CAPITULO 1 TRANSDUCTORES ELECTRICOS

1.1 CARGA Y CORRIENTE ELÉCTRICA

La electricidad es un fenómeno físico originado por cargas eléctricas estáticas o en movimiento y por su interacción. Cuando una carga se encuentra en reposo produce fuerzas sobre otras situadas en su entorno. La carga es la unidad fundamental de la energía eléctrica y se postula por definición que es indivisible. Si la carga se desplaza produce también fuerzas magnéticas. Hay dos tipos de cargas eléctricas, llamadas positivas y negativas. La electricidad está presente en algunas partículas subatómicas. La partícula fundamental más ligera que lleva carga eléctrica es el electrón, que transporta una unidad de carga. Los átomos en circunstancias normales contienen electrones, y a menudo los que están más alejados del núcleo se desprenden con mucha facilidad. En algunas sustancias, como los metales, proliferan los electrones libres. De esta manera un cuerpo queda cargado eléctricamente gracias a la reordenación de los electrones. Un átomo normal tiene cantidades iguales de carga eléctrica positiva y negativa, por lo tanto es eléctricamente neutro. La cantidad de carga eléctrica transportada por todos los electrones del átomo, que por convención son negativas, esta equilibrada por la carga positiva localizada en el núcleo. Si un cuerpo contiene un exceso de electrones quedará cargado negativamente. Por lo contrario, con la ausencia de electrones un cuerpo queda cargado positivamente, debido a que hay más cargas eléctricas positivas en el núcleo.

La unidad de carga es el coulomb denotado por la letra C, el electrón es la unidad de carga elemental y tiene un valor de e- = 1.602 x 10-19 C.

Corriente eléctrica es el flujo o movimiento de partículas cargadas en una dirección determinada, si la carga es transferida a razón de 1 coulomb por segundo se dice que la intensidad de la corriente es de 1 ampere. Como convención se ha tomado como sentido positivo de la corriente, el sentido de las cargas positivas. Esto se debe a que al principio de las investigaciones sobre electricidad se pensaba que la corriente viajaba de lo positivo hacia lo negativo, ahora sabemos que en los conductores metálicos la corriente es el movimiento de los electrones que son atraídos fuera de sus órbitas, contrario a lo que se había establecido, pero se optó por esta convención por ser la aceptada en los textos de análisis de circuitos.

Def. de Electricidad: es una forma de energía originado por el movimiento ordenado de electrones. La electricidad fluye mejor en algunos materiales que en otros, por ejemplo, le resistencia que un cable ofrece al paso de la corriente eléctrica depende y

seg

Electrones

seg

coulombAmpere

1

1024.6

.1

11

28

se mide por su grosor, longitud y el metal con el que está hecho. A menor resistencia del material, mejor será la conducción de la electricidad en el mismo.

1.2 ENERGÍA, VOLTAJE Y POTENCIA

Para poder mover las cargas en un conductor de una forma ordenada, como una corriente eléctrica es necesario aplicar una fuerza externa llamada fuerza electromotriz (FEM), de esta manera se ejerce un trabajo sobre las cargas, entonces la diferencia de potencial o voltaje en un campo eléctrico es por definición; el trabajo o energía necesaria para mover una carga eléctrica de un punto a otro en contra o a favor de las fuerzas del campo donde esta se encuentra.

Como podemos observar el trabajo se encuentra en joule y la carga en coulombs, por lo tanto la tensión se encuentra en voltios. Un voltio corresponde al trabajo de 1 joules al desplazar 1 coulomb de carga de un punto a otro.

Las cantidades v e i son comúnmente funciones del tiempo, por lo tanto la potencia también es una cantidad variante en el tiempo, en algunos casos es llamada potencia instantánea porque su valor es la potencia en el instante en que se miden v e i.

En Física, potencia es la cantidad de trabajo efectuado por unidad de tiempo. Esto es equivalente a la velocidad de cambio de energía en un sistema o al tiempo empleado en realizar un trabajo.

