CAPTULO 21: Cotes

Frmulas de integracin de Newton-

Las frmulas de Newton-Cotes son los tipos de integracin numrica ms comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una funcin complicada o datos tabulados por un polinomio de aproximacin que es fcil de integrar:

donde fn(x) = un polinomio de la forma fn(x) = a0 + a1x + + an 1xn 1 + anxn donde n es el grado del polinomio. Por ejemplo, en la figura 21.1a, se utiliza un polinomio de primer grado (una lnea recta) como una aproximacin. En la figura 21.1b, se emplea una parbola con el mismo propsito. La integral tambin se puede aproximar usando un conjunto de polinomios aplicados por pedazos a la funcin o datos, sobre segmentos de longitud constante. Por ejemplo, en la figura 21.2, se usan tres segmentos de lnea recta para aproximar la integral.

FIGURA 21.1

La aproximacin de una integral mediante el rea bajo a) una sola lnea recta y b) una parbola.

Aunque pueden utilizarse polinomios de grado superior con los mismos propsitos. Con este antecedente, reconocemos que el mtodo de barras de la figura PT6.6 emplea un conjunto de polinomios de grado cero (es decir, constantes) para aproximar la integral.

FIGURA 21.2

La aproximacin de una integral mediante el rea bajo tres segmentos de lnea recta.

FIGURA 21.3

La diferencia entre las frmulas de integracin a) cerradas y b) abiertas. Existen formas cerradas y abiertas de las frmulas de Newton-Cotes. Las formas cerradas son aquellas donde se conocen los datos al inicio y al final de los lmites de integracin (figura 21.3a). Las formas abiertas tienen lmites de integracin que se extienden ms all del intervalo de los datos (figura 21.3b). En este sentido, son similares a la extrapolacin que se analiz en la seccin 18.5. Por lo general, las formas abiertas de Newton-Cotes no se usan para integracin definida. Sin embargo, se utilizan para evaluar integrales impropias y para obtener la solucin de ecuaciones diferenciales ordinarias. Este captulo enfatiza las formas cerradas. No obstante, al final del mismo se presenta brevemente una introduccin a las frmulas abiertas de Newton-Cotes.

21.1

LA REGLA DEL TRAPECIO

La regla del trapecio es la primera de las frmulas cerradas de integracin de NewtonCotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuacin (21.1) es de primer grado:

Recuerde del captulo 18 que una lnea recta se puede representar como [vase ecuacin (18.2)]

El rea bajo esta lnea recta es una aproximacin de la integral de f(x) entre los lmites a y b:

El resultado de la integracin (vase el cuadro 21.1 para detalles) es

que se denomina regla del trapecio.

Cuadro 21.1

Obtencin de la regla del trapecio

Antes de la integracin, la ecuacin (21.2) se puede expresar como

Agrupando los ltimos dos trminos:

la cual puede integrarse entre x = a y x = b para obtener:

Este resultado se evala para dar:

Ahora, como b2 a2 = (b a)(b + a),

Multiplicando y agrupando trminos se tiene:

que es la frmula para la regla del trapecio. Geomtricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el rea del trapecio bajo la lnea recta que une f(a) y f(b) en la figura 21.4. Recuerde que la frmula para calcular el rea de un trapezoide es la altura por el promedio de las bases (figura 21.5a). En nuestro caso, el concepto es el mismo, pero el trapezoide est sobre su lado (figura 21.5b). Por lo tanto, la integral aproximada se representa como

FIGURA 21.4

Representacin grfica de la regla del trapecio.

FIGURA 21.5

a) La frmula para calcular el rea de un trapezoide: altura por el promedio de las bases. b) Para la regla del trapecio, el concepto es el mismo pero ahora el trapezoide est sobre su lado. o

donde, para la regla del trapecio, la altura promedio es el promedio de los valores de la funcin en los puntos extremos, o [ f(a) + f(b)]/2. Todas las frmulas cerradas de Newton-Cotes se expresan en la forma general de la ecuacin (21.5). De hecho, slo difieren respecto a la formulacin de la altura promedio.

21.1.1

Error de la regla del trapecio

Cuando empleamos la integral bajo un segmento de lnea recta para aproximar la integral bajo una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante (figura 21.6). Una estimacin al error de truncamiento local para una sola aplicacin de la regla del trapecio es (cuadro 21.2)

donde est en algn lugar en el intervalo de a a b. La ecuacin (21.6) indica que si la funcin sujeta a integracin es lineal, la regla del trapecio ser exacta. De otra

manera, para funciones con derivadas de segundo orden y de orden superior (es decir, con curvatura), puede ocurrir algn error.

FIGURA 21.6

Representacin grfica del empleo de una sola aplicacin de la regla del trapecio para aproximar la integral de f(x) = 0.2 + 25x 200x2 + 675x3 900x4 + 400x5 de x = 0 a 0.8.

Cuadro 21.2 Obtencin y error estimado de la regla del trapecioUna manera alternativa para obtener la regla del trapecio consiste en integrar el polinomio de interpolacin hacia adelante de Newton-Gregory. Recuerde que para la versin de primer grado con el trmino del error, la integral ser (cuadro 18.2)

Para simplificar el anlisis, considere que si = (x a)/h, entonces dx = h d Debido a que h = b a (para un segmento de la regla del trapecio), los lmites de integracin a y b corresponden a 0 y 1, respectivamente. Por lo tanto, la ecuacin (C21.2.1) se expresar como

Si se supone que para una h pequea, el trmino f ()es aproximadamente constante, entonces el resultado de la integracin es:

y tomando los lmites de integracin

Como f(a) = f(b) f(a), el resultado puede escribirse como

As, el primer trmino es la regla del trapecio y el segundo es una aproximacin para el error.

