CAPITOLO 20

L’utilità attesa come strumento decisionale normativo

• Una giustificazione della procedura del modello dell’utilità attesa

• Quale tipo di comportamento è ragionevole?

• I motivi per essere sospettosi

• ARGOMENTI DI QUESTA LEZIONE (1)

• Questa lezione analizza il modello dell’utilità attesa dal punto di vista normativo ossia di strumento decisionale. Il protagonista non è un decisore astratto, ma siete voi.

• Giustifichiamo l’utilizzo del modello dell’utilità attesa presentando cinque assiomi qualitativi relativi al comportamento che, se verranno da voi accettati, implicano che dovreste prendere decisioni in condizioni di incertezza massimizzando la vostra utilità attesa.

• Giustificazione della procedura del modello dell’utilità attesa (1)

• Negli esempi che presentiamo i premi sono sempre monetari, ma ciò che dimostriamo vale in generale per le scommesse caratterizzate da probabilità oggettive e qualsiasi tipo di premi.

• Nell’insieme dei possibili oggetti di scelta introduciamo anche le lotterie composte, sequenza di eventi casuali prima di giungere al premio

1/3

€ 400

€ 500

€ 0

- € 50

- € 60

0,51/6

0,5

0,5

0,5

1/6

1/6

1/6

- € 40

€ 500

Esempio di lotteria composta (2)Se esce 1 o 2, vincete € 500, se esce il 3, lanciamo in aria una moneta: se esce testa vincete € 400, se esce croce rilanciamo la moneta; se esce testa ottenete € 500, se esce croce non vincete nulla. Se nel primo lancio del dado fate 4, 5 o 6, pagate € 10 per ogni unità del numero che esce.

• Giustificazione della procedura del modello dell’utilità attesa (2)

• Vi chiediamo di confrontare le scommesse a due a due e di indicare se considerate la prima altrettanto vantaggiosa della seconda e se ritenete che la seconda sia altrettanto vantaggiosa della prima:

1. non precludiamo la possibilità che formuliate lo stesso giudizio per entrambe le scommesse, nel qual caso siete indifferenti tra le due;

2. non precludiamo la possibilità, per ora, che non siate disposti a esprimere un giudizio né in un senso né nell’altro;

3. quando affermate che la scommessa A è altrettanto vantaggiosa di B, ma non affermate che B è altrettanto vantaggiosa di A preferite strettamente A a B.

4. Ipotizziamo che vogliate correlare le vostre preferenze con le vostre scelte nel seguente modo: se dovete scegliere una scommessa all’interno di un insieme, ne scegliete una che giudicate altrettanto vantaggiosa di tutte le altre

• Giustificazione della procedura del modello dell’utilità attesa (3)

• Che cosa possiamo aggiungere a proposito delle vostre preferenze?

• Vi presentiamo un elenco di cinque proprietà che potrebbero avere: domandatevi se volete che le vostre preferenze le soddisfino.

1. riduzione delle scommesse composte. – Siete indifferenti nella scelta tra qualsiasi

scommessa composta e la scommessa semplice (a una fase) cui quella composta si riduce applicando le regole della teoria delle probabilità

• Giustificazione della procedura del modello dell’utilità attesa (4)

2. Completezza: per qualsiasi coppia di scommesse A e B, siete disposti a ritenere che A sia altrettanto vantaggiosa di B oppure che B sia altrettanto vantaggiosa di A.

– Per la maggior parte delle persone è difficile esprimere preferenze, ma vogliamo solamente sapere se desiderate essere in grado di esprimere un giudizio per ogni coppia di scommesse e non se effettivamente siete in grado di farlo.

3. Transitività: Se ritenete che la scommessa A sia altrettanto vantaggiosa della scommessa B, e che B sia altrettanto vantaggiosa di C, allora ritenete che A sia per voi altrettanto vantaggiosa di C.

– La transitività non dovrebbe crearvi problemi

• Giustificazione della procedura del modello dell’utilità attesa (5)

4. Continuità: supponiamo che A≥B≥C allora esiste una probabilità p tale che:

(A,C; p,(1-p))~ B

• Giustificazione della procedura del modello dell’utilità attesa (6)

5. Sostituzione: • Supponiamo A sia strettamente meglio di B. • Considerate qualsiasi altra scommessa C e qualsiasi

probabilità p > 0 e costruite le due seguenti scommesse composte:

– D porta alla scommessa A con probabilità p e alla scommessa C con probabilità 1 p;

– E porta alla scommessa B con probabilità p e alla scommessa C con probabilità 1 p.

• Secondo questa proprietà poiché preferite strettamente A a B e poiché p > 0, dovete preferire D a E.

• Giustificazione della procedura del modello dell’utilità attesa (7)

• Se decidete che queste cinque proprietà sono desiderabili, possiamo offrirvi una sorprendente conclusione:

• Qualsiasi insieme di preferenze tra scommesse conforme alle cinque proprietà precedenti è coerente con il modello dell’utilità attesa nel senso che una scommessa viene preferita a un’altra se e solo se la prima fornisce un’utilità attesa maggiore, data la funzione di utilità U definita per la gamma dei premi.

• Inoltre, qualsiasi insieme di preferenze conforme alla massimizzazione dell’utilità attesa per una data funzione di utilità U deve rispettare le cinque suddette proprietà.

• Giustificazione della procedura del modello dell’utilità attesa (8)

• Quindi, se ritenete che queste cinque proprietà siano desiderabili in termini normativi, volete scegliere massimizzando l’utilità attesa sulla base di una determinata funzione di utilità U.

• In prospettiva normativa, vi proponiamo (e voi accettate, se ritenete che le cinque proprietà siano desiderabili ai fini di un valido processo decisionale) di utilizzare esplicitamente i calcoli dell’utilità attesa per migliorare il vostro processo decisionale, altrimenti fallibile, in condizioni di incertezza.

