R e n D e s c a r t e s1 5 9 6 - 1 6 5 0. y h o y e n d I aL a i d e a d e u t i l i z a r c o o r d e n a d a s p a -r a o b t e n e r u n a f i g u r a( g r a f i c a ) d eu n a e c u a c i n e s e l p r i n c i p i of u n d a -m e n t a l e x p l o t a d o p o r l a s n u e v a sc a l c u l a d o r a s q u e g r a f i c a n .R e n D e s c a r t e s e s m e j o rc o n o c i d o c o m o u n g r a n f i l s o f om o d e r n o . T a m b i n f u e u nf u n d a d o r d e I a b i o l o g I a m o d e r n a ,f I s i c o y m a t e m t i c o .D e s c a r t e s n a c i e n T o u r a i n e ,F r a n c i a ; h i j o d e u n m o d e s t o a b o g a d oq u e l o e n v i O a u n a e s c u e l aj e s u i t a a I ae d a d d e o c h o a o s . D e b i d o a s ud e l i c a d a s a l u d , a D e s c a r t e s s e l ep e r m i t i O p a s a r l a s m a a n a s e s t u d i a n d oe n c a m a , u n a p r c t i c a q u ee n c o n t r t a n t i l q u e I a a d o p t p a r a e l r e s t od es u v i d a . A l o s 2 0 a o s o b t u v oe l t I t u l od e a b o g a d o y d e a I I I e n a d e l a n t e v i v i I a v i d a d e u n c a b a l l e r o d e s u p o c a ,s i r v i O e n e l e j r c i t o d u r a n t e a l g u n o sa o s y v i v i u n a s v e c e s e n P a r i s y o t r a se n l o s P a I s e s B a j o s . I n v i t a d o c o m oi n s t r u c t o r d e I a r e i n a C r i s t i n a , f u e aS u e c i a , d o n d e m u r i O d e p u l m o n I a e n 1 6 5 0 .D e s c a r t e s b u s c O u n m t o d o g e n e r a l d ep e n s a m i e n t o q u e d i e r ac o h e r e n c i a a l c o n o c i m i e n t o y c o n d u j e s e l a s c i e n c i a s aI a v e r d a d . L ai n v e s t i g a c i n l o c o n d u j o a l a s m a t e m t i c a s , d el a s q u e c o n c l u y O q u e e r a ne l m e d i o p a r a e s t a b l e c e r I a v e r d a d e n t o d o sl o s c a m p o s . S u t r a b a j om a t e m t i c o d e m a y o r t r a s c e n d e n c i a f u e L aG o m t r i e , p u b l i c a d o e n1 6 3 7 . E n I , i n t e n t I a u n i f i c a c i n d e I aa n t i g u a y v e n e r a b l e g e o m e t r I ac o n e l a l g e b r a , a n e n p a a l e s .J u n t o c o n o t r o f r a n c e s , P i e r r e F e r m a t( 1 6 0 1 - 1 6 6 5 ) , t i e n e c r d i t o p o r I a u n i o n q u eI l a m a m o s h o y g e o m e t r I aa n a l I t i c a , o g e o m e t r I a c o o r d e n a d a . S i n e l l a , n oh u b i e s e p o d i d o s u r g i r e lp l e n o d e s a r r o l l o d e l c l c u l o .

6 CAPTULO1 Preliminaresmismo y 1. Los primeros primos son 2,3,5,7,11,13 Y17. De acuer-do con el Teorema fundamentalde Id aritmtica, todonmeronatural(distinto de1) puede escribirse como el producto de unnico conjunto de primos. Por ejemplo, 45=3 . 3 . 5. Escriba ca-da uno delos siguientes nmeros como un producto deprimos.Nota: El productor es trivial si el nmero es primo -esto es, tie-ne un solo factor.44. Utilice el teorema fundamental de la aritmtica (vase elproblema 43) para demostrar que el cuadrado de cualquier nme-ro natural (distinto de 1) puede escribirse como el producto de unconjunto nico de primos, cada uno de los cuales aparece un n-mero par de veces. Por ejemplo (45)2= 3 . 3 . 3 . 3 . 5 . 5.45. Demuestre que v2es irracional. Sugerencia: Intente unademostracin por contradiccin. Suponga que v2=p/ q, dondepy q son nmeros naturales (necesariamente distintos de 1). En-tonces 2 = p2/q2, de modo que 2q2 = p2. Ahora utilice el proble-ma 44 para obtener una contradiccin.46. Demuestre que v3 es irracional (vase el problema 45).47. Demuestre que la suma de dos nmeros racionales es ra-cional.48. Demuestre que el producto de un nmero racional (dis-tinto de O) y un nmero irracional es irracional. Sugerencia: Inten-te una demostracin por contradiccin.49. Cul de los siguientes nmeros son racionales y culesson irracionales?Respuestas a la revisin de conceptos: 1. racionales2. v2;1T 3. reales 4. teoremas(b) 0.375(d) (1+V3)2(f) 50(a) - V9(c) 1 - 0(e) (30)(50)50. La suma de dos nmeros irracionales, necesariamentees irracional? Explique.51. Demuestre que si el nmero natural Viii no es un cuadra-do perfecto, entonces m es irracional.52. Demuestre que v'6 +V3 es irracional.53. Demuestre que 0 - V3 +v'6 es irracional.54. Demuestre que log105 es irracional.55. Escriba el recproco y el contrarrecproco de los enuncia:dos siguientes.(a) Si yo hago toda la tarea asignada, entonces yo obtengo A eneste curso.(b) Si x es un nmero real, entonces x es un entero.(c) Si MBC es un tringulo equiltero, entonces MBC es untringulo issceles.(b) 127(d) 346(a) 243(c) 5100Tambin los nmeros irracionales pueden expresarse en forma decimal. Por ejem-plo,V2= 1.4142135623 ... , V3=1.7320508075 ...7T=3.1415926535 ...Cualquier nmeroracional puedeescribirsecomodecimal, yaquepor definicinsiempre puede expresarse como el cociente de dos enteros; si dividimos el denomina-dor entre el numerador, obtenemos un decimal (vase la figura 1). Por ejemplo,0.3750.428571428571428571 ...38370.5121311 =1.181818 ...Decimalesperidicosynoperidicos La representacin decimal de un n-mero racional o bien termina (como en~ =0.375) o bien se repite hasta el infinito enciclos regulares (como en H=1.181818 ...). Un poco de experimentacin con el al-goritmo de la divisin le mostrar el porqu. (Observe que slo puede haber un n-mero finito de residuos diferentes.) Un decimal que termina puede considerarse comoun decimal peridico con ceros que se repiten. Por ejemplo,,. .2Decimales, calculadorasy estimacinFigura138" =0.375=0.3750000 ...As, todo nmero racional puede escribirse como un decimal peridico. En otras pala-bras, si x es un nmero racional, entonces xpuede escribirse como un decimal peri-dico. Es notable el hecho de que el recproco tambin es verdadero, si x puede escri-birse como un decimal peridico, entonces x es un nmero racional. Esto es obvio enel caso de decimales que terminan (por ejemplo, 3.137 = 3137/1000), y es fcil demos-trar para el caso de decimales peridicos.SECCIN1.2 Decimales, calculadoras y estimacin 7EJEMPLO1 (Decimales peridicos son racionales.) Demuestre quex =0.136136136... y y=0.27171717 ...representan nmeros racionales.Solucin Restamos x de 1000x y luego resolvemos para x.1000x=136.136136 .x = 0.136136 .999x= 136136x = 999De manera anloga,Las representaciones decimales delos nmeros irracionales no se repiten en ci-clos. Recprocamente, un decimal no peridico debe representar a un nmero irracio-nal. As, por ejemplo, Figura2Los nmeros reales100y=27.17171717 .y= 0.27171717 .99y = 26.926.9 269Y= 99= 990Figura3Figura 4~lA1.41lA140.101001000100001 ...debe representar un nmero irracional (observe que el patrn de ms y ms ceros en-tre los unos). El diagrama en la figura 2 resume lo que hemos dicho.Densidad Entre cualesquiera dos nmeros reales diferentes a y b, no importa qutan cercanos se encuentren, existe otro nmero real. En particular, el nmero Xl = (a +b)/2 es un nmero real que est a la mitad entre a y b (vase la figura 3). Ya que exis-te otro nmero real, x2' entre a y Xl' Yotro nmero real, x3' entreXly x2' y puesto queeste argumento puede repetirse ad infinitum, concluimos que existe un nmero infini-to de nmeros reales entre a y b. Por tanto, no existe tal cosa como "el menor nme-ro real mayor que 3".En realidad, podemos decir ms. Entre cualesquiera dos nmeros reales distintos,existe tanto un nmero racional como un nmero irracional. (En el ejercicio 29 le pe-dimos demostrar que existe un nmero racional entre cualesquiera dos nmeros rea-les.) De aqu que, por medio del argumento precedente, existe una infinidad de cadauno de ellos (racionales e irracionales).Una forma en que los matemticos describen la situacin que hemos expuesto, esdecir, quelosnmerosracionalesy losnmerosirracionalesson densosenla rectareal. Todo nmero tiene vecinos racionales e irracionales arbitrariamente cercanos al. Los dos tipos de nmeros estn inseparablemente entrelazados e inexorablementeaglomerados entre s.Una consecuencia de la propiedad de densidad es que cualquier nmero irracionalpuede aproximarse tanto como se quiera por medio de un nmero racional-de hecho,por mediodeunnmero racional con unarepresentacindecimalfinita. Como unejemplo tome \12. La sucesin de nmeros racionales 1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,1.414213, ... avanza constante e inexorablemente hacia \12 (vase la figura 4). Avanzan-do lo suficiente en esta sucesin, podemos estar tan cerca como queramos de \12.Calculadoras y computadoras Hubo una poca cuando todos los cientficos eingenieroscaminabanporelcampuscondispositivosmecnicosllamadosreglasdeclculo sujetas a sus cinturones. Por los 70, los estudiantes llevaban calculadoras quepodan realizar las operaciones bsicas y obtener races cuadradas, y en los principiosde los 80 una calculadora barata podra evaluar funciones exponenciales, logartmicasy trigonomtricas. Las calculadoras graficadoras estuvieron disponibles a principios delos 90, estas calculadoras pueden expandir (x- 3y)12, pueden resolver x3- 2x2+ X = OYpueden aproximar una solucin a x2- cos \IX =O.8 CAPTULO1 PreliminaresMuchos problemas en este texto estnmarcados con un smbolo especial.[g significa UTILICE UNACALCULADORA.IGCI significa UTILICE UNACALCULADORA GRFICA.ICAS I significa UTILICE UNSISTEMA DE LGEBRACOMPUTACIONAL.[;] significa HAGA UNAESTIMACIN DE LARESPUESTA ANTES DETRABAJAR EN ELPROBLEMA; LUEGOVERIFIQUE SU RESPUESTACONTRA ESTA ESTIMACIN.I EXPL Isignifica ELPROBLEMA LE PIDEEXPLORAR E IR MS ALLDE LAS EXPLICACIONESDADAS EN ELTEXTO.Figura5Existe una gran cantidad de usos para una calculadora en este texto, en especialen los problemas marcados con un [Q .Ahoraexisteunagrancantidad depoderosospaquetesdecmputoquepuederealizar clculos tales como (1T - v2)100, manipulaciones simblicas como el desarro-llo de (2x - 3y)22 Ygrficas como la de y = x sen x. Estos programas pueden ayudarleenel procesode aprendizaje ycomprensindel clculo, peronodebedependerde ellos para hacer clculo por usted. Los paquetes de cmputo tienen la ventaja so-bre las calculadoras grficas de ser ms poderosos y capaces de mostrar los resultadosen una pantalla dealta resolucin. Las calculadoras grficas tienela ventaja dequecuestan menos y caben en su bolsillo.Por lo comn, las calculadoras y las computadoras trabajan con nmeros racionalesen la forma decimal con alguna longitud preestablecida, por ejemplo, diez dgitos. Al-gunos paquetes de cmputo son capaces de almacenar algunos nmeros irracionalesen formato simblico que, en efecto, retiene el valor exacto. Por ejemplo, tanto Maplecomo Mathematica pueden almacenar v2 de tal manera que las manipulaciones sub-secuentes utilicen este valor exacto. Por ejemplo, Mathematica simplificar la entrada4/Sqrt [2] y regresar 2 Sqrt [2].Con respecto a las calculadoras y computadoras, nuestra advertencia es sta: Ha-ga los clculos que puedan realizarse con facilidada mano sin una calculadora, espe-cialmente si esto permite una respuesta exacta. Por ejemplo, por lo general preferimosla respuesta exacta V3/2 para el seno de 60 al valor de la calculadora 0.8660254. Sinembargo, en cualquier clculo complicado recomendamos el uso de una calculadora.Estimacin Dado un problema aritmticocomplicado, un estudiante descuidadopodrapresionarunascuantasteclasenunacalculadoray reportar larespuestasindarse cuenta de la falta de parntesis o un "error de dedo" ha dado un resultado err-neo. Un estudiante cuidadoso con un sentido de los nmeros presionar las mismas te-clas, inmediatamente sedar cuenta que la respuesta es equivocada si es demasiadogrande o demasiado pequea, y la recalcular de manera correcta. Es importante co-nocer cmo hacer una estimacin mental.EJEMPLO 2 Calcular (V430 +72 +V73)/2.75.Solucin Una estudiante juiciosa aproxim lo anterior como (20 + 72 + 2)/3 y dijoque la respuesta debera ser cercana a 30. As, cuando su calculadora dio 93.448 co-mo respuesta, ella desconfi(lo que en realidad haba calculado fue V430+72+"V73/2.75). Al recalcular, ella obtuvo la respuesta correcta: 34.434. _Si un hombre le dice que el volumen de su cuerpo es de 20,000 pulgadas cbicas,ddelo. Usted podra estimar su volumen de esta manera. l tiene una estatura apro-ximada de 70 pulgadas y el largo de su cinturn es 30 pulgadas, dando un radio de lacintura de casi 5 pulgadas. Si aproximamos su volumen por medio de la de un cilindro,encontramosqueelvolumenser1Tr2h =3(52)70 =5000 pulgadascbicas. lnoestan grande como dice.Aqu hemos utilizado =para querer decir "aproximadamente igual". Utilice estesmbolo en su trabajo de borrador cuando est haciendo una aproximacin a una res-puesta. En un trabajo ms formalnunca debe utilizar este smbolo sin saber qutangrande podra ser el error. A continuacin est un ejemplo ms relacionado con clculo.EJEMPLO3 Suponga que la regin sombreada R mostrada en la figura 5, gira alre-dedor del eje x. Estime el volumen del anillo slido resultantes.Solucin La regin R es de alrededor de 3 unidades de longitud y 0.9 unidades de al-to. Estimamos su rea como 3(0.9) =3 unidades cuadradas. Imagine que el anillo sli-do S se abre y se aplana, formando una caja de alrededor de 21Tr =2(3)(6) = 36 unida-des de longitud. El volumen de una caja es el rea de su seccintransversal por sulongitud. As, estimamos que el volumen de la caja sera 3(36) = 108 unidades cbicas.Si la calcul y obtuvo 1000 unidades cbicas, necesita verificar su trabajo. _Acontinuacin est unproblema prctico queutiliza el mismotipoderazona-miento.EJEMPLO 5 Un vaso de precipitados de! litro (500 centmetros cbicos) tiene un ra-dio interno de 4 centmetros. Qu tan exacto debemos medir la altura h del agua en elvaso para asegurar que tenemos! litro de agua con un error de menos del 1%, esto es,un error de menos de 5 centmetros cbicos? Vase la figura 5.Solucin El volumen V de agua en el vaso est dado por la frmula V = 161Th. Que-remos que IV - 5001Oytodao >0,0 < lx-el < o=}lf(x)-LI O, existe una correspondiente e >Otal queO Odada. Por hiptesis, lmf (x) existe; llamemos La su valor. Porx-c>cdefinicin de lmite, existe un nmero Dtal queO(x) = 1x+{X si x es racionalf x = ...() - X SIX es IrracIOnalDibuje la grfica de esta funcin lo mejor que pueda y decida en dn-de es continua.38. Utilice el Teorema del valor intermedio para demostrar quex3+ 3x - 2= Otiene una solucin real entre Oy 1.36. Dibuje la grficadeuna funcin f quesatisfacetodaslascondiciones siguientes.(a) Su dominio es [-2,2].(b) f(-2) = f(-l) = f(l) = f(2) =1.(c) Es discontinua en -1 y 1.(d) Es continua por la derecha en -1 y continua por la izquierda en 1.37. Sea{X si x < o32. f (x) = x2si o=:; x =:; 12- x si x>13x+724. f (x) =(x- 30) (x- 7T)33- x225. f (x) =-x-7T-+-3-x---3-7T---X-2Figura13En los problemas del 18 al 23, la funcin dada no est definida en cier-to punto. Cmo debe definirse para hacerla continua en ese punto?(Vase el ejemplo 1.)x2- 4918. f (x) = x- 7sen (e)20. g(e) = -e-SECCIN 2.10 Revisin del captulo 9358. Un bloque delgado en forma de tringulo equiltero con ladode longitud 1 unidad, tiene su cara en la vertical del plano xy con unvrtice en el origen. Bajo la influencia de la gravedad, girar alrede-dor de Vhasta que un lado golpee el piso, en el eje x(vase la figura15). Dentese con x la abscisa inicial x del punto medio M, del ladoopuesto a V, Ysea f (x)la abscisa x final de este punto. Suponga queel bloque queda en equilibrio cuando Mest directamente arriba de V.(a) Determine el dominio y rango de f.(b) En el dominio de f, en dnde es discontinua?(c) Identifique cualesquiera puntos fijos de f (vase el problema 43).En los problemas del 50 al 53, estudiaremos funcioneslineales. Talesfunciones tiene la forma y( x) = mx +b, donde m y b son constantes.50. Demuestre que la suma de dos funcioneslineales tambines una funcin lineal.51. Demuestre que la composicin de dos funciones lineales tam-bin es una funcin lineal.52. Demuestre que el producto de dos funciones lineales por logeneral no es una funcin lineal.53. Demuestre que el cociente de dos funciones lineales por logeneral no es una funcin lineal.54. Pruebe que si f (x)es una funcin continua en un intervaloentonces tambin lo es la funcin If(x)1 =V((x))2.55. Demuestre que si g(x) =If(x)1es continua, no necesaria-mente es cierto que f(x)sea continua.56. Algunas veces se dice que la continuidad de una funcin fes-t definida para ser capaz de pasar ellm "a travs" de la funcin. PorX-Kejemplo, si f es continua en c, entonces lmf(x) =f(lmx). De-muestre o refute esta afirmacin. x---+c x---+c-1yoPosicin inicialyPosicin final57. (Problema famoso) Sea f( x) =0, si x esirracional y seaf(x) =1/q si x es un nmero racional p/q en su mnima expresin(q>O).(a) Dibuje, lo mejor que pueda, la grfica de f en(O, 1).(b) Demuestre que fes continua en cada nmero irracional en (O, 1),pero es discontinua en cada nmero racional en (0,1).2.10Revisin del captuloExamen de conceptosA cada una de las siguientes aseveraciones responda con verdadero ofalso. Justifique sus respuestas.1. La ecuacin xy + x2=3y determina una funcincon frmulade la forma y=f(x).2. La ecuacin xi +x2=3x determina una funcin con frmulade la formay =f(x).3. La ecuacin Osen O+t - cos O= determina a t como una fun-cin deO.4. La ecuacin +'IJI = 1 +'IJII determina a como una funcinde'IJI.5. La ecuacin T=sen(O) determina a Ocomo una funcin de T.6. El dominio natural def(x) =~ 4~ xes el intervalo [0,4).7. El dominio natural def(x) = V-(x2+4x+3)es el intervalo -3 ::; x::; -1.8. El dominio natural de T( O) =sec(O) +cos(O) es todo valor de O.9. El rango de f (x) =x2- 6 es el intervalo [-6,00).10. El rangodelafuncinf(x) =tanx- secxesel intervalo(-00, -1J u[1, 00).Figura15Respuestas a la revisin de conceptos: 1. lmf (x ) 2. todosx---+clos enteros 3. lm f(x) =f(a); lm f(x) = f(b) 4. a; b;x---+a x---+bf(c) =W11. El rango de la funcin f (x) =csc x - sec x es el intervalo (-00,-1J u[1,00).12. La suma de dos funciones pares es una funcin par.13. La suma de dos funciones impares es una funcin impar.14. El producto de dos funciones impares es una funcin impar.15. El producto de una funcin par con una funcin impar es una fun-cin impar.16. La composicin de una funcin par con una funcin impar es unafuncin impar.17. La composicin de dos funciones impares es una funcin par.18. Lafuncinf(x) =(2x3+ x)/(x2+1) es impar.19. La funcinf(t) = (sen t}2+cos ttan t csc tes par.20. Si el rango de una funcin consiste en slo un nmero, entoncessu dominio tambin consiste de slo un nmero.21. Si el dominio de una funcin contiene al menos dos nmeros, en-tonces el rango tambin contiene al menos dos nmeros.22. Sig(x) = [x/2],entoncesg(-1.8)=-1.23. Si f(x) =x2y g(x) =x3, entonces f o g=go f.24. Si f(x) =x2y g(x) =x3, entonces (fo g)(x) =f(x).g(x).25. Si fyg tiene los mismos dominios, entonces f /g tambin tiene esedominio.' P R Y E C T GF i E C N O L ( A 2 . 1P r e p a r a c i n ' 1 U s o d e I a t e c n o r j I a

