capitulo 5. armonicos. parte i

SISTEMAS DE POTENCIA INDUSTRIALUNIVERSIDAD

SIMÓN BOLÍVAR

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Y DESARROLLODE LA UNIVERSIDADSIMON BOLIVAR

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CAPÍTULO 5

ARMÓNICOS ENSISTEMAS INDUSTRIALES


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ARMÓNICOS ES SISTEMAS INDUSTRIALES

Los armónicos en las redes eléctricas son causados por las cargas no lineales. Estas

cargas cambian la naturaleza de la corriente y de la tensión en las redes eléctricas,

ocasionando flujo de corrientes ( y consecuentes caídas de tensión) armónicos.

Los armónicos son señales que oscilan a frecuencias múltiples integrales de la fundamental,

elevan las perdidas en las redes y causan interferencias en los circuitos de comunicaciones.

Las fuentes de armónicos en las redes eléctricas, han incrementado con el tiempo, entre los

más importantes se encuentran los convertidores estáticos de potencia, los elementos de

descargas de arco, los elementos que operan con sus circuitos magnéticos saturados, las

máquinas eléctricas , etc. Hoy en día los convertidores estáticos de potencia, utilizados en

una gran variedad de equipos desde industriales hasta domésticos, constituyen las cargas

lineales más abundantes en los sistemas eléctricos.


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En la industria, los convertidores estáticos de potencia, son usados para propósitos variados,

tales como fuentes electroquímicas de potencia, controladores de velocidad, fuentes de

potencia ininterrumpible, etc; son equipos útiles por cuanto pueden convertir las señales de

potencia de ac a ac, de ac a dc, de dc a ac y de dc a dc; pero en el proceso de conversión

producen muchos armónicos que alteran o perturban la operación de otras cargas y del

sistema mismo. Mas adelante detallaremos un poco más sobre estas y otras cargas no –

lineales.

Función PeriódicaFunción con cualquier forma de onda ( cuadrada, triangular, rectangular, etc) que se repite en el mismo período de tiempo T o en 2 radianes.

Representación de una señal no-sinusoidal mediante series de Fourier

“Cualquier función periódica, finita y contínua o con un número finito de discontinuidades en un período T o 2/w , se puede representar por una serie de la forma”

ANÁLISIS DE SEÑALES NO – SINUSOIDALES


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01 1

( ) cos Wnt+ sen Wntnn n

f wt a a bn

a0 = Constante, an , bn = Amplitud de los armónicos, n= 1,2,3,......

Wn = nWo = Frecuencia angular de la señal n.

Una manera práctica de representar esta señal es:

0 o n1

( ) cos (nW t + )nn

f wt a C

2 2 nn

n

b y = - atan

an na bdonde Cn =

Los coeficientes ao , an y bn se determinan mediante las relaciones:

2

0

1cosf n dan=


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bn= 2

0

1f sen n d

ao=

2

0

1

2f d

wt

También se puede expresar la señal, en forma compleja, resultando en:

jnwto n

n

f wt a A e

donde

; ; arg2 2

n n nn n n n

a jb CA A A


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SIMETRÍA DE MEDIA ONDA

Se dice que una señal tiene simetría de media onda cuando para cualquier ordenadaen el lóbulo positivo hay una ordenada de igual valor pero de signo opuesto, en el lobulonegativo, a una distancia de 180º a lo largo del eje, es decir:

f f

SÍNTESIS DE SEÑALES. EFECTO DE LAS COMPONENTES

La componente constante ao desplaza la onda en el eje de las ordenadas y la hace

asimétrica, en otras palabras, una señal no sinuisoidal que contenga un término

constante es asimétrica.

Los armónicos pares causan que la onda no-sinusoidal resultante, sea asimétrica.

Ejemplo .- Añádale a la señal fundamental 10 sen wt, la señal par 5sen 2wt y observe el efecto.