� Energía = Joules = Watts-hora� Energía = Trabajo = Potencia x Tiempo

Así como se miden y se pesan las cosas que usamos o consumimos normalmente, también la energía eléctrica se mide en Watts-hora. El Watt es una unidad de potencia y equivale a un Joule por segundo. Para efectos prácticos, en nuestra factura de consumo de energía eléctrica se nos cobra por la cantidad de kiloWatts-hora(kWh) que hayamos consumido durante un periodo determinado (generalmente, dos meses). Un kiloWatt-hora equivale a la energía que consumen:

Un foco de 100 watts encendido durante diez horas 10 focos de 100 watts encendidos durante una hora Una plancha utilizada durante una hora Un televisor encendido durante veinte horas Un refrigerador pequeño en un día Una computadora utilizada un poco más de 6 horas y media

VIP

AmpereVoltsWatts

CorrienteVoltajePotencia

seg

Coulomb

Coulomb

Joules

seg

JoulesWattsP

1.3 CLASIFICACIÓN DE LOS MATERIALES

Un átomo alcanza su estabilidad atómica cuando: Tiene ocho electrones de valencia o Tiene su última órbita completa

Cuando alcanza su estabilidad atómica: No tiene actividad eléctrica Se comporta como un aislante perfecto

Se pueden presentar tres casos dependiendo del número de electrones que tenga en su última capa de valencia:

Banda de Valencia: contiene a los electrones de valencia en forma natural.

Banda Prohibida: cantidad de energía que tiene que adquirir un electrón de valencia hacia la banda de conducción y convertirse en electrón libre.

Banda de Conducción: contiene a los electrones libres.

Electrón de Valencia: está ubicado en la órbita externa del átomo, está bajo la influencia de los protones del núcleo. Es retenido por el núcleo dentro de la banda de valencia.

Electrón libre: abandona la banda de valencia y puede salir y regresar al átomo libremente, brinca la banda prohibida alcanzando la banda de conducción.

Conductores: Se dice que un cuerpo es conductor eléctrico cuando puesto en contacto con un cuerpo cargado de electricidad transmite ésta a todos los puntos de su superficie. Generalmente es un elemento metálico capaz de conducir la

Menos de 4 electrones Busca soltar sus pocos electrones para quedarse con su última órbita completa.

Buen conductor eléctrico.

Cuatro electronesEs lo mismo soltar 4 electrones que buscar cuatro. Tiene uniones covalentes y estructura cristalina. Se comportan como aislantes

Semiconductor

Más de 4 electrones Buscan electrones para completar su

última órbita.Mal conductor eléctrico

electricidad cuando es sometido a una diferencia de potencial eléctrico. Para que ello sea efectuado eficientemente, se requiere que posea una baja resistencia para evitar pérdidas desmedidas por Efecto Joule y caída de tensión. Para el transporte de la energía eléctrica el metal empleado universalmente es el cobre en forma de cables de uno o varios hilos. Alternativamente se emplea el aluminio, metal que si bien tiene una conductividad eléctrica del orden del 60% de la del cobre es, sin embargo, un material mucho más ligero, lo que favorece su empleo en líneas de transmisión de energía eléctrica.

Aislantes o dieléctricos: Se denomina dieléctricos a los materiales que no conducen la electricidad, por lo que pueden ser utilizados como aislantes. Algunos ejemplos de este tipo de materiales son el vidrio, la cerámica, la cera, el papel, la madera seca, la porcelana, algunas grasas para uso industrial y electrónico y la baquelita. Los dieléctricos se utilizan en la fabricación de condensadores, para que las cargas reaccionen.

La introducción de un dieléctrico en un condensador tiene las siguientes consecuencias:

1. Disminución del Campo eléctrico entre las placas del condensador. 2. Disminución de la diferencia de potencial entre las placas del condensador. 3. Aumento por tanto de la capacidad eléctrica del condensador.

Normalmente un dieléctrico se vuelve conductor cuando se sobrepasa el campo de ruptura del dieléctrico, es decir, si aumentamos mucho el campo eléctrico que pasa por el dieléctrico, convertiremos dicho material en un conductor.

Los dieléctricos más utilizados son el aire, el papel y la madera.

Semi-Conductores. Un semiconductor es una sustancia que se comporta como conductor o como aislante dependiendo del campo eléctrico en el que se encuentre. Los elementos químicos semiconductores de la tabla periódica seindican en la tabla siguiente.

