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Educatio Siglo XXI, Vol. 29 nº 2 · 2011, pp. 173-198 173 Investigación en Educación Matemática: objetivos, cambios, criterios, método y difusión MODESTO S IERRA V ÁZQUEZ Universidad de Salamanca Resumen: La investigación en Educación Matemá- tica es un campo en continuo cambio y progreso. En este artículo se tratan los objetivos, los cambios recientes y los cri- terios de la investigación en Educación Matemática. En cuanto al método general utilizado, hay que señalar que la Educa- ción Matemática, al igual que el resto de las disciplinas referidas a la educación, aún disponiendo de un conjunto de es- trategias metodológicas para abordar su objeto de estudio, no tiene un método propio. A continuación, se trata la polémi- ca acerca de la investigación experimental versus investigación interpretativa, sin la pretensión de resolverla pero sí de arro- jar luz sobre ella. Asimismo se presentan sumariamente los medios de difusión de la investigación en Educación Matemática. Se expone brevemente un ejemplo de in- vestigación sobre análisis de libros de tex- to. La conclusión es que la investigación en Educación Matemática es una discipli- na fronteriza que ha integrado métodos de otras disciplinas, lo que ha contribuido a realizar trabajos que han acrecentado de modo progresivo y acumulativo los cono- cimientos acerca de los métodos de ense- ñanza y de los problemas del aprendizaje de las Matemáticas. Palabras claves: Investigación en Educación Matemática. Abstract: The research in Mathematics Education is a scientific field characterized by continu- ous change and progress. The aim of this paper is to describe the objectives, the current changes, and the criteria of this research field. With regard to the meth- odology, it is necessary to say that, simi- lar to studies about other topics referred to teaching, the research in Mathemat- ics Education does not have a particular methodology, although it has a set of own methods to study its subject matter. Next, it is discussed the controversy on experi- mental research versus interpretative re- search with the aim to shed some light on them. Finally, it is presented an exposition about the spread of works on Mathematics Education and an example of the research in analysis of textbooks . We conclude that the research in Mathematics Educa- tion is an interdisciplinary field that has integrated different methods from other disciplines; this has contributed signifi- cantly to new works that have increased the knowledge about teaching methods and learning problems in Mathematics. Keywords: Research in Mathematics Education.

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  • Educatio Siglo XXI, Vol. 29 n 2 2011, pp. 173-198 173

    Investigacin en Educacin Matemtica: objetivos, cambios, criterios, mtodo y difusinMODESTO S IERRA VZQUEZUniversidad de Salamanca

    Resumen:La investigacin en Educacin Matem-tica es un campo en continuo cambio y progreso. En este artculo se tratan los objetivos, los cambios recientes y los cri-terios de la investigacin en Educacin Matemtica. En cuanto al mtodo general utilizado, hay que sealar que la Educa-cin Matemtica, al igual que el resto de las disciplinas referidas a la educacin, an disponiendo de un conjunto de es-trategias metodolgicas para abordar su objeto de estudio, no tiene un mtodo propio. A continuacin, se trata la polmi-ca acerca de la investigacin experimental versus investigacin interpretativa, sin la pretensin de resolverla pero s de arro-jar luz sobre ella. Asimismo se presentan sumariamente los medios de difusin de la investigacin en Educacin Matemtica. Se expone brevemente un ejemplo de in-vestigacin sobre anlisis de libros de tex-to. La conclusin es que la investigacin en Educacin Matemtica es una discipli-na fronteriza que ha integrado mtodos de otras disciplinas, lo que ha contribuido a realizar trabajos que han acrecentado de modo progresivo y acumulativo los cono-cimientos acerca de los mtodos de ense-anza y de los problemas del aprendizaje de las Matemticas. Palabras claves:Investigacin en Educacin Matemtica.

    Abstract:The research in Mathematics Education is a scientific field characterized by continu-ous change and progress. The aim of this paper is to describe the objectives, the current changes, and the criteria of this research field. With regard to the meth-odology, it is necessary to say that, simi-lar to studies about other topics referred to teaching, the research in Mathemat-ics Education does not have a particular methodology, although it has a set of own methods to study its subject matter. Next, it is discussed the controversy on experi-mental research versus interpretative re-search with the aim to shed some light on them. Finally, it is presented an exposition about the spread of works on Mathematics Education and an example of the research in analysis of textbooks . We conclude that the research in Mathematics Educa-tion is an interdisciplinary field that has integrated different methods from other disciplines; this has contributed signifi-cantly to new works that have increased the knowledge about teaching methods and learning problems in Mathematics.

    Keywords:Research in Mathematics Education.

  • Investigacin en Educacin Matemtica: objetivos, cambios, criterios, mtodo y difusinMODESTO SIERRA VZQUEZ

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    Rsum:La recherche en Didactique des Mathmatiques est un champ qui continuellement est en plein dveloppement. Dans cet article on parlera des objectifs, des recentes change-ments et de critres de la recherche en Didactique des Mathmatiques. Au sujet de la mthode gnrale utilise, il faut souligner que la recherche en Didactique des Math-matiques, au mme titre que le reste des disciplines relatives la ducation, mme si lon dispose dun ensemble de stratgies mthodologiques pour aborder lobjet de son tude, il nexiste pas une mthode propre. Ensuite, on parlera de polemque entre la recherche exprimentale et la recherche interprtative, sans pretender solutionner le problme mais en clairant un peu la solution. On prsentera sommairement les moyens de diffusin de la recherche en Didactique des Mathmatiques. On exposera brivement un exemple de analise des manuels scolaires. On concluira en affirmant que l recherche en Didactique des Mathmatiques est une discipline qui a intgre des mthodes dinvestigations diffe-rntes ce qui a permis de raliser des investigations qui ont acredites, de faon progres-sive et accumulative, les connaissances au sujet de de son tude.Mots cles:Recherche en Didactique des Mathmatiques.

    Fecha de recepcin: 29-03-2011Fecha de aceptacin: 14-04-2011

    1. Introduccin

    Todo campo del saber, si no desea quedar obsoleto, necesita acrecen-tar de modo progresivo y acumulativo los conocimientos acerca de su objeto de estudio o, al menos, tener una cierta voluntad de ello. Ese es precisamente el objetivo fundamental de la investigacin en ciencia factual y, en particular, de la investigacin en nuestra disciplina. Adems es un valor convencional en ciencia realizarlo de modo reglado o con un cierto mtodo.