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10

5

10sen(wt)

5sen(2wt)

Resultante

La resultante es una señal impar (asimétrica), es decir una

señal asimétrica contiene sólo armónicos pares.

f f


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Los armónicos impares causan que la señal no-sinusoidal resultante sea simétrica.

Ejemplo: A la señal fundamental 10senwt añádale la señal impar 3.5sen3wt y observe el efecto. La resultante es una señal par.

10sen(wt)

3.5sen(wt)

Es decir, una señal simétrica contiene solo armónicos impares, y no puede

contener ni armónicos pares ni el término constante ao.

f f


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VALOR MEDIO DE UNA SEÑAL NO- SINUSOIDAL

Sea

1 1 2 22 ........o n ne E E sen E sen E sen n

El valor medio de esta función es:

EAV = Eo

Dado que el valor medio de los restantes señales sinusoidales, es cero.

VALOR RMS DE UNA SEÑAL NO- SINUSOIDAL

Sea

1 1 2 22 ........o n nE E E sen E sen E sen n


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Su valor RMS es:

2 2 2

2 ! 20 .... .

2 2 2nE E E

E

Erms =

El valor RMS de la señal es la raíz cuadrada de la sumatoria de los valores RMS

cuadrados, de los componentes.

POTENCIA PROMEDIO EN REDES EXCITADAS CON SEÑALES NO-SINUSOIDALES

Sea que en un punto de una red, las señales de tensión y corriente tengan la siguienteexpresión:

1 1 2 22 ........o n ne E E sen E sen E sen n

1 1 1 2 2 22 ....o n n nI I sen I sen I sen n i =

La potencia instantánea en el punto es:

( ) ( )p e t i t


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La potencia promedio es:

2 2

0 0

1 1( ) ( )

2 2P pd e t i t d

Evaluando esta integral con las señales para e(t) e i(t) antes indicadas, se obtiene:

1 1 2 21 2cos cos ..... cos

2 2 2n n

o o n

E I E I E IP E I

Es decir la potencia promedio es la suma de las potencias promedio originadas por las señales e(t) e i(t) de igual frecuencia.

Cos Factor de potencia de la armónica n.n

EFECTO DE LA SIMETRÍA EN LAS SERIES DE FOURIER

Reglas útiles para determinar por anticipado que tipo de componente de la serie de

Fourier no existe en una señal no- sinusoidal, observando su simetría.


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1.- Término constante ao: No existe si la señal tiene igual área en la parte superior que en lainferior, con respecto al eje horizontal. 2.- Onda Simétrica: Si la onda no-sinusoidal es simétrica [ ] en relación al eje horizontal, la constante a0 y todos los armónicos pares son cero.

3.- Onda Simétrica: Si una onda no – sinusoidal es simétrica en relación a una línea horizontal a0, la serie de Fourier que la define contiene la señal a0 más una suma de

armónicos impares; no contiene armónicos pares.

4.- Función Impar: Es aquella que satisface la relación:

f f

3 1, , ,sen son funciones impares.

Una función impar como sen , es la suma de un conjunto de funciones impares.

Cuando la señal no-sinusoidal que se analiza es una función impar, el término a0 y todos

los términos cos son cero, es decir la función contiene sólo términos senoidales.

f f


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5.- Función Par: Es aquella que satisface la relación:

f f 2 4 2, , ,cos

, son funciones pares.

Una función par es la suma de funciones pares.Cuando la señal no- sinusoidal que se analiza es una función par, todos los componentes seno son cero, es decir la señal es representable por una serie de términos coseno más un término constante quizás.

6.- No hay relación entre funciones pares (impares) y armónicas pares (impares), son dos conceptos diferentes.

INFLUENCIA DE LA SELECCIÓN DEL ORIGENLa escogencia del origen para señales con algún tipo de simetría, puede simplificar las seriesde Fourier y de esa forma reducir el trabajo de determinar los coeficientes de la serie. Por ejemplo una onda cuadrada puede ser expresada como una función par o una función impar, oninguna de las dos, dependiendo de la escogencia del origen.


