2.95 El aguilón OA soporta una carga P y está sostenido por dos ca­bles, según muestra la figura. Si en el cable AB la tensión es de 510 N yenel cable AC es de 765 N, determine la magnitud y la dirección de la resul­tante de las fuerzas ejercidas en A por los dos cables.

2.15. Equilibrio de una partícula en el espacio 57

~

2.96 Suponga que en el problema 2.95 la tensión es de 765 N en elcable AB y de 510 N en el cable AC, y determine la magnitud v la direcciónde la resultante de las fuerzas ejercidas en A por los dos cables.

2.97 Para el árbol del problema 2.73, si la tensión en el cable AB esde 760 lb Yla resultante de las fuerzas ejercidas en A por los cables AB y ACyace en el plano y::;, determine a) la tensión en el cable AC, b) la magnitudv la dirección de la resultante de las dos fuerzas.

2.98 Para el árbol del problema 2.73, si la tensión en el cable AC esde 980 lb Yla resultante de las fuerzas ejercidas en A por los cables AB y ACyace en el plano y::;, determine a) la tensión en el cable AB, b) la magnitudv la dirección de la resultante de las dos fuerzas. p

2.99 Para el aguilón del problema 2.95, si a = 0°, la tensión en el ca­ble AB es de 600 N, Y la resultante de la carga P y las fuerzas ejercidas enA por los dos cables se dilige a lo largo de OA, determine a) la tensión enel cable AC, b) la magnitud de la carga P.

Figura P2.95

2.100 Para la torre de transmisión del problema 2.89, determine lastensiones en los cables AB y AD si la tensión en el cable AC es de 1 770 '\v la resultante de las fuerzas ejercidas por los tres cables en A debe ser yer­ti cal.

2.15. EQUILIBRIO DE UNA PARTíCULA EN El ESPACIO

De acuerdo con la definición dada en la sección 2.9, una partícula Aestá en equilibrio si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobreA es cero. Las componentes R,., RIj Y R;; de la resultante están dadaspor las relaciones (2.31); al expresar que las componentes de la resul­tante son cero, se esclibe

Las ecuaciones (2.34) representan las condiciones necesarias y sufi­cientes para lograr el equilibrio de una partícula en el espacio. Estasecuaciones pueden usarse para resolver problemas que tratan con elequilibrio de una paltícula y en los que intervienen no más de tres in­cógnitas.

Para resolver tales problemas, se traza un diagrama de cuerpo li­bre donde se muestre a la partícula en equiliblio y todas las fuerzasque actúan sobre ella. Deben escribirse las ecuaciones de equiliblio(2.34) y despejar las tres incógnitas. En los tipos de problemas más co­munes, esas incógnitas representan 1) las tres componentes de una solafuerza o 2) la magnitud de tres fuerzas, cada una con dirección cono-cida. )

Fotografía 2.3 Como la tensión presente en lecuatro cables que sostienen al contenedor decarga no se puede encontrar mediante las tresecuaciones (2.34), es posible obtener unarelación entre las tensiones considerando el

equilibrio del gancho.

(2.34)22F;; = O22FIj = O22F, = O

(1)

e PROBLEMA RESUELTO 2.9

Un cilindro de 200 kg se sostiene por medio de dos cables AB y AC que seamarran en la parte más alta de una pared vertical. '\Tna fuerza hcífizontal Pperpendicular a la pared lo sostiene en la posición mostrada. Determine'lamagnitud de P y la tensión en cada cable.

SOLUCiÓN

Diagrama de cuerpo libre. Se escoge el punto A como cuerpo li­bre, este punto está sujeto a cuatro fuerzas, tres de las cuales son de magni­tud desconocida.

Con la introducción de los vectores unitarios i, j Y k, se descompone'iI"

cada fuerza en sus componentes rectangulares.

P = Pi

W = -mgj = -(200 kg)(9.81m/s2)j = -(1962 N)j

En el caso de TA/3 y TAC, es nec~io ~terminar primero las componentesy las magnitudes de los vectores AB y AG. Representando con AA/3el vectorunitmio a lo largo de AB, se escribe

AB = -(12 m)i + (10 m)j + (8 m)k AB = 12.862 m

AAJ3 = AB = -0.09330i + 0.7775j + 0.6220k. 12.862 m

TAJ3 = TA/3AAB = -009330TABi + 0.7775TAJ3j + 0.6220TAJ3k (2)

Al representar con AACel vector unitario a lo largo de AC, se escribe enforma semejante

AC = -(12 m)i + (10 m)j - (10 m)k AC = 14.193 m

A-\C = AC = -0.08455i + 0.7046j - 0.7046k. 14.193111

TAC = TACAAC = -0.08455TAci + 0.7046TAd - 0.7046TACk (3)

Condición de equilibrio. Puesto queA está en equiliblio se debe tener

:¿F = o: TA/3 + TAC + P + W = O

o con la sustitución de (1), (2) Y (3) para las fuerzas y factorizando i, j Y k,

(-009330TA/3 - 0.08455TAC + P)i+ (0.7775TA/3 + O.7046TAC- 1962 N)j

+ (0.6220T A/3- 0.7046TAclk = O

Al hacer los coeficientes de i, j Y k iguales a cero, se escriben las tres ecua­ciones escalares que ex-presan que la suma de las componentes x, y y;::; de lasfuerzas son, respectivamente, iguales a cero.

:¿F, = o:

:¿Fy = O:

:¿F~ = o:

-O.09330TAB - 0.08455TAC + P = O

+0.7775TA/3 + 0.7046TAC - 1962 N = O

+0.6220TAB - 0.7046TAC = O

58

Con la solución de estas ecuaciones se obtiene

P ='23.5 ~ T.w = 1 402 N T,\c = 1238 N .•••

~

~

RESOLUCiÓN DE PROBLEMASEN FORMA INDEPENDIENTE

Anteriormente se vio que cuando una partícula está en equilibrio, la resultante de las fuerzasque actúan sobre la misma debe ser igual a cero. En el caso del equiliblio de una partículaen el espacio tridimensional, expresar este hecho proporcionará tres relaciones entre lasfuerzas que actúan sobre la pmiícula. Estas relaciones se pueden utilizar para determinartres incógnitas, que usualmente son las magnitudes de tres fuerzas.

La solución constará de los siguientes pasos:

1. Dibujar un diagrama de cuerpo libre de la partícula. Este diagrama muestra lapartícula y a todas las fuerzas que actúan sobre la misma. En el diagrama se deben indicartanto las magnitudes de las fuerzas conocidas, como cualquier ángulo o dimensión que de­fina la dirección de una fuerza. Cualquier magnitud o ángulo desconocido debe ser deno­tado por un símbolo apropiado. En el diagrama de cuerpo libre no se debe incluir infor­mación adicional.

2. Descomponer cada una de las fuerzas en sus componentes rectangulares. Con elmétodo utilizado en la sección anterior, para cada fuerza F se determina el vector unitarioA, que define la dirección de dicha fuerza y F se expresa como el producto de su magnitudF y el vector unitario A. Así se obtiene una expresión con la siguiente forma

F = FA = F.l (d,i + d'lj + dzk)e .

donde el, el" d,/ Y elz son dimensiones obtenidas a paliir del diagrama de cuerpo libre de lapartícula. También mostramos la dirección de F, que puede definirse en términos de los án­gulos ey y 1>. Si se conoce tanto la magnitud como la dirección de una fuerza, entonces F

es conocida y la eA'jJresiónobtenida para F está totalmente definida; de otra forma, F es unade las tres incógnitas a determinar.

3. Hacer igual a cero a la resultante o suma de las fuer;:;,as que actúan sobre lapartícula. Se obtendrá una ecuación vectorial que consta de términos que contienen losvectores unitarios i, j o k. Los términos que contienen el mismo vector unitalio se agru­parán y dicho vector se factorizará. Para que la ecuación vectOlial sea correcta, se debenigualar a cero los coeficientes de cada uno de los vectores unitarios. Esto proporcionará tresecuaciones escalares que se pueden resolver para un máximo de tres incógnitas [problemaresuelto 2.9].

59

Resultante de dos fuerzas

Figura 2.35 A

Componentes de una fuerza

\

En este capítulo se estudió el efecto de fuerzas sobre partículas.es decir, sobre cuerpos de forma y tamaño tales que todas las fuer­zas que actúan sobre ellos se puede suponer que se aplican en elmismo punto.

Las fuerzas son cantidades vectoriales que se caractelizan por unpunto de aplicación, una rl1.{lgnitud y una di1-ección, y se suman deacuerdo con la ley del paralelogramo (figura 2.35). La magnitud y di­rección de la resultante R de dos fuerzas P y Q se pueden determi­nar ya sea gráficamente o por tligonometría, utilizando sucesivamen­te la ley de los cosenos y la ley de los senos (problema resuelto 2.1).

Cualquier fuerza dada que actúe sobre una partícula puede des­componerse en dos o más componentes, es decir, se puede reempla­zar por dos o más fuerzas que tengan el mismo efecto sobre la par­tícula. Se puede descomponer una fuerza F en dos componentes Py Q al dibujar un paralelogramo que tenga a F por su diagonal; en­tonces, las componentes P y Q son representadas por los dos ladoadyacentes del paralelogramo (figura 2.36) y se pueden determinarya sea en gráficas o por tligonometría (sección 2.6).

Se dice que una fuerza F se ha dividido en dos componentes

-rectangulares si sus componentes F x y F y son perpendiculares en·tre sí y se diligen a lo largo de los ejes coordenadas (figura 2.37).Al introducir los vecto-res unita-rios i y j a lo largo de los ejes x y y

respectivamente, se escribe (sección 2.7)Figura 2.36

(2.6)

(2.9)

64

Componentes rectangulares.Vectores unitarios

F =p-'- ~,'1 11.1

F,.= F,.i

Figura 2.37

Resultantes de varias fuerzascoplanares

y

F = F) + Fyj (2.7)

donde F, y Fy son las componentes escalares de F. Estas compo­nentes, que pueden ser positivas o negativas, se definen por las rela·ClOnes

Fx = F cos e Fy = F sen e (2.8)

Cuando se dan las componentes rectangulares Fx y Fy de unfuerza F, el ángulo e que define la dirección de la fuerza se pue­de obtener al escribir

F,¡tane=-·Fx

La magnitud F de la fuerza se puede obtener al resolver una dlas ecuaciones (2.8) o al aplicar el teorema de Pitágoras yescrib;'

F = YF; + F~ (2.10)

Cuando tres o más fue-rzas coplanares actúan sobre una partí­cula, las componentes rectangulares de su resultante R se puede

el' al sumar en forma algebraica las componentes correspon­:es de las fuerzas dadas (sección 2.8). Se tiene

Rx = 2:,Fx Ry = 2:,Fy (2.13)

gnitud y dirección de R se pueden determinar entonces porones similares a las ecuaciones (2.9) y (2.10) (problema re­

-~ 2.3).

--na fuerza F en un espacio tridimensional se puede descom--r en componentes rectangulares Fx, Fy y F;:;(sección 2.12). Al

hzar por medio de ex, ey y ez, respectivamente, los ángulosF forma con los ejes x, y y z (figura 2.38), se tiene

- = F cos ex Fy = F cos ey F;:;= F cos e;:; (2.19)

Repaso y resumen del capítulo 2 65

Fuerzas en el espacio

" 2.38 a)

e

x

lEb)

e

D x

lEe)

e

x

::osenos de ex, ey y e;:;se conocen como los cosenos directores'ccionales) de la fuerza F. Con la introducción de los vectores

'os i, j Yk a lo largo de los ejes coordenadas, se escribe

F = Fxi + Fyj + Fzk (2.20)

Cosenos directores

Cuando una fuerza F se define en un espacio tridimensionalmedio de su magnitud F y de dos puntos M y N sobre su línea

F = F(cos exi + cos eyj + cos e;:;k) (2.21)

e demuestra (figura 2.39) que F es el producto de su magni­F y del vector unitario

A. = cos exi + cos eyj + cos e;:;k

~,o que la magnitud de A. es igual a ~aunidad, se tiene que

cos2 ex + cos2 ey + cos2 ez = 1 (2.24)

Cuando las componentes rectangulares Fx, Fy y F;:;de una fuerzae proporcionan, la magnitud F de la fuerza se encuentra al escribir

F = VF; + F~ +F; (2.18)

s cosenos directores de F se obtienen a partir de las ecuaciones~ ~9 . Se tiene

""

Fx

cos ex = F Fy

cos ey = F F_

cos e;:; = i (2.25)

IJ

('os 1I"j

('os lI.k

j'-k/Figura 2.39

x

66 Estática de partículas

1}

o

de acción (sección 2.13), sus componentes rectangulares se pue­den obtener de la siguiente manera: primero se expresa el vectar~ que une los puntos M y N en términos de sus componentes

d" dy Y dz (figura 2.40); se escribe

~ = d,i + dyj + d",k (2.26)

Después se determina el vector unitario A.a lo largo de la línea deacción de F al dividir MN entre su magnitud MN = d:

(2.27)

Recordando que F es igual al producto de F y A., se tiene

F

F = FA. = d (d) + dyj + dzk) (2.28)

Figura 2.40

de lo cual se desprende (problemas resueltos 2.7 y 2.8)componentes escalares de F son, respectivamente,

F = Fd, F = Fdy F = Fdz'd y d z d

que las

(2.29)

Resultante de fuerzas en el espacio

Equilibrio de una partícula

Diagrama de cuerpo libre

Equilibrio en el espacio

Cuando dos o más fuerzas actúan sobre una partícula en el es­

pacio tridimensional, las componentes rectangulares de su resul­tante R se pueden obtener al sumar en forma algebraica las com­ponentes correspondientes de las fuerzas (sección 2.14). Se tiene

R, = 'ZF, Ry = 'ZFy Rz = 'ZFz (2.31)

La magnitud y dirección de R se pueden determinar entonces apartir de relaciones similares a las ecuaciones (2.18) y (2.25) (véaseproblema resuelto 2.8).

