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CARACTERISATION STOCHASTIQUE DES
SPRAYS ULTRASONIQUES :
LE FORMALISME DE L’ENTROPIE MAXIMALE
Miruna DobreMiruna DobreMiruna DobreMiruna DobreIngénieur civil mécanicien
Thèse présentée en vue de l’obtention du grade dedocteur en sciences appliquées
MAI 2003MAI 2003MAI 2003MAI 2003
UNIVERSITE CATHOLIQUE DE LOUVAIN
Faculté des sciences appliquéesDépartement de mécaniqueUnité de thermodynamique
REMERCIEMENTS
Voici venu le temps du difficile exercice des remerciements. En effet,chaque personne qui y est citée mérite la plus belle phrase alors que lestalents littéraires d’un futur docteur en sciences appliquées sont limités...
Mes plus grands remerciements vont bien évidemment au ProfesseurLéon Bolle dont la disparition prématurée a endeuillé la fin de cestravaux. Comme promoteur de thèse, on peut difficilement rêver mieux queLéon Bolle ! Il a su me laisser libre de mes orientations tout en étantprésent chaque fois que j'en ai eu besoin, que ce soit pour fournir une idéeimportante au moment où j'en manquais ou pour me rassurer quand lesdoutes m'assaillaient.
Un grand merci au Professeur Joseph Martin, le premier à m’avoirinitié au domaine des sprays. Tout au long de ma formation, j’ai puapprécier ses qualités de professeur qui ont bien sûr contribué à me faireadopter bon nombre des approches utilisées ici. J’espère qu’il trouvera larécolte satisfaisante. J’attache une importance particulière au jugementqu’il portera sur ce travail car il représente pour moi un exemple à suivrepour son esprit incisif, et son humour imparable.
Merci à Christophe Dumouchel, chargé de recherche au CORIA deRouen. Son appréciation m’est essentielle car il maîtrise entre autres bonnombre des aspects théoriques sous-jacents du formalisme d’entropiemaximale qu’il a su identifier au cours de nombreuses recherches qui fontaujourd’hui référence. J’ai particulièrement apprécié ses premièresremarques et nos discussions lors de son séjour à l’UCL.
Merci également à Daniel Sindayihebura qui m’a précédée dansl’étude des sprays ultrasoniques et qui a assisté mes premiers pas dans ledomaine.
Je tiens aussi à remercier chaleureusement les autres membres de monjury : les Professeurs François Dupret, Jean-Marie Buchlin et Jean-Claude Samin n'ont eu que des commentaires et des questions trèsconstructrices qui m'ont apporté un point de vue très intéressant sur certainesquestions.
La qualité des données expérimentales présentées ici sont le fruit d’untravail d’équipe... Tout travail scientifique se construit par de petitescollaborations. Une personne apporte ses connaissances du sujet, une autreses aptitudes techniques, une dernière son soutien moral dans les momentsdifficiles. J’ai pour cela pleinement profité de la présence et de l’efficacité dustaff technique d’exception de l’unité TERM. En premier lieu ma plusgrande reconnaissance à Bernard François sans qui il n’y aurait pas eu depulvérisateur ultrasonique et par conséquent pas de partie expérimentaledans cette thèse. D'un point de vue scientifique, je voudrais aussi remercierJean-Marie Seynhaeve. Ses conseils avisés et sa grande connaissance de lamesure expérimentale m'ont été très utiles. Mes plus vifs remerciements aussià Marcel Boux, Michel Joiret, François Vercheval et Roland Wanten,pour leur aide indispensable et leur disponibilité. Je ne voudrais pas oublierici Antoinette Dupont qui a su créer en TERM un environnement detravail parfaitement fonctionnel et agréable.
Qu’Olivier Squilbin, qui m'a supporteé dans son bureau pendant cesquelques années, s’en trouve aussi remercié ici. Olivier est de plus uncollègue parfait, plein de dynamisme et toujours prêt à tenter de répondre àdes questions, même quand il faut pour ce faire, replonger dans un vieuxsyllabus.
Au long de ces années il n’y a pas eu un seul professeur ou chercheurde TERM qui ne m’ait apporté un soutient ou une réponse à un moment ouà un autre de mon parcours. Je les en remercie tous très chaleureusement etj’espère que cette atmosphère d’émulation scientifique décontractée etd’entraide permanente perdurera au sein de ce groupe malgré leschangements perpétuels de composition.
Cette thèse n’aurait pas pu s’écrire sans l’appui moral des membres dema famille. Je les remercie tous et souhaite que la lecture qui s’offre à leurcuriosité leur procure la satisfaction qu’ils espéraient. Votre rôle dans lagenèse de cette thèse est loin d'être négligeable !
Merci à tous !
Miruna Dobre, le 9 mai 2003.
i
TABLE DE MATIERESTABLE DE MATIERESTABLE DE MATIERESTABLE DE MATIERES
1111. INTRODUCTION ----------------------------------------------------------------------------------- 1.1
2.2.2.2. LA STATISTIQUE DESCRIPTIVE DANS L’ETUDE DES SPRAYS ----------------------- 2.1
2.1 PRÉSENTATION DES SÉRIES STATISTIQUES------------------------------------------------------------ 2.1
2.2 LES REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES----------------------------------------------------------------- 2.2
2.2.1 Les graphiques cartésiens ----------------------------------------------------------------- 2.2
2.2.2 La courbe des fréquences cumulées---------------------------------------------------- 2.3
2.2.3 L’histogramme de densité ---------------------------------------------------------------- 2.3
2.3 LES INDICATEURS DE POSITION ET DE DISPERSION--------------------------------------------------2.11
2.3.1 Les indicateurs de position ou de tendance centrale ------------------------------2.11
2.3.2 Les indicateurs de dispersion------------------------------------------------------------2.15
2.4 FONCTION DE DISTRIBUTION DE TAILLE DES GOUTTES : LOIS THÉORIQUES USUELLES -------------2.17
2.4.1 Quelques définitions ----------------------------------------------------------------------2.17
2.4.2 Quelques lois de probabilités appliquées aux sprays ------------------------------2.18
2.4.2.1 Rosin-Rammler--------------------------------------------------------------------2.18
2.4.2.2 Log-normale-----------------------------------------------------------------------2.19
2.4.2.3 Racine-normale -------------------------------------------------------------------2.20
2.4.2.4 Limite supérieure -----------------------------------------------------------------2.21
2.4.2.5 Conclusions------------------------------------------------------------------------2.23
3. INSTABILITÉS DE SURFACE LIBRE ET FORMATION DE GOUTTES ----------------- 3.1
3.1 LE MÉCANISME DE FORMATION DU SPRAY ---------------------------------------------------------- 3.1
3.2 INSTABILITÉ DE FARADAY ---------------------------------------------------------------------------- 3.4
3.3 ONDES DE SURFACE ET PULVÉRISATION ULTRASONIQUE : ACQUIS THÉORIQUES ------------------3.11
3.4 ONDES DE SURFACE ET PULVÉRISATION ULTRASONIQUE : ACQUIS EXPÉRIMENTAUX-----------------3.13
3.4.1 La démarche expérimentale : le plan d’expérience --------------------------------3.13
3.4.2 Mise en œuvre et résultats --------------------------------------------------------------3.17
3.4.3 Corrélation expérimentale pour la longueur d’onde-------------------------------3.22
3.5 FORMATION DE GOUTTES: LE DIAMÈTRE MOYEN --------------------------------------------------3.26
4. LA FORMATION DU SPRAY POLYDISPERSE---------------------------------------------- 4.1
4.1 LE FORMALISME DE L’ENTROPIE MAXIMALE (FEM) ------------------------------------------------ 4.1
4.1.1 Le concept d'entropie en théorie de l'information----------------------------------- 4.1
4.1.1.1 L'entropie de Shannon ----------------------------------------------------------- 4.2
4.1.1.2 L'entropie de Bayes---------------------------------------------------------------- 4.6
4.1.1.3 L'entropie de Tsallis --------------------------------------------------------------- 4.7
ii
4.1.2 Le principe du maximum d’entropie --------------------------------------------------- 4.7
4.1.3 Méthodes de résolution du système d’équations------------------------------------ 4.8
4.1.3.1 Les multiplicateurs de Lagrange------------------------------------------------ 4.8
4.1.3.2 L’algorithme d’Agmon et Alhassid -------------------------------------------- 4.9
4.2 ETAT DE L’ART DANS L’APPLICATION DU FEM AUX SPRAYS ---------------------------------------4.12
4.3 APPLICATION DU FEM À LA PULVÉRISATION ULTRASONIQUE -------------------------------------4.15
4.3.1 Conservation de la masse ----------------------------------------------------------------4.15
4.3.2 Conservation de l'énergie ----------------------------------------------------------------4.16
4.4 SYSTÈME D'ÉQUATIONS ET RÉSOLUTION ------------------------------------------------------------4.18
4.5 FEM ET DISTRIBUTIONS BIMODALES ---------------------------------------------------------------4.25
5.5.5.5. DESIGN DES PULVERISATEURS ULTRASONIQUES---------------------------------5.1
6.6.6.6. CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES-----------------------------------------------------6.1
7.7.7.7. BIBLIOGRAPHIE --------------------------------------------------------------------------7.1
A1.A1.A1.A1. ANNEXE 1A Etude du phénomène d’échauffement ----------------------------- A.1
ANNEXE 1B Article présenté à la conférence ExHFT 1997 – Bruxelles----------A.11
A2.A2.A2.A2. ANNEXE 2 Article présenté à la conférence ILASS-Europe 2001 - Zurich----A.19
A3.A3.A3.A3. ANNEXE 3 Article paru dans Experimental Termal and fluid Science ---------A.25
iii
NNNNOMENCLATUREOMENCLATUREOMENCLATUREOMENCLATURE
AacBBoccv
di
D10
D20
D30
D21
D31
D32
∆DDi
Di-
Di+
Dmin
Dmax
fFrfi
fl
fic
fs
fsi
fv
fvi
f*
f c
f n
f s
f v
g
Amplitude des ondes de surface [µm]Accélération critique pour la formation des ondes de surface [m/s2]Fonction entropie de Bayes [-]Nombre de Bond [-]Vitesse de propagation de l’onde de surface [m/s]Coefficient de variation (écart type normalisé) [-]Diamètre adimensionnel correspondant à la classe i (Di /D30 ) [-]Diamètre moyen numérique [µm]Diamètre moyen surfacique [µm]Diamètre moyen volumique [µm]Diamètre moyen surfacique relatif [µm]Diamètre moyen volumique relatif [µm]Diamètre moyen de Sauter [µm]Longueur de l’intervalle de diamètres [µm]Diamètre mesuré dans la classe de diamètres i [µm]Limite inférieure de la classe de diamètres i [µm]Limite supérieure de la classe de diamètres i [µm]Diam. minimal mesuré ; limite inférieure du domaine des observations[µm]Diam. maximal mesuré ; limite supérieure du domaine des observations[µm]Fréquence de résonance du pulvérisateur ultrasonique [s-1]Nombre de Froude [-]Fréquence observée associée à la classe de diamètres i [-]Fréquence d’excitation des ondes de surface [-]Fréquence cumulée associée à la classe de diamètres i [-]Fréquence surfacique [-]Fréquence surfacique observée associée à la classe de diamètres i [-]Fréquence volumique [-]Fréquence volumique observée associée à la classe de diamètres i [-]Fréquence adimensionalisée par les propriétés du liquide [-]Fréquences cumulées [-]Fonction de densité de probabilité numérique [-]Fonction de densité de probabilité surfacique [-]Fonction de densité de probabilité volumique [-]Accélération gravitationnelle [m/s2]
iv
hkmnni
nic
NOhpi
qRessi
SSg
TtVVg
vi
z
Hauteur du film liquide [m]Nombre d’onde [m-1]Masse du film liquide [kg]Nombre de classes de diamètre [-]Nombre de gouttes dans la classe i de diamètres [-]Nombre cumulé de gouttes correspondant à la classe de diamètres i [-]Nombre total de gouttes d’un spray [-]Nombre d’Ohnesorge [-]Probabilités d’apparition de gouttes de diamètre Di [-]Exposant caractéristique de la fonction entropie de Tsallis [-]Nombre de Reynolds [-]Ecart type [-]Surface totale des gouttes de la classe i de diamètres [m2]
Fonction entropie de Shannon [-]Surface totale des gouttes du spray [m2]
Fonction entropie de Tsallis [-]Temps [s]Volume du film liquide [m3]Volume total des gouttes du spray [m3]Volume total des gouttes de la classe i de diamètres [m3]Déplacement de la surface libre [m]
α1, 2, ...
δι
λλ0,1, ..r
λ∗
ρσµω 0ω
Distribution connue à priori (pour l’entropie de Bayes) [-]Diamètre adimensionnel correspondant à la classe i (Di /D10 ) [µm]Longueur d’onde des ondes de surface [µm]Multiplicateurs de Lagrange [-]Longueur d’onde adimensionnalisée par les propriétés du liquide [µm]Masse volumique [kg/m3]Tension superficielle [N/m]Viscosité [kg/ms]Pulsation de l’onde de surface [s-1]Pulsation de résonance du pulvérisateur ultrasonique [s-1]
1.1
1.1.1.1. IIIINTRODUCTIONNTRODUCTIONNTRODUCTIONNTRODUCTION
Le spray, ensemble de particules finement dispersées dans une phase gazeuse, est
un outil technique familier aujourd’hui. Du moteur à combustion interne à
l’aérosol médical en passant par les applications cosmétiques et agricoles, les
microgouttes sont devenues indispensables. Les applications très diverses
impliquent des propriétés et des spécificités variées.
Quelques soient les forces impliquées dans la pulvérisation (frottements,
centrifuges, électriques, etc..), leur utilisation vise un seul objectif: maximiser la
surface de contact entre le liquide et le gaz environnant mais, selon l’application,
le degré d’augmentation (la taille des gouttes) et le critère d’uniformité varient
fortement. Une application médicale exige des gouttes de taille inférieure à 2µm
pour pouvoir pénétrer les alvéoles pulmonaires lors de l’inhalation. Ce type de
spray ne se satisfait pas d’un critère de diamètre moyen inférieur à 2µm, il faut
assurer que la plus grande partie du volume liquide soit dispersée en gouttelettes
efficaces. Au contraire, des applications agricoles souhaitent éviter les gouttes trop
petites facilement emportées par les courants d’air.
Actuellement, le diamètre moyen des gouttes n’est plus un critère suffisant pour
caractériser un spray. L’entièreté de la distribution de taille des gouttes est requise
pour pouvoir apprécier la capacité d’un spray à rencontrer les requis d’applications
spécifiques. De plus, certaines applications exigent une modulation des qualités du
spray en fonction des conditions variables imposées.
Pour tout cela trouver une loi analytique qui puisse décrire la distribution de taille
des gouttes est particulièrement utile pour mener des calculs de dimensionnement
d’installations de pulvérisation et pour extrapoler les caractéristiques en dehors du
champ couvert par les observations expérimentales.
L’approche classique dans l’étude des sprays (détaillée au chapitre 2) consiste à
réaliser des pulvérisateurs expérimentaux à paramètres variables et d’entreprendre
une campagne expérimentale la plus complète possible. Les distributions
expérimentales obtenues sont ensuite ajustées à des lois théoriques (issues
généralement de la statistique) et les paramètres de ces lois mis en corrélation
1.2
avec les variables de l’expérience. Le choix du type de distribution et le calcul de
ses paramètres est fait par ajustement. Très peu de considérations théoriques sont
invoquées pour justifier la dérivation de ces lois. Les études concernant le
mécanisme même de la pulvérisation et la rupture du film liquide en gouttelettes
aboutissent à la prédiction du diamètre moyen des gouttes, parfois accompagné
d’un second diamètre qui fait état de la pulvérisation secondaire présente dans
certains types de sprays , et qui consiste en l’éclatement des grosses gouttes.
Aucune étude théorique ne permet, dans l’état actuel de l’art, de décrire
l’entièreté de la distribution de taille des gouttes d’un spray. Devant la nécessité de
trouver un outil de prédiction efficace, les chercheurs se sont dirigés vers les
méthodes de prédiction stochastiques, étant donné que le spray correspond bien
à la définition de grand ensemble d’éléments.
Parmi ces méthodes, le formalisme d’entropie maximale permet de trouver la
microstructure la plus plausible d’un système à grand nombre d’éléments lorsque
l’on en connaît la macrostructure. Par exemple, connaître la distribution la plus
probable des diamètres des gouttes d’un spray lorsque l’on connaît le diamètre
moyen de ces mêmes gouttes. La distribution la plus probable est obtenue en
tenant compte des contraintes qui ont régi l’évolution du système de son état
initial à son état final. Ces contraintes se basent sur la physique du phénomène de
pulvérisation et sur les lois de conservation fondamentales.
L’application du formalisme d’entropie maximale à la caractérisation des sprays,
avec comme premier objectif le développement d’un outil de modélisation efficace
pour la prédiction théorique des distributions de taille des gouttes, constitue l’axe
central de la présente recherche. Pour la validation de cette nouvelle approche
théorique une comparaison avec des données expérimentales s’avère
indispensable. La pulvérisation ultrasonique est apparue comme le meilleur choix,
non seulement pour l’importante expérience acquise à l’UCL par de précédentes
études notamment en ce qui concerne le mécanisme de rupture du film liquide
mais aussi de par la relative simplicité (par rapport à l’injection sous pression, par
exemple) des phénomènes et paramètres impliqués. L’achèvement de la
pulvérisation implique la succession de deux étapes, la première étant la formation
d’ondes sur la surface libre du film liquide.
1.3
Dans la pulvérisation ultrasonique ce sont les oscillations amplifiées d’éléments
piézo-électriques qui se transmettent au film liquide et qui génèrent une structure
régulière d’ondes de surface. Dans certaines conditions (pour la pulvérisation
ultrasonique lorsque la vibration atteint une fréquence de résonance), la structure
ondulatoire devient instable. Les ondes sont amplifiées jusqu’à rupture de leurs
sommets et génération de l’ensemble des gouttelettes qui formeront le spray.
L’étude présente suit la logique du mécanisme de pulvérisation et se structure en
deux parties. Le chapitre 3 décrit la formation d’ondes de surface et leur
caractérisation théorique et expérimentale. L’étude expérimentale s’attache à
déterminer l’influence des propriétés physiques du liquide et des caractéristiques
constructives du pulvérisateur sur la longueur d’onde des ondes de surface. Ces
données sont utilisées pour trouver une corrélation théorique fiable pour cette
même longueur d’onde. Une modélisation du mécanisme de rupture du film
liquide permet de convertir cette longueur d'onde en diamètre moyen des gouttes
éjectées.
Le chapitre 4 est consacré à la formation du spray polydisperse et donc à la
prédiction de la distribution de taille des gouttes par le formalisme de l’entropie
maximale. La première contrainte imposée pour obtenir la distribution la plus
probable est le respect du diamètre moyen issu de l’analyse des ondes de surface
le lien se faisant ainsi naturellement entre ces deux étapes de la modélisation. Ce
chapitre présente en outre une collection importante de données expérimentales
des sprays ultrasoniques indispensable à la validation de la théorie.
L’objectif premier du présent travail est le développement d’un outil pour la
prédiction et la caractérisation des sprays. Cette prédiction aboutit à une loi
théorique à plusieurs paramètres. Ces paramètres dépendent étroitement des
contraintes imposées et donc de la physique du phénomène de pulvérisation. Ceci
permet non seulement une comparaison aisée entre les différents types de spray
mais aussi, lorsque tous les mécanismes de pulvérisation auront été caractérisés de
la sorte, une possible classification des pulvérisations en termes d’énergie
nécessaire à la génération de gouttelettes.
1.4
2.1
2.2.2.2. LLLLA STATISTIQUE DESCRIPTIVE DANS LA STATISTIQUE DESCRIPTIVE DANS LA STATISTIQUE DESCRIPTIVE DANS LA STATISTIQUE DESCRIPTIVE DANS L’’’’ETUDE DES SPRAYSETUDE DES SPRAYSETUDE DES SPRAYSETUDE DES SPRAYS
Un spray est un ensemble de gouttes présentant certaines caractéristiques de taille
et de vitesse. Le nombre important de gouttes qui composent un spray ne permet
pas de connaître précisément le diamètre ou la vitesse de chaque goutte. La
description utilisée dans l’étude quantitative des sprays adopte donc les outils et
méthodes de la statistique descriptive. Ce chapitre définit les notions utilisées dans
la caractérisation expérimentale des sprays. Les définitions habituelles que l’on
retrouve dans les ouvrages de référence traitant de la pulvérisation [1,2] sont
présentées en correspondance avec les outils de la statistique descriptive [3,4]. Les
données numériques qui illustrent ce chapitre sont issues de la partie
expérimentale de l’étude de la pulvérisation ultrasonique (présentée au quatrième
chapitre).
2.12.12.12.1 Présentation des séries statistiquesPrésentation des séries statistiquesPrésentation des séries statistiquesPrésentation des séries statistiques
Une série statistique est une suite d’observations (mesures) faites sur une
population spécifique. Dans le cas des sprays, la population est l’ensemble ou une
partie des gouttes et les observations sont de nature quantitative (taille ou vitesse).
La mesure du diamètre des gouttes par une méthode de granulométrie optique,
par exemple, permet d’observer à un certain instant la taille des gouttes se
trouvant dans le volume de mesure (au croisement des faisceaux laser). Si ce
volume contient N gouttes et les diamètres observés sont
1 2, ,..., ( )k p qD D D D D p q< ∀ < , il convient de résumer les observations en les
présentant par couples ( ),i iD n où in est le nombre de gouttes qui ont le
diamètre iD . Dans tous les cas on a la relation : in N=∑ . Cette description ne
permet pas de comparer des distributions de diamètre pour deux populations de
taille N différente. On a donc recours aux fréquences associées à chaque
diamètre iD :
1ii in
f fN
= =∑ (2.1)
Si les valeurs prises par le diamètre sont trop nombreuses on détermine plutôt des
intervalles de valeurs possibles en divisant le domaine des observations
2.2
( )min max,D D en un nombre n de classes ( ),i iD D− + . Ces intervalles sont
caractérisés par :
La longueur de l’intervalle : max mini i
D DD D D
n+ −
−∆ = = −
Le centre de l’intervalle : ( )12i i iD D D+ −
= +
Le regroupement des observations en classes procure un gain appréciable de
clarté dans la présentation des données. Toutefois il entraîne une perte inévitable
d’information car on ne présente plus les valeurs réellement observées (plusieurs
valeurs initialement distinctes sont assimilées au sein d’une seule classe). Le choix
du nombre de classes est donc important et résulte d’un compromis entre
simplification et perte d’information. La perte d’information est d’autant plus
importante que la largeur de la classe est grande.
Il est possible aussi de décrire les séries quantitatives en utilisant les valeurs
cumulées des observations ou les fréquences cumulées. Le nombre de gouttes de
diamètre inférieur à iD , est donné par :
1
ici j
jn n
=
= ∑ (2.2)
La fréquence cumulée correspondante est :
1
ici j
jf f
=
= ∑ (2.3)
2.22.22.22.2 Les représentations graphiquesLes représentations graphiquesLes représentations graphiquesLes représentations graphiques
2.2.1 Les graphiques cartésiens
Le graphique cartésien d’une série quantitative se construit en représentant en
abscisse les valeurs observées (les diamètres des gouttes) et en ordonnée les
effectifs ou fréquences correspondants. Pour un très grand nombre de diamètres
observés, l’intervalle de classe tend vers zéro, et l’ensemble de points représentés
devient une courbe d’effectifs ou de fréquences. Les courbes de fréquence sont
utilisées dans l’étude des sprays pour la représentation des lois théoriques de
prédiction des distributions et leur comparaison avec les données expérimentales.
2.3
Fig. 2.1 Graphiques cartésiens des fréquences (a) et fréquences cumulées (b)
observés pour les diamètres des gouttes d’un spray ultrasonique
La figure 2.1 (a) présente un exemple de graphique cartésien. Les valeurs
correspondent aux mesures de diamètre des gouttes d’un spray ultrasonique
acquises à l’aide d’un granulomètre Malvern à diffraction de Fraunhoffer.
2.2.2 La courbe des fréquences cumulées
Pour évaluer visuellement le nombre (ou le pourcentage) de valeurs inférieures à
une valeur donnée, il est utile de représenter le graphique cartésien des effectifs
ou fréquences cumulées. Un exemple est présenté à la figure 2.1 (b).
2.2.3 L’histogramme de densité
L’histogramme du spray représente chaque classe de diamètre par un rectangle
dont la base est la longueur de l’intervalle et l’aire est égale au nombre de gouttes
(ou à la fréquence) observées, de diamètre compris dans l’intervalle. Si les
intervalles sont de longueur égale ( D∆ ), la hauteur des rectangles est égale, à un
facteur multiplicatif près, aux valeurs observées. La surface totale du histogramme
vaut N si on y a représenté le nombre de gouttes ou 1 si ce sont des fréquences.
0
5
10
15
0 5 10 15 20 25
D (µm)
f %
0,00
25,00
50,00
75,00
100,00
0 5 10 15 20 25
D (µm)
fc %
a. b.
2.4
Lorsque les classes sont de longueur inégale, les effectifs ou fréquences simples ne
peuvent pas nous renseigner sur la concentration des valeurs à l’intérieur d’une
classe. Il est donc nécessaire de recourir à une fréquence corrigée, la fréquence
moyenne ( if ). En divisant la fréquence simple if par la longueur de l’intervalle i,
( )iD∆ on mesure non pas le nombre d’éléments d’une classe mais la
concentration des valeurs à l’intérieur de cette classe . En d’autres termes, la
fréquence moyenne mesure la densité des éléments à l’intérieur de chaque
intervalle
Fig. 2.2 Histogramme de densité et graphique cartésien pouvant fausser l’analyse.