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Función Impar Función Par Ninguna paridad


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Ejemplo: Considérese la señal cuadrada periódica que se muestra en la figura.

-/2 /20 3 /2

1

Determine las primeras señales de la serie de Fourier que la representa.

Solución:

1 - < < 2 2

31 < <

2 2

f

f


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El coeficiente ao = 0 debido a que el área neta comprendida entre el eje horizontal y la señal, para un ciclo completo, es cero.Como se observa, la señal es una función par en la cual f f de allí que la serie de Fourier que la represente debe estar compuesta por funciones pares.

Así que los coeficientes bn deben ser cero, puesto que solo debe contener funciones con

coseno (pares).

EVALUEMOS LOS COEFICIENTES

2

n

0

3

2 2

n

2 2

3

22

n

22

n

1= . f cos

1= . (1)cos ( 1)cos

1=

1 3= 3

2 2

a n d

a n d n d

senn senna

n n

na senn sen

n


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0 para n= 2,4,6......

4 para n = 1,5,9.....

4 para n = 3,7,11....

n

n

n

a

an

an

Los coeficientes de los componentes senoidales son:

2

n

0

3

2/ 2

n - /2

2

1b = . f

1 1b = 0

sen n d

senn d senn d


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La serie de Fourier para esta señal es :

4 1 1 1cos cos3 cos5 cos7 ...

3 5 7f

lo cual constituye la suma de señales pares.

Ejemplo:

Determine la serie de Fourier.

-

0 3

1

2 4

v


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Un ciclo completo de la función puede expresarse entre – y ,, como:

con = wtV

Los coeficientes de la serie de Fourier son :

ao es cero por que el área neta en un ciclo de la curva es cero.

2

n

0

1 1= . f cos = . ( / )cos 0a n d V n d

2

n -0

1 1b = . f = ( / )sen n d V senn d

n 2 2

2Vb = .( n cos )sen n n

n n

2Vb = - . para n entero par

n

n

2Vb = . para n entero impar

n


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Ejemplo

Determinar los coeficientes de Fourier para la señal periódica dada en la figura siguiente.

Nótese que el período es 2.

0 4 ( 2T )

1

2 (T )

V(t)

(t)

La serie de Fourier es entonces:

2V

f( ) = .( 1/ 2 2 1/ 3 3 1/ 4 4 .....)sen sen sen sen


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2.

0

0

2.

n

0

2.

n

0

1: . 0.5

2. 2.

2: . .cos a : 0

2. 2.

2 1: . .sin b :

2. 2. .

n

n

ta dt

ta nwt dt

tb nwt dt

n

Evalúese el resultado para distintos valores de corte de la suma de Fourier


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Si se considera sólo la fundamental:

1

01

v : .cos .sinn nn

t a nwt b nwt a

0.5

0

1

V (t)

t


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Si se considera hasta el armónico de orden 3:

3

01

v : .cos .sinn nn

t a nwt b nwt a


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Si se considera hasta el armónico de orden 5:

5

01

v : .cos .sinn nn

t a nwt b nwt a


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Si se considera hasta el armónico de orden 15

15

01

v : .cos .sinn nn

t a nwt b nwt a


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FUNCIONES NO ANALÍTICAS. MÉTODO GRÁFICO

Cuando la función f( ) no se puede expresar analíticamente, los coeficientes se pueden conseguir mediante métodos gráficos.Consideremos primero la señal f( ) asimétrica como se muestra en la figura.

n, y bo na a

1 2 3 4

y1y2

y3

yK

yLL

2

0

2/m

ym m

f ()


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El lóbulo superior de esta señal no necesita ir de 0 a . y no es necesario que la curva

empiece en el origen.

