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METODOS NUMERICOS

Ingeniería Civil

ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.

Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil

Departamento académico de ingeniería de minas y civil

CATEDRA 05

Capitulo V

Ecuaciones Algebraicas No Lineales:

Temas Especiales

ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

Búsqueda de Varias Raíces de Ecuaciones

No Lineales

BÚSQUEDA DE VARIAS RAÍCES

ECUACIONES CON VARIAS RAÍCES

• Las ecuaciones tienen una o varias raíces y esmenester localizar cada una de ellas.

• La posible existencia de raíces múltiples complicael problema.• En la vecindad de la raíz, tanto la función como su

derivada se acercan a cero.• Las ecuaciones con un número par de raíces múltiples

son tangentes al eje x y no lo cruzan.• Las ecuaciones con un número impar de raíces múltiples

cruzan al eje x en un punto de inflexión.• En caso de raíces múltiples, al no haber cambio de signo,

los métodos cerrados no son confiables.

MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL• La búsqueda consiste en empezar en un extremo del intervalo de

interés y evaluar la función con pequeños incrementos a lo largo delintervalo.

• Si la longitud del incremento no es lo suficientemente pequeña,algunas raíces pueden pasar inadvertidas.

f(x)

xx0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

x x x x x x x x x

2 raíces 3 raíces 2 raíces

MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL• El método de búsqueda incremental se utiliza para identificar todas las

raíces de una ecuación, considerando:• La manera como se presenta físicamente el fenómeno.• El número de raíces reales y/o complejas que se espera tenga la ecuación,

especialmente cuando se trata de polinomios.

• Es conveniente utilizar tamaños de incremento acordes con el fenómenoanalizado y el número esperado de raíces.

• Ante la sospecha de que la ecuación algebraica o trascendente tengamás raíces de las encontradas con cierto tamaño de incremento, serecomienda:• Obtener las tangentes en los extremos de cada incremento para identificar

cambios de signo y, en su caso, analizar el subintervalo de incremento másminuciosamente.

• Reducir a la mitad el tamaño de los incrementos.

• Se ha de tener especial cuidado al hacer el bosquejo de una gráfica,cuando no se dispone de dispositivos que grafiquen de manera confiableporque el trazado a base de incrementos, puede ser sumamenteengañoso.

MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

3.00 3.50 4.00 4.50 5.00

Trazado con incrementos de 0.50, parece que hay solo 2 raíces

f(x) 10senX 3cos X


Trazado con incrementos de 0.50, parece que hay solo 2 raícesNecesario revisar en 2 subintervalo de incremento más

f(x) 10senX 3cos X

x f(x) f'(x) raíces revisar

3.00 -1.899161886 0.306159043

3.50 -0.903719597 -6.397834771 1

4.00 1.588967119 -5.059661863 1

4.50 1.445824188 2.841866609 1

5.00 -1.022062767 7.698796764 1


-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

3.00 3.20 3.40 3.60 3.80 4.00 4.20 4.40 4.60 4.80 5.00


f(x) 10senX 3cos X


Trazado con incrementos de 0.20, parece que hay solo 2 raícesNecesario revisar en 6 subintervalos de incremento más

f(x) 10senX 3cos X

x f(x) f'(x) raíces revisar

3.00 -1.899161886 0.306159043

3.20 -0.433261175 8.865213949

3.40 -0.185182966 -6.386078685 1

3.60 -1.18610876 1.663171794 1

3.80 0.689859445 12.30872202 1

4.00 1.588967119 -5.059661863 1

4.20 0.082913038 -4.100722292

4.40 0.823585883 8.222212542 1

4.60 1.232603226 -7.152866457 1

4.80 -1.028072018 -9.298416724 1

5.00 -1.022062767 7.698796764 1


-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90 4.00 4.10 4.20 4.30 4.40 4.50 4.60 4.70 4.80 4.90 5.00


f(x) 10senX 3cos X


Trazado con incrementos de 0.10, parece que hay solo 4 raícesNecesario revisar en 6 subintervalos de incremento más

