compu aplicada
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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
SEMESTRE: DÉCIMO C
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y MECÁNICA
NOMBRES:
ALEX LARA
MARCELO ICAZA
COMPUTACIÓN APLICADA
PrólogoEl método de los elementos finitos es un método numérico para
resolver problemas de ingeniería y de la física matemática. Las
áreas típicas problema de interés en la ingeniería y física
matemática que se pueden resolver mediante el uso del método de
elementos finitos incluyen análisis estructural, la transferencia de
calor, el flujo de fluido, transporte de masa y el potencial
electromagnético.
Para los problemas relacionados con geometrías
complicadas, cargas y propiedades de
material, generalmente no es posible obtener soluciones
matemáticas analíticas. Soluciones analíticas son los
dados por una expresión matemática que da los valores
de las cantidades deseadas desconocidos en cualquier
ubicación en un cuerpo.
Estas soluciones analíticas requieren generalmente la
solución de ecuaciones diferenciales ordinarias o
parciales, que, debido a las geometrías
complicadas, cargas y propiedades de material, por lo
general no son obtenibles. Por lo tanto tenemos que confiar
en los métodos numéricos, como el método de los
elementos finitos, para encontrar soluciones aceptables.
En pocas palabras, la solución para los problemas
estructurales típicamente se refiere a la determinación de los
desplazamientos en cada nodo y las tensiones dentro de
cada elemento que componen la estructura que se somete a
las cargas aplicadas. En problemas no estructurales, las
incógnitas nodales pueden, por ejemplo, ser temperaturas o
presiones de líquido debido a los flujos térmicos o fluido.
ELEMENTOS FINITOS
Es un método numérico para resolver en forma
aproximada ciertos problemas en ciencias e ingeniería
De forma sencilla consiste en convertir el sólido en un N°
finito de partes llamadas elementos cuyos comportamientos
se especifica con un N°finito de parámetros. Dichos
elementos contienen una serie de puntos interconectados
entre si llamados nodos y al conjunto se les conoce como
malla
Este metodo requiere de un gran trabajo computacional
cuando se aplica aproblemas reales, por lo que se hace
imprencindibles el uso de SUPER COMPUTADORAS
ENSAMBLAJE DE ELEMENTOS FINITOS
Los nodos están colocados en las esquinas de los
elementos y a veces también en los puntos medios de
esas caras o aristas y dentro de ellos
Los nudos son puntos donde se conectan los elementos
finitos entre si
Solución del problema de elementos finitos
El análisis de este ensamblaje nos provee de los
desplazamientos de cada uno de los nodos para ciertas
cargas aplicadas al modelo
Los desplazamientos de los otros puntos dentro del elemento
se interpolan a partir de los valores de los desplazamientos en
los nudos que correspondan al elemento
Cada nodo tiene un cierto número de posibles desplazamientos
llamados grados de libertad
En el espacio cada nodo tiene
6 grados de libertad 3 desplazamientos
3 rotaciones
Solución del problema de elementos finitos
Conocido los desplazamientos se pueden obtener también
Las
reacciones
Las deformaciones Los esfuerzos
Este análisis requiere de gran cantidad de esfuerzos
computacional si se desea estudiar un modelo realista de un
problema de ingeniería
PASOS DE UN ANALISIS CON ELEMENTOS FINITOS
Un análisis usando elementos finitos requiere de la
disponibilidad de un programa de computación especializado
en estos análisis
Existen numerosos programas de elementos finitos PATRAN, NASTRAN, ABAQUS, ARIES, FEA, ADINA, ANSYS
, etc
El uso de cualquiera de ellos para el análisis de un problema
real sigue los siguientes pasos:
Pre- procesamiento
Análisis propiamente dicho
Post- procesamiento
Interpretación Resultados
PREPROCESAMIENTO
El preprocesamiento consiste en la creación del modelo y la
definición de la manera como será cargado y apoyado
El modelo suele hacerse con preprocesador ( un paquete
grafico que suele venir con el programa ) o importado de un
programa de CAD
El éxito del análisis es determinado en gran parte
La elección adecuada de elementos a ser usados y el diseño
de la malla
Imposición apropiada de restricciones o apoyos
El resultado final de este paso es un archivo de datos en el que
se le indica al programa que hacer y con que trabajar
ANALISIS
El progama de elementos finitos lee los datos del archivo de
entradas
Realiza ciertos chequeos de esa información a fin de detectar
errores
Si no hay errores se realiza el análisis y se produce un archivo
de resultados
POSTPROCESAMIENTO
El postprocesador recoge la información de los archivos de
resultados y los presenta en forma gráfica o tabulada
Se usan colores para localizar sitios de valores de esfuerzos o
temperatura semejantes, máximos, mínimos,etc.
