capitulo i - enl 2

5/10/2018 Capitulo I - ENL 2 - slidepdf.com

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ECUACIONES NO LINEALES (ENL)ECUACIONES NO LINEALES (ENL)

INTRODUCCIÓN

Los métodos numéricos para encontrar las raíces de Ecuaciones No Lineales van

desde las más simples, pero menos precisas, a otras con mayor complejidad pero no

siempre más exactos.

Les vamos a presentar los métodos de un punto y los que requieren de más de dos

puntos. Esperamos que al concluir el capítulo haya comprobado la aplicabilidad de

cada uno de los métodos. Por ejemplo la rapidez del método del punto fijo si se ha

elegido la ecuación equivalente correcta o la necesidad de hallar la primera derivadapara aplicar el Método de Newton Raphson para mayor precisión, siempre y cuando

no se presenten oscilaciones por una inadecuada elección de los valores iniciales.

A menudo en el planteamiento de los fenómenos físicos y químicos a través de

modelos matemáticos en Ingeniería Química, se producen ecuaciones no lineales

generalmente de grado 2 o mayor, con exponentes fraccionarios o una ecuación

trascendental.

1.1 CAPACIDADESCapacidad General:

Al finalizar la asignatura:

El estudiante conoce los métodos para hallar la solución numérica de las ecuaciones y

sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, algebraicas y diferenciales y los aplica a

la comprensión e interpretación de los fenómenos físicos y químicos y de los datos

experimentales del laboratorio, desarrolla los algoritmos haciendo uso del Excel y

MatLab.

Capacidades Específicas:

A partir de la observación y el análisis de algunos fenómenos físicos y químicos

identifica las ecuaciones no lineales y aplica los métodos adecuados, elabora y

programa el algoritmo para hallar la solución numérica, con la aproximación de 10-4.

Compara los métodos de solución.

Contenidos

1



Contenidos Conceptuales ContenidosProcedimentales

ContenidosActitudinales

•Solución numérica de

ecuaciones no lineales.-

Raíces reales: Métodos de

Punto fijo.- Newton-

Raphson, Secante, Falsa

posición, Bisección.

•Solución numérica de

ecuaciones no lineales:

Raíces complejas: Método

de Newton–Raphson,Müller.

•Polinomios sus

ecuaciones. Método de

Horner

• Identifica las ecuaciones no

lineales.

•Aplica los métodos para

encontrar las raíces reales

e imaginarias, con una

aproximación de 10-4.

•Evalúa un polinomio y su

derivada para valores

iniciales.

•Trabaja en equipo y

comparte información

con sus compañeros.

•Se interesa por los

resultados de la

aplicación de los

métodos.

•Demuestra

responsabilidad y

puntualidad en lapresentación de sus

trabajos.

1.2 ECUACIÓN

Es la igualdad de dos expresiones matemáticas, donde existe por lo menos una

variable y se clasifican según su estructura en:

a) Ecuaciones algebraicas

Ejemplos:

Lineales: 2085 =− x Polinomiales: 07152 5 =+− x x

Irracionales: 12154 −=−− x x Fraccionarias: 8450

112 2 +=−−

x x ,

x

b) Ecuaciones no algebraicas o trascendentales

Ejemplos:

Exponenciales: 0753 5 =+− x x

Trigonométricas: x x

sen cos5

7 =

π

+

Logarítmicas:x

xLn =

1

3 2

2



En este capítulo trataremos sobre la resolución de ecuaciones no lineales,

encontrar las raíces de estas ecuaciones como las polinomiales (de grado 2 o

mayor), irracionales, fraccionarias y las trascendentes.

3.5 MÉTODOS DE SOLUCIÓN

En los textos encontramos una serie de métodos para la resolución de ENL,

pero específicamente se pondrá énfasis en los siguientes métodos ya que son

utilizados con mayor frecuencia en la Ingeniería Química. Usted encontrará diversos

métodos en la bibliografía citada al final del capítulo.

1.3.1 MÉTODOS DE UN PUNTO

Denominados así porque sólo requieren de un solo valor inicial para la iteración

del método.

