165CAPÍTULO 9-Simulação Hidráulica Utilizando o Epanet2.0

9.1-Configurar Projeto

1- Ficheiro Novo

2- Projeto Valores por defeito: a) Rótulos de Ids(identificações)(nós, reservatórios, tubagens , bombas , etc):

- Desabilite todos os campos , a menos do campo incremento ID e considere como sendo 1 .

b)Hidráulica : - Unidades do caudal , escolha : L/s

-Fórmula de Perda de carga , escolha: HW OBS: Se pretende utilizar as configurações selecionadas em

outros projetos ative guardar X e clique em OK c)Propriedades: -Comprimento do tubo: considere o que correspondente

a maioria dos trechos tem este comprimento; -Diâmetro de tubagem considere: 50mm ou mantenha 200mm.

- Rugosidade do tubo considere : 1203- Ver Opções : - Notação: Ative todas as opções

- Símbolos : se as opções não estiverem ativadas, ativem todas; - Setas de Escoamentos: escolha uma das opções , por ex: aberto; - Fundo do mapa: escolha uma das opções, por ex : a cor branca; - Clique em OK.

4- Ver Dimensões: -Unidades do Mapa ative a opção: metros -Clique em OK.

9.2-Traçado Da Rede

Barra de Ferramentas do Mapa -Selecionar objeto;

- Selecionar vértice;

- Selecionar zona;

- Mover;

-Aumentar;

166 -Diminuir;

-Tamanho original;

-Adicionar nó;

-Adicionar RNF(reservatório de nível fixo)(Por ex: manancial e reservatório da ETA);

-Adicionar RNV(reservatório de nível variável);

-Adicionar tubagem;

- Adicionar bomba;

- Adicionar Válvula;

- Adicionar rótulo.

-Simulação

Desenhando a rede:

Em primeiro lugar, adicione o RNF. Clique no botão RNF para selecioná-lo. Em seguida cliquecom o mouse onde pretende inserir este componente(algum lugar a esquerda do mapa).

A seguir, adicione os nós . Clique no botão do nó e, seguidamente , clique nos pontos do mapaonde pretende inserir os nós.

Finalmente, adicione o RNV , fazendo clique no botão RNV e, a seguir , clique no ponto do mapaonde pretende inserí-lo.

Em seguida, adicione os tubos. Comece com o tubo 1 , que liga RNF e o nó 2 . Clique no botãotubagem da Barra de Ferramentas do Mapa. A seguir, comece inserindo o tubo 1 que liga RNF e o nó 2 ,em seguida o que fica entre os nós 2 e 3 , assim por diante, completando toda a rede, ligando também oRNV ao nó que imediatamente o antecede .

167A seguir adicione rótulos aos componentes :RNF ; Bomba e RNV. Selecione o botão da barra de

Ferramentas do Mapa e clique junto RNF e escreva RNF e pressione a tecla Enter. Clique junto a bombaescreva BBA e pressione Enter. Clique junto RNV e escreva RNV e tecle Enter. A seguir, clique no botãode Seleção da barra de Ferramentas do Mapa , para passar do modo de inserção de Texto para o modo deseleção de Objeto.

Tem-se assim o desenho da rede completo. Se os nós não estiverem corretamente posicionadospode movê-los fazendo o clique no nó que pretende mover e arrastando-o com o botão esquerdo mousepressionado, para a nova posição. Os rótulos podem ser reposicionados de igual modo.

9.3-Configurar as Propriedades dos Objetos.

Á medida que os objetos são adicionados a um projeto, são associados aos mesmos, um conjuntode propriedades por defeito. Para modificar o valor de uma propriedade específica de um objeto , deveeditar as suas propriedades na janela do Editor de Propriedades . Existem diferentes modos de editar aspropriedades de um objeto .Se a janela do Editor de Propriedades já estiver visível , pode simplesmenteclicar sobre o objeto ou selecioná-lo a partir da página de Dados da janela de procura. Se este não estivervisível , pode editá-lo através de uma das seguintes ações: -duplo clique sobre o objeto no mapa;

- clique com o botão direito do mouse sobre o objeto e selecionando Propriedades a partir domenu instantâneo que é mostrado.

-Selecione o objeto a partir da página de Dados da janela de Procura , e clique no botão editar damesma janela.

Comece a editar selecionando os nós no Editor de Propriedades , introduzindo as cotas e osconsumos-base. Em seguida, edite selecionando os trechos no Editor de Propriedades , introduzindo oscomprimentos, diâmetros, rugosidades, etc.

