Curso de HidrologíaCurso de HidrologíaCaudales Máximos IICaudales Máximos II

Por:Por:Sergio Velásquez MazariegosSergio Velásquez Mazariegos

svelasqu@catie.ac.cr20112011

Métodos estadísticosMétodos estadísticos• Se basan en considerar que el caudal máximo anual, es una variable Se basan en considerar que el caudal máximo anual, es una variable

aleatoria que tiene una cierta distribución.aleatoria que tiene una cierta distribución.• Datos necesarios:Datos necesarios:

– Registro de caudales máximos anuales: Cuanto mayor sea el tamaño del Registro de caudales máximos anuales: Cuanto mayor sea el tamaño del registro, mayor será también la aproximación del cálculo del caudal de diseño el registro, mayor será también la aproximación del cálculo del caudal de diseño el cual se calcula para un determinado período de retorno.cual se calcula para un determinado período de retorno.

• Por lo general, en los proyectos donde se desea determinar el caudal de Por lo general, en los proyectos donde se desea determinar el caudal de diseño, se cuenta con diseño, se cuenta con pocos años de registropocos años de registro, por lo que, la curva de , por lo que, la curva de distribución de probabilidades de los caudales máximos, se tiene que distribución de probabilidades de los caudales máximos, se tiene que prolongar en su extremo, si se quiere inferir un caudal con un período de prolongar en su extremo, si se quiere inferir un caudal con un período de retorno mayor al tamaño del registro. retorno mayor al tamaño del registro.

• El problema se origina, en que existen muchos tipos de distribuciones que El problema se origina, en que existen muchos tipos de distribuciones que se apegan a los datos, y que sin embargo, difieren en los extremos. Esto se apegan a los datos, y que sin embargo, difieren en los extremos. Esto ha dado lugar a diversos métodos estadísticos, dependiendo del tipo de ha dado lugar a diversos métodos estadísticos, dependiendo del tipo de distribución que se considere.distribución que se considere.

• Métodos:Métodos:– Gumbel (rigurosa)Gumbel (rigurosa)– Nash (menos rigurosa que la Gumbel, permite ajuste por mínimos cuadrados)Nash (menos rigurosa que la Gumbel, permite ajuste por mínimos cuadrados)– Levediev (Distribución Pearson tipo III)Levediev (Distribución Pearson tipo III)

Método de GumbelMétodo de Gumbel• Para calcular el caudal máximo Para calcular el caudal máximo

para un período de retorno para un período de retorno determinado se usa la ecuación:determinado se usa la ecuación:

Método de GumbelMétodo de Gumbel• Para calcular el intervalo de confianza, Para calcular el intervalo de confianza,

o sea, aquel dentro del cual puede o sea, aquel dentro del cual puede variar Qmáx dependiendo del registro variar Qmáx dependiendo del registro disponible se hace lo siguiente:disponible se hace lo siguiente:– Si φ = 1-1/T varía entre 0.20 y Si φ = 1-1/T varía entre 0.20 y

0.80, el intervalo de confianza se 0.80, el intervalo de confianza se calcula con la fórmula:calcula con la fórmula:

– Si φ > 0.90, el intervalo se calcula Si φ > 0.90, el intervalo se calcula como:como:

Método de GumbelMétodo de Gumbel• Para calcular el intervalo de confianza, Para calcular el intervalo de confianza,

o sea, aquel dentro del cual puede o sea, aquel dentro del cual puede variar Qmáx dependiendo del registro variar Qmáx dependiendo del registro disponible se hace lo siguiente:disponible se hace lo siguiente:– Si φ = 1-1/T varía entre 0.20 y Si φ = 1-1/T varía entre 0.20 y

0.80, el intervalo de confianza se 0.80, el intervalo de confianza se calcula con la fórmula:calcula con la fórmula:

– Si φ > 0.90, el intervalo se calcula Si φ > 0.90, el intervalo se calcula como:como:

Método de GumbelMétodo de Gumbel• La zona de φ comprendida entre 0.8 y 0.9 se considera de La zona de φ comprendida entre 0.8 y 0.9 se considera de

transición, donde Δtransición, donde ΔQ Q es proporcional al calculado con las es proporcional al calculado con las ecuaciones 6.29 y 6.30, dependiendo del valor de φ. ecuaciones 6.29 y 6.30, dependiendo del valor de φ.