Elemento Grupo

Electrones en

la última capa

Cd II A 2 e-

Al, Ga, B, In

III A 3 e-

Si, Ge IV A 4 e-

P, As, Sb V A 5 e-

Se, Te, (S) VI A 6 e-

El elemento semiconductor más usado es el silicio, aunque idéntico comportamiento presentan las combinaciones de elementos de los grupos II y III con los de los grupos VI y V respectivamente (AsGa, PIn, AsGaAl, TeCd, SeCd y SCd). De un tiempo a esta parte se ha comenzado a emplear también el azufre. La característica común a todosellos es que son tetravalentes, teniendo el silicio una configuración electrónica s²p².

Para que la conducción de la electricidad sea posible es necesario que haya electrones que no estén ligados a un enlace determinado (banda de valencia), sino que sean capaces de desplazarse por el cristal (banda de conducción). La separación entre la banda de valencia y la de conducción se llama banda prohibida, porque en ella no puede haber portadores de corriente. Así podemos considerar tres situaciones:

Los metales, en los que ambas bandas de energía se superponen, son conductores.

Los aislantes (o insuladores), en los que la diferencia existente entre las bandas de energía, del orden de 6 eV impide, en condiciones normales el salto de los electrones.

Los semiconductores, en los que el salto de energía es pequeño, del orden de 1 eV, por lo que suministrando energía pueden conducir la electricidad; pero además, su conductividad puede regularse, puesto que bastará disminuir la energía aportada para que sea menor el número de electrones que salte a la banda de conducción; cosa que no puede hacerse con los metales, cuya conductividad es constante, o más propiamente, poco variable con la temperatura.

Superconductividad

Se denomina superconductividad a la capacidad intrínseca que poseen ciertos materiales para conducir corriente eléctrica con resistencia y pérdida de energíacercanas a cero en determinadas condiciones.

La superconductividad es una fase de ciertos materiales que se da normalmente a bajas temperaturas. No obstante no es suficiente con enfriar, también es necesario no exceder una corriente crítica ni un campo magnético crítico para mantener el estado superconductor.

Esta propiedad fue descubierta en 1911 por el físico holandés Heike Kamerlingh Onnes, cuando observó que la resistencia eléctrica del mercurio desaparecía cuando se lo enfriaba a 4 Kelvin (-269 °C).

Aunque la propiedad más sobresaliente de los superconductores es la ausencia de resistencia, lo cierto es que no podemos decir que se trate de un material de conductividad infinita, ya que este tipo de material por sí sólo no tiene sentido termodinámico. En realidad un material superconductor es un diamagnético perfecto. Esto hace que no permita que penetre el campo, lo que se conoce como efecto Meissner.

Hay dos tipos de superconductores. Los de Tipo I no permiten en absoluto que penetre un campo magnético externo. Esto conlleva un esfuerzo energético alto, con lo que la mayoría de materiales reales se transforman en el segundo tipo. Los de tipo II son superconductores imperfectos, en el sentido en que el campo realmente penetra a través de pequeñas canalizaciones denominadas vórtices de Abrikosov, o fluxones. Estos dos tipos de superconductores son de hecho dos fases diferentes que fueron predichas por Landau y Alexei A. Abrikosov.

Cuando a un superconductor aplicamos un campo magnético externo débil lo repele perfectamente. Si lo aumentamos, el sistema se vuelve inestable y prefiere introducir vórtices para disminuir su energía. Éstos van aumentando en número colocándose en redes de vórtices que pueden ser observados mediante técnicas adecuadas. Cuando el campo es suficientemente alto, el número de defectos es tan alto que el material

deja de ser superconductor. Éste es el campo crítico que hace que un material deje de ser superconductor y que depende de la temperatura.

La aparición del superdiamagnetismo es debida a la capacidad del material de crear supercorrientes. Éstas son corrientes de electrones que no disipan energía, de manera que se pueden mantener eternamente sin obedecer el Efecto Joule de pérdida de energía por generación de calor. Las corrientes crean el intenso campo magnético necesario para sustentar el efecto Meissner. Estas mismas corrientes permiten transmitir energía sin gasto energético, lo que representa el efecto más espectacular de este tipo de materiales. Debido a que la cantidad de electrones superconductores es finita, la cantidad de corriente que puede soportar el material es limitada. Por tanto, existe una corriente crítica a partir de la cual el material deja de ser superconductor y comienza a disipar energía.

En los superconductores de tipo II, la aparición de fluxones provoca que, incluso para corrientes inferiores a la crítica, se detecte una cierta disipación de energía debida al choque de los vórtices con los átomos de la red.