A. MÉTODO DEL PUNTO FIJO

Es un método de sustituciones sucesivas, empezaremos el análisis de una

ecuación general de la forma:

0)( = x f (1.1)

En ingeniería es importante encontrar una raíz de la expresión (1.1), el primer paso es transformar esta expresión a otra de la forma:

)( x g x = (1.2)

Entonces empezamos las iteraciones con un valor inicial 0 x para obtener otro

i x ; evaluamos el valor absoluto de su diferencia con un valor de tolerancia ( ε ) que

nosotros asumiremos arbitrariamente.

Si la diferencia es menor que la tolerancia ( )ε<−+ i i x x 1 se da por terminado

el método, si no es ese el caso pasamos a reemplazar i x en la expresión (1.2) para

obtener un nuevo valor 1+i x y analizamos de la misma manera el valor absoluto de

su diferencia con i x en la tolerancia.

) x ( g x i i =+1 (1.3)

A.1 Criterio de convergencia

Una de las desventajas de este método es la convergencia, ya que se requiere

de destreza para encontrar una función g(x) y un 0 x que hagan posible la solución de

la ecuación, entonces existe el criterio de convergencia:

3



10 < ) x ( ' g (1.4)

Ejemplo de Aplicación 1.1

Encontrar una raíz para la siguiente ecuación en el intervalo [-1; 2]:

0=− x tane x

Asúmase como tolerancia 410

−=ε

Solución:

Si no se tiene un 0 x , se grafica la expresión 0=−= x tane ) x ( f x en un software

como el MATLAB y decidir un valor cercano a la raíz:

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-3

-2

-1

0

1

2

3

x

exp(x)-tan(x)

Raíz

De la gráfica podemos seleccionar como 0 x = 1 .Como segundo paso formularemos

una serie de g ( x ) y analizaremos 1)('0< x g .

Figura 1: Gráfica de la función 0=− x tane x

Tabla 1: Comparación del criterio de convergencia

N ( )g x )(' x g (' 0 x g

1 Ln[tan(x)] x tan

x sec 2

2,1995

2

x tan

e x

+−1(

2

2−

x tan

sec x tane x

1,0936

3 x tan

e x

−2

1

2

(2

2

2− x tan

sec x tane x

0,0468

Como se puede observar la ecuación (3) es la que cumple el criterio 1)('0 < x g ,

pasamos a hacer nuestra primera iteración:

x x tan

e ) x ( g

x

+−=2

1

2; 0

x = 1 ; 410 −=ε

Iteración: i = 0 )(01

x g x =

4



3726944,112

1

1tan2

1

1=+−=

e x

Verificación: ε<−+ i i x x 1

4

01

1037269440

37269440137269441

−=ε>

=−=−

,

,, x x

Empezamos una nueva iteración tomando el nuevo valor 1 x = 1,3726944 para el

cálculo de 2 x a partir de ) x ( g x 12 = . Se tiene el siguiente resumen:

Tabla 2: Resultados del ejemplo 1.1

PROGRAMA DEL EJEMPLO DE APLICACIÓN 1.1

clcdisp(' Ejemplo de Aplicación 1.1 ')disp(' ------------------------- ')format longn_f='0.5*(1-sqrt((4/1.6866)*x^3/(1+x)))';

x0=0.4;i=1;e=1;disp(' ')disp(' Iteración x(i) |x(i+1)-x(i)| ')while e>=10^-4

x=x0;r=eval(n_f);e=abs(r-x0);disp([i r e])x0=r;i=i+1;

end

Iteración(i

)i x i i x x −+1

1 1,3726944 0,3726944

2 1,2687409 0,10395353 1,3228055 0,05406464 1,2980595 0,02474615 1,3102283 0,01216896 1,3044294 0,00579897 1,3072367 0,00280738 1,3058877 0,00134909 1,3065383 0,000650610 1,3062251 0,000313311 1,3063760 0.000150912 1,3063033 0,0000727

5



El proceso acaba en la iteración 12, dando como valor = x 1,3063033.

Figura 2: Interfaz Gráfica (GUI) del método del Punto Fijo en Matlab

B. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

Este método es uno de los más eficaces para la resolución de ENL, suvelocidad de convergencia es de orden 2. Su desventaja es el conocimiento previo de

la primera derivada de la función )( x f .

