cálculo vectorial

Una serie de Taylor es una representación o una aproximación de una función como una suma de términos calculados de los valores de sus derivadas en un mismo punto

0

,

!

nn

n

f x

a r a r

f ax a

n

La serie de Taylor de una función real

infinitamente diferenciable, definida en unintervalo abierto , es la serie

de potencias

22

2

33

3

1

12!

1 1... ...3! !

1!

x a x a

nn

nx a x a

nn

nn x a

df d ff x f a x a x adx dx

d f d fx a x adx n dx

d ff x x an dx

1

0

00

sin : sin

1!

sinsin sin 0

sin 0 0

sin cos 1

sin

nn

nn x a

x

xx

R R y f x x

d ff x x an dx

d xx x

dx

d x xdxx x

sin x x

sin x x

x sin(x) x0.500 0.479 0.5000.400 0.389 0.4000.300 0.296 0.3000.200 0.199 0.2000.100 0.100 0.1000.000 0.000 0.000

1

2 2

20 0

sin : sin

1!

sin sinsin sin 02

nn

nn x a

x x

R R y f x x

d ff x x an dx

d x x d xx xdx dx

2 2

20 0

0

2 2

2 20

2

sin : sin

sin sinsin sin 02

sin sincos cos 0

sin sinsin sin 0

sin sin 0 cos0 sin 0 0 02

x x

x

x

R R y f x x

d x x d xx xdx dx

d x d xxdx dx

d x d xxdx dx

xx x x x

1

2 323

2 30 0 0

sin : sin

1!

sin sin sin1sin sin 02 6

nn

nn x a

x x x

R R y f x x

d ff x x an dx

d x d x d xxx x xdx dx dx

2 323

2 30 0 0

3 3

3 30

2 33

sin : sin

sin sin sin1sin sin 02 6

sin sincos cos 0

1sin sin 0 cos 0 sin 0 cos 02 6 6

x x x

x

R R y f x x

d x d x d xxx x xdx dx dx

d x d xx

dx dx

x xx x x x

3

in6

s xxx

x sin(x) x-x^3/60.500 0.479 0.4790.400 0.389 0.3890.300 0.296 0.2960.200 0.199 0.1990.100 0.100 0.1000.000 0.000 0.000

3

in6

s xxx

3 5 7 9

sin 0cos 1

sin 0cos 1

sin 0cos 1

sin 0 0 0 0 0 ...3! 5! 7! 9!

xxxx

xx

x x x xx x

3 5 7 9

sin3! 5! 7! 9!x x x xx x

2 3 41 1 3 512 8 161

10.5, 1.4142135621

1 1,1 0.25 1.25,1 0.25 0.09375 1.34375,1 0.25 0.09375 0.030518 1.37427

x x x O xx

xx

ln : ln

Hacer el desarrollo de Taylor del logaritmoalrededor del 1.

R R y x

11

2

2 211

3

3 311

1 1

11

ln : ln

Hacer el desarrollo de Taylor del logaritmoalrededor del 1.ln 1 0

ln 1 1

ln 1 1

ln 2 2

ln 1 !1 1 1 !

xx

xx

xx

nn n

n nxx

R R y x

d xdx x

d xdx x

d xdx x

d x nn

dx x

2 3 41

ln : ln

1 1 1 1ln 1 ... 1 ...

2 3 4

nn

R R y x

x x x xx x

n

ln : ln

ln 1

R R y x

x x

2

ln : ln

1ln 1

2

R R y x

xx x

2 3

ln : ln

1 1ln 1

2 3

R R y x

x xx x

2 3 4

ln : ln

1 1 1ln 1

2 3 4

R R y x

x x xx x

2 3 4

ln : ln

1 1 1ln 1

2 3 4

R R y x

x x xx x

x ln(x) x-1x-1-(x-1)^2/2

x-1-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3

x-1-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3-(x-1)^4/4

0.500 -0.693 -0.500 -0.625 -0.667 -0.6820.600 -0.511 -0.400 -0.480 -0.501 -0.5080.700 -0.357 -0.300 -0.345 -0.354 -0.3560.800 -0.223 -0.200 -0.220 -0.223 -0.2230.900 -0.105 -0.100 -0.105 -0.105 -0.1051.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0001.100 0.095 0.100 0.095 0.095 0.0951.200 0.182 0.200 0.180 0.183 0.1821.300 0.262 0.300 0.255 0.264 0.2621.400 0.336 0.400 0.320 0.341 0.3351.500 0.405 0.500 0.375 0.417 0.401

1: 11

Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.

f R R y f xx

3 / 2

00

25 / 2

2 200

37 / 2

3 300

1: 11


1 1 112 21

1 1 3 1 312 2 21

1 1 3 5 1 3 512 2 2 21

1

xx

xx

xx

n

n

f R R y f xx

d xdx x

d xdx x

d xdx x

ddx

0

2 1 !!21 n

x

n

x

2 3

1: 11


2 1 !!1 1 3 51 ... ...2 8 16 !21

nn

f R R y f xx

nx x x x

nx

432

1: 11

11

11 38

516

351282

f R R

x x

x

xx

f

x

yx

exp : exp


xR R y x e

00

2

2 00

3

3 00

0

exp : exp


1

1

1

1

x

x x

xx

x x

xx

x x

xx

nx

nx

R R y x e

d e edx

d e edx

d e edx

d edx

2 3

exp : exp


1 1 11 ... ...2 6 !