9.4-Guardar e Abrir Projetos

Concluída a fase inicial da rede de distribuição , é necessário salvar o trabalho, para um ficheiro:1-A partir do menu ficheiro , selecione a opção Guardar Como.2-Na caixa de diálogo Guardar Como, selecione a pasta e introduza um nome do

ficheiro que pretende guardar o projeto. Como sugestão : REDE01.net.3- Clique em Ok para guardar o projeto para o ficheiro.

9.5-Executar uma Simulação Estática.

Com as informações inseridas na rede , é possível executar uma simulação hidráulica estática darede. Para executar a simulação selecione Projeto>> Executar Simulação ou clique no botão Executarsimulação da Barra de Ferramentas Principal.

Se a simulação não for bem sucedida , aparecerá a janela Relatório de Estado, o tipo de problemaque ocorreu. Se a simulação for bem sucedida será possível visualizar os resultados de diversas maneiras:

-Selecione a pressão como grandeza a exibir nos nós e vazão nos trechos, a partir da página doMapa da janela de Procura. Observe que os valores destas grandezas são mostrados de acordo com umcódigo de cores. Para mudar as gamas de valores e as cores da legenda , clique com o botão direito domouse sobre a legenda para que seja mostrado o Editor de Legenda.

168Edite a janela do Editor de Propriedades(duplo clique em qualquer nó trecho) e verifique como os

resultados da simulação são mostrados no fim da lista de propriedades.

Crie uma lista de resultados em tabela, selecionando Relatório>> Tabela(ou fazendo um clique nobotão tabela da Barra de Ferramentas Principal). Note que os valores de caudal com sinal negativosignificam que o escoamento está ocorrendo em sentido contrário àquele inicialmente definido para o nóde início e de extremidade do trecho.

9.6-Executar uma Simulação Dinâmica.

Para executar uma simulação dinâmica , é necessário criar um Padrão Temporal, para representara variação periódica dos consumos nos nós ao longo do tempo. Para o nosso exemplo será utilizado umpadrão de 24 horas e um passo de tempo de 6 horas, de forma a fazer variar os consumos quatro vezes aolongo do dia(um passo de tempo de 1 hora é mais usual e é o valor por defeito no EPANET).

Para criar o Padrão de Temporal procede-se da seguinte maneira:1- Na página de Dados da janela de Procura Selecione Opções e Tempo.2- Clique no botão Editar ou duplo clique no Tempo No campo Passo de Tempo do Padrão

escreva 6. No campo Duração total para simulação pode fixar um tempo. Digite neste campo 72(que corresponde a 3dias).

3- Criar um Padrão de consumo.Na página de Dados da janela de Procura Selecione Padrões clique no botão adicionar.Um novo padrão(por defeito , o Parão 1) será criado e a caixa de diálogo do Editor de Padrão serámostrado. Introduza os valores: 0,6 ; 1,0; 0,8; 1,0 e 0,5.

4- Associar o Padrão1 de Consumo a todos os nós da rede.

A partir da página de Dados da janela de Procura Opções Duplo clique em Hidráulica.Aparecerá a janela Opções Hidráulica, onde no campo Padrão por Defeito Atribua o valor 1.

Pode-se fazer uma nova simulação.

Barra de deslocamento dos controles de Tempo , na página do Mapa da janela de Procura , permitevisualizar as características da rede em diferentes instantes , ao longo do período de simulação.

Para visualizar o sentido de escoamento:VER Opções , selecione a página de Setas de escoamento , a partir da caixa de diálogo de

Opções de Mapa, escolha o estilo de seta. A seguir inicie a simulação.

9.7-Criar Gráfico de uma Série Temporal de Nó ou Trecho

1-Clique no RNV2- Selecione Relatório>>Gráfico da Barra de Ferramentas Principal Vai aparecer Seleção de

Gráfico3-Selecione série Temporal4-Selecione Carga hidráulica5-clique OK.

9.8-Inserir uma Bomba:

È necessário adicionar uma curva característica da bomba (H= H(Q).

169Na página de Dados da janela de Procura :clique Bombas Na janela de Propriedades da Bomba,

no campo Curva da Bomba clique 1

Criar a curva da Bomba 1: Na página de Dados da janela de Procura Selecione CurvasAdicionar Será adicionada uma nova curva de bomba aos dados do projeto e abrirá uma caixa dediálogo do Editor de Curva. Introduza os valores da curva da bomba ou apenas um par de valores (Q,Hm)que o Epanet criará automaticamente uma curva característica a partir do único ponto. Clique OK.

Pode-se fazer uma nova simulação incluindo o funcionamento da bomba.