• El caudal máximo de diseño para un cierto período de El caudal máximo de diseño para un cierto período de retorno será igual al caudal máximo con la ecuación (6.27), retorno será igual al caudal máximo con la ecuación (6.27), más el intervalo de confianza, calculado con (6.29) ó (6.30).más el intervalo de confianza, calculado con (6.29) ó (6.30).

Método de GumbelMétodo de GumbelEjemplo 7Ejemplo 7• Se tiene el registro de Se tiene el registro de

caudales máximos de 30 caudales máximos de 30 años para la estación 9-3 años para la estación 9-3 Angostura, como se Angostura, como se muestra en la tabla 6.15.muestra en la tabla 6.15.

• En este río se desea En este río se desea construir una presa de construir una presa de almacenamiento.almacenamiento.

• Calcular el caudal de Calcular el caudal de diseño para el vertedor de diseño para el vertedor de demasías, para períodos de demasías, para períodos de retorno 50 y 100 años retorno 50 y 100 años respectivamente.respectivamente.

• Utilizar el método Gumbel.Utilizar el método Gumbel.ΣQ = 28,748ΣQ2 = 40,595,065

Método de GumbelMétodo de GumbelEjemplo 7: SoluciónEjemplo 7: Solución• Cálculo del promedio de caudales Cálculo del promedio de caudales QQmm::

– De la tabla 6.15, si se suma la columna (2) y se divide entre el De la tabla 6.15, si se suma la columna (2) y se divide entre el número de años del registro, se obtiene:número de años del registro, se obtiene:

• Cálculo de la desviación estándar de los caudales σCálculo de la desviación estándar de los caudales σQQ::– Con Con QQmm, sumando los cuadrados de los caudales de la tabla 6.15 y , sumando los cuadrados de los caudales de la tabla 6.15 y

utilizando la ecuación (6.28), se tiene:utilizando la ecuación (6.28), se tiene:

• Cálculo de los coeficientes σCálculo de los coeficientes σNN, Y, YNN::– De la tabla 6.13, para De la tabla 6.13, para N N = 30 años, se tiene:= 30 años, se tiene:

Método de GumbelMétodo de GumbelEjemplo 7: SoluciónEjemplo 7: Solución• Obtención de la ecuación del caudal máximo:Obtención de la ecuación del caudal máximo:

– Sustituyendo valores en la ecuación (6.27), se Sustituyendo valores en la ecuación (6.27), se tiene:tiene:

• Cálculo del caudal máximo para diferentes Cálculo del caudal máximo para diferentes TT::

• Cálculo de φ:Cálculo de φ:

Método de GumbelMétodo de GumbelEjemplo 7: SoluciónEjemplo 7: Solución• Cálculo del intervalo de confianza:Cálculo del intervalo de confianza:

– Como en ambos casos φ es mayor que Como en ambos casos φ es mayor que 0.90, se utiliza la ecuación:0.90, se utiliza la ecuación:

• Cálculo del caudal de diseño:Cálculo del caudal de diseño:– De la ecuación (6.31), se tiene:De la ecuación (6.31), se tiene:

Método de NashMétodo de Nash• Nash considera que el valor del Nash considera que el valor del

caudal para un determinado período caudal para un determinado período de retorno se puede calcular con la de retorno se puede calcular con la ecuación:ecuación:

Método de NashMétodo de Nash• Los parámetros Los parámetros a a y y b b se estiman utilizando el se estiman utilizando el

método de mínimos cuadrados, con la ecuación método de mínimos cuadrados, con la ecuación lineal: lineal: Q Q = = a a + + bXbX, utilizando las siguientes , utilizando las siguientes ecuaciones:ecuaciones:

Método de NashMétodo de Nash• Para calcular los valores de Para calcular los valores de XXi i correspondientes a los correspondientes a los QQii,, se se

ordenan estos en forma decreciente, asignándole a cada uno un ordenan estos en forma decreciente, asignándole a cada uno un número de orden número de orden mmii; al ; al QiQi máximo le corresponderá el valor 1, al máximo le corresponderá el valor 1, al inmediato siguiente 2, etc. Entonces, el valor del período de inmediato siguiente 2, etc. Entonces, el valor del período de retorno para retorno para QiQi se calculará utilizando la fórmula de Weibull con la se calculará utilizando la fórmula de Weibull con la ecuación:ecuación:

