cartas de heisler

Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Mecânica

Transferência de Calor

por Condução

José Carlos Fernandes Teixeira

2002

ÍNDICE

1 INTRODUÇÃO 1

2 SISTEMAS A TEMPERATURA UNIFORME 3

3 CONDUÇÃO NUM SÓLIDO SEMI-INFINITO 8

3.1 FACE A TEMPERATURA UNIFORME 9

3.2 FLUXO DE CALOR CONSTANTE PELA FACE 11

3.3 FRONTEIRA CONVECTIVA 12

4 CONDUÇÃO TRANSIENTE NUMA PLACA INFINITA 15

4.1 CONDIÇÕES DE FRONTEIRA 16

5 CONDUÇÃO TRANSIENTE EM OUTRAS GEOMETRIAS 22

6 SISTEMAS MULTIDIMENSIONAIS TRANSIENTES 23

REFERÊNCIAS 25

Apêndice A – FUNÇÃO ERRO 26

Apêndice B – DIAGRAMAS DE HEISLER 28

Transferência de Calor por Condução /i/

1. INTRODUÇÃO

Neste texto será abordado o problema da condução em estado não estacionário. Contudo, em muitas situações práticas, é necessário conhecer a evolução do perfil térmico e do fluxo de calor ao longo do tempo pelo que as soluções apresentadas anteriormente não se aplicarão.

Em coordenadas rectangulares, a equação geral para a transferência de calor em condução (admitindo a condutividade térmica constante) tem a forma:

tT

zT

yT

xT

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

α1

2

2

2

2

2

2

(1)

O tratamento desta equação na sua forma mais geral é complicado, sendo necessário recorrer frequentemente à aplicação de técnicas numéricas para a sua solução. Contudo é possível obter soluções analíticas (exactas ou aproximadas) em determinadas situações simples mas que se revestem de algum interesse prático já que muitos sistemas podem ser aproximados sem grande erro por uma dessas situações. Incluem-se neste domínio os casos em que o problema se pode reduzir à condução de calor a uma dimensão pelo que neste caso a equação (1) se reduz:

tT

xT

∂∂

=∂∂

α1

2

2

(2)

Por forma a ter-se uma melhor interpretação física das possíveis situações que esta equação pode descrever, considere-se um corpo arbitrário imerso num fluido e entre os quais a troca de calor é caracterizada por um coeficiente de transferência h. Se a temperatura inicial for T e a do fluido for T as condições iniciais e de fronteira serão:

i

∞

( )

( ) 0;

0;0,

>−=

∂∂

−

==

∞ tTThxTk

tTxT

ww

i

(3)

em que o subscrito w refere a superfície do corpo. A solução da Equação (2) com as condições (3) pode ser generalizada pela introdução de parâmetros adimensionais. Se L representa uma dimensão característica do corpo (por exemplo, o raio numa esfera), então a variável linear pode ser adimensionalizada definindo

Lx

=ζ (4)

Quanto à temperatura, esta pode ser adimensionalizada relativamente às temperaturas do fluido ambiente e inicial do corpo:

∞

∞

−−

=ΓTTTT

i

(5)

Transferência de Calor por Condução /1/

já que, em última análise, qualquer objecto ficará em equilíbrio térmico com o ambiente. Finalmente, o coeficiente de transferência de calor e o tempo podem tornar-se adimensonais pela introdução dos seguintes números:

tempo adimensional = 2

2

Ltα

=Fo

coeficiente adimensional =k

hL=Bi

(6)

Assim, as equações (2) e (3) podem ser reescritas

2

2

Fo ζ∂Γ∂

=∂Γ∂

( )

0Fo;Bi

0Fo;0,

>Γ−=

∂Γ∂

=Γ=Γ

ww

i

ζ

ζ

(7)

pelo que a solução da equação (7) tem a forma:

( )Bi,Fo,ζf=Γ (8)

Assim, os parâmetros Bi e Fo são importantes características da resposta transiente do corpo a alterações da temperatura. O número de Fourier, Fo, é um tempo adimensional e pela sua definição, mostra que corpos de elevada difusividade respondem mais rapidamente que outros de baixa difusividade; corpos volumosos respondem mais lentamente que outros mais pequenos. Redefinindo o número de Biot, Bi, da forma

/hL/k1

Bi = (9)

pode então concluir-se que ele representa o rácio entre a resistência térmica por condução e a resistência térmica por convecção. Assim, o comportamento transiente de corpos com baixo Bi é condicionado pela resistência térmica superficial; analogamente, corpos de elevado Bi são controlados pela resistência interna.