Se dice que una partícula está en equilibrio cuando la resultan­te de todas las fuerzas que actúan sobre ella es cero (sección 2.9). Lapmtícula entonces permanecerá en reposo (si originalmente se en­cuentra en reposo) o se moverá con velocidad constante en una línearecta (si se encontraba originalmente en movimiento) (sección 2.10).

Para resolver un problema que se refiera a una partícula en equi­librio, primero se deberá dibujar un diagrama de cuerpo libre de lapartícula que muestre todas las fuerzas que actúan sobre ella (sec­ción 2.11). Si sólo actÚan tres fuerzas coplanares sobre la partículase puede dibujar un triángulo de fuerzas para expresar que la par­tícula se encuentra en equilibrio. Este triángulo se puede resolvergráficamente o por trigonometría para no más de dos incógnitas(véase problema resuelto 2.4). Si se incluyen más de tres fuerzas co­planares, se deberán utilizar y resolver las ecuaciones de equilibrio

'ZF, = O 'ZFy = O (2.15)

Estas ecuaciones pueden ser usadas para no más de dos incógni­tas (problema resuelto 2.6).

Cuando una partícula está en equilibrio en el espacio tridimen­sional (sección 2.15), deberán usarse y resolverse las tres ecuacio­nes de equilibrio

'ZF, = O 'ZFy = O 'ZFz = O (2.34)

Estas ecuaciones se pueden resolver para no más de tres incógni­tas (véase problema resuelto 2.9).

=

)['5

le 2.129 Se aplican dos fuerzas en el gancho mostrado en la figura. Si lamagnitud de P es de 14 lb determine, por trigonometría, a) el ángulo ex re­querido si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en el gancho debe serhorizontal, b) la magnitud correspondiente de R.

2.130 Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzasque se muestran en la figura.

p

Figura P2.129

.•

2.131 El alambre atirantado BD ejerce sobre el poste telefónico AC:ma fuerza P dirigida a lo largo de BD. Si P tiene una componente de 450\: a lo largo de la línea AC, determine a) la magnitud de la fuerza P, b) sucomponente en una dirección perpendicular a AC .

2.132 Sabiendo que ex = 25°, determine la tensión en a) el cable AC,la cuerda BC .

x

en 111111

Figura P2.132

1--120 -1Figura P2.130

Dimensiones

DeFigura P2.131

2.133 La cabina de un teleférico se desliza a velocidad constante porcable DE y se sostiene mediante un conjunto de poleas, las cuales pueden.dar libremente sobre el cable de sopOlie ACB. Sabiendo que ex = 42° Y

.:.= 32°, que la tensión en el cable DE es de 20 kN, Y que la tensión en elle DF es insigniflcante, determine a) el peso combinado de la cabina, su

r,ema de soporte y sus pasajeros, b) la tensión en el cable de sopOlie AC B.

ae

l­e

1­

.a

1­

'a

1-

,-

¡­!a

l.r-'[

,-

o

1-

)-

!-

Figura P2.133

2.134 Una carga de 350 lb está sostenida mediante el arreglo de cuer­- \' poleas mostrado en la figura. Si {3= 25°, determine la magnitud y la

=ción de la fuerza P que debe aplicarse en el extremo libre de la cuerdaa mantener al sistema en equilibrio. (Vea la sugerencia del problema 2.68.)

350 lb

Figura P2.13467

x

Figura P2.140

160 111m

!J

;;

!J

2.137 Encuentre la magnitud y la dirección de la resultante de las dosfuerzas que se muestran en la figura, sabiendo que P = 500 lb YQ = 600 lb.

2.140 Un contenedor de peso W está suspendido del aro A. El cableBAC pasa por el aro y se une a los soportes fijos en B y C. Dos fuerzas P = PiY Q = Qk se aplican en el aro para mantener al recipiente en la posiciómostrada. Si W = 1200 N, determine P y Q. (Sugerencia: Considere que ],tensión es la misma en ambos tramos del cable BAC.)

2.139 Una placa rectangular está sostenida por tres cables como semuestra en la figura. Si la tensión en el cable AD es de 120 lb, determine elpeso de la placa.

2.138 La caja de madera que se muestra en la figura se sostiene pormedio de tres cables. Si la tensión en el cable AB es de 3 kN, determine elpeso de la caja.

Figura P2.137

2.136 Una fuerza F con magnitud de 600 lb actúa en el Oligen de unsistema coordenada. Si F" = 200 lb, ez = 136.8° YFy < O, determine a) lascomponentes FIJ y Fz, b) los ángulos e". yey.

2.135 Una placa circular horizontal se sostiene mediante tres alam­bres que forman ángulos de 30° con respecto a la vertical y se encuentranunidos a un soporte ubicado en el punto D. Si la componente x de la fuerzaejercida por el alambre AD sobre la placa es de 220.6 N, determine a) la ten­sión en el alambre AD, b) los ángulos e,o elJ y ez que forma la fuerza ejer­cida en A con los ejes coordenadas.

Dimensiones en pulgadas

!J

A

!J

Figura P2.139

Figura P2.138

Figura P2.135

68 Estática de particulas

CAPíTU LO

este capítulo se demostrará que el sistema de fuerzas no concurrentes que actúa sobre el arnés del!caídas puede ser reemplazado por un sistema equivalente más simple.

CUERPOS RíGIDOS: SISTEMASEQUIVALENTES DE FUERZA

3.1 Introducción3.2 Fuerzas externas e internas

3.3 Principio de transmisibilidad.Fuerzas equivalentes

3.4 Producto vectorial de dos vectores

3.5 Productos vectoriales expresadosen términos de componentesrectangulares

3.6 Momento de una fuerza con

respecto a un punto3.7 Teorema de Varignon3.8 Componentes rectangulares del

momento de una fuerza3.9 Producto escalar de dos vectores

3.10 Producto triple mixto de tresvectores

3.11 Momento de una fuerza con

respecto a un eje dado3.12 Momento de un par3.13 Pares equivalentes3.14 Adición o suma de pares3.15 Los pares pueden representarse

por medio de vectores3.16 Descomposición de una fuerza

dada en una fuerza en O y un par3.17 Reducción de un sistema de

fuerzas a una fuerza y un par3.18 Sistemas equivalentes de fuerzas3.19 Sistemas equipolentes de vectores3.20 Otras reducciones de un sistema

de fuerzas3.21 Reducción de un sistema de

fuerzas a una llave de torsión otorsor

74

3.1. INTRODUCCiÓN

En el capítulo antelior se supuso que cada uno de los cuelpos conside­rados podía ser tratado como si fuera una sola partícula. Sin embargo,esto no siempre es posible y, en general, un cuelpo debe tratarse comola combinación de \'arias partículas. Tendrá que tomarse en considera­ción el tamaño del cuerpo y también el hecho de que las fuerzas actúansobre distintas partículas y, por tanto, tienen distintos puntos de aplica­ción.

Al definir que un cuerpo rígido es aquel que no se deforma, se supo­ne que la ma~loría de los cuelpos considerados en la mecánica elementalson rígidos. Sin embargo, las estructuras y máquinas reales nunca son ab­solutamente Jigidas y se deforman bajo la acción de las cargas que actúansobre ellas. A pesar de ello, por lo general esas deformaciones son peque­ñas y no afectan las condiciones de equiliblio o de movimiento de la es­tructura en consideración. No obstante, tales deformaciones son impor­tantes en lo concerniente a la resistencia a la falla de las estructuras yes­tán consideradas en el estudio de la mecánica de mateliales.

En este capítulo se estudiará el efecto de las fuerzas ejercidas sobreun cuelpo rígido)' se aprenderá cómo reemplazar un sistema de fuerzadado por un sistema equivalente más simple. Este análisis estará basa­do en la suposición fundamental de que el efecto de una fuerza dada so­bre un cuelpo ligido permanece in alterado si dicha fuerza se mueve alo largo de su línea de acción (principio de transm.isibilidad). Por tanto.las fuerzas que actúan sobre un cuelpo rígido pueden representarse porvectores desli::.antes, como se mencionó en la sección 2.3.

Dos conceptos fundamentales asociados con el efecto de una fuer­za sobre un cuelpo rígido son el momento de unafuer::.a con respecto aun pu nto (sección 3.6) )' el momentu de una fuer::.a con respecto a un ejl(sección 3.11). Como la determinación de estas cantidades involucra e

cálculo de productos escalares )' vectOliales de dos vectores, en este ca­pítulo se presentarán los aspectos fundamentales del álgebra vectoria.aplicados a la solución de problemas que involucran fuerzas que actúa:sobre cuelpos rígidos.

Otro concepto que se presentará en este capítulo es el de un par

esto es, la combinación de dos fuerzas que tienen la misma magnitu .líneas de acción paralelas y sentidos opuestos (sección 3.12). Comoverá, cualquier sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo rígidpuede ser reemplazado por un sistema equivalente que consta de uc.fuerza, que actúa en cierto punto, )' un par. Este sistema básico reciel nombre de sistema fuer::.a-par. En el caso de fuerzas concurrentcopIan ares o paralelas, el sistema equivalente fuerza-par se puede l'dueir a una sola fuerza, denominada la resultante del sistema, o a un

lo par, llamado el par resultante del sistema.

3.2. FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS

Las fuerzas que actúan sobre los cue11'oS ligidos se pueden dividirdos grupos: 1)fuer::.as exte'mas y 2)fuer::.as internas.

1. Las fu.er::.as externas representan la acción que ejercen otcuerpos sobre el cuelpo rígido en consideración. Ellas son'responsables del comportamiento externo del cuelpo ligiLas fuerzas extenlas causan que el cue11)Ose mueva o asegur:que éste permanezca en reposo. En el presente capítulo ylos capítulos 4 )' 5 se considerarán sólo las fuerzas externas.

onside-

mbargo.se comnsidera-actúaLaplica-se supo-

ementallason ab-e actúanI

rqued: la es-Impar-'as yes-

as sobre

~fuen~

á basa-<1dc1so-ueve ar tanto.rse para fuer-

pecto a'Unejeucra elste ca-lectoriall actúan

un par.

Ignitud¡amo serígido;;de una

reciberentes.de re-un so-

idir en

otrosson las

rígido.,egurano y enas.

Las fuerzas internas son aquellas que mantienen unidas las par­tículas que conforman al cuerpo rígido. Si éste está constituidoen su estructura por varias partes, las fuerzas que mantienenunidas a dichas partes también se definen como fuerzas inter­nas. Este grupo de fuerzas se estudiará en los capítulos 6 y 7.

mo ejemplo de fuerzas externas, considérense las fuerzas que ac­bre un camión descompuesto que es arrastrado hacia delante por

hombres mediante cuerdas unidas a la defensa delantera (figurafuerzas externas que actúan sobre el camión se muestran en un

'la de cuerpo libre (fIgura 3.2). En primer lugar, se debe conside­eso del camión. A pesar de que el peso representa el efecto de la5n de la Tierra sobre cada una de las partículas que constituyen'ón, éste se puede representar por medio de una sola fuerza W'.

to de aplicación de esta fuerza, esto es, el punto en el que actúa::n.a. se defme como el centro de gravedad del camión. En el capí­::;se verá cómo se pueden determinar los centros de gravedad. El,\ hace que el camión se mueva hacia abajo. De hecho, si no fue­'a presencia del piso, el peso podría ocasionar que el camión se

~,ahacia abajo, esto es, que cayera. El piso se opone a la caída delpor medio de las reacciones R¡ y R2. Estas fuerzas se ejecen por

sobre el camión y, por tanto, deben ser incluidas entre las fuer­-u:ernas que actúan sobre el camión.....oshombres ejercen la fuerza F al tirar de la cuerda. El punto de

_~Óón de F está en la defensa delantera. La fuerza F tiende a hacer

-: camión se mueva hacia delante en línea recta y, en realidad, lograt'r10 puesto que no existe una fuerza externa que se oponga a dicho-:niento. (Para simplificar, en este caso se ha despreciado la resisten-

:.a rodadura.) Este movimiento del camión hacia delante, donde ca­

.ea recta mantiene su orientación Oliginal (el piso del camión per­~-ehorizontal y sus lados se mantienen velticales), se conoce como

ión. Otras fuerzas podIian ocasionar que el camión se moviera endiferente. Por ejemplo, la fuerza ejercida por un gato colocado de­el eje delantero podIia ocasionar que el camión rotara alrededoreje trasero. Este movimiento es una rotación. Por tanto, se puede

-.rir que cada una de las fuerzas externas que actúan sobre un cuer­:.ido puede ocasionar un movimiento de traslación, rotación o am­'empre y cuando dichas fuerzas no encuentren alguna oposición.