Un exemple de histogramme de densité de spray est présenté à la figure 2.2. Il
reprend en abscisse les classes de diamètres et en ordonnée les fréquences
moyennes. Les classes de diamètre choisies par la granulométrie Malvern sont de
longueurs inégales (fig.2.2.a) mais leur augmentation est logarithmique, ce qui
permet d’obtenir des intervalles égaux en choisissant l’échelle logarithmique pour
l’axe des diamètres (fig.2.2.b). Si, au lieu de représenter en ordonnée les
fréquences moyennes on y représente les fréquences simples , la surface totale ne
sera plus égale à l’unité, le graphique n’étant plus un histogramme mais une
représentation cartésienne. Pour une analyse correcte statistique des effectifs ou
fréquences par la comparaison des surfaces il convient de toujours représenter les
0
2
4
6
8
10
12
10 35 60 85
D (µm)
f/∆∆∆∆Douf
Histogramme
Graphique cartésien présentésous forme de histogramme
0
2
4
6
8
10
12
10 100
D (µm)a. b.
2.5
fréquences moyennes dans un histogramme. Cette remarque n’a d’importance
que lorsque les longueurs des intervalles sont inégales ce qui est souvent le cas
dans la mesure par diffraction de Fraunhoffer des gouttes d’un spray.
Une description alternative, souvent utilisée dans les sprays, implique non pas le
nombre de gouttes d’un certain diamètre mais la surface ou le volume de ces
gouttes. L’estimation de la surface est importante pour les applications
impliquant une évaporation (combustion, humidification). Quant au volume il
permet de traduire facilement les mesures de taille de gouttes en termes de débit
ou de masse de liquide.
Les couples d’observations considérés sont alors ( ),i iD s ou ( ),i iD v avec:
3 2
6i i i i i iv n D s n Dπ
π= = (2.4)
Les fréquences associées sont :
3 3 2 2
3 3 2 2i i i i i i i i i i
vi sii i i i i i i i
v n D f D s n D f Df f
V n D f D S n D f D= = = = = =
∑ ∑ ∑ ∑ (2.5)
On peut constater que la condition de normalisation est vérifiée :
1 1si vif f= =∑ ∑ (2.6)
Cependant, les distributions volumiques ou surfaciques présentent une
particularité: lorsqu’on ajoute un élément (goutte) à la distribution, les
modifications de fréquences dépendent de la taille de la goutte ajoutée. Dans une
distribution numérique, quel que soit l’élément ajouté les fréquences sont
modifiées de la même manière .
Si on ajoute une goutte de taille qD au spray mesuré, la fréquence d’apparition
des gouttes de taille iD est modifiée comme suit :
2 31 1 1
2 2 3 31i i i i i
i si vii q i i q i i
n n D n Df f fn D n D D n D
+ + += = =
+ + +∑ ∑ ∑ (2.7)
L’implication de cette observation est que la présence de quelques grosses gouttes
dans le spray réduit très fort la fréquence, exprimée de façon volumique,
d’apparition des autres gouttes. La figure 2.3 présente la même mesure de taille
des gouttes en représentation classique statistique (numérique) et en
représentation volumique. Dans ce spray 90% des gouttes ont une taille en
2.6
dessous de 10µm. Pourtant ces gouttes très nombreuses ne représentent que 2%
de la masse (volume) de liquide pulvérisé ce qui se traduit par un histogramme
volumique donnant l’impression que le spray est constitué en majorité de gouttes
entre 25 et 60 µm .
Fig. 2.3 Effet du choix de la référence numérique ou volumique sur l’histogramme
du spray.
Pour l’étude de certains sprays (par exemple les aérosols médicaux) les gouttes
efficaces ont une taille inférieure à 2µm. Donc , pour établir par exemple un
dosage exact d’un médicament à distribuer par pulvérisation, il est indispensable
d’utiliser la représentation volumique. Elle indique que 0.2% seulement de la
quantité de médicament distribuée a la taille nécessaire pour pénétrer les
poumons. Pour une application d’humidification d’air où les grosses gouttes sont
recueillies et recirculées et les petites entraînées par un courant d’air c’est la
distribution numérique qui permettra de juger de l’efficacité du spray car il
témoigne du nombre très réduit de grosses gouttes accidentelles. Par contre, pour
l’estimation du débit nécessaire pour humidifier un volume donné il faut tenir
compte de la distribution volumique.
Lorsque le nombre d’observations est très grand (ce qui est généralement le cas
pour les gouttes d’un spray) ,la répétition de l’expérience se traduira par des
résultats identiques. Les valeurs des fréquences ainsi obtenues permettent de
0
15
30
45
60
75
90
0 11 22 46 95
D (µm)
f %
0
3
6
9
0 11 22 46 95
D (µm)
fv %a. Distribution numérique b. Distribution volumique
2.7
généraliser les résultats de l’expérience à tous les sprays présentant des
caractéristiques similaires. Les valeurs des fréquences mesurées sur un très grand
nombre d’observations s’appellent des probabilités :
lim lim ii iN N
nP f
N→∞ →∞
= = (2.8)
L’histogramme de densité des fréquences moyennes devient le graphique de
densité de probabilité. Pour un très grand nombre de classes de diamètres
l’histogramme tend vers une fonction continue, la fonction de densité de
probabilité (probability density function - pdf). Pour un spray la seule fonction de
densité de probabilité, au sens statistique, est la distribution numérique basée sur
le nombre de gouttes mesurées d’un certain diamètre . La fréquence moyenne
numérique est :
( )
i
i i in ii D
n
n n n Dff
D D= =
∆
∆ ∆ ∆ ∆
=∆ ∆ ∑
∑ (2.9)
La pdf numérique sera donc :
( )( )0
ndn dD
f Ddn dD dD
∞
=
∫ (2.10)
Par abus de langage, les représentations surfaciques et volumiques des sprays sont
aussi appelées fonctions de densité de probabilités. :
pdf surfacique : ( )( )
2
20
sD dn dD
f DD dn dD dD
∞
=
∫(2.11)
pdf volumique : ( )( )
3
30
vD dn dD
f DD dn dD dD
∞
=
∫(2.12)
RemRemRemRem : Les expressions surfaciques et volumiques des fréquences observées ne
remplissent pas les conditions nécessaires pour être des probabilités lorsque le
nombre d’observations est très grand.
En effet, on appelle probabilité P d’un événement E toute application de
l’ensemble des événements S dans l’intervalle [0,1] tel que P satisfait les propriétés
(axiomes de Kolmogorov) suivantes :
2.8
1. ( ) 0P E ≥ ;
2. ( ) 1P S = ;
3. ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, , si alorsE E S E E P E E P E P E∀ ∈ ∩ = ∅ ∪ = +
L’axiome 3, l’additivité, n’est pas satisfait par les expressions surfaciques et
volumiques tel que montré par l’exemple suivant. Considérons quatre intervalles
de diamètre, d’étendue égale, par exemple:
15 10µm D µm≤ < , 210 15µm D µm≤ < , 315 20µm D µm≤ < et
320 25µm D µm≤ < .
La mesure du nombre de gouttes qui ont le diamètre compris dans ces intervallesdonne, par exemple : 1 2 3 41 5 3 1; ; ;n n n n= = = = et les probabilités
associées à ces mesures sont :
1 1 2 3 40.1 0.5 0.3 0.1iP n n P P P= = = = =∑
La distribution numérique est représentée à la figure 2.4a. Conformément aux
définitions des distributions surfacique et volumique, les probabilités associées à
ces mêmes mesures seront :
21 1
1 2 3 42
31 1
1 2 3 43
1 2 3 4
0.025 0.345 0.406 0.224
0.011 0.26 0.427 0.302
7.5 12.5 17.5 22.5
S S S S
i mi
V V V V
i mi
m m m m
n DP P P Pn D
n DP P P Pn D
D µm D µm D µm D µm
= = = = =
= = = = =
= = = =
∑
∑ (2.13)
Les distributions surfacique et volumique sont représentées à la figure 2.4c et
2.4e. Si on décide d’augmenter l’étendue des classes de diamètre et de lesgrouper deux par deux, c’est-à-dire ' '
1 25 15 25µm D µm D µm≤ < ≤ < , le
nombre de gouttes mesuré dans chaque nouvelle classe devient :' '1 26 4n et n= = .
Les probabilités numériques, surfaciques et volumiques correspondantes sont :'
' '11 2'
' ' 2' '1 11 2' ' 2
' ' 3' '1 11 1' ' 3
0.6 0.4
0.27 0.73
0.158 0.842
i
S Sm
i mi
V Vm
i mi
nP Pn
n DP Pn D
n DP Pn D
= = =
= = =
= = =
∑
∑
∑
(2.14)
2.9
avec ' '1 210 20m mD µm et D µm= = .
Ces distributions sont représentées aux figures 2.4b, 2.4d et 2.4f. Conformémentau troisième axiome de Kolmogorov les probabilités obtenues après la réuniondes intervalles disjoints devraient être les sommes des probabilités initiales donc :
' '1 1 2 2 3 4
' '1 1 2 2 3 4
' '1 1 2 2 3 4
Numérique : 0.6 0.4
Surfacique : 0.37 0.63
Volumique: 0.271 0.729
S S S S S S
V V V V V V
P P P et P P P
P P P et P P P
P P P et P P P
= + = = + =
= + = = + =
= + = = + =
(2.15)
En comparant les valeurs des probabilités obtenues en (2.14) et en (2.15) on
observe que seule la distribution numérique remplit le troisième axiome de la
définition des probabilités.
Les expressions surfaciques et volumiques remplissent les deux premiers axiomes
mais non le troisième et donc ne correspondent pas à la définition de probabilité.
L’usage de termes comme densité de probabilité et fonction de densité de
probabilité n’est donc pas correct quand on se réfère à la formulation surfacique
ou volumique. Il est toujours possible de s’y référer comme à des fréquences
volumiques ou surfaciques.
2.10
Fig 2.4 Exemple d’application de l'axiome d'additivité aux distributions utilisées dans ladescription des sprays (trait interrompu = additivité ; continu= réel).
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 10 20 30
D (µm)
P
1 5 13
D1
D2
D3
D4
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 10 20 30
D (µm)
P
6 4
D1U D2
D3 U D4
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 10 20 30D (µm)
PS
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 10 20 30
D (µm)
PS
D1U D2
D3 U D4
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 10 20 30
D (µm)
PV
0
0,3
0,6
0,9
0 10 20 30
D (µm)
PVD3 U D4
D1U D2
a. Distribution initiale - numérique b. Distribution groupée- numérique
c. Distribution initiale - surfacique d. Distribution groupée- surfacique
e. Distribution initiale - volumique f. Distribution groupée- volumique
2.11
2.3 Les indicateurs de position et de dispersion
L’observation des représentations graphiques des données statistiques ne permet
que l’analyse qualitative. Pour décrire de façon quantitative synthétique une
distribution, trois caractéristiques peuvent être définies. Il s’agit tout d’abord de
déterminer les valeurs centrales de la série, de décrire ensuite la plus ou moins
grande dispersion des autres valeurs de la série par rapport à ces valeurs centrales
et de percevoir enfin la forme ou la symétrie de la distribution.
2.3.1 Les indicateurs de position ou de tendance centrale
L’ordre de grandeur des valeurs d’une série est estimé à travers les indicateurs de
tendance centrale. Il existe de nombreuses façons d’exprimer la tendance centrale,
les trois plus utilisées étant le mode, la médiane et la moyenne arithmétique.
Le mode ou valeur dominante est la valeur la plus fréquente de la distribution. Il
correspond à la classe qui présente le plus grand nombre d’effectifs observés. Le
mode est donc le sommet de l’histogramme pour cela, l’appellation utilisée dans
la caractérisation des sprays est peakD . Lorsque l’histogramme présente deux pics
séparés on parle de distribution bimodale. Le mode est le seul indicateur de
tendance centrale qui permet de refléter la présence de distributions plurimodales.
La médiane partage l’ensemble des observations en deux groupes de fréquence
égale. Pour les sprays, cela veut dire que 50% du nombre total des gouttes a un
diamètre inférieur à la médiane (notée 0.5D ) . La médiane n’est pas affectée par
des observations aberrantes, elle ne dépend pas de l’échelle dans laquelle les
données sont exprimées.
La médiane fait partie des indicateurs de positions appelés quantiles. Les quantiles
divisent de l'étendue des données d'une distribution statistique en un certain
nombre d'intervalles qui ne sont pas nécessairement de longueurs égales mais qui
contiennent le même nombre ou le même pourcentage de données. On définit le
quantile 0.XD comme étant la valeur pour laquelle x % de la population est
inférieure ou égale à la dite valeur. Dans la caractérisation des sprays on utilise
aussi les quantiles pour définir les diamètres minimum ( 0.1D ) et maximum ( 0.9D ou
0.99D ).
2.12
La moyenne arithmétique simple est appelée diamètre moyen numérique ( 10D )
lorsqu’elle est appliquée à une distribution de taille des gouttes. Le diamètre
moyen numérique se définit comme le diamètre des gouttes d'un ensemble
uniforme (toutes les gouttes sont identiques) équivalent à l’ensemble réel qui a le
même nombre de gouttes que celui-ci et qui a la même somme des diamètres.
110
1
m
i iim
ii
i i
D nD
nf D=
=
∆
=
∆
=
∑
∑∑ (2.16)
La figure 2.5 présente la position des différents indices de tendance centrale et de
position pour la distribution d’un spray. La position relative du mode, de la
médiane et de la moyenne arithmétique renseigne sur la symétrie de la
distribution. Lorsque les trois valeurs sont très proches ou confondues, la
distribution est symétrique, lorsque mode<médiane<moyenne la distribution est
dissymétrique à gauche et si mode>médiane>moyenne elle présente une
dissymétrie à droite.
Fig. 2.5. Les indicateurs de position et de tendance centrale
0
1
2
3
4
5
6
7
10 30 50 70 90 110
D (µm)
f /∆D Mode (Dpeak)Médiane (D0,5)
Moyenne (D10)
9ème centile (D0,9)
D32
2.13
L’étude des sprays utilise plusieurs types de diamètres moyens spécifiques qui
n’ont pas toujours d’équivalent statistique. Le choix de l'un ou l'autre comme
critère de comparaison dépend du phénomène que l'on étudie (transfert de
masse, de chaleur, combustion etc.).
Un diamètre moyen en général est une valeur conventionnelle qui caractérise un
ensemble de gouttes identiques que l'on substitue à l’ensemble réel. En fonction
du mode de calcul, le diamètre moyen donne des renseignements sur des
caractéristiques différentes du spray (nombre de gouttes, diamètre, surface,
volume).
Le diamètre moyen surfacique ( 20D ) correspond à l’ensemble uniforme qui a la
même surface totale des gouttes que l’ensemble réel :
2
120
1
2
m
i iim
ii
i i
D nD
nf D=
=
∆
=
∆
=
∑
∑∑ (2.17)
20D est utilisé pour l'étude des phénomènes surfaciques, vaporisation, absorption
etc. Le diamètre moyen volumique (massique) 30D correspond à l’ensemble de
gouttes équivalent qui a le même volume total que l’ensemble réel.
3
1330
1
33
m
i iim
ii
i i
D nD
nf D=
=
∆
=
∆
=
∑
∑(2.18)
Le diamètre moyen surfacique relatif 21D correspond à l’ensemble équivalent qui a
la même surface totale des gouttes et la même somme des diamètres de gouttes.
2
121
1
m
i iim
i ii
D nD
D n
=
=
∆
=
∆
∑
∑(2.19)
21D est utilisé pour caractériser la formation de gouttes secondaires car il intervient
naturellement dans l’expression du rapport entre les forces aérodynamiques et les
forces de tension superficielle:
2.14
2 2
21
21
1
4 28
mi G
D iA i G D
m
TSi i
i
D VC n
F V CD
F D n
π ρ
ρ
σπ σ
=
=
⋅ ⋅ ⋅ ∆
= = ⋅
∆
∑
∑(2.20)
Le diamètre volumique relatif 31D correspond à l’ensemble équivalent ayant le
même rapport entre le volume total et la somme des diamètres que l’ensemble
réel:
3
131
1
m
i iim
i ii
D nD
D n
=
=
∆
=
∆
∑
∑(2.21)
31D est caractéristique du taux d'évaporation ou de combustion par unité de
volume. Le diamètre moyen de Sauter (volumique-surfacique) 32D correspond à
l’ensemble équivalent qui a le même rapport entre le volume total et la surface
totale que l’ensemble réel:3
132
2
1
330220
m
i iim
i ii
D nD SMD
D n
DD
=
=
∆
= = =
∆
∑
∑ (2.22)
32D est très utilisé parce qu'il caractérise à la fois la pénétration des gouttes dans
l'air, le transfert de chaleur et le transfert de masse.
La distance de pénétration des gouttes est une fonction du rapport entre les forces
d'inertie et les forces de résistance aérodynamiques:
3
1322 2 2
1
364
4 2
mi
L iI i L
mi GA D G
D ii
Da n
FD
D VF C VC n
πρ
ρ α
π ρ ρ
=
=
⋅ ⋅ ⋅ ∆
= =
⋅ ⋅ ⋅ ∆
∑
∑
(2.23)
L’élévation de température des gouttes par le contact avec l’air qui les entoure est
liée au rapport entre la capacité calorifique des gouttes et l’intensité du transfert
thermique par convection.
3
132
2
1
66
mi
p L ip LL i
m
Gi i
i
DC T n
CQD
Q D T n
πρ
ρ
ααπ
=
=
⋅ ⋅ ∆ ⋅ ∆
= =
⋅ ∆ ⋅∆
∑
∑(2.24)
2.15
L'échange de masse entre les gouttes et le milieu environnant est une fonction du
rapport entre la masse des gouttes et la masse de liquide évaporée par unité de
temps:
( ) ( )
3
132
2 00
1
66
mi
L ii L
m
ei i
i
Dn
MD
M C CD C C n
πρ
ρ
βπ β
=
=
⋅ ⋅ ∆
= =−
− ∆
∑
∑(2.25)
Les diamètres caractéristiques spécifiques aux distributions de taille des gouttes
des sprays peuvent être résumés par une unique formule, tel que décrit par
Mugele et Evans [4] :
0
0
q p q pi iqp qpp
pi i
dnD dDf D dDD ou D dnf D D dDdD
∞
− −
∞
= =
∫∑∑ ∫
(2.26)
Tous les calculs de diamètres moyens se font à partir de la distribution numérique
du spray. Les indicateurs statistiques de tendance centrale peuvent s’appliquer à la
distribution volumique (par exemple) bien que celle-ci ne soit pas une vraie série
statistique. Une valeur souvent utilisée ,basée sur la distribution volumique est la
médiane de celle-ci appelée diamètre médian massique (MMD).
2.3.2 Les indicateurs de dispersion
La connaissance des valeurs centrales d’une distribution ne renseigne pas sur la
dispersion des valeurs, c’est à dire sur leur éloignement par rapport aux valeurs
centrales . Il est donc nécessaire d’accompagner chaque valeur centrale d’un
paramètre de dispersion.
On distingue des paramètres de dispersion absolue (mesurée dans l’unité de
mesure du caractère) et des paramètres de dispersion relatifs (sans dimensions).
L’étendue de la distribution est simplement l’écart entre les valeurs extrêmes de la
série. Comme la distribution peut être très étalée, il est plus pratique d’utiliser
l’écart interquantile qui est la différence entre le premier et le dernier quantile. Par
exemple, pour un spray, on peut calculer :
0.9 0.1E D D= − (2.27)
2.16
Cette dispersion absolue est souvent remplacée, dans les sprays par un écart relatif
à la valeur médiane. L’écart relatif est :
0.9 0.1
0.5
D DD−
∆ = (2.28)
L’écart absolu moyen est la moyenne des valeurs absolues des écarts à la
moyenne :
10i ie f D D= −∑ (2.29)
L’écart type est le critère de dispersion le plus utilisé dans la statistique. Il se définit
comme la moyenne quadratique de l’écart entre chacune des valeurs de la série et
la moyenne arithmétique :
( )2
10i is f D D= −∑ (2.30)
Il est possible de d éfinir l’écart type uniquement à travers les diamètres moyens.
En effet :
( )22
10
2 210 102
i i
i i i i i
s f D D
f D D f D D f
= − =
= − +
∑
∑ ∑ ∑(2.31)
Après utilisation de la définition du diamètre moyen numérique ( 10 i iD f D=∑ )
et de la condition de normalisation ( 1if =∑ ), nous obtenons :
2 2 220 10s D D= − (2.32)
L’écart type est une mesure absolue. Pour comparer des séries statistiques qui ont
des moyennes différentes il est plus utile de travailler avec un critère relatif.
Le coefficient de variation (écart type normalisé) exprime l’écart type en
pourcentage de la moyenne :
10v
scD
= (2.33)
Les paramètres de tendance centrale, s’ils sont accompagnés de la dispersion
afférente permettent de caractériser la distribution de taille de gouttes d’un spray
de façon très synthétique. La plupart des données expérimentales dans le domaine
des sprays sont ainsi présentées .
2.17
2.42.42.42.4 Fonction de distribution de taille des gouttesFonction de distribution de taille des gouttesFonction de distribution de taille des gouttesFonction de distribution de taille des gouttes : : : :
lois théoriques usuelleslois théoriques usuelleslois théoriques usuelleslois théoriques usuelles
Trouver une équation analytique qui puisse décrire un spray est particulièrement
utile pour mener des calculs ultérieurs sous forme algébrique et pour extrapoler en
dehors du champ couvert par les observations. Par ailleurs lorsqu’on sait qu’une
variable suit une loi théorique appartenant à une famille de lois à un ou plusieurs
paramètres, la distribution observée est entièrement résumée par les paramètres
correspondants, ce qui facilite les comparaisons entre distributions du même type.
La démarche habituellement utilisée dans l’étude des sprays [5] consiste à acquérir
de façon expérimentale des distributions de taille de gouttes et d’essayer de
trouver la loi théorique la plus proche. Le critère de choix de l’une ou l’autre loi
existante est le « best fit » et n’est basé ni sur la physique du phénomène de
pulvérisation ni sur les caractéristiques du type de pulvérisation (pneumatique,
centrifuge, ultrasonique).
Le formalisme de l’entropie maximale, par contre, se base sur des contraintes qui
décrivent le plus précisément possible la pulvérisation et les conditions de travail
pour trouver cette loi analytique. Ce fait suffirait à justifier son utilisation à la place
de la démarche habituelle. De plus, l’étude qui suit montre que la méthode
classique d’ajustement de la loi théorique ne permet pas de décrire
convenablement les distributions obtenues par pulvérisation ultrasonique.
Les distributions de probabilité expérimentales dont nous disposons pour la
pulvérisation ultrasonique (voir chapitre 4), ont été comparées à quelques lois
théoriques utilisées pour les sprays.
2.4.1 Quelques définitions
Si une variable peut prendre un nombre fini de valeurs 1 2, , ..., nx x x et s’il
correspond à ces valeurs des probabilités 1 2, , ..., np p p telles que 1
1n
ii
p=
=∑ , on dit
que la variable est aléatoire d’ordre n et la correspondance ( );k kx p définit ce
qu’on appelle une loi de probabilité.
2.18
Il est commode de représenter une telle loi de probabilité en imaginant qu’on
dispose sur une droite des points d’abscisses 1 2, , ..., nx x x et qu’on répartisse en ces
points les masses 1 2, , ..., np p p . On peut envisager de répartir la masse totale
unitaire de manière continue sur la droite. A tout point d’abscisse x doit alors
correspondre une densité de matière ( )p x telle que :
( ) 1p x dx∞
−∞
=∫ (2.34)
La fonction ( )p x est appelée densité de probabilité.
On désigne par fonction de probabilités totales ou fonction de répartition ou
encore par fonction de distribution , la fonction obtenue en faisant correspondre à
chaque valeur x la somme des probabilités correspondant aux valeurs de la
variable inférieures ou égales à x. Si la loi de probabilité est discontinue, cette
fonction s’écrit :( )
k
kx x
P x p≤
= ∑ (2.35)
2.4.2 Quelques lois de probabilités appliquées aux sprays
2.4.2.1 Rosin-Rammler
La loi de Rosin-Rammler, initialement développée pour décrire les distributions de
taille de particules solides, est largement utilisée dans l’étude de la pulvérisation.
Elle est bien adaptée pour décrire les distributions obtenues par pulvérisation sous
pression. La fonction de distribution pour la loi de Rosin-Rammler (développée
pour suivre la distribution volumique) est :
( ) 1 expRs
vDF Dδ
= − − (2.36)
où δ est un diamètre caractéristique et Rs une mesure de la dispersion.
Pour illustrer l’approche classique d’ajustement de loi théorique aux distributions
expérimentales, la loi de Rosin-Rammler est ajustée à la distribution obtenue par
pulvérisation ultrasonique. La représentation graphique de cette fonction est une
droite si nous écrivons :
2.19
1log ln log log1 ( )
1log log ln1 ( )
10
R R
baR
s D sF D
X D YF D
Y aX b s a
δ
δ−
= −−
= =−
= + = =
(2.37)
Pour ajuster la fonction de distribution mesurée à une loi de Rosin-Rammler il
suffit alors de représenter les données expérimentales en coordonnées1
log , log ln1 ( )
DF D−
et de faire une régression linéaire (moindres carrés) qui
permet de trouver les paramètres δ et Rs . La figure 2.6 présente l’application de
cette méthode aux données issues de la pulvérisation ultrasonique de l’eau. La
régression linéaire permet de trouver l’équation :
2.84 5.09Y X= − (2.38)
Les paramètres de la loi Rosin-Rammler correspondante sont :
4.92.842.84 ; 10 53.13Rs δ= = = (2.39)
La figure 2.6 montre la superposition de cette loi théorique et des résultats
expérimentaux. La concordance est très mauvaise et ceci est principalement causé
par le double logarithme que nous avons appliqué pour transformer la loi de
Rosin-Rammler en une droite. Cette approche classique, qui passe par une
linéarisation d’équation comportant au moins un logarithme, est de nature à
diminuer les variations et donc source importante d’erreurs.