Divídase el rango desde 0 a 2 en m partes iguales y eríjase una ordenada en el punto medio

de cada divisor. (Y1, Y2,.....Ym) , donde habrá ordenadas positivas como Yk y ordenadas

negativas como Yee. Cada ordenada Yk representará el valor de f( ). para =k.

La constante ao , queda definida como:

2

0

0

1

2a f d

Se puede expresar aproximadamente como la suma algebraica promedio de las ordenadas:

0 1 2

01

1.... ... ....

1

k ll m

m

nm

a Y Y Y Y Ym

a Ym


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De manera similar:

2

1

0

1 1

21

1

0

1 1 11 1 2 2

12 cos

2

f f cos

2 a

2

1 2 3 2 2 1 2 Y cos ; Y cos , ; cos .....

2 2 2

k k k k

k k

a f d

si Y

luego f d

kdonde Y Y Y Y x etc

m m m

De esta manera a1 se puede expresar en forma aproximada, como:

11

1 1 22 cos

2

m

nn

a Y nm m


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Y en general, el coeficiente an, viene dado por:

1

1 1 22 cos

2

m

k nn

a Y k nm m

Y de forma similar:

1

1 1 22

2

m

k nn

b Y senk nm m

ONDA F( ) SIMÉTRICASi la onda f( ) fuese simétrica, donde f( ) = el término a0 y todos los armónicos

pares serían cero y el proceso de integración aproximada, se efectuaría sólo para medio ciclo,

es decir para m /2 divisiones, en ese caso los coeficientes an y bn para las señales impares de

Fourier, se pueden conseguir usando las mismas expresiones anteriores pero en vez de m se

usa m/2.

asi ak y bk resultan en:

f


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2

1

2

1

4 41cos( )2

4 41s ( )2

m

k nn

m

k nn

a Y n km m

b Y en n km m

En este proceso de integración numérica se obtiene mayor precisión en las constantes

an y bn y la serie de Fourier que se determine será más representativa, mientras mayor

sea el número de divisiones m que se utilice y por supuesto se incrementa el tiempo de

cálculo cuando el grado k de los armónicos a calcular, es mayor.


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APLICACIÓN DE SEÑALES NO SINUSOIDALES A CIRCUITOS LINEALES

Para circuitos lineales, se puede aplicar el teorema de superposición de efecto

de las señales, es decir la respuesta de la red a cada componente de Fourier es tratada en

forma separada usando la teoría clásica de análisis de redes lineales. El resultado final de la

respuesta del circuito(de la corriente por ejemplo) es la suma de los valores obtenidos para

cada señal componente de la serie de Fourier.

Debemos recordar que no todos los elementos de un circuito o de un sistema de potencia,

son lineales, como es el caso de transformadores, circuitos electrónicos de conversión, etc,

en estos casos la señal de respuesta del circuito contiene armónicos que no están

contenidos en la señal de excitación del circuito, es decir el circuito o sus

elementos se comportan como productores o fuentes de armónicos, tal es el caso de la

señal de la corriente en vacío de un transformador cuando se le alimenta por el primario

con una tensión sinusoidal .


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Sea por ejemplo una corriente compuesta por armónicos impares solamente, simétrica,no – sinusoidal, que fluye por un circuito serie RLC lineal.

3

1 3 5 7

1 1 3

.....

3 .....n

m m mn n

i i i i i i

i I sen wt I sen wt I sen nwt

Los componentes de la tensión aplicada debido a los diferentes componentes de lacorriente son:

1 1 1 1 1

3 3 3 3 3

3

. .

. .

. .

m

m

n n mn n n

Z I sen wt

Z I sen wt

Z I sen nwt


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La tensión aplicada es entonces:

1 2 3

22

........

1/

1/tan ¨¨

n

k

k

Z R kwL kwC

kwL kwCa angulo de fase

REjemplo: Una corriente con una forma de onda como se muestra en la figura, circula a través de un circuito serie RL, con R= 3Ω y L = .004H, .Encuentre la ecuación para el voltaje aplicado al circuito.