x

x n

R R y x e

e x x x xn

0

00

0

00

0

0 0 0

0 0

limx x

f x f xdf xdx x x

f x f xdf xdx x x

dff x f x x x xdx

dff x x xdx

0 0dfdf x x dxdx

0

00

0

limx x

f x f xdf xdx x x

1. La geometría del espacio euclidiano2. Funciones vectoriales3. Diferenciación4. Integrales múltiples5. Integrales de línea6. Integrales de superficie7. Los teoremas integrales

Consideraremos siemprela normal hacía afuera

3 3

Sea un campo vectorial:

: ; , , , ,x y zF D R R F x y z F F F

3

La divergencia de es un campo escalar:

: ´

, , yx z

F

F D R RFF FF x y z

x y z

para todo

V S V

dV F dSF

V

para todo

SV V

F dSFd

V

V

para todo

V S V

FdV F dS

V

3 3

V

Sea : un campo vectorial.

Para todo : S V

F

V F dV F dS

R R

The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P. Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.2 y 3.3

Volumen Superficie cerrada

VS

T

S V

F dS

1

2

1 2 T 1 2ˆ ˆn n

1n

2n

T

T 1 2 3 4

T1

N

ii

, ,x y z

, ,x dx y z

X

Y

Z

, ,x dx y dy z

, ,x y dy z

, ,x y dy z dz

, ,x dx y dy z dz

, ,x y z dz

Cubito 1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ( , , ) ( , , ) ˆ ˆ ( , , ) ( , , ) ˆ ˆ ( , , ) ( , , )

F x y z k dxdy F x y z dz k dxdy

F x y z j dxdz F x y dy z j dxdz

F x y z i dydz F x dx y z i dydz

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

z z

y y

x x

F x y z F x y z dz dxdy

F x y z F x y dy z dxdz

F x y z F x dx y z dydz

( , , )( , , ) ( , , )

( , , )( , , ) ( , , )

( , , )( , , ) ( , , )

zz z

yy y

xx x

F x y zF x y z F x y z dz dxdyz

F x y zF x y z F x y z dy dxdz

y

F x y zF x y z F x y z dx dydz

x

Cubito ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

z z

y y

x x

F x y z F x y z dz dxdy

F x y z F x y dy z dxdz


Cubito( , , )( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

zz z

yy y

xx x



y

F x y zF x y z F x y z dx dydzx

( , , )( , , ) ( , , )yz xF x y zF x y z F x y zdzdxdy dydxdz dxdydz

z y x

Cubito

( , , )( , , ) ( , , )yx zF x y zF x y z F x y z dxdydz

x y z

Cubito

( , , )( , , ) ( , , )yz xF x y zF x y z F x y zdzdxdy dydxdz dxdydz

z y x

Cubito 1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )ˆ ˆ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )z z y y

F x y z kdxdy F x y z dz kdxdy F x y z jdxdz F x y dy z jdxdz

F x y z idydz F x dx y z idydz

F x y z F x y z dz dxdy F x y z F x y dy z dxdz

( , , ) ( , , )

( , , )( , , ) ( , , )

( , , )( , , ) ( , , )

( , , )( , , ) ( , , )

( , ,( , , )

x x

zz z

yy y

xx x

yz




y

F x y zF x y z F x y z dx dydz

xF x y zF x y z dzdxdy

z

) ( , , )

( , , )( , , ) ( , , )

x

yx z

F x y zdydxdz dxdydzy x

F x y zF x y z F x y z dxdydzx y z

T Cubito 10

limi

N

iN idV

10

( , , )( , , ) ( , , )limi

Ny i i ix i i i z i i i

iNidV

F x y zF x y z F x y z dVx y z

( , , )( , , ) ( , , )yx z

V


T

S V

F dS

( , , )( , , ) ( , , )yx z

V S V

F x y zF x y z F x y z dV F dSx y z

T

( , , )( , , ) ( , , )yx z

V


( , , )( , , ) ( , , )yx z

V S V

F x y zF x y z F x y z dV F dSx y z

( , , )( , , ) ( , , )( , , ) yx z

F x y zF x y z F x y zF x y z

x y z

V S V

FdV F dS

( , , )( , , ) ( , , )( , , ) yx zF x y zF x y z F x y zF x y z

x y z

Cubito

Cubito

( , , )( , , ) ( , , )

( , , )

yx zF x y zF x y z F x y z dxdydz

x y z

F x y z dV

V S V

FdV F dS

0F

3 3

V

Sea : un campo vectorial.

Para todo :

S V

F

V

F dV F dS

R R

V S V

FdV F dS

0F

1

0,

:

Definición física de la divergencia:1 ˆdiv lim

donde , representa a una esfera

de radio centrada en de volumen

nn n i

i i

VS r x

FF D R R Fx

F x F ndSV

S r x

r x V

sin cos sin sin cos

0 0 0 2

x ryz

x r y r z r

r

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos

ˆˆ ˆsin cos sin sin cos

ˆˆ ˆcos cos cossin sin

ˆ ˆsin sin sin cos

1 sin

P xi yj zk r i r j r k

P i j krP r i r j r k

P r i r j

P P Pr rr

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos

ˆˆ ˆsin cos sin sin cos

ˆˆ ˆcos cos cossin sin

ˆ ˆsin sin sin cos

ˆˆ ˆˆ sin cos sin sin cosˆ ˆ ˆcos cos cossin

P xi yj zk r i r j r k

P i j krP r i r j r k

P r i r j

r i j k

i j

ˆsinˆ ˆˆ sin cos

k

i j

2 2

2 2

ˆˆ ˆˆ sin cos sin sin cosˆˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin

ˆ ˆˆ sin cos

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin

sin cos cos sin cos sin sin cos

sin cos cos sin

r i j k

i j k

i j

r i j k i j k

sin cos

sin cos sin cos 0

ˆ ˆ 0ˆ ˆ 0r

1

0,

:




nn n i

i i

VS r x

FF D R R Fx

F x F ndSV

S r x

r x V

0,

1 ˆdiv limV

S r x

F x F ndSV

r

r

sinr

2 sinV r r

1

2 2

ˆ ˆ, , sin

ˆ, , sin , , sin

S

r

F ndS F r n r r

F r r r F r r

2

2 2

2 2

ˆ ˆ, , sin

ˆ, , sin , , sin

, , sin , , sin

r rS

rr rr r

r r

F ndS F r n r r

F r r r F r r

F r r r F r rr

3

ˆ ˆ, , sin

ˆ, , sin , , sin

S

F ndS F r n r r

F r r r F r r r

4

ˆ ˆ, , sin

ˆ, , sin , , sin

, , sin , , sin

S

F ndS F r n r r

F r r r F r r r

F r r r F r r r

1

ˆ ˆ, ,

ˆ, , , ,

S

F ndS F r n r r

F r r r F r r r

2

ˆ ˆ, ,

ˆ, , , ,

, , , ,

S

F ndS F r n r r

F r r r F r r r

F r r r F r r r

2

2 2

, , sin

, , sin , , sin

, , sin

, , sin , , sin

, ,

, , , ,

r

r r

F r r

F r r r F r rr

F r r r

F r r r F r r r

F r r r

F r r r F r r r

2

2

, , sin

, , sin

, ,

sin sin

r

r

r F r rr

F r r r

F r r r

r r F r F rFr

0,

,

2

,

22

1 ˆdiv lim

ˆ

sin sin

1 ˆ

sin sinsin

VS r x

S r x

r

S r x

r

F x F ndSV

F ndS

r r F r F rFr

F ndSV

r r F r F rFr r r

22

,

0,

22

22

1 1ˆ sin sinsin

1 ˆdiv lim

1div sin sinsin

1 1divsin

rS r x

VS r x

r

r

F ndS r F r F rFV r r

F x F ndSV

F x r F r F rFr r

F x r Fr r r

1sinsin

F rFr

22

1 1 1div sinsin sinrF P r F F rF

r r r r

22

Coordenadas cartesianas

div

Coordenadas esféricas1 1 1div sin

sin sin

Coordenadas cilíndricas1 1div

yx z

r

z

FF FF Px y z

F P r F F rFr r r r

F P F F Fz

Cubo

Calcular el flujo , del campo vectorial

, , , ,

a través del cubo de lado 2 con centro en el origen

G dS

G x y z x y z

Cubo V cubo

Cubo V cubo V cubo V cubo

, , , ,

pero

1 1 1 3

así que

3 3 3 8 24

G dS GdV G x y z x y z

x y zGx y z

G dS GdV dV dV

Cubo


, , , ,

a través de cualquier superficie cerrada

G dS

G x y z x y z

S V S

S V S V S V S

, , , ,

pero

1 1 1 3

así queVolumen

3 3 3 encerradopor

G dS GdV G x y z x y z

x y zGx y z

G dS GdV dV dVS

Cubo


, , , ,


G dS

G x y z x y z

Para calcularlo, calculamos el flujo de cada una delas seis caras y sumamos

Cara 1

ˆ , , , ,G ndS G x y z x y z

La parametrización de esta superficie es

, 1, , 1 1 1 1r u v u v u v


, 1, , 1 1 1 1r u v u v u v

La normal "hacía afuera" es, , ˆˆ ˆ0,1,0 0,0,1

r u v r u vj k i

u v

1 1

Cara 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

ˆ 1, , 1,0,0

2 2 4

G ndS u v dudv

dudv du dv

Cara 2

ˆ , , , ,G ndS G x y z x y z


, 1, , 1 1 1 1r u v u v u v


, 1, , 1 1 1 1r u v u v u v

La normal "hacía afuera" es, , ˆ ˆ ˆ0,0,1 0,1,0

r u v r u vk j i

v u

1 1

Cara 2 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

ˆ 1, , 1,0,0

2 2 4

G ndS u v dudv

dudv du dv

1 1 1 1

Cara 3 1 1 1 1

1 1 1 1

Cara 4 1 1 1 1

1 1 1 1

Cara 5 1 1 1 1

Cara 6

ˆ ,1, 0,1,0 4

ˆ , 1, 0, 1,0 4

ˆ , ,1 0,0,1 4

ˆ , ,

G ndS u v dudv dudv

G ndS u v dudv dudv

G ndS u v dudv dudv

G ndS u v

1 1 1 1

1 1 1 1

1 0,0, 1 4dudv dudv

Cubo


, , , ,


G dS

G x y z x y z

Cubo

24G dS

para todo

V S V

FdV F dS

V

1

0,

:




