cap 15 oscilacoes

ONDAS – Cap 15: Oscilações - Prof. Wladimir 1

OSCILAÇÕES 15.1. Introdução: As Oscilações estão presentes no nosso dia a dia como o vento que balança uma linha de transmissão elétrica, as vibrações da membrana de um alto-falante, ou de um instrumento de percussão. Um terremoto faz vibrar as edificações ocasionando danos. Neste estudo, nos preocuparemos com um movimento básico chamado movimento harmônico simples (MHS).

15.2. Movimento Harmônico Simples: Freqüência ( f ): número de oscilações completadas em um certo tempo. Se este tempo for de 1 s: Unidade (SI): hertz (Hz) 1hertz = 1Hz = 1 oscilação por segundo = 1s-1 Período (T): tempo necessário para uma oscilação completa (ciclo).

fT 1

Movimento periódico ou harmônico: qualquer movimento que se repete a intervalos regulares. Para um mhs, o deslocamento x da partícula a partir da origem é dado como uma função do tempo por:


)cos()( tmxtx ,,mx são as constantes amplitude máxima,

velocidade angular e constante de fase (ângulo de fase) respectivamente.

A freqüência angular é calculada por: f

T

2 2

A velocidade de uma partícula em MHS é dada por:

( )( ) cos( )mdx t dv t x t

dt dt

ou ( ) ( )mv t x sen t

A aceleração no MHS será ( )( ) ( )m

dv t da t x sen tdt dt

ou ( ) cos( )ma t x t 2

Usando as equações da posição ( )x t e ( )a t tem-se:

( ) ( )a t x t 2

15.3. A Lei de Força para o Movimento Harmônico Simples


Se combinarmos a segunda lei de Newton com a aceleração encontrada anteriormente, teremos:

( )F ma m x 2 Este resultado é familiar, a lei de Hooke,

F kx para uma mola, a constante elástica será:

k m 2

A freqüência angular do movimento harmônico

simples do bloco está relacionada à constante elástica k e a massa m do bloco por:

km

E o período, está relacionado com a velocidade angular

mTk

2 2

Exemplo 15.1 Um bloco cuja massa m é igual a 680g está preso a uma mola cuja constante elástica é /k N m 65 . O bloco é puxado sobre uma superfície sem atrito por uma distância x cm11 a partir de sua posição de equilíbrio em x 0 e solto do repouso em t 0 . (a) determine a freqüência angular, a freqüência e o período do movimento resultante? (b) Qual é a amplitude da oscilação? (c) Qual a velocidade máxima? (d) Qual o módulo ma da aceleração máxima do bloco? ( , / ; , ; , ; ; , / ; / ; )rad s Hz s cm m s m s29 78 1 56 0 64 11 1 1 11 .


15.4. Energia no Movimento Harmônico Simples Num oscilador harmônico a energia mecânica ( )E K U se conserva.

( ) cos ( )mU t kx kx t 2 2 21 12 2 e

( ) ( )mK t mv kx sen t 2 2 21 12 2

considerando que cos sen 2 2 1, temos:

cos ( ) ( )m mE K U kx t kx sen t 2 2 2 21 12 2

mE kx 212

Exercício: (a) Qual a energia mecânica E do oscilador linear do exercício anterior? (inicialmente, a posição do bloco é x=11cm e sua velocidade é v=0. a constante elástica k=65N/m. (0,393J)

(b) Qual é a energia potencial U e a energia cinética K do oscilador quando o bloco estiver em x=1/2xm? (0,098J e 0,30J) 15.5. Um Oscilador Harmônico Simples Angular Pêndulo de Torção – oscilador angular em que o elemento elástico está associado à torção no fio. A rotação do disco de um ângulo em ambos os sentidos introduz um torque restaurador dado por:

k


Comparando k com F kx , podemos ver que esta é a forma angular da lei de Hooke. Substituindo a massa m pelo seu equivalente, o momento de inércia do disco, temos:

kIT 2

que é a equação para o período de um oscilador harmônico simples angular, ou pêndulo de torção. Exercício: A figura (a) ao lado mostra uma haste fina cujo comprimento L é 12,4 cm e cuja massa m é 135g, suspensa a partir do seu ponto médio por um fio longo. O momento de inércia da barra é dado por 2

121 mLI a e o período aT do

seu MHS angular é medido como sendo 2,53s. Um objeto (b) de forma irregular, o qual chamamos de X, é então pendurado no mesmo tipo de fio e o seu período bT é igual a 4,76s. Qual é o momento de inércia do objeto X em torno do seu eixo de suspensão? (6,12x10-4kg.m2).


