capitolul 4p
TRANSCRIPT
Filtre analogice 30
4. Filtre active
4.1 Generalitãþi
La frecvenþe mari ( > 1MHz ) în general se utilizeazã filtrele realizate din
componente pasive: inductanþe, rezistenþe ºi capacitãþi. Acestea se mai numesc ºi filtre RLC.
În domeniul frecvenþelor mici ( 1 Hz – 1 MHz ), valoarea inductanþei devine foarte
mare, iar bobinele ajung sã fie voluminoase ceea ce duce la o realizare a acestora dificilã, în
special din motive economice. În aceste cazuri filtrele active devin importante. Filtrele active
sunt circuite care utilizeazã elemente amplificatoare, în special amplificatoare operaþionale în
combinaþie cu rezistenþe ºi capacitãþi în buclele de reacþie pentru a obþine caracteristicile de
filtrare dorite.
Filtrele active realizeazã aceleaºi funcþii ca ºi filtrele cu elemente pasive, dar sunt
capabile sã asigure o amplificare de putere supraunitarã ºi acoperã un domeniu de frecvenþe
mult mai larg, în special spre frecvenþe joase.
Realizarea filtrelor active cu amplificatoare operaþionale prezintã ºi avantajul unei
mai bune independenþe a caracteristicii de transfer ºi a parametrilor filtrelor de parametrii
elementelor active utilizate ºi implicit de variaþia acestora la modificãri ale mediului ambiant.
4.2 Proiectarea filtrelor active
4.2.1 Construcþia filtrelor trece jos ºi a fi ltrelor trece sus de ordinul unu
Filtrul trece jos de ordinul 1 îl putem realiza, aºa cum am arãtat în capitolul
precedent ºi cu elemente pasive RC. Amplificarea acestui filtru când nu avem sarcinã pe
ieºire este:
RCPpRCA
tω+=
+=
1
1
1
1
Fãcând o comparaþie cu ecuaþia
∏=
++= n
iii PbPa
AA
1
2
0
)1( (4.1)
Filtre analogice 31
obþinem o relaþie de calcul pentru RC:
tfa
RCπ2
1= .
Amplificarea componentei continue a tensiunii este A0 = 1.
Circuitul are un dezavantaj ºi anume în cazul în care se leagã o sarcinã la ieºire se
schimbã caracteristicile de filtrare ºi din acest motiv trebuie legat la ieºire un transformator
de impedanþã. Dacã amplificarea în tensiune a transformatorului este k avem posibilitatea de
a alege amplificarea componentei continue a tensiunii deoarece A0 = k. Un astfel de circuit
este reprezentat în figura urmãtoare.
Funcþia de transfer a circuitului este:
111)(
CRPk
PHtω+
=
În cazul în care dorim sã avem o amplificare egalã cu unitatea k = 1, amplificatorul
neinversor se reduce la un repetor de tensiune, totuºi în mod inerent asigurând o acurateþe
superioarã a amplificãrii.
Fig. 24 Filtru trece jos de ordinul 1 neinversor
Fig. 25 Filtru trece jos de ordinul 1 neinversor cu amplificare egalã cu unitatea
Filtre analogice 32
În mod analog putem gãsi ºi un filtru trece sus dacã în ecuaþia (4.1) facem
schimbarea de variabilã P
P1= . În circuit schimbãm între ele elementele R1 ºi C1.
Un alt circuit pentru realizarea filtrelor trece jos, respectiv a filtrelor trece sus se
poate obþine folosind amplificatorul operaþional în conexiune inversoare.
Funcþia de transfer a circuitului este:
PCRRR
PHt 12
1
2
1)(
ω+
−=
Identificând coeficienþii ecuaþiei (4.1) gãsim:
1
20 R
RA =
121 CRa tω=
Semnul minus din funcþia de transfer indicã faptul cã amplificatorul inversor
genereaz o schimbare de faz cu 180º a tensiunii de ieºire faþã de tensiunea de intrare.
Pentru dimensionarea circuitului se alege frecvenþa de tãiere, capacitatea C1 ºi
amplificarea componentei continue a tensiunii A0. Astfel gãsim:
0
21
1
12
2
AR
R
Cfa
Rt
=
=π
Coeficientul a1 se ia din unul din tabelele cu coeficienþi din Anexa 1.
