線型代数学の概観 - miyazaki-u.ac.jp · 例を見てみよう。 例 半径 の円の面積...

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線型代数学の概観 目次 から から パズル ジレンマ 覚モデル (ベクトル) ~パイこ ~マンデルブロー

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Page 1: 線型代数学の概観 - miyazaki-u.ac.jp · 例を見てみよう。 例 半径 の円の面積 は、半径 について線型でない。 " $ $ " つまり、 " $ " $ という関係になっている。

線型代数学の概観 ���������� �� 矢崎

目 次

�� 線型代数学とは� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 線型性の例 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 鶴亀算から連立 �次方程式へ � � � � � � � � � � � � �

�� ����の講義から � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� 補間多項式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� � パズル � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 囚人のジレンマ ���� ���������� �������� � � � � � �

�� 線型計画法 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 数値解析 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 線型微分方程式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 関数の線型結合 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 聴覚モデル � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 単回帰分析 �最小自乗法� � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 主成分分析 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � 座標の変換 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 高次元化(ベクトル) � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 線型近似 ��� 非線型の世界 � � � � � � � � � � � � � ��

��� 非線型の世界 �~パイこね変換 � � � � � � � � � � � ��

��� 非線型の世界 �~マンデルブロー集合 � � � � � � � � ��

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�� 線型代数学とは�

● 線型とは、線形、�次、リニア ������ と同義で、直線 ����!� ���� を語源とする。�次式

� " ��

は正比例の関係、例えば、

�を �倍 � �も �倍

であるような関係を式で表したものである。

# � �

��

� " ��

���� " ��とおくと、

����� " �����

���� $ ��� " ����� $ ������ � � � � � ���

という関係を満たす。

係数 �は現れない!

例� 時給 ���円とは、�時間働くと ���円の給料がもらえることを意味する。したがって、�時間働くと ����円もらえる。これを ���� " ����と書くことにすれば、�日 �時間労働を �日間続けた場合、総労働時間は �� �

時間であるから、もらえる給料は ���� ��である。一方、�日 ����円の給料を �日分もらえるとも考えられるから、結局、

���� �� " �����

が成り立つ。また、昨日は �時間、今日は �時間働いたとすると、�日間

���円は現れない!

でもらえる給料は ����$ ����であるが、これは �$�時間働いた給料に等しい:

���� $ ���� " ��� $ �� ���円は現れない!

性質 ���を線型性と呼ぶ。

● 代数学とは、集合の演算に関する「構造」を調べる、もしくは、数学的構造を有する集合を調べる学問である。

例� 実数全体の集合 � と行列全体の集合� では乗法に関して「構造」が異なる:

�� � � % � " �� �� �� % � �" �

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�� 線型性の例

横の長さ �& 縦の長さ �の長方形の面積 ���� �� " ��は、横の長さ �について線型である:

� �

��

"�

�� �� �� $ ��

$ "

つまり、

����� �� " ����� ��

���� $ ��� �� " ����� �� $ ����� ��

という関係を満たす。

�を無視すると、� は �に

ついて線型

同様に、縦の長さ �についても線型である。

注� � は �と �の双方について線型であるので、双線型(�重線型、バイリニア '�������)と呼ばれる。

次に (非線型=線型でない)例を見てみよう。

例� 半径 �の円の面積 ����は、半径 �について線型でない。 ���� � ���

��

���"�

� �� � $ ��$ �"

つまり、

����� �" �����

��� $ ��� �" ���� $ �����

という関係になっている。

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�� 鶴亀算から連立 �次方程式へ

つるかめ算~小学生

問 鶴と亀が合わせて �匹いる。足の数は合計 ��本。それぞれ、何匹ずついるか。

答 図を用いて解いた。全部亀とすると。。。

7

24

20

問題も苦しいが、解法の意味も苦しい。

連立 �次方程式~中学 �年

問 郵便小包を出そうと思い、料金を調べたら ���円だった。 �円切手と��円切手を組み合わせて ��枚はり、���円になるようにするには、�種類の切手をそれぞれ何枚はればよいですか。

