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Chapitre 4 : RSEAUX LECTRIQUES EN RGIME PERMANENT LOIS DE KIRCHHOFF MTHODE DES COURANTS DE MAILLE

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Les lois de Kirchhoff, celle des noeuds et celle des mailles fourniront plus d'quations que ncessaire pour dterminer les courants dans les diffrentes branches d'un circuit.

La mthode systmatique des courants de maille permet d'crire le minimum d'quations permettant de dterminer tous les courants dans un circuit complexe.

I/ MAILLES INDPENDANTES On choisit pour l'exemple un rseau de 5 noeuds (n = 5) et de 9 branches (b = 9). Il est inutile d'crire les

quations de toutes les mailles. Certaines mailles peuvent tre considres comme la somme des autres. maille oriente = (DABCD) maille oriente = (DCBD)

La maille (DAB) est obtenue par addition de et . Elle comprend les branches 1, 2 et 5. On veut dfinir 9 courants de branches et on dispose de 21 mailles distinctes (soit 21 quations possibles) et de

n = 5 quations de noeud. La mthode de l'arbre fournit le minimum de mailles qui va permettre de reconstituer toutes les autres. L'"arbre"

correspond au circuit qui passe une seule fois par chaque noeud (par exemple BCDAE). Tous les arbres possibles contiennent n - 1 = 4 branches.

Pour obtenir les branches donnant les mailles dont les quations sont indpendantes, on prend une branche qui ne fait pas partie de l'arbre et on complte par le morceau de l'arbre qui relie les deux extrmits de la branche. Il y a donc b - (n-1) = 5 branches disponibles.

Les quations de mailles sont bien indpendantes puisque chacune des mailles contient une branche qui n'appartient aucune autre maille de l'ensemble.

II/ MTHODE DES COURANTS DE MAILLE Le problme est simplifi, tout en tenant compte des quations introduites par la loi des noeuds, en prenant

comme inconnus des courants diffrents des courants de branches. On dtermine en premier des courants circulant en circuit ferm dans chacune des mailles indpendantes. Ces courants de maille sont nots par exemple J (avec un indice, soit pour la maille ) . Ensuite on dtermine le courant dans une branche qui est la somme algbrique (par rapport au sens de parcours des

mailles) de ces courants des mailles indpendantes qui contiennent cette branche, selon :

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On a ainsi, pour les courants de branche qui passent seuls dans leur branche respective : J = i1 J = i2 J = - i7 J = i8 J = i9 On obtient, pour les courants dans les autres branches : i3 = J- J i4 = J- J- J - J i5 = J- J - J J i6 = J - J - J Notons que l'quation d'un noeud est bien satisfaite par les courants de maille : par exemple, pour D, on a :

i2 + i4 + i7 = i5 ( des courants entrants = ( des courants sortants) Si on remplace ces courants de branche par les courants de maille, on obtient : J + J- J - J - J - J = J - J - J - J Donc l'quation est vrifie. Pour rsoudre le problme du circuit, on crit les quations de la loi des mailles (pour toutes les mailles

indpendantes) et on exprime les tensions aux bornes des branches de ces mailles en considrant les courants de maille. On obtient un systme d'quations qui va permettre d'obtenir les courants de maille, donc de dterminer les courants de branche.

La rsolution sera facile si les caractristiques (tension courant) des branches sont des fonctions affines, le systme d'quations sera linaire.

III/ APPLICATIONS : CIRCUIT AVEC 2 MAILLES Soit un circuit constitu de 3 gnrateurs de fem et de rsistance signal sur le schma ci-dessous. Ce circuit est

aussi constitu de 2 rsistances de valeur respectivement 2 et 9 .

Dans un tel circuit, on commence donc par calculer le nombre de mailles indpendantes (ou encore le nombre

dquations crire)

J

J

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Il y a ici n = 2 nuds et pour le nombre de branches : b = 3 branches. Le nombre de mailles indpendantes est donc : N = B (N 1) = 3 (1) = 2 mailles indpendantes. On va donc considrer les 2 mailles et avec une orientation des courants de maille J et J arbitraire. Ici on

prendra, par exemple, les sens des courants orients tous les deux vers la gauche. Pour chaque maille on va pouvoir crire, en considrant par exemple la convention rcepteur et en utilisant la loi

des mailles : Maille : 3J - 10 + 15 + (1 + 9) (J - J) + 2 J = 0 Maille : -25 + 4J + (9 + 1) (J - J) - 15 = 0 Ce qui conduit :

15J - 10J = 5 -10J + 14J = 40

Soit, pour les courants de maille :

Et, pour les courants de branche :

i1 = J = 3 i2 = J = 5 i3 = J J = 2

En considrant le schma suivant : On voit que le courant de branche est bien orient en sens inverse de J qui est reprsent sur la figure plus haut. IV/ APPLICATION / PONT DE WHEATSTONE Le circuit du pont de Wheatstone reprsent par le schma suivant comprend n = 4 noeuds et b = 6 branches.