Fig. 26 Filtru trece jos de ordinul 1 inversor
Filtre analogice 33
Este de notat faptul cã toate tipurile de filtre de ordinul 1 sunt identice ºi a1=1.
Totuºi la filtrele de ordin superior, filtrul parþial de ordinul 1 are coeficientul a11 deoarece
frecvenþa de tãiere a filtrului parþial diferã de frecvenþa de tãiere a filtrului final.
Exemplul 4.1 Pentru realizarea unui filtru trece jos de ordinul 1 cu o amplificare
egalã cu unitatea care sã aibã o frecvenþã de tãiere ft = 1 kHz alegem o valoare a
condensatorului C1=47 nF ºi calculãm rezistenþa:
Ω=⋅⋅⋅
== − kFHzCf
aR
t
38,31047102
12 93
1
11 ππ
.
Un alt circuit reprezentând un filtru trece sus este ilustrat în figura 27.
Funcþia de transfer este:
PCR
RR
PH
t
111
)(
12
1
2
ω+
−=
Pentru dimensionare se gãsesc în mod analog relaþiile:
∞−=
=
ARR
CafR
t
12
111 2
1π
4.2.2 Construcþia filtrelor trece jos ºi a filtrelor trece sus de ordinul doi
Filtrele de ordin doi nu se pot realiza cu elemente simple pasive. Una din
posibilitãþile rezolvãrii construcþiei filtrelor de ordinul doi este folosirea inductivitãþilor. Un
astfel de filtru trece jos este prezentat în figura 28.
Fig. 27 Filtru trece sus de ordinul 1 inversor
Filtre analogice 34
Funcþia de transfer a circuitului este:
LCPRCPPH
tt221
1)(
ωω ++=
ºi fãcând o comparaþie cu ecuaþia (4.1) gãsim urmãtoarele relaþii:
Cfa
Rtπ2
1= ºi Cf
bL
t22
1
4π= .
Pentru un filtru trece jos de ordinul doi de tip Butterworth coeficienþii ai ºi bi îi
gãsim în tabelul1 din Anexa 1 ºi au valorile a1=1,414 ºi b1=1. Dacã ft=10 Hz ºi capacitatea
C= 10 ìF atunci gãsim R=2,25 kÙ ºi L=25,3 H. Este evident cã un asemenea filtru este greu
de realizat datoritã inductivitãþii foarte mari. În loc de a se realiza efectiv aceastã
inductivitate se folosesc elemente RC active echivalente.
Pentru realizarea filtrelor de ordin doi existã douã topologii diferite: Sallen-Key
( structurã cu reacþie pozitivã multiplã ) ºi Rauch ( structurã cu reacþie negativã multiplã ).
Aceste structuri vor fi tratate pe larg în subcapitolul urmãtor.
În continuare se prezintã un filtru trece jos cu o singurã reacþie negativã.
Fig. 28 Filtru trece jos de ordinul 2 pasiv
Fig. 29 Filtru trece jos de ordinul 2 cu o singurã reacþie negativã
Filtre analogice 35
Funcþia de transfer a circuitului este:
21222
121
1)(
CCRPRCPPH
tt ωω ++= .
Dacã facem o comparaþie a funcþiei de transfer cu ecuaþia (4.1) gãsim urmãtoarele
relaþii:
A0 = 1;
a1 = 2ùtRC1;
b1 = ùt²R²C1C2.
Deci amplificarea componentei continue este egalã cu unitatea. Valorile
coeficienþilor a1 ºi b1 le gãsim în tabelele din Anexa 1.
Pentru dimensionare alegem frecvenþa de tãiere ft, valoarea rezistenþelor R ºi
calculãm valorile capacitãþilor C1 ºi C2:
Rfa
Ctπ4
11 = ºi
1
12 Raf
bC
tπ= .
Dimensionarea este posibilã pentru toate valorile coeficienþilor a1 ºi b1 ºi astfel
putem realiza fiecare tip de filtru. Un dezavantaj al circuitului este acela cã piesele trebuie sã
aibã toleranþe cât mai mici.
4.2.3 Filtre trece jos ºi filtre trece sus de grad superior
Pentru a mari atenuarea, pentru a gãsi o caracteristicã cu o pantã cât mai abruptã
folosim filtre de grad superior care pot fi realizate prin legarea în serie a unor filtre de grad
unu ºi doi.