RINCIPIO DE TRANSMISIBILlDAD. FUERZASw VALENTES

cip'io de transmisibilidad establece,que las condiciones de equi­::> de movimiento de un cuel1)0 rígido permanecerán inalteradas sierza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplazaa fuerza F' que tiene la misma magnitud y dirección, pero que ac­un punto distinto, siempre y cuando las dosfuerzas tengan la mis­

ea de acción (figura 3.3). Las dos fuerzas, F y F', tienen el mismoobre el cuerpo Iigido y se dice que son equivalentes. Este plin­

establece que la acción de una fuerza puede ser transrnitida a lo_ de su línea de acción, lo cual está basado en la evidencia experi­

- J: no puede ser derivado a partir de las propiedades establecidas:iliora en este libro y, por tanto, debe ser aceptado como una ley

~mental. Sin embargo, como se verá en la sección 16.5, el princi­transmisibilidad puede ser derivado a partir del estudio de la di­de los cuerpos rígidos, pero dicho estudio requiere la introduc-

3.3. Principio de transmFuerzas eql

Figura 3.1

F

Figura 3.2

íII

Figura 3.3

.:,• 1:,,.-

F'-+:¡", F........•

En el ejemplo del camión, en plimer lugar se observa que la líneade acción de la fuerza F es una línea horizontal que pasa a través delas defensas delantera y trasera del camión (ngura 3.4). Por tanto, em­pleando el pIincipio de transmisibilidad se puede reemplazar F por unafuer;:;a equivalente F' que actúa sobre la defensa trasera. En otras pa­labras, las condiciones de movimiento y todas las demás fuerzas exter­

nas que actúan sobre el camión (W, Rl y R2) permanecen inalteradassi los hombres empujan la defensa trasera en lugar de tirar de la de­fensa delantera.

El pIincipio de transmisibilidad y el concepto de fuerzas equivalentestienen limitaciones. Por ejemplo, considere una barra corta AB sobre Lcual actúan dos fuerzas axiales iguales y opuestas P1 y P2 como se muestr,en la fIgura 3.5a. De acuerdo con el plincipio de transmisibilidad, la fuerz.:.P2 se puede reemplazar por una fuerza P2 que tie~e la misma magnitudmisma dirección y misma línea de acción pero que actúa en A en lugar den B (úgura 3.5b). Las fuerzas P1 y P2 que actúan sobre la misma partícuLpueden sumarse de acuerdo a las reglas del capítulo 2 y, como dicha

ción de la segunda y tercera leyes de Newton y también algunos otrosconceptos. Por consiguiente, el estudio de la estática de los cuerpos rí­gidos estará basado en los tres principios que se han presentado hastaahora, que son la ley del paralelogramo para la adición de vectores, lapIimera ley de Newton y el principio de transmisibilidad.

En el capítulo 2 se mencionó que las fuerzas que actúan en una par­tícula pueden ser representadas por vectores, los cuales tienen un pun­to de aplicación bien defmido, la partícula misma y, por consiguiente, se­rán vectores fijos o adheridos. Sin embargo, en el caso de fuerzas queactúan sobre un cueI1Jo rígido el punto de aplicación de una fuerza noes importante, siempre y cuando su línea de acción permanezca inalte­rada. Por tanto, las fuerzas que actúan sobre un cuerpo ligido deben serrepresentadas por una clase de vector diferente, el vector deslizante.puesto que permite que las fuerzas se deslicen a lo largo de su lín~'l deacción. Es importante señalar que todas las propiedades que será~.Cle­ri"adas en las siguientes secciones para las fuerzas que actúan sobre uncuerpo rígido serán, en general, válidas para cualquier sistema de vec­tores deslizantes. Sin embargo, para mantener la presentación más in­tuitiva, ésta se llevará a cabo en términos de fuerzas físicas en lugar dlas entidades matemáticas conocidas como vectores deslizantes .

AB AB A~ -- r¡;;--

~,~

-.- ~- p¡~

a)

b)

A

B AB"=

-." -.l.

p¡Figura 3.5

d) e)j)

Figura 3.4

Cuerpos rígidos: sistemas equivalentesde fuerza

76

~ erzas son iguales y opuestas, su suma es igual a cero. Por tanto, en~érminos del compOliamiento externo de la barra el sistema de fuerzasoriginal mostrado en la figura 3.5a es equivalente a que no existiera fuerzaalguna que actÚe sobre la barra (figura 3.5c).

Considere ahora las dos fuerzas iguales y opuestas P 1 Y P 2 que ac­man sobre la barra AB, como se muestra en la figura 3..5d. La fuerza P2

puede ser reemplazada por una fuerza P2 que tiene la misma magnitud,misma dirección y misma línea de acción pero que actÚa en B en lugarde en A (figura 3.5e). Entonces, las fuerzas P1 y P2 pueden sumarse y,nuevamente, su suma es igual a cero (figura 3.5f). De esta manera, des­de el punto de vista de la mecánica de los cuerpos rígidos, los sistemasmostrados en la figura 3.5a y d son equivalentes. Sin embargo, resultaobvio que las fuerzas internas y las deformaciones producidas por los dosistemas son diferentes. La barra de la figura 3.,sa está en tensión y, si no

es en su totalidad rígida, se incrementará ligeramente su longitud; la ba­rra de la figura 3.,sd está en compresión y, si no es rígida, disminuirá enpoco su longitud. De esta forma, aunque el principio de transmisibili­dad se puede usar en forma libre para determinar las condiciones de mo_­Úmiento o de equilibrio de los cuerpos rígidos y para calcular las fuer­zas externas que actÚan sobre los mismos, debe evitarse, o por lo menos,emplearse con cuidado, al momento de determinar fuerzas internas ydeformaciones.

3.4. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

3.4. Producto vectorial de dos vectores 77

Para entender mejor el efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido, acontinuación se introducirá un nuevo concepto: el momento de una fuer­:a con respecto a un pU'nto. Este concepto se podrá entender más fácil­mente y podrá aplicarse en una forma más efectiva si p11mero se agregaa las herramientas matemáticas que se tienen disponibles, el productorectoríal de dos vectores.

El producto vectorial de los vectores P y Q se define como el vec­tor V que satisface las siguientes condiciones.

1. La línea de acción de V es perpendicular al plano que contie­ne a P y Q (figura 3.6a)

2. La magnitud de V es el producto de las magnitudes de P y Qpor el seno del ángulo e formado por P y Q (cuya medida siem­pre deberá ser menor o igual a 180°); por tanto, se tiene

}fO

v = PQ sen e (3.1)

Y=PxQ

a)

r3. La dirección de V se obtiene a partir de la regla de la mano de­

recha. Cierre su mano derecha y'manténgala de manera que susdedos estén doblados en el primer sentido que la rotación a tra­vés del ángulo e que haría al vector P colineal con el vectorQ; entonces, su dedo pulgar indicará la dirección del vector V(figura 3.6b). Obsérvese que si P y Q no tienen un punto deaplicación comÚn, estos primeros se deben ,'olver a dibujara partir del mismo punto. Se dice que los tres vectores P, Qy V -tomados en ese orden- forman una tríacla a mano de­recha. t

¡Se debe señalar que los ejes x, y y;;; utilizados en el capítulo 2 forman un sistema de

ejes ortogonales a lnano derecha y que los vectores unitarios i, j Yk definidos en la sección2.12 forman una triada ortogonal a mano derecha.

-1

b)

Figura 3.6

78 Cuerpos rígidos; sistemas equivalentesde fuerza

Como se mencionó anteriormente, el vector V que satisface estastres condiciones (las cuales lo definen en forma única) se conoce co­

mo el producto vectorial de P y Q y se representa por la expresión ma­temática

En vútud de la notación utilizada, el producto vectorial de dos vecto­res P r Q también se conoce como el producto cru;:;de P y Q.

A paltir de la ecuación (:3.1) se concluye que cuando dos vectoresP y Q tienen la misma dirección, o direcciones opuestas, su productovectorial es igual a cero. En el caso general, cuando el ángulo e forma­do por los dos vectores no es 0° ni 180°, a la ecuación (:3.1) se le pue­de dar una interpretación geométrica simple: la magnitud V del pro­ducto vectorial de P y Q es ig~al al área del paralelogranlo que tienecomo lados a P y Q (figura :3.7). Por tanto, el producto vectorial P X Qpermanece in alterado si Q se reemplaza por un vector Q' que sea co­planar a P y Q y tal que la línea que une a las partes terminales de Qy Q' sea paralelo a P. Así, se escribe

Q

p

Figura 3.7

Q'

V=PXQ

V = P X Q = P X Q'

(:3.2)

(:3.3

A partir de la tercera condición empleada para definir al productovectorial V de P y Q, esto es, la condición que establece que P, Q y ydeben formar una tríada a mano derecha, se concluye que los produc­tos vectoriales no son connmitaTÍos, es decir, Q X P no es igual a P X Q.De hecho, se puede verificar fácilmente que Q X P está representadopor el vector - V, que es igual y opuesto a V, entonces se escribe

Q X P = -(P X Q) (3.4

y

Q

Figura 3.8

p

Ejemplo. CalcÚlese el producto vectorial V = P X Q cuando el vec­tor P tiene una magnitud de 6 y se encuentra en el plano Z:I: que forma unángulo de 30° con el eje :1: y el vector Q tiene una magnitud de 4 y se en·cuentra a lo largo del eje :\' (flgura 3.8).

A partir de la definición del producto vectoriaJ se concluye que el vec­tor V debe estar a lo largo del eje y, tener la magnitud

V = PQ sen e = (6)(4) sen 30° = 12

Y.que debe estar dirigido hacia arriba.

Se vio que la propiedad conmutativa no es aplicable en el caso deproductos vectoriales. Ahora se puede preguntar si la propiedad distri­butiva se cumple, esto es, si la relación

(3.5

es válida. La respuesta es s'Í. Probablemente muchos lectores están dis·puestos a aceptar sin demostración formal una respuesta que de ma­nera intuitiva puede parecer correcta. Sin embargo, dado que la es­tructura del álgebra vectorial y de la estática depende de la relación(3.5), se debe tomar el tiempo necesario para su deducción.

Sin perder la generalidad se puede suponer que P está dirigida alo largo del eje y (figura 3.9a). Representando con Q la suma de Ql \­Q:2, se trazan perpendiculares a partir de los extremos terminales deQ, Ql y Q:2hacia el plano zx, quedando definidos de esta forma lo,vectores Q', Q{, Qf. Se hará referencia a estos vectores, respectiva­mente, como las proyecciones de la ecuación (:3.:3), se observa que eltérmino del lado izquierdo de la ecuación (3.5) puede ser reemplaza­do por P X Q' Y que, en forma similar, los productos vectoriales P X

stasco­

ma-

Ql y P X Q2 del lado derecho pueden ser reemplazados, respectiva­mente, por P X Qí y P X Q~. De esta forma, la relación que debe serdemostrada puede escribirse de la siguiente manera

3.5. Productos vectoriales expresados entérminos de componentes rectangulares

3.2) P X Q' = P X Qí + P X Q~ (3.5')

cto-

oresucto

Ahora se observa que P X Q' se puede obtener a partir de Q' mul­tiplicando a este vector por el escalar P y rotándolo 90° en el plano zx enel sentido contrario al del movimiento de las manecillas del reloj (figu­ra 3.9b); los otros dos productos vectoriales en (3.5') se pueden obtener

'J I

ma­ue­

pro­'ene

xQco­

eQ

13.3)ucto

~yVduc­

X Q.Hado

Q¡

Figura 3.9 a)

Q'

'11

p

/)'2/

Q'

b)

T

l'XI

3.5. PRODUCTOS VECTORIALES EXPRESADOS EN TÉRMINOSDE COMPONENTES RECTANGULARES

A continuación se procederá a determinar el producto vectorial de cual­quier par de los vectores unitarios i, j Y k, que fueron definidos en elcapítulo 2. Considérese primero el producto i X j (figura 3.lOa). Co­mo ambos vectores tienen una magnitud igual a 1y dado que éstos for­man ángulos rectos entre sí, su producto vectorial también deberá serun vector unitario. Dicho vector unitario debe ser k, puesto que losvectores i, j Y k son mutuamente perpendiculares y forman una tríadaa mano derecha. Por otra parte, a partir de la regla de la mano dere­cha presentada en el punto 3 de la sección 3.4, se concluye que el pro­ducto j X i debe ser igual a -k (figura 3.lOb). Por Último, se debe ob-

en forma similar a partir de Qí y Q2, respectivamante. Ahora, en virtudde que la proyección de un paralelogramo sobre cualquier plano arbi­trario es otro paralelogramo, la proyección Q' de la suma Q de Ql y Q2debe ser la suma de las proyecciones y Qí y Q2 de Ql y Q'2sobre el mis­mo plano (figura 3.9a). Esta relación entre los tres vectores Q', Qí y Q~seguirá siendo válida después de que los tres vectores hayan sido multi­plicados por el escalar P y hayan sido rotados a través de un ángulo de90° (figura 3.9b ). Por tanto, se ha demostrado la relación (3..5') Yse pue­de tener la certeza de que la propiedad distributiva es válida para los pro­ductos vectoriales.

Una tecera propiedad es la asociativa, la cual no es válida para losproductos vectoriales; en general, se tiene que

:

"

a)

'11

~¡~_k

b)

'11

L/ x

/ Ixj=k

::

Figura 3.10

(3.6)(P X Q) X S *- P X (Q X S)

3.4)

I vec-

j$

O de 'istri-

(3.5)

b. dis-

I1 ma-Ila es-

rCiÓnI

'da aQ1Ys dea lostiva-ue ellaza-PX

~vec-

a unell-

80 Cuerpos rígidos; sistemas equivalentesde fuerza servar que el producto vectorial de un vector consigo mismo, como

i X i, es igual a cero debido a que ambos vectores tienen la misma di­rección. Los productos vectOliales para los diversos pares posibles devectores unitarios son

ixi=O

iXj=ki X k = -j

j X i = -kjXj=O

jxk=i

kxi=jk X j = -i

kxk=O(3.7)

Figura 3.11

Si se ordena las tres letras que representan a los vectores unitarios en uncírculo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (fi­gura 3.11) se puede facilitar la determinación del signo del producto vec­tOlial de dos vectores unitarios: el producto de dos vectores unitarios se­rá positivo si éstos se siguen uno a otro en un orden contrario al movi­miento de las manecillas del reloj y será negativo si éstos se siguen unoal otro en un orden en el sentido de las manecillas del reloj.