j e r c i c i o 1

E j e r c i c i o 2

: j e r c i c i o 3

1 j e r c i c i o 4

F i g u r a 1\

l e * I L i c

I lJ .4

H -

9 /r .s p ( a z a m i e i : oe s r :r n k n t o d e I g . t if f i f l c i O f l I I -Id l a I :

: H r f

L

i tI I b - v - I .i . N4

P R Y E C 1 O D E T E C N O L O G f A 2 . 2: I C y D S L . . 1 5 0 d e I a tr C j c j o 1 1 3 x - , 1 3-

x - * 0

/ Lf I i l r

c L j d i C j O f lj " l

- t

S C d C '

L I m i tP r e p a r a ( , nR i .' .C i n i - i o n

L ' - ' c n o l o g I aE j .-

9 8

E j e r c i c l o 3

4 x

E j e r c i c l o 4

E j . ' :

i r c k , 5

e i r E e r c i c i o

C A P I T U L O3f l3 . 1D o s p r o b l e m a sc o n e l m i s m o t e m a/ F i g u r a 1F i g u r a 2 L a d e r i v a d a3 . 1 D o s p r o b l e m a s c o n e l m i s m o t e m a3 . 2 L a d e r i v a d a3 . 3 R e g l a s p a r a e n c o n t r a r d e r i v a d a s3 . 4 D e r i v a d a s d e f u n c i o n e s t r i g o n o m t r i c a 13 . 5 L a r e g l a d e I a c a d e n a3 . 6 N o t a c i n d e L e i b n i z3 . 7 D e r i v a d a s d e o r d e n s u p e r i o r3 . 8 D e r i v a c i n i m p i l c i t a3 . 9 T a s a s d e c a m b i o r e l a c i o n a d a s3 . 1 0 D i f e r e n c i a l e s y a p r o x i m a c i o n e s3 . 1 1 R e v i s i o n d e l c a p I t u l o3 . 1 2 P r o b l e m a s a d i c i o n a l e sP r o y e c t o d e t e c n o l o g I a 3 . 1 R e c t a s s e c a n t e s y t a n g e n t e sP r o y e c t o d e t e c n o l o g I a 3 . 2 A p r o x i m a c i O n l i n e a l d e u n a f u n c i O n