f(x) 10senX 3cos X

x f(x) f'(x) raíces revisar x f(x) f'(x) raíces revisar

3.00 -1.899161886 0.306159043 4.00 1.588967119 -5.059661863

3.10 -1.396262971 8.774060308 4.10 0.806109949 -9.083697401

3.20 -0.433261175 8.865213949 4.20 0.082913038 -4.100722292

3.30 0.110720707 1.239840209 1 4.30 0.113085296 4.568709698 1

3.40 -0.185182966 -6.386078685 1 1 4.40 0.823585883 8.222212542

3.50 -0.903719597 -6.397834771 4.50 1.445824188 2.841866609

3.60 -1.18610876 1.663171794 1 4.60 1.232603226 -7.152866457 1

3.70 -0.539302106 10.63779828 4.70 0.160731508 -12.92128286

3.80 0.689859445 12.30872202 1 4.80 -1.028072018 -9.298416724 1

3.90 1.611391725 4.952380075 4.90 -1.487337039 0.468684944 1

4.00 1.588967119 -5.059661863 1 5.00 -1.022062767 7.698796764


-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90 4.00 4.10 4.20 4.30 4.40 4.50 4.60 4.70 4.80 4.90 5.00

Trazado con incrementos de 0.05, se ve que hay 6 raíces

f(x) 10senX 3cos X


-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 4.26 4.27 4.28 4.29 4.30

f(x) 10senX 3cos X

detalle

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO

1. Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como

aproximación de la raíz.

2. Obtener los valores de la función, de su primera y de su

segunda derivada en ese punto.

3. Establecer la función (x) = f(x)/f’(x) y obtener el valor de la

misma en el punto inicial.

4. Trazar una recta tangente a la función (x) por ese punto.

5. El punto de intersección de esta recta con el eje de las

abscisas (x2, 0), constituye una segunda aproximación de

la raíz.

6. El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersec-

ción xn coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADOf(x)

x


xx1


f’(x1)

x

f(x)

f ’(x) f ”(x)

f(x1)

x1

f”(x1)

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO(x)

x

f(x)(x)f '(x)

x1

(x1)


xx1


• Para deducir la fórmula de recurrencia:

2

2 2

ii 1 i

i2

i ii 1 i 2

i i i i

i ii 1 i 2

i i i

f(x)(x)f '(x)f '(x)f '(x) f(x)f "(x) [f '(x)] f(x)f "(x)'(x)

[f '(x)] [f '(x)](x )x x'(x )

f(x )[f '(x )]x xf '(x ) [f '(x )] f(x )f "(x )

f(x )f '(x )x x[f '(x )] f(x )f "(x )


xx2x1

i ii 1 i 2

i i i

f(x )f '(x )x x[f '(x )] f(x )f "(x )

(x2)

ii 1 i

i

(x )x x'(x )


xx2x1

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4

f(X) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3

triple raíz


iteración Xi f(Xi) f'(Xi) f"(Xi) Xi '(Xi) e(%) e*(%)

1 0 3 -10 24 -0.3 0.28 100.00

2 1.07142857 -0.00070283 -0.02915452 -0.79591837 0.02410714 0.341875 7.14 100.00

3 1.00091408 -1.5268E-09 -5.0102E-06 -0.01095889 0.00030474 0.33343478 0.09 7.05

4 1.00000014 0 -1.1191E-13 -1.6623E-06 0 1 0.00 0.09

5 1.00000014 0 -1.1191E-13 -1.6623E-06 0 1 0.00 0.00

f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3

FunciónRecurrencia x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON TRADICIONAL

f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3iteración Xi f(Xi) f'(Xi) e(%) e*(%)