• Finalmente, el valor de cada Finalmente, el valor de cada Xi Xi se obtiene sustituyendo el valor de se obtiene sustituyendo el valor de (6.36) en (6.35). El intervalo dentro del cual puede variar el (6.36) en (6.35). El intervalo dentro del cual puede variar el Qmáx Qmáx calculado por la ecuación (6.32), se obtiene como:calculado por la ecuación (6.32), se obtiene como:

Método de NashMétodo de Nash• De la ecuación (6.37), se ve que ΔDe la ecuación (6.37), se ve que ΔQ Q sólo sólo

varía con varía con XX, la cual se calcula de la ecuación , la cual se calcula de la ecuación (6.35), sustituyendo el valor del período de (6.35), sustituyendo el valor del período de retorno para el cual se calculó el retorno para el cual se calculó el QmáxQmáx. . Todos los demás términos que intervienen en Todos los demás términos que intervienen en la ecuación (6.37) se obtienen de los datos.la ecuación (6.37) se obtienen de los datos.

• El caudal máximo de diseño correspondiente El caudal máximo de diseño correspondiente a un determinado período de retorno será a un determinado período de retorno será igual al caudal máximo obtenido de la igual al caudal máximo obtenido de la ecuación (6.32), más el intervalo de ecuación (6.32), más el intervalo de confianza calculado según la ecuación (6.37), confianza calculado según la ecuación (6.37), es decir:es decir:

Método de NashMétodo de NashEjemplo 8Ejemplo 8• Para los mismos datos de la tabla Para los mismos datos de la tabla

6.14, del ejemplo 7, calcular el 6.14, del ejemplo 7, calcular el caudal de diseño utilizando el caudal de diseño utilizando el método de Nash, para períodos de método de Nash, para períodos de retorno de 50 y 100 años.retorno de 50 y 100 años.

Método de NashMétodo de NashEjemplo 8: SoluciónEjemplo 8: Solución• Ordenando en forma Ordenando en forma

descendente, los valores de descendente, los valores de los caudales de la columna los caudales de la columna 2, de tabla 6.15, se obtiene 2, de tabla 6.15, se obtiene la columna 2 de la tabla la columna 2 de la tabla 6.16.6.16.

• Cálculos preliminares:Cálculos preliminares:– Las columnas de la tabla Las columnas de la tabla

6.16, se obtienen de la 6.16, se obtienen de la siguiente forma:siguiente forma:

• Columna Columna ((11): número de ): número de ordenorden

• Columna Columna ((22): caudales ): caudales máximos ordenados en máximos ordenados en forma descendenteforma descendente

• Columna Columna ((33): período de ): período de retorno, obtenido con la retorno, obtenido con la formula de Weibull :formula de Weibull :

Método de NashMétodo de NashEjemplo 8: SoluciónEjemplo 8: Solución

• Columna Columna ((44): cociente): cociente

• Columna Columna ((55):):

• Columna Columna ((66): producto): producto

– De la tabla 6.16, se De la tabla 6.16, se tiene:tiene:

Método de NashMétodo de NashEjemplo 8: SoluciónEjemplo 8: Solución• Cálculo de Cálculo de QQm y m y XXm:m:

• Cálculo de los parámetros Cálculo de los parámetros a a y y bb::– De la ecuación (6.34), se tiene:De la ecuación (6.34), se tiene:

– De la ecuación (6.33), se tiene:

Método de NashMétodo de NashEjemplo 8: SoluciónEjemplo 8: Solución• Cálculo del caudal máximo:Cálculo del caudal máximo:

– Sustituyendo los valores de los parámetros Sustituyendo los valores de los parámetros a a y y bb, en la , en la ecuación (6.32), se tiene:ecuación (6.32), se tiene:

– luego:luego:

– Cálculo de las desviaciones estándar y covarianza:Cálculo de las desviaciones estándar y covarianza:

Método de NashMétodo de NashEjemplo 8: SoluciónEjemplo 8: Solución• Cálculo del intervalo de confianza:Cálculo del intervalo de confianza:

– Sustituyendo en la ecuación (6.37), se tiene:Sustituyendo en la ecuación (6.37), se tiene:

• Cálculo del caudal de diseño:Cálculo del caudal de diseño:

Método de LebedievMétodo de Lebediev• Este método está basado en suponer que los caudales Este método está basado en suponer que los caudales

máximos anuales son variables aleatorias máximos anuales son variables aleatorias Pearson tipo IIIPearson tipo III..• El caudal de diseño se obtiene a partir de la fórmula:El caudal de diseño se obtiene a partir de la fórmula:

Entre estos valores y el que se Entre estos valores y el que se obtiene de la ecuación (6.41), se obtiene de la ecuación (6.41), se escoge el mayor.escoge el mayor.