Debido a las bajas temperaturas que se necesitan para conseguir la superconductividad, los materiales más comunes se suelen enfriar con helio líquido. El montaje necesario es complejo y costoso, utilizándose en muy contadas aplicaciones como, por ejemplo, la construcción de electroimanes muy potentes para resonancia magnética nuclear.

Sin embargo, se han desarrollado nuevos materiales llamados superconductores de alta temperatura que muestran la transición de fase a temperaturas superiores a la transición líquido-vapor del nitrógeno líquido. Esto ha abaratado mucho los costes en el estudio de estos materiales y abierto la puerta a la existencia de materiales superconductores a temperatura ambiente, lo que supondría una revolución en la industria del siglo XXI. La mayor desventaja de estos materiales es su composición granulada, lo que lo hace poco apropiado para diseñar cables, el uso más obvio de este tipo de materiales.

1.4 DEFINICIONES DE CIRCUITO ELÉCTRICO Y ELEMENTO ELÉCTRICO

Un circuito eléctrico es un grupo de elementos eléctricos conectados de una manera específica que interactúan entre sí para procesar información o energía en forma eléctrica. Por lo tanto, el propósito fundamental de un circuito eléctrico es mover o transferir cargas a lo largo de trayectorias específicas.

Para definir correctamente un elemento eléctrico se necesita tener en cuenta dos cantidades eléctricas, voltaje y corriente, por lo tanto definiremos el elemento eléctrico como un elemento de dos o más terminales que pueden ser conectadas con otros elementos entre sí y que cumple como función procesar energía eléctrica.

1.5 CONVENCIÓN PASIVA DE SIGNOS

El comportamiento de un elemento por el flujo de energía, depende de la clase de elemento de que se trate, como ejemplo las resistencias devuelven al instante esta potencia en forma de calor que es liberado al aire, algunas fuentes como las baterías, transforman esta potencia en energía química que es almacenada.

Si el valor de potencia asociado a algún elemento resulta negativo, indica que este elemento esta entregando energía al circuito al cual se encuentra conectado, como ejemplo se puede observar un coche al momento de arrancar, la batería se encuentra entregando energía al circuito eléctrico de arranque y el valor de potencia asociado a esta batería, es en este caso negativo, mientras que el valor de potencia asociado al motor eléctrico de arranque es positivo.

Este concepto se puede entender más fácilmente con la siguiente figura:

En esta imagen se puede observar cuatro tipos diferentes de relaciones corriente -voltaje, en la parte (a) el elemento esta absorbiendo energía, una corriente esta entrando por la terminal positiva, o lo que es lo mismo, una corriente esta saliendo por una terminal negativa; en la parte (b) una corriente esta entrando por una terminal negativa o saliendo por una terminal positiva, este elemento está entregando energía en ambos casos.

TRANSDUCTORES ELÉCTRICOS

Un transductor es un dispositivo capaz de transformar o convertir un determinado tipo de energía de entrada, en otra diferente de salida. El nombre del transductor ya nos indica cual es la transformación que realiza, aunque no necesariamente la dirección de la misma. Es un dispositivo usado principalmente en las ciencias eléctricas para obtener la información de entornos físicos y conseguir (a partir de esta información) señales o impulsos eléctricos o viceversa.

Ejemplos

Un micrófono es un transductor electroacústico que convierte la energía acústica (vibraciones sonoras: oscilaciones en la presión del aire) en energía eléctrica (variaciones de voltaje).

Un altavoz también es un transductor electroacústico, pero sigue el camino contrario. Un altavoz transforma la corriente eléctrica en vibraciones sonoras.

Otros ejemplos son los teclados comunes que transforman el impulso de los dedos sobre las pulpas y éstas generan el código de la tecla presionada.

Otro ejemplo es el sistema de alarma de un automóvil, el cual transforma los cambios de presión dentro del vehículo a la activación de dicha alarma.

Algunas de estas son termistores, galgas extensiométricas, piezoeléctricos, termostatos, etc.i

Tipos de Transductores eléctricos:

Transductores activos

Se dice que un elemento es activo, si es capaz de entregar o generar energía. Dentro de las fuentes más conocidas de energía se encuentran las baterías y los generadores.

Transductores pasivos

Se dice que un elemento es pasivo, si solo es capaz de recibir o absorber potencia. El mejor ejemplo es la resistencia.