15.6. Pêndulos Pêndulo Simples: Composto de uma partícula de massa m suspensa em uma das extremidades de um fio inextensível de massa desprezível e comprimento L. O torque )( Fr pode ser escrito como:

)sen( gFL Onde o sinal (-) indica que atua reduzindo . Sabemos que )( I , o que permite escrever:

ImgL )sen( Supondo o ângulo pequeno, de modo que sen , simplificamos a equação para:

I

mgL

Comparando I

mgL com )()( 2 txta que tem sua

equivalente 2 , de onde se deduz ImgL . Usando

a expressão T 2

, teremos:

mgLIT 2

O momento de inércia da massa do pêndulo, para pequenas amplitudes, é dada por )( 2mL , logo:

gLT 2


Pêndulo Físico: A análise é a mesma do pêndulo simples trocando L por h. Assim:

mghIT 2

Qualquer pêndulo físico que oscila com um período T em torno de um dado ponto pivô O corresponde a um pêndulo simples de comprimento L0 e com o mesmo período T. O ponto ao longo do pêndulo físico a uma distância L0 do ponto O é chamado de centro de oscilação do pêndulo físico. Exercício: Na figura ao lado, uma régua de um metro oscila em torno de um ponto de pivô em sua extremidade, a uma distância h do centro de massa da régua. (a) Qual o período de oscilação do pêndulo? (b) Qual é à distância L0 entre o ponto pivô da régua e seu centro de oscilação? Use 2

31 mLI . (1,64s; 66,7cm).


15.7. Movimentos Harmônicos Simples e Movimento Circular Uniforme O movimento harmônico simples é a simples projeção do movimento circular uniforme sobre um diâmetro do círculo no qual o movimento circular ocorre. Na figura (a), a projeção da partícula ,P sobre o eixo x é um ponto P , o qual consideramos como uma segunda partícula. A projeção do vetor posição da partícula

,P sobre o eixo x fornece a localização )(tx de P . Assim encontramos

)cos()( txtx m , que nos leva a velocidade

)()( tsenxtv m e aceleração

)cos()( 2 txta m


15.8. Movimento Harmônico Simples Amortecido Quando o movimento de um oscilador é reduzido por uma força externa, dizemos que o oscilador e seu movimento são amortecidos. Suponha que o líquido exerça um força de amortecimento aF proporcional a velocidade v da pá e do bloco. Então, para componentes ao longo do eixo x temos,

bvFa ,

onde b é uma constante de amortecimento que depende das características da pá e do líquido, com unidades

skg / (SI). A força exercida pela mola sobre o bloco é kxFm . Supondo a força da gravidade desprezível em relação a

aF e mF , podemos escrever a segunda lei de Newton para as componentes ao longo do eixo x.

makxbvF xres ,

Substituindo v por dtdx / e a por 22 / dtxd e rearranjando, obtemos a equação diferencial

02

kxdtdxb

dtxdm ,


A solução da equação anterior é )cos()( ,2/ textx mbt

m

A freqüência angular será 2

2,

4mb

mk

Se 0b (sem amortecimento) mk

,

A energia mecânica para o oscilador não amortecido é

constante e igual a 2

21

mkxE

Para o oscilador amortecido, a energia mecânica diminui com o tempo. Se o amortecimento é pequeno, podemos considerar a energia como:

mbtmekxtE /2

21)(

Exercício: Para o oscilador amortecido, considere gm 250 , mNk /85 e

sgb /70 . (a) Qual é o período do movimento? (b) Quanto tempo leva para a amplitude das oscilações amortecidas cair até a metade do seu valor inicial? (c) Quanto tempo leva para que a energia mecânica se reduza à metade de seu valor inicial? (0,34s; 5,0s; 2,5s)

Lista de exercícios do Capítulo 15 – 7ª Edição

ONDAS – Cap 15: Oscilações - Prof. Wladimir 111. Em um barbeador elétrico, a lâmina se move para frente e

para trás ao longo de uma distância de 2,0mm em movimento harmônico simples, com freqüência de 120Hz. Encontre (a) a amplitude, (b) a velocidade máxima da lâmina e (c) o módulo da aceleração máxima da lâmina.