答 未知数を �� �とおき、連立 �次方程式を立て、加減法、代入法、等置法などを用いて解いた。

解は必ずあると言い切れるか�

問 鶴と亀が合わせて �匹いる。足の数は合計 ��本。それぞれ、何匹ずついるか。

答 数学的には答えが出るが。。。。

� �解がある場合、加減法、代入法、等置法など、どんな解法で解いても正しい答えを得ることができる。つまり、解法によらず解は一致する。なぜか。� �

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�� ����の講義から

����の学生だった*�����が「+�������� ,�� �������」として講義録を出版 ������。

問 以下の � � ��の �個の変量の間に成り立つ関係式を求めよ。

�匹の牛は ��日で ��箇所の牧場の牧草を食べ尽くす。 �匹の牛は ��日で ��箇所の牧場の牧草を食べ尽くす。 �匹の牛は ��日で ��箇所の牧場の牧草を食べ尽くす。

ただし& 全ての牧場の餌の収穫高は等しく& 毎日成長する牧草の量は不変であり& また& どの牛も毎日同一量の餌を食べると仮定する。

答 牧場の最初の餌の量を �& 毎日成長する牧草の量を �& 牛が毎日食べる牧草の量を �とおく。このとき& 次の連立 �次方程式が成り立つ。

���$ ����� � �� �� " ��

���$ ����� � �� �� " ��

���$ ����� � �� �� " ��

もちろん � " � " � " �という自明な解は面白くないので、自明解以外の解があるための条件が必要であり、それは、�& �& �を消去して

������� ��� � ���� $ ��������� � ����� �� " ���������� � ���

となる。

� �

この条件式は、行列式を用いると

��������� ���� ��� ��� ���� ��� ��� ���� ��� �

������� " � のように、

簡明に表現できる。� �

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� 補間多項式

��平面上の �点 ���� ���� ���� ���の �座標が異なるとき、

� " �� $ ���

という形の直線の中で、これらの �点を通るものはただ一つ定まる。

同様に、�点 ���� ���& ���� ���& ���� ���の �座標が全て異なるとき、

� " �� $ ���$ ����

という形の曲線の中で、これらの �点を通るものはただ一つ定まる。

例� �個の点を通る �次式 � " �� $ ���$ ���� $ � � �$ ���

�はただ一つに定まる。

-15

-10

-5

0

5

10

15

-2 -1 0 1 2 3-15

-10

-5

0

5

10

15

-2 -1 0 1 2 3

問 一般に、�個の点 ���� ���� � � � � ���� ���の �座標が全て異なるとき、

� " �� $ ���$ ���� $ � � �$ �����

���

という形の曲線の中で、これらの �点を通るものはちょうど �本あることを示せ。

� �ファン・デル・モンド �� -�� .��-� の行列式を用いて証明できる。� �

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�� � パズル

� パズルとは、�辺 � の正方形の駒 � 個を、�辺 �� の正方形の盤上に互いに重ならないように並べ、空いた �マスを利用して駒を上下左右に動かしながら、求められた配置に駒を並べ替るゲームである。

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15

問 ルール通りに駒を動かして、上図の配置を、下図の ���あるいは �'�の配置に変えることはできるか?

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 15 14

���

1 2 6 7

3 5 8 13

4 9 12 14

10 11 15

�'�

� �(置換)の概念を学ぶと容易に解決できる。� �

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�� 囚人のジレンマ ���� ���������� ��������

�人の容疑者 & �が共犯容疑で捕まっている。黙秘か自白かによって&

以下のような実刑年数が科せられる。

� 黙秘 自白黙秘 �� � � ����自白 � � �� � �

問 個別に尋問されているとき& & �はそれぞれどのような行動を取るべきか。ただし、以下を仮定しておこう。

仮定 � 各容疑者は、自分に対して最も軽い判決が下されることのみ関心がある。

仮定 � 各容疑者は、相棒が仮定 �を満たす人物で、かつ合理的な行為者であることを知っている。

仮定 � 各容疑者は、相棒がとりそうな行動に関して、仮定 �以外の情報は何も得られない。

答 に科せられる実刑年数の行列は、��� ���� �

であり、各行の最小値かつ各列の最大値となる場合が最適戦略である。つまり、自白した方がよい。

とはいうものの、この戦略は、達成可能な最良の結果 (自分は自白して釈放され、相手は黙秘して ��年の実刑を受ける)よりも、不利な結果を招く。これは本当に合理的な戦略の帰結といえるのか。