Nesta discussão não foi referido o caso em que a superfície do corpo sofre uma brusca variação da sua temperatura para o valor T . No entanto, pode considerar-se como um caso extremo em que a resistência externa de convecção é nula ou, de outra forma,

w

∞→h ou, ainda, pelo que a solução toma a forma ∞→Bi ( )Fo,ζg=Γ .


2. SISTEMAS A TEMPERATURA UNIFORME

Uma simplificação possível consiste em considerar que o corpo está, em qualquer instante de tempo, a temperatura uniforme. Isto consiste em admitir que a solução do campo de temperaturas, função do tempo e da posição no interior do corpo, é apenas função do tempo; ou seja:

( ) ( )tTtzyxT =,,, (10)

É evidente que este conceito, numa perspectiva estritamente rigorosa, é fisicamente incorrecto. Admitindo que a temperatura do corpo varia com o tempo, então terá de ocorrer transferência de calor que, por sua vez, só ocorre em consequência de um gradiente térmico o que contraria a primeira hipótese. Contudo certas situações podem, sem grande erro, ser aproximadas por uma análise baseada neste conceito.

Para entender quais as circunstâncias que podem conduzir a esta aproximação, tome-se o exemplo esquematizado na Figura 1.

1TR2TR

∞T

Figura 1 – Resistências térmicas na troca de calor por convecção de um sólido

Nesta, tem-se um corpo sólido imerso num fluido estagnado. Concrectizando, admita-se que temos um corpo metálico dentro de uma tina com líquido e que este se encontra inicialmente a uma temperatura inferior à do metal. A dissipação de calor do corpo para o líquido ocorre em consequência da diferença de temperatura entre os dois elementos do sistema e é controlada pelas resistências térmicas de convecção ( ) na interface do corpo e de condução ( ) no interior deste. Sempre que se verifique a condição

2TR

1TR

12 TT RR >> (11)


a taxa de dissipação de energia é controlada essencialmente pela resistência de convecção e, nestas circunstâncias, a temperatura no interior do corpo será aproximadamente uniforme. Por outras palavras, quando a condição (11) se verifica, a energia transmite-se facilmente do interior para a periferia do corpo mas há dificuldade em dissipá-la para o exterior. Assim sendo, esta rápida transferência de energia no interior do corpo facilita a uniformização da temperatura no seu interior. Retomando a discussão iniciada acima, esta condição é caracterizada por um número de Biot, tal que . 0Bi →

Para o exemplo da Figura 1, sendo T a temperatura do fluido vizinho (admitida constante), pode escrever-se uma simples relação de balanço de energia, da forma:

∞

( )dtTdVcTTAh p ρ−=− ∞ (12)

que relaciona a troca de calor dissipado por convecção com a taxa de variação de energia interna. Esta equação traduz o facto de que a energia perdida por convecção pela superfície é igual à variação de energia interna do corpo. Admitindo para condição incial que

00 TTt =⇒= (13)

A equação diferencial (12) resulta em:

tVc

hA

peTTTT

−

∞

∞ =−− ρ

0 (14)

o que mostra uma aproximação assimptótica no tempo à temperatura do fluido vizinho. Nesta análise admitiu-se, ainda, que as condições de dissipação de energia (h, e ρ) se mantêm constantes ao longo do tempo.

pc

Tal como na análise da condução de calor em estado estacionário, também aqui se pode efectuar uma analogia com circuitos eléctricos. Para tal efeito considere-se o simples circuito R-C representado na Figura 2 em que uma fonte de alimentação carrega o condensador aí representado. Quando o circuito é interrompido (equivalente ao tempo ‘zero’ na condição 13) por acção no comutador, a carga armazenada no condensador (no corpo referido nesta discussão equivale a Vc pρ ) é dissipada pela resistência para o exterior. Aqui, esta é equivalente à resistência convectiva - hA1 - do sistema térmico (recorde-se que pela condição 11 a resistência por condução é desprezada).

VCpρ hA1

Figura 2 – Circuito eléctrico equivalente ao da Figura 1


Na Eq. (11) o termo hAVc pρ tem as dimensões de [T-1] pelo que, tal como no circuito eléctrico da Figura 2, é referido como constante de tempo e indica a rapidez na dissipação de calor. Completando o parelelismo com o circuito eléctrico, neste é acumulada carga eléctrica ao passo que num sistema térmico acumula-se energia. Ao fluxo de energia denomina-se calor e ao fluxo de carga denomina-se corrente eléctrica.

O fluxo instantâneo de calor entre o corpo e fluido ambiente pode ser determinado pela relação:

( )∞−= TThAQ (15)

ou, em forma adimensional,

( )Vc

hAt

i

peTThA

Q ρ−

∞=

− (16)

Pela integração desta relação entre 0=t e t *t=

∫=*

0

tQdtE (17)

determina-se o calor trocado durante o período de duração t : *

( )Vc

hAt

ip

peTTVc

E ρ

ρ

−

∞−=

−1 (18)

Utilizando esta metodologia podem analisar-se sistemas mais complexos da mesma forma simples. A título exemplificativo considere-se aquele representado na Figura 3, em que um reservatório contendo um fluido troca calor com este e simultaneamente dissipa energia para o ambiente.