• Rimane da calcolare la vostra personale funzione di utilità U

1 € 6.000(A) (B)0,8 € 10.000

0,5€ 10.000

0,5€ 3.800

(C) (D)0,5

€ 13.0000,3

€ 4.000

0,2 - € 5.000

€ 6.0000,32

€ 15.000

(E)

0,07 - € 7.500

0,32

0,2

0,23 € 1.000

€ 2.000

Supponiamo che dobbiate scegliere tra le scommesse della figura seguente

Il calcolo della vostra funzione di utilità (2)

• Ricaviamo la vostra funzione di utilità per tale gamma di premi (3)

2. Quale somma di denaro certa sarebbe per voi altrettanto vantaggiosa di una scommessa in cui ricevete € 15.000 con probabilità ½ oppure ricevete € 2.000 con probabilità ½?

• Supponete che questo valore sia € 7.500.3. Quale somma di denaro ricevuta per certo sarebbe

per voi altrettanto vantaggiosa di una scommessa in cui perdete € 7.500 con probabilità pari a ½ o ricevete € 2.000 con probabilità pari a ½?

• Supponiamo che la risposta sia - € 3.000.• Il neretto indica che dovete sostituire la somma

evidenziata con la risposta che avete dato alla domanda precedente.

• Ricaviamo la vostra funzione di utilità per tale gamma di premi (4)

• Ottenute le risposte a queste tre domande, possiamo iniziare a costruire la vostra personale funzione di utilità.

• Determiniamo la scala in modo tale che – U(15.000) = 1 – U(7.500) = 0.

• La prima risposta che avete dato stabilisce che, su tale scala – U(2.000) = 0,5.

• Per quale motivo? • Perché una scommessa in cui ottenete i premi € 15.000 o -€

7.500, ciascuno con probabilità ½, corrisponde all’utilità attesa 0,5 sulla scala che abbiamo fissato e questa scommessa è per voi indifferente rispetto alla somma sicura di € 2.000.

• Ricaviamo la vostra funzione di utilità per tale gamma di premi (5)

• La vostra seconda risposta stabilisce che su questa scala – U(7.500) = 0,75 e

• la vostra terza risposta stabilisce che – U(3.000) = 0,25.

• Per quale motivo? • Perché, se U(2.000) = 0,5, allora una scommessa con i premi

ugualmente probabili € 15.000 e € 2000 corrisponde all’utilità attesa (0,5)[1] + (0,5)[0,5] = [0,75] e voi siete indifferenti tra questa scommessa e la somma certa di € 7.500.

• La scommessa con premi - € 7.500 o € 2.000, ciascuno con probabilità ½, corrisponde all’utilità attesa 0,25 e voi siete indifferenti tra questa scommessa e la perdita sicura di € 3.000.

0,25

0,5

0,75

1

-€5.000 €0 €5.000 €10.000 €15.000

Possiamo indicare in un grafico i cinque punti della vostra funzione di utilità e a partire da questi punti possiamo tracciare un’approssimazione della vostra funzione di utilità

• I motivi per essere sospettosi (1)• Esistono comunque alcuni buoni motivi per

essere sospettosi nei confronti della desiderabilità normativa dell’adozione del modello dell’utilità attesa.

• Per esempio:

Gli effetti di portafoglio

• I motivi per essere sospettosi (2)• Gli effetti di portafoglio• Supponiamo che possediate un portafoglio di azioni

comprendente un dato numero di azioni della Ford• Il vostro intermediario di borsa vi consiglia di

speculare sulle opzioni di acquisto della suddetta società. Acquistando le opzioni, otterrete un guadagno quando le azioni della Ford andranno bene e perderete quando il loro prezzo scenderà.

• Potreste considerare le conseguenze della speculazione che vi è stata proposta come una scommessa, quindi confrontarne l’utilità attesa con l’utilità attesa di investire il vostro denaro in altro modo.

• I motivi per essere sospettosi (3)• Questa tuttavia non è la procedura corretta da

seguire, in quanto il guadagno derivante da tale scommessa è direttamente correlato al valore del vostro portafoglio di azioni:

– nei periodi in cui siete relativamente più ricchi, questa scommessa vi offre un buon rendimento;

– nei periodi in cui siete relativamente più poveri, vi fornisce rendimenti scarsi.

– In altri termini, questo rischio incrementa il rischio che state già affrontando.

– In tali casi non potete valutare il rischio isolatamente, ma dovete considerarlo in combinazione con il vostro intero portafoglio di attività.

• I motivi per essere sospettosi (4)• Questo tipo di problema non è limitato agli

investimenti finanziari. • In molti casi il valore che attribuite ai premi dipende

dallo “stato” in cui ricevete il premio:• Se confrontate due iniziative imprenditoriali che

hanno esattamente la stessa distribuzione di probabilità dei premi, ma differiscono perché

– il guadagno di una è maggiore nei periodi migliori e

– il guadagno dell’altra è maggiore nei periodi peggiori,

• forse attribuite un valore maggiore alla seconda.

• I motivi per essere sospettosi (5)• Che cosa è accaduto alle cinque proprietà in

questi esempi? Perché non sono più valide? • Nessuna delle cinque proprietà è errata, ma è

l’intero approccio al problema che è criticabile. • Il punto di partenza di questo approccio consiste

nell’affermare che, dinnanzi a una scommessa, tutto ciò che importa sono i premi e le probabilità

• In questi esempi non è corretto adottare tale atteggiamento, in quanto lo “stato di natura” influisce sul valore che voi attribuite ai premi

• Due scommesse con premi e probabilità identici potrebbero apparirvi piuttosto diverse se vi offrissero i premi in circostanze molto diverse