黙秘支持の意見% 各容疑者は二人とも合理的行為者であることを知っている。ならば同じ行為 (黙秘/黙秘か自白/自白)をとるはずである。したがって (黙秘/黙秘)こそが合理的選択である。

反論% 相手が黙秘を貫くと知っているならば、自分は自白して釈放された方がよい。しかし、そのような合理的選択は相手も考えるだろう。すると (自白/自白)になってしまう。二人とも同じ選択ならば (黙秘/黙秘)の方が刑は軽い。したがって、黙秘を選択する。こうして、話は元に戻ってしまう。これがジレンマと言われる所以である。 合理的行為が必ずしも最

良の結果を招くわけではなく、不合理でも成功する場合はありうる

� �線型計画法、ゲーム理論� �

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�� 線型計画法

問 日本の米の産地を �� �� � � � ��と番号付けし、第 �番の産地で生産される米の量を ���0!�とする。生産された米は全国各地に配られ、各都道府県�第 �~第 ��消費地�ごとに ��� ��� � � � � ��� �0!� ずつ消費される。第 �産地から第 � 消費地に輸送される米の量を ����0!�とする。コストは �0!あたり ��� 円かかる。このとき& 制約条件���������������

������

��� �� �� " �� �� � � � ���

�����

��� � �� �� " �� �� � � � � ���

��� � � �� " �� �� � � � ��� � " �� �� � � � � ���

のもとで& 総輸送コスト � "�

������ ������

������ を最小にせよ。

産地 産地消費地 消費地

���

���

��� ���

����

���

���

���

�� ��

�� ��

�� ��

�� ��

�� ��

�� ��

�� ��

��� ���

���

���

���

���

���

���

���

���

� �線型計画法� �

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�� 数値解析

長さ �の針金の点の座標を �とする。左端を � " �& 右端を � " �とし、 x

0 1� " ���� ��を時刻 �における点 �での針金の温度とすると、温度の時間変化は熱(伝導)方程式 ���に従う。

���

���

���

���� � � � � � � ��

�� ��� �� � �� �� � � � � �� (境界条件)

� ��� �� � ��� � � � � � (初期条件) ���� は初期の温度分布である。

適当に ����を与えて初期値境界値問題 ���������の解�の時間変化を数値シミュレーションで観察したい。区間 1�� �2を�等分し、刻み幅を3� " ���& 差分法で数値解析!時間刻み幅を � とすると、各分点と各時刻は、

�� � �� � �� � � ��� �� � � � � �� � �

点 �� の時刻 ��での (本当の)解 ����� ���の近似解を ��� とおく。�

�� 即ち、���� � �� �

��

は ���の近似式 ����と ������に対応した条件 ��������を満たす:

������

� � ���

����� � ���� � �����

���

� � � �� � �� � � �� � ��

��� ��� � ��� � � � � � �� �

�� ��� � ���� � �� � � ��

� " �3��とおくと、式 ����は式 �����となる(� " �� �� �� � � �)。アルゴリズム:

���� �

����������� � �� �

����������� � �� �

����������� � �� � � � � � � �

���

��������

����

����

������

����

���

���������

������

� �� �

� � �� �

� � � � � �� � �� �

� � ��

������

��������

������������

�����

��������

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

m = 0 (initial data)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

m = 10

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

m = 40

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

m = 70

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

m = 200

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

m = 0, 10, 25, 40, 55, 70, 100, 135, 200, 320, 500

� �藤田宏「応用数学」放送大学教材、第 �章参照� �

��

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��� 線型微分方程式

おもりの質量を� & 時刻 �での変位を ����とする。

����

床は滑らかであるとしたとき&

4��0� の法則:� " ������ �ばねの反撥力は変位に比例�

���� の運動方程式:� "�������

����力は加速度に比例�

より&

�������

���" ������

ここで& "��� とおくと&

������

���$ ����� " � � � � � � � ��

となる。5�� �と ��� �は �Æ�式を満たす。つまり& 解である。更に、

加法: 5�� �$ ��� �

スカラー倍:� 5�� �� ��� �

も �Æ�式の解である。即ち& �Æ�式の解全体の集合は

線型演算=和と実数倍

について閉じている。

� �解空間= ��次元�線型空間ということである。� �

��

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��� 関数の線型結合

周期 �!の関数(方形波)

���� "

�� ��! " � " ��

� �� " � " !�

のフーリエ級数を求める。

f(x)

����は奇関数なので,�� " �である。よって,�のみ計算すればよい。

� "�

�!��� 5���!�

"�

�!��� ������

"

��� � �� "偶数 " �� " �� �� �� � � � �� " �� �� �� � � ����

�!�� "奇数 " ��� � " �� �� � � � � �� " �� �� �� � � ���

故に,

���� � �

!