Figura 3 – Comportamento transiente de dois elementos.

As temperaturas iniciais do fluido interno e das paredes do reservatório são distintas e na figura estão representados os parâmetros físicos relevantes ao problema. O balanço de energia pode ser efectuado a cada elemento do sistema, donde resultarão dus equações que tomam a forma:


Corpo #1: ( )dt

dTVcTTAh p1

112111 1ρ−=−

Corpo #2: ( ) ( )dt

dTVcTTAhTTAh p2

222221211 2ρ−=−+− ∞

(19)

Daqui resulta um sistema de duas equações diferenciais ordinárias a duas incógnitas (T1 e T2) e cuja solução nos dará a evolução da temperatura com o tempo. De um modo geral o sistema de equações resultante (nº de equações igual ao nº de corpos no sistema) poderá ser resolvido por técnicas numéricas (Range Kutta). Para este caso particular uma solução analítica pode também ser encontrada e, admitindo que as temperaturas iniciais dos dois corpos são iguais (T ), a solução toma a forma [1]: 021 TT ==

tmtm emm

memm

mTTTT

21

12

1

12

2

0

1

−−

−=

−−

∞

∞ (20)

em que

( ) ( )[ ]2

421

312

3213212,1

KKKKKKKKm −++±++−= (21)

As constantes K1 e K3 são o inverso das constantes de tempo dos corpos 1 e 2, respectivamente. Finalmente 22112 2

VcAhK pρ= . De notar que a forma geral da Eq. (20) continua a ser uma exponencial, tal como o caso abordado inicialmente. Por fim a solução para a temperatura do corpo #2 pode ser encontrada substituindo (20) na 1ª das equações (19).

A Figura 4 mostra a solução das referidas equações, admitindo que a temperatura inicial é distinta nos dois corpos (90 e 20 ºC, respectivamente). Uma alternativa mais simples para a solução consiste em resolver as equações diferenciais (19) explicitando dT1 e dT2 em função do intervalo de tempo dt. Usando as condições iniciais, a temperatura pode ser calculada sequencialmente para cada um dos corpos em cada intervalo de tempo. Embora este procedimento pode ser implementado sem dificuldade em folha de cálculo, é necessário muito cuidado com a escolha do intervalo de tempo pois, facilmente, se podem obter soluções sem significado físico (por exemplo, oscilações na temperatura).

Estes dois exemplos servem para ilustrar a aplicabilidade do princípio da temperatura uniforme à análise transiente da transferência de calor. Deve-se sublinhar que a solução é independente da forma do corpo; apenas deve ser verificada a hipótese de admitir a resistência interna de condução nula (11).


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 500 1,000 1,500 2,000 2,500

Tempo (s)

Tem

pera

tura

(ºC

)

ÁguaTanque

Figura 4 – Comportamento transiente de dois corpos.

Embora esta relação indique qualitativamente, numa perspectiva puramente física, a condição de validade da hipótese de temperatura constante, deve ser atribuido um critério quantitativo que permita à priori o seguimento (ou não) desta abordagem. Em primeira análise a hipótese (11) implica que a razão kh seja <<1 (ou ). Por outro lado é também evidente que em igualdade de materiais (k) e ambientes convectivos (h) a forma do corpo poderá contribuir para uma melhor ou pior capacidade de dissipação de energia. Suponham-se dois corpos de massas iguais mas de forma distinta com representado na Figura 5. Será compreensível que o corpo a), tendo uma área externa muito superior, ofereça menor resistência interna à condução de calor que o corpo b) pois por hipótese o ponto central está mais próximo da respectiva superfície. Este facto pode ser contabilizado no critério de aplicabilidade deste método caracterizando a dimensão linear característica pela razão

0Bi →

AV . Assim, pode admitir-se uma boa aproximação à solução de problemas em regime transiente sempre que

( ) 1.0<k

AVh (22)

De uma forma simplista, pode considerar-se que AV traduz uma distância característica do centro à periferia do objecto.

a) b) Figura 5 – Influência da forma do corpo.

