線型代数学の概観 - miyazaki-u.ac.jp · 例を見てみよう。 例 半径 の円の面積...
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線型代数学の概観 ���������� �� 矢崎
目 次
�� 線型代数学とは� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� 線型性の例 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� 鶴亀算から連立 �次方程式へ � � � � � � � � � � � � �
�� ����の講義から � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� 補間多項式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� � パズル � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� 囚人のジレンマ ���� ���������� �������� � � � � � �
�� 線型計画法 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� 数値解析 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 線型微分方程式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 関数の線型結合 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 聴覚モデル � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 単回帰分析 �最小自乗法� � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 主成分分析 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� � 座標の変換 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 高次元化(ベクトル) � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 線型近似 ��� 非線型の世界 � � � � � � � � � � � � � ��
��� 非線型の世界 �~パイこね変換 � � � � � � � � � � � ��
��� 非線型の世界 �~マンデルブロー集合 � � � � � � � � ��
�� 線型代数学とは�
● 線型とは、線形、�次、リニア ������ と同義で、直線 ����!� ���� を語源とする。�次式
� " ��
は正比例の関係、例えば、
�を �倍 � �も �倍
であるような関係を式で表したものである。
# � �
�
��
�
�
� " ��
���� " ��とおくと、
����� " �����
���� $ ��� " ����� $ ������ � � � � � ���
という関係を満たす。
係数 �は現れない!
例� 時給 ���円とは、�時間働くと ���円の給料がもらえることを意味する。したがって、�時間働くと ����円もらえる。これを ���� " ����と書くことにすれば、�日 �時間労働を �日間続けた場合、総労働時間は �� �
時間であるから、もらえる給料は ���� ��である。一方、�日 ����円の給料を �日分もらえるとも考えられるから、結局、
���� �� " �����
が成り立つ。また、昨日は �時間、今日は �時間働いたとすると、�日間
���円は現れない!
でもらえる給料は ����$ ����であるが、これは �$�時間働いた給料に等しい:
���� $ ���� " ��� $ �� ���円は現れない!
性質 ���を線型性と呼ぶ。
● 代数学とは、集合の演算に関する「構造」を調べる、もしくは、数学的構造を有する集合を調べる学問である。
例� 実数全体の集合 � と行列全体の集合� では乗法に関して「構造」が異なる:
�� � � % � " �� �� �� % � �" �
�
�� 線型性の例
横の長さ �& 縦の長さ �の長方形の面積 ���� �� " ��は、横の長さ �について線型である:
�
� �
��
"�
�
�� �� �� $ ��
$ "
つまり、
����� �� " ����� ��
���� $ ��� �� " ����� �� $ ����� ��
という関係を満たす。
�を無視すると、� は �に
ついて線型
同様に、縦の長さ �についても線型である。
注� � は �と �の双方について線型であるので、双線型(�重線型、バイリニア '�������)と呼ばれる。
次に (非線型=線型でない)例を見てみよう。
例� 半径 �の円の面積 ����は、半径 �について線型でない。 ���� � ���
��
���"�
� �� � $ ��$ �"
つまり、
����� �" �����
��� $ ��� �" ���� $ �����
という関係になっている。
�
�� 鶴亀算から連立 �次方程式へ
つるかめ算~小学生
問 鶴と亀が合わせて �匹いる。足の数は合計 ��本。それぞれ、何匹ずついるか。
答 図を用いて解いた。全部亀とすると。。。
7
24
20
問題も苦しいが、解法の意味も苦しい。
連立 �次方程式~中学 �年
問 郵便小包を出そうと思い、料金を調べたら ���円だった。 �円切手と��円切手を組み合わせて ��枚はり、���円になるようにするには、�種類の切手をそれぞれ何枚はればよいですか。