B.1 Interpretación geométrica del método Newton-Raphson

Observemos la gráfica de una función )( x f cualquiera que se quiere calcular

su respectiva raíz:

Figura 3: Representación gráfica del Método Newton-Raphson

Entonces definimos:

x x x

x x x

∆−=

−=∆

01

10(1.5)

6



La pendiente de la tangente a la curva en el punto ( )( )00

; x f x viene dado por:

( )( ) x

x f x ' f

∆= 0

0 (1.6)

Reordenando (1.6) y reemplazando (1.5) se obtiene:

( )0

0

01

0

0

'

)(

)(')(

x f

x f x x

x f x f x

−=

=∆(1.7)

En general:

( )( )i

i i i

x ' f

x f x x −=+1 (1.8)

El proceso acaba cuando:ε<−+ i i x x 1

B.2 Criterio de convergencia

La condición de convergencia se define como:( ) ( )

( )[ ]1

2

00 < x ' f

x ' ' f . x f


Encontrar las raíces para el siguiente polinomio:

0126153 =−− x x

Asúmase como tolerancia 410

−=ε

Solución

Graficando el polinomio para obtener 0 x observamos que sólo se tiene una

intersección con el eje x, esto quiere decir que se tiene 1 raíz real y 2 raíces

imaginarias:

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

x

x3-15 x-126

Raíz

Figura 4: Gráfica del polinomio 0126153 =−− x x

Para obtener la raíz real asumimos un 0 x = 5, si ( ) 0126153 =−−= x x x f

( ) ( ) 76126515530 −=−−= x f ; ( ) 153 2 −= x x ' f ; ( ) ( ) 601553

2

0 =−= x ' f .

7



Entonces 26667,660

765

2=

−−= x . Y se comprueba

4

01

10266671

266671

−=ε>

=−

,

, x x ; comenzando

una nueva iteración; para obtener las raíces imaginarias se asume un valor imaginario

inicial 0 x = 3i, y se procede de la forma anterior, para la otra raíz se tiene 0

x = -3i:

Tablas 3-4: Resultados para las raíces del ejemplo 1.2

Iteración(i )

i x i i x x −+1 Iteración(i )

i x i i x x −+1

1-3,0000 +1,28571i

3,4552534 1-3,0000 –1,28571i

3,4552534

2 -1,3534 +4,80857i

3,8886802 2 -1,3534 –4,80857i

3,8886802

3-2,2899 +3,28304i

1,7900616 3-2,2899 –3,28304i

1,7900616

4-3,0889 +3,37975i

0,8048530 4-3,0889 –3,37975i

0,8048530

5-2,9974 +3,46240i

0,1233546 5-2,9974 –3,46240i

0,1233546

6-3,0000 +3,46410i

0,0031318 6-3,0000 –3,46410i

0,0031318

7-3,0000 +

3,46410i

0,0000019 7-3,0000 –

3,46410i

0,0000019

Como resultados finales se tiene: i ., x ;i ., x ; x 4641334641336 321 −−=+−==

Utilizando la Guía del MATLAB, se obtiene como ejemplo los resultados de la raíz real

y una de las raíces imaginarias:

Iteració

n (i )i x i i x x −+1

1 6,2666669 1,2666669

2 6,0128188 0,25384813 6,0000315 0,01278734 6,0000000 0,0000315

8



Figura 5: Interfaz Gráfica (GUI) del método de Newton Raphson en Matlab

1.3.2 MÉTODOS DE 2 PUNTOS

Requieren de 2 solo valores iniciales ( )01 x ; x para la iteración del método.