    Entre los trabajos anteriores dedicados a la Investigacin en Educa-cin Matemtica tenemos los de Rico y Sierra (1994) sobre la historia de la educacin matemtica en Espaa en el siglo XX, con datos importan-tes sobre la incipiente investigacin en los aos 70 y 80 del siglo pasado; Rico y Sierra (2000) y Rico, Sierra y Castro (2000) sobre la investigacin en Educacin Matemtica y, en particular, en Espaa; Torralbo, Fernn-dez Cano, Rico, Maz y Gutirrez (2003) y Vallejo, Torralbo, Fernndez y Maz (2007), sobre la produccin cientfica de tesis doctorales; Llinares (2008) sobre el impacto internacional de las publicaciones de investi-gadores espaoles. Nos hemos limitado a citar los que consideramos ms significativos, pero destacamos que existen otros trabajos sobre este asunto. En el Volumen 29 (1) de esta misma Revista Educatio Siglo XXI,

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    Blanco (2011) ha realizado un recorrido por la investigacin en Edu-cacin Matemtica en Espaa, por lo que en este artculo presentar algunos aspectos ms tcnicos de dicha investigacin. As, en lo que sigue se tratan previamente los objetivos, los cambios recientes y los criterios de la investigacin. En cuanto al mtodo general utilizado, hay que sealar que la Educacin Matemtica , al igual que el resto de las disciplinas referidas a la educacin, an disponiendo de un conjunto de estrategias metodolgicas para abordar su objeto de estudio, no tiene un mtodo propio sino que como seala Gutirrez (1991).

    la investigacin en este rea se encuentra situada en una posicin inter-

    media entre las investigaciones de los diversos campos cientficos que tienen

    que ver con la enseanza y aprendizaje de las Matemticas (p.150).

    Finalmente presentaremos brevemente los medios de difusin de la investigacin en Educacin matemtica y terminaremos con un ejemplo de investigacin.

    2. Objetivos, cambios y criterios en la Investigacin en Educacin Matemtica

    2.1. Objetivos generales de la investigacin en Educacin Matemtica

    Es claro que la fijacin de objetivos generales en investigacin (y, consi-guientemente, la metodologa a utilizar) depende de la propia concep-cin de la Educacin Matemtica, considerada bien como ciencia bsi-ca (tal vez con un corpus de doctrina independiente), bien como ciencia aplicada, bien como pura tecnologa (conjunto de tcnicas ptimas y efectivas para transmitir y facilitar la adquisicin de conocimientos y habilidades), o bien como una mezcla de esas tres concepciones. Esas concepciones existen actualmente (explicita o implcitamente declara-das por los autores) en el campo de Educacin Matemtica y marcan efectivamente los objetivos de la investigacin. As, en lo que posible-mente fuese el primer tratado sistemtico sobre investigacin en esta dis-ciplina, Begle et al (1980), con un concepcin entre ciencia pura y apli-cada, consideran que la investigacin debe estar inspirada a la vez en la realidad escolar y en los aspectos tericos, y escribe que debe referirse

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    a una variedad de objetivos, comprendiendo entre otros, el estudio de:a) los estilos cognitivos, caractersticas de la personalidad y habili-

    dades individuales de los alumnos y del profesor como fondo para una teora general sobre la enseanza-aprendizaje de las matem-ticas,

    b) los aspectos tericos del aprendizaje, enseanza y desarrollo del currculo,

    c) el desarrollo de modelos de toma de decisiones que se puedan usar en las escuelas para poder hacer elecciones inteligentes entre varias alternativas,

    d) la evaluacin de procedimientos instructivos, programas y mate-riales para predecir sus beneficios educativos,

    e) el desarrollo de productos educativos como currculos, test y esca-las de actitudes (p.8).

    Existe, sin embargo, una cierta unanimidad en aceptar que los obje-tivos de la investigacin en Educacin Matemtica no se reducen slo a conocer las circunstancias en las que la educacin matemtica ocurre, sino a determinar los conocimientos, medios y tcnicas para mejorar el proceso de enseanza-aprendizaje de las Matemticas (Kilpatrick, 1988).

    Por su partes Eisenhart (1988) escribe:Las cuestiones sobre las que investigar en educacin matemtica tien-

    den a ser cuestiones derivadas de la siguiente cuestin general: Cmo la

    enseanza y el aprendizaje de las matemticas pueden ser mejorados (be

    improved) (p. 100).

    Pues bien, el deseo de los investigadores de cumplir el objetivo, apa-rentemente compartido por todos, de investigar para mejorar efectiva-mente la enseanza de las Matemticas, ha hecho que se produzcan cambios en los contenidos de investigacin y en los procedimientos uti-lizados para estudiarlos, algunos de los cuales se exponen a continua-cin.

    2.2. Cambios en la investigacin en Educacin Matemtica

    Existe entre los investigadores en educacin matemtica la sensacin de que recientemente estn producindose cambios en las caractersticas de esa comunidad y un desplazamiento del inters hacia otro tipo de

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    problemas. En particular, Kilpatrick (1988) ya apunt que se est pro-duciendo un desplazamiento en el contenido y cambios en el estilo de investigacin. Esta apreciacin llega hasta nuestros das, de modo que el mismo Kilpatrick (2007) se reafirma en dichos cambios. Por lo que se refiere al contenido, Kilpatrick enumera cuatro tipos diferentes de cambios:s Aparicin de temas que no estaban presentes en la investigacin

    hace diez aos, como las diferencias en el aprendizaje por sexo, clase social o inmigracin, estudio de las ideas y creencias de los profesores, afectividad y matemticas y el estudio de las matem-ticas utilizadas fuera del contexto escolar. A mi juicio, se puede aadir el incremento de la investigacin en procesos de ensean-za-aprendizaje de las Matemticas en el nivel universitario.

    s Incremento en importancia de temas que ya estaban presentes en el pasado, tan variados como anlisis de errores, anlisis de la instruccin, problemas relacionados con el uso de ordenadores y nuevas tecnologas, la transicin de la aritmtica al lgebra, apren-dizaje y primera enseanza del Anlisis.

    s Mantenimiento de temas, como estudios acerca de la resolucin de problemas y razonamiento espacial.

    s Desaparicin de temas de gran impacto en el pasado, como los estudios de caracter piagetianos y la bsqueda de interacciones aptitudes-tratamiento. Sin embargo, es conocido, que han emergi-do teoras neopiagetianas como la teora APOS.

    En cuanto al estilo de plantear las investigaciones, Kilpatrick seal tres tipos de cambios. El primero se refiere a la tendencia a tratar aspectos

    fronterizos (como evaluacin, afectividad, uso de tecnologas, lenguaje, metacognicin, creencias de los profesores, formacin de profesores) frente a aspectos propios (como temas del currculum). El segundo, a la concepcin sobre aprendizaje (como construccin activa ms que pasi-va) y sobre el currculum (conjunto de experiencias ms que conjunto de conocimientos). El tercer cambio se refiere a aspectos epistemolgicos, y consiste en un nuevo punto de vista sobre la propia investigacin (y, en particular, respecto a los mtodos de llevarla a cabo). Este ltimo cam-bio ha consistido en el desplazamiento desde la investigacin emprico-analtica hacia la investigacin cualitativa-interpretativa.