答 未知数を �� �とおき、連立 �次方程式を立て、加減法、代入法、等置法などを用いて解いた。
解は必ずあると言い切れるか�
問 鶴と亀が合わせて �匹いる。足の数は合計 ��本。それぞれ、何匹ずついるか。
答 数学的には答えが出るが。。。。
� �解がある場合、加減法、代入法、等置法など、どんな解法で解いても正しい答えを得ることができる。つまり、解法によらず解は一致する。なぜか。� �
�
�� ����の講義から
����の学生だった*�����が「+�������� ,�� �������」として講義録を出版 ������。
問 以下の � � ��の �個の変量の間に成り立つ関係式を求めよ。
�匹の牛は ��日で ��箇所の牧場の牧草を食べ尽くす。 �匹の牛は ��日で ��箇所の牧場の牧草を食べ尽くす。 �匹の牛は ��日で ��箇所の牧場の牧草を食べ尽くす。
ただし& 全ての牧場の餌の収穫高は等しく& 毎日成長する牧草の量は不変であり& また& どの牛も毎日同一量の餌を食べると仮定する。
答 牧場の最初の餌の量を �& 毎日成長する牧草の量を �& 牛が毎日食べる牧草の量を �とおく。このとき& 次の連立 �次方程式が成り立つ。
���$ ����� � �� �� " ��
���$ ����� � �� �� " ��
���$ ����� � �� �� " ��
もちろん � " � " � " �という自明な解は面白くないので、自明解以外の解があるための条件が必要であり、それは、�& �& �を消去して
������� ��� � ���� $ ��������� � ����� �� " ���������� � ���
となる。
� �
この条件式は、行列式を用いると
��������� ���� ��� ��� ���� ��� ��� ���� ��� �
������� " � のように、
簡明に表現できる。� �
� 補間多項式
��平面上の �点 ���� ���� ���� ���の �座標が異なるとき、
� " �� $ ���
という形の直線の中で、これらの �点を通るものはただ一つ定まる。
同様に、�点 ���� ���& ���� ���& ���� ���の �座標が全て異なるとき、
� " �� $ ���$ ����
という形の曲線の中で、これらの �点を通るものはただ一つ定まる。
例� �個の点を通る �次式 � " �� $ ���$ ���� $ � � �$ ���
�はただ一つに定まる。
-15
-10
-5
0
5
10
15
-2 -1 0 1 2 3-15
-10
-5
0
5
10
15
-2 -1 0 1 2 3
問 一般に、�個の点 ���� ���� � � � � ���� ���の �座標が全て異なるとき、
� " �� $ ���$ ���� $ � � �$ �����
���
という形の曲線の中で、これらの �点を通るものはちょうど �本あることを示せ。
� �ファン・デル・モンド �� -�� .��-� の行列式を用いて証明できる。� �
�
�� � パズル
� パズルとは、�辺 � の正方形の駒 � 個を、�辺 �� の正方形の盤上に互いに重ならないように並べ、空いた �マスを利用して駒を上下左右に動かしながら、求められた配置に駒を並べ替るゲームである。
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
問 ルール通りに駒を動かして、上図の配置を、下図の ���あるいは �'�の配置に変えることはできるか?
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 15 14
���
1 2 6 7
3 5 8 13
4 9 12 14
10 11 15
�'�
� �(置換)の概念を学ぶと容易に解決できる。� �
�
�� 囚人のジレンマ ���� ���������� ��������
�人の容疑者 & �が共犯容疑で捕まっている。黙秘か自白かによって&
以下のような実刑年数が科せられる。
� 黙秘 自白黙秘 �� � � ����自白 � � �� � �
問 個別に尋問されているとき& & �はそれぞれどのような行動を取るべきか。ただし、以下を仮定しておこう。
仮定 � 各容疑者は、自分に対して最も軽い判決が下されることのみ関心がある。
仮定 � 各容疑者は、相棒が仮定 �を満たす人物で、かつ合理的な行為者であることを知っている。
仮定 � 各容疑者は、相棒がとりそうな行動に関して、仮定 �以外の情報は何も得られない。
答 に科せられる実刑年数の行列は、��� ���� �
�
であり、各行の最小値かつ各列の最大値となる場合が最適戦略である。つまり、自白した方がよい。
とはいうものの、この戦略は、達成可能な最良の結果 (自分は自白して釈放され、相手は黙秘して ��年の実刑を受ける)よりも、不利な結果を招く。これは本当に合理的な戦略の帰結といえるのか。
黙秘支持の意見% 各容疑者は二人とも合理的行為者であることを知っている。ならば同じ行為 (黙秘/黙秘か自白/自白)をとるはずである。したがって (黙秘/黙秘)こそが合理的選択である。
反論% 相手が黙秘を貫くと知っているならば、自分は自白して釈放された方がよい。しかし、そのような合理的選択は相手も考えるだろう。すると (自白/自白)になってしまう。二人とも同じ選択ならば (黙秘/黙秘)の方が刑は軽い。したがって、黙秘を選択する。こうして、話は元に戻ってしまう。これがジレンマと言われる所以である。 合理的行為が必ずしも最
良の結果を招くわけではなく、不合理でも成功する場合はありうる
� �線型計画法、ゲーム理論� �
�
�� 線型計画法