L a r e c t a t a n g e n t e

Q Q , Q

y = f ( x ) . Q+ h , f ( c + h ) ) y f ( c + h ) - f ( c ) = h102 CAPTULO 3 Laderivada250.g 2006ou~ 150rou~ lOOes500""'--""""'----+----+----+------+-Figura9Durante el segundo segundo (p. ej., en el intervalo de tiempo de t =1 a t =2),P cae(64- 16) pies. Su velocidad promedio fue64- 16 .vprom = 2_ 1 =48 pIeS por segundoDuranteel intervalodet =1 at =1.5, cae16(1.5)Z- 16=20 pies. Su velocidadpromedio fue16(1.5)2- 16 20 .vprom = 1.5_ 1 =0.5 =40 pIes por segundoDemanerasimilar, enlosintervalosdetiempot =1 at =1.1Yt =1 at =1.01,calculamos las velocidades promedio respectivas16(1.1)2- 16 3.36 .vprom = 1.1_ 1 = 0.1 =33.6 pIeS por segundoCambio en el tiempoc+h!(c)Cambio enla posicin/(c+h)Figura1016(1.01)2- 16 0.3216 .vprom = 1.01_ 1 = ~ =32.16 pIes por segundoLoquehemos hecho es calcular la velocidad promedio en intervalos detiempocada vez ms pequeos, cada uno iniciando en t =1. Entre ms breve es el intervalode tiempo, mejor aproximamos la velocidad instantnea en el instante t =1. Mirandolos nmeros 48,40,33.6 Y32.16, podramos suponer que 32 pies por segundo es la ve-locidad instantnea.Pero seamos ms precisos. Suponga que un objeto P se mueve a lo largo de un ejecoordenado de modo que su posicin en el instante test dada por s=f(t). En el ins-tante e el objeto est en f( e); en un instante cercano, e +h, est en f( e +h)(vasela figura 10). As la velocidad promedio en este intervalo esf(c+h) - f(c)vprom = hAhora podemos definir la velocidad instantnea.Definicin VelocidadinstantneaSi un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado con funcin de posicin f(t),entonces su velocidad instantnea en el instante e es/ / f(c+ h)- f(c)v =hm vprom =hm hh ~ O h ~ Osiempre que el lmite exista y no sea 00 o -oo.11 OCAPTULO 3 LaderivadaEJ EMPLO 6 Cada una de las siguientes es una derivada, pero de qu funcin? y enqu punto?(4+h)2_16(a) lm hh--.+OSolucin2 2x 3(b) lm--x--.+3X - 3(a) sta es la derivada de f(x) =x2en x=4.(b) sta es la derivada de f(x) =2/x en x=3.x"*eDiferenciabilidadimplica continuidad Si una curva tiene una recta tangen-te en un punto, entonces esa curva no puede dar un salto u oscilar demasiado en esepunto. La formulacin precisa de este hecho es un teorema importante.Demostracin Necesitamos demostrar que lm f(x) =f(e).Empezamos escribien-do f (x) de una manera especial. x--.+cf(x) =f(e) +f(x) - f(e) . (x- e),x- ePor tanto,[f(x) - f(e) ]lmf (x) =lmf (e) + . (x- e)x--.+c X--.+C X - ef(x) - f(e)=lmf (e) +lm . lm(x- e)x--.+c X--.+C X - e x--.+c= f(e) + I'(e). O= f(e) El recproco del teorema es falso. Si una funcin f es continua en e, no se sigue quef tenga unaderivada ene. Esto es fcilde ver considerando f(x) =Ixl en el origen(vase la figura 3). Esta funcin en verdad es continua en cero. Sin embargo, no tieneuna derivada all, como se muestra a continuacin. Observe quelmf(O +h) - f (O) = lm~ = lm-h= -1h--.+O- h h--.+O- h h--.+O- hy-1fcn =Figura3xAs,mientras quef(O+ h) - f(O)h~ f(O+h) - f(O)hm-------h--.+O+ h10 +hl- 101 Ihlh hIhl hlm- = lm- =1h--.+O+ h h--.+O+ hYa que los lmites por la derecha y por la izquierda son diferentes,~ f(O+h) - f(O)hm hh--.+Ono existe. Por tanto, f' (O)no existe.Un argumento similar muestra que cualquier punto en donde la grfica de una fun-cin continua tenga un esquina o vrtice la funcin no es diferenciable. La grfica en lafigura 4 indica algunas formas para que una funcin no sea diferenciable en un punto.(a) En este intervalo, en dnde f' (x) O?SECCIN3.3 Reglasparaencontrar derivadas 113(b) En este intervalo, en dnde (x) aumenta cuando x aumenta?(c) Haga una conjetura. Experimente con otros intervalos y otrasfunciones para sustentar esta conjetura.Respuestas a la revisin deconceptos: 1. [f(e+h) - f(e)]/h,[(t) - f(e)]/(t - e) 2. [(x+h) - f(x)]/h3. continuos; Ixl4. 2x2; e3.3Reglas para encontrarderivadasl'J SalidaUn operadorFigura1yr(\)-+-----41....---*"----El proceso de encontrar la derivada de una funcin de manera directa a partir de la de-finicin de la derivada, esto es, estableciendo el cociente de diferenciasf(x+h) - f(x)hy evaluando su lmite, puede consumir tiempo y ser tedioso. Vamos a desarrollar herra-mientas que nos permitan acortar este largo proceso de hecho, nos permitir encontrarderivadas de funciones que en apariencia son ms complicadas.Recuerde que la derivada de una funcin f es otra funcin 1'. En la seccin anteriorvimosque, si f(x) =x3+7xesla frmulapara f, entonces f'(x) =3x2+7 eslafrmula para 1'. Cuando tomamos la derivada de f, decimos que estamos diferenciandoa f. La derivada opera sobre f para producir 1'. Con frecuencia utilizamos el smbolo Dxpara indicar la operacin de diferenciacin (vase la figura 1). El smbolo Dx indica queestamos tomando la derivada (con respecto a la variable x) de lo que sigue. As, escribi-mos Dxf(x) =f'(x) o(en el caso antes mencionado) Dx(x3+ 7x) =3x2+7. EsteD x es un ejemplo de un operador. Como sugiere la figura 1, un operador es una funcincuya entrada es una funcin y cuya salida es otra funcin.x x+hxLas reglas parala constante y para la potencia La grfica de la funcin cons-tante f (x) =k es una recta horizontal (vase la figura 2), que, por tanto, tiene pendien-te cero en todas partes. Esto es una manera de entender nuestro primer teorema.Figura2Figura3Demostracinf' (x) =lmf (x+h) - f (x) =lmk - k =lm O =O h---->O h h---->O h h---->OLa grficade f (x) =x esunarectaquepasa porelorigeny tienependiente1(vase la figura 3); de modo que debemos esperar que la derivada de esta funcin sea1 para toda x.Demostracinf' (x) =limf (x+h) - f (x) =lmx+h- x =lm~ =1h---->O h h---->O h h---->O hAntes de iniciar con nuestro siguiente teorema, recordemos algo de lgebra; cmoelevar un binomio a una potencia.114 CAPTULO 3 Laderivada(a+b)2=a2+2ab +b2(a+b)3=a3+3a2b +3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b +6a2b2+4ab3+b4Demostracin, f(x+h) - f(x) ,(x +h)n- xnf'(x) =hm =hm -----h-.O h h-.O hn(n- 1)xn +nxn-1h + xn-2h2+ ... +nxhn-1+hn- xn=lm 2h-.O h, k[ nxn-1+ n(n;1)xn-2h + ... +nxhn-2+hn-1 ]=hm--------------------h-.O )(Dentro de los corchetes, todos los trminos excepto el primero tiene a h como factor,y as que para todo valor de x cada uno de estos trminos tiene lmite cero cuando h seaproxima a cero. Por tanto,f' (x) =nxn-1 Como ejemplos del Teorema C, note queDx(x3) =3x2Dx(x9) =9x8Dx(xlOO) =100X99Dxesunoperador lineal El operador Dx se comporta muy bien cuando se apli-ca a mltiplos constantes de funciones o a sumas de funciones.Demostracin Sea F(x) =k . f (x). Entonces, F(x+h) - F(x) ,k f(x+h) - kf(x)F'(x) =hm = hm---------h-.O h h-.O h, f(x+h) - f(x) ,f(x +h) - f(x)=hmk = k hm-------h-.O h h-.O h=k. f'(x)El penltimo paso fueel paso crtico. Pudimos pasar k a travs del signo de lmite aconsecuencia del Teorema principal de lmites parte 3.Ejemplos que ilustran este resultado sonDx ( -7x3) = -7Dx(x3) = -7.3x2= -21x2yOperador linealEl significado fundamental de la pa-labra lineal, como se utiliza en mate-mticas es el dado en esta seccin.Un operador L es lineal si satisfacelas dos condiciones clave: L(ku) = kL(u) L(u+v) =L(u) +L(v)Los operadores lineales desempe-an un papel central en el curso delgebra lineal, que muchos lectoresde esta obra cursarn.SECCiN3.3 Reglas paraencontrar derivadas 115Demostracin Sea F(x) = f(x) +g(x). Entonces,, [f(x+h) +g(x+h)] - [f(x) +g(x)]F'(x) = hm -------------- h=lm [f(X+h) - f(x) +_g(_X_+_h)_-_g_(X_)] h h, f(x+h) - f(x) ,g(x +h) - g(x)=hm +hm ------- hh= f'(x) +g'(x)Nuevamente, el penltimopasofueel pasocrtico.Estjustificadoporel Teoremaprincipal de lmites parte 4. Cualquier operador Lcon la propiedad establecida en los Teoremas D y E se de-nomina lineal; esto es, L es un operador lineal si para todas las funciones f y g:1. L(kf) =kL(f), para toda constante k;2. L(f +g) =L(f)+L(g) .Los operadores lineales aparecen una y otra vez en este texto; Dx es un ejemplo par-importante. Un operador lineal siempre satisface la regla dediferenciaL(f- g) =L(f) - L(g), establecida en seguida para Dx-La demostracin del Teorema F se deja como ejercicio (vase el problema 54).EJEMPLO 1 Encuentrelasderivadasde5x2+7x- 6y4x6- 3x5- 10x2+ 5x+16.SolucinFunciones de la formaf (x) =mx +b se denominan fun-ciones lineales a consecuencia de surelacin con lneas rectas. Esta ter-minologa puede ser confusa, ya queno todas las funciones lineales sonlineales, en el sentido de operadores.Para ver esto, observe quef(kx) =m(kx) +bmientras quekf(x) =k(mx+b)Por lo que f(kx) -=1= kf(x), a menosque b sea cero. Dx(5x2+ 7x- 6) = Dx(5x2+ 7x) - DA6)= Dx(5x2) +DA7x) - DA6)= 5Dx(x2) + 7DAx) - DA6)= 5 . 2x +7. 1 +O=10x +7(Teorema F)(Teorema E)(Teorema D)(Teoremas C, B, A)Para encontrar la siguiente derivada, notamos que los teoremas de sumas y dife-rencias se extienden a cualquier nmero finito de trminos. As,116 CAPTULO 3 LaderivadaDx(4x6- 3x5- 1x2+5x+16)= Dx(4x6) - Dx(3x5) - Dx(1x2) +DA5x) +DA16)= 4Dx(x6) - 3Dx(x5) - 1Dx(x2) + 5DAx) +DA16)= 4(6x5) - 3(5x4) - 1(2x)+5(1) += 24x5- 15x4- 2x +5El mtodo del ejemplo 1 nos permite encontrar la derivada de cualquier polino-mio. Si conocemoslaregladelaspotenciasy hacemosquesevuelvanatural, casiseguramente usted obtendr resultados correctos. Tambin, con la prctica, encontra-remos que se puede escribir la derivada demanera inmediata, sin tener que escribirtodos los pasos intermedios.Reglasparael producto y el cociente Ahora tendremos una sorpresa. Has-ta aqu, hemos visto que el lmite de una suma o diferencia es igual a la suma o dife-rencia de los lmites. (Teoremas 2.6A, partes 4 y 5), el lmite de un producto o de uncociente es el producto o el cociente de los lmites (Teoremas 2.6A, partes 6 y 7) Yquela derivada de una suma o diferencia es la suma o diferencia de las derivadas (Teore-mas E y F). As, qu podra ser ms natural que tener que la derivada de un produc-to es el producto de las derivadas?Esto podra parecer natural, pero es errneo. Para ver por qu, mrese el ejemplosiguiente.EJEMPLO2 g(x) =x, h(x) =1 +2x y f(x) =g(x). h(x) =x(1+2x). En-cuentre Dxf(x), Dxg(x) YDxh(x), y muestre que Dxf(x) =1= [Dxg(x)][Dxh(x)J.SolucinDxf(x) =DAx(1+2x)]=Dx(x+2x2)=1 +4xDxg(x) =Dxx=1Dxh(x) =Dx(1+2x) = 2Obsrvese quemientras queDxf(x) =Dx[g(x)h(x)] =1 +4xPor tanto, Dxf (x) =1= [Dxg (x )][Dxh(x )].Que la derivada de un producto debe ser el producto de las derivadas pareca tannatural que incluso enga a Gottfried Wilhelm von Leibniz, uno de los descubrido-res del clculo. En un manuscrito del 11 de noviembre de 1675, l calcul el productode la derivada de dos funciones y dijo (sin verificarlo) que era igual a la derivada delproducto. Diezdasdespus, sediocuentadel erroreindiclareglacorrectaparael producto, que presentamos como Teorema G.MemorizacinAlgunas personas dicen que lamemorizacin est pasada de moda,y que slo el razonamiento lgico esimportante en matemticas. Estnequivocadas. Algunas cosas,(incluyendo las reglas de estaseccin) deben convertirse en unaparte de nuestro aparato mental quepuedan utilizarse sin detenerse areflexionar. "La civilizacin avanzaextendiendo el nmero deoperaciones importantes quepodemos realizar sin pensar acercade ellas."Alfred NWhiteheadSECCIN3.3 Reglasparaencontrar derivadas 117Esta regla debe ser memorizada en palabras como sigue: La derivadade un pro-ducto de dos funciones es la primera por la derivada de la segunda ms la segunda porla derivada de la primera.Demostracin Sea F(x)= f(x)g(x). EntoncesF(x+h) - F(x)F'(x) =lm hh-.O/ f(x+ h)g(x +h) - f(x)g(x)=hm ------------h-.O h/ f(x+h)g(x +h) - f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x) - f(x)g(x)=hm--------------------------h-.O h/ [ g(x+h) - g(x) f(x+h) - f(X)]=l ~ f(x+h) . h +g(x) . h1/ f( +h) 1/ g(x+h) - g(x) + ( ) 1/ f(x+h) - f(x)= 1m x . 1m g x 1mh-.O h-.O h h-.O h= f(x)g'(x) +g(x)f'(x)La deduccin que se acaba de dar depende, primero del truco de sumar y resta lamisma cosa, es decir, f(x+h)g(x). Segundo, casi al final, utilizamos el hecho de quelmf (x+h) = f (x )h-.OEsto es slo una aplicacin del Teorema 3.2A (que dice que la diferenciabilidad enun punto implica continuidad all) y la definicin de continuidad en un punto. EJEMPLO 3 Encuentre la derivada de (3x2- 5)(2x4- x) mediante el uso de la regladel producto. Verifique su respuesta resolviendo el problema de una forma diferente.SolucinDA(3x2- 5)(2x4- x)] =(3x2- 5)DA2x4- x) +(2x4- x)Dx(3x2- 5)=(3x2- 5)(8x3- 1)+(2x4- x)(6x)=24x5- 3x2- 40x3+5 +12x5- 6x2= 36x5- 40x3- 9x2+5Para verificar, primero multipliquemos y luego tomemos la derivada(3x2- 5)(2x4- x) =6x6- lx4- 3x3+5xAs,DA(3x2- 5)(2x4- x)] =Dx(6x6) - Dx(10x4) - Dx(3x3) +DA5x)= 36x5- 40x3- 9x2+5 Le recomendamos ampliamente que lo memorice en palabras, como sigue: La de-rivada de un cociente es igual al denominador por la derivada del numerador menos elnumerador por la derivada del denominador,todo dividido entre el cuadrado del deno-minador.120 CAPTULO 3 LaderivadaGJ 57. Existen dos rectas tangentes a la curva y = 4x- x2que pa-san por el punto (2,5). Encuentre las ecuaciones de ambas. Sugeren-cia: Sea (xo, Yo) un punto de tangencia. Determine dos condicionesque debe satisfacer(xo, Yo) . Vase la figura 4.xy= 4x - x2Figura4GJ 58. Una viajera espacial se mueve de izquierda a derecha a lolargo de la curva Y = x2 Cuando ella apague los motores, continuarviajando a lo largo de la recta tangente en el punto en que ella est enese momento. En qu momento debe apagar los motores para quealcance el punto (4, 15)?GJ 59. Una mosca se arrastra de izquierda a derecha a lo largo dela parte superior de la curva Y= 7 - x2(vase la figura 5). Una ara-a espera en el punto (4, O). Determine la distancia entre los dos in-sectos cuando se ven por primera vez.60. Sea P(a, b) un punto, en la parte del primer cuadrante, de lacurva Y = l/x y suponga que la recta tangente en P intersecta al eje xFigura5en A. Demuestre que el tringulo AOP es issceles y determine surea.61. El radio de una sanda esfrica est creciendo a una veloci-dad constante de 2 centmetros por semana. El grosor de la cscarasiempre es la dcima parte del radio. Qu tan rpido est creciendoel volumen de la cscara al final de la quinta semana? Suponga que elradio inicialmente es cero.rn 62. Vuelva a resolver los problemas del 29 al 44 en una compu-tadora y compare su respuesta con las obtenidas de forma manual.Respuestas a la revisin de conceptos: 1. la derivada de la segunda;segunda; f(x)Dxg(x) + g(x)Dxf(x) 2. denominado, denominador;cuadrado del denominador; [g(x)Dxf(x) - f(x)Dxg(x) Jj g2(X)3. nxn-1h; nxn-1 4. kL(f); L(f)+L(g); Dx3.4Derivadasde funcionestrigonomtricasFigura1yNuestro mundo moderno corre sobre ruedas. Las preguntas acerca de ruedas que gi-ran y velocidades de puntos sobre ellas conducen de manera inevitable al estudio desenos y cosenos y sus derivadas. Otros fenmenos peridicos que estn relacionadoscon senos y cosenos son el clima y las mareas. Para preparar este estudio, sera adecua-do revisar las secciones 2.3 y 2.7. La figura 1 nos recuerda la definicin de las funcio-nes seno y coseno. En lo que sigue, t debe considerarse como un nmero que mide lalongitud de un arco en el crculo unitario o, de forma equivalente, como el nmero deradianes en el ngulo correspondiente. Por tanto,f(t) =sen t y g(t) =cos t son fun-ciones cuyo dominio y rango pertenece al conjunto de nmeros reales. Podemos con-siderar el problema de determinar sus derivadas.Frmulasdelasderivadas Elegimos utilizar xen lugar de t como nuestra va-(1,0) x riable bsica. Para determinar DxCsen x), apelamos a la definicin de la derivada y uti-lizamos la identidad de suma de ngulos para sen (x+h).sen(x+h) - senxDAsenx) =lm hh ~ O1, senxcosh+cosxsenh- senx= 1mh ~ O h .