EJEMPLO 21.1 Aplicacin simple de la regla del trapecio Planteamiento del problema.Con la ecuacin (21.3) integre numricamente f(x) = 0.2 + 25x 200x2 + 675x3 900x4 + 400x5

desde a = 0 hasta b = 0.8. Recuerde de la seccin PT6.2 que el valor exacto de la integral se puede determinar en forma analtica y es 1.640533.

Solucin.Al evaluar la funcin en los lmites f(0) = 0.2 f(0.8) = 0.232 sustituyendo en la ecuacin (21.3) se tiene

la cual representa un error de Et = 1.640533 0.1728 = 1.467733 que corresponde a un error relativo porcentual de t = 89.5 % La razn de este error tan grande es evidente en la grfica de la figura 21.6. Observe que el rea bajo la lnea recta no toma en cuenta una porcin significativa de la integral que est por encima de la lnea. En situaciones reales, tal vez no conozcamos previamente el valor verdadero. Por lo tanto, se requiere una estimacin del error aproximado. Para obtener dicha estimacin se calcula la segunda derivada de la funcin en el intervalo, derivando dos veces la funcin original: f(x) = 400 + 4 050x 10 800x2 + 8 000x3 El valor promedio de la segunda derivada se calcula mediante la ecuacin (PT6.4):

que se sustituye en la ecuacin (21.6) y el resultado es

que es del mismo orden de magnitud y signo que el error verdadero. Sin embargo, de hecho, existe una discrepancia, ya que en un intervalo de este tamao, el promedio de la segunda derivada no es necesariamente una aproximacin exacta de f () As, indicamos que el error es aproximado mediante la notacin Ea, y no exacto usando Et.

21.1.2 mltiple

La regla del trapecio de aplicacin

Una forma de mejorar la precisin de la regla del trapecio consiste en dividir el intervalo de integracin de a a b en varios segmentos, y aplicar el mtodo a cada uno de ellos (figura 21.7). Las reas de los segmentos se suman despus para obtener la integral en todo el intervalo. Las ecuaciones resultantes se llaman frmulas de integracin, de aplicacin mltiple o compuestas. La figura 21.8 muestra el formato general y la nomenclatura que usaremos para obtener integrales de aplicacin mltiple. Hay n + 1 puntos igualmente espaciados (x0, x1, x2, , xn) En consecuencia, existen n segmentos del mismo ancho:

Si a y b se designan como x0 y xn, respectivamente, la integral completa se representar como

Sustituyendo la regla del trapecio en cada integral se obtiene

o, agrupando trminos,

FIGURA 21.7

Ilustracin de la regla del trapecio de aplicacin mltiple. a) Dos segmentos, b) tres segmentos, c) cuatro segmentos y d) cinco segmentos.

FIGURA 21.8

Formato general y nomenclatura para integrales de aplicacin mltiple. o, usando la ecuacin (21.7) para expresar la ecuacin (21.9) en la forma general de la ecuacin (21.5),

Como la sumatoria de los coeficientes de f(x) en el numerador dividido entre 2n es igual a 1, la altura promedio representa un promedio ponderado de los valores de la funcin. De acuerdo con la ecuacin (21.10), a los puntos interiores se les da el doble de peso que a los dos puntos extremos f(x0) y f(xn) Se tiene un error con la regla del trapecio de aplicacin mltiple al sumar los errores individuales de cada segmento, as

donde f (i) es la segunda derivada en un punto i, localizado en el segmento i. Este resultado se simplifica al estimar la media o valor promedio de la segunda derivada en todo el intervalo como [ecuacin (PT6.3)]

Por lo tanto,

y la ecuacin (21.11) se reescribe como

As, si se duplica el nmero de segmentos, el error de truncamiento se divide entre cuatro. Observe que la ecuacin (21.13) es un error aproximado debido a la naturaleza aproximada de la ecuacin (21.12).

EJEMPLO 21.2 Regla del trapecio de aplicacin mltiple Planteamiento del problema.Use la regla del trapecio con dos segmentos para estimar la integral de f(x) = 0.2 + 25x 200x2 + 675x3 900x4 + 400x5

desde a = 0 hasta b = 0.8. Emplee la ecuacin (21.13) para estimar el error. Recuerde que el valor correcto para la integral es 1.640533.

Solucin.n = 2(h = 0.4):

donde 60 es el promedio de la segunda derivada, determinada anteriormente en el ejemplo 21.1. Los resultados del ejemplo anterior, junto con aplicaciones de la regla del trapecio con tres a diez segmentos, se resumen en la tabla 21.1. Observe cmo el error disminuye conforme aumenta el nmero de segmentos. Sin embargo, advierta tambin que la razn de disminucin es gradual, a causa de que el error est relacionado inversamente con el cuadrado de n [ecuacin (21.13)]. Por lo tanto, al duplicar el nmero de segmentos, el error se divide entre cuatro. En las siguientes secciones desarrollaremos frmulas de grado superior que son ms exactas y que convergen ms rpido hacia la verdadera integral conforme los segmentos aumentan. Sin embargo, antes de investigar tales frmulas, analizaremos algoritmos computacionales para implementar la regla del trapecio.

FIGURA 21.9

Algoritmos para la regla del trapecio a) de un solo segmento y b) de mltiples segmentos.

21.1.3 Algoritmos computacionales para la regla del trapecio

En la figura 21.9 se dan dos algoritmos simples para la regla del trapecio. El primero (figura 21.9a) es para la versin de un solo segmento. El segundo (figura 21.9b) es para la versin de mltiples segmentos con un ancho de segmento constante. Observe que ambos estn diseados para datos que se hallan en forma tabular. Un programa general deber tener la capacidad de evaluar tambin funciones o ecuaciones conocidas. En el siguiente captulo ilustraremos cmo se manipulan las funciones.