    Finalmente, un problema de vital importancia en toda disciplina que

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    tenga como ltimo fin transformar (y no slo conocer) alguna parcela de la realidad, son las relaciones, no siempre obvias ni claras, entre teora y prctica. Ese problema se plantea en Educacin Matemtica en lo que es la relacin entre investigacin y la prctica cotidiana en el aula, y, como tal debe ser objeto de investigacin. Muestra de su trascendencia es la creacin del grupo internacional Systematic Cooperation Between Theory and Practice (SCTP), entre cuyos objetivos figura aportar solu-ciones a las relaciones entre investigacin y prctica diaria del profesor desde diferentes perspectivas.

    2.3. Criterios de la investigacin en Educacin Matemtica

    Todo campo especfico suele fijar aquellos criterios que un trabajo referido a su objeto de estudio ha de cumplir para ser aceptado como tal. En el contexto de la Educacin Matemtica suelen manejarse tres: el primer criterio es el de rigor, que Kilpatrick (1981) iguala a (posibilidad de) replicabilidad; el segundo es el de relevancia, significacin o inters; el tercero es el de validez.

    En general el rigor se refiere a los estndares que debe satisfacer una investigacin y as Kilpatrick (1981) escribe al respecto:

    Un estudio debe ser diseado para alcanzar un fin bien definido, usando

    tcnicas que otros puedan utilizar y permitiendo la validacin de los resulta-

    dos. El informe de un estudio riguroso debera contener una indicacin clara

    de las hiptesis realizadas, tanto al principio como al final del estudio. El

    investigador debera especificar las cuestiones subyacentes a la investigacin,

    presentando la evidencia caracterstica de cada cuestin, sugiriendo alguna

    explicacin alternativa plausible para los descubrimientos y sugiriendo, si es

    posible, qu alternativas son ms probables y cules menos. El informe del

    estudio debera contener tantos detalles sobre los procedimientos usados y la

    informacin reunida como lo permita el espacio disponible, y si es posible,

    el lector interesado debera tener la oportunidad de obtener detalles adicio-

    nales por otros medios (pp. 371-372).

    He incluido esta larga cita por lo que supone de declaracin de lo que debe ser una investigacin rigurosa en Educacin Matemtica.

    El segundo criterio es el de significacin (Klipatrick, 1981), relevancia o inters (Freudenthal, 1982). Por significacin se entiende el impacto que un estudio de investigacin puede tener sobre nuestro pensamiento

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    (Kilpatrick, 1981, p.372). As pues, una investigacin ser significativa si proporciona una nueva visin sobre el problema que se est consideran-do y ayuda a investigadores y profesores a identificar nuevas cuestiones. Freudenthal (1982) considera el inters o pertinencia como una relacin de la investigacin sobre enseanza con la enseanza misma. Por tanto, una investigacin ser pertinente si puede influir sobre la enseanza.

    El problema que se plantea en Educacin Matemtica es que, en oca-siones, rigor y significacin o pertinencia estn, metafricamente, en una cierta relacin de incertidumbre. Sucede a menudo que trabajos muy rigurosos, lo son por que han reducido demasiado el campo de estudio y controlado tan exhaustivamente las variables implicadas que, por tanto, sus resultados son difcilmente aplicables a situaciones rea-les; recprocamente, estudios que se interesan por problemas relevantes utilizan una clase de metodologa tan laxa y poco explcita que sus re-sultados son difcilmente replicables. Para ilustrar estas ideas, Kilpatrick (1981) realiz una comparacin entre las investigaciones realizadas en los aos sesenta en USA y en la antigua URSS en el campo de la educa-cin matemtica. La comparacin evidenci que muchas investigacio-nes en USA han tenido alto rigor y baja significacin, y que la excelente metodologa (basada en la utilizacin rigurosa de diseos experimenta-les y anlisis estadstico de datos) ha sido aplicada a problemas muchas veces irrelevantes. Los soviticos, en cambio, se han preocupado ms de la significacin de los problemas que del rigor.

    Sin embargo ambos criterios no son polos opuestos de un continuo, puesto que una investigacin puede tener ambas cualidades, una de ellas y no la otra, o ninguna de las dos. Es ms, hay que caer en la cuen-ta que los avances cientficos efectivos (en reas cientficas altamente desarrolladas) cumplen a la vez ambos criterios. Se debe tender a que las investigaciones en Educacin Matemtica optimicen ambos criterios, intentando crear nuevos instrumentos para evaluar aspectos del aprendi-zaje y pensamiento matemtico que sean significativos.

    El tercer criterio de calidad es la validez. La validez se refiere al modo en que justificamos las interpretaciones que hacemos de la investigacin.

    Rico (1999) (citando un trabajo Sierpinska y Kilpatrick (1993)) escri-be que estos autores establecen los de pertinencia, validez, objetividad, originalidad, rigor y precisin, capacidad para predecir, reproductibili-dad y relacin con las matemticas y su enseanza, que concreta en el siguiente cuadro:

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    Criterio Explicitacin

    PertinenciaPara qu o para quin es importante la investigacin? Qu se va a mejorar?Qu utilidad va a tener?

    ValidezCmo se justifica la interpretacin que se hace de la investi-gacin?Qu consecuencias se derivan?

    ObjetividadHasta qu punto es posible refutar las conclusiones y argumentos utilizados?

    OriginalidadHasta que punto la investigacin muestra ideas conocidas en una nueva perspectiva?

    Rigor y precisin

    Qu precisin tienen las observaciones realizadas? Con que exigencias se han llevado a cabo? Qu precisin tienen los criterios para interpretar las informa-ciones obtenidas?

    Predictibilidad

    Qu explicacin se deriva del estudio?Qu comprensin proporciona?Hasta que punto se anticipan las actuaciones de alumnos y profesores?

    Replicabilidad

    Estn claramente descritos los procedimientos utilizados?Sera posible para otro investigador replicar el estudio?Es pblica la totalidad de la informacin?

    ConexionesDe qu modo est relacionado el estudio con la matemtica y con la educacin?

    3. El Proceso de Investigacin en Educacin Matemtica

    A continuacin se expone el proceso (dinmico) de investigacin preco-nizado para estudiar los problemas educativos.

