0.08.

Συνδετήρες Φ6/160 δίνουν στις ενδιάμεσες κολώνες:

wd = 28.3×(434.8/13.33)×2×(2+2×0.6247)/(434×160) = 0.0864 > 0.08.

Η απαίτηση: awd > 30dydbc/bo -0.035 δίνει awd < 0 για =2, bc = 400 mm, bo = 400-

2×30-6= 334 mm, yd= 0.00217 και d = 0.119 (η μέγιστη τιμή σ' όλες τις κολώνες, στη βάση

των γωνιακών):

9) Ροπές στήριξης δοκών για τα κατακόρυφα φορτία:

Στην παρειά μεσαίας στήριξης στις στενές πλευρές:

17.5×122/8×(1-2.5×0.5/12)=282 kNm

Στην παρειά ενδιάμεσων στηρίξεων στις μακρές πλευρές:

17.4×62/12×(1-3×0.5/6)=39.5 kNm

Στις στηρίξεις των μακρών δοκών για τη μεταφορά των αντιδράσεων της στέγης (αρνητική

ροπή στην 1η και 3

η εσωτερική στήριξη, θετική στη 2

η και 4

η): 85×5.5/4=117 kNm

10) Ροπές σχεδιασμού δοκών στην παρειά στήριξης.

Μακρές δοκοί:

Σεισμικός συνδυασμός:

Σεισμική ροπή: 74 kNm;

Οιονεί-μόνιμες δράσεις: 39.5 kNm (αρνητική) ±117 kNm (αρνητική στην 1η και 3

η,

θετική στη 2η και 4

η στήριξη).

Ολική αρνητική: 74 + 39.5 + 117 = 230.5 kNm;

Ολική θετική: 74 - 39.5 + 117 = 151.5 kNm.

1.35G +1.50Q:

Αρνητική: 1.35×(39.5 + 117) = 211 kNm (< 230.5 kNm);

Θετική: 1.35×(-39.5 + 117) = 104.5 kNm (< 151.5 kNm).

Αν θεωρήσουμε ένα κινούμενο συγκεκριμένο φορτίο 1.5×200 kN, προστίθεται αρνητική

ροπή 1.5×200×(0.079×6-0.25×0.5) = 104.7 kNm και θετική 1.5×200×(0.021×6-

0.25×0.1) = 30.3 kNm, δίνοντας συνολικές:

Αρνητική: 211 + 104.5 = 315.5 kNm (> 230.5 kNm);

Θετική: 104.5+30.3 = 134 kNm (< 151.5 kNm).

Δοκοί στενών πλευρών:

Σεισμικός συνδυασμός:

Σεισμική ροπή: 153 kNm:

Οιονεί-μόνιμες δράσεις: 282 kNm:

Ολική αρνητική: 153 + 282 = 435 kNm;

Ολική θετική: 153- 282 < 0.

223

1.35g+1.5Q:

Ολική αρνητική: 1.35×282 = 381 kNm (< 435 kNm).

11) Διαμήκεις οπλισμοί δοκών (παρειές στήριξης).

d1 = c+dbh+dbL/2 ~ 0.03+0.008+0.02/2 ~0.05m. d = 1.0-0.05 = 0.95 m;:

Χρειάζεται επιφανειακός οπλισμός στις δύο πλευρές με μέγιστη απόσταση 300 mm και ολικό

ποσοστό 0.001. Τοποθετούνται Φ10 στο μέσο του ύψους και στη στάθμη πέλματος (6Φ10

σύνολο).

Ελάχιστος οπλισμός πελμάτων:

ρmin =0.5fctm/fyk =0.5×2.2/500=0.0022; As,min =0.0022×400×950= 836 mm2;

προσμετρώντας τα 2Φ10 (157 mm2): Χρειάζονται 5Φ14 (770 mm

2), δίνοντας σύνολο

927 mm2.

Επιπλέον, 4Φ10 (314 mm2) στην άλλη επιφάνεια του προεξέχοντος τμήματος, δίνονται 1241

mm2 για κάθε πέλμα (χωρίς τα 2Φ10 του μέσου).

As,1 = As,2 =770 mm2; ω1d = ω2d= 770/(1000×950)×434.8/13.333=0.0265.

Περιλαμβάνοντας 6Φ10 (471 mm2) στη ροπή αντοχής d1/d =50/950=0.053, νd =0, ωvd =

471/(1000×950)×434.8/13.333=0.016: MRd,c= 395.5 kNm

Ο ελάχιστος οπλισμός αρκεί σ’ όλο το μήκος των δοκών της μεγάλης πλευράς. Στις δοκούς

της μικρής πλευράς χρειάζεται να προστεθούν

(435-395.5)/(0.4348×0.9)=100 mm2: επιπλέον 1Φ14 (154 mm

2) → MRd,c=451.9 kNm

12) Τέμνουσες σχεδιασμού δοκών.

Τέμνουσες από ανάλυση:

Δοκοί μεγάλων πλευρών:

Σεισμικός συνδυασμός:

224

Σεισμική τέμνουσα: 74/5.5 = 13.5 kN;

Οιονεί μόνιμες δράσεις (στην παρειά υποστυλώματος): 17.5×5.5/2 ±2×117/5.5 = 48 ±

42.5 kN;

Σύνολο στην παρειά εσωτερικού υποστυλώματος: 13.5 + 48 + 42.5 = 104 kN;

Σύνολο σε απόσταση d = 0.95 m από την παρειά εσωτερικού υποστυλώματος: 104-

17.5×0.95 = 87.5 kN.

Στήριξη σε 1η εσωτερική κολώνα:

Από μόνιμες δράσεις: 17.5×0.605×5.5+42.5 = 100.5 kN. Σύνολο: 100.5+13.5 = 114 kN.

Σε απόσταση d=0.95 m από παρειά 1ης

εσωτερικής κολώνας: 114-17.5×0.95=97.5 kN

Θεμελιώδης συνδυασμός δράσεων 1.35G+1.5Q:

Στην παρειά εσωτερικής κολώνας: 1.35×(48 +42.5)+1.5×200 = 422 kN;

Σε απόσταση d = 0.95 m από την παρειά εσωτερικής κολώνας: 1.35×(48 +42.5-

17.5×0.95) +1.5×200×(1-0.95/5.5) = 348 kN

Στην παρειά 1ης

εσωτερικής κολώνας: 1.35×(17.5×0.605×5.5+42.5)+1.5×200 = 436 kN.

Σε απόσταση d = 0.95 m από την παρειά 1ης

εσωτερικής κολώνας:

1.35×(17.5×0.605×5.5+42.5-17.5×0.95) +1.5×200×(1-0.95/5.5) = 362 kN

Δοκός στενής πλευράς:

Σεισμικός συνδυασμός:

Σεισμική τέμνουσα: 153/11.55 = 13.2 kN;

Στην παρειά γωνιακής κολώνας:

Από οιονεί μόνιμες δράσεις : (3/8)×17.5×11.55=75.8 kN, σύνολο 13.2+75.8 = 89 kN.

Σε απόσταση d=0.95 m από την παρειά γωνιακής κολώνας: 89-17.4×0.95=72.5 kN

Στην παρειά της μεσαίας κολώνας:

Από οιονεί μόνιμες δράσεις (5/8)×17.5×11.55=126.3 kN, σύνολο 13.2+126.3=139.5

kN

Σε απόσταση d=0.95 m από την παρειά της μεσαίας κολώνας: 139.5-17.5×0.95 =

122.5 kN

Θεμελιώδης συνδυασμός 1.35G+1.5Q:

Στην παρειά γωνιακής κολώνας: 1.35×75.8 = 102.5 kN;

Σε απόσταση d = 0.95 m από την παρειά γωνιακής κολώνας: 1.35×72.5 = 98 kN

Στην παρειά μεσαίας κολώνας: 1.35×126.3=170.5 kN;

Σε απόσταση d = 0.95 m από την παρειά γωνιακής κολώνας: 1.35×122.5= 165.5 kN.

Ικανοτικές τέμνουσες (για τη μέγιστη αξονική του υποστυλώματος).

Μεγάλου μήκους δοκοί:

Εσωτερική στήριξη: VCD = 2×395.5×231.2/(2×395.5×5.5)= 42 kN.

225

Ολική τέμνουσα στην παρειά εσωτερικής κολώνας: 42 + 48 + 42.5 = 132.5 kN.

Ολική τέμνουσα σε απόσταση d = 0.95 m από την παρειά εσωτερικής κολώνας: 132.5-

17.5×0.95 = 116 kN

Στήριξη σε γωνιακή κολώνα:

Από οιονεί-μόνιμες δράσεις: 17.5×0.395×5.5-42.5 = -4.5 kN.

Για τη φορά του σεισμού που προκαλεί εφελκυσμό στη γωνιακή κολώνα:

VCD = [395.5×165.5/395.5+395.5×231/(2×395.5)]/5.55 = 50.5 kN

Ολική τέμνουσα: 50.5+4.5 = 55 kN

Ολική τέμνουσα σε απόσταση d=0.95 m από την παρειά στήριξης σε γωνιακή κολώνα:

55+17.5×0.95=71.5 kN

Στήριξη σε γωνιακή κολώνα:

Από οιονεί-μόνιμες δράσεις: 100 kN. Σύνολο: 104+50.5 = 154.5 kN.

Ολική τέμνουσα σε απόσταση d=0.95 m από την εσωτερική κολώνα: 154.5-

17.5×0.95=138 kN

Δοκός στενών πλευρών.

Στην παρειά γωνιακής κολώνας (ο σεισμός που προκαλεί θλίψη στη γωνιακή κολώνα):

VCD = [395.5×170/395.5+395.5×350/(2×395.5)]/11.55 = 30 kN

Λόγω οιονεί-μονίμων δράσεων: 75.8 kN; σύνολο: 30+75.8 = 106 kN.

Ολική τέμνουσα σε απόσταση d=0.95 m από την παρειά γωνιακής δοκού: 106-

17.5×0.95=89.5 kN

Στην παρειά της μεσαίας κολώνας (ο σεισμός προκαλεί εφελκυσμό στη γωνιακή

κολώνα):

VCD = [395.5×165.5/395.5+451.9×350/(451.9+395.5)]/11.55 = 30.5 kN

Λόγω οιονεί-μονίμων δράσεων: 126.3 kN; σύνολο: 30.5+126.3 = 157 kN.

Ολική τέμνουσα σε απόσταση d=0.95m από παρειά γωνιακού υποστυλώματος: 157-

17.5×0.95=140 kN

Τέμνουσες σχεδιασμού (kN) (υπογραμμίζονται οι καθοριστικές).

Δοκοί μεγάλων πλευρών Δοκοί μικρών πλευρών

Διατομή κοντά σε: 1η εσωτερική

κολώνα

3η, 5

η εσωτερική

κολώνα

Γωνιακή

κολώνα

Μεσαία

κολώνα

Απόσταση από παρειά 0 d=0.95m 0 d=0.95m 0 d=0.95m 0 d=0.95m

Θεμελιώδης συνδυασμός 436 362 422 348 102.5 98 170.5 165.5

Σεισμικός συνδυασμός 114 97.5 104 87.5 89 72.5 139 122.5

Ικανοτική τέμνουσα 50.5 50.5 42 42 30 30 30.5 30.5

Σεισμική τέμνουσα σχεδιασμού 154.5 138 132.5 116 106 89.5 157 140

226

Καθοριστικός είναι ο συνδυασμός 1.35G+1.5Q.

13) Διαστασιολόγηση δοκών σε διάτμηση.

VRd,max = 0.3×(1-20/250)×13333×0.9×0.4×0.95sin2θ= 1260sin2θ Για cotθ = 2.5: VRd,max =868

kN > 436 kN

VRd,s = 0.9×0.95×0.4348(Asw/s)cotθ = 0.3718(Asw/s)cotθ .

Σε ακραίες κρίσιμες περιοχές μήκους 1 m: sw < 8×14 = 112 mm: Φ6/110 (514 mm2/m)

Για cotθ = 2.5: VRd,s = 478 kN > 362 kN

Εκτός κρισίμων: minw=0.08√20/500=0.000716, minAsw/s=0.000716×400×1000=286

mm2/m; για Φ6: s < 197 mm:

Δοκός στενών πλευρών Φ6/200 (283 mm2/m). w= 283/(200×400) = 0.000708 ~minw

Για cotθ = 2.5: VRd,s = 263 kN > 165.5 kN

Μεγάλου μήκους δοκοί: Φ6/150 (377 mm2/m).

Για cotθ = 2.5: VRd,s = 351 kN ~ 362 kN

Παράδειγμα: Σεισμικός Σχεδιασμός κλιμακοστασίου και θεμελίωσης

H

H

H

W

W

W

W

F =2x(6/7)εW6

F =2x(4/7)εW4

W

W

F =2x(5/7)εW5

F =2x(3/7)εW3

F =2x(2/7)εW2

F =(2/7)εW1

Υποστυλώματα A

B

B

A

A1.5m

A

A

1.5m

B

B3

.0m

0.1m M

Το κλιμακοστάσιο 3-όροφου κτιρίου φαίνεται στην κάτοψη και τομή του Σχήματος.

(α) Ζητείται η διαστασιολόγηση των βραχιόνων και των πλατυσκάλων με βάση την οριακή

κατάσταση αστοχίας. Η στήριξη βραχιόνων και πλατυσκάλων γίνεται σε δοκούς ΑΑ (πλάτος

0.3m) οι οποίες στηρίζονται σε υποστυλώματα 0.25x0.25m στις θέσεις Α.

