calculo purcell, 8va edición

Download Calculo Purcell, 8va Edición

Post on 26-Jul-2015

6.438 views

Category:

Documents

37 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

R e n D e s c a r t e s1 5 9 6 - 1 6 5 0. y h o y e n d I aL a i d e a d e u t i l i z a r c o o r d e n a d a s p a -r a o b t e n e r u n a f i g u r a( g r a f i c a ) d eu n a e c u a c i n e s e l p r i n c i p i of u n d a -m e n t a l e x p l o t a d o p o r l a s n u e v a sc a l c u l a d o r a s q u e g r a f i c a n .R e n D e s c a r t e s e s m e j o rc o n o c i d o c o m o u n g r a n f i l s o f om o d e r n o . T a m b i n f u e u nf u n d a d o r d e I a b i o l o g I a m o d e r n a ,f I s i c o y m a t e m t i c o .D e s c a r t e s n a c i e n T o u r a i n e ,F r a n c i a ; h i j o d e u n m o d e s t o a b o g a d oq u e l o e n v i O a u n a e s c u e l aj e s u i t a a I ae d a d d e o c h o a o s . D e b i d o a s ud e l i c a d a s a l u d , a D e s c a r t e s s e l ep e r m i t i O p a s a r l a s m a a n a s e s t u d i a n d oe n c a m a , u n a p r c t i c a q u ee n c o n t r t a n t i l q u e I a a d o p t p a r a e l r e s t od es u v i d a . A l o s 2 0 a o s o b t u v oe l t I t u l od e a b o g a d o y d e a I I I e n a d e l a n t e v i v i I a v i d a d e u n c a b a l l e r o d e s u p o c a ,s i r v i O e n e l e j r c i t o d u r a n t e a l g u n o sa o s y v i v i u n a s v e c e s e n P a r i s y o t r a se n l o s P a I s e s B a j o s . I n v i t a d o c o m oi n s t r u c t o r d e I a r e i n a C r i s t i n a , f u e aS u e c i a , d o n d e m u r i O d e p u l m o n I a e n 1 6 5 0 .D e s c a r t e s b u s c O u n m t o d o g e n e r a l d ep e n s a m i e n t o q u e d i e r ac o h e r e n c i a a l c o n o c i m i e n t o y c o n d u j e s e l a s c i e n c i a s aI a v e r d a d . L ai n v e s t i g a c i n l o c o n d u j o a l a s m a t e m t i c a s , d el a s q u e c o n c l u y O q u e e r a ne l m e d i o p a r a e s t a b l e c e r I a v e r d a d e n t o d o sl o s c a m p o s . S u t r a b a j om a t e m t i c o d e m a y o r t r a s c e n d e n c i a f u e L aG o m t r i e , p u b l i c a d o e n1 6 3 7 . E n I , i n t e n t I a u n i f i c a c i n d e I aa n t i g u a y v e n e r a b l e g e o m e t r I ac o n e l a l g e b r a , a n e n p a a l e s .J u n t o c o n o t r o f r a n c e s , P i e r r e F e r m a t( 1 6 0 1 - 1 6 6 5 ) , t i e n e c r d i t o p o r I a u n i o n q u eI l a m a m o s h o y g e o m e t r I aa n a l I t i c a , o g e o m e t r I a c o o r d e n a d a . S i n e l l a , n oh u b i e s e p o d i d o s u r g i r e lp l e n o d e s a r r o l l o d e l c l c u l o .