A. MÉTODO DE LA SECANTE Difiere del método de Newton Raphson por los dos valores iniciales, y por el

reemplazo de la derivada de la función ( ) x f por la expresión:

( )( ) ( )

1

1

−

−

−

−≈

i i

i i i

x x

x f x f x ' f (1.9)

Reformulando la expresión (1.8) resulta:

( ) ( )( ) ( )1

11

−

−+ −

−−=

i i

i i i i i

x f x f

x f . x x x x (1.10)

B. MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN

A diferencia del método de la secante los valores 1−i i x ; x se deben encontrar

en los lados opuestos de la raíz y el producto de su evaluación en )( x f debe cumplir:( ) ( ) 01 <−i i x f . x f (1.11)

Lo que nos dice que deben tener diferentes signos, 1−i i x ; x se denotan como

I D x ; x , y el nuevo valor a calcular como M x :

( )( ) ( )I D

DI DDM

x f x f

) x ( f . x x x x

−−

−= (1.12)

C. MÉTODO DE LA BISECCIÓN

Similar al método anterior, la diferencia radica en el cálculo de M x :

9



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-1

0

1

2

3

4

x

log(x2+1)-cos(x)

Raíz

( )2

I DM

x x x

+= (1.13)

Como se observa en la Figura 6, los métodos de dos puntos permiten hallar la soluciónpor el acercamiento sucesivo a la raíz por ambos lados. Si se traza una recta por lospuntos elegidos como valores iniciales, se puede encontrar dos o más interseccionescon la curva.

Figura 6: Representación geométrica de los métodos de 2 puntos

Para llegar a la convergencia se puede utilizar la relación ε<−+ i i x x 1 en el método

de la secante, y en el de la posición falsa y la bisección la relación ( )ε<

M x f .


Resolver la ecuación ( ) x cos x Ln =+12

En el intervalo [0; 4].:Asúmase como tolerancia 410 −=ε

Solución

Graficando la ecuación para obtener los valores iniciales, compararemos los métodos

tomando como valores iniciales 32 01 == x ; x para el método de la secante y

20 == DI x ; x para los métodos de la falsa posición y bisección.

Se define ( ) ( ) 012 =−+= x cos x Ln x f ; se tiene:

Figura 7: Gráfica de la ecuación x cos ) x ( Ln =+12

Tabla 5: Proceso de resolución de los métodos de 2 puntos

Método M i x / x 1+ ( I x f ( )D x f ( ) (i f / x f 1+ Nuevo DI x / x

Secante 0,401266 ----- ----- -0,7712273 -----

Falsa Posición 0,661029 -1 2,0255848 -0,4268316

M I x x =

( = signo que( )I x f )

10



Bisección 1 -1 2,0255848 0,152845M D x x =

( = signo que

( )D x f )

Los resultados de las iteraciones para cada método son:Tabla 6: Resultados del ejemplo 1.3 con el método de la secante

Tablas 7-8: Resultados del ejemplo 1.3 con los métodos de la Falsa Posición y Bisección

El valor de x tiende a 0,9158577

Iteración (i ) i x i i x x −+1

1 2 12 0,4012658 1,59873413 0,8421395 0,44087374 0,9313846 0,08924515 0,9156162 0,01576856 0,9158570 0,00024087 0,9158577 0,0000007

Iteració

n(i )

M x ) x ( f M

1 0,6610293 0,42683122 0,8940707 0,03881123 0,9148625 0,00178034 0,9158154 0,0000757

11



Figura 8: Interfaz Gráfica (GUI) del método de la Secante en Matlab

1.4 ECUACIONES NO LINEALES EN INGENIERÍA QUÍMICAEn Ingeniería Química generalmente se aplica los métodos de Newton

Raphson, punto fijo y el de la secante por su facilidad de iteración; a estos métodos sedarán mayor énfasis por su aplicación en las diferentes cátedras de la carrera.

Problema de Aplicación 1.4.1

Cátedras: Termodinámica de los Procesos Químicos, Fisicoquímica, Química General

Calcule la composición de la mezcla en equilibrio, en porcentaje molar de la siguiente

reacción en fase gaseosa a 475 K y a 1 atm de presión.

(g)(g)(g) H H COOC CH OH H C 252352 22 +⇔

Datos: La constante de equilibrio es 6866,1=K .