(β) Στους ημιορόφους του κλιμακοστασίου ασκούνται οριζόντιες σεισμικές δυνάμεις με

τριγωνική καθ’ ύψος κατανομή (αριστερά στο Σχήμα) με σεισμικό συντελεστή βάσης ε=0.15

και βάρος ημιορόφου W=70kN. Η συνολική σεισμική τέμνουσα κάθε ημιορόφου είναι το

227

άθροισμα των οριζοντίων δυνάμεων από εκεί και πάνω. Οι σεισμικές δυνάμεις δρουν

χωριστά στις 2 οριζόντιες διευθύνσεις. Ζητείται η διαστασιολόγηση των βραχιόνων της

σκάλας και των στοιχείων στήριξής της (υποστυλώματα και δοκοί, αν εντείνονται από το

σεισμό) για το συνδυασμό G+ψ2Q+E, με τη σεισμική ένταση Ε (με + και -) που προκύπτει

από την εφαρμογή των ανωτέρω δυνάμεων, θεωρώντας ότι το κατακόρυφο φορτίο, W, ανά

ημιόροφο κατανέμεται ομοιόμορφα στα στοιχεία στήριξης της σκάλας, προκαλώντας στα

υποστυλώματα μόνο αξονική δύναμη. Η διαστασιολόγηση να περιορισθεί στον κατώτατο

ημιόροφο, όπου ο βραχίονας θεωρείται πακτωμένος στο θεμέλιό του.

Η συμβολή των βραχιόνων της σκάλας στην ανάληψη των σεισμικών δυνάμεων να ληφθεί

ως εξής:

Οταν οι σεισμικές δυνάμεις δρουν σε επίπεδο παράλληλο στον άξονα της σκάλας, οι

βραχίονες αναπτύσσουν αξονικές δυνάμεις μόνο (εφελκυσμό ή θλίψη), για τις οποίες θα

πρέπει να διαστασιολογηθούν μαζί με την ένταση (ροπή κάμψης) λόγω G+ψ2Q.

Οταν οι σεισμικές δυνάμεις δρουν σε οριζόντια διεύθυνση κάθετη στον άξονα των

βραχιόνων, οι βραχίονες να θεωρηθούν ως λοξά τοιχώματα πακτωμένα μέσα στο επίπεδό

τους στις στάθμες των πλατυσκάλων, τα οποία αναλαμβάνουν το σύνολο της σεισμικής

τέμνουσας στην αντίστοιχη στάθμη και χρειάζεται να διαστασιολογηθούν σε κάμψη και

διάτμηση.

(γ) Ζητείται ο σχεδιασμός της θεμελίωσης των 4 υποστυλωμάτων του κλιμακοστασίου. Να

εξετασθούν διάφορες εναλλακτικές λύσεις για ένα ή περισσότερα κοινά πέδιλα για τον

κατώτατο βραχίονα και τα υποστυλώματα. Στο σχεδιασμό αυτό να ληφθεί υπόψη χωριστά η

σεισμική δράση κάθετα στον άξονα της σκάλας και χωριστά παράλληλα στον άξονα της

σκάλας, και στις δύο περιπτώσεις με πρόσημα + και – για το σεισμό.

Η σεισμική ένταση στη θεμελίωση και στα στοιχεία στήριξης της σκάλας, να υπολογισθεί

κατά τρόπο συμβατό με τον υπολογισμό της σεισμικής έντασης στους βραχίονες.

Υψος ορόφου Η=3.5m. ψ2=0.3. Υλικά: C16/20, S500. Φορτία επιστρώσεων κ.λ.π.: 1kN/m2

οριζ. επιφάνειας. Κινητά φορτία: 3.5kN/m2 οριζ. επιφάνειας, Πάτημα βαθμίδας 280mm, ρίχτι

βαθμίδας 170mm. Eπικάλυψη οπλισμών με σκυρόδεμα 25mm. Υψος επίχωσης πεδίλων:

μηδέν. Βάθος θεμελίωσης: ύψος πεδίλου. Εδαφος: άργιλλος με cud=90kPa, ks=35MPa/m,

γεδ=21kN/m3. Να θεωρηθεί ότι ισχύουν οι κανόνες του ΕΚ8 για Κατηγ. Πλαστιμότητας Μ.

Λύση:

(α) Κλίση σκάλας: tanθ=0.17/0.28=0.607 cosθ=0.855

L=0.5H/tanθ=0.5x3.5/0.607=2.9m

Για βραχίονες: daL/30=0.6x2.9/30=0.058m

Για πλατύσκαλα: d2.4x1.35/30=0.108m

228

Ενιαίο h0.108+0.025+0.010/2=0.138m. Εστω h=0.14m

Βραχίονες:

gιβ=25x(h/cosθ+s/2)=25x(0.14/0.855+0.17/2)=6.22kN/m2 οριζ. προβολής

gβρ=6.22+1=7.22kN/m2 οριζ. προβολής

Φορτίο σχεδιασμού βραχίονα:

qd,βρ=1.35g+1.5q=1.35x7.22+1.5x3.5=15kN/m2 οριζ. προβολής

Πλατύσκαλο:

gιβ =25x0.14+1=4.5kN/m2

Φορτίο σχεδιασμού πλατυσκάλων: qd,πλ=1.35x4.5+1.5x3.5=11.32kN/m2

Στο άνοιγμα, για φόρτιση πλατυσκάλων με gπλ=4.5kN/m2:

Mαν=15x2.92/8-4.5x1.35

2/2=11.67kNm/m, μsd=11.67/(0.112x16000/1.5)=0.0904,

ω=0.096, Αs=0.096x1000x110x(16/1.5)/(500/1.15)=259mm2/m.

Στη στήριξη: Μστ=11.32x1.352/2=10.32kNm/m, μsd=10.32/(0.11

2x16000/1.5)=0.08,

ω=0.084, Αs=0.084x1000x110x(16/1.5)/(500/1.15)=227mm2/m.

Η ροπή είναι μέγιστη στην πάκτωση του κατώτατου βραχίονα στο πέδιλό του, όπου

είναι:

Mστ=15x2.92/8-0.5x4.5x1.35

2/2=13.72kNm/m, μsd=13.72/(0.11

2x16000/1.5)=0.106,

ω=0.114, Αs=0.114x1000x110x(16/1.5)/(500/1.15)=308mm2/m.

Αs,min=0.0015x1000x110=165mm2/m, ή Φ8/(1.5d=)165: 305mm

2/m.

Τοποθετούνται παντού Φ8/165 mm2/m (και στο άνοιγμα, και στη στήριξη, με

πρόσθετα για τις στηρίξεις Φ8/330). Οι οπλισμοί αυτοί αντιστοιχούν σε ω=0.113.

(β) Σεισμική τέμνουσα κατώτατου ημιορόφου:

Τέμνουσα βάσης Vb=ε(6W)=0.15x6x70=63kN

β.1) Για σεισμική δράση παράλληλα στον άξονα:

Η συνολική σεισμική τέμνουσα αναλαμβάνεται από τους βραχίονες, με αξονική

δύναμη N=Vb/cosθ=63/0.855=73.7kN.

Διαστασιολόγηση βραχιόνων:

Η λόγω G+ψ2Q ροπή κάμψης βραχιόνων στην πάκτωση στο θεμέλιο είναι:

Μστ,g+ψ2q=(7.22+0.3x3.5)x2.92/8-0.5x(4.5+0.3x3.5)x1.35

2/2=6.17kNm/m.

Η διατομή στήριξης χρειάζεται να διαστασιολογηθεί για Μ=6.17kNm/m και

N=73.7/(2.9/2)=50.8kN/m (εφελκυσμός), όπου 2.9/2=1.45m είναι το πλάτος του

βραχίονα.

Ροπή ως προς τη στάθμη του οπλισμού: Msd=M-ysN=6.17-(0.07-0.03)x50.8=

4.14kNm/m, μsd=4.14(0.112x16000/1.5)=0.032,

ω=0.0327+50.8/ (1.0x0.11x16000/1.5)(:νd)=0.076.

229

Επειδή η τιμή ω που απαιτείται είναι μικρότερη από αυτή για την οποία

διαστασιολογήθηκε η σκάλα για τα κατακόρυφα φορτία, αρκεί ο οπλισμός που

τοποθετήθηκε στο (α): Φ8/165 (305mm2/m).

Διαστασιολόγηση στοιχείων στήριξης:

Εντείνονται από το σεισμό μόνον τα υποστυλώματα, με αξονικές δυνάμεις

εφελκυσμού ή θλίψης λόγω της σεισμικής ροπής ανατροπής.

Ροπή ανατροπής στη βάση: Mover=(2/3)x3HxVb=2x3.5x63=441kNm.

Αξονικές δυνάμεις στα υποστυλώματα: 2NE=Mover/L άρα NE=441/2x2.9=76kN.

Αξονική δύναμη κάθε υποστυλώματος λόγω κατακορύφων φορτίων:

Ng+ψ2q=6W/4=6x70/4=105kN.

Αρα ο σεισμός προκαλεί στα υποστυλώματα μέγιστη αξονική δύναμη θλίψης

Nmax=105+76=181kN και ελάχιστη: Nmin=105-76=29kN.

Η διατομή του υποστυλώματος αναπτύσσει, υπό τη μέγιστη δύναμη θλίψης,

ανηγμένη αξονική δύναμη: νd=181/(0.252x16000/1.5)=0.27, η οποία είναι πολύ

μικρότερη της οριακής τιμής νd=0.65 που επιτρέπεται υπό σεισμικές δράσεις για

Κατηγ. Πλαστιμότητας Μ.

Αν η ελάχιστη αξονική δύναμη ήταν εφελκυστική, θα έπρεπε να διαστασιολογηθεί γι’

αυτήν ο κατακόρυφος οπλισμός των υποστυλωμάτων, λειτουργώντας με τάση fyd.

Επειδή προκύπτει θλιπτική, τοποθετείται ο ελάχιστος οπλισμός των τριών ράβδων

ανά πλευρά: 8Φ12=905mm2 ρ=1.48% > ρmin=1%. Ο ελάχιστος οπλισμός θα

επαρκούσε για να αναλάβει σε καθαρό εφελκυσμό αξονική δύναμη:

905x500/1.15x10-3

= 393kN.

β.2) Σεισμική δράση κάθετα στον άξονα:

Ο κατώτερος βραχίονας αναλαμβάνει τη συνολική σεισμική τέμνουσα ως τέμνουσα

δύναμη V=63kN. Επειδή θεωρείται πακτωμένος στα άκρα του για κάμψη μέσα στο

επίπεδό του, αναπτύσσει εκεί ροπές κάμψης ίσες με V επί το μισό του λοξού του

μήκους, L/(2cosθ)=2.9/(2x0.855)=1.7m, δηλ. με Μ=63x1.7=107kNm. Οι ροπές αυτές

έχουν διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο του βραχίονα.

Διαστασιολόγηση βραχίονα σε κάμψη, σαν (λοξό) τοίχωμα:

Ο οπλισμός του βραχίονα είναι Φ8/165, δηλ. 9Φ8 ισοκατανεμημένα σε πλάτος

8x0.165=1.32m του βραχίονα, αφήνοντας (1.45-1.32)/2=0.065m δεξιά-αριστερά,

μέχρι το άκρο του πλάτους του βραχίονα.

Η διατομή του τοιχώματος θεωρείται ως ορθογωνική, με ύψος h=1.45m, πλάτος

b=0.14m, Ν=0 και οπλισμό 9Φ8=452.4mm2. Τα 9Φ8/165 καταλαμβάνουν θεωρητικά

9x0.165=1.485m στη διεύθυνση του πλάτους του βραχίονα. Δηλαδή, αν θεωρηθούν

230

ως οπλισμός ισοκατανεμημένος καθ’ ύψος της διατομής, τότε αρχίζουν και

τελειώνουν σε απόσταση d1=(1.45-1.485)/2=-0.0175m από τα άκρα της διατομής.

Στη διατομή του βραχίονα ασκείται και ροπή κάμψης με διάνυσμα οριζόντιο, λόγω

των φορτίων g+ψ2q. Η τιμή της ροπής αυτής στη διατομή βάσης (στην πάκτωση στο

πέδιλο) υπολογίσθηκε ανωτέρω ίση με 6.17kNm/m, που δίνει (για Ν=0):

μsd=(6.17/13.72)x0.106=0.0477, που αντιστοιχεί σε ω=0.0491, δηλ. σε

As=(0.0491/0.114)x308=133mm2/m. Η ταυτόχρονη καταπόνηση της διατομής του

βραχίονα από τις δύο (κάθετες μεταξύ τους) συνιστώσες της ροπής μπορεί να ληφθεί

υπόψη προσεγγιστικά, αφαιρώντας τη διατομή του οπλισμού που χρειάζεται για την

ανάληψη της συνιστώσας λόγω φορτίων g+ψ2q, δηλαδή τα 133mm2/m, από τη

διατιθέμενη διατομή των (Φ8/165) 305mm2/m, αφήνοντας διαθέσιμο για την άλλη

συνιστώσα της ροπής οπλισμό: 305-133=172mm2/m, δηλαδή συνολικά:

1.45x172=249.4mm2.

Η ροπή αντοχής της διατομής, MRd, μπορεί να υπολογισθεί κατά την §4.13.2, με

ω1=0, ν=0, d1=-0.0175m, ω2=249.4/(140x1450)x(500/1.15)/(16/1.5)=0.05

(εφαρμόζεται η περίπτωση Ι, στην οποία και ο εφελκυόμενος και ο θλιβόμενος

οπλισμός είναι σε διαρροή, επειδή για ν=0 στην αστοχία και τα δύο άκρα της

διατομής θα ξεπερνούν την παραμόρφωση διαρροής του χάλυβα,

εyd=500/(1.15x200000)=0.217%):

Είναι: ω’2=ω2/(1-2d1/h)=0.05/(1+2x0.0175/1450)=0.0488 και η εξ.(4.76) δίνει:

ξ=0.0488/(0.688+2x0.0488)=0.062, οπότε από τον εξ. (4.78), για d1/h=-0.0175/1.45=-

0.012, προκύπτει: μRd=0.344x0.062x(1-0.832x0.062)+

0.0488x[(0.062+0.012)(1-0.062+0.012)-(0.062x(500/1.15)/700)2/3]=0.024, οπότε

MRd=0.024x0.14x1.452x16000/1.5= 75.4kNm. Σημειωτέον ότι για ν=0 ικανοποιείται

η εξ. (4.79), που δίνει για τα όρια ισχύος της §4.13.2(Ι): 0.442>ν>-0.075.