0

1

2

i

/2

3 /2

-1


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Trabajemos la fundamental y tercera armónica.

Esta es una señal impar para la cual ao = 0 y an = 0.

Por análisis de Fourier se consigue que la serie representativa de la corriente es:

2

22 3 31

22 3 33 3

11

3

8 1 1 13 5 7 .......

9 25 49

w=1000

Z 3 4 10 10 5

Z 3 3 4 10 10 12.4

. . .

. . .

tan 4 / 3 53.2º

w

w

senwt sen wt sen wt sen wt

donde

Z x x

Z x x x

1tan 12 / 3 76º

. .

. .


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1 1 1 1

21

3 3 3 3

23

5 (8 / ) 1000 53.2º 4.05 1000 53.2º

3

12.4(-8/9 ) 3000 76º 1.115 (3000 76 )

m

m

o

Z I sen wt

x sen t sen t

Z I sen wt

sen t sen t

El voltaje aplicado es entonces:

4.05 1000 53.2º 1.115 3000 76º ......sen t sen t


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RESONANCIA EN CIRCUITOS LINEALES, SERIE, RLC, EXCITADOS POR SEÑALESNO-SINUSOIDALES:

La condición de resonancia para la armónica n está dada por la relación.

1

n

nwLnwc

Z R

El valor efectivo para la corriente a esa armónica es:

n nn

n

V VI

Z R

Si R es relativamente pequeña comparada con WL y 1/WC, la corriente armónica In será

muy prominente dentro de las componentes de la corriente total y el voltaje producido

por esa componente armónica a través del capacitor y del inductor serán grandes pudiendo

causar daños a estos elementos.


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ARMÓNICOS EN SISTEMAS TRIFÁSICOS

Se asume usualmente que un generador balanceado trifásico es eléctricamente simétrico,

por lo que sus voltajes generados también son simétricos de tal manera que estas señales

de tensión no poseen armónicos pares. Los voltajes generados tienen entonces la forma:

1 3 5

1 3 5

1 3 5

3 5 .......

120º 3 120º 5 120º ......

120º 3 120º 5 120º .....

a

b

c

E senwt E sen wt E sen wt

E sen wt E sen wt E sen wt

E sen wt E sen wt E sen wt


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Nótese que las señales fundamentales están reparadas por 120º, asimismo ocurre conlas señales de quinta armónica, sin embargo las terceras armónicas están en fase debidoa que sen3(wt-120º)=sen3wt y sen3(wt+120º) = sen3wt. De la misma manera se puede probar que están en fase las señales de las armónicas 9na, 15ava,21ava....etc. (es decir las señales que cumplen con la relación 3(2n+1) n = 0,1,2....). A estas señales se lesdenomina usualmente armónicos triples. Las otras señales, las no- triples, están desfasadas 120º bien en secuencia positiva o en secuencia negativa.

BOBINAS DEL GENERADOR CONECTADAS EN Y

a

b

c


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Cuando las bobinas del generador están conectadas en Y, los voltajes de fasepermanecen con el contenido armónico de las respectivas fases, pero los voltajes de línea no poseen armónicos triples debido a que estos están en fase, esos armónicos desaparecen al referir el voltaje de una fase al voltaje de otra fase.

Ejemplo:

5

7 11

3 , ( 30º ) 3 (5 30º )

3 7 30º 3 11 30º ...

ab a b E sen wt E sen wt

E sen wt E sen wt

ab no contiene armónicos triples. Lo mismo ocurre con las tensiones de línea . Esto

implica que en presencia de armónicos, las formas de onda de tensiones de fase son

diferentes a los de las tensiones de línea; y en general

E < 3 nE

l lE = Valor efectivo de la tensión línea-línea.

l nE = Valor efectivo de la tensión línea-neutro.