�����

������� ���

��� �

"�

!

�����$

��� ��

�$

��� �

$ � � �$ ������� ���

��� �$ � � �

�正弦関数の �無限個の)線型結合!

N = 1 N = 2 N = 3

N = 4 N = 10 N = 100

図 �% ���のフーリエ級数の第�項までの和 第�部分和,� � � �� � �� �� ���

��

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��� 聴覚モデル

6� ローレス/4� アントン(山下純一訳)『やさしい線型代数の応用』現代数学社(����)第 ��章より。

��

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��� 単回帰分析 �最小自乗法�

�変量の�個のデータ ���� ���� ���� ���� � � � � ���� ���の散布図の観察から&

�を原因 �の結果であると想定して& その関係を直線

�� " �$ �� $ #� �� " �� �� � � � � �� � � � � � � �$�

として表現することを& 単回帰分析 �直線回帰& 線型回帰�と呼ぶ。ここで&

#�は ��では説明できな誤差項である。

例� 右図は& �を脳硬塞による死亡者数& �を年齢 � 歳以上人口とした散布図である。

� "

�������

�����

��

������ � � "

������ ��

� �����

� ��

������ � � "

��

�� � "

�����#�

#����

#�

������とおくと& 式 �$�は � "�� $ � となる。�は説明が難しい誤差データであるから&

% " ���� " �� ����� "��

���

#�� "

�����

��� � ��$ �����

とおいたとき& %はできるだけ小さい方が望ましい。最小の %を達成する

ような �� を �� "

���

�とするとき& 直線 � " �� $ �� を回帰直線

と呼ぶ。

��の求め方は �通りある:

��� � ����の大きさが最小

ベクトル��が描く �� 内の平面にベクトル � ���

�が直交 �� ���

�� � ���� " �

������� ����� " �

����� ���

�� " � �� は� の転置行列

������ � ����

�� " � � は任意!

��� � ����� " �

�� " ������� ���

��� % を �� の関数 % " %��� � とみると& �� は& 点 ���� �� において、 �� の平均:� ��

��

�� の平均:� ��

��

�� と �� の偏差積和:���

��

��� ����� � ���

�� の偏差平方和:��� �

��� ����

&%

&�"&%

&" � を満たす。これより& �� " � � ��� � "

%��%��

を得る。

� �最小自乗法、回帰分析(統計学、多変量解析学)� �

��

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��� 主成分分析

�人の生徒の英語と数学のテストの点数表 �共に& ���点満点�。英語のテストは ��点× 問であった。

生徒 英語 ��� 数学 ���

� �� �

� �� �����

������

� �� �����

������

� � ��

全体を見ると& 英語の点数は � �� ���& 数学は �� �� ��のように分布していた。

単純に合計 � " �$ �をとると& 数学の比重は英語の �問分になってしまう。だから& 例えば& � " �$ �とし& 重み付き合計点を計算してやる方が�� �の総合特性値としてはより適切であろう。一般に& � " �� $ �とし&

��平面上の散布図で& 分散が一番大きい方向を �方向とするような �� を見つける。この方法を主成分分析法という。

�� �のそれぞれの分散と �� �の共分散をそれぞれ '��� '��� '�� とする。即ち&

'�� "�

�����

��� � ���� '�� "�

�����

��� � ���� '�� "�

�����

��� � ����� � ��

である。分散共分散行列を ( とし& � " ��$ �としたときの係数を �とする:

( "

�'�� '��

'�� '��

�� � "

��

��

このとき& � " ��$ �の分散 'は

' "��( �

と表される。実は �ラグランジュの未定乗数法より�& 条件 ���� " �のもと& 分散 'を最大にする �は& ( の最大固有値 ��に属する固有ベクトル

�� "