3. Uma partícula com massa de 1,00x10-20kg oscila com

movimento harmônico simples com período de 1,00x10-5s e uma velocidade máxima de 1,00x103m/s. Calcule (a) a freqüência angular e (b) o deslocamento máximo da partícula.

5. Um oscilador consiste em um bloco de massa 0,500kg

conectado a uma mola. Quando posto em oscilação com amplitude de 35,0cm, o oscilador repete seu movimento a cada 0,500s. Encontre (a) o período, (b) a freqüência, (c) a freqüência angular, (d) a constante elástica, (e) a velocidade máxima e (f) a intensidade da força máxima que a mola exerce sobre o bloco.

7. Um objeto executando movimento harmônico simples leva 0,25s para se deslocar de um ponto de velocidade nula para o próximo ponto desse tipo. A distância entre esses pontos é 36cm. Calcule (a) o período, (b) a freqüência (c) a amplitude do movimento.

9. A função ( , ) cos[( / ) / ]x m rad s t rad 6 0 3 3 descreve o movimento harmônico simples de um corpo em ,t s 2 0 , qual são (a) o deslocamento, (b) a velocidade, (c) a aceleração e (d) a fase do movimento? Quais são também (e) a freqüência e (f) o período do movimento?

13. Um alto-falante produz um som musical por meio da oscilação de um diafragma cuja amplitude é limitada a , m1 00 . (a) Em que freqüência o módulo da aceleração a do

diafragma é igual a g . (b) Para freqüências maiores, a é maior ou menor que g ?

17. Um oscilador consiste em um bloco preso a uma mola (k=400N/m). Em determinado tempo t, a posição (medida a

ONDAS – Cap 15: Oscilações - Prof. Wladimir 12partir da posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco são ,x m 0 100 , , /v m s 13 6 e a aceleração /a m s 2123 . Calcule (a) a freqüência de oscilação, (b) a massa do bloco e (c) a amplitude do movimento.

29. Encontre a energia mecânica de um sistema bloco-mola que possui uma constante elástica de 1,3N/cm e uma amplitude de 2,4cm.

33. Um objeto de 5,00kg encontre-se sobre uma superfície horizontal sem atrito ligado a uma mola com k=1000N/m. O objeto é deslocado horizontalmente 50,0cm a partir de sua posição de equilíbrio e lhe é dada uma velocidade inicial de 10,0 m/s direcionada de volta à posição de equilíbrio. Quais são (a) a freqüência do movimento, (b) a energia potencial inicial do sistema bloco-mola, (c) a energia cinética inicial e (d) a amplitude do movimento?

35.Uma partícula de 10g executa um mhs com uma amplitude de 2,0mm, uma aceleração máxima de módulo 8,0x103m/s2 e uma constante de fase desconhecida .Quais são (a) o período do movimento, (b) a velocidade máxima da partícula e (c) a energia mecânica total do oscilador? Qual é a intensidade da força sobre a partícula quando ela está (d) em seu deslocamento máximo e (e) na metade do seu deslocamento máximo?

39. O balancim de um relógio oscila com amplitude angular rad e período 0,500s. Encontre (a) a velocidade angular máxima kdo balancim, (b) a velocidade angular no deslocamento de rad

2 e (c) o módulo da aceleração angular no

deslocamento de rad4 .

41. No problema resolvido 15-5 vimos que um pêndulo físico possui um centro de oscilação a uma distância /L2 3do seu ponto de suspensão. Mostre que a distancie entre o ponto de suspensão e o centro de oscilação para um pêndulo de qualquer


formato é I

mh , onde I e h têm os significados atribuídos a eles

na equação 15-29 e m é a massa do pêndulo.

45. Um pêndulo físico consiste em uma régua de um metro

cujo pivô passa por um pequeno furo feito na régua a uma distância d da marca de 50cm. O período de oscilação é 2,5s. Encontre d.

51. Na figura ao lado, uma haste de comprimento ,L m1 85

oscila como um pêndulo físico. (a) Que valor da distância x entre o centro de massa da haste e o seu ponto de pivô O fornece o menor período? Qual é este período mínimo?

59. Na figura 15-15, o bloco possui massa de 1,50kg e a

constante elástica da mola é 8,00N/m. A força de amortecimento é dada por /( / )b dx dt , onde /b g s 230 . O bloco é puxado 12,0cm para baixo e liberado. (a) Calcule o tempo necessário para a amplitude das oscilações resultantes decaírem a um terço de seu valor inicial. (b) Quantas oscilações são efetuadas pelo bloco neste tempo?

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