În figura 30 este ilustrat modul de înseriere al filtrelor pânã la ordinul sase. Se
observã cã un filtru de ordin par este alcãtuit numai din filtre de ordin doi, în timp ce filtrele
de ordin impar includ un filtru de ordin întâi la început.
La legarea în serie a filtrelor caracteristica de amplificare se înmulþeºte, de
exemplu prin legarea în serie a douã filtre de ordin doi de tip Butterworth nu obþinem un
filtru de tip Butterworth de ordin patru ci un filtru cu o caracteristicã diferitã.
Filtre analogice 36
Coeficienþii unor componente de filtru pot fi reglaþi astfel încât caracteristica
rezultantã sã fie cea doritã. Valorile acestor coeficienþi pot fi gãsiþi în tabelele 1-6 din Anexa
1 pentru fiecare tip de filtru în parte. Pentru dimensionarea circuitului trebuie sã înlocuim în
ecuaþiile funcþiilor de transfer a filtrelor parþiale valoarea frecvenþei de tãiere pe care vrem sã
o obþinem.
Teoretic este indiferentã ordinea în care legãm componentele filtrului superior unele
de altele, însã în practicã este indicat sã legãm filtrele în ordinea creºterii valorii
coeficientului de calitate Q [6]. Valorile lui Q pentru fiecare tip de filtru în parte sunt date în
Anexa 1, tabelele 1-6.
Un alt criteriu pentru alegerea succesiunii filtrelor legate în serie este zgomotul. În
acest caz pentru reducerea zgomotului întregului lanþ este indicat ca filtrul cu cea mai micã
frecvenþã de tãiere sã fie ultimul din lanþ [1].
Exemplul 4.2 Sã realizãm un filtru trece jos de ordin cinci de tip Butterworth cu o
frecvenþã de tãiere de 50 kHz. Mai întâi se iau valorile coeficienþilor din Anexa 1, tabelul 1:
Fig. 30. Etapele de înseriere pentru obþinerea unor filtre de ordin superior
Filtre analogice 37
ai bi
Filtrul 1 a1=1 b1=0
Filtrul 2 a2=1,618 b2=1
Filtrul3 a3=0,618 b3=1
Apoi, se dimensioneazã fiecare filtru parþial specificând valoarea capacitãþii ºi
calculând valoarea rezistenþei necesare.
Primul filtru:
Alegem C1 = 1 nF ºi
Ω=⋅⋅⋅⋅
== − kHzCf
aR
t
18,310110502
12 93
1
12 ππ
Cea mai apropiatã valoare este 3,16 kÙ.
Al doilea filtru:
Alegem C1 = 820 pF ºi C2 din condiþia:
nFFa
bCC 26,1
618,1
1410820
42
12
22
212 =⋅⋅⋅=≥ −
Fig. 31 Filtru trece jos de ordinul 1 cu amplificare egalã cu unitatea
Fig. 32 Filtru trece jos de ordinul 2 structurã Sallen-Key
Filtre analogice 38
Se ia C2 = 1,5 nF ºi se calculeazã valorile rezistenþelor cu relaþiile:
21
21222
2222
1 4
4
CCf
CCbCaCaR
tπ−−
= ºi 21
21222
2222
1 4
4
CCf
CCbCaCaR
tπ−+
=
ºi obþinem
( )Ω=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅
=−−
−−−−
kR 87,1105,11082010504
105,11082014105,1618,1105,1618,19123
912299
1 π
( )Ω=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅
=−−
−−−−
kR 42,4105,11082010504
105,11082014105,1618,1105,1618,19123
912299
2 π
Al treilea filtru:
Calculele celui de-al treilea filtru sunt identice cu cele de la cel de-al doilea filtru cu
observaþia cã valorile coeficienþilor a2 ºi b2 sunt înlocuite cu valorile coeficienþilor a3 ºi b3
astfel obþinându-se alte valori pentru capacitãþi ºi rezistenþe. Alegem C1 = 330 pF ºi gãsim
nFFa
bCC 46,3
618,0
1410330
42
12
23
312 =⋅⋅⋅=≥ −
Se ia C2 = 3,47 nF ºi se calculeazã valorile rezistenþelor R1 ºi R2:
- pentru R1 gãsim prin calcul valoarea 1,45 kÙ ºi se ia din ºirul de valori normalizate
R1=1,47 kÙ
- pentru R2 gãsim prin calcul valoarea 4,51 kÙ ºi se ia R2=4,53 kÙ.