Εναλλακτικά της ανωτέρω μεθόδου, εφαρμόζεται η προσεγγιστική μέθοδος της

§11.3.2, εξ. (11.29), (11.30), για τη ροπή αντοχής τοιχωμάτων με οπλισμό

ισοκατανεμημένο στον κορμό τους:

Από εξ. (11.29):

x=1.45x249.4x500/1.15/(2x249.4x500/1.15+0.68x140x1450x16/1.5)=0.093m. (H

τιμή ξ=0.066 που υπολογίσθηκε παραπάνω δίνει x=0.066x1.45=0.0955m).

Από εξ. (11.30): MRd=0.5x249.4x(500/1.15)x(1.45-0.0955)x10-3

=73.4kNm, που δεν

διαφέρει σημαντικά από την προηγούμενη εκτίμηση.

Επειδή MRd<107kNm, δεν επαρκεί ο οπλισμός του βραχίονα. Από την εξ. (11.31)

μπορεί να υπολογισθεί πρόσθετος οπλισμός στα άκρα του πλάτους του βραχίονα:

231

As,ακρ=(107-73.4)x10-3

/(500/1.15)/(1.45-0.13)=58.5mm2.

Τοποθετείται 1Φ8 (50.3mm2) σε κάθε άκρο, στην ίδια θέση κατακόρυφα με τα

ακραία Φ8 από τα 9Φ8/165, αλλά στην απέναντι επιφάνεια της διατομής της σκάλας.

Ελέγχεται κατόπιν η επάρκεια της διατομής με την ακριβή διαδικασία της §4.13.2(Ι),

με τιμή ω10 στην εξ. (4.78). Τα Φ8 σε απόσταση d1=0.065m από κάθε άκρο δίνουν:

ω1=2x50.2x(500/1.15)/(140x1450x16/1.5)=0.02, συμβάλλοντας στην εξ. (4.78) κατά

0.05x0.02x(1-2x0.065/1.45)=0.09, οπότε τελικά μRd=0.024+0.09=0.033, και

MRd=75.4x0.033/0.024=104kNm ~ OK.

Εναλλακτικά, θα μπορούσε να αυξηθεί ο ισοκατανεμημένος οπλισμός του βραχίονα

πέραν των Φ8/165 και να εφαρμοσθεί η προηγούμενη διαδικασία.

Διαστασιολόγηση βραχίονα σε τέμνουσα, ως λοξό τοίχωμα.

Θεωρούμε ότι στις διατομές του βραχίονα στις στηρίξεις στο πλατύσκαλο και στο

πέδιο αναπτύσσεται η ροπή αντοχής του: MRwo=104kNm (όπως υπολογίσθηκε

παραπάνω για το διατιθέμενο οπλισμό) με διάνυσμα κάθετο στο βραχίονα. Η

τέμνουσα σχεδιασμού υπολογίζεται θεωρώντας το βραχίονα σαν λοξό υποστύλωμα

μήκους H/cos= 3.4m. Άρα VCD=1.1x104/3.4=67.3kN

Η διαστασιολόγησή των βραχιόνων σε διάτμηση γίνεται ως σε ΕΚ2:

VRd = 0.8lw (Asw/s) fywd cot με 1.0 cot 2.5, Vcd=0

VRd,max = 0.24(1-fck(MPa)/250)bwolwfcdsin2, 21.8o 45

o

Asw/s=67.3/(0.8x1.45x2.5x500/1.15)x103=53.4mm

2/m. Αρκεί μία στρώση (στο ένα

πέλμα) Φ8/250 (201mm2/m) κατά το πλάτος του βραχίονα, ως δευτερεύων οπλισμός,

με την προϋπόθεση ότι το άκρο τους διαμορφώνεται κατάλληλα για πλήρη αγκύρωση

(ορθογωνικό άγκιστρο κατά τη διεύθυνση του πάχους του βραχίονα).

=21.8o

→ VRd,max = 0.24(1-16/250)x0.14x1.45x(16000/1.5)x0.69=335.6kN > VCD =

67.3 kN

Ως διαμήκεις οπλισμοί επαρκούν τα Φ8/165 (305mm2/m).

Διαστασιολόγηση στοιχείων στήριξης.

Οπως και για σεισμό παράλληλα στον άξονα της σκάλας, η ένταση περιορίζεται σε

αξονικές δυνάμεις στα υποστυλώματα, λόγω ροπής ανατροπής. Ομως οι δυνάμεις

αυτές υπολογίζονται από τη ροπή ανατροπής στη στάθμη του μισού του ύψους του

κατώτατου ορόφου, όπου η σεισμική ροπή κάμψης στο βραχίονα, θεωρούμενου ως

αμφίπακτου στις στάθμες των πλατυσκάλων, είναι μηδέν:

Ροπής ανατροπής: Vb(2/3x(3H)-H/4)=(7/4)VbH=(7/4)x63x3.5=386kNm, άρα N=

0.5x385.9/(3-0.25)=70.2kN.

Επειδή η τιμή της αξονικής δύναμης είναι μικρότερη από την αντίστοιχη για σεισμό

232

παράλληλα στον άξονα της σκάλας (: 76kN) δεν χρειάζονται περαιτέρω έλεγχοι.

(γ) Επιλογή γεωμετρίας πεδίλων ώστε να λειτουργούν ως δύσκαμπτα.

Εξετάζεται ως αρχική επιλογή ένα κοινό πέδιλο για το βραχίονα και τα δύο δεξιά

υποστυλώματα. Για τη διευκόλυνση των υπολογισμών θα πρέπει η επιλογή του ύψους

του, h, να δικαιολογεί το χαρακτηρισμό του ως δύσκαμπτη πεδιλοδοκό. Για πέδιλο

σταθερού πλάτους b στη διεύθυνση κάθετα στον άξονα της σκάλας είναι: λ=

(ksb/4EcI)1/4

=(3ks/Ech3)1/4

καθότι I=bh3/12. Για να χαρακτηρισθεί το κοινό πέδιλο ως

δύσκαμπτη πεδιλοδοκός, θα πρέπει λL<1.0, οπότε και το μήκος L συνιστάται να είναι

όσο γίνεται μικρότερο. Επιλέγεται L=3.0m, δηλαδή κοινό πέδιλο από εξωτερική

παρειά σε εξωτερική παρειά των δύο δεξιά υποστυλωμάτων. Οπότε, για ks=35MPa/m,

Ec=27500MPa και L=3.0m, πρέπει 3x35/(27500h3)<(1/3)

4, που δίνει h0.676m,

εφόσον η μέγιστη διάσταση του πεδίλου δεν ξεπερνά τα 3.0m. Αν η μέγιστη διάσταση

του κοινού πεδίλου είναι L=5.0, τότε, για να θεωρηθεί το πέδιλο ως δύσκαμπτο,

πρέπει h1.3m. Λαμβάνεται τελικώς L=3.0m και h=0.7m.

Χάριν απλότητας και επειδή προσφέρεται καλύτερα για τη μεταφορά της σεισμικής

έντασης στο πέδιλο, επιλέγεται ένα κοινό πέδιλο και για τα δύο αριστερά

υποστυλώματα, αντί δύο χωριστά. Μετά από τις επιλογές αυτές, θα εξετασθεί και ένα

κοινό πέδιλο και για τα 4 υποστυλώματα και το βραχίονα της σκάλας.

γ.1) Σεισμός κάθετα στον άξονα της σκάλας:

Το κοινό πέδιλο των δύο δεξιά υποστυλωμάτων και του βραχίονα μεταφέρει στο

έδαφος:

1. Το μισό της κατακόρυφης δύναμης του κλιμακοστασίου:

0.5x6W=3W=210kN, συν το βάρος του πεδίλου.

2. Το σύνολο της σεισμικής τέμνουσας βάσης, Vb=63kN, η οποία μεταφέρεται

στο πέδιλο μέσω του κατώτατου βραχίονα.

3. Σεισμική ροπή ανατροπής ως προς τη στάθμη θεμελίωσης, που προέρχεται

από τα δύο υποστυλώματα και από τη σεισμική τέμνουσα του βραχίονα. Η

ροπή ανατροπής που μεταφέρεται από τα δύο υποστυλώματα ισούται με τη

σεισμική αξονική τους δύναμη, NE=70.2kN, επί την απόστασή τους, 2.75m,

δηλαδή 193kNm. Η ροπή ανατροπής λόγω της τέμνουσας του κατώτατου

βραχίονα Vb=63kN ισούται με επί την απόσταση του μέσου του ύψους του

από τη στάθμη θεμελίωσης: H/4+hπεδ=3.5/4+0.7=1.575m, δηλαδή με

99.2kNm. Σύνολο 292.2kNm.

4. Στατική ροπή (δηλαδή με σταθερό πρόσημο) στη βάση του βραχίονα λόγω

G+ψ2Q, ίση με 6.17kNm/mx1.45=8.95kNm, με διάνυσμα ροπής κάθετο προς

233

αυτό της ροπής ανατροπής στον άξονα της σκάλας.

Τα σεισμικά εντατικά μεγέθη πρέπει να πολλαπλασιασθούν επί τον ικανοτικό

συντελεστή, αCD=1.2MRd/ME της εξ. (12.27), ο οποίος υπολογίζεται με βάση τις ροπές

στη βάση του βραχίονα (εκεί δηλαδή που μπορεί να σχηματισθεί καμπτική πλαστική

άρθρωση): αCD=1.2x106.9/107=1.2. Εναλλακτικά και απλοποιητικά, θα μπορούσε να

χρησιμοποιηθεί αCD=1.4, καθότι πρόκειται για κοινό πέδιλο περισσοτέρων του ενός

στοιχείων.

Το κοινό πέδιλο των δύο αριστερά υποστυλωμάτων μεταφέρει στο έδαφος

κατακόρυφη δύναμη 210kN κατά το ανωτέρω 1, και τη ροπή ανατροπής 193kNm από

τα δύο υποστυλώματα, χωρίς όμως σεισμική τέμνουσα (ανωτέρω 2).

Εστω b το προς επιλογή πλάτος του κοινού πεδίλου (διάσταση παράλληλα στον

άξονα της σκάλας). Γίνεται πρώτα η διαστασιολόγηση του κοινού πεδίλου των

αριστερά υποστυλωμάτων, ως απλούστερη λόγω της απουσίας τέμνουσας.

Λαμβάνεται ύψος πεδίλου hπεδ=0.7m.

Ροπή στη βάση πεδίλου: Μ=1.2x193=231.6kNm.

Βάρος πεδίλου: 25x0.7x3b=52.5b

Εκκεντρότητα: e=231.6/(210+52.5b).

Για να είναι e<L/3=1m (που δεν απαιτείται), χρειάζεται b0.41m.

Ομοιόμορφη τάση στη βάση πεδίλου:

σ=(210+52.5b)/[b(3-2x231.6/(210+52.5b))]

Φέρουσα ικανότητα πεδίλου (για τάση λόγω βάρους εδάφους στη στάθμη

θεμελίωσης: 21x0.7=14.7kN/m2):

qud=14.7+(π+2)x90{1+0.2b/[3-2x231.6/(210+52.5b)]}.

Αν το κλάσμα που πολλαπλασιάζει το 0.2 μέσα στην αγκύλη ληφθεί ίσο με 1.0, η

σχέση σ<qud δίνει 2-βάθμια εξίσωση ως προς b, η επίλυση της οποίας δίνει b0.41m.

Η πραγματικά απαιτούμενη τιμή είναι μεγαλύτερη: b0.45m, επειδή ο όρος που

πολλαπλασιάζει το 0.2 είναι λίγο μικρότερος του 1.0.

Το κοινό πέδιλο των δύο δεξιά υποστυλωμάτων και της σκάλας χρειάζεται να

διαστασιολογηθεί για ροπή στη βάση στη διεύθυνση της μεγάλης διάστασης (3.0m):

Μ=1.2x292.2=350.6kNm και για οριζόντια δύναμη V=1.2x63=75.6kN. Στην άλλη

διεύθυνση (αυτή της μικρής διάστασης b) ασκείται η στατική ροπή 8.95kNm, λόγω

της κάμψης του βραχίονα. Για ύψος πεδίλων πάλι hπεδ=0.7m, ex=350.6/(210+52.5b),

ey=8.95/(210+52.5b), η τάση στη βάση του πεδίλου είναι:

σ=(210+52.5b)/{[b-2x8.95/(210+52.5b)][3-2x350.6/(210+52.5b)]}

και η φέρουσα ικανότητα:

234

qud=14.7+(π+2)x90x{1+0.2[3-2x350.6/(210+52.5b)]/[b-2x8.95/(210+52.5b)]}

x0.5x{1+[1-75.6/[90[b-2x8.95/ (210+52.5b)] [3-2x350.6/(210+52.5b)]]]1/2

}.

Για να είναι το υπόρριζο στον τελευταίο όρο θετικό, που σημαίνει να μην έχουμε

αστοχία του εδάφους λόγω της τέμνουσας και μόνο, πρέπει b>1.52m. Η τιμή

b=1.55m δίνει σ=329.8kPa έναντι qud=329.3kPa. Αρα b=1.55m επαρκεί.