En función para el análisis de los circuitos eléctricos, podemos clasificar a las fuentes en dos tipos:

a) Fuentes de Voltaje: cuando la fuente entrega en sus terminales un voltaje constante y al variar la carga varía la corriente entregada por la fuente.

b) Fuente de Corriente: cuando la fuente entrega en sus terminales una corriente constante y al variar la carga varía el voltaje entregado por la fuente.

De acuerdo con su comportamiento voltaje/corriente las cargas eléctricas pueden ser de dos tipos:

a) Cargas lineales:Su comportamiento V/I está regido por una ecuación lineal. Obedecen a la Ley de Ohm.Su comportamiento V/I describe una línea recta.Son bilaterales: Pueden conducir la corriente en ambos sentidos,Son 3 elementos: resistencias, inductancias y capacitancias.

b) Cargas no lineales:No obedecen a la Ley de Ohm.Su comportamiento V/I es una curva no lineal.

En general son unilaterales, conducen la corriente en un sentido y en el sentido contrario lo bloquean.Son los semiconductores principalmente.

CARGAS LINEALESa) Resistenca: Transductor que convierte la energía eléctrica en calor. En el

proceso de transducción toma energía de la fuente y esto se manifiesta como una reducción en la magnitud de la corriente.

Se mide en Ohms ().La resistencia se opone en magnitud al flujo de la corriente. No almacena energía y toda la energía que consume la disipa en forma de calor.La resistencia no produce desfasamientos entre su voltaje y su corriente.

b) Inductor: Transductor que convierte la corriente en campo magnético y viceversa.

Se mide en Henrys (H).

En el proceso de transducción la inductancia se opone a las variaciones de la corriente:Cuando hay exceso de corriente,la almacena en forma de campo magnético.Cuando baja la corriente, la inductancia convierte su campo magnético en corriente y la entrega al circuito de manera que:

En una inductancia la corriente no sufre modificaciones (teóricamente).

La inductancia actúa como un regulador de corriente.

El efecto inductivo de la inductacia esta en función de las variaciones de la corriente con respecto al tiempo.

c) Capacitor: Transductor que convierte el voltaje en campo eléctrico y viceversa.

Se mide en Faradios (F).

En el proceso de transducción el capacitor se opone a las variaciones de voltaje.Cuando hay un exceso de voltaje la almacena en forma de campo eléctrico.Cuando hay bajo voltaje, el capacitor convierte su campo eléctrico en voltaje y lo entrega al circuito, de manera que:

En un capacitor el voltaje no sufre variaciones.

El capacitor actúa como un regulador de voltaje.

El efecto capacitivo de un capacitor está en función de las variaciones con respecto al tiempo.

1.6 TIPOS DE SEÑALES

Las señales de voltaje se clasifican de la siguiente forma: Voltaje de Corriente Continua (CC): es el flujo continuo de electrones a través de

un conductor entre dos puntos de distinto potencial. A diferencia de la corriente alterna (CA en español, AC en inglés), en este caso, las cargas eléctricas circulan siempre en la misma dirección del punto de mayor potencial al de menor potencial. Aunque comúnmente se identifica la corriente continua con la corriente constante (por ejemplo la suministrada por una batería), es continua toda corriente que mantenga siempre la misma polaridad.

Su descubrimiento se remonta a la invención de la primera pila por parte del científico italiano Conde Alessandro Volta. No fue hasta los trabajos de Thomas Alva Edisonsobre la generación de electricidad en las postrimerías del siglo XIX, cuando la corriente continua comenzó a emplearse para la transmisión de la energía eléctrica.Ya en el siglo XX este uso decayó en favor de la corriente alterna (propuesta por el inventor serbo-estadounidense Nikola Tesla, sobre cuyos desarrollos se construyó la primera central hidroeléctrica en las Cataratas del Niágara) por sus menores pérdidas en la transmisión a largas distancias, si bien se conserva en la conexión de redes eléctricas de diferente frecuencia y en la transmisión a través de cables submarinos.

La corriente continua es empleada en infinidad de aplicaciones y aparatos de pequeño voltaje alimentados con baterías (generalmente recargables) que suministran directamente corriente continua, o bien con corriente alterna como es el caso, por ejemplo, de los ordenadores, siendo entonces necesario previamente realizar la conversión de la corriente alterna de alimentación en corriente continua.