Solución:

Sabemos que la constante de equilibrio está definida por:

νφ= P .K .K K y

Donde: :P Presión total del sistema (atm):K φ Cte. de los coeficientes de fugacidad

:K y Cte. de las fracciones molares gaseosas )y (

∑∑ − ν reactivos.Coef productos.Coef :

Se tomará como consideraciones:

• El sistema es ideal : 1=φK

• ( ) 1112211 ==⇒=−+= ν νP

• mol n ,OH H C 1052=

Formulando el balance de moles del sistema

Reacción (g) COOC CH OH H C 23522 ⇔

Moles iniciales 1 0 0

Moles formadas 0 x 2xMoles consumidas 2x 0 0Moles en equilibrio 1-2x x 2xMoles Totales 1+x

De la definición de la constante de equilibrio, simplificando las consideraciones:y

CH COOC H H

C H OH

K K

y .y K

y

=

=3 2 5 2

2 5

2

2

Reemplazando los valores formulados en el balance:

12



( )( )23

2

2

211

4

1

21

1

2

168661

x x

x

x

x

x

x .

x

x

,K −+

=

+−

+

+

== … (1)

La resolución de la ecuación (1) se desarrollará con el método del punto fijo, entonces

establecemos nuestros parámetros:

+

−=

=

x

x

,., ) x ( g

) x ( g x

1

4

68661

1150

3 ; 410

−=ε ; 4,00= x (Las ‘’y‘’ varían sólo de 0 a 1)

Utilizando el software MATLAB se tiene los siguientes resultados:

Figura 9: Resultados del Problema 1.1

Iteración1.000000

2.000000

3.00 000

La raíz obtenida es x = 0,358327, calculamos las composiciones molares a partir de

las moles en el equilibrio:

35831

716602

35830

2834021

2

523

52

,n

, x n

, x n

, x n

T

H

H COOC CH

OH H C

===

==

=−=

100

765210035831

71660

382610035831

35830

862010035831

28340

2

523

52

=

==

==

==

T

H

H COOC CH

OH H C

y %

, x ,

,y %

, x ,

,y %

, x ,

,y %

El algoritmo del problema anterior es presentado en un archivo m. en Matlab, y los

resultados en una Interfaz gráfica de usuario:

13



clc

disp(' Prob

disp(' ----format long

=' * -


Cátedras: Termodinámica de los Procesos Químicos, Fisicoquímica

Calcule el volumen molar de )(2 g O a 50 atm y a 100 ºC, utilizando la ecuación de

Redlich-Kwong.

( )( ) RT bv

bvvT

a P =−

+

+2/1

Donde:c

,c

P

T R ,a

52242780= ;

c

c

P

RT ,b

08670= ;

K mo

LatmR

.lg

.082,0=

Datos: atm,P c 7049= ; K ,T c 40154=

Solución:

Realizando operaciones algebraicas la ecuación de estado se reduce a:

0..)(2/1

2

2/1

23 =

+−

−+

−=

PT

abbv

P

RTb

P T

av

P

RT vv f …(2)

14



Esta ecuación será solucionada con el método de Newton Raphson, y como una

buena aproximación de 0v la relaciónP

RT v =0 :

( )

lg mo

L,

atm

K K .lg mo

L.atm,

v 612050

2731000820

0 =+

=

Con una 410 −=ε , se tienen los siguientes resultados en un archivo m.file en Matlab: Iteració


Se observa la eficacia del método al conseguir la raíz aproximada con sólo 2

iteraciones, el volumen molar buscado es:lg

607117,0mo

Lv =

Observación: En problemas de Ingeniería Química, es necesario el conocimiento

adecuado de los valores iniciales, los que estarán en función directa del fenómeno que

se estudia.

En este caso se utilizó como primera aproximación inicial el volumen molar del gas

ideal.



clcdisp(' Prob

disp(' ---format longP=50; T=373;R=0.082;Tc=1a=0.4278*R^2

15



Problema de Aplicación 1.4.3Cátedras: Flujo de Fluidos; Fenómenos de Transporte

La caída de presión P ∆ en 2lg pu lbf de un fluido compresible circulando a lo largo

de un conducto cilíndrico rugoso de longitud L en pies, y diámetro interno D en pulg . ,

en régimen constante, está definido por:

Dg .