Εναλλακτικά εξετάζεται ένα κοινό στοιχείο θεμελίωσης, διαστάσεων κάτοψης

3.0x3.15m και ύψους hπεδ=0.7m, και για τα 4 υποστυλώματα και το βραχίονα της

σκάλας. Τα εντατικά μεγέθη είναι το άθροισμα αυτών που ασκούνται στα δύο

προηγούμενα χωριστά πέδιλα. Λαμβάνοντας το ίδιο ύψος πεδίλου, hπεδ=0.7m,

προκύπτει:

- Κατακόρυφη δύναμη: Ν=420+25x3.0x3.15x0.7=585.4kN

- Στατική ροπή: My=8.95kNm

- Ροπή ανατροπής: Mx=1.2Vb(2H+hπεδ)=1.2x63x7.7=582.1kNm

- Τέμνουσα: 75.6kN

Εκκεντρότητα: ex=582.1/585.4=0.99m, ey=8.95/585.4=0.015m

Διαστάσεις πεδίλου, μειωμένου λόγω της διπλής εκκεντρότητας:

(3.15-2x0.015)x(3-2x0.99)=3.12x1.02m, σ=585.4/(3.12x1.02)=183.9kPa

Φέρουσα ικανότητα:

qud=14.7+(π+2)x90x(1+0.2x1.02/3.12)x0.5x[1+[1-75.6/(90x3.12x1.02)]1/2

]=

472.7kPa > 183.9kPa.

γ.2) Σεισμός παράλληλος στον άξονα της σκάλας.

Πρέπει να υπολογισθεί ο ικανοτικός συντελεστής αCD=1.2MRd/ME με τον οποίο

χρειάζεται να πολλαπλασιασθούν τα σεισμικά εντατικά μεγέθη από την ανάλυση για

τον υπολογισμό της θεμελίωσης. Στην προκειμένη περίπτωση ο σεισμός δεν προκαλεί

ροπές κάμψης, αλλά αξονική δύναμη ΝΕ=50.8kN/m στο βραχίονα, στη διατομή

σύνδεσής του με το θεμέλιο. Πρέπει λοιπόν να υπολογισθεί ο αCD ως αCD=1.2ΝRd/ΝE,

όπου ΝRd η αξονική δύναμη που προκαλεί καμπτική αστοχία της διατομής στήριξης

του βραχίονα στο θεμέλιο, για τον οπλισμό που τοποθετήθηκε εκεί (Φ8/165,

ω=0.113, καθώς το 1Φ8 επιπλέον στο κάθε άκρο της διατομής, τοποθετείται στο

κάτω, δηλαδή θλιβόμενο, πέλμα, και αγνοείται για την αντοχή της διατομής σε

συνδυασμό εφελκυσμού και κάμψης).

Αναζητείται η τιμή της ανηγμένης αξονικής δύναμης που εξαντλεί την καμπτική

αντοχή της διατομής για ω=0.113 και ταυτόχρονη ροπή Mg+ψ2q=6.17kNm/m

(μd=6.17/(0.112x16000/1.5)=0.0478):

0.113=νd+(1-{1-2.4[0.0478-(0.04/0.11)νd]}1/2

)/1.2, που δίνει ως 2-βάθμια: νd=0.1024

235

(εφελκυσμός).

Αρα ΝRd=0.1024x0.11x16000/1.5=120kNm/m και αCD=1.2x120/50.8=2.835.

Η τιμή αυτή του αCD ισχύει όταν ο κατώτατος βραχίονας είναι σε εφελκυσμό, οπότε η

ροπή ανατροπής προκαλεί στα αριστερά υποστυλώματα και το πέδιλό τους θλίψη, και

στα δεξιά εφελκυσμό. Στην περίπτωση που η σεισμική δράση έχει αντίθετη φορά,

προκαλώντας εφελκυσμό στα αριστερά υποστυλώματα και θλίψη στα δεξιά, τότε

κρίσιμος είναι σε εφελκυσμό (συν κάμψη λόγω G+ψ2Q) ο βραχίονας του αμέσως

ανωτέρω ημι-ορόφου, όπου αναπτύσσεται τέμνουσα ορόφου Vb-2/7εW=εW(6-

2/7)=(40/42)Vb. Αρα και η σεισμική αξονική δύναμη είναι τα 40/42 αυτής του

κατωτάτου βραχίονα, δηλαδή (40/42)x50.8=48.4kN/m.

Οι ροπές λόγω G+ψ2Q στο βραχίονα αυτό είναι:

- στη στήριξη: (4.5+0.3x3.5)x1.352/2=5.06kNm/m,

- στο άνοιγμα: (7.22+0.3x3.5)x2.92/8-5.06=3.64kNm/m

Κρίσιμη είναι η στήριξη, όπου μd=5.06/(0.112x16000/1.5)=0.0392.

Η σχέση: 0.113=νd+(1-{1-2.4[0.0392-(0.04/0.11)νd]}1/2

)/1.2 δίνει νd=0.116 άρα

NRd=136kN/m και αCD=1.2x136/48.4=3.37.

Οπως και στην περίπτωση της σεισμικής δράσης κάθετα στον άξονα της σκάλας,

εξετάζεται αν είναι εφικτή η θεμελίωση με ένα (κοινό) πέδιλο για τα δύο αριστερά

υποστυλώματα και ένα δεύτερο (κοινό) για τα δύο δεξιά και το βραχίονα της σκάλας.

Για να αποφύγει την ανύψωση το κοινό πέδιλο των δύο αριστερά υποστυλωμάτων

όταν οι σεισμικές ροπές των υποστυλωμάτων αυτών είναι εφελκυστικές, πρέπει να

έχει βάρος τουλάχιστον ίσο με τη δύναμη ανύψωσης, δηλαδή: 210+52.5b3.37x2x76

b5.75m!!

Αντιθέτως, αν το αCD των κοινών πεδίλων είχε θεωρηθεί ίσο με αCD=1.4, δεν θα

υπήρχε πρόβλημα ανύψωσης.

Για να είναι η εκκεντρότητα στη βάση του κοινού πεδίλου των δύο δεξιά

υποστυλωμάτων και του βραχίονα μικρότερη του μισού του πλάτους του πεδίλου,

ώστε να μην προκύπτει μηδενική επιφάνεια μειωμένου πεδίλου όταν τα αντίστοιχα

υποστυλώματα είναι σε εφελκυσμό, πρέπει, για τη ροπή της σεισμικής τέμνουσας

Vb=63kN ως προς τη βάση του πεδίλου (με hπεδ=0.7m), 2.835x63x0.7=125kNm συν

την ομόρροπη στατική ροπή λόγω G+ψ2Q στη βάση του βραχίονα, 8.95kNm, να

είναι:

e=(125+8.95)/(210+52.5b-2.835x2x76)<b/2, δηλαδή b5.2m

Ενώ αν ήταν αCD=1.4 θα χρειαζόταν b1.7m.

Είναι λοιπόν πιο πρακτική η χρήση ενός κοινού πεδίλου για όλα τα στοιχεία, πλάτους

236

κάθετα στον άξονα της σκάλας 3m και μήκους b. Με βάση τους ανωτέρω

υπολογισμούς για τα δύο χωριστά πέδιλα, εκτιμάται ότι η μέγιστη διάσταση του

κοινού πεδίλου θα είναι περίπου 5m. Για να θεωρηθεί ένα τέτοιο πέδιλο ως

δύσκαμπτο, χρειάζεται πάχος περίπου 1.3m. Εστω λοιπόν ότι το πάχος του είναι:

hπεδ=1.3m.

Για τη δυσμενέστερη περίπτωση που τα αριστερά υποστυλώματα είναι σε εφελκυσμό,

είναι αCD=3.37 και:

Η ροπή ανατροπής ισούται με: 3.37x63x8.3=1762.2kNm, στην οποία προστίθεται η

στατική ροπή στη βάση του βραχίονα, 8.95kNm. Αρα Μ=1771kNm.

Η οριζόντια δύναμη ισούται με: 3.37x63=212.3kN και

Η κατακόρυφη δύναμη ισούται με: 420+25x3x1.3xb=420+97.5b

Για να είναι η εκκεντρότητα μικρότερη του b/2, ώστε η μειωμένη επιφάνεια πεδίλου

να μην είναι μηδενική, πρέπει: e=1771/(420+97.5b)b/2 b4.25m

Ενώ αν αCD=1.4, δεν υπάρχει πρόβλημα ακόμη και αν επιλεγεί η ελάχιστη διάσταση

του κοινού πεδίλου, b=3.15m, ακόμη και αν το πάχος πεδίλων ήταν hεπ=0.7m.

Η ορθή τάση στο μειωμένων διαστάσεων πέδιλο είναι:

σ=(420+97.5b)/[3x(b-2x1771/(420+97.5b))]

και η φέρουσα ικανότητα:

qud=21x1.3+(π+2)x90x{1+0.2[b-2x1771/(420+97.5b)]/3}x0.5x{1+[1-212.3/(90x3(b-

2x1771/(420+97.5b)))]1/2

}

Για να είναι το υπόρριζο στον τελευταίο όρο θετικό, δηλαδή για να μην έχουμε

διατμητική αστοχία του εδάφους στη διεπιφάνεια με το πέδιλο, πρέπει b4.8m. Η

τιμή b=4.85m (δηλαδή πέδιλο που να φθάνει μέχρι 0.85m πέρα από το άκρο των

υποστυλωμάτων), πρακτικώς εξαντλεί την τιμή σχεδιασμού της διατμητικής αντοχής

του εδάφους σε οριζόντιο επίπεδο, δίνει δε: σ=337kPa < qud=353kPa.

Τελικώς, επιλέγεται κοινό πέδιλο, διαστάσεων κάτοψης 3x4.85m, πάχους 1.3m. Το

πέδιλο αυτό καλύπτει προφανώς και τις απαιτήσεις για σεισμό κάθετα στον άξονα της

σκάλας.

Διαστασιολόγηση πεδίλου σε διάτμηση και κάμψη

Δυσμενέστερη ασφαλώς είναι η διεύθυνση του σεισμού παράλληλα στον άξονα της

σκάλας, καθώς συνδέεται με υψηλότερη τιμή του αCD=3.37. Για σεισμό που προκαλεί

εφελκυσμό στα δεξιά υποστυλώματα, είναι αCD=3.37, ex=1771/892.9=1.985m, οπότε

η “ενεργός” περιοχή για γραμμική κατανομή τάσεων φθάνει μέχρι απόσταση από το

άκρο του πεδίλου: x=3(b/2-e)=1.325m, δηλαδή, μόλις 1.325-0.85-0.25=0.225m από

την εσωτερική παρειά των δεξιά υποστυλωμάτων.

237

Η τέμνουσα του πεδίλου ελέγχεται σε 2 διατομές:

Σε απόσταση d=1.25m από τη δεξιά παρειά των δεξιά υποστυλωμάτων, που

βρίσκεται εκτός κάτοψης πεδίλου. Επομένως ο έλεγχος δεν έχει νόημα.

Ακριβώς στην αριστερή (εσωτερική) παρειά των δεξιά υποστυλωμάτων, όπου

η τέμνουσα ισούται με το άθροισμα των κατακορύφων δυνάμεων των

υποστυλωμάτων αυτών (που είναι προς τα πάνω): 2x(3.37x76-

105)=302.24kN, μείον το βάρος του πεδίλου (προς τα κάτω) από την παρειά

αυτή μέχρι το αριστερό άκρο του πεδίλου: 25x3.0x1.3x1.10=107.25kN,

δηλαδή συνολικά: 195kN.

Τέμνουσα αντοχής ΕΚ2: με bw, d σε m, fck σε MPa, ρL= ποσοστό διαμήκους

οπλισμού εφελκυόμενου πέλματος, VRd,c και NΕd σε kN:

kNkN

dbA

Nf

df

dV w

c

EdckckL

c

cRd

25.10787025.10.31625.1

2.0116

25.1

2.0135,15.0120max

15.02.0

12.0

135,100180

max

3/16/13/1

3/16/13/1

,

Η ροπή κάμψης του πεδίλου υπολογίζεται σε 2 διατομές:

Στη δεξιά παρειά των δεξιά υποστυλωμάτων, δηλαδή σε απόσταση από το

κέντρο του πεδίλου sx=3.15/2=1.575m.

Η εξ. (12.41β) δίνει:

MSd,x=(4x892.9x4.85/27)x(4-9x1.985/4.85+1.575/4.85)(0.5-1.575/4.85)2/ (1-

2x1.985/4.85)2-0.5x(892.9-420)x4.85x(0.5-1.575/4.85)

2=348.6kNm.

Στην αριστερή (εσωτερική) παρειά των δεξιά υποστυλωμάτων, όπου οι

κατακόρυφες δυνάμεις των αριστερά υποστυλωμάτων (που είναι προς τα

πάνω) δίνουν ροπή: 302.24x(2.9-0.25/2)=838.7kNm (εφελκυσμός στην κάτω

επιφάνεια), και το ίδιο βάρος του πεδίλου από εκεί και πέρα δίνει ροπή:

25x3x1.3x3.752/2=685.5kNm (εφελκυσμός στην πάνω επιφάνεια του

πεδίλου). Χάριν απλότητας, αγνοείται η μικρή ροπή λόγω των τάσεων

εδάφους στη στενή λωρίδα πλάτους 0.225m δεξιά της διατομής ελέγχου. Αρα

M=838.7-685.5=153.2kNm.

Οπλισμοί κάτω επιφάνειας:

As=348.6x103/(0.85x1.25x500/1.15)=755mm

2.

As,min=0.0015x3000x1250=5625mm2 > 755mm

2.

Τοποθετείται εσχάρα Φ16/100 (2010mm2/m, δηλαδή 6030mm

2 στο σύνολο

του πλάτους των 3.0m).