También se está extendiendo el uso de generadores de corriente continua mediante células solares, dado el nulo impacto medioambiental del uso de la energía solar frente a las soluciones convencionales (combustible fósil y energía nuclear).

Voltaje de Corriente Directa (CD): señal con magnitud variable y polaridad fija.

Voltaje de Corriente Alterna (abreviada CA en español y AC en inglés): es una señal en la que la magnitud y dirección varían con respecto al tiempo.

Corriente Alterna vs. Continua

La razón del amplio uso de la corriente alterna viene determinada por su facilidad de transformación, cualidad de la que carece la corriente continua.Así tenemos que al ser la sección de los conductores de las líneas de transporte de energía eléctrica dependiente del flujo o intensidad de corriente y no del flujo de energía, podemos mediante un transformador elevar el voltaje hasta altos valores (alta tensión). Con esto la misma potencia puede ser distribuida a largas distancias con bajas intensidades de corriente y por tanto con bajas pérdidas. Una vez en el punto de utilización o en sus cercanías el voltaje puede ser de nuevo reducido para su uso industrial o doméstico de forma cómoda y segura.

Conversión de corriente alterna en continua

Este proceso, denominado rectificación, se realiza mediante dispositivos llamados rectificadores, basados en el empleo de tubos de vacío y actualmente, de forma casi general, mediante diodos semiconductores o tiristores.

2 LEYES QUE RIGEN A LOS CIRCUITOS LINEALESLey de ohm:“Al aplicar a un circuito lineal pasivo un voltaje, circulará por el una corriente cuya intensidad de corriente depende directamente del voltaje aplicado e inversamente de su resistencia”.

Leyes de Kirchoff:

A) Ley de voltajes (Vk) “La suma algebraica de los voltajes de rama en cualquier lazo de un circuito es igual a cero”.

Conocidas las flechas de voltaje de rama e identificados los lazos, se recorre el lazo en cualquier dirección considerando las flechas de voltaje de las ramas positivas a favor del recorrido y negativas en contra del recorrido, y así:

R

VI

0 RamaV

Flechas de voltaje a favor + Flechas de voltaje en contra =0

B) Ley de corrientes (Ik)“ La suma algebraica de las corrientes en las ramas conectadas en cualquier nodo de un circuito eléctrico es igual a cero. “IK=0”, “NODOS” Irama: * Entrando al nodo (+)

*Saliendo del nodo (-)

Para aplicar las leyes de Kirchhoff es necesario conocer los sentidos de las flechas de corriente y voltaje de rama, según el sentido convencional y en función de las polaridades asignados a las terminales de las ramas.

Componentes de los Circuitos Eléctricos:

Rama: Cualquier componente del circuito (fuente o carga).

Nodo: Punto de unión de o dos o más ramas.

Lazo: Camino cerrado a través del circuito. Se describe en función de los nodos de las ramas que lo componen.

Malla: Tipo de lazo que no contiene ramas en su interior.

Circuito Equivalente: es aquel que puede sustituir a otro circuito sin que se alteren las condiciones eléctricas en las terminales comunes al hacer la sustitución.

Circuito serie: Dos o más ramas están en serie cuando por ellas pasa la misma corriente.

+

-

It

Vt

CONSTANTE

C-1

Vt

It+

-

CIRCUITO EQUIVALENTE C-2

R1

R2

R3

+

-V1

+

-V2

+

-V3

Req

0 IsalIent

SustituyendoITREQ= ITR1 + ITR2 + ITR3ITREQ= IT[R1 + R2 + R3] REQ = R1 + R2 + R3= serie

Circuito paralelo: Dos o más ramas están en paralelo cuando tienen en sus terminales el mismo voltaje”

It

It I1 I2

(x) I(x) I(y) It

Vt

R3R2R1

+

-Vt

+

-Vt

+

-Vt

Rt

Ley de ohm

TTT RIRIRIRIV 332211

)(xIK

xT III 1

32 III x )(yIK

IK

321 IIIIT

En General:

“El inverso de la suma de los inversos de las resistencias en paralelo”

321

321

321

321

1111

1111

1111

RRR

R

RRRR

RRRV

RV

R

V

R

V

R

VV

T

T

tT

T

TtTT

paraleloR

RT

.1

1