EJEMPLO 21.3 Evaluacin de integrales con la computadora Planteamiento del problema.Con software basado en la figura 21.9b resuelva un problema relacionado con el ya conocido: paracaidista en cada. Como usted recordar del ejemplo 1.1, la velocidad del paracaidista est dada con la siguiente funcin en trminos del tiempo:

donde = velocidad (m/s), g = constante gravitacional de 9.8 m/s2, m = masa del paracaidista igual a 68.1 kg y c = coeficiente de arrastre de 12.5 kg/s. El modelo predice la velocidad del paracaidista como una funcin del tiempo, de la manera en que se describi en el ejemplo 1.1. Suponga que desea saber qu tan lejos ha cado el paracaidista despus de cierto tiempo t. Tal distancia est determinada por [ecuacin (PT6.5)]

donde d es la distancia en metros. Sustituyendo en la ecuacin (E21.3.1),

Use su propio software, para determinar esta integral mediante la regla del trapecio de aplicacin mltiple con diferentes nmeros de segmentos. Observe que realizando la integracin en forma analtica y sustituyendo los valores de los parmetros conocidos se obtiene un valor exacto de d = 289.43515 m.

Solucin.En el caso en que n = 10 se obtiene una integral calculada de 288.7491. As, hemos obtenido la integral con tres cifras significativas de exactitud. Los resultados con otros nmeros de segmentos son:

As, hasta cerca de 500 segmentos, la regla del trapecio de aplicacin mltiple obtiene excelente precisin. Sin embargo, observe cmo el error cambia de signo y empieza a aumentar en valor absoluto ms all de los 500 segmentos. Cuando se tienen 10 000 segmentos, de hecho, parece diverger del valor verdadero. Esto se debe a la aparicin del error de redondeo por el gran nmero de clculos para todos esos segmentos. De esta manera, el nivel de precisin est limitado y nunca se podr alcanzar el valor exacto de 289.4351 que se obtiene en forma analtica. Esta limitacin, as como la manera de superarla se analizar con ms detalle en el captulo 22. Del ejemplo 21.3 se llega a tres conclusiones principales: Para aplicaciones individuales de las funciones con buen comportamiento, la regla del trapecio de mltiples segmentos es casi exacta para el tipo de precisin requerida en diversas aplicaciones de la ingeniera. Si se requiere de alta exactitud, la regla del trapecio de mltiples segmentos exige un gran trabajo computacional. Aunque este trabajo resulta insignificante para una sola aplicacin, puede ser muy importante cuando: a) se evalan numerosas integrales, o b) donde la funcin misma es consumidora de tiempo en su evaluacin. Para tales casos, quiz se requieran mtodos ms eficientes (sern analizados en lo que falta de este captulo y en el prximo). Por ltimo, los errores de redondeo representan una limitacin en nuestra habilidad para determinar integrales. Esto se debe tanto a la precisin de la mquina como a los diversos clculos involucrados en tcnicas simples como la regla del trapecio de mltiples segmentos. Ahora analizaremos una forma para mejorar la eficiencia. Esto es, mediante polinomios de grado superior para aproximar la integral.

21.2

REGLAS DE SIMPSON

Adems de aplicar la regla del trapecio con una segmentacin ms fina, otra forma de obtener una estimacin ms exacta de una integral consiste en usar polinomios de grado superior para unir los puntos. Por ejemplo, si hay otro punto a la mitad entre f(a) y f(b), los tres puntos se pueden unir con una parbola (figura 21.10a). Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) y f(b), los cuatro puntos se pueden unir mediante un polinomio de tercer grado (figura 21.10b). Las frmulas que resultan de tomar las integrales bajo esos polinomios se conocen como reglas de Simpson.

21.2.1

Regla de Simpson 1/3

La regla de Simpson 1/3 resulta cuando un polinomio de interpolacin de segundo grado se sustituye en la ecuacin (21.1):

FIGURA 21.10

a) Descripcin grfica de la regla de Simpson 1/3, que consiste en tomar el rea bajo una parbola que une tres puntos. b) Descripcin grfica de la regla de Simpson 3/8, que consiste en tomar el rea bajo una ecuacin cbica que une cuatro puntos. Si se designan a y b como x0 y x2, y f2 (x) se representa por un polinomio de Lagrange de segundo grado [vase ecuacin (18.23)], la integral se transforma en

Despus de la integracin y de las manipulaciones algebraicas, se obtiene la siguiente frmula:

donde, en este caso, h = (b a)/2. Esta ecuacin se conoce como regla de Simpson 1/3, y es la segunda frmula de integracin cerrada de Newton-Cotes. La especificacin 1/3 se origina del hecho de que h est dividida entre 3 en la ecuacin (21.14). Una alternativa para obtenerla se muestra en el cuadro 21.3, donde se integra el polinomio de Newton-Gregory para llegar a la misma frmula. La regla de Simpson 1/3 tambin se puede expresar usando el formato de la ecuacin (21.5):

donde a = x0 b = x2 y x1 = el punto a la mitad entre a y b, que est dado por (b + a)/2. Observe que, de acuerdo con la ecuacin (21.15), el punto medio est ponderado por dos tercios; y los dos puntos extremos, por un sexto. Se puede demostrar que la aplicacin a un solo segmento de la regla de Simpson 1/3 tiene un error de truncamiento de (cuadro 21.3)

o, como h = (b a)/2,

donde est en algn lugar en el intervalo de a a b. As, la regla de Simpson 1/3 es ms exacta que la regla del trapecio. No obstante, una comparacin con la ecuacin (21.6) indica que es ms exacta de lo esperado. En lugar de ser proporcional a la tercera derivada, el error es proporcional a la cuarta derivada. Esto es porque, como se muestra en el cuadro 21.3, el trmino del coeficiente de tercer grado se hace cero durante la integracin de la interpolacin polinomial. En consecuencia, la regla de Simpson 1/3 alcanza una precisin de tercer orden aun cuando se base en slo tres puntos. En otras palabras, da resultados exactos para polinomios cbicos aun cuando se obtenga de una parbola!