El modelo puede ser rotado, ampliado, etc. Para ser examinados
desde diferentes puntos de vista
Interpretación de resultados
Es el paso final y a menudo el más menospreciado de un
análisis mediante elementos finitos. Aquí es donde entran en
juego los conocimientos en ingeniería de que dispongamos
A menudo un usuario nuevo y sin experiencia confiará a
ciegas en la solución, sin recordar que
Si entra basura, sale basura
Aplicación del método de los elementos finitos
El método de elementos finitos tiene aplicaciones casi
ilimitadas, a modo de ejemplo podríamos citar
Ingeniería y mecánica estructural , análisis sísmico
Mecánica de suelos, cimentaciones, mecánica de rocas
Hidrodinámica, ingeniería hidráulica, dinámico de
fluidos
Ingeniería aerostática
Termodinámica
Ingeniería nuclear
Diseño, análisis y prueba de prototipo
Medicina
etc
Ejemplos en análisis estructural
Flexión en vigas
Deformación en columnas
Análisis de pórticos
Análisis de solidos tridimensionales
Análisis Avanzados
Aplicación de teoría del daño
Análisis estructural de la respuesta de un
edificio
Historia Breve
Una breve historia del método de los elementos finitos aplicado a las
áreas estructurales y no estructurales de la ingeniería y de la física
matemática.
El desarrollo moderno del método de los elementos finitos se inició en la
década de 1940 en el campo de la ingeniería estructural
Hrennikoff en 1941 y McHenry en 1943, que utilizaron una red de línea
(unidimensional) elementos (barras y vigas) para la solución de las
tensiones en sólidos continuos
Courant propuso la creación de la solución de las tensiones en una forma
variacional. Luego se introdujo la interpolación por partes (o forma) sobre
las funciones triangulares subregiones que componen el conjunto de la
región como un método para obtener soluciones numéricas aproximadas
En 1947 Levy desarrolló la flexibilidad o el método de la fuerza, y
en 1953 su obra sugiere que otro método (el método de
desplazamiento o rigidez) podría ser una alternativa prometedora
para su uso en el análisis de estructuras estáticamente aviones
redundantes. Sin embargo, sus ecuaciones eran engorrosos para
solucionar con la mano, y por lo tanto el método se hizo popular
con la llegada de la computadora digital de alta velocidad
En 1954 Argyris y Kelsey desarrollado métodos matriciales de
análisis estructural utilizando los principios de la energía. Este
hecho ilustra el importante papel que jugaría principios de la
energía en el método de elementos finitos
El primer tratamiento de elementos bidimensionales era por
Turner en 1956.
La introducción a la Anotación de la Matriz
Los métodos de la matriz son una herramienta necesaria usada
en el método del elemento finito para los propósitos de
simplificar la formulación de las ecuaciones de tiesura de
elemento para los propósitos de soluciones de la escritura
corriente de varios problemas
Una matriz es una serie rectangular de cantidades colocada en
las filas y columnas que se usan a menudo como una ayuda
expresando y resolviendo un sistema de ecuaciones algebraicas
Los componentes de fuerza (F1x ; F1y; F1z; F2x; F2y; F2z;. . . ;
Fnx; Fny; Fnz) que actúa a los varios nodos o puntos (1; 2;. . . ;n) en
una estructura y el juego correspondiente de los desplazamientos
nodales (d1x, d1y, d1z d2x, d2y, d2z,……......dnx, dny, dnz) que los
dos pueden expresarse como matrices:
Los subíndices al derecho de F y d identifican el nodo y la dirección de la
fuerza de desplazamiento, respectivamente. Los moldes son llamadas
matrices columna y tiene un tamaño de n x 1. La anotación de la
abrazadera { } se usará a lo largo del texto para denotar una matriz de la
columna.