238

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ

Δεξαμενή νερού έχει παχειά τοιχώματα σκυροδέματος, ορθογωνική κάτοψη 5.0x7.0m και

ύψος 6m, στηρίζεται δε σε 4 γωνιακά υποστυλώματα με ύψος από την κορυφή της

θεμελίωσής τους έως τον πυθμένα της δεξαμενής 6m.

Ζητείται η πλήρης σύνθεση των 4 υποστυλωμάτων και της θεμελίωσής τους (επιλογή

διαστάσεων διατομής, τρόπου και διαστάσεων θεμελίωσης και οπλισμών - διαμήκων και

εγκαρσίων - στα υποστυλώματα και σ’ όλα τα στοιχεία θεμελιώσεως) κατά ΕΚ8 για το

σεισμικό συνδυασμό δράσεων . Ο σεισμός να θεωρηθεί ότι δρα ανεξάρτητα στις δύο

οριζόντιες διευθύνσεις, με σεισμικό συντελεστή βάσης ε=0.20.

Χάριν απλότητας, η δεξαμενή να θεωρηθεί ως άκαμπτο σώμα με συνολικό βάρος ίσο με αυτό

ισοδύναμου όγκου νερού. Τα υποστυλώματα θεωρούνται πακτωμένα στην κορυφή του

στοιχείου θεμελίωσής τους.

Δίνονται:

- Κατηγορία Πλαστιμότητας κατά ΕΚ8: Μέση (ΚΠ Μ).

- Υλικά C25/30, S500.

- Επικάλυψη οπλισμών με σκυρόδεμα 30mm.

- Έδαφος: άργιλος με αστράγγιστη αντοχή σχεδιασμού: 100kPa, δείκτη εδάφους

100kPa/cm και ειδικό βάρος 20kN/m3. Επίχωση στοιχείου θεμελίωσης: 1m.

ΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΛΑΙΣΙΟΥ 1

L L L

H

H

H

H

To 4-όροφο επίπεδο πλαίσιο του σχήματος έχει θεωρητικό ύψος ορόφου Η=3.4m, θεωρητικό

άνοιγμα δοκών L=4.5m, ύψος δοκών hb=0.5m, ακραία υποστυλώματα τετραγωνικά πλευράς

hc=0.45m και κεντρικά επίσης τετραγωνικά πλευράς hc=0.55 m, έτσι ώστε να έχουν

(περίπου) διπλάσια ροπή αδράνειας ως προς τα ακραία. Τα οιονεί-μόνιμα κατακόρυφα

φορτία G+ψ2Q δίνουν ομοιόμορφο γραμμικό φορτίο (kN/m) στις δοκούς Δ ίσο με

239

g+ψ2q=3.75L (L σε m), φορτίο σχεδιασμού qd=1.35g+1.5q=5.2L (L σε m) και συνολικό

βάρος ορόφου (σε kN) W=30L2 (L σε m). Στους ορόφους του πλαισίου ασκούνται οριζόντιες

σεισμικές δυνάμεις με τριγωνική καθ’ ύψος κατανομή Fi = 2Vbi/[n(n+1)] όπως στο Σχήμα,

όπου:

- i = αριθμός ορόφου, από τη βάση,

- n = 4 = συνολικός αριθμός ορόφων,

- Vb = συνολική σεισμική τέμνουσα βάσης = εnW, με σεισμικό συντελεστή βάσης ε=0.25.

Η σεισμική τέμνουσα ορόφου είναι VE1=Vb στο ισόγειο (όροφος i=1), VE2=Vb-F1 στο 2ο από

το έδαφος όροφο (όροφος i=2) και VE3=Vb-F1-F2 στον αμέσως υπερκείμενο (όροφος i=3).

Το ακραίο υποστύλωμα κάθε ορόφου αναλαμβάνει το 1/6 της αντίστοιχης σεισμικής

τέμνουσας ορόφου και αναπτύσσει στις διατομές κορυφής και βάσης του ίσες ροπές κάμψης,

που ισούνται με την σεισμική τέμνουσά του επί το μισό του καθαρού ύψους του, Hn=H-hb.

Τα κεντρικά υποστυλώματα αναλαμβάνουν διπλάσιες τέμνουσες και αναπτύσσουν διπλάσιες

ροπές από τα ακραία.

Οι διατομές στήριξης των δοκών στο ακραίο υποστύλωμα οπλίζονται στο πάνω πέλμα για τη

μεγαλύτερη από τις εξής 2 ροπές:

(1) Μ1.35g+1.5q,α=5qdLn2/48,

(2) Mg+ψ2q,α +|MEb,α|, όπου Mg+ψ2q,α=5(g+ψ2q)Ln2/48 με Ln=L-hc= καθαρό άνοιγμα δοκού και

MEb,α η σεισμική ροπή, που ισούται με το άθροισμα των σεισμικών ροπών του ακραίου

υποστυλώματος:

α) στη διατομή βάσης στον υπερκείμενο όροφο και

β) στη διατομή κορυφής του υποστυλώματος του υπόψην ορόφου.

Στο κάτω πέλμα οπλίζονται για τη ροπή |MEb,α|-Mg+ψ2q,α (εφόσον είναι θετική).

Οι διατομές στήριξης των δοκών σε κεντρικό υποστύλωμα οπλίζονται στο πάνω πέλμα για τη

μεγαλύτερη από τις εξής 2 ροπές:

(1) Μ1.35g+1.5q,κ=0.146qdLn2,

(2) Mg+ψ2q,κ+|MEb,κ|, όπου Mg+ψ2q,κ=(g+ψ2q)Ln2/8 και MEb,κ =MEb,α η σεισμική ροπή, ίση με

το ημι-άθροισμα των σεισμικών ροπών του κεντρικού υποστυλώματος:

α) στη διατομή βάσης στον υπερκείμενο όροφο και στη

β) διατομή κορυφής του υποστυλώματος του υπόψη ορόφου.

Στο κάτω πέλμα οπλίζονται για τη ροπή |MEb,κ|-Mg+ψ2q,κ (εφόσον είναι θετική).

Η λόγω φορτίων G+ψ2Q αξονική δύναμη σε κάθε ακραίο υποστύλωμα ισούται με 4/30 του

συνολικού υπερκείμενου βάρους του κτιρίου και σε κάθε κεντρικό με το 11/30 του βάρους

αυτού.

Ο σεισμός προκαλεί αξονικές δυνάμεις μόνο στα ακραία υποστυλώματα λόγω της ροπής

240

ανατροπής.

Τα κατακόρυφα φορτία δεν προκαλούν ροπές κάμψης στα υποστυλώματα.

Ζητούνται:

(α) Οι οπλισμοί πάνω και κάτω πέλματος της δοκού του ακραίου ανοίγματος στον 1ο και

στον 2ο από το έδαφος όροφο (όροφοι i=1 και =2) στις παρειές στήριξης στο ακραίο και στο

κεντρικό υποστύλωμα (προσεγγιστικά ως As = Md/zfyd με z = d-d1) λαμβάνοντας υπόψη και

τους ελάχιστους διαμήκεις οπλισμούς δοκών.

(β) Οι κατακόρυφοι οπλισμοί του ακραίου υποστυλώματος στο ισόγειο (όροφος i=1) που

ικανοποιούν τον ικανοτικό σχεδιασμό σε κάμψη κατά ΕΚ8 στη διατομή κορυφής στον όροφο

και στη διατομή βάσης του υποστυλώματος στον αμέσως υπερκείμενο όροφο (όροφος i=2),

καθώς και στον 2ο από το έδαφος όροφο (i=2) που ικανοποιούν τον ικανοτικό σχεδιασμό σε

κάμψη στη διατομή κορυφής στον όροφο και βάσης στον αμέσως υπερκείμενο (όροφος i=3),

θεωρώντας μονοαξονική κάμψη με αξονική δύναμη (λόγω G+ψ2Q+E) και λαμβάνοντας

υπόψη τους ελάχιστους οπλισμούς υποστυλωμάτων.

(γ) Η τέμνουσα σχεδιασμού της δοκού του ακραίου ανοίγματος στον 2ο από το έδαφος

όροφο, για ικανοτικό σχεδιασμό της κατά ΕΚ8 σε διάτμηση για το σεισμικό συνδυασμό

δράσεων, εξετάζοντας και λαμβάνοντας υπόψη το ενδεχόμενο σχηματισμού πλαστικής

άρθρωσης στα υποστυλώματα, αντί στη δοκό.

(δ) Η τέμνουσα σχεδιασμού του ακραίου υποστυλώματος στον 2ο από το έδαφος όροφο, για

ικανοτικό σχεδιασμό του σε διάτμηση κατά ΕΚ8, εξετάζοντας και λαμβάνοντας υπόψη το

ενδεχόμενο σχηματισμού πλαστικής άρθρωσης στη δοκό αντί στα υποστυλώματα.

Δίνονται:

- Κατηγορία Πλαστιμότητας κατά ΕΚ8: Μέση (ΚΠ Μ).

- Υλικά: C20/25, S500.

- Επικάλυψη οπλισμών με σκυρόδεμα: 30mm,

- Πλάτος δοκών: 0.3m.

241

ΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΛΑΙΣΙΑΚΟΥ ΚΤΙΡΙΟΥ 1

Στο κτίριο του σχήματος η στέγη είναι δίριχτη με δοκούς μόνον στην περίμετρό της.

• Ο σεισμός επιβάλλει οριζόντιες δυνάμεις Fi στις στάθμες των ορόφων (στη στέγη στην

κατώτατή της στάθμη) ίσες με το βάρος Wi του ορόφου (ή της στέγης) από τις οιονεί μόνιμες

δράσεις G+ψ2Q επί συντελεστή 1.5ε στη στέγη (i=3), ε στον 2ο από το έδαφος όροφο (i=2), ή

0.5ε στον 1ο (i=1), όπου ε ο σεισμικός συντελεστής βάσης.

• Τα κατακόρυφα φορτία πηγαίνουν στο πλησιέστερο στην κάτοψη υποστύλωμα.

• Σ’ όσες πλάκες είναι μίας διεύθυνσης, τα κατακόρυφα φορτία των πλακών μεταφέρονται

μόνο στις δοκούς που είναι κάθετες στην κύρια διεύθυνση της πλάκας (οι παράλληλες σ’

αυτήν δεν αναλαμβάνουν κατακόρυφα φορτία από την πλάκα).

Ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο p (kN/m) κατά μήκος δοκών 3 ίσων ανοιγμάτων L

προκαλεί ροπές 0.1pL2 στις εσωτερικές στηρίξεις των δοκών κα μηδέν στις ακραίες.

Ζητούνται:

α) Η διαστασιολόγηση της πλάκας της στέγης και το μακροχρόνιο βέλος στο σημείο της

επιφάνειάς της όπου αυτό είναι μέγιστο.

β) Οι διαμήκεις οπλισμοί στις στηρίξεις (ακραίες και εσωτερικές) των δοκών Δ3, Δ4 του 2ου

από το έδαφος ορόφου και Δ1, Δ2 της στέγης.

γ) Οι κατακόρυφοι οπλισμοί και οι ικανοτικές τέμνουσες του υποστυλώματος Υ3 στον 3ο

από το έδαφος όροφο για σεισμό μόνον μέσα στο κατακόρυφο επίπεδο δια του οριζόντιου

άξονα x και ικανοτικό σχεδιασμό μόνον μέσα σ’ αυτό το κατακόρυφο επίπεδο, κατά τις

διατάξεις του Ευρωκώδικα 8.

δ) Η τέμνουσα σχεδιασμού στην παρειά στήριξης των κεντρικών δοκών Δ2, Δ4 του 2ου

και

3ου

από το έδαφος ορόφου, κατά τον Ευρωκώδικα 8.

Να ληφθεί υπόψη το ότι η πλάκα της στέγης είναι κεκλιμένη.

242

Δίνονται:

- Σεισμικός συντελεστής βάσης ε=0.20. Κατηγορία Πλαστιμότητας κατά ΕΚ8: Μέση

(ΚΠ Μ).

- Διαστάσεις σε κάτοψη: L=4.5m, B=8m, Ύψος ορόφου Η=3m.

- Υλικά C20/25, S500

- Επικάλυψη οπλισμών με σκυρόδεμα: 30mm

- Ερπυστικός συντελεστής φ=1.5

- Συντελεστής οιονεί-μονίμων φορτίων ψ2=0.30

- Κινητά φορτία 2kN/m2 στους ορόφους, μηδέν στη στέγη

- Μόνιμα φορτία στους ορόφους και στη στέγη, πέραν του ιδίου βάρους των πλακών:

(περιλαμβ. επιστρώσεων, επικαλύψεων, βάρους δοκών, υποστυλωμάτων και τοίχων):

4.5kN/m2

- Ύψος δοκών: 0.5m. Πλάτος: 0.3m

- Υποστυλώματα: Γωνιακά 0.4x0.4m, Λοιπά 0.5x0.5m

- Πάχος πλακών: το ελάχιστο για να μην απαιτείται υπολογισμός κα λογιστικός έλεγχος

του βέλους τους.

- Κλίση στέγης 25%.

ΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΛΑΙΣΙΑΚΟΥ ΚΤΙΡΙΟΥ 2

Για κάποιο μη-τεχνικό λόγο, σε υφιστάμενο μονόροφο κτίριο από φέρουσα τοιχοποιΐα, με

τετράγωνη κάτοψη πλευράς 6m και ύψος από το έδαφος Η=3m, προστίθενται δύο ακόμη

όροφοι ύψους H=3m ο καθένας, οι οποίοι περιλαμβάνουν και πλάκα πατώματος στη στάθμη

οροφής ισογείου (πάνω από τη φέρουσα τοιχοποιΐα). Ο φέρων οργανισμός (δομικό σύστημα)

των δύο νέων ορόφων κατασκευάζεται εξωτερικά και ανεξάρτητα από το υφιστάμενο κτίσμα

και σχεδόν σε επαφή μ’ αυτό, αποτελείται δε από τέσσερα γωνιακά υποστυλώματα

διαστάσεων 0.35mx0.35m, περιμετρική δοκό ύψους 0.55m και πλάτους 0.30m και στους

τρεις ορόφους και πλάκες πάχους 0.16m.