3. CONDUÇÃO NUM SÓLIDO SEMI-INFINITO


Apesar da simplicidade, tornam-se evidentes as limitações do método apresentado anteriormente. Sem recorrer a técnicas numéricas mais complicadas, podem encontrar-se soluções analíticas para sistemas simples1 e que podem constituir aproximações válidas a muitos sistemas de interesse prático. É o caso concrecto do denominado sólido semi-infinito. Este pode ser interpretado como um corpo de grandes dimensões em que a transferência de energia ocorre apenas segundo uma face plana. Nestas circunstâncias, a transferência de calor é unidimensional, pelo que

tT

xT

∂∂

=∂∂

α1

2

2

(23)

em que x define uma distância à face do corpo.

A única interacção térmica com o exterior ocorre pela face plana. Nesta, a Figura 6 mostra as possíveis condições de fronteira que podem ser consideradas para esta geometria: a) fronteira a temperatura fixa; b) fronteira a fluxo de calor conhecido; c) fronteira convectiva. Nesta figura estão também esquematizadas de forma qualitativa a evolução do perfil de temperatura com o tempo para estes três casos.

T =T ; t=0

T =T ; x=0

h

Q

x

i

0

Figura 6 – Condução transiente num sólido semi infinito.

3.1 FACE A TEMPERATURA UNIFORME

1 Por sistemas simples podem designar-se aqueles em que a geometria e/ou as condições de fronteira podem ser expressas matematicamente de forma simples dentro de um determinado sistema de coordenadas. [3] apresenta um conjunto de soluções mais vasto pelo que o leitor é remetido para esse texto.


Admitindo que o corpo se encontra inicialmente a temperatura uniforme, T , a face plana é, a partir do instante de tempo inicial, colocada a uma temperatura diferente, T . Assim,

i

0

( )( ) 0;,0

0,

0 >==

tTtTTxT i (24)

A solução da equação (23) com as condições especificadas em (24) toma a forma:

( )t

xTT

TtxT

i α2erf,

0

0 =−− (25)

Em que erf(x) é a função erro definida pelo integral:

∫ −=t

x

det

x αη η

πα

2

0

222

erf (26)

apresentada sob a forma de tabela no Apêndice A. A Figura 7 mostra a evolução do perfil de temperatura no interior do sólido ao longo do tempo, admitindo o material como sendo aço macio e que ocorre um arrefecimento do material a partir da sua face.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035

x (m)

Tem

pera

tura

adi

men

sion

alis

ada

t=0 st=4 st=15 st=100 s

Figura 7 – Evolução do perfil de temperatura num corpo semi infinito.

Uma vez conhecido o perfil de temperatura num determinado instante de tempo, é possível calcular o fluxo de calor local nesse mesmo instante de tempo, utilizando a equação de Fourier da condução de calor. Então, o gradiente de temperatura dxdT será:

( ) [ ]

( )

−=

−

−=

−

tx

dxdeTT

Tdxd

txerfTT

dxd

dxdT

tx

i

i

απ

α

α

22

2

40

00

2 (27)

o que após alguma manipulação permite determinar o fluxo de calor local:


( ) ( ) tx

i etTTkAtxq α

απ40

2

,−−

= (28)

O fluxo de calor trocado com o corpo pode ser determinado à superfície (x=0) pelo que a relação (28) vem:

( ) ( )tTTkAtq i

απ0,0 −

= (29)

Note-se que este é o valor instantâneo do fluxo de calor pelo que para o cálculo do calor trocado durante um intervalo de tempo t* a expressão (29) terá de ser integrada entre [0, t*] do que resulta:

( ) ( )απ

*0

* 2 tTTkAtQ i −= (30)

A Figura 8 mostra a evolução do fluxo de calor e da energia trocados pela face ao longo do tempo. Atendendo a que o gradiente de temperatura na face é infinito para t=0, o fluxo de calor é infinito no instante inicial.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 10 20 30 40 50 60 70

Tempo (s)

Flux

o (k

W)

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

Cal

or tr

ocad

o (k

J)

Fluxo CalorCalor trocado

Figura 8 – Evolução do fluxo de calor na face de um sólido semi infinito

Um caso interessante de aplicação desta solução resulta quando dois sólidos semi infinitos são colocados em contacto. Se as suas temperaturas iniciais forem TA,i e TB,i e desprezando a resistência térmica de contacto entre as duas superfícies, a temperatura da interface, Ts, vai ser a mesma para os dois corpos e não variará com o tempo. O equilíbrio térmico pressupõe que:

( ) ( )BA tqtq ,0,0 = (31)

pelo que substituindo na equação 30 e tendo em consideração que a expressão quando aplicada ao corpo A requer uma mudança de sinal, tem-se:

( ) ( )t

TTAk

t

TTAk

B

iBsB

A

iAsA

παπα,, −

=−−

(32)

Resolvendo em ordem a Ts tem-se:


( ) ( )( ) ( ) 5.05.0

,5.0

,5.0

BpAp

iBBpiAAps

kckc

TkcTkcT

ρρ

ρρ

+

+= (33)

ou seja: a temperatura de equilíbrio da interface é uma média da temperatura inicial de cada corpo, pesada pelo factor ( )kc pρ de cada um deles. A Figura 9 ilustra este exemplo.