nn n i

i i

VS r x

FF D R R Fx

F x F ndSV

S r x

r x V

22


div

Coordenadas esféricas1 1 1div sin

sin sin

Coordenadas cilíndricas1 1div

yx z

r

z

FF FF Px y z

F P r F F rFr r r r

F P F F Fz

Demuestra que el teorema de la divergenciaes cierto para el campo vectorial

usando el volumen y la superficie generadospor el cilindro

y los planos

2, , 2 , ,F x y z xy y z xy

0 y 5.z z

2 2 9x y

1

0

1

1

0

1

1

0

1

2, , 2 , ,F x y z xy y z xy

2 2 90 y 5

x yz z

para todo

V S V

FdV F dS

V

2 2 1 1F y y

2, , 2 , ,F x y z xy y z xy

V

dV

2 2 90 y 5

x yz z

V

2 2 1 1F y y

2, , 2 , ,F x y z xy y z xy

V

dV

2 90 y 5z z

V 0 3,0 2 ,0 5z

5 3 2 3

0 0 0 0

5 2

910 452

d d dz d

2, , 2 , ,F x y z xy y z xy

para todo

V S V

FdV F dS

V

3cos ,3sin , con 0, 2 0,5

3sin ,3cos ,0 y 0,0,1

3sin 3cos 0 3cos ,3sin ,00 0 1

3 cos ,sin ,0

u u v u v

u u

i j kn u u u u

u u

2

2

2

2 3

, , 2 , ,

(18sin cos , 9sin , 9sin cos )

(18sin cos , 9sin , 9sin cos ) 3 cos ,sin ,0

54sin cos 27sin

F x y z xy y z xy

u u u v u u

F n u u u v u u u u

u u u

3cos ,3sin , con 0, 2 0,5u u v u v

El flujo de campo eléctrico através de cualquier superficiecerrada es proporcional a lacarga eléctrica encerrada enel volumen.

El flujo de campo eléctrico a través de cualquier superficie cerradaes proporcional a la carga eléctrica encerrada en el volumen.

22

0

22

20 0 0

22

0 0

1 ˆ ˆ sin4

1 sin4

1 44

S V

q r rR d dR

q R d dRq qRR

20

1 ˆ, ,4

qE x y z rr

Esfera de radio R

0

0 0

0

0

La ley de Gauss: Flujo de campo electrostático

1

1

Primera ecuación de Maxwell

V

V

S V V

S V V

V V

Q

QE dS dV

E dS EdV

EdV dV

E

0

0

El campo electrostático es conservativo.Es decir,

0ó

Sustituyendo esto en

tenemos

E

E

E

2 2 2

2 2 2

22

2

El potencial electrostático satisface 4

¿Qué es eso? En coordenadas cartesianas

, ,

y luego

, , , ,

x y z

x y z x y z

y z

x

x

2 2

2 2 es el laplacianoy z

2 2 2

2 2 20

2

0

El potencial electrostático satisface la ecuación

óx y z

2

* Es una ecuación diferencia

, , 4 , ,

es la ecuac

l parcial* Es de

ión de Po

segundo orden* Es lin

iss

ea

on

l

x y z f x y z

No hay monopolos magnéticos:Flujo de campo magnético 0

0

0

0

S V

S V V

V

B dS

B dS BdV

BdV

B

3 3:

para toda

C S C

F D

F dl F dS

C

R R


3 3:

C S C

F D R R

F dl F dS


C

C

F dl

1C

2C

1 2C C

F dl F dl

1 2 3 4C C C C

F dl F dl F dl F dl

1i

N

i C

F dl

, ,

, ,

, ,

, ,

iC

x

y

x

y

F dl

F x y z x

F x x y z y

F x y y z x

F x y z y

x

y

, ,x y z

, , , ,

, , , ,i

x xC

y y

F dl F x y z x F x y y z x

F x x y z y F x y z y

, , , ,

, , , ,

i

xx x

C

yy y

FF dl F x y z x F x y z x y xy

FF x y z y x y F x y z y

x

, , , ,

, , , ,

xx x

yy y

FF x y y z F x y z yyF

F x x y z F x y z xx

, , , ,

, , , ,

i

xx x

C

yy y

FF dl F x y z x F x y z x y xy

FF x y z y x y F x y z y

x

i

yx

C

FFF dl y x x yy x

i

y x

C

F FF dl x yx y

3 3

3 3

Sea : un campo vectorial diferenciable,el campo vectorial

:definido como

rotacional de

ˆˆ ˆ

, ,

se llama

y yz x z x

x y z

F D R R

F R R

i j kF FF F F

F

FFx y z y z z x x y

F F F

i

y x

C

F FF dl x yx y

ˆiC

F dl F k x y

ˆiC

F dl F n S

ˆi

i iiC

F dl F n S

1 1

ˆi

N N

i iii iC C

F dl F dl F n S

1

ˆ ˆN

i iii S C

F n S F ndS

ˆC S C

F dl F ndS

3 3:

C S C

F D R R

F dl F dS


0

:

Definición física del rotacional:

1ˆrot lim

n n

SC S

F D

F n x F dlS

R R


rot , ,

Coordenadas esféricas

1 ˆrot sinsin

1 1 ˆsin

1 ˆ

y yz x z x

r

r

F FF F F FFy z z x x y

FF F rr

F rFr r

FrFr r

Coordenadas cilíndricas

1 ˆrot

ˆ

1 ˆ

z

z

F FFz

F Fz

FF k

1 2

Un campo vectorial es conservativo si la integral

de linea entre cualesquiera dos puntos y esindependiente de la trayectoria

P P

2

1

3 3

1 2

:

P b

P a

F D R R

P P

d tF r dl F t dt

dt

3 3:

Un campo vectorial es conservativosi y sólo si

0

F D

F

R R

3 3:

C S C

F D R R

F dl F dS


3 3:Un campo vectorial es conservativo

si y sólo si 0

0C S C

F D R R

F

F dl F dS

3Sea : .Verificar que el rotacional delgradiente siempre es cero.