(1- cosh senh)=lm -senx + cosx--h ~ O h h[1- cos h] [, sen h]=(-sen x ) ! ~ h +(cos x) !1!!6 -h-Obsrvese que los dos lmites en esta ltima expresin son exactamente los lmi-tes estudiados en la seccin 2.7. En el Teorema 2.7B demostramos queSECCIN 3.4 Derivadas de funciones trigonomtricas 121lmsen h=1 Yh----+O h1- cos h Olm =h----+O hPor consiguiente,DAsen x) = (-sen x). O+ (cos x) . 1 = cos xPodra haber adivinado?La curva con lnea continua es lagrfica de y=sen x. Observe que lapendiente es 1 en O, Oen1T/2, -1 en1Ty as sucesivamente. Cuando grafica-mos la funcin de las pendientes (laderivada), obtenemos la curva conlnea discontinua. Podra adivinarque Dxsen x=cos x?De manera anloga,cos(x +h) - cosxDAcosx) =lm hh----+Ocos x cos h- sen x sen h- cos x=lm-------------h----+O h(1- cos h sen h )=l.!R -cos x h - sen x -h-=(-cos x) . O - (sen x) . 1=-sen xResumimos estos resultados en un teorema importante.Trate de graficar estas dosfunciones en la misma ventanaen su CAS o en su calculadoragrfica.EJEMPLO1 Encuentre Dx(3 sen x- 2 cos x).SolucinDA3 sen x - 2 cos x) =3 DAsen x) - 2 DAcos x)=3 cos x+2 sen xyy -' sen 2xFigura2EJ EMPLO2 Encuentre la ecuacin de la recta tangente a la grfica de y=3 sen 2xen el punto(7T/2, O) (vase la figura 2).Solucin Necesitamos la derivada de sen 2x; desafortunadamente, en este momentoslo sabemos cmo determinar la derivada de sen x. Sin embargo, sen 2x=2 sen x cos x.Por tanto,DA3 sen 2x) =Dx(6 sen x cos x)=6 DAsen x cos x)= 6[senx DAcosx) +cosx DAsenx)]=6[ (sen x)(-sen x) +cos x cos x]=6[cos2X - sen2x ]=6 cos2xEn x =7T/2, esta derivada tiene el valor de -6, que por tanto es la pendiente de la rec-ta tangente deseada. La ecuacin de esta recta esEJEMPLO3 Considere una rueda de la fortuna de radio de 30 pies, que est girandoen contra del sentido de las manecillas del reloj, con una velocidad angular de 2 radia-nes por segundo. Con qu rapidez se eleva (en direccin vertical) un asiento que esten el borde de la rueda, cuando ste se encuentra a 15 pies del eje horizontal que pasapor el centro de la rueda?Solucin Podemos suponer que la rueda tiene centro en el origen y que el asiento Pestaba en (30, O) en el instante t = O(ver figura 3). As, en el instante t, P se ha movido122 CAPTULO 3 LaderivadayFigura3no.O)un ngulo de 2t radianes, de modo que tiene coordenadas (30 cos 2t, 30 sen 2t). La ta-sa a la cual P est elevndose es justo la derivada de la coordenada vertical 30 sen 2t me-dida en un valor apropiado de t. Por el ejemplo 2,DA30 sen 2t) =60 cos 2tLa t apropiada para evaluar esta derivada es t =1T/12, ya que 30 sen (2. 1T/12) =15.x Concluimos que en t =1T/12 el asiento P est elevndose a60 cos ( 2 . ~ ) =60 \13/2 '"51.96 pies por segundo Una vez que conocemos las derivadas de las funciones seno y coseno, las deriva-das de las otras funcionestrigonomtricas pueden encontrarse aplicando la regla delcociente. Los resultados se resumen en el Teorema B. Para demostrarlo pueden con-sultarse los problemas 5 al 8.Revisin de conceptos1. Por definicin, DxCsen x) =lm _h-+O2. Para evaluar el lmite en la proposicin anterior, primero uti-lizamos la identidad de la suma de ngulos para la funcin seno y lue-go aplicamos un poco de lgebra para obtener(' 1 - cos h ) (' sen h )DAsenx) =(-senx) l1!!1 h +(cosx) l1!!1-h-Los doslmites mostradostienen los valores y .respectivamente.3. El resultado del clculo en la proposicin anterior es la impor-tante frmula de la derivada DxCsen x) = .La correspondientefrmula para la derivada DxCcos x) = se obtiene de maneraanloga.4. En x =7T/3, DAsen x)tiene el valor . Por tanto, laecuacin de la recta tangente a y=sen x en x =7T/3 es _Conjunto de problemas 3.4En los problemas del] al]4, encuentre DxY.1. y = 2 sen x+3 cos x 2. y = sen2x3. y =sen2x+cos2x 4. y=1- cos2X5. Y= secx= l/cosx 6. y = cscx = l/senxW15. Encuentre la ecuacin dela recta tangenteay=cos xenx=1.16. Encuentre la ecuacin de la recta tangentea y=cot xen7Tx =4'17. Considere la rueda dela fortunadel ejemplo3.Con quvelocidad se mueve horizontalmente el asiento en el borde de la rue-da cuando t =7T/ 4 segundos (p. ej., cuando el asiento aicanza la par-te ms alta de la rueda)?18. Unarueda dela fortunade 20 pies est girando en contradel sentido de las manecillas del reloj a una velocidad angular de 1 ra-senx7. Y=tan x = --cosx9. Y=senx+cosxcosx11. Y=x2cos X13. Y=tan2xcosx8. Y=cot x = --senxsenx+cosx10. y=-----tan xxcosx+senx12. y = 2X +114. Y =sec3xdin por segundo. Un asiento en el borde de la rueda est en (20, O)en t =O.(a) Cules son sus coordenadas en t= 7T/6?(b) Qu tan rpido se est ascendiendo (verticalmente) en t =7T/6?(c) Qu tan rpido est ascendiendo (verticalmente) cuando se ele-va a la velocidad mxima?19. Encuentre la ecuacin de la recta a y = tan x en x =O.20. Encuentretodoslos puntos en la grfica dey= tan2x, endonde la recta tangente sea horizontal.21. Encuentre todos los puntos en la grfica de y= 9 sen x cos x,en donde la recta tangente sea horizontal.22. Sea f( x) =x - sen x. Encuentretodoslospuntos en lagrfica dey=f(x), en dondela recta tangente sea horizontal. En-cuentre todos los puntos en la grfica de y=f(x)en donde la rectatangente tenga pendiente 2.23. Demuestre quelas curvas y= v2 senxy y= v2 cosxse intersectan en ngulo recto en cierto punto con en el primero y en el ltimo de estos intervalos y que f'(x) < en el interva-lo de en medio (vase la figura 3). As, por el teorema A, f es creciente en (-00, -1] Yen [2,(0); es decreciente en [-1,2]. Obsrvese que el teorema nos permite incluir los pun-tos fronterade estos intervalos, aunque f' (x) = en esos puntos. La grfica de f semuestra en la figura 4. EJEMPLO 2 Determine en dnde g(x)= x/(1+ x2) es creciente y en dnde es de-creciente.SECCiN 4.2 Monotona y concavidad 169Solucin(1 + x2) - x(2x) 1- x2g/ex) = (1 +X2)2 = (1+ x2f(1- x)(l + x)(1+x2fValores de g'o + OI I-1 1Figura5Creciente, pero de manera oscilanteFigura6Como el denominador siempre es positivo, g/ex) tiene el mismo signo que el numera-dor (1- x)(l + x). Los puntos de separacin, -1 y 1, determinan tres intervalos (-00,-1), (-1, 1) Y(1,00). Cuando los probamos, encontramos que g/ex) < Oen el primero yen el ltimo de estos intervalos y que g/ex) > Oen el intervalo de en medio (vase lafi-gura 5). Con base en el Teorema A, concluimos que g es decreciente en (-00, -1] Yen[1,00) y que es creciente en [-1,1]. Posponemos la graficacin de g para ms adelante,pero si quiere ver la grfica vaya a la figura 11 y al ejemplo 4. La segunda derivada y concavidad Una funcin puede crecer y an as teneruna grfica que oscila mucho(vase la figura 6). Para analizar oscilaciones, necesita-mos estudiar cmo gira la recta tangente cuando nos movemos de izquierda a derechaa lo largo de la grfica. Si la recta tangente gira constantemente en sentido contrario alas manecillas de reloj, decimos que la grfica es cncava hacia arriba (o simplementecncava); si la tangente gira en el mismo sentido que las manecillas del reloj, la grfi-ca es cncava hacia abajo (o convexa). Ambas definiciones se formulan mejor en tr-minos de funciones y sus derivadas.DefinicinSea J derivable en un intervalo abierto l. Decimos que J (al igual que su grfica)es cncava hacia arriba en 1, si f' es creciente en 1, y decimos que J es cncava ha-cia abajo en 1, si f' es decreciente en l.Los diagramas en la figura 7 ayudarn aa c ~ a r a r estas nociones. Obsrvese que unacurva que es cncava hacia arriba tiene forma parecida a una copa.f' creciente: Cncava hacia arriba f' decreciente: Cncava hacia abajoFigura7IIICncava hacia arriba Cncava hacia abajoEn vista del Teorema A, tenemosun criterio sencillo para decidir endndeunacurva es cncava hacia arribayen dnde es cncava hacia abajo (convexa). Basta contener en mente que la segunda derivada de J es la primer derivada de f'. Por lo que, f'es creciente si J" es positiva; es decreciente si J" es negativa.Para la mayor parte de las funciones, esteteorema reduce el problema de deter-minar concavidad al problema de resolver desigualdades. En esto somos expertos.EJEMPLO 3 EndndeJ(x) = ~ X 3 - x2- 3x+4escreciente,decreciente,cnca-va hacia arriba y cncava hacia abajo?Solucinf' (x) =x2- 2x- 3=(x+1) (x- 3)J"(x) =2x- 2 =2(x- 1)Figura13vSECCIN 4.2 Monotona y concavidad 171Solucin Antes de que resolvamos este problema, pensemos cmo se ver la grfi-ca. Al principio, la altura aumentar con rapidez, ya que se necesita poca cantidad deagua para llenar la parte inferior del cono. Conforme se va llenando el depsito, la altu-ra aumentar menos rpido. Qu sugieren estos enunciados con respecto a la funcinh(t), su derivada h'(t) y su segunda derivada h"(t)? Como el agua se vierte de maneraconstante, la altura siempre aumentar, de modo que h'(t) ser positiva. La altura au-mentar ms lentamente conforme se eleva el nivel. Por consiguiente, la funcin h'(t)est disminuyendo, de modo que h"(t) es negativa. Por tanto, la grfica de h(t) es cre-ciente (ya que h'(t) es positiva) y cncava hacia abajo (pues h"(t) es negativa).Ahora, una vez que tenemos una idea intuitiva acerca de cmo debe verse la gr-fica(creciente y cncava hacia abajo), resulvase este problema de manera analtica.El volumen de un cono circular recto es V=~ 'TTrzh, donde V,r y h son funciones deltiempo. Como el agua fluyehacia el depsito a razn de ! pulgada cbica por segun-do, la funcin Ves V = !t, dondetsemideen segundos. Las funcionesh y r estnrelacionadas; obsrvense los tringulos semejantes en la figura13. Utilizando las pro-piedades de tringulos semejantes, tenemosr 1h 4AS, r = h/4. Por lo que, el volumen del agua dentro del cono esV= ~ 1Tr' h= ; ( )\ = :s h3Por otro lado, el volumen V = !t. Igualando estas dos expresiones para Vse obtiene1 'TT-t= -h32 48Cuando h=4, tenemos t =~ 43=~ 'TT ~ 8.4; as, tarda alrededor de 8.4 segundos lle-narse el depsito. Ahora resolviendo para h en la ecuacin anterior que relaciona h y tpara obtener2 4h"(t) = D--t ~ 3 ~que es negativa. La grfica de h(t) se muestra en la figura 14. Como se esperaba, la gr-fica de h es creciente y cncava hacia abajo. 200ISO100SOFigura14h = 1 ~ 1La primera y segunda derivada de h sonh'(I) = D 124I =~ ( 2 4 t)-Z/3t'TT 'TT'TTque es positiva, y2TerminologaMientras que el mnimo o el mximode una funcin es un nmero,un punto de inflexin siempre es unapareja ordenada (c,f(c)).Puntosdeinflexin Sea f continua ene. Llamamos a (e, f(e)) un punto de inflexin de la grfica de f, si f es cncava hacia arribaa un lado de e y cncava haciaabajo del otro lado dee. La grfica en la figura 15 indica varias posibilidades.Cncavahacia arribaFigura15SECCIN 4.2 Monotona y concavidad 173Respuestas a la revisin de conceptos: 1. creciente; cncava hacia arri-ba 2. l' (x) >O; f" (x) < O 3. un punto de inflexin 4. f" (c) =O;f" (c) no existe.Figura21-tt 3 piesD1------9.5 pies -----....147. Sea f'(x) =x3- 5x2+2 en 1= [-2,4]. En el intervalo1,en dnde es creciente f?48. Sea f"(x) = x4- 5x3+ 4x2+4 en 1= [-2,3]. En el inter-valo 1, en dnde es cncava hacia abajo f?49. Se vierte caf en el vaso mostrado en la figura 18 a razn de2 pulgadas cbicas por segundo. El dimetro superior es de 3.5 pulga-das, el dimetro inferior es de 3 pulgadas y la altura de 5 pulgadas.Este vaso se llena con casi 23 onzas. Determine la altura h como fun-cin del tiempo t y dibuje la grfica desde el instante t = hasta el mo-mento en que el vaso est lleno.t3.5Pu\gj----rFigura1850. Se bombea agua a una razn constante de 5 galones por minu-to, en un tanque cilndrico como se muestra en la figura 19. El tanquetiene 3 pies de dimetro y largo de 9.5 pies. El volumen del tanque es7Tr21 = 7TX 1.52x 9.5 =67.152 pies cbicos = 500 galones. Sin hacerclculos bosqueje una grfica de la altura del agua como funcin deltiempo t (vase el ejemplo 5). En dnde es cncava hacia arriba y endnde es cncava hacia abajo h?Figura20Figura1951. Se vierte un lquido, al contenedor que se muestra en la figu-ra 20, a razn de 3 pulgadas cbicas por segundo. El contenedor es de24 pulgadas cbicas. Bosqueje una grfica de la altura h del lquido co-mo una funcin del tiempo t. En su grfica ponga atencin especial ala concavidad de h.52. Un tonel de 20 galones, como el mostrado en la figura 21, sesale a razn constante de 0.1 de galn por da. Dibuje una grfica dela altura h del agua como funcin del tiempo t, suponiendo que en elinstante t = O. El tonel est lleno, ponga atencin especial a la conca-vidad de h.31. feO) = 3; f(3) = O; f(6) = 4;f'(x) Oen(0,2);f'(x) y g/ex) > para toda x. Qu otrascondiciones sencillas (si existen) se necesitan para garantizar que:(a) f(x) + g(x) sea creciente para toda x;(b) f(x). g(x) sea creciente para toda x;(c) f(g(x)) sea creciente para toda x?44. Suponga que f"(x) > Oy g"(x) > para toda x. Qu otrascondiciones sencillas (si las hay) se necesitan para garantizar que:(a) f(x) + g(x) sea cncava hacia arriba para toda x;(b) f(x). g(x) sea cncava hacia arriba para toda x;(c) f(g(x)) sea cncava hacia arriba para toda x?[QUtilice una calculadora grfica o una computadora para resolverlos problemas del 45 al 48.45. Sea f(x) =sen x + cos(x/2) en el intervalo 1 =(-2,7).(a) Dibuje la grfica de f en l.(b) Utilice esta grfica para estimar en dnde f'(x)< en l.(c) Utilice esta grfica para estimar en dnde f" (x)< en l.(d) Dibuje la grfica de f' para confirmar su respuesta a la parte (b).(e) Dibuje la grfica de f" para confirmar su respuesta a la parte (c).46. Repita el problema 45 para f(x) = x cos2(x/3) en (O, 10).SECCIN 4.3 Mximos y mnimoslocales 175izquierda en la figura 3 aclara esto. Sin embargo, si la derivada es positiva en un ladodel punto crtico y negativa en el otro, entoncestenemosunextremo local, comosemuestra en las grficas de en medio y de la derecha de la figura 3.yFigura4EJEMPLO 2 Encuentre los valores extremos locales de f(x) = ~ x3- x2- 3x +4en (-00,00).Demostracin de (i) Como f'(x) > Opara toda x en (a, e), por el Teorema de mono-tona, f es creciente en (a, e]. Adems, como f'(x) Oen (-00, -1) Y(3,00) Y(x + l)(x -3) Opara toda x en (-00,0) U(0,00);(b) G( .L2) =G(2) =3;(c) lmG(x) = 2, lm[G(x) - x] =O;