    Aparte del conocimiento (que se supone) de la literatura cientfica y experiencia, Johnson (1980) considera que antes de seleccionar un pro-blema y disear un estudio del mismo,

    la primera etapa en el proceso de investigacin es familiarizarse con la

    filosofa del campo de investigacin adems de con los trabajos de investi-

    gacin (p. 29).

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    Aunque todas las ciencias factuales aplican el mtodo cientfico en general, difieren en las tcticas o procedimientos concretos que usan para la resolucin de sus problemas particulares (Bunge, 1969). Ese con-junto de tcticas, en el lenguaje de M. Bunge, son los tipos de investi-gacin que, referidas al campo de la Educacin Matemtica, exponemos a continuacin. Hay que decir de antemano que, en el contexto de la educacin, existe una enorme variedad de taxonomas de los tipos de investigacin.

    Fox (1981) en su descripcin del proceso de investigacin en educa-cin establece diecisiete etapas, que coinciden en lo esencial con las propuestas por otros autores. Proponemos estas etapas porque han sido de utilidad para dirigir investigaciones en Educacin Matemtica.

    Como se aprecia, las etapas se clasifican en tres partes: la primera trata del diseo del plan de investigacin, la segunda de la ejecucin del Plan, y la tercera de la aplicacin de los resultados. Las etapas, aunque comienzan en momentos distintos, pueden solaparse en el tiempo de modo que se ejecuten simultneamente varias de ellas.

    Etapas del Plan de Investigacin (Fox, 1981, p. 56)

    PRIMERA PARTE: DISEO DEL PLAN DE INVESTIGACINEtapa 1. Idea o necesidad impulsora y rea problemticaEtapa 2. Examen inicial de la BibliografaEtapa 3. Definicin del problema concreto de la investigacinEtapa 4. Estimacin del xito potencial de la investigacin planteadaEtapa 5. Segundo examen de la bibliografaEtapa 6. Seleccin del enfoque de la investigacinEtapa 7. Formulacin de las hiptesis de la investigacinEtapa 8. Seleccin de mtodos y tcnicas de recogida de datosEtapa 9. Seleccin y elaboracin de los instrumentos de recogida de

    datosEtapa 10. Diseo del plan de anlisis de datosEtapa 11. Diseo del plan de recogida de datosEtapa 12. Identificacin de la poblacin y muestra a utilizarEtapa 13. Estudios pilotos del enfoque de recogida de datos, mtodos

    e instrumentos y del plan de anlisis de datos

    SEGUNDA PARTE: EJECUCIN DEL PLAN DE INVESTIGACINEtapa 14. Ejecucin del plan de recogida de datos

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    Etapa 15. Ejecucin del plan de anlisis de datosEtapa 16. Preparacin de los informes de la investigacin

    TERCERA PARTE: APLICACIN DE LOS RESULTADOSEtapa 17. Diseminacin de los resultados y propuestas de medidas

    de Actuacin

    Estas etapas generales se aplican a cada tipo de investigacin que, sin ser exhaustivos, se pueden clasificar en Educacin Matemtica en:

    a) Investigacin descriptiva o de examen (survey research) En las ciencias factuales desarrolladas, los problemas a resolver sue-

    len ser conocidos y estar planteados con relativa claridad, y, a la vez, las hiptesis y predicciones se derivan de teoras elaboradas (y, a menudo, formalizadas); en cambio, en la investigacin educativa la situacin es mucho mas confusa. De ah la necesidad de disponer de procedimientos para plantear claramente los problemas y elaborar hiptesis para resol-verlos. En particular, la llamada investigacin descriptiva se orienta hacia el presente y su objetivo es, generalmente, hacer una descripcin exacta de la situacin real del problema que se quiere investigar, de modo que permita, a partir de los datos obtenidos, generar hiptesis, sugerir vas de solucin, plantear problemas o tomar decisiones para investigaciones posteriores.

    b) Investigacin experimentalEn palabras de Bunge (1969): Experimento es aquella clase de expe-

    riencia cientfica en la cual se provoca deliberadamente algn cambio y se observa e interpreta el resultado con alguna finalidad cognoscitiva. En la versin dura y estricta, experimento es aquella experiencia cientfi-ca en la que seleccionadas dos variables (entre las que se sospecha que existe una relacin de causa a efecto) el experimentador, manteniendo constantes todas las dems, manipula la variable independiente (a ser posible cuantitativa) y registra el efecto de su variacin sistemtica sobre la variable dependiente (a ser posible cuantitativa). En la versin blanda, por experimento se entiende el procedimiento en el que se manipulan ciertas variables (llamadas variables independientes) y se observan sus efectos sobre otras (llamadas variables dependientes).

    Como es bien conocido, la experimentacin lleva consigo la compa-racin de diferentes grupos o tratamientos entre s. En todo experimento

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    son necesarios al menos dos grupos, llamados grupo experimental y gru-po de control. Al grupo experimental se le aplica el tratamiento previsto, mientras que al grupo de control no se le somete a ese tratamiento (o se le somete a un tratamiento placebo). El anlisis de los resultados indicar si existen diferencias (y si esas diferencias son estadsticamente significa-tivas) y si esas diferencias se deben a las variables correspondientes. La variable que define el cambio de grupo a grupo, se denomina variable independiente, tambin llamada experimental y es la que manipula el experimentador, generando cambios sistemticos para que pueda obser-varse el efecto de este cambio. La variable observada con el fin de com-probar qu le sucede como resultado de la manipulacin de la variable independiente, se denomina variable dependiente. En la situacin ideal el experimento se disea de tal modo que exista una relacin plausible entre las variables dependiente e independiente, en el sentido que se pueda concluir que la variacin de la variable dependiente se debe pre-cisamente a la variable independiente.

    c) Investigacin cualitativa o interpretativaLos procedimientos duros de recogida de datos y contrastacin de

    hiptesis (observacin sistemtica y experimentacin) son muy rigurosos, pero al exigir que se definan estrictamente (y a veces de modo cuantita-tivo) sus variables, reducen inevitablemente su campo de estudio y, por ello, en ocasiones carecen de pertinencia y significacin (en el sentido antes estudiado). Sacrifican su pertinencia al rigor y a la posibilidad de replicacin y de generalizacin. Esta afirmacin, cierta para reas par-ciales de las ciencias factuales (las reas en estado preteortico que no cuentan con un paradigma eficaz que gue su investigacin), es absolu-tamente cierta en el caso de la Educacin Matemtica. La idea de que los procedimientos experimentales y cuantitativos no capturan la com-plejidad del hecho educativo, el sentimiento de que reducen el objeto de estudio o de que sus resultados carecen de inters, y en ocasiones la impotencia y la falta de imaginacin, son motivos que llevan a muchos investigadores a abandonar las tcnicas tradicionales de recogida de da-tos y contrastacin y a elaborar y utilizar otras nuevas ms ajustadas al objeto de estudio, como suelen argumentar como principio comn. Este nuevo tipo de investigacin recibe denominaciones tan variadas como paradigma cualitativo, metodologa cualitativa, interpretativa, et-nogrfica, ecolgica, observacional, participativa, estudio de casos (con un significado clnico). Los distintos trminos corresponden a enfoques

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    ligeramente distintos, pero todos ellos comparten el principio comn antes citado.

    d) Investigacin histricaLa Historia de la Educacin Matemtica (que se inici en Alemania

    hacia 1880) forma parte tanto de la Educacin Matemtica como de la Historia de la Educacin, por lo que parece oportuno comenzar con una reflexin sobre esta ltima.