1)Exemplo . Dimensionar um sistema de distribuição de água em que a partir de um RNF06 Nós de uma rede de distribuição de água são abastecidos e a sobra vai para um RNF.

ID do NÓ Cota(m) Consumo-Base(l/s)Nó 2 100 1,0Nó 3 100 1,0Nó 4 98 1,0Nó 5 99 1,0Nó 6 97 1,0Nó 7 102 1,0RNF1 130 =======RNV8 124 =======

Todos os trechos têm 114m de comprimento e C=120. O RNV tem diâmetro = 10m , altura mínima deágua =0 , altura inicial de água =2m e altura de água máxima=4m.Após dimensionar o sistema diminua o nível de água do RNF para 100, e passe a abastecer o sistemaatravés de uma bomba com Q= 6,00l/s e Hm =30,0mca.

2)Dimensionar uma rede cujo o traçado é mostrado na página 06.Todos os trechos têm C=120. Osnós têm os seguintes consumos-base: nós dos cantos da figura = 0,50l/s ; os laterais =0,75l/s e dosinterior da rede =1,0l/s. O RNV tem diâmetro = 15m , altura mínima de água =0 , altura inicial de água=2m e altura de água máxima=5m.

Após o dimensionamento da rede , faça novos dimensionamentos considerando as seguinteshipóteses: a) Suprima o RNV e o último trecho da rede, e eleve o nível de água do RNF para 180,redimensione a rede e reduza os valores das pressões para níveis compatíveis(máxima de 15mca) atravésda instalação de uma VRP. b)Redimensione a rede admitindo que os dois reservatórios são do tipo RNF eo nível de água para os dois é 130mca. c)Reduzindo o nível de água do RNF para 100m da redeinicialmente dimensionada , passe abastecê-la através de bomba.

170

BIBLIOGRAFIA

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BASTOS, F. A . A . Problemas de Mecânica dos Fluidos. Rio de Janeiro:Editora Guanabara Dois S.A ,1983.

BRUNETTI, F. Curso de Mecânica dos Fluidos. São Paulo , 1974.

FEGHALI, J. P. Mecânica dos Fluidos.Vol I. Rio de Janeiro:Livros Técnicos e Científicos S.A, 1974.

FOX, R.W. e McDONALD, A .T. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 4a ed. trad. de Souza Melo, A . M. Rio de Janeiro:Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, 1998.

GILES, R.V. et al. Mecânica dos Fluidos e Hidráulica.trad. de Liske, L.São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1996.

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STREETER, V. L. Mecânica dos Fluido., trad. de Muniz , G. S. et al. São Paulo: McGraw Hill do Brasil Ltda, 1975.

STREETER, V. L. e WYLIE, E. B. Mecânica dos Fluidos. 7a ed. trad. de Sanches, M. G. São Paulo:McGraw Hill do Brasil Ltda,1982.

VENNARD, J. K. e STRET , R. L. Elementos de Mecânica dos Fluidos. 5a ed. trad. de M. Luiz, Adir. Rio de Janeiro: Guanabara Dois S.A, 1978.

ROMA , WOODROW NELSON LOPES. Fenômenos de transporte para engenharia. São Carlos:Rima, 2003

171

ANEXO

DE

TABELAS

172

173

174

TABELA 1C – PROPRIEDADES MECÂNICAS DA ÁGUA À PRESSÃOATMOSFÉRICA

175

176

177APENDICE A

ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA

A.1-Análise Dimensional

A.1.1-Introdução: Através da Analise Dimensional conseguimos simplificar problemas físicos de solução difícil etrabalhosa quando analisadas por métodos analíticos.

A.1.2-Finalidades:

1-Podemos predeterminar a relação existente entre as grandezas que envolvem um fenômeno; 2-Podemos estabelecer as leis físicas que regem o fenômeno na sua forma mais geral e completa; 3-Elucidar a melhor forma de exprimir os resultados das mensurações; 4-Deduzir as leis numéricas com o mínimo de análise matemática.

A.1.3-Grandezas Fundamentais e Derivadas

Quando estudamos um fenômeno físico trabalhamos com grandezas que não são todasindependentes entre si. Normalmente estão ligadas por definição ou leis básicas. Por exemplo a grandezatrabalho τ é o produto das grandezas físicas força F e o comprimento L.