(d) lmG(x) =lm_ G(x) =oo.

(c) Para tres nmeros positivos a, b y e, la media geomtrica se defi-ne como (abe) 113 Yla desigualdad requerida est dada por(abe) 1/3 ::; a + b + e3Ahora construimos una demostracin de sta utilizando clculo.Considrese la funcinpor medio de clculo, demustrese que el mnimo se presenta enb =a; e y est dado por ( a; b )2. Ahora, utilizando el resul-tado de la parte (b), conclyase que(abe) 1/3 ::; a + b + e32. Demuestre que de todas las cajas de tres dimensiones, con un reade su superficie dada, el cubo es la de mayor volumen. Sugerencia: Elrea de lasuperficie es S= 2(lw + lh + hw), yel volumenesV = lwh. Utilice el problema 1 para demostrar que (V2)1!3 :::; S/6.Cundo se cumple la igualdad?P R Y ! C 1 F D E T E C N L 1 A 4 . 1

=1

E U ' :

U s , I a t e1 0 1 1I I i a

1 ) O

C

r i t r

- 1 j '

L U D

5 p i e -

. L t r J . c i L . u e U I u znF( IL e y

H ' i i I i I I a I a . . 1

2 C Cf ' ( x )

j e r c i c i o 4

R f I e x i nE I C . L J I

L I

01L . r

L L

IL I I L )

C-y

1

" d e c ) g I a 1 )

E j e r c i c i o

C

f l

JL I 2 O p i e sx 1 = x 0f I e x i O n y r2p a r a c i

QI IrP R O Y E C T O D E T E C N O L O G I A 4 . 2U n p r o b l e m a d e o p t i m i z a c i nI . P r e p a r a c i nC o n f r e c u e n c i a , l a p a r t e r n s d i f I c i lc o n r e s p e c t o a p r o b l e m a s a p l i c a d o s

I I . U s o d e I a t e c n o l o g I a

1 .

I I I . R e f I e x i n

_ _ . J . _ . _ _ _ . - - - - . - - . . I2 0 7Un problema de optimizacinl. PreparacinConfrecuencia, la parte ms difcilconrespectoaproblemasaplicadosdemximosymnimosesplantear-los. Unavezqueustedencuentralafuncin objetivo, por lo regular no esdemasiadodifcil determinar el p-timo.Ejercicio 1 Un pasillo de 6 pies de an-cho tiene una vuelta en ngulo recto.Cul es la longitud de la varilla mslarga que puede transportarse alrede-dor de la esquina, suponiendo que lavarilla no puede inclinarse?Lavarillamslargatocarape-nasla esquina internadelavueltaylas paredes exteriores del pasillo. Eti-qutese los puntos A, B, C, D y E co-mo en la figura1. Sea Ila medida delngulo LABD.(a) Demuestre que I tambin es la me-dida de LACE.(b) Utilice trigonometra para deter-minar las longitudes a y b.6 piesFigura111. USO de la tecnologaEjercicio 2 Lavarilla descrita en elejercicio 1 tiene longitud6 6L=a+b=--+-COSI sen I= 6sect +6csclEncuentre la derivada dLJdl, igulelaa cero y resulvala para t.Ejercicio 3 Para ver si hemos encon-trado un mnimo o un mximo, graf-queseLcomo funcindel. Tambindebeevaluar la segunda derivada deL en el valor ptimo de l. El valor de Ique encontr, proporciona la varillams corlao lavarilla ms largaquepuedetransportarse alrededor de laesquina? Sugerencia: Si I esmuy cercana a cero, pero positiva, lavarillasermslargaomscorta?Cabr alrededor de la esquina? Qusucede si es cercana, pero un poco me-nor, a 11"/4 (p. ej., 90)?Ejercicio 4 Ahora, cmbiense las me-didas del pasillo. Supngase que un co-rredor es de 6.2 pies de ancho y el otrode 8.6 pies de ancho. Encuentre la lon-gitud de la varilla ms larga que pue-de dar la vuelta en la esquina.Ejercicio 5 Para este problema, su-pngase que los corredores no formanun ngulo recto, sino que formanunngulo de 105, como se muestra en lafigura 2. Ambos corredores con 6 piesde ancho. Nuevamente, encuentre lalongitud delavarillamslargaquepuede dar la vuelta en la esquina.Figura 2111.ReflexinEjercicio 6 Por ltimo, suponga queel techotiene unaaltura de 9.7 pies,los corredores formanun ngulo rec-to y que el ancho de los corredores son6.2 y 8.6 pies. Suponiendo que ustedpuedeinclinar lavarilla, cul eslalongituddelavarillamslargaquepuedetransportarsealrededor delaesquina?Sugerencia:Estenoesunproblemadeclculo, utilicesures-puesta del ejercicio 4.207G e o r g F r i e d r i c hB e r n h a r dR i e m a n n1 8 2 6 - 1 8 6 6. . . y h o y e n d I aU t i l i z a n d o l a s i d e a s d e s c r i t a s a l f i -n a l d e I a s e c c i O n 5 . 2 , l o s m a t e m -t i c o s c a l c u l a n I a v e l o c i d a d e x a c t aq u e d e b e a l c a n z a r s e p a r a c o l o c a ru n s a t l i t e e n u n a O r b i t a a l r e d e -d o r d e I a T i e r r a .2 0 8B e r n h a r dR i e m a r i n r e c i b i O d e s up a d r e , u n m i n i s t r o p r o t e s t a n t ea l e m n , s u p r i m e r a e d u c a c i O n .C u a n d o f u e a l c o l e g i o , e n 1 8 4 6 , i b a ae s t u d i a r f i l o l o g I a y t e o l o g l a . P o rf o r t u n a p a r a l a s m a t e m t i c a s , e s c o g i I a u n i v e r s i d a d d e G o t t i n g a , q u ee n t o n c e s e r a e l c e n t r o d e l m u n d o d el o s m a t e m t i c o s y q u e l o s e g u i r I as i e n d o p o r m s d e 1 0 0 a o s . B a j o I ai n f l u e n c i a d e W . E . W e b e r , u n f i s i c o d ep r i m e r o r d e n , y d e K a r l F . G a u s s , e lm s g r a n d e m a t e m t i c o d e e s a e p o c a .N o p u d o h a b e r d e s e a d o m e j o r e sm a e s t r o s . E n 1 8 5 1 , r e c i b i O s ud o c t o r a d o e n f i l o s o f l a d e m a n o s d eG a u s s , d e s p u s d e l o c u a l s e d e d i c aI a e n s e a n z a e n G o t t i n g a . M u r i O d et u b e r c u l o s i s 1 5 a o s m s t a r d e .L a v i d a d e R i e m a n n f u e c o r t a , s O l od e 3 9 a o s . N o t u v o t i e m p o d e p r o d u c i r e l v o l u m e n d e m a t e m t i c a sd eu n C a u c h y o d e u n E u l e r , p e r o s u t r a b a j o e si m p r e s i o n a n t ep o r s u c a l i d a d y p r o f u n d i d a d . S u s m a n u s c r i t o sd em a t e m t i c a s a b r e n n u e v a s d i r e c c i o n e s e n I a t e o r l a d e l a sf u n c i o n e s c o m p l e j a s , i n i c i a n e l e s t u d i o p r o f u n d o d e l o q u eh o y s e l l a m a t o p o l o g l a y e m p r e n d e e n g e o m e t r I a u nd e s a r r o l l o q u e i b a a c u l m i n a r 5 0 a o s m s t a r d e c o n I at e o r l a d e I a r e l a t i v i d a d d e E i n s t e i n .A s o c i a m o s a R i e m a n n c o n e s t e c a p I t u l o d e b i d o a q u e ,a u n q u e t a n t o N e w t o n c o m o L e i b n i z d i e r o n u n av e r s i O n d eI a i n t e g r a l y c o n o c i e r o n e l t e o r e m a f u n d a m e n t a l d e l c l c u l oi n t e g r a l , f u e I q u i e n n o s p r o p o r c i o n O I a d e f i n i c i O nm o d e r n a d e i n t e g r a l d e f i n i d a . E n s u h o n o r s e l l a m a i n t e g r a ld e R i e m a n n .5 . 1A n t i d e r i v a d a s( i n t e g r a l e s i n d e f i n i d a s ) F i g u r a 1L a i n t e g r a l5 . 1 A n t i d e r i v a d a s ( i n t e g r a l e s i n d e f i n i d a s )5 . 2 I n t r o d u c c i O n a e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s5 . 3 S u m a s y n o t a c i o n e s s i g m a5 . 4 I n t r o d u c c i O n a l a r e a5 . 5 L a i n t e g r a l d e f i n i d a5 . 6 E l p r i m e r t e o r e m a f u n d a m e n t a l d e l c l c u l o5 . 7 E l s e g u n d o t e o r e m a f u n d a m e n t a l d e l c l c u l o y e l T e o r e m a d e l v a l o r m e d i op a r a i n t e g r a l e s5 . 8 E v a l u a c i O n d e i n t e g r a l e s d e f i n i d a s5 . 9 R e v i s i o n d e l c a p I t u l o5 . 1 0 P r o b l e m a s a d i c i o n a l e sP r o y e c t o d e t e c n o l o g I a 5 . 1 S u m a s d e R i e m a n nP r o y e c t o d e t e c n o l o g I a 5 . 2 F u n c i o n e s d e a c u m u l a c i n