În figura 33 se prezintã circuitul final.
Fig. 33 Filtru trece jos de ordinul 5 cu amplificare egalã cu unitatea
Filtre analogice 39
4.2.4 Filtru trece bandã
Aºa cum am arãtat ºi în capitolul precedent, prin legarea în serie a unui filtru trece
jos cu un filtru trece sus obþinem un filtru care permite trecerea unei benzi de frecvenþã.
Caracteristica filtrului rezultant este obþinutã prin înmulþirea celor douã caracteristici
componente:
( )221 PbP
PaPH
++⋅= .
Datele principale ale unui filtru trece bandã sunt amplificarea A0 ataºatã frecvenþei
de rezonanþã ºi coeficientul de calitate Q.
Amplificarea se poate calcula la frecvenþa de rezonanþã dacã Ù = 1, adicã P = j.
astfel gãsim Ar = ba
.
Pentru calcularea coeficientului de calitate Q trebuie mai întâi determinatã lãþimea
benzii. Din prima relaþie obþinem douã valori pentru Ù:
22
2,1 422
2b
bb ++=Ω m .
Coeficientul Q se calculeazã prin raportul dintre frecvenþa de tãiere ºi lãþimea benzii
de trecere [1]:
1212
00 1Ω−Ω
=−
==ff
fBf
Q .
Luând în considerare cele douã valori obþinute pentru Ù, dupã un calcul scurt
ajungem la relaþia:
bQ
1= .
Fãcând înlocuirile corespunzãtoare în prima ecuaþie ajungem la relaþia:
( )21
1 PPQ
PQA
PH
rez
++= .
Filtre analogice 40
Pentru un filtru pasiv a = 1 ºi conform primei ecuaþii rezultã Q = 2
1. Aceasta este
valoarea maximã a coeficientului de calitate pe care îl putem obþine cu douã filtre pasive de
ordinul unu. Pentru a obþine o valoare mai mare a coeficientului de calitate se realizeazã filtre
active la care coeficienþii funcþiei de transfer pot fi aleºi liber. Cu aceste filtru trece bandã de
grad doi cu elemente active putem obþine chiar ºi Q = 100.
Amplificarea este:
4
2
2 21
1
)(
Ω+
−
ΩΩ+
Ω= Q
A
PH
r
În continuare se prezintã o schemã de filtru trece bandã cu o singurã reacþie
negativã.
Frecvenþa de rezonanþã a filtrului este RC
fπ2
10 = , iar amplificarea la aceastã
frecvenþã este ba
Ar = . Factorul de calitate are valoarea Q = b2
1.
Se observã în schemã cã pe lângã circuitul care realizeazã bucla de reacþie negativã
existã la intrarea amplificatorului operaþional ºi un circuit serie format din elementele aC ºi
Fig. 34 Filtru trece bandã cu o singurã reacþie negativã
Filtre analogice 41
R/a. Aceste elemente formeazã un circuit trece sus, iar elementele bC ºi R/b alcãtuiesc un
filtru trece jos. Panta caracteristicii de filtrare este crescutã ºi prin filtrul dublu T care este
montat în circuitul reacþiei negative. Pentru frecvenþa de rezonanþã reacþia se poate neglija
dar pentru frecvenþe diferite de f0 ea are un caracter pronunþat [1].
Funcþia de transfer a circuitului este:
( )221
2)(
RCpbRCp
aRCpUU
PHi
o
++=−=
iar prin introducerea relaþiei frecvenþei de rezonanþã gãsim forma normalizatã a funcþiei de
transfer:
221
2)(
PbPaP
PH++
= .
Se poate observa cã frecvenþa de rezonanþã, coeficientul de calitate ºi amplificarea
la frecvenþa de rezonanþã pot fi alese independent unele de altele.
4.2.5 Filtru opreºte bandã
În cazul în care se doreºte sã se filtreze o frecvenþã bine determinatã avem nevoie
de un filtru opreºte bandã.