Lv ..f P

c 24

2ρ=∆

Donde: :ρ Densidad del fluido en 3 pielbm

:v Velocidad media del fluido ( pies/s)

:f Factor de Fricción de Moody (adimensional)

:c

g Factor de conversión = 2232

s.lb

pielb,

f

m

El factor de fricción f P ∆ es función de la rugosidad ∈ ( pulg ) del tubo y del número

de Reynolds (Re):

µ

ρ=

.

v DRe

12

Donde: :µ Viscosidad del Fluido en lb/pie.s

Para Re < 2000, f = 64/Re

Para Re > 2000, el valor de f queda definido por la resolución de la

ecuación de Colebrook:

+

∈−=

f Log

f .Re

51,2

70,32

1

Encuentre el valor de para el siguiente conjunto de datos:

Variabl Q ( D ( pulg .) L ρ( µ ∈ ( pulg

16



e s / pie 3 ) ( pies)

3 pielbm

)(lb/pie.s) .)

Datos 0,378 3,068 10 000 62,4 0,0007 0,002

Nota: Q es el caudal que pasa por el cilindro y se relaciona con v con la siguienteexpresión:

2

4

D

Q

A

Qv

π==

Para un buen valor inicial para la iteración utilice la ecuación de Blasius:

2503160 ,Re.,f −=

Solución:

Calculando la v :

( )

s / pie,v

lg pu

pielg pu ,

s / pie,v

3637

12

10683

378042

3

=

π

=

Calculando el número de Re:

( )( )( )( )

20002734021

0007012

36374626220

>=

=

,Re

,.

,,,Re

Utilizaremos el método de la secante para determinar el factor de fricción f en laecuación de Colebrook; reordenando la ecuación tenemos:

0512

7032

1=

+

∈+=

f .Re

,

,Log

f )f ( f

Para obtener un valor inicial f 0, el enunciado del problema nos sugiere utilizar la

ecuación de Blasius:

( ) 02327027340213160250

0 ,,,f , == −

Asumiremos el otro valor f 1 = 0,02; la 410 −=ε , se tienen los siguientes resultados en

un archivo m.file en Matlab:


17

Iteracione

0



El valor calculado para f es 0,027650; entonces reemplazando en la expresión para el

cálculo de la caída de presión se tiene:

( )( )( ) ( )( ) ( ) 2

2

52394068323224

100003637462027650

lg pu

lb,

,,

,,,P f ==∆



clcdisp(' Probl

disp('-------

format long

i=0;

e=0.002;R=340

f='1/sqrt(x)+xi_l=0.02327;

=


Cátedras: Transferencia de Calor, Fenómenos de Transporte

18



( )

F º ,TC

, x ,

, x TC

22162

80405132250184150171

50105000

2

2

=

+−=

(Problema propuesto 2.46 – Métodos Numéricos, A Nieves, F. Domínguez)

Si el intercambiador de calor mostrado en la figura se opera en paralelo:

Encuentre TH2 y TC2 en estas condiciones de operación.

Solución :

La deducción física-matemática se encuentra en le texto de procedencia, y para un

flujo en paralelo la ecuación final se modifica a:

( ) ( )

−−

−−−=∆

22

11

2211

TC TH

TC TH Ln

TC TH TC TH T m

( )121

22

11

2TC TH TH

Cpw

Cpw TC +−=

( ) ( )

( )

( )01

2111

121

22

112

11

121

22

11211

2 =−−

−−−

−

−−−−−

= TH TH Cpw

TC TH TH Cpw

Cpw TH

TC TH Ln

TC TH TH Cpw

Cpw TH TC TH

UA

)TH ( f

Determinaremos la raíz por el método de la Secante; como primer TH 2,0 se obtendrá

de la grafica correspondiente de f (TH 2) en la interfaz gráfica: TH 2,0 =130 ºF ; asumiendo

TH 2, 1 =135 ºF , 410

−=ε


Iteracione0.0000

Obtenemos: TH 2 =132,405 ºF



19



clc

disp(' Problemadisp(' --------format longi=0;TH1=250;TC1=80;w1=105000;w2=15f='U*A*(TH1-x+(

TC1)/(x-(w1*Cp1


Cátedras: Transferencia de Calor, Fenómenos de Transporte

(Ejemplo 1.6 – Fundamentos de Transferencia de Calor, Frank P. Incropera)

El recubrimiento sobre una placa se cura exponiendo ésta a la acción de una lámpara

infrarroja que proporciona una irradiación de 2000 W/m2. El recubrimiento absorbe

80% de la irradiación y tiene una emisividad ( ε ) de 0,5; también es expuesto a un

flujo de aire y a amplios alrededores para los cuales las temperaturas son 20ºC y

30ºC, respectivamente, ¿Cuál es la temperatura de curación de la placa?

