calculul drumului scurt

Academia Navală Mircea cel Bătrân, ConstanțaFacultatea de Marină Civilă

Specializare: Inginerie și Management Naval și Portuar

Disciplina : Complemente de matematici în transporturi

Metode matematice aplicate în practica navalăStudiu de caz privind vasele de croazieră

Autori:

Coordonatori:

Folosirea metodelor matematice în practica navală tehnică și economică, de orice nivel, constituie o preocupare cu efecte benefice în rezolvarea problemelor actuale specifice domeniului.

Utilizarea matematicii în problemele specifice domeniului naval, tehnic sau economic presupune de fapt accesarea cât mai adecvată a modelelor matematice.

Elaborarea unui model matematic trebuie să respecte etapele:• Obţinerea modelului descriptiv• Formularea și elaborarea matematică a modelului descriptiv• Studierea (cercetarea) modelului, etapă care presupune

rezolvarea practică a problemei pe model utilizând în mod special calculatorul.

“Croaziere Costa” realizează o croazieră în Marea Mediterană, între Europa și Africa cu plecarea din Seville , Spania și sosirea în Alexandria , Egipt.

Legenda:

a – Spania , Seville e – Tunisia , Tunis

b – Franța , Marseille f – Grecia , Patras

c – Algeria , Algiers g – Egipt , Alexandria

d – Italia , Napoli

475

885

819

541

410 472

3841045

645

481

579

10011108a

c e

g

fb

d

L a b c d e f g

a 0 ab ac 0 0 0 0

b 0 0 bc 0 be 0 0

c 0 0 0 cd 0 0 0

d da db 0 0 0 df 0

e 0 0 ec 0 0 0 eg

f 0 fb 0 0 0 0 0

g 0 0 0 gd 0 gf 0

a b c d e f g

a 0 b c 0 0 0 0

b 0 0 c 0 e 0 0

c 0 0 0 d 0 0 0

d a b 0 0 0 f 0

e 0 0 c 0 0 0 g

f 0 b 0 0 0 0 0

g 0 0 0 d 0 f 0

Se construiește matricea , obţinută din L prin înlăturarea lui din succesiunea , când aceasta există.

L a b c d e f ga 0 ab ac 0 0 0 0

b 0 0 bc 0be

0 0

c 0 0 0 cd 0 0 0d da db 0 0 0 df 0e 0 0 ec 0 0 0 egf 0 fb 0 0 0 0 0g 0 0 0 gd 0 gf 0

a b c d e f ga 0 b c 0 0 0 0b 0 0 c 0 e 0 0c 0 0 0 d 0 0 0d a b 0 0 0 f 0e 0 0 c 0 0 0 gf 0 b 0 0 0 0 0g 0 0 0 d 0 f 0

= * a b c d e f g

abc

d

e

f

g

0 ab ac 0 0 0 0 000a000

0

= * a b c d e f g

a 0

bc

d

e

f

g

b00b0b0

0 00 0

cc00c00

0 0 abc0 0 abc

= * a b c d e f g

a 0 0 abc acd abe 0 0

b 0 0 bec bcd 0 0 beg

c cda cdb 0 0 0 cdf 0

d 0dabdfb

dacdbc

0 dbe 0 0

e 0 0 0ecdegd

0 egf 0

f 0 0 fbc 0 fbe 0 0

g gdagdbgfb

0 0 0 gdf 0

0 ab ac 0 0 0 00 ab ac 0 0 0 0

= * a b c d e f g

a 0 0 0 0 0acdbegf

acdfbeg

b 0 0 0 0 0 0 0

c 0 0 0 0 0cdabegf

0

d 0 0 0 0 0 0 0

eegfbc

da0 0 0 0 0 0

f 0 0fbegd

ac0 0 0 0

ggfbec

da0 0 0 0 0 0

Conform tabelului de mai jos graful dat are 6 drumuri hamiltoniene: = {a, c, d, b, e, g, f }, = {a, c, d, f, b, e, g }, ={c, d, a, b, e, g, f }, ={e, g, f, b, c, d, a }, ={f, b, e, g, d, a, c } şi ={g, f, b, e, c, d, a }.

475

885

819

541

410 472

3841045

645

481

579

10011108a

c e

g

fb

d

= 4003 mile nautice

= {a, c, d, f, b, e, g } = 0 = min = 541 = min = 1120 = min = 1601 = min = 2486 = min = 2958 = min = 4003

={g, f, b, e, c, d, a }

= 0 = min = 645 = min = 1530 = min = 2002 = min = 2386 = min = 2965 = min = 4073

= 4073 mile nautice

Problema determinării fluxului optim într-o reţea de transport

Trei agenții de crewing , , dispun de 21, 20, respectiv 22 persoane specializate pe aceste domenii, unele dintre ele având câte 2 sau chiar 3 specializari. Angajatorul are nevoie de 19 ospatari () , 18 barmani () , 20 persoane pentru room service () si 21 de cameriste ().