Q

Q

T

A

B

S

t

t

Figura 9 – Troca de calor entre dois corpos semi infinitos

3.2 FLUXO DE CALOR CONSTANTE PELA FACE

Tal como em 3.1 a temperatura inicial do corpo é T mas, a partir do instante inicial, pela face transmite-se um fluxo de calor constante, Q

i

0. Como exemplo prático desta situação pode considerar-se o caso da transferência de calor num elemento de combustível de um reactor nuclear em que o fluxo de calor do núcleo para o elemento é constante, ditado pelas características da reacção nuclear ou o fluxo da radiação solar. Assim, as condições iniciais/fronteira podem ser descritas pelas relações:

( )

0;

0,

0

0 >∂∂

−=

=

=

txTk

AQ

TxT

x

i

(34)

A solução analítica para a equação (23) tem a forma:

( )

−−=−

−

tx

kAxQ

ekA

tQTtxT t

x

i απα α

21

2, 040

2

erf (35)

A Figura 10 mostra a evolução do perfil de temperatura para um sólido semi infinito em aço macio, quando sujeito a um fluxo de calor de 10,000 W/m2. A Figura mostra que a derivada junto à face mantém-se constante ao longo do tempo.


0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

x (m)

T-Ti

(ºC

)

t=10 st=50 st=100 s

Figura 10 – Evolução do perfil térmico num sólido semi infinito quando sujeito a um fluxo de calor de 10,000 W/m2

3.3 FRONTEIRA CONVECTIVA

Esta é provavelmente a solução de maior interesse prático. Aqui a face plana está em contacto com um fluido a temperatura constante T sendo a interacção corpo-fluido caracterizada por um coeficiente de transferência de calor h, admitido constante ao longo do tempo. A temperatura inicial do corpo continua a ser T . Matematicamente, as condições inicial e de fronteira podem exprimir-se:

∞

i

( )

( ) 0;

0,

00 >

∂∂

−=−

=

==∞ t

xTkATThA

TxT

xx

i

(36)

A solução toma a forma:

( )

tx

kth

kth

khx

TTTtxT

i

i

α

αα

2c/

erf1experf1,2

2

=Χ

+Χ−

+−Χ−=

−−

∞ (37)

Esta relação está representada graficamente na Figura 11 para vários valores de k

th α .


0.01

0.1

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

X

θ

0.1

0.05

0.3

1.03.0 oo

Figura 11 – Evolução do perfil térmico num sólido semi infinito; fronteira convectiva

O fluxo de calor na face pode em cada instante ser calculado a partir do valor da temperatura na fronteira, pela relação 36. A Figura 12 mostra, para o exemplo anterior (aço macio,

), a evolução desse fluxo. O valor desta quantidade tende assintopticamente para zero.

100=−∞ iTT

0

2

4

6

8

10

12

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

tempo (s)

Flux

o C

alor

(kW

/m2)

Figura 12 – Evolução do fluxo térmico à superfície de um sólido semi infinito com fronteira

convectiva

É de sublinhar que a função erro (Erf(x)) para valores muito elevados do seu argumento vale aproximadamente 1 pelo que, em consequência, a equação (37) torna-se muito sensível


para tempos elevados. Daí que seja importante usar o valor da função erro com a máxima precisão possível para evitar erros elevados. A título exemplificativo se X=0.8 e

0.1=kth α , o valor da função erro para 1.8 é 0.98909 e a equação (37) toma o valor 0.123. Em contrapartida se para erf(1.8) for tomada a aproximação de 1.0 (erro de 1.1%) a equação (22) toma o valor de 0.270 (erro de 119%!!!!). Repare-se ainda que a solução da equação (37) para ∞=ktαh é equivalente à solução obtida para uma alteração súbita da temperatura da face (caso 3.1 deste texto) de T para T pelo que o resultado é equivalente à equação (25).

i ∞


4. CONDUÇÃO TRANSIENTE NUMA PLACA INFINITA

Por forma a que o fluxo de calor ocorra apenas segundo uma direcção, é necessária a selecção de configurações geométricas apropriadas. O caso de uma placa plana de espessura finaita e infinita nas outras duas direcções garante tal condição. Neste caso, podem desprezar-se os fluxos pelas extremidades, pelo que apenas é necessário um sistema de coordenadas definido no sentido da espessura (x). Definindo a temperatura em relação a um valor de referência θ=T-Tr, a equação (2) toma a forma:

2

2

xt ∂

∂=

∂∂ θαθ (38)

Usando o método de separação de variáveis, tem-se: ( ) ( )tTxX ⋅=θ (39)

em que X(x) e T(t) representam funções de x e t apenas. Assim, a equação (38) vem:

2

2

dxXdT

dtTdX α= (40)

ou:

22

211 λα

−==dx

Xdxdt

TdT

(41)

O parâmetro λ2 é introduzido já que cada um dos termos da equação é função apenas de uma variável. O sinal – garante que a solução é descrita por uma função do tipo exponencial negativa, solução que é compatível com o comportamento físico de um sistema em troca de calor.