問 日本の米の産地を �� �� � � � ��と番号付けし、第 �番の産地で生産される米の量を ���0!�とする。生産された米は全国各地に配られ、各都道府県�第 �~第 ��消費地�ごとに ��� ��� � � � � ��� �0!� ずつ消費される。第 �産地から第 � 消費地に輸送される米の量を ����0!�とする。コストは �0!あたり ��� 円かかる。このとき& 制約条件���������������
������
��� �� �� " �� �� � � � ���
�����
��� � �� �� " �� �� � � � � ���
��� � � �� " �� �� � � � ��� � " �� �� � � � � ���
のもとで& 総輸送コスト � "�
������ ������
������ を最小にせよ。
産地 産地消費地 消費地
���
���
��� ���
����
���
���
���
�� ��
�� ��
�� ��
�� ��
�� ��
�� ��
�� ��
��� ���
���
���
���
���
���
���
���
���
� �線型計画法� �
�
�� 数値解析
長さ �の針金の点の座標を �とする。左端を � " �& 右端を � " �とし、 x
0 1� " ���� ��を時刻 �における点 �での針金の温度とすると、温度の時間変化は熱(伝導)方程式 ���に従う。
���
���
���
���� � � � � � � ��
�� ��� �� � �� �� � � � � �� (境界条件)
� ��� �� � ��� � � � � � (初期条件) ���� は初期の温度分布である。
適当に ����を与えて初期値境界値問題 ���������の解�の時間変化を数値シミュレーションで観察したい。区間 1�� �2を�等分し、刻み幅を3� " ���& 差分法で数値解析!時間刻み幅を � とすると、各分点と各時刻は、
�� � �� � �� � � ��� �� � � � � �� � �
点 �� の時刻 ��での (本当の)解 ����� ���の近似解を ��� とおく。�
�� 即ち、���� � �� �
��
は ���の近似式 ����と ������に対応した条件 ��������を満たす:
������
� � ���
�
����� � ���� � �����
���
� � � �� � �� � � �� � ��
�
��� ��� � ��� � � � � � �� �
�� ��� � ���� � �� � � ��
� " �3��とおくと、式 ����は式 �����となる(� " �� �� �� � � �)。アルゴリズム:
���� �
����������� � �� �
����������� � �� �
����������� � �� � � � � � � �
���
��������
����
�
����
�
������
����
���
���������
������
� �� �
� � �� �
� � � � � �� � �� �
� � ��
������
��������
������������
�����
��������
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
m = 0 (initial data)
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
m = 10
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
m = 40
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
m = 70
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
m = 200
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
m = 0, 10, 25, 40, 55, 70, 100, 135, 200, 320, 500
� �藤田宏「応用数学」放送大学教材、第 �章参照� �
��
��� 線型微分方程式
おもりの質量を� & 時刻 �での変位を ����とする。
����
床は滑らかであるとしたとき&
4��0� の法則:� " ������ �ばねの反撥力は変位に比例�
���� の運動方程式:� "�������
����力は加速度に比例�
より&
�������
���" ������
ここで& "��� とおくと&
������
���$ ����� " � � � � � � � ��
となる。5�� �と ��� �は �Æ�式を満たす。つまり& 解である。更に、
加法: 5�� �$ ��� �
スカラー倍:� 5�� �� ��� �
も �Æ�式の解である。即ち& �Æ�式の解全体の集合は
線型演算=和と実数倍
について閉じている。
� �解空間= ��次元�線型空間ということである。� �
��
��� 関数の線型結合
周期 �!の関数(方形波)
���� "
�� ��! " � " ��
� �� " � " !�
のフーリエ級数を求める。
f(x)
����は奇関数なので,�� " �である。よって,�のみ計算すればよい。
� "�
�!��� 5���!�
"�
�!��� ������
"
��� � �� "偶数 " �� " �� �� �� � � � �� " �� �� �� � � ����
�!�� "奇数 " ��� � " �� �� � � � � �� " �� �� �� � � ���
故に,
���� � �
!