/

15 8 10 15 15 6 12

10 14 7 16

8

Posibilităţile de onorare a acestei cereri sunt limitate de disponibilitatea fiecărei persoane deținută de cele 3 agenții de crewing așa cum reiese din tabelul următor:

18

19

20

21

108

15

1514

8

6

1012

16

15

7

21

20

22

𝑥1

𝑥2

𝑥3

𝑥4

𝑥5

𝑥6

𝑥7

𝑥8

𝑥9

C 21 20 22 15 8 10 15 15 6 12Γ (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) () (,)φ 8 7 7 2 2 2 2 2 1 2

= (, , , )= (, , , )= (, , , )= (, , , )= (, , , )= (, , , )

=, , , )= (, , , )= (, , , )= (, , , )= (, , , )= (, , , )

Se observă că fluxul φ este incomplet deoarece drumurile de mai jos sunt nesaturate :

C 10 14 7 16 8 19 18 20 21Γ (,) () (,) () () (,) (,) (,) (,)φ 2 2 2 1 2 6 5 5 6

k1=min(21-8, 15-2, 19-6)=13k2=min(21-8, 8-2, 18-5)=6k3=min(21-8, 10-2, 20-5)=8k4=min(21-8, 15-2, 21-6)=13k5=min(20-7, 15-2, 19-6)=13k6=min(20-7, 6-1, 18-5)=5k7=min(20-7, 12-2, 20-5)=10k8=min(20-7, 10-2, 21-6)=8k9=min(22-7, 14-2, 19-6)=12k10=min(22-7, 7-2, 18-5)=5k11=min(22-7, 16-1, 20-5)=15k12=min(22-7, 8-2, 21-6)=6

C 21 20 22 15 8 10 15 15 6 12Γ (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) () (,)φ 8 7 7 2 2 2 2 2 1 2

C 10 14 7 16 8 19 18 20 21Γ (,) () (,) () () (,) (,) (,) (,)φ 2 2 2 1 2 6 5 5 6

Pe fiecare din aceste drumuri fluxul poate fi majorat corespunzător cu:

C 21 20 22 15 8 10 15 15 6 12Γ (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) () (,)φ 8 7 7 2 2 2 2 2 1 2

C 10 14 7 16 8 19 18 20 21Γ (,) () (,) () () (,) (,) (,) (,)φ 2 2 2 1 2 6 5 5 6

(,)21

(,)15

(,)19


k1=13 = (, , , )

k6=5 = (, , , )

k8=8 = (, , , )

k11=15 = (, , , )

C 21 20 22 15 8 10 15 15 6 12Γ (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) () (,)φ 21 7 7 15 2 2 2 2 1 2

C 10 14 7 16 8 19 18 20 21Γ (,) () (,) () () (,) (,) (,) (,)φ 2 2 2 1 2 19 5 5 6

(,)12

()6

(,)10


k6=5 = (, , , )

k8=8 = (, , , )

k11=15 = (, , , )

C 21 20 22 15 8 10 15 15 6 12Γ (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) () (,)φ 21 12 7 15 2 2 2 2 6 2

C 10 14 7 16 8 19 18 20 21Γ (,) () (,) () () (,) (,) (,) (,)φ 2 2 2 1 2 19 10 5 6

(,)20

21(,)14


k8=8 = (, , , )

k11=15 = (, , , )

(,)10

C 21 20 22 15 8 10 15 15 6 12Γ (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) () (,)φ 21 20 7 15 2 2 2 2 6 2

C 10 14 7 16 8 19 18 20 21Γ (,) () (,) () () (,) (,) (,) (,)φ 10 2 2 1 2 19 10 5 14

(,)22

20(,)20


k11=15 = (, , , )

()16

CjDj

Numărul de persoane disponibile

Numărul de persoane angajate

15 2 2 2 21 212 6 2 10 20 202 2 16 2 22 22

Cererileangajatorului

19 18 20 21

Cererilesatisfăcute

19 10 20 14

Valorile (, ) din tabel au fost citite din fluxul optimal şi reprezintă numarul de persoane de la agentiile de crewing şi repartitia pe departamentele .