���

��

�であることがわかる。また& そのときの分散は ' " �� で

ある。

よって& 分散が十分に大きかったら& 重み付きの和 � " ���$���が �と�の総合特性値として適切であることがわかる。

� �固有値、主成分分析(統計学、多変量解析学)� �

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� � 座標の変換

�次方程式

��

��$��

�" � �� ) ) �� � � � � � � ���

が長径 ��& 短径 �の楕円の式を表すことはよく知られているが、�次方程式

�� � �� $ �� " � � � � � � � ��

も楕円を表すことは、すぐにはわからない。実は、下図のように、見慣れた楕円を回転させただけの式である。

� ����

��

��

楕円 �� � �� $ �� " �(左)と楕円���

�����

$���

�����

" �(右)

��座標系における式 �Æ�は、座標(視点)を変換することにより、����座標系においては標準形 ���となる:

��������

$���

�����

" �

このような変換の方法(��& ��の見つけ方)は行列の固有値問題と密接に関わりあっている。この変換の方法を学ぶと、与えられた一般の �次式から、�次曲線(楕円、双曲線、放物線)や、�次曲面(楕円面、放物双曲面、回転放物面)などを「完全に」分類することができる。

� �基底の変換、固有値、対角化� �

��

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��� 高次元化(ベクトル)

統計学では �つの尺度(名義&順序&間隔&比)に注意を払っている。「5�」 名義尺度:男女、大人子供、持家借家順序尺度:試験の点数、住みやすさ、アンケートの評価間隔尺度:℃などの温度、時刻比尺度:長さ、重さ、時間の経過、絶対温度

や「0!」などの比尺度は四則演算可能だが& 「個」や「点」などの尺度を扱うときには注意を要する。たとえば&

人参 �個$消しゴム �個$ボール ��個�

という計算はナンセンスなのである。それと同様に&

英語 ��点$数学 �点$理科 ��点$社会 ��点�

という計算も本来は無理がある。これは&

「英語 甲+数学 乙+理科 丙+社会 甲」& もしくは「英語 ++数学 7+理科 6+社会 +」

という計算ができないことからも分かる。ましてや平均なんぞ取れない。 点数は本来順序尺度である。つまり、大小関係のみ比較することができる。

本来は& 座標軸をかえる必要がある。つまり& ベクトルとして& ����英語数学理科社会

����� "

������

��

��

�����と表現されるのが正しい。 次元空間内のベクトル!

例� つの製品を販売している。それらの価格は、� "

����������

��

��

��

�������� である。製 価格 �� ��

品がそれぞれ � "

��������*�

*�

*�

*�

*

�������� 個ずつ売れた。例えば、第 �の製品が *�個売れ 数量 ����� ��

たことにより、��*�だけの収入が得られる。全収入は、

� � � " ��*� $ ��*� $ ��*� $ ��*� $ �*

である。 �次元空間内のベクトルの内積!

� �このように高次元への飛躍は容易である。� �

��

Page 18: 線型代数学の概観 - miyazaki-u.ac.jp · 例を見てみよう。 例 半径 の円の面積 は、半径 について線型でない。 " $ $ " つまり、 " $ " $ という関係になっている。

��� 線型近似 ��� 非線型の世界

● 線型近似=拡大すると直線に近付く

� " ����

��

微分 �� � �������� も線

型!

● 非線型の例:コッホ 8�5� 曲線(拡大しても拡大してもギザギザ)

� �フラクタル図形� �

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��� 非線型の世界 �~パイこね変換

線型の世界ならば未来が予測できるのだが。。。

初期の微小なずれが& 未来では大きな違いにになる=初期値に対する鋭敏性。

� �カオス& バタフライ効果& ゴルフも� 『線型代数学』�� ��参照。� �

��

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��� 非線型の世界 �~マンデルブロー集合���� � ��� � �� � � �� � �� � ��

によって定義される複素数列 ���� が全ての

� に対して有界であるような複素数 � の集合。すなわち ��������

���� �� が成り

立つような複素数 � 全体の集合。

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

(1)

(2)

(3)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

(2)

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

(1)

(4)

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

1.7 1.72 1.74 1.76 1.78 1.8

(3)

0.8

0.82

0.84

0.86

0.88

0.9

0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3

(4)

(5)

0.84

0.842

0.844

0.846

0.848

0.85

0.27 0.272 0.274 0.276 0.278 0.28

(5)

� �フラクタル、マンデルブロー .��-��'�� 集合� �

��