Δίνονται:

Κατηγορία Πλαστιμότητας κατά ΕΚ8: Μέση (ΚΠ Μ).

Υλικά C25/30, S500.

Κιvητό φoρτίo: 2kN/m2 στα πατώματα, 3.5kN/m

2 στη σκάλα και τα πλατύσκαλα.

Φoρτίo επιστρώσεωv 0.5kN/m2.

Μόνιμα φορτία από τοιχοποιΐα, 4 kN/m στις περιμετρικές δοκούς.

Σεισμική δράση με σεισμικό συντελεστή βάσης (λόγο τέμνουσας βάσης προς το

ολικό βάρος) ε=0.2, που προκαλεί οριζόντιες δυνάμεις ορόφων 1.5εW στη στάθμη της 3ης

243

πλάκας, εW στη στάθμη της 2ης

και 0.5εW σ’ αυτήν της 1ης

πλάκας (W = ολικό βάρος

ορόφου για τα φορτία G+ψ2Q).

Συντελεστής ψ2=0.30.

Ερπυστικός συvτελεστής φ=1.5.

Επικάλυψη oπλισμώv με σκυρόδεμα: 25mm.

Ύψος επίχωσης θεμελίωσης: μηδέν.

Έδαφος: άργιλος με cu=100kPa και δείκτη εδάφους ks=20MPa/m. Ειδικό βάρος

εδάφους γεδ=20kN/m3.

Πάτημα και ύψoς σκαλιoύ: να επιλεγούν.

Ζητούνται:

α) Οι οπλισμοί και το μακροχρόνιο βέλος κάμψης στο κέντρο της πλάκας.

β) Οι διαμήκεις οπλισμοί των δοκών οροφής ισογείου στις διατομές στήριξης, για τις εξής

ροπές:

Για εφελκυσμό πάνω: max (Μ1.35G+1.5Q, Mg+ψ2q+ME) Για εφελκυσμό κάτω: ΜΕ-Μg+ψ2q, όπου:

M1.35G+1.5Q ≈

L

H

I

ILLqLq

c

bndldu

3

14/

16

5

18

7,,

με qu,d = ομοιόμορφο φορτίο πατωμάτων (kN/m2) στο συνδυασμό 1.35G+1.5Q,

ql,d = γραμμικό φορτίο στη δοκό (kN/m) στο συνδυασμό 1.35G+1.5Q,

Ln και L= καθαρό και θεωρητικό άνοιγμα δοκού, αντίστοιχα,

H = θεωρητικό ύψος ορόφου,

Ib και Ic = ροπή αδράνειας δοκού και υποστυλώματος, αντίστοιχα,

ΜΕ: σεισμική ροπή άκρου δοκού = (VE1+VE2)Hn/8 όπου VE1,VE2 = σεισμικές τέμνουσες

ισογείου (i=1) και μεσαίου ορόφου (i=2), αντίστοιχα, Hn= καθαρό ύψος υποστυλώματος.

Η Mg+ψ2q υπολογίζεται όπως η Μ1.35G+1.5Q, αλλά με φορτία ομοιόμορφο πατωμάτων qu,g+ψ2q

και γραμμικό δοκών ql,g+ψ2q στο συνδυασμό g+ψ2q

γ) Οι οπλισμοί του υποστυλώματος ισογείου, ώστε να ικανοποιείται ο κανόνας ικανοτικού

σχεδιασμού ΣΜRc ≥ 1.3ΣΜRb κατά ΕΚ8 στους κόμβους οροφής ισογείου, λαμβάνοντας

υπόψη ότι η σεισμική ροπή από την ανάλυση στην κορυφή του υποστυλώματος ισογείου και

στη βάση του υποστυλώματος του μεσαίου ορόφου είναι VE1Hn/8 και VE2Hn/8 αντίστοιχα,

όπου VE1,VE2 = σεισμικές τέμνουσες ισογείου (i=1) και μεσαίου ορόφου (i=2), αντίστοιχα,

Hn= καθαρό ύψος υποστυλώματος.

.δ) Η ικανοτική τέμνουσα σχεδιασμού κατά ΕΚ8 στην παρειά στήριξης της δοκού ισογείου,

με βάση το ότι λόγω του ανωτέρω (γ) οι πλαστικές αρθρώσεις σχηματίζονται στις δοκούς και

η λόγω κατακορύφων φορτίων τέμνουσα στη διατομή στήριξης της δοκού ισούται με

qu,g+ψ2qLLn/8+ql,g+ψ2qLn/2, όπου τα φορτία και τα L, Ln ορίσθηκαν στο ανωτέρω (β).

244

ε) Η ικανοτική τέμνουσα σχεδιασμού κατά ΕΚ8 του υποστυλώματος ισογείου, λαμβάνοντας

υπόψη ότι στη βάση κάθε υποστυλώματος οι οπλισμοί είναι ίδιοι όπως και στην κορυφή του

ισογείου, και ότι λόγω του ανωτέρω (γ) οι πλαστικές αρθρώσεις σχηματίζονται στις δοκούς

στ) Η σύνθεση και διαστασιολόγηση του συνόλου της θεμελίωσης των τεσσάρων γωνιακών

υποστυλωμάτων (πέδιλα συν συνδετήριες δοκοί, ή πεδιλοδοκοί). Για το σχεδιασμό της

θεμελίωσης να ληφθεί υπόψη ότι σεισμός δίνει στη βάση του υποστυλώματος σεισμική ροπή

ίση με VE1Hn/8 (βλ. ανωτέρω (β) για ορισμούς) και τέμνουσα ίση με τη ροπή αυτή δια Hn/3,

με φορά τέτοια ώστε να αυξάνει τη ροπή προς τα κάτω (δηλ. προς τη θεμελίωση).

Αv επιλεγεί θεμελίωση με πέδιλα, vα διαστασιoλoγηθoύv τα πέδιλα και oι συvδετήριες δoκoί

πoυ τα συvδέoυv, λαμβάvovτας υπόψη τηv επιρρoή της στρoφής τoυ πεδίλoυ στη ρoπή πoυ

μεταφέρεται στo έδαφoς και σ' αυτήv πoυ αvαλαμβάvεται από τη συvδετήρια δoκό, Μδ. Να

ληφθεί υπόψη ότι ρoπές Μδ στα δύο άκρα της συvδετήριας δoκoύ πρoκαλoύv στρoφή εκεί

θ=ΜδL/6EIδ, αν οι ροπές Μδ είναι ομόρροπες, όπoυ Lδ και Iδ τo άvoιγμα και η ρoπή αδράvειας

της συvδετήριας δoκoύ.

Αv επιλεγoύv πεδιλoδoκoί, vα διαστασιoλoγηθoύv αυτές, λαμβάνοντας υπόψη ότι αποτελούν

ενιαίο σύνολο γύρω από τη βάση του κτιρίου.

στ) Η σύνθεση εξωτερικής σκάλας από το έδαφος στο 1ο πάτωμα, και από το 1

ο στο 2

ο

πάτωμα, ώστε να επηρεάζει κατά το δυνατόν ελάχιστα τη σεισμική απόκριση του κτιρίου,

καθώς και η διαστασιολόγησή της για το συνδυασμό των κατακορύφων δράσεων

1.35G+1.5Q. Η σύνθεση της σκάλας να περιλαμβάνει τη γεωμετρία σε κάτοψη, τον τρόπο

στήριξής της στις στάθμες πατωμάτων, καθώς και τη θεμελίωσή της στο έδαφος.

ΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΛΑΙΣΙΑΚΟΥ ΚΤΙΡΙΟΥ 3

Διόροφο κτίριο έχει τετράγωνη κάτοψη πλευράς L=10m και ύψος ορόφου: Η=3.5m..

Ζητείται η πλήρης σύνθεση του κτιρίου και της θεμελίωσής του. Για την ανωδομή να

επιλεγεί μία από τις εξής λύσεις:

Α) Τρία τρίστυλα πλαίσια ανά διεύθυνση, οι δοκοί των οποίων χωρίζουν τα πατώματα σε 4

τετραέρειστες πλάκες. Για τη διευκόλυνση του αντισεισμικού υπολογισμού, η επιλογή των

διαστάσεων των υποστυλωμάτων να γίνει έτσι ώστε το κεντρικό υποστύλωμα να έχει

περίπου διπλάσια ροπή αδράνειας από το μεσαίο κάθε πλευράς της περιμέτρου και 4-πλάσια

από τα γωνιακά, οπότε αναλαμβάνει το 1/4 της σεισμικής τέμνουσας ορόφου, το κάθε

γωνιακό το 1/16 και το κάθε μεσαίο το 1/8. Για τον ίδιο λόγο η επιλογή διαστάσεων διατομής

των δοκών να γίνει έτσι ώστε η μεσαία πλακοδοκός (με την πλάκα) να έχει περίπου διπλάσια

ροπή αδράνειας από τις περιμετρικές.

Β) Μόνο περιμετρικά δίστυλα πλαίσια με μία τετραέρειστη πλάκα. Αν για την πλάκα επιλεγεί

245

πάχος μεγαλύτερο των 180mm η πλάκα να γίνει δοκιδωτή με νευρώσεις στις δύο διευθύνσεις

(φατνωματική).

Γ) Μόνο περιμετρικά δίστυλα πλαίσια (όπως στο Β) αλλά με σταυροειδή διάταξη επιπλέον

δοκών που να στηρίζονται στο μέσο των απέναντι πλευρών του πλαισίου και να χωρίζουν το

πάτωμα σε 4 τετραέρειστες πλάκες όπως στην Α.

Η σύνθεση να περιλαμβάνει:

1) Διαστασιολόγηση των πλακών των πατωμάτων (χωρίς δυσμενείς φορτίσεις) και

υπολογισμό του μέγιστου μακροχρόνιου βέλους τους με έλεγχο ότι δεν ξεπερνά το 1/250 του

ανοίγματός του.

2) Επιλογή των διαστάσεων διατομής των δοκών οροφής ισογείου και υπολογισμό των

οπλισμών στις διατομές στήριξης στα υποστυλώματα. Για τη λύση Γ ζητούνται και οι

οπλισμοί στο μέσο του ανοίγματος των μεσαίων δοκών. Για τη διευκόλυνση των

υπολογισμών δίνονται:

Ροπές στη δοκό του 1ου

ορόφου (οροφή ισογείου) από κατακόρυφα φορτία 1.35G+1.5Q ή G+

ψ2Q:

Διόροφο τρίστυλο πλαίσιο (λύση Α):

Ροπή στη στήριξη στο ακραίο υποστύλωμα: Mα=Mo(7+12β)/(7+24β+16β2)

Ροπή στη στήριξη στο κεντρικό υποστύλωμα των πλαισίων Μκ=

Mo(7+30β+24β2)/(7+24β+16β

2).

όπου β=(Ib/Ic)(H/L), με Ib, Ic=ροπές αδράνειας δοκού και ακραίου υποστυλώματος του

υπόψη πλαισίου.

Για ακραίο (περιμετρικό) πλαίσιο: Mo=(5/1536)qL3+qoL

2/48

Για κεντρικό (μεσαίο) πλαίσιο: Mo=(5/768)qL3+qoL

2/48

όπου q (kN/m2): ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο στην πλάκα, qo (kN/m): ομοιόμορφο

γραμμικό φορτίο στη δοκό του πλαισίου (λόγω περιμετρικού τοίχου και ιδίου βάρους,

διαφορετικό γενικώς για περιμετρικό ή μεσαίο πλαίσιο)

Διόροφο δίστυλο πλαίσιο (λύση Β ή Γ):

Ροπή στη στήριξη στο γωνιακό υποστύλωμα: Mα=Mo(7+3β)/(7+6β+β2)

με Mo=(27/512)qL3+qoL

2/12+poL

2/16, όπου q (kN/m

2) όπως παραπάνω και qo, (kN/m), po

(kN/m) το ομοιόμορφο γραμμικό φορτίο στην περιμετρική και στην τυχόν μεσαία δοκό,

αντίστοιχα.

Οι οπλισμοί στις διατομές στήριξης στο υποστύλωμα, υπολογίζονται για τις εξής ροπές:

• Για εφελκυσμό πάνω: max (Μ1.35G+1.5Q, Mg+ψ2q+ME),

• Για εφελκυσμό κάτω: ΜΕ-Μg+ψ2q,

όπου: ΜΕ: σεισμική ροπή άκρου δοκού:

246

Στη στήριξη δοκού σε ακραίο υποστύλωμα: ΜΕ=(VE1+VE2)Hn/2 όπου VE1,VE2 =

σεισμικές τέμνουσες ακραίου υποστυλώματος ισογείου (i=1) και ορόφου (i=2), αντίστοιχα,

Hn=καθαρό ύψος υποστυλώματος.

Στη στήριξη σε μεσαίο υποστύλωμα (λύση Α), ΜΕ=(VE1+VE2)Hn/4, όπου VE1, VE2 οι

σεισμικές τέμνουσες στο μεσαίο υποστύλωμα.

Η Mg+ψ2q υπολογίζεται όπως η Μ1.35G+1.5Q, αλλά με φορτία στο συνδυασμό G+ψ2Q αντί στο

1.35G+1.5Q.

3) Υπολογισμό των οπλισμών όλων των υποστυλωμάτων ισογείου (από τη θεμελίωση

έως τη βάση του ορόφου, περιλαμβανομένης), ώστε να ικανοποιείται στους κόμβους οροφής

ισογείου η συνθήκη ικανοτικού σχεδιασμού κατά Ευρωκώδικα 8 (ΣΜRc≥1.3 ΣΜRb). Στη

βάση του υποστυλώματος οι οπλισμοί είναι όπως και στην κορυφή ισογείου.

