Cours de Première ST2S

Chapitre 2 – Les SuitesA) Généralités

1) Définitions

Une suite (ou suite de nombres) est un ensemble ordonné de nombres réels construit sur une règle précise et non aléatoire.

On note généralement (un) la suite et un son terme général, n représentant un entier naturel.

On commence d'habitude par u0, mais parfois aussi par u1 : attention, certaines formules ne seront pas les mêmes dans les deux cas.

En effet, un est le nième terme si on commence par u1, mais le n+1ième si on commence par u0,

2) Exemples

Trouver le terme suivant et la règle de formation des suites suivantes :

a) 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; …Ici, u0 = 1 ; u1 = 2 ; etc...

b) 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; …

c) 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; …

d) 1 ; 11 ; 21 ; 1211 ; 111221 ; 312211 ; …

e) 7 ; 5 ; 3 ; 1 ; -1 ; -3 ; …

f) 24 ; 12 ; 6 ; 3 ; 1,5 ; 0,75 ; …

g) 5 ; -10 ; 20 ; -40 ; 80 …

h) 3 ; 0,5 ; -2 ; -4,5 ; ...

3) Suites particulières

Il y a deux types de suites qui sont très courantes et assez simples pour obéir à des formules intéressantes.

Ce sont les suites arithmétiques et les suites géométriques.

Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours la même constante pour trouver le nombre suivant.

Dans une suite géométrique, on multiplie toujours par la même constante pour trouver le nombre suivant.

Reprendre les exemples du A2) et trouver les suites arithmétiques et les suites géométriques.

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B) Les suites arithmétiques

1) Définitions

Une suite est dite arithmétique lorsque chaque terme se calcule à partir du précédent en ajoutant à celui-ci une constante, nommée raison de la suite.

Cette définition correspond à la formule suivante :

un1=unrUne suite arithmétique est entièrement définie par son premier terme u0 et sa raison r. En effet les connaître permet de construire tous les termes de la suite.

Elle est aussi totalement définie si on connaît deux termes ou un terme quelconque et la raison.

2) Exemples

a) Retrouver dans les exemples du 2) les valeurs du premier terme et de la raison des suites arithmétiques.

b) Trouver le premier terme u0 et la raison r des suites arithmétiques suivantes :

i) u2 = 7 et u3 = 13

ii) u7 = 19 et r = -3

iii) u15 = 215 et u18 = 245

iv) u9 = 50 400 et u13 = 50 800

v) u3 = 15 et u18 = 45

3) Formule du n ième terme

On a u1 = u0 + r, puis u2 = u1 + r = u0 +r + r = u0 + 2r, puis u3 = u2 + r = u0 + 2r + r = u0 + 3r etc...

En arrivant au terme un, on a donc :

un=u0n r

4) Applications

Calculer u17 dans les exemples du A2) et dans ceux du B2).

5) Relation entre deux termes

En partant de un = u0 + n r et de up = u0 + p r et en faisant la soustraction terme à terme de ces deux égalité, on trouve un – up = u0+ n r – (u0+ p r) = u0 – u0 + n r – p r = n r – p r = (n – p) r, soit :

un=upn−prAvec cette relation on peut aussi retrouver la façon de calculer r lorsqu'on connaît un et up :

r=un−up

n−p

6) Exemples d'application

Trouver u27 dans les cas suivants :

a) u6 = 227 et r = -1,5

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b) u7 = 408 et u31 = 456

c) u127 = 50 468 et r = 3

d) u207 = 1 800 et u107 = 1 700

7) Représentation graphique

Si nous voulons représenter sur un graphique la séquence des termes d'une suite arithmétique, on mettra en abscisse l'indice du terme, c'est à dire le n de un, et en ordonnée la valeur de un.

Si on appelle comme d'habitude x l'abscisse et y l'ordonnée, on a donc y = ux = u0 + x r, ou encore

y = r x + u0.

On reconnaît l'équation d'une droite de coefficient directeur r et d'ordonnée à l'origine u0.

La représentation graphique d'une suite arithmétique est donc la droite d'équation y = r x + u0.

8) Exemples

Voici le graphe des suites A2a) et A2e).