D R R

3Sea : .Verificar que el rotacional delgradiente siempre es cero.

D R R

, , , ,

, ,

0,0,0

x y z x y z

x y z

x y z

yz zy xz zx yx xy

i j k

3 3Sea : .Verificar que la divergencia delrotacional siempre es cero.

F D R R


F D R R

ˆˆ ˆ

, ,

x y z

x y z

y z z y z x x z x y y x

i j kF

F F F

F F F F F F


F D R R

, ,

0

y z z y z x x z x y y x

x y z z y y z x x z z x y y x

yx z zx y zy x xy z xz y yz x

zx zy x yzyx z y xz y xxy z

F F F F F F

F F F F F F

F F

F FF FF

F F

F

F F

3 3:

C S C

F D

F dl F dS

R R

4cos ,4sin ,4 0, 2

' 4sin ,4cos ,0 0, 2

t t t t

t t t t

2 2

, , , , 2

4sin ,4cos , 2

'

4sin , 4cos , 2 4sin , 4cos ,0

16sin 16cos 16

F x y z y x

F t t t

F t t

t t t t

t t

4cos , 4sin ,4

' 4sin , 4cos ,0 0, 2

t t t

t t t t

2

0

16 32dt

4cos , 4sin ,4

' 4sin , 4cos ,0 0, 2

, , , , 2

' 16

t t t

t t t t

F x y z y x

F t t

3 3:

32

C S C

C

F D

F dl F dS

F dl

R R

, cos , sin ,

0, 2 0, 4

r u v v u v u v

u v

, cos , sin ,

0,2 0, 4

r u v v u v u v

u v

2 2

sin , cos ,0

cos ,sin ,1

ˆˆ ˆ

sin cos 0cos sin 1

cos , sin , sin cos cos ,sin , 1

r v u v uur u uv

i j kr r v u v uu v

u u

v u v u v u v u v u u

, , , , 2F x y z y x

, , , , 2

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

0,0, 2

2x y z

F x y z y x

i j k i j k

Fx y z x y z

F F F y x

, , , , 2

, , 0,0,2

F x y z y x

F x y z

, cos ,sin ,1

0,2 0, 4

cos ,sin , 1

r u v v u u

u v

n v u u

, 0,0, 2

, cos ,sin , 1

0,0,2 cos ,sin , 1

2

F r u v

F r u v v u u

v u u

v

, , , , 2

, 2

F x y z y x

F r u v n v

, cos ,sin ,1

0,2 0, 4

cos ,sin , 1

r u v v u u

u v

n v u u

2 4

42

00 0

2 2 32du v v

3 3:

C S C

F D

F dl F dS

R R

32 ; 32

C S C

F dl F dS

3

Sea

:un campo escalar.Entonces

ˆ

donde es un volumen arbitrarioy es la superficie que lo rodea

V S S

D

dV n dS

VS

R R

En el teorema de la divergencia ponemos

ˆ

donde es un campo vectorial constanteV S S

c dV c n dS

c

ˆ

V S S

dV n dS

Pero

y como es un campo vectorial constante,

c c c

cc c

ˆV S S

c dV c ndS

ˆ

V S S

dV n dS

Sustituyendo

ˆ

ˆ

V S S

V S S

cdV c n dS

c dV c n dS

ˆV S S

c dV c n dS

c c

ˆ

V S S

dV ndS

Sea una región cerrada del plano limitadapor una curva simple y cerrada Sean y dos funciones continuas de e conderivadas continuas en todo

donde se rC R C

R XYC

M N x yR

N MMdx Ndy dxdyx y

C

ecorre en el sentido positivo.

Sea una región cerrada del plano limitada por unacurva simple y cerrada . Sean y dos funcionescontinuas de e con derivadas continuas en todo

donde sC R C

R XYC M N

x y R

N MMdx Ndy dxdy Cx y

e

recorre en el sentido positivo.

R

C

X

Y

3 3:

C S C

F D

F dl F dS

R R

Ponemosˆ ˆ, , , ,

tenemos entoncesˆˆ ˆ ˆ ˆ, ,

C C

C

F x y z iM x y jN x y

F dl iM x y jN x y idx jdy kdz

Mdx Ndy

C R C

N MMdx Ndy dxdyx y

3 3: ;C S C

F D F dl F dS

R R

Ponemosˆ ˆ, , , ,

tenemos entoncesˆˆ ˆ

ˆ

, , 0

F x y z iM x y jN x y

i j kN MF k

x y z x yM x y N x y

C R C

N MMdx Ndy dxdyx y

3 3: ;C S C

F D F dl F dS

R R

ˆ ˆ ˆ

ˆS C R C

N M N MF k k kx y x y

N MF n dS dxdyx y

C R C

N MMdx Ndy dxdyx y

3 3: ;C S C

F D F dl F dS

R R

Tenemos el campo de fuerza en el planoˆ ˆ ( , ) ( 3 ) (2 )

Calcula el trabajo realizado por esta fuerzaal mover una partícula a lo largo de la elipse 4 ² ² 4en la dirección contraria a las m

F x y y x i y x j

x y

anecillas del reloj.Sugerencia: Hay una forma muy fácil, y una,la directa, difícil.