Cuadro 21.3 Obtencin y estimacin del error de la regla de Simpson 1/3Como se hizo en el cuadro 21.2 para la regla del trapecio, regla de Simpson 1/3 se obtiene al integrar el polinomio de interpolacin de Newton-Gregory hacia adelante (cuadro 18.2):

Observe que se escribi el polinomio hasta el trmino de cuarto grado, en lugar de hasta el de tercer grado como se esperara. La razn de esto se ver un poco despus. Advierta tambin que los lmites de integracin van de x0 a x2 Por lo tanto, cuando se realizan las sustituciones para simplificar (recuerde el cuadro 21.2), la integral es de a = 0 a 2:

que al integrarse tiene

y evaluando en los lmites se obtiene

Observe el resultado significativo de que el coeficiente de la tercera diferencia dividida es cero. Debido a que f(x0) = f(x1) f(x0) y 2f(x0) = f(x2) 2f(x1) + f(x0), la ecuacin (C21.3.1) se reescribe como

As, el primer trmino es la regla de Simpson 1/3 y el segundo es el error de truncamiento. Puesto que se suprime la tercera diferencia dividida, se obtiene el resultado significativo de que la frmula tiene una precisin de tercer orden.

EJEMPLO 21.4 Aplicacin simple de la regla de Simpson 1/3 Planteamiento del problema.Con la ecuacin (21.15) integer f(x) = 0.2 + 25x 200x2 + 675x3 900x3 + 400x5 desde a = 0 hasta b = 0.8. Recuerde que la integral exacta es 1.640533

Solucin.

Por lo tanto, la ecuacin (21.15) se utiliza para calcular

que representa un error exacto de

que es aproximadamente 5 veces ms precisa que una sola aplicacin de la regla del trapecio (ejemplo 21.1). El error estimado es [ecuacin (21.16)]

donde 2 400 es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo, obtenida usando la ecuacin (PT6.4). Como en el ejemplo 21.1, el error est aproximado (Ea), debido a que el promedio de la cuarta derivada no es una estimacin exacta de f(4)(). Sin embargo, como este caso tiene que ver con un polinomio de quinto grado, el resultado concuerda.

21.2.2 mltiple

La regla de Simpson 1/3 de aplicacin

As como en la regla del trapecio, la regla de Simpson se mejora al dividir el intervalo de integracin en varios segmentos de un mismo tamao (figura 21.11):

La integral total se puede representar como

Al sustituir la regla de Simpson 1/3 en cada integral se obtiene

o, combinando trminos y usando la ecuacin (21.17),

FIGURA 21.11

Representacin grfica de la regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltiple. Observe que el mtodo se puede emplear slo si el nmero de segmentos es par.

Observe que, como se ilustra en la figura 21.11, se debe utilizar un nmero par de segmentos para implementar el mtodo. Adems, los coeficientes 4 y 2 en la

ecuacin (21.18) a primera vista pareceran peculiares. No obstante, siguen en forma natural la regla de Simpson 1/3. Los puntos impares representan el trmino medio en cada aplicacin y, por lo tanto, llevan el peso de 4 de la ecuacin (21.15). Los puntos pares son comunes a aplicaciones adyacentes y, por lo tanto, se cuentan dos veces. Un error estimado en la regla de Simpson de aplicacin mltiple se obtiene de la misma forma que en la regla del trapecio: sumando los errores individuales de los segmentos y sacando el promedio de la derivada para llegar a

donde

es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo.

EJEMPLO 21.5 Versin de la regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltiple Planteamiento del problema.Utilice la ecuacin (21.18) con n = 4 para estimar la integral de f(x) = 0.2 + 25x 200x2 + 675x3 900x4 + 400x5 desde a = 0 hasta b = 0.8. Recuerde que la integral exacta es 1.640533.

Solucin.n = 4 (h = 0.2):

A partir de la ecuacin (21.18),

El error estimado [ecuacin (21.19)] es

El ejemplo anterior demuestra que la versin de la regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltiple da resultados muy precisos. Por esta razn, se considera mejor que la regla del trapecio en la mayora de las aplicaciones. Sin embargo, como se indic antes, est limitada a los casos donde los valores estn equidistantes. Adems, est limitada a situaciones en las que hay un nmero impar de segmentos y un nmero impar de puntos. En consecuencia, como se analizar en la siguiente seccin, una frmula de segmentos impares y puntos pares, conocida como regla de Simpson 3/8, se usa junto con la regla 1/3 para permitir la evaluacin de nmeros de segmentos tanto pares como impares.

21.2.3

Regla de Simpson 3/8

De manera similar a la obtencin de la regla del trapecio y Simpson 1/3, es posible ajustar un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro puntos e integrarlo:

para obtener

donde h = (b a)/3. Esta ecuacin se llama regla de Simpson 3/8 debido a que h se multiplica por 3/8. sta es la tercera frmula de integracin cerrada de Newton-Cotes. La regla 3/8 se expresa tambin en la forma de la ecuacin (21.5):

As los dos puntos interiores tienen pesos de tres octavos, mientras que los puntos extremos tienen un peso de un octavo. La regla de Simpson 3/8 tiene un error de

o, como h = (b a)/3,

Puesto que el denominador de la ecuacin (21.21) es mayor que el de la ecuacin (21.16), la regla 3/8 es ms exacta que la regla 1/3.

