clase # 3 inversa de una matríz y determinantes
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Clase # 3
Inversa de una matriz
Determinantes
Introducción
Si es una matriz cuadrada, se llama matriz inversa de A y se denota A-1 a una matriz del mismo orden que A que verifica la siguiente igualdad:
(Siendo I la matriz identidad
de igual orden que A)
Si una matriz posee inversa se dice que es invertible en caso contrario se llama singular, debido a que no todas las matrices cuadradas pueden tener inversa.
Matriz inversa:
1 1. .A A A A I
Determinante de una matríz
Ejemplo:
1.A A I Multiplico los elementos de las filas de la primer matriz por los elementos de las columnas de la segunda y sumo los productos:
Para la fila 1, columna 1: 2.a+(-1).c=2.a-cPara la fila 1, columna 2:2.b+(-1).d=2.b-dPara la fila 2, columna 1:1.a+1.c=a+cPara la fila 2, columna 2:1.b+a.d=b+d
Ahora a partir de esto puedo armar un sistema de ecuaciones que me permita hallar A-1
2 1 1 0.
1 1 0 1
a b
c d
Sea A= , hallar si es posible A-12 1
1 1
2 2 1 0
0 1
a c b d
a c b d
Sea A= , hallar si es posible A-12 1
1 1
2 2 1 0
0 1
a c b d
a c b d
2 1
0
3 0 1
3 1
1/ 3
1/ 3
a c
a c
a c
a
a
c a
c
2 0
1
b d
b d
2 1
0
a c
a c
2 0
1
3 0 1
3 1
1/ 3
1
1 1/ 3
2 / 3
b d
b d
b d
b
b
d b
d
d
A partir de esta igualdad podemos deducir las siguientes ecuaciones:2.a-c=1 2b-d=0a+c=0 b+d=1
Armar estos sistemas de ecuaciones…
…Y resolverlos por alguno de los métodos vistos (suma, resta, igualación, sustitución, etc…)
En este caso fue resuelto por la suma de las ecuaciones del sistema y el posterior despeje de las incógnitas….
Ejemplo:
Ejemplo:
1.A A I
Sea A= , hallar si es posible A-12 1
1 1
2 1.
1 1
a b
c d
Ahora que se el valor de mis incógnitas las ubico en la matriz y verifico que sea la matriz inversa de A
1 1
2 1 3 3.
1 1 1 2
3 3
Para la fila 1, columna 1: 2.(1/3)+(-1).(-1/3)= 1Para la fila 1, columna 2:2.(1/3)+(-1).(2/3)=0Para la fila 2, columna 1:1.a+1.c=a+cPara la fila 2, columna 2:1.b+a.d=b+d
1
1
0
0 El resultado coincide con los valores de la identidad…
Ejemplo: Sea A= , hallar si es posible A-12 1
1 1
… lo que significa que hemos encontrado la matriz inversa de A
1
1 1
3 3
1 2
3 3
A
Otra forma de encontrar la inversa de una matriz de 2x2 es la siguiente:
Veamos:
Matrices no invertibles
El método recién explicado resulta sencillo con una matriz de 2x2 pero al querer aplicarlo en matrices mas grandes se hace mas complicado el despeje de las incógnitas….
… es por ello que veremos el método Gauss Jordan.
Inversa de una matriz de 3x3
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Determinantes
Ejemplo