ˆ ˆTenemos el campo de fuerza en el plano ( , ) ( 3 ) (2 )Calcula el trabajo realizado por esta fuerza al mover una partícula a lolargo de la elipse 4 ² ² 4 en la dirección contraria a las

F x y y x i y x j

x y

manecillasdel reloj. Sugerencia: Hay una forma muy fácil, y una, la directa, difícil.

elipse elipse

El trabajo está dado por la integral de línea

( , ) ( 3 ) (2 )W F x y dl y x dx y x dy

elipse elipse

elipse elipse

( 3 ) (2 ) (2 ) ( 3 )

1 1 2 2 área de la elipse

2 2 1 2

4

y x dx y x dy y x y x dxdyx y

W dxdy dxdy

W ab

W

Teorema de Green: C R C

N MMdx Ndy dxdyx y

elipse elipse

El trabajo está dado por la integral de línea

( , ) ( 3 ) (2 )W F x y dl y x dx y x dy


F x y y x i y x j

x y


El trabajo es 4

2 2

11 4x y

Elipse

A dydx

3 2 1 0 1 2 3 3

2

1

0

1

2

3

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

y por tanto es la región

1

;

b a xa

b a x b a xa x a ya

x y

y

a

a b

2 2 2 2

2 2

2 2

0 0 0

2

44

44

b a x b a xa a aa a

a b a xa

bdydx dydx a x dxa

b a aba

2 2 2 2

; b a x b a xa x a ya a

2

2 2

2

cos sin

sin

a x dx

x a dx a d

da

2 1 1 1 1sin cos 2 sin 2 sin cos2 2 2 4 2 2

d d

2 2

cos cos sinx a xx aa a

2 2 2

2arccos2a x x a x

a a

2 2 2

2

0

2 22

arccos2

arccos 1 arccos 02 2 4

a

a x x a xa a

a a a

2 2 2

0 4

a

a x dx a

Tenemos el campo de fuerza en el planoˆ ˆ ( , ) ( 3 ) (2 )

Calcula el trabajo realizado por esta fuerzaal mover una partícula a lo largo de la elipse 4 ² ² 4en la dirección contraria a las m

F x y y x i y x j

x y

anecillas del reloj.Sugerencia: Hay una forma muy fácil, y una,la directa, difícil.

cos ,2sin

0, 2

' sin , 2cos

t t t

t

t t t

3 2 1 0 1 2 3 3

2

1

0

1

2

3

cos , 2sin 0, 2

' sin , 2cos

t t t t

t t t

2 2

2

0

ˆ ˆ( , ) ( 3 ) (2 )

2sin 3cos ,4sin cos

' 2sin 3cos ,4sin cos sin ,2cos

2sin 3sin cos 8sin cos 2cos 2 5sin cos

2 5sin cos 4

F x y y x i y x j

F t t t t t

F t t t t t t t t

t t t t t t t t

t t dt


F x y y x i y x j

x y


El trabajo es 4

Sea una región cerrada del plano limitadapor una curva simple y cerrada Sean y dos funciones continuas de e conderivadas continuas en todo

donde se rC R C

R XYC

M N x yR

N MMdx Ndy dxdyx y

C

ecorre en el sentido positivo.

para todo

V S V

FdV F dS

V

V S V

FdV F dS

2

2

ˆ

ˆ

V S V

V V S V

F f g

f g dV f g ndS

f g f g f g

f gdV f gdV f g ndS

0

Sea :ˆSea un vector unitario en

La derivada direccional de ˆcon respecto a es

ˆlim

ˆ

n

nu

ux u x

xu

R RR

Sea :ˆSea un vector unitario en

Si es diferenciable en , entonces

ˆˆ

n

nu

x

uu

R RR

Sea :

Si es diferenciable en , entonces

ˆ

ˆ

ˆ

n

x

ix

jy

kz

R R

ˆˆ

ˆˆS V S V

gg nn

gf g n dS f dSn

2 ˆV V S V

f gdV f gdV f g ndS

2

ˆV V S V

gf g dV f g dV f dSn

2

2

2 2

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

V V S V

V V S V

V S V


fg f dV f g dV g dSn

g ff g g f dV f g dSn n

2 2

ˆ ˆV S V

g ff g g f dV f g dSn n

2

Sea un volumen y la superficie cerrada.

Consideremos la ecuación de Poisson

, , , ,

con la condición a la frontera

para toda .Suponiendo que la solución existe, demostrar que es

V S V

u x y z h x y z

Su x x

x S

única

1 2

1 2

2

Supongamos que hay dos soluciones diferentes y

La función satisface la

ecuación de Laplace

0en el volumen , junto con la condición a la frontera 0 en

u x u x

v x u x u x

vV

v x S

2

2

22

En la

ˆ

hacemos

obteniendo

primera identidad de G en

ˆ

ˆ

re

V V S V

V V S V

V V S V


f g v

vv vdV v vdV v dSn

vv vdV v dV v dSn

22

2

2

ˆ

pero

0y sobre es cero, así que

0

y0

V V S V

V

vv vdV v dV v dSn

v

v S

v dV

v

1 2

0implica que es una constante en todo el volumen .