D e f i n i c i n

2 0 9y21 OCAPTULO5 LaintegralAhora planteamos una pregunta importante. Toda derivada de (x)=4x3es dela forma F(x) =x4+ C? La respuesta es s. Esto se deduce del Teorema 4.7B, que di-ce que si dos funciones tienen la misma derivada, deben diferir en una constante.sta es nuestra conclusin. Si una funcin tiene una antiderivada, tendr una fa-milia de ellas, y cada miembro de esta familia puede obtenerse de uno de ellos suman-douna constante adecuada. Aesta familiade funcionesle llamamos la antiderivadageneral de f. Despus de acostumbrarnos a esta nocin, con frecuencia omitiremos eladjetivo general.EJEMPLO 2 Encuentre la antiderivada general de (x) = x2en (-00,00).Solucin La funcin F(x) = x3no funcionar ya que su derivada es 3x2 Pero estosugiere F(x) = ~ X 3 , la cual satisface F'(x) = ~ . 3x2=x2 Sin embargo, la antideri-vada general es ~ x3+ c. Notacin paralas antiderivadas Como utilizamos el smbolo Dx para la ope-racin de tomar la derivada, sera natural utilizar Ax para la operacin de encontrar laantiderivada. As,sta es la notacin empleada por varios autores y, de hecho, fue usada en ediciones an-teriores de este texto. Sin embargo, la notacin original de Leibniz contina gozando deuna popularidad aplastante, y por tanto decidimos seguirla. En lugar de Ax' Leibniz uti-liz el smbolo J... dx. l escribij x' dx= ~ x3+ Cj 4x3dx= x4+ CPospondremos, hasta ms adelante, la explicacin del por qu Leibniz eligi utilizar las alargada, s, Jy la dx. Por el momento, basta con considerar a J... dx como indica-cin de la antiderivada con respecto a x, al igual que Dx indica la derivada con respec-to a x. Obsrvese queDxjf(X)dX=f(X) y jDx!(X)dX=f(X)+CDemostracin Para establecer cualquier resultado de la formaj f(x)dx = F(x) + Ctodo lo que tenemos que hacer es demostrar queDAF(x) + c] =f(x)En este caso,[xr+l ] 1D -- +C =--(r + l)xr=xrx r-+ 1 r + 1Hacemos dos comentarios con relacin al Teorema A. Primero, el teorema incluyeal caso r =O; es decir,SECCIN5.1 Antiderivadas(integralesindefinidas) 211Segundo, puesto que no se especific ningn intervalo, la conclusin se entiende queser vlida slo en intervalos en los quexrest definida. En particular, debemos ex-cluir cualquier intervalo que contenga al origen si r x2 , .. , Xnpor1 n 1 n:x = - Xi, S2= - (Xi - :x)2n i=] n i=]Encuentre:X yS2 para la sucesin de nmeros 2,5,7,8,9,10,14.42. Utilizando las definiciones del problema 41, encuentre :x y S2para cada sucesin de nmeros.(a) 1,1,1,1,1 (b) 1001,1001,1001,1001,1001(c) 1,2,3 (d) 1,000,001; 1,000,002; 1,000,00343. Utilice las definiciones del problema 41 para demostrar quecada igualdad es verdadera.(a) ~ (Xi -:x) = O (b) S2=( ~ ~ XT) -:x244. Con base en su respuesta a las partes (a) y (b) del problema42, haga una conjetura acerca de la varianza de n nmeros idnticos.Demuestre su conjetura.At2+2Bt +e= (ai t + bYi=]n(n + 1)(6n3+ 9n2+ n- 1)14+24+... + n4= -----------3049. Sean47. Utilice la identidad (i +1)4 _i4= 4i3+6i2+ 4i + 1 parademostrar la frmula de la suma especial 3:[n(n + 1)]213+23+... +n3= 248. Utilice la identidad (i+1)5 _i5= 5i4+10i3+lOP +5i +1 para demostrar la frmula de la suma especial 4:45. SeanXl>X2 , .. , Xncualesquiera nmeros reales. Encuentreel valor de c que minimiza (Xi - cfi=]46. Sean X],X2,., Xm y], Yz, . .. , Yn cualesquiera nmeros rea-les, y sean:X y y, respectivamente, las medias de X], X2 , ... , Xny de Y,Y2, ... , yno Demuestre que5.4Introduccin alreaDos problemas, ambos de geometra, motivan las dos ideas ms importantes en clcu-lo. El problema de encontrar la recta tangente nos llev a la derivada. El problema deencontrar el rea nos conducir a la integral definida.Para polgonos (regiones planas cerradas acotadas por segmentos de recta), el pro-blema de encontrar el rea apenas si es un problema. Iniciamos definiendo el rea deun rectngulo como la conocida largo por ancho, y a partir de esto de manera sucesivadeducimos las frmulas para el rea de un paralelogramo, un tringulo y cualquier po-lgono. La sucesin de figuras en la figura 1, sugiere cmo se hace esto.Aun en esta sencilla configuracin, es claro que el rea debe satisfacer cinco pro-piedades.

2 2 8L a i n t e g r a lU s o y a b u s o d e l l e n g u a j e

F i g u r a 4F i g u r a 1

7 T T

F i g u r a 2 T 2 , E l

F i g u r a 3A r e a d e p o i l g o n o s i n s c r i t o s

oISECCIN5.4 Introduccinal rea 2292IFigura5La particin del intervalo [0,2] en n subintervalos, como en la figura 5, cada unode longitud x=2/n, por medio de los n + 1 puntos,o =Xo O, b>O,ab::; fauf(X) dx+fahf-I(y) dyCul es la condicin para que se cumpla como igualdad?~ 47.Seanp>1, q >1 y l/p+l/q= 1. Demuestre quelain-versa de f(x) =xp- Ies f-I(y) =ye-I y utilice esto junto con el pro-blema 46 para demostrar la desigualdad de Minkowski:7r 7r39. f(x) = 2tanx'-2 O(a) (f-I)'(A)(c) (f-I)'(O)(b) (f-I)'(B) YRespuestasalarevisindeconceptos: 1. f (x1) -=1=- f (x2 ) 2. x;f-I(y)3. montona; creciente; decreciente 4.(1-1 )'(y) = l/f'(x)7.3La funcinexponencialnaturalLa grfica de y= f(x) =In x se obtuvo al final de la seccin 7.1y se reproduce en lafigura1. La funcin logaritmo natural es derivable (y por tanto continua) y crecienteen su dominioD=(O, (0); surangoesR=(-00, (0). Dehecho, esprecisamentelaclase de funcin estudiada en la seccin 7.2 y por tanto tiene una inversa In-1con do-minio (-00,00) y rango (0,00). Esta funcin es tan importante que se le da un nombreespecial y un smbolo especial.yDefinicinDe inmediato se deduce, de esta definicin, que:La inversa de In se denomina funcin exponencial (natural) y se denota por exp. As,x =exp y ~ y=In xx>Opara toda y(i) exp(1n x) =x,(ii) ln(exp y) =y,x--1Figura13 3 2 7 F u n c i o n e s t r a s c e n d e n t a l e sF i g u r e 2F i g u r a 3

