Capítulo 4Capítulo 4

Distribuições de Distribuições de ProbabilidadeProbabilidade

ESTATÍSTICA APLICADAESTATÍSTICA APLICADA

Variável AleatóriaVariável Aleatória

1.1. Um resultado numérico de um experimentoUm resultado numérico de um experimento

2.2. Pode ser discreta ou contínuaPode ser discreta ou contínua

3.3. Variável aleatória discretaVariável aleatória discreta Número contável de valoresNúmero contável de valores Exemplo: Número de peças defeituosas em um loteExemplo: Número de peças defeituosas em um lote

4.4. Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua Número infinito de valores dentro de um intervaloNúmero infinito de valores dentro de um intervalo Exemplo: Diâmetro externo de uma peçaExemplo: Diâmetro externo de uma peça

Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias DiscretasDiscretas

Variável Aleatória DiscretaVariável Aleatória Discreta

1. Tipo de variável aleatória1. Tipo de variável aleatória

2.2. Número inteiro (0, 1, 2, 3 etc.)Número inteiro (0, 1, 2, 3 etc.)

3.3. Obtido por contagemObtido por contagem

4.4. Usualmente número finito de valoresUsualmente número finito de valores A variável aleatória de Poisson é exceção (A variável aleatória de Poisson é exceção ())

Exemplos de Variáveis Exemplos de Variáveis Aleatórias DiscretasAleatórias Discretas

VariávelVariávelAleatóriaAleatória

ValoresValoresPossíveisPossíveis

Fazer 100 contatosFazer 100 contatos NNoo vendas vendas 0, 1, 2, ..., 1000, 1, 2, ..., 100

Inspecionar 70 peçasInspecionar 70 peças NNoo defeit. defeit. 0, 1, 2, ..., 700, 1, 2, ..., 70

Responder 33 perg.Responder 33 perg. NNoo corretas corretas 0, 1, 2, ..., 330, 1, 2, ..., 33

Contar carros noContar carros nopedágiopedágio

NNoo carros carros 0, 1, 2, ..., 0, 1, 2, ...,

ExperimentoExperimento

Distribuição Discreta Distribuição Discreta de Probabilidadede Probabilidade

1.1. Lista de todos os pares possíveis [Lista de todos os pares possíveis [xx, , pp((xx)])] xx = Valor da variável aleatória (resultado) = Valor da variável aleatória (resultado) pp((xx) = Probabilidade associada ao valor x) = Probabilidade associada ao valor x

2.2. Mutuamente exclusivos (sem interseção)Mutuamente exclusivos (sem interseção)

3.3. Coletivamente exaustivos (nada esquecido)Coletivamente exaustivos (nada esquecido)

4. 4. 0 0 pp((xx) ) 1 1

5. 5. pp((xx) = 1) = 1

Exemplo de Distribuição Exemplo de Distribuição Discreta de ProbabilidadeDiscreta de Probabilidade

Distribuição de ProbabilidadesDistribuição de Probabilidades

Valores, Valores, xx Probabilidades, Probabilidades, pp((xx))

00 1/4 = 0,251/4 = 0,25

11 2/4 = 0,502/4 = 0,50

22 1/4 = 0,25 1/4 = 0,25

Exemplo: Jogar 2 moedas. Contar nExemplo: Jogar 2 moedas. Contar noo caras. caras.

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Visualizando Distribuições Visualizando Distribuições Discretas de ProbabilidadeDiscretas de Probabilidade

{ (0; 0,25), (1; 0,50), (2; 0,25) }{ (0; 0,25), (1; 0,50), (2; 0,25) }{ (0; 0,25), (1; 0,50), (2; 0,25) }{ (0; 0,25), (1; 0,50), (2; 0,25) }

ListagemListagem TabelaTabela

GráficoGráfico EquaçãoEquação

NNoo caras carasf(xf(x))

Cont.Cont.p(xp(x))

00 11 0,250,2511 22 0,500,5022 11 0,250,25

pp xxnn

xx nn xxpp ppxx nn xx(( ))

!!

!! (( )) !!(( ))

11

0,000,00

0,250,25

0,500,50

00 11 22xx

p(x)p(x)

MedidasMedidas

1.1. Valor esperadoValor esperado Média da distribuição de probabilidadesMédia da distribuição de probabilidades Média ponderada de todos os valores possíveisMédia ponderada de todos os valores possíveis = = EE((XX)) = = xx pp((xx))

2.2. VariânciaVariância Média ponderada dos desvios quadráticos em Média ponderada dos desvios quadráticos em

relação à média relação à média 22 = = EE[ ([ (XX ((xx pp((xx))

Tabela para Cálculo de Tabela para Cálculo de MedidasMedidas

xx p(xp(x)) xx p(xp(x )) xx - - (x(x --))22((xx --))22 p(p(xx ))

TotalTotal ((xx --))22 p(p(xx ))xx p(xp(x ))

QuestãoQuestão

Você joga 2 moedas. Você joga 2 moedas. Você está interessado no Você está interessado no númeronúmero de caras. Qual é de caras. Qual é o o valor esperadovalor esperado e o e o desvio padrãodesvio padrão desta desta variável aleatória, variável aleatória, número de caras?número de caras?