Forma generalã a funcþiei de transfer este
2
2
1
)1()(
PbPPa
PH++
+= .
Ca ºi la filtrele trece bandã datele principale pentru filtrul opreºte bandã sunt
amplificarea ºi coeficientul de calitate Q.
Din forma generalã a funcþiei de transfer se observã cã A0 = a pentru f<<f0 ºi f>>f0
adicã pentru P<<j ºi P>>j ºi amplificarea la frecvenþa de rezonanþã este Ar = 0 (P = j).
Pentru a calcula coeficientul de calitate avem nevoie de condiþia 2
)(a
PH = ºi de
aici gãsim frecvenþa hotar normalizatã:
42
1
22
2,1 ++=Ω bb
m
Cu aceasta coeficientul de calitate Q este:
Filtre analogice 42
bBf
Q11
12
0 =Ω−Ω
==
Înlocuind aceste relaþii în funcþia de transfer gãsim:
2
20
11
)1()(
PPQ
PAPH
++
+=
Pentru a se obþine un coeficient de calitate mai mare se folosesc filtre active la care
valorile A0 ºi Q pot fi alese independent.
În continuare se prezintã un filtru activ opreºte bandã de tip dublu T.
Schema circuitului este:
La frecvenþe mici ºi mari filtrul lasã sã treacã semnalul neschimbat. La frecvenþa de
rezonanþã tensiunea de ieºire este nulã, filtrul dublu T funcþionând ca ºi cum rezistenþa R/2 ar
fi legatã la masã.
Frecvenþa de rezonanþã este RC
fπ2
10 = , iar coeficientul de calitate ( )k
Q−
=22
1.
Dacã k = 2 atunci Q .
Condiþia de bunã funcþionare a filtrului este reglarea optimã a frecvenþei de
rezonanþã ºi a amplificãrii.
Fig. 35 Filtru opreºte bandã de tip dublu T
Filtre analogice 43
Un alt tip de filtru opreºte bandã este filtrul activ de tip punte Wien-Robinson.
Circuitul din figura 36 are funcþia de transfer:
( )2
2
1
31
11)(
PP
PPH
++
+
++−=
α
αβ
unde 3
2
RR
=α ºi 4
2
RR
=β .
Comparând funcþia de transfer a filtrului cu relaþia generalã
2
20
11
)1()(
PPQ
PAPH
++
+=
putem determina relaþiile de calcul a parametrilor filtrului :
- frecvenþa de rezonanþã RC
fπ2
10 =
- amplificarea α
β+
=1
0A
- coeficientul de calitate 3
1 α+=Q .
Pentru a calcula valorile individuale ale componentelor urmãm procedura de mai
jos:
Fig. 36 Filtru activ opreºte bandã de tip Wien-Robinson
Filtre analogice 44
- Definim f0 ºi C ºi calculãm R cu relaþia:
CfR
02
1
π=
- Specificãm Q ºi determinãm á:
13 −= Qα
- Specificãm A0 ºi determinãm â:
QA 30 ⋅=β
- Alegem R2 ºi calculãm R3 ºi R4 cu relaþiile:
α2
3
RR = ºi
β2
4
RR = .
În comparaþie cu filtrul activ dublu T, filtrul activ Wien-Robinson ne permite
modificarea amplificãrii în banda de trecere A0 fãrã a afecta coeficientul de calitate Q.
Dacã frecvenþa de rezonanþã nu este complet filtratã datoritã toleranþelor
rezistenþelor R ºi condensatoarelor C atunci este necesarã o finã reglare a rezistenþei 2R2.
4.3 Structuri de filtre active
4.3.1 Structura Rauch
Structura Rauch sau structura cu reacþie negativa multiplã este utilizatã în general la
filtre care au un coeficient de calitate Q mare ºi necesitã o amplificare mare.
Forma generalizatã a circuitului este prezentatã în figura 37 In care admitanþele Y
sunt realizate din rezistenþe simple sau capacitãþi.
Fig. 37 Circuitul generalizat Rauch
Filtre analogice 45
Pentru a gãsi funcþia de transfer a circuitului generalizat calculãm tensiunile UA ºi
UB [1].
