cap.iv.unde elastice

Download Cap.iv.Unde Elastice

Post on 17-Dec-2015

221 views

Category:

Documents

1 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Fizica

TRANSCRIPT

  • CAP. IV. UNDE ELASTICE Un mediu elastic este un mediu continuu format din particule care interacioneaz. Dac una din ele ncepe s oscileze perturbaia se transmite i celorlalte. Unda elastic reprezint propagarea unei perturbaii mecanice ntr-un mediu elastic, fenomenul fiind descris de variaia n timp i spaiu a unor mrimi fizice caracteristice punctelor mediului (presiune, densitate, deplasare, vitez de oscilaie etc.). Pentru mrimile vectoriale unda elastic poate fi longitudinal sau transversal. Undele elastice nu se propag n vid. IV.1. Ecuaia de propagare a undelor longitudinale Fie un element de mas m, delimitat pe axa Ox ntre x i x + x, ntr-un mediu solid, elastic i ideal (Fig.IV.1). n urma propagrii undei elastice se produce o deplasare i o deformare a acestui element, el fiind acum delimitat de x + (x, t) i x + x + (x + x, t); x este foarte mic. Masa m este constant. Presiunea p se modific cu (presiunea produs de und), iar densitatea se modific cu

    up

    u .

    Fig. IV.1. Deformarea elementului de volum V n propagarea undei elastice longitudinale. Mediul fiind elastic, este valabil legea lui Hooke: E= (IV.1) unde

    SF= = efort unitar,

    0ll= = deformaie specific (alungire relativ), iar E este

    modulul de elasticitate de-a lungul axei Ox. Dezvoltm deplasarea (x + x, t) n serie Taylor n jurul lui x: ( ) ( ) ....,, +

    +=+ xx

    txtxx , reinem primii doi termeni i calculm alungirea elementului considerat:

  • ( ) ( ) xx

    txtxx += ,,l (IV.2)

    Deoarece rezult c deformaia specific este: x=0l x= (IV.3)

    Dezvoltm efortul unitar (x + x, t) n serie Taylor n jurul lui x: ( ) ( ) ....,, +

    +=+ xx

    txtxx , reinem primii doi termeni i calculm fora rezultant care acioneaz asupra elementului m:

    ( ) ( )[ ]x

    xStxtxxSF += ,, (IV.4)

    Dar: xSVmamF === ; , iar 22

    ta

    = ; introducnd aceste rezultate n relaia (IV.4) obinem:

    22

    tx =

    (IV.5)

    Difereniem legea Hooke x

    EE == n funcie de x:

    22

    2

    2

    tEx =

    (IV.6) Relaia (IV.6) reprezint ecuaia de propagare a undelor elastice longitudinale i are forma (III.3) din teoria general a undelor. Din identificarea acestor forme rezult viteza de propagare a undelor elastice longitudinale:

    Evlong = (IV.7)

    Pentru unda armonic plan soluia ecuaiei (IV.6) este: sau ( ) ( kxtiAetx = , ) ( ) ( )kxtAtx = cos, (IV.8) care descrie unda de deplasare longitudinal (A este amplitudinea acestei unde; alegem 0 = 0, pentru simplificarea calculelor).

    - 66 -

  • Alte mrimi fizice perturbate de unda elastic, care satisfac ecuaii de tipul (IV.6), sunt: unda de vitez de oscilaie (u)

    ( ) ( ) + ==

    = 2, kxtikxti AeAeit

    txu sau ( ) ( kxtAtxu )= sin, (IV.9)

    a maxim de oscilaie a particulelor mediului (amplitudinea

    unda de acceleraie (a)

    unde Au =max este vitezundei de vitez).

    ( ) ( ) ( + === kxtikxti AeAe

    tutxa 22, ) (IV.10)

    axim a micrii de oscilaie a particulelor mediului ).

    unda de deformare elastic ()

    sau ( )kxtA cos (IV.10') unde Aa 2max = este acceleraia m

    ( )txa =, 2

    (amplitudinea undei de acceleraie

    ( ) ( ) ==

    = 2, kxtikxti kAeikAex

    tx sau ( ) ( )kxtkAtx = sin, (IV.11)

    este deformaia specific maxim a mediului (amplitudinea undei de

    n

    unde =max kAdeformare).

    e ( )up unda de presiu

    ( ) === 2, kxtiu EkAeEtxp sau ( ) ( )kxtEkAtxpu = sin, (IV.12)

    este presiunea maxim a undei elastice (amplitudinea undei de

    ate

    unde pu m, EkA=axpresiune).

    ( )=u unda de densit

    ( ) == 2, kxtiu kAetx sau ( ) ( )kxtkAtxu = sin, (IV.13)

    este densitatea maxim produs de unda elastic (amplitudinea undei de unde u max, kA=

    densitate). Observaie: deplasarea longitudinal ( )tx,r , viteza de oscilaie ( )txu ,r i acceleraia ar sunt mrimi vectoriale orientate, n exemplul discutat, pe axa Ox.

    - 67 -

  • Undele elastice longitudinale se propag att n solide, ct i n lichide i gaze.

    m nlocuiete cu

    coeficientul de compresibilitate

    n lichide propagarea undei elastice se produce asemntor cu cazul solidelor. n formula (IV.7) a vitezei de propagare odulul de elasticitate se

    TVpVK

    = , deci:

    lichidlong

    Kv = (IV.14)

    procesului de ediul ncon

    Difereniem ecuaia procesului adiabatic ( este exponentul adiabatic). Obinem

    n gaze folosim tot coeficientul de compresibilitate, K, dar deosebim dou cazuri: a) proces adiabatic (dac frecvena undei este foarte mare, n timpul propagare nu are loc un transfer de cldur ntre gaz i m jurtor).