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Solução do Valor Esperado Solução do Valor Esperado e da Variânciae da Variância

00 0,250,25 00 -1,00-1,00 1,001,00 0,250,25

11 0,500,50 0,500,50 00 00 00

22 0,250,25 0,500,50 1,001,00 1,001,00 0,250,25

= 1,0= 1,0 22 = 0,50= 0,50

xx p(xp(x)) xx p(xp(x )) xx - - (x(x --))22((xx --))22 p(p(xx ))

Função Distribuição de Função Distribuição de Probabilidade DiscretaProbabilidade Discreta

Função Distribuição de Função Distribuição de Probabilidade DiscretaProbabilidade Discreta

1.1. Tipo de modeloTipo de modelo Representação de algum Representação de algum

fenômenofenômeno

2.2. Fórmula matemática Fórmula matemática

3.3. Representa variável Representa variável aleatória discretaaleatória discreta

4.4. Usada para obter Usada para obter probabilidades exatasprobabilidades exatas

P X x

x

( )

!

x e-

Distribuição BinomialDistribuição Binomial

Variável Aleatória Binomial Variável Aleatória Binomial

NNoo caras em 15 jogadas de uma moeda caras em 15 jogadas de uma moeda NNoo itens defeituosos em lote de 20 itens itens defeituosos em lote de 20 itens NNoo corretas em prova com 33 questões corretas em prova com 33 questões NNoo clientes que compram entre 10 clientes que compram entre 10

clientes contatadosclientes contatados

1.1. Número de ‘sucessos’ em Número de ‘sucessos’ em nn observações observações (tentativas)(tentativas)

2.2. ExemplosExemplos

Características da Características da Distribuição BinomialDistribuição Binomial

1.1. Seqüência de Seqüência de nn tentativas iguais tentativas iguais

2.2. Cada tentativa tem apenas 2 resultadosCada tentativa tem apenas 2 resultados ‘‘Sucesso’ (resultado desejado) ou ‘fracasso’Sucesso’ (resultado desejado) ou ‘fracasso’

3.3. Probabilidade de sucesso é constante em Probabilidade de sucesso é constante em cada tentativa cada tentativa

4.4. Tentativas são independentes Tentativas são independentes

Função da Distribuição Função da Distribuição BinomialBinomial

pp((xx) = Probabilidade de ) = Probabilidade de x x ‘sucessos’‘sucessos’

nn = Número de tentativas= Número de tentativas

pp == Probabilidade de ‘sucesso’Probabilidade de ‘sucesso’

xx == Número de ‘sucessos’ Número de ‘sucessos’ ( (xx = 0, 1, 2, ..., = 0, 1, 2, ..., n n))

xnxxnx ppxnx

npp

x

nxp

)1()!(!

!)1()(

Características da Características da Distribuição BinomialDistribuição Binomial

E x np

np p

( )

( )1

E x np

np p

( )

( )1

MédiaMédia

Desvio PadrãoDesvio Padrão

Características da Características da Distribuição BinomialDistribuição Binomial

.0

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5

X

P(X)

.0

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5

X

P(X)

.0

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5

X

P(X)

.0

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5

X

P(X)

n = 5 p = 0.1

n = 5 p = 0.5

E x np

np p

( )

( )1

E x np

np p

( )

( )1

MédiaMédia

Desvio PadrãoDesvio Padrão

Exemplo da Distribuição Exemplo da Distribuição BinomialBinomial

,31250

)5,01(5,0)!35(!3

!5)3(

)1()!(!

!)(

353

p

ppxnx

nxp xnx

,31250

)5,01(5,0)!35(!3

!5)3(

)1()!(!

!)(

353

p

ppxnx

nxp xnx

Experimento: Jogar 1 moeda 5 vezes. Anote Experimento: Jogar 1 moeda 5 vezes. Anote nnoo caras. Qual é a probabilidade de 3 caras? caras. Qual é a probabilidade de 3 caras?

QuestãoQuestão

Você é um vendedor contatanto Você é um vendedor contatanto clientes. Você efetuou 20 clientes. Você efetuou 20 vendas nos últimos 100 contatos vendas nos últimos 100 contatos ((pp = 0,20 = 0,20). Se você contatar ). Se você contatar 1212 clientes hoje, qual é a clientes hoje, qual é a probabilidade de:probabilidade de:A. Nenhuma venda?A. Nenhuma venda?

B. Exatamente 2 vendas?B. Exatamente 2 vendas?

C. No máximo 2 vendas? C. No máximo 2 vendas?

D. No mínimo 2 vendas?D. No mínimo 2 vendas?

Solução da Distribuição Solução da Distribuição BinomialBinomial

Usando a fórmula da Binomial:Usando a fórmula da Binomial:

AA. . pp(0) = (0) = 0,06870,0687 BB. . pp(2) = (2) = 0,28350,2835

CC. . pp(no max 2)(no max 2) = = pp(0) + (0) + pp(1) + (1) + pp(2)(2)= 0,0687 + 0,2062 + 0,2835= 0,0687 + 0,2062 + 0,2835= = 0,55840,5584

DD. . pp(no min 2)(no min 2) = = pp(2) + (2) + pp(3)...+ (3)...+ pp(12)(12)= 1 - [= 1 - [pp(0) + (0) + pp(1)] (1)] = 1 - 0,0687 - 0,2062= 1 - 0,0687 - 0,2062= = 0,72510,7251