Ahora se puede expresar fácilmente el producto vectorial V de dosvectores dados P y Q en términos de las componentes rectangularesde dichos vectores. Al descomponer a P y Q en sus componentes rec­

.tangulares, primero se escribe

V = P X Q = (P) + Pyj + P~k) X (Q) + Q,J + Q~k)

Con el uso de la propiedad dishibutiva, V se expresa como la suma deproductos vectoriales, como F,:Í X Q,j. Se observa que cada una de lasexpresiones obtenidas es igual al producto vectorial de dos vectoresunitarios, como i X j, multiplicados por el producto de dos escalares,como P,Q'I' y recordando las identidades (3.7) después de factorizar ai, j Yk, se obtiene

V = (P'IQ~ - P;:;Q,)i + (P~Qx - P,Q~)j + (P,Q'j - P'IQxlk (3.8)

Por tanto, las componentes rectangulares del producto vectorial V es­tán dadas por

(3.9)

De regreso a la ecuación (3.8), se observa que el término del lado de­recho representa el desarrollo de un determinante. Por tanto, el pro­ducto vectorial V puede e"-presarse de la siguiente forma, que es mássencilla de memOlizar: t

ijkV = IP,

Pyp;:;1 (3.10)

Q" Q'j Q;:;

f Cualquier determinante que conste de tres renglones y tres columnas se puede evaluar

repitiendo la primera y la segunda columnas, y formando productos a 10 largo de cadaJíneadiagonal. Entonces, la suma de los productos obtenidos a lo largo de la línea roja se restade la suma de los productos obtenidos a lo largo de las líneas negras.y

'Pyº"~

3.6. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO

Considere una fuerza F que actúa sobre un cuerpo ligido Wgura 3.12a).Como se sabe, la fuerza F está representada por 'un vector q1-\eqefine lamagnitud y su dirección. Sin embargo, el efecto de la fuerza sohre el cuer­po ligido también depende de su punto de aplicación A. La posición deA puede definirse de manera conveniente por medio del vector r que uneal punto de referencia fijo O con A; a este vector se le conoce como ellJector de posición de A. t El vector de posición r y la fuerza F definen elplano mostrado en la figura 3.12a.

Elnwmento de F con respecto a O se define como el producto vec­torial de r y F:

De acuerdo con la definición del producto vectorial dada en la sec­ción 3.4, el momento Mo debe ser perpendicular al plano que contie­ne el punto O y a la fuerza F. El sentido de Mo está definido por elentido de la rotación que halia al vector r colineal con el vector F; un

observador localizado en el extremo de Mo ve a esta rotación comouna rotación en sentido contrario al movinÚento de las manecillas del

reloj. Otra forma de deflnir el sentido de Mo se logra por medio de laregla de la mano derecha: cierre su mano derecha y manténgala demanera que sus dedos estén doblados en el mismo sentido de la rotaciónque F le impartiría al cuerpo rígido alrededor de un eje fijo dirigido alo largo de la línea de acción de Mo; su dedo pulgar indicará el sen­tido del momento Mo (figura 3.12b).

Por último, representado con e el ángulo entre las líneas de accióndel vector de posición r y la fuerza F, se encuentra que la magnituddel momento de F con respecto a O está dada por

81

b)

/\

a)

:~

3.6. Momento de una fuerza con respectoa un punto

Figura 3.12

(3.11)Mo = r X F

(3.8)

la dele lastores

ares,zar a

n un

j (fi-vec­s se­lOvi­

uno

3.7)

~doslaJ~s

rec-

)mo1 di­, de

V es- Mo = rF sen e = Fd (3.12)

(3.9)

'o de-;r

l pro-s más

3.10)

evaluarda línea

se resta

donde d representa la distancia perpendicular desde O hasta la línea deacción de F. En virtud de que la tendencia de la fuerza F a hacer girar alcuerpo rígido alrededor de un eje fijo perpendicular a la fuerza dependeanta de la distancia de F a dicho eje como de la magnitud de F, se ob­erva que la magnitud de Mo mide la tendencia de la.fi./.er;:;aF a hacer rQ­

'al' al cuerpo rígido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de Mo·En el sistema de unidades del SI, donde la fuerza se expresa en

newtons (N) y la distancia se expresa en metros (m), el momento deuna fuerza estará expresado en newtons-metro (N . m). En el sistemade unidades de uso común en Estados Unidos, donde la fuerza se ex­

presa en libras y la distancia en pies o e,n pulgadas, el momento de unafl¡erza se expresa en lb . ft o en lb . in.

Se puede observar que a pesar de que el momento Mo de unafuerza con respecto a un punto depende de la magnitud, la línea deacción y el sentido de la fuerza, dicho momento no depende de la po­ición que tiene el punto de aplicación de la fuerza a lo largo de su lí­

nea de acción. En consecuencia, el momento Mo de una fuerza F no

caracteriza a la posición del punto de aplicación de F.

t se pucdc comprobar que los vectores de posidón obedecen la ley de la adición de vec­

~ores y, por tanto, realmente son vectores. Considérese, por ejemplo, los vectores de posi­

dón r y'" de A con respecto a dos puntos de referencia O y O' Y al vedar de posición s

e O con respecto a O' (figura 3.40a, Seco 3.16). Se comprueba que el \'ector de posiciónr' = O'A puede obtenerse a partir de los vectores de posición s = O' O Yr = OA aplicando\l rpCfI~ rlpl h'i~'ín(Tlll()n~H'~1-.:. Cllnl'.l rlp \lPí·ríll·pl;:

82 Cuerpos rigidos: sistemas equivalentesde fuerza

F

a) Mo= + Fd

Figura 3.13

Sin embargo, como se verá a continuación, el momento Mo de unafuerza F de magnitud y dirección conocida define completamente a la lí­nea de acción de F. Además la línea de acción de F debe estar en un pla­no que pasa por el punto O y es perpendicular al momento Mo. La dis­tancia d medida desde O hasta la línea de acción de la fuerza debe ser

igual al cociente de las magnitudes de Mo y F, esto es, debe ser igual aM.o/F. El sentido de Mo determina si la línea de acción debe trazarse

del lado de F del lado del punto O.Recuérdese la sección 3.3, donde se señala que el plincipio de trans­

misibilidad establece que dos fuerzas F y F' son equivalentes (esto es, tie­nen el mismo efecto sobre el cuerpo ligido) si tienen la misma magnitud,dirección y línea de acción. Este plincipio se puede expresar ahora de lasiguiente forma: dos fuer;;as F y F' son equivalentes si, y sólo si, son igua­les (es decir, ti.enen la mi.sma magnitud y la misma dirección) y, además,tienen momentos iguales con respecto a un punto O. Las condicionesnecesarias y suficientes para que dos fuerzas F y F' sean equivalentes son

F = F' Y Mo = Mo (3.13)

Debe señalarse que el enunciado anterior implica que si las relaciones(3.13) se cumplen para cierto punto O, también se cumplirán para cual­quier otro punto.

Problemas en dos dimensiones. Muchas aplicaciones tratancon estructuras bidimensionales, es decir, estructuras cuyo espesor esdespreciable en comparación con su longitud y su anchura, las cuales es­tán sujetas a fuerzas contenidas en su mismo plano. Dichas estructurasbidimensionales y las fuerzas que actÚan sobre ellas pueden represen­tarse fácilmente sobre una hoja de papel o sobre una pizarra. Por tanto,su análisis es más simple que el correspondiente al caso de las estructu­ras y fuerzas tridimensionales.

h)Mo=-Fd

Considere, por ejemplo, una placa rígida sobre la que actÚa una fuer­za F (figura 3.13). El momento de F con respecto a un punto O seleccio­nado en el plano de la figura está representado por el vector Mo de mag­nitud Fd, que es perpendicular a dicho plano. En la figura 3.13a el vectorMo apunta hacia afuera del plano de papel, mientras que en la figura 3.13béste apunta hacia adentro del plano de papel. Como se observa en la figu­ra, en el plimer caso, la fuerza de la flgura 3.13a tiende a hacer rotar laplaca en un sentido contrario al del movimiento de las manecillas del re­loj mientras que, en el segundo caso, la fuerza de la flgura 3.13b tiende ahacer rotar la placa en el sentido del movimiento de las manecillas del re­loj. Por consiguiente, es natural refelirse al sentido del momento F cQnrespecto a O en la figura 3.13a como opuesto al del movimiento de las ma­necillas del reloj (antihormio) ~,y en la figura 3.13b como siguiendo la di­rección del movimiento de las manecillas del reloj (horalio) J.

Puesto que el momento de la fuerza F que actÚa en el plano de lafigura debe ser perpendicular a dicho plano, sólo se necesita especifi­car la magnitud y el .s·entido del momento F con respecto a O. Esto se

=

puede hacer asignándole a la magnitud Mo del momento un signo posi­tivo o negativo, según el vector Mo apunte hacia afuera o hacia adentrodel plano de papel.

3.8. Componentes rectangulares del momentode una fuerza

y

83

3.7. TEOREMA DE VARIGNON

La propiedad distributiva de los productos vectoriales se puede em­pleár para determinar el momento de la resultante de varias fuerzas

concurrentes. Si las fuerzas F 1, F 2, ... se aplican en el mismo punto A(figura 3.14) y si se representa por r al vector de posición A, a partirde la ecuación (3.5) de la sección 3.4, se puede concluir que o

r X (F1 + F2 + ..-)= r X F1 + r X F2 + '" (3.14)"

Esto es, el momento con respecto a un punto dado O de la resultante devarias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los m01nentos de las dis­tintas fuerzas con respecto al mismo punto O. Esta propiedad la descu­brió.el matemático francés Pierre Vmignon (1654-1722) mucho antes deinventarse el álgebra vectorial, por lo que se le conoce como el teoremade Varignon.

La relación (3.14) permite reemplazar el cálculo directo del mo­mento de una fuerza F por el cálculo de los momentos de dos o más

fuerzas componentes. Como se verá en la siguiente sección, por lo ge­neralla fuerza F será separada en sus componentes paralelas a los ejescoordenados. Sin embargo, será mucho más rápido en algunos casosdescomponer a F en componentes no paralelas a los ejes coordenados(véase el problema resuelto 3.3).

3.8. COMPONENTES RECTANGULARES DEL MOMENTODE UNA FUERZA

Figura 3.14

y

En general, la deteminación del momento de una fuerza en el espaciose simplifica en forma considerable si el vector de fuerza y el vector deposición a partir de su punto de aplicación se descomponen en sus com­ponentes rectangulares Á, y y z. Por ejemplo, considere el momento Mo

con respecto a O de una fuerza F con componentes F" Fy Y F::;que es­tá aplicada en el punto A de coordenadas x, y y z (figura 3.15). Se obser­va que las componentes del vector de posición r son iguales, respectiva­mente, a las coordenadas x, y y z del punto A, se escribe

r = xi + yj + zkF = F,i + Fl}j + F::;k

Al sustituir a r ya F a partir de (3.15) y (3.16) en

Mo = r X F

(3.15)(3.16)

(3.11)

F'Ij

Figura 3.15

x

y recordar los resultados obtenidos en la sección 3.5, se puede escribirel momento Mo de F con respecto a O de la siguiente forma

Mo = M,i + Mljj + M::;k (3.17)

donde las componentes escalares M" MI} Y M::;están definidas por lasrelaciones

Me = yF::; - zFy

MIj = zF, - xF::;

M::; = xFy - yF,

(3.18)

(3.23)

(3.22)

(3.21)

(3.20)

YA/B = YA - YB

jkMo = Ix

yzl (3.19)Fx Fy F"

jk

MB = IXA/B YA/B

ZA/BFx

FyF",

Para calcular el momento MB de una fuerza F aplicada en A conrespecto a un punto arbitrario B (figura 3.16), se debe reemplazar elvector de posición r en la ecuació.n (3.11) por un vector trazado desdeB hasta A. Este vector es el de posición de A -relativo a B y se repre­senta por rA/B. Se observa que rA/B se puede obtener si se resta rB derA; por tanto, se escribe

donde XA/B' YA/B Y;::;A/B representan las componentes del vector rA/B:

Con esto se verifica que el momento de F con respecto a O es perpen­dicular al plano de la figura y está completamente definido por el esca­lar

Como se mencionó antes, un valor positivo de Mo indica que el vec­tor Mo apunta hacia afuera del plano del papel (la fuerza F tiende ahacer rotar al cuerpo con respecto a O en un sentido contrario al mo­vimiento de las manecillas del reloj) y un valor negativo indica que elvector Mo apunta hacia adentro del plano del papel (la fuerza F tien­de a hacer rotar el cuerpo con respecto a O en el sentido de las ma­necillas del reloj).