Uma pesquisa entre as grandezas da Mecânica, vai nos levar a três grandezasindependentes(fundamentais)das quais derivam todas as outras. Essas três grandezas forma a BaseCompleta da Mecânica. As três grandezas geralmente escolhidas é o terno: Forca, Comprimento eTempo(FLT) ou Massa, Comprimento e Tempo (MLT).Quando se estuda fenomenos em que atemperatura juntamente com as outras grandezas está envolvida no fenômeno as grandezas que utilizadascomo base, passam a ser quatro que podem ser: força, comprimento, tempo e temperatura(FLTθ) oumassa , comprimento, tempo e temperatura(MLTθ).Todas as grandezas que não faz parte da BaseCompleta são grandezas derivadas.

A.1.4- Equação Dimensional

É uma equação monomia que relaciona uma grandeza derivada com as grandezas fundamentais .Por exemplo: Comprimento L V=----------------- = ------ Tempo t

A.1.5- Principio de Homogeneidade

"Toda Lei Física deve ter as mesmas dimensões no primeiro e segundo membro"Por exemplo: Verificar que a expressão P= k γ Q H é dimensionalmente coerente, onde:P-potencia(KW) ;K-constante numérica adimensional; γ -pêso especifico(KN/m3) ;Q-vazão (m3/s) e H-altura manometrica (m).

178

A.1.6-Teorema de Buckinghan ou Teorema dos πs

Seja um fenômeno físico onde intervém n grandezas; X1; X2;X3; ....;Xninterligadas por uma função do tipo f(X1,X2,X3,...,Xn)=0 denominada função característica ou funçãorepresentativa do fenômeno. Demonstra-se que existe uma outra função do tipo φ ( π1, π2, π3,...,πm)=0 ,denominada funçãoreduzida, rigorosamente equivalente a f, onde: 1-os termos πs são adimensionais independentes entre si; 2-o numero desses adimensionais m é dado por: m= n - r , sendo: n-numero de grandezas que intervém no fenômeno r- número de grandezas fundamentais que intervém no fenômeno ou a

ordem do determinante não nulo de maior ordem obtido da matriz dimensional 3-os adimensionais são expressões do tipo:

, onde se pode notar que os r primeiros fatores são idênticos a menos do expoente .Essas r grandezasconstitui a base das grandezas envolvidas no fenômeno

Matriz Dimensional

É a matriz formada pelas dimensões das grandezas que estão envolvidas no fenômeno.

[ ] [ ][ ][ ] [ ] LEIDAMEMBROTLFTLFP ''1.... 11 °=== −−

[ ] [ ][ ]3. −= LFγ[ ] [ ][ ][ ] [ ]LH

TLQ== − 13 .

[ ][ ][ ] [ ] MEMBROTLFLTLLFMEMBRO °===° −−− 1.....2 1133

r

r

r

rm

r

r

XXXX

XXXX

XXXX

δδδδ

ββββ

αααα

π

π

π

......

...........................................

............................................

...........................................

......

......

321

321

321

321

3212

3211

=

=

=

179

X1 X2 X3 ... Xn

F a1 a2 a3 ..... an L b1 b2 b3 ......bn T c1 c2 c3 ... ..cn . . . . ... . . . . . ... . . . . . ... . X z1 z2 z3 ..... zn

Da matriz dimensional extrai-se um determinante de maior ordem não nulo.As grandezas quederem origem a este determinante podem constituir a base das grandezas envolvidas no fenômeno naformação dos termos πs.

Por exemplo: se ∆ = 0 ,sendo :

a1 a2 a3 ∆ = b1 b2 b3 c1 c2 c3

então X1,X2 e X3 são independentes e poderão ser utilizadas como base na obtenção dos termos πs.

Observações:

1-Na escolha das grandezas que constituirão a base das demais grandezas na formação dos termosπs , procurar escolher grandezas que não tenham duas a duas as mesmas dimensões(uma grandezageometrica,uma grandeza cinemática e uma grandeza dinâmica). 2-Qualquer termo π pode ser substituído por qualquer potência de si, inclusive .

Por exemplo: obtido π3, podemos substitui-lo por :

3-Qualquer termo π pode ser multiplicado por uma constante numérica. Por exemplo: obtido π ,podemos multiplica-lo pela constante a

4-Qualquer termo π pode ser expresso em função de outros termos πs . Por exemplo: Obtida a função reduzida φ (π1, π2, π3)=0 podemos escrever: π3= φ1(π1,π 2)

5-Sempre que tiver presente as grandezas: ρ ,V e L procurar utilizá-las como base.