2.4.2.2 Log-normale
La loi log-normale est dérivée de la loi de distribution normale de probabilités
(courbe de Gauss) en utilisant comme variable le logarithme du diamètre. Si on
l’applique à la distribution volumique :
( )2ln
2
ln ln1( ) exp (ln )2 2
D
vD
F x d Ds s
δ
π −∞
− = ∫ (2.40)
où δ est le diamètre moyen volumique et s l’écart type de la distribution
volumique.
2.20
Pour ajuster une loi log-normale à la distribution expérimentale il est d’usage de
transformer cette fonction en une droite en effectuant un changement de
variable:
21( ) exp2 2
1
ln ln ln
exp
Y
vYF D dY
bY aX b sa
D Xs
a
Y D
π
δ
δ
−∞
= −
= + = = −
=
−=
∫ (2.41)
L’argument Y se trouve dans les valeurs tabulées de la loi normale de probabilités.
Pour ajuster la fonction de distribution mesurée à une loi log-normale il suffit
alors de représenter les points expérimentaux en coordonnées ( )ln ,D Y et de faire
une régression linéaire (moindres carrés) qui permet de trouver les paramètres δ
et s . La figure 2.6 présente l’application de cette méthode aux données issues de
la pulvérisation ultrasonique de l’eau. La concordance est bonne en ce qui
concerne la forme de la distribution, mais l’amplitude du pic de cette distribution
est sous-estimée.
2.4.2.3 Racine-normale
La loi racine-normale (root-normal) est aussi dérivée de la loi de distribution
normale de probabilités en utilisant comme variable la racine carrée du diamètre.
Si on l’applique à la distribution volumique :
( )2
ln
2
1( ) exp ( )2 2
D
v
DF x d D
s s
δ
π −∞
− = ∫ (2.42)
où δ est un diamètre caractéristique et s l’écart type de la distribution
volumique.
Pour ajuster une loi racine-normale à la distribution expérimentale il est d’usage de
transformer cette fonction en une droite en effectuant un changement de
variable:
2.21
2
2
1( ) exp2 2
1
Y
vF
DY X Ds
YD dY
bY aX b sa a
π
δ
δ
−∞
= −
−= =
= + = = −
∫ (2.43)
Après représentation des points expérimentaux en coordonnées ( ),YD et
régression linéaire , les paramètres δ et s sont calculés et la distribution obtenue
représentée à la figure 2.6. La concordance de la courbe expérimentale avec la loi
théorique racine-normale est moins bonne que pour la loi log-normale.
2.4.2.4 Limite supérieure
La loi limite supérieure (upper-limit) est une variante de la loi log-normale pour
laquelle on spécifie le diamètre maximum possible maxD à la place du diamètre
moyen δ :
( )( )2
ln max2
ln ln1( ) exp (ln )2 2
D
v
CD D DF x d D
s sπ −∞
− − = ∫ (2.44)
où C est une constante.
Pour ajuster une loi upper-limit à la distribution expérimentale il est d’usage de
transformer cette fonction en une droite en effectuant un changement de
variable:
( )( )max
ax
2
m
1( ) exp2 2
ln lnln l
x
n
1 e p
Y
vFYD dY
bY aX b s Ca a
CD D DY X D D D
s
π −∞
= −
− −= =
= + = =
− −
∫ (2.45)
Une régression linéaire permet de trouver les paramètres C et s . La figure 2.6
présente l’application de cette méthode aux données issues de la pulvérisation
ultrasonique de l’eau. La concordance est mauvaise pour la pulvérisation
ultrasonique qui produit des distributions étroites. Par contre cette loi est bien
adaptée aux sprays d’injection sous pression qui produisent des distribution larges.
2.22
21,51
Y = 2,84X - 4,9R2 = 0,958
-1,5
-0,5
0,5
1,5
X
Y
10010
0
2
4
D (µm)
Fv
Expérimental
Rosin-Rammler
2 3 4 5
y = 2,74x - 9,97R2 = 0,99
-3,5
-1,5
0,5
2,5
X
Y
10010
0
2
4
D (µm)
Fv
ExpérimentalLog-normale
119753
Y = 0,79X - 5,17R2 = 0,95
-3,5
-1,75
0
1,75
3,5
X
Y
100100
2
4
D (µm)
Fv
ExpérimentalRoot-normal
2.23
-4 -3 -2 -1
y = 1,70x + 2,44R2 = 0,98
-3,5
0
3,5
X
Y
10 1000
5
D (µm)
fv%
Expérimental
Upper-limit
Figure 2.6 Ajustement des principales lois théoriques à la distribution
expérimentale.
2.4.2.5 Conclusions
Toutes les lois théoriques utilisées dans le domaine des sprays sous-estiment
l’amplitude de la distribution obtenue par pulvérisation ultrasonique. La forme
générale de la distribution n’est bien reproduite que par la loi log-normale.
Ces lois théoriques ne peuvent s’appliquer qu’aux distributions strictement mono-
modales.
L’évolution des moyens de calculs permet à présent de remplacer la régression
linéaire par des modèles de régression non linéaire multivariée comme par
exemple le maximum de vraisemblance.
2.24
3.1
3.3.3.3. IIIINSTABILITES DE SURFACE LIBRE ET FORMATION DE GOUTTESNSTABILITES DE SURFACE LIBRE ET FORMATION DE GOUTTESNSTABILITES DE SURFACE LIBRE ET FORMATION DE GOUTTESNSTABILITES DE SURFACE LIBRE ET FORMATION DE GOUTTES
3.13.13.13.1 Le mécanisme de formation du sprayLe mécanisme de formation du sprayLe mécanisme de formation du sprayLe mécanisme de formation du spray
La fragmentation d’un volume liquide en gouttes est un phénomène physique qui
fait l’objet de nombreuses études théoriques et expérimentales. Les ouvrages de
référence [1,2] font une synthèse des types de pulvérisation étudiées et des
résultats de ces recherches. La formation des gouttes est toujours le résultat de
l’application d’une force perturbatrice (de pression, centrifuge, de vibration…) sur
le système liquide.
A l’état initial, le volume de liquide à pulvériser se présente sous forme de jet
laminaire, de nappe ou de film liquide, selon le type de spray envisagé. Une
perturbation est alors appliquée sous la forme d’une accélération constante (jet,
pulvérisation centrifuge) ou périodique dans le temps et l’espace (pulvérisation
ultrasonique). Dans la plupart des mécanismes de formation de gouttes, si
l’énergie ainsi transmise au volume liquide excède l’énergie de surface augmentée
des dissipations visqueuses, la conservation d’énergie oblige le liquide à
augmenter sa surface pour augmenter son énergie superficielle. Selon la quantité
d’énergie fournie au volume de liquide, les gouttes formées seront plus ou moins
fines afin d’obtenir l’augmentation de la surface nécessaire pour rétablir l’équilibre
énergétique.
Si l’accélération appliquée au liquide, est augmentée progressivement, la surface
libre se déforme et forme, dans un premier temps, des vagues régulières. Ces
instabilités de surface ondulatoires sont observées lors de toute formation de
spray, autant dans la pulvérisation de jets et de nappes liquides [1], que dans la
pulvérisation ultrasonique [6].
Lorsqu’un certain seuil critique est atteint, le volume liquide se fragmente en
gouttes. La taille des gouttes ainsi formées dépend de la longueur d’onde des
ondes de surface.
La formation du spray comprend donc deux étapes : en premier, des ondes de
surface instables apparaissent sur la nappe liquide, en second, les crêtes de ces
3.2
ondes génèrent des gouttes de taille proportionnelle à la dimension caractéristique
des ondes (fig. 3.1).
Figure 3.1 Les étapes de la formation du spray.
L’étude du spray ultrasonique suit la logique de cette physique et se consacre,
dans un premier temps, à la formation des ondes de surface et à leur
caractérisation dimensionnelle à travers l’analyse de stabilité de la surface libre.
Cette étude est aussi la première sur la pulvérisation ultrasonique à avoir été
réalisée à l’UCL [14]. Le résultat de cette analyse est la prédiction de la longueur
d’onde en fonction des propriétés du liquide et des caractéristiques du
pulvérisateur (fréquence de résonance). Cette analyse, basée sur la théorie linéaire
permet une bonne estimation préalable, mais une validation expérimentale est
nécessaire car l’instabilité des ondes est un phénomène non-linéaire.
Une campagne de mesures systématiques des longueurs d’ondes obtenues avec
différents liquides et pulvérisateurs a été réalisée dans le cadre du présent travail.
Les résultats et conclusions sont présentés dans ce chapitre.
1. Formation desondes de surface
2. Ejectionde gouttes
3. Formationdu spray
3.3
Connaissant les caractéristiques dimensionnelles des ondes de surface il est
possible de déterminer le diamètre moyen des gouttes formées sur base des lois
de conservation appliquées au film liquide et à l’ensemble des gouttes formées.
Il est évident que toutes les gouttes ne peuvent avoir un diamètre identique.
Même si le spray ultrasonique présente une distribution étroite de diamètres de
gouttes, des variations autour du diamètre moyen existent, et les prédire est
essentiel pour l’utilisation efficace de ces sprays. Dans l’humidification d’air, par
exemple, il convient de s’assurer que toutes les gouttes soient évaporées avant
d’atteindre les parois solides : la taille maximale des gouttes est donc importante.
Pour la production d’aérosols médicaux, il est nécessaire de connaître avec
précision la quantité de liquide pulvérisé qui forme des gouttes de taille inférieure
à 2µm car seule cette quantité sera assimilée par l’organisme.
Etant donné le nombre élevé de gouttes qui forment le spray un calcul exact est
impossible. La méthode habituelle qui consiste à choisir une loi de distribution et à
l’adapter aux données expérimentales (tel que décrit au chap. 2.4), est ici
remplacée par une approche récente, le formalisme de l’entropie maximale, qui,
sur base des lois de conservation (masse, énergie, moment) appliquées à chaque
type de pulvérisation, permet de déterminer la distribution de diamètres la plus
probable.
La figure 3.2 présente les étapes de formation d’un spray et les étapes de l’analyse
qui s’y rapportent ainsi que les paramètres pris en compte à chaque étape de
l’étude .
L’analyse théorique de la pulvérisation ultrasonique est donc pratiquée en deux
étapes qui correspondent aux deux étapes de formation du spray :
La prédiction du diamètre moyen des gouttelettes (présentée dans le chap.
3.4) est basée sur l’estimation de la longueur d’onde des ondes de surface
(chap. 3.3) ;
La prédiction de la distribution du diamètre des gouttes la plus probable selon
le formalisme de l’entropie maximale fait l’objet du chap. 4.
3.4
Figure 3.2 Les étapes de l’étude théorique de la formation du spray.
3.23.23.23.2 Instabilité de FaradayInstabilité de FaradayInstabilité de FaradayInstabilité de Faraday
Les ondes de surface qui précèdent la formation du spray dans la pulvérisation
ultrasonique appartiennent à la famille de structures régulières générées à la
surface d’un film liquide déposé sur une surface vibrante telles qu’observées pour
la première fois par Faraday en 1831 [7]. Ce phénomène, appelé depuis lors
instabilité de Faraday, est une résonance paramétrique : l’excitation forcée
périodique imposée au liquide intervient en tant que paramètre dans l’équation
qui décrit le déplacement de la surface libre. La conséquence est que de petites
variations de l’excitation peuvent entraîner d’importants déplacements de la
surface libre. L’étude de la résonance paramétrique dans l’instabilité de Faraday [8]
montre que, lorsque la fréquence des oscillations de la surface libre est égale à la
moitié ou à un multiple entier de la moitié de la fréquence de l’excitation
périodique forcée, le système résonne, ce qui se traduit par l’apparition de
nombreux types de structures régulières (ondes cylindriques simples, carrés,
hexagones, etc…). De nombreuses études expérimentales [9,10,11,12], limitées en
général aux basses fréquences (10- 100 Hz) ont mis en évidence ces dernières
années une extraordinaire richesse de structures de surfaces (figure 3.3). La valeur
Ondes de surface
Ejection de gouttes
Longueur d’onde(λ)
Diamètre moyen(D)
Propriétés du liquide(ρ,σ,ν)
Fréquence de résonance(f)
Propriétés du liquide(ρ,σ,ν)
Analyse destabilité
Lois deconservation
Distribution deDistribution deDistribution deDistribution detaille de gouttestaille de gouttestaille de gouttestaille de gouttesFormalisme de
l’entropie maximale
3.5
de l’accélération imposée au système, sa fréquence et les propriétés du liquide
déterminent l’apparition de l’une ou l’autre structure régulière de surface. La
structure d’ondes carrées stationnaires est la plus facilement observable, car
apparaissant aux faibles accélérations pour des fluides peu visqueux et à
pratiquement toutes les fréquences. C’est aussi celle qui se forme à la surface du
film liquide déposé à l’extrémité d’un pulvérisateur ultrasonique [6] comme
montré à la figure 3.1.
Le premier pas dans la compréhension de l’instabilité paramétrique est de
procéder à une analyse linéaire de stabilité. Ceci permet de déterminer
l’accélération critique ca au-delà de laquelle les structures de surface se forment, et
le nombre d’onde k (ou la longueur d’onde λ ) du mode instable.
Un schéma du pulvérisateur ultrasonique et un détail de la surface active où se
forme le film liquide avant pulvérisation, est montré à la figure 3.4. L’excitation
périodique forcée est fournie par deux disques piézocéramiques qui convertissent
l’énergie électrique fournie à leurs bornes en énergie mécanique de vibration.
Les pulvérisateurs ultrasoniques oscillent en général à des fréquences comprises
entre 20kHz et 100kHz. Le pulvérisateur ultrasonique expérimental le plus utilisé
tout au long de ce travail a été calculé pour résonner à la fréquence de 50kHz. La
fréquence réelle est généralement inférieure d’environ 2 kHz car les dissipations
dans les matériaux et le liquide présent dans le canal d’alimentation ont été
négligés lors du dimensionnement.
Les disques piézocéramiques sont serrés entre un support et un élément
amplificateur mécanique dont les longueurs sont calculées de façon à obtenir une
amplitude de déplacement de la surface active maximale [13]. Plusieurs manières
d’amener le liquide à former un film sur la surface active sont envisageables,
l’alimentation par le canal central présentant l’avantage de permettre la
dissipation de la chaleur produite dans le corps du pulvérisateur et surtout au
niveau des éléments piézocéramiques qui sont très sensibles à l’augmentation de
la température.
3.6
Figure 3.3 Structures régulières de surface observées à la surface d’un film liquidesoumis à des vibrations verticales (d’après Barrio & al. [9] )
3.7
Figure 3.4 Schéma du pulvérisateur ultrasonique et détail du film liquide mis en
vibration.
La surface active du pulvérisateur est en mouvement périodique de déplacement
cosA tω . Le film liquide qui la recouvre subit donc une accélération
gravitationnelle modulée périodiquement : 2 cosg A tω ω− .
Le problème est décrit par les équations de Navier-Stokes (conservation de
quantité de mouvement et de masse) dans lesquelles l’accélération gravitationnelle
modulée est le moteur paramétrique. La linéarisation des équations suppose de
petits déplacements de la surface libre et de faibles composantes du vecteur
vitesse [6]. Avec les conditions frontières imposées, la solution, en coordonnées
cylindriques se compose d’un terme de variation spatiale Rn(r,θ), et d’un terme de
variation temporelle, T(t). La variation spatiale peut être une superposition de
plusieurs solutions modales. L’amplitude de déplacement de la surface libre est
donc :
( , , ) ( , ) ( )n nZ z r R r T tθ θ= ⋅ (3.1)
Le terme de variation spatiale représente les différents modes de vibration de la
surface libre et l’amplitude de ces modes. Le terme de variation temporelle qui
exprime l’évolution de l’amplitude dans le temps est celui qui permet d’étudier la
Surface active
Amplificateurmécanique
Support
Alimentation en liquide
Alimentation électrique
~~~~
Disquespiézocéramiques
cosA tω
3.8
stabilité de la surface libre. Les solutions instables qui conduisent à l’apparition des
structures régulières de surface correspondent à des solutions à croissance infinie,
les solutions stables étant des solutions à variation périodique. On peut montrer
que la variation temporelle prend la forme d’une équation de Mathieu-Hill
[6,8,14,20] :
( )22
22
2
2 tanh( )2
2 cos 2 04 tanh( )
Ak kh td T T avecd k g k kh
ωα τ
ωβ α τ
στβ
ω ρ
= =
+ − = = +
(3.2)
La variation temporelle dépend donc, à travers le paramètre du second terme, de
l’excitation forcée (d’amplitude A et de pulsation ω ) et des propriétés du liquide
(la tension superficielle σ et la masse volumique ρ ). Dans cette première
approximation le liquide est considéré comme idéal et donc la viscosité n'intervient
pas dans les paramètres .
Le cas limite, qui correspondrait à l’absence d’excitation périodique ( 2 0Aω → ),
conduit à l’équation d’une onde qui se propagerait à la vitesse :
2 tanh( )gc k khk
σ
ρ
= + (3.3)
Ceci correspond à la vitesse de propagation de l’onde de surface capillaro-
gravitationnelle [15]. A défaut de résoudre l’équation de Mathieu-Hill, de
nombreux auteurs ont utilisé cette relation de dispersion pour établir la longueur
d’onde des ondes de surface, notamment dans la pulvérisation ultrasonique [16].
La solution de l’équation de Mathieu-Hill a la forme [6] :
( ) ( )( ),
june fonction périodique
T e avecµττ τ
µ µ α β
Θ= Θ =
(3.4)
Les valeurs imaginaires négatives de µ impliquent une croissance exponentielle de
l’amplitude en fonction du temps et définissent les zones d’instabilité dans le plan
( ),α β . La figure 3.5(a) illustre ces régions d’instabilité. On constate que le premier
mode instable est un mode subharmonique de fréquence égale à la moitié de la
fréquence d’excitation tel que constaté par les premières expériences de Faraday.
3.9
L’introduction de la viscosité dans le modèle linéaire [6,14], permet de déterminer
le seuil d’accélération critique à partir duquel les modes instables apparaissent
(figure 3.5 b).
Figure 3.5 Zones d’instabilité (a) et accélération critique fluide visqueux (b) .
L’instabilité se manifeste sous la forme de l’apparition de structures régulières de
la surface libre. Le type des structures préférentielles en fonction des paramètres
de contrôle ne peut être prédit par le simple examen de l’équation de Mathieu-Hill
qui est le résultat d’une analyse linéaire.
En faisant l’hypothèse que les gouttes dans la pulvérisation ultrasonique sont
émises à partir du mode de vibration instable correspondant aux taux de
croissance jµ le plus élevé, il est possible de déterminer une relation de dispersion
[6] similaire à celle déterminée pour le cas limite des ondes capillaro-
gravitationnelles non forcées (3.3) :
2
2
4 tanh( )
1.04 0.1 2 tanh( )
k k g kh
Ak kh
σ
ρω
+ =
− (3.5)
0 2 4 6 8 10 12-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
ββββ
αααα
Instable: fl=1/2f
Instable: fl=f
Instable: fl=3/2f
Nombre d'onde
Acc
élér
atio
n
Stable Stable
Instable
ac
kc
3.10
Les considérations précédentes sont
valables pour de faibles déplacements de
la surface libre et de faibles vitesses,
conditions qui ont permis de travailler
avec une expression linéaire des équations
de Navier-Stokes. Cependant l'instabilité
implique une augmentation exponentielle
de l’amplitude dans le temps : dès lors,
l’analyse linéarisée devient de plus en plus
inappropriée pour déterminer l’évolution
de la surface libre au-delà de la limite de
stabilité, notamment le type de structure
régulière formée à la surface libre du
liquide.
Des analyses non-linéaires [17,18,20]
démontrent que c’est toujours la
structure d’ondes stationnaires carrées qui
va se former pour des fréquences
>100Hz et des petites viscosités de
liquide. Pour les fréquences de résonance
du pulvérisateur ultrasonique il n’est pas
possible d’observer d’autres structures
sans utiliser des fluides de haute viscosité.
Si l’accélération est augmentée au-delà
du seuil critique, après la formation des
ondes carrées stationnaires apparaissent
des modulations, de longueur d’onde
comparable aux dimensions radiales du
film liquide, qui perturbent la structure
carrée régulière (figure 3.6).
a. Ondes stationnaires carrées
b. Modulations
c. Transition vers le chaos
Figure 3.6 Evolutions de lasurface libre avec l’augmentationde l’accélération à la fréquencede résonance.
3.11
En augmentant encore l’accélération de la perturbation, la structure régulière
modulée cède la place au chaos spatiotemporel suivi de la formation de pics de
très grande amplitude qui éjectent des gouttelettes [19].
L’accélération limite à laquelle l’éjection de gouttelettes commence dépend de la
fréquence imposée et des propriétés du fluide [21,22,23,24 ]. La corrélation
correspondant aux hautes fréquences et petites viscosités prédit pour le cas du
pulvérisateur ultrasonique type (50kHz) et de l’eau :
1 34 3 200.261 230000ca m sσ
ωρ
= ≅ (3.6)
Ceci permet de calculer l’amplitude maximale de la surface active du pulvérisateur
pour laquelle la pulvérisation est possible :
20
7caA µmω
= ≅ (3.7)
Cette valeur est en accord avec les mesures expérimentales du déplacement de la
surface active qui indiquaient pour ce même pulvérisateur une amplitude de
6.5µm .
3.33.33.33.3 Ondes de surface et pulvérisation ultrasoniqueOndes de surface et pulvérisation ultrasoniqueOndes de surface et pulvérisation ultrasoniqueOndes de surface et pulvérisation ultrasonique : acquis : acquis : acquis : acquis
théoriquesthéoriquesthéoriquesthéoriques
La formation du spray ultrasonique est précédée de la formation d’ondes carrées
stationnaires de fréquence égale à la moitié de la fréquence de résonance du
pulvérisateur. Si ces ondes étaient des ondes capillaro-gravitationnelles de petite
amplitude (l’excitation périodique forcée est négligée), la longueur d’onde (λ )
pourrait se déduire à partir de la relation (3.3) qui est l’équation de dispersion telle
qu’établie la première fois par Kelvin [25]. Tenant compte du fait que 2 lfω π= et
2k π λ= , et que, pour de faibles épaisseurs du film liquide tanh( ) 1kh ≅ , la
longueur d’onde est donnée par :
22l
gf λ πσλ
π ρλ
= + (3.8)
lf étant la fréquence des ondes de surface.
3.12
L’application de cette relation aux sprays ultrasoniques impose de tenir compte de
ce qui suit :
1. La fréquence des ondes de surface est remplacée par la fréquence de
résonance du pulvérisateur en tenant compte du fait que 2lf f= ;2. Les force de gravité sont négligeables comparées aux forces capillaires :
22gλ πσ
π ρλ<<
L’expression ainsi obtenue par Lang [16] est fort simple :
13
2
8Lang f
πσλ
ρ
= (3.9)
L’analyse de stabilité linéaire complète (l’excitation périodique forcée n’est plus
négligée) appliquée à un fluide visqueux permet à Sindayihebura [6] d’obtenir une
expression plus rigoureuse basée sur la relation de dispersion (3.5). La longueur
d’onde est donnée par l’équation :
1 22
2 2
2 2 24 tanh 0.02 tanh 1.04 0h A hgf
σπ π π π
π λ ρλ λ λ λ
+ + − = (3.10)
Cette équation se réduit à l’expression (3.10) si aux deux hypothèses de Lang on
ajoute :
3. L’amplitude de déplacement de la surface active du pulvérisateur est petite
par rapport à l’épaisseur du film liquide. Par exemple, pour le pulvérisateur
50kHz, 6.5A µm= et 1h mm= donc cette hypothèse est valable.
L’équation (3.10) prend en compte l’amplitude de la force d’excitation appliquée,
l’épaisseur du film liquide et ses propriétés excepté la viscosité. Cependant il s’agit
toujours là d’une analyse linéaire adaptée uniquement aux faibles amplitudes. Les
études expérimentales [12] montrent que, si les relations de dispersion déduites
par analyse linéaire fonctionnent relativement bien pour les faibles fréquences
(<50Hz) elles sont inadaptées aux hautes fréquences. L’augmentation de la
dissipation pour ces régimes de haute fréquence va entraîner une réduction de la
longueur d’onde.
Si on souhaite baser la prédiction de taille des gouttes du spray ultrasonique sur
l’estimation des dimensions des ondes de surface carrées formées avant l’éjection
3.13
de gouttes, il est important de pouvoir chiffrer les écarts entre la réalité et la
prédiction linéaire (seule disponible jusqu’à présent) et éventuellement trouver des
corrélations expérimentales pour subvenir au manque de connaissance sur la
dispersion non-linéaire des ondes.
3.43.43.43.4 Ondes de surface et pulvérisation ultrasoniqueOndes de surface et pulvérisation ultrasoniqueOndes de surface et pulvérisation ultrasoniqueOndes de surface et pulvérisation ultrasonique : acquis : acquis : acquis : acquis
expérimentauxexpérimentauxexpérimentauxexpérimentaux
Une étude expérimentale est envisagée chaque fois que les questions suscitées par
un phénomène physique ne trouvent pas une réponse complète ou satisfaisante
dans la connaissance théorique disponible. La réponse à ces questions est alors
cherchée dans l’expérience. Un plan d’expérience est exécuté et l’exploitation des
résultats mène aux réponses, ou du moins à des pistes de réflexion.
3.4.1 La démarche expérimentale : le plan d’expérience
Une étude expérimentale se structure en général en deux étapes :
1. La recherche des facteurs influents commence par l’identification de tous les
paramètres qui pourraient influencer l’évolution du phénomène étudié. Le
plan d’expérience envisagé a pour but de tester l’influence de tous ces
facteurs avec un maximum d’efficacité (un minimum d’essais). Au terme de
cette étape il doit être possible de répondre aux questions suivantes :
quels sont les facteurs qui ont une influence significative,
que vaut quantitativement cette influence,
y a-t-il une interaction entre l’effet de différents facteurs ?
2. La modélisation qui est la recherche de la forme de l’influence. S’agit-il d’une
dépendance linéaire ? Lors de cette étape deux possibilités existent :
les acquis théoriques permettent de connaître la loi générale et les
expériences ont pour but de confirmer la théorie et de quantifier certaines
constantes inconnues ;
les connaissances théoriques sont insuffisantes et les expériences ont alors
pour but de trouver une loi de dépendance entre facteurs influents et
leurs effets et ainsi de progresser dans la connaissance théorique.