20



Datos: El coeficiente de convección es h = 15 W/m2.K; las relaciones para el calor

unitario de convección y radiación son:

( ) ( ) )K ( T ;K .m

W x ,;T T ..q;T T .hq alr

' ' rad

' ' conv 2

844 10675 −∞ =σ−σε=−= .

Solución:

El balance de energía sobre la placa, en estado estacionario y sin generación:

SALE

o

ENTRA

o

ACUMULADA

o

GENERADA

o

ACUMULADA

o

GENERADA

o

SALE

o

ENTRA

o

E E

E ;E

E E E E

=⇒

==

=+−

00

( )

( ) ( ) ( ) 0

0

44

=−σε−−−α

=−−α

∞ alr lamp

" rad

" conv lamp

T T ..T T .hG

qqG…(1)

Reemplazando los datos del problema en (1); reordenando se obtiene:

0959623315108352 48 =−+− ,T T x , …(2)

Resolviendo la ecuación (2) con el método de Newton Raphson; tol = 10 -4; asumiendo

una temperatura T 0 = 273K .


Como resultado tenemos una temperatura:C K T º3,104297,377 ==

El algoritmo del problema anterior es presentado en

un archivo m. en Matlab, y los resultados en una Interfaz gráfica de usuario:

clcdisp(' Prodisp(' ---format longn f='2.835*

21

Iteración

1.0000




Cátedras: Termodinámica de los Procesos Químicos; Fundamentos de Ingeniería

Química

(Ejemplo 4.7 – Introducción a la Termodinámica en Ingeniería Química; Smith,Van

Ness). ¿Cuál es la temperatura máxima que puede alcanzarse por la combustión del

metano con un exceso de 20% de aire? El metano y el aire entran al quemador a una

temperatura de 25ºC, y las propiedades de las sustancias son:

Sustanci a

( m / J ,H 0298∆ A B (103) C (106) D (109)

CH4 (g) -74 520 1,702 9,081 -2,164 ------O2 (g) 0 3,639 0,506 ------ -0,227

CO2 (g) -393 509 5,457 1,045 ------ -1,157H2O (g) -241 818 3,470 1,450 ------ 0,121N2 (g) 0 3,280 0,593 ------ 0,040

Donde:K .lg mo

J ,R );K ( T ;DT CT BT A

R

Cp314822 =+++= −

Solución:Planteando la reacción del proceso: ( ) ( ) ( ) ( )g g g g OH COOCH 2224 22 +→+

Base de cálculo: 1mol 4CH

Cálculo de la cantidad de aire alimentado:

22



2

2

222

2222

222

2

4

242

03921

7942

40242

42100

1202

21

21

molN ,molO

molN molesO,.ent limamolN

molO,.requer molO.ent limamolO,excesomolO

molesO,.requer moles

.ent limamoles.requer molesO.ent limamolO

molesOmolCH

molesOmolCH .requer molO

=

=

=−=

=

=

=

=

Los gases que abandonan el quemador contienen 1 mol de CO2, 2 moles de H2O (g ),

0,4 moles de O2 y 9,03 moles de N2. El balance de energía planteado es el siguiente:

Calculando oH 298∆ :

( )( ) ( ) J H o 802625745202418182393509298 −=−−−+−=∆ …(1)

Para alcanzar la temperatura de flama adiabática, el proceso debe ser adiabático

(Q=0); se desprecia todos los cambios de energía cinética, potencial y trabajo de eje.