Una notificación más compacta usada a lo largo de este texto
para representar cualquier serie rectangular es el subrayado de
la variable; es decir, F y d denotan las matrices generales
(posiblemente las matrices columna o las matrices
rectangulares
El caso más general de una matriz rectangular conocida se
indicará por el uso de la anotación de los corchetes [ ].
Matrices [k] y [k], respectivamente, desarrollado en todo el
texto para diferentes tipos de elementos se representan por
matrices cuadradas dadas como
Donde, en teoría estructural, los elementos kij y Kij se
refieren a menudo como coeficientes de influencia de rigidez.
F = Kd
La ecuación anterior se llama la ecuación de rigidez global y representa
un conjunto de ecuaciones simultáneas. Usando la notación compacta
de subrayar las variables, como en F, q , no debe causar ninguna
dificultad en la determinación de que las matrices son matrices columna
o rectangular.
Para obtener una comprensión más clara de los elementos K ij
Supongamos ahora una estructura para ser forzado en una configuración
desplazada definido por d1X =1 ,d1y = d1z =… dnz 0. Luego de la
ecuación. (1.2.5), tenemos
F1x = K11 F1y=K21,..., Fnz = Kn1 (1.2.6)
Las ecuaciones (1.2.6) contienen todos los elementos de la
primera columna de K. Además, muestran que estos
elementos, K11, K21, ..., Kn1, son los valores de la serie
completa de nodal fuerzas necesarias para mantener la
impuesto estatal desplazamiento. De una manera similar, la
segunda columna en K representa los valores de las fuerzas
necesarias para mantener el estado desplazado d1y = 1 y
todos los otros componentes nodales desplazamiento igual a
cero
Rol del ordenador
Como ya hemos dicho, hasta la década de 1950, los métodos de la
matriz y el método de los elementos finitos asociado no eran fácilmente
adaptables para resolver problemas complicados.
A pesar de que el método de elementos finitos estaba siendo
utilizado para describir estructuras complicadas, el consiguiente
número de ecuaciones algebraicas asociadas con el método de
elementos finitos de análisis estructural resulto extremadamente
difícil y poco práctico de utilizar. Sin embargo, con la llegada de la
computadora, la solución de miles de ecuaciones en cuestión de
minutos se hizo posible
que fue desarrollado en la
década de 1950. Este
equipo ha sido construido
en base a tecnología de
tubos al vacío
Univac, IBM 701
UNIVAC fue la tecnología de tarjetas perforadas en el cual
los programas y datos fueron creados en tarjetas
perforadas. En la década de 1960, la tecnología estuvo
basada en transistores los cuales remplazaron la tecnología
de tubos al vacío debido a la reducción del consumo del
costo, peso y potencia y su aumento en la fiabilidad.
Desde 1969 hasta finales de 1970. Fueron integrados circuitos basados en
la tecnología que estaba siendo desarrollada, la cual permitió aumentar la
velocidad de procesamiento de los ordenadores, por lo que es posible
resolver los problemas más grandes de elementos finitos con grados
crecientes de libertad.
Desde finales de 1970 a la década de 1980, integración a gran escala, así
como estaciones de trabajo que introdujeron una interfaz gráfica de ventanas
que aparecieron junto con el ratón del ordenador. Las computadoras
personales ahora se habían convertido en el mercado de masas
computadoras de escritorio. Esta evolución se produjo durante la era de la
computación en red, lo que provocó la Internet y la World Wide Web.
De hecho, los programas informáticos de elementos finitos ahora se
pueden resolver en un solo proceso en una sola máquina, tales como un
simple computador de escritorio o un ordenador portátil personal (PC) o
en un grupo de ordenadores. Las memorias poderosas del equipo y los
avances en los programas de resolución han permitido solucionar
problemas con más de un millón de incógnitas.