Para calcular el momento con respecto a un punto B de coorden§l­das B(XB, YB) de una fuerza contenida en el plano xy, aplicada en el Ímn­to A(XA, YA) (figura 3.18), se hace ZA/B = OYF", = Oen las relaciones(3.21) y se conprueba que el vector MB es perpendicular al plano xy yestá definido en magnitud y sentido por su componente escalar

Como se verá en la sección 3.11, las componentes escalares Mx, My yMo del momento Mo miden la tendencia de la fuerza F a impartirle aun cuerpo rígido un movimiento de rotación alrededor de los ejes x, y

y;::;,respectivamente. Sustituyendo (3.18) en (3.17), también puede es­cribirse a Mo en forma de determinante

o bien, en forma determinante

Mo = (xFy - yFJk

En el caso de problemas en dos dimensiones, se puede suponerque la fuerza F está contenida en el plano xY (figura 3.17). Al hacer;::;= OYF" = O en la ecuación (3.19), se obtiene

x

Fyj F---1III .'Ft1

A

xi

Fyj F--,1

I

,\(u/.O) I ¡Fti

/

1J.\ - I/B)j

1/

Figura 3.17

IJ

(1(\ -1JB)j

Cuerpos rígidos: sistemas equivalentesde fuerza

o

Figura 3.16

Figura 3.18

84

A

]OOlb

PROBLEMA RESUELTO 3.1

Una fuerza vertical de 100 lb se aplica en el extremo de una palanca que es­tá unida a una flecha en el punto O. Determine: a) el momento de la fuer­za de 100 lb con respecto a O; b) la fuerza horizontal aplicada en A que ori­gina el mismo momento con respecto a O; e) la fuerza mínima aplicada enA que origina el mismo momento con respecto a O; d) qué tan lejos de laflecha debe actuar una fuerza vertical de 240 lb para originar el mismo mo­mento con respecto a O, Y e) si alguna de las fuerzas obtenidas en los inci­sos b), e) y d) es equivalente a la fuerza original.

SOLUCiÓN

F = .57.7 lb ~ •••

F = .50 lb "'<:;30° •••

Mo = Fd1 200 lb . in. = F(24 in.)

F = .50 lb

Mo = Fd1 200 lb . in. = F(20.8 in.)

F = .57.7 lb

e) Fuerza mínima. Como Mo = Fd, el mínimo valor de F se obtie­ne cuando el es máximo. Se selecciona la fuerza perpendicular a OA y se ob­serva que el = 24 in.; entonces

Como el momento con respecto a O debe ser igual al 200 lb . in., se escribe

La magnitud del momento de la fuerza de 100 lb con respecto a O es igual a

b) Fuerza horizontal. En este caso se tiene que

Mo = 1 200 lb· in. J •••

Mo = Fel = (100 Ib)(12 in.) = 1200 lb . in.

d = (24 in.) cos 60° = 12 in.

el = (24 in.) sen 60° = 20.8 in.

a) Momento con respecto a O. La distancia perpendicular desde Ohasta la línea de acción de la fuerza de 100 lb es

Como la fuerza tiende a hacer rotar la palanca alrededor de O en el sentidodejas manecillas del reloj, el momento será representado por un vector Moperpendicular al plano de la figura y que apunta hacia adentro del plano delpapel. Este hecho se expresa escribiendo17

A

I¡lA~~Io'-'

M;,f/t'F»

d) Fuerza vertical de 240 lb. En este caso, Mo = Fd proporcionala siguiente relación

e) Ninguna de las fuerzas consideradas en los incisos b), e) yd) es equi­valente a la fuerza original de 100 lb. A pesar de que estas fuerzas tienen elmismo momento con respecto a O, sus componentes en x y Ij son diferen­tes. En otras palabras, a pesar de que cada una de las fuerzas hace rotar laflecha de la misma forma, cada una ocasiona que la palanca jale a la flechaen una forma distinta.

A

~/I

~Io t 1;/\600:\O~V-II-d~1

pero1200 lb . in. = (2401b)elOB cos 60° = d

d = .5 in.OB = ]0 in .•••

85

'>00 :\

A '~600

-r

160 mm_111B

•1--- 200 111m

PROBLEMA RESUELTO 3.2

Una fuerza de 800 N actÚa sobre la ménsula, como se muestra en la figura.Determine el momento de la fuerza con respecto a B.

SOLUCiÓN

El momento MB de la fuerza F con respecto a B se obtiene a través del pro­ducto vectorial

A

r:,.jB = -(0.2 m)i + (0.16 m)jF = (800 N) cos 600i + (800 N) sen 600j

= (400 N)i + (693 N)j

Mo = 30.1-3 lb . ft J ..••

Como el valor obtenido para el escalar Mo es negativo, el momento Mo apun­ta hacia adentro del plano del papel. Así, se escribe

Q = (30 lb) sen 20° = 10.26 lbMo = -Q(3 ft) = -(1O.261b)(3 ft) = -30.8 lb . ft

Recordando las relaciones (3.7) para los productos vectoriales de los vecto­res unitarios (sección 3..5), se obtiene

La fuerza se reemplaza por dos componentes, una componente P en la di­rección de OA y otra componente Q perpendicular a OA Como O se en­cuentra en la línea de acción de P, el momento de P con respecto a O esigual a cero y el momento de la fuerza de 30 lb se reduce al momento de Q,que tiene el sentido de las manecillas del reloj y, por consiguiente, se repre­senta por un escalar negativo.

ME = rAjB X F = [-(0.2 m)i + (0.16m)j] x [(400 N)i + (693 N)j]= -(138.6 N . m)k - (640 N . m)k= -(202.6 N . m)k MI3 = 203 N . m J ~

Una fuerza de 30 lb actúa sobre el extremo de una palanca de 3 ft, como semuestra en la figura. Determine el momento de la fuerza con respecto a o.

El momento MI3 es un vector perpendicular al plano de la figura y apuntahacia adentro del plano del papel.

PROBLEMA RESUELTO 3.3

SOLUCiÓN

MB = rAjB x F

desde rAjB es el vector trazado desde B hasta A. Al descomponer a rAJB y aF en sus componentes rectangulares, se tiene que

+ (0.16 Jlllj

86

(1)MA = rC/A X F

El momento MA de la fuerza F ejercida por el alambre en el punto C conrespecto a A, se obtiene a partir del producto vectOlial

SOLUCiÓN

Una placa rectangular está apoyada por ménsulas en A y B Ypor un alambreCD. Se sabe que la tensión en el alambre es de 200 N, determine el momentocon respecto a A de la fuerza ejercida por el alambre en el punto C.

PROBLEMA RESUELTO 3.4300 111m

1j

e

(4)

(3)

(2)

CD = 0.50 m

CD

F = FA. = (200 N) CD

200 N

F = -O 50 [-(0.3 m)i + (0.24 m)j - (0.32 m)k]. m

= -(120 N)i + (96 N)j - (128 N)k

CD = -(03 m)i + (0.24 m)j - (0.32 m)k

Si se sustituye este resultado en (3) se obtiene

Al descomponer al vector CD en sus componentes rectangulares, se tiene

Sustituyendo rC/A y F en la ecuación (1), a pmtir de las ecuaciones (2)y (4) Yrecordando las relaciones (3.7) de la sección 3.5, se obtiene

Solución alternativa. Como se mencionó en la sección 3.8, el mo­

mento MA puede ser expresado en forma de determinante:

MA = re/A X F = (0.3i + 0.08k) X (-120i + 96j - 128k)= (03)(96)k + (03)( -128)( -j) + (0.08)( -120)j + (0.08)(96)( -i)

MI = -(1.6" ~ . m)i + (2').8 N . m)j + (28.8 N . m)k ~

donde re/A es el vector trazado desde A hasta C,

rc/." = AC = (0.3 m)i + (0.08 m)k•Y F es la fuel~le 200 N dirigida a lo largo de CD. Al introducir el vector

~nitario A. = CD ICD, se escribe.r

0.3111

e

e

(2.H.H ;'\'lll)j

'"

jk ijk

MA = Ixc - XA

Yc - YA:::C- :::A

=0.3O0.08

F,.

F,/F=-12096-128

M" = -(7.6" ~ . m)i + (2&.8~ . m)j + (28.8 ~ . m)k ~

87

RESOLUCiÓN DE PROBLEMASEN FORMA INDEPENDIENTE

En esta lección se presentó el producto vectorial o producto cru:::.de dos vectores. En losproblemas que se presentan a continuación se puede utilizar el producto vectorial para cal­cular el momento de una fuer:::.acon respecto a un puntu y también, se puede utilizar dichoproducto para determinar la distancia perpendicular desde un punto hasta una línea.

El momento de una fuerza F con respecto al punto O de un cuerpo rígido se definió como

Mo = r X F (3.11)

88

donde r es el vector de posición que va desde O hasta cualquier punto sobre la línea de ac­ción de F. Como el producto vectorial no es conmutativo, cuando se calcula un productode este tipo es absolutamente necesario colocar a los vectores en el arden apropiado y quecada uno de dichos vectores tenga el sentido correcto. El momento Mo es importante pues­to que su magnitud es una medida de la tendencia de la fuerza F para hacer que el cuerporígido rote alrededor de un eje dirigido a lo largo de Mo

1. Cálculo del momento !\Io de una fuerza en dos dimensiones. Se puede emplearuno de los siguientes procedimientos:

a) Usar la ecuación (3.12), Mo = Fd, la cual expresa la magnitud del momento comoel producto de la magnitud de F y la distancia perpendicular d desde O hasta la línea deacción de F [problema resuelto 3.1].

b) Expresar a r y F en términos de sus componentes y evaluar formalmente el pro­ducto vectorial Mo = r X F [problema resuelto :3.2].

c) Descomponer a F en sus componentes paralela y perpendicular al vectar de posi­ción r, respectivamente. Sólo la componente perpendicular contribuye al momento de F[problema resuelto 3.3].

d) Usar la ecuación (3.22), Mo = ¡VIo = :rFIf - yF,. Cuando se aplica este método, elenfoque más simple consiste en tratar a las componentes escalares de r y F como si fueranpositivas y, después, asignar por inspección el signo apropiado al momento producido porcada componente de la fuerza. Por ejemplo, al aplicar este método para resolver el proble­ma resuelto 3.2, se observa que ambas componentes de la fuerza tienden a ocasionar unarotación en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj alrededor"'-éfelpunto B. Portanto, el momento de cada fuerza con respecto a B debe ser representado por un escalarnegativo. Entonces, se tiene que el momento total está dado por

¡VIB = -(016 m)(400 N) - (0.20 m)(693 N) = -202.6 N . m

2. Cálculo del momento ,\10 de una fuerza F en tres dimensiones. Con el método delproblema resuelto 3.4, el primer paso del proceso consiste en seleccionar al vector de posiciónr que sea el más conveniente (el más simple). Después, se debe expresar a F en términos desus componentes rectangulares. El último paso consiste en evaluar el producto vectorial r x Fpara determinar el momento. En la mayoría de los problemas tridimensionales se encontraráque es más fácil calcular el producto vectorial con el uso de la forma de determinante .

.3. Determinación de la distancia perpendicular d desde un punto A hasta una líneadada. Primero se supone que la fuerza F de magnitud conocida F se encuentra a lo largode la línea dada. Después se determina su momento con respecto a A formando el productovectorial MA = r X F, Y calculándolo como se indicó anteriormente. Entonces, se calculasu magnitud ¡VIA. Por último, se sustituyen los valores de F y MA en la ecuación MA = Fcl Y

se resuelve para d.

Problemas

3.1 Una fuerza de 90 N se aplica a la varilla de control AB como in­dica la figura. Si la longitud de la varilla es de 225 mm, determine el mo­mento de la fuerza respecto al punto B descomponiendo la fuerza en suscomponentes a lo largo de AB y en una dirección perpendicular a AB .

. 3.2. Una fuerza de 90 N se aplica a la varilla_de control AB como in- _I ~Bdlca la [¡gura. SI la longItud de la vanlla es de 220 mm, detenmne el mo- -~~-mento de la fuerza respecto al punto B descomponiendo la fuerza en suscomponentes horizontal y vertical. Figura P3.1 y P3.2

3.3 Una fuerza P de 3 lb se aplica a una palanca que controla la ba­rrena de una barredora de nieve. Determine el momento de P respecto a A

cuando a es igual a 30°.

,3.4 La fuerza P se aplica a una palanca que controla la barrena de unabarredora de nieve. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza P mí­nima que tiene un momento de 19.5 lb . in. en sentido contrario al de lasmanecillas del reloj respecto a A.

3.5 Una fuerza P de 2.9 lb se aplica a una palanca que controla la ba­rrena de una barredora de nieve. Determine el valor de a si el momento de

P respect~ a A es en sentido contrario al de las manecillas del reloj y tieneuna magnitud de 17 lb . in.

3.6 Un rótulo está suspendido de dos cadenas AE y BF. Si la tensiónen BF es de 200 N, determine a) el momento de la fuerza ejercida por la ca­dena en B respecto a A, b) la fuerza mínima aplicada en e que produce elmismo momento respecto a A. Figura P3.3, P3.4 Y P3.5

E~ ~F~ j

\A ;.'

-l' l B/\6001.35 m I

__1 __ o o 09¡m

DI~_2m leFigura P3.6 Y P3.7

3.7 Un rótulo está suspendido de dos cadenas AE y BY Si la tensiónen BF es de 200 N, determine a) el momento de la fuerza ejercida por la ca­dena en B respecto a A, b) la magnitud y el sentido de la fuerza vertical apli­cada en e que produce el mismo momento respecto de A, e) la fuerza mí­nima aplicada en B que produce el mismo momento respecto de A.

89

\15°

Figura P3.8

3.8 Un atleta se está ejercitando mientras carga en el tobillo, A, un pe­so de 51b, como indica la figura. Determine a) el momento del peso respectoa la flexión de la rodilla en el punto B, b) la magnitud de la fuerza P muscularque forma un momento de igual magnitud respecto a B, e) la fuerza F míni­ma aplicada en C que crea el mismo momento que el peso respecto a B.

