Chapitre I 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x Compléments d’algèbre ... ?· A La division euclidienne des polynômes…

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<ul><li><p>0 x1</p><p>1 x1</p><p>2 x1</p><p>3 x1</p><p>4 x1</p><p>5 x1</p><p>6 x1</p><p>7 x1</p><p>0 x2</p><p>1 x2</p><p>2 x2</p><p>3 x2</p><p>4 x2</p><p>5 x2</p><p>6 x2</p><p>7 x2</p><p>0 x3</p><p>1 x3</p><p>2 x3</p><p>3 x3</p><p>4 x3</p><p>5 x3</p><p>6 x3</p><p>7 x3</p><p>0 x4</p><p>1 x4</p><p>2 x4</p><p>3 x4</p><p>4 x4</p><p>5 x4</p><p>6 x4</p><p>7 x4</p><p>0 x5</p><p>1 x5</p><p>2 x5</p><p>3 x5</p><p>4 x5</p><p>5 x5</p><p>6 x5</p><p>7 x5</p><p>0 x6</p><p>1 x6</p><p>2 x6</p><p>3 x6</p><p>4 x6</p><p>5 x6</p><p>6 x6</p><p>7 x6</p><p>Chapitre I</p><p>Complments dalgbre : les polynmes</p><p>1</p></li><li><p>2 CHAPITRE I. COMPLMENTS DALGBRE : LES POLYNMES</p><p>1 Les monmes</p><p>A Dfinitions</p><p> Un monme est le produit dun rel, appel coefficient, par une partie littrale, produit depuissances, exposants naturels, dinconnues reprsentes par les lettres x, y, z, ...</p><p> Le degr dun monme par rapport une inconnue est lexposant de cette inconnue.</p><p>Exemples : 5x2y3 est un monme en x et y, 5 est le coefficient ( partie numrique ) et x2y3</p><p>est la partie littrale dont x et y sont les inconnues. Cest un monme du deuxime degrpar rapport x et du troisime degr par rapport y.</p><p> Des monmes semblables sont des monmes ayant mme partie littrale.</p><p>Exemples : 5x2y3, x2y3 et 10y3x2 sont des monmes semblables.</p><p>2 Les polynmes</p><p>A Dfinitions</p><p>Un polynme est une somme de monmes.Exemple : 5x4y3 3x2</p><p>B Remarques :</p><p> Un polynme en une seule variable est une somme de monmes en cette variable. Tout monme est un polynme. Un polynme est dit rduit lorsquil ne comporte plus de monmes semblables. Un binme est un polynme rduit comprenant deux termes. Un trinme est un polynme</p><p>rduit comprenant trois termes. Un quadrinme est un polynme rduit comprenant quatretermes.</p><p> Le degr dun polynme rduit est le plus grand exposant de la variable dans ce polynme. Un polynme est dit ordonn par rapport aux puissances dcroissantes ( croissantes) de la</p><p>variable si les exposants des puissances de cette variable sont placs en ordre dcroissant (croissant ).</p><p> Un polynme rduit de degr n est complet lorsque la variable y figure toutes les puissancesgales ou infrieures n y compris le terme de degr 0 en la variable, appel le termeindpendant de la variable.</p><p>C Valeur numrique dun polynme</p><p>Un polynme en x est gnralement not : P (x) = ..., R(x) = ... Pour chaque valeur numriquede la variable, le polynme dsigne un et un seul nombre rel.La valeur numrique de P (x) pour x = a est note P (a) et appele la valeur du polynme lorsquelon remplace x par a et que lon rduit lexpression obtenue.Exemple : P (x) = 3x2 5x + 3 et P (2) = 3.22 5.2 + 3 = 5</p></li><li><p>3. OPRATIONS SUR LES POLYNMES 3</p><p>3 Oprations sur les polynmes</p><p>Remarque prliminaire : dune manire gnrale, on appliquera les rgles connues du calculdans R, puisque chaque polynme est une criture littrale de rels.</p><p>A Egalit de deux polynmes</p><p>Deux polynmes rduits sont gaux si et seulement si les termes de mme degr ont descoefficients gaux.</p><p>B Addition</p><p>Rgle :On applique l associativit et la commutativit de laddition dans R et on additionneles termes semblables.</p><p>Exemple : (2x3+3x25)+(5x25x+l) = 2x3+(3x2+5x2)5x+(5+1) = 2x3+8x25x4</p><p>C Soustraction</p><p>Rgle :On applique la proprit : "loppos dune somme de rels gale la somme des opposs"(cest--dire enlever les parenthses en changeant les signes de chaque terme du polynme soustraire) et on procde ensuite comme pour la somme.</p><p>Exemple : (2x3 + 3x2 5) (5x2 5x + l) = 2x3 + 3x2 5 5x2 + 5x l = 2x3 + 3x2 5x2 +5x 5 1 = 2x3 2x2 + 5x 6</p><p>D Multiplication</p><p>Rgle : On applique les proprits du produit : multiplier les coefficients et ensuite les termeslittraux, on applique ensuite la distributivit de la multiplication par rapport laddition dans Ret on additionne ensuite les termes semblables .</p><p>Exemple : (2x3 +3x25)(x+2) = 2x4 +3x35x+4x3 +6x210 = 2x4 +7x3 +6x25x10</p><p>4 Division dun polynme par un polynme</p><p>A La division euclidienne des polynmes</p><p>Dfinition :Effectuer la division euclidienne du polynme A(x) par le polynme D(x), cestdterminer les polynmes quotient Q(x) et reste R(x) tels que</p><p>A(x) = D(x).Q(x) + R(x)</p><p>Le polynme A(x) est appel le polynme dividende. Le polynme D(x) est appel le polynmediviseur . Remarques :</p><p> les degrs de ces polynmes rpondent lgalit suivante : dA(x) = dD(x) + dQ(x)</p></li><li><p>4 CHAPITRE I. COMPLMENTS DALGBRE : LES POLYNMES</p><p> si A(x) = D(x).Q(x) , on dit que le polynme A(x) est divisible par le polynme D(x) ;dans ce cas, R(x) = 0.