0

0

0

298

298

=∆+∆=∆+∆+∆

=∆

oP

o

oR

oP

o

H H

H H H

H

… (2)

Se despreció el valor deo

R H ∆ , debido a que en el esquema no varía a otra

temperatura. Calculandoo

P H ∆ :

( )∫

∑∫ −−

=

−+=∆

=∆

T oP

n

i

T

i i oP

dT T x ,T x ,,,H

dT CpnH

298

253

1298

106450105029417433148

…(3)

Reemplazando los valores (1) y (3) en (2) encontraremos una ENL que se puede

resolver con el método del punto fijo:

( )

0044536252

91550345796836003920

0106450105029417433148802625

2

298

253

=+−+⇒

=−++− ∫ −−

T

,T ,T ,

dT T x ,T x ,,,T

De esta última ecuación formulamos la función g (T ), y para buscar un valor inicial

graficamos y = g (T ) , y =T . De la gráfica podemos asignar como valor inicial T 0 = 2050

K ; tol = 10

-4

23



Iteración

1.0000

2.0000

3.0000

968,3600395,0

044,536252457,915503)(

+−

==T

T T g T

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0

500

1000

1500

2000

2500

T

-

y=g(T)

y=T


Resultando una temperatura adiabática:

K T 686,2067=



clc

disp(' Ejemplo d

disp(' ---------

format long

n f='s rt((915503

24



4.5 EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1 En un proceso de Ingeniería Química, el vapor de agua se calienta a temperaturassuficientemente altas para que una porción significativa del agua se disocie enOxígeno (O2) e Hidrógeno (H2). Si se asume que es la única reacción que sucede,la fracción molar ( x ) de agua que se disocia se puede representar por la ecuación:

x

P

x

x K t

+−=

2

2

1

Donde:K= constante de equilibrio de la reacción = 0.05P t = presión total de la mezcla = 3 atm

Discuta la ecuación y determine el valor de ( x ) que la satisfaga.Use los métodos de punto fijo, Newton-Raphson y Müller.

2 La ecuación de conservación de la energía para un resorte se puede expresar como:

mghmgd d k d k

−−+= 2

1

2/5

2

2

1

5

20

Resuelva la ecuación para la variable d , si se tienen los siguientes datos:k 1= 40000 g/s2

k 2 = 40 g/(s2 m5

m= 95 g

g= 9,8 m/s2

h= 0,43 m

3 Empleando los métodos de uno y dos puntos para hallar raíces reales deecuaciones no lineales; discuta las siguientes ecuaciones: (Discutir una ecuaciónsignifica graficarla, analizar su dominio, rango, sus raíces, etc.)

a) 10423 −+ x x

b) 3224 −−+ x x x

c) 06cos22 =−++ − xe

x x

para 1<x<2

4 Determine el valor de H en la ecuación:2

)3

( H H

RV −=π para V=20 y R=5.

25



5 El dinero necesario para pagar una hipoteca de una casa durante un período fijo

de tiempo se puede calcular por la fórmula:[ ]ni

i

P A

−+−= )1(1

denominada ecuación de la anualidad ordinaria. Donde:A: Importe de la hipoteca

P: importe de cada pagoi : tasa de interés por período para n períodos

Suponiendo que se necesita una hipoteca de $ 135 000 por una casa a 30 años yque los pagos máximos que puede realizar el cliente son de $ 1000 mensuales.¿Cuál será el interés más alto que podrá pagar?

1.6 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• CARRASCO, Luis – “METODOS NUMERICOS, Aplicados a la

Ingeniería” Segunda Edición, Ediciones RFG, pág. 15 - 93, Perú 2007.

• DELORES, Etter - “SOLUCION DE PROBLEMAS DE INGENIERIA

CON MATLAB” Segunda Edición, Editorial Prentice Hall, pág. 78 - 86, México

1997.

• INCROPERA, Frank P. “FUNDAMENTOS DE TRANSFERENCIA

DE CALOR” Cuarta Edición, Editorial Prentice Hall, pág. 23, México 1999.

• MORALES, Heron.- “MATLAB” 7, Métodos Numéricos” Primera

Edición, Editorial Megabyte, pág. 183 - 231, Lima – Perú 2005.

•NIEVES, Antonio.- “Métodos Numéricos, Aplicados a la Ingeniería”

Primera Edición, Editorial CECSA, pág. 34 - 124, México 1996.

• SMITH, VAN NESS, ABBOTT - Introducción a la Termodinámica en

Ingeniería Química. Quinta Edición, Editorial Mc Graw Hill, pág. 156, México

1997

26

capitulo i - enl 2

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