1 0 3 -10 100.00

2 0.3 0.9261 -4.312 70.00 100.00

3 0.51477273 0.28392375 -1.86965136 48.52 41.72

4 0.66663192 0.08644807 -0.81500014 33.34 22.78

5 0.77270315 0.02615522 -0.35695527 22.73 13.73

6 0.84597625 0.0078707 -0.15695571 15.40 8.66

7 0.89612227 0.00235824 -0.06922711 10.39 5.60

8 0.93018753 0.00070426 -0.03060369 6.98 3.66

9 0.95319963 0.00020981 -0.01355167 4.68 2.41

10 0.96868175 6.2398E-05 -0.00600787 3.13 1.60

11 0.97906779 1.8535E-05 -0.00266563 2.09 1.06

12 0.98602119 5.5013E-06 -0.00118337 1.40 0.71

13 0.99067004 1.6319E-06 -0.00052554 0.93 0.47

14 0.99377522 4.839E-07 -0.00023345 0.62 0.31

15 0.995848 1.4345E-07 -0.00010372 0.42 0.21

16 0.99723105 4.2519E-08 -4.6088E-05 0.28 0.14

17 0.99815361 1.2601E-08 -2.048E-05 0.18 0.09

18 0.99876888 3.7342E-09 -9.1014E-06 0.12 0.06

19 0.99917917 1.1065E-09 -4.0448E-06 0.08 0.04

20 0.99945274 3.2789E-10 -1.7976E-06 0.05 0.03

21 0.99963515 9.7155E-11 -7.9891E-07 0.04 0.02

22 0.99975675 2.8788E-11 -3.5507E-07 0.02 0.01

x1 = 1x2 = 1x3 = 1

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON TRADICIONAL

f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3

iteración Xi f(Xi) f'(Xi) e(%) e*(%)

1 3.4 5.5296 20.736 240.00

2 3.13333333 1.29453827 11.5294815 213.33 8.51

3 3.02105263 0.17379579 8.51327832 202.11 3.72

4 3.00063796 0.00510855 8.01531833 200.06 0.68

5 3.00000061 4.8777E-06 8.00001463 200.00 0.02

6 3 4.4444E-12 8 200.00 0.00

X4 = 3FunciónRecurrencia


f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3

FunciónRecurrencia x4 = 3

iteración Xi f(Xi) f'(Xi) f"(Xi) Xi '(Xi) e(%) e*(%)

1 3.4 5.5296 20.736 40.32 0.26666667 0.48148148 240.00

2 2.84615385 -0.96803333 4.71916249 18.7455621 -0.20512821 1.81481481 184.62 19.46

3 2.95918367 -0.30694416 7.05012367 22.5506039 -0.04353741 1.13925926 195.92 3.82

4 2.99739922 -0.02072518 7.93770296 23.9064531 -0.00261098 1.00786364 199.74 1.27

5 2.99998983 -8.1379E-05 7.99975586 23.9996338 -1.0173E-05 1.00003052 200.00 0.09

6 3 -1.2418E-09 8 24 -1.5522E-10 1 200.00 0.00

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

• El método de Newton Raphson tradicional, en la búsqueda de raíces

múltiples, converge linealmente, en vez de hacerlo cuadráticamente,

como sucede en la búsqueda de una raíz simple.

• El método de Newton Raphson modificado, en la búsqueda de raíces

múltiples, converge cudráticamente, al igual que en la búsqueda de

una raíz simple.

• La lentitud en la convergencia del método de Newton Raphson

tradicional es un claro indicativo de la presencia de raíces múltiples.

• A mayor número de raíces múltiples, menor es la velocidad de

convergencia del método tradicional.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON• El método de Newton Raphson es aplicable al caso

de funciones con raíces complejas, a condición deque el punto inicial considerado como primeraaproximación sea complejo.

• Haciendo cálculos manuales, se ha de tener cuidadode cumplir con este requisito.

• Si los cálculos se hacen a través de computadora, ellenguaje de programación ha de ser capaz desoportar el manejo de valores complejos, previadeclaración de dimensionamiento.

En Fortran, VB, C, PASCAL, MATLAB tal manejoestá garantizado.

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

Raíces de Polinomios de Ecuaciones No Lineales

Definición de polinomioUn polinomio es una expresión de la forma

a0xn + a1xn–1 + … + an

Donde a0, a1, …, an son números reales o complejos y x es una variable.

La expresión anterior también se llama función racional de x.

Si a0 0, el polinomio es de grado n y a0xn es el términoprincipal.

Dos polinomios son iguales si son idénticos término a término,es decir

a0xn + a1xn–1 + … + an = b0xn + b1xn–1 + … + bn

Si a0 = b0, a1 = b1, …, an = bn, .

Ejemplo de regla de HornerDesarrolle 4x5 – 6x4 + 3x3 + x2 – x – 1 en potencias de x – 1.

4 –6 3 1 –1 –1

4 –2 1 2 1 0

4 2 3 5 6

4 6 9 14

4 10 19

4 14

4

4x5 – 6x4 + 3x3 + x2 – x – 1

= 0 + 6(x – 1)+14(x – 1)2+ 19(x – 1)3+ 14(x – 1)4+ 4(x – 1)5

Raíces de polinomiosSea f (x) un polinomio con coeficientes reales o complejos. Definimos una ecuación algebraica como

f (x) = 0

Cualquier número que satisface la ecuación se llama raíz.