3.14
Dans les deux cas la planification des expériences est essentielle car des
expériences qui ne prennent pas en compte tous les facteurs influents peuvent
aboutir à des lois erronées. La planification consiste à choisir la liste des essais
à effectuer, appelée plan d’expérience [26]. La nécessité de ne rien négliger
est contrebalancée par le "coût " des expériences. Si on prend l’exemple d’un
phénomène régi par trois facteurs d’influence, les faire varier un à un en
gardant les deux autres constants nous oblige à répéter au moins 32 8= fois
la même expérience pour modéliser une variation linéaire. Si on souhaite
détecter une éventuelle courbure il faut ajouter au moins 6 points
expérimentaux. De plus, pour estimer la variance expérimentale, indispensable
pour la définition des niveaux de valeur significative des effets, il est nécessaire
de répéter plusieurs fois certains points expérimentaux. Quatre facteurs
impliquent un minimum de 16 expériences, etc…
Contrairement aux idées reçues, il est préférable de faire varier tous les
facteurs à la fois pour optimiser la précision des essais (diminuer l’incertitude
expérimentale)
Les plans d’expérience optimaux sont universels et ne dépendent pas des
caractéristiques spécifiques de chaque expérience. Pour appliquer les critères
d’optimalité, il convient de définir les conventions suivantes :
une expérience permet d’obtenir une ou plusieurs réponsesréponsesréponsesréponses (par exemple
la mesure la longueur d’onde des ondes de surface et/ou la fréquence de
ces ondes) ;
la réponse dépend de valeurs prises par les facteursfacteursfacteursfacteurs influents (par
exemple, pour les ondes de surface, les propriétés du fluide, , ,σ ρ µ et la
fréquence de résonance) ;
les facteurs peuvent prendre plusieurs valeurs, appelées niveauxniveauxniveauxniveaux ; les
niveaux extrêmes sont codés –1 et +1. L’effeteffeteffeteffet d’un facteur sur la réponse
s’obtient en comparant les valeurs de la réponse quand le facteur passe
du niveau à un autre. Pour déterminer si l’effet est significatif ou s’il est
uniquement dû aux erreurs de mesure des tests statistiques simples
peuvent être utilisés.
3.15
il y a interactioninteractioninteractioninteraction entre deux facteurs si l’effet de l’un dépend du niveau de
l’autre et inversement.
le domainedomainedomainedomaine d’étude peut être représenté dans l’espace des facteurs à k
dimensions. Pour deux facteurs, nous obtenons un carré. Si les facteurs
prennent uniquement deux niveaux, les points expérimentaux se situent
aux sommets du carré.
A chaque plan d’expérience , peut être associée une matrice X composée de n
lignes (une par expérience) et de k colonnes (une par estimation).
Prenons l’exemple de l’effet de trois facteurs (tension superficielle, viscosité et
fréquence de résonance) sur la longueur d’onde des ondes de surface et
considérons que les facteurs peuvent prendre deux niveaux codés (-1 ;+1). Le plan
optimal pour prédire les effets directs et les interactions des effets est un plan
factoriel complet à deux niveaux 23 qui implique la réalisation de huit essais (c’est
un minimum car certains points expérimentaux, ou le plan entier, doivent être
répétés plusieurs fois pour estimer la variance expérimentale).
Les huit estimations qu’il est possible de faire après avoir réalisé ces essais sont : les
effets des trois facteurs , les trois interactions simples des facteurs , l’interaction
combinée des facteurs et la moyenne générale, qui est ici la longueur d’onde
moyenne obtenue pour ces essais.
Les premières colonnes (en grisé) du tableau 3.1 présentent les niveaux auxquels
chaque facteur doit être fixé pour effectuer les 8 mesures nécessaires. Les effets se
calculent en multipliant la colonne des résultats par la colonne de l’effet à estimer.
La moyenne arithmétique des 8 valeurs (affectées d’un signe) ainsi obtenues
représente la variation globale de longueur d’onde lorsque le facteur respectif
passe d’un niveau à l’autre.
La même opération effectuée en utilisant la colonne « moyenne » permet de
calculer la longueur d’onde moyenne dans le domaine expérimental étudié.
3.16
σσσσ µµµµ ffff σ.µσ.µσ.µσ.µ σ.σ.σ.σ.ffff µ.µ.µ.µ.ffff σ.µ.σ.µ.σ.µ.σ.µ.ffff Moy. Résultats
Mesure 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 λ1
Mesure 2 -1 -1 1 1 -1 1 1 1 λ2
Mesure 3 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 λ3
Mesure 4 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 λ4
Mesure 5 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 λ5
Mesure 6 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 λ6
Mesure 7 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 λ7
Mesure 8 1 1 1 1 1 1 1 1 λ8
Tableau 3.1 Plan d’expérience factoriel complet à deux niveaux
A ce plan est associée une matrice X(8,8). Pour atteindre en n expériences la
variance minimale, cette matrice doit vérifier la relation [3.11]:
'X X nI= (3.11)
où 'X est la transposée de la matrice X et I est la matrice unité. Cette relation
est vérifiée pour le plan d’expérience présenté, celui-ci est donc le plan optimal
pour étudier l’effet de trois facteurs et leurs interactions.
Tableau 3.2 Propriétés des fluides utilisés [27]
Fraction massique
ViscositéTension
superficielleMasse
volumique
% µµµµ(10-3 kg/ms) σσσσ (10-3 N/m) ρρρρ (kg/m3)
Eau 1,002 72,75 100010% Méthanol 1,33 59,04 98116% Méthanol 1,5 53,97 97230% Méthanol 1,79 43,02 95147% Méthanol 1,8 36,08 92164% Méthanol 1,5 31,84 88572% Méthanol 1,32 29,41 86681% Méthanol 1,1 27,04 84315% Glycerine 1,49 72,67 103321% Glycerine 1,8 72,36 1048
3.17
3.4.2 Mise en œuvre et résultats
Dans la pratique, pour effectuer le plan
expérimental tel que présenté au tableau
3.1 il est nécessaire de disposer de
différents fluides qui présentent des
valeurs de tension superficielle et de
viscosité très diverses et de deux
pulvérisateurs chacun correspondant à
une fréquence de résonance. Les fluides
choisis sont l’eau, et des mélanges eau-
glycérine et eau-méthanol. Les propriétés
des mélanges choisis sont reprises dans
le tableau 3.2. Les deux pulvérisateurs
d’essai résonnent à la fréquence de
50kHz et de 33 kHz.
Le plan factoriel complet ne demande
que deux niveaux pour chaque facteur.
C’est ce qui est choisi pour le facteur
fréquence. Cependant, comme on le
verra par la suite, la fréquence à un effet
beaucoup plus marqué que les
propriétés du fluide. Pour la tension
superficielle et la viscosité nous avons
donc choisi de multiplier les niveaux et les
points d’expérience. Le plan factoriel
complet n’utilise que les niveaux
extrêmes, ce sont les fluides présentés en
grisé dans le tableau 3.2.
La réponse étudiée dans ces expériences
est donc la longueur d’onde des ondes de
surface stationnaires carrées. Pour la
mesurer, le dispositif expérimental
Figure 3.8 Dispositif expérimental
Figure 3.9 Points nodaux
λ
L
3.18
présenté à la figure 3.8 a été utilisé. Les dimensions de la surface libre du
pulvérisateur étant petites ( 6mmΘ = ) la surface libre est observée à travers un
microscope.
La structure carrée est filmée à l’aide d’une caméra numérique Kodak EktaPro et la
distance entre les pics présents sur les images mesurée à l’aide du logiciel
d’analyse d’images associé MAW.
Des exemples d’images obtenues sont montrées à la figure 3.10 avec l’étalon de 1
mm. Les deux images correspondent aux essais effectués avec de l’eau pour les
deux fréquences de résonance .
Comme expliqué par Rayleigh lors des premiers essais quantitatifs menés en 1890
[15], les points clairs visibles correspondent aux points nodaux de la structure et
non aux crêtes des ondes de surface car ces crêtes sont remplacés par des creux
après un intervalle de temps égal à une demi période. Ceci se traduit par la
modification continue de la lumière diffusée par la surface. Les points clairs
observés correspondent aux endroits où l’élévation de la surface reste constante,
c’est-à-dire aux points nodaux. Le schéma de la figure 3.9 permet de comprendre
la relation entre la distance mesurée entre les points clairs de l’image et la
longueur d’onde des ondes stationnaires : celle-ci est égale à la plus grande
distance qui sépare deux points clairs (la diagonale L ). Les résultats de ces
mesures sont repris dans le tableau 3.3.
Figure 3.10 Ondes carrées de surface observées pour l’eau à deux fréquencesdifférentes.
Pour analyser les résultats des mesures nous avons utilisé la méthode d’analyse de
la variance qui permet d’identifier les facteurs influents sur une réponse. La
1 1 1 1mmmmmmmm
a. f=30 kHz b. f=50 kHz
3.19
dispersion obtenue pour une réponse (qui est dans notre étude la longueur
d’onde), est due en premier aux changements des niveaux des facteurs de l’étude
(tension superficielle, viscosité,
fréquence) mais aussi aux fluctuations
aléatoires des facteurs non contrôlés
(par exemple la masse volumique).
L’objet de l’analyse de variance est de
décomposer la variance totale de
façon à isoler la part des facteurs non
contrôlés et la part de chacun des
facteurs de l’étude. Nous pouvons
ainsi juger de la signification de ces
facteurs.
Les résultats sont groupés dans le
tableau 3.4 qui résume les effets du plan factoriel à deux niveaux choisi. Le plan
entier à été répété trois fois pour permettre de calculer la variance expérimentale :
( )( )1
1
;1
nii
nii
Varn
n
λ λ
λ
λ
λ
=
=
−
=
−
=
∑
∑(3.12)
Nous obtenons une variance ( ) 1.7Var µmλ = ; un effet est significatif si sa
magnitude est supérieure à la variance expérimentale.
La première estimation des effets se fait en calculant l’effet global d’un facteur sur
la réponse. L’effet global calculé dans le tableau 3.4 est la moyenne des effets
mesurés pour les 4 paires de mesures obtenues en variant un des facteurs et en
maintenant les deux autres constants. Par exemple, si la tension superficielle passe
de 330 10 N m−
⋅ à 372 10 N m−
⋅ cela entraînera une augmentation de la
longueur d’onde 6.7TS µmλ∆ = .
f=30 kHz f=50kHz
% λλλλ (µm) λλλλ (µm)
Eau 94,05 75,2310% Méthanol 97 73,416% Méthanol 87,35 73,7530% Méthanol 98,93 75,2947% Méthanol 101,91 75,3864% Méthanol 95,28 73,1972% Méthanol 92,6 73,2781% Méthanol 90,78 67,7715% Glycerine 105,21 79,3121% Glycerine 96,46 80,48
Tab 3.3 Longueurs d’ondes mesurées
3.20
Tableau 3.4 Longueurs d’ondes mesurées et effets des facteurs influents.
Un exemple de paires de mesures est représenté à la figure 3.11 pour les trois
facteurs concernés. Il est possible déjà d’observer que la longueur d’onde croît
avec la tension superficielle et la viscosité et décroît avec la fréquence. L’effet de la
fréquence est le plus important.
En examinant les valeurs des effets globaux moyens on constate que l’effet de la
fréquence est 3 fois plus important que celui des autres facteurs. La tension
superficielle et la viscosité ont des effets comparables. Le plan factoriel complet
permet aussi de vérifier s’il y a interaction entre effets. Les valeurs des effets
interactifs sont beaucoup plus faibles que celles de effets directs. Ceci est logique
car il n’y a aucune raison que l’effet de la viscosité, par exemple, augmente avec
une augmentation de la tension superficielle.
Fraction massique %
Tension superficielle
10-3 N/m
Viscosité 10-3 m2/s
Fréquence kHz
Longueur d'onde
µm
81% Méthanol 30 1.002 33 90,78Eau 72 1.002 33 94,05
64% Méthanol 30 1,5 33 95,2815% Glycérine 72 1,5 33 105,2181% Méthanol 30 1.002 50 67,77
Eau 72 1.002 50 75,2364% Méthanol 30 1,5 50 73,1915% Glycérine 72 1,5 50 79,31
Effet global (µm)
Viscosité 6,29Tension superficielle 6,7Fréquence -22,45Interaction visc.- ts 1,33Interaction visc - fréq -1,54Interaction ts - fréq 0,095Interaction visc-ts-fréq -2
3.21
Figure 3.11 Exemple d’effets globaux obtenus pour les trois facteurs étudiés.
Pour confirmer le fait que les effets observés sont significatifs, ceux-ci sont
comparés à la variation des résultats autour de la moyenne qui ne peut être
attribuée à aucun des facteurs : la dispersion résiduelle. Nous utilisons pour cela le
test F de comparaison de deux variances (loi de Snedecor). Disposant de deux
séries de résultats ( 11 12 1 1, , ..., nx x x de moyenne 1x et 21 22 2 2, , ..., nx x x de moyenne
2x ), nous voulons comparer les variances entre elles. Pour tester l’hypothèse2 21 2σ σ> , il faut calculer le rapport 2 2
1 2F σ σ= . Ayant choisi un risque α , les
tables de la loi de Snedecor (fonction F) donnent la valeur de 1 , 1 1, 2 1n nFα− − −
. Si le
rapport F calculé est supérieur au seuil 1 , 1 1, 2 1n nFα− − −
, alors nous pouvons
conclure que 2 21 2σ σ> avec moins de α chances sur 100 de se tromper.
Tableau 3.5 Tableau d’analyse de variance
L’application du test F, implique l’estimation des variances dues à chaque facteur
autour de la moyenne générale des valeur mesurées et de les comparer à la
variance résiduelle. Ces calculs mènent à des valeurs de F qui sont comparées au
seuil 1,40.95 7.7F = ( risque d’erreur de 5% ). Le tableau 3.5 résume ces calculs. Les
60
70
80
20 40 60 80
σ (10-3 N/m)
λ (µm)
80
90
100
0,8 1,2 1,6
µ (10-3 kg/ms)
λ (µm)
75
85
95
25 40 55
f(kHz)
λ (µm)
Effetglobal
FréquenceViscositéTension superficielle
Source de dispersionVariance estimée
FexpRisque associé
Tension superficielle 89,60 22 0,94%Viscosité 79,12 19,4 1,16%
Fréquence 1008,40 247,5 0,001%Résiduelle 4,07 1 -
3.22
trois facteurs présentent une variance supérieure à celle résiduelle. En utilisant
l’inverse de la loi F il est possible de trouver le risque associé aux valeurs F de
chaque facteur.
La conclusion est qu’il y a 0.001% de chances que la fréquence ne soit pas un
facteur significatif et environ 1% de chance que les propriétés du fluide
n’influencent pas la longueur d’ondes des ondes stationnaires carrées de surface.
Il apparaît donc que la viscosité a une influence comparable à celle de la tension
superficielle et une relation de prédiction de la longueur d’onde doit la contenir ce
qui n’est pas le cas des relations produites par les théories linéaires.
3.4.3 Corrélation expérimentale pour la longueur d’onde
L’analyse des résultats de mesure de la longueur d’onde des ondes de surface a
montré une forte dépendance de la fréquence de résonance. L’effet des propriétés
du fluide est moindre mais n’est pas négligeable pour autant. Les relations
théoriques disponibles (3.8, 9, 10) ne prennent pas en compte la viscosité. Nous
avons représenté à la figure 3.12 les résultats de nos mesures de longueur d’onde
comparés à ceux des prédictions par la formule de Lang (3.9) et de Sindayihebura
(3.10).
50
90
130
50 70 90 110 130
λ théorique (µm)
λ ex
péri
men
tal (
µm)
Lang
Sindayihebura
Figure 3.12 Corrélation entre les longueurd’ondes mesurées et calculées.
3.23
Une première conclusion est que, dans le domaine de fréquences et de propriétés
de fluide expérimenté, on ne constate quasi aucune différence entre les deux
expressions théoriques. Ceci est cohérent car l’effet de la gravité est négligeable
par rapport à la capillarité ( 2 2 59.81 4 5.8 10g σπ ρλ= << = ⋅ ) et
( )tanh 2 1hπ λ = , ce qui réduit en fait l’expression 3.10 à la formule de Lang .
On peut aussi constater que la corrélation entre la mesure et la théorie n’est pas
des meilleures (coefficient de corrélation R2=0.52). L’erreur de la théorie par
rapport à l’expérience, estimée par exp exp( )thε λ λ λ= − peut atteindre 25%.
Pour arriver à une meilleure estimation de la longueur d’onde, les données
expérimentale sont utilisées à des fins de modélisation. Il s’agit de trouver la loi qui
régit l’évolution de la longueur d’onde en fonction des facteurs d’influence
(fréquence de résonance et propriétés du liquide). Si on rend la longueur d’onde
et la fréquence adimensionnelles par rapport aux propriétés du liquide, on obtient
les rapports :
3* *
2 2
ffλσρ µλ
µ σ ρ= = (3.13)
La variation de la longueur d’onde adimensionnelle par rapport à la fréquence
adimensionnelle est représentée à la figure 3.13.
Y sont présentées les mesures de la présente campagne d’essais ainsi que les
mesures rapportées par Lang [16]. Une loi de puissance permet d’approximer avec
une très bonne précision (coefficient de corrélation R2=0.995) la relation entre
longueur d’onde, fréquence et propriétés. Cette loi obtenue par une régression au
sens des moindres carrés, s’exprime par la relation suivante :
( )5 3 235* * 0.6 *4 4 .ff f constλ ρ
λµσ
−
−
= = ⇒ = (3.14)
La relation 3.14 permet d’écrire la loi expérimentale de corrélation entre la
longueur d’onde des ondes de surface, la fréquence de résonance et les propriétés
des liquides pulvérisés :
( )
1 53
2 34 10 mf
µσλ
ρ
−
= ⋅ ⋅ (3.15)
3.24
Par ailleurs, la formation des ondes de surface est régie par l’équilibre entre les
forces de gravité de surface et de viscosité d’une part et de la force périodique de
forçage vibratoire, d’autre part. Ces forces agissent de façon périodique dans la
couche liquide qui se déplace, selon l’axe vertical (Oz), selon l’équation de l’onde
stationnaire. Si l’onde stationnaire est issue de l’intersection d’une onde avec
l’onde équivalente réfléchie à 180°, le déplacement de la surface libre, la vitesse de
déplacement et l’accélération selon l’axe Oz sont :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )2
( , ) cos cos
2 cos 2 cos 2
( , ) 2 cos 2 sin 2
( , ) 2 cos 2 cos 2
z x t A t kx A t kx
A kx t
v x t A kx t
a x t A kx t
ω ω π
π ω π
ω π ω π
ω π ω π
= − + + +
= + +
= − + +
= − + +
(3.16)
Si nous considérons 2Aλ ≅ ce qui est vérifié expérimentalement [22, 24], les
ordres de grandeur des déplacements, vitesses et accélérations maximales, sont :
2 22 4z v f a fλ πλ π λ≅ ≅ ≅ (3.17)
*2
λσρλ
µ=
3*
2
ff µ
σ ρ=
Figure 3.13 Evolution de la longueur d’onde mesurée en fonction de lafréquence de résonance.
y = 4,01x-0,59
R2 = 0,995
0
4000
8000
12000
16000
0,E+00 4,E-05 8,E-05 1,E-04
Mesure actuelles
Mesures Lang (1962)
3.25
La force qui correspond à l’accélération de l’onde stationnaire est :
4 2ondeF ma Va fρ ρλ= = ≈ (3.18)
Les forces gravitationnelle, de surface et de viscosité sont respectivement
proportionnelles à :
3
2
g g
TS TS
visc visc
F Vg F g
F z F
F vz F f
ρ ρ λ
σ σλ
µ µλ
= → ≈
= → ≈
= → ≈
(3.19)
Les nombres adimensionnels suivants caractérisent les rapport entre ces quatre
forces :
2
2
2
Nombre de Reynolds Re
Nombre de Froude Fr
Nombre de Bond Bo
onde
visc
onde
g
g
TS
F fFF fF gF gF
ρλ
µ
λ
ρλ
σ
= =
= =
= =
(3.20)
La corrélation expérimentale (3.14) est le produit de ces trois nombres
adimensionnels :
2 3 5
Re Fr Bo f constρ λ
µσ⋅ ⋅ = = (3.21)
Pour la prédiction de la longueur d’onde des ondes carrées stationnaires formées
avant l’éjection des gouttes dans la pulvérisation ultrasonique, nous allons donc
par la suite utiliser la corrélation expérimentale :
3Re Fr Bo 4 10−
⋅ ⋅ = ⋅ (3.22)
L’étape suivante dans l ‘étude des sprays ultrasoniques (figure 3.2) est la
prédiction du diamètre moyen des gouttes formées par détachement des crêtes
des ondes carrées de surface. La longueur d’onde calculée par la corrélation (3.22)
et les lois de conservation élémentaires sont à la base de cette estimation.
3.26
3.53.53.53.5 Formation de gouttes: le diamètre moyenFormation de gouttes: le diamètre moyenFormation de gouttes: le diamètre moyenFormation de gouttes: le diamètre moyen
L’excitation forcée périodique appliquée au film liquide entraîne la formation
d’ondes carrées régulières à la surface libre du liquide lorsqu’une certaine
accélération critique ( ca ) est imposée. Si l'accélération est augmentée au delà de
ca , l’amplitude des ondes va augmenter pour aboutir à la formation de ligaments.
Lorsque l’accélération atteint la valeur limite donnée par l’équation (3.6) les
extrémités des ligaments se détachent et donnent naissance aux gouttes du spray.
En réalité des images de la surface libre du liquide pendant la pulvérisation [28]
montrent qu’il y a une diversité de modes de formation de gouttelettes (figure
3.14). La figure 3.14a montre la formation d’un ligament avec détachement d’une
goutte. Le reste du ligament s’affaisse et donne naissance à un cratère qui dans
certains cas va éjecter une nouvelle goutte (fig 3.12b). Un ligament peut aussi
donner naissance à plusieurs gouttes (fig 3.12c) selon un mécanisme similaire à la
rupture d’un jet liquide (instabilité de Rayleigh). Cette diversité de modes de
formation des gouttes explique que, malgré la structure très régulière des ondes
de surface, le spray obtenu soit polydisperse.
Les prédictions de taille de gouttes se sont faites jusqu’à présent en supposant que
les gouttes sont émises par les crêtes des ondes de surface et donc que leur
volume est une fraction du volume de cette crête modélisée comme un cône
[6,29]. Ceci est vrai pour une partie des gouttes mais n’est pas vrai pour l’éjection
en cratère ou pour l’éjection multiple.
a. b. c.Figure 3.14 Modes d’éjection de gouttes (d’après Yule & Al-Suleimani)
3.27
L’approche alternative envisagée ci-après ne présuppose pas d’un mode de
formation de gouttelettes mais uniquement de la conservation de masse et
d’énergie entre le film liquide et le nuage de gouttelettes qui en jaillit.
Le film liquide en mouvement
oscillatoire périodique est
caractérisé par l ‘énergie des
ondes de surface et l’énergie
superficielle de la surface
libre. Après la pulvérisation,
le nuage de gouttelettes est
caractérisé par l’énergie cinétique et superficielle. La vitesse des gouttes dans la
pulvérisation ultrasonique est faible (1 m/s). L’énergie cinétique des gouttes est
faible par rapport à leur énergie superficielle et est du même ordre de grandeur
que l’énergie superficielle du film liquide. Le tableau 3.5 indique les valeurs des
énergies estimées pour des gouttes d’eau formées à partir d’un film liquide
cylindrique de 1mm d’épaisseur et de 6mm de diamètre, éjectées à une vitesse
moyenne de 1 m/s et ayant un diamètre moyen de 30µm. Si on considère qu’une
fraction constante ε de l’énergie de l’onde est transformée en énergie de surface
des gouttes il est possible d’écrire :
2 212
onde sup gouttes
o g
E E
m A S
ε
ω εσ
=
=
(3.23)
où 0ω est la pulsation de l’onde de surface , A son amplitude, m la masse du film
liquide et Sg la surface totale des gouttes formées. La conservation de masse entre
le film liquide et le nuage de N gouttes de volume total gV s’écrit :
gm Vρ= (3.24)
La définition des diamètres moyens surfacique et volumique (voir chap.2) permet
d’exprimer la surface et le volume total des gouttes considérées sphériques:
2 320 306g gS ND V NDπ
π= = (3.25)
Eonde Esup. film Ecin. gouttes E sup. gouttes
J 2*10-3 2*10-6 0.01*10-3 0.4*10-3
Tableau 3.5 Ordre de grandeur des énergies
3.28
avec N le nombre total des gouttes. La combinaison des relations (3.23) et (3.24)
permet d’exprimer le diamètre moyen (sous la forme du diamètre de Sauter) des
gouttes en fonction des caractéristiques des ondes de surface :
330
32 2 2 220
DD constD f A
σ
ρ= = ⋅ (3.26)
La même équation s’obtient en écrivant la relation (3.23) régime continu : le débit m de
liquide va générer un nombre N de gouttes par unité de temps.
Comme précédemment, nous faisons l’hypothèse que les ondes pour lesquelles le
rapport amplitude – longueur d’onde dépasse une certaine valeur critique
(A λ κ> ) vont éjecter des gouttes. La solution analytique des ondes progressives
capillaires [30] démontre que pour 0.73κ = la rupture des crêtes des ondes peut
se produire.