6 CAPTULO1 Preliminaresmismo y 1. Los primeros primos son 2,3,5,7,11,13 Y17. De acuer-do con el Teorema fundamentalde Id aritmtica, todonmeronatural(distinto de1) puede escribirse como el producto de unnico conjunto de primos. Por ejemplo, 45=3 . 3 . 5. Escriba ca-da uno delos siguientes nmeros como un producto deprimos.Nota: El productor es trivial si el nmero es primo -esto es, tie-ne un solo factor.44. Utilice el teorema fundamental de la aritmtica (vase elproblema 43) para demostrar que el cuadrado de cualquier nme-ro natural (distinto de 1) puede escribirse como el producto de unconjunto nico de primos, cada uno de los cuales aparece un n-mero par de veces. Por ejemplo (45)2= 3 . 3 . 3 . 3 . 5 . 5.45. Demuestre que v2es irracional. Sugerencia: Intente unademostracin por contradiccin. Suponga que v2=p/ q, dondepy q son nmeros naturales (necesariamente distintos de 1). En-tonces 2 = p2/q2, de modo que 2q2 = p2. Ahora utilice el proble-ma 44 para obtener una contradiccin.46. Demuestre que v3 es irracional (vase el problema 45).47. Demuestre que la suma de dos nmeros racionales es ra-cional.48. Demuestre que el producto de un nmero racional (dis-tinto de O) y un nmero irracional es irracional. Sugerencia: Inten-te una demostracin por contradiccin.49. Cul de los siguientes nmeros son racionales y culesson irracionales?Respuestas a la revisin de conceptos: 1. racionales2. v2;1T 3. reales 4. teoremas(b) 0.375(d) (1+V3)2(f) 50(a) - V9(c) 1 - 0(e) (30)(50)50. La suma de dos nmeros irracionales, necesariamentees irracional? Explique.51. Demuestre que si el nmero natural Viii no es un cuadra-do perfecto, entonces m es irracional.52. Demuestre que v'6 +V3 es irracional.53. Demuestre que 0 - V3 +v'6 es irracional.54. Demuestre que log105 es irracional.55. Escriba el recproco y el contrarrecproco de los enuncia:dos siguientes.(a) Si yo hago toda la tarea asignada, entonces yo obtengo A eneste curso.(b) Si x es un nmero real, entonces x es un entero.(c) Si MBC es un tringulo equiltero, entonces MBC es untringulo issceles.(b) 127(d) 346(a) 243(c) 5100Tambin los nmeros irracionales pueden expresarse en forma decimal. Por ejem-plo,V2= 1.4142135623 ... , V3=1.7320508075 ...7T=3.1415926535 ...Cualquier nmeroracional puedeescribirsecomodecimal, yaquepor definicinsiempre puede expresarse como el cociente de dos enteros; si dividimos el denomina-dor entre el numerador, obtenemos un decimal (vase la figura 1). Por ejemplo,0.3750.428571428571428571 ...38370.5121311 =1.181818 ...Decimalesperidicosynoperidicos La representacin decimal de un n-mero racional o bien termina (como en~ =0.375) o bien se repite hasta el infinito enciclos regulares (como en H=1.181818 ...). Un poco de experimentacin con el al-goritmo de la divisin le mostrar el porqu. (Observe que slo puede haber un n-mero finito de residuos diferentes.) Un decimal que termina puede considerarse comoun decimal peridico con ceros que se repiten. Por ejemplo,,. .2Decimales, calculadorasy estimacinFigura138" =0.375=0.3750000 ...As, todo nmero racional puede escribirse como un decimal peridico. En otras pala-bras, si x es un nmero racional, entonces xpuede escribirse como un decimal peri-dico. Es notable el hecho de que el recproco tambin es verdadero, si x puede escri-birse como un decimal peridico, entonces x es un nmero racional. Esto es obvio enel caso de decimales que terminan (por ejemplo, 3.137 = 3137/1000), y es fcil demos-trar para el caso de decimales peridicos.SECCIN1.2 Decimales, calculadoras y estimacin 7EJEMPLO1 (Decimales peridicos son racionales.) Demuestre quex =0.136136136... y y=0.27171717 ...representan nmeros racionales.Solucin Restamos x de 1000x y luego resolvemos para x.1000x=136.136136 .x = 0.136136 .999x= 136136x = 999De manera anloga,Las representaciones decimales delos nmeros irracionales no se repiten en ci-clos. Recprocamente, un decimal no peridico debe representar a un nmero irracio-nal. As, por ejemplo, Figura2Los nmeros reales100y=27.17171717 .y= 0.27171717 .99y = 26.926.9 269Y= 99= 990Figura3Figura 4~lA1.41lA140.101001000100001 ...debe representar un nmero irracional (observe que el patrn de ms y ms ceros en-tre los unos). El diagrama en la figura 2 resume lo que hemos dicho.Densidad Entre cualesquiera dos nmeros reales diferentes a y b, no importa qutan cercanos se encuentren, existe otro nmero real. En particular, el nmero Xl = (a +b)/2 es un nmero real que est a la mitad entre a y b (vase la figura 3). Ya que exis-te otro nmero real, x2' entre a y Xl' Yotro nmero real, x3' entreXly x2' y puesto queeste argumento puede repetirse ad infinitum, concluimos que existe un nmero infini-to de nmeros reales entre a y b. Por tanto, no existe tal cosa como "el menor nme-ro real mayor que 3".En realidad, podemos decir ms. Entre cualesquiera dos nmeros reales distintos,existe tanto un nmero racional como un nmero irracional. (En el ejercicio 29 le pe-dimos demostrar que existe un nmero racional entre cualesquiera dos nmeros rea-les.) De aqu que, por medio del argumento precedente, existe una infinidad de cadauno de ellos (racionales e irracionales).Una forma en que los matemticos describen la situacin que hemos expuesto, esdecir, quelosnmerosracionalesy losnmerosirracionalesson densosenla rectareal. Todo nmero tiene vecinos racionales e irracionales arbitrariamente cercanos al. Los dos tipos de nmeros estn inseparablemente entrelazados e inexorablementeaglomerados entre s.Una consecuencia de la propiedad de densidad es que cualquier nmero irracionalpuede aproximarse tanto como se quiera por medio de un nmero racional-de hecho,por mediodeunnmero racional con unarepresentacindecimalfinita. Como unejemplo tome \12. La sucesin de nmeros racionales 1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,1.414213, ... avanza constante e inexorablemente hacia \12 (vase la figura 4). Avanzan-do lo suficiente en esta sucesin, podemos estar tan cerca como queramos de \12.Calculadoras y computadoras Hubo una poca cuando todos los cientficos eingenieroscaminabanporelcampuscondispositivosmecnicosllamadosreglasdeclculo sujetas a sus cinturones. Por los 70, los estudiantes llevaban calculadoras quepodan realizar las operaciones bsicas y obtener races cuadradas, y en los principiosde los 80 una calculadora barata podra evaluar funciones exponenciales, logartmicasy trigonomtricas. Las calculadoras graficadoras estuvieron disponibles a principios delos 90, estas calculadoras pueden expandir (x- 3y)12, pueden resolver x3- 2x2+ X = OYpueden aproximar una solucin a x2- cos \IX =O.8 CAPTULO1 PreliminaresMuchos problemas en este texto estnmarcados con un smbolo especial.[g significa UTILICE UNACALCULADORA.IGCI significa UTILICE UNACALCULADORA GRFICA.ICAS I significa UTILICE UNSISTEMA DE LGEBRACOMPUTACIONAL.[;] significa HAGA UNAESTIMACIN DE LARESPUESTA ANTES DETRABAJAR EN ELPROBLEMA; LUEGOVERIFIQUE SU RESPUESTACONTRA ESTA ESTIMACIN.I EXPL Isignifica ELPROBLEMA LE PIDEEXPLORAR E IR MS ALLDE LAS EXPLICACIONESDADAS EN ELTEXTO.Figura5Existe una gran cantidad de usos para una calculadora en este texto, en especialen los problemas marcados con un [Q .Ahoraexisteunagrancantidad depoderosospaquetesdecmputoquepuederealizar clculos tales como (1T - v2)100, manipulaciones simblicas como el desarro-llo de (2x - 3y)22 Ygrficas como la de y = x sen x. Estos programas pueden ayudarleenel procesode aprendizaje ycomprensindel clculo, peronodebedependerde ellos para hacer clculo por usted. Los paquetes de cmputo tienen la ve