�����
������� ���
��� �
"�
!
�����$
��� ��
�$
��� �
$ � � �$ ������� ���
��� �$ � � �
�正弦関数の �無限個の)線型結合!
N = 1 N = 2 N = 3
N = 4 N = 10 N = 100
図 �% ���のフーリエ級数の第�項までの和 第�部分和,� � � �� � �� �� ���
��
��� 聴覚モデル
6� ローレス/4� アントン(山下純一訳)『やさしい線型代数の応用』現代数学社(����)第 ��章より。
��
��� 単回帰分析 �最小自乗法�
�変量の�個のデータ ���� ���� ���� ���� � � � � ���� ���の散布図の観察から&
�を原因 �の結果であると想定して& その関係を直線
�� " �$ �� $ #� �� " �� �� � � � � �� � � � � � � �$�
として表現することを& 単回帰分析 �直線回帰& 線型回帰�と呼ぶ。ここで&
#�は ��では説明できな誤差項である。
例� 右図は& �を脳硬塞による死亡者数& �を年齢 � 歳以上人口とした散布図である。
� "
�������
�����
��
������ � � "
������ ��
� �����
� ��
������ � � "
��
�� � "
�����#�
#����
#�
������とおくと& 式 �$�は � "�� $ � となる。�は説明が難しい誤差データであるから&
% " ���� " �� ����� "��
���
#�� "
�����
��� � ��$ �����
とおいたとき& %はできるだけ小さい方が望ましい。最小の %を達成する
ような �� を �� "
���
�
�とするとき& 直線 � " �� $ �� を回帰直線
と呼ぶ。
��の求め方は �通りある:
��� � ����の大きさが最小
ベクトル��が描く �� 内の平面にベクトル � ���
�が直交 �� ���
�� � ���� " �
������� ����� " �
����� ���
�� " � �� は� の転置行列
������ � ����
�� " � � は任意!
��� � ����� " �
�� " ������� ���
��� % を �� の関数 % " %��� � とみると& �� は& 点 ���� �� において、 �� の平均:� ��
�
�
��
�� の平均:� ��
�
�
��
�� と �� の偏差積和:���
��
�
��� ����� � ���
�� の偏差平方和:��� �
�
�
��� ����
&%
&�"&%
&" � を満たす。これより& �� " � � ��� � "
%��%��
を得る。
� �最小自乗法、回帰分析(統計学、多変量解析学)� �
��
��� 主成分分析
�人の生徒の英語と数学のテストの点数表 �共に& ���点満点�。英語のテストは ��点× 問であった。
生徒 英語 ��� 数学 ���
� �� �
� �� �����
������
� �� �����
������
� � ��
全体を見ると& 英語の点数は � �� ���& 数学は �� �� ��のように分布していた。
単純に合計 � " �$ �をとると& 数学の比重は英語の �問分になってしまう。だから& 例えば& � " �$ �とし& 重み付き合計点を計算してやる方が�� �の総合特性値としてはより適切であろう。一般に& � " �� $ �とし&
��平面上の散布図で& 分散が一番大きい方向を �方向とするような �� を見つける。この方法を主成分分析法という。
�� �のそれぞれの分散と �� �の共分散をそれぞれ '��� '��� '�� とする。即ち&
'�� "�
�
�����
��� � ���� '�� "�
�
�����
��� � ���� '�� "�
�
�����
��� � ����� � ��
である。分散共分散行列を ( とし& � " ��$ �としたときの係数を �とする:
( "
�'�� '��
'�� '��
�� � "
��
��
このとき& � " ��$ �の分散 'は
' "��( �
と表される。実は �ラグランジュの未定乗数法より�& 条件 ���� " �のもと& 分散 'を最大にする �は& ( の最大固有値 ��に属する固有ベクトル
�� "
���
��
�であることがわかる。また& そのときの分散は ' " �� で
ある。
よって& 分散が十分に大きかったら& 重み付きの和 � " ���$���が �と�の総合特性値として適切であることがわかる。
� �固有値、主成分分析(統計学、多変量解析学)� �
�
� � 座標の変換