    La posicin establecida entre los historiadores de la educacin, com-partida por muchos investigadores, es que la Historia de la Educacin es, por la naturaleza de los mtodos que utiliza en su trabajo cientfico, una disciplina histrica especializada en un sector de la realidad, a sa-ber, el hecho educativo. La educacin, en su dimensin de pasado, es un hecho particular que forma parte de los sistemas sociales en los que se genera y de los que funcionalmente depende, por lo que su investi-gacin histrica debe ser contextualizada en el marco de una historia total y efectuada con las mismas herramientas historiogrficas, de lo que se sigue que la investigacin histrica de la educacin ha de responder a las caractersticas de la historiografa general, en cuyo mbito se han operado en los ltimos decenios cambios importantes. En este sentido, la mayor influencia ha sido ejercida por los movimientos historiogrficos franceses del primer tercio del siglo, en particular el iniciado por H. Berr y el grupo de la Revue de Synthse Historique que introdujo el anlisis comparativo y una decidida preocupacin por los temas sociales frente a la perspectiva exclusivamente idiogrfica del historicismo. Ese grupo fue el preludio de la aparicin de la escuela de los Annales, escuela que an hoy contina informando los modos de hacer historia de un buen nmero de investigadores. As pues, la investigacin histrica-educativa aparece condicionada en sus aspectos metodolgicos por los supuestos conceptuales que se acaban de mencionar. La inclusin de la Historia de la Educacin en el mbito de la ciencia histrica, como disciplina sectorial, lleva a la aceptacin de que su mtodo ha de ser el mtodo his-trico, que se objetiva en las fases conocidas convencionalmente como Heurstica, Crtica, Hermenetica y Exposicin.

    La investigacin sobre la historia de la educacin matemtica ini-ciada en Alemania en el ltimo cuarto del siglo XIX, fue impulsada por el prestigioso matemtico Felix Klein en el seno de la CIEM, aunque a partir de 1920 se produce la decadencia de estos estudios histricos. Despus del periodo antihistoricista de las reformas de la enseanza de

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    las Matemticas en las dcadas de los cincuenta y sesenta, ha aumenta-do notablemente el inters por la Historia de la Educacin Matemtica, suscitado, en parte, por las actividades llevadas a cabo con la intencin de cambiar el currculo de Matemticas y el fracaso que ha seguido a los proyectos de reforma curricular.

    e) Investigacin-accinOtra idea generalizada (y tal vez justificada) acerca de la investiga-

    cin experimental es que se ocupa de problemas que se encuentran muy alejados de los llamados problemas reales, y que sus aplicaciones prcticas y su potencial para generar tecnologa son muy escasos. Se tiene el sentimiento de que las cuestiones abordadas con la metodologa experimental son demasiado tericas, identificando, no se sabe bien por qu, teora a inutilidad. Ese sentimiento de inutilidad prctica ha lle-vado a reclamar investigacin que pueda guiar e informar a la prctica (Kilpatrick, 1988), y de ese reclamo han surgido un conjunto de tcnicas (predominantemente cualitativas) que constituyen la corriente metodo-lgica denominada de investigacin-accin. La investigacin-accin en educacin pretende resolver problemas reales y concretos, sin nimo de realizar ninguna generalizacin con pretensiones tericas. Su objetivo consiste en mejorar la prctica educativa real en una situacin (espacial y temporal) determinada.

    En el momento actual encontramos en Educacin Matemtica inves-tigaciones realizadas con mezcla de tipos de investigacin experimental, interpretativa e histrica lo que da una gran riqueza a la investigacin en nuestro campo tanto en metodologa como en resultados.

    4. Investigacin cuantitativa versus investigacin cualitativa

    En el pensamiento epistemolgico actual ha surgido una polmica sobre los mtodos y tcnicas de investigacin, planteada en trminos dicot-micos y auto-excluyentes. La polmica se centra entre los partidarios de la investigacin experimental y los de la investigacin cualitativa. A esta polmica no es ajena la investigacin en Educacin Matemtica.

    Por su inters histrico, nos ha parecido conveniente hacer referencia al trabajo de Cook y Reichardt (1986), esclarecedor en un momento de gran tensin entre los partidarios e ambos tipos de investigacin. Gracias

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    186 Educatio Siglo XXI, Vol. 29 n 2 2011, pp. 173-198

    a este trabajo y a otros similares hoy en da se admiten en Investigacin en Educacin matemtica tanto los mtodos experimentales como los interpretativos. En su trabajo Cook y y Reichardt (1986) aseguraban que debate establecido no deba interpretarse como una simple cuestin de procedimientos, sino que muchos participantes lo plantean como un choque entre dos paradigmas metodolgicos:

    Segn esta concepcin, cada tipo de mtodo se halla ligado a una pers-

    pectiva paradigmtica distinta y nica y son estas dos perspectivas las que se

    encuentran en conflicto (p. 27).

    Cook y Reichard (1986) consideraron que en los planteamientos de esta polmica subyacan dos cuestiones:s el nexo entre paradigma y mtodo, s la eleccin forzada entre paradigma cualitativo y cuantitativo.

    En un agudo anlisis exponan la falacia de ambas suposiciones, re-definan las cuestiones suscitadas acerca de los tipos de mtodos y re-saltaban algunos de los beneficios potenciales del empleo conjunto de mtodos cualitativos y cuantitativos. En particular, concluan que los atributos de los paradigmas no estn inherentemente ligados a mtodos cualitativos o cuantitativos y, recprocamente, ambos tipos de procedi-mientos son consistentes tanto con los atributos del paradigma cuantita-tivo como cualitativo. En cuanto a la eleccin entre paradigmas, ponan de manifiesto que, puesto que todos los atributos que constituyen un pa-radigma son lgicamente independiente (segn su argumentacin), no existe ninguna razn que impida al investigador mezclar y acomodar los atributos de los dos paradigmas para lograr la combinacin que resulte ms adecuada al problema de investigacin. Hay que redefinir el debate, de modo que, en vez de ser rivales incompatibles, los mtodos puedan emplearse conjuntamente segn lo exija la investigacin.