Por lo cumn, se prefiere la regla de Simpson 1/3, ya que alcanza una exactitud de tercer orden con tres puntos en lugar de los cuatro puntos requeridos en la versin 3/8. No obstante, la regla de 3/8 es til cuando el nmero de segmentos es impar. Como ilustracin, en el ejemplo 21.5 usamos la regla de Simpson para integrar la funcin con cuatro segmentos. Suponga que usted desea una estimacin con cinco segmentos. Una opcin podra ser utilizar una versin de la regla del trapecio de aplicacin mltiple, como se hizo en los ejemplos 21.2 y 21.3. Quiz esto no sea recomendable, sin embargo, debido al gran error de truncamiento asociado con dicho mtodo. Una alternativa sera aplicar la regla de Simpson 1/3 a los dos primeros segmentos y la regla de Simpson 3/8 a los ltimos tres (figura 21.12). De esta forma, podramos obtener un estimado con una exactitud de tercer orden durante todo el intervalo.

FIGURA 21.12

Ilustracin de cmo se utilizan en conjunto las reglas de Simpson 1/3 y 3/8 para manejar aplicaciones mltiples con nmeros impares de intervalos.

EJEMPLO 21.6

Regla de Simpson 3/8

Planteamiento del problema.a) Con la regla de Simpson 3/8 integre f(x) = 0.2 + 25x 200x2 + 675x3 900x4 + 400x5 desde a = 0 hasta b = 0.8. b) sela junto con la regla de Simpson 1/3 con la finalidad de integrar la misma funcin en cinco segmentos.

Solucin.a) Una sola aplicacin de la regla de Simpson 3/8 requiere cuatro puntos equidistantes:

Utilizando la ecuacin (21.20),

Et = 1.640533 1.519170 = 0.1213630t = 7.4 %

b) Los datos necesarios para una aplicacin con cinco segmentos (h = 0.16) son

La integral para los dos primeros segmentos se obtiene usando la regla de Simpson 1/3:

Para los ltimos tres segmentos, la regla 3/8 se utiliza para obtener

La integral total se calcula sumando los dos resultados: I = 0.3803237 + 1.264753 = 1.645077 Et = 1.640533 1.645077 = 0.00454383t = 0.28 %

21.2.4 Algoritmos computacionales para las reglas de SimpsonEn la figura 21.13 se muestran seudocdigos para las diferentes formas de las reglas de Simpson. Observe que todas estn diseadas para datos en forma tabular. Un programa general deber tener la capacidad de evaluar tanto las funciones como las ecuaciones conocidas. En el captulo 22 ilustraremos cmo se manipulan las funciones. Advierta que el programa de la figura 21.13d est escrito para usar un nmero de segmentos par o impar. En el caso par, la regla de Simpson 1/3 se aplica a cada par de segmentos y los resultados se suman para calcular la integral total. En el caso impar, la regla de Simpson 3/8 se aplica a los tres ltimos segmentos; y la regla 1/3, a los segmentos anteriores.

21.2.5 Frmulas cerradas de Newton-Cotes de grado superiorComo se observ antes, la regla del trapecio y las dos reglas de Simpson son miembros de una familia de ecuaciones de integracin conocidas como frmulas de integracin cerrada de Newton-Cotes. Algunas de las frmulas se resumen en la tabla 21.2, junto con el error de truncamiento. Considere que, como en el caso de las reglas de Simpson 1/3 y 3/8, las frmulas de cinco y seis puntos tienen el mismo orden de error. Esta caracterstica general se satisface para frmulas con ms puntos y lleva al resultado de que las frmulas con segmentos pares y puntos impares (por ejemplo, la regla 1/3 y la regla de Boole) usualmente son los mtodos de preferencia.

FIGURA 21.13

Seudocdigo para las reglas de Simpson. a) Regla de Simpson 1/3 para una sola aplicacin, b) regla de Simpson 3/8 para una sola aplicacin, c) regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltiple, y d) regla de Simpson de aplicacin mltiple para un nmero de segmentos tanto impares como pares. Observe que para todos los casos n debe ser 1.

Sin embargo, se debe resaltar que, en la prctica de la ingeniera, las frmulas de grado superior (es decir, con ms de cuatro puntos) son poco utilizadas. Las reglas de Simpson bastan para la mayora de las aplicaciones. La exactitud se puede mejorar al usar la versin de aplicacin mltiple. Adems, cuando se conoce la funcin y se requiere de alta precisin, otros mtodos como la integracin de Romberg o la cuadratura de Gauss, descritos en el captulo 22, ofrecen alternativas viables y atractivas.

21.3

INTEGRACIN CON SEGMENTOS DESIGUALES

Hasta aqu, todas las frmulas de integracin numrica se han basado en datos igualmente espaciados. En la prctica, existen muchas situaciones en donde esta suposicin no se satisface y se tienen segmentos de tamaos desiguales. Por ejemplo, los datos obtenidos experimentalmente a menudo son de este tipo. En tales casos, un mtodo consiste en aplicar la regla del trapecio a cada segmento y sumar los resultados:

donde hi = el ancho del segmento i. Observe que ste fue el mismo procedimiento que se utiliz en la regla del trapecio de aplicacin mltiple. La nica diferencia entre las ecuaciones (21.8) y (21.22) es que las h en la primera son constantes. Entonces, la ecuacin (21.8) podra simplificarse al agrupar trminos para obtener la ecuacin (21.9). Aunque esta simplificacin no puede aplicarse a la ecuacin (21.22), es posible desarrollar fcilmente un programa computacional para acomodar los segmentos de tamao desigual. Antes de desarrollar este algoritmo, en el siguiente ejemplo ilustraremos cmo se aplica la ecuacin (21.22) para evaluar una integral.