    .constpV =

    : 0=+ pdVVdp din care: V

    p

    Q

    =dVdp

    =0, apoi: pK = .

    iteza de propagare este: V

    gazlong

    pv = (IV.15)

    Folosind ecuaia termic de stare a gazului ideal = /mRTpV molar a ( = masa gazului, R = constanta gazelor ideale, T = temperatura absolut) i Vmgaz /= obinem:

    RTp

    gaz= , iar viteza de propagare devine:

    = RTvlong (IV.16)

    a undei este mic putem presupune c temperatura rmne

    Difereniem ecuaia procesului izoterm

    b) proces izoterm (dac frecvenconstant n timpul propagrii).

    .constpV = Obinem: din care:

    0=+ pdVVdp

    VdV Tpdp = , apoi: .

    iteza de propagare este:

    pK =V

    ==RTpv

    gazlong (IV.17)

    - 68 -

  • Exemplu: sunetul este o und elastic longitudinal; el se propag prin comprimri i rarefieri succesive ale mediului elastic (Fig. IV. 2).

    Fig. IV. 2. Propagarea sunetului n aer. IV.2. Ecuaia de propagare a undelor transversale Fie un mediu solid, elastic i ideal. Mai concret, considerm o coard elastic orientat de-a lungul axei Ox i un element de coard, x foarte mic. Masa acestui element este: (dA este elementul de suprafa perpendicular pe Ox). Coarda este deformat astfel nct elementul x este scos din poziia de echilibru avnd o deplasare pe direcia Oy (perpendicular pe Ox). Perturbaia se propag dup axa Ox, antrennd i restul corzii, deci deplasarea depinde de coordonata x i de timp, (x, t).

    xdAm =

    Fig. IV.3. Deformarea elementului de coard (bar) x n propagarea undei elastice transversale. Conform Fig.IV.3 fora rezultant pe axa Oy este: ( )[ ] sinsin += dFdFy (IV.18)

    - 69 -

  • Dar: xx

    tg

    = sin , iar ( )

    xxx +

    + sin . Dezvoltm funcia sin ( + ) n

    serie Taylor n jurul lui x i reinem primii doi termeni: ( ) x

    x

    ++ sinsin)(sin (IV.19) adic:

    ....22

    +

    +

    =

    +x

    xxx xxxx

    (IV.19)

    nlocuind n relaia (IV.18) obinem:

    xx

    dFdFy

    2

    2 (IV.20)

    Dar: , unde este efortul unitar tangenial. Pe de alt parte: dAdF = 22

    tmdFy

    = . Din aceste relaii i din (IV.20) rezult:

    2

    2

    2

    2

    tx =

    (IV.21)

    Relaia (IV.21) reprezint ecuaia de propagare a undelor elastice transversale i are forma (III.3) din teoria general a undelor. Din identificarea acestor forme rezult viteza de propagare a undelor elastice transversale:

    =transv (IV.22)

    Dar: , unde este fora de ntindere din coard, iar este masa unitii de lungime.

    lmFT // = TF ll /mm =

    Pentru unda armonic plan, soluia ecuaiei (IV.21) este: sau ( ) ( kxtietx = max, rr ) ( ) ( )kxttx = cos, maxrr (IV.23) care descrie unda de deplasare transversal, cu proprietatea, esenial, 0= krr , adic vectorul deplasare transvesal r este perpendicular pe vectorul de und kr (und transversal). Undele elastice transversale se propag numai n solide.

    - 70 -

  • IV.3. Mrimi energetice n unda elastic longitudinal

    Propagarea undei elastice ntr-un mediu dat presupune un transfer continuu de energie de la surs la mediu. Energia astfel transferat se regsete n mediu ca energie de micare a particulelor mediului n jurul poziiilor lor de echilibru i ca energie potenial de deformare. Fie un element de volum V i mas m = V n mediul perturbat de o und elastic longitudinal. 1) Energia cinetic a elementului considerat este:

    ( kxtAVumEc == 2222

    sin22

    ) (IV.24) unde s-a folosit expresia (IV.9) pentru unda de vitez de oscilaie.

    2) Energia potenial a elementului considerat este: ( )2

    * 2l= kE p , unde 0

    * lSEk = este

    constanta elastic, iar 0ll = . Folosim expresia (IV.11) a undei de deformare elastic i relaia VS =0l . Rezult:

    ( kxtAVkEESE p == 2222

    0 sin22

    l ) (IV.25)

    Dar: , iar 2vE =v

    k = . Relaia (IV.25) devine:

    ( )kxtAVE p = 222

    sin2

    (IV.25')

    Se constat c cele dou energii sunt egale: pc EE = (IV.26) 3) Energia total a elementului considerat este: cpc EEEW =+= 2 (IV.27) 4) Densitatea volumic de energie este energia cuprins n unitatea de volum,

    VWw

    = ; w se msoar n J/m3. n cazul undei elastice longitudinale, folosind (IV.27) i (IV.24) n definiia mrimii w, rezult: (IV.28) ( ) ( ) 2222 sin, ukxtAtxw == 5) Densitatea volumic medie de energie, w , reprezint media pe o perioad a densitii volumice de energie:

    - 71 -

  • ( )[ ]

    222cos11 22

    0 0

    22 AdtkxtT

    AwdtT

    wT T === (IV.29)

    n Fig.IV.4 sunt reprezentate mrimile w i w n funcie de timp.

    Fig. IV. 4. Densitatea volumic de energie i valoarea ei medie n funcie de timp, pentru unda elastic longitudinal. 6) Fluxul energetic este energia transferat

Recommended

View more >