3.9 Un malacate AB se usa para tensar cables a un poste. Si la tensiónen el cable BC es de 260 lb Ylas longitudes a, b, el miden 8, 35 )' 76 in., res­pectivamente, determine el momento, respecto a D, de la fuerza ejercida porel cable C mediante la descomposición en sus componentes hOtizontal )' ver­tical de la fuerza aplicada en a) el punto C, b) el punto E.

3.10 Se debe aplicar una fuerza que produzca un momento de 7 840lb . in. respecto a D para tensar el cable al poste CD. Si a = 8 in., b = 35 in.yel = 112 in., determine la tensión que debe desarrollarse en el cable delmalacate AB para crear el momento requerido respecto al punto D.

~

Figura P3.9, P3.10 y P3.11

el ,I~

3.11 Se debe aplicar una fuerza que produzca un momento de 1 152N . m respecto a D para tensar el cable al poste CD. Si la capacidad del mala­cate AB es de 2 880 N, determine el valor mínimo de la distancia el nece­saria para generar el momento especificado respecto a D, suponiendo quea = 0.24 m y b = 1.05 m.

3.12 Y 3.13 La biela AB ejerce sobre la manivela BC una fuerza de2.5 kN dirigida hacia abajo y hacia el lado izquierdo a lo largo de la líneacentral de AB. Determine el momento de esa fuerza respecto a C.

90

42mm

Figura P3.12

-,144 mm

1

-6+,j I1lITIt

42mm

Figura P3.13

t88mm

~t

56mmt

3.14 Un seguidor B circular con diámetro de 64 mm se sostiene con­tra la leva A como se muestra en la figura. Si la leva ejerce una fuerza conmagnitud de 80 N sobre el seguidor a lo largo de la normal común BC, de­termine el momento de la fuerza respecto a la articulación colocada en D.

Problemas 91

300111111

I

Figura P3.14

A.E::L

+c

_t90111111

y

Figura P3.15

e

3.15 Obtenga los productos vectoriales B x e \. B' x e, dondeB = B', y use los resultados obtenidos para comprobar la identidad

sen C\' cos {3= t sen (C\' + {3)+ t sen (C\' - {3).

3.16 Una línea pasa por los puntos (630 mm. -225 mm) y (-210 mm,270 mm). Determine la distancia pel}lendicular el medida desde la línea hastael origen O del sistema coordenada.

3.17 Los vectores A y B están contenidos en el mismo plano. Deter­mine el vector unitario normal al plano si A~, B son iguales, respectiyamente,a a) 12i - 6j + 9k y -3i + 9j - 7.5k, b) -14i - 2j + 8k \. 3i + 1.5j - k.

3.18 Los vectores P y Q son dos lados adyacentes de un paralelogramo.Determine el área del paralelogramo si a) P = (3 in.)i + (7 in.)j - (2 in.)k yQ = -(5 in.)i + (1 in.)j + (3 in.)k, b) P = (2 in.)i - (4 in.)j - (3 in.)k y Q =(6 in.)i - (1 in.)j + (5 in.)k

3.19 Determine el momento respecto al origen O de la fuerza F =(7.5 N)i + (3 N)j - (4.5 N)k que actúa en el punto A. Suponga que el vec­tal' de posición de A es a) r = -(6 m)i + (3 m)j + (1..'5m)k, b) r = (2 m)i ­(0.75 m)j - (1 m)k, e) r = -(2.5 m)i - (J m)j + (1.5 m)k

3.20 Determine el momento respecto al oligen O de la fuerzaF'= (3Ib)i - (61b)j + (41b)k que actúa en el punto A. Suponga que el Yec­tor de posición de A es a) r = -(7.5 ft)i + (3 ft)j - (6 ft)k, b) r = -(0.75 ft)i+ (1.5 ft)j - (1 ft)k, e) r = -(8 ft)i + (2 ft)j - (14 ft)k.

3.21 Un pequeño bote cuelga de dos grúas, una de las cuales se mues­tra en la figura. La tensión en la línea ABAD es de 369 N. Determine el mo­mento, respecto a C, de la fuerza resultante RA ejercida sobre las grúas enel punto A.

3.22 Una fuerza de 36 N se aplica sobre la llave de torsión para en­roscar la regadera. Si la línea de acción de la llave es paralela al eje x, de­termine el momento de la fuerza respecto de A.

;;

Figura P3.21

YJ140111~1

Figura P3.22

92 Cuerpos rígidos: sistemas equivalentesde fuerza

3.23 Antes de colocar un cable telefónico, la cuerda BAC se ata a unaestaca situada en B y se pasa por una polea en A. Si el tramo AC de la cuerdapertenece a un plano paralelo al plano xy, y la magnitud de la tensión T enla cuerda es de 62 lb, determine el momento respecto a O de la fuerza re­sultante ejercida por la cuerda sobre la polea.

3.24 Una sección de una pared de concreto precolado se sostiene pormedio de dos cables como se muestra en la figura. Si la tensión en cada ca­ble, BD y FD, es de 900 y 67.5 N, respectivamente, determine el momentorespecto al punto O de la fuerza ejercida por a) el cable BD, b) el cable FE.

30 ft

o

5ft~

Figura P3.23

132m

~BJFigura P3.26

Figura P3.24

3.25 En un concurso de vencidas, uno de los competidores aplica unafuerza P sobre la mano de su oponente. Si AB = 1.5.2in. y BC = 16 in., de­termine el momento de la fuerza respecto a C.

y

Figura P3.25

3.26 El puntal de madera AB se emplea temporalmente para sostenerel techo en voladizo que se muestra en la figura. Si el puntal ejerce en .'.una fuerza de 228 N dirigida a lo largo de BA, determine el momento de es­ta fuerza respecto a C.

3.27 En el problema 3.21, determine la distancia perpendicular desdeel punto C hasta el tramo AD de la línea ABAD.

3.28 En el problema 3.23, determine la distancia perpendicular desdE­el punto O hasta el tramo AC de la cuerda BAC.

a unauerdaTen

za re-

le por:la ca­nentoe FE.

3.29 En el problema 3.23, determine la distancia perpendicular desdeel punto O hasta el tramo AB de la cuerda BAC.

3.30 En el problema 3.24, determine la distancia perpendicular desdeel punto C hasta el cable BD.

3.3.1 En el problema 3.25, determine la distancia perpendicular desdeel punto C hasta la línea de acción de la fuerza P.

3.32 En el problema 3.26, determine la distancia perpendicular desdeel punto D hasta la línea que pasa por los puntos A y B.

3.33 En el problema 3.26, determine la distancia perpendicular desdeel punto C hasta la línea que pasa por los puntos A y B.

3.9. Producto escalar de dos vectores 93

~aunal., de-

Figura P3.34

3.34 Un jardinero desea conectar un tubo hidráulico desde el puntoC, que se encuentra en el cimiento de un invernadero de 30 ft de largo, hastauna tubería principal que pasa por los puntos A y B. Determine a) el valorde L que minimiza la longitud del tubo hidráulico requerido, b) la longituddel tubo requerido.

3.9. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

El producto escalar de dos vectores P y Q se define como el productode las magnitudes de P y Q y el coseno del ángulo e formado por P\. Q (figura 3.19). El producto escalar de P y Q se denota medianteP . Q. Entonces, se eSClibe

~

p. Q = PQ cos e (3.24)4(Figura 3.19

Istener~ en Ade es-

.-\dvierta que la expresión recién definida no es un vector sino un es­calar, lo cual explica el nombre de producto escalar; en virtud de lanotación utilizada, P . Q también se conoce como el producto puntode los vectores P y Q.

A partir de su propia definición, se concluye que el producto es­calar de dos vectores es conmutativo, esto es, que

Para demostrar que el producto escalar también es distributivo, se debeprobar la relación '

desde

desde

P'Q=Q'P

p. (Ql + Q2) = p. Ql + p. Q2

(3.25)

(3.26)

donde Qy es la componente y de Q. De manera similar, el término dellado derecho de (3.26) se puede expresar como

Sin perder la generalidad, se puede suponer que P está dÚjgido él lolargo del eje y (figura 3.20). Al denotar por Q la suma de Ql y Q2 ypor ey el ángulo que forma Q con el eje y, el término del lado izquierdode (3.26) se e.\'Presa de la siguiente forma:

(3.28)

(3.27)

Debido a que Q es la suma de Ql y Q2, su componente y debe serigual a la suma de las componentes en y de Ql y Q2. Por tanto, las ex­presiones obtenidas en (327) y (3.28) son iguales, con lo que quedademostrada la relación (3.26).

En lo concerniente a la tercera propiedad -la propiedad asocia­tiva- se debe señalar que no es aplicable a los productos escalares.De hecho (p. Q) . S no tiene ningún significado puesto que P . Q noes un vector sino un escalar.

El producto escalar de dos vectores P y Q puede expresarse entérminos de las componentes rectangulares de dichos vectores. Des­componiendo a P y a Q en sus componentes se eSClibe primero

Figura 3.20

Cuerpos rígidos: sistemas equivalentesde fuerza

94

p. Q = (P,j + Pyj + P"k) . (Q) + Qyj + Q"k)

Con el uso de la propiedad disttibutiva, P . Q se expresa como la sumade productos escalares, como P) . Q) y P) . Q,j. Sin embargo, a par­tir de la definición del producto escalar se concluye que los productosescalares de los vectores unitarios son iguales a cero o a uno.

¡'¡=1 j'j=l¡'j=O j'k=O

k· k = 1k· ¡= O (3.29)

Por tanto, la expresión obtenida para P . Q se reduce a

(3.30)

En el caso particular, cuando P y Q son iguales

P . P = P; + P: + P; = p2 (3.31)

Aplicaciones

1. ÁngUlO formado por dos vectores dados. Considérese quelos dos vectores están dados en términos de sus componentes:

P = P) + P'fj + P"kQ = Q) + Q'fj + Q"k

Para determinar el ángulo formado por estos dos vectores, seigualan las expresiones obtenidas para el producto escalar en(3.24) y (3.30) Yse escribe

PQ cos e = PtQ, + P'fQ'f + P"Qz

Resolviendo para cos e, se tiene

(3.32)

2. Proyección de un vector sobre un eje dado. Considéreseun vector P que forma un ángulo e con un eje, o línea di­rigida, OL (figura 3.21). La proyección de P sobre el eje OLse define como el escalar

3.10. Producto triple mixto de tres vectores

y

95

POL = Pcos e (3.33)L

Se observa que la proyección P OL es igual en valor absoluto alvalor de la longitud del segmento OA; ésta será positiva si OAtiene el mismo sentido que el eje OL, esto es, si e es agudo,y negativa en caso contrario. Si P YOL forman un ángulo rec­to, la proyección de P sobre OL es cero.

Considere ahora un vector Q dirigido a lo largo de OL conel mismo sentido que OL (figura 3.22). El producto escalar deP y Q puede expresarse como

I~~O~ Px

Figura 3.21

p. Q = PQ cos e = POLQ (3.34) y

por lo que se concluye que

POL =P'Q

Q

Y,Qx + PyQy + P;:;Q;:;

Q(3.35)

Q/L

ox

En el caso particular, cuando el vector seleccionado a lo largode OL es el vector unitario A (figura 3.23), se esclibe z

Figura 3.22

POL = p. A (3.36)

Al descomponer P y A en sus componentes rectangulares y re­cordar, de la sección 2.12, que las componentes de A a lo lar­go de los ejes coordenadas son iguales, respectivamente, a loscosenos directores de OL, la proyección de P sobre OL se ex­presa como

POL = P, cos ex + Py cos ey + P;:;cos e;:; (3.37)

donde ex, ey y B;:;representan los ángulos que el eje OL formacon los ejes coordenadas .

3.10. PRODUCTO TRIPLE MIXTO DE TRES VECTORES

y

A

.:;

Figura 3.23

L

x

la cual se obtiene formando el producto escalar de S con el productovectorial de P y Q. j

Se define al producto triple escalar o producto triple mixto de tres vec­tores S, P YQ como la eA']Jresiónescalar

S . (P X Q) (3.38)

tEn el eapítulo 15 se presentará otro tipo de producto triple vectorial: el producto triplevectoTial S X (P X Q).

96 Cuerpos rígidos: sistemas equivalentesde fuerza

Figura 3.24

Figura 3.25

Al producto triple escalar de S, P Y Q se le puede dar una inter­pretación geométrica simple (figura 3.24). En plimer lugar, recuerdede la sección 3.4 que el vector P x Q es perpendicular al plano quecontiene a P y a Q y que su magnitud es igual al área del paralelogra­mo que tiene por lados a P y a Q. Por otro lado, la ecuación (3.34) in­dica que el producto escalar de S y P x Q se puede obtener multipli­cando la lTlagnitud de P x Q (esto es, el área del paralelogramo defmidopor P y Q) por la proyección de S sobre el vector P X Q (esto es, porla proyección de S sobre la normal al plano que contiene al paralelo­gramo). Por tanto, el producto triple escalar es igual en valor absolutoal volumen del paralelepípedo que tiene por lados a los vectores S, PY Q (figura 3.2.5). Se debe señalar que el signo del producto triple es­calar será positivo si S, P y Q forman una tríada a mano derecha, y se­rá negativo si éstos forman una tríada a mano izquierda [esto es, S . (Px Q) será negativo si se observa desde el extremo terminal de S, quela rotación que hace a P colineal con Q va en el sentido de las mane­cillas del reloj]. El producto triple escalar será igual a cero si S, P y Qson copIan ares .