C 21 20 22 15 8 10 15 15 6 12Γ (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) () (,)φ 21 20 22 15 2 2 2 2 6 2

C 10 14 7 16 8 19 18 20 21Γ (,) () (,) () () (,) (,) (,) (,)φ 10 2 2 16 2 19 10 20 14

Problema amestecului optim sau a nutriției(dietei)

Alimentul Substanța

(carne) ( peste )

( lactate ) ( legume/fructe)

Minim necesar din substanța

nutritiva

(proteine) = 3 = 2 = 0 = 3 = 80

(glucide) = 0 = 2 = 2 = 1 = 250

(lipide) = 3 = 5 = 0 = 2 = 80

(vitamine-calciu) = 0 = 3 = 6 = 1 = 5

Preț alimente = 20 = 15 = 12 = 10

Unități de consum

Se caută ca această dietă să conțină substanțe nutritive – proteine, glucide, lipide și vitamine (calciu), în cantitățile minimale 80g, 250g, 80g și respectiv 5g regăsite în alimentele: carne, peste, lactate, fructe și/sau legume, cu prețul corespunzător pe unitate 20, 15, 12 respectiv 10.Notăm cu numărul de unităţi din substanţa , i = , ce se găsesc într-o unitate din alimentul , j =

{3 𝑥1+2𝑥2+3 𝑥4≤80𝑥2+2𝑥3+𝑥4≤250

3 𝑥1+5 𝑥2+2𝑥4≤ 803 𝑥2+6𝑥3+𝑥4≤5

(max)f(x) = 20 + 15 + 12 + 10

≥ 0 , i =

{3 𝑥1+2𝑥2+3 𝑥4+𝑥5=80𝑥2+2 𝑥3+𝑥4+𝑥6=250

3 𝑥1+5 𝑥2+2𝑥4 +𝑥7=803 𝑥2+6 𝑥3+𝑥4+𝑥8=5

min(-f(x)) = - 20 - 15 - 12 - 10

≥ 0 , i =

(max)f(x) = - min(-f(x))

0 0 0 3 0 1 1 0 -1 0

0 25 0 0 0 2/3 0 1 0 -1/3

-20 80/3 1 5/3 0 2/3 0 0 1/3 0

-12 5/3 0 1/2 1 1/6 0 0 0 1/6

-1660/3 -20 -118/3 -12 -46/3 0 0 -20/3 -2

/ 0 73/3 0 16/3 0 0 20/3 2

c -20 -15 -12 -10 0 0 0 0

80 3 2 0 3 1 0 0 0

250 0 1 2 1 0 1 0 0

80 3 5 0 2 0 0 1 0

5 0 3 6 1 0 0 0 1

→ 0 0 0 0 0 0 0 0 0

← / -20 -15 -12 -10 0 0 0 0

80 3 2 0 3 1 0 0 0

0 0 0 3 0 1 1 0 -1 0

0 250 0 1 2 1 0 1 0 0

-20 80/3 1 5/3 0 2/3 0 0 1/3 0

0 5 0 3 6 1 0 0 0 1

→ -1600/3 -20 -100/3 0 -40/3 0 0 -20/3 0

← / 0 55/3 -12 10/3 0 0 120/3 0

= ( , 0 , , 0 , 0 , , 0 , 0 )

= ()

(max)f(x) = - min(-f(x))

Pentru a se găsi soluția optima trebuie îndeplinite două condiții si anume : ≥ 0 si ≥ 0

min(-f(x)) = - (RON/persoana)

(max)f(x) = (RON/persoana)

Problema de transport privind minimizarea costurilor

PRODUS

FURNIZOR

PACURĂ

($/tona)

DIESEL($/

tona)

ULEI($/

tona)

F1-ALGERIA 650 355 300F2-ITALIA 640 345 310

F3-TUNISIA 660 350 290F4-EGIPT 645 455 295

Prețurile celor trei produse diferă de la țară la țară și se prezintă astfel:

LEGENDĂ

P1=1100t PĂCURĂ F1=ALGERIA B1=500t

P2=300t MOTORINĂ

F2=ITALIA B2=210t

P3=10t ULEI F3=TUNISIA B3=400t

F4=EGIPT B4=300t

Așadar, problema tratată este o problemă de transport cu capacități limitate, iar forma tabelară arată astfel:

PRODUS

FURNIZORPACURĂ DIESEL ULEI

DISPONIBIL

F1 – Port 3650 355 300

500500

F2 – Port 4640 345 310

210

F3 – Port 5660 350 290

400

F4 – Port 6645 455 295

300300

NECESAR 1100 300 10 1410

PRODUS


DISPONIBIL

F1 – Port 3650 355 300

500;0500 500 0 0

F2 – Port 4640 345 310

210;0 0 210 0

F3 – Port 5660 350 290 400;390;90;

0 300 90 10

F4 – Port 6645 455 295

300;0300 300 0 0

NECESAR1100;800;300

;0300;90;0 10;0 1410

Soluția determinată este degenerată. Am obținut patru variabile nenule (patru căsuțe ocupate) și ne trebuie pentru ca soluția să nu fie degenerată.