EJEMPLO 21.7 Regla del trapecio con segmentos desiguales Planteamiento del problema.La informacin de la tabla 21.3 se gener usando el mismo polinomio que se utiliz en el ejemplo 21.1. Con la ecuacin (21.22) determine la integral para estos datos. Recuerde que la respuesta correcta es 1.640533.

Solucin.Si se aplica la ecuacin (21.22) a los datos de la tabla 21.3 se obtiene

que representa un error relativo porcentual absoluto de t = 2.8%.

FIGURA 21.14

Uso de la regla del trapecio para determinar la integral de datos irregularmente espaciados. Observe cmo los segmentos sombreados podran evaluarse con la regla de Simpson para obtener mayor precisin. Los datos del ejemplo 21.7 se ilustran en la figura 21.14. Observe que algunos segmentos adyacentes son de la misma anchura y, en consecuencia, podran evaluarse mediante las reglas de Simpson. Esto usualmente lleva a resultados ms precisos, como lo ilustra el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 21.8 Empleo de las reglas de Simpson en la evaluacin de datos irregulares Planteamiento del problema.Vuelva a calcular la integral para los datos de la tabla 21.3, pero ahora utilice las reglas de Simpson en aquellos segmentos donde sea apropiado.

Solucin.El primer segmento se evala con la regla del trapecio:

Como los siguientes dos segmentos que van de x = 0.12 a 0.32 son de igual longitud, su integral se calcula con la regla de Simpson 1/3:

Los siguientes tres segmentos tambin son iguales y, por lo tanto, pueden evaluarse con la regla 3/8 para obtener I = 0.2726863. De manera similar, la regla 1/3 se aplica a los dos segmentos desde x = 0.44 hasta 0.64 para dar I = 0.6684701. Finalmente, los dos ltimos segmentos, que son de distinta longitud, se evalan con la regla del trapecio para dar valores de 0.1663479 y 0.1297500, respectivamente. Se suma el rea de esos segmentos individuales para tener como resultado una integral total de 1.603641. Esto representa un error de t = 2.2 % que es mejor al resultado que se obtuvo mediante la regla del trapecio en el ejemplo 21.7.

Programa computacional para datos irregularmente espaciadosProgramar la ecuacin (21.22) es bastante simple. Un posible algoritmo se da en la figura 21.15a. No obstante, como se demostr en el ejemplo 21.8, el procedimiento mejora si se implementan las reglas de Simpson siempre que sea posible. Por tal razn se desarrolla un segundo algoritmo que incorpora esta capacidad. Como se ilustra en la

figura 21.15b, el algoritmo verifica la longitud de los segmentos adyacentes. Si dos segmentos consecutivos son de igual longitud, se aplica la regla de Simpson 1/3. Si tres son iguales, se utiliza la regla 3/8. Cuando los segmentos adyacentes tienen longitud desigual, se implementa la regla del trapecio.

FIGURA 21.15

Seudocdigo para integrar datos desigualmente espaciados. a) Regla del trapecio y b) combinacin de las reglas de Simpson y del trapecio.

As, no slo permite la evaluacin de datos con segmentos desiguales, sino que al usar la informacin igualmente espaciada, se reduce al empleo de las reglas de Simpson. De esta manera, representa un algoritmo bsico, para todo propsito en la determinacin de la integral de datos tabulados.

21.4

FRMULAS DE INTEGRACIN ABIERTA

De la figura 21.3b recuerde que las frmulas de integracin abierta tienen lmites que se extienden ms all del intervalo de los datos. La tabla 21.4 resume las frmulas de integracin abierta de Newton-Cotes. Las frmulas se han expresado en la forma de la ecuacin (21.5) de manera que los factores de ponderacin sean evidentes. Como en el caso de las versiones cerradas, pares sucesivos de las frmulas tienen el mismo orden de error. Las frmulas para segmentos pares y puntos impares son generalmente los mtodos de preferencia, ya que requieren menos puntos para alcanzar la misma precisin que las frmulas de segmentos impares y puntos pares. Las frmulas abiertas no se utilizan con frecuencia para la integracin definida. No obstante, como se ver en el captulo 22, tienen utilidad para analizar integrales impropias. Adems, tendrn relevancia en nuestro anlisis de los mtodos de pasos mltiples, para la solucin de ecuaciones diferenciales ordinarias en el captulo 26.

21.5

INTEGRALES MLTIPLES

Las integrales mltiples se utilizan a menudo en la ingeniera. Por ejemplo, una ecuacin general para calcular el promedio de una funcin bidimensional puede escribirse como sigue (recuerde la ecuacin PT6.4):

Al numerador se le llama integral doble.

FIGURA 21.16

Integral doble sobre el rea bajo la superficie de la funcin. Las tcnicas estudiadas en este captulo (y en el siguiente) se utilizan para evaluar integrales mltiples. Un ejemplo sencillo sera obtener la integral doble de una funcin sobre un rea rectangular (figura 21.16). Recuerde del clculo que dichas integrales se pueden calcular como integrales iteradas.