UB = U- = U+ = 0
(UA-UB)Y3= -U0Y5 (1)
4321
23401 00
YYYYYYYUYU
U iA +++
⋅+⋅++= (2)
Rezultã:
503 YUYU A −= sau 3
50 Y
YUU A −= (1*)
4321
401
YYYYYUYU
U iA +++
+= (2*)
Din relaþiile (1*) ºi (2*) rezultã:
4321
401
3
50 YYYY
YUYUYY
U i
++++
=−
4321
40
4321
1
3
50 YYYY
YU
YYYYY
UYY
U i ++++
+++=−
Dupã calcule simple se obþine funcþia de transfer a circuitului:
( ) 5343215
310)(YYYYYYY
YYUU
PHi ++++
−==
Tipul de filtru dorit se obþine prin înlocuirea admitanþelor Yi cu rezistenþe ºi
capacitãþi conform tabelului de mai jos:
Tabelul 4.1
Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Tipul de filtru
1 1/R1 pC2 1/R3 1/R4 pC5 F.T.J.
2 pC1 1/R2 pC3 pC4 1/R5 F.T.S.
3 1/R1 pC2 pC3 pC4 1/R5
4 (1/R2) F.T.B.
5 pC1 pC2 1/R3 1/R4 pC5
6 (1/R2) F.T.B.
Filtre analogice 46
Filtru trece jos
Schema circuitului corespunzãtor unui filtru trece jos realizat cu reacþie negativã
multiplã este prezentatã în figura 38.
Funcþia de transfer a circuitului este:
23221
2
1
32321
1
2
1
)(
PRRCCPRRR
RRC
RR
PH
tt ωω +
+++
=
Prin comparaþie cu relaþia generalã
∏=
++= n
iii PbPa
AA
1
2
0
)1(
obþinem relaþiile:
32212
1
1
323211
1
20
RRCCb
R
RRRRCa
RR
A
t
t
ω
ω
=
++=
=
Dupã alegerea amplificãrii A0, a frecvenþei de tãiere ft ºi a valorilor capacitãþilor se
calculeazã rezistenþele cu relaþiile:
0
21
21
021122
2121
24
)1(4
AR
R
CCf
ACCbCaCaR
t
=
−−−=
π
Fig. 38 Filtru trece jos structurã Rauch
Filtre analogice 47
22122
13
4 RCCf
bR
tπ=
Pentru a se obþine valori reale ºi pozitive pentru rezistenþa R2 trebuie îndeplinitã
urmãtoarea condiþie:
21
0112
)1(4
a
AbCC
−≥
Filtrul astfel realizat nu este foarte sensibil la toleranþele pieselor ºi din acest motiv
are un coeficient de calitate mare.
Filtru trece sus
Dacã schimbãm între ele rezistenþele ºi condensatoarele din schema precedentã
obþinem o configuraþie de filtru trece sus.
Schema filtrului trece sus în structura cu reacþie negativã multiplã este prezentatã în
figura 39.
Funcþia de transfer a acestui circuitului este:
2
2132
2132
321
2
1
1111
)(
PRRCCPRCCCCC
CC
PH
tt
⋅+⋅++
+−=
ωω
Fãcând o comparaþie cu relaþia generalã a funcþiei de transfer pentru un filtru trece
sus
Fig. 39 Filtru trece sus structurã Rauch
Filtre analogice 48
∏
++
=
iii P
bP
aPH
2
111
1)(
gãsim urmãtoarele relaþii de calcul:
23221
1
132
3211
2
1
1
t
t
CCRRb
RCCCCC
a
CC
A
ω
ω
=
++=
−=∞
Pentru dimensionare alegem capacitãþile C1, C2 ºi C3, frecvenþa de tãiere ºi
rezolvând ecuaþiile de mai sus gãsim relaþiile de calcul pentru rezistenþele R1 ºi R2:
( )021
12
311
212
2
21
ACbfa
R
CafA
R
t
t
−=
−= ∞
π
π
Amplificarea în banda de trecere A a filtrului trece sus cu reacþie negativã multiplã
poate varia semnificativ datoritã toleranþelor mari ale capacitãþilor. Pentru a menþine aceastã
variaþie a amplificãrii la o valoare minimã este necesar sã utilizãm condensatoare cu valori
ale toleranþei mici.