De acuerdo con el grado del polinomio la ecuación se llama: lineal, cuadrática, cúbica, etc.

Si c es una raíz de f (x), entonces

f (x) = (x – c) f 1(x)

Donde f 1(x) es un poliniomio de grado n – 1.

Raíces de polinomiosSi c1 es otra raíz de f (x), entonces

(c1 – c) f 1(c1) = 0

De donde f 1(c1) = 0 y f 1(c1) es divisible por (x – c1).

f 1(x) = (x – c1) f 2(x)

Donde f 2(x) es un polinomio de grado n – 2.

Podemos concluir que f (x) será divisible por

(x – c) (x – c1) …(x – cm–1)

Un polinomio de grado n no puede tener más de n raíces distintas.

Teorema fundamental del álgebraTeorema fundamental. Toda ecuación algebraica con coeficientes complejos arbitrarios tiene por lo menos una raíz real o imaginaria.

Sea f (x) un polinomio de grado n, por el TFA existe a1 tal que f (a1) = 0. Por tanto

f (x) = (x – a1) f 1(x)

El argumento se repite para f 1(x) de tal manera que podemos escribir:

f (x) = a0(x – a1) (x – a2)…(x – an)

Los alfas no son necesariamente distintos, la factorización puede ser:

f (x) = a0(x – a)a (x – b)b…(x – l)l

Raíces complejasSi una ecuación con coeficientes reales tiene una raíz compleja a + ib de multiplicidad a, tiene también la conjugada a – bi con la misma multiplicidad.

Si el número de raíces imaginarias es 2s y el de reales es r, entonces

2s + r = n

Si n es impar, entonces r es impar y por tanto al menos una raíz es real.

Si n es par, todas las raíces pueden ser complejas.

Todo polinomio puede ser factorizado en factores lineales y cuadráticos.

EjemploFactorice: x4 + x2 + 1 = 0

Sea y = x2, 2

312

411 iy

235.0

43

41

22/14/34/1

22/14/34/1

22/32/1

ii

iix

(x – 0.5 – i√3/2)(x – 0.5 + i√3/2)(x + 0.5 – i√3/2) (x + 0.5 + i√3/2) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)

Definición

Un polinomio de grado n es una expresión de la forma:

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... +a1x + a0

Donde an <> 0

Teorema (teorema fundamental del álgebra): Si P(x) es un polinomio de grado n >= 1, entonces P(x) = 0 tiene al menos una raíz (posiblemente compleja).

Corolario

Si P(x) es un polinomio de grado n >= 1, entonces existen constantes únicas x1, x2, ... xk, posiblemente complejas, y enteros positivos m1, m2, ..., mk, tales que:

k

ii nm

1

kmk

mmn xxxxxxaxP ...)( 21

21

y

Método de Newton para polinomios

Se puede aplicar el método de Newton para polinomios evaluando el polinomio y su derivada mediante el método de Horner.

El esquema sería

n

nn

n

nnn xQ

xPxxPxPxx '1

Método de HornerSea

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... +a1x + a0

Si bn = an y

bk = ak + bk+1x0 para k = n – 1, n – 2, ..., 1, 0

Por tanto b0 = P(x0). Más aún, si

Q(x) = bnxn–1 + bn-1xn-2 + ... +b2x + b1

Entonces

P(x) = (x – x0) Q(x) + b0

Evaluación de la derivada

Dado que:

P(x) = (x – x0) Q(x) + b0

donde

Q(x) = bnxn–1 + bn-1xn-2 + ... +b2x + b1

Derivando

P’(x) = Q(x)+(x – x0)Q’(x)

En x = x0,

P’(x0) = Q(x0)

Método horner

Entrada: grado n, a0, a1, ..., an, x0Salida: y =P(x0), z = P’(x0)1. y = an //calcule bn para P2. z = an //calcule bn-1 para Q3. Para j = n –1, n – 2, .... , 14. y = x0*y + aj 5. z = x0*z + y6. y = x0*y + a07. regresar y, z