Introducir la información en el ordenador.
Esta Información puede incluir la posición del elemento
coordenadas nodales, la manera en la cual los elementos
son unidos, las propiedades materiales de los
elementos, las cargas aplicadas, condiciones divisorias, o
coacciones, y la clase de análisis para ser realizado. El
ordenador entonces usa esta información para generar y
solucionar las ecuaciones necesarias de realizar el análisis
Pasos generales el método de los elementos finitos
Típicamente para el problema de análisis de tensión
estructural, el ingeniero procura determinar desplazamientos
y acentos en todas partes de la estructura, que está en el
equilibrio y es sujetada a cargas aplicadas. Para muchas
estructuras, es difícil de determinar la distribución de
deformación que usa métodos convencionales, y así el
método de elemento finito necesariamente es usado.
Para muchas estructuras, es difícil de determinar la distribución
de deformaciones usando métodos convencionales, y así el
método de elemento finito necesariamente es usado.
El método de elementos finitos implica el modelado de la
estructura utilizando pequeños elementos interconectados
llamados elementos finitos.
Una función de desplazamiento está asociado con cada
elemento finito.
Cada elemento de interconexión está vinculada, directa o
indirectamente, a cualquier otro elemento aunque comunes (o
compartida), incluyendo interfaces de los nodos y / o líneas de
contorno y / o superficies.
Mediante el uso de esfuerzo conocido / propiedades de
deformación para el material que forma la estructura, se puede
determinar el comportamiento de un nodo dado en términos de
las propiedades de cada otro elemento en la estructura.
El conjunto total de ecuaciones que describen el
comportamiento de los resultados de cada nodo en una serie
de ecuaciones algebraicas mejor expresados en notación
matricial.
Paso 1 Discretizar y seleccionar los tipos de elementos
consiste en dividir el cuerpo en un sistema equivalente de
elementos finitos con nodos asociados y seleccionando el tipo de
elemento más adecuado para modelo más de cerca el
comportamiento físico real.
la variación en el tamaño y el tipo dentro de un cuerpo dado es
principalmente los asuntos de juicio de la ingeniería. Los elementos
deben ser hechos bastante pequeño para dar resultados utilizables y
aún bastante grande para reducir el esfuerzo computacional.
Pequeños elementos son generalmente deseables donde los
resultados se cambian rápidamente, como donde los cambios de la
geometría ocurren; elementos grandes pueden ser usados donde los
resultados son relativamente constantes.
Elemento simple de línea con dos nodos (normalmente utilizado
para representar una barra o elemento de la viga) y el elemento de
línea de orden superior
Elementos simples bidimensionales con nodos de esquina
(normalmente se utiliza para representar tensión plana / tensión) y
de orden superior de dos dimensiones elementos con nodos
intermedios a lo largo de los lados
Elementos tridimensionales simples (normalmente utilizados para
representar el estado de tensión tridimensional) y elementos
tridimensionales de orden superior con nodos intermedios a lo
largo de los bordes
Simples axisimétrica triangulares y cuadriláteros elementos
utilizados para problemas axisimétricos.
tipos de elementos finitos de simples orden más bajo con sólo
los nodos de esquina y elementos de orden superior con nodos
intermedios
Paso 2
consiste en elegir una función de desplazamiento dentro de cada
elemento. La función se define dentro del elemento utilizando los
valores nodales del elemento. Polinomios lineales, cuadráticas y
cúbicas son funciones de uso frecuente debido a que son fáciles de
trabajar en la formulación de elementos finitos. Sin embargo, las
series trigonométricas también se puede utilizar.
Para un elemento de dos dimensiones, la función de desplazamiento
es una función de las coordenadas en su plano (por ejemplo, el
plano xy). Las funciones se expresan en términos de las incógnitas
nodales (en el problema de dos dimensiones, en tema de una
componente x y ay).