�次方程式
��
��$��
�" � �� ) ) �� � � � � � � ���
が長径 ��& 短径 �の楕円の式を表すことはよく知られているが、�次方程式
�� � �� $ �� " � � � � � � � ��
も楕円を表すことは、すぐにはわからない。実は、下図のように、見慣れた楕円を回転させただけの式である。
�
� ����
��
��
楕円 �� � �� $ �� " �(左)と楕円���
�����
$���
�����
" �(右)
��座標系における式 �Æ�は、座標(視点)を変換することにより、����座標系においては標準形 ���となる:
��������
$���
�����
" �
このような変換の方法(��& ��の見つけ方)は行列の固有値問題と密接に関わりあっている。この変換の方法を学ぶと、与えられた一般の �次式から、�次曲線(楕円、双曲線、放物線)や、�次曲面(楕円面、放物双曲面、回転放物面)などを「完全に」分類することができる。
� �基底の変換、固有値、対角化� �
��
��� 高次元化(ベクトル)
統計学では �つの尺度(名義&順序&間隔&比)に注意を払っている。「5�」 名義尺度:男女、大人子供、持家借家順序尺度:試験の点数、住みやすさ、アンケートの評価間隔尺度:℃などの温度、時刻比尺度:長さ、重さ、時間の経過、絶対温度
や「0!」などの比尺度は四則演算可能だが& 「個」や「点」などの尺度を扱うときには注意を要する。たとえば&
人参 �個$消しゴム �個$ボール ��個�
という計算はナンセンスなのである。それと同様に&
英語 ��点$数学 �点$理科 ��点$社会 ��点�
という計算も本来は無理がある。これは&
「英語 甲+数学 乙+理科 丙+社会 甲」& もしくは「英語 ++数学 7+理科 6+社会 +」
という計算ができないことからも分かる。ましてや平均なんぞ取れない。 点数は本来順序尺度である。つまり、大小関係のみ比較することができる。
本来は& 座標軸をかえる必要がある。つまり& ベクトルとして& ����英語数学理科社会
����� "
������
�
��
��
�����と表現されるのが正しい。 次元空間内のベクトル!
例� つの製品を販売している。それらの価格は、� "
����������
��
��
��
�
�������� である。製 価格 �� ��
品がそれぞれ � "
��������*�
*�
*�
*�
*
�������� 個ずつ売れた。例えば、第 �の製品が *�個売れ 数量 ����� ��
たことにより、��*�だけの収入が得られる。全収入は、
� � � " ��*� $ ��*� $ ��*� $ ��*� $ �*
である。 �次元空間内のベクトルの内積!
� �このように高次元への飛躍は容易である。� �
��
��� 線型近似 ��� 非線型の世界
● 線型近似=拡大すると直線に近付く
� " ����
��
微分 �� � �������� も線
型!
● 非線型の例:コッホ 8�5� 曲線(拡大しても拡大してもギザギザ)
� �フラクタル図形� �
��
��� 非線型の世界 �~パイこね変換
線型の世界ならば未来が予測できるのだが。。。
初期の微小なずれが& 未来では大きな違いにになる=初期値に対する鋭敏性。
� �カオス& バタフライ効果& ゴルフも� 『線型代数学』�� ��参照。� �
��
��� 非線型の世界 �~マンデルブロー集合���� � ��� � �� � � �� � �� � ��
によって定義される複素数列 ���� が全ての
� に対して有界であるような複素数 � の集合。すなわち ��������
���� �� が成り
立つような複素数 � 全体の集合。
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
(1)
(2)
(3)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
(2)
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
(1)
(4)
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
1.7 1.72 1.74 1.76 1.78 1.8
(3)
0.8
0.82
0.84
0.86
0.88
0.9
0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3
(4)
(5)
0.84
0.842
0.844
0.846
0.848
0.85
0.27 0.272 0.274 0.276 0.278 0.28
(5)
� �フラクタル、マンデルブロー .��-��'�� 集合� �
��