Como el paralelepípedo definido en el párrafo anterior es inde­pendiente del orden en que se tomen los tres vectores, todos los seisproductos triples escalares que se pueden formar con S, P YQ tendránel mismo valor absoluto, pero no el mismo signo. Se puede demostrarfácilmente que

S . (P X Q) = p. (Q X S) = Q . (S X P) (3.39)= -S, (Q X P) = -p. (S X Q) = -Q' (P X S)

Figura 3.26

Ordenando las letras que representan a los tres vectores en un círculo yen sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (figura3.26), se observa que el signo del producto triple escalar permanece inal­terado si se permutan los vectores en forma tal que éstos todavía se pue­dan leer en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Se dice queuna permutación de este tipo es una permutación circular. También, apmtir de la ecuación (3.39) y de la propiedad conmutativa de los pro­ductos escalares, se concluye que el producto triple escalar de S, P YQse puede definir tan bien con S . (P X Q) como con (S X P) . Q.

El producto triple escalar de los vectores S, P Y Q puede serexpresado en términos de las componentes rectangulares de estos vec­tores. Denotando a P X Q con V y con la fórmula (3.30) para expre­sar el producto escalar de S y V, se escribe

S . (P X Q) = S . V = S,V, + SyVy + s;y"

Si se sustituyen las componentes de V a partir de las relaciones (3.9),se obtiene

S . (P X Q) = S,(PyQ~ - P~Q,) + S,/P~Q\ - P,QJ+ SAP,Qy - PyQ,) (3.40)

Esta expresión se puede escribir en forma más compacta si se observaque representa la expansión de un determinante:

(3.41)

S,

S . (P X Q) = I P,Sy S;:;

Py po.

Q, Qy Q"

Aplicando las reglas que gobiernan a la permutación de renglones enun determinante, pueden verificarse fácilmente las relaciones (3.39)que fueron derivadas a partir de consideraciones geométricas.

3.11. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTOA UN EJE DADO

3.11. Momento de una fuerza con respectoa un eje dado

97

Ahora que se ha incrementado el conocimiento del álgebra vectorial, sepuede introducir un nuevo concepto: momento de una fuer;:;a con res­pecto a un eje. Considérese nuevamente la fuerza F que actúa sobre uncuerp9 rígido y el momento Mo de dicha fuerza con respecto a O (figu­ra 3.27). Sea OL un eje a través de O; el 77wmento MOL de F con respec­to a OL se define C017Wla proyección oe del momento M() sobre el ejeOL. Representando al vector unitario a lo largo de OL como A. y recor­dando, de las secciones 3.9 y 3.6, respectivamente, las expresiones (3.36)y (3.11) obtenidas para la proyección de un vector sobre un eje dado ypara el momento Mo de una fuerza F, se esclibe

y

o

F

x

MOL = A. . Mo = A. . (r X F) (3.42)

lo cual demuestra que el momento MOL de F con respecto al eje OLes el escalar que se obtiene formando el producto triple escalar de A.,

r y F. Expresando a MOL en forma de determinante, se esclibe

AxAyA;:;

MOL = Ix

y71 (3.43)~F,

F'IFe

donde Ax, Ay, A;:; = cosenos directores del eje OLx, y, z = coordenadas del punto de aplicación de F

Fx, F'I' F;:; = componentes de la fuerza F

El significado físico del momento MOL de una fuerza F con res­pecto al eje fijo OL se vuelve más evidente si se descompone a F endos componentes rectangulares F ¡ YF 2 con F 1 paralela a OL y F 2, con­tenida en un plano P perpendicular a OL (figura 3.28). En forma simi­lar, descomponiendo a r en dos componentes rl y r2 y sustituyendo aF y a r en (3.42), se escribe

MOL = A.. [(r¡ + r2) X (F1 + F2)]= A.. (rl X F1) + A.. (rl X F2) + A.. (r2 X F¡) + A.. (r2 X F2)

Con excepción del último término del lado derecho, todos los produc­tos triples escalares son iguales a cero, puesto que involucran a vecto­res que son coplanares cuando se trazan a partir de un origen común(sección 3.10), se tiene

Figura 3.27

p

oFigura 3.28

7F

MOL = A. • (r2 X F2) (3.44)

El producto vectorial r2 X F 2 es perpendicular al plano P y represen­ta el momento de la componente F 2 de F con respecto al punto Qdonde OL interseca a P. Por tanto, el escalar MOL' el cual será positi­\'0 si r2 X F 2 Y OL tienen el mismo sentido y negativo en caso con­~o, mide la tendencia de F 2 a hacer rotar el cuerpo ligido alrede-

01' de OL. Como la otra componente F 1 de F no tiende a hacer rotar""1 cuerpo alrededor de OL, se concluye que el momento MOL de F con

specto a OL 1nide la tendencia de la fuerza F de impartirle al cuer­

':J rígido un 1Twvimiento de rotación alrededor del eje fijo OL.

98 Cuerpos rígidos: sistemas equivalentesde fuerza A paliir de la definición del momento de una fuerza con respecto a

un eje, se concluye que el momento de F con respecto a un eje coorde­nada es igual a la componente de Mo a lo largo de dicho eje. Al sustituirA de manera sucesiva en la ecuación (3.42) por cada uno de los vectores

unitarios i, j )'k, se observa que las expresiones así obtenidas para losnwmentos de F con respecto a los ejes coordenadas son iguales, respec­tivamente, a las ex-presiones obtenidas en la sección 3.8 para las compo­nentes del momento Mo de F con respecto a o:

Mx = yF;; - ;:::,Fy

My = zFx - xF;;

M;; = xFy - yFx

(3.18)

(3.45

AxAyA;;

MBL= IXA/B YA/B ;:::'A/BI(3.46

Fx

FyF;;

donde A" Ay, A;; = cosenos directores del eje BLXA/B = XA - XB YA/B = YA - YB

F" Fy, F~= componentes de la fuerza F

MCL = A' [(rA - re) X F]= A' [(rA - rE) X F] + A' [(rB - re) X F]

Pero como los vectores A y rB - rc son colineales, el volumen del p.­ralelepípedo que tiene por lados a los vectores A, rB.- rc y F es iga cero, al igual que el producto triple escalar de dichos vectores (s~ ­ción 3.10). Entonces, la ex'Presión obtenida para MCL se reduce a _primer término, el cual es la expresión empleada anteriormente pardefinir a MBJ~' De manera adicional, a partir de la sección 3.6 se cor­duye que cuando se calcula el momento de F con respecto a un eje cL­

do, A puede ser cualquier punto a lo largo de la línea de acción de f

Se debe observar que el resultado obtenido es independiente del pUl­to B seleccionado sobre el eje dado. De hecho, denotando con MCL

resultado obtenido con un punto e diferente, se tiene

Se aprecia que de la misma forma que las componentes F" Fy Y F;; deuna fuerza F que actÚa sobre un cuel-po rígido miden, respectivamen­te, la tendencia de F a mover el cuel-po rígido en las direcciones de :r.y y;:::"los momentos Mx, M'l)' M;; de F con respecto a los ejes coorde­nados miden, respectivamente, la tendencia de F a impaliirle al cuer­po ligido un movimiento de rotación alrededor de los ejes x, y )' z.

En general, el momento de una fuerza F aplicada en A con res­pecto a un eje que no pasa a través del Oligen, se obtiene seleccionan­do un punto arbitrario B sobre dicho eje (figura 3.29) y determinandola proyección sobre el eje BL del momento MB de F con respecto a BEntonces, se esclibe

donde rA/B = rA - rB representa al vector trazado desde B hasta Ax EX'Presando a MBL en forma de determinante, se tiene

F

Figura 3.29

D e

Ar"~ ~ /1~;,/P !L J c-

PROBLEMA RESUELTO 3.5

Sobre el cubo de lado a actúa una fuerza P, como se muestra en la figura.Determine el momento de P: a) con respecto a A, b) con respecto a la aristaAB y e) con respecto a la diagonal AG del cubo; d) con el resultado del in­ciso e), determine la distancia perpendicular entre AG y FC.

E F

1)1 SOLUCiÓN

,D e

:\:

a) Momento con respecto a A. Al seleccionar ~ ejes :l, y Yz comose muestra en la figura, la fuerza P y el vector rF/A = AF, trazado desde Ahasta el punto de aplicación F de P, se descomponen en sus componentesrectangulares.

rp/A = ai - aj = a(i - j)P = (P/V2)j - (P/V2)k = (P/V2)(j - k)

El momento de P con respecto a A es igual a

MA = rp/A X P = a(i - j) X (P/V2)(j - k)M\ = (aP/V2.)(i + j + k) .•••

b) ~Iomento con respecto a AR. Proyectando a MA sobre AB, secscribe

= -aP/V6-1/V3

O

-P/V2

-o

P/V2O

aZp/A

F~.

YF/A

F'I

:lP/A

F,

MAC =

Método altenwtiro. El momento de P con respecto a AG tambiénse puede expresar en forma de determinante:

Ax Ay A~ I 11/V3 -1/V3

M.-'lS = i . MA = i . (aP /V2)(i + j + k):'1.\/J = (/p/V2. .•••

Se verifica que, como AB es paralela al eje:l, MAS también es la compo­nente del momento MA·

e) ~Iomento eon respecto a la diagonal AG. El momento de Pcon respecto a AG se obtiene proyectando a M.e\. sobre AG. Denotando conA el vectar unitario a lo largo de AG, se tiene

AG' ai - aj - akA = -AG- = --0V3-3 - = (l/V3)(i - j - k)

MAC = A . Me\. = (l/V3)(i - j - k) . (aP /V2)(i + j + k)MAC = (aP/V6)(l - 1 - 1) .'1\(; = -(/P/VG .•••

d) Distancia pe'"pendicular entre AG y Fe. Primero se observaque P es perpendicular a la diagonal AG. Esto se puede comprobar con elproducto escalart P . A Y verificar que dicho producto es igual a cero:

p. A = (P/V2)(j - k) . (l/V3)(i - j - k) = (PV6)(O - 1 + 1) = O

Entonces, el momento MAC puede ser expresado como -Pd, donde d es ladistancia perpendicular desde AG hasta FC. (El signo negativo se usa puestoque para un observador ubicado en G, la rotación impartida al cubo por Ptiene el sentido del movimiento de las manecillas del reloj.) Recordando elvalor encontrado para MAG en el inciso e), se tiene

MAG = -Pd = -aP/V6 el = (//\17.; .•••

x

e

e

e

F

F

1)

E/

E

A

99

RESOLUCiÓN DE PROBLEMASEN FORMA INDEPENDIENTE

En los problemas correspondientes a esta sección, se aplicará el producto escalaro producto punto de dos vectores para determinar el ángulo formado por dos vec­tores dados y para detenninar la proyección de una fuerza sobre un eje dado. Tam­bién se utilizará el producto triple escalar de tres vectores para encontrar elnw­mento de una fuer;;;a con respecto a un eje dado 'y para determinar la distanciaperpendicular entre dos líneas.

1. Cálculo del ángulo formado por dos vectores dados. Primero se expresacada uno de los vectores en términos de sus componentes y se determinan las mag­nitudes de los dos vectores. Después, se obtiene el coseno del ángulo buscado conla división del producto escalar de los dos vectores entre el producto de sus respec­tivas magnitudes [ecuación (3.32)].

2. Cálculo de la proyección de un vector P sobre un eje dado OL. En ge­neral, se comienza con la expresión en términos de sus componentes de P y delvector unitario 'A que define la dirección del eje. Se debe tener cuidado de que 'A

tenga el sentido correcto (esto es, de que 'A esté dirigido desde O hasta L). Enton­ces, la proyección buscada es igual al producto escalar P . 'A. Sin embargo, si se co­noce el ángulo e que forman P y 'A, la proyección también se puede calcular comoP cos e.

3. Determinación del momento MOL de una fuerza con respecto a un ejedado OL. Se definió a MOL como

MOL = 'A' Mo = 'A' (r X F) (3.42)

100

donde 'A es el vector unitario a lo largo de OL y r es el vector de posición desde cual­quier punto sobre la línea OL hasta cualquier punto sobre la línea de acción de F.Como fue el caso para el momento de una fuerza con respecto a un punto, elegir elvector de posición más conveniente simplificará los cálculos. Además, también se de­be recordar la advertencia de la lección anterior: los vectores r y F deben tener elsentido correcto y ser colocados en la fórmula en el orden apropiado. El procedi­miento que se debe seguir cuando se calcula el momento de una fuerza con respec­to a un eje se ilustra en el inciso c) del problema resuelto 3.,5.Los dos pasos esencia­les en este procedimiento son: expresar primero a 'A, r y F en términos de sus com­ponentes rectangulares para después evaluar el producto triple escalar 'A • (r X F)con el fin de determinar el momento con respecto al eje. En la mayoría de los pro­blemas tridimensionales, la forma más conveniente para calcular el producto tripleescalar es emplear un determinante.

Como se mencionó anteriormente, cuando 'A está dirigido a lo largo de uno de losejes coordenados, MOL es igual al componente escalar de Mo a lo largo de ese eje.