Método de Horner en Matlabfunction [y,z]=Horner(x,x0)%x es un vector con los coeficientes%de P(x)%regresa en y el polinomio y en z%la derivada evaluados en x0[muda n] = size(x);y = x(1); %calcule bn para P. z = x(1); %calcule bn-1 para Qfor j = 2:n-1,

y = x0*y + x(j); z = x0*z + y;

endy = x0*y + x(n);

Método de Müller

Se aproxima el siguiente valor utilizando una parábola en lugar de una recta como en el método de la secante.

x1

raíz

Línea recta

Raíz estimada

x0

f(x)f(x)

xx

x0x1x2

parábola

Raíz estimada

Método de Müller

Utiliza tres aproximaciones: x0, x1, x2.

Determina la siguiente aproximación x3 encontrando la intersección con el eje x de la parábola definida por los puntos (x0,f(x0)), (x1,f(x1)), (x2,f(x2)).

x0 x1 x2 x3

f

Método de Müller

Se considera el polinomio

P(x) = a(x – x2)2 + b(x – x2) + c

Se puede encontrar a, b y c resolviendo

f(x0) = a(x0 – x2)2 + b(x0 – x2) + c

f(x1) = a(x1 – x2)2 + b(x1 – x2) + c

f(x2) = a(x2 – x2)2 + b(x2 – x2) + c

Método de Müller

Se llega a

)( 2xfc

102120

202

21212

20 )()()()(xxxxxx

xfxfxxxfxfxxb

102120

21202021 )()()()(xxxxxx

xfxfxxxfxfxxa

Método de MüllerLos cálculos pueden simplificarse usando

2

11

01

01

1

121

0

010

121

010

xfcdahb

hhdda

hxfxfd

hxfxfd

xxhxxh

Método de Müller

Para minimizar el error al resolver la cuadrática P(x) = 0, se calcula x3 con

acbbsignobcxx

4)(2

223

El proceso se reinicia tomando ahora x1, x2, y x3.

Müller en MatLabfunction y = muller(p,x0,x1,x2,ee,ni)

i = 3;while i<=ni

h1 = x1-x0;h2 = x2-x1;[fx0 muda] = horner(p,x0);[fx1 muda] = horner(p,x1);[fx2 muda] = horner(p,x2);d1 = (fx1-fx0)/h1;d2 = (fx2-fx1)/h2;a = (d2-d1)/(h2+h1);b = d2+h2*d1;c = fx2;D = sqrt(b*b-4.0*a*c);if(abs(b-D)<abs(b+D))

E = b+D;else

E = b-D;endh = -2.0*c/E;x3 = x2+h;if(abs(h)<ee)

break;endx0 = x1;x1 = x2;x2 = x3;i=i+1;

endy = x3;

Método de Müller vs. Método de la Secante

• Método de la Secante: usa una línea recta hasta el eje X con 2 valores de la función.

• Método de Müller: se hace con una parábola de 3puntos. Consiste en obtener coeficientes de laparábola que pasa por los puntos, estosse sustituyen en la fórmula y se obtiene el valordonde la parábola interseca el eje X.

Método de Müller vs. Método de la Secante

Método de la Secante Método de Müller

Procedimiento Se determina un X0, X1 y un X2.

Segundo paso :

h0 = X1 – X0

h1 = X2 – X1

Tercer paso:

δ0 = F (X1) - F (X0)h0

δ1 = F (X2) - F (X1)h1

Procedimiento

acb 42

Cuarto paso:Se obtienen:

a = δ1 – δ0

h1 + h0

b = a * h1 + δ0

c = F (X2)

Quinto paso:

X3 = X2 + - 2 * c b ±

Procedimiento

acb 42

acb 42

acb 42

Sexto paso:Si | b + | > | b - |

Se escoge: b +

Si no, se escoge : b -

Calculo del Error.

Єa = X3 – X2 * 100%X3

acb 42

Ventajas• Por medio de este método se encuentran tanto raíces

reales como complejas.

Desventajas• En el Método de Müller se escoge el signo que

coincida en el signo de “b”, esta elección proporcionacomo resultado el denominador mas grande, lo quedará la raíz estimada mas cercana a X2. Una vez quese determino X3 el proceso se repite, esto trae de queun valor es descartado.