33π

1−π

180

A.1.7- Principais Grandezas Físicas

GRANDEZA SÍMBOLO FLTθ MLTθCOMPRIMENTO L L LTEMPERATURA T θ θÁREA A L2 L2

VOLUME v L3 L3

VELOCIDADE V LT-1 LT-1

VAZÃO Q L3 T-1 L-3 T-1

ACELERAÇÃO a L T-2 L T-2

FORÇA F F MLT-2

TRABALHO τ F L ML2 T-2

MASSA M FL-1 T2 MPRESSÃO p FL-2 M L-1 T-2

PESO ESPECÍFICO γ F L-3 ML-2 T-2

MASSA ESPECÍFICA ρ F L-4 T2 M L-3

VISCOSIDADEABSOLUTA

µFT L-2 M L-1 T-1

VISCOSIDADECINEMÁTICA

νL2 T-1 L2 T-1

MÓDULO DEELASTICIDADE

E , KF L-2 M L-1 T-2

TENSÃOSUPERFICIAL

σF L-1 M T-2

POTENCIA P F L T-1 M L2 T-3

COEFICIENTE DEEXPANSÃO VOLUM.

β θ-1 θ-1

CALOR q FL ML2T-2

ENTALPIA h L2T-2 L2T-2

CALOR ESPECÍFICO c L2T-2θ-1 L2T-2θ-1

CONDUTIVIDADETÉRMICA

k FT-1θ-1 MLT-3θ-1

DIFUSIVIDADETÉRMICA

α L2T L2T

DIFUSIVIDADEMÁSSICA

DAB L2T L2T

COEFICIENTE DETRANSFERÊNCIADE CALORCONVECTIVO

h FT-1L-1θ-1 MT-3θ-1

COEFICIENTE DETRANSFERÊNCIADE MASSACONVECTIVO

kc LT-1 LT-1

181A.1.8- Parâmetros adimensionais de transporte do momento linear.

Resolvendo o exemplo 1 dado em seqüência vamos obter os principais adimensionais de transportedo momento linear.

Exemplo: 1)Determinar a função reduzida conhecendo-se a função característica : f (ρ, V, L, F, g, µ, σs, k)= 0

-Número de grandezas envolvidas no fenômeno n = 8 grandezas .

Matriz dimensional ρ V L F g µ σs K

F 1 0 0 1 0 1 1 1

L -4 1 1 0 1 -2 -1 -2

T 2 -1 0 0 -2 1 0 0

1 0 0

∆ = -4 1 1 = 1 # 0 , logo: ρ , V e L pode ser a base na formação dos termos πs.

2 -1 0

-Números de unidades fundamentais presente no fenômeno r =3(fôrça comprimento e tempo) our=3(ordem do determinante de maior ordem obtida da matriz dimensional é igual 3)

-Números de adimesional presente no fenômeno: m = n- r = 8- 3 = 5 adimensionais

π1 = ρα1Vα2 Lα3 F

[π1] =[F0L0T0] =[F L-4T2]α1[LT-1]α2[L]α3.[F]

Para F 0 = α1 + 1 α1 = -1

Para T 0 = 2α1 -α2 0 = 2(-1) -α2 α2 = -2

Para L 0 = -4α1 +α2 + α3 0 = -4(-1) –2 + α3 α3 = - 2 F

π1 = ρ-1V-2 L-2 F π1 = ------------- ρ1V2 L2

π2 = ρα1Vα2 Lα3 g

[π2] =[F0L0T0] =[F L-4T2]α1[LT-1]α2[L]α3.[LT-2]

Para F 0 = α1 α1 = 0

Para T 0 = 2α1 -α2 –2 0 = 2(0) -α2 -2 α2 = -2

182Para L 0 = -4α1 +α2 + α3 + 1 0 = -4(0) –2 + α3 +1 α3 = 1

L .gπ2 = ρ0V-2 L1 g π2 = -------------

V2

π3 = ρα1Vα2 Lα3 µ

[π3] =[F0L0T0] =[F L-4T2]α1[LT-1]α2[L]α3.[FL-2T]

Para F 0 = α1 + 1 α1 = -1

Para T 0 = 2α1 -α2 +1 0 = 2(-1) -α2 +1 α2 = -1

Para L 0 = -4α1 +α2 + α3-2 0 = -4(-1) –1 + α3-2 α3 = - 1 µ

π3 = ρ-1V-2 L-2 µ π3 = ------------- ρV L

π4 = ρα1Vα2 Lα3 σs

[π4] =[F0L0T0] =[F L-4T2]α1[LT-1]α2[L]α3.[FL-1]