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BOBINAS DEL GENERADOR CONECTADAS EN

a

b

c

En este caso, la tensión entre dos terminales del abierto, es igual a lasuma de las tensiones en las bobinas. Esa tensión Aa ab bB no contiene

componente fundamental debido a que estas están desfasados 120º entre sí y su suma es cero; lo mismo ocurre con las armónicas no – triples. la quinta, la séptima, etc; sin embargo como los componentes de las armónicas triples están en fase, ellas se suman en vez de cancelarse, por lo que:

3 9 153 3 3 9 3 15 ....AB E sen wt E sen wt E sen wt


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Si se unieran los terminales abiertos del se produciría una corriente interna circulante y en las respectivas impedancias internas (Z) de cada bobina (asumidas iguales) se originaría una caída de tensión de igual magnitud de tal manera que en cada bobina la caída detensión será 1/3 .

Así la caída de tensión en cada bobina es:

zz

3 9 151/ 3 3 9 15 ....bo z E sen wt E sen wt E sen wt

Cuando se sustrae bo a la tensión generada en cada bobina, las tensiones triples se

cancelan y las tensiones de línea de salida de la quedan como :

1 5 75 7 .....ab a bo E senwt E sen wt E sen wt

1 5 7( 120º ) 5( 120º ) 7( 120º ) ...bc b bo E sen wt E sen wt E sen wt

1 5 7( 120º ) 5( 120º ) 7( 120º ) ...ca c bo E sen wt E sen wt E sen wt

Es decir, como en el caso de las bobinas conectadas en Y, los voltajes línea- línea de un generador conectado en , no contienen armónicos triples.


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FUENTES DE ARMÓNICOS EN LOS SISTEMAS DE POTENCIALos armónicos son creados por las cargas o elementos del sistemaque tienen comportamiento no lineal de manera continua o en algún momento de su operación.

Existe hoy en día una amplia variedad de elementos que generanarmónicos y que están conectados a cualquier nivel de tensión del sistema de potencia, generalmente menor de 69 kV.


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Las fuentes principales de armónicos son:

1.- CONVERTIDORES DE POTENCIA.- Rectificadores, inversores, variadores de frecuencia, etc. Estos son de magnitud variable. Existengrandes convertidores de potencia como los utilizados en la industriade la fundición de metales y en sistemas de transmisión HVDC. Hay convertidores medianos como los usados en la industria ferrocarrileray para el control de motores en la industria manufacturera y los hayde baja potencia usados en televisores, computadoras, cargadoresde baterías, etc.

Del análisis de Fourier de un circuito equivalente de un convertidor típico se observa que el espectro de armónicos no contiene señales de orden par; para el caso de un rectificador ideal de 6 pulsos se observa que la onda del lado a.c.:- No contiene armónicos triples- Los armónicos existentes son de orden 6k± 1 para k = 1,2,3...etc.- Los armónicos de orden 6k+1 son de secuencia positiva.- Los armónicos de orden 6k-1 son de secuencia negativa.


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Examinemos con el siguiente ejemplo, el espectro de señales de Fourier para el lado ACde un rectificador de seis pulsos con salida de corriente DC de 100 Amperes.

CARGA

IDC = 100A

TRANSFORMADOR


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Idc:=100 A

K:= 1,2,3,.....

1 2k

1 2

T

1

6. 1 n 6. 1 (armonicos presentes)

0 0

n 7 n 5 ( solo se evalua hasta la armonica 13)

13 11

n=(0 1 5 7 11 13)

2. 3.

kn k k

I

1

1k k

(Amplitud de la fundamental)

I 110.26578 A

I Amplitud de las armonicas de orden nk

Idc

I

n


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0 0

1 110.26578

5 22.05316

7 15.75225

11 10.02416

13 8.48198

k kn I

Nótese que no contiene armónicos pares, sólo existen los armónicos impares que no son múltiples de 3, es decir: 5,7,11,13, etc. En la figura se muestra el espectro de los armónicos y sus amplitudes (Ik)


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Construcción de la curva de la corriente usando la aproximación hasta la armónica 13 ( k=5)

21

1 016 1

1cos 1

i

k ii k

t I niw t xn


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Estas señales armónicas inyectadas desde el rectificador a la red a.c, fluyen por el sistema de potencia causando efectos diversos tales como: calentamiento en transformadores, incremento de pérdidas, fenómenos de resonancia, etc.