Estrategias Comúnmente Usadas

• Si sólo se localizan raíces reales, elegimos los 2 valores originales más cercanos a la nueva raíz.

• Si tenemos raíces reales y complejas, se usa un método secuencial.

Ej. X1, X2, X3 = X0, X1, X2

Ejemplo 7.2

Iteraciones X3 Ea (%)

0 5 ---------------

1 3.9765 25.7391

2 4.0011 0.6139

3 4.0000 0.0262

4 4.0000 1.7631 * 10 ^ - 5

X0 = 4.5

X1 = 5.5

X2 = 5

F(x) = x^3 – 13x -12

Problema 7.3Parte A.

X0 = 1

X1 = 1.5

X2 = 1.75


0 1.75 ---------------

1 2.0112 12.9863

2 1.999882423 0.5648

3 1.99999997 0.0059

4 2 1.3686 * 10 ^ - 6

F(x) = x^3 + x^2 – 4x - 4

X0 = 0.4

X1 = 0.6

X2 = 0.8


0 0.8 ---------------

1 0.5007 59.7750

2 0.49999 0.141817

3 0.500000 0.00100

Problema 7.3Parte B.

F(x) = x^3 – 0.5x^2 + 4x - 2

Problema 7.4 (Incluye raíces complejas)Parte A.


0 0.75 ---------------

1 1.0402 27.8979

2 0.9983 4.1995

3 0.9999942 0.17249

4 0.9999999 5.7776 * 10 ^ - 4

X0 = 0.25

X1 = 0.50

X2 = 0.75

F(x) = x^3 – x^2 + 2x - 2

Iteraciones X3 Ea

0 2.25 -----------------

1 1.1778 – 0.71168i 93.51

2 0.9186 – 0.93051i 25.94

3 0.6845 – 1.1251i 23.11

4 0.5381 – 1.2720i 15.05

5 0.5030 – 1.3176i 4.03

6 0.5000 – 1.3228i 0.43

7 0.4999 – 1.3229i 0.005

8 0.4999 – 1.322876i 1.52 * 10 ^ - 6

X0 = 1.75

X1 = 2

X2 = 2.25

Problema 7.4 (Incluye raíces complejas)Parte B.

F(x) = 2x^4 + 6x^2 + 8

Iteraciones X3 Ea0 2.75 -----------------

1 1.488 – 0.8219i 88.51

2 1.2052 – 1.1174i 24.92

3 0.8931 – 1.44559i 26.65

4 0.7503 – 1.9344i 24.54

5 1.0207 – 2.0602i 12.97

6 0.99658 – 1.9977i 2.996

7 0.999969 – 2.0000i 0.1819

8 0.999999 – 2.0000i 0.001366

X0 = 2

X1 = 2.5

X2 = 2.75

Problema 7.4 (Incluye raíces complejas)Parte C.

F(x) = x^4 - 2x^3 + 6x^2 – 2x +5

Ejemplo

P(x) = 16x4 – 40x3 + 5x2 + 20x + 6

x0 = 0.5 x1 = -0.5 x2 = 0.0i xi P(xi)3 -0.555556 + ( -0.598352)i -29.400701 + ( 3.898725)i4 -0.435450 + ( -0.102101)i 1.332225 + ( 1.193097)i5 -0.390631 + ( -0.141852)i 0.375058 + ( 0.670168)i6 -0.357698 + ( -0.169926)i -0.146750 + ( 0.007446)i7 -0.356051 + ( -0.162856)i -0.001840 + ( -0.000538)i8 -0.356062 + ( -0.162758)i 0.000002 + ( -0.000001)i

Ejemplox0 = 2.5 x1 = 2.0 x2 = 2.3i xi P(xi)3 1.960592 + ( 0.000000)i -0.611310 + ( 0.000000)i4 1.970564 + ( 0.000000)i 0.007455 + ( 0.000000)i5 1.970447 + ( 0.000000)i 0.000029 + ( 0.000000)i

x0 = 0.5 x1 = 1.0 x2 = 1.5i xi P(xi)3 1.287855 + ( 0.000000)i -1.376275 + ( 0.000000)i4 1.237459 + ( 0.000000)i 0.126945 + ( 0.000000)i5 1.241605 + ( 0.000000)i 0.002193 + ( 0.000000)i6 1.241677 + ( 0.000000)i -0.000001 + ( 0.000000)i

Actividad

Encontrar las raíces reales y complejas del siguiente polinomio por el método de Müller en MatLab.

