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Física del movimiento. Semestre 01-2013

orlando cárdenas estrada

http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es

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1

En todo momento la velocidad de una

partícula es tangente a la trayectoria

seguida por dicha partícula aunque, su

aceleración en general no lo es. En

algunos casos resulta conveniente

descomponer la aceleración en dos

componentes, una en la dirección de la

tangente y otra en la normal –

perpendicular- a la trayectoria seguida

por la partícula en un determinado

punto P (vea la figura).

Matemáticamente se puede demostrar que:

Donde,

se llama la componente tangencial de la aceleración, y

, es la

normal de la misma. La el término , es llamado el radio de curvatura de la

trayectoria en ese punto.

Componentes radial y transversa:




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2

En algunos problemas resulta conveniente utilizar las coordenadas polares , en lugar de las

componentes rectangulares o cartesianas por tal razón es necesario escribir la velocidad y la

aceleración en esas coordenadas. Se puede demostrar que:

En las anteriores ecuaciones tienen la siguiente notación:

,

,

, y

.

Es decir, la velocidad en coordenadas polares es:

La aceleración en coordenadas polares es: [

(

)

]

(

) (

)

O sea que, sus componentes escalares son:

Cuando la trayectoria seguida por la partícula sea una circunferencia, hablamos del movimiento

circular (vea la figura siguiente), y en tal caso las componentes de la velocidad y la aceleración

son:

��

𝑟

𝜃

��




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3

Donde: es el radio de la circunferencia, el cual es constante.

Es llamada la velocidad angular de la partícula y sus unidades son

⁄ .

Se llama la aceleración angular y se expresa en ⁄ .

Además, cuando la aceleración angular sea igual a cero entonces, la velocidad angular es

una constante y se dice que el movimiento es circular uniforme – M.C.U.-

PROBLEMA 1-13: Proyectiles – Tiro parabólico

Una partícula es lanzada con una velocidad inicial hacia un objetivo B, ubicado a pies por

encima de cañón A y a una distancia horizontal de pies del mismo. Despreciando la resistencia

del aire, calcule el ángulo de tiro para poder dar en dicho blanco. Resuelva el problema cuando

.1

SOLUCIÓN.

El tiro parabólico es un movimiento curvilíneo en el cual, cuando la gravedad es constante y se

desprecia la resistencia del aire entonces, dicho movimiento ocurre en un sólo plano, es decir, en

dos dimensiones. Por esta razón es más sencillo trabajar en coordenadas rectangulares (x, y) -o

cartesianas-.

Como se trata pues, de un movimiento parabólico, en el cual la gravedad permanece constante y

despreciamos la resistencia del aire, dicho movimiento ocurre en un solo plano. Ese plano lo

hacemos coincidir con el plano cartesiano –vea la figura siguiente-.

1 1 yarda = 3 pies = 36 pulgadas = 0.9144 m, 1 pulgada= 0.0254 m., 1 pie = 12 pulgadas = 0.3048 m,

1 milla = 1760 yardas = 5280 pies = 63360 pulgadas = 1609.344 m.




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4

Estos hechos nos permiten descomponer el movimiento del proyectil en dos movimientos

independientes. Un M.R.U. horizontal lo largo del eje X, y un M.R.U.A. en la dirección vertical a lo

largo del eje Y.

Es decir, el movimiento del proyectil sigue una trayectoria parabólica que resuresulta de la

superposición de dos movimientos rectilíneos simultaneos y mutuamente perpendiculares, un

M.R.U en el eje X, y un M.R.U.A. el eje Y.

Consideremos pues, los movimiento horizontal y vertical separadamente:

MOVIMIENTO HORIZONTAL (M.R.U.)

Descomponemos el vector velocidad inicial en sus componentes rectangulares:

( ) .

Como el movimiento es rectilíneo y uniforme se tiene:

……………(1).

MOVIMIENTO VETICAL (M.R.U.A.)

En este caso las ecuaciones del movmiento son:

( )

( )

…………….(2).

𝑣

��

𝑌

𝑋

𝛼

B




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5

Reemplazando la ecuación (1) en la (2), se obtiene:

(

)

De la trigonometría sabemos que:

,

Reemplazando y simplificando:

(

)

=

……….(3)

La ecuación (3) corresponde efectivamente a una parábola.

Cuando el proyectil alcance el punto B(X,Y), se tiene:

.