4) Τις τέμνουσες (σεισμικού) σχεδιασμού κατά ΕΚ8 στις δοκούς οροφής ισογείου, στην

παρειά στήριξης στα υποστυλώματα

5) Τις τέμνουσες σχεδιασμού κατά ΕΚ8 στα υποστυλώματα ισογείου, λαμβάνοντας

υπόψη ότι οι πλαστικές αρθρώσεις γίνονται στις δοκούς :

6) Σύνθεση της θεμελίωσης (επιλογή πεδίλων ή πεδιλοδοκών, διαστάσεών τους σε

κάτοψη και τομή, έλεγχο της φέρουσας ικανότητας εδάφους) για το σεισμικό συνδυασμό

G+ψ2Q±E, για τον οποίο η ροπή στη βάση του υποστυλώματος ισούται με την τέμνουσά του

επί Hn/2. Αv επιλεγεί θεμελίωση με πέδιλα, vα διαστασιoλoγηθoύv τα πέδιλα και oι

συvδετήριες δoκoί πoυ τα συvδέoυv, λαμβάvovτας υπόψη τηv επιρρoή της στρoφής τoυ

πεδίλoυ στη ρoπή πoυ μεταφέρεται στo έδαφoς και σ' αυτήv πoυ αvαλαμβάvεται από τη

συvδετήρια δoκό, Μδ. Να ληφθεί υπόψη ότι ρoπές Μδ στα δύο άκρα της συvδετήριας δoκoύ

πρoκαλoύv στρoφή εκεί: θ=ΜδL/2EIδ, αν οι ροπές Μδ είναι αντίρροπες (π.χ. προκαλούν και οι

δύο εφελκυσμό στο πάνω πέλμα) ή θ=ΜδLδ/6EIδ αν είναι ομόρροπες, όπoυ Lδ και Iδ τo άvoιγμα

και η ρoπή αδράvειας της συvδετήριας δoκoύ. Αv επιλεγoύv πεδιλoδoκoί, vα

διαστασιoλoγηθoύv αυτές, λαμβάνοντας υπόψη ότι αποτελούν ενιαίο σύνολο γύρω από τη

βάση του κτιρίου.

Δίνονται:

Υλικά: C20/25, S500.

Άργιλος, με συνοχή cu=100kPa και δείκτη εδάφους ks=25ΜPa/m.

Κορυφή θεμελίωσης στη στάθμη εδάφους.

Βάρος περιμετρικών τοίχων 12kN/m περιμέτρου.

Φορτίο επικάλυψης πατωμάτων 1kN/m2.

Κινητά φορτία 2kN/m2.

Ερπυστικός συντελεστής φ=1.5.

247

ψ2=0.30.

Σεισμικός συντελεστής ε=0.12.

Η συνολική οριζόντια σεισμική δύναμη εφαρμόζεται κατά 1/3 στη στάθμη οροφής ισογείου

(i=1) και κατά 2/3 στη στάθμη πλάκας ορόφου (i=2).

ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΠΛΑΙΣΙΟΥ

L L L

H

H

H

H

3.0 m 3.0 m 2.5 m

3.0 m

3.0 m

3.0 m

3.0 m

Στο 4-όροφο πλαίσιο του σχήματος τα υποστυλώματα έχουν διατομή 0.25m (πλάτος) x

0.45m (ύψος) και οι δοκοί 0.25m (πλάτος) x 0.5m (ύψος). Η πλάκα έχει πάχος 0.14m. Τα

υποστυλώματα έχουν οπλισμούς 4Φ18. Oι δοκοί 2Φ14 ευθύγραμμα στο πάνω πέλμα και

2Φ14 ευθύγραμμα στο κάτω που φθάνουν και αγκυρώνονται πέραν από την παρειά στήριξης

στο υποστύλωμα, και 2Φ14 πρόσθετα στο πάνω πέλμα στη στήριξη σε εσωτερικό

υποστύλωμα. Συγχρόνως με το σεισμό δρούν κατακόρυφα φορτία που αποτελούνται από

ισοδύναμο ομοιόμορφο φορτίο στις πλάκες: g+ψ2q=8kN/m2, που δρα σε πλάτος της πλάκας

κάθετα στο πλαίσιο 4.0m. Υλικά: C40/50, S500, επικάλυψη οπλισμών 25mm. Να θεωρηθεί

ότι

τo κατακόρυφo φορτίo πηγαίνει στο πλησιέστερο στο φορτίο υποστύλωμα (σε κάτοψη),

ο σεισμός σχεδιασμού ασκεί στο κτίριο οριζόντιες σεισμικές δυνάμεις με τριγωνική καθ’

ύψος κατανομή Fi = 0.1Vbi όπως αριστερά στο Σχήμα (i = αριθμός ορόφου από τη βάση,

Vb = συνολική σεισμική τέμνουσα βάσης = 4εW, με σεισμικό συντελεστή βάσης ε=0.20,

W= βάρος ορόφου),

η ροπή ανατροπής από το σεισμό σχεδιασμού προκαλεί αξονικές δυνάμεις μόνο στα

εξωτερικά υποστυλώματα.

1. Με βάση το ότι οι οπλισμοί είναι σταθεροί σ΄ όλους τους ορόφους, να αναγνωρισθεί (και

αιτιολογηθεί) ποιός όροφος είναι ευμενέστερος και ποιός δυσμενέστερος για τη συνθήκη

ικανοτικού σχεδιασμού κατά Ευρωκώδικα 8 ΣΜRd,c ≥ 1.3ΣΜRd,b στους κόμβους (ακραίους ή

248

εσωτερικούς) 1ου

, 2ου

ή 3ου

απ' το έδαφος ορόφου σε ακραίο και ποιός σε εσωτερικό κόμβο.¨

2. Να ελεγχθεί άν ικανοποιείται η συνθήκη ΣΜRd,c ≥ 1.3ΣΜRd,b στο δυσμενέστερο για τα

υποστυλώματα κόμβο (ακραίο και εσωτερικό).

3. Με βάση το ότι οι οπλισμοί είναι σταθεροί σ΄ όλους τους ορόφους, να αναγνωρισθεί ποιός

όροφος είναι ευμενέστερος και ποιός δυσμενέστερος για τη μέγιστη δυνατή (ικανοτική)

τέμνουσα σε ακραίο και σε εσωτερικό υποστύλωμα στον όροφο όπου κρίνεται ότι αυτή θα

είναι μέγιστη, λαμβάνοντας υπόψη το εάν οι πλαστικές αρθρώσεις γίνονται στις δοκούς ή

στα υποστυλώματα. Γιατί ;

4. Να υπολογισθεί η μέγιστη δυνατή (ικανοτική) τέμνουσα σε ακραίο και σε εσωτερικό

υποστύλωμα στον όροφο όπου κρίνεται ότι αυτή θα είναι μέγιστη κατά το ανωτέρω 3.

5. Με βάση το ότι οι οπλισμοί είναι σταθεροί σ΄ όλους τους ορόφους, να αναγνωρισθεί (και

αιτιολογηθεί) ποιός όροφος είναι ευμενέστερος και ποιός δυσμενέστερος για τη μέγιστη

δυνατή (ικανοτική) τέμνουσα στα δύο άκρα των δοκών (ακραίας και εσωτερικής) στην

παρειά στήριξης στα υποστυλώματα, λαμβάνοντας και πάλι υπόψη το άν οι πλαστικές

αρθρώσεις γίνονται στις δοκούς ή στα υποστυλώματα.

6. Να υπολογισθεί η μέγιστη δυνατή (ικανοτική) τέμνουσα στα δύο άκρα των δοκών

(ακραίας και εσωτερικής) στον όροφο όπου κρίνεται ότι αυτή θα είναι μέγιστη κατά το

ανωτέρω 5.

7. Να υπολογισθεί η μέγιστη σεισμική τέμνουσα βάσης που μπορεί να αναλάβει το κτίριο, ως

άθροισμα των μέγιστων τεμνουσών που μπορούν να αναπτυχθούν στα υποστυλώματα

ισογείου, λαμβάνοντας υπόψη το εάν οι πλαστικές αρθρώσεις γίνονται στις δοκούς ή στα

υποστυλώματα ισογείου. Μπορεί το κτίριο να αντέξει το σεισμό σχεδιασμού;

ΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΛΑΙΣΙΑΚΟΥ ΚΤΙΡΙΟΥ 4

Το κτίριο του σχήματος έχει πλάκα μόνο στο δώμα. Αποτελείται από πολλά (πρακτικώς

άπειρα) όμοια 5-στυλα πλαίσια παράλληλα στη διεύθυνση Χ. Τα υποστυλώματα συνδέονται

με δοκούς Δ3 σε μονόροφα πλαίσια πολλών ανοιγμάτων κατά Υ και θεμελιώνονται μόνο σε

πεδιλοδοκό παράλληλη στη διεύθυνση Χ. Στη διεύθυνση Υ δεν υπάρχουν μεταξύ των

βάσεων των υποστυλωμάτων συνδετήριες δοκοί.

Στις πλάκες μίας διεύθυνσης του δώματος τα κατακόρυφα φορτία πηγαίνουν μόνο

στις δοκούς Δ3 που είναι κάθετες στην κύρια διεύθυνση της πλάκας (οι παράλληλες σ’ αυτήν

δεν παίρνουν κατακόρυφα φορτία απ' την πλάκα).

• Τα ίδια βάρη δοκών και υποστυλωμάτων αγνοούνται.

• Ομοιόμορφο επιφανειακό φορτίο g (kN/m2) στις πλάκες δίνει ροπή 0.107gL

2 στην

πρώτη εσωτερική στήριξη 0.071gL2 στη δεύτερη (κεντρική).

249

• Ομοιόμορφο γραμμικό φορτίο p (kN/m) κατά μήκος των δοκών Δ3 προκαλεί ροπές

pB2/12 στις εσωτερικές τους στηρίξεις.

• Ο σεισμός επιβάλλει οριζόντια δύναμη μόνο στη στάθμη του δώματος ίση με το

βάρος στη στάθμη αυτή επί το σεισμικό συντελεστής βάσης, ε. Στις άλλες στάθμες δεν

ασκούνται οριζόντιες δυνάμεις. Ο σεισμός ασκείται χωριστά στις οριζόντιες διευθύνσεις Χ

και Υ.

• Η σεισμική τέμνουσα σε κάθε εσωτερικό υποστύλωμα ισούται με το βάρος που

αντιστοιχεί σε τμήμα κάτοψης BxL επί το σεισμικό συντελεστή βάσης. Τα εξωτερικά

υποστυλώματα παίρνουν τη μισή σεισμική τέμνουσα από τα εσωτερικά.

• Οι σεισμικές ροπές των υποστυλωμάτων μηδενίζονται στο μέσο του ύψους τους.

1. Να διαστασιολογηθούν οι πλάκες του δώματος και να υπολογισθεί το μακροχρόνιο

βέλος τους εκεί όπου είναι μέγιστο.

2. Τι εξυπηρετούν οι δοκοί Δ2 (διεύθυνση Χ) στην ενδιάμεση στάθμη αφού δεν υπάρχει

εκεί πλάκα ούτε ασκούνται σεισμικές δυνάμεις;

3. Να υπολογισθούν οι διαμήκεις οπλισμοί στις στηρίξεις των εσωτερικών δοκών Δ1,

Δ2 (στη διεύθυνση Χ) και Δ3 (στη Υ).

4. Να υπολογισθούν οι κατακόρυφοι οπλισμοί και οι ικανοτικές σεισμικές τέμνουσες

στους δύο ορόφους των εσωτερικών υποστυλωμάτων για σεισμό χωριστά στις διευθύνσεις Χ

και Υ.

5. Να υπολογισθεί η σεισμική τέμνουσα σχεδιασμού στην παρειά στήριξης των

250

εσωτερικών δοκών Δ1, Δ2, Δ3, κατά τον Ευρωκώδικα 8.

6. Να σχεδιασθούν κατά ΕΚ8 τα στοιχεία θεμελίωσης (έλεγχος εδάφους, καθορισμός

διαστάσεων και οπλισμών), θεωρούμενα πρώτα για σεισμό κατά Υ ως μεμονωμένα πέδιλα

πλάτους 4L και μετά για σεισμό κατά Χ ως πεδιλοδοκοί μήκους 4L. Ποιών στοιχείων της

ανωδομής (υποστυλωμάτων και δοκών) χρειάζεται γνώση των οπλισμών για τη

διαστασιολόγηση των στοιχείων θεμελίωσης;

- Κατηγορία Πλαστιμότητας κατά ΕΚ8: Μέση (ΚΠ Μ).

- Διαστάσεις σε κάτοψη: L = 4 m, B = 9 m, Ύψος κτιρίου Η = 6.5 m.

- Υλικά C25/30, S500. Επικάλυψη οπλισμών με σκυρόδεμα: 25 mm. Ερπυστικός

συντελεστής φ = 3.5.

- Κινητά φορτία δεν υπάρχουν. Μόνιμα φορτία στο δώμα (ίδια βάρη, επιστρώσεις,

επικαλύψεις,): g = 6.5 kN/m2

- Σεισμικός συντελεστής βάσης στη διεύθυνση Χ: εΧ = 0.25, στη διεύθυνση Υ: εY =

0.20

- Ύψος δοκών Δ1, Δ2: 0.45 m, Δ3: 0.75 m. Πλάτος: 0.3 m.

- Υποστυλώματα: 0.3 m x 0.45 m, με τη μεγάλη διάσταση στη διεύθυνση Υ.

- Έδαφος άργιλος με αστράγγιστη αντοχή cu = 60 kPa, δείκτη εδάφους 70 kPa/cm και

ειδικό βάρος 22 kN/m3. Κορυφή πεδιλοδοκού στην επιφάνεια του εδάφους.

ΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΛΑΙΣΙΑΚΟΥ ΚΤΙΡΙΟΥ 5

ΚΑΤΟΨΗ ΠΛΑΚΩΝ ΕΝΟΣ ΟΡΟΦΟΥ

251

Στο 3-όροφο του σχήματος oι πλάκες έχουν πάχoς 135mm και φέρουν, πέραv τoυ ιδίoυ

βάρoυς τους, φoρτίo επίστρωσης 1.0kN/m2 και κιvητό φoρτίo με ovoμαστική τιμή 2.0kN/m

2

και ψ2=0.3. Ίδιο βάρος άλλων στοιχείων ορόφου, επιπλέον της πλάκας και της επίστρωσης,

3kN/m2.

Οι σεισμικές δυνάμεις ορόφων ακολουθούν τριγωνική κατανομή με λόγο 0.5:1:1.5 στους

ορόφους 1:2:3 και σεισμικό συντελεστή βάσης ε=0.25.

Υποστυλώματα: 0.3x0.3m, Δοκοί: 0.30m (πλάτος)x0.45m(ύψος).

Σκυρόδεμα: C25/30, Χάλυβας: S500. Ερπυστικός συντελεστής φ=1.5. Επικάλυψη οπλισμών με

σκυρόδεμα: 20mm

1) Θεωρώντας ότι τοποθετούνται οι ελάχιστοι oπλισμoί, vα υπoλoγιστεί τo μακρoχρόvιo βέλoς

για τα μακρoχρόvια (oιovεί μόvιμα) φoρτία g+ψ2q στo κέvτρo μιας ενδιάμεσης πλάκας και στο

άκρο του προβόλου-εξώστη της λαμβάνοντας υπόψη τη συνέχεια με την πλάκα (μοιράζοντας

το φορτίο της στις δύο διευθύνσεις κατά Marcus).

2) Ζητείται ο σεισμικός σχεδιασμός των στοιχείων ισογείου ενός από τα 3-όροφα δίστηλα

πλαίσια ενός ανοίγματος που είναι παράλληλα στην κύρια (στενή) διεύθυνση των πλακών και

στηρίζουν τον εξώστη, θεωρώντας ότι:

• το κάθε πλαίσιο αναλαμβάνει το 1/8 της συνολικής σεισμικής τέμνουσας στη

διεύθυνση αυτή και την αντίστοιχη ροπή ανατροπής,

• η σεισμική ροπή στα άκρα ενός υποστυλώματος ισούται με την τέμνουσά του επί το

μισό καθαρό ύψος του.

Συγκεκριμένα ζητούνται:

Οι διαμήκεις οπλισμοί στην στήριξη της δοκού ισογείου, θεωρώντας ότι εκεί η λόγω

κατακόρυφων φορτίων ροπή είναι μηδέν και ο σεισμός προκαλεί ροπή ίση με το άθροισμα

της ροπής βάσης του υπερκείμενου υποστυλώματος και κορυφής του υποκειμένου. Να

ληφθούν υπόψη οι ελάχιστοι οπλισμοί δοκών.

Οι κατακόρυφοι οπλισμοί του υποστυλώματος ισογείου, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη

ικανοτικού σχεδιασμού. Το υποστύλωμα αναλαμβάνει τα κατακόρυφα φορτία που

προέρχονται από την περιοχή της κάτοψης πλησιέστερα σ’αυτό (δηλ. μέχρι τη μισή

απόσταση με κάθε γειτονικό υποστύλωμα)

Η ικανοτική τέμνουσα του υποστυλώματος ισογείου, λαμβάνοντας υπόψη το ενδεχόμενο

σχηματισμού πλαστικής άρθρωσης στη δοκό:

Η ικανοτική τέμνουσα της δοκού ισογείου, λαμβάνοντας υπόψη τα κατακόρυφα φορτία

που αναλαμβάνει η δοκός από τον εξώστη και τη δευτερεύουσα διεύθυνση της πλάκας (κατά

Marcus), καθώς και το ενδεχόμενο σχηματισμού πλαστικών αρθρώσεων στα υποστυλώματα:

252

ΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΛΑΙΣΙΑΚΟΥ ΚΤΙΡΙΟΥ 6

Κ1 Δ1 Κ2 Δ2 Κ3 Δ1 Κ4

Υ↑ → Χ

Το 3-όροφο κτίριο έχει την 8-γωνη κάτοψη του σχήματος και ύψος ορόφου Η = 3.5m.

Η πλάκα είναι δοκιδωτή με νευρώσεις στις δύο διευθύνσεις (φατνωματική), σε αξονική

απόσταση 0.5m, με πάνω πλάκα πάχους 0.06m, ύψος νεύρωσης (με την πάνω πλάκα) 0.4m

και πλάτος 0.1m.

Τα υποστυλώματα είναι κυκλικά, διαμέτρου 0.45m. Οι δοκοί έχουν ύψος 0.65m και πλάτος

0.3m.

Υλικά: C35/45, S500. Επικάλυψη οπλισμών με σκυρόδεμα 20mm.

Φορτίο επικάλυψης πατωμάτων 1.5kN/m2. Κινητά φορτία 2kN/m

2. ψ2 = 0.60.

Ερπυστικός συντελεστής φ=1.5.

Κατηγορία Πλαστιμότητας κατά Ευρωκώδικα 8 (ΕΚ8): Μέση (Μ). Σεισμικός συντελεστής

ε=0.20.

Έδαφος άργιλος με αστράγγιστη αντοχή cu = 85 kPa, δείκτη εδάφους 7.5 MPa/m και ειδικό

βάρος 22 kN/m3. Κορυφή θεμελίωσης στη στάθμη εδάφους.

Ζητείται η πλήρης σύνθεση του κτιρίου και της θεμελίωσής του:

Διαστασιολόγηση σε κάμψη των πλακών πατωμάτων και υπολογισμός του

μακροχρόνιου βέλους τους στο κέντρο, με το φορτίο της πλάκας να μοιράζεται εξίσου

στις νευρώσεις των δύο διευθύνσεων (qx=qy=0.5q), οι οποίες θεωρούνται αμφιέρειστες

κατά το μέγιστο άνοιγμα της πλάκας.

Υπολογισμός του συνολικού βάρους ορόφου W (θεωρώντας ότι το κάθε υποστύλωμα

ανήκει στον πάνω όροφο) και των σεισμικών τεμνουσών ορόφων για σεισμό κατά Χ με

τριγωνική κατανομή των οριζοντίων σεισμικών δυνάμεων σε 1.5εW, εW και 0.5εW από

τον πάνω όροφο προς τα κάτω.

253

Υπολογισμός της κατανομής της σεισμικής τέμνουσας ισογείου στα υποστυλώματα

τύπου Κ1 (= Κ4) και Κ2 (= Κ3) και της σεισμικής έντασης στα άκρα δοκών και

υποστυλωμάτων ισογείου για σεισμό κατά Χ, υποθέτοντας ότι οι ροπές κάμψης στα άκρα

των δοκών Δ1 και Δ2 είναι όλες ίσες μεταξύ τους και ότι οι ροπές των υποστυλωμάτων

μηδενίζονται στο μισό του θεωρητικού ύψους ορόφου.

Υπολογισμός των οπλισμών των δοκών οροφής ισογείου στις διατομές στήριξης στα

υποστυλώματα και των ροπών αντοχής των δοκών. Η φόρτισή των δοκών με τις

αντιδράσεις των πλακών λόγω qx ή qy και του ιδίου βάρους τους να θεωρηθεί ότι προκαλεί

στα άκρα τους ροπές αμφίπακτης δοκού.

Διαστασιολόγηση των οπλισμών υποστυλωμάτων ισογείου (από τη θεμελίωση έως τη

βάση του ορόφου, περιλαμβανομένης), ώστε να ικανοποιείται στους κόμβους οροφής

ισογείου η συνθήκη ικανοτικού σχεδιασμού κατά (ΣΜRc≥1.3ΣΜRb). Υπόψην ότι όλα τα

υποστυλώματα ισογείου έχουν τους ίδιους οπλισμούς, οι οποίοι διαστασιολογούνται για

τη δυσμενέστερη διεύθυνση σεισμού (Χ ή Υ). Στη βάση του υποστυλώματος ισογείου οι

οπλισμοί είναι όπως και στην κορυφή του.

Οι τέμνουσες σχεδιασμού στις δοκούς οροφής ισογείου κατά ΕΚ8, στην παρειά

στήριξης στα υποστυλώματα.

Οι τέμνουσες σχεδιασμού στα υποστυλώματα ισογείου κατά ΕΚ8.

Σύνθεση της θεμελίωσης (πεδίλων χωρίς συνδετήρες δοκούς ή πεδιλοδοκών,

διαστάσεις τους σε κάτοψη και τομή, έλεγχος φέρουσας ικανότητας εδάφους οπλισμοί)

για το σεισμικό συνδυασμό G+ψ2Q±E.

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΣΚΑΛΑΣ & ΘΕΜΕΛΙΩΣΗΣ 1

Η σκάλα του σχήματος οδηγεί από το ΑΒ στο εσωτερικό της πλάκας οροφής στο CD στο

εσωτερικό του δαπέδου υπογείου. Το υπόγειο έχει συμπαγή τοιχώματα σ’ όλη την περίμετρό

του που συνδέονται μονολιθικά με την πλάκα οροφής του και με σχάρα συνδετηρίων δοκών

στο δάπεδό του.

Ζητείται η πλήρης σύνθεση της σκάλας και των στοιχείων στήριξής της

(συμπεριλαμβανομένων των θεμελίων τους και του θεμελίου της ίδιας της σκάλας), για το

συνδυασμό των κατακόρυφων δράσεων και για το σεισμικό συνδυασμό στις δύο οριζόντιες

διευθύνσεις. Ζητείται επίσης ο υπολογισμός του μακροχρόνιου βέλους της σκάλας σ’ εκείνο

το σημείο της κάτοψης όπου αυτό είναι μέγιστο (αν υπάρχει αμφιβολία για το που μπορεί να

είναι μέγιστο το βέλος, να υπολογισθεί σε περισσότερα από ένα υποψήφια σημεία).

Δίνονται:

Πλάτος βραχιόνων και πλατύσκαλου b=1.20m.

254

Ύψος υπογείου ορόφου (περίπου) 4m.

Πάτημα σκάλας 0.27m, ρίχτι 0.17m.

Σεισμικός συντελεστής για τη σκάλα: ε=0.20.

Κατηγορία Πλαστιμότητας κατά ΕΚ8: Μέση (ΚΠ Μ).

Φορτία επιστρώσεων στη σκάλα: 2kN/m2

Κινητό φορτίο στη σκάλα 2kN/m2.

Υλικά C25/30, S500.

Επικάλυψη οπλισμών με σκυρόδεμα: 30mm.

Ερπυστικός συντελεστής Φ=1.5.

Έδαφος άργιλος με αστράγγιστη αντοχή cu=50kPa και ειδικό βάρος 20kN/m3.

Επιφάνεια στοιχείων θεμελίωσης στην κορυφή του δαπέδου υπογείου.

b

2b

πλατύσκαλο

Α Β C D

b b κάτοψη σκάλας

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΣΚΑΛΑΣ & ΘΕΜΕΛΙΩΣΗΣ 2

A B Γ Δ 1.1 0.1 1.1

ΚΑΤΟΨΗ

255

Εξωτερική σκάλα διόροφου κτιρίου ξεκινάει από θέση ΑΒ στο έδαφος και καταλήγει σε

θέση ΓΔ στο δάπεδο του ορόφου (οροφή ισογείου). Ύψος ορόφου από την αφετηρία ΑΒ της

σκάλας στην κορυφή του πέδιλου της μέχρι την κατάληξή της ΓΔ στον όροφο: 3.6m. Πλάτος

σκάλας (βραχίονα και τυχόν πλατύσκαλων): 1.10m.

Ζητούνται:

Η πλήρης σύνθεση και διαστασιολόγηση της σκάλας και όλων των στοιχείων που θα

τοποθετηθούν εξωτερικά από την κάτοψη για τη στήριξή της, για τα κατακόρυφα φορτία

1.35G+1.5Q, δηλαδή:

Επιλογή του τρόπου και των στοιχείων στήριξης της σκάλας έξω από την κάτοψη, και

της θεμελίωσής τους.

Επιλογή διαστάσεων σκάλας (ύψος και πάτημα, πάχος), διατομής των τυχόν

εξωτερικών στοιχείων στήριξής της, και διαστάσεων των στοιχείων θεμελίωσής τους.

Διαστασιολόγηση ΄(δηλ έλεγχος επάρκειας διαστάσεων στοιχείων σκυροδέματος,

υπολογισμός όλων των οπλισμών) για τη σκάλα, τα τυχόν εξωτερικά στοιχεία στήριξής της

και τα στοιχεία θεμελίωσης αυτών και της σκάλας, για όλα τα εντατικά μεγέθη που

αναπτύσσονται (Μ, N, V, T, κ.λ.π).

Χάριν απλότητας να θεωρηθεί ότι η σκάλα, αλλά και τα κατακόρυφα στοιχεία που

ενδεχομένως θα τοποθετηθούν έξω από τη κάτοψη για τη στήριξή της, πακτώνονται στην

κορυφή των στοιχείων θεμελίωσής τους, και ότι η ίδια η σκάλα πακτώνεται πλήρως στη

στάθμη δαπέδου ορόφου (οροφής ισογείου).

Τα υλικά, τα φορτία (κινητά και επιστρώσεων), το είδος και οι ιδιότητες αντοχής κ.λ.π. του

εδάφους να επιλεγούν ελεύθερα στα πλαίσια των κανονισμών και των συνήθων συνθηκών

στην πράξη.