</p><p>Disposition La mthode pratique de division dun polynme par un polynme est base surcelle de la division crite dun nombre par un nombre.Pour diviser un polynme A(x) par un polynme D(x) :</p><p> on rduit et on ordonne par ordre dcroissant des puissances de la variable, les deuxpolynmes</p><p> on complte le polynme A(x) on effectue la division et on arrte lorsque le reste a un degr infrieur celui de D(x).Exemple : On cherche diviser x2 5x + 3 par x 2</p><p>x2 5x + 3 x 2x2 + 2x x 3</p><p>3x + 33x 6</p><p>-3</p><p>B Division dun par un binme de la forme (x a)</p><p>Quand on divise un polynme A(x) par un binme de la forme (xa), on sait que dD(x) = 1,dR(x) = 0 et dQ(x) = dA(x) 1 avec</p><p>A(x) = (x a).Q(x) + r</p><p>puisque R(x) est constant on le note alors r. Pour dterminer le quotient et le reste de cettedivision par (x a) ,deux mthodes peuvent sutiliser.</p><p>a Premire mthode : mthode de la division euclidienne</p><p>On utilise donc la disposition pratique de la division gnrale de deux polynmes (voir ? ?)</p></li><li><p>5. FACTORISATION 5</p><p>b Deuxime mthode : mthode de Horner</p><p>La recherche du quotient dun polynme par (x a) peut se faire par la mthode dite deHorner1 .</p><p>Exemple : On cherche diviser x2 5x + 3 par x 2</p><p>1 -5 32 2 -6</p><p>1 -3 -3</p><p>On obtient donc (x2 5x + 3) = (x 2).(x 3) 3Remarque : Avant de noter les coefficients de A(x) dans le tableau, il ne faut pas oublier delordonner et de le complter si ncessaire par des termes de coefficients nuls.Exemple (x4 3x3 + 2x + 5) : (x 2) = (x4 3x3 + 0x2 + 2x + 5) : (x 2) et donc</p><p>C La loi du reste</p><p>Le reste de la division dun polynme A(x) par un binme de la forme (x a) est la valeurnumrique de ce polynme pour x = a.On a donc : r = A(a)Un polynme A(x) est divisible par un binme de la forme (x a) si le reste de la division de A(x)par (x a) est nul cest--dire si la valeur numrique de A(x) pour x = a est nulle ou A(a) = 0</p><p>5 Factorisation</p><p>A Dfinition</p><p>Factoriser une somme, cest la transformer en un produit de facteur.</p><p>B Mthodes</p><p>Nous rappelons ici les prinicipales mthodes vues en 3me. Elles seront illustres au cours oral.</p><p>3 Mise en vidence simple : orsque tous les termes dun polynme ont un facteur commun, oncommence toujours par mettre ce facteur commun en vidence ;</p><p>3 Mise en vidence double : aprs une mise en vidence dans chaque groupe, apparat unfacteur commun qui peut, son tour, tre mis en vidence ;</p><p>3 Factorisation et produits remarquables</p><p> Binme :a2b2 = (ab)(a+b), a3b3 = (ab)(a2+ab+b2) et a3+b3 = (a+b)(a2+ab+b2)2</p><p> Trinme : (a b)2 = a2 2ab + b2 et (a + b)2 = a2 + 2ab + b2</p><p>Remarque : il faut toujours vrifier que le double produit soit prsent dans cette somme(diffrence).</p><p> Quadrinme cube parfait : (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 et (ab)3 = a33a2b+3ab2b33</p><p>3 Mthode de groupement</p><p>1William Georges Horner, mathmaticien anglais, 1786- 18372On dmontre ces formules en dveloppant compltement, par double distributivit, les seconds membres3On dmontre ces formules en observant que (a)))3 = (a)))2.(a)))</p></li><li><p>6 CHAPITRE I. COMPLMENTS DALGBRE : LES POLYNMES</p><p> Groupement deux deux Groupement de trois termes dun quadrinme : ces trois termes forment un trinme carr</p><p>parfait et ce trinme carr parfait forme, avec le quatrime, terme une diffrence de deuxcarrs.</p><p>C Mthode des diviseurs binmes ( mthode dite du dsespoir ! !)</p><p>Rappels :</p><p> Loi du reste : le reste de la division dun polynme A(x) par un binme de la forme (x a)est la valeur numrique de ce polynme pour x = a</p><p> Un polynme A(x) est divisible par un binme de la forme (x a) si le reste de la divisionde A(x) par (x a) est nul cest--dire si la valeur numrique de A(x) pour x = a est nulleou A(a) = 0</p><p> Si un polynme A(x) est divisible par un binme de la forme (x a), alors il pourra scriresous la forme dun produit du type (x a).Q(x)</p><p> Pour factoriser un polynme A(x), on peut rechercher un facteur de la forme (x a)par lequel il est divisible. Dans ce cas, le nombre a est ncessairement diviseur du termeindpendant de A(x).</p><p>Exemples de factorisation par la mthode des diviseurs binmes :</p><p>a) polynme factoriser. recherche des diviseurs du terme indpendant : div 6 = 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6 b) recherche du diviseur de la forme (x-a) par la loi du reste. et donc (x-1) divise le polynmeP(x) division par la grille de Horner ,</p></li></ul>

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