PRODUS


DISPONIBIL

F1 – Port 3650 355 300

500;0500 500 0 0

F2 – Port 4640 345 310

210;0 0 210 0

F3 – Port 5660 350 290 400;390;90;

0 300 90 10

F4 – Port 6645 455 295

300;0300 300 0* 0*

NECESAR1100;800;300

;0300;90;0 10;0 1410

Pentru înlăturarea acestui inconvenient se folosește metoda zerourilor esențiale. Acesta constă în transformarea unor căsuțe libere în căsuțe ocupate cu un 0*, numit zero esențial.

Având mai puţine căsuţe ocupate decât m+n-1 rezultă că variabilele duale (marginale) nu pot fi determinate.

PRODUS

FURNIZOR

PACURĂV1=650

DIESELV2=340

ULEIV3=280

DISPONIBIL

F1 – Port 3U1=0

650 650 355 340 300 280500;0

500 500 0 0

F2 – Port 4U2=5

640 655 345 345 310 285210;0

0 210 0

F3 – Port 5U3=10

660 660 350 350 290 290 400;390;90;0300 90 10

F4 – Port 6U4=-5

645 645 455 335 295 275300;0

300 300 0* 0*

NECESAR1100;800;300

;0300;90;0 10;0 1410

Se poate observa că în căsuța (2,1) condiția de optimalitate nu este îndeplinită, deoarece + = 655 > = 640.

PRODUS

FURNIZOR

PACURĂV1=650

DIESELV2=340

ULEIV3=280

DISPONIBIL

F1 – Port 3U1=0

650 650 355 340 300 280500;0

500 500 0 0

F2 – Port 4U2=5

640 655 345 345 310 285210;0

0 210 0

F3 – Port 5U3=10

660 660 350 350 290 290 400;390;90;0300 90 10

F4 – Port 6U4=-5

645 645 455 335 295 275300;0

300 300 0* 0*

NECESAR1100;800;300

;0300;90;0 10;0 1410

PRODUS

FURNIZOR

PACURĂV1=650

DIESELV2=340

ULEIV3=280

DISPONIBIL

F1 – Port 3U1=0

650 650 355 340 300 280500;0

500 500 0 0

F2 – Port 4U2=5

640 655 345 345 310 285210;0

+ 0 - 210 0

F3 – Port 5U3=10

660 660 350 350 290 290 400;390;90;0- 300 + 90 10

F4 – Port 6U4=-5

645 645 455 335 295 275300;0

300 300 0* 0*

NECESAR1100;800;300

;0300;90;0 10;0 1410

Într-un ciclu marcăm alternativ cu + și – căsuţele, începând cu căsuţa liberă. Semnele se trec în colţul din stânga jos al căsuţei.

PRODUS

FURNIZOR

PACURĂV1=650

DIESELV2=340

ULEIV3=280

DISPONIBIL

F1 – Port 3U1=0

650 650 355 340 300 280500;0

500 500 0 0

F2 – Port 4U2=-10

640 640 345 330 310 270210;0

+ 210 - 0 0

F3 – Port 5U3=10

660 660 350 350 290 290 400;390;90;0- 90 + 300 10

F4 – Port 6U4=-5

645 645 455 335 295 275300;0

300 300 0* 0*

NECESAR1100;800;300

;0300;90;0 10;0 1410

X =

min(f) = 650 * 500 + 640 * 210 + 660 * 90 + 645 * 300 + 350 * 300 + 290 * 10 = 852.700$

Concluzii În lucrarea de față au fost tratate probleme

specifice unui vas de croazieră, dar metodele matematice pot fi cu ușurință folosite și în rezolvarea unor probleme de optimizare a activităţii unor instituții, întreprinderi, a unor societăţi de comerţ sau cu preocupări agricole.

Cu ajutorul elementelor de teorie, reduse la strictul necesar și al exemplelor adecvate, bogat ilustrate, prezenta lucrare are menirea să evidențieze o parte din problemele reale cu care se confruntă armatorii în planificarea unui voiaj și să aducă soluții matematice, ușor aplicabile.

VĂ MULȚUMIM!

calculul drumului scurt

Education