Filtru trece bandã
Schema acestui filtru ilustratã în figura 40 corespunde liniei a patra din tabelul 4.1,
iar pentru a simplifica calculele valorile capacitãþilor s-au luat egale ( C3 = C4 = C ).
Fig. 40 Filtru trece bandã structurã Rauch
Filtre analogice 49
Funcþia de transfer a circuitului este:
220
2
31
3210
31
31
0
31
32
21
)(PC
RR
RRRPC
RR
RR
PCRR
RR
PHωω
ω
++
++
+−
=
Prin comparaþie cu relaþia generalã a filtrului trece bandã
211
1
)(PP
Q
PQ
APH
r
++=
gãsim urmãtoarele relaþii:
- frecvenþa de rezonanþã: 321
310 2
1
RRRRR
Cf
+=
π
- amplificarea la frecvenþa de rezonanþã: 1
2
2RR
Ar =
- coeficientul de calitate: 02CfRQ π=
- lãþimea benzii de trecere: CR
B2
1
π= .
Se observã din nou cã la aceastã structurã de filtru se pot alege independent
coeficientul de calitate, amplificarea la rezonanþã ºi frecvenþa de rezonanþã. De asemenea
lãþimea benzii de trecere ºi amplificarea Ar nu depind de rezistenþa R3. Rezultã astfel cã
modificând valoarea rezistenþei R3 se poate modifica frecvenþa de rezonanþã ( în limite nu
foarte largi ) fãrã a modifica amplificarea Ar sau lãþimea de bandã B.
Pentru valori mici ale coeficientului Q, filtrul funcþioneazã ºi fãrã rezistenþa R3, dar
atunci coeficientul de calitate Q va depinde de amplificarea Ar:
22QAr =
Filtre analogice 50
4.2.2 Structura Sallen-Key
O altã structurã des utilizatã în realizarea filtrelor active este structura cu reacþii
pozitive multiple sau structura Sallen-Key aºa cum mai este numitã.
În figura 41 este prezentatã forma generalizatã a circuitului Sallen-Key în care
admitanþele Yi sunt realizate din elemente pasive, iar cu ajutorul rezistenþei R3 se realizeazã o
amplificare independentã de frecvenþã.
În continuare se calculeazã funcþia de transfer a circuitului [1]:
−+ = UU
kU
RkRR
UUUB0
33
30
)1(=
−+== +
321
3021
YYYYUYUYU
U BiA ++
++=
42)( YUYUU BBA =−
( )422 YYUYU BA +=
+=
2
41YY
UU BA
+=
++++
=2
4
321
3021 1YY
UYYY
YUYUYUU B
BiA
Fig. 41 Circuitul generalizat Sallen-Key
Filtre analogice 51
=++ 3021 YUYUYU Bi ( )3212
41 YYYYY
UB ++
+
( ) ( )3212
40321
0302
01 YYY
YY
kU
YYYk
UYUY
kU
YU i ++++++−−=
( )
++++
−−= 321
2
41301
11 YYY
kYY
kY
kYUYU i
De aici rezultã funcþia de transfer a circuitului:
( ) ( ) 32213214
210
1)(
YYkYYYYYYYY
kUU
PHi −++++
==
În tabelul de mai jos se dau elementele ce formeazã admitanþele Yi pentru
obþinerea filtrului dorit.
Tabelul 4.2
Y1 Y2 Y3 Y4 Tipul de filtru
1 1/R1 1/R2 pC3 pC4 F.T.J.
2 pC1 pC2 1/R3 1/R4 F.T.S.
Filtru trece jos
Schema filtru trece jos în structurã Sallen-Key este prezentatã în figura 42.
Fig. 42 Filtru trece jos structurã Sallen-Key
Filtre analogice 52
Rezistenþele R3 ºi (k-1)R3 realizeazã reacþia negativã ºi astfel putem realiza
amplificarea la valoarea fixã k. Reacþia pozitivã se realizeazã prin condensatorul C2.
Funcþia de transfer a circuitului este:
( ) ( )[ ] 212122
21211 11)(
CCRRPCRkRRCPk
PHtt ωω +−+++
=
Pentru o mai uºoarã dimensionare a circuitului se pot pune unele condiþii
simplificatoare. O posibilitate de simplificare este sã facem k = 1, adicã sã avem o
amplificare egalã cu unitatea. Pentru aceastã valoare a amplificãrii rezultã (k-1)R3 = 0 ºi
astfel putem elimina cele douã rezistenþe legate la intrarea inversoare.