Como la condición de frontera sobre es 0,entonces la solución es

0y por lo tanto, la solución es única,

vv V

S v

v

u u

3 3

Un campo vectorial

:se le llama si se satisface

0

Obviamente un campo irrotacional es uncampo conserva

I

t

RROTACION

ivo (es otro nom re)

AL

b

F

F

R R

3 3

3

Si tenemos un campo vectorial irrotacional

:satisface la propiedad

0y entonces existe un campo escalar,

:tal que

F

F

F

R R

R R

3

En otras palabras, para todo campo escalar

:se cump e

0l

R R

3 3

3


: satisface la propiedad 0y entonces existe un campo escalar,

: tal que

F F

F

R R

R R

¿Cómo encontramos ?

3 3

3



: tal que

F F

F

R R

R R

2 1

1 2

donde es una curva seccionalmentesuave que va de a .

C

dl P P

CP P

0

¿Cómo encontramos ?Por uno de los teoremas fundamentalesdel cálculo vectorial

P x

P

x F dl

3 3

3



: tal que

F F

F

R R

R R

El campo electrostático de una carga puntual

1

0

1

1

01

1

0

1

2

rE rr

2

rE rr

0E

0

00 0

2 20

0

ˆ 1 1 1ˆ

Tomando el punto de referencia en el infinito,o sea, tenemos

1

P r

P

rr r

rr r

r E dl

r drr rdrr r r r r

r

rr

2

rE rr

2

2

El Campo electrostáticoˆ 1

El gradiente en coordenadas esféricas es1 1ˆ ˆˆgrad

sinasí que

ˆ

¿ ?

ˆ

rE r rr r

f f ff rr r r

f rE rr

E r

rr

3 3

A un campo vectorial

:se le llama SOLENOIDAL si satisface la propiedad

0

V

V

R R

3 3

3 3

Si un campo vectorial

:es SOLENOIDAL, entonces existe un campo vectorial

: tal que

V

A

V A

R R

R R

3 3

3 3

Si

: es un campo vectorial y

0

entonces existe : que cumple

V

V

A

V A

R R

R R

Ponemos arbitrariamente 0, y como ,ˆˆ ˆ

, ,

0

x

x y z

y z

yzy z

A V A

i j k

V V Vx y z

A A

AAV Vx x

Si div 0, entonces existe tal que V A V A

, , =

, ,

yzy z

yzy z

y z z y

z y y z

AAV Vx x

AAV dx dx V dx dxx x

V dx g y z A V dx f y z A

A V dx g y z A V dx f y z

ˆˆ ˆ

, ,

0

,

x y z

y z

y yz zx

i j k

V V Vx y z

A A

A VA VV dx h y zy z y z

, ,z y y zA V dx g y z A V dx f y z

Como div 0, podemos poner

y sustituyendo en la de arriba

,

yx z

yx z

xx

VV VVx y z

VV Vx y z

VV dx h y zx

,y yz zx

A VA VV dx h y zy z y z

Conocida una que satisface ,todas las demás son de la forma

donde es cualquier función escalar.

1) Es obvio que añadir no cambia que ,ya que 0

A V A

A uu

u V Au

1 2

1 2

1 2

Conocida una que satisface ,

todas las demás son de la forma donde es cualquier función escalar.

2) Si y entonces

0 y ya sabemos que eso

implica que

A V A

A uu

V A V A

A A

A A

u

3 3

2 2

Sea

:tal que

, , , 2 , 2

Encuentra tal que .

V

V x y z x yz yz z zx

A V A

R R

3 3 2 2Sea : tal que , , , 2 , 2 .

Encuentra tal que .

V V x y z x yz yz z zx

A V A

R R

2 2

Primero debemos cerciorarnos que es un campo solenoidal.

div 2 2

2 2 2 2 0

¡ es un campo solenoidal!

V

V x yz yz z zxx y z

x z z x

V

2 2

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ 2 2

Hay muchas ´s que satisfacen esta ecuación.Encontraremos una y luego la generalizaremos.

x y z

i j k

i x yz j yz k z zxx y z

A A A

A

3 3 2 2Sea : tal que , , , 2 , 2 .

Encuentra tal que .


A V A

R R

2 2

2

2

1

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ 2 2

Tomando , tenemos de las componente y

2 2

2

0

2

2 ,

x y z

yz

z y

x

z

i j k


A A A

Y ZAA yz z zx

x xA yzdx A z zx dx

A yzx f y

A

z

2 22 ,yA z x zx f y z

3 3 2 2Sea : tal que , , , 2 , 2 .

Encuentra tal que .


A V A

R R

2 2

2 21 2

2

2 21 2

2 21 2

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ 2 2

2 , ,

Para la componente tenemos

2 2

x y z

z y

yz

i j k


A A A

A yzx f y z A z x zx f y z

XAA x yz

y zf fzx zx x x yzy z

f fx x yzy z

3 3 2 2Sea : tal que , , , 2 , 2 .

Encuentra tal que .


A V A

R R

2 21 2 1 2

21

2

22

Una solución particular obvia es

0 y

12

f f f fx x yz yzy z y z

ff yzz

f dz yzdzz

f yz

3 3 2 2Sea : tal que , , , 2 , 2 .

Encuentra tal que .