Primero se evala la integral en una de las dimensiones y el resultado de esta primera integracin se incorpora en la segunda dimensin. La ecuacin 21.24 establece que no importa el orden de integracin. Una integral numrica doble estar basada en la misma idea. Primero se aplican mtodos, como la regla de Simpson o del trapecio para segmentos mltiples, a la primera dimensin manteniendo constantes los valores de la segunda dimensin. Despus, se aplica el mtodo para integrar la segunda dimensin. El procedimiento se ilustra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 21.9 Uso de la integral doble para determinar una temperatura promedio.

Planteamiento del problema.Suponga que la temperatura en una placa rectangular se describe mediante la siguiente funcin: T(x, y) = 2xy + 2x x2 2y2 + 72 Si la placa tiene 8 m de largo (dimensin x) y 6 m de ancho (dimensin y), calcule la temperatura promedio.

FIGURA 21.17

Evaluacin numrica de una integral doble usando la regla del trapecio con dos segmentos.

Solucin.Primero, se usar la regla del trapecio con dos segmentos en cada dimensin. Las temperaturas en los valores x y y necesarios se representan en la figura 21.17. Observe que un promedio simple de estos valores es 47.33. La funcin tambin se evala analticamente, cuyo resultado sera 58.66667. Para realizar numricamente la misma evaluacin se emplea primero la regla del trapecio a lo largo de la dimensin x con cada uno de los valores de y. Estos valores se integran despus a lo largo de la dimensin y para dar como resultado final 2 688. Dividiendo ste entre el rea se obtiene la temperatura promedio: 2 688/(6 8) = 56. Tambin podemos emplear la regla de Simpson 1/3 de la misma manera con un solo segmento. Esta integral da como resultado de 2 816 y un promedio de 58.66667, que es exacto. Por qu pasa esto? Recuerde que la regla de Simpson 1/3 dio resultados perfectos con polinomios cbicos. Como el trmino del grado

mayor en la funcin es de segundo grado, en el presente caso se obtiene el mismo resultado exacto. Para funciones algebraicas de grado superior, as como con funciones trascendentes, ser necesario emplear segmentos mltiples para obtener estimaciones exactas de la integral. Adems, el captulo 22 presenta tcnicas ms eficientes que las frmulas de Newton-Cotes, para la evaluacin de integrales de funciones dadas. stas con frecuencia proporcionan mejores recursos para la integracin numrica de integrales mltiples.

PROBLEMAS21.1 Evale la integral siguiente:

a) en forma analtica; b) con una sola aplicacin de la regla del trapecio; c) con aplicacin mltiple de la regla del trapecio, con n = 2 y 4; d) con una sola aplicacin de la regla de Simpson 1/3; e) con la aplicacin mltiple de la regla de Simpson 1/3, con n = 4; f) con una sola aplicacin de la regla de Simpson 3/8, y g) con aplicacin mltiple de la regla de Simpson, con n = 5. Para los incisos b) a g), determine el error relativo porcentual de cada una de las estimaciones numricas, con base en el resultado del inciso a). 21.2 Evale la integral siguiente:

a) en forma analtica; b) con una sola aplicacin de la regla del trapecio; c) con aplicacin mltiple de la regla del trapecio, con n = 2 y 4; d) con una sola aplicacin de la regla de Simpson 1/3; e) con aplicacin mltiple de la regla de Simpson 1/3, con n = 4; f) con una sola aplicacin de la regla de Simpson 3/8; y g) con aplicacin mltiple de la regla de Simpson, con n = 5. Para cada una de las estimaciones numricas de los incisos b) a g), determine el error relativo porcentual con base en el inciso a). 21.3 Evale la integral siguiente:

a) en forma analtica; b) con una sola aplicacin de la regla del trapecio; c) con la regla del trapecio compuesta, con n = 2 y 4; d) con una sola aplicacin de la regla de Simpson 1/3; e) con la regla de Simpson 3/8; y f) con la regla de Boole. Para

cada una de las estimaciones numricas de los incios b) a f), determine el error relativo porcentual con base en el inciso a). 21.4 Integre la funcin siguiente en forma analtica y con el empleo de la regla del trapecio, con n = 1, 2, 3 y 4:

Use la solucin analtica para calcular los errores relativos porcentuales verdaderos para evaluar la exactitud de las aproximaciones de la regla del trapecio. 21.5 Integre la funcin siguiente en forma tanto analtica como con la regla de Simpson, con n = 4 y 5. Analice los resultados.

21.6 Integre la funcin siguiente tanto en forma analtica como numrica. Emplee las reglas del trapecio y de Simpson 1/3 para integrar numricamente la funcin. Para ambos casos, utilice la versin de aplicacin mltiple, con n = 4. Calcule los errores relativos porcentuales para los resultados numricos.

21.7 Integre la funcin siguiente tanto analtica como numricamente. Para las evaluaciones numricas use a) una sola aplicacin de la regla del trapecio, b) la regla de Simpson 1/3, c) la regla de Simpson 3/8, d) la regla de Boole, e) el mtodo del punto medio, f) la frmula de integracin abierta de 3 segmentos y 2 puntos, y g) la frmula de integracin abierta de 4 segmentos y 3 puntos. Calcule los errores relativos porcentuales de los resultados numricos.

21.8 Integre la funcin que sigue tanto en forma analtica como numrica. Para las evaluaciones numricas utilice a) una sola aplicacin de la regla del trapecio; b) la regla de Simpson 1/3; c) la regla de Simpson 3/8; d) aplicacin mltiple de reglas de Simpson, con n = 5; e) la regla de Boole; f) el mtodo del punto medio; g) la frmula de integracin abierta de 3 segmentos y 2 puntos; y h) la frmula de integracin abierta de 4 segmentos y 3 puntos.