Funcþia de transfer în acest caz devine:
( ) 212122
2111
1)(
CCRRPRRCPPH
tt ωω +++=
Prin comparaþie cu forma generalã a filtrului trece jos gãsim:
( )2121
21
2111
0 1
CCRRb
RRCa
A
t
t
ω
ω
=
+==
Dacã alegem frecvenþa de tãiere ºi capacitãþile C1 ºi C2 gãsim valorile rezistenþelor
R1 ºi R2 calculate cu relaþia:
21
21122
2121
2,1 4
4
CCf
CCbCaCaR
tπ−
=m
Pentru a obþine valori reale ºi pozitive pentru rezistenþele R1 ºi R2 trebuie sã punem
condiþia:
Fig. 43 Filtru trece jos structurã Sallen-Key ºi amplificare unitate
Filtre analogice 53
21
112
4
a
bCC ≥
O altã posibilitate de simplificare este folosirea rezistenþelor ºi condensatoarelor de
valori egale: R1 = R2 = R ºi C1 = C2 = C. Funcþia de transfer devine astfel:
( ) 222231)(
CRPkRCPk
PHtt ωω +−+
= .
Prin compararea coeficienþilor gãsim:
( )222
1
1 3
CRb
kRCa
t
t
ω
ω
=
−=
Dupã alegerea valorii capacitãþii C se calculeazã valoarea rezistenþelor ºi a
amplificãrii cu relaþiile:
Cf
bR
tπ21= ºi
Qb
aA
133
1
10 −=−= .
Filtru trece sus
Dacã schimbãm între ele rezistenþele ºi condensatoarele din filtrul trece jos descris
înainte obþinem un filtru trece sus.
Funcþia de transfer a circuitului este:
( ) ( )2121
222121
21212 11111
)(
CCRRPCCRRkCRCCR
P
kPH
tt ωω⋅+
−++⋅+
=
Fig. 44 Filtru trece sus structurã Sallen-Key
Filtre analogice 54
De asemenea, ºi la acest tip de filtru pot fi folosite ipoteze simplificatoare pentru
dimensionarea circuitului: C1 = C2 = C ºi k = 1.
Circuitul astfel obþinut este ilustrat în figura 45.
Funcþia de transfer a acestui circuit este:
221
221
11211
1)(
CRRPCRP
PH
tt ωω⋅+⋅+
=
Prin identificarea coeficienþilor gãsim:
221
21
1
1
1
2
1
CRRb
CRa
A
t
t
ω
ω
=
=
=∞
Valorile rezistenþelor R1 ºi R2 se calculeazã dupã alegerea valorii capacitãþii C cu
relaþiile:
1
12
1
1
4
1
Cbfa
R
CafR
t
t
π
π
=
=
O altã condiþie simplificatoare folositã ºi în cazul filtrelor trece jos este: R1 = R2 = R
ºi C1 = C2 = C ºi gãsim :
12
1
bfRC
tπ= ºi
1
13b
akA −==∞ .
Fig. 45 Filtru trece sus structurã Sallen-Key ºi amplificare unitate
Filtre analogice 55
Filtru trece bandã
Schema filtrului trece bandã este prezentatã în figura 46.
Funcþia de transfer a circuitului este:
( ) 220
220
0
31)(
PCRPkRC
PkRCPH
ωωω
+−+=
Dupã identificarea coeficienþilor gãsim:
- frecvenþa de rezonanþã: RC
fπ2
10 =
- amplificarea la rezonanþã: k
kAr −
=3
- coeficientul de calitate: k
Q−
=3
1.
Avantajul acestui circuit este cã se poate modifica coeficientul de calitate Q fãrã a
afecta frecvenþa de rezonanþã. Un dezavantaj ar fi faptul cã factorul de calitate Q ºi
amplificarea Ar nu se pot alege independent.
Trebuie de asemenea avutã atenþie la valoarea lui k deoarece când aceasta se
apropie de valoarea 3, amplificarea devine infinitã ºi circuitul intrã în oscilaþie.
Fig. 46 Filtru trece bandã structurã Sallen-Key