Desta equação resultam as duas equações diferenciais:

0

0

22

2

2

=+

=+

Xdx

Xd

TdtTd

λ

αλ (42)

Que têm solução do tipo:

( )( ) ( ) ( )xBxBxX

eBtT t

λλ

αλ

cossin '3

'2

'1

2

+=

= − (43)

em que Bi são constantes. Assim, tem-se:

( ) ( )( )xBxBe t λλθ αλ cossin 212

+= − (44)


4.1 CONDIÇÕES DE FRONTEIRA

De entre as possíveis condições de fronteira irão apenas ser consideradas as convectivas, já que esta é provavelmente a solução de maior interesse prático. Considere-se a Figura 13, que representa uma placa de espessura 2L, sujeita a fronteiras convectivas nas duas faces (o coeficiente de transferência de calor é h).

O

οο

οο

2L

Lh

h

T(x)

x=0 x=L

x

h

a) b)

=0dTdx

Figura 13 – Placa plana infinitamente longa

Admitindo que o perfil inicial de temperatura T(x) é simétrico em relação ao plano central, este comporta-se como uma fronteira adiabática pelo que o sistema pode ser reduzido a uma placa com metade da espessura em que a sua face esquerda é adiabática e a face direita está sujeita a um fluxo convectivo. A condição de fronteira para esta face é já conhecida e toma a forma

( )∞−−=∂∂ TT

kh

xT (45)

Sendo agora ∞−= TTθ a temperatura de referência, as condições de fronteira para a equação 38 serão:

para t , 0= ( ) ( ) ∞−=⇒= TxTxTT θ,

para , 0≥t 0=∂∂

xθ para x=0

θθkh

x−=

∂∂ para x=L

(46)

Da segunda condição resulta:

( ) ( )( )0

210

sincos02

=

−

=−==

∂∂

xt

xxBxBe

xλλλθ αλ (47)


pelo que

( )xBe t λθ αλ cos2−= (48)

A aplicação da última condição resulta:

( )Lx

tLx

t xBekhxBe

=

−

=

−

−=

− λλλ αλαλ cossin

22

(49)

ou

LkhL λλλ cossin = (50)

o que é equivalente a:

LkhLL

λλ 1tan = (51)

Invertendo,

λλ LhLkL =cot (52)

e que está representada na Figura 14.

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

0 2 4 6 8 10 12

Figura 14 – Série de soluções da equação 52

A Figura 14 representa os dois termos da equação em função de Lλ para um determinado Bi. Desta pode observar-se que a equação é satisfeita por um número infinito de soluções do parâmetro Lλ . A sucessão de valores nλ depende do número de Biot, baseado na semi espessura da placa. Por exemplo, para Bi=10 (caso representado na Figura 14), a sucessão de raízes é: 428.11 =λ , 3058.42 =λ , 228.73 =λ , … Assim, a solução do perfil térmico toma a forma:

∑∞

=

−=1

cos2

nn

tn xeB n λθ αλ (53)


sendo nλ a raíz de ordem n da equação

0Bitan =−LL nn λλ (54)

Da aplicação da condição inicial (46) resulta:

( ) ∑∞

=∞ =−

1cos

nnn xBTxT λ (55)

o que significa que o perfil inicial de temperatura deve ser representado por uma série infinita de co-senos. Pode demonstrar-se (Chapman, 1989) que a forma dos coeficientes é:

nB

( )[ ]

n

nn

Ln

n LLL

dxxtxTB

λλλ

λ

2cossin

2

cos0

+

−=∫ ∞

(56)

A expressão final para a temperatura na placa virá:

( )[ ]∑ ∫∞

=∞

− −+

=1

0cos

cossincos

22

n

Ln

nnn

ntn dxxtxT

LLLx

e n λλλλ

λλθ αλ (57)

Assumindo que a distribuição inicial de temperatura na placa é uniforme T , a equação 57 virá:

( ) iTx =

∑∞

=

−

∞∞

∞+

=−

=−−

1cos

cossinsin

22

nn

nnn

ntn

iix

LLLL

eTTTT

TTn λ

λλλλ

λθ αλ (58)

O calor removido pelas faces da placa durante um período de tempo t, será:

∫∫=

∂∂

−==t

Lx

tdt

xTkAqdtQ

00 (59)

Introduzindo a quantidade de calor inicialmente acumulada na placa (em metade dela, pela sua simetria)

( )∞−= TTALcQ ipi ρ (60)

tem-se:

∑∞

=

−

−

+=

1

2 2

1cossin

sin12n

t

nnn

n

nine

LLLL

LQQ αλ

λλλλ

λ (61)

Adimensionalisando as variáveis da forma definida pelas equações (4), (6) e (7), tem-se:

∑∞

=

−

∞

∞+

=−−

1

Fo coscossin

sin2

2

nn

nnn

nn

ine

TTTT

ξδδδδ

δλ δ

∑∞

=

−

−

+=

1

Fo2 2

1cossin

sin12n nnn

n

nine

QQ δ

δδδδ

δ

(62)

sendo nδ a raíz de ordem n de:

0Bitan =−nn δδ (63)


A solução das equações anteriores foi calculada numericamente para várias combinações de ξ , Fo e Bi. A representação mais frequente é de Heisler, apresentada pela combinação de três gráficos. Para a sua interpretação, convém ter presente as seguintes formas de

adimensionalisar a temperatura: ∞

∞−−

=TTTT

ii

00θθ , representa a temperatura adimensionalisada

no centro da placa ao fim de um determinado tempo; ∞

∞−−

=TTTT

00θθ , representa a temperatura

adimensionalisada num ponto da placa relativamente à verificada no seu centro no mesmo instante de tempo.

Um primeiro gráfico (Figura 15), determina a temperatura no centro da placa; um segundo (Figura 16) permite calcular a temperatura numa posição que não o centro ao fim desse intervalo de tempo.

Figura 15 – Cálculo da temperatura no centro de uma placa plana


Figura 16 – Cálculo da temperatura fora do centro; placa plana

Assim a temperatura pode ser determinada pela consulta dos dois gráficos, aplicando a

relação ∞

∞

∞

∞−−

−−

=TTTT

TTTT

ii

0

0

0

0 θθ

θθ .

Uma análise mais detalhada dos gráficos permite retirar as seguintes conclusões:

1. A condição de fronteira correspondente a fixar o valor da temperatura na face pode ser determinada destas soluções, fazendo ∞=h , ou seja 1 0Bi/ = , o que corresponde à solução dada pela curva mais à esquerda da Figura 15.

2. O gráfico apenas apresenta a solução para 1 010Bi/ ≤ o que está de acordo com a condição de corpo a temperatura uniforme; ou seja: nestas circunstâncias não é necessário utilizar esta solução elaborada pois a solução mais simples (capítulo 2) é adequada. Tal pressuposto é validado pelo gráfico da Figura 16 onde se pode verificar que quando

os valores da função tendem para 1, ou seja: a temperatura em qualquer ponto é igual à temperatura no centro da placa (temperatura uniforme).

010Bi/1 ⇒

3. O caso de uma placa de espessura L, isolada numa das faces e com a outra em troca por convecção (ou para o efeito, a temperatura fixa, nota #1) pode ser tratada pela solução de uma placa de espessura 2L em troca de calor por convecção nas duas faces.

O calor trocado durante um intervalo de tempo t, pode, de modo análogo, ser determinado pela consulta do gráfico da Figura 17 (representação da equação 62). Neste caso, o calor está referenciado à energia interna do corpo tendo por base a temperatura ambiente. De facto, a máxima quantidade de calor que pode ser trocada está limitada à troca de calor que pode ocorrer até o corpo estar em equilíbrio térmico com o fluido.

Figura 17 – Calor dissipado; placa plana


5. CONDUÇÃO TRANSIENTE EM OUTRAS GEOMETRIAS

De forma análoga à dedução apresentada para uma placa, outras geometrias que garantem uma fluxo de calor unidimensional, podem ser tratadas por uma solução semi analítica. Merecem destaque as formas geométricas cilíndrica e a esférica. Os diagramas de Heisler para estas duas geometrias são apresentados de forma análoga aos da placa. Em anexo estão apresentadas as soluções gráficas para estas duas geometrias e, por conveniência, também para a placa.


6. SISTEMAS MULTIDIMENSIONAIS TRANSIENTES

Os casos anteriormente discutidos restringiram-se a configurações geométricas muito simples. A análise de configurações mais complexas (quer devido à geometria, quer devido às condições de fronteira) requerem uma análise que, frequentemente, se baseia na aplicação de métodos computacionais. Há, no entanto algumas situações em que as soluções analíticas anteriormente apresentadas podem ser usadas para a solução de algumas geometrias multidimensionais que resultem da sobreposição de duas ou mais geometrias simples, anteriormente tratadas. Considere-se a Figura 18. Nesta a barra sombreada de comprimento infinito e secção rectangular WxD resulta da intersecção de duas placas planas, infinitamente longas de espessura W e D, respectivamente.