Método de LebedievMétodo de Lebediev

Método de LebedievMétodo de LebedievEjemplo 9: SoluciónEjemplo 9: Solución• Para los mismos datos de la tabla Para los mismos datos de la tabla

6.15, del ejemplo 6.7, calcular el 6.15, del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseño utilizando el caudal de diseño utilizando el método de Lebediev.método de Lebediev.

Método de LebedievMétodo de LebedievEjemplo 9: SoluciónEjemplo 9: Solución• Obtención del caudal medio Obtención del caudal medio QmQm

– Se logra aplicando le ecuación (6.43), Se logra aplicando le ecuación (6.43), sumando los caudales y dividiendo entre el sumando los caudales y dividiendo entre el número de años de registro, es decir:número de años de registro, es decir:

• Cálculos previosCálculos previos– Con los datos de la tabla 6.15 y con el Con los datos de la tabla 6.15 y con el

valor de valor de QmQm, se obtiene la tabla 6.18, , se obtiene la tabla 6.18, siendo:siendo:

• Cálculo del coeficiente de variación Cálculo del coeficiente de variación CCvv– De la ecuación (6.42), se tiene:De la ecuación (6.42), se tiene:

Método de LebedievMétodo de LebedievEjemplo 9: SoluciónEjemplo 9: Solución• Determinación del coeficiente de asimetría Determinación del coeficiente de asimetría

CsCs– De la ecuación (6.41), se tiene:De la ecuación (6.41), se tiene:

– Considerando que la avenida es producida por una Considerando que la avenida es producida por una tormenta, se tiene:tormenta, se tiene:

• De estos dos valores se escoge el mayor, por lo tanto se De estos dos valores se escoge el mayor, por lo tanto se tiene:tiene:

Método de LebedievMétodo de LebedievEjemplo 9: SoluciónEjemplo 9: Solución• Obtención del coeficiente K:

– Para el período de retorno de 50 años, el valor de P es:

• Con P = 2 % y Cs = 2.8654, de la tabla 6.17, se obtiene K = 3.12

– Para el período de retorno de 100 años, el valor de P es:

– Con P = 1 % y Cs = 2.8654, de la tabla 6.17, se obtiene K = 3.98

Método de LebedievMétodo de LebedievEjemplo 9: SoluciónEjemplo 9: Solución• Cálculo de ErCálculo de Er

– De la figura 6.3:De la figura 6.3:

• Cálculo del caudal máximo:Cálculo del caudal máximo:– Para Para T T = 50 años de la ecuación (6.39), = 50 años de la ecuación (6.39),

se tiene:se tiene:

– Para Para T T = 100 años, se tiene:= 100 años, se tiene:

• Cálculo del intervalo de confianzaCálculo del intervalo de confianza– Para Para N N = 30 años se puede tomar = 30 años se puede tomar A A = =

0.850.85

Método de LebedievMétodo de LebedievEjemplo 9: SoluciónEjemplo 9: Solución

– De la ecuación (6.40), para De la ecuación (6.40), para T T = 50 años, se tiene:= 50 años, se tiene:

– Para Para T T = 100 años, se tiene:= 100 años, se tiene:

• Cálculo del caudal de diseñoCálculo del caudal de diseño– Para Para T T = 50 años:= 50 años:

– Para Para T T = 100 años:= 100 años:

¿Cómo escoger la mejor ¿Cómo escoger la mejor solución?solución?• Hacer pruebas de bondad de ajuste Hacer pruebas de bondad de ajuste

para cada una de las distribucionespara cada una de las distribuciones– Chi-cuadradoChi-cuadrado– Kolmogorov-SmirnoffKolmogorov-Smirnoff