2.- HORNOS DE ARCO: Los armónicos producidos por los hornos de arco usados para laproducción de acero son impredecibles debido a la variación del arco en cada ciclo delproceso. La corriente de arco no es periódica y el análisis de la señal revela un espectro continuo de armónicos de orden par e impar, aún cuando en las mediciones de armónicos de bajo orden ( 2da a 7ma) los enteros predominan ante los no-enteros, y su amplitud decrece con el orden.

Un contenido típico de armónicos en la corriente de un horno de arco para producción deacero se presenta en la tabla siguiente.


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CONTENIDO ARMÓNICO DE LA CORRIENTE DE UN HORNO DE ARCO. % DE LA FUNDAMENTAL

ORDEN DE ARMÓNICA

CONDICION DEL HORNO 2 3 4 5 7

FUNDICIÓN INICIAL (ARCO ACTIVO) 7.7 5.8 2.5 4.2 3.1

REFINADO DE LA FUNDICIÓN (ARCO

ESTABLE)0 2.0 0 2.1 0


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3.- COMPENSADORES ESTÁTICOS DE VAR’S (SVC) Muy comúnmente usados en los Sistemas eléctricos de potencia a niveles de transmisión y de distribución de potencia paracontrolar los niveles de tensión, reducir el flicker de tensión (causado por hornos de arco porejemplo), mejorar el factor de potencia, corregir el desbalance entre fases y mejorar laestabilidad de los sistemas eléctricos de potencia.

Filtros de armónicos

5 7 11 13

Alimentadoresa cargas de la

planta

Reactor

Reactor


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.La corriente que pasa por el reactor, la cual contiene una pequeña componente en fase con la tensión, debido a las pérdidas activas en el reactor, atrasa al voltaje enaproximadamente 90º. Sin control de los tiristores la corriente es sinusoidal, pero cuandoestos trabajan usando el retardo o adelanto mediante control de la compuerta, nosólo reduce la magnitud de la corriente sino que también alteran su forma de onda.El valor r.m.s de los componentes armónicos de un reactor controlado por tiristores ( RCT) está dado por la expresión.

4 ( 1) ( 1)cos

2( 1) 2( 1)h

V sen h sen h senhI

x h h h

h = 3,5,7.........V = Voltaje línea-línea a frecuencia fundamentalX = Reactancia total del reactor en cada fase.

donde

= Angulo de avance.


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La tabla siguiente recoge las amplitudes máximas de los armónicos hasta el orden 25,

expresados como porcentaje de la corriente fundamental a conducción plena.

Si el sistema donde se aplica el RCT esta operando en condiciones balanceadas, los

valores que se dan en la tabla se aplican para las corrientes de fase y para las corrientes

de línea. Bajo condiciones balanceadas, los armónicos triples estarán presente en las

corrientes de fase pero nó en las corrientes de línea.

Si el sistema donde se aplica el RCT está en condiciones desbalanceadas, como ocurre

durante el período de inestabilidad del arco durante la operación de un horno de arco,

algunas armónicas triples pueden aparecer en las corrientes de línea.

Cuando las corrientes de fase están desbalanceadas, los armónicos presentes en las

corrientes de fase aparecerán en las corrientes de línea como la suma de fasores armónicos

en su propio dominio de frecuencia.