Para F 0 = α1 + 1 α1 = -1

Para T 0 = 2α1 -α2 0 = 2(-1) -α2 α2 = -2

Para L 0 = -4α1 +α2 + α3-1 0 = -4(-1) –2 + α3 -1 α3 = - 1 σs

π4 = ρ-1V-2 L-2 σs π4 = ------------- ρV2 L

π5 = ρα1Vα2 Lα3 K

[π5] =[F0L0T0] =[F L-4T2]α1[LT-1]α2[L]α3.[FL-2]

Para F 0 = α1 + 1 α1 = -1

Para T 0 = 2α1 -α2 0 = 2(-1) -α2 α2 = -2

Para L 0 = -4α1 +α2 + α3-2 0 = -4(-1) –2 + α3 -2 α3 = 0

Kπ5 = ρ-1V-2 L-2 K π1 = ----------

ρV2

F L g µ σs KFunção Reduzida : ∅( --------- , ----------, --------- , ----------, -------- ) =0 , onde:

ρV2L2 V2 ρVL ρV2L ρV2

183

F ∆pA Forças de Pressão π1= ε = ---------- = Numero de Euler= --------- = ------------------------- = ρ .V2 .L2 ρ.V2 A Forças de Inércia

Energia de pressão ∆p . L2 ∆pε = ------------------------- = -------------------- = ------------------

Energia Cinética ρ .V2 .L2 ρ.V2

Aparece no estudo de escoamento em tornos de perfis, em condutos fechados ,movimento deobjetos imersos e em máquinas hidráulicas. 2 -1 V π2 = ℑ = ----- - = Numero de Froude gL 2

mV energia cinética Força de inércia ℑ = ---------- = ------------------------- = -------------------------- mg L energia potencial Força de gravidade

Aparece onde há superfície livre com possibilidade de formação de ondas(ação das ondas sobre aestrutura de navio, escoamento em canais , vertedores, orificios,etc.)

-1 ρ VL π3 = -------- = Numero de Reynolds =Re µ 3 força de inércia m.a m.a ρVol. A ρ L V/T ρ .V.L Re = -----------------------=--------- =-----------=-------------=. ---------------- = ------------- força viscosa τ A µV A µ V A 2 µ --------- --------- µ . V .L /L L L

É o adimensional mais importante da Mecânica dos Fluidos e esta presente em quase todos osfenômenos -1 ρ V L Força de inérciaπ4 = ------------ = W =Numero de Weber = ---------------------------------- σs Força de tensão superficial

Aparece no estudo de escoamento em pequenos orifícios(fenômenos capilares), no estudo de lençóissubterrâneos, etc.

-1 ρ V2 Força de inércia π5 = ---------- = M = Numero de Mach= ------------------------- K Forças elásticas

Aparece nos fenômenos onde o efeito da compressibilidade é significativo. Por exemplo:escoamento de gases. Obs: se M <1 temos movimento subsônico se M =1 temos movimento sônico

184 se M >1 temos movimento supersônico

A.1.9- Parâmetros adimensionais de transporte de calor.

As variáveis necessárias para descrever um problema de transferência de calor são:o comprimento característico l, avelocidade V, a massa específica(densidade absoluta)ρ, o incremento de temperatura ∆T, o coeficiente de expansãovaolumétrica β, a aceleração da gravidade g, a viscosidade absoluta µ , a condutividade térmica k, o coeficiente de transferênciade calor h e o calor específico cp.O fenômeno tem como função característica: F(l,V,ρ, ∆T,β, g, µ,k,h,cp)=0.Exemplo: 2)Determinar os adimensionais presente no fenômeno se a sua função característica é :

F(L,V,ρ, ∆T,β, g, µ,k,h,cp)=0.-Número de grandezas envolvidas no fenômeno n = 10 grandezas .

Matriz dimensional ρ V L k ∆T g µ β h cp

M 1 0 0 1 0 0 1 -1 0 0

L -3 1 1 1 0 1 -1 0 2 2

T 0 -1 0 -3 0 -2 -1 0 -2 -2

θ 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1

1 0 0 1 -3 1 1 1

∆ = = # 0 , logo: ρ , V , L e k pode ser a base na formação 0 -1 0 -3 dos termos πs.