La misma función general de desplazamiento puede ser utilizado
repetidamente para cada elemento. Por lo tanto el método de
elementos finitos es una en la que una cantidad continua
Paso 3 Definir las relaciones tensión / desplazamiento y la
tensión / deformación
Cepa / desplazamiento y de esfuerzo / deformación relaciones son
necesarias para derivar las ecuaciones para cada elemento finito. En el
caso de una deformación dimensional, por ejemplo, en la dirección
x, se tiene εx cepa. relacionado con el desplazamiento por
para pequeñas deformaciones. Además, las tensiones deben estar
relacionadas con las cepas a través de la tensión / deformación de la
ley generalmente se llama la ley constitutiva.
El más simple de tensión / deformación de las leyes, la ley de Hooke,
que se utiliza a menudo en el análisis de tensión, está dada por
donde σx = tensión en la dirección x y el módulo E de elasticidad
Paso 4 Deducir la Matriz de rigidez del elemento y
ecuaciones
Inicialmente, el desarrollo de matrices de rigidez del elemento y
ecuaciones elemento se basa en el concepto de coeficientes de
influencia de rigidez, lo que presupone
Para desarrollar la matriz de rigidez y las ecuaciones para elementos
de dos, y tres dimensiones, es mucho más fácil de aplicar un método
de trabajo o energía
El principio de trabajo virtual (mediante desplazamientos virtuales), el
principio de mínima energía potencial, y el teorema de Castigliano son
métodos utilizados frecuentemente para el propósito de derivación de
las ecuaciones de los elementos.
El principio del trabajo virtual se indica en el Apéndice E se aplica a
cualquier comportamiento del material, mientras que el principio de
mínima energía potencial y el teorema de Castigliano son aplicables
únicamente a los materiales elásticos
Métodos de residuos ponderados
Los métodos de residuos ponderados son útiles para el desarrollo de
la ecuación elemento; particularmente popular es el método de
Galerkin. Estos métodos producen los mismos resultados que los
métodos de energía siempre que los métodos de energía aplicables.
Son especialmente útiles cuando un tal funcional como energía
potencial no es fácilmente disponible. Los métodos residuales
ponderados permitir que el método de elementos finitos para ser
aplicado directamente a cualquier ecuación diferencial.
se puede utilizar para resolver un problema de la barra
unidimensional para que una solución conocida exacto existe para
comparación.método de Galerkin también se puede utilizar para derivar las
ecuaciones elemento de barra
Donde (f) es el vector de fuerzas elemento nodal, (k) es la matriz de rigidez del
elemento (normalmente cuadrada y simétrica), y (d) es el vector de los
elementos desconocidos grados de libertad nodales o desplazamientos
generalizados, n
Paso 5 ensamblar las ecuaciones elemento para obtener
las ecuaciones globales o total e introducir condiciones
de contorno.
En este paso los elementos ecuaciones individuales de
equilibrio nodales generadas en el paso 4 se ensamblan en las
ecuaciones de equilibrio globales nodales.
Otro método más directo de superposición (llamado el
método de la rigidez directa), cuya base es nodal equilibrio
de fuerzas, se puede utilizar para obtener las ecuaciones
globales para toda la estructura
La ecuación final ensamblados global o por escrito en la forma es
{F} = [k] {d}
donde {F} es el vector de fuerzas nodales globales, [K] es la matriz de
rigidez de la estructura global o total,
{d} es ahora el vector de conocidos y desconocidos estructura de
grados de libertad nodales o desplazamientos generalizados
APLICACIONES DEL
MÉTODO DE LOS
ELEMENTOS FINITOS
El método de elementos finitos puede ser utilizado
para analizar tanto los problemas estructurales y no
estructurales.
1. Análisis de esfuerzos, y problemas de
concentración de esfuerzos típicamente asociados
con agujeros.
2. Pandeo
3. Análisis de vibración
Problemas no estructurales incluyen
•Transferencia de calor
•Fluido, incluyendo la filtración a través de medios
porosos.
•Distribución de potencial eléctrico o magnético
A continuación se presentan algunasaplicaciones típicas del método de elementosfinitos. Estas aplicaciones ilustrar lavariedad, tamaño y complejidad de losproblemas que se pueden resolver utilizandoel método y el proceso de discretizacióntípica y tipo de elementos utilizados.