Como en este problema se nos pregunta por el ángulo de tiro , esta última ecuación se pueden

escribir así:

………..(4)

La ecuación (4) es una ecuación de segundo grado, en la cual:

Su solución es: √

.

En particular, si , tendremos:

Luego: √

{

. Vea la figura

siguiente.




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EL USO DE LAS TIC EN EL APRENDIZAJE DE LA FÍSICA

Actividad: Simulaciones + hoja de cálculo –Excel-.

1. Resuelva el problema anterior utilizando la hoja de cálculo.

2. Consulte las páginas PhET de la universidad de Colorado y, Física con ordenador de la

Universidad del País Vasco, utilice estas simulaciones para verificar que dicho problema está

bien resuelto.

http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_es.html

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm

PROBLEMA 1-14

Un carro viaja a a lo largo de una sección curva cuyo radio es de . Se

aplican los frenos y el carro disminuye su velocidad a razón constante, sabiendo que .más tarde la velocidad es de

, determine la aceleración del carro justo en el momento en el cual se aplicaron los frenos.

http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_es.html

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm




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7

La dirección de la aceleración se calcula así:

. Vea la figura .




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8

PROBLEMA 1-15

Se lanza un proyectil desde el borde de un acantilado de 150 metros de profundidad con una

velocidad inicial de 180 m/s, formando un ángulo de con la horizontal, despreciando la

resistencia del aire calcule: (a) el alcanca, (b) la altura máxima alcanzada por el proyectil.

Como se ilustra en la figura siguiente, en este

tipo de problemas consideraremos los

movimiento horizonta (eje X) y vertical (eje

Y) por separado.

MOVIMIENTO VERTICAL




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9

MOVIMIENTO HORIZONTAL




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10

Demostrar que la altura máxima se calcula así:

.

PROBLEMA 1-16

Cuando la jugadora hace el lanzamiento se encuentra a 16 ft del t blero. Sabiendo que el balón sale con una velocidad inicial , formando un ángulo de como se muestra en la figura, calcule la rapidez inicial del balón cuando: (a) , .

SOLUCIÓN

No olvide la estrategia con los problemas de movimiento parabólico:

Nuevamente estudiamos por separado las

movimientos horizontal y vertical.




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11




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12

𝐶𝑜𝑠




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13

PROBLEMA 1-17

Determine la velocidad máxima de los carros de la montaña rusa al pasar por el

tramo circular AB de la pista, sabiendo que la aceleración normal no puede ser mayor que tres veces la gravedad.

SOLUCIÓN

Sabemos que: ……………………

.

Para el arco de circunferencia AB se tiene que:

(

)




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PROBLEMA 1-18

Una pista de atletismo tiene un diámetro de 420 ft. Un corredor aumenta su velocidad a ritmo constante

desde los hasta los recorriendo una distancia de 95 ft. Hallar (a) la aceleración del corredor 2

seg. después de haber comenzado a aumentar su velocidad, (b) aceleración angular, velocidad angular y

posición angular 2 seg después de haber comenzado a aumentar su velocidad.

SOLUCIÓN.

(a) La aceleración del corredor es:




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15

(b) Aceleración angular, velocidad angular y posición angular:




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16

U.2 Dinámica de la partícula: Las leyes del movimiento de

Newton.

Sir Issac Newton (Woolsthorpe, Lincolnshire, 1642 - Londres, 1727). Físico

inglés, hijo póstumo y prematuro, su

madre preparó para él un destino de

granjero; pero finalmente se convenció del talento del muchacho y le envió a la

Universidad de Cambridge, en donde hubo

de trabajar para pagarse los estudios. Allí Newton no destacó especialmente, pero

asimiló los conocimientos y los principios

científicos de mediados del siglo XVII, con

las innovaciones introducidas por Galileo, Bacon,

Descartes, Kepler y otros.

http://www.biografiasyvidas.com/monografia/galileo/

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/b/bacon_filosofo.htm

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/d/descartes.htm

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/k/kepler.htm




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PROBLEMAS RESUELTOS.

PROBLEM 2.1

Para el sistema mostrado en la figura, utilice la

segunda ley del movimiento para determinar: (a) la aceleración de los bloques, (b) la tensión en la cuerda. Considere que la polea y la cuerda son ideales. (c) Resuelva el problema suponiendo que, y

SOLUCIÓN




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18

Marzo de 2013

SEMANA 7.

CLASE 14.




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19

PROBLEM 2.2

Los bloques mostrados en la figura parten del reposo. La superficie horizontal es muy pulida y, tanto la cuerda como polea son ideales.