Calcule los errores relativos porcentuales para los resultados numricos.

21.9 Suponga que la fuerza hacia arriba de la resistencia del aire sobre un objeto que cae es proporcional al cuadrado de la velocidad. Para este caso, la velocidad se calcula con

donde cd = coeficiente de arrastre de segundo orden. a) Si g = 9.8 m/s2, m = 68.1 kg y cd = 0.25 kg/m, use integracin analtica para determinar qu tan lejos cae el objeto en 10 segundos. b) Haga lo mismo, pero evale la integral con la regla del trapecio de segmento mltiple. Use una n suficientemente grande para obtener tres dgitos significativos de exactitud. 21.10 Evale la integral de los datos tabulados a continuacin, con a) la regla del trapecio, y b) las reglas de Simpson:

21.11 Evale la integral de los datos que se tabula en seguida, con a) la regla del trapecio, y b) las reglas de Simpson:

21.12

Determine el valor medio de la funcin

f(x) = 46 + 45x 14x2 + 2x3 0.075x4 entre x = 2 y 10, por medio de a) graficar la funcin y estimar visualmente el valor medio, b) con la ecuacin (PT6.4) y la evaluacin analtica de la integral, y c) con la ecuacin (PT6.4) y una versin de cinco segmentos de la regla de Simpson para estimar la integral. Calcule el error porcentual relativo. 21.13 La funcin f(x) = 2e1.5x se puede utilizar para generar la tabla siguiente de datos espaciados en forma desigual:

Evale la integral de a = 0 a b = 0.6, con el uso de a) medios analticos, b) la regla del trapecio, y c) una combinacin de las reglas del trapecio y de Simpson; emplee

las reglas de Simpson siempre que sea posible a fin de obtener la exactitud ms alta. Para los incisos b) y c), calcule el error relativo porcentual (t). 21.14 Evale la integral doble siguiente:

a) en forma analtica; b) con una aplicacin mltiple de la regla del trapecio, con n = 2; y c) con aplicaciones nicas de la regla de Simpson 1/3. Para los incisos b) y c), calcule el error relativo porcentual (t) 21.15 Evale la siguiente integral triple, a) en forma analtica, y b) con el uso de aplicaciones nicas de la regla de Simpson 1/3. Para el inciso b) calcule el error relativo porcentual (t)

21.16 Desarrolle un programa de computadora amigable para el usuario para la aplicacin mltiple de la regla del trapecio, con base en la figura 21.9. Pruebe su programa con la replicacin del clculo del ejemplo 21.2. 21.17 Desarrolle un programa de cmputo amigable para el usuario para la versin de la aplicacin mltiple de la regla de Simpson, con base en la figura 21.13c. Prubelo con la duplicacin de los clculos del ejemplo 21.5. 21.18 Desarrolle un programa de computadora amigable para el usuario a fin de integrar datos espaciados en forma desigual, con base en la figura 21.15b. Prubelo con la duplicacin del clculo del ejemplo 21.8. 21.19 ecuacin Una viga de 11 m est sujeta a una carga, y la fuerza cortante sigue la

V(x) = 5 + 0.25x2 donde V es la fuerza cortante y x es la distancia a lo largo de la viga. Se sabe que V = dM/dx, y M es el momento flexionante. La integracin conduce a la relacin

Si M0 es cero y x = 11, calcule M con el empleo de a) integracin analtica, b) aplicacin mltiple de la regla del trapecio, y c) aplicacin mltiple de las reglas de Simpson. Para los incisos b) y c) use incrementos de 1 m.

21.20 El trabajo producido por un proceso termodinmico a temperatura, presin y volumen constantes, se calcula por medio de W = pdV donde W es el trabajo, p la presin, y V el volumen. Con el empleo de una combinacin de la regla del trapecio, la de Simpson 1/3, y la de Simpson 3/8, utilice los datos siguientes para calcular el trabajo en kJ (kJ = kN m):

21.21

Determine la distancia recorrida para los datos siguientes:

a) Use la regla del trapecio, b) la mejor combinacin de las reglas del trapecio y de Simpson, y c) la integracin analtica de polinomios de segundo y tercer orden, determinados por regresin. 21.22 La masa total de una barra de densidad variable est dada por

donde m = masa, (x) = densidad, Ac(x) = rea de la seccin transversal, x = distancia a lo largo de la barra y L = longitud total de la barra. Se midieron los datos siguientes para una barra de 10 m de longitud. Determine la masa en kilogramos con la exactitud mejor posible.

21.23 Un estudio de ingeniera del transporte requiere que usted determine el nmero de autos que pasan por una interseccin cuando viajan durante la hora pico de la maana. Usted se para al lado de la carretera y cuenta el nmero de autos que pasan cada cuatro minutos a varias horas, como se muestra en la tabla a continuacin. Utilice el mejor mtodo numrico para determinar a) el nmero total de autos que pasan entre las 7:30 y las 9:15, y b) la tasa de autos que cruzan la interseccin por minuto. (Recomendacin: tenga cuidado con las unidades.)

21.24 Determine el valor promedio para los datos de la figura P21.24. Realice la integral que se necesita para el promedio en el orden que muestra la ecuacin siguiente:

Figura P21.24

1

Deber observarse que el proceso representado por la ecuacin (PT6.2) y la figura PT6.2 se conoce como integracin definida. Hay otro tipo que se denomina integracin indefinida, en la cual no se especifican los lmites a y b. Como se analizar en la parte siete, la integracin indefinida se ocupa de la determinacin de una funcin, de la que se da su derivada. (Chapra, Steven. Metodos numricos para ingenieros, 5th Edition. McGraw-Hill Interamericana, 2007. 21).