    Desde un cierto punto de vista, la combinacin y aplicacin conjunta de mtodos y paradigmas, no es trivial. Quiz una de las posturas ms claras a favor de la conciliacin de ambos mtodos en la investigacin sobre educacin matemtica, es la de Kilpatrick (1981), que sensata-mente y para finalizar, escriba

    Sera desafortunado que una fuerte reaccin contra los mtodos tradi-

    cionales llevara consigo tirar al nio (cuantitativo) con el agua de la baera

    (pruebas estadsticas). Mejor que abandonar los mtodos cuantitativos en fa-

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    Educatio Siglo XXI, Vol. 29 n 2 2011, pp. 173-198 187

    vor de los cualitativos, deberamos dirigir nuestros esfuerzos a enriquecer

    ambos. En particular, los investigadores en educacin matemtica deberan

    estudiar nuevas tcnicas de anlisis exploratorio de datos y presentacin, y

    deberan tambin considerar el uso de tcnicas para el re-anlisis de datos y

    el meta-anlisis de investigaciones (p. 374).

    5. Difusin de la investigacin

    Como parte de la contribucin de los investigadores al desarrollo de la educacin matemtica, es necesaria la difusin de los resultados de sus investigaciones y la conexin con las necesidades de la prctica escolar y la formacin del profesorado.

    La difusin se lleva a cabo principalmente a travs de libros especiali-zados, artculos en revistas y ponencias o comunicaciones a encuentros, congresos y jornadas de educacin matemtica. En Rico, Sierra y Castro (2000) puede verse un listado completo. Aqu nos limitaremos a presen-tar algunas lneas importantes de difusin.

    Entre los numerosos libros que se publican sobre educacin mate-mtica, hay que destacar las colecciones de Editorial Sntesis Matemti-cas: cultura y aprendizaje y Educacin Matemtica en Secundaria, que ponen a disposicin de los educadores matemticos el conocimiento fundado disponible sobre un tpico especfico, o la coleccin Mathema de Editorial Comares, en la que se recogen trabajos de investigacin en Educacin Matemtica.

    A partir de 1983 comenzaron a publicarse en Espaa revistas espec-ficas de educacin matemtica, donde los especialistas del campo pu-blican regularmente artculos: Enseanza de las Ciencias (Universidades Autnoma de Barcelona y Valencia), SUMA (Federacin Espaola de So-ciedades de Profesores de Matemticas), Epsilon ( Sociedad Andaluza

    Thales de Educacin Matemtica), Nmeros (Sociedad Canaria de Pro-fesores de matemticas Isaac Newton) y Uno. Revista de Didctica de la Matemtica (Editorial Gra, Barcelona). Tambin aparecen artculos de investigacin en Didctica de la Matemtica en las revistas de Psico-loga o Pedagoga que se editan en Espaa.

    Actualmente son cuatro revistas especializadas en la investigacin en Educacin Matemtica las que estn incluidas en el ndice internacional ms influyente, el ISI Web of Knowledge (ISI WoK): Journal for Research

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    in Mathematics Education (JRME), publicada por el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM); Revista Latinoamericana de Investi-gacin en Matemtica Educativa (Relime), que edita el Comit Latino-americano de Matemtica Educativa (Clame), y ms recientemente el Boletim de Educao Matemtica (Bolema) y Enseanza de las Ciencias. Las tres primeras estn hechas en el continente americano: la primera en Estados Unidos, la segunda en Mxico y la tercera en Brasil. La cuarta es la nica europea y est publicada en Espaa.

    En los encuentros, congresos y jornadas que habitualmente se cele-bran en nuestro pas se difunde la investigacin de nuestro campo de conocimiento, en particular, en las Jornadas nacionales y regionales de las Sociedades de Profesores de Matemticas.

    En el campo de la aplicacin, libros de texto y materiales didcticos incorporan resultados de la investigacin en Educacin Matemtica. La proliferacin de editoriales y la produccin masiva de libros de texto hace imposible un control de ellos, pero se puede asegurar que hay una tendencia general a incorporar informacin procedente de resultados de investigacin, aunque, como es bien conocido, siempre existir un desfase entre investigacin y aplicacin.

    6. Presentacin de una investigacin

    Parece conveniente presentar un ejemplo de Investigacin en Educacin matemtica. El que se presenta forma parte de una lnea de investigacin sobre anlisis de manuales escolares llevada a cabo en el Departamento de Didctica de la Matemtica y de las Ciencias Experimentales de Uni-versidad de Salamanca.

    Ttulo: Evolucin histrica del concepto de lmite funcional y continuidad en los libros de texto de Bachillerato y Curso de Orientacin Universitaria (COU): 1940-1995.

    INTRODUCCINNuestro inters por el anlisis de los libros de texto (manuales escolares) parte de la hiptesis de que la prctica de la enseanza no est tan de-terminada por los decretos y rdenes ministeriales como por los libros de texto utilizados en el aula. La produccin abundante de manuales, la variedad y riqueza de sus contenidos, la incidencia en el aula de este

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    material, su funcin como transmisor de contenidos socialmente acepta-dos, hace que resulte interesante estudiar la contribucin que han tenido en la historia de la educacin matemtica.

    El anlisis de libros de texto se ha llevado a cabo en diferentes m-bitos de investigacin. Si bien los historiadores de la educacin han realizado aportaciones como tesis doctorales, exposiciones, coloquios, etc. relacionados con los manuales escolares, son escasos los trabajos referidos a las matemticas. Esto se detecta, en el caso de Francia, en el trabajo de Choppin (1993) en el que hace un balance bibliomtrico de la investigacin francesa sobre la historia de los manuales escolares. Las razones de dicha escasez se pueden deber, a juicio de Choppin, tanto a la falta de formacin matemtica de los historiadores como al escaso inters de los matemticos por este tema. Centrndonos en el campo de la educacin matemtica, Howson (1995) distingue entre investigacio-nes realizadas sobre textos a posteriori, es decir, la forma en que se ha usado un libro de texto, cmo ha contribuido al proceso de aprendizaje y qu obstculos se han presentado, que son escasas y las realizadas a priori, que son ms numerosas. Entre estas ltimas hemos encontra-do diversos trabajos con diferentes enfoques. Tambin se han llevado a cabo algunos estudios comparativos como el que aparece publicado en un monogrfico de TIMSS (Third International Mathematic and Science Study) realizado por Howson (1995) sobre libros de texto para nios de 13 aos de ocho pases diferentes.