Determinar: (a) la aceleración de los bloques, (b) la tensión en la cuerda.




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20

PROBLEMA 2.3

El péndulo de la figura tiene una longitud de

y describe un arco de circunferencia en un plano vertical. Si la tensión en la cuerda es veces el peso del cuerpo, para la posición mostrada en la figura encuentre la velocidad y

la aceleración.




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21

SOLUCIÓN.




-

22

PROBLEMA 2.4 Determine la velocidad máxima a la que puede viajar un carro a lo largo de una curva peraltada a , sabiendo que el radio de curvatura es . Nota: la velocidad máxima en una curva peraltada es aquella velocidad a la cual el carro puede circular sin que se presente fricción lateral entre la vía y los neumáticos.

SOLUCIÓN




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23

NOTA: El valor de ángulo para tener un peralte óptimo en un vía bien

diseñada es:

.

PROBLEM 2.5 Un bloque de 200 lbs se encuentra en reposo sobre un plano horizontal. Encuentre la

magnitud de la fuerza necesaria para imprimirle una aceleración de sabiendo

que el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y el plano es de .

SOLUCIÓN

OJO CON LAS UNIDADES

SI (M-K-S) US (ft-lb-s)

Long: 0.3048 m 1ft

Masa: 14.59 kg

Fuerza: 4.448 N 1 lb

La masa del bloque es:

.

La fuerza de fricción o de rozamiento se define como: , donde es la fuerza normal entre el

plano y el bloque.

El diagrama de cuerpo libre para el bloque es:




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24

Las ecuaciones del movimiento -aplicamos la segunda ley de Newton en coordenadas cartesianas- son:

+ ∑ :

.

O sea: (1)

∑ . (2)

Remplazando (2) en (1) :

Despejando se obtiene que:




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25

PROBLEMA 2.6 Los bloques mostrados en la figura se encuentran inicialmente en reposo. Suponiendo que no hay fricción y que la cuerda y las poleas son ideales, calcule: (a) las aceleraciones de los bloques, (b) la tensión en la cuerda.




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PROBLEMA 2.7 Resuelva el problema anterior suponiendo que hay fricción entre el bloque A y el plano,

y que sus coeficientes son: .




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27

PROBLEMA 2.8 El bloque de la figura tiene 20 Kg y se encuentra en reposo sobre un plano inclinado, cuando se le

aplica una fuerza . Determine la magnitud de

dicha fuerza si se requieren 10 seg para que avance 5 m hacia arriba y, los coeficientes de fricción estático y cinético son ambos iguales a 0.3




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28




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29




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30

Marzo de 2013

PROBLEMA 2-9




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31




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32

MARZO DE 2013-SEMANA 8-CLASE 16 ¡ !

PROBLEMA 2-10 (Marzo-2013).




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33

PROBLEM 2-11 (Sept. 27-2012)




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34




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35

PROBLEMA 2-12 (Sept. 27 – 2012)

Usted está bajando dos cajas, una encima de la otra, por la rampa que se muestra en la figura,

tirando de una cuerda paralela a la superficie de la rampa. Ambas cajas se mueven juntas a rapidez constante de 15.0 cm/s. El coeficiente de fricción cinético entre la rampa y la caja inferior es 0.444, en tanto que el coeficiente de fricción estático entre ambas cajas es de 0.800. a) ¿Qué fuerza deberá

ejercer para lograr esto? b) ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza de fricción sobre la caja superior?

SOLUCIÓN




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37

PROBLEMA 2-12 (Sept. 27-2012)

Los bloques A, B y C se colocan como en la figura y se conectan con cuerdas ideales. Tanto A como B pesan 25.0 N cada uno, y

el coeficiente de fricción cinética entre cada bloque y la superficie es de 0.35. El bloque C desciende con velocidad constante. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre que muestre las fuerzas que actúan sobre A, y otro para B. b) Calcule la tensión en la cuerda que une los bloques A y B. c)

¿Cuánto pesa el bloque C? d) Si se cortara la cuerda que une A y B, ¿qué aceleración tendría C?

OJO…..Vea la parte A en la página 37, para la parte B regrese a la página 36.




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38




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39

Despejando la aceleración de esta última ecuación se obtiene:

.

Remplazando los valores se obtiene:

Les agradezco las sugerencias y correcciones.

[email protected]

1.

mailto:[email protected]

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