0 0 0 -1

-Números de dimensões fundamentais presente no fenômeno r =4(massa, comprimento, tempo etempeartura) ou r=4(ordem do determinante de maior ordem obtida da matriz dimensional é igual 4)

-Números de adimesional presente no fenômeno: m = n- r = 10- 4 = 6 adimensionais

π1 = ρα1Vα2 Lα3 kα4 ∆T

[π1] =[M0L0T0θ0] =[ML-3]α1[LT-1]α2[L]α3.[MLT-3θ-1]α4[θ]

Para M 0 = α1 +α4 0 = α1 + 1 α1 = -1

Para T 0 = - α2-3α4 0 = -α2 –3(1) α2 = -3

Para θ 0 = -α4 +1 α4 =1Para L 0 = -3α1 +α2 + α3 +α4 0 = -3(-1) –3 + α3 + 1 α3 = - 1

k∆Tπ1 = ρ-1V-3 L-1k ∆T π1 = -------------

ρV3 L

Procedendo de forma obtém-se os demais adimesionais:

185

π2 = ρα1Vα2 lα3 kα4 β

[π2] =[M0L0T0θ0] =[ML-3]α1[LT-1]α2[L]α3.[MLT-3θ-1]α4[θ-1]

ρV3 L.βπ2 = ρV3 .L. k-1 β π2 = -------------

k

π3 = ρα1Vα2 Lα3 kα4 g

[π3] =[M0L0T0θ0] =[ML-3]α1[LT-1]α2[L]α3.[MLT-3θ-1]α4[LT-2]

L.gπ3 = ρ0V-2 .L.k0 g π3 = -------------

V2

π4 = ρα1Vα2 lα3 kα4 µ

[π4] =[M0L0T0θ0] =[ML-3]α1[LT-1]α2[L]α3.[MLT-3θ-1]α4[M L-1T-1]

µπ4 = ρ-1V-1 .L-1. K0 µ π4 = ----------

ρV L

π5 = ρα1Vα2 lα3 kα4 h

[π5] =[M0L0T0θ0] =[ML-3]α1[LT-1]α2[L]α3.[MLT-3θ-1]α4[M T-3θ-1]

hLπ5 = ρ0V0 .L. k-1 h π5 = ----------

k

π6 = ρα1Vα2 lα3 kα4 cp

[π6] =[M0L0T0θ0] =[ML-3]α1[LT-1]α2[L]α3.[MLT-3θ-1]α4[L2T-2θ-1]

ρV L cp

π6 = ρ-1V-1 .L-1. K0 cp π6 = ----------- k

Os adimensionais obtidos e a combinação de alguns deles são importantes parâmetros no estudode transporte de calor. Assim:

O inverso de π4 é o adimensional conhecido como número de Reynolds:

186 ρ V L

π-4 = Re = ----------- µO termo π3 fornece o número de Nusselt:

hLπ3 = Nu = ---------

k

Multiplicando-se π4 por π6 obtém-se o número de Prandtl. µ cp

Pr = --------- k

O número de Grashof, resulta da de π1 π2 π3(1/π42) βg ρ2L3∆T

Gr = ---------------- µ2

A.1.10- Parâmetros adimensionais de transporte de massa.

Na trasnferência de massa por convecção forçada, as grandezas presentes são:o comprimentocaracterístico l,a massa específica(densidade absoluta)ρ, a difusividade DAB,a viscosidade absoluta µ ,avelocidade V, o coeficiente de transferência de massa convectivo kc.O fenômeno tem como funçãocaracterística: F(l,ρ,DAB,µ ,V, kc)=0.Exemplo: 3)Determinar os adimensionais presente no fenômeno se a sua função característica é :

F(L,ρ,DAB,µ ,V, kc)=0.-Número de grandezas envolvidas no fenômeno n = 6 grandezas, com dimensões

fundamentais(comprimento,tempo e massa), logo r =3 .-Número de adimensionais: m = n –r = 6 –3=3 adimensionais.Escolhendo-se: L , ρ e DAB, como grandezas base e procedendo como os casos anteriores obtém-se

os seguintes adimensionais:

π1 = ρα1Lα2 DABα3 µ

[π1] =[M0L0T0] =[ML-3]α1[L]α2[L2T-1]α3.[ML-1T-1] µ

π1= ----------- ρDAB

π2 = ρα1Lα2 DABα3 V

[π2 =[M0L0T0] =[ML-3]α1[L]α2[L2T-1]α3.[LT-1]

L Vπ2= -----------

DAB

187

π3 = ρα1Lα2 DABα3 kc

[π3] =[M0L0T0] =[ML-3]α1[L]α2[L2T-1]α3.[LT-1]

kc Lπ3= -----------

DAB

O número de Reynolds é obtido π2 pelo inverso de π1 ρ V L

Re = ----------- µ

O termo π1 é o número de Schmidt: µ

Sc = ---------- ρDAB

Já o termo π3 é o número de Sherwood: kc L

Sh = ----------- DAB

A equação funcional para transterência de massa na convecção forçada é:

Sh = f(Re, Sc)