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Amplitud máxima de Corrientes Armónicas en RCT Expresada en % de la fundamental Orden de Armónica 1--------------------------------100 15----------------------------(0.57)3--------------------------------(13.78) 17----------------------------0.445--------------------------------5.05 19----------------------------0.357--------------------------------2.59 21----------------------------0.29)9 -------------------------------(1.57) 23----------------------------0.2411------------------------------1.05 25----------------------------0.2013------------------------------0.75

Orden de la Armónica


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LIMITES DE DISTORSIÓN ARMÓNICA

Los estándares de IEEE establecen límites en el contenido armónico de la corriente de clientes individuales y de los consumidores totales conectados en un cierto punto de los sistemas de potencia, para ello se utilizan factores que reflejan el grado de contaminaciónpor armónicos que poseen las señales. Entre los más importantes factores están:

- Factor de Distorsión o Factor Armónico

DFI = Factor Armónico de la corriente

2 2 23 5 7

1

..(valores en r.m.s)

I I IDFI

I

DFV = Factor Armónico de la Tensión

2 2 23 5 7

1

..(valores en r.m.s)

E E EDFV

E


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- Contenido Armónico Total (CAT)

CATv de la Tensión = 2

2h

h

V

CATi de la Corriente = 2

2h

h

I

h = orden de la armónica

DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL

THDv =

2

2 100 100 la compañia de servicioh

h

n

VCATv

x x paraV Vn

TDDI=

2

2 100 100 consumidores individualesh

h

L

ICATi

x x paraI In


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Vh = Valor r.m.s de la tensión armónica h.

Ih = Valor r.m.s. de la corriente armónica h.

Vn = Tensión nominal r.m.s. a frecuencia fundamental.

IL = Corriente total r.m.s. de la carga , a frecuencia fundamental.

TDDI = Distorsión total de la demanda por la inyección de armónicos provenientes

de un consumidor, medida en el punto de acople entre el consumidor y la compañía de servicio.

LIMITES EN LA DISTORSIÓN DEL VOLTAJE

La compañía que provee el servicio es responsable de mantener la calidad del voltaje en todo el sistema. La siguiente tabla resume, para diferentes niveles de tensión, las exigencias de los estándares en relación a la distorsión de la tensión.


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LIMITES DE DISTORSIÓN DEL VOLTAJE POR CONTENIDO ARMÓNICO EN % DEL VOLTAJE NOMINAL A FRECUENCIA FUNDAMENTAL.

Voltaje de Barra en el Punto de Unión

Distorsión por Armónicos

Individuales

Distorsión Total del Voltaje THD %

Vn 69 kV 3.0 5.0

69kv < Vn 161 kV 1.5 2.5

Vn > 161 kV 1.0 1.5


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Limites de Distorsión de la Corriente de los Consumidores, Expresados en % de (IL)

Para Vn 69 kV

Isc/IL h < 11 11 h<17 17 h<23 23 h<35 35 h TDD

< 20 4 2 1.5 0.6 0.3 5

20-50 7 3.5 2.5 1.0 0.5 8

50-100 10 4.5 4.0 1.5 0.7 12

100-1000 12 5.5 5.0 2.0 1.0 15

> 1000 15 7.0 6.0 2.5 1.4 20


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69 kV < Vn 161 kV

< 20 2 1.0 0.75 0.3 0.15 2.5

20-50 3.5 1.75 1.25 0.5 0.25 4.0

50-100 5.0 2.25 2.0 1.25 0.35 6.0

100-1000

6.0 2.75 2.5 1.0 0.50 7.5

> 1000 7.5 3.50 3.0 1.25 0.70 10


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Vn > 161 kv

< 50 2.0 1.0 0.75 0.3 0.15 2.5

50 3.0 1.75 1.25 0.5 0.25 4.0

2

2 100%h

hI

L

I

TDD xI

TDD= Se refiere a una carga particular.Isc= Corriente mínima de cortocircuito en el punto de unión

de la carga no-lineal con el resto del sistema.

capitulo 5. armonicos. parte i

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