HIPÓTESIS DE
DISCRETIZACIÓN
En una estructura discreta, su deformación
viene definida por un número finito de
parámetros (deformaciones y/o giros), que
juntos conforman el vector de
deformaciones Δ
Para resolver este problema, el Método de los Elementos Finitos
recurre a la hipótesis de discretización, que se basa en lo
siguiente:
El continuo se divide por medio de líneas o superficies
imaginarias en una serie de regiones contiguas y disjuntas entre
sí, de formas geométricas sencillas y normalizadas, llamadas
elementos finitos.
Los elementos finitos se unen entre sí en
un número finito de puntos, llamados
nudos.
Los desplazamientos de los nudos son las
incógnitas básicas del problema. Sólo
estos desplazamientos nodales se
consideran independientes.
Para ello se definen para cada
elemento, unas funciones de interpolación
que permiten calcular el valor de cualquier
desplazamiento interior por interpolación
de los desplazamientos nodales.
Para cada elemento, existe un sistema de
fuerzas concentradas en los nudos, que
equilibran a las tensiones existentes en el
contorno del elemento, y a las fuerzas
exteriores sobre él actuantes.
Esta hipótesis de discretización es el pilar
básico del MEF, por lo que se suele decir
de éste, que es un método discretizante, de
parámetros distribuidos. La aproximación
aquí indicada se conoce como la
formulación en desplazamiento.
La Figura ilustra una torre de control deun ferrocarril. La torre es una estructuratridimensional que comprende una seriede elementos de tipo de viga.
Los 48 elementos son etiquetados por los
números dentro de círculos, mientras que los
28 nodos se indican mediante los números
fuera del círculo. Cada nodo tiene tres rotación
y tres componentes de desplazamiento
asociados son llamados los grados de libertad.
El método de los elementos finitos utilizado para
esta estructura permite que diseñador/ analista
rápidamente obtenga desplazamientos y tensiones
en la torre para los casos típicos de carga, como
es requerido por los códigos de diseño.
La figura 1-8 ilustra una de dos dimensiones de
transferencia de calor modelo, usado para determinar la
distribución de la temperatura en la tierra sometida a una
fuente de temperatura de calor a una tubería enterrada de
transporte de un gas caliente.
La figura 1-9 muestra un modelo tridimensional de
elementos finitos de un hueso de la pelvis con un
implante, que se utiliza para estudiar las tensiones
en el hueso y la capa de cemento entre el hueso y
el implante.
Ventajas del método de elementos finitos.
Como se indicó anteriormente, el método de los
elementos finitos se ha aplicado a numerosos
problemas, tanto estructurales como no
estructurales. Este método tiene una serie de
ventajas que han hecho muy populares.
Ellos incluyen la capacidad de
1. Modelar de forma irregular cuerpos con
bastante facilidad
2. Manejar las condiciones generales de
carga sin dificultad
3. Organismos modelo compuesto de varios
materiales diferentes, ya que el ecuaciones de los
elementos que se evalúan individualmente
4. Maneje un número ilimitado y tipos de
condiciones de contorno
5. Variar el tamaño de los elementos para hacer
posible el uso de elementos pequeños cuando sea
necesario
6. Modifique el modelo de elementos finitos
relativamente sencilla ya buen precio
7. Incluye efectos dinámicos
8. Manejar el comportamiento no lineal
existente con grandes deformaciones y
materiales no lineales
A pesar de que el método de los elementos finitos
se utilizó inicialmente para el análisis
estructural, esto desde entonces se ha adaptado a
muchas otras disciplinas de la ingeniería y de la
física matemática, tales como flujo de
fluidos, transferencia de calor, los potenciales
electromagnéticos, mecánica de suelos y la
acústica
BIBLIOGRAFÍA
•http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method
•http://www.journals.elsevier.com/finite-elements-in-analysis-and-
design/
•http://www.luxinzheng.net/enpratical.htm
•http://www.springer.com/engineering/mechanical+engineering/bo
ok/978-0-387-28289-3
•http://www.sv.vt.edu/classes/MSE2094_NoteBook/97ClassProj/n
um/widas/history.html