Si nous remplaçons dans l’équation 3.26 l’amplitude par la longueur d’onde et
exprimons celle-ci en fonction des propriétés des liquides et de la fréquence de
résonance (3.22) :
3532 2 4D const
fσ
ρµ= (3.27)
Cette expression contient d’une part l’influence des propriétés du liquide et
d’autre part l’influence de l’excitation forcée appliquée. Il est possible de présenter
ces influences sous forme de nombres adimensionnels. Nous retrouvons, d’une
part le nombre d’Ohnesorge et de l’autre la fréquence adimensionnalisée par les
propriétés du liquide :
32 10D D32 10
3*
2
WeOh OhRe
ouD D
ff
µ µ
ρσ ρσ
µ
σ ρ
= = =
=
(3.28)
Après remplacement dans l’équation (3.27) nous obtenons :
( )2
* 5Oh const f= ⋅ (3.29)
3.29
Pour déterminer la valeur de la constante dimensionnelle nous devons disposer de
mesures expérimentales des diamètres des gouttes pour différentes valeurs des
propriétés des liquides pulvérisés et à différentes fréquences de résonance. Dans le
cadre du présent travail de nombreux pulvérisateurs et liquides ont été soumis à
des mesures de granulométrie par diffraction laser (Malvern). L’analyse de
l’influence des propriétés du liquide sur les diamètres moyens obtenus par
pulvérisation ultrasonique a fait l'objet d'une communication scientifique. Cet
article est repris en annexe (A1B). Ici nous allons utiliser les résultats (les diamètres
moyens de Sauter 32D et les diamètres moyens numériques 10D ) obtenus pour le
pulvérisateur de base (50kHz). Les liquides sont ceux testés pour les mesures de
longueur d’onde (voir tableau 3.2).
Commentaire : Les pulvérisateurs ultrasoniques testés sont alimentés en liquide àtravers un canal central. La vibration du pulvérisateur produit un échauffementdu liquide lors de son passage par le canal d’alimentation et ce d’autant plusque la viscosité du liquide est grande (pour une estimation de la grandeur decet effet voir l’annexe A1A). Les résultats concernant l’influence de la viscositédu liquide sur la taille des gouttes du spray obtenus lors des essais présentés àl’annexe A1B peuvent, de ce fait, être biaisés.
Le graphique 3.15 présente les valeurs prises par le nombre d’Ohnesorge en
fonction de la fréquence adimensionnelle. Le nombre d’Ohnesorge OhOhOhOhD10 , est
défini sur base du diamètre moyen numérique dans le graphique (a) et sur base
du diamètre moyen de Sauter OhOhOhOhD32 , dans le graphique (b) pour les besoins de la
comparaison avec les données de la littérature qui présente l’un ou l’autre type de
diamètre moyen selon le choix des auteurs. La loi (3.29) y est représentée avec la
constante qui permet de minimiser l’écart entre les données expérimentales et les
valeurs calculées.
Pour vérifier l’exactitude des résultats obtenus et l’extension de la loi (3.29) à
d’autres valeurs de fréquence et de propriétés de liquide, nous avons représenté
aussi sur le graphique 3.15 des données issues de la littérature [31,32,33].
La figure 3.15 montre que , pour les données disponibles, la loi de prédiction
proposée convient très bien.
3.30
Figure 3.15 Variation du nombre d’Ohnesorge en fonction de la fréquence derésonnance adimensionnelle et corrélation expérimentale : a. Oh basé sur lediamètre numérique D10 ; b. Oh basé sur le diamètre moyen de Sauter D32
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E-07 1,E-06 1,E-05 1,E-04 1,E-03f*
OhD10
Mesures actuellesLacasAtomising SystemsSonotekDrewsBisaBarreras
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E-07 1,E-06 1,E-05 1,E-04 1,E-03f*
OhD32
Mesures actuellesAtomising Systems
SonotekMizutani & Uga
b.b.b.b. ( )0.4*
32 1.7D f= ⋅Oh
a.a.a.a. ( )0.4*
10 1.95D f= ⋅Oh
3.31
Remarquons aussi que cette corrélation semble convenir aussi pour la pulvérisation
de métaux liquides (une des utilisations les plus importantes de la pulvérisation
ultrasonique est la réalisation de poudres métalliques par pyrolyse des gouttes).
Malheureusement nous ne disposons que d’un seul point expérimental fourni par
la société Atomising Systems qui pulvérise un mélange de Sn-PB.
Les diamètres moyens de Sauter ( 32D ) ou numérique ( 10D ) d’un spray
ultrasonique peuvent donc être estimés à partir de la connaissance de la fréquence
de résonance et des propriétés du liquide pulvérisé en utilisant la corrélation
correspondante :
( ) ( )2 5 2 5* *
D32 D10Oh 1.7 Oh 1.95f f= = (3.30)
Cette relation est similaire à celle d’Ohnesorge [34] qui délimite les différents
modes de formation de gouttes dans la pulvérisation des jets liquides. Pour les
jets, le "moteur" de la rupture est, à faible vitesse, l’oscillation de la colonne de
liquide (instabilité de Rayleigh) et à haute vitesse le frottement liquide-air
caractérisé par le nombre de Reynolds. La transition entre les deux types de
formation de gouttes est formulée par Ohnesorge de la façon suivante :
0.92Oh 100 Re−
= (3.31)
Dans la pulvérisation ultrasonique, comme dans la rupture des jets liquides, nous
pouvons obtenir des gouttes de taille moyenne différente pour un même liquide
pulvérisé en agissant sur la grandeur qui force l’instabilité (fréquence de résonance
ou vitesse). Diamètre moyen et excitation forcée sont reliées par une loi de type
puissance.
3.32
4.1
4.4.4.4. LLLLA FORMATION DU SPRAY POLYDISPERSEA FORMATION DU SPRAY POLYDISPERSEA FORMATION DU SPRAY POLYDISPERSEA FORMATION DU SPRAY POLYDISPERSE
4.14.14.14.1 Le formalisme de l’entropie maximale (FEM)Le formalisme de l’entropie maximale (FEM)Le formalisme de l’entropie maximale (FEM)Le formalisme de l’entropie maximale (FEM)
Le principe de l'entropie maximale a été formulé pour permettre de décrire de
façon statistique la microstructure d'un système composé d'un grand nombre
d'éléments. En effet lorsque nous devons étudier un tel système nous avons le
choix entre deux niveaux:
la microstructure: spécifier les caractéristiques pour chaque élément du
système;
la macrostructure: spécifier les moyennes statistiques des caractéristiques
considérées pour l'ensemble du système.
Les caractéristiques macro peuvent être mesurées. Les détails micro (propriétés de
chaque élément) peuvent être déterminées sous la forme de distributions de
probabilités en utilisant le formalisme de l'entropie maximale. Pour chaque valeur
d'une caractéristique macro mesurée plusieurs distributions de probabilités des
valeurs micro sont possibles. Le principe du maximum d'entropie sert à choisir
parmi toutes ces distributions celle qui est la plus probable dans les conditions
données, c'est-à-dire celle qui englobe toute l'information disponible.
4.1.1 Le concept d'entropie en théorie de l'information
Pour définir le concept d'entropie tel que la théorie de l'information le conçoit
nous devons d'abord comprendre ce qu'est l'information et comment elle peut
être quantifiée, puisque l'entropie est le nom donné à la fonction qui décrit la
quantité d'information fournie par un événement. Un schéma des relations entre
les notions thermodynamiques et informationnelles est présenté à la figure 4.1.
Dans un système complexe, l'occurrence d'un événement donné est caractérisée
par un certain niveau d'incertitude. Dès lors que l'événement se produit, on sait:
l'incertitude est devenue information. Une bonne mesure de l'information
apportée par l'occurrence d'un événement est donc la mesure de l'incertitude
préalable.
4.2
Figure 4.1 Analogie entre la thermodynamique et la théorie de l'information.
L'information fournie par une expérience est attachée à la notion de choix parmi
un ensemble de possibilités. Pour mieux comprendre la notion de quantité
d'information contenue dans un essai prenons l'exemple du jeu de pile ou face (2
possibilités) par rapport au jeu de dés (6 possibilités) ou de cartes (32 possibilités).
L'examen de la pièce de monnaie ou de la carte retournée nous fournit une
certaine information. La quantité d'information varie selon le nombre de
possibilités (Q) que le jeu présente. Elle est d'autant plus grande que le degré
d'indétermination du problème est plus grand. Pour le jeu de pile ou face nous
avons une chance sur deux de prédire exactement le résultat de l'expérience ; donc
l'essai en lui-même nous fournit très peu d'information. Plus la prédiction du
résultat est difficile et plus la quantité d'information (I) fournie par expérience est
importante. I est donc proportionnelle au nombre de réponses possibles. La
forme de dépendance a été choisie logarithmique d'après une proposition faite
par Hartley en 1928, pour permettre l'addition des informations correspondant à
plusieurs problèmes indépendants; l'information totale est la somme des
informations partielles.
logI K Q= (4.1)
4.1.1.1 L'entropie de Shannon
Quand une expérience est réalisée et que nous connaissons le résultat ,
l'incertitude est annulée. Donc l'information fournie par l'expérience est égale à la
quantité d'incertitude annulée par sa production. Une mesure de cette incertitude
fournit aussi la mesure de la quantité d'information que la réalisation d'une
certaine distribution de probabilités nous fournit. D'une façon plus rigoureuse
EntropieEntropieEntropieEntropiethermodynamiquethermodynamiquethermodynamiquethermodynamique DésordreDésordreDésordreDésordre IncertitudeIncertitudeIncertitudeIncertitude EntropieEntropieEntropieEntropie
informationnelleinformationnelleinformationnelleinformationnelle
OrdreOrdreOrdreOrdre InformationInformationInformationInformation
4.3
considérons n événements A1, A2, ...,An qui ont les probabilités 1 2, , ..., np p p de se
produire. La distribution de probabilités est donc:
1 2
1
( , , ..., )
1
n
n
ii
P p p p
p=
=
=∑(4.2)
La mesure de l'incertitude de la production d'un événement (ou la quantité
d'information obtenue par une expérience) doit satisfaire les conditions suivantes:
1. Etre une fonction de 1 2, , ..., np p p :
1 2( ) ( , , ..., )n n nS S P S p p p= = (4.3)
2. Etre une fonction continue de 1 2, , ..., np p p . Des petits changements de P
doivent entraîner des petits changements pour S.
3. Considérons deux événements, iA et jA qui ont les probabilités de se produire
ip et jp . Si les probabilités de ces événements sont interchangées, c'est-à-dire
si iA a maintenant la probabilité jp de se produire et jA la probabilité ip , la
valeur de la fonction entropie ne devrait pas être modifiée. Donc cette
fonction ne doit pas changer s'il y a réarrangement des arguments, c'est-à-dire
qu'elle doit être une fonction symétrique de ces arguments.
4. Ne doit pas changer si un événement impossible est ajouté à la distribution de
probabilité:
1 2 1 2( , , ..., , 0) ( , , ..., )n n n nS p p p S p p p= (4.4)
5. Doit être minimale et si possible 0 quand le résultat est connu, donc doit
s'annuler si un des événements a la probabilité maximale (1).
1 2( , , ..., ) 0 1 0n n i jS p p p si p p j i= = = ≠ (4.5)
6. Doit être maximale quand l'incertitude est maximale donc quand les
probabilités sont égales:
1 21... np p pn
= = = = (4.6)
7. La valeur maximale de Sn doit évoluer dans le même sens que n (croître si n
croit).
8. Pour deux distributions de probabilités indépendantes, 1 2( , , ..., )nP p p p= et
1 2( , , ..., )mQ q q q= , l'incertitude de P Q doit être la somme des incertitudes:
4.4
( ) ( ) ( )n m n mS P Q S P S Q+
= + (4.7)
C.E.Shannon a proposé en 1948 [35, 36] une fonction, appelée entropie, qui a
toutes ces propriétés:
1 21
( , , ..., ) lnn
n i ii
S p p p p p=
= −∑ (4.8)
Cette fonction est représentée dans la figure 4.2 pour le cas de deux possibilités
avec les probabilités p et (1-p).
Il est évident que l'entropie de Shannon est une fonction de P (propriété 1), que
c'est une fonction continue ( propriété 2) et symétrique (propriété 3). Elle ne
change pas si un événement impossible est ajouté (4).
Quand une des probabilités est 1 et les autres 0, 0nS = et c'est un minimum
puisque 0S ≥ quand 0 1ip≤ ≤ .
Pour trouver la valeur maximale (et vérifier les propriétés 5 et 6) nous pouvons
utiliser la méthode des multiplicateurs de Lagrange et maximiser:
1 1
( ) ln ( 1)n n
i i ii i
f p p pλ λ
= =
= − − −∑ ∑ (4.9)
Comme lnx x est une fonction convexe, 1
lnn
i ii
p p=
∑ est convexe , 1
lnn
i ii
p p=
−∑ est
une fonction concave et le maximum local est un maximum global.
1
1 1max ln lnn
ni
S nn n
=
= − =∑ (4.10)
Comme ln n est une fonction croissante de n la condition 7 est aussi satisfaite.
Considérons deux distributions de probabilités indépendantes:
( ) ( )1 2 1 21 1
, , ..., , , ..., 1 1n m
n m i ji j
P p p p Q q q q p q= =
= = = =∑ ∑ (4.11)
pour les séries d'événements: 1 2, , ..., nA A A et 1 2, , ..., nB B B .
4.5
Figure 4.2 La fonction entropie de Shannon.
La série d'événements pour le schéma réuni P Q est i jAB avec les probabilités
i ip q . Alors:
( )1 1
1 1 1 1
1 1
( ) ln( )
ln ln
( ) ( )
( ) ( )
m n
n m i j i jj im n n m
j i i i j jj i i jm n
j n i mj i
n m
S P Q p q p q
q p p p q q
q S P p S Q
S P S Q
+
= =
= = = =
= =
= − =
= − − =
= + =
= +
∑∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
(4.12)
La propriété 8 est donc satisfaite.
Khinchin a démontré en 1957 [37] que toute fonction qui satisfait à ces huit
conditions doit être de la forme: 1
lnn
i ii
k p p=
− ∑ .
L'entropie de Shannon a été déduite en posant les huit conditions décrites
précédemment. La propriété huit (additivité) est introduite pour faciliter le calcul:
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0ppppiiii
S (pS (pS (pS (piiii))))
4.6
elle n'est donc pas indispensable pour la définition d'une mesure de la quantité
d'information. Divers auteurs ont défini des mesures d'entropie non-additives, qui
satisfont les conditions I à VII uniquement. Toutes ces mesures sont intéressantes
et utiles pour un cas particulier ou un autre. Cependant l'entropie de Shannon est
la plus utilisée et la plus naturelle.
4.1.1.2 L'entropie de Bayes
L'entropie de Shannon est maximale lorsque tous les événements ont une
probabilité égale de se produire. Ceci satisfait le principe de Laplace qui dit que, à
moins d'avoir une information supplémentaire, tous les événements sont
également en mesure de se produire.
D’autre part, l'intuition nous dit que, pour des systèmes sujets à contraintes que
nous ne pouvons pas définir précisément, la distribution de probabilité doit avoir a
priori la forme:
1 1 2 21
, ,..., 1n
n n ii
p p pα α α α
=
= = = =∑ (4.13)
Par exemple, si des mesures antérieures ont permis d’obtenir une distribution de
probabilités de diamètre ( 1 2, , ..., )nα α α pour les gouttes du spray, cette
information peut être incluse dans une prédiction par maximum d’entropie si nous
utilisons la fonction entropie de Bayes.
Nous pouvons donc définir une nouvelle version de la mesure d'entropie de type
bayesien c'est à dire dépendant d'une distribution donnée a priori:
min 1 21 min
min1
( ) ln ; ( ) min( , , ..., )( )
( ) ln ln( )
ni
i i ni i i
ni
i ii i
pB p p
pB p p
α α α α
α α
α
α
=
=
= − =
= − −
∑
∑(4.14)
L'entropie Bayesienne est maximale quand i ip α= pour tous les i et est minimale
quand l'événement avec la probabilité minimale se produit certainement.
4.7
La fonction de Shannon est un cas particulier de celle de Bayes pour
1 21... n n
α α α= = = = .
La distribution préalable peut être établie en se basant sur des expériences ou sur
des considérations théoriques.
4.1.1.3 L'entropie de Tsallis
Parmi les mesures non-additives de la quantité d’information, l’entropie de Tsallis
suscite un grand intérêt depuis sa formulation en 1988 [38] car elle génère, non
plus des distributions exponentielles mais des lois de puissance. Celles-ci s’avèrent
décrire mieux certains phénomènes impliquant de grandes énergies comme, par
exemple la turbulence des plasmas ou certaines fragmentations. L’expression de
l’entropie de Tsallis comprend donc un paramètre supplémentaire par rapport à
l’expression de Shannon, l’exposant q :
( ) ( ) 1
1
1Shannon: ln Tsallis:
1
nqin
ii i i i
i
pS p p p T p
q=
=
−
= =
−
∑∑ (4.15)
L’entropie de Shannon est un cas particulier de la formulation Tsallis pour 1q → .
4.1.2 Le principe du maximum d’entropie
Si nous ne connaissons que la distribution de probabilité a priori, nous devons
choisir P identique à cette distribution. Si une autre information est disponible, par
exemple si nous connaissons la valeur moyenne de la distribution 1
n
ii
ip m=
= ∑
alors nous ne pouvons pas directement choisir i ip α= car cela ne satisfait peut-
être pas la condition imposée. De toutes les distributions de probabilités possibles
qui satisfont la condition, nous devons choisir celle qui présente la moins grande
incertitude, donc la plus grande quantité d'information. Nous devons donc trouver
le maximum de la fonction qui quantifie l'information en tenant compte des
contraintes.
Si la distribution a priori est connue, la fonction à maximiser est l'entropie
bayesienne sinon, l'entropie de Shannon ou une autre mesure appropriée de la
4.8
quantité d'information. Ceci constitue le principe de l'entropie maximale présenté
pour la première fois par E.T. Jaynes en 1957 [39]. Le but de ce formalisme est de
fournir une distribution de probabilité aussi uniforme que possible (qui présente
le moins d'incertitude) en présence des contraintes données.
Une vision globale exhaustive du formalisme d’entropie maximale et de ses
applications peut-être trouvée dans le livre de E.T. Jaynes : « Probability theory :
the logic of science » [39].
Jaynes a formulé son principe comme un axiome en se basant sur le bon sens.
Beaucoup plus tard (1980) J.E Shore et R.W. Johnson [40] ont publié une
démonstration de ce principe en prouvant que maximiser une autre fonction que
l'entropie donne des résultats inconsistants à moins que la fonction ait le même
maximum que l'entropie. Une autre preuve de la valeur de ce formalisme est le fait
qu'en l'utilisant nous pouvons facilement déduire toutes les distributions
habituelles (Boltzman, Fermi-Dirac, etc...).
Si la distribution de probabilités est continue, elle prend la forme P p x= ( ) et
l'entropie de Shannon devient alors:
( ) ln ( ) ; ( ) 1 ; 0 ( ) 1S x p p x dx p x dx p x dx= − = ≤ ≤∫ ∫ (4.16)
4.1.3 Méthodes de résolution du système d’équations
4.1.3.1 Les multiplicateurs de Lagrange
La résolution du problème de maximum se fait généralement en traitant le
système discretisé par la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Si nous
devons maximiser la fonction:
1
( )( ) ( ) ln( )
ni
ii i
p xB p p xxα
=
= −∑ (4.17)
avec les contraintes:
1
1
( ) 1
( ) ( ) 1, 2,...,
n
iin
i r i ri
p x
p x g x g r m
=
=
=
= =
∑
∑(4.18)
4.9
Les valeurs rg sont des moyennes mesurées ou estimées des fonctions rg . Si nous
prenons l’exemple de la distribution des diamètres d’un spray, le diamètre
volumique exprime la masse moyenne d’une goutte de ce spray. La contrainte est
dans ce cas :
3 330i ip D D=∑ (4.19)
Le Lagrangien est:
01 1 1 1
( )( ) ln ( ) 1 ( ) ( )( )
n n m ni
i i r r r i ri i r ii
p xL p x p x p x g x gx
λ λα
= = = =
= − − − − −
∑ ∑ ∑ ∑ (4.20)
En dérivant par rapport à ( )i ip x p= et en égalant à zéro, nous obtenons:
[ ]0 1 1 2 2( ) ( ) exp ( ) ( ) ... ( )i i i i m m ip x x g x g x g xα λ λ λ λ= − − − − − (4.21)
Les constantes 0 1, , ..., mλ λ λ sont déterminées en utilisant les conditions (1.17).
[ ]max 0 1 1
1
0 1 1 2 2
( ) ( ) ... ( )
...
n
i i m m ii
m m
S p x g x g x
g g g
λ λ λ
λ λ λ λ
=
= − − − − − =
= + + + +
∑(4.22)
En conclusion nous pouvons dire que la méthode du maximum d'entropie se base
sur la description des systèmes composés d'un grand nombre d'éléments par des
valeurs moyennes connues sur l'ensemble des éléments. C'est une démarche
similaire à celle adoptée par Boltzmann pour la théorie cinétique des gaz.
4.1.3.2 L’algorithme d’Agmon et Alhassid
Le problème à résoudre généralement lors de l'application du formalisme de
l'entropie maximale est de trouver une distribution de probabilités (xi) qui satisfait
à un ensemble de contraintes issues de l'analyse physique du phénomène. A ces
contraintes s'ajoute la condition de normalisation propre aux distributions de
probabilités:
1
1
1
1,...,
n
iin
ri i ri
x
A x b r m
=
=
= = =
∑
∑(4.23)
Les contraintes expriment le fait que la propriété Ar (masse, énergie, etc.) a une
valeur moyenne égale à br . Par exemple, pour un spray, si A1 est une masse, A1i est
4.10
la masse de la goutte de diamètre Di et b1 est la masse moyenne des gouttes du
spray.
Le système (4.23) de m+1 équations ne permet pas d'obtenir les valeurs des
probabilités xi si m < n-1 (ce qui est le cas pour les sprays où le nombre possible
de diamètres de gouttes est largement supérieur au nombre de contraintes
physiques que nous pouvons écrire). Parmi toutes les distributions de probabilités
possibles (qui satisfont les contraintes) la plus probable est celle pour laquelle la
fonction entropie de Shannon (1
( ) lnn
i ii
S x x x=
= −∑ ) est maximale.
L'utilisation, pour trouver le maximum, de la méthode des paramètres de Lagrange
conduit à la solution:
01
expm
i r rir
p Aλ λ
=
= − − ∑ (4.24)
La condition de normalisation implique:
01 1
01 1
exp 1
exp( ) exp
n m
r rii r
n m
r rii r
A
A
λ λ
λ λ
= =
= =
− − =
= −
∑ ∑
∑ ∑
(4.25)
En utilisant (4.24) et (4.25) les contraintes peuvent s'écrire:
( )
01 1
1 1
exp
exp 0
n m
ri r ri ri r
n m
ri r r rii r
A A b
A b A
λ λ
λ
= =
= =
− − =
− − =
∑ ∑
∑ ∑
(4.26)
Nous pouvons alors écrire [41, 42] sous forme matricielle:
0 si on définit ri ri rBp B A b= = − (4.27)
L'utilisation de Br à la place de Ar dans les contraintes ne modifie pas la valeur des
paramètres de Lagrange λ1,...,λm. Seul λ0 change:
0 01
r
r rr
bλ λ λ
=
′ = +∑ (4.28)
L'équation (4.26) peut être exprimée en fonction de Br :
1 1
exp 0n m
ri r rii r
B Bλ= =
− = ∑ ∑ (4.29)
4.11
Les m équations qui permettent de calculer les paramètres de Lagrange ne sont
pas linéaires. Même pour m=1 une procédure numérique est nécessaire.
Pour obtenir une distribution de probabilité d'entropie maximale correspondant à
un ensemble unique de paramètres de Lagrange, la matrice A et le vecteur b
doivent remplir les conditions suivantes:
1. Les lignes de la matrice A doivent être linéairement indépendantes pour
obtenir un ensemble unique de paramètres de Lagrange. Car s'il existe un
vecteur c≠0 tel que pour chaque i, 1
0m
r rir
c A=
=∑ , nous pouvons ajouter
1
m
r rir
c A=
∑ à l'équation 01
lnm
i r rir
p Aλ λ
=
= − −∑ et obtenir ainsi un nouvel
ensemble de paramètres de Lagrange λ r rc+ .
2. La solution de Ap b= doit satisfaire la condition p > 0 puisqu'il s'agit de
probabilités ce qui impose au vecteur b des contraintes du type:
1 1 11,..., 1,...,min maxi ii n i n
A b A= =
< < (4.30)
C'est à dire que la moyenne doit se situer entre le minimum et le maximum.
La résolution du système proposée par Agmon et al. se base sur le théorème
suivant:
Si : mf RΩ → est continue et différentiable et si son jacobien
iij
j
fMx∂
∂= est une matrice symétrique positive, trouver les
solutions des équations non-linéaires ( ) 0f x = équivaut à
trouver le minimum de la fonction potentiel F ( ii
Ffx
∂
∂= ).
La symétrie du jacobien assure que f est un domaine vectoriel conservatif dans
Rm . Donc il existe une fonction potentiel telle que ii
Ffx
∂
∂= . Le jacobien de la
fonction f est donc le hessien du potentiel F 2
iji j
FMx x∂
∂ ∂
= .
4.12
Si le hessien d'une fonction est négatif défini (tous les déterminants formés en
prenant les premières 1,2,...,n lignes et colonnes sont négatifs), cette fonction est
strictement concave. Donc tout minimum local de F est un minimum global ; dès
lors l'utilisation de l'algorithme de Newton-Raphson pour trouver le minimum est
optimale (de plus ′′ ≠F x( ) 0 donc la convergence est rapide).