D e f i n i c i o n e s d e e

+

P r o p i e d a d e s d e I a f u n c i O n e x p o n e n c i a l

D e f i n i c i o n

T e o r e m a A

X

Un ave fnixEl nmero e aparece a lo largo de lasmatemticas, pero su importancia ra-dica seguramente ms en su uso comola base para la funcin exponencialnatural. Pero, qu hace a esta funcintan importante?"Quin no se ha sorprendido alaprender que la funcin y= ex, comoun ave fnix que renace de sus ceni-zas, es su propia derivada?"Fram;ois Le LionnaisSECCiN7.3 Lafuncinexponencial natural 333LaderivadadeeX Como exp y In son inversas, del Teorema 7.2B sabemos queexp x=eX es derivable. A fin de encontrar una frmula para Dxex, podramos utilizarese teorema. De manera alternativa, sea y=eX de modo quex =lnyAhora derivamos ambos lados con respecto a x. Utilizando la regla de la cadena, obte-nemos1l=-DyY XCon lo queDxY=y=eXHemos demostrado el hecho notable queeX es su propia derivada; esto es,As, y=eX es una solucin de la ecuacin diferencial y' =y.Si u = f(x)es derivable, entonces la regla de la cadena daEJEMPLO1 Encuentre Dxevx.Solucin Utilizando u=\IX, obtenemos1 evxDevx= evxD\IX= evx . _X-1/2=--X X 2 2\IX EJEMPLO 2Solucin= ex2lnx( x2. ~ + 2x lnx )=xex2lnx(1 +In x2)-4oIl'f"Figura 4oI-2IIIIIIIIIIIIIII:::.!tl):::. .\/12I II II II II II I-4 -2+-1+yxEJEMPLO 3 Sea f(x) =xeXf. Determine en donde f es creciente y decreciente y endonde es cncava hacia arriba y cncava hacia abajo. Adems, identifique todos los va-lores extremos y puntos de inflexin. Despus, haga un bosquejo de la grfica de f.Solucinxex/2(x+ 2)f'(x) = -2- +eX/2=eX/2-2-yf"(x) =e;2+ (x ~ 2) e;2= eX/2(x; 4)Teniendo en mente que ex/2>Opara toda x, vemos que f'(x) -2. Por lo que, f es decreciente en ( -00, -2] Ycreciente en [-2, (0), Ytiene su valor mnimo en x=-2, de f( -2)=-2/e ~ -0.7.Tambin,f"(x)O.W41. La frmula de Stirling dice que para n grande, podemos apro-ximar n! = 1 2 . 3 ... n por8. ex- Inx9. e1n 3+2 In xEn los problemas del 11 a122, encuentre DxY (vanse los ejemplos] y 2).(a) CalculelO! demanera exacta luegodeformaaproximada pormedio de la frmula anterior.En los problemas del29 al 36, encuentre cada integral.29. Je3x+1dx 30. Jxex2-3dx31.(X +3)ex"+6x dxJeX32. --dxeX- 1e-l/XJex+exdx 33. --dx 34.x235. lle2x+3 dx 12e3/x36. -2dx1 X21. eXY+xy= 2 Sugerencia: Utilice derivacin implcita.22. eX+y =x +y23. Utilice su conocimiento de la grfica de y = eX para hacer undibujo de las grficas de (a) y = -eX y (b) Y= e-X.24. Explique por qu a e-a>e-b.En los problemas del 25 al 28, analice y bosqueje la grfica de la fun-cin que se da, como en el ejemplo 3.46. Sea R la regin acotada por x = O, Y= eX recta tangente ay = eX que pasa por el origen. Encuentre:Utilice este resultado para aproximar eO.3y compare su resultado conlo que obtiene calculndolo directamente. (Las computadoras y cal-culadoras utilizan sumas como sta para aproximar eX.)43. Encuentrela longitud dela curva dada paramtricamentepor medio de x=el sen t, Y =el cos t, O:s; t:s; 1T.W44. Si clientes llegan a un contador de registro a una tasa prome-diodekpor minuto, entonces(vaselibros sobreprobabilidad)laprobabilidad dequeexactamente n clientes lleguen en unperiodode x minutos est dado por la frmula(kx Y' e-kx = , ,n= 0,1,2, ...n.Encuentre la probabilidad de que lleguen exactamente 8 clientes du-rante un periodo de 30 minutos, si la tasa promedio para este conta-dor de registro es de 1 cliente cada 4 minutos.lnx45. Sea f(x) = 2 para x en (0,00). Encuentre:1 +(In x)(a) f (x)y lm f (x);x-+o x-+oo(b) los valores mximo y mnimo de f(x);(e) F'( ve) si F(x)l"'f(f) di.(b) Aproxime 601.W42. Ms adelante demostraremos que (seccin 11.1) que para xpequea26. f (x) = eX+x28. f(x) =eX- e-X12. Y=e2x"-x14. y = e-l/x"16. Y=ex/lnx18. y=ex'lnx20. y=el/X"+l/ex"25. f(x) = xe-X27. f(x) =e-(x-2)"11. Y= eX+213. y=15. y=e2lnx17. y = x3ex19. y =+eW336 CAPTULO 7 Funciones trascendentales(b) lm(l + xt1/ x[81T(b) Jo e-O.lx senx dx(e) Los valores mximo y mnimo de f (si existen).51. Encuentreelreadelaregin entrelasgrficasdey =f(x) = exp( -x2) y yl/(x) en [-3,3].1. creciente; exp(b) la abscisa x del punto mximo paraf(x) = xPe-X53. Describa el comportamiento de In(x2+para x grandesnegativas. Para x grandes positivas.54. Dibuje las grficas defy f',dondef(x) = 1/(1+ e1/X).Des-pus determine cada uno de los siguientes:(a) lm_f(x) (b) lm_f(x) (e) lmf(x) (d) lmf'(x) Respuestas a la revisin de conceptos:2. In e = 1; 2.72 3. x; x 4. eX; eX + e 52. Dibuje las grficas de y= xPe-Xpara diferentes valores dep utilizando los mismos ejes. Haga conjeturas acerca de:(a) lmx P X-HXJDemuestre que:(a) su grfica es simtrica con respecto a la recta x=J.L;(b) tiene un mximo en x = J.L Ypuntos de inflexin en x = J.L a-.48. La funcin de densidad (de probabilidades) normal con me-diaJ.L y desviacin estndar a- se define como1 [(x - J.L )2]Y = f (x) =;:;- exp - 2a-V271' 2a-(a) el rea de R;(b) el volumen del slido que se obtiene cuando R se hace girar al-rededor del eje x.e1/n+ e2/n+ ... +en/n47. Evale lm --------n-HXJ n[g Utilice una calculadora grfica o un SACpara resolver los proble-mas del 49 al 54.49. Evale.(a) 1:exp (-1/x2) dx50. Evale. lm(l +x )1/x7.4Funciones exponencialylogartmicageneralesQu significa271"?En lgebra, 2nse define primero paraenteros positivos n. As, 21=2 Y24= 2 . 2 . 2 2. Despus, definimos2" para cero,En la seccin anterior, definimos e\12, e71" y otras potencias irracionales de e. Pero, quhayacerca de2\12, 1T7T", 1Te, y potencias irracionales deotros nmeros? Dehe-cho, queremos darle significadoaaXpara a >Oy xcualquier nmero real. Ahora, sir=p/q es un nmero racional, entonces ar= (vay.Pero, tambin sabemos quear =exp(lnar) =exp(r lna) =erinaEsto sugiere la definicin de la funcin exponencial para la base a.DefinicinPara a >Oy cualquier nmero real x,2=1Ypara enteros negativos:2-n=1/2" si n>OEsto significa que 2-3=1/23=1/8.Por ltimo, usamos las funciones ra-ces para definir 2rpara nmeros racio-nales r. As,27/ 3= Y.fi!El clculo se requiere para ampliar ladefinicin de 2xal conjunto de los n-meros reales. Una manera de definir271" sera decir que es el lmite de la su-cesin23,23.1,23.14,23.141, ...La definicin que usamos es271" = e71"ln2Por supuesto, esta definicin ser apropiada slo si las propiedades usuales de losexponentes son vlidas para ella, un tema que en breve abordaremos. Para apuntalarnuestra confianza en la definicin, la utilizamos para calcular 32(con un poco de ayu-da de nuestra calculadora):32=e21n3 e2(1.986123)9.000000Tu calculadora puede dar un resultado que difiera un poco de 9. Las calculadoras utili-zan aproximaciones paraeX y In x, y redondean a un nmero fijo de decimales (por locomn alrededor de 8).Ahora podemos llenar un pequeo hueco en las propiedades del logaritmo natu-ral que se dej desde la seccin 7.1.Ir--n-(a-X)-=-ln-(-ex-In-a-)-=-x-I-n-aiAs, la propiedad (iv) del Teorema 7.1A se cumple para todo real x, no slo para x ra-cional, como se afirm all. Necesitaremos este hecho en la demostracin del teoremaAsiguiente.Esta definicin implica al clculo, yaque nuestra definicin de logaritmonatural incluye la integral definida.Propiedades de aXEl Teorema Aresume las propiedades conocidas de los expo-nentes, todas las cuales pueden demostrarse ahora de una manera completamente ri-gurosa. El Teorema B nos muestra cmo derivar e integrar aX 338 CAPTULO 7 Funciones trascendentalessiderando la derivada. En cualquier caso, f tiene una inversa. A esta inversa le llamamosla funcin logaritmo de base Q. Esto es equivalente a la definicin siguiente.DefinicinFigura1Sea a un nmero positivo distinto de1. Entoncesy =loga x-#x =aYHistricamente, la base ms comnmenteutilizada fuela base 10, y los logarit-mosresultantesfuerondenominados logaritmos comunes. Peroenclculoy todaslas matemticas avanzadas, la base importante ese. Ntese que loge, al ser la inver-sa de f(x) =eX, slo es otro smbolo para In; esto es,logex = lnxHemos cerrado el crculo (vase la figura 1). La funcin In, que introdujimos en la sec-cin 7.1, result ser un logaritmo ordinario de una base especial, e.Ahora obsrvese que si y=loga x de modo que x=aY, entonceslnx = ylnade lo cual concluimos quelnxloga x =--lnaDe esto, se sigue que loga satisface las propiedades usuales asociadas con los logaritmos(vase el Teorema 7.1A). Tambin,1Dx loga x = -I-x nadyEJEMPLO 4 Si Y =IOglO(X4+13), encuentre dx.Solucin Sea u=x4+13 y aplique la regla de la cadena.Qu hay acerca de DAxa)? Para a racional, demostramos, en el captulo 3, la regla dela potencia, la cual dice quea=xa. - =axa- 1x1 4x3------ . 4x3= ------(x4+13)ln 10 (x4+13)ln 10dydxAhora afirmamos que esto es cierto aun si a es irracional. Para ver esto, escrbaseI Diax) =aXlna ILas funciones aX, xa y XX Iniciamos comparando las tres grficas de la figura 2.Con mayor generalidad, sea a una constante. No confunda f(x) =aX, una funcinex-ponencial, con g(x) =xa, una funcin potencia. Y no confunda sus derivadas. Acabamosde aprender quex4Y=X'~Figura2y1224183036SECCIN 7.4 Funciones exponencial y logartmicagenerales 339La regla correspondiente para integrales tambin se cumple, aun si a es irracional.Jxa+lxadx= -- +Ca +1 'a =1= -1Por ltimo, consideramos f(x) =xx, una variable a una potencia variable. Exis-te una frmula para DAxX), pero no le recomendamos que la memorice. En lugar deeso, le sugerimos que aprenda dos mtodos para encontrarla, como se ilustra a con-tinuacin.EJEMPLO 5 Si Y =xx, x>0, encuentre DxY por medio de dos mtodos diferentes.SolucinMtodo 1 Podemos escribirAs, por la regla de la cadena,DxY =exlnxDAxlnx) = xx( X ~ + Inx) =xX(1+ Inx)Mtodo 2 Recuerde la tcnica de la diferenciacin logartmica de la seccin 7.1.lny=xlnxEJEMPLO 7De aXa [f(X)]9(X)Obsrvese la creciente complejidad delas funciones que hemos considerado.La progresin aXa xaaXX es unacadena. Una cadena ms complicadaes af(x) a [(x)]a a [(x) ]g(x). Ahorasabemos cmo encontrar lasderivadas de todas estas funciones.Determinar la derivada de la ltimade stas se realiza mejor por medio dediferenciacin logartmica, una tcnicaintroducida en la seccin 7.1 eilustrada en los ejemplos 5 y 7.1 1- DY= x - +lnxy x xDxY=y(l +lnx) =xX(l +lnx)EJEMPLO 6 Si Y =(x2+1)1T +7Tsenx, encuentre dy/dx.Solucindy (2 )1T-l- =7T X +1 (2x) +7TsenxIn7T cos xdxdySi Y =(x2+l)senx, encuentre dx'Solucin Utilizamos la diferenciacin logartmica.In y =(sen x) In(x2+1)1 dy 2x--d=(senx) -2--+(cosx)ln(x2+1)y x x +1dY (2 )sen x[ 2x sen x (2)--d= x +1 2 +(COS X) Inx +1x x +1 _1151/xEJEMPLO 8 Evale -2dx.1/2 XSolucin Sea u = l/x, por lo que du= (-1/x2) dx. EntoncesJ5 ~ ~ X dx= - J51/ X( - ~ 2 dx ) = - JSu du5U51/ x=--+c=--+cIn 5 In 5340 CAPTULO7 Funciones trascendentalesPor tanto, pora el segundo teorema fundamental del clculo,11s1/x [SI/X]1 1-dx= -- =_(S2_S)1/2 x2In S 1/2 In S20=InS12.43Revisin de conceptos1. En trminos de e y In, 7TV3= oCon mayor genera-lidad, aX= _3. loga x puede expresarse en trminos de In por medio de logax= _2. Ln x = loga x, donde a = _4. Laderivadadelafuncinpotenciaf(x) =xaesf'(x) =___; la derivada de la funcin exponencial g(x) = aXesg'(X) = _Conjunto de problemas 7.4En los problemas del 1 al 8, despeje a x. Sugerencia: logab= caC= b.