    Por ltimo, resulta imprescindible destacar el trabajo de Schubring (1987) sobre metodologa de anlisis histrico de libros de texto, en el que se considera necesaria una aproximacin global que analice en pri-mer lugar los cambios en las sucesivas ediciones de un libro de texto, para pasar luego a buscar los cambios en otros libros de texto, y por ltimo, relacionar estos cambios con los que se han producido en el contexto, es decir, cambios en los programas, en los decretos ministeria-les, en los debates didcticos, en la evolucin de las matemticas, en la epistemologa, etc.

    En Espaa, algunos investigadores han tratado temas diversos en la lnea de investigacin basada en el anlisis histrico de manuales: los li-bros de aritmtica y geometra (Sierra, Rico y Gmez, 1997); los trabajos de Gmez (1995a, 1995b, 1996) sobre mtodos de clculo en los libros de Aritmtica a lo largo de la historia; la evolucin de los conceptos de lmite funcional y continuidad en los libros de texto de secundaria

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    (Sierra, Gonzlez y Lpez, 1999, 2003); la tesis doctoral de Maz (2005) y publicaciones posteriores, en las que incide en la forma de presentar los nmeros negativos en los textos de Matemticas en los siglos XVIII y XIX; el trabajo colectivo de Maz, Torralbo y Rico (eds.) (2006) sobre Jos Mariano Vallejo y las tesis de Carrillo (2005) sobre la metodologa de la Aritmtica en los comienzos de las Escuelas Normales y Lpez (2011) sobre la formacin inicial de Maestros en Aritmtica y lgebra a travs de los libros de texto en el periodo 1839-1971.

    Descripcin de la investigacin

    Hemos realizado un estudio sobre la evolucin histrica del concepto de lmite funcional en los libros de texto de Bachillerato y C.O.U. en el periodo comprendido entre 1940 y 1997.

    La produccin de libros de texto se lleva a cabo dentro de un contex-to determinado y responde a las corrientes epistemolgicas y didcticas al uso, adems existiendo en el caso espaol disposiciones oficiales so-bre el currculo, los libros de texto tienden a adaptarse a ellas. Por esta razn, hemos agrupado los libros en periodos que, en lneas generales corresponden a los sucesivos planes de estudio (Rico y Sierra, 1994):s Periodo comprendido entre 1940 y 1967. Este periodo abarca des-

    de el final de la Guerra Civil hasta 1967 en que se publican los textos piloto para la introduccin de la matemtica moderna en el Bachillerato. Tiene un punto de inflexin en 1953, ao en el que se publica un nuevo plan de estudios (modificado parcialmente en 1957). Se han analizado cinco libros de este periodo.

    s Periodo comprendido entre 1967 y 1975. Este periodo abarca des-de la introduccin de la matemtica moderna hasta la implanta-cin del Bachillerato Unificado y Polivalente (BUP) en 1975, deri-vado de la Ley General de Educacin de 1970. Se han analizado nueve libros de diversos autores y editoriales, entre ellos los textos piloto publicados por la Comisin para el Ensayo Didctico sobre la Matemtica Moderna en los Institutos de Enseanza Media.

    s Periodo comprendido entre 1975 y 1995. Este periodo comprende desde la implantacin del BUP hasta el inicio de los nuevos Ba-chilleratos derivados de la Ley de Ordenacin General del Sistema Educativo (LOGSE) de 1990. Se han analizado cinco libros.

    s Periodo comprendido entre 1995 y 1997. Comprende los dos pri-

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    Educatio Siglo XXI, Vol. 29 n 2 2011, pp. 173-198 191

    meros aos de la implantacin de los nuevos Bachilleratos deriva-dos de la LOGSE; las ideas constructivistas sobre el aprendizaje y la enseanza comprensiva en el marco de un currculo abierto, son ejes fundamentales en esta nueva Ley. Se han analizado cinco libros de los Bachilleratos de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud y de Tecnologa.

    Dentro de cada periodo hemos realizado un anlisis de los libros de texto en tres dimensiones:s Anlisis conceptual, que se refiere a cmo se define y organiza el

    concepto a lo largo del texto, representaciones grficas y simb-licas utilizadas, problemas y ejercicios resueltos o propuestos, as como ciertos aspectos materiales del libro de texto que determi-nan la presentacin del concepto.

    s Anlisis didctico-cognitivo, que se refiere tanto a la explicitacin de los objetivos que los autores pretenden conseguir, como al modo en el que se intenta que el alumno desarrolle ciertas capaci-dades cognitivas (Duval, 1995).

    s Anlisis fenomenolgico, que se caracteriza por los fenmenos que se toman en consideracin con respecto a los conceptos en cuestin, en nuestro caso el de lmite funcional y la continuidad. Aqu se considera el anlisis fenomenolgico didctico, en el que intervienen los fenmenos que se proponen en las secuencias de enseanza que aparecen en los libros analizados (Puig, 1997).

    El siguiente cuadro resume lo dicho anteriormente:

    Anlisis conceptual Anlisis didctico-cognitivo Anlisis fenomenolgico

    Secuenciacin de conte-nidos.Definiciones: tipo y papel que juegan en el texto.Ejemplos y ejercicios.Representaciones grficas y simblicas.Aspectos materiales.

    Objetivos e intenciones del autor (expresadas habitual-mente en el prlogo).Teoras de enseanza-aprendizaje subyacentes.Capacidades que se quie-ren desarrollar.

    En torno a las propias matemticas.En torno a otras ciencias.Fenmenos de la vida diaria.

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    Resultados

    Los resultados obtenidos han sido muy amplios por lo que aqu se pre-senta una breve sntesis de los mismos:

    Se han establecido las caractersticas del currculo de Matemticas en cada uno de los periodos considerados; en particular, se ha determinado la orientacin que los currculos oficiales queran dar a los conceptos de lmite y continuidad, presentando, cuando existen, los objetivos, conte-nidos, metodologa y criterios de evaluacin.

    Se han detectado las corrientes internacionales que han influido en el currrculo espaol y en los manuales escolares.

    En cuanto a los libros de texto, en cada uno de los periodos se ha esta-blecido una clasificacin de los mismos por bloques: libros que se man-tienen anclados en el periodo anterior, los que siguen las orientaciones ministeriales de dicho periodo y libros que anticipan las caractersticas del periodo siguiente.