4. Determinación de la distancia perpendicular entre dos líneas. Se deberecordar que la componente perpendicular F z de la fuerza F es la que tiende a ha­cer que el cuerpo ligido gire alrededor de un eje dado OL (figura 3.28). Entonces seconcluye que

MOL = Fzel

donde MOL es el momento de F alrededor del eje OL yel es la distancia perpen­dicular entre OL y la línea de acción de F. Esta última ecuación proporciona una téc­nica simple para determinar el. Plimero, supóngase que la fuerza F de magnitud cono­cida F se encuentra a lo largo de una de las líneas dadas y que el vector unitmio A seubica a lo largo de la otra línea. Después, calcule el momento MOL de la fuerza F conrespecto a la segunda línea con el método que se presentó en los párrafos anteliores.La magnitud de la componente paralela de F, Fl se obtiene utilizando el producto es­calar:

Fl = F· A

El valor de Fz se determina a partir de

Fz = VFz - Fi

Por último, se sustituyen los valores de MOL y Fz en la ecuación MOL = Fzel y se re­suelve para el.

Ahora se puede comprender que el cálculo de la distancia perpendicular en el inci­so el) del problema resuelto 3.5 se simplificó debido a que P era perpendicular a ladiagonal AG. Como, en general, las dos líneas dadas no serán perpendiculares, la téc­nica recién descrita se debe emplear cuando se desee determinar la distancia per­pendicular entre ellas.

101

RESOLUCiÓN DE PROBLEMASEN FORMA INDEPENDIENTE

En los problemas correspondientes a esta sección, se aplicará el producto escalaro producto punto de dos vectores para determinar el ángulo fonnado por dos vec­tores dados y para determinar la proyección de una fuer;::.asobre un eje dado. Tam­bién se utilizará el producto triple escalar de tres vectores para encontrar el mo­mento de una fue¡--;;;acon respecto a un eje 'dado y para determ.inar la distanciaperpendicular entre dos líneas.

1. Cálculo del ángulo formado por dos t;ectores dados. Primero se expresacada uno de los vectores en términos de sus componentes y se determinan las mag­nitudes de los dos ,-ectores. Después, se obtiene el coseno del éingu10buscado conla división del producto escalar e/e los dos vectores entre el producto de sus respec­tivas magnitudes [ecuación (3.32)].

2. Cálculo de la proyección de un t;ector P sobre un eje dado OL. En ge­neral, se comienza con la ex-presión en términos de sus componentes de P y delvector unitario A que define la dirección del eje. Se debe tener cuidado de que Atenga el sentido correcto (esto es, de que A esté dirigido desde O hasta L). Enton­ces, la proyección buscada es igual al producto escalar P . A. Sin embargo, si se co­noce el ángulo e que forman P y A, la proyección también se puede calcular comoP cos e.

3. Determinación del momento lUOL de una fuerza con respecto a un ejedado OL. Se definió a MaL como

MaL = A' Ma = A' (r X F) (3.42)

100

donde A es el \'ector unitario a lo largo de OL)' r es el vector de posición desde cual­quier punto sobre la línea OL hasta cualquier punto sobre la línea de acción de F.Como fue el caso para el momento de una fuerza con respecto a un punto, elegir elvector de posición más conveniente simplificará los cálculos. Además, también se de­be recordar la advertencia de la lección anterior: los vectores r y F deben tener elsentido correcto y ser colocados en la fórmula en el orden apropiado. El procedi­miento que se debe seguir cuando se calcula el momento de una fuerza con respec­to a un eje se ilustra en el inciso c) del problema resuelto 3.5. Los dos pasos esencia­les en este procedimiento son: ex-presarprimero a A, r y F en términos de sus com­ponentes rectangulares para después evaluar el producto triple escalar A . (r X F)con el fin de determinar el momento con respecto al eje. En la mayoría de los pro­blemas tridimensionales, la forma más conveniente para calcular el productq tripleescalar es emplear un determinante.

Como se mencionó anteriormente, cuando A está dirigido a lo largo de uno de losejes coordenados, MaL es igual al componente escalar de Ma a lo largo de ese eje.

y

Figura P3.36

Figura P3.39 Y P3.40

102

Problemas

3.35 Dados los vectores P = -4i + 8j - 3k, Q = 9i - j - 7k, YS = Si - 6j + 2k, encuentre los productos escalares p. Q, p. S Y Q' S.

3.36 Obtenga los productos escalares B . e y B' . e, donde B = B',Y utilice los resultados obtenidos para demostrar la identidad

cos ex cos 13 = t cos (ex + 13) + t cos (ex - 13)·

3.37 Se utilizan tres cables para sostener un contenedor como se mues­tra en la figura. Determine el ángulo formado por los cables AB y AD.

Figura P3.37 Y P3.38

3.38 Para sostener un contenedor, como se muestra en la figura, seutilizan tres cables. Determine el ángulo formado por los cables AC y AD.

3.39 Los elementos AB, BC y CD del marco de acero mostrado en lafigura están unidos en B y C, asegurados mediante los cables EF y EG. Si Ees el punto medio de BC y la tensión en el cable EF es de 110 lb, determinea) el ángulo entre EF y el elemento BC, b) la proyección sobre BC de lafuerza ejercida por el cable EF en el punto E.

3.40 Los elementos AB, BC y CD del marco de acero mostrado en lafigura están unidos en B y C, asegurados mediante los cables EF y EG. Si Ees el punto medio de BC y la tensión en el cable EG es de 178 lb, determinea) el ángulo entre EG y el elemento BC, b) la proyección sobre BC de lafuerza ejercida por el cable EG en el punto E.

f1.50 m

B~I !?------x2.2.5 m/

14 m

D

Problemas 103

x

lj

10.90 m

tl----230 n~r---.. E::--------... I

Figura P3.45 Y P3.46

Figura P3.41 Y P3.42

IJ 13ft

~

c~/I/6h./ ~/

3~J/ ~D~~~ ~18ft/ x.x )'(N. -< ~ ,9ft4.5ft ~

3.48 Una cerca consiste en postes de madera y un cable de acero su­

do a cada poste y anclado al suelo en los puntos A y D. Si la suma de mo­entos, respecto al eje y, de las fuerzas ejercidas por el cable sobre los pos­

:es ubicados en B y C es de 156 lb . ft, determine la magnitud de TE.4- cuando!cv = 7.5 lb.

3.45 La plataforma rectangular tiene bisagras en A y B Y se sostienemediante un cable que pasa, sin fricción, por un gancho colocado en E. Si la-ensión en el cable es de 1349 N, determine el momento de la fuerza ejer-

-,ida por el cable en C respecto a cada uno de los ejes coordenadas.

3.46 La plataforma rectangular tiene bisagras en A y B Y se sostiene:nediante un cable que pasa, sin fricción, por un gancho colocado en E. Si la~ensión en el cable es de 1349 N, determine el momento de la fuerza ejer­

ida por el cable en D respecto a cada uno de los ejes coordenadas.

3.47 Una cerca consiste en postes de madera y un cable de acero su­,eto a cada poste y anclado al suelo en los puntos A y D. Si la suma de mo­

entos, respecto al eje ;:;, de las fl¡erzas ejercidas por el cable sobre los pos­

~esubicados en B y C es de -48 lb . ft, determine la magnitud de TCD cuando-=-BA = 14 lb.

3.41 En la figura se muestra un mástil y parte de los aparejos de un,-e1ero. Los elementos CD y EF peltenecen al mismo plano, CD tiene lon­gitud de 7.5 m y forma un ángulo de 45° con una línea vertical que pasa porC. Si cuando e = 1.5° la tensión en la cuerda AB es de 230 N, determine

a) el ángulo entre las cuerdas AB y BD, b) la proyección sobre BD de la fuer­za ejercida por la cuerda AB en el punto B.

3.42. En la figura se muestra un mástil y parte de los aparejos de un"elero. Los elementos CD y EF pertenecen al mismo plano, CD tiene lon­ptud de 7.5 m y forma un ángulo de 45° con una línea vertical que pasa porC. Si cuando e = 10° a tensión en la cuerda BD es de 250 N, determine

J el ángulo entre la cuerda BD y el arpón CD, b) la proyección sobre CDde la fuerza ejercida por la cuerda BD en el punto D.

3.43 Determine el volumen del paralelepípedo de la figura 3.25 si

P = (3 in.)i - (4 in.)j + (1 in.)k, Q = -(7 in.)i + (6 in.)j - (8 in.)k y= (9 in.)i - (2 in.)j - (3 in.)k, b) P = -(5 in.)i - (7 in)j + (4 in.)k, Q =

6 in.)i - (2 in.)j + (5 in.)k, y S = -(4 in.)i + (8 in.)j - (9 in.)k.

3.44 Dados los vectores P = -3i -7j + 5k, Q = -2i + j - 4k Y

= 8i + S,j - 6k, determine el valor de Sy para el que los tres vectores soncoplanares.

e

).

I

;-

e,a

yi.

aE

ea

aE

Figura P3.47 Y P3.48

104 Cuerpos rígidos: sistemas equivalentesde fuerza 3.49 Una fuerza P se aplica a la palanca de un tomillo de presión. Si P

peltenece a un plano paralelo al plano y:: y M, = 26 N . m, My = -23 N . my M~ = -4 N . m, determine la magnitud de P y los valores de cP y e,

Figura P3.49 Y P3.50

3.50 Una fuerza P se aplica a la palanca de un tomillo de presión. SiP pertenece a un plano paralelo al plano yz y My = -20 N . m y M~ = -3.5N . m, determine el momento de M, de P respecto al eje x cuando e = 60°,

3.51 Elposte utilitario BC está retenido por el cable AB como se mues­tra en la figura. Si la magnitud de la fuerza ejercida por el cable en B es de70 lb, Y el momento de esa fuerza respecto al eje x es de -763 lb . ft, deter­mine la longitud del poste.

;::

Figura P3.51 Y P3.52

3.52 El poste utilitario B C está retenido por el cable AB como se mues­tra en la figura. Si los momentos de la fuerza ejercida por el cable en el puntoB respecto a los ejes x y :: son, respectivamente, de -900 lb . ft Y -315 lb .ft, determine la longitud del poste.

pm

3.53 El marco ACD está articulado en A y D Y se sostiene medianteun cable, el cual pasa por un anillo colocado en B y está unido a ganchos enC y H. Si la tensión en el cable es de 1 125 N, determine el momento, res­pecto a la diagonal AD, de la fuerza ejercida sobre el marco por el tramo BHdel cable.

!J

280 mm

Problemas 1O~

3.54 El marco ACD está articulado en A y D Y se sostiene medianteun cable, el cual pasa por un anillo colocado en B y está unido a ganchos enC y H. Si la tensión en el cable es de 1 125 N, determine el momento, res­pecto a la diagonal AD, de la fuerza ejercida sobre el marco por el tramo BCdel cable.

3.55 La sección ABCD de una pasarela inclinada en voladizo mide 2.4m de ancho y está parcialmente sostenida por los elementos EF y CH. Si lafuerza compresiva ejercida por el elemento EF sobre la pasarela en el pun­to F es de 24.3 kN, determine el momento de esa fuerza respecto al bordeAD.

?_ r

"rp

Figura P3.53 Y P3.54

~I0.9 lTl \'

t ' A

3i

.5

r-

s­

le

Figura P3.55 Y P3.56

!J

s­o

3.56 La sección ABCD de una pas'arela inclinada en voladizo mide 2.4m de ancho y está parcialmente sostenida por los elementos EF y CH. Si lafuerza compresiva ejercida por el elemento GH sobre ]a pasarela en el pun­a H es de 21.3 kN, determine el momento de esa fuerza respecto al borde

J..D.

3.57 Un tetraedro rectangular tiene seis lados de longitud a. Si unafuerza P se aplica a lo largo del borde BC como indica la figura, determineel momento de la fuerza P respecto al borde OA.

3.58 Un tetraedro rectangular tiene seis lados de longitud (l. (1) De­muestre que dos ,bordes opuestos, como OA y BC, son mutuamente perpen­diculares. b) Use esta propiedad y el resultado obtenido en el problema 3.57para determinar la distancia pelpendicuJar entre Jos bOTelesOAy BC.

B

Figura P3.57 Y P3.58

A

e

~x

16 Cuerpos rígídos: sistemas equivalentesde fuerza

3.59 Un mástil se monta sobre el techo de una casa usando la mén­

sula ABCD ~' lo sostienen los cables EF, EG YEH. Si la fuerza ejercida porel cable EF en el punto E es de 29.7 lb, determine el momento de esa fuerzarespecto a la línea que une los puntos D e l.

Detalle del montaje de la ménsula

e>

'¡gura P3.59 Y P3.60

3.60 Un mástil se monta sobre el techo de una casa usando la mén­

sula ABCD ~. lo sostienen los cables EF, EG v EH. Si la fuerza ejercida porel cable EG en E es de 24.6 lb, determine el momento de esa fuerza respectoa la línea que une los puntos DeI.

3.61 Dos fÚerzas FJ y F2 en el espacio tienen la misma magnitud F.Demuestre que el momento de FJ respecto a la línea de acción de F 2 eigual al momento de F 2 respecto a la línea de acción de F l.

*3.62 En el problema 3.53, determine la distancia perpendicular en­tre el tramo BH del cable v la diagonal AD.

*3.63 En el problema 3.54, determine la distancia perpendicular en­tre el tramo BG del cable y la diagonal AD.

*3.64 En el problema 3..59, determine la distancia perpendicular en­tre el cable EF v la línea que une los puntos DeI.

*3.65 En el problema 3.60, determine la distancia perpendicular en­tre el cable EG y la línea que une los puntos D e l.

*3.66 En el problema 3.55, determine la distancia pe11Jendicular en­tre el elemento EF y el borde AD de la pasarela.

*3.67 En el problema 3.56, determine la distancia perpendicular en­tre el elemento GH v el borde AD de la pasarela.