L'équation à résoudre pour le FEM est Bp = 0 . La fonction f a donc la forme:
1 1
( ) expn m
ri r rii r
f Bp B Bλ λ
= =
= = − ∑ ∑ (4.31)
Le potentiel de cette fonction s'exprime par:
1 1
ln expn m
r rii r
F Bλ= =
= − ∑ ∑ (4.32)
En gardant les contraintes exprimées en fonction de Ar et non de Br, le potentiel
aurait eu l'expression plus complexe:
1 1 1
ln expn m m
r ri r ri r r
F B bλ λ
= = =
= − + ∑ ∑ ∑ (4.33)
La recherche du minimum de la fonction potentiel permet ainsi de trouver les
paramètres de Lagrange 1 2, , ..., nλ λ λ . Le paramètre 0λ est obtenu à partir de la
condition de normalisation (4.25):
01 1
ln expn m
i rii r
Aλ λ
= =
= − ∑ ∑ (4.34)
4.24.24.24.2 Etat de l’art dans l’application du FEM aux spraysEtat de l’art dans l’application du FEM aux spraysEtat de l’art dans l’application du FEM aux spraysEtat de l’art dans l’application du FEM aux sprays
La prédiction des caractéristiques d'un spray est difficile a réaliser à cause de
nombreux phénomènes qui contribuent à la formation des gouttelettes. Jusqu'à
présent aucune des descriptions mathématiques proposées ne s'est montrée très
efficace. Quelques chercheurs ont alors choisi de contourner le problème du
manque d'information sur le phénomène de l'atomisation. En effet ce problème
4.13
présente toutes les caractéristiques nécessaires pour être traité par le formalisme
de l'entropie maximale:
le système est composé d'un grand nombre d'éléments (les gouttes);
les caractéristiques des gouttes générées ne sont pas aléatoires mais
dépendent de phénomènes imparfaitement connus;
il est possible de connaître des valeurs moyennes sur l'ensemble des gouttes
du spray (vitesse, débit,...) qui fournissent les contraintes pour le FEM.
Les précurseurs ont été R.W. Sellens [43] et T.A. Bruztowski et X. Li et R.S.Tankin
[44] qui ont publié en parallèle, en 1987, leur nouvelle approche basée sur la
formalisme de l'entropie maximale. C.W.M. Van der Geld et H. Vermeer [45] ont
développé l'étude en rajoutant un modèle de formation de gouttes satellites.
Une approche différente est pratiquée à l’Université de Rouen par C. Dumouchel
et J. Cousin [46] qui expriment les contraintes comme des définitions de diamètres
moyens. Les évolutions successives de cette approche, basée sur la distribution
volumique, ont abouti à une fonction qui dépend de trois paramètres : le diamètre
moyen D43, le diamètre minimum des gouttes D0 et un paramètre q caractérisant
la dissymétrie de la distribution [47].
Pour un spray il est possible d'écrire les contraintes du formalisme en se basant sur
les valeurs connues de la masse, de l'énergie (cinétique et de surface). Nous
pouvons aussi ajouter une équation pour la quantité de mouvement ou pour
toute autre caractéristique connue et dont la valeur serait susceptible d'être
influencée par les phénomènes qui régissent la formation des gouttes.
Il faut en effet choisir judicieusement les caractéristiques car le FEM fournit la
meilleure distribution en rapport avec l'information donnée. Il ne faut donc pas
fournir des informations qui n'ont pas de rapport avec le phénomène.
Les contraintes du formalisme, telles qu'elles ont été initialement considérées par
Sellens et Bruztowski [43] ,et pour le cas de la pulvérisation sous l'effet de la
pression sont:
conservation de masse;
conservation de la quantité de mouvement;
4.14
conservation de l'énergie (2 contraintes, l'énergie cinétique et l'énergie de
surface fournissent des contraintes séparées) ;
condition de normalisation.
Elles permettent de prédire simultanément la distribution de taille et de vitesse des
gouttes, la validation expérimentale se faisant naturellement avec les mesures
réalisées par PPDA (Particle Phase Doppler Analyser) qui fournit des distributions
de taille et de vitesse corrélées.
Il est apparu cependant que la contrainte de conservation de la quantité de
mouvement, de même que la conservation d’énergie cinétique n’influençaient pas
la distribution de taille de gouttes. Ahmadi et Sellens [49] réécrivent les contraintes
du formalisme pour obtenir uniquement la distribution de taille de gouttes. Ces
contraintes ont la forme générale:
. 1, 2,...,q ii i i
moyen
Df d const d q nD
= = =∑ (4.35)
Le diamètre est adimensionalisé sur base d'un diamètre moyen (volumique en
général). Les constantes des équations englobent le paramètres physiques du
système de pulvérisation et des substances pulvérisées. La fréquence d’apparition
d’un certain diamètre (fi) remplace ici la probabilité d’apparition pi, qui suppose
un nombre très grand d’essais .
Les premiers résultats obtenus [43,44] n'étant pas très satisfaisants (la distribution
prédite ne tendait pas vers zéro pour les petites gouttes) certains auteurs ont
rajouté des contraintes supplémentaires.
Sellens propose [49] une contrainte de "partition" qui impose pour les gouttes un
certain rapport surface/volume:1
i i pf d k−
=∑ (4.36)
Li et Tankin [48] rajoutent deux contraintes qui traduisent la forme des gouttes en
fonction de leur taille (sphérique pour les petites, allongée pour les grandes).
Dumouchel et Mallot [50] introduisent un diamètre minimum possible pour la
taille des gouttes comme contrainte supplémentaire ce qui permet de prédire des
distributions qui ne démarrent pas à 0 comme observées dans certains sprays.
4.15
Si on choisit d'écrire les conservations de masse et d'énergie, quelle que soit la
technique de pulvérisation utilisée, le système d'équations est:
2
3
1
1
i
i i
i i
f
f d k
f d
=
=
=
∑
∑
∑
(4.37)
L’écriture de la condition de conservation de la masse (en 3id ) est simple et
incontestable, l’expression de la conservation de l’énergie est plus délicate.
La constante k s'exprime différemment en fonction du type de pulvérisation (donc
de la physique propre à chaque système). Elle englobe les caractéristiques du
liquide pulvérisé et les paramètres fonctionnels du pulvérisateur (fréquence de
résonance pour le pulvérisateur ultrasonique, pression pour les injecteurs sous
pression etc.). Cette constante dépend donc de paramètres qui sont connus avec
une certaine erreur (par exemple un échauffement des fluides pulvérisés modifie
leur caractéristiques).
Il semble donc utile de trouver d'abord une constante d'énergie convenable (en
évitant de négliger certaines formes d'énergie, par exemple) avant d'ajouter des
contraintes supplémentaires qui ont plus ou moins de sens physique.
Un apport intéressant pour le cas spécifique des distributions de probabilités
bimodales, a été publié par Van der Geld et Vermeer [45]. Ils choisissent de prédire
deux distributions de probabilités à superposer (une pour les gouttes principales et
une pour les gouttes satellites). Cette démarche s'avère très utile pour la prédiction
des distributions de probabilité qui résultent lors d'une pulvérisation sous pression.
4.34.34.34.3 Application du FEM à la pulvérisation ultrasoniqueApplication du FEM à la pulvérisation ultrasoniqueApplication du FEM à la pulvérisation ultrasoniqueApplication du FEM à la pulvérisation ultrasonique
Les contraintes contenues dans le formalisme de l’entropie maximale peuvent être,
dans le cas d’un spray, des lois de conservation (masse, énergie, quantité de
mouvement) écrites avant et après la rupture du film liquide. Pour la pulvérisation
ultrasonique on peut considérer qu’à un certain moment un volume V de liquide
déposé sur la surface du pulvérisateur est totalement fragmenté en un nombre N
4.16
de gouttes du spray dont les diamètres suivent une certaine distribution à
déterminer. Chaque intervalle de diamètre ,2 2i iD DD D
∆ ∆ − + contient in
gouttes. La fréquence d’apparition des gouttes de taille comprise dans l’intervalle
est iinfN
= .
Les gouttes, dans la pulvérisation ultrasonique, sont éjectées à faible vitesse
uniforme (~1 m/s). On n’observe pas de véritable distribution de vitesses (voir
mesures présentées à l’annexe A1b). Il n’est donc pas utile de formuler la
contrainte de quantité de mouvement qui n’apporte des informations que sur la
distribution de vitesses.
Par ailleurs , les distributions de taille de gouttes démarrent à 0 donc ici il n’est pas
justifié d’introduire de contrainte supplémentaire pour imposer un diamètre
minimum.
4.3.1 Conservation de la masse
Le volume V déposé sur la surface du pulvérisateur est fragmenté en N gouttes
dont la masse totale est égale à la masse initiale de ce volume. Le volume et la
masse des N gouttes sont :3 3
3
6 6
6
g i i i i i
g g i i
V V n D N f D
M V N f D
π π
πρ ρ
= = =
= =
∑ ∑ ∑
∑ (4.38)
où ρ est la masse volumique du liquide.
Si la quantité de liquide formant un film à la surface du pulvérisateur se
transforme en gouttes de même diamètre (noté D30 ) cette masse peut s’écrire
comme la somme des masses de toutes ces N gouttes identiques :
3306iM m NDπ
ρ= =∑ (4.39)
La masse de toutes les gouttes du volume considéré, est égale à la masse du film
liquide formé à la surface du pulvérisateur :
3 3306 6 i i
gM M
ND N f Dπ πρ ρ=
=
∑(4.40)
4.17
Après division par le diamètre moyen volumique pour adimensionnaliser
l’équation, la contrainte de conservation de masse du FEM s’écrit :
3
1
1n
i ii
f d=
=∑ (4.41)
avec 30
iiDdD
=
4.3.2 Conservation de l'énergie
La rupture du film liquide est régie par l'action de l'énergie de surface et de
l'énergie acoustique de vibration qui se transforment avec des pertes considérables
en énergie superficielle et énergie cinétique des gouttes.
Nous allons suivre la même approche énergétique que celle utilisée pour la
détermination du diamètre moyen au chapitre 3.5. et considérer qu’une fraction
constante ε de l’énergie des ondes formées à la surface du film liquide est
transformée en énergie de surface des gouttes, ces deux formes d’énergie étant
quantitaviment aussi les plus importantes dans la pulvérisation ultrasonique (voir
tableau 3.5).
L'énergie totale moyenne du film liquide en vibration sinusoïdale est:
2 20
12ondeE M Aω= (4.42)
si ω0 est la pulsation de vibration des ondes de surface (1/2 de la pulsation de
résonance du pulvérisateur) et A l'amplitude de déplacement de la surface libre.
L'énergie superficielle de toutes les gouttes du volume considéré est:
2 2
1
n
sg g i i i i ii
E S S n D N f Dσ σ σ π σ π
=
= = = =∑ ∑ ∑ (4.43)
Si est la surface de toutes les gouttes de diamètre Di .
Si une fraction constante ε de l’énergie de l’onde se transforme en énergie
superficielle des gouttes on peut écrire:
2 2 2
1
12
n
i ii
M A N f Dω σ π
=
= ∑ (4.44)
4.18
En tenant compte que le nombre total de gouttes N peut être exprimé en fonction
de la masse de liquide pulvérisée et du diamètre massique en utilisant l’équation
(4.38), la contrainte de conservation de l'énergie du FEM s'écrit :
2 2 22 30
303
i if Af D Dπ
ε σ= ⋅ ⋅∑ (4.45)
où f0 est la fréquence des ondes de surface ( 0 02 fω π= ).
Comme précédemment, nous faisons l’hypothèse que les ondes pour lesquelles le
rapport amplitude – longueur d’onde dépasse une certaine valeur critique
(A λ κ> ) vont éjecter des gouttes et nous remplaçons dans l’équation 4.44
l’amplitude par la longueur d’onde . L’expression de la longueur en fonction des
propriétés du liquide et de la fréquence de résonance du pulvérisateur trouvée au
chapitre 3 (eq. 3.15), introduite dans la relation (4.44) permet d’écrire :
2152 2 2 2 2
3 3 330 302 2
12 2 4 5
3303
2
6
3 3 4 104 4
12 10
i if fD D
ff D
f D
π λ π µσ
ε σ ε σ ρ
π µ ρ
ε σ
−
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅
= =∑(4.46)
On retrouve dans la dernière équation l’expression du diamètre moyen de Sauter
(D32) en fonction des propriétés du liquide et de la fréquence de résonance
(eq.3.28). Nous obtenons donc après adimensionnalisation :
2 30
32i i
Df dD
=∑ (4.47)
4.19
4.44.44.44.4 Système d'équations et résolutionSystème d'équations et résolutionSystème d'équations et résolutionSystème d'équations et résolution
Le système d'équation complet définissant les contraintes du FEM comprend aussi
une équation de normalisation:
[ ]
[ ]
[ ]
1
2 30
1 32 30
3
1
I 1
II
III 1
n
iin
ii i i
in
i ii
f
D Df d dD D
fd
=
=
=
= = = =
∑
∑
∑
(4.48)
Deux diamètres moyens sont donc nécessaires pour décrire la distribution
théorique, le diamètre moyen volumique et le diamètre moyen de Sauter.
L'utilisation de la méthode des paramètres de Lagrange pour la résolution de ce
système nous amène à chercher la distribution de probabilités de la forme:
( )2 30 1 2expi i if d dλ λ λ= − − − (4.49)
Pour trouver les paramètres de Lagrange par l'algorithme d'Agmon et al. Il faut
minimiser la fonction potentiel:
( )2 31 2
1
ln exp ( ) ( 1)n
i ii
F d k dλ λ
=
= − − − − ∑ (4.50)
Une fois trouvé le couple de valeurs ( )λ λ1 2, qui minimisent F, le dernier
paramètre de Lagrange se trouve grâce à la condition de normalisation:
2 30 1 2
1
ln exp( )n
i ii
d dλ λ λ
=
= − − ∑ (4.51)
Les trois multiplicateurs de Lagrange (les paramètres 0 1 2, ,λ λ λ de la fonction
exponentielle) ne sont donc pas indépendants. Il suffit de deux paramètres
indépendants pour définir complètement la fonction comme l’a montré aussi
l’examen des contraintes (4.47).
La figure 4.3 permet d’analyser l’influence de ces paramètres sur la distribution
obtenue et d’identifier leur rôle en tant qu’indicateurs statistiques de tendance
centrale et de dispersion. La contrainte [III] impose le diamètre moyen de la
distribution. Si on garde le rapport D30 /D32 constant la modification de D30
4.20
implique simplement un déplacement de la distribution sans changement de
forme (figure 4.3 a). La contrainte (III) équivaut donc à la définition de la moyenne
de la distribution.
La contrainte [II] définit la dispersion de la distribution autour de la moyenne. Si
D30 est fixé et le rapport D30 /D32 modifié la largeur de la distribution se modifie
(figure 4.3b).
a. b.
Figure 4.3 Evolution de la distribution de diamètres en fonction du diamètre
moyen D30 (a) et du rapport de diamètres D30 /D32 (b).
La formulation des contraintes du formalisme en fonction de D30 et D32 a été
choisie pour mettre à profit la prédiction théorique du diamètre moyen de Sauter
présentée au chapitre 3. Cependant il est possible d’écrire les deux dernières
contraintes du formalisme de façon à mettre en évidence les aspects décrits ci-
dessus. Les équations (4.47) peuvent s’écrire :
1
2 220
1
3 330
1
[I] 1
[II]
[III]
n
iin
i iin
i ii
f
f D D
f D D
=
=
=
= = =
∑
∑
∑
(4.52)
0,00
0,05
0,10
0,15
0 25 50 75 100 125
D (µm)
f %
D30=30 µmD30=25 µm
D30=20 µm
0,00
0,05
0,10
0,15
0 25 50 75 100 125D (µm)
f %
D30/D32=0,7
D30/D32=0,8
D30/D32=0,9
D30 = 0.8D32
D = 30µm30
4.21
C’est la forme dimensionnelle de base qui permet de voir que la contrainte [III] est
la définition du diamètre moyen volumique (éq. 2.15).
L’écart type de toute distribution est défini par (éq. 2.32) :2 2 2
20 10s D D= − (4.53)
La condition [II] devient donc :
2 2 210i if D s D= +∑ (4.54)
où, après adimensionnalisation par le diamètre moyen numérique :
102 2
10
1i i
i i VV
D Df c avec sc
D
δ
δ
== +
=
∑ (4.55)
Le coefficient de variation est une mesure de la dispersion relative d’une
distribution utilisée pour comparer des distributions de moyennes différents.
Les contraintes définies pour la pulvérisation ultrasonique ont été déduites à partir
des lois de conservation de masse et d’énergie. Cependant, nous retrouvons les
définitions des diamètres moyens volumique et surfacique qui sont générales et ne
dépendent pas du mécanisme de formation du spray. Généraliser pourtant ces
deux contraintes à d’autres types de sprays requiert une réflexion supplémentaire
car, si la conservation de masse est bien la même pour tous les mécanismes de
formation des gouttes, les formes d’énergie impliquées varient. Quel que soit le
type d’énergie fournie au film liquide (cinétique, de vibration, centrifuge, etc..)
une certaine quantité E est transformée en énergie de surface des gouttes :
2
2
sg g i i
i i
E sS s f D
f Ds
π
π
= = =
=
∑
∑
E
E (4.56)
Si on tient compte de la définition du diamètre moyen surfacique :
220D sπ=
E(4.57)
Jusqu’à présent les études des sprays par le formalisme d’entropie maximale se
sont attachées à la définition de contraintes spécifiques à chaque mécanisme de
4.22
rupture du film liquide. Ceci n’est pas utile dans la mesure où les contraintes
(4.51) sont universellement valables.
La prédiction des distributions de taille de gouttes de spray par le formalisme
d’entropie maximale peut faire appel aux mêmes contraintes (4.51) quel que
soit le mécanisme de formation du spray. Les spécificités de chaque
pulvérisateur se situent au niveau de la quantité d’énergie disponible pour
l’augmentation de la surface du film liquide.
La figure 4.4 présente les résultats de l’application du FEM et la comparaison avec
plusieurs distributions expérimentales obtenues par granulométrie Malvern. Dans
l’étude des sprays, la distribution volumique est le plus souvent utilisée.
4.23
Figure 4.4 Distributions volumiques de diamètres prédites par FEM comparées auxdonnées expérimentales.
0
4
8
12
5 11 23 48 99D (µm)
fv %
0
4
8
12
16
5 11 23 48D (µm)
fv %
0
5
10
15
6 12 25 51D (µm)
fv %
Mesure
FEM
0
4
8
12
16
5 11 23 48D (µm)
fv %
EauD30/D32=0,86D30=27,37 µm
16% MéthanolD30/D32=0,81D30=24,53 µm
15% GlycérineD30/D32=0,79D30=27,36 µm
36% GlycérineD30/D32=0,85D30=28,62 µm
0
5
10
15
5 11 23 48D (µm)
fv %
0
4
8
12
6 12 25 51 106D (µm)
fv %10% MéthanolD30/D32=0,69D30=22,78 µm
47% MéthanolD30/D32=0,76D30=20,96 µm
4.24
Figure 4.5 Distributions numériques mesurées et calculées par FEM.
0
4
8
12
16
5 11 23 48 99D (µm)
fn %
0
4
8
12
16
5 11 23 48D (µm)
fn%
0
4
8
12
6 12 25 51D (µm)
fn %
Mesure
FEM
0
4
8
12
16
5 11 23 48D (µm)
fn %
Eau 16% Méthanol
15% Glycérine 36% Glycérine
0
6
12
18
5 11 23 48D (µm)
fn%
0
5
10
15
20
25
30
6 12 25 51D (µm)
fn %
10% Méthanol 47% Méthanol
4.25
Le formalisme de l’entropie maximale calcule des distributions numériques. Pour la
comparaison, les résultats obtenus ont été convertis en distributions volumiques.
Les diamètres moyens utilisés pour le FEM sont obtenus par les corrélations (3.30)
basées sur les propriétés du liquide et la fréquence de résonance.
Les distributions théoriques estimées par le formalisme de l’entropie maximale
sont très proches des distributions mesurées. Cependant les deux derniers
graphiques (mesures obtenues pour 10% Méthanol et 47% Méthanol) présentent
des différences plus importantes entre théorie et mesure. Ces différences
s’expliquent après examen des distributions numériques (figure 4.5). On constate
que toutes les distributions numériques mesurées sont fortement bimodales. Le
FEM, dans sa formulation actuelle, prévoit une distribution unimodale.
L’imposition du diamètre moyen volumique atténue l’influence du premier mode
constitué essentiellement de petites gouttes qui ne représentent qu’une faible
fraction du volume du spray, ceci jusqu’à un certain point. Quand plus de 60% de
gouttes forment le premier mode (figure 4.5 e et f) la distribution obtenue ne
peut atténuer la bimodalité numérique.
Remarque1 : Les distributions mesurées de la figure 4.5 e et f peuvent êtreerronées. En effet, lors d’essais de calibrage des granulomètres Malverneffectués tant à l’UCL qu’au CORIA Rouen, il s’est avéré qu’il était nécessaired’éliminer les résultats obtenus pour les 2 plus faibles classes de diamètre. Onpeut constater que ces deux dernières distributions numériques présententune grand pourcentage de particules correspondant à ces classes.
Remarque2 : La comparaison théorie-expérience est tributaire du choix de laméthode et de mesure de la distribution de gouttes. En effet la diffraction deFraunhoffer est basée sur l’estimation de la surface des gouttes tandis que laméthode « phase Doppler » estime le volume des gouttes. De plus le spray semodifie très vite après sa formation (par évaporation, rupture secondaire desgouttes ou coalescence). Il est donc essentiel de réaliser la mesure juste aprèsla formation sinon des phénomènes non décrits par les contraintes du FEMinterviennent dans la formation de la distribution.
Pour des distributions strictement unimodales la correspondance entre les
prédictions FEM basées sur la connaissance de deux diamètres moyens (D30 et D32)
est excellente.
4.26
Par exemple, la figure 4.6 présente les résultats obtenus en éliminant le premier
mode de la distribution mesurée pour l’eau. On constate que tant pour la
représentation volumique que numérique la concordance est bien meilleure.
Figure 4.6 Distributions volumiques et numériques monomodales et prédictions
FEM.
4.54.54.54.5 FEM et distributions bimodalesFEM et distributions bimodalesFEM et distributions bimodalesFEM et distributions bimodales
Les distributions expérimentales des tailles de gouttes des sprays sont très
rarement unimodales. Nous avons vu précédemment que le pulvérisateur
ultrasonique présentait une bimodalité importante surtout visible sur les
représentations numériques. D’autres types de pulvérisateurs, comme par exemple
le pulvérisateur à air comprimé présentent des caractéristiques semblables. Les
études consacrées à ce type de pulvérisateur [51] tendent à démontrer que la
bimodalité est le résultat de deux mécanismes de formation de gouttes : certaines
gouttes sont formées dans une région proche de l’éjection du jet où se forme un
tore d’air et de liquide, d’autres se forment par le mécanisme classique
d’instabilité de la surface du jet dû au frottement air-liquide.
Il est probable que la pulvérisation ultrasonique présente aussi deux mécanismes
de formation des gouttes : l’instabilité de la surface qui forme des ondes carrées
comme décrite au chapitre 3 est le facteur principal de formation de gouttes mais
0
4
8
12
16
5 11 23 48D (µm)
fn %
0
4
8
12
16
20
5 11 23 48
fv %
4.27
il est possible que, à certains endroits de la surface active, la cavitation détermine
aussi l’apparition des gouttes.
Ces deux mécanismes de formation impliquent des énergies différentes, la
cavitation peut fournir des énergies beaucoup plus grandes que l’amplification
instable des ondes de surface. Donc, conformément à la relation 4.55, la surface
des gouttes formées va être plus importante. Nous nous attendons donc à obtenir
de gouttes plus petites par cavitation. Ceci est confirmé par les sprays
ultrasoniques haute fréquence (~MHz) réalisés uniquement par cavitation et qui
produisent des gouttes de 2µm en moyenne.
Pour décrire ces distributions bimodales par le formalisme de l’entropie maximale
deux solutions sont à envisager :
Définir pour chaque mode un diamètre moyen volumique et un diamètre
moyen de Sauter et appliquer séparément le formalisme décrit
précédemment ;
Utiliser l’expression de l’entropie de Tsallis à la place de l’entropie de Shannon
dans le formalisme de l’entropie maximale :
( ) 1
1
1
nqi
ii
pT p
q=
−
=
−
∑(4.58)
Le formalisme basé sur l’entropie de Tsallis demande d’introduire un paramètre
supplémentaire (à part les deux diamètres moyens utilisés auparavant). Ce
paramètre, l’exposant q contenu dans la définition de cette mesure de la quantité
d’information, pourrait permettre une classification des mécanismes de formation
des gouttes .La fonction de distribution obtenue ne sera plus une exponentielle
mais une loi de puissance :
( )1
10 1 1
1 ( )... ( )T qi i r r i
qf g D g Dq
λ λ λ −
−
= − − − (4.59)
Les contraintes du formalisme restent inchangées seule la fonction à maximiser est
modifiée. Une première application à la pulvérisation ultrasonique est développée
à l’annexe A2. L’exemple d’application ci-après (figure 4.7) permet de montrer
que les deux pics présents sont bien représentés par q=1 (entropie de Shannon)
pour les petites gouttes et par q=1.3 pour le second mode.
4.28
Figure 4.7 Distributions bimodales obtenues par FEM avec utilisation conjointe des
entropies de Tsallis et de Shannon.
Débit = 0.01 cm3/s
Débit = 0.4 cm3/s
4.29
Figure 4.7 Distributions bimodales obtenues par FEM avec utilisation conjointe des
entropies de Tsallis et de Shannon.
Débit = 0.8 cm3/s
Débit = 1.175 cm3/s
4.30
5.1
5.5.5.5. DESIGN DES PULVERISATEURS ULTRASONIQUESDESIGN DES PULVERISATEURS ULTRASONIQUESDESIGN DES PULVERISATEURS ULTRASONIQUESDESIGN DES PULVERISATEURS ULTRASONIQUES
La taille des gouttes produites par les pulvérisateurs ultrasoniques et leur faible
consommation d’énergie les rend particulièrement intéressants pour les
applications d’humidification d’air à la place des classiques évaporateurs
thermiques. De plus, une réserve d’eau n’étant pas nécessaire à leur
fonctionnement (ils peuvent être directement alimentés par le réseau d’eau de
ville) ils constituent une solution au problème de la propagation de maladies
infectieuses graves, comme la légionellose, à travers les circuits de
conditionnement d’air des immeubles.