Faire celui des autres exemples déjà étudiés.

Exercices : 34 à 40 page 65

C) Les suites géométriques

1) Définitions

Une suite est dite géométrique lorsque chaque terme se calcule à partir du précédent en multipliant celui-ci par une constante, nommée raison de la suite.

Cette définition correspond à la formule suivante :

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un1=un×qUne suite géométrique est entièrement définie par son premier terme u0 et sa raison q. En effet les connaître permet de construire tous les termes de la suite.

Elle est aussi totalement définie si on connaît deux termes de parité différente (à cause du signe de la raison) ou un terme quelconque et la raison.

2) Exemples

a) Retrouver dans les exemples du 2) les valeurs du premier terme et de la raison des suites géométriques.

b) Trouver le premier terme u0 et la raison q des suites géométriques suivantes :

i) u2 = 7 et u3 = 14

ii) u7 = 19 et q = -1

iii) u1 = 15 et u3 = 135 (!)

iv) u9 = 800 et u12 = 6 400

v) u3 = 125 et u5 = 25 (!)

3) Formule du n ième terme

On a u1 = u0 x q, puis u2 = u1 x q = u0 x q x q = u0 x q², puis u3 = u2 x q = u0 x q² x q = u0 x q3 etc...

En arrivant au terme un, on a donc :

un=u0×qn

4) Applications

Calculer u6 dans les exemples du A2) et dans ceux du C2).

5) Relation entre deux termes

En partant de un = u0 x rn et de up = u0 x rp et en divisant terme à terme ces deux égalité, on trouve :

un

u p=

u0×qn

u0×qp=qn

qp=qn−p , ce qui nous donne la formule :

un=up×qn−p

Avec cette relation on peut aussi retrouver la façon de calculer r lorsqu'on connaît un et up :

q=n−p un

up6) Exemples d'application

Trouver u5 dans les cas suivants :

a) u6 = 227 et q = -1,5

b) u7 = 405 et u9 = 45

c) u127 = 50 468 et q = 3

d) u20 = 5 120 et u23 = 10 240√2

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7) Représentation graphique

Si nous voulons représenter sur un graphique la séquence des termes d'une suite géométrique, on mettra là encore en abscisse l'indice du terme, c'est à dire le n de un, et en ordonnée la valeur de un.

Si on appelle comme d'habitude x l'abscisse et y l'ordonnée, on a donc y = ux = u0 x qx, ou encore

y = u0 qx .

Cette fonction s'appelle une fonction exponentielle (car x est en position d'exposant) et sera étudiée en Terminale. On peut déjà remarquer sur des exemples qu'elle a une croissance plus rapide que la fonction carrée y = a x² (et aussi que toute fonction puissance y = a xn).

8) Exemples

a) Voici le graphe des suites A2b) et A2f).

Faire celui des autres exemples déjà étudiés.

a) Intérêts composés ou intérêts simplesSophie place 600 000 F sur un compte à intérêts composés au taux de 3% par an.

On appellera un le solde de son compte à la fin de la nième année.

i) Quel montant aura-t-elle sur son compte au bout d'un an (u1) ?

ii) Même question au bout de 2 ans, 5 ans et 10 ans.

iii) Quel montant aurait-elle eu au bout de 10 ans si les intérêts n'étaient pas composés ?

Note : on parle d'intérêts composés lorsque les intérêts versés en fin d'année viennent sur le compte et y restent pour porter eux aussi intérêt l'année suivante.

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b) Salaire indexéHinano se voit proposer au moment de son embauche un salaire mensuel de 160 000 F et le choix entre deux styles d'augmentation : une augmentation de 7 400 F du salaire mensuel tous les ans, ou une augmentation de 4,5% tous les ans.

i) À quel pourcentage correspond une augmentation de 7 400 F la première année ?

ii) Quelle augmentation aura Hinano à la fin de la première année si elle choisit les 4,5% ?

iii) Au bout de dix ans, quel sera son salaire dans les deux cas ?

c) Exercices41 et 44 page 60, 46 et 48 page 61, 54 page 62, 56 et 57 page 63, 59 page 64, 78 page 68

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