P(x) = x4 – 2x3 + 6x2 – 8x + 8

Polinomios con Matlabpolyval(P, x) – evalua el polinomio P en el punto x. El polinomio se especifica como un vector donde P(1) es el coeficiente de la potencia más alta y P(length(P)) es el término independiente.

polyder(P) – obtiene la derivada delpolinomio P.

con(A, B) – multiplica el polinomio A por el polinomio B.

[Q R] = deconv(A, B) – divide los dos polinomios A y B y almacena el cociente en Q y el residuo en R.

roots(P) – encuentra todas las raices reales y complejas del polinomio P.

Raíces no lineales en Matlabfzero(FUN, x0) – encuentra la raíz de FUN cerca al punto x0. Ejemplos:

FUN puede especificarse usando @:X = fzero(@sin,3)

regresa pi.X = fzero(@sin,3,optimset('disp','iter'))

regresa pi, usa la tolerancia por omisión y despliega información de las iteraciones.

FUN puede ser una función en línea:X = fzero(inline('sin(3*x)'),2);

Método de Bairstow

El enfoque de Bairstow es el de utilizar el Método de Newton para ajustar los coeficientes r y s en la cuadrática x2 – rx + shasta que sus raíces sean también raíces del polinomio que se quiere resolver.

Con estos coeficientes se determina la cuadrática correspondiente que se utiliza para simplificar la expresión, eliminando estas raíces del conjunto buscado.

El proceso se repite hasta que el polinomio se convierta en uno cuadrático o lineal, momento en que todas las raíces quedan determinadas.

La División Larga de un polinomio

n

i

ii xaxP

0

por x2 – rx – s resulta en un cociente de la forma

2

0

n

i

ii xbxQ

y un residuo b1(x – r) + b0 tal que

01

2

2

2 brxbxbsrxxxPn

i

ii

Se utiliza la división sintética para obtener la división entre el factor cuadrático:

bn = an

bn–1 = an–1 + rbn

bi = ai + rbi+1 + sbi+2 (i = n – 2,…, 0)

El método se reduce a determinar los valores de r y s que hacen que el factor cuadrático sea un divisor exacto.

Se utiliza el método de Newton-Raphson. Se calculan incrementos r y spara acercarse a la solución.

000

111

bssbr

rb

bssbr

rb

Las derivadas parciales se calculan por un proceso de división sintética similar al utilizado para calcular las b’s.

cn = bn

cn–1 = bn–1 + rcn

ci = bi + rci+1 + sci+2 (i = n – 2,…, 1)

Donde:

sbc

rbc

sbc

rbc

02

00

13

12

,

,

Se resuelven las ecuaciones para r y s y se emplean para mejorar r y s.

Ejemplo

Encontrar las raíces del siguiente polinomio en Excel

P( x) = x5 – 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 – 3.88x +1.25

Comience en r = -1 y s = -1

Hoja de Excel de Bairstow

Método de Bairstown-> 5 4 3 2 1 0 r s valores calculados x1 x2a-> 1 -3.5 2.75 2.125 -3.875 1.25 -0.5 0.5 -1 -1 #¡NUM! #¡NUM!

-0.5 2.5 -4.625 3.875 -1.250000456 Dr Ds -0.6442 0.1381 0.1697 -0.8139b-> 1 -4 5.25 -2.5 5E-07 -4.55699E-07 7E-08 1E-08 -0.5111 0.4697 0.4759 -0.9870

-0.5 2.75 -6.25 8.375 Error r Error s -0.4997 0.5002 0.5002 -0.9999c-> 1 -4.5 8.000001 -8.75 8.375 1E-05 2E-06 -0.5000 0.5000 0.5000 -1.0000

sistema b -0.5 0.5c2,c3 -8.75 8 -4.9E-07 7E-08c1,c2 8.38 -8.75 4.56E-07 1E-08

Haga doble clic sobre la hoja para ver las fórmulas. Los valores en amarillo son los valores que se obtuvieron paso a paso. Los valores en naranja son los coeficientes del polinomio de grado n–2 que hay que resolver aplicando el mismo método. Note que los coeficientes b0 y b1 son casi cero.

Muchas Gracias

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