(aplicacin errnea de )la Regla de la Potenciay=XXy' =x. xx-l.1=XXERROR 1M= 0.67 10glO(0.37E) +1.46dondeEes la energa del terremoto en kilowat-hora. Encuentrelaenerga de un terremoto de magnitud 7. De magnitud 8.m38. La intensidad del sonido se mide en decibeles, en honor deAlejandro Graham Bell (1847-1922), inventor del telfono. Si la varia-cin en la presin es deP libras por pulgada cuadrada, entonces laintensidad Len decibeles esm34. Sea f(x) = 7TXy g(x) = x7TCul es mayor,f(e)og(e)?f'(e) o g'(e)?35. Cmo estn relacionados 10gl/ZX Y10g2x?36. Haga un dibujo de las grficas de 10gtl3x y logzx, utilizandolos mismos ejes de coordenadas.m37. La magnitud Mde un terremoto en la escala Richter esL = 20 10glO(121.3P)Encuentre la variacin en la presin causada por una banda de racka 115 decibeles.W 39. En la escala igualmente templadaa la cual se hanafinadolos instrumentos deteclas desde la poca de1. S. Bach (1685-1750),las1!"ecuencias de notas sucesivas C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#,A,A#,B, e (Do, Do sostenido, Re, Re sostenido, Mi, Fa, Fa sostenido, Sol, Solsostenido, La, La sostenido, Si,l?o, respectivamente) forman una pro-gresin geomtrica, en la que e tiene el doble de la frecuencia de C.Cul es la raznr entre lassucesivas?Si la frecuenciade Aes 440, encuentre la frecuencia deC.40. Demuestre que 10gz3 es irracional. Sugerencia: Utilice la de-mostracin por contradiccin.[g 41. Usted sospecha que los datos xy estn en una curva exponen-cial y= AbXo bien en una curva potencia y= Cxd. Para verificar, gra-fique In y contra x en una grfica y In y contra In x en otra. (Las calcu-ladoras grficas y los SAC tienen opciones para hacer que el eje verticalo ambos ejes, vertical y horizontal tengan escala logartmica.) Expliquecmo le pueden ayudar estas grficas a llegar a una conclusin.42. (Unpasatiempo) Dadoel problemade encontrar y', siy=xY, el estudiante Ahizo lo siguiente:2. logs x=24. 10gx64=46. = 318. Di3zx2_3X)20. Dx10gIO(X3+9)22. De VloglO(3eLe)24. J10sx-1dx10. 10g7(0.11)12. 10gIO(8.57)?9. 10gs 1211. logu (8.12)1/S19. Dx 10g3 eX21. Dz[3Zln(z+ 5)]23. Jx2x2dx145vX25. 1 \IX dxEn los problemas del 27 al 32, encuentre dy/dx. Observacin: Debedistinguir entre los problemas del tipo aX, xay XX como en los ejemplosdeiS al 7.27. y=10(x2) +(XZ)lO 28. y=senzx+2senx29. y =x7T+1+(7T+ 1Y 30. Y =2V ) +(2eY31. y=(XZ+1)lnx 32. y=(in X2)ZX+333.If f(x) =xsenx, encuentre 1'(1)15. 5zs- 3=4Encuentre la derivada o integral que se indica (vanse los ejemplos del1 al 4).17. Dx(6zx)mEn los problemas del 13 alI, utilice logaritmos naturales para re-solver cada una de las ecuaciones exponenciales. Sugerencia: Para resol-ver y =11, tome In de ambos lados, obteniendo x In 3= In 11; enton-ces x = (In 11) /(ln 3) =2.1827.13. 2X= 17 14. 5x= 131. logz 8=x3. 10g4x = 5. 2 10g9 (=17. logz(x+3) - logzx=28. logs (x+3) - logs x=1mUtilice logax= (ln x)/(ln a) para calcular cada uno de los logarit-mos en los problemas del 9 al 12.SECCIN 7.5 Crecimiento y decaimiento exponenciales 341ERRR2[Q48. Dibuje las grficas de y =x3Yy = 3xutilizando los mismosejes y encuentre todos sus puntos de interseccin.[47T~ 49. Evale Jo xsenX dx.[Q47. Encuentre lmo+ xx. Tambin encuentre las coordenadas delx->punto mnimo para f(x) = XX en [0,4].1eV3ln7T. xlna 2 ,e e(b) fu(u) >fu(u+ 1) y fu+l(U+ 1) >fu+I(U) implican(u :1r< e0, este tipo de crecimiento se denomina crecimiento exponencial, y cuan-do k0, es oCuando multiplicamos ambos lados por este fac-tor, la ecuacin toma la forma . La solucin general para es-ta ecuacin es y = _4. La solucin para la ecuacin diferencial en la pregunta1,que satisface y(a) = b se denomina solucin _350 CAPTULO 7 Funciones trascendentalesConjunto de problemas 7.6Figura 420. Encuentre 1 como funcin del tiempo, para el circuito de lafigura 4, supngase que el interruptor se cierra e 1= Oen t = O.R =100012L =3.5 HE=120sen 377tE =120 "Vsen 377tla llamada velocidad terminal.(b) Si y(t) denota la altura, entoncesy(t) =Yo+ tvoo +(l/a)( Va - voo)(l - e ~ a l )Figura522. Supngase que el tanque 1 al principio contiene 100 galonesde solucin con 50 libras de sal disueltas, y el tanque 2 contiene 200galones, con 150 libras de sal disueltas. Al tanque 1 entra agua pura arazn de 2 galones por minuto, la solucin bien mezclada sale y entraal tanque 2 a la misma tasa, y finalmente la solucin en el tanque 2, sedrena tambin a la misma tasa. Dentese con x(t) y y(t) a las cantida-des de sal en los tanques 1 y 2, respectivamente, en el instante t. En-cuentre y(t). Sugerencia: Primero encuentre x(t) y utilcela para plan-tear la ecuacin diferencial para el tanque 2.23. Un depsito con capacidad de 100 galones, al principio estlleno de alcohol puro. La tasa de flujo por el tubo de salida es de 5 ga-lones por minuto; la tasa de flujo del tubo que llena puede ajustarsea c galones por minuto. Una cantidad ilimitada de solucin de alcoholal 25%puede introducirse a travs del tubo que llena. Nuestra metaes reducir la cantidad de alcohol en el tanque de modo que contenga100 galones de solucin al 50%. Sea T el nmero de minutos reque-ridos para realizar el cambio deseado.(a) Evale T, si c = 5 y ambos tubos estn abiertos.(b) Evale T, si c = 5Yprimero dejamos salir una cantidad suficien-te de alcohol puro y luego cerramos el tubo que llena.(c) Para qu valores de c (si existen) la estrategia (b) dara un tiem-po ms rpido que (a)?(d) Supngase quec = 4. Determine la ecuacin para T, si al prin-cipio abrimos ambos tubos y luego cerramos el que drena.~ 24. La ecuacin diferencial para un cuerpo que cae cerca de lasuperficie de la Tierra con resistencia al aire proporcional a la veloci-dad v es dvIdt = -g- av, dondeg = 32 pies por segundo por se-gundo es la aceleracin debida a la gravedad ya>Oes el coeficien-te de resistencia. Demuestre cada uno de los siguientes:(a) v(t) = (va- v=)e-al+v=, dondeVa = veO), YVoo = -g/a =lm v(t)1-+0021. Encuentre 1 como funcin del tiempo para el circuito de lafigura 5, supngase que el interruptor se cierra e 1 = Oen t =O.L=lHFigura3En los problemas dell all4, resuelva la ecuacin diferencial.dy1. dx+y=e-Xdy2. (x+1) - +y=x2- 1dxdy3. (1- x2) dx+xy=ax, Ixl O, el factorx xintegrante es e!(-1/x)dx. La antiderivada general (-~ ) dx es iguala -In x+C.(a) Multiplique ambos lados de la ecuacin diferencial porexp (J(-~ ) dx ) =exp (-In x +C), y demuestre que exp(-lnx+ C) es un factor integrante para todo valor de C.(b) Resuelva la ecuacin resultante para y, y demuestre que la solu-cin coincide con la solucin obtenida cuando suponemos que C= O.28. Multipliqueambos lados delaecuacindiferencial dy+P(x)y= Q(x)por el factore1P(x)dx+c. dx(a) Demuestre quee1P(x)dx+c es un factor integrante para todo va-lor de C.(b) Resuelva la ecuacin resultante para y, y demuestre que coinci-de con la solucin general dada antes del ejemplo 1.Respuestas a la revisin de conceptos: 1. exp(JP (x ) dx)d (y) .2.yexp(JP(x)dx) 3.1/x; dx ~ =l;x2+ Cx 4. partIcular7.7Las funcionestrigonomtricas y susderivadasy::: sen,\Fiqura1Las seis funciones trigonomtricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cose-cante) se definieron en la seccin 2.3, y en ocasiones las hemos utilizado en ejemplosy problemas. Con respecto a la nocin de inversa, ellas son funciones con problemas,ya quepara cada y en su rangoexisteun nmero infinito dexque le corresponden(vase la figura 1). No obstante, vamos a introducir una nocin de inversa para ellas.Queesto sea posibletiene como base un procedimiento denominadorestriccin deldominio, que se analiz brevemente en la seccin 7.2.Senoinversoycosenoinverso En elcasodeseno y coseno, restringimos eldominio, manteniendo el rango tan grande como sea posible, mientras insistimos quela funcin resultante tenga una inversa. Esto puede hacerse de muchas formas, pero elprocedimiento acordado se sugiere por medio de las figuras 2 y 3. Tambin mostramosla grfica de la funcininversa correspondiente, obtenida, comoesusual, reflejandocon respecto a la recta y=x.yyxf]-1r Dominio 1r"2 restringido '2Figura2yyx-1x] [a DominiorestringidoFigura3352 CAPTULO 7 Funciones trascendentalesEn una definicin, formalizamos lo que hemos mostrado.DefinicinPara obtener inversas para seno y coseno, restringimos sus dominios a [-'TT/2, 'TT /2]Y[O, 'TT ], respectivamente. As,x=sen-1y'TT 'TT{:::>Y =sen x y2 2x=cos-1y {:::>y=cosx y y(b) cos-1(- !),(d) sen-1(sen 3'TT/2)xA veces se utiliza el smbolo arcsen para sen-1y similarmente arccos se utiliza pa-ra cos-1. Considere arcsen como "el arco cuyo seno es" o "el ngulo cuyo seno es" (va-se la figura 4). En lo que resta del libro utilizaremos ambas formas.EJEMPLO1 Calcule(a) sen-1(v/2/2),(c) cos (cos-10.6), ySolucin(a) sen-1'TT42'TT3(c) cos(cos-10.6) =0.6Figura4(d) sen-1(sen 3;)= _ ;La nica de stas que es complicada es (d). Observe que sera incorrecto dar3'TT/2 co-mo respuesta, ya que sen-1y siempre est en el intervalo[-'TT /2,'TT /2]. Resuelva el pro-blema por pasos, como sigue.sen-1(sen 3;)= sen-1(-1) = -Tr/2 EJEMPLO 2 Calcule(a) cos-1(-0.61), (b)sen-1(1.21), (c) sen-1(sen4.13)Otra manera de decirloSolucin Utilice una calculadora en modo de radianes. Ha sido programada para darrespuestas consistentes con las definiciones que hemos dado.(a) cos-1(-0.61) =2.2268569(b) Su calculadora debe indicar un error, ya que sen-l(1.21) no existe.(c) sen-1(sen4.13) =-0.9884073Tangenteinversa y secanteinversa En la figura 5, mostramos la grfica dela funcin tangente, su dominio restringido y la grfica de y=tan-1x.sen-1yes el nmero en el intervalo[-7T/2,7T /2] cuyo seno es y.cos-1yes el nmero en el intervalo [0,7T ]cuyo coseno es y.tan-1yes el nmero en el intervalo(-7T/2, 7T/2) cuya tangente es y.-37T /2 I'I1 I: I111I11Figura5y:=77:Dominio 77:2 restringido 2x7T-----------"2-7T----------- 2"""yxSECCIN7.7 Las funciones trigonomtricas y sus derivadas 353Existe un mtodo estndar para restringir el dominio de la funcin cotangente, es-to es, a (O, 1T), de modo que tenga una inversa. Sin embargo, esta funcin no desempe-a un papel importante en el clculo.Para obtener una inversa de la secante, graficamos y=sec x, restringimos su do-minio de manera adecuada y despus graficamos y = sec-1x (vase la figura 6).xy-1x17 17f('I \I \I \I \I \I I: ,E - - = - < ~o DornmlO 17restringido-317 -17T ..--, T ~ II I \ II \ II 1 \ I1 I \ III\ I1,/ ,1:, ,:1 YI\1\\\,1Figura6DefinicinPara obtener inversas de la tangente y la secante, restringimos sus dominios a (-1T/2,1T/2) y [0,1T/2) U(1T /2,1T], respectivamente. As,x =tan-1y1T 1T{:::}Y=tanx y -- 100.38. In(2x2- 18) - In(x- 3) - In(x+3) = In 2, para toda x en~ .39. Si y crece de manera exponencial y si y se triplica entre t = OYt= tbentonces y tambin se triplicar entre t = 2tl Yt= 3tl .40. Eltiempo necesario para que x(t) = Ce-klcaigaala mitad deIn2su valor es -k.In41. Si y'(t) = ky(t) Y z'(t) = kz(t), entonces (y(t) +z(t))'k(y(t) +z(t)).42. Si Yl(t) y yit) satisfacen y'(t) = ky(t) + C, entonces tambin lohace (YI(t) + h(t))43. lm (1- ht l/h= e-l.h--4044. Es ventaja para un ahorrador tener dinero invertido a15% com-puesto continuamente en lugar de aI6%compuesto cada mes.45. Si DiaX)= aXcon a >O, entonces a= e.Problemas de examen15. lm(In sen x- In x) = O.X--40-28. 6x+3x2+x - 526. 6 cot3x30. 4x cos x2x42. sen2(x3) 1.In23. ex2-4x4. IOglO(X5- 1)5. tan (In eX) 6.eln cotx7.2 tanhVX 8. tanh-I(sen x)9. senh-1(tan x) 10. 2sen-1 V3x11. sec-IeX12. In sen2( ~ )13. 3 In (e5x+1) 14. In(2x3- 4x +5)15. cos eVr16. In (tanh x)17. 2 cos-1VX 18. 43x+(3X)419. 2 csc e1nvr20. (loglO 2x)2/3x221. 4 tan 5x sec 5x 22. xtan-1223. x l+x24. (1+x2tEn los problemas del] al 24, derive cada funcin.En los problemas del 25 al 34, encuentre una antiderivada de cada fun-cin y verifique su resultado por medio de derivacin.25. e3x-lex+229.---eX+3+1d 117. - (In 7T) = -dx 7T29. Isenh xl :::; e1x1/2.31. cosh (In 3) = t.7T33.. lm tan-Ix = --2r--4-OO10. exp x+exp y= exp(x +y).11. Si x>y, entonces In x>In y.12. Si a In x