    De acuerdo con la metodologa establecida se ha llevado a cabo el anlisis conceptual, cognitivo y fenomenolgico de los libros escogidos:

    En lo que se refiere al anlisis conceptual para cada uno de los ma-nuales seleccionados se han realizado tablas de secuenciacin de los conceptos de lmite funcional y continuidad; se han establecido los tipos de definiciones de lmite funcional predominantes en cada periodo: por sucesiones, mtrica o topolgica; se ha determinado si la definicin de continuidad es de tipo intuitivo o formal; se han clasificado los ejemplos y ejercicios; se ha establecido el tipo de representaciones grficas as como la simbolizacin introducida en los libros.

    En cuanto al anlisis didctico-cognitivo se ha establecido para cada uno de los libros (o bloques de libros) las teoras de enseanza o apren-dizaje subyacentes as como la epistemologa de las matemticas domi-nante, lo que ha llevado a determinar las capacidades que se pretenden desarrollar en los alumnos.

    En el anlisis fenomenolgico se han descrito, de modo pormenori-zado, las situaciones en las que se presentan ambos conceptos, deter-minado si son de la propia matemtica, de otras disciplinas o de la vida

    cotidiana.

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    Conclusiones

    En general, y hasta la ltima reforma derivada de la LOGSE, el currculo oficial se caracteriza por ser cerrado, con indicaciones precisas acerca del contenido, dispersas sobre la metodologa y prcticamente nulas so-bre la evaluacin. Adems, han existido periodos caracterizados por el carcter experimental de los programas oficiales, como ha sido el caso de la matemtica moderna o de las ideas constructivistas preconizadas en la ltima reforma. Se puede afirmar que hay como puntos de tran-sicin en el cambio de estos programas oficiales. Sin embargo, a pesar del carcter cerrado de los programas, se observa que el currculo no ha sido uniforme en cada una de las pocas; al analizar los libros de texto, hemos demostrado las diferencias notables existentes entre ellos, a pesar de que en cada poca deberan ajustarse a las disposiciones oficiales.

    Tambin se observa, tanto en los programas oficiales como en los libros de texto, la influencia de las corrientes internacionales.

    En los puntos de transicin a los que hemos hecho referencia ante-riormente, aparecen libros de texto que marcan diferencias con el perio-do anterior, en particular, nos referimos a los textos piloto elaborados por la Comisin para el Ensayo Didctico sobre Matemtica Moderna en los Institutos Nacionales de Enseanza Media y los libros del Grupo Cero de Valencia. Tambin se constata el paso progresivo de los libros de autor, a los libros de editoriales, como Magisterio Espaol, SM, Anaya y Santillana, por citar las cuatro ms importantes del mercado espaol, durante los ltimos veinticinco aos.

    - Particularizando al lmite y la continuidad, tanto en los programas oficiales como en los libros de texto, se observa una evolucin desde la consideracin de ambos conceptos ligados al de funcin, pasando por un largo periodo en el que tienen entidad propia, hasta las ltimas reformas en las que se enfatiza el carcter instrumental de los mismos.

    - En cuanto al lmite, hay un periodo inicial (hasta los aos 50) en el que se dan definiciones oscuras mezclndose el concepto de variable y el concepto de continuidad seguido de un periodo en el que aunque se clarifica el concepto de lmite, este concepto se define mediante su-cesiones. En el periodo de la matemtica moderna se pone el nfasis en la presentacin topolgica del concepto, aunque hay una traduccin inmediata a la definicin mtrica; sin embargo, esta tendencia no es ge-neral a todos los autores. Con la implantacin del Bachillerato Unificado

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    y Polivalente (BUP), en 1975, derivado de la Ley General de Educacin (LGE), se consolida la tendencia de la matemtica moderna, consideran-do el concepto de lmite en s mismo, definindose lmites laterales, y presentando todos los casos finitos e infinitos del lmite y de la variable. Los ltimos libros, antes de la implantacin de los nuevos Bachilleratos, en 1995, derivados de la Ley de Ordenacin General del Sistema Educa-tivo (LOGSE), tienen una tendencia a presentar el concepto de lmite en el marco de fenmenos de la naturaleza o situaciones de la vida diaria.

    El concepto de continuidad, hasta la ordenacin del BUP en 1975, se define en general a partir del lmite, aunque casi todos los autores presentan previamente una idea intuitiva de este concepto. En el periodo 1975-1990 se rompe la tendencia anterior, algunos autores comienzan con la continuidad y siguen con el lmite, y otros mezclan ambos con-ceptos. La mayora de los autores utilizan el concepto de continuidad por la derecha y por la izquierda ligado a lmites laterales. En los aos inmediatamente posteriores a la promulgacin de la LOGSE, aunque se mantienen los programas de 1975, hay una tendencia a presentar el concepto de continuidad de modo ms intuitivo, relacionndolo igual que el lmite, con situaciones de la vida diaria y fenmenos naturales.

    Finalmente, en el ltimo periodo, debido quizs a la reduccin del Bachillerato a dos aos, se observa una cierta condensacin de los contenidos de ambos conceptos, con una tendencia por parte de la ma-yora de los autores a dar mucha informacin en poco espacio.

    [Una versin completa de esta investigacin puede verse en Sierra, Gonzlez y Lpez, 1999 y 2003]

    Conclusin

    En este trabajo se ha argumentado que la investigacin en Educacin Matemtica debe tener como objetivo prioritario la mejora de los proce-sos de enseanza-aprendizaje de las Matemticas, lo que ha llevado a extender dicha investigacin a mbitos (por ejemplo el de la afectividad) hasta hace poco ignorados. Asimismo y de acuerdo con el objeto de estudio los investigadores utilizan distintos tipos de metodologas para acrecentar de modo progresivo y acumulativo los conocimientos acerca de los mtodos de enseanza y de los problemas del aprendizaje de las Matemtica. En los ltimos aos, la vieja polmica investigacin experi-

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    mental contra investigacin cualitativa-interpretativa ha sido superada y actualmente hay trabajos relevantes que mezclan ambos tipos; un reco-rrido por las revistas especializadas as lo pone de manifiesto.

    Hay cada vez mayor nivel de exigencia en el proceso de difusin de la investigacin; en estos momento la publicacin de artculos en Edu-cacin Matemtica en las revistas especializadas del campo cumple las mismas condiciones que los de sus homlogos en otras ramas de las ma-temticas; en definitiva se ha producido un proceso de normalizacin en dicha investigacin.

    La demanda social de unas matemticas ms funcionales, evaluacio-nes internacionales como las de Proyecto PISA, la necesidad de que los ciudadanos comprendan la complejidad del mundo que les rodea, entre otros factores, es lo que ha hecho, a nuestro juicio, que aumente la pre-sin para que nuestra disciplina desarrolle una investigacin cualificada.

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