W

D

W

y

D

x

z

Figura 18 – Prisma rectangular em condução transiente

Neste caso a equação de conservação de energia no interior da barra assume a forma:

tyx ∂∂

=∂

∂+

∂

∂ θα

θθ 12

2

2

2 (64)

sujeita a condições convectivas nas suas faces, caracterizadas por coeficientes apropriados. Admitindo que a temperatura inicial da barra pode ser expressa pelo produto de duas funções independentes ( ) ( ) ( )yTxTyxTi 21, ⋅==θ , a solução para a equação 64 pode ser expressa pelo produto de duas soluções unidimensionais transientes

( ) ( )tytx yx ,, θθθ ⋅= (65)

em que cada um dos factores é determinado para a respectiva placa infinita. Assim ( )tyy ,θ é determinado para uma placa infinita de espessura W. De modo análogo para ( )txx ,θ , relativamente à placa de espessura D. Este procedimento pode ser estendido a outras configurações bidimensionais (Figura 19-a) ou tridimensionais (Figura 19-b).


D

L

W

a) b)

Figura 19 – Gemoetrias tridimensionais: a) cilindro curto; b) paralelipípedo


REFERÊNCIAS

(1) Holman, JP 'Heat Transfer', McGraw Hill, 1985

(2) Chapman, AJ 'Heat Transfer', MacMillan Hill, 1989

(3) Rohsenhow, WM; Hartnett, JP; Ganic, EN 'Handbook of Heat Transfer', McGraw Hill, 1985

(4) Abramowitz, M 'Handbook of Mathematical Functions', Dover, 1972

(5) Kreyszig, E 'Advanced Engineering Mathematics', John Wiley & Sons, 1994


Apêndice A – FUNÇÃO ERRO


x Erf (x) x Erf (x) x Erf (x) x Erf (x) 0.00 0.00000 0.58 0.58792 1.16 0.89910 1.74 0.98613 0.02 0.02256 0.60 0.60386 1.18 0.90484 1.76 0.98719 0.04 0.04511 0.62 0.61941 1.20 0.91031 1.78 0.98817 0.06 0.06762 0.64 0.63459 1.2\2 0.91553 1.80 0.98909 0.08 0.09008 0.66 0.64938 1.24 0.92051 1.82 0.98994 0.10 0.11246 0.68 0.66378 1.26 0.92524 1.84 0.99074 0.12 0.13476 0.70 0.67780 1.28 0.92973 1.86 0.99147 0.14 0.15695 0.72 0.69143 1.30 0.93401 1.88 0.99216 0.16 0.17901 0.74 0.70468 1.32 0.93807 1.90 0.99279 0.18 0.20094 0.76 0.71754 1.34 0.94191 1.92 0.99338 0.20 0.22270 0.78 0.73001 1.36 0.94556 1.94 0.99392 0.22 0.24430 0.80 0.74210 1.38 0.94902 1.96 0.99443 0.24 0.26570 0.82 0.75381 1.40 0.95229 1.98 0.99489 0.26 0.28690 0.84 0.76514 1.42 0.95538 2.00 0.9953220.28 0.30788 0.86 0.77610 1.44 0.95830 2.10 0.9970210.30 0.32863 0.88 0.78669 1.46 0.96105 2.20 0.9981370.32 0.34913 0.90 0.79691 1.48 0.96365 2.30 0.9988570.34 0.36936 0.92 0.80677 1.50 0.96611 2.40 0.9993110.36 0.38933 0.94 0.81627 1.52 0.96841 2.50 0.9995930.38 0.40901 0.96 0.82542 1.54 0.97059 2.60 0.9997640.40 0.42839 0.98 0.83423 1.56 0.97263 2.70 0.9998660.42 0.44747 1.00 0.84270 1.58 0.97455 2.80 0.9999250.44 0.46623 1.02 0.85084 1.60 0.97635 2.90 0.9999590.46 0.48466 1.04 0.85865 1.62 0.97804 3.00 0.9999780.48 0.50275 1.06 0.86614 1.64 0.97962 3.20 0.9999940.50 0.52050 1.08 0.87333 1.66 0.98110 3.40 0.9999980.52 0.53790 1.10 0.88021 1.68 0.98249 3.60 1.0000000.54 0.55494 1.12 0.88679 1.70 0.98379 0.56 0.57162 1.14 0.89308 1.72 0.98500

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00

X

Erf (

X)


Apêndice B – DIAGRAMAS DE HEISLER


Placa Plana


Cilindro


Esfera


cartas de heisler

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