Les humidificateurs d’air thermiques peuvent vaporiser 1 m3/h d’eau ; les
pulvérisateurs ultrasoniques sont malheureusement limités en débit, d’une part
par les dimensions réduites du canal d’alimentation qui introduit d’importantes
pertes de charge et d’autre part par le mécanisme même de formation de gouttes.
Les gouttes se forment par détachement des crêtes des ondes de surface formées
sur un film liquide mince mis en vibration. Si l ‘épaisseur du film liquide augmente,
les dissipations visqueuses augmentent et l’énergie fournie par les éléments
piézocéramiques est entièrement dissipée : les ondes de surface ne se forment
plus. Pour le pulvérisateur expérimental de base réalisé à l’UCL (fréquence de
résonance 50kHz), le débit maximum est de 0.002 m3/h. Il est toujours possible de
constituer des rampes de pulvérisateurs mais l’augmentation du débit individuel
réalisable est une première étape pour envisager l’utilisation des pulvérisateurs
ultrasoniques comme humidificateurs d’air.
Il est possible d’agir de deux manières différentes sur le design du pulvérisateur
pour augmenter le débit maximum :
augmenter les dimensions de la surface active
par une augmentation totale de la taille du pulvérisateur ou
par une modification de la forme de la surface (sphère, cône) ;
augmenter la puissance du pulvérisateur
par une augmentation du nombre d’éléments piézocéramiques ou
par une augmentation de la taille des éléments piézocéramiques.
5.2
Dans le design actuel, augmenter la taille des éléments piézocéramiques revient à
augmenter toutes les dimensions du pulvérisateur ; le tableau 5.1 résume les
modifications constructives testées.
Elément de designElément de designElément de designElément de design Niveau -1 Niveau 1
Forme de la surface active Plat Sphère
Dimension du pulvérisateur(diamètrede l’élément amplificateur) Φ 6 mm Φ 9 mm
Nbr. d’éléments piézocéramiques 2 4
Tableau 5.1 Modifications de design du pulvérisateur ultrasonique à tester.
Les prédictions théoriques des sprays ultrasoniques font intervenir, comme
paramètres la fréquence de résonance et les propriétés du liquide, d’une part et la
quantité d’énergie disponible, d’autre part. Il est donc possible de prédire les
modifications de la distribution de taille des gouttes qu’entraîne l’augmentation
de la puissance des pulvérisateurs. En ce qui concerne l’augmentation de la
surface active, donc la variation de l’épaisseur du film liquide, elle conduit aussi à
une augmentation de l’énergie disponible en réduisant les pertes par frottement
visqueux. Il est cependant impossible de quantifier ces variations et une approche
expérimentale est nécessaire.
Les essais effectués ont donc deux objectifs:
1. déterminer les modifications constructives qui maximisent le débit du
pulvérisateur ultrasonique pour une fréquence et avec un liquide donné .
2. déterminer l’influence de ces modifications sur les qualités du spray : diamètre
moyen et distribution de taille des gouttes.
Les distributions des tailles de gouttes sont mesurées à l’aide d’un granulomètre
Malvern à diffraction de Fraunhoffer. Le débit est augmenté progressivement
jusqu’au moment où la pulvérisation s’arrête. Il est ensuite diminué jusqu’à la
reprise de la pulvérisation et est alors mesuré. Durant la phase d’augmentation du
débit, les distributions de taille de gouttes sont mesurées plusieurs fois pour
s‘assurer que l’augmentation du débit ne modifie pas les qualités du spray.
5.3
5.1 Mesures de débit maximal
Nous avons choisi de tester l’influence de trois facteurs de design (taille du
pulvérisateur, forme de la surface active et nombre d’éléments piézocéramiques)
sur le débit maximal. Les trois facteurs peuvent prendre deux niveaux (valeurs dans
le tableau 5.1) Le plan d’expérience le plus complet qui nous permet d’estimer
l’effet des trois facteurs et de leurs interactions est le plan factoriel complet qui
devrait comprendre 23=8 expériences. Chaque expérience correspond à un design
différent de pulvérisateur.
FormeFormeFormeForme TailleTailleTailleTailleNbr.Nbr.Nbr.Nbr.
piézospiézospiézospiézosDesign du pulvérisateurDesign du pulvérisateurDesign du pulvérisateurDesign du pulvérisateur
P1P1P1P1 -1 1 -1
P2P2P2P2 1 1 1
P3P3P3P3 1 -1 -1
P4P4P4P4 -1 -1 1
Tableau 5.2 Plan d’expérience factoriel fractionné 23-1 et les designs de
pulvérisateurs correspondants.
sup
5.4
Dans le cas présent il est probable que les interactions des effets ne soient pas
significatives (l’augmentation de la taille ne devrait pas influencer la manière dont
le débit varie avec la forme de la surface active). Nous allons donc limiter notre
plan d’expérience à 4 essais qui correspondent à un plan factoriel fractionnaire. Le
plan d’expérience et le design de pulvérisateur correspondant à chaque essai sont
présentés dans le tableau 5.2.
Pour estimer l’incertitude des mesures, les pulvérisateurs P1 et P4 ont été
construits en double exemplaire et toutes les mesures ont été dupliquées.
L’incertitude absolue pour la mesure du débit est de 6 30.11 10 m s−
⋅ .
Exp. FormeFormeFormeForme TailleTailleTailleTaille Nbr.Nbr.Nbr.Nbr. Débit volume (10Débit volume (10Débit volume (10Débit volume (10-6-6-6-6 m m m m3333/s)/s)/s)/s)
P1P1P1P1 Plat 9 mm 2 1.61
P2P2P2P2 Sphère 9 mm 4 2.33
P3P3P3P3 Sphère 6 mm 2 0.94
P4P4P4P4 Plat 6 mm 4 1.33
Effets globauxEffets globauxEffets globauxEffets globaux(10(10(10(10-6-6-6-6 m m m m3333/s)/s)/s)/s)
Forme de surface active 0,17
Taille du pulvérisateur 0,84
Nbr. d’éléments piézo. 0,56
Tableau 5.3 Débit maximal mesuré et effets des modifications de design sur le
débit maximal.
Les résultats des mesures de débit maximal et les effets globaux des modifications
constructives testées sur la valeur maximale du débit sont présentés dans le
tableau 5.3. L’effet d’un facteur sur la réponse s’obtient en comparant les valeurs
de la réponse quand le facteur passe d’un niveau à un autre. L’effet global, est la
moyenne des effets mesurés pour les 2 paires de mesures obtenues en variant un
des facteurs. Par exemple, si le nombre d’éléments piézocéramiques passe de 2 à
4 le débit maximal augmente de 6 30.56 10 m s−
⋅
5.5
Nous pouvons constater que les augmentations les plus importantes sont
obtenues en augmentant la puissance du pulvérisateurs des deux manières
possibles : l’augmentation du nombre d’éléments piézocéramiques et
l’augmentation de leur taille.
L’analyse des résultats du tableau 5.3 nous permet de constater que les effets des
modifications sont cumulatifs donc le plus grand débit s’obtient avec des
pulvérisateurs utilisant 4 éléments piézocéramiques de taille plus grande.
L’augmentation de la surface active ne
donne pas les résultats attendus. Ceci est
peut-être dû à un mauvais étalement du
film liquide sur la surface active à partir d’un
trou unique d’alimentation. Il serait possible
d’améliorer cet étalement en considérant
une alimentation multi-canaux comme
représenté à la figure 5.1.
5.2 Mesure des distribution des diamètres des gouttes
Les qualités principales de la pulvérisation ultrasonique sont la finesse et la
régularité des gouttes produites c’est-à-dire un diamètre moyen très petit et une
distribution très étroite. Il convient de s’assurer que les modifications constructives
envisagées dans le but d’augmenter le débit pulvérisé n’ont pas de conséquences
sur la qualité du spray. Nous pouvons résumer ces qualités par le diamètre moyen
volumique (D30) et par le coefficient de variation de la distribution (Cv) tel que
défini au chapitre 2.3.2 (éq. 2.28).
Le tableau 5.4 résume les résultats des mesures effectuées avec les mêmes
pulvérisateurs que ceux utilisés pour tester pour le débit (tableau 5.2). Nous y
avons ajouté les données disponibles concernant trois autres configurations de
pulvérisateurs, deux d’entre eux fonctionnant à une fréquence de 60kHz ce qui
permet aussi d’estimer l’influence de la variation de la fréquence de résonance sur
le coefficient de variation. De nombreuses études ont démontré que
Figure 5.1 Variantes constructivespour l’alimentation en liquide dupulvérisateur
5.6
l’augmentation de la fréquence de résonance entraînait une diminution
considérable du diamètre moyen des gouttes mais aucune de ces études ne
contient des informations sur l’écart-type de la distribution.
FormeFormeFormeForme Taille (mm)Taille (mm)Taille (mm)Taille (mm) Nbr.Nbr.Nbr.Nbr. Fréq. (kHz)Fréq. (kHz)Fréq. (kHz)Fréq. (kHz) D30 (µm)D30 (µm)D30 (µm)D30 (µm) CvCvCvCv
P1P1P1P1 Plat 9 2 50 52.1 0.64
P2P2P2P2 Sphère 9 4 50 53.2 0.43
P3P3P3P3 Sphère 6 2 50 38 0.48
P4P4P4P4 Plat 6 4 50 45.4 0.42
P5P5P5P5 Plat 6 2 50 39.1 0.58
P6P6P6P6 Plat 6 2 60 31.9 0.56
P7P7P7P7 Plat 9 2 60 36.6 0.61
Effets globauxEffets globauxEffets globauxEffets globauxsur Dsur Dsur Dsur D30303030
Effets globauxEffets globauxEffets globauxEffets globauxsur Cvsur Cvsur Cvsur Cv
Forme de surface active -3% -17.2%
Taille du pulvérisateur 24% 9.6%
Fréquence -24.1% -4%
Nbr. d’éléments piézo. 16.1% -27.6%
Tableau 5.4 Influence des modifications de design sur la distribution de taille des
gouttes du spray (résumée par le diamètre moyen volumique D30 et le coefficient
de variation Cv)
Le tableau 5.4 permet de tirer les conclusions suivantes :
Augmenter la surface de résonance diminue la taille des gouttes et la
largeur de la distribution ; la qualité du spray s’en trouve donc améliorée.
Augmenter la taille du pulvérisateur entier augmente et la taille moyenne
des gouttes et la largeur de la distribution ; la qualité du spray est affectée.
Augmenter la fréquence de résonance diminue bien sur le diamètre moyen
des gouttes mais aussi légèrement la largeur de la distribution.
Augmenter le nombre d’éléments piézocéramiques augmente le
5.7
diamètre moyen mais réduit beaucoup la largeur de la distribution. Ce
dernier effet est prédit par la théorie. En effet l’application du formalisme
d’entropie maximale indique que le coefficient de variation (la largeur) de
la distribution diminue avec l’augmentation du rapport de diamètres
moyens D30 /D32 (voir figure 4.3 b).
Rem : La démonstration de l’équivalence entre le coefficient de variation et le
rapport de diamètres D30/D32 a déjà été présentée au chapitre 4.4, le
graphique 5.2 en apporte une confirmation expérimentale. Pour les 7
pulvérisateurs testés, les valeurs de Cv et de D30 /D32 sont représentées. On
remarque une très bonne corrélation entre leurs variations.
Le diamètre moyen de Sauter D32 est inversement proportionnel à l’amplitude de
la vibration. Augmenter le nombre de piézos implique une augmentation de
l’amplitude et donc une diminution de D32. Si D30 reste constant la largeur de la
distribution va donc diminuer. On peut constater que cet effet est important car
ici D30 augmente aussi mais l’effet est quand même observable.
Figure 5.2 Corrélation entre coefficient de variation Cv et D30 /D32.
En conclusion, pour garder une même qualité de spray tout en augmentant de
façon importante le débit il convient donc d’augmenter le nombre d’éléments
piézocéramiques et la taille du pulvérisateur mais aussi la fréquence de résonance.
0,00
0,40
0,80
1,20
P4 P2 P3 P6 P5 P7 P1
D30/D32
Cv
DDDD30303030/D/D/D/D32323232
CvCvCvCv
0,45
0,63
0,81
0,99
0,4 0,5 0,6
CvCvCvCv
DDDD30303030/D/D/D/D32323232
5.8
6.1
6.6.6.6. CONCLUSIONS ET PERSPECTIVESCONCLUSIONS ET PERSPECTIVESCONCLUSIONS ET PERSPECTIVESCONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
Le spray, fragmentation d’un volume liquide en gouttes de taille variable, trouve
aujourd’hui des applications si nombreuses et aux exigences si diverses que la
méthode d’étude pratiquée jusqu’à présent n’est plus adaptée. Cette méthode
s’attache à la prédiction de la taille de gouttes de chaque type particulier de spray
en passant par de lourdes campagnes expérimentales suivies d’une recherche de
loi théorique adaptée par « best-fit ». Ce genre d’approche a le double
inconvénient de ne pas pouvoir déterminer une seule loi commune à tous les types
de spray et de ne pas être reliée à la physique de la formation de gouttes.
Quelques résultats obtenus par la méthode traditionnelle sont présentés au
chapitre 2.4 pour une application à la pulvérisation ultrasonique. Seule la loi de
type log-normale permet de retrouver la distribution expérimentale. De plus, il
n’est pas possible de reproduire les caractéristiques multimodales de certains
sprays (dont les ultrasoniques).
L’objectif du présent travail a donc été de développer une méthode de
caractérisation théorique complète d’un spray (paramètres moyens et et et et distribution
de taille de gouttes) sur base de la connaissance du mécanisme de formation des
gouttes et pouvant être appliquée de façon similaire quel que soit le type de
spray . La contrainte principale est donc la connaissance de la physique de la
rupture de la nappe liquide en gouttelettes. Pour cette raison l’étude entreprise
s’est attachée à la description du spray ultrasonique, qui a l’avantage d’impliquer
un mécanisme de formation d’ondes de surface (ondes de Faraday) se retrouvant
dans d’autres systèmes physiques et faisant l’objet de nombreuses études depuis
1853.
Les moyens mis en œuvre pour trouver la loi de distribution théorique qui décrit
au mieux la pulvérisation ultrasonique sont, d’un côté, l’analyse de l’instabilité des
ondes de surface qui permet de déterminer les caractéristiques moyennes du
spray, et de l’autre, une méthode stochastique, le formalisme de l’entropie
maximale, qui fournit la distribution la plus probable basée sur les caractéristiques
moyennes et sur les lois de conservation élémentaires applicables à tout type de
pulvérisation (conservation de la masse et de l’énergie).
6.2
Quelque soit le type de spray considéré, la fragmentation du volume liquide se
déroule en deux étapes. Tout d’abord, sous l’effet de l’accélération constante ou
périodique appliquée, la surface libre du liquide se déforme pour former des
ondes régulières. Par la suite, l’augmentation de l’accélération ou l’interaction
surface liquide – air environnant, génère l’instabilité de ces ondes et aboutit au
détachement de leur crêtes sous forme de gouttes.
Deux phénomènes physiques contribuent donc à la formation du spray : la
formation des ondes de surface (ondes de Faraday dans le cas de la pulvérisation
ultrasonique) et la transition vers l’instabilité qui est le moteur de la rupture.
L’étude du spray, qui s’attache à suivre la physique du phénomène, s’est donc
aussi déroulée en deux étapes :
1.1.1.1. La caractérisation théorique des ondes de surface qui conduit à l’estimation
des paramètres moyens du spray et
2.2.2.2. La description du mécanisme de rupture du film liquide par l’intermédiaire
des lois de conservation de masse et d’énergie utilisées au sein du formalisme
d’entropie maximale pour déterminer l’entièreté de la distribution de taille des
gouttes.
Les ondes de Faraday qui se forment dans la pulvérisation ultrasonique ont fait
l’objet de nombreuses études, pour la plupart impliquant une analyse linéaire de
stabilité. Il en ressort une expression de la longueur d’onde du mode de vibration
instable qui a le taux de croissance le plus élevé et qui est sans doute celui qui va
permettre la rupture du film liquide en gouttes :
13
2
8Lang f
πσλ
ρ
= (6.1)
Ces analyses linéaires supposent de petits déplacements de la surface libre et de
faibles composantes du vecteur vitesse ce qui n’est certainement pas le cas lors de
l’éjection de gouttes.
En attendant le résultat d’études non-linéaires et pour pouvoir quantifier l’erreur
qu’introduit la linéarisation, les longueurs d’onde des ondes de surface ont été
mesurées, dans le cadre du présent travail, à travers l’imagerie numérique sous
6.3
microscope (chapitre 3.4). L’étude expérimentale a aussi eu pour but de
déterminer les facteurs influents et notamment d’évaluer l’importance de la
viscosité du liquide négligée dans l’approche théorique.
Les facteurs testés ont été la tension superficielle, la viscosité et la fréquence de
résonance. Après application du test F de comparaison (loi de Snedecor) il s’est
avéré qu’il y a 0.001 % de chances que la fréquence ne soit pas un facteur
influençant la valeur de la longueur d’onde et environ 1% de chance que les
propriétés du fluide ne soient pas déterminantes (la viscosité ayant une influence
comparable à celle de la tension superficielle). L’expression de la longueur d’onde
issue de l’analyse linéaire (eq. 6.1) ne tient donc pas compte d’un facteur
significatif : la viscosité. Dans l’état actuel des connaissances et disposant des
données expérimentales nécessaires, une façon de procéder est de trouver une
corrélation expérimentale qui prenne en compte tous les facteurs influents. Cette
démarche, détaillée au chapitre 3.5, implique d’abord de rendre la longueur
d’onde et la fréquence adimensionnelles par rapport aux propriétés du liquide et
de trouver par régression au sens des moindres carrés la loi qui les lie :
( )33
5* * * *2 2
5 3 2
4
.
ff avec f
f const
λσρ µλ λ
µ σ ρ
λ ρ
µσ
−
= = =
⇒ =
(6.2)
Cette dernière relation correspond au produit de trois nombres adimensionnels
qui expriment les rapports entre les forces qui interviennent dans la formation des
ondes de surface, à savoir gravité, forces de surface et de viscosité, et la force qui
correspond à l’accélération de l’onde stationnaire qui complète l’équilibre des
forces sur la surface liquide :
2
2 3 5 2
2
Reynolds Re
Re Fr Bo Froude Fr
Bond Bo
onde
visc
onde
g
g
TS
F fF
f F fconstF gF gF
ρλ
µ
ρ λ λ
µσ
ρλ
σ
= =
⋅ ⋅ = = = =
= =
(6.3)
La valeur de cette constante pour la pulvérisation ultrasonique est 34 10−
⋅ .
6.4
Les longueurs d’onde ainsi déterminées sont utilisées pour exprimer le diamètre
moyen des gouttes formées lors de l’éjection. Habituellement le passage de la
longueur d’onde au diamètre de la goutte se fait par analogie géométrique
considérant que le volume de la crête de l’onde détachée (un cône) est égal au
volume de la goutte.
Pour la pulvérisation ultrasonique, la visualisation de la formation des gouttes
montre qu’il existe plusieurs modes de formation de gouttes, le simple
détachement de la crête étant l’un d’entre eux, mais la formation de ligaments
suivie de l’émission d’une ou plusieurs gouttes pouvant aussi se produire. Une
approche nouvelle a donc été proposée dans le chapitre 3.5. Elle ne présuppose
pas d’un mode de formation de goutte mais uniquement de la conservation de
masse et d’énergie entre le film liquide et le nuage de gouttelettes qui en jaillit.
Ceci permet d’exprimer le diamètre moyen de sauter (D32) en fonction des
propriétés du liquide et de la fréquence de résonance :
3532 2 4D const
fσ
ρµ= (6.4)
ou bien en utilisant les nombres adimensionnels et la fréquence adimensionnalisée
par les propriétés du liquide :
( )2
* 5 WeOh OhRe
const f= ⋅ = (6.5)
La valeur de la constante est déterminée à partir des mesures par diffraction de
Fraunhoffer des sprays ultrasoniques impliquant plusieurs liquides et plusieurs
fréquences de résonance (annexe 1). Elle est ensuite vérifiée sur une collection de
données expérimentales issues de la littérature. Les résultats sont
remarquablement confirmés y compris pour la pulvérisation des métaux liquides.
La seconde étape de la caractérisation du spray (qui fait l’objet du chapitre 4)
passe par l’application du formalisme de l’entropie maximale ce qui requiert de
considérer le spray comme un très grand ensemble d’éléments dont il est
impossible de déterminer les caractéristiques individuelles mais pour lequel il est
possible de connaître des valeurs moyennes (diamètre moyen, écart type de la
distribution).
6.5
Ce formalisme, issu de la théorie de l’information, permet de trouver la
distribution la plus probable des caractéristiques individuelles en maximisant la
fonction « entropie » qui exprime la quantité d’information obtenue par une
expérience. Cette maximisation se fait sous contraintes, ces contraintes étant des
lois physiques qui régissent le phénomène étudié . Dans le cas des sprays, les lois
utilisées sont simplement la conservation de la masse et de l’énergie entre l’état
« d’avant » et « d’après » la formation du spray.
Du type de fonction « entropie » utilisée dépend le type de loi obtenue. L’entropie
la plus utilisée est celle dite « de Shannon » qui aboutit a des lois exponentielles.
Une généralisation récente, appelée « entropie de Tsallis », permet d’obtenir des
lois de type puissance que certains mécanismes de formation du spray peuvent
induire (pulvérisation à air comprimé ou pulvérisation ultrasonique de puissance
comme présenté au chapitre 5) :
( ) ( ) 1
1
1Shannon: ln Tsallis:
1
nqin
ii i i i
i
pS p p p T p
q=
=
−
= =
−
∑∑ (6.6)
Les contraintes exprimées pour la pulvérisation ultrasonique s’écrivent sous la
forme :
[ ]
[ ]
[ ]
1
2 30
1 32 30
3
1
I 1
II
III 1
n
iin
ii i i
in
i ii
f
D Df d dD D
fd
=
=
=
= = = =
∑
∑
∑
(6.7)
La résolution du problème de maximisation s’est faite , non pas de façon classique
par l’utilisation des multiplicateurs de Lagrange, mais au moyen d’un algorithme
plus performant proposé par Agmon et Alhassid (chapitre 4.1.3.2).
Les simulations réalisées en variant les paramètres des contraintes, montrent que la
conservation de masse équivaut à la définition d’un indicateur de tendance
centrale de la distribution et la conservation d’énergie à la spécification d’un
indicateur de dispersion.
6.6
Ces deux contraintes peuvent aussi s’écrire de la façon suivante :
102 2
1
33
1
0
30
[II]
III]
1
[n
i i
i i
i i VV
i
D Df c avec c
D D
D
f
δ
δ σ
=
== +
=
=
∑
∑(6.8)
ce qui confirme les résultats obtenus par la simulation.
La conservation de la masse devient une définition du diamètre moyen volumique
et est donc commune à tous les types de sprays. Quant à la conservation
d’énergie, elle peut aussi prendre une forme générale en considérant que, quel
que soit le type d’énergie fournie au film liquide (qui définit le type de spray), une
certaine quantité E est transformée en énergie de surface des gouttes :
2i if D
πσ
=∑E
(6.9)
En conclusion, la prédiction des distributions de taille de gouttes de spray par le
formalisme d’entropie maximale peut faire appel aux mêmes contraintes quel que
soit le mécanisme de formation du spray. Les spécificités de chaque pulvérisateur
se situent au niveau de la quantité d’énergie disponible pour l’augmentation de la
surface du film liquide.
L’application de cette approche au spray ultrasonique donne de bons résultats
cependant fort dépendants du caractère mono-modal des sprays. Toute
bimodalité se traduit par des erreurs importantes. Ce constat a entraîné une
réflexion sur l’origine de la bimodalité et la possibilité de sa modélisation théorique
par le FEM qui a fait l’objet d’une publication (annexe 5) et qui est résumée au
chapitre 4.5.
Il est suggéré que la bimodalité trouve son origine physique dans deux
mécanismes différents de formation des gouttes par exemple, pour la
pulvérisation ultrasonique, aux gouttes formées par instabilité des ondes de
surface, pourraient venir s’ajouter des gouttes issues de cavitation à certains
endroits de la surface active ou du canal d’alimentation du pulvérisateur.
6.7
Les deux modes étant issus de mécanismes différents , ils doivent être étudiés
séparément le diamètre moyen et la quantité d’énergie disponible étant différents.
Ceci est valable si les deux modes présentent une forme de loi exponentielle mais il
semble que les mécanismes impliquant un apport d’énergie plus important
tendent à suivre une loi de puissance plutôt qu’une exponentielle.
Une voie à développer dans la suite de l’approche FEM est d’utiliser non plus
l’entropie de Shannon comme fonction à maximiser mais l’entropie de Tsallis, qui
implique un paramètre supplémentaire, l’exposant q q q q de la loi puissance à utiliser.
Ceci pourrait constituer la base d’une classification des mécanismes de formation
des sprays en fonction de cet exposant qui est à mettre en relation directe avec la
quantité d’énergie fournie au film liquide. Un essai d’application aux sprays
ultrasoniques montre que les deux modes présents dans les distributions mesurées
sont caractérisés par les valeurs de 1q = et 1.3q = quelques soient la fréquence
de résonance et le liquide pulvérisé.
Le travail expérimental accompli pour les besoins de l’étude théorique a entraîné
de nombreux développements technologiques de pulvérisateurs ultrasoniques. Un
intérêt pour le transfert de cette technologie vers l’application pratique a conduit à
ce qui fait l’objet du dernier chapitre de ce travail et de la publication en annexe 6.
L’utilisation principale envisagée étant l’humidification d’air, le problème de la
maximisation du débit fourni par un pulvérisateur tout en optimisant la qualité du
spray s’est posé. Les deux manières d’agir sur le débit étaient d’augmenter la
surface active sur laquelle se forme le film liquide ou d’augmenter l’énergie
fournie au film liquide. En pratique ceci revient à considérer trois types de
modifications de design agissant sur : la forme de la surface active, la dimension
totale du pulvérisateur ou le nombre d’éléments piézoélectriques.