Il y a b - (n-1) = 3 mailles indpendantes. Le problme revient chercher le courant dans la branche 5, en

considrant les rsistances des branches (Ri, avec i = 1 6). Par rapport au circuit orient ci-dessus, on choisit les mailles adjacentes, c'est--dire contiges et de mme sens

de rotation. Les quations des courants de mailles sont :

A3

14101015

1440105

J =

=

A5

14101015

4010515

J =

=

i1 i2

i3

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i1 = J ; i2 = J - J ; i3 = J ; i4 = J - J ; i5 = J - J ; i6 = J Les quations aux bornes des branches des mailles seront prsentes ensuite, avec titre d'exemple le calcul

approfondi relatif l'quation de la maille . Pour la maille : La somme des tensions aux bornes des branches de la maille s'crit : (VC - VB ) + (VB - VD ) + (VD - VC ) = 0

ce qui s'crit en considrant les tensions de branches avec les courants de branche et les rsistances correspondantes ( l'aide des caractristiques) :

R2 i2 + R4 i4 +R6 i6 - e = 0

ou, avec les courants de maille : R2 (J - J ) + R4 (J - J) + R6 J - e = 0 soit (R2 + R4 + R6 ) J - R2 J - R4 J - e = 0 La mme dmarche pourra tre utilise pour les autres mailles : Pour la maille : (VC - VA ) + (VA - VB ) + (VB - VC ) = 0

ce qui donne, pour les tensions de branche : R1 i1 + R5 i5 + R2 i2 = 0 Pour la maille : R3 i3 - R4 i4 - R5 i5 = 0 ce qui donne, en utilisant les quations telles que (1) pour les trois mailles, le tableau 1 suivant : Pour la maille (R2 + R4 + R6 ) J - R2 J - R4 J = e Pour la maille - R2 J + (R1 + R2 + R5 ) J - R5 J = 0 Pour la maille - R4 J - R5 J + ( R3 + R4 + R5 ) J = 0 C'est un systme d'quations linaires que l 'on peut rsoudre par la mthode du dterminant. Remarques importantes pour faciliter l'criture systmatique du tableau 1 Pour les termes de gauche, on peut faire quelques constatations gnrales : - symtrie du tableau prcdent, avec des coefficients qui ne dpendent que des rsistances des branches, - positivit des coefficients diagonaux (somme des rsistances de chaque maille considre), - pour les termes non diagonaux, le coefficient du terme en J (pour la maille ) qui est gal la rsistance

commune et (soit R2 ), avec un signe qui dpend des sens de parcours des mailles et . Par exemple, le signe est ngatif quand les sens de parcours des mailles correspondent des sens opposs dans la rsistance commune, comme ici.

Pour les termes de droite : ils sont constitus par la fm des diffrentes branches. Pour chaque quation, le terme de droite est form par la somme des fm situes sur la maille (signe + si le sens

de maille correspond au sens de dbit normal du gnrateur (de - vers +)). Remarque : Si J et J sont nuls (par exemple, avec R1 et R3 trs grands), la premire des trois quations se ramne : ( R2 + R4 + R6) J= e.

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C'est la formule de la loi de Pouillet dans le cas d'une maille unique , comportant les rsistances R2 , R4 , R6 et aliment par le gnrateur de fm e (une fm positive provoque un courant de maille positif).

Rappel sur la mthode du dterminant On fait appel la mthode du dterminant (cf plus haut). Donc nous rappelons le traitement gnral de ce type

d'quations linaires par la mthode du dterminant. Soit un systme d'quations linaires telles : ax + by + cz = n a'x + b'y + c'z = 0 a"x + b"y + c"z = 0 Il est possible de calculer chacune des solutions x (ou y, ou z) en considrant, par exemple, l'quation suivante ,

rapport de 2 dterminants :

x =

n b c

0 b' c'0 b" c"

a b c

a' b' c'a" b" c"

(idem pour y et z)

ce qui s'crit, par exemple, pour le dterminant du dnominateur :

Cette formule sera applique pour dterminer plutt y (soit J ) et z (soit soit J). En effet, il s'agit, rappelons le, de dterminer le courant dans le pont de Wheatstone, soit dans le branche 5 o ne circulent que les courants de maille J et J . Pour y, on crira donc :

y =

a n c'

a' 0 c'a" 0 c"

a b c

a' b' c'a" b" c"

Pour

a n c

a' 0 c'a" 0 c"

on obtient : 0 + n c' a" + 0 -0 - (n a' c") - 0

soit : n c' a" - n a' c" En reportant dans y, on a :

)'c'a''a'n(c'

'c'na''a'nc'y ==

Si on rapporte J , on obtient ainsi, avec n = e et y = J :

)RR(RRRe.R

)RR(R)(-R)(-R)e.(-R

J 543245543245+++=++=

De la mme faon, pour le courant de maille J, on obtient:

)RR(RRRe.R

J 521425+++=

Pour calculer le courant i5, soit le courant dans la branche du pont de Wheatstone, il suffit alors d'crire :

)RRRe.(R

)]RR(RRRR)RR(RRRe.[R

JJi 14325214255432455=+++++==

Remarque : La condition du courant nul (pont quilibr) correspond R2 R3 - R4 R1 = 0. Le calcul de permet aussi de

calculer le courant quand le pont n'est pas quilibr.

=++= b" c'a - c" a' b - a" b' c - b" a' c a" c' b c" b'a '''''''''

cbacbacba

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Si dans la formule du courant i5 on fait R4 = 0, on trouve dans le pont un courant i5 , de mme signe que e. Ce rsultat se vrifie facilement en tudiant le circuit (cf. schma prcdent). Si R3 = 0, alors i5 est de l'autre signe.

Conclusion : Cette mthode des courants de maille est donc intressante pour calculer des courants dans une branche donne

dun circuit plusieurs mailles indpendantes (entre autres possibilits) En TP-TD Excel , vous traiterez ainsi le cas dun circuit lectrique constitu de 4 mailles indpendantes (ou

pont de Thomson).