A V A

R R

2 21 2

21 2

2 2 2

0 ; 2 , ; ,

10 y 2

Por lo tanto,1 ˆˆ, , 22

x z yA A yzx f y z A z x zx f y z

f f yz

A x y z j z x zx yz k xyz

3 3 2 2Sea : tal que , , , 2 , 2 .

Encuentra tal que .


A V A

R R

2 2 2

2 2 2

2 2

1 ˆˆ, , 22

ˆˆ ˆ

10 22

2 2 , 2 , 2

x y z

A x y z j z x zx yz k xyz

i j kA

z x zx yz xyz

xz xz x yz yz z xz

3 3 2 2Sea : tal que , , , 2 , 2 .

Encuentra tal que .


A V A

R R

2 2 21 ˆˆ, , 22

A x y z j z x zx yz k xyz u

3 3 2 2Sea : tal que , , , 2 , 2 .

Encuentra tal que .


A V A

R R

2 2 21 ˆˆ, , 22

A x y z j z x zx yz k xyz u

2 2 21

2 2 22

1 ˆˆ ˆ, , 2 22

1 ˆˆ ˆ, , 2 cos2

A x y z j z x zx yz k xyz xi

A x y z j z x zx yz k xyz xi

3 3 2 2Sea : tal que , , , 2 , 2 .

Encuentra tal que .


A V A

R R

3 3

3 3

Si

: es un campo vectorial y

0

entonces existe : que cumple

También

V

V

A

V A

A A A u

R R

R R

3 3Sea : un campo vectorial constante.Sea , , y sea una superficie adecuada.Demostrar que

2

donde es la frontera de S C S

ar x y z S

a dS a r dl

C S S

R R

3 3:

C S C

F D

F dl F dS

R R

C S C

F dl F dS

C S C

F a r

a r dl a r dS

2S C S

a dS a r dl

C S C

F dl F dS

2S C S

a dS a r dl

G H H H G G G H

a r r r a a a r

ra r r a a a r

1 1 1 3

3

x y zr x y x

r

a r r r a a a r

0

0

x x y y z za a a a

a

a r r a ar a r

, , , ,

0

0

x y z

x y z

r a x y z a

x y z a

r a

a r r r a aa r

, , , , , ,

, ,

, ,

, ,

x y z x y z

x x y y z z

x x y y z z x x y y z z x x y y z z

x y z

a r a a a x y z

a a a x y z

a x a x a x a y a y a y a z a z a z

a a a a

a r a

a r r r a a a r

3 2a r a a a

C S C

C S C

F dl F dS

F a r

a r dl a r dS

2S C S

a dS a r dl

2a r a

3 3Sea : un campo vectorial constante.Sea , , y sea una superficie adecuada.Demostrar que

2

donde es la frontera de S C S

ar x y z S

a dS a r dl

C S S

R R

1

0

1

1

0

1

1

0

1

1 0 1

1

0

1 1

0

1

3 2 3 7 2 5, , , ,F x y z x xz yz xyz y x z

2 2 90 8

x yz

22 2 8 9

8

x y z

z

3 2 3 7 2 5

3 7

3 7

3 7

23 7

0

3 cos ,sin ,0

' 3 sin ,cos ,0

, , , ,

27cos ,2187sin ,0

' 27 cos ,2187sin ,0 3 sin ,cos ,0

81cos sin 6561cos sin

81cos sin 6561cos sin 0

t t t

t t t

F x y z x xz yz xyz y x z

F t t t

F t t t t t t

t t t t

t t t t dt

3 3Sea :

tal que F , , , , .

Demostrar que es un campo conservativo,y en caso de ser cierto, determinar elpotencial escalar asociado.

F

x y z yz xz xy

D R R

, , , ,F x y z yz xz xy

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ

, , 0

x y z

x y z

x y z

i j kF

F F F

i j kF x x y y z z

yz xz xy


0

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

2

0,1

, , , ,

, ,

' , ,

,

,

' 3

P

P

F dl

t P t P P t

x y z t x x y y z z

x t x x y t y y z t z z

t x x y y z z

y t y y z t z z

F t x t x x z t z z

x t x x y t y y

F t tt

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

( )( )( )

( 2 ( )( ) 2( ) ( ) 2( )( ) )( ) ( ) ( )

x x y y z z

t x y y z z x x y z z x x y y zx y z z x y y z x x y z


0 0 0 0 0 0 0 0

1

0

0 0 0 02 2 4 2 4 4 7

'

xyz x yz xy z x y z xy

F

z x yz xy z x y z

t t dt

1

0

'F t t dt xyz

2 2

2

Verificar el teorema de Green.

parabola de 1,1 a 1,1

y segmento de línea de 1,1 a 1,1 .

C

xy dx x ydy

C y x

Sea una región cerrada del plano limitada por unacurva simple y cerrada . Sean y dos funcionescontinuas de e con derivadas continuas en todo

donde sC R C

R XYC M N

x y R

N MMdx Ndy dxdy Cx y

e

recorre en el sentido positivo.

R

C

X

Y

2 2

1 15 5

1 1

1 15

1 1

2

0

C

xy dx x ydy

x dx x dx xdx

x dx xdx

2 2

2



y segemento de línea de 1,1 a 1,1 .

C

xy dx x ydy

C y x

2 2

2 2

1 1 1 1

1 1

2 ; 2

4 4 0x x

xy xy x y xyy x

dx dyxy xdx ydy

2 2

2



y segemento de línea de 1,1 a 1,1 .

C

xy dx x ydy

C y x

cálculo vectorial

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