Des essais ont donc été entrepris en vue de tester l’influence de ces modifications
sur le débit maximum et sur les qualités du spray (diamètre moyen et distribution
de taille des gouttes). Les conclusions en termes de débit maximal sont que le
meilleur effet est obtenu par l’augmentation de la taille du pulvérisateur ou du
nombre d’éléments piézoélectriques, l’idéal étant la combinaison de ces deux
évolutions de design.
6.8
En ce qui concerne la qualité du spray il a été constaté que : augmenter la taille du
pulvérisateur entier augmente et la taille moyenne des gouttes et la largeur de la
distribution (la qualité du spray est affectée) ; augmenter la fréquence de
résonance diminue bien sûr le diamètre moyen des gouttes mais aussi légèrement
la largeur de la distribution ; augmenter le nombre d’éléments piézocéramiques
augmente le diamètre moyen mais réduit beaucoup la largeur de la distribution.
Ce dernier effet est prédit par la théorie. En effet l’application du formalisme
d’entropie maximale indique que le coefficient de variation de la distribution
diminue avec l’augmentation du rapport de diamètres moyens D30 /D32 .
Ces essais ont ainsi permis d’apporter la confirmation expérimentale du fait que la
largeur de la distribution (exprimée à travers le coefficient de variation) est
étroitement liée au rapport des diamètres D30 /D32.
Le formalisme d’entropie maximale combiné à l’analyse des instabilités de surface
constitue une méthode théorique performante pour décrire les sprays quelque soit
leur type et l’origine de l ‘énergie impliquée. Pour s’affranchir totalement de
l’expérience il faudrait cependant que les études non-linéaires des instabilités de
surface aboutissent. Ceci va certainement se produire dans les années à venir pour
le cas d’instabilités simples (comme le jet de Rayleigh) ou fort étudiées (comme les
ondes de Faraday).
Une voie nouvelle pour la classification des sprays et leur modélisation en termes
d’efficacité énergétique s’ouvre avec l’application du FEM basé sur l’entropie de
Tsallis dont l’exposant pourrait à l’avenir permettre de résumer en un seul chiffre le
type de mécanisme de pulvérisation.
Quant à la pratique, nous espérons tous voir un jour les pulvérisateurs
ultrasoniques au design calqué à la demande sur la distribution de taille de
gouttes souhaitée, faire partie d’un quotidien qui ne sera plus dominé par la
technologie de « l’à peu près » et de « l’essai - erreur » !
7.1
7.7.7.7. BBBBIBLIOGRAPHIEIBLIOGRAPHIEIBLIOGRAPHIEIBLIOGRAPHIE
Chapitre 2
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7.4
40. Shore J.E. and Johnson R.W., "Axiomatic derivation of the principle of
maximum entropy and the principle of minimum cross-entropy", IEEE
Transactions on Information Theory, IT-26, p.26-37, 1980.
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and its applications to the maximal entropy problem, , , , Ch. Phys. Letters, vol.53,
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42. Agmon Y., Alhassid N. and Levine R.D. . . . An algorithm for finding the
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1977
43. Sellens R.W.... "Drop size and velocity distribution in sprays. A new approach
based on the maximum entropy formalism", Ph.D thesis, Univ. of Waterloo,
1987.
44. Li X. and Tankin R.S., " " " "Derivation of droplet size distribution in sprays by
using information theory", Comb. Sci. Technol., vol.60, p 345-357, 1988.
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46. Cousin J. - "Prédiction des distributions granulométriques par le formalisme
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Université de Rouen , 1996.
47. Malot H. and Dumouchel C., Volume-based drop size distribution :
derivation of a generalized gamma distribution from the application of the
maximum entropy formalism, , , , ILASS-Europe 1999.
48. Li X., Chin L.P., Tankin R.S., Jackson T., Stutrud J. and Switzer G.,
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entropy for sprays from a pressure atomizer ", Comb. and flame, vol.86, p 73-
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49. Ahmadi M. and Sellens R.W., " " " "A simplified maximum-entropy-based drop
size distribution", Atom. And sprays, vol.3, p291-310, 1993.
50. Harari R, Sher E, Bimodal drop size distribution behavior in plain-jet airblast
atomizer sprays, Atomization and sprays, 8, 349-362, 1998.
A.1
ANNEXE 1A. ETUDE DU PHENOMENE D'ECHAUFFEMENT
Lors des essais de pulvérisation de fluides visqueux (mélanges à 50% et 75% de
glycérine) un échauffement se produit durant le passage du fluide dans
l’amplificateur du pulvérisateur. La différence de température entre l’entrée et la
sortie du fluide est d’environ 2°C pour l’eau ( µ = −10 3 Kg/ms) et de 15°C pour le
mélange à 50% de glycérine ( µ = ⋅ −6 10 3 Kg/ms). Les mesures de température ont
été réalisée à l’aide d’un thermocouple placé dans le spray.
Un schéma du système est présenté ci-dessous.
Pour l’étude des paramètres d’un écoulement avec transfert de chaleur on dispose
des équations suivantes:
• Continuité (conservation de masse) rapportée à l’élément de volume. • Navier-Stokes (conservation de la quantité de mouvement).• Conservation d’énergie.
Les équations de Navier-Stokes et de l’énergie comprennent des termes de
dissipation visqueuse (travail des contraintes de cisaillement τ). Pour l’eau il est
Entrée fluide
Sortie fluide
Figure 1. Schéma du système
Eléments piézo-électriquesAmplificateur
A.2
habituel de les négliger mais dans le cas de fluides visqueux et pour des grands
gradients de vitesse à la frontière ces termes peuvent devenir importants.
La forme des termes de dissipation visqueuse est donnée par la loi constitutive qui
régit le comportement du fluide. Ici les fluides ont été considérés newtoniens. Les
contraintes de cisaillement sont donc proportionnelles aux gradients de vitesse, la
constante de proportionnalité étant la viscosité dynamique du fluide:
τ µ ∂∂xy
xvy
= (1)
En tenant compte de la loi de Newton (1) et en supposant ρ = ct. , k ct= . et
p ct= . les équations peuvent s’écrire:∂∂
∂∂
∂∂
vx
vy
vz
x y z+ + = 0 (2)
ρ ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
µ ∂∂
∂∂
∂∂
ρ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
µ∂∂
∂∂
∂∂
ρ ∂∂
∂∂
vt
v vx
v vy
v vz
vx
vy
vz
vt
vvx
vvy
vvz
vx
vy
vz
vt
v vx
v
xx
xy
xz
x x x x
yx
yy
yz
y y y y
zx
zy
+ + +
= + +
+ + +
= + +
+ +
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∂∂
∂∂
µ ∂∂
∂∂
∂∂
vy
v vz
vx
vy
vz
zz
z z z z+
= + +
2
2
2
2
2
2
(3)
ρ ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
µ ∂∂
∂∂
∂∂
µ ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
C Ttv T
xv T
yv T
zk T
xTy
Tz
vx
vy
vz
vy
vx
vz
vx
p x y zx
y z x y x z
+ + +
= + +
+
+
+
+
+ +
+ +
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2
2
+ +
2 2∂∂
∂∂
vz
vy
y z (4)
L’équation de l’énergie (4) nous indique que la modification de la température
d’un liquide en écoulement a pour causes:
- le transfert de chaleur;
- l’échauffement visqueux.
Cette équation devrait permettre d’établir l’évolution de la température du liquide
dans l’amplificateur du pulvérisateur. Cette équation est couplée aux équations (1)
et (2) qui donnent les paramètres de l’écoulement.
A.3
Pour analyser l’écoulement de la figure 1 il faut transformer les équations en
coordonnées cylindriques, l’axe z étant considéré sur l’axe du pulvérisateur. En
négligeant la zone des piézos le schéma de l’écoulement est celui de la figure 2.
Pour cet écoulement nous avons:
v v v vv vv v r t
r z
r
z z
== ==
( , , )
( , )
θ
θ 0 (5)
Nous négligeons l’effet des forces gravitationnelles. Après la transformation en
coordonnées cylindriques nous obtenons:
rv
rrv
tv zzz
∂∂
∂∂
∂∂
µρ 1
2
2+= (6)
ρ ∂∂
λ ∂∂
∂∂
µ ∂∂
∂∂
∂∂
µρ
∂∂
ρλ
∂∂
C Tt r r
r Tr
vr
Tr r
Tr
vr
C Tt
pz
z p
=
+
+ +
=
1
1
2
2
2
2 (7)
A cause de la difficulté de résolution des équations aux dérivées partielles non-
linéaires et il est préférable de commencer à étudier les effets des vibrations
ultrasoniques sur la température du fluide sur un modèle simple: la plaque plane
Figure 2. Schéma de l’écoulement
D= 5 mmd=1.5 mm
Entrée fluide
Sortie fluide
r
z
θ
A.4
infinie. Nous considérons une plaque plane d’étendue infinie effectuant un
mouvement oscillatoire dans son propre plan (figure 3).
Dans ce cas v v y t vx x y= =( , ); ;0 et les équations (2) se réduisent à:
ρ ∂∂
µ ∂∂
vt
vy
x x=2
2 (8)
Renonçons à l’indice x et introduisons la viscosité cinématique ν µ ρ= .
Cherchons la solution par la méthode de séparation des variables en posant:
v y t T t Y y( , ) ( ) ( )= (9)
En remplaçant les dérivées dans (8) nous obtenons:
′ = ′′ = =TT
YY
k constυ . (10)
En intégrant séparément les deux équations ci-dessus nous obtenons:
T C kt
Y C y k C y k
=
= −
+
1
2
12
3
12
exp( )
exp expυ υ
(11)
L’expression de la vitesse devient donc:
y
x
v(0,t)=Vexp(iωt)
Figure 3. Schéma pour la plaque plane
A.5
++
−= ykktCykktCtyv2
1
52
1
4 expexp),(υυ
(12)
Les constantes kCC et , 54 sont définies par la condition à la limite à la paroi.
On obtient:
;;)exp()exp()(),0(
54
321
ωω
ikVCCtiVktCCCtv
==+=+=
(13)
En tenant compte que:
i i iωυ
ωυ
π ωυ
=
= ±
+
12
12
12
4 21exp ( ) (14)
La partie réelle de la solution (4.15) devient donc:
+
−= yCyCtyv2
1
52
1
4 2exp
2exp),(
υω
υω
(15)
Etant donné que v y→ → ∞0 quand , la constante 05 =C . Par conséquent l’expression de la vitesse du fluide au-dessus de la plaque planeinfinie est:
v y t V y i t y( , ) exp= −
+ −
ωυ
ω ωυ2 2
12
12
(16)
On applique à la plaque plane une oscillation identique à celle ultrasonique
appliquée à l’amplificateur du pulvérisateur. Selon le type de fluide (eau ou
mélange à 50% de glycérine) nous obtenons la variation de vitesse présentée à la
figure 4. Les paramètres introduits dans l’équation sont les suivants:
f kHz f sA m V A m scf m T f s
kg m kg meau gly
= = = ⋅= = =
= = = = ⋅
= =
−
−
50 2 106 5 2 042
01 1 2 10
1000 1130
5 1
0 05
350
3
ω π πµ ω
λ
ρ ρ
. ..
La figure 4 nous montre que la perturbation à la paroi s’amortit très vite. La
pénétration est au maximum 0.01mm, très petite par rapport au diamètre
intérieur de l’amplificateur. Nous pouvons donc considérer que l’étude de la
plaque plane de mêmes dimensions que la surface intérieure du tube nous
A.6
donnera une bonne approximation de la chaleur dégagée par dissipation
visqueuse.
Considérons l’équation d’énergie (3) appliquée à la plaque plane:
ρ ∂∂
λ ∂∂
µ ∂∂
C Tt
Tx
vypx= +
2
2
2
(17)
Dans cette équation considérons uniquement le terme dû à la dissipation
visqueuse:
q vyvix=
µ ∂
∂
2
(18)
En introduisant la partie réelle de la vitesse (16) dans (18) nous obtenons:
q V t y yvi = − −
−
2 12
12
21 2
2 2ωρ ω ωυ
ωυ
sin exp (19)
La figure 5 présente la variation de l’énergie dissipée par unité de volume en
fonction du temps et de la distance par rapport à la plaque plane, pour l’eau et
pour le mélange à 50% glycérine.
Si on suppose que toute la chaleur dégagée par dissipation visqueuse demeure
dans le fluide (plaque plane isolante) le flux de chaleur par unité de surface de
paroi vibrante est:
QT
q dtdyvi vit
t T
y
y l
==
=
=
=
1
00
(20)
L’évaluation de l’intégrale double a donné les résultats suivants:
2%50
2 2287;826 mWQmWQ geau ==
L’augmentation de température est:
pcQT
Ψ=∆
ρ (21)
Utilisons les données dimensionnelles de l’amplificateur du pulvérisateur pour
évaluer l’augmentation de température d’un volume Ψ de fluide de mêmes
dimensions que le canal intérieur du pulvérisateur:
A.7
Débit volumique V l h= 1
Surface ( )S Dl m= = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− − −π π 15 10 30 10 14137 103 3 6 2. .
Volume ( ) 393
2321001.531030
4105.1
4mlD −−
−⋅=⋅⋅⋅==Ψ ππ
Temps de séjour sVt 2.51001.53360010
9
3=
⋅=
Ψ=∆
−
−
CctSQ
T
CctSQ
T
pg
gg
peau
eaueau
°=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
Ψ∆
=∆
°=⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=Ψ∆
=∆
−
−
−
−
4.1027501001.5311301037.1412.52287
7.241801001.531000
1037.1412.5826
9
6
%50
%50%50
9
6
ρ
ρ
On peut donc conclure que le phénomène de dissipation visqueuse devient
important lorsqu’il y a association de deux facteurs: haute viscosité et vibration de
très haute fréquence à la paroi. L’échauffement qui survient lors de la pulvérisation
ultrasonique peut être très utile pour développer des applications de spray de
liquides visqueux. En effet un échauffement de 10°C diminue la viscosité
cinématique de la solution à 50% glycérine de 30% :
υ υ206 2
306 25 26 10 379 10°
−°
−= ⋅ = ⋅. .m s m s .
A.8
Figure 4. Variation de la vitesse en fonction de la distance y (de la plaque) et du temps.
A.9
Figure 5. Variation de la dissipation visqueuse en fonction du temps et de la distance y (de
la plaque).
A.10
A.11
ANNEXE 1B : Article présenté à la conférence ExHFT 1997 – Bruxelles
EXPERIMENTAL STUDY OF THIN LIQUID FILM ULTRASONIC ATOMIZATION
D. Sindayihebura, M. Dobre and L. BolleUniversité catholique de Louvain
Department of Mechanical EngineeringPlace du Levant, 2 - 1348 Louvain-la Neuve
Belgium
ABSTRACT
Ultrasonic atomization of liquids results from the unstable surface waves generated at the level of the thin liquid film thatforms as the liquid spreads over the atomizing surface. This work continues our experimental analysis of both the thin liquidfilm disintegration phenomena and the ultrasonic atomizer sprays. The unstable surface waves, which are responsible for thedroplets formation, are investigated using a high-speed camera technique at high magnification in order to get a goodunderstanding of their effects on the droplets size. Laser techniques allow measurements of droplet parameters, Fraunhofferdiffraction for size distribution and Doppler effect for velocities. The effects of the working conditions on the spraycharacteristics are pointed out as well as those of the liquid properties.
1. INTRODUCTION
Ultrasonic disintegration of liquids into droplets resultsfrom the unstable surface waves generated at the free surfaceof a thin film that forms as the liquid spreads over theatomizing surface. This disintegration technique is mainlycharacterized by a fine atomization, a low spray velocity anda simple liquid feeding equipment. Ultrasonic atomizers arewell suited for medical sprays, techniques such ashumidification, combustion, and drying, applications inagriculture, metallic powders production and surface coating. Some experimental investigations dealing with ultrasonicatomization are available in the literature: Lang (1962),Fogler and Timmerhaus (1965), Topp (1973), Chiba (1979),Bendig (1988),... The results presented show clearly thatwhen the amplitude and the frequency of the acoustic fieldare tuned, unstable surface waves occur on the liquid freesurface and give rise to droplets formation. The dropletdiameter decreases by an increase of the working frequency.However, the lack of information on some operatingconditions does not allow to have a good understanding ofthe effects of both the liquid properties (surface tension,viscosity) and the displacement amplitude of the atomizingsurface. To our knowledge, no author has ever measured thedroplets velocity. Although all the authors agreed on the factthat surface waves do play a major role in the process ofultrasonic atomization, very little work has been done on thenature of the surface waves which generate the droplets. Surface waves induced on the horizontal free surface of aliquid subject to vertical vibrations have been studied byFaraday (1831), Rayleigh (1894), Benjamin and Ursell(1954), Christiansen et al. (1992), Edwards and Fauve(1994),..., for working frequencies ranging from 2 to 550Hz.
Unexpected structures of the surface waves have beenobserved when the amplitude of the applied driving forceexceeds a critical value. Parallel lines, squares, circles andhexagons can be observed both for rectangular and circulargeometrical configuration of the liquid free surface as if theboundaries did not have any effect at all. In a recent studydevoted to the analysis of the surface waves induced on thefree surface of a thin liquid film for high working frequencies(ranging from 30 to 60 kHz), Sindayihebura and Bolle(1995 a) observed very regular square standing waves whichdid not exhibit strong sidewall effects. They did not detectsurface waves patterns like spiral patterns, hexagons andquasi-patterns which occur when liquids are subjected to lowfrequency vibrations. The present work provides an analysis of both the freeliquid film behavior in the last step prior to the dropletsformation and the spray characteristics. An experimentalvalidation of the theoretical description of the thin liquid filmultrasonic disintegration is given. Measurements of thedroplets velocity are presented for different workingconditions. A link between the spray characteristics and thoseof the standing surface waves which give rise to the dropletsformation is established. The effects of the liquid propertieson the droplet diameters are also shown.
2. DROPLET FORMATION MECHANISM
When a liquid is delivered to the atomizing surface, a thinliquid film, the thickness of which varies from 80 to 300 µmaccording to the liquid flow rate (Cousin et al., 1997), formsas the liquid spreads out. Standing surface waves appear onits free surface when the amplitude of applied vibrating force
A.19
ANNEXE 2: Article présenté à la conférence ILASS-Europe 2001 - Zurich
TSALLIS GENERALIZED ENTROPY AND MAXIMUM ENTROPYFORMALISM FOR SPRAY DROPS SIZE DISTRIBUTION
FUNCTION PREDICTION
Miruna Dobre and Léon Bolle
Université catholique de LouvainUnité TERM - Place du Levant, 2
1348 - Louvain-la-Neuve - Belgium
ABSTRACTIn sprays theoretical characterization, a difficult step is to find the most likely drops size probability distribution
with respect to the known mean diameter and the type of atomization. The classical procedure consists of fitting ananalytical function (for ex. Rosin-Rammler) on experimental data. Another more logical and more physicalmeaningful approach is to apply the maximum entropy formalism (M.E.F.), a widely used method which allows tochoose among all the possible probability distributions the most suitable to the available knowledge about thephenomena. The classical M.E.F., states that, when given some information about a stochastic process (for ex.,given the mean diameter of the spray), the probability distribution that agrees the best with that information isobtained by maximizing Shannon's entropy ( ( ) lniS p k p pi i= ) subject to the given constraints (written in form ofconservation laws). Shannon's entropy , besides other required properties, is additive. Additivity is not a necessarycondition for a function to be a measure of uncertainty of a probability distribution. Several authors suggested someother non-additive (non-extensive) forms of entropy. Tsallis introduced a generalized pseudo-additivefunction : ( ) ((1 /( 1))i
qiT p k p q= − − . Tsallis entropy is applied to an increasing number of physical problems. It has
been showed that generalized entropy predicts well physical systems involving long-range interactions (anomalousdiffusion, granular systems,…). Violent break-up in sprays, fragmentation with high energies, leads to long-rangeinteractions between liquid elements. Spraying regimes where high energies are involved (high pressure or highvelocity) may be well depicted by power law distributions as obtained from the Tsallis entropy. An atomizerworking at low pressure will follow an exponential Shannon law but when increasing pressure the distribution tendsto power Tsallis law, revealing scaling. Tsallis nonextensivity parameter q may also be used in order to classifybreak-up regimes in sprays.
INTRODUCTIONThe common approach used to determine droplets size distribution in spray research is based on extensive
measurements followed by a best-fit procedure in order to find an analytical probability density function (pdf). Thechoice of the suitable pdf (Rosin-Rammler, log-normal, log-Boltzmann, etc…) is only based on best fit : it cannot befounded upon neither physical nor logical basis. This common approach provides no physical link between theatomization parameters (type of atomizer, liquid properties) and the resulting spray characteristics.
Provide a probability distribution function closely related to the physics of atomization can be achieved bymeans of the maximum entropy formalism (MEF) proposed by Jaynes [1]. This statistical widely used methodallows to choose among all the possible probability distributions the most suitable one with respect to to theavailable knowledge about the phenomena. The MEF is applied to sprays since 1986 (precursors are Sellens andBruztowski [2] and Li and Tankin [3]) in order to predict droplets size and, eventually, velocity probabilitydistributions. The MEF states that, when given some information about a stochastic process (for ex., given the meandiameter of the spray), the probability distribution that agrees the best with that information is obtained bymaximizing Shannon's information entropy (S) subject to constraints describing the available knowledge. Theconstraints are usually physical conservation laws (mass, momentum, energy). The same formalism is widely usedin other fields such as astronomy, biological systems, financial data and always yields exponential type distributions.As many of the empirical laws already used in atomization are exponential laws, the MEF based on Shannonentropy suits well spray prediction. But nature does not exhibit only exponential laws and power laws may occur inphenomena like anomalous diffusion, fragmentation, granular matter, self-gravitating systems, etc.. As an attempt totheoretically solve such "anomalies", Tsallis [4] proposed in 1988 a new form of entropy which fulfills all therequirements of an entropy function but is not additive as the Shannon entropy. Additivity is not a necessarycondition for a function to be an entropy and many types of pseudo or non-additive entropy expressions wereproposed in past years [5]. Tsallis entropy (T ) is a generalized entropy; Shannon entropy is a limiting case of it.
A.23
ANNEXE 3: Article publié dans la revue Experimental Termal and fluid Science 26 (2002) p.205-211
INTRODUCTION
Ultrasonic driven atomizers provide a mist-like spray(typical mass mean diameter 30 20D µm= ) with a particularlynarrow droplet size distribution and very low spray velocity(typical axial mean droplet velocity 1m s=v ). Together withits low energy consumption (4W) and no-clogging qualities,these properties are very useful in applications like air-conditioning, aerosols (drugs or perfume delivery), thincoatings, etc…
The theoretical phenomenological aspects of ultrasonicatomization were intensively studied in past years [1, 2, 3, and4]. Formulae for mean droplet diameter prediction wasderived based on stability studies [1]. Furthermore spraycomplete characterization (droplet size distribution) by meansof a stochastic algorithm (maximum entropy formalism) wasachieved [2]. Meanwhile, experimental tests involving severalfluids established the influence of liquid properties on sprayquality [3].
Spray characteristics theoretical prediction involves asparameters the atomizer resonant frequency and liquidproperties. Droplet size is not affected by flow rate but thereis a maximum flow rate above which pulverization is no moreachieved. In order to increase the upper limit flow rate (toolow for applications like air conditioning) severalmodifications of the prototype atomizer are tested. The firstone is the increase of resonant atomizer surface area obtainedby changing its shape (spherical, conical) or by increasing thesize of the entire atomizer. The second one is the increase ofsurface ultrasonic wave amplitude in order to overcomedamping in the liquid film.
Nor atomizer size neither resonant surface area areinvolved in present spray prediction theory. Will suchchanges affect droplets mean diameter or size distribution?
To answer that question and to find the most efficient wayto increase maximum flow rate an experimental work hasbeen completed. Mean droplets diameter and standarddeviation of the droplets size distribution were measured(using a Fraunhofer diffraction granulometer) together withthe maximum flow rate reached with the modified geometriesand input wave. The results permitted to refine sprayprediction and to design optimum maximum flow rateultrasonic atomizer.
ULTRASONIC ATOMIZATION: STATE OF THE ART
A typical ultrasonic atomizer (as shown in figure 1) ismade of two piezoelectric discs tighten between mechanicalamplifying element and a support element. On the activeresonant surface (the amplifier's tip) a thin liquid film isformed.
Figure 1. Ultrasonic atomizer
When approaching resonance frequency a square wavepattern forms onto the liquid surface (as reported in [1]).
PRACTICAL DESIGN OF ULTRASONIC SPRAY DEVICES: EXPERIMENTALTESTING OF SEVERAL ATOMIZER GEOMETRIES
M. Dobre and L. Bolle
Department of Mechanical Engineering - Université catholique de LouvainPlace du Levant, 2, 1348 - Louvain-la-Neuve, Belgium
http://www.term.ucl.ac.be
ABSTRACT
Ultrasonic atomization generates a mist-like uniform spray. Each particular application (air conditioning, drugs delivery,combustion,…) has specific requirements in terms of mean droplet size, spray shape, spray velocity and liquid flow rate.Forcing frequency and liquid properties are the main factors affecting mean droplet diameter and droplets size distribution.Physical and statistical modeling is applied to predict spray characteristics or to design specific atomizers for required dropletsdimensions. Initial droplets velocity is mainly determined by input power. Flow rate is limited by atomizers active surface area.Present work is focusing on flow rate maximization. Several atomizer geometries have been designed in order to vary forcingwave parameters and to maximize atomizer active surface area. Tests involve droplets size distribution measurements byFraunhofer diffraction. The maximum possible flow rate without affecting spray parameters is also investigated for eachspecific atomizer geometry. Present measurements add to past theoretical and experimental results in order to improvepractical flexible design of ultrasonic atomizers with respect to operating condition and spray quality requirements. Anadequate atomizer design will provide the complete required spray characteristics, droplets mean diameter and size distributionas well as initial velocity and maximum flow rate.
Piezoelectric disks
Resonantsurface
Amplifier
Support
~
Liquid feedingchannel
Powerinput