A.1.11- Vantagem da Utilização dos Adimensionais

Seja estudar a força que um fluido se opõe a uma esfera em movimento em seu interior (forca dearraste), como mostra a figura 1.Pode-se verificar experimentalmente que as grandezas que influem nofenômeno são: ρ,V,D,µ ρ ; µ

V F D

Figura 1

188 Matriz Dimensional

ρ V D µ F

F 1 0 0 1 1 1 0 0 L -4 1 1 -2 0 ∆ = -4 1 1 ∆ = -1 = 0 ρ,V e D (base) T 2 -1 0 1 0 2 -1 0

Pela Analise Dimensional chega-se nos seguintes adimensionais: ρVD π1=--------= Re = Numero de Reynolds µ

F π2 = ---------- = ε = Numero de Euler 2 2

ρ V D

A função reduzida será então: (Rey, ε )=0, donde se pode escrever que : ε =f(Rey). Vamos conduzir um experimento ,no qual será utilizado um único fluido e uma única esfera.Variando a velocidade da esfera no fluido e obtemos por medições os valores das forças de arrastecorrespondente.Com os valores das velocidades e das forças calculamos os diversos valores de Rey e ε . Com os valores de Rey e ε construímos o diagrama universal do fenômeno figura 2.

F ε= --------- 2 2 ρ. V . L Diagrama Universal do Fenômeno

ρ V D Figura 2 Re= --------- µ Embora a experiência foi feita para um determinado fluido e uma determinada esfera, cada pontodo diagrama envolve infinitas combinações de valores, podendo será utilizado para outras situações, epara tanto é necessário trabalhar agora com os adimensionais Rey e ε.Portanto a grande vantagem em trabalhar com os adimensionais é poder generalizar os resultados de umexperimento

189A.2-Semelhança

A.2.1-Finalidades:

1-Obter dados numéricos difíceis de se obter teoricamente 2-Confirmar dados obtidos teoricamente 3-Fazer projetos 4-Visualizar fenômenos

A.2.2-Protótipo e Modelo

Protótipo é o que se pretende construir na escala real. Modelo é o protótipo em escala reduzida

Para se determinar resultados experimentais de fenômeno na Mecânica dos Fluidos, constroi-seModelo que simulará as condições do fenômeno em escala real(Protótipo).Isto é necessário porque nemsempre e possível a determinação de todos os resultados numéricos a partir da teoria.

Para que os resultados obtidos no modelo tenham validade no protótipo e necessário que ascondições de semelhança sejam satisfeitas. Ver figura 3.

PROTÓTIPO V1p

Dp

Lp V2p MODELO

F1p V1m

F3p F2p dm lm

V2m

F1m F3m F2m Figura 3

A.2.3-Condições de Semelhança

1-Geometrica - a relação das dimensões correspondentes de modelo e de protótipo deve serconstante:

190

Lmodelo lm dm --------------=Lrazão =Lr = ----- = ------=cte Lprototipo Lp Dp

2-Cinematica - a relação entre as velocidades de pontos homólogos de modelo e protótipo deve serconstante.

Vmodelo V1m V2m -------------= Vr = -------- =--------= cte Vprototipo V1p V2p

3-Dinamica - a relação entre as forças de mesma natureza em pontos homólogos de modelo eprotótipo deve ser constante Fmodelo F1m F2m F3m Mm.am -------------- = Fr = ------=--------=------- = -------------=cte Fprototipo F1p F2p F3p Mp.ap

A.2.4-Escalas de Semelhança

É a relação entre uma grandeza do modelo e a mesma grandeza do protótipo. Por exemplo: Lm Lr = ------- = escala geométrica Lp

Vm Vr = ------ = escala das velocidades Vp

Fm Fr = ------ = escala das forcas Fp

µm µr = ------- = escala das viscosidades µp

A.2.5-Relações entre Escalas

São as relações obtidas da igualdade dos adimensionais no modelo e protótipo. Abaixo vamosobter estas relações quando os adimensionais são: Rey ,Eu e Fr a)Para o numero de Reynolds

ρm Vm Lm ρp Vp Lp (Rey)m=(Rey)p ----------------=-------------- µm µp

µr = ρr Vr Lr

b)Para o Numero de Euler

191

Fm Fp (Eu)m = (Eu)p ------------------- = ---------------- ρm Vm2 Lm2 ρp Vp2 Lp2

Fr = ρr Vr2 Lr2

c)Para o Numero de Froude

Vm2 Vp2

(⎞ )m = (⎞ )p ----------- = ---------- Lm.gm Lp.gp

Vr2 = Lr.gr